UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
redovni profesor
dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el.
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 2
Električne mreže sa vremenski promenjivim strujama
Istočno Sarajevo, 2014.
Sadržaj
1. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA ..................... 4
1.1. Pojam promenjive struje ........................................................................................................... 4
1.2. Osnovni elementi u mrežama sa vremenski promenjivim strujama ........................................ 5
1.2.1. Otpornik ............................................................................................................................. 6
1.2.2. Induktivni kalem (idealan).................................................................................................. 6
1.2.3. Kondenzator (idealan)........................................................................................................ 7
1.3. Kirhofovi zakoni za mreže sa vremenski promenjivim strujama .............................................. 8
1.4. Snaga u mrežama sa vremenski promenjivim strujama .........................................................10
1.5. Osnovne razlike mreža sa vremenski konstantnim i promenjivim strujama .........................12
2. OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA...............14
2.1. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama ...........................................14
2.2. Prostoperiodične veličine........................................................................................................15
2.3. Poređenje prostoperiodičnih veličina .....................................................................................17
2.4. Srednja i efektivna vrednost ...................................................................................................19
2.5. Osnovni pasivni elementi u prostoperiodičnom režimu ........................................................22
2.5.1. Otpornik ...........................................................................................................................22
2.5.2. Kalem ................................................................................................................................23
2.5.3. Kondenzator .....................................................................................................................24
2.6. Rešavanje mreža u prostoperiodičnom režimu u vremenskom domenu ..............................26
2.7 Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pomoću obrtnih vektora (fazora) .........................27
2.7.1. Obrtni vektori ...................................................................................................................28
2.7.2. Zaustavljeni obrtni vektori ...............................................................................................29
2.7.3. Fazorski dijagrami.............................................................................................................30
2.7.4. Redna veza otpornika i kalema ........................................................................................31
2.7.5. Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora. Rezonansa ............................................33
2.7.6. Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora. Antirezonansa .................................34
2.8. Snaga u mrežama sa prostoperiodičnim strujama .................................................................35
2.8.1. Trenutna i srednja snaga prijemnika ...............................................................................35
2.8.2. Prividna snaga prijemnika ................................................................................................36
2.8.3. Faktor snage prijemnika ...................................................................................................36
2.8.4. Reaktivna snaga prijemnika .............................................................................................36
2.8.5. Faktor reaktivnosti prijemnika .........................................................................................37
3. REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA KOMPLEKSNIM
RAČUNOM ..........................................................................................................................................38
3.1. Predstavljanje fazora kompleksnim brojevima.......................................................................38
3.2. Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku. Impedansa i admitansa .........................................39
3.2.1. Kompleksna impedansa i admitansa ...............................................................................41
3.2.2. Rezistansa, reaktansa, konduktansa i susceptansa .........................................................42
3.2.3. Određivanje napona između dve tačke ...........................................................................43
3.3. Redna, paralelna i mešovita veza prijemnika. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i
trougao ...........................................................................................................................................44
3.3.1. Redna veza prijemnika .....................................................................................................44
3.3.2. Paralelna veza prijemnika ................................................................................................45
3.3.3. Mešovite veze prijemnika ................................................................................................46
3.3.4. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao ............................................................47
3.3.5. Ekvivalencija naponskog i strujnog generatora ...............................................................50
3.4. Metoda konturnih struja u kompleksnom obliku ...................................................................50
2
3.5. Metoda potencijala čvorova u kompleksnom obliku .............................................................51
3.6. Kompleksna snaga prijemnika i generatora............................................................................52
3.7. Teoreme električnih mreža u kompleksnom obliku ...............................................................54
3.7.1. Teoreme linearnosti .........................................................................................................54
3.7.2. Teoreme reciprociteta (uzajamnosti) ..............................................................................55
3.7.3. Teoreme kompenzacije ....................................................................................................56
3.7.4. Teorema ekvivalentnog generatora (Tevenenova i Nortonova teorema) ......................57
3.7.5. Teoreme održanja kompleksne i trenutne snage ............................................................58
3.7.6. Prilagođenje prijemnika na generator (prilagođenje po snazi) .......................................59
3.7.7. Popravka faktora snage....................................................................................................61
4. ELEKTRIČNE MREŽE SA MAGNETSKI SPREGNUTIM GRANAMA .....................................................64
4.1. Kola sa spregnutim kalemovima .............................................................................................64
4.2. Osnovni pojmovi o transformatoru u linearnom radnom režimu..........................................67
4.2.1. Savršeni i idealni transformator.......................................................................................69
4.2.2. Autotransformator ...........................................................................................................71
5. TROFAZNI SISTEMI..........................................................................................................................72
5.1. Osnovni pojmovi o monofaznim i polifaznim elementima.....................................................72
5.2. Trofazni elementi ....................................................................................................................72
5.2.1. Trofazni generatori...........................................................................................................72
5.2.2. Trofazni prijemnici ...........................................................................................................73
5.2.3. Priključivanje prijemnika na trofazne generatore ...........................................................74
5.3. Simetrični, direktni i inverzni sistemi ......................................................................................75
5.4. Analiza trofaznih kola ..............................................................................................................79
5.4.1. Veza prijemnika u zvezdu.................................................................................................80
5.4.2. Veza prijemnika u trougao ...............................................................................................81
5.5. Snage trofaznih generatora i prijemnika ................................................................................81
5.6. Prednosti trofaznog sistema nad monofaznim.......................................................................83
5.7. Trofazni transformator............................................................................................................84
5.8. Obrtno magnetsko polje .........................................................................................................85
5.8.1. Osnovni pojmovi o obrtnom magnetskom polju, sinhronim i asinhronim motorima ....85
5.8.2. Dvofazno obrtno magnetsko polje ..................................................................................86
5.8.3. Trofazno obrtno magnetsko polje ...................................................................................88
6. FREKVENTNE ZAVISNOSTI ..............................................................................................................89
6.1. Otpornik, kalem i kondenzator ...............................................................................................89
6.2. Redno i paralelno oscilatorno kolo .........................................................................................90
6.3. Rezonantne i antirezonantne pojave u složenijim mrežama sa jednim parom krajeva ........92
6.4. Ponašanje realnih elemenata pri visokim učestanostima ......................................................92
LITERATURA ........................................................................................................................................94
3
ELEKTRIČNE MREŽE SA VREMENSKI
PROMENJIVIM STRUJAMA
1. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI
PROMENJIVIM STRUJAMA
1.1. Pojam promenjive struje
U tehničkoj praksi se češće koriste mreže sa vremenski promenjivim strujama nego mreže sa
vremenski konstantnim strujama (na primer, prenos električne energije od elektrane do potrošača).
Prenos radio signala, TV signala, signala mobilne telefonije, radarskih signala vrši se samo pomoću
vremenski promenjivih struja, posredstvom elektromagnetskih talasa koje takve struje proizvedu.
U mrežama sa promenjivim strujama, kao što im ime kaže, struje i naponi se menjaju u funkciji
vremena. Te promene mogu biti različite. Pod vremenski promenjivom strujom, za razliku od
vremenski konstantne struje (slika 1.1a) podrazumeva se struja koja u toku vremena menja:
- samo intenzitet (slika 1.1b i e), ili
- samo smer (slika 1.1f), ili
- jedno i drugo (slika 1.1 c i d).
Struja prikazana na slici 1.1a je vremenski konstantna (stalna), a sve ostale su promenjive.
Standardno je da se stalne veličine označavaju velikim slovom (na primer za struju I), a promenjive
malim slovom (i).
Postoje različite klasifikacije promenjivih struja. Promenjive veličine se mogu podeliti na:
- aperiodične (slike 1.1d) i
- periodične (ostale slike osim 1.1a i d.
Prema matematičkoj definiciji, periodične funkcije vremena, f (t ) , su one funkcije za koje
postoji pozitivna veličina T takva da za svako t važi f (t + T ) = f (t ) . Najmanja veličina T naziva se
(osnovni) period periodične funkcije f (t ) . Funkcije koje nisu periodične, nazivaju se aperiodičnim.
Struje prikazane na slikama 1.1a b i e imaju uvek isti smer. Takve veličine su jednosmerne u
širem smislu. Sve ostale struje povremeno menjaju smer i predstavljaju naizmenične veličine u
širem smislu.
Meñutim, termini ''jednosmerne struje'' i ''naizmenične struje'' koriste se u Elektrotehnici i u
drugim, užim značenjima. Tako se pod jednosmernim strujama u užem smislu podrazumevaju samo
stalne struje. Pod naizmeničnim strujama u užem smislu podrazumevaju se samo simetrične
periodične veličine (slike 1.1c i f). Za njih važi f (t + T / 2) = − f (t ) , gde je T period. U još užem
smislu, pod naizmeničnim strujama se podrazumevaju samo sinusoidalne funkcije vremena (slika
1.1c), koje se nazivaju i sinusnim ili prostoperiodičnim veličinama.
Periodične veličine koje nisu prostoperiodične, mogu se, Furijeovom analizom, predstaviti kao
zbir (konačnog ili beskonačnog broja) sinusoidalnih funkcija. Zato se takve veličine nazivaju i
složenoperiodičnim.
Postoje i druge podele. Na primer, struja sa slike 1.1d se ne može opisati analitički, a sve ostale
mogu, pa se razlikuju analitičke i neanalitičke veličine. U elementarnim teorijskim razmatranjima
obično se uzimaju veličine čiji je analitički oblik (funkcija vremena) poznat u svakom trenutku
4
vremena, −∞ < t < +∞ . Takve veličine se nazivaju determinističkim. Za razliku od njih, u većini
praktičnih situacija, naponi i struje su poznati samo u prošlosti, ali ne i u budućnosti, a nazivaju se
nedeterminističkim ili stohastičkim veličinama.
U ovom predmetu, bavićemo se od podpoglavlja 2.2 nadalje, uglavnom, kolima sa
prostoperiodičnim strujama i naponima.
Na slici 1.1 su prikazane samo struje, ali te iste slike mogu predstavljati napone u kolu. Struje i
naponi koji su funkcije vremena (slike1.1b do f) nazivaju se signali. Signal na slici 1.1b naziva se
''podignuta'' sinusoida, na slici 1.1d je prikazan signal koji odgovara ljudskom govoru, na slici 1.1e
su unipolarni pravougaoni impulsi, a na slici 1.1f bipolarni pravougaoni impulsi.
Slika 1.1. Primeri promene struja zavisno od vremena
1.2. Osnovni elementi u mrežama sa vremenski promenjivim strujama
U mrežama sa vremenski promenjivim strujama koristi se veliki broj različitih elemenata.
Obično se dele na:
- aktivne (pretvaraju neku drugu vrstu energije u energiju vremenski promenjivog
električnog polja); primer: elektronske cevi, tranzistori;
- pasivne (nemaju tu osobinu); primer: otpornici, kondenzatori, poluprovodničke diode.
U mrežama sa vremenski promenjivim strujama ćemo posmatrati četiri osnovna elementa:
- generatore (naponske i strujne),
- linearne otpornike,
- kondenzatore sa linearnim dielektrikom,
- kalemove bez feromagnetskog jezgra (odnosno sa feromagnetskim jezgrom ali u
linearnom režimu).
Mreže sa takvim elementima se nazivaju linearne mreže. Kasnije ćemo ovim elementima
priključiti i magnetski spregnuta kola (spregnute kalemove) i transfomatore kao primer spregnutih
kola.
Kao i kod vremenski konstantnih struja i ovde se uvodi pojam referentnog smera, ali je
ovde smisao drugačiji. Za takvu struju (napon) kažemo da je pozitivna u onim intervalima u kojima
joj se stvarni smer poklapa sa referentnim, a da je negativna u suprotnom. U istom smislu važe
pojmovi usaglašeni smerovi za napon i struju prijemnika i generatora1, onako kako su definisani
1
Neki autori usklañeni smer napona i struje generatora, onako kako smo ga mi definisali, nazivaju neusklañeni.
5
kod vremenski konstantnih struja (slika 1.2). Za prijemnik, dakle, važi da je pozitivan onaj kraj u
koji struja ulazi, a za generator onaj kraj gde struja izlazi.
Slika 1.2. Usaglašeni smerovi u, i, e za generatore i prijemnik
Sa stanovišta teorije električnih mreža, ponašanje nekog elementa karakterišemo isključivo
vezom izmeñu napona koji postoji izmeñu njegovih priključaka i jačine struje kroz te priključke.
Sada ćemo definisati te veze za osnovne elemente: otpornik, kalem i kondenzator.
1.2.1. Otpornik
Pod otpornikom se podrazumeva element za koji, u skladu sa referentnim smerovima (slika
1.3a) za napon u (t ) izmeñu njegovih priključaka i jačinu struje i (t ) kroz njega važi
u (t ) = R i (t )
gde je R otpornost otpornika, koja je konstanta (ne zavisi ni od priključenog napona, ni od struje
koja kroz njega protiče), pa je relacija linearna. Inverzna relacija (istovremeno dualna relacija) glasi
i(t ) = G u (t ) , gde je G provodnost otpornika ( RG = 1 ). Iz relacija se vidi da se napon i struja otpornika
uvek menjaju na isti način. Na primer, ako je struja otpornika bipolarna povorka pravougaonih
impulsa (slika 1.3b), onda je i napon otpornika istog oblika.
Slika 1.3. Otpornik: a) simbol, b) primer napona i struje
1.2.2. Induktivni kalem (idealan)
Kada u kalemu postoji promenjiva struja, u njemu se indukuje elektromotorna sila. Ta ems
dΦ (t )
je, po Faradejevom zakonu, eind (t ) = − dt , a računa se u odnosu na referentni smer struje. Kako je
u (t ) = −eind (t ) (zbog referentnih smerova sa slike 1.4a) i Φ (t ) = Li (t ) (gde je L induktivnost kalema,
koja je konstanta), dobijamo relaciju izmeñu napona i struje idealnog kalema,
u (t ) = L
di (t )
dt
(prema referentnim smerovima kao na slici 1.4a). Gornja relacija važi ako indukovano električno
polje postoji samo u kalemu (izvan kalema B = 0 i E ind = 0 ), a specifična provodnost žice kalema
veoma velika, tj. ako je napon izmeñu priključaka kalema isti duž bilo koje putanje van kalema.
6
Drugim rečima, kod računanja napona kalema zamišljamo da putanja integracije prolazi
pored kalema (a ne kroz kalem), kao što je crticama označeno na slici 1.4a.
Veza izmeñu napona i struje kalema je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je
jednoznačna: ako je poznata struja, napon je potpuno odreñen. Inverzna relacija je nejednoznačna i
glasi
i (t ) =
1
u (t ) dt + I 0 ,
L∫
gde je I 0 integraciona konstanta. Drugim rečima, ako je napon kalema poznat, struja je odreñena sa
tačnošću do aditivne konstante. Ta konstanta se, pri rešavanju kola, odreñuje na osnovu nekog
dodatnog uslova; na primer, na osnovu poznate jačine struje u jednom trenutku vremena (početni
uslov).
Napon kalema je, dakle, srazmeran prvom izvodu struje po vremenu. Obrnuto, struja je
srazmerna integralu napona. U opštem slučaju, stoga, napon i struja kalema se ne menjaju na isti
način, tj. funkcionalno nisu dati istim izrazima. Kao primer, na slici 1.4b, pretpostavljeno je da je
struja kalema bipolarna povorka trougaonih impulsa. Napon kalema ima tada oblik bipolarne
povorke pravougaonih impulsa.
Slika 1.4. Kalem: a) simbol, b) primer napona i struje
1.2.3. Kondenzator (idealan)
Opterećenost kondenzatora je srazmerna naponu, Q (t ) = Cu (t ) , gde je C kapacitivnost
kondenzatora. Opterećenost se računa u odnosu na referentni smer struje. Pri tome je naelektrisanje
gornje elektrode kondenzatora jednako opterećenosti, Q(t ) , a naelektrisanje donje elektrode je uvek
suprotno, −Q (t ) , slika 1.5a. Kada je napon kondenzatora promenljiv, menja se i njegova
opterećenost, a u provodnicima kondenzatora postoji struja i(t ) =
i (t ) = C
dQ (t )
. Odavde sledi relacija
dt
du (t )
dt
(prema referentnim smerovima kao na slici 1.5a), koja je dualna relaciji za kalem (struja i napon su
zamenili mesta). Zato su i ostali rezultati za kalem i kondenzator dualni.
Nagomilano naelektrisanje postoji, po pretpostavci, samo u kondenzatoru, ali je ukupno
naelektrisanje njegove dve elektrode jednako nuli. Da bi jednačina kontinuiteta, primenjena na
zatvorenu površ, dala prvi Kirhofov zakon,
∫ J ⋅ dS = 0 ,
S
ta površ ne sme proći izmeñu elektroda
kondenzatora, odnosno treba da zaobiñe zatvorenu površ označenu na slici 1.5a.
Veza izmeñu struje i napona je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je jednoznačna:
ako je poznat napon, struja je potpuno odreñena. Inverzna relacija je integralna i glasi
u (t ) =
1
i (t ) dt + U 0 ,
C∫
7
gde je U 0 integraciona konstanta. Dakle, ako je struja kondenzatora poznata, napon je odreñen sa
tačnošću do aditivne konstante (koja se može odrediti, na primer, iz početnog uslova).
Na slici 1.5b je pretpostavljeno da je napon kondenzatora bipolarna povorka trougaonih
impulsa. Struja kondenzatora ima tada oblik bipolarne povorke pravougaonih impulsa.
Slika 1.5. Kondenzator: a) simbol, b) primer napona i struje
1.3. Kirhofovi zakoni za mreže sa vremenski promenjivim strujama
Neka se električna mreža sastoji od proizvoljnog broja elemenata i stanje u mreži se može
smatrati kvazistacionarnim2 (kvazistacionarnost detaljnije objašnjavamo u odeljku 1.5), tada za
svaki čvor mreže, u svakom trenutku, važi I Kirhofov zakon (I KZ)
n
∑ i (t ) = 0
k =1
k
gde je n – broj grana koje se stiču u čvoru. Ako je referentni smer struje od čvora, u zbiru se uzima
predznak “+”, a ako je ka čvoru “-“. Može se postaviti (nč − 1) linearno nezavisnih jednačina.
Posmatrajmo deo neke električne mreža, kao na slici 1.6. Elementi mreže mogu biti
generator (strujni i naponski), otpornik, kalem, kondenzator i bilo koji drugi elementi (pa na slici
1.6 nisu korišćeni simboli za R, L, C). Pošto su elementi takvi da se izvan njih zapaža samo
kvazistacionarna komponenta električnog polja, napon izmeñu krajeva elemenata jednak je razlici
potencijala izmeñu tih krajeva, pa je napon (razlika potencijala) izmeñu bilo koje dve tačke A i B
u mreži
u AB (t ) = {∑ u (t )}od A do B
Pri sumiranju, pri kretanju od A ka B duž grane, predznak “+” se uzima ako se prvo naiñe na
referentni kraj, u suprotnom se uzima “-“.
Za primer na slici 1.6. za napon izmeñu tačaka A i B računat duž putanje ACEDB (dakle
idući od A ka B) je
u AB (t ) = −u1 (t ) + u2 (t ) − u3 (t ) − u4 (t )
Ako se napon računa istom putanjom, ali idući od B ka A, koristi se relacija
u AB (t ) = {∑ u (t )}od B do A
ali se sada predznak “+” se uzima ako se prvo naiñe na kraj koji nije referentni, u suprotnom se
uzima “-“.
Za isti primer na slici 1.6. za napon izmeñu tačaka A i B računat duž putanje BDECA (dakle
idući od B ka A) je
2
Ako stanje nije stacionarno, površina koja obuhvata čvor mora biti vrlo mala.
8
u AB (t ) = −u4 (t ) − u3 (t ) + u2 (t ) − u1 (t )
što je isti rezultat kao i prethodni.
Slika 1.6. Uz objašnjenje računanja razlike potencijala
Ako se tačke A i B poklope, napon izmeñu njih je jednak nuli
n
∑ u (t ) = 0
k =1
k
što predstavlja II Kirhofov zakon (II KZ), koji važi za svaku zatvorenu konturu3 formiranu od
grana mreža, u svakom trenutku. Predznaci se uzimaju na način kao kada se računa razlika
potencijala tačaka A i B, ali idući od tačke B ka tačci A, odnosno ako se smer obilaska konture i
smer napona poklapaju uzima se predznak “+”, u suprotnom “-“ (referentni smer napona je od kraja
označenog sa “-“ prema kraju označenom sa “+”). Može se postaviti nk = ng − (nč − 1) linearno
nezavisnih jednačina.
Na primer, jednačina po II KZ za konturu ACDBEA je:
u1 (t ) + u5 (t ) + u4 (t ) − u7 (t ) + u6 (t ) = 0
Na isti način bi postupali ako bi imali poznate elemente (R, L, C) u granama. Na primer za
mrežu na slici 1.7, II KZ za konturu sa pet grana je (“+” se uzima ako se prvo naiñe na kraj koji nije
referentni)
5
∑ u (t ) = e(t ) − u (t ) + u (t ) + u (t ) + u (t ) = 0
k =1
k
R1
L
R2
C
Ovim jednačinama treba pridružiti relacije izmeñu struja i napona grana. Te relacije
imaju različite oblike, zavisno od elemenata grane. Najjednostavniji slučajevi su idealni generatori
(naponski i strujni) i otpornici. Tada su relacije opet jednostavne algebarske jednačine. Meñutim,
kod kalemova i kondenzatora, kao što smo videli u odeljcima 1.2.2 i 1.2.3, jednačine koje opisuju te
elemente su diferencijalne jednačine prvog reda (sa konstantnim koeficijentima). Alternativno,
kalemovi i kondenzatori se mogu opisati integralnim jednačinama, ali se takav postupak retko
primenjuje u praksi zbog integracionih konstanti.
Prema tome, prethodna relacija se može napisati u obliku:
e (t ) − R1i R1 (t ) + L
di (t )
1
+ R2 i R2 (t ) + ∫ iC (t )dt + U C0 = 0
dt
C
Može se uočiti da ovde, za razliku od mreža sa vremenski konstatntnim strujama ne
dobijamo sistem linearnih algebarskih jednačina, jer se pored samih struja pojavljuju i njihovi
izvodi i integrali po vremenu, pa rešavanje nije jednostavno.
3
Važi za kvazistacionarna polja, inače postoji indukovana ems u provodniku.
9
Vremenska promena struje i napona može biti, teorijski bilo kakva. Najjednostavniji ali i
najvažniji slučaj je kada se napon i struja menjaju na jedan ustaljen način, na primer po
prostoperiodičnom (sinusnom) zakonu. Takvo stanje se naziva ustaljeno stanje.
Slika 1.7. Uz objašnjenje pisanja jednačina po II KZ za kolo promenjivih struja
Drugi, praktično važan, slučaj je promena napona i struja prilikom promene radnog režima
(uključivanje generatora prostoperiodične struje u mrežu ili isključivanje iz mreže). Tada dolazi do
postepenog uspostavljanja ili isčezavanja struje. Proces je obično brz, ali nije trenutan. Isto se
dogaña i pri uključivanju ili isključivanju generatora vremenski konatantne ems. Odreñivanje
napona i struje u ovom slučaju je znatno složenije od analize ustaljenog stanja. Ovakva stanja se
nazivaju prelazni procesi (režimi).
Dakle, mreža se može opisati sistemom algebarskih jednačina i linearnih diferencijalnih
jednačina. Da bi se rešavanje pojednostavilo, videćemo da, ako u kolu postoji prostoperiodični
režim (kada su svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste učestanosti), zadatak rešavanja
kola je odreñivanje efektivnih vrednosti i početnih faza napona i struja, što je znatno jednostavnije.
1.4. Snaga u mrežama sa vremenski promenjivim strujama
Posmatrajmo bilo kakav prijemnik sa dva kraja (priključka), priključen na napon u (t ) . Neka
je i (t ) jačina struje kroz priključke prijemnika (slika 1.8a). U intervalu vremena dt kroz prijemnik
proñe količina elektriciteta dq (t ) = i (t )dt . Prema definiciji napona, u tom intervalu dt električne
sile su izvršile rad
dAel .sila (t ) = u (t )i (t )dt
pa je trenutna vrednost snage prijemnika (snaga prijemnika u tom trenutku, snaga prijemnika je
brzina vršenja rada), za referentne smerove kao na slici 1.8a,
p (t ) = u (t )i(t )
Ukupna energija koja se predaje prijemniku od nekog trenutka t 0 do nekog kasnijeg trenutka
t dobija se kao zbir (odnosno integral) radova električnih sila u tom vremenskom intervalu
t
Ael. sila od t 0 do t = ∫ u (t )i (t )dt
t0
Posmatrajmo idealni generator vremenski promenjive ems ili struje (slika 1.8b). Trenutna
vrednost snage generatora (tj. snaga koju generator predaje ostatku kola), za referentne smerove kao
na slici 1.8b, je
p g (t ) = u g (t )ig (t )
10
a)
b)
Slika 1.8. Usaglašeni smerovi za napon i struju: a) za prijemnik, b) za generator
Rad generatora od trenutka t 0 do nekog kasnijeg trenutka t je
t
Agen. od t 0 do t = ∫ u g (t )ig (t )dt
t0
Svi izrazi važe za referentne smerove kao na slikama 1.8a i b. Ako se promeni referentni
smer za napon ili struju, izrazi dobijaju predznak “-“.
U slučaju vremenski promenjivih struja, p g (t ) i p (t ) mogu u toku vremena biti pozitivni i
negativni. Zbog toga i rad generatora i rad električnih sila pri održavanju struje kroz prijemnik mogu
u nekom intervalu biti bilo pozitivni bilo negativni.
Uz usvojene referentne smerove, u intervalima vremena kada je snaga prijemnika negativna
( p (t ) < 0 ), on se ponaša kao generator, tj. deo ranije dobijene energije vraća mreži. U intervalima
kada je p (t ) > 0 , prijemnik se zaista ponaša kao prijemnik.
Primer 1.1. Kondenzator kapacitivnosti C priključen je na napon u (t ) , slika 1.9a. Napon
u (t ) se menja kao na slici 1.9b (isto kao na slici 1.5b). Na osnovu opšte relacije koja povezuje struju
du (t )
, i poznatog zakona promene napona, može se odrediti
i napon kondenzatora i (t ) = C
dt
zakonitost promene struje kroz kondenzator (slika 1.9b). Na osnovu relacije za snagu p(t ) = u (t )i(t ) ,
lako se nacrta i grafik promene snage (slika 1.9b).
Slika 1.9. Kondenzator: a) usaglešeni smerovi za napon i struju, b) grafici napona, struje i snage
U intervalima u kojima je p (t ) < 0 , energija iz kondenzatora se vraća mreži u kojoj je
kondenzator uključen. Iz tog razloga se kondenzator naziva reaktivni element. Ista je situacija i sa
kalemom.
11
1.5. Osnovne razlike mreža sa vremenski konstantnim i promenjivim
strujama
Kod analize mreža sa vremenski konstantnim strujama, videli smo da se one sastoje od dva
osnovna elementa: generatora (naponskog i strujnog) i otpornika, koji su meñusobno, na proizvoljne
načine, povezani provodnim žicama čija je otpornost ili zanemarivana ili uračunata u otpornost
grane. Na kraju smo dodali i treći element, kondenzator, a ovde i kalem, koji smo obrañivali u
elektromagnetizmu.
U mrežama sa vremenski promenjivim strujama koristi se veliki broj različitih elemenata.
Kod promenjivih polja se javljaju efekti koji ne postoje kod vremenski konstatnih struja:
- kroz priključke kondenzatora može postojati promenjiva struja, iako kroz kondenzator ne
postoji galvanska veza izmeñu priključaka (u vremenski konstatntnim strujama kondenzator se
ponaša kao otvorena veza, tj. stalna struja ne teče kroz kondenzator);
- u poslednjem poglavlju elektromagnetizma je pokazano da su vremenski promenjive struje
uvek praćene vremenski promenjivim indukovanim električnim poljem, koje u provodnicima koji se
u njemu nalaze, indukuju elektromotornu silu (ems). Posredstvom tog indukovanog električnog
polja postoji sprega izmeñu grana mreže, koja zavisi od oblika grana i njihovog meñusobnog
položaja. Zbog toga jačine struja grana zavise, u izvesnoj meri, od geometrijskog oblika mreže. To
usložnjava analizu ovih mreža;
- elektromagnetska indukcija (pojava ems u provodnoj konturi) nije uslovljena postojanjem
konture, jer je svako promenljivo magnetsko polje praćeno promenjivim električnim poljem, i
obratno. Time se objašnjava pojava elektromagnetskih talasa (EMT). U vezi sa tim je konačna
brzina postiranja EMT (najveća brzina je brzina svetlosti) i pojava kašnjenja.
Primer 1.2. Za geostacionarni satelit na visini oko 30000 km iznad površi Zemlje, vreme
potrebno da EMT sa Zemlje stigne do satelita je
tk =
l 30000km
=
= 0,1s
c
5 km
3 ⋅ 10
s
Za telefonsku vezu ukupno kašnjene je 0,2 s u smeru od jednog do drugog pretplatnika.
Toliko je i u obrnutom smeru, što se primećuje u razgovoru.
Promenjiva polja se dele u dve grupe izmeñu kojih ne postoji oštra granica. Prva grupa su
polja koja se menjaju dovoljno sporo da se efekti prostiranja mogu zanemariti. To su
sporopromenjiva ili kvazistacionarna (kvazistatička) polja. Takva polja, odnosno stanja, ćemo
izučavati u elektrotehnici.
Druga grupa su brzopromenjiva polja (pojava kašnjenja se nemože zanemariti), gde spadaju
i EMT.
Primer 1.3. Posmatrajmo prostoriju dužine l = 6m , i polje elektroinstalacija f = 50 Hz Vreme
prostiranja elektromagnetskog polja je t = l = 6m = 20 ⋅ 10 −9 s = 20ns Period (ciklus) ovog polja
k
c
T=
3 ⋅ 10 5
km
s
1
1
=
= 0,02 s = 20ms >> t k , odnosno t k << T pa je polje kvazistacionarno (ili preko talasne
f 50 s −1
dužine λ =
c
= 6000km >> l ).
f
12
Primer 1.4. Za distributivnu mrežu elektroenergetskog sistema na teritoriji l = 3000km
l
3000km
=
= 10 − 2 s = 10ms ≈ T = 20ms
, pa stanje nije kvazistacionarno (u ovom slučaju
km
c
3 ⋅ 10 5
s
λ = 6000km = 2l ).
tk =
Primer 1.5. U prostoriji dužine l = 6m posmatrajmo EMT radio i TV prijemnika, na primer
FM radio prijemnika f = 100 MHz ( λ = 3m ≈ l ), ili t k = 20ns ≈ T = 10ns pa je ovo polje
brzopromenjivo.
Prema tome periodično polje je kvazistacionarno ako su dimenzije prostora (domena) u
kome se polje posmatra mnogo manje od talasne dužine ( λ << l ) ili polje je kvazistacionarno ako
mu je period mnogo veći od najvećeg vremena kašnjenja u posmatranom domenu ( t k >> T ).
Na kraju još da konstatujemo:
opšte jednačine mreža sa vremenski promenjivim strujama razlikuju se od jednačina za
mreže sa vremenski konstantnim strujama. Može se govoriti samo o trenutnim vrednostima
ems, napona, struje i snage, tj. vrednostima tih veličina u nekom trenutku,
jednačine iz kojih treba izračunati struje grana sadrže izvode i integrale struja po
vremenu, pa je računanje složeno. Meñutim, u slučaju prostoperiodičnih generatora iste
učestanosti jednačine je moguće svesti na formalno isti oblik kao u slučaju vremenski
konstantnih struja. U nastavku ćemo se baviti upravo metodama za rešavanje takvih mreža.
13
2. OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA
PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA
2.1. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama
Pod vremenski periodičnim veličinama podrazumevaju se veličine čije se vrednosti u
jednakim vremenskim razmacima ponavljaju. Na primer periodični napon (slika 2.1). Neka je T
(naziva se period ili ciklus) interval vremena posle koga se vrednosti ponavljaju. Matematički
periodična funkcija f (t ) , očigledno, mora da u bilo kom trenutku t zadovoljava uslov
f (t + nT ) = f (t ), n = ..., - 2,-1,1,2, ...
Slika 2.1. Primer periodične promene napona
Period T se izražava u sekundama (s). U toku jednog perioda posmatrana veličina izvrši sve
svoje promene (koje se zatim periodično ponavljaju), ili se kaže da je izvršen jedan ciklus. Tako
period predstavlja dužinu trajanja jednog ciklusa periodične funkcije.
Neka je t N vreme za koje periodična funkcija izvrši N potpunih ciklusa. Odnos f = N / t N
naziva se učestanost (frekvencija) periodične funkcije. Ako je N=1, onda je t1 = T , pa je
f =
1
T
Ova relacija daje vezu učestanosti i perioda. Učestanost je brojno jednaka broju ciklusa
periodične funkcije u jedinici vremena, i ne mora biti ceo broj. Izražava se u hercima (Hz), koji
predstavlja
1
= s −1 . Na primer učestanost struje gradske mreže u Evropi je 50 Hz, a u Severnoj
s
Americi 60 Hz. Opseg učestanosti signala govora je od 20 Hz do 20 kHz, EMT u radiodifuziji je
150 kHz do 100 MHz, TV kanala 50 MHz do 1000 MHz, veza preko satelita 4 do 15 GHz.
U elektrotehnici najvažniju ulogu imaju periodične veličine koje se menjaju po sinusnom ili
kosinusnom zakonu. Pošto su matematički najjednostavnije dobile su naziv prostoperiodične
funkcije. Kako smo kod definicije pojma promenjive struje naveli, sve ostale periodične funkcije se
nazivaju periodične ili složenoperiodične da bi se istakla razlika.
Razmatraćemo prostoperiodične struje i napone. Tada je analiza prostija nego za neku drugu
periodičnu promenu struja.
14
2.2. Prostoperiodične veličine
Na slici 2.2 su prikazane sinusna funkcija ( y = sin x ) i kosinusna funkcija ( y = cos x ).
Matematički, argument obeju funkcija (x) je čist broj, a predstavlja ugao izražen u radijanima (rad).
Ove funkcije su periodične, sa osnovnim periodom 2π . Obe funkcije su ograničene po modulu
( | y |≤ 1 , odnosno −1 ≤ y ≤ 1 ), tj. maksimumi su 1, a minimumi -1. Maksimumi i minimumi se javljaju
alternativno, sa periodom 2π . Obe funkcije imaju nule koje se ponavljaju sa periodom π . Sinusna
funkcija je neparna, a kosinusna parna.
Izmeñu sinusne i kosinusne funkcije postoje, izmeñu ostalih, veze
sin x = cos( x − π / 2) i
sin x = cos(π / 2 − x) .
Prva od tih veza će nam biti važnija jer ukazuje na to da se sinusna funkcija može dobiti od
kosinusne pomeranjem duž x-ose (translacijom) za četvrtinu perioda ( π / 2 ) udesno. I obrnuto,
kosinusna funkcija se može dobiti translacijom sinusne za četvrtinu perioda ulevo.
Slika 2.2. Sinusna i kosinusna funkcija
U Elektrotehnici se pod prostoperiodičnom strujom (slika 2.3) podrazumeva struja (i) koja je
u, funkciji vremena (t), data analitičkim izrazom
i (t ) = I m cos(ω t + ψ)
(*)
gde su I m , ω i ψ konstante. Ova jednačina je kanonični oblik prostoperiodične struje4.
U jednačini (*), i(t ) je trenutna jačina struje (trenutna vrednost). Konstanta I m ( I m > 0 )
naziva se amplitudom prostoperiodične struje. Amplituda je ista po prirodi kao i trenutna vrednost,
pa su im i jedinice iste (amper). Zbog ograničenosti kosinusne funkcije, maksimalna trenutna
vrednost jednaka je I m , a minimalna − I m , odnosno − I m ≤ i (t ) ≤ I m .
Argument kosinusa u jednačini (*) je linearna funkcija vremena ( ωt + ψ ), a naziva se fazom
(trenutnom fazom). Matematički, to je neimenovani broj, odnosno odgovara uglu izraženom u
radijanima (rad). Za t = 0 , faza je jednaka ψ, a naziva se početnom fazom. Početna faza se izražava
u radijanima. S obzirom na periodičnost funkcije (*), početna faza je odreñena sa tačnošću od 2kπ ,
gde je k ceo broj ( k = 0, ± 1, ± 2,... ). Stoga se početna faza svodi na interval čija je širina 2π , najčešće
na − π < ψ ≤ π , odnosno ψ ∈ (−π, π] . Ako početna faza nije u tom intervalu može se svesti na taj
interval.
Primer 2.1. Neka imamo prostoperiodičnu struju i (t ) = I m cos(ω t + 7,1π ) . Taj izraz se može
napisati i u obliku i (t ) = I m cos(ω t + 8π − 0,9π ) , odnosno i (t ) = I m cos(ω t − 0,9π ) .
Alternativno, za kanonični oblik se može usvojiti i (t ) = I m sin(ω t + ψ ) , što se koristilo u starijoj literaturi. Otuda naziv
sinusna struja.
4
15
Početna faza, očigledno, može biti pozitivna ili negativna. Uočiti da slika 2.3 odgovara
slučaju ψ > 0 , a da je maksimum funkcije (*) koji je najbliži koordinatnom početku5 apscisne ose u
trenutku t = −ψ / ω . (Ako je ψ > 0 , taj maksimum je levo od koordinatnog početka, ako je ψ < 0 , taj
maksimum je desno od koordinatnog početka, a ako je ψ = 0 , maksimum je u koordinatnom
početku.)
Konstanta ω ( ω > 0 ) predstavlja brzinu kojom se faza menja, a naziva se kružnom (ili
ugaonom) učestanošću. Jedinica kružne učestanosti je s −1 ili, ekvivalentno, rad/s .
Period prostoperiodične veličine je T = 2π / ω . Recipročna vrednost perioda je frekvencija
(učestanost), f = 1 / T , a može se protumačiti kao broj perioda u jedinici vremena. Jedinica
frekvencije je herc (Hz). Izmeñu kružne učestanosti i ''obične'' učestanosti postoji relacija ω = 2πf .
Slika 2.3. Uz definiciju prostoperiodične funkcije
Posmatrajmo šta se dešava sa prostoperiodičnom funkcijom (*) ako se promeni samo jedna
od konstanti I m , ω i ψ slika 2.4). Zamislimo jedan skup tih konstanti. Njemu odgovara funkcija
označena sa I m cos(ωt + ψ) na slici 2.4.
Slika 2.4. Uticaj pojedinih parametara na prostoperiodičnu funkciju
Ako se amplituda poveća dva puta, dobija se funkcija označena sa 2 I m cos(ωt + ψ) , čije se
ekstremne vrednosti dobijaju množenjem faktorom 2 ekstremnih vrednosti funkcije I m cos(ωt + ψ) .
Na apscisu se može naneti proizvod ω t umesto vremena t. Tada je period jednak 2π , a maksimum najbliži
koordinatnom početku je za ωt = −ψ . Ako se na apscisu nanosi proizvod c t onda jedan period odgovara λ .
5
16
Ako se kružna učestanost poveća dva puta (ekvivalentno, ako se učestanost poveća dva puta,
odnosno period smanji dva puta), dobija se ''gušća'' sinusoida, označena sa I m cos( 2ωt + ψ) . Obrnuto,
smanjivanjem kružne učestanosti sinusoida se ''razreñuje''.
Najzad, ako se početna faza poveća za ∆ψ (konkretno, sa π / 6 na π / 3 , odnosno ∆ψ = π / 6 ),
grafik funkcije se pomera ulevo za ∆ψ / ω , što odgovara funkciji označenoj sa I m cos(ωt + 2ψ) .
Obrnuto, smanjivanje početne faze pomera grafik udesno.
Iako su sve definicije navedene za struju, one važe i za druge linearne veličine u kolu, kao
što je napon. Kanonični oblik prostoperiodičnog napona je
(**)
u (t ) = U m cos(ω t + θ) ,
gde je U m amplituda napona (izražava se u voltima), ω kružna učestanost, a θ početna faza. Oznake
početnih faza napona i struje se razlikuju iz operativnih razloga.
Za elektromotornu silu koristićemo izraz
e(t ) = Em cos(ω t + θ e )
Ako su u nekom električnom kolu svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste
učestanosti, kaže se da u kolu postoji (ustaljeni) prostoperiodični režim. (Amplitude struja i
napona su pri tome proizvoljne, kao što su i početne faze proizvoljne.) Takav režim nastaje u
linearnoj mreži (kolu)6 pod dejstvom prostoperiodičnih eksitacija (naponskih i strujnih generatora)
istih učestanosti.
Kada budemo analizirali kola u prostoperiodičnom režimu, implicitno ćemo podrazumevati
da je učestanost (odnosno kružna učestanost) poznata. U tom slučaju, svaka prostoperiodična
veličina (napon, struja) je potpuno odreñena svojom amplitudom i početnom fazom.
2.3. Poređenje prostoperiodičnih veličina
Posmatramo prostoperiodičan režim u nekom kolu. Dve prostoperiodične veličine iste
prirode, na primer, dva napona u tome kolu, u1 (t ) = U1m cos(ω t + θ1 ) i u 2 (t ) = U 2m cos(ω t + θ2 ) , mogu se
porediti po amplitudi i po fazi (slika 2.5).
Kod poreñenja po amplitudi, za napon čija je amplituda veća, kažemo da je veći, iako se
izmeñu njihovih trenutnih vrednosti ne može uspostaviti relacija koja bi važila nezavisno od
vremena. Konkretno, na slici 2.5 je U 2m = 0,7U1m , pa je U1m > U 2m i za napon u1 kažemo da je veći
od napona u2 , iako je u nekim trenucima vremena u1 (t ) > u 2 (t ) , a u nekim u1 (t ) < u 2 (t ) .
Kod poreñenja po fazi, uvodi se razlika faza (fazna razlika),
θ12 = (ω t + θ1 ) − (ω t + θ 2 ) = θ1 − θ 2 .
Ta razlika, očigledno, ne zavisi od vremena, a jednaka je razlici početnih faza (ako je kružna
učestanost ista). Pošto svaka početna faza može biti u poluzatvorenom intervalu (− π, π] , ovako
izračunata razlika faza može biti u poluzatvorenom intervalu (−2π,2π] . Meñutim, zbog periodičnosti
funkcija u1 (t ) i u 2 (t ) , razlika faza se svodi na interval širine 2π , najčešće na (−π, π] , tj. − π < θ12 ≤ π .
Ako je θ12 > 0 , promene u1 (t ) prednjače promenama napona u 2 (t ) . Na primer, maksimumi
napona u1 (t ) nastaju pre maksimuma napona u 2 (t ) . Kaže se da tada napon u1 (t ) fazno prednjači
naponu u 2 (t ) za θ12 . To je konkretno slučaj na slici 2.5 jer je za nju uzeto θ1 = π / 6 i θ 2 = −π / 4 , pa je
6
Kako smo ranije rekli, za mrežu (kolo) se kaže da je linearna ako se sastoji od idealnih (nezavisnih) naponskih i
strujnih generatora i linearnih pasivnih elemenata (otpornika, kalemova i kondenzatora).
17
θ12 = 5π / 12 .
Slično,
sinusna
funkcija
je
kosinusna
funkcija
zakašnjena
sin α = cos(α − π / 2) . Nacrtajte sami takav primer za struje, napon, ili struje i napon.
za
π /2,
tj.
Ekvivalentno tome, kaže se da napon u1 (t ) prednjači (u vremenu) naponu u 2 (t ) za θ12 / ω .
Sinusoida na slici 2.5 koja predstavlja u1 (t ) pomerena je ulevo u odnosu na sinusoidu koja
predstavlja u 2 (t ) .
Za tu istu situaciju, kaže se da napon u 2 (t ) fazno zaostaje (kasni) za naponom u1 (t ) za θ12 ,
odnosno napon u 2 (t ) kasni za naponom u1 (t ) za ∆θ / ω .
Ako je θ12 < 0 , onda napon u1 (t ) fazno zaostaje za naponom u 2 (t ) za | θ12 | itd. Jasno je da se
kod poreñenja po fazi mora voditi računa o redosledu veličina koje se porede, tj. koja je veličina
prva, a koja druga.
Slika 2.5. Uz objašnjenje poreñenja dva prostoperiodična napona po amplitudi i fazi
Ako je fazna razlika dve prostoperiodične veličine jednaka nuli, kaže se da su te dve veličine u
fazi (slika 2.6a). Ako je fazna razlika jednaka ± π , kaže se da su te dve veličine u protivfazi (slika
2.6b). Tada je kašnjenje, odnosno prednjačenje jednako polovini perioda ( T / 2 ), a te dve veličine su
uvek suprotnih znakova. Najzad, ako je fazna razlika jednaka ± π / 2 (prednjačenje, odnosno
kašnjenje je ±T / 4) , kaže se da su te dve veličine u kvadraturi (slike 2.6c, u1 (t ) prednjači, i 2.6d,
u 2 (t ) prednjači).
Vrednost početne faze je vezana za izabrani referentni smer. struje, napona ili ems. Promena
referentnog smera menja znak ispred izraza trenutne vrednosti te veličine. Kako je
− i (t ) = − I m cos(ω t + Ψ ) = I m cos(ω t + Ψ ± π ) to je promena referentnog smera ekvivalentna
promeni početne faze za + π odnosno − π . Pri tome se usvaja onaj znak koji obezbeñuje da
modifikovana faza bude u intervalu (− π, π] .
Dve prostoperiodične veličine različite prirode (a istih učestanosti), na primer, napon
u (t ) = U m cos(ω t + θ) i struja i (t ) = I m cos(ω t + ψ ) , mogu se porediti isključivo po fazi. Tada se uvodi
fazna razlika
φ=θ−ψ ,
sa istom diskusijom kao za dve prostoperiodične veličine iste prirode.
Napomenimo da za prostoperiodični režim u nekom kolu, početne faze napona i struja
zavise od izbora početnog trenutka ( t = 0 ). U praksi, trenutak t = 0 može, na primer, odgovarati
početku ispisivanja vremenske baze osciloskopa pomoću koga se posmatraju te veličine. Promenom
(pomeranjem) početnog trenutka za ∆t menjaju se početne faze svih veličina za isti iznos, −ω∆t . Pri
tome se fazne razlike ne menjaju jer se članovi −ω∆t potiru pri računanju razlika.
18
Slika 2.6. Dva prostoperiodična napona: a) u fazi, b) u protivfazi, c) u kvadraturi (u1 prednjači), d)
c) u kvadraturi (u2 prednjači)
U analizi kola u prostoperiodičnom režimu početni trenutak se može zadati, na primer,
definisanjem početne faze jedne prostoperiodične veličine. Meñutim, ako taj početni trenutak nije
unapred definisan, imamo slobodu da ga proizvoljno odaberemo. Jedan od čestih izbora se svodi na
to da usvojimo da početna faza neke prostoperiodične veličine u kolu bude jednaka nuli. No, pri
tome ne smemo proizvoljno usvojiti početnu fazu nijedne druge prostoperiodične veličine, već ih
odreñivati u odnosu na proizvoljno usvojenu, da ne bismo narušili fazne razlike koje objektivno
postoje u posmatranom kolu.
2.4. Srednja i efektivna vrednost
U ovom odeljku ćemo definisati srednju i efektivnu vrednost. Definicije se odnose na bilo
kakve periodične veličine (napone, struje), a ne samo na prostoperiodične veličine
Matematički, srednja vrednost funkcije f (t ) na intervalu t ∈ ( a, b) generalno definiše se
b
izrazom f sr = b − a ∫ f (t ) dt . Posebno, ako je funkcija f (t ) periodična sa periodom T, usrednjavanje se
a
1
1
radi na intervalu čija je širina jednaka periodu, odnosno f sr = T
a +T
∫ f (t ) dt , gde je
a proizvoljna
a
konstanta. Tako definisana srednja vrednost ne zavisi od a. Često se u računu uzima a = 0 , odnosno
f sr
1
=
T
T
∫
f (t ) dt , odnosno za struju
0
T
1
I sr = ∫ i (t ) dt
T 0
ili a = −T / 2 , imamo
f sr =
1
T
T /2
∫ f (t ) dt .
−T / 2
U Elektrotehnici se srednja vrednost naziva i jednosmernom komponentom (zbog Furijeove
analize).
19
Primer 2.2. Ako je maksimalna trenutna vrednost struja sa slika 2.7a i 2.7b jednaka I m ,
onda je srednja vrednost obe struje jednaka I m / 2 , što lako možete pokazati sami, analitički, a u
ovim slučajevima i grafički.
Slika 2.7. Primeri periodičnih veličina gde se srednja vrednost može računati i grafički
Srednja vrednost simetričnih periodičnih veličina je nula.
Primer 2.3. Srednja vrednost prostoperiodične struje (slika 2.8a), i simetrične bipolarne
povorke pravougaonih impulsa (slika 2.8b) jednaka je nuli. Dokaz je očigledan jer su geometrijske
površine iznad i ispod t-ose jednake, ali se površina iznad ose uzima kao pozitivna, a ona ispod ose
kao negativna. Stoga se te dve površine potiru u zbiru. Može se pokazati i analitički (uradite sami).
Slika 2.8. Srednja vrednost prostoperiodične struje (a)
i simetrične bipolarne povorke pravougaonih impulsa (b) je nula
Primer 2.4. U nekim tehničkim primenama (na primer, kod usmerača) javlja se funkcija
oblika u (t ) = U m cos ωt (slika 2.9). Period ove funkcije je π / ω , odnosno dva puta je manji od perioda
funkcije U m cos ωt . Srednja vrednost funkcije sa slike 2.9 (srednja vrednost ''usmerene'' ili
''ispravljene'' (ko)sinusoide) je u (t ) = U sr =
π ( 2ω )
ω
2
U m cos ωt dt = U m = 0,637U m .
∫
π −π ( 2 ω )
π
Slika 2.9. Uz izračunavanje srednje vrednosti "ispravljene kosinusoide"
20
Efektivnu vrednost ćemo definisati na jednom primeru. Posmatrajmo otpornik prikazan na
slici 2.10, u kome postoji periodična struja i(t ) čiji je period T. Trenutna snaga otpornika je
p (t ) = Ri 2 (t ) . Srednja snaga otpornika (usrednjena tokom jednog perioda) je jednaka
T
P=
T
1
1
p (t) dt = ∫ Ri 2 (t ) dt = RI 2 , gde je (ako je R=1)
∫
T 0
T 0
T
1 2
I=
i (t ) dt
T ∫0
Prethodni izraz predstavlja definiciju efektivne vrednosti struje i (t ) . Efektivnu vrednost
ćemo označavati velikom slovom bez indeksa, mada su u upotrebi i oznake I ef i I eff .
Slika 2.10. Uz definiciju efektivne vrednosti struje
Efektivnoj vrednosti struje se može dati sledeća fizička interpretacija. Posmatramo otpornik
sa slike 2.10. U jednom slučaju u otporniku imamo posmatranu periodičnu struju i(t ) . U drugom
slučaju zamislimo da u otporniku postoji vremenski konstantna (stalna) struja I, takva da je srednja
snaga otpornika u intervalu T ista u oba slučaja. Pošto je snaga otpornika pri jednosmernoj struji,
P = RI 2 , konstantna, odavde sledi da jačina stalne struje treba da bude jednaka efektivnoj vrednosti
periodične struje. Uočimo da su oznake za efektivnu vrednost periodične struje i jačinu stalne struje
iste, kao i oznake za srednju snagu, odnosno snagu. To neće dovesti do zabune jer, u nastavku,
nećemo istovremeno posmatrati stalne i promenjive struje.
Efektivna vrednost prostoperiodične struje i (t ) = I m cos ω t jednaka je
I =
1
T
T
2
2
∫ I m cos ω t d t =
0
I m2
T
1 + cos 2 ω t
dt =
∫0
2
T
I m2
T
T
∫
0
I2
dt
+ m
2
T
T
∫
0
cos 2 ω t
dt
2
odnosno
Im
2
=
I m ≈ 0,707 I m
2
2
Odavde se amplituda prostoperiodične struje može izraziti preko efektivne vrednosti kao
I=
I m = 2 I ≈ 1,414I
Naravno, isti oblik izraza važi i za efektivnu vrednost prostoperiodičnog napona,
Napomenimo da su praktično svi instrumenti koji mere prostoperiodične veličine (struje i
napone) baždareni tako da pokazuju efektivnu vrednost. Razlog je u tome što je u tehničkim
primenama efektivna vrednosti veoma važna jer se na osnovu nje računaju snage. Kao primer,
efektivna vrednost napona na koji se priključuje monofazni prijemnik u domaćinstvu (sijalica,
računar) je 230 V . Zbog takve važnosti efektivnih vrednosti, kanonični oblik prostoperiodične
veličine ćemo, umesto u obliku i(t ) = I m cos(ω t + ψ) (videti odeljak 2.2), češće pisati u obliku
i(t ) = I 2 cos(ω t + ψ)
21
U analizi kola u prostoperiodičnom režimu, svaka prostoperiodična veličina (napon, struja)
je stoga potpuno odreñena svojom efektivnom vrednošću i početnom fazom.
Ilustracije radi, pokažimo i primer proračuna efektivne vrednosti za periodičnu veličinu.
Primer 2.5. Efektivna vrednost periodičnog napona sa slike 2.11 je
U =
1
2
T
T /2
∫
0
2
 Um 
t  dt =

T /2 
U m2
U
= m = 0 ,577 U m
3
3
Slika 2.11. Primer periodičnog testerastog napona
2.5. Osnovni pasivni elementi u prostoperiodičnom režimu
da
su
elementi
priključeni
na
prostoperiodični
napon
i
treba
odrediti
trenutnu
vrednost
struje
i
trenutnu
snagu.
Referentni
u (t ) = U m cos(ω t + θ )
Pretpostavljamo
smerovi su usklañeni kao za prijemnik.
2.5.1. Otpornik
Neka imamo otpornik kao na slici 1.3a. Za njega važi opšti izraz u (t ) = Ri (t ) (videti odeljak
1.2.1). Odatle je struja i (t ) = u (t ) . Posle zamene izraza za u (t ) , dobijamo
R
Um
cos (ωt + θ )
R
Iz poreñenja ovog izraza sa opštim (kanoničnim) oblikom izraza za prostoperiodičnu struju
i (t ) = I m cos(ω t + ψ ) , sledi da je amplituda struje I m = U m odnosno efektivna vrednost struje
i (t ) =
R
U
I = , a početna faza struje ψ = θ . Prema tome struja kroz otpornik je takoñe prostoperidična, i u
R
fazi sa naponom. Kod otpornika, napon i struja su u fazi (pri usklañenim referentnim smerovima;
pri neusklañenim smerovima su u protivfazi), ali to nije tako kod drugih prijemnika. Stoga se, kao
karakteristika prijemnika, uzima i fazna razlika napona i struje prijemnika (pri usklañenim
referentnim smerovima)7: φ = θ − ψ . Kod otpornika, φ = 0 .
Grafički prikaz napona i struje dat je na slici 2.12a (pretpostavljeno je da je θ = 0 ).
Trenutna snaga otpornika (snaga koju otpornik prima od ostatka kola) jednaka je
p (t ) = u (t ) i (t ) = R i 2 (t ) = G u 2 (t ) = u 2 (t ) / R = i 2 (t ) / G . Kod otpornika je uvek p(t ) ≥ 0 , tj.
otpornik se uvek ponaša kao prijemnik. Snaga otpornika je nula samo u trenucima kada je struja
jednaka nuli, ili, što je isto, kada je napon jednak nuli.
7
Ova fazna razlika jednaka je argumentu kompleksne impedanse prijemnika, pojam koji ćemo uvesti u odeljku 3.2.1.
22
Snaga otpornika u prostoperiodičnom režimu je8
p(t ) = u (t ) i (t ) = 2 RI 2 cos 2 (ω t + ψ ) = RI 2 [1 + cos(2ω t + 2ψ )] = GU 2 [1 + cos(2ω t + 2θ )] .
Ta snaga je jednaka zbiru jedne konstante ( RI 2 = GU 2 ) i jednog prostoperiodičnog člana čija
je učestanost dva puta viša od učestanosti struje, odnosno napona (slika 2.12b). Srednja vrednost tog
prostoperiodičnog člana jednaka je nuli, pa je srednja snaga otpornika P = RI 2 = GU 2 , što se i
moglo očekivati na osnovu definicije efektivne vrednosti.
Slika 2.12. Talasni oblici napona i struja (a) i snage (b) otpornika priključenog na prostoperiodični
napon
2.5.2. Kalem
Na isti način, kao za otpornik, za kalem na slici 1.4a, polazeći od opšteg izraza za struju kroz
1
posle
zamene
izraza
za
napon,
dobijamo
kalem
i (t ) = ∫ u (t ) dt + I 0 ,
L
i(t ) =
U
1
U m cos(ωt + θ ) dt + I 0 = m sin(ωt + θ ) + I 0 (imajući u vidu da je
∫
L
ωL
1
∫ cos ax dx = a sin ax ),
gde I 0
predstavlja moguću vremenski konstantnu struju kroz kalem (tzv. jednosmerna komponenta). U
prostoperiodičnom režimu I 0 = 0 .
Imajući u vidu da je sin (ωt + θ ) = cos ωt + θ − π  , dobijamo

i(t ) =
2
Um
π

cos ωt + θ − 
2
ωL 
Poreñenjem sa kanoničnim izrazom za prostoperiodičnu struju, sledi I m =
I=
Um
odnosno
ωL
π
U
, i ψ = θ − . Prema tome struja kroz kalem je takoñe prostoperidična, ali kasni za naponom
ωL
2
π
π
T
φ=
vremenski za četvrtinu perioda ( ), odnosno fazno za
. Kod kalema,
2
napona i struje dat je na slici 2.13a (pretpostavljeno je da je θ = 0 ).
4
2
. Grafički prikaz
Slika 2.13. Napon i struja (a) i snaga (b) kalema priključenog na prostoperiodični napon
8
Koristi se trigonometrijska transformacija cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) .
2
23
Primer 2.6. Neka je kalem priključen na prostoperiodičan napon efektivne vrednosti
U = 230V , učestanosti 50 Hz , i neka je efektivna vrednost struje kroz kalem I = 10 A . Odrediti
induktivnost tog kalema. Koristeći se izrazom I =
U
U
, dobija se L =
= 0,07 H = 70mH .
ωL
ωI
Trenutna snaga kalema (snaga koju kalem prima od ostatka kola), u opštem slučaju, je
p (t ) = u (t ) i (t ) = L i (t )
d i (t )
d 1
 d W L (t ) ,
2
=
 Li ( t )  =
dt
dt  2
dt

1 2
Li (t ) magnetska energija akumulirana u kalemu. U intervalu vremena kada struja
2
kalema raste po apsolutnoj vrednosti, raste i magnetska energija, pa je p (t ) > 0 i kalem se ponaša kao
prijemnik, uzimajući energiju od ostatka kola. Meñutim, u intervalu vremena kada struja kalema
opada po apsolutnoj vrednosti, opada i magnetska energija, pa je p (t ) < 0 i kalem se ponaša kao
generator, vraćajući energiju ostatku kola. Napomenimo da je kalem pasivni element. On se ne
može neograničeno dugo ponašati kao generator, već samo dok se ne iscrpi magnetska energija
akumulirana u njemu.
Snaga kalema u prostoperiodičnom režimu je9
p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = 2 ω LI 2 cos (ω t + θ ) sin (ω t + θ ) = ω LI 2 sin (2 ω t + 2θ )
gde je WL (t ) =
Ta snaga ima samo prostoperiodični član čija je učestanost dva puta viša od učestanosti
struje, odnosno napona. Srednja vrednost snage jednaka je nuli, što je u skladu sa činjenicom da je
kalem pasivni element bez gubitaka. Tokom jedne četvrtine perioda struje (odnosno napona) kalem
prima energiju iz kola, da bi je tokom sledeće četvrtine u potpunosti vratio kolu (slika 2.13b).
2.5.3. Kondenzator
Za kondenzator na slici 1.5a, polazeći od opšteg izraza i (t ) = C
napon,
dobija
se
i (t ) = C
d
[U m cos(ωt + θ )] = −ωCU m sin (ωt + θ ) ,
dt
d u (t )
dt
, posle zamene izraza za
imajući
u
vidu
da
izvod
(cos ax )' = − a sin ax . Takoñe imajući u vidu već korišćenu vezu sinusa i kosinusa, kod kalema, i da
predznak „-„ predstavlja pomeraj za ± π ,dobijamo
π
π



i (t ) = −ωCU m cos ωt + θ −  = ωCU m cos ωt + θ − + π 
2
2



odnosno
π

i (t ) = ωCU m cos  ωt + θ + 
2

Poreñenjem sa kanoničnim izrazom za prostoperiodičnu struju, sledi I m = ωCU m odnosno
π
I = ωCU , i ψ = θ + . Prema tome struja kroz kondenzator je takoñe prostoperidična, ali prednjači
2
naponu za
9
π
2
π
. Kod kondenuatora, φ = − . Grafički prikaz napona i struje dat je na slici 2.14a.
2
Koristi se trigonometrijska transformacija cos α sin β = 1 [sin (α + β ) − sin (α − β
2
24
)]
Slika 2.14. Napon i struja (a) i snaga (b) kondenzatora priključenog na prostoperiodični napon
Primer 2.7. Neka je kondenzator kapacitivnosti C = 100 pF priključen na prostoperiodičan
napon efektivne vrednosti U = 230V i učestanosti 50 Hz . Odrediti efektivnu vrednost struje kroz
kondenzator. Koristeći se izrazom I = ωCU , dobija se I = 7,2 ⋅ 10 −6 A = 7,2µA .
Trenutna snaga kondenzatora (snaga koju kondenzator prima od ostatka kola), u opštem
slučaju, je
p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = Cu ( t )
du
d 1
 d W C (t )
2
=
 Cu ( t )  =
dt
dt  2
dt

gde je WC (t ) = 1 Cu 2 (t ) električna energija akumulirana u kondenzatoru. U intervalu vremena kada
2
napon kondenzatora raste po apsolutnoj vrednosti, raste i električna energija, pa je p (t ) > 0 i
kondenzator se ponaša kao prijemnik, uzimajući energiju od ostatka kola. Meñutim, u intervalu
vremena kada napon kondenzatora opada po apsolutnoj vrednosti, opada i električna energija, pa je
p (t ) < 0 i kondenzator se ponaša kao generator, vraćajući energiju ostatku kola. Kondenzator (kao i
kalem) je pasivni element, pa se ni on ne može neograničeno dugo ponašati kao generator, već samo
dok se ne iscrpi električna energija akumulirana u njemu.
Snaga kondenzatora u prostoperiodičnom režimu je
p (t ) = u (t ) i (t ) = −2ωCU 2 cos(ω t + θ )sin (ω t + θ ) = −ωCU 2 sin (2ω t + 2θ )
Ta snaga ima samo prostoperiodični član čija je učestanost dva puta viša od učestanosti
struje, odnosno napona. Srednja vrednost snage jednaka je nuli (kondenzator je pasivni element bez
gubitaka). Tokom jedne četvrtine perioda struje (odnosno napona) kondenzator prima energiju iz
kola, da bi je tokom sledeće četvrtine u potpunosti vratio kolu (slika 1.14b).
Sve što je izvedeno za R, L i C, polazeći od napona, može se uraditi polazeći od struje.
Iz dobijenih izraza za struju kroz R, L i C, očigledno je da su struje kroz elemente
priključene na prostoperiodičan napon, takoñe prostoperiodične, iste učestanosti. Kao što ćemo
videti to znatno olakšava rešavanje mreža sa prostoperiodičnim strujama.
Ako uporedimo izraze za vezu efektivnih vrednosti napona i struja za R, L i C, tj.
I=
U
,
R
I=
U
,
ωL
I = ωCU =
U
1
ωC
vidimo da kod pasivnih elemenata (R, L i C) postoji proporcionalnost izmeñu efektivne vrednosti
U
struje i napona10. Ta proporcionalnost se piše u opštem obliku I =
ili U = ZI . Veličina koja
Z
izražava tu proporcionalnosti (Z) je karakteristika prijemnika koja ima prirodu otpornosti, jedinica
10
Zbog proporcionalnosti efektivnih vrednosti i amplituda, isto važi i za amplitudne vrednosti struja i napona.
25
joj je om (Ω), a naziva se impedansom prijemnika11. Prema ovoj definiciji, Z ≥ 0 . Impedansa
1
otpornika je Z R = R , impedansa kalema Z L = ωL , a impedansa kondenzatora12 Z C =
.
ωC
Može se formirati i dualna relacija, I = YU , gde koeficijent proporcionalnosti (Y) ima prirodu
provodnosti, jedinica je simens (S), a naziva se admitansom prijemnika13. Izmeñu impedanse i
admitanse postoji relacija ZY = 1 . Takoñe važi Y ≥ 0 . Admitansa otpornika je YR = G = 1 / R , kalema
1
YL =
, a kondenzatora YC = ωC .
ωL
2.6. Rešavanje mreža u prostoperiodičnom režimu u vremenskom domenu
U odeljku 1.3 definisali smo Kirhofove zakone za promenjive struje. Direktno rešavanje ovih
jednačina analitičkim metodima, u vremenskom domenu, nije lako. Ilustrujmo to na primeru
sabiranja dve prostoperiodične veličine, na primer dva napona, u (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) , gde su
u1 (t ) = U m1 cos(ω t + θ1 ) i u 2 (t ) = U m2 cos(ω t + θ 2 ) . Ako pretpostavimo da je rezultantni napon
dat relacijom
u (t ) = U m cos(ω t + θ ) ,
onda koristeći trignometrijsku transformaciju cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β , možemo pisati
identitet
u (t ) = U m cos ωt cosθ − U m sin ωt sin θ
= U m1 cos ωt cosθ1 − U m1 sin ωt sin θ1 + U m2 cos ωt cosθ 2 − U m2 sin ωt sin θ 2
(
)
(
)
= U m1 cosθ1 + U m2 cosθ 2 cos ωt − U m1 sin θ1 + U m2 sin θ 2 sin ωt
Da bi identitet bio ispunjen, koeficijenti uz cos ω t i sin ω t u oba izraza moraju biti identični
U m cos θ = U m1 cos θ 1 + U m2 cos θ 2
(1)
U m sin θ = U m1 sin θ1 + U m2 sin θ 2
Ako relaciju (2) podelimo sa relacijom (1) dobijamo
U m1 sin θ1 + U m2 sin θ 2
sin θ
= tgθ =
cosθ
U m1 cos θ1 + U m2 cosθ 2
(2)
(3)
zbir
relacija
dobijamo
(1)2 + (2)2 ,
2
2
2
U m = U m + U m + 2U m U m (cos θ 1 cos θ 2 + sin θ 1 sin θ 2 ) , odnosno, uz primenu već korišćene
trigonometrijske transformacije za kosinus razlike uglova, konačno je
Ako
1
napravimo
2
1
2
U m2 = U m21 + U m2 2 + 2U m1U m2 cos (θ1 − θ 2 )
(4)
Relacije (3) i (4) služe za odreñivanje ampitude i početne faze napona koji je zbir dva
napona. Isti rezultati bi se dobili i ako bi se naponi menjali po sinusnom zakonu.
11
Ovako definisana impedansa jednaka je modulu kompleksne impedanse prijemnika, koju ćemo uvesti u odeljku 3.2.1.
Zbog sličnosti sa relacijom za otpornost R, impedansa kalema i kondenzatora se ponekad nazivaju induktivna i
kapacitivna otpornost, što nije korektno. Korektno ih je nazivati reaktansa kalema i reaktansa kondenzatora, kao što
ćemo videti u odeljku 3.2.2. Reaktansa se u kompleksnom domenu označava sa X, pa se reaktansa kalema označava sa
XL, a reaktansa kondenzatora sa XC.
13
Ovako definisana admitansa jednaka je modulu kompleksne admitanse prijemnika.
12
26
Primer 2.8. Ilustrujmo primenu ovih relacija na primeru redne veze otpornika i kalema,
prikazane na slici 2.15. Neka je zadatak da odredimo relaciju izmeñu napona i struje te redne veze.
Struja je, očigledno, zajednička za oba elementa. Radi daljeg pojednostavljenja, usvojimo da
je početna faza struje jednaka nuli (ψ = 0 ), tj. neka je struja data izrazom i(t ) = I 2 cos ωt . Napon
di(t )
otpornika je u R (t ) = Ri(t ) = RI 2 cos ωt , a napon kalema je u L (t ) = L dt = −ωLI 2 sin ωt . Napon redne
veze je u (t ) = u R (t ) + u L (t ) = RI 2 cos ω t − ωLI 2 sin ω t = RI 2 cos ω t + ωLI 2 cos (ω t + π / 2 ) .
Slika 2.15. Redna veza otpornika i kalema u prostoperiodičnom režimu
(
) (
)
Primenom relacije (4) se dobija U m2 = RI 2 + ωLI 2 + 2RI 2ωLI 2 cos(0 − π / 2) , a posle
vañenja kvadratnog korena i delenja sa
Količnik
U / I = R 2 + ( ωL ) 2 = Z
2
R>0
i
ωL > 0 ,
2
se dobija U = I R 2 + (ωL) 2 .
je impedansa redne veze otpornika i kalema.
Primenom relacije (3) se dobija tg θ =
(kako je
2
RI 2 sin 0 0 + ωLI 2 sin (π / 2)
RI 2 cos 0 + ωLI 2 cos(π / 2)
0
=
ωL
R
, odnosno
θ = arctg
ωL
R
to je ugao θ u prvom kvadrantu). Konačno, napon je
ωL  .

2
u (t ) = U m cos(ωt + θ ) = I 2 R + (ωl ) cos ωt + arctg

R 

2
Da smo krenuli obrnutim redom, od poznatog napona u (t ) = U 2 cos(ω t + θ) , struju i (t ) bi
di(t )
direktno mogli odrediti samo rešavanjem diferencijalne jednačine za ovo kolo, u (t ) = Ri(t ) + L dt .
Meñutim, koristeći se rezultatom koji smo dobili polazeći od struje, možemo ovako rezonovati.
ωL
Znamo impedansu redne veze, Z = R 2 + (ωL) 2 , a znamo i faznu razliku napona i struje, φ = arctg R .
Onda je struja potpuno odreñena jer joj znamo efektivnu vrednost ( I = U / Z ) i početnu fazu
( ψ = θ − φ ), odnosno i(t ) = U 2 cos(ω t + θ − φ) / Z .
Ovakvim rezonovanjem bi mogli brzo rešiti i problem ako bi bila zadata struja u opštem
obliku, i(t ) = I 2 cos(ω t + ψ) , a traži se napon redne veze. Rezultat je u (t ) = ZI 2 cos(ω t + ψ + φ) .
Već iz ovog jednostavnog primera se vidi da je sabiranje prostoperiodičnih veličina
glomazno raditi direktno, u vremenskom domenu. U narednom odeljku ćemo uvesti fazore i račun
sa fazorima, koji će delimično rešiti taj problem. Koristeći se kompleksnim brojevima, račun sa
fazorima se može dalje pojednostaviti i formalizovati tako da analiza kola u prostoperiodičnom
režimu postane gotovo identična analizi kola vremenski konstantnih struja. Na taj način ćemo
metode rešavanja kola vremenski konstantnih struja moći relativno lako da prilagodimo rešavanju
kola u prostoperiodičnom režimu.
2.7 Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pomoću obrtnih vektora
(fazora)
U ovom odeljku je opisan jedan postupak predstavljanja prostoperiodičnih veličina
vektorima koji se nazivaju fazorima. Taj postupak ima nekoliko korisnih strana. Prvo, omogućava
27
vizuelizaciju meñusobnog odnosa napona i struja u posmatranom kolu. Drugo, pomoću fazora,
moguće je rešiti neka jednostavnija kola, a ponekad i rešiti probleme na lakši način nego drugim
postupcima. Treće, polazeći od računa sa fazorima, lako se uvodi račun sa kompleksnim
predstavnicima prostoperiodičnih veličina, koji je osnovni alat za analizu električnih kola, sistema i
elektromagnetskih polja.
2.7.1. Obrtni vektori
Posmatrajmo vektor A , koji se nalazi u ravni crteža na slici 2.16a. Početak vektora se
poklapa sa koordinatnim početkom jedne ose, koju ćemo zvati faznom osom (f.o.). Neka je A = A
modul (dužina) toga vektora, a α ugao koji taj vektor zaklapa sa faznom osom. Referentni smer za
računanje uglova je suprotan smeru okretanja kazaljke na časovniku (matematički pozitivni smer).
Projekcija vektora A na faznu osu je a = A cos α . Ta projekcija je skalarna veličina koja uključuje i
znak (usmereni skalar). Zamislimo sada da se vektor A obrće u ravni crteža, u matematički
pozitivnom smeru, konstantnom ugaonom brzinom ω (slika 2.16b). Tada je α = ω t + α 0 , gde je
α 0 ugao koji vektor A zaklapa sa faznom osom u trenutku t = 0 , pa je projekcija toga vektora na
faznu osu prostoperiodična funkcija vremena, a (t ) =| A | cos(ω t + α 0 ) . Amplituda projekcije
jednaka je dužini vektora A , kružna učestanost je jednaka ugaonoj brzini obrtanja vektora, a
početna faza je jednaka uglu koji vektor A zaklapa sa faznom osom u početnom trenutku ( t = 0 ). U
tom slučaju kažemo da vektor A predstavlja prostoperiodičnu veličinu a (t ) , tj. vektor A je
predstavnik veličine a (t ) . Takav obrtni vektor se naziva fazor. Fazor se izražava u istim jedinicama
kao i veličina koju predstavlja.
Slika 2.16. Projekcija vektora na osu: a) nepokretni vektor, b) obrtni vektor
Posmatrajmo proizvoljno kolo u prostoperiodičnom režimu. Fazorima se mogu predstaviti
bilo koje prostoperiodične veličine u tom kolu (naponi, struje). Dužina fazora je, u razmeri crteža,
jednaka amplitudi (ili efektivnoj vrednosti) odgovarajuće prostoperiodične veličine, ugaona brzina
obrtanja fazora jednaka je kružnoj učestanosti, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom u trenutku
t = 0 jednak je početnoj fazi. Kao primer, posmatrajmo rednu vezu dva elementa (slika 2.17a).
Pravougaonikom ćemo označiti pasivni element (prijemnik): otpornik, kalem, kondenzator, ili čak
njihove
kombinacije.
Neka
je
trenutna
vrednost
napona
prvog
elementa
u1 (t ) = U m1 cos(ω t + θ1 ) = U 1 2 cos(ω t + θ 1 ) , trenutna vrednost napona drugog elementa
u 2 (t ) = U m2 cos(ω t + θ 2 ) = U 2 2 cos(ω t + θ 2 ) ,
a
trenutna
vrednost
napona
redne
veze
u (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) = U m cos(ω t + θ ) = U 2 cos(ω t + θ ) . Fazori (obrtni vektori), koji predstavljaju
ova tri napona prikazani su na slici 2.17b.
Pošto je kružna učestanost svih tih prostoperiodičnih veličina ista, svi fazori se obrću sinhrono
(istom brzinom), u matematički pozitivnom smeru. Pri tome fazori zadržavaju iste meñusobne
odnose, tj. uglovi izmeñu fazora se ne menjaju. Ti uglovi predstavljaju odgovarajuće fazne razlike.
28
Iz matematike je poznato da je projekcija zbira dva vektora jednaka zbiru njihovih projekcija.
Stoga se fazor koji predstavlja zbir dva napona dobija jednostavno vektorskim sabiranjem fazora
koji predstavljaju ta dva pojedinačna napona. (Sabiranje se može uraditi, na primer, po pravilu
paralelograma ili nadovezivanjem vektora.) Pošto se svi fazori okreću istom (konstantnom)
ugaonom brzinom, projekcija rezultantnog fazora na faznu osu je prostoperiodična veličina. Iz svega
sledi da je zbir dve prostoperiodične veličine iste učestanosti takoñe prostoperiodična veličina te iste
učestanosti.
2.7.2. Zaustavljeni obrtni vektori
Obrtanje fazora je jednoznačno odreñeno ako je poznat položaj fazora (obrtnog vektora) u
trenutku t = 0 (slika 2.17c): sliku koja sadrži fazore za t = 0 treba rotirati za ugao ωt da bi se dobila
slika fazora u trenutku t. Zbog toga ćemo nadalje posmatrati samo fazore u početnom trenutku
( t = 0 ). Možemo zamisliti da se takva slika dobija fotografisanjem obrtnih fazora u trenutu t = 0 ili
zaustavljanjem obrtnih vektora u tome trenutku (zaustavljeni fazori).
Slika 2.17. Redna veza dva elementa (a), obrtni vektori (b), obrtni vektori zaustavljeni u trenutku t =
0 (c), zaustavljeni vektori čije su dužine srazmerne efektivnim vrednostima (d)
Najzad, kao što je ranije napomenuto, u tehničkim primenama se pretežno operiše sa efektivnim
vrednostima, a ne sa amplitudama. Da bi se izbeglo množenje i deljenje sa 2 , ubuduće ćemo crtati
fazore tako da su njihove dužine srazmerne efektivnim vrednostima, a ne amplitudama (slika 2.17d)
prostoperiodičnih veličina. Poreñenjem slika 2.17c i 2.17d vidi se da je u stvari samo promenjena
razmera crteža. Takve fazore, zaustavljene i podeljene sa 2 , označavaćemo crtom ispod simbola.
Na primer, fazor koji predstavlja napon u (t ) = U 2 cos(ω t + θ) , označićemo sa U . Dužina toga fazora
jednaka je efektivnoj vrednosti napona u (t ) , U, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom jednak je
početnoj fazi napona, θ. Da bismo to posebno naglasili, fazor napona pišemo u obliku U = U | θ .
Uprošćeno ćemo govoriti da je U fazor napona u (t ) .
29
2.7.3. Fazorski dijagrami
Crtež skupa fazora koji predstavljaju napone i struje nekog kola naziva se fazorski
dijagram. Koristeći se fazorskim dijagramima, moguće je analizirati neka jednostavnija kola.
Kao uvod u tu analizu, posmatrajmo osnovne pasivne elemente, otpornik, kalem i
kondenzator. Referentni smerovi su usaglašeni, kao za prijemnik. U tabeli 2.1 prikazane su osnovne
relacije i fazorski dijagrami napona i struja tih elemenata.
Fazor napona elementa označavamo sa U = U | θ , a fazor struje sa I = I | ψ . Količnik dužina
(modula) fazora napona i struje jednak je impedansi elementa (Z), a ugao izmeñu fazora struje i
fazora napona jednak je faznoj razlici napona i struje (Φ).
Tabela 2.1. Osnovni pasivni elementi u prostopriodičnom režimu
Element
Osnovna
relacija
u = Ri
Z=
U
I
φ= θ−ψ
R
0
π
2
u=L
di
dt
ωL
i=C
du
dt
1
ωC
−
Fazorski dijagram
π
2
Napon i struja otpornika su u fazi, pa su fazori napona i struje otpornika kolinearni. Napon
kalema fazno prednjači struji za π / 2 . Stoga su fazori napona i struje uzajamno normalni. Pravac i
smer fazora napona dobijaju se rotacijom fazora struje za π / 2 u matematički pozitivnom smeru.
Napon kondenzatora fazno kasni za strujom za π / 2 . Fazori napona i struje su uzajamno normalni, a
pravac i smer fazora napona se dobijaju rotacijom fazora struje za π / 2 u matematički negativnom
smeru.
Fazorski dijagrami za idealne generatore su veoma jednostavni, pa ih nećemo crtati. Za
referentne smerove kao na slici 1.2 i 1.9, fazor napona idealnog naponskog generatora se poklapa sa
fazorom elektromotorne sile (tj. U = E ), dok je fazor struje proizvoljan. Za referentne smerove kao
na slici 1.9b, kod idealnog strujnog generatora je I = I g , dok je fazor napona proizvoljan.
Do sada smo na električnim šemama napone i struje označavali njihovim trenutnim
vrednostima (napisanim pored odgovarajućeg referentnog smera), slika 2.18a. U cilju uprošćenja tih
šema, nadalje ćemo prostoperiodične napone i struje označavati samo njihovim efektivnim
vrednostima (napisanim pored odgovarajućeg referentnog smera). Na slici 2.18b je prikazan primer
takvih oznaka. Element prikazan na toj slici je proizvoljan pasivni element (otpornik, kalem,
kondenzator ili njihova kombinacija, koja ima dva priključka). Oznaka za takav element je Z
(oznaka impedanse toga elementa). Na slici 2.18c je prikazan odgovarajući fazorski dijagram.
30
Slika 2.18. Proizvoljan prijemnik (a i b), fazori napona i struje (c)
2.7.4. Redna veza otpornika i kalema
Posmatrajmo rednu vezu otpornika i kalema, prikazanu na slici 2.19a. To je ista redna veza
kao sa slike 2.15, samo uz promenjene oznake. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R),
induktivnost (L), efektivna vrednost napona (U) i njegova početna faza (θ). (Uvek pretpostavljamo
da je poznata učestanost, odnosno kružna učestanost.) Zadatak je da se odredi efektivna vrednost
struje (I) i njena početna faza (ψ).
Struja je zajednička za oba elementa, pa je pri crtanju fazorskog dijagrama lakše krenuti od
fazora struje (slika 2.19b), nego od fazora napona. Takoñe, fazor struje je pogodno postaviti
horizontalno. Meñutim, u tom slučaju ne smemo odmah ucrtati faznu osu. Ako bi, na primer, i nju
ucrtali horizontalno, to bi značilo da je ψ = 0 , čime pravimo grubu grešku. Stoga ćemo faznu osu
ucrtati na kraju.
Pošto ni efektivna vrednost struje nije poznata, crtamo samo kvalitativan dijagram, unoseći
dužinu fazora I proizvoljno. S obzirom da su referentni smerovi napona i struje usaglašeni za oba
elementa, na osnovu tabele 2.1 ucrtavamo fazor napona otpornika ( U R ) kolinearno sa fazorom
struje, a fazor napona kalema ( U L ) normalno na fazor I, zakrenut za ugao π / 2 u matematički
pozitivnom smeru. Kada su zadate konkretne brojne vrednosti za R, L i ω, možemo voditi računa o
odnosu dužina fazora napona, tj. U R / U L = RI /(ωLI ) = R /(ωL) jer je U R = RI i U L = ωLI .
Zatim ucrtavamo fazor napona redne veze, U = U R + U L . Tim korakom već je odreñen ugao
izmeñu fazora U i I , odnosno fazna razlika izmeñu napona i struje (Φ). Redosled crtanja fazorskog
dijagrama prikazan je na slici 2.19b. Iz pravouglog trougla koji čine fazori napona (trougao napona)
ωL
imamo φ = arctg R . Ako se naponi podele sa strujom, dobijamo trougao otpornosti.
Na kraju, ucrtavamo faznu osu tako da ugao izmeñu fazora U i fazne ose bude jednak
zadatoj početnoj fazi napona (θ). Ugao izmeñu fazne ose i fazora I jednak je traženoj početnoj fazi
ωL
struje (ψ). Računski, ψ = θ − φ = θ − arctg R . Umesto ovakvog postupka, fazna osa se može ucrtati
horizontalno, a onda se svi fazori zarotiraju za isti ugao (θ) tako da se dobije odgovarajući ugao
izmeñu fazne ose i fazora U.
Efektivna vrednost struje se može odrediti računski, koristeći se nacrtanim fazorskim
dijagramom. Pošto je ugao izmeñu fazora U R i U L prav, po Pitagorinoj teoremi imamo
U 2 = U R2 + U L2 , odakle je U = U R2 + U L2 = I R 2 + (ωL) 2 . Odavde je
I = U / R 2 + (ωL) 2 =
U
Z
gde je Z = R 2 + (ωL) 2 impedansa redne veze otpornika i kalema. Uočimo da se impedansa
otpornika ( R ) i impedansa kalema ( ωL ) ne sabiraju.
Napišite izraz za struju i (t ) . Nacrtajte sami fazorski dijagram za rednu vezu R i C elemenata.
31
Slika 2.19. Redna veza otpornika i kalema (a), postupak crtanja fazorskog dijagrama (b)
Fazorski dijagram sa slike 2.19b se može nacrtati i na drugi način, polazeći od poznatog
fazora napona (U), kao što je prikazano na slici 2.20. Sa slike 2.19b se vidi da je ugao kod tačke A
(slika 2.20) prav ( π / 2 ). Stoga se tačka A mora nalaziti na krugu konstruisanom nad fazorom U kao
prečnikom. (Taj krug je geometrijsko mesto tačaka pod kojim se data duž, u ovom slučaju fazor U,
ωL
vidi pod pravim uglom.) Ugao Φ je poznat ( φ = arctg R ). U ovom primeru taj ugao može biti u
granicama 0 < φ < π / 2 . Preciznije rečeno, tačka A se zato mora nalaziti na desnom polukrugu na slici
2.20.
Slika 2.20. Postupak crtanja fazorskog dijagrama za kolo sa slike 2.19 polazeći od fazora napona
Prvi korak crtanja dijagrama je ucrtavanje fazne ose i fazora napona U. Zatim se konstruiše
krug nad tim fazorom kao prečnikom i povuče poluprava na kojoj leži fazor U R , pod uglom Φ u
odnosu na fazor U. Presek te poluprave i polukruga je tačka A, koja predstavlja vrh fazora U R .
Ugao izmeñu te poluprave i fazne ose je traženi ugao ψ. U dijagram se mogu ucrtati fazori U R i U L
(mada to nije neophodno). Najzad, dužina fazora struje se odreñuje računski. To se može uraditi
polazeći od efektivne vrednosti bilo koga napona (U, U R ili U L ) deleći je odgovarajućom
impedansom (Z, R, odnosno ωL ).
Da je u posmatranom primeru bila zadata struja, a ne napon, konstruisanje fazorskog
dijagrama na slici 2.19b bi bilo nešto jednostavnije. U prvom koraku, krene se od fazora struje, koji
se ucrta zajedno sa faznom osom. (Fazor struje se može postaviti horizontalno, a fazna osa pod
odgovarajućim uglom.) U drugom koraku se ucrtaju fazori napona otpornika i kalema, a u
poslednjem koraku se ta dva fazora saberu, čime se dobija fazor napona redne veze.
32
2.7.5. Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora. Rezonansa
Drugi primer je redna veza otpornika, kalema i kondenzatora, prikazana na slici 2.21a.
Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost
napona (U) i njegova početna faza (θ). Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena
početna faza (ψ).
Fazorski dijagram je prikazan na slici 2.21b. Crtamo polazeći od fazora I. Fazor U R je
kolinearan sa fazorom struje, a fazori U L i U C normalni na fazor I. Pri tome je U R = RI , U L = ωLI i
U C = I /(ωC ) . Pri crtanju slike 2.21b je pretpostavljeno da je U L > U C . Fazor napona redne veze je
U = U R + U L + U C . Pogodno je prvo sabrati fazore U L i U C nadovezivanjem (crticama je prikazan
fazor U C nadovezan na U L ), a potom (nadovezivanjem ili paralelogramom) tom zbiru dodati fazor
U R . Fazna razlika izmeñu napona i struje je φ = arctg
ωL − 1 /(ωC )
R
i može biti u granicama
− π / 2 < φ < π / 2 . Na kraju, ucrtamo faznu osu. Kako je
1 

U = U R2 + (U L − U C ) 2 = I R 2 +  ωL −

ωC 

2
imamo I = U / Z , gde je impedansa redne veze otpornika, kalema i kondenzatora jednaka
2
1 

Z = R 2 +  ωL −
 , što se može videti i iz tzv. trougla "otpornosti" (slika 2.21c), koji prozilazi iz
ωC 

fazorskog dijagrama na slici 2.21b). Može biti i trougao napona, ako se otpornosti pomnože sa
strujom.
Slika 2.21. Redna veza R, L i C (a), fazorski dijagram (b), trougao "otpornosti" (c)
Iz izraza za impedansu redne veze otpornika, kalema i kondenzatora zaključujemo da se ni
1
1
impedanse kalema ( ωL ) i kondenzatora ( ωC ) ne sabiraju. Ako je R = 0 , onda je Z = ωL − ωC .
(Obratiti pažnju na modul.) Ova naizgled nejasna situacija postaće jednostavna kada budemo uveli
kompleksne impedanse, jer će se kod redne veze kompleksne impedanse jednostavno sabirati.
Kolo sa slike 2.21a naziva se redno, prosto ili rezonantno oscilatorno kolo. O
rezonantnim kolima ćemo još govoriti u poglavljima 6.2 i 6.3. Uočimo sa fazorskog dijagrama na
1
slici 2.21b da je, u posebnom slučaju, kada je ωL = ωC , odnosno kada je U L = U C , zbir U L + U C = 0
(nacrtajte fazorski dijagram za ovaj slučaj). Tada su napon i struja oscilatornog kola u fazi ( φ = 0 ), a
impedansa je Z = R (realna), kao da u posmatranoj grani postoji samo otpornik, a da kalema i
kondenzatora nema. Kažemo da je tada kolo u rezonanciji (zove se i fazna rezonancija, ili
33
1
naponska rezonancija). Uslov rezonancije se može napisati i u obliku ωr = LC , odnosno
fr =
1
2π LC
, gde je ωr rezonantna kružna učestanost ( f r je rezonantna učestanost) posmatranog
kola. Tada je I =
U
, a U R = U . Takoñe je U L = −U C . Nacrtajte fazorski dijagram za rezonanciju.
R
1
Ako je U L > U C ( ωL > ωC , odnosno ω > ωr ), tada je φ > 0 , što je slučaj prividno isti kao redna
veza otpornika i nekog kalema. Za posmatrano kolo kažemo da je tada pretežno induktivno. Najzad,
1
ako je U L < U C ( ωL < ωC , odnosno ω < ωr ), tada je φ < 0 , što je prividno isto kao redna veza
otpornika i nekog kondenzatora, a za kolo kažemo da je pretežno kapacitivno.
2.7.6. Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora. Antirezonansa
Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora prikazana je na slici 2.22a. Pretpostavimo da je
poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost napona (U) i njegova
početna faza (θ). Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ).
Fazorski dijagram je prikazan na slici 2.22b. Pri crtanju slike 2.22b je pretpostavljeno da je
I C > I L . Nacrtajte sami trougao provodnosti. Fazna razlika izmeñu napona i struje je
φ = −arctg
ωC − 1 /(ωL)
i može biti u granicama − π / 2 < φ < π / 2 . Admitansa ove paralelne veze je
1/ R
2
1
1 
1 
+
ω
C
−
, a impedansa Z = Y . Iz ovog primera zaključujemo da se kod paralelne veze


2
ωL 
R

1
admitanse otpornika ( 1 / R ), kalema ( ωL ) i kondenzatora ( ωC ) ne sabiraju.
Y=
Kolo sa slike 2.22a naziva se paralelno ili antirezonantno oscilatorno kolo. Kada je
1
I L = I C , odnosno kada je ωC =
, napon i struja ovog oscilatornog kola su u fazi ( φ = 0 ), odnosno
ωL
I L = − I C (nacrtajte fazorski dijagram za ovaj slučaj, videti i sliku 3.31). Impedansa kola je Z = R
(realna), a kolo u antirezonanciji. Uslov (fazne) antirezonancije (zove i strujna rezonancija) se može
1
1
1
napisati i u obliku ω a =
, odnosno f a =
. Ako je ωL > ωC , odnosno ω > ω a , tada je
LC
2π LC
φ<0,
1
pa je kolo pretežno kapacitivno. Ako je ωL < ωC , odnosno ω < ω a , tada je φ > 0 , pa je kolo
pretežno induktivno.
Kada je u kolu sa slike 2.22a, R=∞, tada je struja kroz zajedničku granu I = 0 , ali kroz
paralelne grane (L i C) postoji struja i ispunjava uslov I L + I C = 0 (energija sadržana u
antirezonantnom kolu se razmenjuje izmeñu L i C, bez gubitaka, kolo bi moglo da se odvoji od
izvora, i razmena bi se nastavila, teorijski beskonačno dugo).
Slika 2.22. Paralelna veza R, L i C (a), fazorski dijagram (b)
34
Sami nacrtajte fazorske dijagrame za paralelno RL i RC kolo.
2.8. Snaga u mrežama sa prostoperiodičnim strujama
U okviru odeljka 2.5 o elementima kola u periodičnom režimu već smo se upoznali sa
trenutnom i srednjom snagom otpornika, kalema i kondenzatora. Sada ćemo dopuniti te pojmove.
Posmatraćemo prijemnike (slika 2.23a) i generatore (slika 2.23b). Usvojićemo, kao i do sada
usaglašene referentne smerove za prijemnike i generatore.
a)
b)
Slika 2.23. Usaglašeni smerovi za proizvoljni prijemnik (a) i generator (b)
2.8.1. Trenutna i srednja snaga prijemnika
Posmatrajmo najpre prijemnik (slika 2.23a). Kanonični oblici napona i struje prijemnika su
u (t ) = U 2 cos(ω t + θ) , odnosno i(t ) = I 2 cos(ω t + ψ ) . Fazna razlika napona i struje je φ = θ − ψ .
Zamenom izraza za napon i struju, dobija se p (t ) = 2UI cos(ω t + θ) cos(ω t + ψ ) .
Na osnovu trigonometrijskog identiteta cos α cos β = 2 [cos(α + β ) + cos(α − β )] imamo
1
p (t ) = UI [cos(2ω t + θ + ψ ) + cos(θ − ψ ) ]
(*)
UI
cos
(
2
ωt
+
θ
+
ψ
)
Prvi član u ovome izrazu,
, je prostoperiodična funkcija dvostruko više
učestanosti od učestanosti napona ili struje. Srednja vrednost toga člana je nula. Drugi član,
P = UI cos(θ − ψ) = UI cos(φ)
je konstantan i predstavlja srednju (''aktivnu'') snagu prijemnika. Ovaj rezultat je u skladu sa
zaključcima izvedenim za srednje snage otpornika, kalema i kondenzatora (odeljak 2.5). Na slici
2.24 prikazana je trenutna snaga prijemnika sa slike 2.23a, p (t ) = u (t )i (t ) (za slučaj kada je prijemnik
pretežno induktivan).
Slika 2.24. Grafik prostoperiodičnog napona, struje i snage za proizvoljan prijemnik
35
Osnovna jedinica za trenutnu i srednju snagu je vat [W]. Od svih snaga koje se razmatraju u
ovome odeljku, jedino te dve snage imaju fizičku interpretaciju, dok su ostale snage veštački
uvedene veličine.
Ako je posmatrani element kola stvarno pasivan (prijemnik), mora biti P ≥ 0 . Odavde sledi
π
π
uslov cos φ ≥ 0 (uslov pasivnosti), odnosno − 2 ≤ φ ≤ 2 . U odeljku 3.2.2 ćemo videti da je Φ
argument kompleksne impedanse prijemnika, odakle sledi da Z mora biti u desnoj poluravni ili na
π
imaginarnoj osi. Ako je u desnoj poluravni, tada je P > 0 . Ako je na imaginarnoj osi ( φ = − 2 ili
φ=
π
2
), tada je P = 0 (čisto reaktivan prijemnik).
2.8.2. Prividna snaga prijemnika
Iako nema fizičkog osnova za to, možemo formalno izračunati proizvod efektivnih vrednosti
napona i struje, S = UI . Taj proizvod bi bio jednak srednjoj snazi samo kada bi bilo φ = 0 (odnosno
cos φ = 1 ), tj. ako bi prijemnik bio čisto rezistivan (čist otpornik). Inače je P < S . Proizvod S = UI se
stoga naziva prividnom snagom. Da bi se prividna snaga što bolje razlikovala od snaga koje imaju
fizički smisao (trenutne snage i srednje snage), jedinica za nju je volt-ampter [VA]. Prividna snaga
koristi u nekim praktičnim proračunima (na primer, dimenzionisanje transformatora).
Posredstvom aktivne i prividne snage i ugla φ , relacija (*) se može napisati u obliku
p(t ) = P + S cos[2(ω t + θ ) − Φ ]
2.8.3. Faktor snage prijemnika
Na osnovu definicije prividne snage, možemo pisati P = S cos φ = kS . Koeficijent
k = cos φ = P / S
naziva se faktor snage. Za prijemnike je uvek k ≤ 1 .
Faktor snage je maksimalan za čisto rezistivne (aktivne, otporne) prijemnike ( k = 1 za φ = 0 ).
Za čisto reaktivne prijemnike je k = 0 .
2.8.4. Reaktivna snaga prijemnika
Da bi se napravila ''simetrija'' sa srednjom snagom, P = UI cos φ , uvodi se reaktivna snaga,
Q = UI sin φ = S sin φ . Jedinica za reaktivnu snagu je volt-amper reaktivni [VAr].
Jedna interpretacija reaktivne snage se dobija iz sledećeg izvoñenja. U elektroenergetskim
sistemima, generatori i prijemnici su, grubo govoreći, vezani paralelno. Za to postoji više tehničkih
razloga. Na primer, da su aparati vezani redno, isključivanje jednog aparata bi poremetilo celu
mrežu. Zbog te paralelizacije, često se prijemnik proizvoljnog karaktera (slika 2.23a) ekvivalentno
prikazuje u vidu paralelne veze jednog čisto rezistivnog elementa (otpornika) i jednog čisto
reaktivnog elementa: kalema ako je prijemnik pretežno induktivan, a kondenzatora ako je prijemnik
pretežno kapacitivan, kao na slici 2.25.
Pošto je paralelna veza u svemu ekvivalentna posmatranom prijemniku, to su im i snage iste pri
istom naponu izmeñu priključaka. (Posmatramo napon, a ne struju, jer je napon kod paralelne veze
zajednički za oba elementa.) Izraz za trenutnu snagu posmatranog prijemnika,
p (t ) = 2UI cos(ω t + θ) cos(ω t + ψ ) , transformisaćemo tako da izdvojimo deo koji odgovara otporniku i
deo koji odgovara paralelno vezanom reaktivnom elementu sa slike 2.25.
Izražavajući početnu fazu struje preko početne faze napona i odgovarajuće fazne razlike, imamo
p (t ) = 2UI cos(ω t + θ) cos(ω t + θ − φ) .
Koristeći
se
trigonometrijskim
identitetom
36
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β , razvijamo drugi kosinus u izrazu za snagu,
čime dobijamo
p(t ) = 2UI cos(ω t + θ )[cos(ω t + θ ) cosφ + sin(ω t + θ ) sinφ ] , i primenom cos α sin β = 1 [sin (α + β ) − sin (α − β )], je
2
p (t ) = 2UI cos φ cos (ω t + θ ) + UI sin φ sin (2ω t + 2θ )
2
(1)
Slika 2.25. Ekvivalentiranje prijemnika sa slike 2.23a paralelnom vezom rezistivnog i reaktivnog
elementa
Poredeći sa izrazima za trenutne snage iz odeljka 2.5, vidimo da prvi član odgovara trenutnoj
snazi čisto rezistivnog elementa, a drugi član odgovara trenutnoj snazi čisto reaktivnog elementa
(kalema ako je φ > 0 , a kondenzatora ako je φ < 0 ).
Prvi član se, kao i kod otpornika, može dalje predstaviti u vidu zbira konstante (jednake
srednjnoj vrednosti) i prostoperiodičnog člana dvostruke učestanosti,
2UI cos φ cos(ω t + θ)2 = UI cos φ + UI cos φ cos(2ω t + 2θ) ≥ 0 .
Drugi član izraza (1) je prostoperiodičan dvostruke učestanosti, a njegova amplituda je jednaka
reaktivnoj snazi Q = UI sin φ = S sin φ .
2.8.5. Faktor reaktivnosti prijemnika
Kao ''simetrija'' faktoru snage, uvodi se faktor reaktivnosti, k r = sin φ = Q / S (odnosno Q = k r S ).
Faktor reaktivnosti može biti u granicama −1 ≤ k r ≤ 1 . Za čisto reaktivne prijemnike, | kr |= 1 , za
pretežno kapacitivne prijemnike, k r < 0 , za pretežno induktivne prijemnike, k r > 0 , a za čisto
rezistivne prijemnike, k r = 0 .
Očigledno važi S = P 2 + Q 2 . Ako su poznati S i Q, P je jednoznačno odreñeno, P = S 2 − Q 2 ,
jer je za prijemnike P ≥ 0 . Meñutim, Q se iz S i P može odrediti samo sa tačnošću do znaka,
Q = ± S 2 − P 2 . Potreban je još neki uslov (na primer, podatak da li je prijemnik pretežno kapacitivan
ili induktivan), da bi se razrešila dilema oko znaka. Za faktor snage i faktor reaktivnosti važi relacija
k 2 + k r2 = 1 . Slično kao kod snaga, k je jednoznačno odreñeno ako je poznato k r , ali je k r odreñeno sa
tačnošću do znaka ako je poznato k.
37
3. REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM
STRUJAMA KOMPLEKSNIM RAČUNOM
Glavni alat za analizu električnih kola u prostoperiodičnom režimu je račun sa kompleksnim
brojevima, odnosno kompleksnim predstavnicima napona, struja i drugih veličina u kolu.
Kompleksni račun se može uvesti u analizu prostoperiodičnog režima u električnim kolima na razne
načine. Jednostavniji način je pomoću fazora.
3.1. Predstavljanje fazora kompleksnim brojevima
Posmatramo zaustavljene fazore čije su dužine jednake efektivnim vrednostima (slika 3.1a,
koja odgovara slici 2.17d odnosno 2.18b). U odeljku o fazorima pokazali smo da takvi fazori u
potpunosti predstavljaju prostoperiodične veličine (u prostoperiodičnom režimu). Preklopimo ravan
u kojoj leže ti fazori i kompleksnu ravan, tako da se poklapaju koordinatni počeci, a da se fazna osa
poklapa sa realnom osom (slika 3.1b). Vrhu svakog fazora sa slike 3.1a odgovara jedan i samo jedan
kompleksni broj14. Prema tome, izmeñu prostoperiodičnih veličina i kompleksnih brojeva postoji
biunivoka korespondencija.
Slika 3.1. Prevoñenje fazora (a) u kompleksnu ravan (b)
Kompleksni predstavnici prostoperiodičnih veličina
Kompleksni broj koji odgovara fazoru označićemo na isti način kao i sam fazor. Na primer,
fazor U na slici 3.1b predstavlja prostoperiodični napon u (t ) = U 2 cos(ωt + θ) . Odgovarajući
kompleksni broj, U, je kompleksni predstavnik napona u (t ) , a skraćeno ćemo ga zvati kompleksnim
naponom. Modul kompleksnog napona jednak je efektivnoj vrednosti prostoperiodičnog napona, a
argument kompleksnog napona jednak je početnoj fazi prostoperiodičnog napona. Dakle,
U = U exp( jθ ) = Ue jθ .
Najjednostavniji način za formiranje kompleksnog predstavnika prostoperiodične veličine
(prelazak iz vremenskog domena u kompleksni) je da se ona napiše u kanoničnom obliku. Iz tog
oblika se identifikuju efektivna vrednost i početna faza. Na kraju, formira se kompleksni broj čiji je
modul jednak efektivnoj vrednosti, a argument jednak početnoj fazi.
14
Svaki kompleksni broj može se predstaviti tačkom u kompleksnoj ravni. Ta tačka se može opisati bilo svojim
koordinatama (realni i imaginarni deo kompleksnog broja), bilo svojim odstojanjem od koordinatnog početka (moduo
kompleksnog broja) i uglom koji ta duž zaklapa sa realnom osom (argument kompleksnog broja).
38
Primer 3.1. Neka je zadat prostoperiodični napon u (t ) = 10 sin ωt V . U kanoničnom obliku,
( ) 2 cos ωt − π2  V .
u (t ) = 5 2
π
Efektivna vrednost napona je U = 5 2 V , a početna faza je θ = − 2 .
Kompleksni napon je U = 5 2 exp( − j π ) V = 5 2  cos  − π  + j sin  − π   = − j 5 2 V .
2
2
2





Ako je poznat kompleksni predstavnik neke prostoperiodične veličine, ta veličina se u
vremenskom domenu najjednostavnije rekonstruiše na sledeći način (prelazak iz kompleksnog
domena u vremenski). Kompleksni predstavnik se napiše u eksponencijalnom obliku, iz koga se
identifikuju modul i argument. Veličina u vremenskom domenu se zatim napiše u kanoničnom
obliku, pri čemu je efektivna vrednost jednaka modulu kompleksnog predstavnika, a početna faza
jednaka argumentu. (Podrazumeva se da je kružna učestanost poznata.)
Primer 3.2. Neka je poznata kompleksna struja I = (−1 − j) A . U eksponencijalnom obliku,
I = 2 exp(− j
3π
)A.
4
(Setite se
I=
(− 1)2 + (− 1)2
= 2 , ψ = arctg − 1 ). Vektor koji odgovara
−1
kompleksnoj struji leži u trećem kvadrantu. Dakle, efektivna vrednost struje je I = 2 A , a početna
3π 
3π

faza ψ = − 4 . Konačno je trenutna vrednost struje i (t ) = 2 cos ωt − 4  A .


Uvoñenjem kompleksnih predstavnika, zamenili smo fazorski račun kompleksnim računom.
To je pogodnije za rešavanje većine problema analize kola u prostoperiodičnom režimu. Pomoću
računara, moguće je primenom kompleksnog računa rešavati i veoma složena kola, sa stotinama i
hiljadama elemenata.
Složena kola prostoperiodične struje rešavaju se na sličan način kao i kola vremenski
konstantnih struja, polazeći od prvog i drugog Kirhofovog zakona, kao i relacija izmeñu napona i
struja elemenata, odnosno grana. Iz Kirhofovih zakona se izvode metod konturnih struja i metod
potencijala čvorova, koji obezbeñuju manji sistem jednačina nego direktna primena Kirhofovih
zakona. Jednačine za kola u prostoperiodičnom režimu pišu se u kompleksnom domenu, a formalno
imaju isti oblik kao jednačine za kola vremenski konstantnih struja, samo su ''obični'' naponi i struje
zamenjeni kompleksnim, a otpornosti zamenjene kompleksnim impedansama.
3.2. Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku. Impedansa i admitansa
Kao što je izloženo u odeljku o analizi kola promenjivih struja u vremenskom domenu,
smatramo da za ta kola važe Kirhofovi zakoni. Formulacija Kirhofovih zakona i topološki principi
formiranja jednačina po ovim zakonima isti su kao kod vremenski konstantnih struja. Kada se, za
kola u prostoperiodičnom režimu, jednačine po Kirhofovim zakonima napisane u vremenskom
domenu preslikaju u kompleksni domen, dobijaju se jednačine koje su formalno potpuno iste kao za
kola vremenski konstantnih struja15, samo što su simboli za napone i struje podvučeni, jer se sada
radi sa kompleksnim predstavnicima napona i struja.
15
Do Kirhofovih zakona u kompleksnom obliku može se doći i preko Kirhofovih zakona u algebarskom obliku.
39
Prvi Kirhofov zakon
Za kolo koje ima nč čvorova i n g grana (povezani graf), po prvom Kirhofovom zakonu (I
KZ) se može postaviti (nč − 1) linearno nezavisna jednačina. Te jednačine pišemo za sve čvorove
osim jednog. Za jedan čvor, jednačina po I KZ ima oblik
∑I = 0 ,
tj. algebarski zbir struja grana koje se stiču u tom čvoru je nula. Predznak struje grane je “+” ako je
referentni smer grane od čvora, a “–“ ako je referentni smer ka čvoru.
Drugi Kirhofov zakon
Broj linearno nezavisnih jednačina po drugom Kirhofovom zakonu (II KZ) je
nk = ng − (nč − 1) . Te jednačine imaju oblik
∑U = 0 ,
tj. algebarski zbir napona svih grana duž proizvoljnog zatvorenog puta (konture) u kolu jednak je
nuli. U taj zbir napon ulazi sa predznakom “+” ako se smer obilaska konture poklapa sa referentnim
smerom napona (referentni smer napona je od negativnog ka pozitivnom kraju), a “–“ ako su ti
smerovi suprotni.
Alternativni oblik II KZ je
∑ (E ,− Z I ) = 0
Zbir je algebarski, a sabiranje ide duž odabrane konture. Pravila o predznacima su ista kao
kod računanja napona izmeñu dve tačke u kolu (videti i odeljak 3.2.3). Meñutim, ovaj oblik II KZ
važi pod uslovom da kontura ne prolazi kroz granu sa idealnim strujnim generatorom (ISG).
Ako u kolu ima ISG, onda je postupak isti kao kod rešavanja kola stalnih struja. Sistem
kontura se odabere tako da kroz granu sa ISG prolazi jedna i samo jedna kontura. Za tu konturu se
ne sme pisati jednačina oblika ∑ (E ,− Z I ) = 0 . Umesto te jednačine, piše se jednačina da je struja
grane jednaka struji strujnog generatora (sa predznakom “+” ili “–„, zavisno od toga da li se smerovi
struje grane i strujnog generatora poklapaju ili ne). Ovakva procedura se primenjuje na svaki ISG
koji postoji u kolu. Da bi se kolo moglo jednoznačno rešiti, ISG moraju tako biti rasporeñeni u kolu
da se može formirati (makar jedno) stablo grafa kola koje ne sadrži nijednu granu sa ISG. Drugim
rečima, mora postojati makar jedno stablo grafa takvo da sve grane sa ISG pripadaju kostablu.
Izbor kontura
Konture se mogu izabrati na razne načine, kao i kod kola vremenski konstantnih struja. Na
šemama ćemo konture crtati i označavati kao i kod vremenski konstantnih struja.
Prvi način je da se za konture uzmu elementarne konture (okca). Taj postupak je primenljiv
samo na planarne grafove. Kod nekih formulacija jednačina (po II KZ i po metodu konturnih struja)
poteškoću pravi svaki ISG koji se nalazi u grani zajedničkoj za dva okca.
Drugi način je heuristički algoritam. Prva kontura se odabere proizvoljno, a svaka naredna
tako da sadrži bar jednu granu koju ne sadrže prethodno odabrane konture. Ovaj postupak nekada
jednostavno dovodi do odgovarajućeg sistema kontura, ali ima situacija kada izbor kontura zapadne
u ćorsokak. Primer je kolo čiji je graf prikazan na slici 3.2. Ako kao prvu konturu odaberemo levo
okce, a kao drugu desno okce, više ne postoji nijedna grana koja nije uključena u ove dve konture,
tako da algoritam ne može pronaći treću konturu, iako je očigledno da bi to moglo da bude srednje
okce. Dodatnu komplikaciju kod heurističkog algoritma izazivaju ISG ukoliko jednačine koje se
pišu zahtevaju da jedan generator može pripadati jednoj i samo jednoj konturi.
40
Slika 3.2. Primer grafa i redosled heurističkog izbora kontura koji ne dovodi do dobrog rezultata
Treći način je izbor nezavisnih kontura zasnovan na topološkoj analizi, polazeći od stabla
grafa. Broj grana stabla je (nč − 1) za kola koja posmatramo u okviru ovog predmeta (kola sa
povezanim grafom). Ostale grane (spojnice), njih nk = ng − (nč − 1) , čine kostablo. Svakoj spojnici se
pridruži jedna i samo jedna kontura. Ta kontura obuhvata posmatranu spojnicu, a ostale grane
konture su odgovarajuće grane stabla. Grane sa ISG moraju biti u kostablu ako se za konture pišu
jednačine u obliku koji zahteva da jedan strujni generator pripada jednoj i samo jednoj konturi.
3.2.1. Kompleksna impedansa i admitansa
Kod otpornika, za usaglašene referentne smerove, u vremenskom domenu važi relacija
Operacije sa fazorima direktno se preslikavaju na operacije sa kompleksnim brojevima,
što sledi iz načina uvoñenja kompleksnog računa. U relaciji izmeñu napona i struje otpornika
imamo samo množenje konstantom, koje se u kompleksnom domenu preslikava na množenje istom
(realnom) konstantom. Stoga su kompleksni napon i kompleksna struja otpornika povezani
relacijom U = R I . Ova jednačina je formalno ista kao za odgovarajuće fazore. Meñutim, u domenu
fazora ne definišemo deljenje fazora, dok u domenu kompleksnih brojeva nema problema da delimo
kompleksne predstavnike. Tako odavde imamo U / I = R . Videćemo da se količnik kompleksnog
napona i struje može formirati za bilo koji prijemnik. Taj količnik se naziva kompleksnom
impedansom prijemnika (obično se kaže samo ''impedansa''), odnosno
U
Z=
I
u (t ) = Ri (t ) .
Jedinica je om (Ω). Za otpornik je Z = R i čisto je realan broj.
U opštem slučaju, meñutim, kompleksna impedansa je kompleksan broj koji pišemo u
obliku Z = Ze jφ , gde je Z modul kompleksne impedanse, a Φ njen argument. Iz relacije Z = U / I
sledi Z = U / I , tj. modul kompleksne impedanse jednak je količniku efektivnih vrednosti napona i
struje prijemnika. Dakle, modul kompleksne impedanse je isto što i impedansa definisana u
vremenskom domenu. To se slaže sa rezultatom koji smo dobili za otpornik jer je Z = R . Iz relacije
Z = U / I sledi i φ = θ − ψ , odnosno argument kompleksne impedanse jednak je faznoj razlici napona
i struje prijemnika. Kompleksna impedansa otpornika je čisto realna, što znači da je njen argument
φ = 0 , pa su napon i struja u fazi. To je, takoñe, u skladu sa rezultatima dobijenim analizom u
vremenskom domenu. Kompleksna impedansa impedansa kalema je kalema Z = jωL , a
kondenzatora Z = 1 /( jωC ) = − j /(ωC ) 16.
di
i U = Z L I = jωL I , kao da se izvod u vremenskom domenu preslikava u jω u
dt
U
U
1
kompleksnom domenu. Slično, ako poredimo izraze i =
, kao da se integral preslikava u
=
udt i I =
∫
ZL
jωL
C
16
Ako uporedimo relacije u = L
1
.
jω
41
Kompleksna admitansa je recipročna vrednost kompleksne impedanse,
1
Y=
Z
Argument kompleksne admitanse je −φ , odnosno predstavlja faznu razliku izmeñu struje i
napona prijemnika. Kompleksna admitansa otpornika je Y = 1 / R = G , kalema Y = 1 /( jωL ) = − j /(ωL) , a
kondenzatora Y = jωC . Jedinica je simens (S). I ovi izrazi se slažu sa rezultatima analize u
vremenskom domenu. O kompleksnoj impedansi i admitansi biće još reči kasnije.
Na osnovu svega izloženog, u kompleksnom domenu su relacije izmeñu napona i struje
obične algebarske relacije oblika U = Z I ili I = Y U (pri usaglašenim referentnim smerovima).
3.2.2. Rezistansa, reaktansa, konduktansa i susceptansa
U opštem slučaju proizvoljnog prijemnika (koji se sastoji od otpornika, kalemova i
kondenzatora), kompleksnu impedansu možemo rastaviti na realni i imaginarni deo, tj. pisati
Z = R + jX
gde je R = Re{Z } realni deo kompleksne impedanse i naziva se rezistansom, dok je X = Im{Z }
imaginarni deo i naziva se reaktansom. Jedinica za rezistansu i reaktansu je om (Ω).
Ne treba mešati oznaku za rezistansu i oznaku za otpornost otpornika. Kod redne veze
otpornika i kalema je, slučajno, rezistansa jednaka otpornosti otpornika, dok je kod paralelne veze
izraz za rezistansu složen.
Pošto je Z kompleksna veličina, može se grafički prikazati u kompleksnoj ravni (slika 3.3).
Ovakav prikaz je isti kao za fazore, pa se naziva i fazorskim dijagramom, iako kompleksna
impedansa nije prostoperiodična veličina.
Iz uslova pasivnosti (videti odeljak 2.8.1) za rezistansu sledi ograničenje R ≥ 0 , dok
reaktansa može biti proizvoljnog znaka.
Slika 3.3. Prikaz kompleksne impedanse
U algebarskom, eksponencijalnom i trigonometrijskom obliku izrazi za kompleksnu
impedansu glase: Z = R + jX = Ze jϕ = Z cos ϕ + jZ sin ϕ . Odavde je R = Z cos ϕ i X = Z sin ϕ . Takoñe
X

arctg R , R > 0

 π , R = 0, X > 0
π
π
2
2
φ
=
R
≥
0
2
imamo Z = R + X . Pošto je
, mora biti − ≤ φ ≤ . Stoga je
.
 π
2
2
− , R = 0, X < 0
 2
0, R = 0, X = 0
Analogno kompleksnoj impedansi, kompleksnu admitansu možemo pisati u obliku
Y = G + jB ,
42
gde je G = Re{Y } realni deo kompleksne admitanse i naziva se konduktansom, dok je B = Im{Y }
imaginarni deo i naziva se susceptansom. Jedinica za konduktansu i susceptansu je simens (S). Ne
treba mešati oznaku za konduktansu i oznaku za provodnost otpornika.
Kompleksna admitansa se može prikazati u kompleksnoj ravni kao na slici 3.4.
1
1 − jφ
jν
S obzirom da je Y = Z , imamo Y = Ye = Z e , odnosno izmeñu modula važi relacija ZY = 1 ,
a argumenti su suprotni, tj. ν = −φ (slika 3.5). Iako je uvedena oznaka za argument kompleksne
admitanse (ν), ona se retko upotrebljava, a argument se uglavnom označava sa −φ .
Dakle, u algebarskom, eksponencijalnom i trigonometrijskom obliku izrazi za kompleksnu
− jϕ
admitansu glase: Y = G + jB = Ye = Y cos ϕ − jY sin ϕ . Dalje je G = Y cos ϕ i B = −Y sin ϕ . Pošto je cos φ ≥ 0
(jer ν ne može biti u II ni III kvadrantu), za konduktansu važi ograničenje G ≥ 0 , dok susceptansa
može biti proizvoljnog znaka. Takoñe imamo Y = G 2 + B 2
Slika 3.4. Prikaz kompleksne admitanse
B

− arctg G , G > 0

− π , G = 0, B > 0

φ
=
 2
i
.
π
 , G = 0, B < 0
2
0, G = 0, B = 0
Slika 3.5. Kompleksna impedansa i admitansa
1
R − jX
1
R
X
= 2
= 2
−j 2
, odnosno
Iz relacije Y = Z sledi Y =
2
2
R + jX R + X
R +X
R +X2
G=
R
R
X
X
= 2 i B=− 2
=− 2 .
2
2
R +X
Z
R +X
Z
2
Analogno se izvode obrnute relacije, Z =
1
1
, odnosno
=
Y G + jB
G
G
B
B
= 2 i X =− 2
=− 2 .
2
2
G
+
B
Y
G +B
Y
RG
=
1
Treba zapaziti da je
samo u posebnom slučaju kada je X = 0 (odnosno B = 0 ). Takoñe
je XB = −1 samo u posebnom slučaju kada je R = 0 (odnosno G = 0 ).
R=
2
1
Napomenimo da se ponegde u literaturi reaktansa kondenzatora definiše kao X C = ωC , ali je
onda kompleksna impedansa kondenzatora Z = − jX C . Analogno važi i za susceptansu kalema.
3.2.3. Određivanje napona između dve tačke
Posledica drugog Kirhofovog zakona je da se napon izmeñu dve tačke u kolu može odrediti
kao algebarski zbir napona duž proizvoljnog puta u kolu od druge tačke do prve, odnosno
43
1
U 12 = ∑ U ,
2
uz isto pravilo o predznacima napona kao prilikom formiranja jednačina po drugom Kirhofovom
zakonu.
Ako se duž putanje sumiranja napona nalaze samo idealni naponski generatori (ING) i
prijemnici (odnosno, ako duž putanje nema ISG), onda se napon može izračunati preko
elektromotornih sila generatora i kompleksnih struja i impedansi prijemnika kao
2
U 12 = ∑ (E ,− Z I ) .
1
Za svaki ING koji se nañe na putanji sumiranja napona, elektromotorna sila ulazi u zbir sa
predznakom “+” ako se smer putanje i referentni smer elektromotorne sile poklapaju, inače je
predznak „-„. Za svaki prijemnik koji se nañe na putanji sumiranja, u zbir ulazi član oblika − Z I ako
se smer putanje i referentni smer struje grane poklapaju, inače ulazi član oblika + Z I .
3.3. Redna, paralelna i mešovita veza prijemnika. Ekvivalencija veze
prijemnika u zvezdu i trougao
Ovde ćemo posmatrati veze prijemnika, koji mogu da budu elementi (R, L ili C) ili njihove
kombinacije.
3.3.1. Redna veza prijemnika
Posmatrajmo rednu vezu više, n, (pasivnih) prijemnika, prikazanu na slici 3.6a. Tu vezu
želimo da ekvivalentiramo jednim pasivnim prijemnikom, čija je kompleksna impedansa Z e (slika
3.6b). (Na šemama se za proizvoljan pasivni element, pored pravougaonika kao simbola, ponekad
označava samo modul kompleksne impedanse, radi jednostavnosti.)
Slika 3.6. Redna veza prijemnika (a), ekvivalentan prijemnik (b)
Slično kao u analizi kola vremenski konstantnih struja, dve mreže su ekvivalentne ukoliko
imaju identične relacije izmeñu kompleksnih napona i kompleksnih struja na svojim pristupima.
Kod elementa sa slike 3.6b ta relacija glasi U = Z e I . Da bismo odredili Z e , potrebna nam je veza
izmeñu kompleksnog napona (U) i struje (I) posmatrane redne veze prijemnika. Iz drugog
Kirhofovog zakona, kompleksni napon te redne veze je U = U 1 + U 2 +,...,U n . Kompleksni napon i
44
kompleksna struja pojedinih prijemnika vezani su relacijama U 1 = Z 1 I , U 2 = Z 2 I , ..., U n = Z n I ,
s obzirom da je struja ista kroz sve prijemnike u rednoj vezi. Posle zamene ovih relacija u
prethodnu, i sreñivanja, dobija se U = (Z 1 + Z 2 +,..., Z n )I . Uporeñujući tu relaciju sa vezom izmeñu
kompleksnog napona i struje ekvivalentnog elementa, vidimo da je u ovom primeru
Z e = Z 1 + Z 2 +,..., Z n
n
Ili drugačije napisano
Ze = ∑Zk .
k =1
Ovaj rezultat se može izraziti preko admitansi. Ako je Y e = 1 / Z e ekvivalentna kompleksna
admitansa, a Y k = 1 / Z k , k = 1,..., n kompleksne admitanse prijemnika, onda je
n
1
1
1
1
1
=
+
+,...,
=∑
Y e Y1 Y 2
Y n k =1 Y k
Primer 3.3. Za impedansu redne veze otpornika, kalema i kondenzatora (slika 2.21a, dobija se
1
1 

Z e = Z R + Z L + Z C = R + jωL +
= R + j  ωL −

jωC
ωC 

1
jΦ
ωL −
ili u obliku Z e = Ze , gde je Z = R 2 +  ωL − 1  ,
ωC .
Φ
=
arctg
ωC 

2
R
Kod računanja ekvivalentne otpornosti redne veze otpornika u kolima stalnih struja, uvek je
ekvivalentna otpornost bila veća od svake pojedinačne otpornosti. Kompleksni brojevi se ne mogu
porediti po veličini (mada mogu njihovi moduli ili argumenti). Stoga nema smisla pitanje da li je
ekvivalentna kompleksna impedansa redne veze prijemnika veća ili manja od pojedinačnih
kompleksnih impedansi. Meñutim, moguć je jedan poseban slučaj, koji se ne može javiti kod stalnih
struja: ekvivalentna kompleksna impedansa može biti jednaka nuli (ekvivalentna kompleksna
admitansa je beskonačna), iako je svaka pojedinačna kompleksna impedansa različita od nule.
Najjednostavniji primer je ako je na slici 2.21a za kalem induktivnosti L, i kondenzator
kapacitivnosti C ispunjen uslov ω2 LC = 1 (tj. redna veza kalema i kondenzatora je u rezonanciji).
ω 2 LC − 1
1
Z
=
R
+
j
L
+
=
R
+
j
= R , odnosno ako je R = 0 , tada je
ω
Tada je
e
jωC
ωC
j ωC
ω 2 LC − 1
1
→∞.
Z e = jωL +
=j
= 0 , odnosno Y e =
1 − ω2 LC
jω C
ωC
3.3.2. Paralelna veza prijemnika
Posmatrajmo paralelnu vezu više, n, (pasivnih) prijemnika, prikazanu na slici 3.7a. Iz prvog
U
U
U
Kirhofovog zakona imamo I = I 1 + I 2 +,..., I n , gde je I 1 =
, I2 =
, …, I n =
, jer je
Z1
Z2
Zn
napon isti na svim prijemnicima u paralelnoj vezi. Posle zamene u prethodnu relaciju i sreñivanja,
U
 1
1
1 
U . Uporeñujući sa relacijom I =
+
+,...,
dobija se I = 
koja važi za kolo na slici
Ze
Zn 
 Z1 Z 2
3.7b, dobija se opšta relacija za kompleksnu impedansu n paralelno vezanih prijemnika, izražena
preko impedansi
45
n
1
1
1
1
1
=
+
+,...,
=∑
Z e Z1 Z 2
Z n k =1 Z k
ili izraženo preko admitansi
n
Y e = Y 1 + Y 2 +,...,Y n = ∑ Y k .
k =1
Slika 3.7. Paralelna veza prijemnika (a), ekvivalentan prijemnik (b)
Primer 3.4. Neka su kompleksne impedanse dva paralelno vezana prijemnika Z 1 = R1 + jX 1
(R + jX 1 )(R2 + jX 2 )
Z1Z 2
1
Ze =
=
= 1
= Re + jX e
1
1
Z
=
R
+
jX
Z1 + Z 2
R1 + jX 1 + R2 + jX 2
, gde je
i 2
2
2 . Tada je
+
Z1 Z 2
potrebno odrediti Re i X e .
Kod računanja ekvivalentne kompleksne admitanse paralelne veze prijemnika, moguć je
slučaj da ta admitansa bude jednaka nuli (ekvivalentna kompleksna impedansa je beskonačna), iako
je svaka pojedinačna kompleksna admitansa različita od nule. Najjednostavniji primer je ako su na
slici 3.7 samo dva elementa, prvi element kalem induktivnosti L, drugi element kondenzator
kapacitivnosti C, i ako je uz to ispunjen uslov ω2 LC = 1 (tj. paralelna veza kalema i kondenzatora je
u antirezonanciji, videti odeljak 2.7.6). Tada je
Y e = jω C +
1
ω2 LC − 1
=j
=0,
jω L
ωL
odnosno
1
jω L
jω C
Ze =
=
→∞.
1
1 − ω2 LC
jω L +
jω C
jωL
3.3.3. Mešovite veze prijemnika
Podrazumevaju se kombinacije veza koje čine redne i paralelne veze. Odreñivanje
ekvivalentne impedanse vrši se postepenim zamenama rednih i paralelnih veza ekvivalentnim
vezama, slično kao kod mešovitih veza otpornika kod vremenski konstantnih struja. U odreñivanju
se polazi od najjednostavnije (unutrašnje) veze, pa se, korak po korak, ekvivalencijom obuhvata sve
više elemenata, dok se ne odredi ekvivalentna impedansa (ili admitansa) čitave mreže.
Primer 3.5. Odrediti ekvivalentnu impedansu mešovite veze prijemnika na slici 3.8, gde je
Z 1 = R1 , Z 2 = jX L , ( X L > 0) i Z 1 = jX C , ( X C < 0) .
46
Slika 3.8. Primer kombinovane veze prijemnika (pasivnih elemenata)
Očigledno, Z 2 i Z 3 su u paralelnoj vezi, a Z 1 sa njima u rednoj, prema tome
jX L jX C
XL XC
XL XC
Z2Z3
Z e = Z1 +
= R1 +
= R1 −
= R1 + j
Z2 + Z3
jX L + jX C
j( X L + X C )
XL + XC
3.3.4. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao
Posmatramo tri pasivna elementa (tri prijemnika) vezana u zvezdu i trougao, slika 3.9.
Uslovi ekvivalencije su isti kao kod otpornika. Izvoñenje relacija ekvivalencije je analogno
izvoñenju u analizi kola vremenski konstantnih struja.
Kompleksne impedanse grana zvezde su Z 1 , Z 2 i Z 3 . Kompleksne impedanse grana trougla
su Z 12 , Z 23 i Z 31 . Zvezda se može zameniti ekvivalentim trouglom (tj. zvezda se može
transfigurisati u trougao), prikazanim na istoj slici, ako su kompleksne impedanse grana trougla
Z 12 = Z 1 + Z 2 +
Z1Z 2
,
Z3
Z 23 = Z 2 + Z 3 +
Z2Z3
i
Z1
Z 31 = Z 1 + Z 3 +
Z 3 Z1
.
Z2
Izraženi preko admitansi, uslovi ekvivalencije glase:
Y 12 =
Y 1Y 2
Y1 + Y 2 + Y 3
,
Y 23 =
Y 2Y 3
i
Y1 + Y 2 + Y 3
Y 31 =
Y 3Y 1
.
Y1 + Y 2 + Y 3
Slika 3.9. Uz ekvivalenciju zvezde i trougla
I obrnuto, trougao pasivnih elemenata se može zameniti ekvivalentnom zvezdom (tj. trougao
se može transfigurisati u zvezdu) čije su kompleksne impedanse
Z1 =
Z 12 Z 31
Z 12 + Z 23 + Z 31
,
Z2 =
Z 23 Z 12
Z 12 + Z 23 + Z 31
i
Z3 =
Z 23 Z 31
Z 12 + Z 23 + Z 31
.
Izraženi preko admitansi, uslovi ekvivalencije glase:
Y 1 = Y 12 + Y 31 +
Y 12 Y 31
Y 23
, Y 2 = Y 23 + Y 12 +
47
Y 31Y 23
Y 23 Y 12
i Y 3 = Y 31 + Y 23 +
.
Y 12
Y 31
Relacije izmeñu kompleksnih admitansi grana zvezde i trougla mogu se iskoristiti za
izvoñenje ekvivalencije izmeñu zvezde i trougla kondenzatora. Formalno, jednačine su identične
CC
1 2
kao za admitanse, samo su kompleksne admitanse zamenjene kapacitivnostima: C12 = C + C + C ,
1
2
3
C23 =
C2C3
C1 + C2 + C3 ,
C3 = C31 + C23 +
C31 =
C3C1
C1 + C2 + C3 ,
C1 = C12 + C31 +
C12C31
C23 ,
C2 = C23 + C12 +
C23C12
C31
i
C31C23
C12 . Kao primer, na slici 1.10 su prikazani simetrična zvezda i njoj ekvivalentan
trougao.
. a)
b)
Slika 3.10. Simetrična zvezda kondenzatora (a) i njoj ekvivalentan trougao (b)
Prilikom transfiguracije zvezde u trougao ili obrnuto, može se naići na neke probleme. Prvi
problem je dobijanje negativnih rezistansi.
Primer 3.6. Posmatrajmo zvezdu sa slike 3.11. Neka je, konkretno, ωL = R = 1 Ω , odnosno
Z 1 = j Ω , Z 2 = j Ω i Z 3 = 1 Ω . Za ekvivalentni trougao je Z 12 = (−1 + 2 j) Ω i Z 23 = (2 + j) Ω = Z 31 ,
odnosno rezistansa jedne grane trougla je negativna.
Slika 3.11. Primer veze u zvezdu
Slika 3.12. Primer veze u trougao
Takav rezultat znači da datoj zvezdi nije moguće fizički realizovati ekvivalentni trougao (jer
ne postoji pasivni element sa negativnom rezistansom). Meñutim, ako se transfiguracija radi samo u
cilju uprošćavanja kola (na primer, da bi se izračunala ekvivalentna impedansa mosta), negativna
rezistansa ne smeta u sledećim koracima. Na primer, ako se uprošćava most, njegova ekvivalentna
rezistansa mora biti nenegativna. (Ako se dobije negativna rezistansa, to je samo pokazatelj da je
usput napravljena neka omaška.)
Drugi problem je da se dobijaju nulte ili beskonačne kompleksne impedanse ili admitanse.
48
1
Primer 3.7. Posmatramo trougao sa slike 3.12. Neka je, konkretno, ωC = 1 Ω i ωL = 2 Ω .
Tada su kompleksne impedanse grana trougla Z 12 = − j Ω = Z 31 , Z 23 = 2 j Ω , pa se dobija da su
kompleksne impedanse sve tri grane ekvivalentne zvezde beskonačne (odnosno admitanse su
jednake nuli), te se takav trougao nemože transformisati u zvezdu.
Slična (dualna) situacija može nastati kod transfiguracije zvezde u trougao, kada su
impedanse grana trougla jednake nuli (odnosno admitanse su beskonačne). U takvim situacijama
treba pokušati rešavanje kola na drugi način, tako da se izbegne transfiguracija posmatranog trougla,
odnosno zvezde.
Primer 3.8. Kao primer primene transfiguracija, izračunajmo ekvivalentnu impedansu mosta
9 −1
prikazanog na slici 3.13a za sledeće brojne podatke: ω = 10 s , C1 = C2 = 20 pF , L1 = L2 = 100 nH i
R = 100 Ω . Odavde su impedanse elemenata: Z C1 = Z C 2 = − j50 Ω , Z L1 = Z L 2 = j100 Ω i Z R = 100 Ω .
Slično kao u kolima stalnih struja, ako se radi sa impedansama, pogodnije je transfigurisati
trouglove u zvezde. Tako se dobija više rednih veza (kod kojih se impedanse sabiraju). Ako se
transfigurišu zvezde u trouglove, dobija se više paralelnih veza, što je pogodnije ako se radi sa
admitansama (jer se one sabiraju kod paralelnih veza). Meñutim, u posmatranom primeru, trougao
C1-C2-L2 se ne može transfigurisati jer je Z C1 + Z C 2 + Z L 2 = 0 . Zato transfigurišemo trougao L1-L2-R u
ekvivalentnu zvezdu (slika 3.13b). Impedanse grana zvezde su Z 1 = (−20 + j40) Ω i
Z 2 = Z 3 = (40 + j20) Ω . Dalje, redne veze C1-Z1 i C2-Z2 zamenjujemo ekvivalentnim impedansama
(slika 3.13c) Z 4 = (−20 − j10) Ω , odnosno Z 5 = (40 − j30) Ω , pa paralelnu vezu Z4-Z5 zamenjujemo
ekvivalentnom impedansom (slika 3.13d) Z 6 = (−15 − j20) Ω . Na kraju, rednu vezu Z6-Z3
zamenjujemo ekvivalentnom impedansom Z e = (25 + j0) Ω , što je traženi rezultat (slika 3.13e).
Z4
Z3
Z5
Ze
a)
b)
d)
c)
e)
Slika 3.13. Veza pasivnih elemenata u most (a), postupak transfiguracije za računanje ekvivalentne
impedanse (b - e)
Ekvivalentna impedansa proizvoljne mreže može se izračunati svoñenjem na rednoparalelnu vezu primenjujući transfiguracije trougla u zvezdu ili obrnuto. Ta impedansa se može
49
izračunati i na drugi način. Na priključke mreže se veže generator (idealni naponski, idealni strujni
ili realni generator), koji se naziva test-generatorom. Zatim se reši dobijeno složeno kolo (na primer,
metodom potencijala čvorova) i izračunaju kompleksni napon i kompleksna struja na priključcima
mreže. Iz napona i struje dobija se tražena impedansa (kao količnik napona i struje). Odreñivanje
impedanse koristeći se test-generatorom primenjuje se i u merenjima, i programima za simulaciju
električnih kola (kao što je, na primer, Spice). Sve što je rečeno za impedansu, važi i za admitansu.
Ovako ćemo postupati kod odreñivanja ekvivalentne impedanse spregnutih kola.
3.3.5. Ekvivalencija naponskog i strujnog generatora
Šema idelanog naponskog generatora (ING) prikazana je na slici 3.14a, a realnog naponskog
generatora (RNG) na slici 3.14 b. Šema idealnog strujnog generatora (ISG) prikazana je na slici
3.15a, a relanog strujnog generatora (RSG) na slici 3.15 b.
Slika 3.14. ING (a), RNG (b)
Slika 3.15. ISG (a), RSG (b)
Analogno kao kod vremenski konstantnih struja, dolazi se do uslova ekvivalencije RNG i
RSG:
E
=YgE
Zg
Učestanost f (ili kružna učestanost ω) oba generator su iste.
ZS = Zg,
IS =
3.4. Metoda konturnih struja u kompleksnom obliku
Kako su sve metode i teoreme za rešavanje električnih mreža sa vremenski konstantnim
strujama zasnovane na I i II Kirhofovom zakonu, a ti zakoni su formalno isti u kompleksnom obliku
za mreže sa prostoperiodičnim strujama, to sve metode i teoreme izvedene za mreže sa vremenski
konstantnim strujama važe i za mreže sa prostoperiodičnim strujama. Razlika je samo u tome što se
ovde radi sa kompleksnim naponima i strujama, i što umesto otpornosti stoji impedansa. Ovde te
metode nećemo ponovo dokazivati, već samo formulisati i ponegde ilustrovati primenu primerima.
Sistem od nk = ng − (nč − 1) jednačina po metodu konturnih struja (KS) se može napisati u
sledećem opštem obliku (ako nema ISG):
50
Z 11 I k1 + Z 12 I k 2 + ... + Z 1n I kn = E k1
k
k
Z 21 I k1 + Z 22 I k 2 + ... + Z 2n I kn = E k 2
k
M
Z n 1 I k1 + Z n
k
k
2 I k2
+ ... + Z n
k
k nk
I kn = E kn
k
.
(*)
k
U ovom sistemu jednačina je:
•
Z ii , i = 1,..., nk , (običan) zbir impedansi svih grana koje pripadaju i-toj konturi (sopstvena
impedansa i-te konture), uvek sa predznakom „+“.
•
Z ij , i, j = 1,..., nk , i ≠ j (običan) zbir impedansi svih grana koje istovremeno pripadaju i-toj i j-
toj konturi (meñusobna impedansa i-te i j-te konture), sa predznakom „+“ ako se duž
zajedničkih grana poklapaju smerovi tih kontura, a sa predznakom „-„ ako su smerovi
suprotni. Očigledno je Z ij = Z ji (recipročnost).
E ki , i = 1,..., nk , algebarski zbir elektromotornih sila svih ING grana koje pripadaju i-toj
konturi (elektromotorna sila i-te konture). U taj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom
„+“ ako se orijentacija konture poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sila, a sa
predznakom „-„ ako su ti smerovi suprotni.
Ukoliko u kolu postoje grane sa ISG, postupak je sličan kao kod alternativnog oblika
jednačina po Kirhofovim zakonima (podpoglavlje 3.2). Konture se odaberu tako da grana sa svakim
ISG pripada jednoj i samo jednoj konturi. Jednačina po metodu KS za takvu konturu se ne piše u
obliku (*). Umesto toga, piše se jednačina da je odgovarajuća konturna struja jednaka struji strujnog
generatora sa predznakom „+“ ako se orijentacija konture i referentni smer struje generatora
poklapaju, a sa predznakom „-„ ako su ti smerovi suprotni.
Ukoliko mreža sadrži RSG, onda se oni mogu pretvoriti u RNG (pa postupiti na način kao
kada mreža ima naponske generatore), ili postupiti na prethodni način (jer je RSG paralelna veza
grane sa ISG i grane sa unutrašnjom impedansom strujnog generatora).
Rešavanjem sistema linearnih jednačina (*) dobijaju se konturne struje.
Ako dve konture nemaju zajedničkih grana, onda je meñusobna impedansa te dve konture
jednaka nuli. Meñutim, dve konture mogu imati zajedničkih grana, a da meñusobna impedansa ipak
bude jednaka nuli. Na primer, to je slučaj ako je grana sa ING jedina grana zajednička za dve
konture (jer je impedansa takve grane jednaka nuli). Drugi primer je situacija kada su u zajedničkim
granama samo reaktivni elementi (kalemovi i kondenzatori), ali je zbir njihovih kompleksnih
impedansi jednak nuli. Slična situacija je moguća i za sopstvenu impedansu konture, ako su u
konturi samo reaktivni elementi.
•
3.5. Metoda potencijala čvorova u kompleksnom obliku
Sistem od (nč − 1) jednačina po metodu potencijala čvorova (PČ) može se napisati u
sledećem opštem obliku (ako nema ING):
Y 11V 1 + Y 12 V 2 + ... + Y 1( nč −1) V ( nč −1) = I č1
Y 21V 1 + Y 22 V 2 + ... + Y 2 ( nč −1) V ( nč −1) = I č 2
.
M
Y ( nč −1)1V 1 + Y ( nč −1) 2 V 2 + ... + Y ( nč −1)( nč −1) V ( nč −1) = I č ( nč −1)
51
(**)
U ovom sistemu je:
•
Y ii , i = 1,..., (nč − 1), (običan) zbir admitansi svih grana koje se stiču u i-tom čvoru (sopstvena
admitansa i-tog čvora), uvek sa predznakom „+“.
•
Y ij , i, j = 1,..., (nč − 1), i ≠ j (običan) zbir admitansi svih grana koje direktno spajaju čvorove i i j
(meñusobna admitansa i-tog i j-og čvora). Taj zbir u jednačine uvek ulazi sa negativnim
predznakom, tj. „-„ (u jednačinama je napisan „+“)17. Očigledno je Y ij = Y ji (recipročnost).
•
I či , i = 1,..., (nč − 1),
algebarski zbir struja svih ISG i ekvivalentnih strujnih generatora grana
koje se stiču u i-tom čvoru (∑ Y E )i + (∑ I S )i . Ekvivalentni strujni generator se dobija
transfiguracijom RNG u RSG (kompleksna impedansa Z ostaje ista, a struja ekvivalentnog
strujnog generatora je I g = E / Z , gde je E elektromotorna sila naponskog generatora). U
ovaj zbir, struje ulaze sa predznakom „+“ ako je referentni smer struje generatora ka čvoru, a
sa predznakom „-„ ako je referentni smer struje od čvora. (Ovo pravilo je suprotno od
pravila za pisanje jednačina po prvom Kirhofovom zakonu.)
Ukoliko u kolu postoje grane koje sadrže samo ING, onda svi ti generatori treba da budu
vezani za referentni čvor. Jednačina po metodu PČ za ''vrući'' čvor za koji je vezan ING se ne piše u
obliku (**). Umesto toga, piše se jednačina da je potencijal čvora, za koji je vezan drugi kraj ING,
jednak elektromotornoj sili generatora sa predznakom „+“ ako je referentni smer elektromotorne
sile ka tome čvoru, a sa predznakom „-„ ako je referentni smer ka čvoru nultog potencijala.
Rezultujući sistem linearnih jednačina rešava se nekim od standardnih metoda.
Ako dva čvora nemaju zajedničkih grana, onda je meñusobna admitansa ta dva čvora
jednaka nuli. Meñutim, dva čvora mogu imati zajedničkih grana, a da meñusobna admitansa ipak
bude jednaka nuli. Na primer, to je slučaj kada su dva čvora spojena granom sa ISG (jer je
admitansa takve grane jednaka nuli). Drugi primer je situacija kada su u zajedničkim granama samo
reaktivni elementi (kalemovi i kondenzatori), ali je zbir njihovih kompleksnih admitansi jednak
nuli. Slična situacija je moguća i za sopstvenu admitansu konture, ako su u granama koje se stiču u
čvoru samo reaktivni elementi. Najzad, moguće je da admitansa neke grane bude beskonačna.
Kada se odrede potencijali svih čvorova, jačina struje u nekoj grani izmeñu čvorova j i k
(slika 3.16), dobija se relacijom
I = Y (E + V j − V k )
Slika 3.16. Primer grane izmeñu dva čvora sa poznatim potencijalima
3.6. Kompleksna snaga prijemnika i generatora
Kompleksna snaga prijemnika
Najzad, definisaćemo još jednu snagu, a to je kompleksna snaga (kompleksna prividna
snaga). To je kompleksan broj čiji je realni deo srednja snaga, a imaginarni deo reaktivna snaga,
17
U nekim udžbenicima se relacije pišu tako se već u jednačinama piše „-„, pa su onda meñusobne admitanse običan
(pozitivan) zbir.
52
S = P + jQ , drugačije napisano, S = UI (cos ϕ + j sin ϕ) .
Jedinica za kompleksnu snagu je ista kao za prividnu snagu, volt-amper (VA). Očigledno,
| S |= S i arg(S ) = φ , odnosno S = S e jφ = UI e jφ .
jθ
Kompleksna snaga se može izraziti preko kompleksnog napona ( U = U e ) i kompleksne
jψ
j( θ + ψ )
struje ( I = I e ) prijemnika. Ako pomnožimo te dve kompleksne veličine, dobijamo U I = UI e
,
što ne odgovara kompleksnoj snazi, jer je argument zbir početnih faza napona i struje, umesto
njihova razlika. Meñutim, ako kompleksnu struju konjugujemo pre množenja, tj. uzmemo I * = Ie-jψ ,
j( θ − ψ )
= UI e jφ = S . Dakle,
dobijamo U I * = UI e
S =UI
*
Kao što se kompleksna impedansa može prikazati fazorskim dijagramom, na isti način se može
prikazati i kompleksna snaga (slika 3.17). Za zadati prijemnik, fazorski dijagrami kompleksne
impedanse i kompleksne snage su identični, izuzimajući razmeru crteža.
Napisaćemo izraze za snage prijemnika u još nekoliko oblika. Neka je Z kompleksna
impedansa prijemnika. Tada se izraz za kompleksnu snagu može pisati u oblicima
S = U I ∗ = Z I I ∗ = ZI 2 = RI 2 + jXI 2 = P + jQ .
U
Kako je I = Z = Y U , imamo i oblike
∗
S = UY U
∗
∗
=Y U
2
= GU
2
− j BU
2
= P + jQ .
gde su P i Q aktivna i reaktivna snaga.
|
|S
=S
Slika 3.17. Prikaz kompleksne snage
Kompleksne snage generatora
Što se tiče generatora (RNG, RSG, ING, ISG), trenutna, srednja, prividna, reaktivna i
kompleksna snaga, kao i faktori snage i reaktivnosti, računaju se po istim formulama kao za
prijemnik, samo u odnosu na prirodne referentne smerove (usklañene za generator).
Fazna razlika izmeñu napona i struje generatora može, u principu, biti proizvoljna, tj. − π < φ ≤ π
(dok kod pasivnog prijemnika podleže ograničenju − π / 2 < φ ≤ π / 2 pri usklañenim referentnim
smerovima). Ako je, kod generatora, ugao Φ u I ili IV kvadrantu, srednja snaga generatora je
pozitivna (kao i faktor snage). Tada se generator stvarno ponaša kao generator. Ako je ugao Φ u II
ili III kvadrantu, srednja snaga generatora je negativna (kao i faktor snage). Tada se generator
stvarno ponaša kao prijemnik.
Izrazi “aktivna” i “reaktivna” koriste se ponekad i za struju. Tako I cos Φ predstavlja
aktivnu komponentu jačine kompleksne struje I (projekcija I na pravac kompleksnog napona U ),
53
a I sin Φ predstavlja reaktivnu komponentu jačine kompleksne struje I (projekcija I na pravac
upravan na pravac kompleksnog napona U ).
3.7. Teoreme električnih mreža u kompleksnom obliku
Teoreme izvedene kod vremenski konstantnih struja izvedene su polazeći od Kirhofovih
zakona. Prema tome one u formalno istom obliku važe i za mreže sa prostoperiodičnim18 strujama, i
nećemo ih izvoditi i dokazivati, već samo formulisati. Izuzetak je teorema održanja snage koja
postaje teorema održanja kompleksne snage, koju ćemo dokazati.
3.7.1. Teoreme linearnosti
Teorema linearnosti tvrdi da je bilo koji odziv u kolu linearna homogena kombinacija
eksitacija (pobuda)19. Na primer, ako u kolu imamo tri naponske i dve strujne eksitacije, onda se
neki odziv (na primer, napon) u tom kolu može napisati u obliku
U = a1 E1 + a 2 E 2 + a 3 E 3 + a 4 I g4 + a 5 I g5
Priroda kompleksnih konstanti u ovom izrazu je različita: a1 , a 2 i a 3 su po prirodi čisti
brojevi (transmitanse napona), a a 4 i a 5 imaju prirodu admitanse (prenosne admitanse). Da je odziv
kompleksna struja, koeficijenti uz elektromotorne sile bi po prirodi bili impedanse (prenosne
impedanse), a koeficijenti uz struje idealnih strujnih generatora bi bili čisti brojevi (transmitanse
struje).
Iz ovoga rezultata slede tri važna podslučaja.
Teorema linearnosti u užem smislu (teorema proporcionalnosti) važi za slučaj kada u kolu
deluje samo jedna eksitacija. Tada je bilo koji odziv u kolu linearno srazmeran (proporcionalan) toj
eksitaciji. Na primer, ako je eksitacija naponska (elektromotorna sila), a odziv napon, onda imamo
U = a E . Ova teorema se dobija iz teoreme homogenosti kada se u njoj zadrži samo jedan član.
Primer 3.9. Posmatrajmo kolo na slici 3.18. U tom kolu su napon U i struja I linearno
Z Z
Z
2 3
3
srazmerni elektromotornoj sili generatora: U = Z Z + Z Z + Z Z E i I = Z Z + Z Z + Z Z E .
1 2
2 3
3 1
1 2
2 3
3 1
Z1
I
+
Z2
E
Z3 U
Slika 3.18. Uz primer primene teoreme linearnosti
18
Prostoperiodični režim implicitno pretpostavlja da je kolo linearno. Da nije tako, prostoperiodični režim ne bi bio
moguć.
19
Slično kao i u analizi kola stalnih struja, pod eksitacijom (pobudom) podrazumevamo elektromotornu silu naponskog
generatora ili struju strujnog generatora, samo što je sada eksitacija kompleksna. Pod odzivom podrazumevamo neku
linearnu veličinu u kolu (kompleksni napon, kompleksnu struju). Napomenimo da kompleksna snaga ne spada u linearne
veličine.
54
Teorema superpozicije tvrdi da se bilo koji odziv u kolu može dobiti kao zbir
(superpozicija) odziva na svaku pojedinačnu eksitaciju.
Zamislimo da u kolu deluje samo prva eksitacija, pri čemu su sve ostale eksitacije
isključene, pa odredimo odziv. Zatim, zamislimo da deluje samo druga eksitacija, pri čemu su sve
ostale eksitacije isključene, pa odredimo odziv, itd. Na kraju, dobijene pojedinačne odzive
jednostavno saberemo.
Napomenimo da isključivanje naponske eksitacije znači udaljavanje ING iz kola, pri čemu
se tačke izmeñu kojih je generator bio priključen u kolu kratko spoje. Dualno tome, isključivanje
strujne eksitacije znači udaljavanje ISG iz kola, pri čemu se tačke izmeñu kojih je generator bio
priključen u kolu ostave otvorenim (u praznom hodu).
Teorema linearnosti u širem smislu tvrdi da je, ako u kolu deluje više eksitacija, odziv na
jednu eksitaciju linearna funkcija te eksitacije. Za isti hipotetički primer kao za teoremu
homogenosti, odziv na eksitaciju je U = a1 E1 + b , gde je b = a 2 E 2 + a 3 E 3 + a 4 I g4 + a 5 I g5 .
Treba razlikovati uslove pod kojima važe teorema linearnosti u užem smislu (samo jedna
eksitacija u kolu) i u širem smislu (više eksitacija), kao i iskaze (odziv je linearna homogena
funkcija, odnosno linearna funkcija sa slobodnim članom).
3.7.2. Teoreme reciprociteta (uzajamnosti)
Teorema reciprociteta (uzajamnosti) ima više oblika20. Mi ćemo formulisati dva oblika teoreme
reciprociteta za pasivne četvoropole. Četvoropol je mreža sa dva pristupa (dva para krajeva). Ovde
ćemo posmatrati samo četvoropole sastavljene od otpornika, kalemova i kondenzatora (slika 3.19).
Usvojićemo usklañene referentne smerove napona i struja na oba pristupa, kao za generator, uz
napomenu da se u analizi kaskadno vezanih četvoropola često uzimaju neusaglašeni smerovi na
drugom pristupu (koji su onda automatski usaglašeni za sledeći četvoropol vezan u kaskadi).
U oba oblika teoreme reciprociteta, imamo eksitaciju na jednom pristupu mreže, a odziv ćemo
posmatrati na drugom pristupu. U oba oblika su eksitacija i odziv različite prirode: jedno je
naponska veličina, a drugo strujna.
Slika 3.19. Mreža sa dva pristupa (četvoropol)
Prvi oblik: naponska pobuda. Kada na pristup 1 priključimo ING elektromotorne sile E1 ' ,
struja kratkog spoja na pristupu 2 je I 2 ' , prema referentnim smerovima na slici 3.20. Kada na
pristup 2 priključimo ING elektromotorne sile E 2 " , struja kratkog spoja na pristupu 1 je I 1" , prema
referentnim smerovima na slici 3.20. Teorema reciprociteta tvrdi da ako je E 1 ' = E 2 " , onda je I 2 ' = I 1"
(jednakim eksitacijama odgovaraju jednaki odzivi).
Drugi oblik: strujna pobuda. Kada na pristup 1 priključimo ISG struje I g1 ' , napon praznog
hoda na pristupu 2 je U 2 ' , prema referentnim smerovima na slici 3.21. Kada na pristup 2
priključimo ISG struje I g 2 " , napon praznog hoda na pristupu 1 je U 1" , prema referentnim
20
Teoreme reciprociteta se koriste najviše kod četvoropola, da bi se skratio njihov proračun ili uprostila merenja.
55
smerovima na slici 3.21. Teorema reciprociteta tvrdi da ako je I g1 ' = I g 2 " , onda je U 2 ' = U 1"
(jednakim eksitacijama odgovaraju jednaki odzivi).
Slika 3.20. Uz teoremu reciprociteta za naponsku pobudu
Slika 3.21. Uz teoremu reciprociteta za strujnu pobudu
3.7.3. Teoreme kompenzacije
Teoreme kompenzacije imaju različite oblike. Zajedničko je da se, pod odreñenim
okolnostima, jedan deo kola (element, grana, složena mreža) može, u odnosu na ostatak kola,
zameniti sa ING ili ISG. Ti generatori se zovu kompenzacioni generatori.
Posmatraćemo opšti slučaj, prikazan na slici 3.22. Kolo je podeljeno u dva dela, mrežu A i
mrežu B. Ti delovi su meñusobno povezani samo pomoću dva provodnika prikazana na slici 3.22.
Tačke 1 i 2 su tačke spajanja tih mreža. (U slučaju da te mreže imaju zajedničku ''masu'', ona se
računa kao jedan provodnik.)
Teorema kompenzacije ima dva oblika.
Prvi oblik: naponska kompenzacija. Mreža A se u odnosu na mrežu B može zameniti sa
ING čija je elektromotorna sila jednaka E k = U (prema referentnim smerovima sa slika 3.22a, b), a
da se u mreži B ništa ne promeni.
Drugi oblik: strujna kompenzacija. Mreža A se u odnosu na mrežu B može zameniti sa
ISG čija je struja jednaka I gk = I (prema referentnim smerovima sa slika 3.22a, c), a da se u mreži B
ništa ne promeni.
a)
(b)
(c)
Slika 3.22. Kolo sastavljeno do dve mreže povezane sa dva provodnika (a), i primena teoreme
kompenzacije, kada je kada je mreža A zamenjena sa ING (b) i ISG (c)
Mreže A i B su proizvoljne. Mreža može biti samo jedan element, jedna grana ili složena
mreža.
56
Treba uočiti da je kompenzacioni generator idealan.
Ako se bilo šta promeni u bilo kojoj od dve mreže (na primer otvori ili zatvori prekidač ili
promeni parametar nekog elementa), mora se promeniti i kompenzacioni generator (ems naponskog,
odnosno struja strujnog kompenzacionog generatora).
Teoremu kompenzacije implicitno primenjujemo u slučajevima kao na slici 2.19a, kada
pretpostavljamo da se u odnosu na posmatranu mrežu (konkretno, redna veza otpornika i kalema)
nalazi ostatak kola (druga mreža). U tom slučaju, napon koji je označen izmeñu priključaka
posmatrane mreže (a za koji smo smatrali da je poznat) zamenjuje, po teoremi kompenzacije,
ostatak kola. Dualno, umesto napona, mogli smo smatrati da je poznata struja, kada bi ona, po
teoremi kompenzacije, zamenjivala ostatak kola.
Kada se analizira mreža B sa kompenzacionim generatorom (slike 3.22b ili 3.22c),
kompenzacioni generator se može tretirati kao bilo koji drugi generator. Mogu se primenjivati
odgovarajući metodi rešavanja kola i teoreme (na primer, linearnost i superpozicija). Meñutim, treba
imati u vidu da bilo kakva promena u mrežama A i B povlači promenu eksitacije kompenzacionog
generatora.
3.7.4. Teorema ekvivalentnog generatora (Tevenenova i Nortonova teorema)
Tevenenova i Nortonova teorema omogućavaju da se mreža (slika 3.23a), u odnosu na svoja
dva priključka, zameni ekvivalentnim realnim generatorom (naponskim, odnosno strujnim), pri
čemu ekvivalencija važi bez obzira na to šta se priključi na mrežu. Po Tevenenovoj teoremi,
ekvivalentni realni generator je naponski (slika 3.23b), a po Nortonovoj teoremi, ekvivalentni realni
generator je strujni (slika 3.23c). Tevenenova i Nortonova teorema su dualne, a jedan realni
generator se može izvesti transfiguracijom drugog.
Odmah treba napraviti razliku izmeñu teorema kompenzacije, i Tevenenove i Nortonove
teoreme. U oba slučaja se mreža (mreža A sa slike 3.22a i mreža sa slike 3.23a) zamenjuje
ekvivalentnim generatorom. No, u prvom slučaju generator je idealan (slike 3.22b i 3.22c), a u
drugom realan (slike 3.23a i 3.23b). U prvom slučaju zamena važi samo za jednu, odreñenu mrežu
(mreža B na slici 3.22a) koja se priključuje na posmatranu mrežu. U drugom slučaju, zamena važi
bez obzira na to šta se priključuje na posmatranu mrežu. Meñutim, u oba slučaja, kada se odredi
ekvivalentni generator, bilo kakva promena u mreži koja se zamenjuje (mreži A) povlači promenu
ekvivalentnog generatora.
Tevenenova teorema. Mreža sa slike 3.23a se može u odnosu na svoje priključke zameniti
sa RNG sa slike 3.23b, čija je elektromotorna sila jednaka naponu praznog hoda te mreže
( E T = U 012 ), a impedansa jednaka ekvivalentnoj impedansi te mreže ( Z T = Z e12 ). Zamena važi za
proizvoljnu mrežu koja se priključuje na posmatranu mrežu.
Napon praznog hoda mreže sa slike 3.23a ( U 012 ) je napon izmeñu otvorenih priključaka 1 i 2
(kada je struja te mreže jednaka nuli). Referentni smer toga napona poklapa se sa referentnim
smerom napona U označenog na slici.
Nortonova teorema. Mreža sa slike 3.23a se može u odnosu na svoje priključke zameniti sa
RSG sa slike 3.23c, čija je struja jednaka struji kratkog spoja te mreže ( I gN = I ks12 ), a admitansa
jednaka ekvivalentnoj admitansi te mreže ( Y N = Y e12 ). Zamena važi za proizvoljnu mrežu koja se
priključuje na posmatranu mrežu.
Struja kratkog spoja mreže sa slike 3.23a ( I ks12 ) je struja kroz kratko spojene priključke 1 i 2
(kada je struja te mreže jednaka nuli). Referentni smer te struje poklapa se sa referentnim smerom
struje I označene na slici.
57
Ekvivalentna impedansa, odnosno admitansa mreže računaju se tako što se u mreži isključe
eksitacije, čime se dobija pasivna mreža, a onda odredi ekvivalentna impedansa, odnosno admitansa
te pasivne mreže. Pasivni element kod Tevenenovog generatora isti je kao kod Nortonovog
generatora, samo se u prvom slučaju karakteriše svojom impedansom, a u drugom slučaju
admitansom. Važi Z T Y N = 1 .
a)
(b)
(c)
Slika 3.23. Mreža sa jednim pristupom (a),
ekvivalentan Tevenenov generator (b), ekvivalentan Nortonov generator (c)
Nortonov generator se može dobiti transfiguracijom Tevenenovog i obrnuto. Dokaz se
izvodi primenom Nortonove, odnosno Tevenenove teoreme. Pri tome važi I gN = E T / Z T = Y N E T ,
odnosno E T = I gN / Y N = Z T I gN .
U slučaju da je Z e12 = 0 , može se naći samo Tevenenov generator (koji je tada idealan). U
slučaju da je Y e12 = 0 , može se naći samo Nortonov generator (koji je tada idealan).
3.7.5. Teoreme održanja kompleksne i trenutne snage
Najpre ćemo izvesti teoremu održanja trenutne snage, na primeru kola čiji je graf prikazan
na slici 3.24. Na toj slici su označeni usvojeni referentni smerovi struja grana. Napišimo jednačine
po prvom Kirhofovom zakonu (za trenutne struje) za sve čvorove. Izostavićemo eksplicitno pisanje
zavisnosti od vremena. Jednačine glase:
za čvor 1:
i12 + i13 + i14 = 0 ,
čvor 2:
−i12 + i23 + i24 = 0 ,
čvor 3:
−i13 − i23 + i34 = 0 ,
čvor 4:
−i14 − i24 − i34 = 0 .
Slika 3.24. Graf kola za izvoñenje teorema održanja snage
Pomnožimo svaku jednačinu potencijalom odgovarajućeg čvora ( v1 , v2 , v3 , odnosno v4 ) i
saberimo jednačine, ne vodeći računa o tome gde je referentna tačka. Dobija se
58
(v1 − v2 )i12 + (v1 − v3 )i13 + (v1 − v4 )i14 + (v2 − v3 )i23 + (v2 − v4 )i24 + (v3 − v4 )i34 = 0
Razlika potencijala predstavlja napon grane, tako da svaki član u ovome zbiru predstavlja
trenutnu snagu koju grana prima. Ovim smo dokazali da je zbir snaga koje primaju sve grane u kolu
jednak nuli, tj.
∑ pp (t ) = 0
(*)
gde indeks p naglašava da se radi o snazi koju grana prima, što predstavlja teoremu održanja
trenutne snage.
Ako se jednačina (*) pomnoži sa „-1“, svaki član u zbiru predstavlja snagu koju grana
predaje ostatku kola, pa se rezultat može napisati u obliku
∑ pg (t ) = 0
tj. zbir snaga koje predaju sve grane u kolu jednak je nuli, što je druga formulacija teoreme održanja
trenutne snage. Najzad, ako se neki članovi u jednačini (*) prebace na desnu stranu, onda imamo
teoremu održanja snage u obliku
∑ pp (t ) = ∑ pg (t )
gde neke grane kola figurišu u zbiru sa leve strane, a sve ostale u zbiru sa desne strane.
Teorema održanja se može izvesti i za kompleksne snage. Za isti graf, jednačine po prvom
Kirhofovom zakonu u kompleksnom domenu glase:
čvor 1:
I 12 + I 13 + I 14 = 0 ,
čvor 2:
− I 12 + I 23 + I 24 = 0 ,
čvor 3:
− I 13 − I 23 + I 34 = 0 ,
− I 14 − I 24 − I 34 = 0 .
čvor 4:
Konjugujmo sve ove jednačine i pomnožimo svaku potencijalom odgovarajućeg čvora. Kada
se jednačine saberu, dobija se
∗
∗
∗
(V 1 − V 2 ) I 12
+ (V 1 − V 3 ) I 13
+ (V 1 − V 4 ) I 14
+ (V 2 − V 3 ) I ∗23 + (V 2 − V 4 ) I ∗24 + (V 3 − V 4 ) I ∗34 = 0
Svaki član u ovome izrazu predstavlja kompleksnu snagu koju prima odgovarajuća grana, pa
imamo teoremu održanja kompleksne snage u obliku
∑Sp = 0.
Ako se kompleksna snaga razdvoji na realni i imaginarni deo (tj. na aktivnu i reaktivnu snagu),
ova jednačina se razdvaja na dve jednačine. Prva jednačina glasi ∑ Pp = 0 i to je iskaz teoreme
održanja srednje (aktivne) snage. Druga jednačina glasi ∑ Qp = 0 , što je iskaz teoreme održanja
reaktivne snage.
Množenjem „-1“ ili prebacivanjem nekih članova na desnu stranu, dobijaju se i drugi oblici ove
tri teoreme, isto kao kod teoreme održanja trenutne snage.
Napomenimo da teorema održanja ne važi za prividne snage.
3.7.6. Prilagođenje prijemnika na generator (prilagođenje po snazi)
Posmatrajmo realni naponski generator, (RNG) poznate elektromotorne sile E i unutrašnje
impedanse Z g . Na taj generator je priključen prijemnik, kao na slici 3.25. Cilj je da se odredi
impedansa prijemnika ( Z p ) tako da aktivna snaga (skraćeno govoreći, snaga) prijemnika bude
maksimalno moguća. Drugim rečima, cilj je da generator što veću snagu preda prijemniku.
59
Predstavimo impedanse generatora i prijemnika preko odgovarajućih rezistansi i reaktansi,
Z g = Rg + jX g i Z p = Rp + jX p . Rg i X g smatramo poznatim, a Rp ( Rp > 0 ) i X p nepoznatim. Struja u
R E2
E
p
2
prostom kolu sa slike 3.25 je I = Z + Z . Snaga prijemnika je P = Rp I =
(Rp + Rg )2 + (X p + X g )2 .
g
p
2
Prisustvo člana (X p + X g ) u imeniocu samo smanjuje snagu. Očigledno, optimalno bi bilo da je
(X p + X g )2 = 0 , odnosno
u P=
X p = − X g . Ako je taj uslov ispunjen, izraz za snagu prijemnika se uprošćava
Rp E 2
(Rp + Rg )2 . Ovaj izraz se može preurediti u
P=
E2
Rp + 2 Rg +
Rg2
. Snaga ima maksimum kada izraz
Rp
u imeniocu ima minimum. Diferenciranjem imenioca po Rp i izjednačavanjem s nulom dobija se
jednačina 1 −
Rg2
Rp2
=0.
Ova jednačina ima dva rešenja, Rp = ± Rg . U obzir dolazi samo rešenje Rp = Rg
jer je prijemnik pasivan ( Rp > 0 ). Imenilac pod ovim uslovom ima minimum (u šta se možemo
E2
uveriti preko drugog izvoda), a snaga prijemnika ima maksimum, Pp max = 4R . Dakle, tražena
g
optimalna impedansa prijemnika je
Z p = Rg − jX g = Z ∗g (uslov prilagoñenja po snazi).
(Dobijeni rezultati su u skladu sa odgovarajućim rezultatima za stalne struje.)
Slika 3.25. Uz prilagoñenje prijemnika na generator
U tehnici se pod snagom realnog generatora podrazumeva snaga koju generator predaje
ostatku kola. Ta snaga je različita od snage idealnog generatora (na primer, ING sa slike 3.25) koji
ulazi u sastav modela realnog generatora. Ako je postignuto prilagoñenje po snazi, generator predaje
maksimalnu snagu, koja se naziva raspoloživom snagom generatora. Pri tome, jedna polovina snage
koju razvija ING sa slike 3.25 troši se na gubitke u samom generatoru (na rezistansi Rg ), a druga
polovina se predaje prijemniku (gde se disipira na rezistansi Rp ).
U tehnici visokih učestanosti, često se realizuje prilagoñenje po snazi. U nekim situacijama,
snaga generatora je veoma mala, pa je cilj iz generatora izvući što veću snagu signala, da bi se
kasnije lakše obrañivao. U drugim situacijama, raspolaže se skupim generatorom (na primer, radio
predajnikom), pa je cilj da se njegova raspoloživa snaga u potpunosti iskoristi (na primer, predajna
antena se prilagoñava na radio predajnik).
∗
U praksi, često impedansa prijemnika ne ispunjava uslov Z p = Z g . Ako je potrebno postići
prilagoñenje po snazi, izmeñu generatora i prijemnika se umeće mreža za prilagoñenje (slika 3.26).
Ta mreža je četvoropol sastavljen od elemenata sa što manjim gubicima. Teorijski, ti elementi su
idealni kalemovi i kondenzatori. Mreža za prilagoñenje ima cilj da preslika impedansu prijemnika
60
∗
( Z p ) na Z g . Drugim rečima, ulazna impedansa gledano od generatora u mrežu za prilagoñenje treba
∗
da bude Z g . Tako se postiže da generator ostatku kola preda maksimalno moguću snagu. Na osnovu
teoreme održanja snage, pošto u mreži za prilagoñenje (teorijski) nema gubitaka, odnosno pošto je
srednja snaga te mreže jednaka nuli, sva snaga koju generator predaje ostatku kola dolazi do
prijemnika i u njemu se disipira. Može se pokazati da je, u slučaju prilagoñenja po snazi,
∗
ekvivalentna impedansa koju vidi prijemnik gledajući u mrežu za prilagoñenje jednaka Z p .
Slika 3.26. Umetanje mreže za prilagoñenje izmeñu generatora i prijemnika
Vratimo se na kolo sa slike 3.25. U nekim praktičnim situacijama nije moguće podesiti dva
parametra prijemnika (rezistansu i reaktansu) da bi se dobilo prilagoñenje po snazi. Na primer,
Z g = Rg + jX g je kompleksno, ali je Z p = Rp čisto realno. Tada se može postići samo delimično
E
prilagoñenje po snazi. U posmatranom primeru, struja u kolu je I = R + jX + R , a snaga
g
g
p
prijemnika
d
dRp
P = Rp I 2 =
Rp E 2
(Rp + Rg )2 + X g 2 ,
P=
tj.
E2
Rp + 2 Rg +
Rg 2 + X g 2 .
Rp
Iz
uslova
2
2

Rg 2 + X g 2
 R + 2 R + Rg + X g  = 0
1
−
= 0 , odnosno Rp = Rg 2 + X g 2 = Z g .
p
g
,
dobija
se


2
Rp
R
p


Generator na slici 3.25 može biti ekvivalentni generator kojim se zamenjuje neka mreža po
Tevenenovoj teoremi. I u tom slučaju važe sva izvoñenja iz ovoga odeljka. Takoñe, ukoliko se
posmatra RSG, on se može ekvivalentirati sa RNG, pa zatim primeniti rezultati ovoga odeljka.
3.7.7. Popravka faktora snage
U ovom odeljku ćemo razmotriti jedan problem koji je specifičan za elektrodistributivne
sisteme. Zadatak takvog sistema je da prijemniku obezbedi nominalni napon (sinusoidalan,
propisane efektivne vrednosti i učestanosti) i pri tome prijemniku isporuči odgovarajuću srednju
(aktivnu) snagu.
Faktori snage velikih prijemnika u industriji često su manji od 1, a prijemnici su pretežno
induktivni (motori). Neka je kompleksna impedansa jednog takvog prijemnika Z p = Rp + jX p , gde je
Rp rezistansa prijemnika, a X p ( X p > 0 ) reaktansa prijemnika. Pošto je prijemnik pretežno
induktivan, može se ekvivalentirati rednom vezom otpornika i kalema (slika 3.27a) tako da je
Z p = Rp + jωLp (odnosno Lp = X p / ω ). Meñutim, kao što je već rečeno kod uvoñenja reaktivne snage
(odeljak 2.8.4), u elektrodistributivnim sistemima je uobičajena paralelna ekvivalentna šema
61
prijemnika (slika 3.27b). Za kolo sa slike 3.27b važi Y =
Y=
1
1
. Za kolo sa slike 3.27a važi
+
R jωL
Rp − jωLp
1
. Iz uslova da kompleksne admitanse obe ekvivalentne šeme budu
= 2
Rp + jωLp Rp + ω 2 L2p
identične sledi: R =
Rp2 + ω2 L2p
Rp
, L=
Rp2 + ω2 L2p
ω2 Lp
.
Uprošćeno gledano, prijemnik je vezan na generator posredstvom voda, kao na slici 3.28. U
provodnicima voda postoje Džulovi gubici, pa su provodnici na slici okarakterisani ukupnom
2
otpornošću žica ( Rž ). Snaga tih gubitaka se računa kao Pž = Rž I . Zbog otpornosti žica, napon
prijemnika nije jednak elektromotornoj sili generatora. Meñutim, regulacijom te elektromotorne sile
se u elektroenergetskom sistemu postiže da napon prijemnika ima nominalne parametre. Aktivna
snaga prijemnika je pri tome P = UI cos ϕ , a reaktivna Q = UI sin ϕ .
a)
b)
Slika 3.27. Ekvivalentne šeme pretežno
induktivnog prijemnika
Slika 3.28. Uprošćena šema veze
prijemnika na generator
Fazorski dijagram napona i struje prijemnika prikazan je na slici 3.29. Struja prijemnika nije
u fazi sa naponom, već zaostaje za ugao Φ. Početni trenutak nismo definisali, a nije ni bitan za ovo
razmatranje, tako da faznu osu nismo ucrtali. (Ako tu osu ucrtamo horizontalno, da se poklapa sa
pravcem fazora napona, to odgovara usvajanju početne faze napona θ = 0 .)
Slika 3.29. Rastavljanje struje na aktivnu i reaktivnu komponentu
Fazor struje se, kao i bilo koji vektor, može rastaviti na komponente. Na slici 3.29, jedna
komponenta je paralelna fazoru napona, a druga upravna na fazor napona. Prva komponenta (u fazi
sa naponom) naziva se aktivnom komponentom struje ( I a ). Njena efektivna vrednost je I a = I cos ϕ .
U našem primeru, ta komponenta je istovremeno i struja otpornika u paralelnoj ekvivalentnoj šemi
prijemnika na slici 3.28 ( I a = I R ). Druga komponenta (u kvadraturi sa naponom) naziva se
reaktivnom komponentom struje ( I r ). Njena efektivna vrednost je I r = I sin ϕ (pretpostavili smo da
je φ > 0 ). U našem primeru, ta komponenta je istovremeno i struja kalema ( I a = I L ). Ovakvo
rastavljanje struje na komponente tesno je vezano sa rastavljanjem trenutne snage na dve
komponente (odeljak 2.8), od kojih jedna odgovara snazi rezistivnog elementa, a druga snazi
62
reaktivnog elementa, pri čemu su ti elementi vezani paralelno. Aktivna komponenta struje ''nosi''
aktivnu snagu prijemnika, tj. P = UI cos ϕ = UI a . Reaktivna komponenta struje ''nosi'' reaktivnu snagu
prijemnika, tj. Q = UI sin ϕ = UI r .U kolu na slici 3.28, efektivna vrednost struje napojnog voda može
P
se napisati u obliku I = U cos ϕ . Kada bi prijemnik bio čisto rezistivan (odnosno njegov faktor snage
jednak 1), pri istoj efektivnoj vrednosti napona prijemnika (U) i istoj aktivnoj snazi (P), efektivna
vrednost struje napojnog voda bi bila I ' =
P
< I . Ovo smanjenje je tehnički i ekonomski veoma
U
poželjno jer, pri istim uslovima na napojnom vodu, smanjuje snagu Džulovih gubitaka u
provodnicima. Alternativno, pri istim dozvoljenim gubicima, moguće je upotrebiti tanje provodnike
(čime se povećava Rž , ali se smanjuje cena voda zbog manje mase provodnika (obično bakra).
Stoga se u praksi uvek teži da se prijemnik ponaša kao da je čisto rezistivan (odnosno da mu je
faktor snage k = 1 ). Faktor snage ekvivalentnog prijemnika kojim je završen vod popravlja se na
jedinicu dodavanjem reaktivnog elementa (kondenzatora) paralelno prijemniku, kao što je prikazano
na slici 3.30. Kapacitivnost kondenzatora se bira tako da bude I L + I C = 0 , odnosno da struja
kondenzatora poništi reaktivnu komponentu struje prijemnika. Taj uslov će biti ispunjen ako je
ωC =
ωLp
Rp2
+ ω2 L2p
L
p
, odnosno C = R 2 + ω2 L2 . Na ovaj način je postignuta potpuna popravka faktora snage
p
p
(na 1). Drugačije posmatrano, prijemnik i kondenzator čine paralelno oscilatorno kolo koje je
dovedeno u antirezonanciju (slika 3.31).
Slika 3.30. Popravka faktora snage
Slika 3.31. Struje I L i I C se poništavaju
U praksi, kapacitivnost potrebna za potpunu popravku faktora snage može biti prevelika, a
kondenzator skup za realizaciju. Tada se pribegava delimičnoj popravci faktora snage, biranjem
kondenzatora manje kapacitivnosti nego što je potrebno za potpunu popravku.
Takoñe teorijski, popravka faktora snage induktivnog prijemnika mogla bi se ostvariti
dodavanjem kondenzatora na red sa prijemnikom. Predstavljajući prijemnik u vidu redne veze
1
otpornika i kalema (slika 3.27a), uslov potpunog popravka je ωC = ωLp . Ovakvom vezom se dobija
redno (rezonantno) kolo. Stavljanjem kondenzatora na red sa prijemnikom, a pri zadatom
(nominalnom) naponu prijemnika, efektivna vrednost struje prijemnika bi porasla, a prijemnik zbog
toga mogao da pregori. Ovakav postupak, očigledno, nema tehničkog smisla.
63
4. ELEKTRIČNE MREŽE SA MAGNETSKI SPREGNUTIM GRANAMA
4.1. Kola sa spregnutim kalemovima
Posmatrajmo najpre jedan kalem, prikazan na slici 4.1a ili 1.4a. Pretpostavljamo da se kalem
nalazi u linearnoj sredini i da se njegova induktivnost ne menja u vremenu. Faradejev zakon
dΦ 1
elektromagnetske indukcije daje elektromotornu silu indukovanu u kalemu, eind1 (t ) = −
.
dt
Referentni smer ems se poklapa sa referentnim smerom struje kalema. Stoga se kalem ekvivalentno
dΦ 1
ponaša kao ING, prikazan na slici 4.1b, a napon kalema je u1 (t ) = −eind1 (t ) =
. Ako je režim
dt
prostoperiodičan, ova jednačina se preslikava u kompleksnom domenu21 na U 1 = jωΦ1 .
Slika 4.1. Ekvivalentiranje kalema idealnim naponskim generatorom
Ako je kalem usamljen, onda fluks kroz kalem potiče samo od magnetske indukcije kalema,
što pišemo u obliku Φ1 = L1i1 . Pošto induktivnost, po pretpostavci, ne zavisi od vremena, imamo
eind 1 (t ) = −
di
d( L1i1 )
di
= − L1 1 , tako da je u1 (t ) = L1 1 , što smo već ranije pokazali kada smo razmatrali
dt
dt
dt
jedan kalem. U kompleksnom domenu, U 1 = jωL1 I 1 . Kada sumiramo napone u kolu (prilikom
postavljanja jednačina po drugom Kirhofovom zakonu ili prilikom računanja napona izmeñu dve
tačke u kolu), pa naiñemo na kalem, u zbir ulazi član jωL1 I 1 ako su smer sumiranja napona i
referentni smer struje kalema suprotni. Ako se smer sumiranja napona i referentni smer struje
kalema poklapaju, onda u zbir ulazi član − jωL1 I 1 .
Ako je kalem u sprezi (posredstvom magnetskog polja) sa drugim kalemovima (ukupan broj
kalemova je N), onda fluks kroz kalem ( Φ1 ) potiče od magnetske indukcije svih kalemova.
dΦ
Elektromotorna sila se i dalje računa kao e1 (t ) = − dt 1 . Smatramo da je sredina linearna (inače ne bi
mogao da postoji prostoperiodičan režim), što za posledicu ima da važi superpozicija. Takoñe
smatramo da se sopstvene i meñusobne induktivnosti kalemova ne menjaju u vremenu. Tada imamo
Φ 1 = Φ 11 + Φ 21 + ... + Φ N 1 , gde je Φ 11 sopstveni fluks, a Φ n1 , n = 2,..., N meñusobni fluks (tj. fluks
kroz kalem 1 od magnetske indukcije kalema n). I za ostale kalemove možemo pisati analogne
N
relacije, tako da imamo Φ m = Φ 1m + Φ 2 m + ... + Φ Nm = ∑ Φ nm , m = 1,..., N . Sopstveni fluks kalema
n =1
je Φ mm = Lmim , gde je Lm sopstvena induktivnost kalema. Meñusobni fluks kalema m koji potiče od
magnetske
indukcije
Lmn = Lnm , m, n = 1,..., N , m ≠ n
21
kalema
n
Φ nm = Lmm in , n = 1,..., N , n ≠ m ,
je
meñusobna induktivnost kalemova m i n.
Videti fusnotu u pododeljku 3.2.1.
64
gde
je
Sopstvena induktivnost kalema ne može biti negativna. Iz elektromagnetizma (odeljak 6.6)
znamo da znak meñusobne induktivnosti zavisi od toga kako kalemovi fizički izgledaju (način
motanja) i od referentnih smerova struja kalemova.
Dalje imamo Φ m = L1m i1 + L2 m i2 + ... + L Nm i N , m = 1,..., N . Pošto su induktivnosti
konstantne,
elektromotorna
sila
indukovana
u
kalemu
m
je
em (t ) = −
dΦ m
di
di
di 

= − L1m 1 + L2 m 2 + ... + L Nm N  , m = 1,..., N . Referentni smer ems se poklapa sa
dt
dt
dt
dt 

referentnim smerom struje kalema, isto kao za kalem sa slike 4.1. Napon kalema je
di
di
di
u m (t ) = −em (t ) = L1m 1 + L2 m 2 + ... + L Nm N , m = 1,..., N , pri čemu su referentni smerovi napona
dt
dt
dt
i
struje
kalema
usklañeni.
U
kompleksnom
domenu,
U m = jωL1m I 1 + jωL2 m I 2 + ... + jωL Nm I N , m = 1,..., N .
Napomenimo da jednakost Lij = L ji iskazuje reciprocitet. To ima za posledicu da su pasivne
mreže sa otpornicima, kalemovima i kondenzatorima i dalje recipročne, čak i kada su kalemovi
meñusobno spregnuti.
Kada se, prilikom sumiranja napona, naiñe na kalem koji je u sprezi sa drugim kalemovima,
u zbir ulazi izraz jωL1m I 1 + jωL2 m I 2 + ... + jωL Nm I N ako su smer sumiranja napona i referentni
smer struje kalema suprotni. U protivnom, u zbir ulazi − ( jωL1m I 1 + jωL2 m I 2 + ... + jωL Nm I N ) .
Drugim rečima, svi članovi jωLnm I n , n = 1,..., N ulaze u zbir sa istim predznakom. Meñusobna
induktivnost, meñutim, u sebi uključuje i znak, koji zavisi od izbora referentnih smerova struja
spregnutih kalemova.
Posebno, ako posmatramo dva spregnuta kalema ( N = 2 ), prikazana na slici 4.2, imamo, u
kompleksnom domenu, U 1 = jωL1 I 1 + jωL21 I 2 i U 2 = jωL12 I 1 + jωL2 I 2 . Napomenimo da dva
spregnuta kalema sa ove slike predstavljaju mrežu sa dva pristupa koja se naziva i
transformatorom. Prvi kalem je primar, a drugi sekundar transformatora. Transformatorima ćemo
se još baviti kasnije.
Slika 4.2. Dva spregnuta kalema
Podsetimo se i da se koeficijent induktivne sprege dva kalema (prikazana na slici 4.2)
|L |
12
definiše relacijom k = L L i da mora biti 0 ≤ k ≤ 1 (odeljak 6.2 elektromagnetizma). Odavde je
1 2
L12 = ± k L1L2 . Na električnim šemama spregnutih kalemova znak meñusobne induktivnosti se
odreñuje koristeći se tačkama koje su označene uz po jedan priključak svakog kalema (slika 4.2).
Pogledati odeljak 6.6 elektromagnetizma. Ako su referentni smerovi struja kalemova takvi da oba
smera ulaze u priključke kalemova obeležene tačkama, ili oba izlaze iz priključaka obeleženih
tačkama, meñusobna induktivnost je pozitivna. Ako referentni smer struje jednog kalema ulazi u
priključak tog kalema obeležen tačkom, a referentni smer struje drugog kalema izlazi iz priključka
tog kalema obeleženog tačkom, meñusobna induktivnost je negativna. U slučaju da ima više od
jednog para spregnutih kalemova, pravilo o odreñivanju znaka meñusobne induktivnosti dva kalema
65
na osnovu tačaka i definicija koeficijenta induktivne sprege primenjuju se na svaki par kalemova
ponaosob.
Napomenimo da ako je k = 0 , kalemovi nisu spregnuti. Ako je k = 1 (maksimalna sprega),
kaže se da je sprega savršena. Teorijski, takva sprega se može ostvariti ako i samo ako je magnetski
fluks isti kroz svaki zavojak jednog kalema i isti (po modulu) kroz zavojke prvog i drugog kalema.
Kola koja sadrže spregnute kalemove mogu se rešavati Kirhofovim zakonima.
Koristeći se jednačinama po Kirhofovim zakonima u kompleksnom domenu može se
izračunati ekvivalentna induktivnost mreža koje se sastoje od kalemova (koji mogu biti spregnuti,
ali ne moraju). Takav postupak je jednostavniji od rešavanja u vremenskom domenu22.
Primer 4.1. Ekvivalentnu induktivnost redne veze dva spregnuta kalema rešavali smo u
vremenskom domenu, u odeljku 6.6 elektromagnetizma. Sami uradite isto u kompleksnom domenu.
Primer 4.2. Na slici 4.3a je prikazana paralelna veza dve spregnute grane sa kalemovima.
Želimo da odredimo impedansu sa strane priključaka (generatora).
Ekvivalentna impedansa se, u ovom slučaju, ne može nalaziti na način kako je rañeno kada
grane nisu spregnute, već se nalazi kao odnos kompleksnog napona izmeñu priključaka u odnosu na
koje se traži impedansa i kompleksne struje kroz te priključke, tj. Z e =
U
(videti kraj odeljka 3.3.4).
I
Pretpostavimo, dakle, da je mreža priključena na test generator čija je ems E = U . Označimo struje
i odabaremo konture kao na slici 4.3b. Na osnovu prvog Kirhofovog zakona imamo
I = I1 + I 2
(1)
Na osnovu drugog Kirhofovog zakona, ili računajući napon, za konture na slici 4.3b imamo
U = Z 1 I 1 + jωL1 I 1 + jωL21 I 2
U = Z 2 I 2 + jωL2 I 2 + jωL12 I 1
Ove dve jednačine se mogu napisati i u obliku (jednačine četvoropola)
Z 11 I 1 + Z 12 I 2 = U
(2)
Z 21 I 1 + Z 22 I 2 = U
(3)
gde su Z11 = Z1 + jωL1 , Z 22 = Z 2 + jωL2 , Z12 = Z 21 = jωL12 = jωL21 = jωM , M >0 (u kolu na slici 4.3).
Slika 4.3. Primer za odreñivanje ulazne impedanse spregnutog kola
Ako relaciju (2) rešimo po I 1 , a relaciju (3) po I 2 , i tu relaciju za I 2 zamenimo u relaciju
za I 1 , dobijamo relaciju samo po I 1 , i na sličan način samo po I 2
22
Analogan postupak se može primeniti i na odreñivanje ekvivalentne kapacitivnosti mreže koja se sastoji samo od
kondenzatora.
66
I1 =
U (Z 22 − Z 12 )
Z 11 Z 22 − Z
I2 =
2
12
U (Z 11 − Z 12 )
Z 11 Z 22 − Z 12
2
Posle zamene ova dva izraza u relaciju (1), dobija se relacija koja povezuje U i I i
parametre kola, iz koje se može odrediti ekvivalentna impedansa, tj.
Z 11 Z 22 − Z 12
Z Z + (ωM )
U
Ze = =
= 11 22
I
Z 11 + Z 22 − 2 Z 12 Z 11 + Z 22 − 2 jωM
2
2
Razmotrimo sada nekoliko slučajeva:
Neka je M=0 (nema sprege). Tada se ekvivalentna impedansa svodi na
1.
Z 11 Z 22
Z e (M =0) =
, a to je poznati izraz za dva paralelno vezana prijemnika impedansi Z 11 i Z 22 .
Z 11 + Z 22
Neka je Z 1 = Z 2 = 0 , a M ≠ 0 , tj. imamo dva paraleno vezana kalema koji su
L1 L2 − M 2
Z
=
j
ω
= jωLe ,
meñusobno spregnuti. Sada se ekvivalentna impedansa svodi na e
L1 + L2 − 2 M
odakle se vidi da je ekvivalentna induktivnost dva paralelno vezana spregnuta kalema
L L −M2
Le = 1 2
.
L1 + L2 − 2 M
2.
Neka je Z 1 = Z 2 = 0 , a M = 0 , tj. imamo dva paraleno vezana kalema koji nisu
LL
Z1Z 2
spregnuti. Sada se ekvivalentna impedansa svodi na Z e =
= jω 1 2 = jωLe , odakle se
Z1 + Z 2
L1 + L2
L1 L2
vidi da je ekvivalentna induktivnost dva paralelno vezana kalema (bez sprege) Le =
.
L1 + L2
3.
Ako se meñusobna induktivnost piše u obliku L12 = L21 = M = k L1 L2 onda se
ekvivalentna
induktivnost,
u
slučaju
(2)
može
pisati
u
obliku
2
L1 L2 − L12
L1 L2 (1 − k 2 )
Le =
=
. Posebno, ako je k = 1 , a L1 ≠ L2 , imamo Le = 0 . Ako je
L1 + L2 − 2 L12 L1 + L2 − 2k L1 L2
L1 = L2 = L , tada je L e =
L(1 − k 2 ) L
= (1 + k ) ,
2(1 − k )
2
pa je za k = 1 , Le = L .
Da je na šemi na slici 4.3 tačka na donjem priključku kalema induktivnosti L2 , meñusobna
L1 L2 (1 − k 2 )
L
=
induktivnost bi bila negativna M < 0 , odnosno L12 = −k L1 L2 , a e
.
L1 + L2 + 2k L1 L2
Za rešavanje zadataka korisno je uočiti da, ako se meñusobna induktivnost pomnoži sa
kružnom učestanošću, dobija se meñusobna impedansa (koja se može prikazati pomoću koeficijenta
sprege i reaktansi kalemova), tj.
ωM = ωL12 = ωL21 = ωk L1 L2 = k ωL1ωL2 = k Z L Z L
1
2
4.2. Osnovni pojmovi o transformatoru u linearnom radnom režimu
U elektromagnetizmu smo analizirali princip rada transformatora sa feromagnetskim
jezgrom pri proizvoljnim promenama napona primara. Ovde ćemo ga analizirati pri
prostoperiodičnim naponima i strujama, tj. u linearnom radnom režimu. Magnetsko kolo
67
transformatora prikazano je na slici 4.4a, a električna šema na slici 4.4b. Broj zavojaka primara je
N1 a sekundara N 2 , srednji obim magnetskog kola je l, površina poprečnog preseka S, a magnetski
materijal linearan permeabilnosti µ.
Slika 4.4. Transformator u prostoperiodičnom režimu: a) skica, b) električna šema
Jednačine za napone sa strane primara i sekundara, u kompleksnom obliku, su (uočite da je
na slici 4.4b suprotan smer struje nego na slici 4.2):
U 1 = R1 I 1 + jωL1 I 1 − jω M I 2
U 2 = − R2 I 2 − jωL2 I 2 − (− jω M I 1 )
Ove dve jednačine se mogu napisati i u obliku
Z 11 I 1 − Z 12 I 2 = U 1
(1)
Z 21 I 1 − Z 22 I 2 = U 2
(2)
gde su Z 11 = R1 + jωL1 , Z 22 = R2 + jωL2 , Z 12 = Z 21 = jωL12 = jω M , M < 0 (ali je to već uzeto
u obzir u relacijama).
Na osnovu jednačina (1) i (2) može se analizirati rad transformatora u linearnom radnom
režimu.
Primer 4.3. Ulazna impedansa transformatora čiji je sekundar zatvoren prijemnikom
U
impedanse Z p (slika 4.5), se lako računa na osnovu izraza za ulaznu impedansu Z ul = 1 . Ako se u
I1
relaciju (2) stavi U 2 = U p = Z p I 2 i odatle nañe I 2 , i zameni u relaciju (1) i nañe količnik U 1 i I 1 ,
za ulaznu impedansu se dobija
2
Z 11 Z 22 − Z 12 + Z p Z 11
Z 12
(*)
=
Z 22 + Z p
Z 22 + Z p
2
Z ul = Z 11 −
Slika 4.5. Opterećen transformator impedansom Z p
68
4.2.1. Savršeni i idealni transformator
Savršeni transformator je zamišljeni transformator koji ima sledeće osobine:
1) nema gubitaka ni u provodnicima ( R1 = R2 = 0 , pa je Z 11 = jωL1 , Z 22 = jωL2 ,), ni u
jezgru;
2) k = 1 , tj. sopstvene i meñusobne induktivnosti ovakvoga transformatora su L1 = µN12 S / l ,
L2 = µN 22 S / l i M = L12 = L21 = µN 1 N 2 S / l , videti podpoglavlje 6.7 u elektromagnetizmu. (Za
proveru, k =| L12 | / L1L2 = 1 .) ( k = 1 ) Ako stavimo L zav = µS / l (što je konstanta), imamo
L1 = L zav N 12 , L2 = L zav N 22 i L12 = L21 = M = L zav N1 N 2 .
Savršeni transfomator je i transformator kod koga su ovi uslovi približno zadovoljeni
k
=
0
,
99
).
(
Idealni transformator je savršeni transformator kod koga (pored osobina 1) i 2) važi i
osobina 3) µ → +∞ (odnosno sve induktivnosti ( L1 , L2 , M ) teže beskonačnosti).
Za savršeni transformator, jednačine za napone sa strane primara i sekundara, u
kompleksnom obliku, svode se na ( R1 = R2 = 0 , M se uvrštava u apsolutnoj vrednosti):
U 1 = jωL1 I 1 − jωM I 2
U 2 = − jωL2 I 2 + jωM I 1
Posle uvrštavanja relacija za L1 , L2 , M (iz osobine 2) u ove relacije, i sreñivanja, dobija se
U 1 = jωLzav N1 ( N1 I 1 − N 2 I 2 )
U 2 = jωL zav N 2 ( N1 I 1 − N 2 I 2 )
Odatle se, delenjem te dve jednačine, dobija
U 1 N1
=
U 2 N2
Ako se relacije za L1 , L2 reše po N 1 , odnosno N 2 , dobija se N 1 = L1 / L zav , odnosno
N 2 = L2 / Lzav , pa se posle uvrštavanja u prethodnu relaciju dobija
U 1 N1
=
=
U 2 N2
L1
L2
Ovo nije jedini način da se doñe do ovih relacija.
Primer 4.4. Odredimo Tevenenov generator gledano u sekundar mreže prikazane na slici
4.6a. Ako u jednačine savršenog transformatora stavimo U 1 = E i I 2 = 0 , dobija se napon praznog
M
hoda sekundara ( I 2 = 0 ), U 02 = E T = E . Ekvivalentna impedansa gledano u sekundar je čisto
L1
reaktivna

M2
U2

,
Ze =ZT =
= jω L2 −


I2
L
1


(induktivna),
induktivnosti Le = L2 −
M2
L1
i
predstavlja
impedansu
kalema
. (Pri izvoñenju se stavi E = 0 , i uočiti da je na slici 4.6a referentni
smer struje I 2 suprotan nego na slikama 4.4 i 4.5). Očigledno da se Tevenenov generator može
prikazati u vidu redne veze idealnog naponskog generatora i kalema, kao na slici 4.6b.
69
Kada je sekundar otvoren ( I 2 = 0 ), gledano u primar se vidi samo induktivnost L1 , ulazna
impedansa transformatora je Z e = jωL1 , pa je struja praznog hoda (struja magnetisanja jezgra)
jednaka I 10 = U 1 / Z e = U 1/(jωL1 ) = U 1l/(jωµN12 S ) .
Za idealni transformator, pod pretpostavkom da je napon primara konačan, onda je i fluks
(1)
kroz jezgro konačan ( Φ = U 1 /( jωN1 ) ), a konačna je i magnetska indukcija ( B = Φ (1) / S ). Kako je
H = B / µ i µ → +∞ , sledi da mora biti H = 0 . Sada se iz uopštenog Amperovog zakona dobija
0 = N1 I 1 + N 2 I 2 , odakle je
I1
N
=− 2 .
I2
N1
U 1 N1
=
= n , gde je n prenosni broj transformatora. Ovo
U 2 N2
su osnovne jednačine idealnog transformatora. Idealni transformator se na šemama označava kao na
slici 4.7, gde se ubeležava odnos broja zavojaka primara i sekundara (ne obeležavaju se
induktivnosti!) i označavaju tačke (uočite da je ovde referentni smer struje I 2 suprotan od slika 4.4 i
4.5).
Uz ovu jednačinu, i dalje važi
.
a)
b)
Slika 4.6. Transformator (a), zamenjem ekvivalentnim Tevenenovim generatorom sa strane
sekundara (b)
Slika 4.7. Električna šema idealnog transformatora
Primer 4.5. Neka je sekundar idealnog transformatora (slika 4.7) zatvoren impedansom
Z p .Treba odrediti ulaznu impedansu.
Koristeći se relacijom (*), za ulaznu impedansu, iz primera 4.3, u kojoj je, za idealni
2
transformator Z 11 Z 22 − Z 12 = 0 (ako se uvrste izrazi za L1 , L2 i L12 iz odeljka 4.2.1, osobina 2) , i
ako je Z 22 >> Z p , dobija se
2
 N1 
jωLzav N12
Z 11

 Z p = n 2 Z p
Z ul =
Zp =
Z
=
p
2
Z 22
jωLzav N 2
 N2 
Primer 4.6. Posmatrajmo transformator, prikazan na slici 4.8, čiji je sekundar kratko spojen.
Odredimo ekvivalentnu induktivnost.
70
Drugi Kirhofov zakon daje U 1 = jωL1 I 1 + jωM I 2
M = L12 = L21 = + k L1 L2 .
Iz
jednačine
druge
0 = jωM I 1 + jωL2 I 2 , gde je
L
je
pa
je
I 2 = − I 1 12 ,
L2
i
2
L12
= L1 (1 − k 2 ) . Uočimo da postojanje
1
L2
kratke veze u podnožju kalemova ne utiče na rezultat, kao ni znak meñusobne induktivnosti.
U

L
= U =  j ω L 1 − j ω L12 12
L2



L2 
 I 1 = j ω  L 1 − 12  I 1
L2 


i Le = L1 −
Može se napraviti veliki broj ekvivalentnih šema transformatora, uključujući i one koje
sadrže idealni transformator.
Slika 4.8. Transformator sa kratkospojenim sekundarom
4.2.2. Autotransformator
Na slici 4.9 je prikazan autotransformator. To je savršeni transformator koji ima samo
jedan namotaj, ali sa ''srednjim'' izvodom. Ukupan broj zavojaka je N, a izvod deli namotaj na dva
dela, sa brojevima zavojaka N1 i N 2 , respektivno, gde je N1 + N 2 = N . S obzirom da rasipanja nema,
magnetski fluks Φ z je isti kroz svaki zavojak, pa imamo U 1 = jω (N 1 + N 2 )Φ z i U 2 = jωN 2 Φ z
čijim delenjem se dobija
U1
N
=
U 2 N2
, nezavisno od struja.
postavljanjem jednačina za spregnuta kola,
U 2 = jωL2 (I 1 + I 2 ) + jωL12 I 1 i U 1 = U 2 + jωL1 I 1 + jωL12 (I 1 + I 2 ) , i uvrštavanjem relacija L = L N 2 ,
zav 1
1
L2 = L zav N 22 i L12 = L21 = L zav N 1 N 2 . (Napomenimo da je ukupna induktivnost namotaja
Ista
relacija
se
može
izvesti
i
L = L zav N 2 ).
Autotransformator sa kliznim kontaktom (pomičnim srednjim izvodom) ima promenljiv
prenosni odnos, a koristi se kao regulacioni transformator.
Slika 4.9. Električna šema autotransformatora
71
5. TROFAZNI SISTEMI
5.1. Osnovni pojmovi o monofaznim i polifaznim elementima
Svi generatori i prijemnici sa kojima smo do sada radili imali su po dva priključka (jedan par
priključaka). Takvi generatori i prijemnici nazivaju se u elektroenergetici monofaznim
(jednofaznim) elementima (slika 5.1a). U praksi, meñutim, postoje generatori i prijemnici koji
imaju više od dva priključka (na primer, generatori u hidrocentralama i termocentralama, kao i
motori u industrijskim pogonima). Takvi generatori i prijemnici nazivaju se polifaznim
(višefaznim) elementima (slika 5.1b). Polifazni generator i polifazni prijemnik meñusobno se
povezuju sistemom provodnika koji čine polifazni vod.
a)
b)
Slika 5.1. Monofazni elementi (a) i polifazni elementi (b)
Meñutim, svi polifazni elementi mogu se ekvivalentno prikazati kao mreže sastavljene od
monofaznih elemenata. U okviru ovog predmeta, posmatraćemo isključivo trofazne elemente:
generatore i prijemnike. Svaki od njih se može predstaviti pomoću tri monofazna prijemnika (slike
5.2 i 5.3). Uz te elemente, posmatraćemo samo trofazne vodove.
5.2. Trofazni elementi
5.2.1. Trofazni generatori
Trofazni generator je sastavljen od tri monofazna generatora, koji mogu biti vezani u zvezdu
(slika 5.2a) ili u trougao (slika 5.2b). Elektromotorne sile ovih generatora, E1 , E 2 i E 3 , imaju u
opštem slučaju različite efektivne vrednosti i proizvoljne početne faze, a i impedanse generatora,
Z g1 , Z g 2 i Z g 3 , takoñe su različite. Svaki od monofaznih generatora sa slike 5.2 modeluje jedan
namotaj na stvarnom generatoru. Takav namotaj se naziva fazom (ili granom) generatora.
U slučaju veze u trougao, postoje ukupno tri priključka ovakvog generatora. U slučaju veze
u zvezdu, mogu postojati tri ili četiri priključka. Četvrti priključak, koji je povezan sa zvezdištem, u
praksi se obično vezuje za uzemljivač, pa je tada njegov potencijal jednak nuli. Potencijali ostala tri
(''vruća'') priključka nisu nula. Ako je veza u trougao, onda ne postoji referentni priključak koji bi
bio uzemljen. Osim toga, kod veze u trougao je poželjno da što bolje bude ispunjen uslov
E1 + E 2 + E 3 = 0 , kako bi se izbegle jake struje u granama generatora koje bi inače postojale i kada
generator nije vezan u kolo. Iz tih razloga se generator obično vezuje u zvezdu, a ne u trougao.
Bez obzira na način kako je generator vezan (u zvezdu ili trougao), za svaku fazu generatora
definišemo odgovarajući napon (fazni napon odnosno napon grane generatora), U g1 , U g 2 , odnosno
U g3 , i struju (faznu struju odnosno struju grane generatora), I E1 , I E 2 , odnosno I E 3 , kao što je
prikazano na slici 5.2.
72
a)
b)
Slika 5.2. Trofazni generator: a) vezan u zvezdu, b) vezan u trougao
5.2.2. Trofazni prijemnici
Trofazni prijemnik je, takoñe, sastavljen od tri monofazna prijemnika, koji mogu biti vezani
u zvezdu (slika 5.3a) ili u trougao (slika 5.3b). U praksi se koriste obe veze. Ako je trofazni
prijemnik, na primer, motor, svaki od monofaznih prijemnika modeluje jedan namotaj toga motora,
koji se naziva fazom (ili granom) prijemnika. Bez obzira na način vezivanja, za svaku fazu
prijemnika definišemo odgovarajući napon (fazni napon odnosno napon grane prijemnika), U p1 ,
U p 2 , odnosno U p3 , i struju (faznu struju odnosno struju grane prijemnika), I p1 , I p 2 , odnosno I p3 .
a)
b)
Slika 5.3. Trofazni prijemnik: a) vezan u zvezdu, b) veza u trougao
Od trofaznog generatora (vezanog u zvezdu) do prijemnika ide trofazni vod (slika 5.4).
Provodnici voda vezani za ''vruće'' priključke generatora nazivaju se fazni provodnici voda (faze), a
provodnik vezan za zvezdište (i uzemljenje generatora) naziva se neutralni provodnik (nula).
Standardne oznake za faze voda su A, B i C (stare oznake R, S i T), a za neutralni provodnik je N
(0).
Na vodu se definišu sledeći naponi. Napon izmeñu jednog faznog provodnika i neutralnog
provodnika naziva se fazni napon voda (naponi U A , U B i U C na slici 5.4). Napon izmeñu bilo
73
koja dva fazna provodnika naziva se meñufazni, složeni ili linijski23 napon (naponi U AB , U BC i
U CA na slici 5.4). Očigledno, prema referentnim smerovima na slici 5.4, je U AB = U A − U B ,
U BC = U B − U C i U CA = U C − U A i U AB + U BC + U CA = 0 .
Na vodu se definišu i struje faznih (''vrućih'') provodnika, I A , I B i I C , kao i struja
neutralnog provodnika, I N . Prema referentnim smerovima sa slike 5.4, I N = I A + I B + I C . Ako se
drugačije ne naglasi, smatraćemo da je vod idealan, bez gubitaka i drugih parazitnih efekata
(kapacitivnosti i induktivnosti). U tom slučaju se naponi i struje ne menjaju duž voda.
Slika 5.4. Trofazni vod priključen na generator
Ako je trofazni generator vezan u zvezdu sa izvedenim zvezdištem, kao na slici 5.4, onda je
U A = U g1 = E1 − Z g1 I E1 , U B = U g2 = E 2 − Z g2 I E 2 i U C = U g3 = E 3 − Z g3 I E 3 . Osim toga, tada je I A = I E1 ,
I B = I E 2 i I C = I E 3 . Ako je trofazni generator idealan (tj. ako su monofazni generatori od kojih je
sačinjen idealni), onda je, prema referentnim smerovima sa slike 5.4, U A = E1 , U B = E 2 i U C = E 3 .
5.2.3. Priključivanje prijemnika na trofazne generatore
Uobičajeno priključivanje prijemnika na vod je prikazano na slici 5.5 ((a) u zvezdu, (b) u
trougao). Trofazni prijemnik vezan u zvezdu može imati samo tri priključka, koji se vezuju za faze
voda, ili četiri priključka, od kojih se tri vezuju za faze voda, a četvrti, povezan sa zvezdištem,
vezuje za neutralni provodnik voda. U ovom drugom slučaju je uvek napon svake faze prijemnika
jednak odgovarajućem faznom naponu voda, U p1 = U A , U p 2 = U B , U p3 = U C . Osim toga, tada je
I p1 = I A , I p 2 = I B i I p3 = I C .
Tri priključka trofaznog prijemnika vezanog u trougao vezuju se za faze voda. Pri tome je
napon svake faze prijemnika jednak odgovarajućem linijskom (meñufaznom) naponu, odnosno
U p1 = U AB , U p 2 = U BC i U p3 = U CA .
Ukoliko prijemnik ima samo tri priključka, neutralni provodnik voda ne mora postojati.
Na slici 5.6 prikazano je nekoliko trofaznih i monofaznih prijemnika vezanih na jedan
trofazni vod. Trofazni prijemnici se priključuju kako je gore objašnjeno, a svaki monofazni
prijemnik se priključuje izmeñu jedne faze voda i nule24. Prijemnici su, u suštini, vezani paralelno
na vod.
23
Referentni smerovi za ove napone označeni na slici 5.4 su redundantni jer su ti smerovi već definisani pomoću dva
indeksa. Vod se naziva i linijom, pa se i naponi zovu linijskim.
24
U domaćinstvima je većina prijemnika monofazna. Termoakumulacione peći, šporeti i protočni bojleri obično su
trofazni prijemnici.
74
Trofazni sistem čine bar jedan trofazni generator, trofazni vod i prijemnik. Na slici 5.6 je
prikazan jednostavan primer trofaznog sistema.
IA
A
B
C
+
UA
+
UAB
Zp1
Ip1
IB
+
Up1
Up2
+
UBC
+
UB
+
UC
UCA
IC
+
IA
A
+
Zp2 Ip2 U
p3
B
Ip3
Zp3
+
C
+
UA
+
UAB
+
UBC
+
UB
Up1
IB
Zp1
Ip2
+
UCA
IC
+
Zp3
Up3
Ip3
Zp2
+
Up2
+
UC
IN
+
Ip1
N
N
a)
b)
Slika 5.5. Trofazni prijemnik vezan u zvezdu (a) i vezan u trougao (b), priključen na trofazni vod
Slika 5.6. Primer vezivanja prijemnika na trofazni generator
5.3. Simetrični, direktni i inverzni sistemi
Iako elektromotorne sile trofaznog generatora mogu, u principu, biti proizvoljne, u praksi su
obično njihove efektivne vrednosti jednake, a fazne razlike svake dve uzastopne elektromotorne sile
takoñe jednake. Takav sistem elektromotornih sila naziva se simetričnim sistemom. Simetričan
sistem ems se može dobiti, teorijski, pomoću tri identična zavojka, prikazana na slici 5.7, koji se
obrću konstantnom ugaonom brzinom oko zajedničke osovine u homogenom stalnom magnetskom
polju25.
Za smer obrtanja zavojaka i numeraciju priključaka prikazanu na slici 5.7a, elektromotorna
sila indukovana u prvom zavojku, eind1 (t ) = e1'1 (t ) = e1 (t ) , prednjači elektromotornoj sili
indukovanoj u drugom zavojku, eind 2 (t ) = e 2 '2 (t ) = e 2 (t ) , za 2π / 3 . Slično tome, elektromotorna sila
25
U praksi glavni namotaj generatora nije na rotoru, kao na slici 5.7, nego na statoru i složene je konstrukcije. Rotor je
elektromagnet koji ima svoj (pomoćni) namotaj.
75
indukovana u trećem zavojku, eind3 (t ) = e3'3 (t ) = e3 (t ) , zaostaje za e2 (t ) , za 2π / 3 . No, možemo
posmatrati i dalje u krug, pa e1 (t ) , zaostaje za e3 (t ) , za 2π / 3 . U kanoničnom obliku,
e1 (t ) = E 2 cos(ωt + θ1 ) ,
e2 (t ) = E 2 cos(ωt + θ1 −
2π
) i
3
e3 (t ) = E 2 cos(ωt + θ1 −
4π
2π
) = E 2 cos(ωt + θ1 + ) .
3
3
Takav sistem elektromotornih sila, gde svaka naredna fazno zaostaje za prethodnom (za
2π / 3 ) naziva se direktnim sistemom. Pošto su u posmatranom slučaju efektivne vrednosti ems i
njihove fazne razlike jednake, kažemo da elektromotorne sile generatora čine simetričan direktan
sistem. Vremenski dijagram elektromotornih sila takvog sistema prikazan je na slici 5.7b. Fazori tih
elektromotornih sila prikazani su na slici 5.8a (pri čemu je uzeto θ 1 = 0 ). Kompleksne ems
generatora u granama, mogu se, za prvi, drugi i treći generator, napisati u obliku
E 1 = E e j θ1 ,
E 2 = E 1 e -j2 π/3 ,
E 3 = E 1 e -j4π/3 = E 1 e j2π/3 .
a)
b)
Slika 5.7. Primer generatora simetričnog sistema ems (a) i trenutne vrednosti odgovarajućih
indukovanih ems (b)
a)
b)
Slika 5.8. Kompleksni predstavnici ems a) direktnog, b) inverznog sistema
76
Za suprotan smer obrtanja zavojaka na slici 5.7, svaka naredna ems fazno prednjači
prethodnoj (opet za 2π / 3 ), što možemo pisati u obliku e1 (t ) = E 2 cos(ωt + θ1 ) ,
e2 (t ) = E 2 cos(ωt + θ1 +
2π
)
3
i
e3 (t ) = E 2 cos(ωt + θ1 −
2π
)
3
Takav sistem se naziva inverznim
sistemom. U posmatranom primeru imamo simetričan inverzan sistem ems, čiji su fazori prikazani
na slici 5.8b. Kompleksne ems su
E1 = E e jθ1 , E 2 = E1 e j2π/3 i E 3 = E1 e − j2 π/3 .
Očigledno, direktan sistem se može dobiti od inverznog zamenom dva priključka (na primer,
B i C). Važi i obrnuto, inverzni sistem se može dobiti od direktnog zamenom dva priključka.
(Zahvaljujući tome, smer obrtanja asinhronog motora se može promeniti zamenom dva priključka.)
Iz fazorskog dijagrama simetričnog sistema (bez obzira da li je direktan ili inverzan) je
očigledno E 1 + E 2 + E 3 = 0 . U vremenskom domenu, e1 (t ) + e2 (t ) + e3 (t ) = 0 .
Ako su generatori, vezani u trougao, realni, kao na slici 5.2b, a sistem elektromotornih sila je
simetričan, onda je struja sve tri grane jednaka nuli kada je generator u praznom hodu. Ako su
generatori idealni, onda je takva situacija neodreñena, a bila bi nemoguća da je E1 + E 2 + E 3 ≠ 0 . Ako
su generatori na slici 5.4 (vezani u zvezdu) idealni, a njihove elektromotorne sile čine simetričan
sistem, onda i naponi faza voda čine simetričan sistem, jer je tada U A = E1 , U B = E 2 i U C = E 3 .
Ako elektromotorne sile čine direktan sistem, i naponi faza voda čine direktan sistem jer je
U A = E1 = U f e jθ1 gde je θ 1 početna faza, U B = U f e j(θ1 − 2π / 3) = U A e − j2π / 3 i U C = U f e j(θ1 + 2π / 3) = U A e j2 π / 3 ,
gde je sa U f označena efektivna vrednost faznog napona. Pošto je sistem simetričan, efektivne
vrednosti sva tri fazna napona su jednake (i jednake su, u posmatranom slučaju, efektivnim
vrednostima elektromotornih sila).
Ako elektromotorne sile čine inverzan sistem, isti sistem čine i naponi faza voda jer je
U A = E1 = U f e jθ1 , U B = U f e j(θ1 + 2π / 3) = U A e j2 π / 3 i U C = U f e j(θ1 − 2 π / 3) = U A e − j2π / 3 .
Linijski naponi voda se mogu dobiti iz faznih napona koristeći se relacijama U AB = U A − U B ,
U BC = U B − U C i U CA = U C − U A , što je ilustrovano fazorskim dijagramom (na dva načina) na slici
5.9a i b za direktni sistem. Očigledno, linijski naponi takoñe čine simetričan sistem, istog redosleda
(direktan, odnosno inverzan) kao što je redosled faznih napona voda. Efektivnu vrednost linijskih
(meñufaznih) napona u tom slučaju označićemo sa U (bez indeksa), tj. | U AB |=| U BC |=| U CA |= U . Iz
geometrijskih relacija je očigledno
U = Uf 3
π
3
, videti geometrijske odnose na slici 5.9a). Kod direktnog
6
2
sistema, linijski napon U AB fazno prednjači naponu U A za π / 6 . Kod inverznog sistema, linijski
napon U AB fazno kasni za naponom U A za π / 6 .
Isti zaključci se mogu izvesti i analitički. Posmatrajmo simetričan direktan sistem faznih
jθ
− j2 π / 3
napona voda (slika 5.9a i b, gde je uzeto da je θ 1 = 0 ). Neka je je U A = U f e 1 i U B = U A e
,
(izvesti, imati u vidu da je cos
imamo
(
=
)
(
)
U AB = U A − U B = U A 1 − e − j2π / 3 = U A e − jπ / 3 e jπ / 3 − e − jπ / 3 = 2 jU A e − jπ / 3 sin
π
3
jer
je
π
3
=
i j = e jπ / 2 , imamo U AB = U A 3 e jπ / 6 . Iz ovoga rezultata sledi
3
2
da je odnos efektivnih vrednosti napona U AB i U A jednak 3 , a razlika faza jednaka π / 6 . Ostali
e jα − e − jα = 2 j sin α . Kako je sin
77
linijski naponi se mogu dobiti iz napona U AB kao za bilo koji drugi simetričan direktan sistem,
odnosno U BC = U ABe j2π / 3 i U CA = U ABe − j2 π / 3 .
Na sličan način se za simetričan inverzan sistem faznih napona voda dokazuje da je
U AB = U A 3 e − jπ / 6 , U BC = U ABe − j2π / 3 i U CA = U ABe j2 π / 3 .
a)
b)
Slika 5.9. Odnos faznih i linijskih napona direktnog simetričnog trofaznog sistema
Efektivna vrednost linijskog napona se uzima za nominalni napon trofaznog voda. Na
primer, kod 400 kV dalekovoda, linijski naponi su 400 kV, a fazni naponi približno 230 kV.
Nominalni napon niskonaponske gradske mreže je 400 V (ranije 380 V), pa je fazni napon 230 V
(ranije 220 V). Napomenimo da je učestanost kod nas i u svim evropskim zemljama 50 Hz, a u
nekim drugim zemljama (na primer, SAD) je 60 Hz.
Kao što i naponi mogu, u opštem slučaju, biti proizvoljni, tako i struje u trofaznom sistemu
mogu biti proizvoljne. Meñutim, sa tehničke strane, najpovoljnije je da struje čine simetričan sistem
(koji može biti direktan ili inverzan). Efektivne vrednosti struja faznih provodnika voda u tom
slučaju označićemo sa I (bez indeksa), tj. | I A |=| I B |=| I C |= I .
Trofazni sistem kod koga i naponi, i struje čine simetrične sisteme (istog redosleda,
direktnog, odnosno inverznog) naziva se uravnoteženim sistemom. Da bi se u praksi sistem
približio uravnoteženom, ako postoje monofazni prijemnici, oni se rasporeñuju tako da su
opterećenja faza voda što približnije podjednaka.
Za referentne smerove struja provodnika voda sa slike 5.4, na osnovu prvog Kirhofovog
zakona imamo I N = I A + I B + I C . Ako je sistem struja na trofaznom vodu simetričan, imamo
I A + I B + I C = 0 , pa je I N = 0 . Stoga se, teorijski, neutralni provodnik može izostaviti jer njemu
nema struje. U praktičnim situacijama, meñutim, sistem nikada nije sasvim uravnotežen, pa u
neutralnom provodniku postoji struja, ali je ona obično znatno manja od struja u faznim
provodnicima voda. To omogućava da se uzme manji poprečni presek neutralnog provodnika, a
time uštedi na materijalu.
Slično tome, ako je prijemnik vezan u trougao, a njegove struje čine simetričan sistem,
zvezdište se ne mora povezivati jer bi struja odgovarajućeg provodnika bila jednaka nuli.
Posmatrajmo trofazni prijemnik vezan na trofazni vod (slika 5.5). Ako naponi čine
simetričan sistem, a prijemnik je takoñe simetričan (simetrična zvezda, simetrični trougao), onda
struje prijemnika automatski čine simetričan sistem. To možemo dokazati na sledeći način. Poñimo
od prijemnika vezanog u zvezdu (slika 5.5a), za koji je Z p1 = Z p2 = Z p3 = Z p i pretpostavimo da je
izveden priključak za zvezdište. Fazni naponi na vodu su, po pretpostavci, simetrični. Ti naponi su
jednaki odgovarajućim naponima faza prijemnika, tj. naponi U p1 , U p2 i U p3 . čine simetričan
78
sistem, istog redosleda kao i fazni naponi (slika 5.9). Kako je I p1 = U p1 / Z p = I A , I p 2 = U p 2 / Z p = I B i
I p3 = U p3 / Z p = I C , struje grana prijemnika i struje faznih provodnika voda čine simetričan sistem,
kao što je prikazano fazorskim dijagramom na slici 5.10. U tom dijagramu je uzeto da je početna
faza struje I p1 nula, tj. ψ 1 = θ1 − φ p = 0 , gde je θ1 početna faza napona prve grane prijemnika,
odnosno prve faze voda ( U p1 = U A ), a φ p argument kompleksne impedanse Z p .
Pošto struje faza voda čine simetričan sistem, struja neutralnog provodnika voda je nula.
Stoga se provodnik kojim je vezano zvezdište može, po teoremi kompenzacije, ukloniti, a da se u
ostatku kola ništa ne promeni. Kao posledica, struje grana prijemnika i struje faznih provodnika
voda i dalje čine simetričan sistem kao na slici 5.10: a) direktan i b) inverzan, iako zvezdište nije
vezano na vod.
a)
b)
Slika 5.10. Struje prijemnika i struje faznih provodnika voda: a) direktnog i b) inverznog sistema
Ako je simetričan prijemnik vezan u trougao, tj. ako je trougao sa slike 5.5b simetričan, on se
može transfigurisati u ekvivalentnu simetričnu zvezdu (čije su impedanse tri puta manje od
impedansi grana trougla), čime se analiza svodi na prethodni slučaj. Tada je, dakle, sistem struja
faznih provodnika voda simetričan. Meñutim, dalje se postavlja pitanje veze izmeñu struja na vodu
( I A , I B i I C ) i struja grana prijemnika ( I p1 , I p 2 i I p3 ) na slici 5.5b. Odgovor se može dobiti
posmatrajući fazorski dijagram na slici 5.11 ili analitički. Taj fazorski dijagram se najlakše crta
polazeći od fazora I p1 , I p 2 i I p3 , za koje, zbog simetrije, pretpostavljamo da čine simetričan
direktan system, slika 5.11a i b, prikazan na dva načina. Iz prvog Kirhofovog zakona je
I A = I p1 − I p3 , I B = I p2 − I p1 i I C = I p3 − I p1 , tako da se fazori I A , I B i I C jednostavno konstruišu.
Lako se pokazuje da je
I = 3I p .
Ako je zadata početna faza napona U A ( θ1 ) i argument kompleksne impedanse Z p ( φ p ), onda
je definisana početna faza struje I A . U tom slučaju dobijeni fazorski dijagram treba zarotirati tako
da ugao izmeñu realne ose i fazora I A bude jednak početnoj fazi te struje ( ψ1 = θ1 − φp ).
5.4. Analiza trofaznih kola
Trofazna kola se mogu analizirati istim metodima kao bilo koja druga kola u prostoperiodičnom
režimu. Pri tome samo treba imati u vidu odgovarajuće definicije vezane za trofazna kola.
79
5.4.1. Veza prijemnika u zvezdu
Posmatrajmo trofazno kolo prikazano na slici 5.12. Impedanse grana generatora ( Z g ) su
jednake. Prijemnik je simetrična zvezda (impedanse grana su Z pz ). Impedanse Z v modeluju
Džulove gubitke (i eventualno parazitne induktivnosti) u faznim provodnicima voda, a impedansa
Z vN modeluje gubitke u neutralnom provodniku. Pretpostavimo, najpre, da su elektromotorne sile
generatora proizvoljne. Zadatak je da se reši kolo.
a)
b)
Slika 5.11. Odnos izmeñu struja na vodu ( I A , I B i I C ) i struja grana prijemnika ( I p1 , I p 2 i I p3 )
Posmatrano trofazno kolo ima samo dva čvora: zvezdište generatora i zvezdište prijemnika,
od kojih je prvo zvezdište već uzemljeno. Logično je da se kolo rešava metodom potencijala
čvorova, pri čemu se zvezdište generatora uzima za referentni čvor. Jednačina po metodu

3
1 
E +E +E
A
B
C
potencijala čvorova za zvezdište prijemnika glasi  Z + Z + Z + Z  V 1 = Z + Z + Z . Iz ove
g
v
pz
vN
g
v
pz


EA −V1
V
jednačine se odreñuje potencijal čvora 1, a odatle struje. Na primer, I A = Z + Z + Z , I N = 1 ,
g
v
pz
Z vN
itd.
Slika 5.12. Veza prijemnika u zvezdu
Pretpostavimo sada da elektromotorne sile generatora u kolu sa slike 5.12 čine simetričan
sistem. Tada je E A + E B + E C = 0 , pa je V 1 = 0 . Stoga je struja neutralnog provodnika jednaka nuli,
pa se on, po teoremi kompenzacije, može ukloniti bez posledica.
80
Alternativno, pošto je napon izmeñu čvorova 1 i 0 jednak nuli, ti čvorovi se mogu, po teoremi
kompenzacije, kratko spojiti. Preureñivanjem šeme, vidi se da se tako dobijaju tri nezavisna prosta
kola, koja imaju jednu zajedničku tačku. Svako kolo se sastoji od jedne grane (faze) generatora,
odgovarajućeg faznog provodnika voda i jedne grane (faze) prijemnika. Jačina struje u prvom od ta
E
A
tri kola je I A = Z + Z + Z . Zbog simetrije (sistem je uravnotežen), struje druga dva kola imaju
g
v
pz
iste efektivne vrednosti, ali su fazno pomerene za 2π / 3 , pa se jednostavno računaju. Opisani
postupak je poznat kao analiza svoñenjem na jednu fazu, a moguća je u uravnoteženim trofaznim
sistemima.
5.4.2. Veza prijemnika u trougao
Posmatrajmo kolo sa slike 5.13 u kome je prijemnik vezan u trougao. Bez obzira na to da li
je trougao simetričan ili nije, može se zameniti ekvivalentnom zvezdom, ali zvezdište te zvezde ne
sme imati izveden spoljašnji priključak. Zvezdište generatora se može ponovo uzeti za referentni
čvor i primeniti metod potencijala čvorova da bi se odredio potencijal zvezdišta transfigurisanog
prijemnika. Ako je trougao simetričan (kao na slici 5.13), simetrična je i zvezda. Impedanse njenih
grana su Z pz = Z pt / 3 . Stoga jednačina po metodu potencijala čvorova za posmatrano kolo glasi


3
E + EB + EC

 V = E A + EB + EC
V1 = A
. Posebno, ako je sistem
 Z g + Z v + Z pt / 3  1 Z g + Z v + Z pt / 3 , odnosno
3


elektromotornih sila simetričan, V 1 = 0 . Dalja analiza kola je slična kao kod prethodnog primera.
Slika 5.13. Veza prijemnika u trougao
5.5. Snage trofaznih generatora i prijemnika
Kada govorimo o snazi trofaznog generatora, podrazumevamo ukupnu snagu svih njegovih
grana (faza): trenutnu, aktivnu, reaktivnu ili kompleksnu snagu. (U opštem slučaju, razmatranje
prividne snage nema smisla jer za tu snagu ne važi teorema održanja.) Slično je i za prijemnik.
Odredićemo sada snagu prijemnika u uravnoteženom sistemu. Posmatrajmo simetričan
trofazni prijemnik vezan u zvezdu i priključen na simetričan sistem napona, kao na slici 5.5a.
(Prisustvo priključka zvezdišta nije bitno u ovakvoj situaciji.) Naponi grana prijemnika jednaki su
odgovarajućim faznim naponima voda, a struje grana voda jednake su strujama odgovarajućih
faznih provodnika voda. Pretpostavimo da naponi faza voda čine direktan sistem. Tada su trenutne
81
2π
vrednosti napona grana prijemnika jednake u p1 (t ) = U f 2 cos(ωt + θ1 ) , u p 2 (t ) = U f 2 cos(ωt + θ1 − 3 ) i
u p3 (t ) = U f 2 cos(ωt + θ1 +
2π
),
3
gde je U f efektivna vrednost faznog napona voda. Trenutne vrednosti
2π
struja grana prijemnika su jednake ip1 (t ) = I 2 cos(ωt + θ1 − φ) , ip2 (t ) = I 2 cos(ωt + θ1 − φ − 3 ) i
ip3 (t ) = I 2 cos(ωt + θ1 − φ +
2π
),
3
gde je I efektivna vrednost struje faznog provodnika voda, a φ fazna
razlika izmeñu napona i struje jedne grane prijemnika. Tolika ista fazna razlika postoji i izmeñu
napona i struje jedne faze voda. Trenutna snaga trofaznog prijemnika je
p (t ) = u p1 (t )ip1 (t ) + up2 (t )ip2 (t ) + u p3 (t )ip3 (t ) . Trenutne snage prvog, drugog i trećeg prijemnika su:
u p1 (t )ip1 (t ) = U f 2 cos(ωt + θ1 ) I 2 cos(ωt + θ1 − φ) ,
2π
) I 2 cos(ωt + θ1 − φ −
3
2π
u p3 (t )ip3 (t ) = U f 2 cos(ωt + θ1 + ) I 2 cos(ωt + θ1 − φ +
3
u p 2 (t )ip 2 (t ) = U f 2 cos(ωt + θ1 −
Prethodni
izrazi
se
mogu
2π
),
3
2π
).
3
transformisati
koristeći
se
identitetom
1
cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )] u sledeće izraze
2
u p1 (t )ip1 (t ) = U f I (cos(2ωt + 2θ1 − φ ) + cos φ ) ,
4π


u p 2 (t )i p 2 (t ) = U f I  cos(2ωt + 2θ 1 −
− φ ) + cos φ  ,
3


4π


u p3 (t )i p3 (t ) = U f I  cos(2ωt + 2θ 1 +
− φ ) + cos φ 
3


Kada se saberu svi članovi, ova tri izraza, u rezultatu figuriše izraz
4π
4π
cos( 2ωt + 2θ 1 − φ ) + cos( 2ωt + 2θ1 −
− φ ) + cos( 2ωt + 2θ 1 +
− φ ) . Taj izraz je suma tri
3
3
prostoperiodična člana istih kružnih učestanosti ( 2ω ) i istih amplituda, a fazna razlika izmeñu svaka
dva uzastopna člana je 4π / 3 . Ovi prostoperiodični članovi čine ''simetričan trofazni sistem'', pa je
njihov zbir nula26. Zato je trenutna snaga prijemnika u uravnoteženom sistemu jednaka
p(t ) = 3U f I cos φ = P .
Dakle, trenutna snaga prijemnika je jednaka zbiru srednjih snaga sve tri grane prijemnika i
konstantna pa motori rade mirno i glatko Ova odlika uravnoteženih trofaznih sistema je važna
prednost nad monofaznim sistemima (gde se trenutna snaga menja u vremenu). Isti rezultat se
dobija i ako je sistem inverzan.
Napomenimo da se srednja snaga trofaznog prijemnika može jednostavno dobiti sabirajući
srednje snage sve tri grane, a bez pozivanja na prethodno izvoñenje. Isto važi i za reaktivne i
kompleksne snage.
S obzirom da izmeñu efektivnih vrednosti faznog i linijskog napona na vodu postoji veza
Uf = U
3
3
, srednja snaga prijemnika se može napisati u obliku
P = 3 U f I cos φ = 3 UI cos φ .
26
Do istog rezultata se može doći analitički, primenom tigonometrijske transformacije
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β , gde je α = 2ωt + 2θ1 − φ .
82
To je, istovremeno, srednja snaga koja, posredstvom voda, stiže do potrošača. Ako na vodu
nema gubitaka, onda je ta srednja snaga ista na početku i kraju voda, pa predstavlja i snagu koju
trofazni generator predaje vodu.
Reaktivna snaga je
Q = 3 U f I sin φ = 3 UI sin φ ,
a kompleksna snaga je S = 3U f Ie jφ = 3 UIe jφ . Napomenimo da u ovim rezultatima
figurišu naponi i struje voda.
Ako je prijemnik vezan u trougao, do istog rezultata se može doći na dva načina. Prvi je
direktan proračun snage prijemnika, pri čemu se koristi veza izmeñu efektivnih vrednosti struja
grana prijemnika i faza voda. Drugi je transfiguracija trougla u zvezdu. Pošto su snage izražene
preko napona i struja, a ne preko impedansi, očigledno je da su konačni rezultati isti kao malopre.
Primer 5.1. Posmatrajmo prijemnik sa slike 5.14, koji je priključen na simetričan trofazni
jφ
sistem efektivne vrednosti ems E, a impedansa jedne grane prijemnika je Z p = Z pe . Zadatak je da
se odredi kompleksna snaga prijemnika kada je prekidač P zatvoren i kada je otvoren.
Slika 5.14. Uz primer odreñivanja snage prijemnika
Kada je prekidač zatvoren, trofazni sistem je uravnotežen (zbog simetrije). Efektivna
vrednost napon svake grane prijemnika jednaka je E. Kompleksna snaga jedne grane prijemnika je
E 2 jφ
E 2 jφ
*
*
Y pU 2 = Y p E 2 =
e , a kompleksna snaga celog trofaznog prijemnika je S p = 3Y p* E 2 = 3
e .
Zp
Zp
Kada je prekidač otvoren, u grani sa prekidačem nema struje, a prijemnik se svodi na rednu
vezu dve grane. Ekvivalentna impedansa te redne veze je 2Z p , a efektivna vrednost napona redne
veze je U AC = E 3 , odnosno jednaka je linijskom naponu. Kompleksna snaga trofaznog
2
prijemnika je sada S p ' = Y U AC
=3
*
E 2 jφ
e .
2Z p
Iz dobijenih rezultata može se lako izračunati aktivna i reaktivna snaga prijemnika.
5.6. Prednosti trofaznog sistema nad monofaznim
Ukazaćemo još na neke prednosti trofaznog sistema nad monofaznim. Posmatrajmo
uravnoteženi trofazni sistem prikazan na slici 5.15 gore. Neka je efektivna vrednost faznog napona
voda U f (koja je jednaka efektivnoj vrednosti napona prijemnika), a srednja snaga prijemnika P.
83
P
Efektivna vrednost struje jedne faze voda je I = 3 U cos φ . Poprečni presek provodnika voda se
f
dimenzioniše prema ovoj struji, a ukupan broj provodnika voda je 3.
Pri istoj efektivnoj vrednosti napona prijemnika i istoj snazi, prenos snage od generatora do
prijemnika se može obaviti pomoću tri monofazna sistema, kao na slici 5.15 dole. Taj sistem ima tri
voda, svaki sa po 2 provodnika (ukupno 6). Efektivne vrednosti struja svih provodnika su iste kao
kod posmatranog trofaznog sistema. To znači da su poprečni preseci provodnika isti. Meñutim,
zbog većeg ukupnog broja provodnika, tri monofazna sistema zahtevaju dva puta više materijala za
provodnike (bakra) nego uravnoteženi trofazni sistem. Čak i kada bi u trofaznom sistemu postojao
neutralni provodnik istog preseka kao i fazni provodnici, odnos količine materijala bi bio 3:2.
+
Zp
Zp
+
+
Zp
+
Zp
+
Zp
+
Zp
Slika 5.15. Poreñenje trofaznog i tri monofazna sistema
5.7. Trofazni transformator
Na slici 5.16a je skiciran trofazni transformator. Magnetsko kolo transformatora se sastoji od
tri stuba. Na svakom stubu su namotani primar (priključci a, b, c) i sekundar (priključci A, B, C) po
jedne faze. Namotaj sekundara je obično preko namotaja primara, ali su na slici 5.16a namotaji
razdvojeni zbog preglednosti.
a)
b)
Slika 5.16. Poreñenje trofaznog (a) i tri monofazna transformatora (b)
84
Ako je trofazni sistem uravnotežen, fluksevi kroz stubove transformatora čine simetričan
sistem. Stoga je automatski zadovoljen zakon konzervacije magnetskog fluksa u tačkama grananja
magnetskog kola.
Umesto jednog trofaznog transformatora, mogu se upotrebiti tri monofazna transformatora
(slika 5.16b). Uobičajen oblik magnetskog kola monofaznog transformatora je sličan kao za trofazni
transformator. Potrebne dimenzije srednjeg stuba monofaznog transformatora su praktično iste kao
za jedan stub trofaznog transformatora, ali je poprečni presek bočnih stubova dva puta manji od
preseka centralnog stuba. Uprkos tome, sa slike 5.16 je očigledno da je za tri monofazna
transformatora potrebno više materijala (gvožña) nego za jedan trofazni transformator.
Najzad, trofazni sistemi su pogodni za proizvoñenje obrnog magnetskog polja, koje je bitno
za rad asinhronih motora. O obrtnom polju će biti reči u sledećem odeljku.
5.8. Obrtno magnetsko polje
5.8.1. Osnovni pojmovi o obrtnom magnetskom polju, sinhronim i asinhronim
motorima
Zamislimo stalni magnet u obliku šipke, kao što je gornja magnetska šipka prikazana na slici
5.17, koji se obrće oko vertikalne ose. (Umesto stalnog magneta, može se zamisliti i elektromagnet.)
Na slici su označeni severni (N) i južni (S) pol magneta. Smer linija magnetske indukcije izvan
magneta je od severnog ka južnom polu (videti vektor magnetske indukcije na slici 5.17).
Magnetsko polje magneta se obrće zajedno sa njim. Vektor B u tački O, prikazanoj na slici 5.17,
okretaće se u horizontalnoj ravni. Pri tome će početak toga vektora stalno biti u tački O (tj. na osi
rotacije magneta), a vrh vektora će opisivati krug u horizontalnoj ravni (označen tačkastom linijom
na slici 5.17). Ako se stalni magnet obrće konstantnom ugaonom brzinom, onda će se i vektor B
obrtati tom istom (konstantnom) brzinom, pri ćemu će intenzitet vektora B biti konstantan. Takvo
polje se naziva obrtnim poljem (ovde stvoreno mehaničkim kretanjem izvora polja).
Slika 5.17. Obrtno magnetsko polje proizvedeno mehaničkim kretanjem izvora
Zamislimo da je u to obrtno polje postavljen drugi stalni magnet u obliku šipke (na primer,
magnetska igla), kao što je donja šipka na slici 5.17, i neka se taj magnet može slobodno (bez trenja)
obrtati oko iste vertikalne ose kao i gornja šipka. Na donju šipku će delovati spreg magnetskih sila
koji će težiti da je postavi u pravcu vektora B , i to tako da je južni pol jedne šipke uz severni pol
druge. Pošto se gornja šipka obrće, tj. pošto se obrće i njeno magnetsko polje, istom ugaonom
85
brzinom i u istom smeru će se obrtati i donja šipka. Dakle, donja šipka se obrće sinhrono sa
obrtanjem magnetskog polja.
Opisani eksperiment opisuje suštinu rada sinhronih motora. Kod tih motora, obrtno
magnetsko polje se generiše pomoću elektromagneta, što ćemo prikazati u ovom odeljku, a u tom
polju se slobodno obrće stalni magnet, sihnrono sa obrtanjem magnetskog polja.
Umesto donje šipke, u obrtno magnetsko polje možemo uneti kratko spojeni zavojak,
nacrtan isprekidanom linijom na slici 5.17. Ravan zavojka je vertikalna, a zavojak se može
slobodno obrtati oko iste vertikalne ose kao i gornja šipka. Pošto se zavojak nalazi u promenljivom
magnetskom polju, u njemu će se indukovati elektromotorna sila. Zavojak je u kratkom spoju, pa
će, pod dejstvom te elektromotorne sile, u zavojku postojati struja. Zavojak se može shvatiti kao
strujna kontura u magnetskom polju. Na tu konturu deluje spreg sila koji teži da ravan konture
postavi normalno na magnetsko polje. Drugim rečima, spreg sila teži da okreće konturu u smeru
obrtanja magnetskog polja. Takvo obrtanje se može objasniti i Lencovim zakonom. Naime ako bi se
kontura obrtala sinhrono sa magnetskim poljem, fluks kroz konturu se ne bi menjao, pa ne bi ni
postojao uzrok pojave elektromagnetske indukcije.
Meñutim, ako bi kontura dostigla sinhronu brzinu, u njoj ne bi više bilo indukovane ems, ne
bi bilo ni struje, niti sprega magnetskih sila. Kako u svakom realnom sistemu postoji makar malo
trenje, očigledno je da se kontura mora okretati malo sporije od obrtanja magnetskog polja, da bi
postojao spreg magnetskih sila koji savlañuje trenje.
Na opisanom principu se zasniva rad asinhronih motora. Rotor takvih motora je načinjen
od sistema kratko spojenih zavojaka. U jednostavnijim konstrukcijama, rotor je pun metalni cilindar
u kome se indukuju vihorne struje (kao Teslino jaje). Obrtno magnetsko polje se generiše sistemom
kalemova (elektromagneta).
5.8.2. Dvofazno obrtno magnetsko polje
Najjednostavniji sistem kalemova za generisanje obrtnog magnetskog polja prikazan je na
slici 5.18 (dvofazni sistem). Dva identična kalema (na primer, kratka solenoida, elektromagneta)
postavljena su tako da im se ose poklapaju sa osama Dekartovog koordinatnog sistema (slika 5.18a),
dakle prostorno su po 900. Kalemovi su na istom odstojanju od koordinatnog početka i pri istim
strujama ( i1 (t ) , odnosno i2 (t ) ) daju iste algebarske intenzitete magnetskih indukcija ( B1(t ) , odnosno
B2 (t ) ) u odnosu na referentne smerove na slici.
Neka su struje kalemova prostoperiodične, istih efektivnih vrednosti, ali u kvadraturi
(pomerene fazno za 900). Neka struja i2 (t ) kasni za π / 2 za strujom i1 (t ) . Tada je B1 (t ) = Bm cos ωt i
π
B2 (t ) = Bm cos(ωt − ) = Bm sin ωt , gde smo početni trenutak usvojili tako da je početna faza B1 (t ) nula.
2
Rezultantni
vektor
magnetske
indukcije
se
može
napisati
u
obliku
B (t ) = B 1 + B 2 = B x (t )i x + B y (t )i y , gde su Dekartove komponente rezultantnog vektora
B x (t ) = B1 (t ) = Bm cos ωt
i B y (t ) = B2 (t ) = Bm sin ωt .
Na slici 5.18b prikazani su vektori B 1 , B 2 i B = B 1 + B 2 u nekoliko uzastopnih trenutaka
vremena.
Intenzitet vektora B(t ) je B (t ) = B x2 (t ) + B y2 (t ) = Bm , tj. ne zavisi od vremena.
Ugao koji vektor B (t ) zaklapa sa pozitivnim smerom x-ose (α) zadovoljava relaciju
tg α =
B y (t )
B x (t )
= tg ωt . Pošto je α = 0 kada je ωt = 0 , odavde sledi α = ωt , odnosno vektor
B(t ) se
okreće u matematički pozitivnom smeru konstatnom ugaonom brzinom w = ω . Dakle, dobili smo
obrtno magnetsko polje.
86
Ako bi struja i1 (t ) kasnila za π / 2 za strujom i2 (t ) , opet bi se dobilo obrtno polje, ali bi se
okretalo u suprotnom smeru.
Na slici 5.18c je prikazana jedna šema vezivanja kalemova na monofazni prostoperiodični
napon. Ona obezbeñuje da struje kalemova budu istih intenziteta i u kvadraturi pod uslovima da je
π
1
U
U 1
U 2 j4
i
i
Tada
je
R = ωL
= 2ωL .
I1 =
=
=
e
1
R 1− j R 2
ωC
R + jωL +
jωC
π
U
U 1
U 2 -j4
I2 =
=
=
e . Promena smera obrtanja se može ostvariti ili zamenom
R + jωL R 1 + j R 2
priključaka jednog kalema, ili premeštanjem kondenzatora iz grane sa prvim kalemom u granu sa
drugim kalemom.
a)
c)
b)
Slika 5.18. Dvofazni sistem za stvaranje obrtnog magnetskog polja
Da dolazi do obrtanja rezultantnog vektora magnetske indukcije, može se pokazati i
posmatrajući rezultantni vektor B u karakterističnim trenucima na vremenskom dijagramu
magnetskih indukcija B1 (t ) i B2 (t ) (slika 5.19. Na primer u trenutku t=0, Br = B1 , i ima položaj
vektora B1 jer je B2 = 0 , itd.
Slika 5.19. Ilustracija promene položaja rezultantnog vektora magnetske indukcije
87
5.8.3. Trofazno obrtno magnetsko polje
Na slici 5.20 je prikazan trofazni sistem za generisanje obrtnog magnetskog polja, kakav je
uobičajen kod asinhronih motora. Tri identična kalema postavljena su simetrično u ravni crteža (pod
2π
meñusobnim uglovima 3 ) i priključena na prostoperiodičan simetričan trofazni sistem napona.
Struje kalemova stoga takoñe čine simetričan sistem, kao i odgovarajući algebarski intenziteti
magnetskih indukcija.
2π
Na primer, za direktan sistem je B1 (t ) = Bm cos ωt , B 2 (t ) = Bm cos(ωt − ) i
3
2π
B3 (t ) = B m cos(ωt +
) . Drugi i treći algebarski intenzitet se mogu, koristeći trigonometrijsku
3
transformaciju
napisati
u
obliku
cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ,
 1

 1

2π
2π
3


3
B2 (t ) = Bm  cos
cos ωt + sin
sin ωt  = Bm  − cos ωt +
sin ωt  , odnosno B3 (t ) = Bm  − cosωt −
sin ωt  .
 2
3
3
2
2
2






Dekartove
komponente
vektora
magnetske
indukcije
1
1
3
B x (t ) = B1 (t ) − B2 (t ) cos − B3 (t ) cos = B1 (t ) − B2 (t ) − B3 (t ) = Bm cos ωt
3
3
2
2
2
3
3
3
π
π
B y (t ) = B2 (t ) cos − B3 (t ) cos =
B2 (t ) −
B3 (t ) = Bm sin ωt .
6
6
2
2
2
π
rezultantnog
π
su
i
3
Izuzimajući faktor 2 , ovo su identični izrazi kao kod dvofaznog sistema, tako da smo
očigledno i ovde dobili obrtno magnetsko polje.
Slika 5.20. Trofazni sistem za stvaranje obrtnog magnetskog polja
Smer obrtanja polja može se promeniti priključivanjem kalemova na inverzni sistem napona.
Kao što je ranije napomenuto, to se može ostvariti zamenom dva priključka na fazne provodnike
voda.
Na sličan način, kao na slici 5.19, i kod trofaznog obrtnog magnetskog polja može se,
očigledno, pokazati da dolazi do obrtanja rezultantnog vektora magnetske indukcije, kada se on
posmatra u karakterističnim tačkama (kada je magnetska indukcija u jednom od elektromagneta
jednaka nuli). Nacrtajte takvu sliku sami (možete se poslužiti slikom 6.7b uzimajući trenutke kada
je jedna od veličina nula).
88
6. FREKVENTNE ZAVISNOSTI
U prethodnim odeljcima smo uglavnom razmatrali prostoperiodičan režim za jednu, datu
učestanost. Za tehničke primene je često važno znati kako se neke veličine (na primer, ekvivalentna
impedansa neke grane ili prenosna funkcija nekog četvoropola) menjaju ako se menja učestanost
prostoperiodičnog režima, odnosno kako te veličine zavise od učestanosti. Zavisnost neke veličine
od učestanosti naziva se frekvencijska karakteristika te veličine. Posmatraćemo zavisnost od
kružne učestanosti ( ω = 2πf ), iz koje se lako zaključuje ponašanje u funkciji ''obične'' učestanosti (f).
U prvom odeljku ćemo napraviti uvod u analizu frekventne zavisnosti elemenata (R, L i C),
a u drugom ukratko analizirati dve najjednostavnije veze ovih elemenata (redne i paralelne).
6.1. Otpornik, kalem i kondenzator
Posmatrajmo najpre idealni otpornik, kalem i kondenzator, kao što su na slikama 1.3a, 1.4a i
1.5a, samo što ih posmatramo u prostoperiodičnom režimu. Njihove impedanse27 su, redom,
Z (ω) = R , Z (ω) = jωL
1
1
i Z (ω) = jωC . Moduli tih impedansi su Z (ω) = R , Z (ω) = ωL , odnosno Z (ω) =
ωC
π
π
(slika 6.1). Argumenti su nezavisni od učestanosti, φ(ω) = 0 , φ(ω) = 2 i φ(ω) = − 2 .
Modul i argument impedanse otpornika ne zavise od učestanosti. Drugim rečima, idealni
otpornik se isto ponaša pri svim učestanostima.
Modul impedanse kalema linearno raste u funkciji učestanosti. Pri niskim učestanostima, taj
modul je veoma mali i teži nuli kada ω → 0 , odnosno kalem se ponaša kao kratak spoj. Kada ω → 0 ,
promene prostoperiodične veličine su sve sporije, tako da, teorijski, u limesu, imamo nepromenljive
veličine, odnosno stacionaran režim (kao kod stalnih struja). Iz ovoga zaključujemo da se idealni
kalem u kolu stalnih struja ponaša kao kratak spoj. Kada ω → +∞ (drugačije posmatrano, za veoma
brze promene), modul impedanse kalema teži beskonačnosti, a kalem se ponaša kao otvorena veza.
Slika 6.2. Frekventna zavisnost modula impedansi R, L i C elemenata
Modul impedanse kondenzatora je recipročna funkcija učestanosti. Taj modul teži
beskonačnosti kada ω → 0 , odnosno kondenzator se ponaša kao otvorena veza (prekid). (U analizi
27
U ovom odeljku ćemo eksplicitno označavati da posmatramo veličine u funkciji kružne učestanosti (ω).
89
kola stalnih struja smo se već upoznali sa činjenicom da se kondenzator ponaša kao otvorena veza.).
Kada ω → +∞ , modul impedanse kondenzatora teži nuli, a kondenzator se ponaša kao kratak spoj.
1
1
Admitanse otpornika, kalema i kondenzatora su Y (ω) = G = R , Y (ω) = jωL , odnosno
Y (ω) = jωC , što su dualni izrazi onima za impedanse. Stoga su, kvalitativno, zavisnosti modula
admitansi kalema i kondenzatora istog oblika kao zavisnosti modula impedansi kondenzatora,
odnosno kalema na slici 6.2.
6.2. Redno i paralelno oscilatorno kolo
Posmatramo dva najjednostavnija oscilatorna kola: redno (rezonantno) kolo (slika 6.2a) i
paralelno (antirezonantno) kolo (slika 6.2b), koje smo delomično analizirali i u zavisnosti od
promene učestanosti u odeljcima 2.7.5 i 2.7.6. Neka se svako od tih kola se sastoji od po jednog
otpornika, kalema i kondenzatora.
.
a)
b)
Slika 6.2. R, L, C elementi: a) redna veza, b) paralelna veza
Analiziraćemo detaljnije samo redno oscilatorno kolo, a ti rezultati se direktno mogu
primeniti na paralelno kolo zahvaljujući dualnosti.
Impedansa
rednog
oscilatornog
kola
je
1
2
ωL −
1 

Z (ω) = R 2 +  ωL −
ωC
 , a argument φ(ω) = arctg
ωC 

R
Z (ω) = R + jωL +
1
jωC ,
njen
modul
je
(slika 6.3). Pri niskim učestanostima u
1
rednoj vezi dominira kondenzator, a pri visokim kalem. Pri rezonantnoj učestanosti, ω0 = LC ,
Z (ω) ima minimum28, a φ = 0 . Na slici 6.3 su frekvencijske karakteristike impedanse rednog i
1
paralelnog oscilatornog kola sa slike 6.2 za ω0 = LC i L = 5R / ω0 .
Na rezonantnoj učestanosti, modul admitanse rednog oscilatornog kola, Y (ω) , ima
maksimum. Na osnovu dualnosti, isti tok ima modul impedanse paralelnog oscilatornog kola, koji je
takoñe prikazan na slici 6.2. Modul admitanse paralelnog oscilatornog kola ima isti tok u funkciji
učestanosti kao modul impedanse rednog oscilatornog kola.
Učestanost, pri kojoj Z (ω) ima minimum, je učestanost amplitudske rezonancije, a učestanost pri kojoj je φ = 0 je
učestanost fazne rezonancije. Kod rednog oscilatornog kola se te dve učestanosti poklapaju.
28
90
Ako je redno oscilatorno kolo priključeno na napon čija efektivna vrednost ne zavisi od
učestanosti, onda efektivna vrednost struje kola ima isti tok kao Y (ω) ovoga kola, odnosno ima
1
maksimum kada je ω = ω0 = LC . (Obrnuto, ako bi efektivna vrednost struje bila nezavisna od
učestanosti, onda bi efektivna vrednost napona imala isti tok kao Z (ω) .)
Z/R
5
redno
4
3
2
1
paralelno
0
0
1
2
ω/ω0
2
ω/ω0
φ 2.0
redno
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5 0
1
-1.0
paralelno
-1.5
-2.0
Slika 6.3. Frekventna zavisnost impedanse rednog i paralelnog oscilatornog kola
Mogu se posmatrati i zavisnosti efektivnih vrednosti struje kroz kolo i napona na pojedinim
elementima kola od učestanosti kod rednog oscilatornog kola, ili struje kroz elemente i napon na
krajevima paralelnog oscilatornog kola. Pokazuje se da kola neke opsege učestanosti manje ili više
favorizuju (ističu), a neke manje ili više potiskuju, pa se ponašaju kao filtri učestanosti, tj. imaju
osobine selektivnosti (struja i naponi u kolu su frekventno zavisni), pa se definiše i tzv propusni
opseg. Na primer, redno rezonantno kolo ponaša se kao filtar propusnik opsega učestanosti.
ω L
Pri rezonantnoj učestanosti su U R = U , I = U , i 0 = 1 = Q , pa se lako pokazuje da,
R
R
ω 0 RC
ukoliko je Q veći od jedan, tada su efektivne vrednosti napona kalema i kondenzatora veće od
efektivnih vrednosti priključenog napona Q puta (pojava prenapona). Na primer
U
U L = jω 0 L I = jω 0 L
= jQ U . Slično se dobija U C = − jQU . Ako je R malo, Q može biti veliko,
R
pa se može desiti da je napon na kondenzatoru veći od njegovog probojnog napona.
Veličina Q naziva se faktor dobrote (Q-faktor) oscilatornog kola29. On ne samo da utiče na
veličinu prenapona, nego i na oštrinu zavisnosti od učestanosti (oštrinu rezonancije). Što je Q-faktor
veći, to su krive uže (kaže se da je kolo selektivnije), odnosno propušta sve uži opseg učestanosti.
Propusni opseg se računa na nivou 0,707 od maksimuma posmatrane veličine (struje ili napona) u
29
Opšta definicija Q – faktora rezonantnih struktura je
Q = 2π
energija sadržana u sistemu pri ω r
energija izgubljena u sistemu u toku jednog perioda pri ω r
91
zavisnosti od učestanosti. Može se analitički pokazati da je širina propusnog opsega obrnuto
srazmerna Q-faktoru kola (tj. srazmerna sa 1 / Q ).
Kolo (mreža) se u rezonanciju može dovesti promenom kružne ω učestanosti generatora,
promenom induktivnosti kalema L, promenom kapacitivnosti kondenzatora C, ili kombinovanom
promenom ovih parametara.
6.3. Rezonantne i antirezonantne pojave u složenijim mrežama sa jednim
parom krajeva
U složenijim mrežama sa jednim parom krajeva (dva priključka), za reaktivne mreže (mreže
bez gubitaka), nañe se ekvivalentna impedansa Z = R + jX , pa se rezonantne učestanosti (može ih
biti više), dobijaju se iz uslova
X (ω r ) = 0 ,
odnosno nañe se ekvivalentna admitansa Y = G + jB , a antirezonantne učestanosti (može ih biti
više), dobijaju iz uslova
B(ω r ) = 0 .
Ponekad je pogodnije definisati rezonantne učestanosti iz uslova da je struja maksimalna
kroz priključke, tj. I = max(I ) , a antirezonantne učestanosti iz uslova da je struja minimalna, tj.
I = min (I ) .
Ako u mreži postoje i otpornici, može se desiti da se uslovi X = 0 ili B = 0 ne mogu
ispuniti ni za jednu učestanost.
6.4. Ponašanje realnih elemenata pri visokim učestanostima
U teoriji, radimo sa idealizovanim pasivnim elementima (otpornicima, kalemovima i
kondenzatorima) koji imaju samo po jednu osobinu, odnosno karakterišu se samo jednim
parametrom. U praksi, meñutim, ponašanje realnih otpornika, kalemova i kondenzatora odstupa od
idealnih zbog raznih neželjenih (parazitnih) efekata uslovljenih konstrukcijom tih elemenata.
Rezultate analize realnih elemenata možemo primeniti na sagledavanje osobina realnih elemenata
(fizički napravljenih otpornika, kalemova i kondenzatora) u funkciji učestanosti.
Realni otpornici se prave od različitih materijala koji imaju izražene Džulove gubitke
(otporne mase na bazi grafita, tankih slojeva nekih metala i legura).
Svaki otpornik ima priključne provodnike. Ti provodnici su napravljeni od dobrih provodnika,
ali mogu biti relativno dugački. Kada u otporniku postoji promenjiva struja, u priključcima se
indukuje elektromotorna sila. Stoga se priključci ponašaju kao parazitna induktivnost vezana na red
sa otpornikom.
Na priključnim provodnicima, a posebno na metalnim kontaktima sa otpornim materijalom,
javlja se višak naelektrisanja. Efekat je ekvivalentan paralelnom vezivanju parazitne kapacitivnosti.
Na slici 6.4a je prikazana ekvivalentna šema realnog otpornika, koja uzima u obzir pomenute
efekte. Kod otpornika velikih otpornosti, parazitna kapacitivnost na slici 6.4a je dominantan
element koji utiče na odstupanje ponašanja od idealnog otpornika. Kod otpornika malih otpornosti,
glavni problem je parazitna induktivnost.
Meñutim, osim tih efekata, ima i drugih neželjenih pojava. Pomenimo da, sa porastom
učestanosti, površinski efekat (skin efekat) postaje izražen i dovodi do povećanja otpornosti.
92
Kod realnih kondenzatora, osim (željenog) nagomilavanja naelektrisanja na elektrodama,
postoje neželjeni efekti. Jedan od njih je parazitna induktivnost priključnih provodnika,
ekvivalentno vezana na red sa idealnim kondenzatorom (kao kod otpornika). Drugi efekat su gubici
u dielektriku. Ti gubici se mogu modelovati otpornikom vezanim paralelno idealnom kondenzatoru
(kada dominiraju gubici usled provodnosti dielektrika) ili na red sa kondenzatorom (kada
dominiraju polarizacioni gubici u dielektriku). Ekvivalentna šema realnog kondenzatora je
prikazana na slici 6.4b. Pri visokim učestanostima, dolazi do izražaja rezonancija osilatornog kola
koje čine kalem i kondenzator. Pri rezonantnoj učestanosti je modul impedanse kondenzatora mali.
Ako je učestanost iznad rezonantne, kalem dominira, pa se realni kondenzator ponaša kao pretežno
induktivni prijemnik.
R
(a)
C
L
(b)
(c)
Slika 6.4. Ekvivalentna šema realnog otpornika (a), kondenzatora (b) i kalema (c)
Kod realnih kalemova, postoje gubici (Džulovi u provodnicima, kao i gubici u
feromagnetskom jezgru usled vihornih struja i usled histerezisa). Ti gubici se modeluju otpornikom
vezanim na red sa idealnim kalemom. Izmeñu zavojaka kalema postoje parazitne kapacitivnosti.
One su posebno izražene kod kalemova koji se motaju u više slojeva. U najjednostavnijoj
aproksimaciji, te kapacitivnosti se modeluju jednim kondenzatorom koji je vezan paralelno kalemu.
Ekvivalentna šema je prikazana na slici 6.4c. Ta šema predstavlja paralelno oscilatorno kolo. Pri
antirezonantnoj učestanosti, modul impedanse kalema je veoma veliki. Iznad antirezonantne
učestanosti dominira kondenzator, pa se realni kalem ponaša kao pretežno kapacitivni prijemnik.
Pri antirezonantnoj učestanosti je, približno, dužina provodnika kalema jednaka polovini
talasne dužine. Talasna dužina u vakuumu se računa kao λ = c / f , gde je c brzina prostiranja
( c ≈ 3 ⋅10 8 m/s ), a f učestanost. Zbog uticaja materijala (dielektrika i feromagnetika) u okolini
provodnika kalema, talasna dužina je manja od one u vakuumu.
U stvarnosti, osim pomenute antirezonantne učestanosti, realni kalem ima niz rezonantnih i
antirezonantnih učestanosti, ali one nisu obuhvaćene modelom na slici 6.4.
93
LITERATURA
1. Đorñević R. A.: Osnovi elektrotehnike 4. deo, kola promenljivih struja, Akademska misao,
Beograd, 2007.
2. Milatović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Svjetlost, Sarajevo, 1985.
3. Pinter V.: Osnove elektrotehnike, knjiga druga, Tehnička knjiga, Zagreb, 1978.
4. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz elektrotehnike i teorije električnih kola (praktikum),
Univerzitet Vojske Jugoslavije, Beograd, 1993.
5. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 1 i 2, praktikum, Elektrotehnički
fakultet, Istočno Sarajevo, 2012.
6. Pokorni S.: Osnovi elektrotehnike 2, električne mreže sa vremenski promenjivim strujama,
skripta, ETF, Istočno Sarajevo, 2010.
7. Popović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Grañevinska knjiga, Beograd, 1986.
8. Popović B., Đorñević A.: Osnovi elektrotehnike 3, zbirka pitanja i zadataka, Grañevinska
knjiga, Beograd, 1981.
9. Purcell M. E., Morin J. D.: Electricity and Magnetism, Cambridge University Press, third
edition, 2014.
10. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, naizmenične struje, Grañevinska knjiga, Beograd,
1971.
11. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, Grañevinska knjiga, Beograd, 1968.
94
Download

t - Elektrotehnički fakultet Istočno Sarajevo