Električne mašine
Zadaci za rad na časovima računskih vežbi
AM
SM
Tekst sadrži 9 zadataka koji će se rešavati na časovima računskih vežbi u toku druge polovine kursa. Prvih 5 zadataka se odnosi na asinhrone mašine. Preostala 4 zadatka se odnose na sinhrone mašine.
Rešenja sadrže osvrte na potrebna teorijska znanja i digresije u kojima se
produbljuju znanja o asinhronim i sinhronim mašinama. Osvrti i digresije ne
predstavljaju deo rešenja.
Za neke od zadataka, kraća rešenja će biti prikazana na času.
kontakt: masine.etf.rs,
[email protected], vukosavic.etf.rs
Asinhrone mašine
1. zadatak– rešenje
a)

1
RS,LS
i
u
E
2
i
RS,LS
2
u

E
1
u
i
Pošto je fluks statora u oba slučaja iste amplitude i obrće se istom brzinom, elektromotorna sila u jednom navojku je
neizmenjena. Pošto je broj navojaka u svakoj od faza statorskog namotaja isti (Na=Nb=Nc=N=N=100), naponi uabc i uαβ
imaju jednake amplitude i jednake efektivne vrednosti.
Dvofazna mašina se može napajati tako što se krajevi faze  statorskog namotaja 1, 2 i krajevi faze  statorskog
namotaja 1, 2 vezuju zasebnim provodnicima za nezavisne naponske izvore E i E. U tom slučaju su potrebna 4
provodnika.
Dva povratna voda 2 i 2 se mogu spojiti u jedan. Tada se broj provodnika smanjuje za jedan, ali je struja povratnog voda
za 2 puta veća od slučaja kada postoje 4 provodnika.
b)
Kod dvofazne mašine koja ima isti broj navojaka kao trofazna i koja treba da ima istu magnetopobudnu silu, efektivne
vrednosti struja I su 50% veće u odnosu na struje u abc domenu (tj. u odnosu na struje originalne mašine),
3
I   I n  15 A .
2
Pošto se rotor mašine obrće istom brzinom, frekvencija napajanja asinhronog motora jednaka je nominalnoj: fS=fS,n=50
Hz. Uz jednaku vrednost magnetopobudne sile, fluks u jednom navojku dvofaznog ekvivalenta jednak je fluksu u jednom
navojku trofazne mašine. Budući da elektromotorna sila u jednom navojku zavisi od proizvoda fluksa i učestanosti,
zaključuje se da su u oba slučaja elektromotorne sile u jednom navoku jednake. Uz nepromenjene vrednosti
elektromotorne sile u jednom navojku, pri čemu je Na=Nb=Nc=N=N=100, zaključuje se da su elektromotorne sile i
naponi u namotajima takođe jednaki. Zbog toga je E,rms=E,rms=Un=230V. Dakle, Efektivne vrednosti napona
nezavisnih naponskih izvora su:
Eα,rms  E ,rms  U n  230V .
Dakle, trenutne vrednosti struja i faznih napona pojedinih faza dvofazne mašine su:
E α  t   230 2 cos 100π t  V 
Eβ  t   230 2 sin 100π t  V 
iα  t   15 2 cos 100π t   i 
 A
iβ  t   15 2 sin 100π t   i 
 A
2. zadatak– rešenje
U rešavanju zadatka koristi se zamenska šema asinhronog motora za ustaljena stanja:
IS
RS
US
LγS
Im
Lm
LγR
IR
RR
s
Vrednost sinhrone brzine, nS, je povezana sa frekvencijom napajanja, fS, preko sledeće relacije:
nS  fS  60 .
Zamenom u prethodni izraz nominalnu frekvenciju napajanja, fS,n, moguće je izračunati nominalnu vrednost sinhrone
brzine:
nS,n  fS,n  60  3000
ob
.
min
Takođe se brzina može izraziti i u rad/s:
S,n  nS,n 
π
rad
 314.16
.
30
s
a)
Koristeći podatke o nominalnoj vrednosti sinhrone brzine (nS,n=3000 ob/min) i brzini motora (nm = 2850 ob/min) koja se
ima u traženom radnom režimu, može se izračunati relativno klizanje:
s
S,n   m nS,n  nm

 0.05  5% .
nS,n
S,n
b)
Brzina klizanja predstavlja razliku sinhrone brzine (S) i ugaone brzine obrtanja rotora asinhronog motora. Za radni režim
opisan u zadatku:
 k  S   m  S,n  nm 
π
rad
.
 15.71
30
s
Ta vrednost se može izraziti i u ob/min:
nk   k 
30
ob
 150
.
π
min
Kod dvopolnog motora (p=1), kružna učestanost rotorske struje je jednaka vrednosti ugaone brzine klizanja:
k   k  15.71
rad
.
s
Digresija:
Kod dvopolnih mašina (p=1) izjednačavaju se vrednosti sledećih veličina:
 kružna učestanost napajanja (S) = sinhrona brzina (S)
 učestanost rotorskih struja (k) = ugaona brzina klizanja (k)
 električna rotorska brzina (m) = mehanička ugaona brzina (m)
Kraj digresije.
c)
Da bi se izračunala statorska struja, potrebno je izračunati ulaznu kompleksnu impedansu za dati radni režim:
R

jS,n  Lm   R  jS  LγR 
 s

Z ul  RS  jS,n  LγS 
  3.9636  j2.3166  Ω .
RR
 jS,n   Lm  LγR 
s
s  0.05
Kompleksna vrednost statorske struje za dati režim rada je:
IS 
US U n

  41.3723  j24.1803 A .
Z ul Z ul
Primenom obrasca za strujni razdelnik, izračunava se kompleksna vrednost struje rotora:
jS,n  Lm
  42.4211  j18.2321 A  I R  I R  46.1731 A .
RR
 jS,n   Lm  LγR 
s
I m = I S -I R =(-1.0487 - j5.9482)A
IR  IS 
d)
Da bi se izračunali ovi fluksevi, najpre treba odrediti kompleksnu vrednost indukovane elektromotorne sile statora, ES,
napon na grani magnetisanja, Um, i indukovanu elektromotornu silu rotora, ER:
IS
LγS
RS
ES
US
LγR
Im
Lm
Um
IR
ER
RR
s
ES  U S  RS  I S   209.66  j6.0451 V ,
U m  ES  jS,n  LγS  I S  186.87  j32.947  V ,
ER 
RR
 I R  169.68  j72.928  V .
s
Fluks se izračunava integracijom odgovarajuće elektromotorne sile. U stacionarnom stanju, posmatrano u kompleksnom
domenu, integracija predstavlja deljenje kompleksnog napona sa kompleksnim članom (jS):
S 
ES
jS,n
  0.0192  j0.6674  Wb   S   S  0.6676 Wb,  S  88.34840 ,
m 
Um
  0.1049  j0.5948  Wb   m   m  0.604 Wb,  m  99.99930 ,
jS,n
R 
ER
jS,n
  0.2321  j0.5401 Wb   R   R  0.5879 Wb,  R  113.25750 .
Usled postojanja rasipnog fluksa, u motornom režimu rada se ima:
 S  m  R ,
 S   m   R .
e)
Elektromagnetski moment (moment elektromehaničkog pretvaranja):
M em 
Pmeh
m

Pob
S,n
2
I2 R
3 I R,dq RR
 

 3  R  R  81.4347 Nm .
2 S,n s
S,n s
3. zadatak– rešenje
a)
U rešavanju zadatka koristi se zamenska šema asinhronog motora za ustaljena stanja, uz zanemarenje struje magnetisanja:
IS
RS
US
LγS
LγR
IR
RR
s
Kada se u zadatku navede da je asinhroni motor nominalno napajan, to podrazumeva sledeće:
U S  U n , fS  fS,n .
Stoga je:
M pol  M em  s  1, Lm    
Pob  s  1, Lm   
S,n
3
I R2
S,n

U S2
RR
R
1
3 R 

 5.26 Nm.
1
1 S,n  R  R 2   2   L  L 2
S
R
S,n
γS
γR
b)
Relativna vrednost prevalnog klizanja se određuje kao vrednost relativnog klizanja s=spr, pri kome se postiže maksimum
mehaničke karakteristike (prevalni moment), spr = RR/Xe. Kako je Le=(LSLR – Lm2)/LR  LS+LR (uz pretpostavku da je
Lm jako veliko) Xe = 20.67 pa je spr = 0.607.
Kako se u zadatku traži prevalni moment u motornom režimu rad, uzima se pozitivna vrednost prevalnog klizanja:
M pr  M em  s  spr , Lm  , RS  0   3 
RR 1


spr S,n  R
 R
 spr
U n2
2

2
2
  S   LγS  LγR 

 3
U n2

2
S,n

1
 11.18 Nm.
2   LγS  LγR 
c)
Ponavlja se procedura učinjena u tačkama c) i e) 2. zadatka:
Najpre se računa ulazna impedansa, koristeći podatak o relativnom klizanju izračunatom u tački b) ovog zadatka:
R

jS,n  Lm   R  jS,n  LγR 
s

 pr
  33.1818  j21.6591 Ω
Z ul  s  spr   RS  jS,n  LγS 


RR
 jS,n   Lm  LγR 
spr
Statorska struja se izračunava kao:
IS 
US U n

  4.6492  j3.0348  A ,
Z ul Z ul
a primenom obrasca za strujni razdelnik, izračunava se vrednost struje rotora:
IR  IS 
jS,n  Lm
RR
 jS,n   Lm  LγR 
s
  4.7074  j2.2969  A  I R  I R  5.4252 A .
Konačno, traženi elektromagnetski moment je:
M pr,m,T  3 
I R2
S,n

RR
 5.81 Nm .
spr
Uvažavanje nenulte vrednosti struje magnetisanja i otpornosti statorskog namotaja neminovno dovodi do smanjenja
izračunatih vrednosti svih momenata u motornom režimu rada. Naime, njihovo uključivanje u proračun smanjuje za
izvestan iznos efektivnu vrednost struje rotora, a time i moment. Izvesna nedoslednost u proračunu u ovoj tački se ogleda
u tome što je nova vrednost prevalnog momenta izračunata pri vrednosti relativnog klizanja koja je određena u analizi u
kojoj su grana magnetisanja i otpornost statora bili isključeni iz proračuna. Uvođenjem grane magnetisanja u proračun,
dovodi do promene i relativnog klizanja pri kom se ostvaruje maksimum mehaničke karakteristike.
4. zadatak– rešenje
a)
Zanemarenjem struje magnetisanja, zamenska šema za ustaljena stanja, na kojoj će biti bazirano rešavanje zadatka, ima
izgled:
IS
RS
US
LγS
LγR
RR
s
Nominalna vrednost relativnog klizanja iznosi:
π
   n S,n   n 2  π  fS,n  nn  30
sn  S,n


 0.14  p.u. .
2πfS,n
S,n
S,n
Nominalna vrednost snage gubitaka u mašini je:
Pγ,n  3   RS  RR   I n2  3   RS  RR  
U n2
2

RR 
 RS 
  2  π  fS,n   LγS  LγR 
sn 



 341.4 W .
2
b)
Dijagram toka snage za asinhroni motora je dat na slici pored.
Koristeći podatak o vrednosti polaznog momenta koji je
izračunat u 2. zadatku, moguće je odrediti vrednost snage
obrtnog
magnetskog
polja
u
režimu
polaska:
Pob  s  1  M pol  S  M pol  S  1652 W .
Kako je vrednost relativnog klizanja s=1, snaga koja disipira
na otporniku RR (čime modelujemo gubitke u namotaju rotora)
jednaka je snazi koja disipira na ’’otporniku’’ RR/s (čime se
modeluje snaga koja se predaje od statora rotoru, tj. snaga
obrtnog polja):
s  1  PCurot  s  1  3  RR  I R2  3  RR 
U n2
2
 RS  RR   S,n2   LγS  LγR 
2
 Pob  s  1  1652 W .
Ovo je očekivani rezultat, s obzirom da je, usled mirovanja rotora, snaga elektomehaničkog pretvaranja, PmR, jednaka
nuli. Snaga gubitaka u celoj mašini predstavljaju zbir snage gubitaka u statorskom i rotorskom namotaju:


R 
R 
Pγ  s  1  PCustat  s  1  PCurot  s  1  3   RS  RR   I R2  3  RR  1  S   I R2  1  S   Pγ,R  3421 W .
 RR 
 RR 
c)
U motoru postoji snaga gubitaka P koji dovode do povećanja temperature motora. Ako se pretpostavi da se motor u
termičkom pogledu ponaša kao homogeno telo, on se po pitanju zagrevanja može modelovati modelom sistema 1. reda,
kao što je prikazano na sledećoj slici:
Pγ
CT
RT

Na prethodnoj slici RT predstavlja termičku otpornost motor-ambijent,  predstavlja nadtemperaturu (razlika
temperature motora i ambijenta:  = mot - amb), dok je CT termička kapacitivnost motora u odnosu na ambijent.
Nastanak akcidentne situacije i generisanje gubitaka u namotajima za opisano kolo prestavlja pojavu pobude u
obliku Hevisajdovog impulsa amplitude P. U tom slučaju je promena temperature u vremenu opisana odzivom sistema 1.
reda na pobudu tipa Hevisajdovog impulsa koji, uz uslov da motor polazi iz hladnog stanja, ima izraz:
t


Δ  t   Pγ  RT   1  e T


,

gde T=RTCT vremenska konstanta zagrevanja motora.
Nominalna snaga gubitaka omogućuje da se odredi vrednost termičke otpornosti RT. Naime, pri postojanju
nominalne snage gubitaka u mašini, ona se posle dovoljno dugog vremena u takvim uslovima zagreje tačno do one
temperature koja je za izolaciju namotaja mašine definisana kao maksimalno dozvoljena nadtemperatura:
 max    t  , Pγ  Pγ,n   Pγ,n  RT
 RT 
 max
.
Pγ,n
Promena nadtemperature u slučaju kada u mašini postoje gubici P, različiti od P,n, može se iskazati kao:
  t   Pγ 
 max
Pγ,n
t


 1  e T


.

Ako se pogleda vrednost termogenih gubitaka koja se u mašini generiše u opisanom režimu u kome je rotor zaglavljen,
uočava se da je ona višestruko veća od njihove nominalne vrednosti. Stoga opisani režim rada može da traje, a da pri tome
ne dođe do trajnog oštećenja mašine, samo do onog trenutka u kom se rastuća vrednost nadtemperature ne izjednači sa
maksimalno dozvoljenom nadtemperaturom koja je predefinisana za korišćeni statorski i rotorski namotaj. Vreme tmax,
koje je potrebno da se predefinisana nadtemperatura uspostavi, može odrediti na sledeći način:
Δ  tmax   Δ max
 Pγ 
 max
Pγ,n
t
 max

 1  e T


  Δ max

 P
 tmax  T  ln 1  γ,n

Pγ


  0.964 min  57.8 s.

5. zadatak– rešenje
Zamenska šema asinhronog motora za ustaljena stanja:
IS
LγS
RS
US
Im
LγR
IR
Lm
RR
s
Nominalna vrednost sinhrone brzine, nS,n, iznosi:
nS,n  fS,n  60  3000
ob
.
min
Takođe se brzina može izraziti i u rad/s:
S,n  nS,n 
π
rad
.
 314.16
30
s
a)
Koristeći podatke o nominalnoj brzini (nn = 2850 ob/min) i nominalnoj vrednosti sinhrone brzine (nS,n = 3000 o/min)
može se izračunati nominalna vrednost relativnog klizanja za motorni režim rada:
sn 
nS,n  nn
nS,n
IS
 0.05 .
LγS
Im
Induktivnost magnetisanja Lm moguće je izračunati na osnovu ogleda praznog hoda (s
US
Lm
= 0) koristeći izmerenu struju praznog hoda (I0=8A) koja postoji u jednoj fazi
statorskog namotaja nominalno napajanog (US=Un=Ul,n/3=220V, fS=fS,n=50Hz),
neopterećenog asinhronog motora. Naime, kako vrednost RR/s teži beskonačnosti, to se
može konstatovati da je struja rotora u ogledu praznog hoda jednaka nuli, usled čega se
izjednačavaju struje statora i struja magnetisanja. Stoga se zamenska šema transformiše u šemu koja je data na slici pored,
odakle se izračunava vrednost Lm:
I0 
Un
Un

S,n   Lm  LγS  2  π  f S ,n  Lm
 Lm 
Un
 87.5 mH .
2  π  fS,n  I 0
Vrednost rotorske otpornosti RR i ekvivalentne induktivnosti rasipanja Le = 2  LS = 2  LR moguće je izračunati na osnovu
efektivne vrednosti polazne struje (Ipol = 80 A) i efektivne vrednosti nominalne struje motora (In =16A) koje se imaju pri
nominalnom napajanju. Pri tom izračunavanju je zanemarena struja magnetisanja (pogledati tekst zadatka). Usled toga je
opravdano i izjednačiti ekvivalentnu induktivnost rasipanja Le sa zbirom induktivnosti rasipanja statorskog i rotorskog
namotaja (LS+LR).
I pol 
Un
RR2  S,n  L e 
2
In 
Un
2
2
 RR 

  S,n  Lγe 
 sn 
Rešavanjem ovog sistema dobija se:
1
1
 2
2
I
I pol
RR  U n  n
 0.674 
1
1
sn2
1
LγS  LγR 

sn2
I n2
I2
1
Un
 
 pol 2
2 2 2  π  fS,n
1  sn
Lγe
 4.243 mH
b)
Na osnovu parametara zamenske šeme dobijenih u tački a) i uz zanemarenja struje magnetisanja izračunata je zavisnost
elektromagnetskog momenta od brzine obrtanja rotora asinhronog motora. Ta zavisnost predstavlja mehaničku
karakteristiku i prikazana je na slici ispod. Vrednost polaznog i prevalnog elektromagnetskog momenta se računa uz
pretpostavku da je vrednost magnetizacione struje značajno manja od struje statora i rotora, što značajno pojednostavljuje
račun.
Primetiti da veličina US u izrazu za moment, izvedena na predavanjima, nakon primene Klarkine transformacije sa
vodećim koeficijentom k = 2/3, predstavlja vršnu vrednost faznog napona statora, dakle, US = 1.4142  Un. Primetiti
takodje da je US2 = 2  Un2. Izraz za moment se, dakle, može iskazati tako da se faktor 3/2  US2 zameni faktorom 3  Un2.
Učestanost S se može izraziti kao 2    fs,nom, što izraz za moment svodi na oblik dat ispod grafika.
U n2
R
3

 R.
2
s
2  π  fS,n  R R 
2

   2  π  fS,n  Lγe 
 s 
Rezultati će biti prikazani u obliku uređenih trojki  M em ,  m , s  .
M em 
Režim polaska:
M pol  M em  s  1 
U n2
R
3
3
2

 R 
 I pol
 RR  41.2 Nm .
2


f
2  π  fS,n  R R 
1
2
π
2
S,n

   2  π  fS,n  Lγe 
 1 
Pri startovanju motora, uređena trojka ima vrednost:
 M em ,  m , s    41.2 Nm, 0 rad/s, 1 .
Nominalni režim rada:
M n  M em  s  sn  
U n2
R
3

 R  32.95 Nm .
2
2  π  fS,n  R 
sn
2
R

2

π

f

L




S,n
γe
 sn 
Za režim rada koji odgovara nominalno napajanom motoru uz nominalno opterećenje, uređena trojka ima vrednosti:
 M em ,  m , s    32.95 Nm, 298.5 rad/s, 0.05 .
Prevalni moment u motornom režimu rada:
Određivanje prevalnog momenta u motornom režimu rada podrazumeva prethodno određivanje prevalnog klizanja (izraz
je izveden na predavanjima):
spr,mot 
RR
 0.253 .
2  π  fS,n  Lγe
Prevalni moment u motornom režimu rada je:
M pr,mot  M em  s  spr,mot  
3

2  π  fS,n  R
 R
 spr,mot
U n2
2

RR
spr,mot

2
   2  π  fS,n  Lγe 

 86.7 Nm .
Prevalni moment u motornom režimu se postiže pri brzini rotora od:
 m,pr,mot  1  spr,mot   S,n  234.7
rad
.
s
Za režim rada koji odgovara nominalno napajanom motoru pri maksimalnoj vrednosti momenta, uređena trojka ima
vrednosti:
 M em ,  m , s   86.7 Nm, 234.7 rad/s, 0.253 .
Prevalnom momentu u generatorskom režimu rada će odgovarati vrednost relativnog klizanja koja je po apsolutnoj
vrednosti jednaka relativnoj vrednosti prevalnog klizanja koja se ima u motornom režimu rada, ali svojim negativnim
predznakom ukazuje na to da se radi o brzinama većim od sinhrone:
spr,gen   spr,mot  
RR
 0.253 .
2  π  fS,n  Lγe
Kako je otpornost statora zanemariva, zaključuje se da su apsolutne vrednosti prevalnih momenata u motornom i u
generatorskom režimu identične:
M pr,gen  M em  s  spr,gen  
3

2  π  fS,n  R
 R
 spr,gen
U n2
2

RR
spr,gen

2
   2  π  fS,n  Lγe 

  86.7 Nm .
Prevalni moment u generatorskom režimu se postiže pri brzini rotora od:
 m,pr,gen  1  spr,gen   S,n  393.6
rad
.
s
Za režim rada koji odgovara nominalno napajanom motoru pri maksimalnoj vrednosti momenta u generatorskom režimu,
uređena trojka ima vrednosti:
 M em ,  m , s    86.7 Nm, 393.6 rad/s,  0.253 .
c)
Faktor snage se može izračunati kao količnik realnog dela i modula ukupne impedanse koja se "vidi" sa statorskih
priključaka asinhrone mašine. Nominalnu vrednost faktora snage dobijamo za relativno klizanje nominalne vrednosti i pri
nominalnom napajanju na statorskim priključcima:
Z ul,n

R 
j2  π  fS,n  Lm   j2  π  fS,n  LγR  R 
sn 

 j2  π  fS,n  LγS 
 10, 06  j7,31   ZS,n  12.44  .
RR
 j2  π  fS,n   Lm  LγR 
sn
Faktor snage za nominalni režim rada je:
cos n  
Re  Z ul,n 
Z ul,n
 0.809  ind. .
Stepen korisnog dejstva predstavlja količnik izlazne mehaničke snage koja se ima na vratilu mašine, Pmeh, i ulazne
električne snage, Pe. U skladu sa pojednostavljenjima učinjenim u zadatku, (RS =0, zanemareni gubici u gvožđu,
zanemareni gubici usled trenja i ventilacije) može se konstatovati da je ulazna električna snaga jednaka snazi obrtnog
magnetskog polja, dok je izlazna mehanička snaga jednaka snazi elektromehaničkog pretvaranja, PmR (videti dijagram
toka snage u rešenju zadatka broj 5):
Pe  Pob
 R  0, P 
 K    0
stat
Fe
S
Pmeh  PmR
F
2
m
Stoga je stepen korisnog dejstva ove asinhrone mašine u nominalnom režimu rada jednak količniku nominalnih vrednosti
snage obrtnog polja i snage elektromehaničkog pretvaranja (naravno, uz zanemarene gubitke u gvožđu rotora):
n 
P
Pn
 ob,n  1  sn  0.95 .
Pe,n PmR,n
d)
Kod dvopolnih asinhronih mašina, kružna učestanost rotorske struje je jednaka vrednosti ugaone brzine klizanja k, koja
se definiše kao razlika brzine obrtnog polja u mašini i brzine rotora:
k   k  S   m  S  1  s   S  s  S  s  S .
Međutim, frekvencija rotorske struje fk ne može imati negativne vrednosti, pa se definiše kao:
fk 
k
2π

s  S
2π
 fS  s .
Frekvencija rotorske struje za nominalno napajan motor (fS=fS,n), biti:
f k  fS,n 1  50 Hz pri polasku,


f k  fS,n  spr,mot  12.65 Hz pri prevalnom momentu za motorni režim rada,

f k  fS,n  sn  2.5 Hz pri motornom režimu rada koji odgovara nominalnom opterećenju,

f k  fS,n  spr,gen  12.65 Hz pri prevalnom momentu za generatorski režim rada.
e)
Podsetnik (predavanja):
Mogu se relativizovati (svesti) efektivne vrednosti struje/napona/fluksa tako što se podele sa baznom vrednošću
struje/napona/fluksa. Moguće je, međutim, relativizovati i vršne vrednosti (tj. apsolutne vrednosti vektora u dq sistemu sa
k=2/3) tako što se dele sa vršnim baznim vrednostima (efektivne vrednosti su 1.4142 puta manje). U rešavanju zadataka iz
OG2EM, kod relativizacije, javljaće se efektivne vrednosti. Napomena: Kao bazne vrednosti, po pravilu se uzimaju
vrednosti nominalnog režima rada.
Kraj podsetnika
Sistem baznih veličina:

bazna vrednost napona:

bazna vrednost struje:

bazna vrednost kružne učestanosti:

bazna vrednost ugaone brzine:

bazna vrednost impedanse:

bazna vrednost fluksa:

bazna vrednost induktivnosti:

bazna vrednost snage:
U B  U f,n 
U l,n
3
 220 V
I B  I f,n  I n  16 A
rad
s

rad
 B  B  314.2
p
s
B  S,n  2  π  fS,n  314.2
Z B  RB 
UB
 13.75 
IB
B 
LB 
UB
B
 0.7 Wb
B
 43, 75 103 H
IB
PB  3  U B  I B  10560 W
Relativna (svedena) vrednost se izračunava deljenjem apsolutne vrednosti sa odgovarajućom baznom veličinom:
L*γS 
LγS
L*γR 
LγR
L*m 
Lm
 2  p.u. ,
LB
RR* 
RR
 0.049  p.u. .
ZB
LB
LB
 0.097  p.u. ,
 0.097  p.u. ,
Sinhrone mašine
6. zadatak– rešenje
a)
Ekvivalentna zamenska šema za ustaljenja stanja sinhronog motora, ima izgled:
IS
RS  0 jXS  jS  LS
U
jS R  jS R  jE0  E0
S
Fazorski dijagram sinhrone mašine za režim rada opisanan u zadatku, sa zanemarljivom otpornosti statorskog namotaja,
dat je na narednoj slici (usvojena je nulta vrednost faze za fazor fluksa koji rotor stvara u statorskom namotaju, R, što je
u skladu i sa oznakama na zamenskoj šemi):
q
jXSIS
E0
Us


IS
R
d
Sa  je označen ugao snage koji se definiše na sledeći način:
  arg U S   arg  E0  .
(Jednačine naponske ravnoteže u d i q osi, koje odgovaraju prikazanom fazorskom dijagramu su izvedene na
predavanjima i glase:
U d  U S  sin   RS  I d  S  LS  I q ,
U q  U S  cos   RS  I q  S  LS  I d  E0 .
Ako se zanemari otpornost statorskog namotaja, dobijaju se jednakosti:
U S  sin   S  LS  I q ,
U S  cos   S  LS  I d  E0 .
Rešavanjem prethodne dve jednačine, dolazi se do d i q komponente statorske struje, a zatim i do njene efektivne
vrednosti:
U S  sin 
S LS


U S2  E02  2  U S  E0  cos 

2
2
I

I

I

 4.721 A .
 S
d
q
U S  cos   E0 
S  LS
Id 

S  LS
Iq 
Digresija:
Do istog rezultata se moglo doći i direktnom primenom kosinusne teoreme na trougao koji formiraju tri napona na
fazorskom dijagramu.
Kraj digresije.
b)
Da bi se odredio faktor snage, najpre treba odrediti fazni stav između fazora statorskog napona i struje, . Da bi se on
izračunao, potrebno je izračunati fazu statorske struje:
U S  sin 
 3.501 A
S  LS



0
  I S  132.12 .
U  cos   E0
Id  S
 3.166 A 

S  LS
Iq 
Koristeći fazorski dijagram, određuje se vrednost faktora snage:
π
2
      I S  12.120  cos   0.9780  cap. .
Na osnovu fazorskog dijagrama, izračunatog faznog stava između napona i struje statora, kao i na osnovu vrednosti ugla
snage, može se zaključiti da sinhrona mašina radi kao motor (uzima snagu iz električnog podsistema i pretvara je u
mehaničku snagu), ali istovremeno i generiše reaktivnu snagu i ’’predaje’’ izvoru iz koga se napaja statorski namotaj.
c)
Prvo se računaju d i q komponente statorskog napona:
U d  U S  sin   110 V,
U q  U S  cos   190.5 V.
Tražene snage su:
Pe  3  Re S S  3  Re U S  I S*  3  U d  I d  U q  I q   3046 W,
Qe
 

 3  Im S   3  Im U
S
S

 I   3  U
*
S
q
 I d  U d  I q   654 VAr.
Algebarske vrednosti aktivne i reaktivne snage, potvrđuju tvrdnje iznete u komentaru na kraju rešenja tačke b) ovog
zadatka.
7. zadatak– rešenje
a)
U skladu sa generatorskim režimom rada, usvojen je i referentni smer statorske struje, takav da je struja usmerena ka
krajevima statorskih priključaka, što je prikazano na zamenskoj šemi ispod:
IG
RS  0 jXS  jS LS
U
jS R  jS R  jE0  E0
S
Poznavajući fazni stav između statorskog napona i struje i polazeći od pretpostavke da mašina radi kao generator, može se
nacrtati fazorski dijagram:
q
jXSIG
E0

Us

IG
d
Ako se uoči pravougli trougao prikazan na fazorskom dijagramu, i za njega napiše Pitagorina teorema, moguće je odrediti
vrednost sinhrone reaktanse:
E02  U S  cos    U S  sin 
2
E  U S  cos    U S  sin   X S  I G 
2
2
0
2

XS 
IG
 2.14 Ω .
b)
Određivanje ugla snage, :
U S  cos 

 0.661      48.620 
0
E0
   11.75 .


cos      cos     
  arccos  0.8   36.870
Digresija:
Ugao snage se smatra pozitivnim onda kada fazor napona prednjači elektromotornoj sili. Imajući u vidu ovako definisan
referentni smer ugla snage, ugao snage dat na slici je negativne vrednosti, što je računski i potvrđeno. Negativni predznak
ugla snage  predstavlja potvrdu da u datom režimu mašina radi kao generator.
Kraj digresije.
8. zadatak– rešenje
Na narednoj slici je data zamenska šema za ustaljena sinhrone mašine u generatorskom režimu rada:
IG
IjX
s S  jS  LS
RS
U
jS R  jS R  jE0  E0
S
Fazorski dijagram za generatorski režim rada, uz uvažavanje postojanja nenulte vrednosti otpornosti statorskog namotaja
je:
q
jXSIG
E

RSIS
Us
R
d
U opisanom radnom režimu pobudna struja Ip,1 se razlikuje od pobudne struje Ip,0 za koju je poznata vrednost
elektromotorne sile praznog hoda E0,max. Zato je potrebno odrediti novu vrednost elektromotorne sile E1 koja odgovara
pobudnoj struji Ip,1. Kako je elektromotorna sila praznog hoda proporcionalna pobudnoj struji (nelinearnost krive
magnetisanja se zanemaruje), važi sledeća relacija odakle se izračunava E1 :
E0,max
2
: I p,0  E1 : I p,1  E1 
E0,max I p,1

 282.8 V .
2 I p,0
a)
Usled obrtanja rotorskog polja, u fazama statorskog namotaja se indukuje prostoperiodična elektromotorna sila čija je
kružna učestanost (s) jednaka proizvodu broja pari polova (p) i ugaone brzine rotora (m). Kako se radi o dvopolnoj
mašini, tražena frekvencija fS jednaka je frekvenciji obrtanja rotora:
fS 
n
 75 Hz .
60
b)
Jednačine naponske ravnoteže u dq koordinatnom sistemu, koje opisuju ponašenje izotropnog sinhronog generatora u
stacionarnom stanju glase:
U d   RS  I d  X S  I q ,
U q   RS  I q  X S  I d  E1.
Treba uočiti da pri kratkom spoju na krajevima statorskog namotaja važi Ud=Uq=0. Na osnovu toga, prethodne jednakosti
postaju:
0   RS  I d,KS  X S  I q,KS ,
E1  RS  I q,KS  X S  I d,KS .
Rešavanjem sistema po komponentama statorske struje, dobija se:
XS

 E1 
2
X  RS

2
2
 IS,KS  I d,KS  I q,KS 
RS
 2
 E1 

X S  RS2
I d,KS 
I q,KS
2
S
E1
X S2  RS2
.
Digresija:
Treba konstatovati da se prethodni izraz za struju kratkog spoja jednostavno mogao dobiti i iz zamenske šeme kratkim
spajanjem statorskih priključaka:
IG,KS
RS
IjX
s S  jS LS
E1
Ako se za prethodnu šemu napiše 2. Kirhofov zakon u kompleksnom obliku:
E1  I G ,KS   RS  jX S 
iz njega se može dobiti isti izraz za efektivnu vrednost fazne struje, IS,KS.
Generator je putem vratila spregnut sa parnom ili vodenom turbinom koja daje pokretni moment M mG koji pospešuje
kretanje preuzimajući mehaničku snagu PmG .Ta snaga predstavlja ulaznu snagu generatora.U mašini se jedan deo ulazne
snage utroši na savladavanje otpora kretanju rotora snage P mG .Oduzimanjem snage gubitaka usled obrtanja rotora od
ulazne mehaničke snage dobija se unutrašnja mehanička snaga koja se pretvara u električnu. Dobijena električna snaga se
jednim delom utroši na gubitke u namotajima PCuG i gubitke u magnetskom kolu PFeG .Ostatak snage je na raspolaganju
električnim potrošačima koje napaja generator PeG .
Bilans snage sinhronog generatora:
PmG  P mG  PCuG  PFeG  PeG
Zanemarenjem gubitaka usled obrtanja rotora i snage gubitaka u magnetskom kolu bilans snage ima sledeci oblik:
PmG  PCuG  PeG
Komponente snage koje figurišu u prethodnom izraz dobijaju se tako što se nađe realni deo jednačine naponske ravnoteže
*
pomnožene sa 3  I G :
E 0  U S  RS  I G  j  X S  I G
E 0  U S  RS  I G  j  X S  I G   3  I *G
*
*
3  E 0  I G  3  U S  I G  3  RS  I G2  j  3  X S  I G2

Re 3  U

I  P
*
Re 3  E 0  I G  PmG
S
*
G
eG
3  RS  I G2  PCuG
U generatorskom režimu rada pretvaranje energije unutar mašine ima drugačiji smer u odnosu na motorni režim rada , jer
se mehanički rad pretvara u električnu energiju.Na osnovu toga važe sledeće relacije:
PmG   Pem
PeG   Pe
Pri cemu je Pem snaga elektromehaničkog pretvaranja, a Pe je aktivna snaga koju mašina uzima iz mreže.
Kraj digresije.
Frekvencija statorske struje je određena brzinom obrtanja rotora i jednaka je već izračunatoj vrednosti od 75Hz. Stoga će
vrednost sinhrone reaktanse biti:
S  2  π  fS  471.2
fS  75 Hz 
rad
s

X S  S  LS  23.56 Ω .
Efektivna vrednost statorske struje koja postoji u svakoj fazi statorskog namotaja:
IS,KS 
E1
X  RS2
2
S
 11.91 A .
Kada nastupi kratak spoj, sva energija koja se pretvara iz mehaničke u električnu disipira na omskoj otpornosti statorskog
namotaja:


Pem  M em   m  3  Re E0  I *G  3  RS  I G2
 M em  
2
3  RS  I G,KS
m

2
3  RS  I G,KS
S
 2.709 Nm .
M em je elektromagnetski moment koji se opire kretanju rotora.
c)
U slučaju da se otpornost statorskog namotaja može zanemariti, maksimum snage elektomehaničkog pretvaranja se
postiže za =/2 (za motorni režim rada) i =-/2 (za generatorski režim rada). Dokaz ove tvrdnje je izveden na
predavanjima. U našem slučaju se traži maksimum iste snage, ali u realnom slučaju nenulte otpornosti statorskog
namotaja. Postupak se sastoji u nalaženju izraza za snagu elektromehaničkog pretvaranja Mem u funkciji ugla snage , da
bi se zatim, diferenciranjem tog izraza odredila njena ekstremna vrednost i vrednost ugla snage za koji se ona postiže.
U   RS  sin   X S  cos    E1  X S
 Id  S
X S2  RS2


E  R  U S   X S  sin   RS  cos  
U q  U S  cos    RS  I q  X S  I d  E1  I q  1 S
X S2  RS2
U d  U S  sin    RS  I d  X S  I q


Pem  3  Re E1  I G*  3E1  I q  3  E1 
Pem
0 

U S   X S  sin   RS  cos    E1  RS
X S  cos  max  RS  sin  max
X S2  RS2
 tg max 
XS
RS
.
X 
  max    arctg  S   97.30  900 .
 RS 
Digresija:
Uočava se da je granični ugao snage u generatorskom režimu rada manji od -900, a u motornom režimu rada manji od 900.
To istovremeno znači (videti predavanja) da se oblast stabilnog rada u generatorskom režimu proširuje, dok se u
motornom režimu sužava.
Kraj digresije.
Zbog sprege u zvezdu, efektivna vrednost faznog napona statora iznosi:
US 
300
V  173.2 V .
3
Zamenom vrednosti za izračunati ugao snage u izraze za struje Id i Iq, dobija se:
U S   RS  sin  max  X S  cos  max   E1  X S

 11.81 A 
X R

2
2
 IS  I d  I q  14.73 A .
E1  RS  U S   X S  sin  max  RS  cos  max 
 8.8 A 
Iq 

X S2  RS2

Id 
2
S
2
S
Sa poznatim uglom snage, mogu se odrediti vrednosti d i q komponenti statorskog napona i struje:
U d  U S  sin  max  171.8 V,
U q  U S  cos  max  22.01 V.
Izračunavanje aktivne i reaktivne snage u opisanom režimu rada:
PeG  3  Re S eG  3  Re U S  I *G  3  U d  I d  U q  I q   5506 W,
QeG
 

 3  Im S   3  Im U
eG
S

  3  U
 I *G
q
 I d  U d  I q   5315 VAr.
U skladu sa usvojenim referentnim smerom statorske struje, tumačenje dobijenih vrednosti aktivne i reaktivne snage je
sledeće:
 sinhroni generator isporučuje mreži aktivnu snagu u iznosu od 5506 W,
 sinhroni generator uzima iz mreže reaktivnu snagu u iznosu od -5315 VAr.
9. zadatak– rešenje
Slika koja opisuje način povezivanja sinhronog generatora sa navedenim opterećenjem je prikazana ispod:
Ropt
SM
Ropt
m, Mmeh
Ropt
Zamenska šema za stacionarna stanja ima sledeći izgled:
IG
IjX
s S  jS LS
Ropt
U
E0
S
Fazorski dijagram koji odgovara prethodnoj zamenskoj šemi je prikazan na narednoj slici:
q
jXSIG
E0
Us

IG
d
Iz zamenske šeme se vidi da su statorska struja i napon u fazi. Zbog toga će naponski vektori na fazorskom dijagramu
formirati pravougli trougao. To nam omogućava da napišemo relaciju koja povezuje statorski napon, struju generatora i
elektromotornu silu praznog hoda:
E02  U S2   X S  I G  ,
2
iz koje se može izraziti statorska struja kao:
IG 
E02  U S2
.
XS
Snaga koja se razvija na trofaznom otporniku je:
E02  U S2
PR  3 U S  I G  3  U S 
XS
.
Iz prethodnog izraza se vidi da je za postizanje maksimalne snage, uz konstantnu vrednost statorskog napona, US=220V,
potrebno primeniti što veću vrednost elektromotorne sile praznog hoda. Međutim postojanje zasićenja ograničava
maksimalnu vrednost elektromotorne sile praznog hoda na:
E0  E0,max  500 V .
Sada je moguće odrediti vrednost maksimalne snage, kao:
PR,max  3  U S 
2
 U S2
E0,max
XS
 148.2 kW .
Vrednost otpornosti Ropt je određena uslovom da se na izlaznim priključcima ima statorski napon US:
Ropt 
US

IG
US  X S
2
E0,max
 U S2
 0.98  .
b)
Nakon dodavanja trofaznog kapacitivnog opterećenja, izgled celog sistema je kao na slici ispod:
Copt
SM
Ropt
Ropt
m, Mmeh
Copt
Copt
Ropt
Novi izgled zamenske šeme za stacionarna stanja je: IG
IjX
s S  jS LS
j
1
SCopt
 jX opt
Ropt
E0
Pri rešavanju ovog zadatka je daleko pogodnije koristiti fazorski dijagram u kom bi se fazoru statorskog napona dodelila
poznata vrednost faze (usvojiće se nulta vrednost faze), a ne kao što je to uobičajeno da se faza od 900 usvoji za fazor
elektromotorne sile praznog hoda:
q
E0
jXSIG

IG
Us
d
Zbog postojanja kapacitivnog opterećenja, narušena je kolinearnost fazora statorske struje i napona. Ako se fazor
elektromotorne sile praznog hoda i statorskog napona napiše kao :
E0  E0,d  jE0,q i U S  U S ,
moguće je napisati jednačinu po 1. Kirhofovom zakonu za jedan od dva čvora na prethodonoj zamenskoj šemi:
E  jE0,q  U S
US
U
 S  0,d
.
jX opt Ropt
jX S
Prethodna kompleksna jednakost se može rastaviti na dve realne jednačine:

X 
 E0,d  U S  1  S   110 V.
 X 
opt 

U S  E0,q
U X
U2
.
 Ropt  S S  PR  3  S  3 
E0,q
Ropt
XS
E  US
US
 0,d
X opt
XS
U S E0,qS

Ropt
XS
Iz transformisanog izraza za snagu trofaznog termogenog potrošača, uočava se sad veća vrednost snage može postići
povećanjem q komponente elektromotorne sile praznog hoda. Ponovo se zasićenje javlja kao ograničavajući faktor, jer se
ima uslov:
2
2
E0  E0,d
 E0,q
 E0,max .
U cilju postizanja maksimalne snage, određuje se E0,q :
2
2
E0,q  E0,max
 E0,d
 487.7 V .
Vrednost otpornosti Ropt je:
Ropt 
US  X S
 0.902  ,
E0,q
dok je maksimalna snaga koja se na njemu može razviti, uz konstantni napon na izlazu generatora:
PR  3 
U S  E0,q
XS
 160.9 kW .
Download

Rešenja drugi deo