Variace, permutace, kombinace, kombinační čísla, vlastnosti, užití faktoriál, počítání
s faktoriály, variace s opakováním.
1. Upravte a urči podmínky:
n 2 − 16 n 2 + 5
3
a) 2 ⋅
+
+
=
(n + 4)! (n + 3)! (n + 2)!
n2 − 9
6
1
+
−
b)
(n + 3)! (n + 2)! (n + 1)!
(n + 2)! − (n − 1)!
c)
n!
(n − 2)!
2. Řešte rovnici:
 x + 1  5  x + 1  4  x + 1
 +  
 −  
 = 1
a) 
 x + 1  3  x   3  x − 1
 x + 2  x   x − 1  x  x 2  8  x + 1
  − 
  =

b) 
−  
2
 0   x − 3  x  2 1  x + 1
x
  x  x2 + 1
 + 
 =
c) 
2
 x − 2   x − 1
(n + 6)! − n ⋅ (n − 4)! = 5n + 80
d)
(n + 4)! (n − 5)!
 x + 8  x
 x  x + 1 x 
 −   = 2 


e) 5.
 x + 7  1 
 0  x  x − 1
 x   x − 1
 = x 2
f)   + 
2
2
  

1
(n + 1)!
1
(n + 2 )!
n2 + 2n + 3
5
8
nemá řešení
5
5
nemá řešení
KOMBINATORICKÁ PRAVIDLA
1. Zákazník si vybírá materiál pro šatní skříně – jeden druh dřeva a jeden typ doplňků. V
nabídce je 7 druhů světlého dřeva, 6 druhů tmavého dřeva a dále 4 typy doplňků
vhodných jen pro světlé dřevo, 5 typů vhodných jen pro tmavé dřevo a 2 univerzální
typy pro jakýkoliv druh dřeva. Kolik vhodných dvojic (dřevo a doplňky) je možné
nabídnout?
a) 143
b) 85
c) 132
d) jiná možnost
d
2. Kolika různými cestami mohou dojít turisté z Jedlové do Smrkové, když chtějí posvačit
na rozcestí U malin? Cesty se považují za různé, pokud se liší aspoň v jednom úseku.
Předpokládáme, že se turisté nebudou vracet tz. každým místem projdou nejvýše
jednou.
a) 10 cestami
b) 28 cestami
c) 30 cestami
d) jiné řešení
c
KOMBINACE
1. Zvětší-li se počet prvků o jeden, zvětší se počet kombinací třetí třídy o 6. Urči
počet zadaných prvků.
4
2. Urči počet prvků tak, aby počet čtyřčlenných kombinací z nich vytvořených byl
dvacetkrát větší než počet dvoučlenných kombinací.
18
3. Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy o 30. Urči
původní počet prvků.
6
4. V krabici je 10 výrobků, z nichž jsou tři vadné. Kolika způsoby lze vybrat 5
výrobků tak, aby
a) aby žádný nebyl vadný
b) aby právě jeden byl vadný
c) aby nejvýše jeden byl vadný
d) právě dva byly vadné
e) nejvýše dva byly vadné
f) alespoň dva byly vadné
21
105
126
105
231
126
5. Kolik různých přímek je určeno 10 body, jestliže
a) žádné tři neleží v přímce
b) čtyři z nich leží v přímce
45
40
6. Ve třídě je 10 chlapců a 12 dívek. Kolika způsoby lze vybrat
a) dvoučlennou službu
b) trojčlennou skupinu ve složení 1 chlapec a 2 dívky
c) trojčlennou skupinu, ve které bude Petr
d) trojčlennou skupinu ve složení 2 dívky a 1 chlapec, ale není to Petr.
231
660
210
594
7. Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznačena hlavní a vedlejší diagonála.
Kolika způsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tři stejné figury tak, aby byly
všechny tři na hlavní, nebo všechny tři na vedlejší diagonále?
A) 16
B) 20
C) 30
D) 32
E) 33 B
8. Petr si vylosuje jednu otázku ze skupiny 1(10 otázek) a dvojici otázek ze skupiny 2( 20
otázek). Kolik různých trojic otázek lze udělat tak, aby jedna byla vždy ze skupiny 1 a
další dvě ze skupiny 2?
1900
9. Do finále turnaje v žákovské kopané, v němž se utká každé družstvo s každým, se
probojovala 4 družstva. Každé utkání bude trvat dvakrát 45 minut a mezi každým
poločasem a každým zápasem je desetiminutová přestávka. Jaká je minimální cena,
kterou organizátor zaplatí za pronájem hřiště, jestliže za každou započatou hodinu
zaplatí 200 Kč?
2 200 Kč
VARIACE, PERMUTACE
1. Zmenšíme-li počet prvků o 1,zmenší se počet variací 2. třídy bez opakování
o 16. Urči původní počet prvků.
9
2. Urči počet prvků, je-li počet variací 4.třídy bez opakování z nich vytvořených 20
krát větší než počet variací 2. třídy bez opakování.
7
3. Urči počet všech přirozených čísel větších než 300 a menších než 5000, v jejichž
zápisech se vyskytují cifry 2, 3, 4, 7, 8, a to každá nejvýše jednou.
120
4. a) Kolik různých pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 0,1,2,3,4,5, jestliže se číslice
neopakují. Kolik z těchto čísel je dělitelných 5? Kolik čísel je sudých? 600, 216, 312
b) Kolik různých pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 0,1,2,3,4,5, jestliže se číslice
opakují. Kolik z těchto čísel končí 5?
6480, 1080
5. Kolik šestimístných kódů lze vytvořit z lichých číslic a samohlásek (obojí se může
opakovat) tak, že první tři místa tvoří číslice a na zbývajících místech
jsou samohlásky?
27 000
6. Kolika způsoby lze postavit do řady na poličku 10 různých českých knih a 5 různých anglických
knih tak, že budou nejprve knihy české a pak anglické.
435 456 000
7. Rychlíkovou soupravu tvoří dva stejné zavazadlové vozy, jeden jídelní vůz, čtyři
stejné lůžkové vozy a dva stejné lehátkové vozy. Kolika způsoby lze vagóny
seřadit?
3 780
8. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den, připadá-li na tento den 6
různých jednohodinových předmětů a ve třídě se vyučuje dvanácti předmětům.
V kolika možnostech je matematika? V kolika možnostech je matematika první
hodinu?
665 280, 332 640, 55 440
9. Kolika způsoby můžeme postavit 7 dětí
a) do řady
b) do řady tak, aby nejvyšší dítě stálo uprostřed
c) do řady tak, aby nejvyšší dítě stálo na kraji
d) do řady tak, aby nejvyšší dítě nestálo na kraji
e) do kruhu.
10. Kolika způsoby lze přemístit písmena ve slově MATEMATIKA?
5040
720
1440
3600
720
151 200
PRAVDĚPODOBNOST
1. V obchodě je 10 hrnců, z nich jsou 3 vadné. Vybereme náhodně 3 hrnce. Urči
pravděpodobnost, že mezi vybranými je: a) právě 1 vadný
0,525
b) aspoň 1 vadný
0,7083
2. Hodíme stejnou mincí 3 krát po sobě. Urči pravděpodobnost, že:
a) líc padne častěji než rub mince
b) líc padne právě dvakrát
c) výsledek všech tří hodů je stejný
0,5
0,375
0,25
3. Hodíme dvakrát kostkou. Urči pravděpodobnost, že
a) padne součet 8
0,138
b)
c)
d)
e)
f)
g)
padnou obě čísla sudá
padne nejvýše jednou 6
padne aspoň jedno liché číslo
padnou dvě 6
poprvé padne 5 a podruhé sudé číslo
padne jedenkrát 5 a jedenkrát sudé číslo
0,25
0,972
0,75
0,027
0,083
0,166
4. Čtyři studenti sportovního gymnázia zadávali anketu. Pět set náhodně oslovených lidí
jim odpovědělo na otázku, zda pravidelně jezdí na kole nebo na in–line bruslích. Jejich
odpovědi jsou zpracovány v tabulce.
Jezdí na kole Nejezdí na kole
Jezdí na bruslích
90
20
Nejezdí na bruslích
210
180
a) S jakou pravděpodobností mohl jeden ze studentů vyhrát sázku, že první osoba z náhodně
oslovených jezdí pouze na in-line bruslích?
p = 0,04
b) Jaká je pravděpodobnost, že první osoba z náhodně oslovených jezdí na kole ? p = 0,6
c) Jaké procento lidí z dotázaných nejezdí na in-line bruslích?
78%
5. Soubor karet je očíslován přirozenými čísly od 1 do 24. Karty zamícháme a jednu z
nich náhodně vytáhneme. Určete pravděpodobnost, že číslo karty je dělitelné číslem 4
nebo číslem 6.
1/3
6. Honza je na zkoušce, která obsahuje 2 témata. U prvního tématu zná správné odpovědi
na 60% otázek, ve druhém tématu umí správně odpovědět na 21 otázek ze 30 otázek.
Při zkoušce si vylosuje po jedné otázce z každého tématu.
Jaká je pravděpodobnost, že správně zodpoví obě tažené otázky?
a) 0,1
b) 0,42
c) 0,6
d) 0,65
b
Jaká je pravděpodobnost, že bude znát správnou odpověď alespoň na jednu z obou
tažených otázek?
a) 0,58
b) 0,7
c) 0,88
d) 0,9
c
7. Obr. 1: a b c d
obr.2: a b c d
e f g h
e f g h
i j k l
i j k l
Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru 1 písmena z 12 zadaných se trefím
do tučně vyznačených písmen obou obrázků?
d
a) 0,5
b)0,45
c)0,3
d)0,25 e)žádná možnost
Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru 1 písmena z 12 zadaných se
trefím do tučně vyznačených písmen aspoň jednoho obrázku?
a) 0,9
b)0,75
c)0,67
d)0,5
e)žádná možnost
b
8. Z pečlivě promíchaného balíku 52 karet bylo odebráno sedm karet. Mezi zbývajícími
kartami v balíku zůstává devět srdcových karet. Jaká je pravděpodobnost, že v dalším
tahu z balíku nebude vytažena srdcová karta?
0,75
9. Balíček deseti karet obsahuje čtyři esa a karty 5, 6, 7, 8, 9 a 10. Přiřaďte ke každému
jevu pravděpodobnost (A–E), s níž může nastat.
a) Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří po sobě jdoucí čísla.
E
b) Ve čtveřici náhodně vybraných karet není žádné eso.
B
c) Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří dvě po sobě jdoucí čísla a dvě esa.
A) 1/7
B) 1/14
C) 1/21
D) 1/35
E) 1/70
A
10. Mezi 52 kartami jsou 4 sedmičky.
a) Jaká je pravděpodobnost, že mezi dvěma náhodně vybranými kartami bude aspoň
jedna sedmička?
asi 0,15
b) Čtyři hráči si vytáhnou po dvou kartách. Jaká je pravděpodobnost, že žádný hráč
nevytáhne ani jednu sedmičku?
asi 0,52
11. V osudí je 5 bílých a 7 červených kostek.
a) Jaká je pravděpodobnost, že v 1.tahu vytáhneme červenou, v 2.tahu bílou a ve
3.tahu červenou kostku, jestliže po každém tahu vrátíme kostku zpět?
14,17%
b) Jaká je pravděpodobnost, že v 1.tahu vytáhneme červenou, v 2.tahu bílou a ve
3.tahu červenou kostku, jestliže kostky nevracíme?
15,9%
Download

Pro stažení stiskněte (soubor)