3. Maturitní úlohy – Rovnice a nerovnice
Uzavřené úlohy
1. Jsou dány nerovnice
4x2+x < 0 ,
2x 2 < 1 ,
-2x2
4x2 + 2x < 0 .
x,
1
Kolik z nich má mezi svými řešeními číslo  ?
2
a) 2
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
2. Pekař připravil várku těsta. Pětinu hmoty oddělil na tmavé rohlíky, čtvrtinu na
dalamánky a zbytek po dvou kilogramech na 22 bochníků chleba. Hmotnost
těsta na dalamánky byla :
a) 12kg
b) 16kg
c) 20kg
d) 24kg
e) 26kg
3. Vyjádřením neznámé R2 ze vzorce
a) R2 
d)
R  R1  R3
R3 R1  R 
R2 
R3 R1  R 
R  R1  R3
b) R2 
R1 R3  R 
R  R1  R3
e) R2 
R  R1 
c)
R2 R3
dostaneme :
R2  R3
R2 
R  R1  R3
R1 R3  R 
R3 R  R1 
R  R1  R3
4. Průměrný věk rodiny, která se skládá z otce, matky a syna, je 37 let. Synovi je
20 let, otec je o 3 roky starší než matka. Věk matky při narození syna byl :
a) 23 let
b) 24 let
c) 25 let
d) 26 let
e) 27 let
5. Odečteme-li od menšího kořenu rovnice x2 + 6x + 1 = 0 větší kořen rovnice
x2 – 10x + 7 = 0, dostaneme výsledek :
a) 2  2
b)  8  2
c)  8  5 2
d) 8  5 2
e)  8  5 2
6. Kolik litrů vody 48°C teplé je nutné přidat do 1,2hl vody 8°C teplé, abychom
dostali vodu teplou 24°C ?
a) 40 litrů
b) 60 litrů
c) 80 litrů
d) 100 litrů
7. Poloměr kruhového záhonu je 1,5 metru. Počet metrů, o který je nutno tento
poloměr zvětšit, aby byla rozloha vzniklého záhonu devětkrát větší než
rozloha původního záhonu, je :
a) 0,5
b) 0,9
c) 2,4
d) 3
e) 3,2
8. Množina všech řešení nerovnice 4x – 3  2 – 6x v intervalu  2;2
je :
1
e)  2;2
;2
2
9. K přípravě nápoje ve školní kuchyni smíchali sirup s vodou v poměru objemů
1 : 5. Protože byl nápoj málo sladký, přilili do něj ještě 1 litr sirupu a 1,5 litru
vody, aby tak získali směs sirupu a vody v poměru 1 : 4. Výsledný nápoj měl
objem :
a) 10 litrů b) 12,5 litru c) 15 litrů
d) 17,5 litru
e) 20 litrů
a) Ø
b) { 1 ; 2 }
c)
1;2
d)
10. Opěrná stěna je vytvořena z ocelových profilů, které se zatloukají
mechanickým beranidlem. Jeden díl je zaražen čtvrtinou své délky v zemi,
třetina jeho délky je ve vodě a 5 m je nad hladinou vody. Část dílu nad vodou
představuje z celé jeho délky přibližně :
a) 32%
b) 38,33%
c) 40,67%
d) 41,67%
e) 43,33%
11. Kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou dvojnásobky kořenů rovnice
x2 + 4x – 21 = 0 , je :
a)
b)
c)
d)
e)
x2 + 8x – 42 = 0
x2 +32x – 42 = 0
x2 + 8x – 84 = 0
x2 +32x –84 = 0
x2 - 8x – 42 = 0
12. Množina všech reálných čísel, která nejsou větší než 
1
, je :
2
13 1
b) Ø
 ;
11 2
13
a nejsou menší
11
než 
a)
c) (- ;
13
)
11
d)

1
 ;
2
13. Strana čtverce je o 1 m kratší než jeho úhlopříčka. Jaká je délka strany
čtverce ?
a)
c) 2  2 m
d) 2  2 m e) 2 2m
2  1 m b)
2 1 m








14. Do hrnce tvaru válce se vejde přesně 5,5 litru vody, vnitřní průměr dna je
25cm. Hloubka hrnce je přibližně :
a) 15,6 cm
b) 20,7 cm
c) 9,5 cm
d) 11,2 cm
e) 5 cm
a
2a  1
vyjádřena vzorcem :

x 1 x 1
1 a
1 a
1  3a
1  3a
b) x 
c) x 
d) x  
e) x 
1  3a
1  3a
1 a
1 a
15. Neznámá x je z rovnice
a) x  
3a
a 1
16. Úředník měl hrubý měsíční plat 12 000 Kč. Během roku mu bylo přiznáno
osobní ohodnocení ve výši 10%. Jeho hrubá mzda za celý rok byla
153 600Kč(odměny a třináctý plat nejsou započteny).Osobní ohodnocení mu
bylo přiznáno :
a) od února b) od května c) od června d) od srpna e) od září
17. Vyjádříme-li ze vzorce z 
dostaneme :
xy  2
proměnnou x pomocí proměnných x a z,
x  y  xy
yz  2
z  y  yz
yz  2
d) x 
z  y  yz
a)
x
yz  2
yz  2
c) x 
z  y  yz
z  y  yz
yz  2
e) x 
y  z  yz
b) x 
18. Mezi rovnicemi
x
y
3
sin 60 z
 5,
u  32  1
 ,
 ,
1
0,3 10
2
3
3
je počet těch, které mají celočíselná řešení, roven :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
19. V restauraci volá jeden host ze skupiny turistů na číšníka : „ Platím pět párků
a čtyři limonády.“ Druhý host se přidává : „Platím sedm párků a devět
limonád.“ Číšník vystavuje prvnímu hostu účet na 203Kč a druhému hostu
účet na 325Kč. Limonáda stojí :
a) 10Kč
b) 11Kč
c) 12Kč
d) 12,50Kč
e) 13,50Kč
20. Součet kořenů rovnice x2 + bx – 12 = 0 je 1. Kořeny této rovnice jsou :
a) 0, 1
b) -1, 2
c) -2, 3
d) -3, 4
e) -4, 5
3 x
 1 je množina :
x2
1
1


c)   2;
d) R    2;
2
2


21. Množinou všech řešení nerovnice
5

a)   2;
2

1

b)   ;
2

22. Jedním kořenem rovnice x2 + c = 0
je číslo
e)
5
 ;
2

3 2
. Jejím druhým kořenem
2
je číslo :
a)
3 2
2
b)
3 2
2
c)
3 2
2
d)
3 2
2
e) 
3 2
2
23. Pětinásobek prvního čísla je o 1 větší než osminásobek druhého čísla.
Pětinásobek druhého čísla je o 1 větší než trojnásobek prvního čísla. Součet
prvního a druhého čísla je :
a) -4
b) -1
c) 12
d) 21 e) jiný než je uvedeno v bodech a)až b)
24. Výrobní náklady na n součástek téhož typu jsou ( 6n + 2 000 )Kč, jedna
součástka se prodává za 15Kč. Nejmenší počet součástek, které je třeba
vyrobit a prodat, aby čistý zisk přesáhl 10 000Kč, je :
a) 998
b) 1 050
c) 1 334
d) 1 355
e) 1 500
25. Množina všech řešení nerovnice x  15x  2 < 0 je podmnožinou intervalu :
5 1
2
a)  5;0
b)  ;
c)  1;1
d) 0;2
e)
;5
2 2
5
26. Řečník byl při přednášce tak nudný, že polovina publika odešla po několika
minutách. O 5 minut později odešla třetina zbývajícího publika. O 10 minut
později odešla čtvrtina zbývajících. Zůstalo 9 lidí. Na začátku přednášky bylo
v publiku :
a) 30 lidí
b) 36 lidí
c) 43 lidí
d) 45 lidí
Otevřené úlohy
1. Nakladatelství připravuje vydání nové knihy. Náklady na každý z prvních 370
výtisků dosahují 480Kč. Náklady na každý další výtisk jsou však už jen 45Kč.
Nakladatelství se rozhodlo prodávat knihu po 230Kč.Jaký nejmenší počet
výtisků musí nakladatelství vydat, aby za předpokladu, že všechny výtisky
prodá, nebylo vydání ztrátové ?
2. Na zahradě je čtvercový záhon s délkou strany 6m.
a) O kolik procent můžeme stranu záhonu prodloužit, má-li se jeho rozloha
zvětšit nejvýše o 21% ?
b) O kolik procent se rozloha záhonu zmenší, rozdělíme –li jej dvěma navzájem
kolmými pěšinami o šířce 30cm , které budou rovnoběžné se stranami
záhonu?
3. a)Řešte soustavu rovnic s neznámými A a B :
A=9-B
2A = 4 + 5B
b)S použitím výsledku části a) řešte soustavu rovnic s neznámými a,b :
1
1
9
a2
b 1
2
5
 4
a2
b 1
4. Dno bazénu, který má tvar kvádru, má obsah 375m 2. Šířka bazénu je 60%
jeho délky.
a) Určete rozměry dna bazénu.
b) Kolik litrů vody je v bazénu, je-li hloubka bazénu 1,5m a voda sahá 15cm pod
okraj ?
5. Tři muži strávili v posilovně za rok celkem 440 hodin. První posiloval tak
dlouho jako druhý a třetí dohromady, 40% času pobytu v posilovně prvního
z mužů se rovná 50% času pobytu v posilovně druhého z nich. Kolik hodin
strávil v posilovně každý z mužů ?
6. Vzdálenost mezi Ostravou a Opavou je 36km. Osobní automobil jel z Ostravy
do Opavy o 15 minut kratší dobu než autobus. Rozdíl průměrných rychlostí
osobního automobilu a autobusu byl 12km.h-1. Určete průměrné rychlosti obou
vozidel.
7. Je dán výraz
x  5x  2
x8
.
a) Určete, pro která reálná čísla x je tento výraz definován.
b) Určete, pro která x  R má daný výraz hodnotu nula.
1
c) Vypočtěte jeho hodnotu pro x =
.
2
d) Zjistěte, pro která x  R je hodnota daného výrazu nezáporná.
8. Obchodník s nemovitostmi kupuje byty dvou druhů. Pět levnějších bytů a dva
dražší byty ho přijdou dohromady na 9 000 000 Kč. Za dva levnější byty a
jeden dražší byt zaplatí dohromady 4 000 000 Kč.
a) Vypočítejte cenu levnějšího bytu i cenu dražšího bytu.
b) Určete všechny možnosti nákupu bytů jednoho nebo obou druhů, chce-li
podnikatel investovat přesně 10 000 000 Kč.
9. V oboru reálných čísel řešte soustavu nerovnic :
7
 1,
x5
15
<2
7x
10. Je dána soustava rovnic :
x–y=2
x + 3y = 0
a)
b)
c)
d)
Řešte ji početně.
Vypočtěte souřadnice průsečíků přímky x – y = 2 s osami souřadnic.
Řešte danou soustavu rovnic graficky.
Rozhodněte, zda bod M 12;2 leží na přímce x + 3y – 6 = 0 .
11. Součet čtyř přirozených čísel je 125. Jestliže první z těchto čísel zvětšíme o
čtyři, druhé číslo zmenšíme o čtyři, třetí číslo zvětšíme čtyřikrát a čtvrté číslo
zmenšíme čtyřikrát, dostaneme vždy stejné přirozené číslo. Určete původní
čtyři čísla.
12. Určete, pro která čísla x má smysl výraz
1
.
9  x2 
x  1x  2
13. U klasických obrazovek je poměr šířky a výšky 4 : 3. U moderních obrazovek
je tento poměr 16 : 9. Je vyšší klasická obrazovka o úhlopříčce 70cm, nebo
moderní obrazovka o úhlopříčce 82cm?
14. Pro povrch S rotačního válce platí vzorec S = 2πr(r+v) , kde r je poloměr
podstavy válce a v jeho výška.
a)
Vypočítejte průměr podstavy rotačního válce, je-li jeho povrch 0,628cm2 a
výška 30cm.
Vypočítejte výšku rotačního válce, je-li jeho povrch (2,5 . 104)dm2 a poloměr
podstavy (5 . 102)cm.
Počítejte s hodnotou π = 3,14 .
b)
15. Cyklista vyjel cestu do kopce průměrnou rychlostí v1 = 12km.h-1, obrátil se a
sjel ji průměrnou rychlostí v2 = 36km .h-1 . Délka cesty do kopce byla
s = 10km.
a) vypočítejte čas jízdy cyklisty.
b) Určete průměrnou rychlost v cyklisty.
2 1 1
c) Ověřte, že platí  
.
v v1 v 2
d) Ze vzorce z části a) vyjádřete rychlost v2 pomocí rychlostí v a v1 .
16. Reálné číslo p má tu vlastnost, že jeden kořen rovnice x2 + px + 6 = 0 je
trojnásobkem druhého kořene. Určete ciferný součet čísla p2 .
17. Strana prvního čtverce je o 2cm delší než obvod druhého čtverce, součet
obsahů obou čtverců je 205cm2 . Určete délku strany druhého čtverce.
18. Délka hrany první krychle je o 2cm větší než délka hrany druhé krychle, objem
první krychle je o 14cm3 větší než objem druhé krychle. O kolik cm2 se liší
povrchy obou krychlí ?
Download

Rovnice a nerovnice