МАТЕМАТИКА
ОБЈАШЊЕЊА И ВЕЖБАЊА ЗА БОЉЕ ОЦЕНЕ У 7. РАЗРЕДУ
Милица Вајукић,
Ружица Павлићевић
7
ЗБИРКА ЗНАМ ЗА ВИШЕ
ЗНАМ ЗА ВИШЕ – МАТЕМАТИКА 7
Аутори: Милица Вајукић, Ружица Павлићевић
Илустрације: Марта Бартољ
Прелом српског издања: „Total idea“, Нови Сад
Лектура: Наташа Зрнић
Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о.
Светозара Ћоровића 15/IV
11000 Београд
Тел: 011/3348-384, факс: 011/3348-385
[email protected], www.klett.rs
За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић
Главни уредник: Александар Рајковић
Уредник: проф. др Бранислав Поповић
Руководилац пројекта: Оливера Славковић
CIP – Каталогизација у публикацији
Народна библиотека Србије, Београд
37.016 : 51 (075.2) (076)
ВАЈУКИЋ, Милица, 1983Знам за више – Математика 7 / [Милица
Вајукић, Ружица Павлићевић; илустрације
Марта Бартољ]. – Српско изд. – Београд :
Klett, 2010 (Крагујевац : Графостил). – 88
стр. : илустр. ; 30 cм. – (Збирка Знам за
више)
Кор. насл. – Подаци о ауторима преузети из
колофона. – Тираж 10.000
ISBN 978-86-7762-268-8
1. Павлићевић, Ружица, 1952- [аутор]
Штампа: Графостил, Крагујевац
Тираж: 10.000 примерака
COBISS. SR-ID 180646412
© Оригинално издање: Založba Rokus Klett, d.o.o. Љубљана, 2007.
© Српско издање: Издавачка кућа Klett д.о.о., Београд, 2010.
ISBN 978-86-7762-268-8
Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела
или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући и фотокопирање, штампање, или чување у
електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.
2
Здраво!
Већ смо имали прилике да се упознамо у петом и шестом разреду. Пред тобом је нова додатна
збирка помоћу које ћеш и градиво седмог разреда лакше савладати. Биће ти велика помоћ
у напредовању и учењу математике, јер ће те на занимљив начин водити ка знању за већу
оцену. Да би то напредовање било брже, а решавање задатака лакше, потрудили смо се
да те на почетку сваке наставне јединице, користећи примере и разне цртеже, подсетимо
на најважнија правила и поступке које си научио на часу и који су ти потребни за успешно
самосталнo решавање задатака.
Након уводних напомена следе задаци које смо поређали по тежини, што ће ти олакшати рад.
С обзиром на то да ћеш решења писати директно у збирку (слободно користи све белине на
страни), за већину задатака биће ти потребна само оловка и гумица.
Жеља нам је била да ову збирку, као и збирку за пети и шести разред, користиш лако и са
задовољством, код куће или код другара, у аутобусу, на излету, плажи или док чекаш да ти
почне тренинг или час клавира. Користићеш је као додатну збирку у току школске године,
али ти може послужити и за време летњег распуста, да би се припремио за нови разред
обнављајући научено градиво.
Ако се потрудиш и урадиш задатке које смо ти понудили, увежбаћеш оно што већ знаш,
или ћеш уочити нешто што си пропустио у учењу. Као што уводним примерима можеш да
разјасниш недоумице, тако решења на крају збирке служе да провериш свој рад.
У сналажењу ће ти помоћи и иконице у облику сијаличица.
Овде су написане важне
законитости, правила и закључци.
Овде су написани савети за лакши
рад, сугестије и упозорења.
На крају сваке теме понудили смо ти тест којим ћеш проверити у којој си мери савладао ту
целину:
Ако си освојио 15 или мање поена, још увек недовољно знаш и требало би да поновиш
градиво, а посебно да обратиш пажњу на урађене примере.
Ако си освојио од 16 до 30 поена, научио си доста, али вежбај и даље, како би напредовао.
Ако си освојио од 31 до 45 поена, добро си савладао градиво и већ доста знаш. Само настави
тако!
Имаћеш прилику да своје знање математике утврђујеш и провераваш и у осмом разреду, кроз
друге збирке едиције „Знам за више“.
Надамо се да ћемо постићи да увек себи кажеш ,,Ја могу више и хоћу да знам више!“ и да ћеш
задатке из ове збирке користити за остварење тог циља.
Са жељом да што више напредујеш, поздрављамо те и желимо ти много успеха у учењу.
Аутори
3
САДРЖАЈ
I. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ ......................................................................................................................... 6
1.1. Квадрат рационалног броја .............................................................................................................................6
1.2. Квадратни корен. Решење једначине x² = а (а ≥ 0) ................................................................................8
1.3. Ирационални бројеви. Скуп реалних бројева .......................................................................................11
1.4. Операције у скупу реалних бројева .......................................................................................................... 12
ТЕСТ .................................................................................................................................................................................. 15
II. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА ........................................................................................................... 16
2.1. Примена Питагорине теореме на правоугли троугао ...................................................................... 16
2.2. Примена Питагорине теореме у конструкцијама ............................................................................... 18
2.3. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник ........................................................... 20
2.4. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао .................... 22
2.5. Примена Питагорине теореме на паралелограм и посебно ромб ............................................. 24
2.6. Примена Питагорине теореме на трапез ............................................................................................... 25
2.7. Разне примене Питагорине теореме .........................................................................................................27
ТЕСТ .................................................................................................................................................................................. 29
III. ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ ...................................................................... 30
3.1. Степен чији је изложилац природни број .............................................................................................. 30
3.2. Производ и количник степена истих основа .........................................................................................31
3.3. Степен производа, количника и степена ................................................................................................ 32
3.4. Степен различитих основа и различитих изложилаца..................................................................... 34
ТЕСТ .................................................................................................................................................................................. 35
3.5. Алгебарски изрази ............................................................................................................................................ 36
3.6. Полиноми, врсте, сређени облик полинома......................................................................................... 38
3.7. Сабирање и одузимање полинома............................................................................................................ 40
3.8. Множење полинома ......................................................................................................................................... 42
3.9. Разлике квадрата ............................................................................................................................................... 44
3.10. Квадрат бинома................................................................................................................................................ 46
3.11. Растављање полинома на чиниоце ........................................................................................................ 48
3.12. Примена растављања полинома ............................................................................................................. 50
ТЕСТ ...................................................................................................................................................................................51
IV. МНОГОУГАО .............................................................................................................................. 52
4.1. Број дијагонала многоугла ............................................................................................................................ 52
4.2. Збир углова многоугла .................................................................................................................................... 53
4.3. Правилни многоуглови ................................................................................................................................... 54
4.4. Обим и површина многоугла ....................................................................................................................... 55
ТЕСТ ...................................................................................................................................................................................57
V. ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ ......................................... 58
5.1. Правоугли координатни систем и растојање две тачке у координатном систему ............. 58
5.2. Директна пропорционалност...................................................................................................................... 60
5.3. Обрнута пропорционалност ........................................................................................................................ 63
5.4. Примена пропорције ....................................................................................................................................... 65
ТЕСТ ...................................................................................................................................................................................67
VI. КРУГ............................................................................................................................................ 68
6.1. Централни и периферијски угао ................................................................................................................ 68
6.2. Обим круга............................................................................................................................................................ 70
6.3. Дужина кружног лука .......................................................................................................................................71
6.4. Површина круга ................................................................................................................................................. 72
6.5. Површина кружних делова........................................................................................................................... 73
6.6. Обим и површина сложене фигуре........................................................................................................... 75
ТЕСТ ...................................................................................................................................................................................77
VII. СЛИЧНОСТ ............................................................................................................................... 78
7.1. Размера дужи. Пропорционалност. Самерљиве и несамерљиве дужи.
Конструктивна подела..................................................................................................................................... 78
7.2. Сличност троуглова и примена ................................................................................................................... 80
ТЕСТ .................................................................................................................................................................................. 82
РЕШЕЊА ......................................................................................................................................... 84
I. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
1.1. Квадрат рационалног броја
ПРИМЕР 1. Колика је површина квадрата ако је дужина његове странице 10cm?
Површина је P = 10cm · 10cm = 100cm2.
Можеш да пишеш и овако: (10cm)2 = 100cm2.
ПРИМЕР 2. Израчунај квадрате бројева 150, –1,5 и
Површину квадрата
добијаш тако што
дужину његове странице
помножиш самом собом.
.
1) 1502 = (15 · 10)2 = 152 · 102 = 225 · 100 = 22 500
Број 150 записујеш као производ бројева 15 и 10 и тај производ
квадрираш тако што квадрираш сваки чиналац посебно.
2) (–1,5)2 =
=
=
а · а = a2
Квадрат рационалног броја не
може бити негативан.
a2 ≥ 0
= 2,25
Децимални број запишеш у облику децималног разломка, па
посебно квадрираш бројилац, а посебно именилац.
3) Мешовити разломак
најпре претвориш у неправи разломак,
а онда посебно квадрираш бројилац, а посебно именилац:
.
ЗАДАТАК 1. Израчунај квадрате бројева:
а
–2
– 0,1
0,7
2,5
7,5
а2
ЗАДАТАК 2. Допуни празна поља тако да
једнакости буду тачне:
а) (–3)2 =
б) –32 =
в) – (–3)2 =
;
д)
;
ђ)
;
е)
;
ЗАДАТАК 3. Стрелицом повежи као што је
започето:
(15 – 6)2
15 – 62
;
–6 ∙ (–2)2
;
–6 ∙ (–2)2
г) – (–32) =
6
;
ж)
.
20 – 4 : (–22)
–24
19
81
24
–19
–21
ЗАДАТАК 4. Израчунај вредности израза:
–32 · 2 + (–3)2 · 2;
–2 · 42 + (2)2 · (–4);
3·
– 1,52 – 3 ·
;
+2·
.
ЗАДАТАК 5. Ако је А = 18 : 3 – 3, В = 14 : 7 – 1 и C = –20 : (–8 + 4), тада је:
a) A2 = ____________________;
б) B2 = ____________________;
в) C2 = ____________________;
г) (C – A)2 = ________________________________________________________________________;
д) (C + B – A)2 = _____________________________________________________________________;
ђ) B2 – (C – A)2 = ____________________________________________________________________;
е) A2 + (B – C)2 = ____________________________________________________________________.
ЗАДАТАК 6. Запиши израз који одговара реченицама и израчунај његову вредност.
а) Квадрату броја –12 додај двоструки квадрат броја 5.
_________________________________________________________________________________
б) Двоструки квадрат броја –5 одузми од квадрата броја 8.
_________________________________________________________________________________
в) Квадрат двоструког броја –6 додај квадрату броја 4.
_________________________________________________________________________________
7
I. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
1.2. Квадратни корен. Решење једначине x2 = a (a ≥ 0)
ПРИМЕР 1. Колика је дужина ружичњака квадратног облика ако његова површина износи 81m2?
Ако је површина ружичњака 81m2, његова дужина је 9m, јер је 92 = 81.
= 9, јер је 92 = 81.
Oперацијa супротнa квадрирању јесте кореновање
Квадратни корен броја а
2
записујемо
При решавању овог примера, појављује се једначинa облика x = 81,
, ( a ≥ 0).
где је променљива на другом степену. Таква једначина зове се
квадратна једначина.
По договору, позитивно решење једначине x2 = 81, то јест x = 9 јесте
= 9.
квадратни корен од 81, значи
ПРИМЕР 2. Израчунај следеће квадратне корене:
;
1)
2)
1) I начин:
=
II начин:
=
;
3)
=
;
4)
.
= 40
=
= 4 · 10 = 40
Количник коренујеш тако што коренујеш посебно бројилац, а посебно именилац,
a ако је потребно, пре тога скратиш разломак до несводљивог.
2)
=
=
;
3)
=
=
=
.
4) Децимални број често можеш најпре да запишеш у облику децималног разломка, а онда посебно коренујеш
бројилац, а посебно именилац:
=
ПРИМЕР 3. Израчунај
=
=
= 1,1.
.
Користећи правило
, можеш да запишеш
Дакле, чинилац који је потпуни квадрат коренујеш,
а чинилац који није потпуни квадрат остављаш испод корена.
ПРИМЕР 4. Израчунај квадратни корен разломка
=8
.
Добијени разломак проширујемо кореном који је
у имениоцу и добијамо
.
Рационалисање имениоца
.
На овај начин добили смо број једнак почетном,
али он у имениоцу нема корен. Тај поступак назива се
рационалисање имениоца.
Како је
= 1, a
≈ 1,41 – 1 ≈ 0,41, не важи
=
.
Како је
= 2, a
≈ 1,73 + 1 ≈ 2,73, не важи
=
.
НЕ важи:
осим у специјалним случајевима.
8
1) х2 = 49;
ПРИМЕР 5. Реши једначине:
1) х2 = 49
2) х2 =
2) х2 =
|х| =
|х| = 7
х = 7 или х = –7
Заиста, 72 = 7 · 7 = 49
и (–7)2 = (–7) · (–7) = 49.
.
Решење једначине x2 = a (a > 0) jeсте пар
супротних бројева (једно је позитивно
, а друго негативно
).
Једначина x2 = 0 има само једно
решење, x = 0.
|х| =
|х| =
х=
или х = –
Заиста,
=
·
=
и
=
=
.
ЗАДАТАК 1. Попуни таблицу:
a
25
b
0,01
6+
0,09
1–
0,36 · 0,16
∙
ЗАДАТАК 2. Реши једначине:
x2 = 0,81
4x2 = 64
x2 =
x2 –
=
9
Download

zzv matematika 7 knjizni blok_opt.pdf