Glava 3
SINTEZA ELEKTRIČNIH MREŽA
SA JEDNIM PRISTUPOM
U Glavi 2 smo se bavili pronalaženjem funkcije prenosa sistema koji treba da
ispuni postavljene zahtjeve za obradu signala. Sljedeći korak je sinteza sistema
koji treba da ima zadatu funkciju prenosa. Mi ćemo se zadržati na sintezi
sistema u vidu električnih mreža, s krajnjim ciljem da dođemo do šeme
električne mreže koja filtrira signal prema postavljenim zahtjevima. U ovoj
glavi ćemo razmatrati sintezu pasivnih, linearnih i recipročnih, vremenski
nepromjenljivih električnih mreža sa jednim pristupom. Sintezu električnih
mreža sa dva pristupa, koje su značajne sa stanovišta obrade signala, ćemo
razmatrati u kontekstu projektovanja i realizacije električnih filtara u narednim
glavama. Za razumijevanje metoda sinteze mreža sa dva pristupa, neophodno
je poznavanje osobina i metoda sinteze mreža sa jednim pristupom, čiji je opšti
oblik prikazan blok šemom na Slici 3.1.
GLAVA 3
I1
Ik
V1
k − ta grana
k = 2,3, , b
Vk
Z ul
Slika 3.1 Blok šema mreže sa jednim pristupom.
Zbog dualnih osobina i jednostavnosti izlaganja, u nastavku ćemo
impedansu Z i admitansu Y zvati jednim imenom imitansa i označavati sa F .
Uz pretpostavku da je mreža N na Slici 3.1 pasivna i da sadrži samo
otpornike, kalemove i kondenzatore (RLC mreža), vrijedi Telegenova teorema:
b
V ( s ) I ( s ) = 0 ,
k
*
k
(3.1)
k =1
odnosno:
b
−V1 ( s ) I1* ( s ) =  Vk ( s ) I k* ( s ) =  Vk ( s ) I k* ( s ) +  Vk ( s ) I k* ( s ) +  Vk ( s ) I k* ( s ) ,(3.2)
k =2
R
L
C
gdje smo u odvojene sume grupisali snage na otpornicima, kalemovima i
kondenzatorima. Veze između napona i struja na ulazu, te na pojedinim
elementima mreže (otpornicima, kalemovima i kondenzatorima) date su
sljedećim relacijama:
58
V1 ( s ) = −Zul ( s ) I1 ( s ) ,
(3.3)
Vk ( s ) = Rk I k ( s ) ,
(3.4)
Vk ( s ) = Lk sI k ( s ) ,
(3.5)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Vk ( s ) =
1
Ik ( s ) ,
Ck s
(3.6)
pri čemu su:
Rk , Lk , Ck > 0 .
(3.7)
Na osnovu (3.1) do (3.7) dolazimo do opšte forme ulazne impedanse RLC
mreže:
Z ul ( s ) I1 ( s ) =  Rk I k ( s ) +  Lk s I k ( s ) + 
2
2
2
R
Z ul ( s ) =  Rk
R
L
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
+ s  Lk
L
C
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
2
1
Ik ( s ) ,
Ck s
(3.8)
2
1
1 Ik ( s )
.
+ 
s C C k I1 ( s ) 2
(3.9)
Nakon smjene:
s = σ + jΩ ,
(3.10)
zapišimo ulaznu impedansu u obliku:
Z ul ( s ) =  Rk
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
R
+
jΩ Lk
L
+ σ  Lk
L
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
2
1 Ik ( s )
+ 2
+
2 
σ + Ω C Ck I1 ( s ) 2
σ
2
Ω
1 Ik ( s )
−j 2
.

σ + Ω 2 C Ck I1 ( s ) 2
(3.11)
Analizirajući (3.11) možemo izvesti sljedeće zaključke. Ako je kompleksna
učestanost s realna ( Ω = 0) ulazna impedansa Z ul je takođe realna. Uz to, ako
je Re{s} ≥ 0 vrijedi da je Re{Zul } ≥ 0 . Za funkciju koja zadovoljava ova dva
uslova kažemo da je pozitivno realna. Do podjednakih zaključaka se dolazi
analizom ulazne admitanse RLC mreže. Pozitivno realna funkcija se može
realizovati kao ulazna impedansa ili admitansa mreže sa jednim pristupom koja
sadrži samo pasivne elemente [4].
Ako pasivna mreža sadrži samo kalemove i kondenzatore (LC mreža), njena
aktivna snaga u ustaljenom prostoperiodičnom režimu je jednaka nuli, te je
59
GLAVA 3
nazivamo mrežom bez gubitaka. LC mreže sa dva pristupa igraju važnu ulogu
u realizaciji filtara zbog pojave rezonancije, kada dolazi naglih promjena
amplitudne i fazne karakteristike pri promjeni učestanosti.
Pasivne mreže koje sadrže samo otpornike i kondenzatore nazivamo RC
mrežama. U ovoj glavi analiziraćemo njihove osobine i načine sinteze iz
zadatih imitansi. Sinteza mreža koje sadrže samo otpornike i kalemove (RL
mreža) pasivnim komponentama se vrši na sličan način, ali je od manjeg
značaja zbog komplikovane fizičke izvedbe kalemova, te je mreže koje sadrže
kalemove bolje realizovati uz pomoć aktivnih komponenti, o čemu će više
riječi biti u glavama koje slijede.
3.1
Osobine LC imitansi
LC imitanse su pozitivno realne racionalne funkcije. U ovom poglavlju ćemo
analizirati njihove osnovne osobine, čije poznavanje će nam olakšati samu
sintezu.
• Nule i polovi LC imitansi leže na imaginarnoj osi u s ravni.
Dokaz:
Posmatrajmo ulaznu impedansu LC mreže:
Z LC ( s ) = s  Lk
L
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
2
1
1 Ik ( s )
.
+ 
s C Ck I1 ( s ) 2
(3.12)
Uvedimo oznake:
α ( s ) =  Lk
L
60
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
≥ 0, ∀s ,
(3.13)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
2
1 Ik ( s )
β (s) = 
≥ 0, ∀s .
2
C Ck I ( s )
1
(3.14)
Sada ulaznu impedansu LC mreže možemo zapisati na sljedeći način:
1
Z LC ( s ) = α ( s ) s + β ( s ) .
s
(3.15)
Pri tome ne smijemo izgubiti iz vida da α i β zavise od kompleksne
učestanosti s , jer I k i I1 zavise od kompleksne učestanosti s , ali je njihova
vrijednost veća ili jednaka nuli za svako s . Iz (3.15) zaključujemo da nule
ulazne impedanse treba da zadovoljavaju sljedeći uslov:
1
s
α ( s ) s + β ( s ) = 0  α ( s ) s2 + β ( s ) = 0 .
(3.16)
Kako sva rješenja (3.16) moraju zadovoljavati uslov:
s2 = −
β (s)
< 0,
α (s)
(3.17)
zaključujemo da se sve nule LC impedanse nalaze na imaginarnoj osi
kompleksne s ravni.
Na sličan način se pokaže da nule admitanse:
YLC ( s ) = s  Ck
C
Vk ( s )
2
V1 ( s )
2
2
1
1 Vk ( s )
+ 
s L Lk V1 ( s ) 2
(3.18)
moraju ležati na imaginarnoj osi kompleksne s ravni.
Na osnovu provedenog razmatranja vezanog za nule LC imitansi i recipročnih
veza YLC ( s ) =
1
Z LC ( s )
i Z LC ( s ) =
1
YLC ( s )
, zaključujemo da polovi admitanse i
impedanse moraju biti na imaginarnoj osi.

61
GLAVA 3
• Svaka imitansa LC mreže je neparna racionalna funkcija.
Dokaz:
Za mreže bez gubitaka vrijedi da je aktivna snaga u ustaljenom
prostoperiodičnom režimu jednaka nuli:
Re {Z LC ( Ω )} I ( Ω ) = Re {YLC ( Ω )} V ( Ω ) = 0 ,
2
2
(3.19)
što znači da je realni dio LC imitanse jednak nuli:
Re { FLC ( Ω )} = 0 .
(3.20)
Posmatrajući samo imaginarni dio izraza (3.11) zaključujemo da je FLC ( s )
neparna racionalna funkcija kompleksne učestanosti s , te može da se predstavi
kao količnik dva polinoma, od kojih je jedan paran označen sa M ( s ) , a drugi
neparan označen sa N ( s ) :
FLC ( s ) =
N (s)
,
(3.21)
M (s)
.
(3.22)
M (s)
ili:
FLC ( s ) =
N (s)

• Svi polovi i nule imitanse su jednostruki.
Dokaz:
Da bi LC mreža bila stabilna, njena imitansa FLC ( s ) ne može imati pol u
desnoj poluravni, dok eventualni polovi na imaginarnoj osi moraju biti
jednostruki. Već smo vidjeli da se sve nule i polovi LC imitanse nalaze na
imaginarnoj osi, tako da znamo da LC imitansa nema polova u desnoj
62
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
poluravni koji bi dali odziv koji eksponencijalno raste sa porastom vremena.
Ako bi se pojavili višestruki polovi na imaginarnoj osi odziv bi bio oblika
t n cos ω 0 t i takođe bi neograničeno rastao sa porastom vremena. Zbog toga
zaključujemo da polovi impedanse i admitanse LC mreže moraju biti
jednostruki. Zbog recipročne veze impedanse i admitanse, isto vrijedi za
njihove nule.

• Stepeni polinoma u brojniku i nazivniku razlikuju se tačno za jedan.
Dokaz:
Neophodan uslov da imitansa FLC ( s ) bude pozitivno realna funkcija je:
d N − dM ≤ 1 .
(3.23)
Ako bi razlika stepena polinoma u brojniku i nazivniku bila veća od jedan, pol
impedanse ili admitanse u beskonačnosti bi bio višestruk. Kako je N (s )
neparan, a M (s ) paran polinom, d N − d M je neparan cio broj pa mora biti:
d N − dM = 1 .
(3.24)

• Izuzev u polovima imitanse FLC ( s ) ,
FLC ( Ω )
j
je monotona rastuća funkcija
učestanosti.
Dokaz:
LC imitansa se može zapisati u vidu količnika dva faktorizovana polinoma:
FLC ( s ) =
k ( s 2 + Ω12 )( s 2 + Ω32 ) ⋅⋅⋅ ( s 2 + Ω2r )
s ( s 2 + Ω22 )( s 2 + Ω42 ) ⋅⋅⋅ ( s 2 + Ωq2 )
,
(3.25)
63
GLAVA 3
pri čemu se stepeni polinoma u brojniku i u nazivniki razlikuju tačno za jedan.
Dijeljenjem imitanse FLC ( s ) kompleksnom učestanošću s , a zatim uvođenjem
nove promjenljive p = s 2 , dobijamo:
FLC ( s )
s
=
k ( p + Ω12 )( p + Ω32 ) ⋅⋅⋅ ( p + Ω2r )
p ( p + Ω22 )( p + Ω24 ) ⋅⋅⋅ ( p + Ωq2 )
.
(3.26)
Razvojem u parcijalne razlomke (3.26) možemo zapisati u obliku:
FLC ( s )
s
= k∞ +
q
k0
ki
+ 
.
p i = 2 ( parno ) p + Ωi2
(3.27)
Nakon množenja (3.26) sa s dobijamo:
FLC ( s ) = k∞ s +
q
k0
ki s
,
+ 
2
s i = 2 ( parno ) s + Ωi2
(3.28)
gdje k∞ postoji ako je r = q + 1 . Analiziraćemo prirodu konstanti ki ,
i = 0, 2, 4,..., q i k∞ . Napišimo (3.28) u obliku:
FLC ( s ) = k∞ s +
q
 αi
k0
α i*
+  
+
s i = 2( parno )  s + jΩi s − jΩi

.

(3.29)
Zbog pozitivno realne prirode LC imitanse, koeficijenti k0 i k∞ moraju biti
realni i pozitivni, a konstante pri razvoju u parcijalne razlomke koje se
pojavljuju u konjugovano kompleksnim parovima takođe moraju da budu
realne i pozitivne, tako da je α i = α i* . Svaki član sume u (3.28) se može zapisati
na sljedeći način:
α ( s − jΩi ) + α i ( s + jΩi )
2α s
ki s
= i
= 2 i 2  ki = 2α i ,
2
2
2
s + Ωi
s + Ωi
s + Ωi
2
(3.30)
te su ki takođe realne i pozitivne konstante. Diferenciranjem (3.30) po s :
dFLC ( s )
ds
64
= k∞ −
q
ki ( Ωi2 − s 2 )
k0
,
+

s 2 i = 2 ( parno ) ( s 2 + Ω 2 )2
i
(3.31)
S teza
Sint
a ellekttričn
nih mre
eža
a sa
a jed
dnim
m prist
p tupo
om
×
o
×
×
×
o
(aa)
o
×
o
×
o
(b))
×
o
×
o
×
o
(cc)
o
×
o
(d))
S ka 3.2
Slik
3 M
blicii fuunkcijee
Moggućii ob
FLC
L (Ω)
j
.
obijam
mo:
zaa s = jΩ
j do
dFLCC ( Ω )
dΩ
q
ki ( Ωi2 + Ω 2 )
k0
= k∞ + 2 + 
>0,
2
2 2
Ω i = 2 ( parno
p
) (Ω − Ω )
(3.332)
i
65
GLAVA 3
što znači da je
FLC ( Ω )
j
monotono rastuća funkcija učestanosti. Tipični oblici
LC imitanse su prikazani na Slici 3.2.
Zbog ovakve prirode LC imitanse nije teško zaključiti da se nule i polovi
moraju smjenjivati na imaginarnoj osi.

Na osnovu navedenih osobina, LC imitansa se može predstaviti u obliku:
FLC ( s ) =
k ( s 2 + Ω12 )( s 2 + Ω32 ) ⋅⋅⋅ ( s 2 + Ω2r )
,
(3.33)
ks ( s 2 + Ω22 )( s 2 + Ω24 ) ⋅⋅⋅ ( s 2 + Ω2q )
,
(3.34)
s ( s 2 + Ω22 )( s 2 + Ω42 ) ⋅⋅⋅ ( s 2 + Ωq2 )
ili:
FLC ( s ) =
(s
2
+ Ω12 )( s 2 + Ω32 ) ⋅⋅⋅ ( s 2 + Ω2r )
gdje je k pozitivna konstanta i 0 ≤ Ω1 < Ω2 < Ω3 < ⋅⋅⋅ < Ωq < Ωr < ∞ .
Polovi i nule LC imitanse su jednostruki i smjenjuju se na imaginarnoj osi.
Za s = 0 i u beskonačnosti imitansa ima nulu ili pol. Ako je stepen polinoma u
brojniku veći od stepena polinoma u nazivniku, imitansa FLC ( s ) ima nulu u
nuli, a pol u beskonačnosti. Ako je nazivnik za jedan stepen veći od brojnika,
FLC ( s ) ima pol u nuli, a nulu u beskonačnosti.
Da bi neka funkcija mogla da se realizuje kao LC mreža, ona mora da ima
sve navedene osobine. Međutim, neke od tih osobina su međusobno zavisne,
tako da su potrebni i dovoljni uslovi koje treba da zadovolji funkcija prenosa
kako bi mogla da se realizuje kao LC mreža sa jednim pristupom sljedeći:
1. da je data funkcija prenosa kompleksne učestanosti neparna racionalna
funkcija,
2. da data funkcija prenosa ima proste polove i to samo na imaginarnoj osi,
3. da su rezidumi u polovima realni i pozitivni.
66
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
3.2
Fosterovi metodi realizacije LC imitansi
Realizacija imitansi koja se zasniva na razvoju imitanse na parcijalne razlomke i
uzastopnom uklanjanju polova dobila je ime po matematičaru Fosteru (Ronald
Martin Foster, 1896-1998). Posmatrajmo izraz za LC imitansu razvijen u
parcijalne razlomke:
FLC ( s ) = k∞ s +
q
k0
ki s
,
+ 
2
s i = 2 ( parno ) s + Ωi2
(3.35)
koji može da se zapiše u formi koja je, kao što ćemo kasinije vidjeti, pogodna
za realizaciju Fosterovim metodima:
FLC ( s ) = k∞ s +
q
k0
1
+ 
.
1
s i = 2 ( parno ) s +
ki ( ki Ωi2 ) s
(3.36)
Ako posmatrana LC imitansa ima pol za s = ∞ , možemo izdvojiti član k∞ s i
formirati novu imitansu:
FLC1 ( s ) = FLC ( s ) − k∞ s ,
(3.37)
koja i dalje ima sve osobine LC imitanse. Pri tome je ostatak u polu u
beskonačnosti:
k∞ = lim
s →∞
FLC ( s )
s
.
(3.38)
Stepen funkcije FLC1 ( s ) je smanjen za jedan u odnosu na FLC ( s ) i preostala
funkcija FLC1 ( s ) nema pol u beskonačnosti.
Slično, ako LC imitansa ima pol za s = 0 , možemo smanjiti stepen funkcije
za jedan izdvajanjem člana
k0
:
s
FLC 2 ( s ) = FLC ( s ) −
k0
,
s
(3.39)
gdje je:
67
GLAVA 3
k0 = lim s ⋅ FLC ( s )
s →0
(3.40)
ostatak u polu s = 0 . Preostala imitansa FLC 2 ( s ) takođe ima prirodu LC
imitanse, ali nema pol u nuli.
Ako imitansa ima par konjugovano kompleksnih polova s = ± jΩ i ,
0 < Ω i < ∞ , možemo izdvojiti član
ki s
tako da preostala imitansa i dalje
s + Ωi2
2
bude LC imitansa:
FLC 3 ( s ) = FLC ( s ) −
ki s
,
s + Ω i2
2
(3.41)
pri čemu je:
ki = 2lim2
s →Ωi
s 2 + Ωi2
FLC ( s )
s
(3.42)
zbir ostataka u paru konjugovano kompleksnih polova ± j Ω i . Oduzimanjem
članova sa konjugovano kompleksnim polovima stepen imitanse se smanjuje za
dva.
Razvojem impedanse na parcijalne razlomke i sukcesivnim uklanjanjem
polova impedanse nastaje prva Fosterova forma, a razvoj admitanse na
parcijalne razlomke i sukcesivno uklanjanje polova admitanse rezultuje drugom
Fosterovom formom. Procedura se okončava kad stepen imitanse postane
jednak nuli. Realizacija imitanse n -tog reda zahtijeva tačno n elemenata, što je
ujedno minimalan broj elemenata potrebnih za realizaciju. Za oblik mreže koji
se realizuje sa minimalnim brojem potrebnih elemenata kažemo da je
kanonički.
3.2.1
Fosterov prvi metod
Ako je FLC ( s ) impedansa, uvodeći smjene: L∞ = k∞ , C0 =
opšti oblik LC imitanse (3.36) postaje:
68
k
1
1
i Li = i2 ,
, Ci =
k0
ki
Ωi
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Z LC ( s ) = L∞ s +
q
1
1
.
+ 
C0 s i = 2 ( parno ) C s + 1
i
Li s
(3.43)
Fosterov prvi metod se svodi na postupak sukcesivnog uklanjanja polova
LC impedanse, koji je ilustrovan na Slici 3.3. Uklanjanjem pola u
beskonačnosti, odnosno izdvajanjem člana L∞ s , za daljnju realizaciju preostaje
impedansa:
Z LC1 ( s ) =
q
1
1
.
+ 
C0 s i = 2 ( parno ) C s + 1
i
Li s
(3.44)
Polazna impedansa se može iskazati kao zbir dvije impedanse:
Z LC ( s ) = Z LC1 ( s ) + L∞ s ,
(3.45)
te je realizujemo kao rednu vezu kalema induktivnosti L∞ i preostale
impedanse Z LC1 ( s ) .
Impedansa Z LC1 ( s ) , koja je preostala za realizaciju nakon izdvajanja člana
L∞ s , jednaka je rednoj vezi kondenzatora kapacitivnosti C0 i impedanse
Z LC 2 ( s ) :
Z LC1 ( s ) = Z LC 2 ( s ) +
1
.
C0 s
(3.46)
Uklanjanjem pola u nuli, odnosno izdvajanjem iz Z LC1 ( s ) člana
1
,
C0 s
preostaje impedansa:
Z LC 2 ( s ) =
q

i = 2 ( parno )
1
Ci s +
1
Li s
.
(3.47)
69
GLAVA 3
L∞
LC
mreža
Z LC1
Z LC
L∞
C0
LC
mreža
Z LC
Z LC1
Z LC 2
C2
L∞
C0
LC
mreža
L2
Z LC
Z LC1
Z LC 2
Z LC 3
Slika 3.3 Postupak realizacije LC impedanse Fosterovim prvim metodom.
70
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
L∞
Cq
C4
C2
C0

L4
L2
Lq
Z LC
Slika 3.4 Fosterova prva forma LC mreže.
Oduzimanjm od Z LC 2 ( s ) jednog člana oblika
1
1
Ci s +
Li s
uklanjamo par
konjugovano kompleksnih polova, odnosno realizujemo rednu vezu preostale
impedanse Z LC 3 ( s ) i paralelnog oscilatornog kola sa kalemom induktivnosti Li
i kondenzatorom kapacitivnosti C i .
Svako uklanjanje pola u nuli ili u beskonačnosti košta nas jedan, a uklajanje
pola na konačnoj učestanosti dva elementa. Topologija kola koje nastaje
realizacijom impedanse Fosterovim metodom naziva se Fosterova prva forma i
prikazana je na Slici 3.4.
3.2.2
Fosterov drugi metod
Fosterovim drugim metodom realizujemo admitansu sukcesivnim uklanjanjam
njenih polova. Opšti oblik LC imitanse (3.36) prikazujemo kao:
YLC ( s ) = C∞ s +
q
1
1
+ 
,
L0 s i = 2 ( parno ) L s + 1
i
Ci s
pri čemu smo uveli oznake: C∞ = k∞ , L0 =
(3.48)
k
1
1
, Li = , Ci = i2 .
Ωi
k0
ki
71
GLAVA 3
LC
mreža
C∞
YLC1
YLC
C∞
LC
mreža
L0
YLC1
YLC
YLC 2
C2
L0
C∞
YLC
YLC1
LC
mreža
L2
YLC 2
YLC 3
Slika 3.5 Postupak realizacije LC admitanse Fosterovim drugim metodom.
Na Slici 3.5 ilustrovan je postupak sukcesivnog uklanjanja polova LC
admitanse. Izdvajanjem člana C∞ s , što odgovara uklanjanju pola u
beskonačnosti, preostaje admitansa:
YLC1 ( s ) =
72
q
1
1
.
+ 
L0 s i = 2 ( parno ) L s + 1
i
Ci s
(3.49)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Na ovaj način realizujemo paralelnu vezu kondenzatora kapacitivnosti C∞ i
preostale admitanse YLC1 ( s ) :
YLC ( s ) = YLC1 ( s ) + C∞ s .
(3.50)
Nakon toga uklanjamo pol u nuli izdvajanjem člana
YLC 1 ( s ) = YLC 2 ( s ) +
1
, tako da je:
L0 s
1
L0 s
(3.51)
paralelna veza kalema induktivnosti L0 i preostale admitanse:
YLC 2 ( s ) =
q

1
i = parno
1
Li s +
Ci s
.
(3.52)
Zatim uklanjamo parove konjugovano kompleksnih polova. Član oblika

1 
1  Li s +
 je redno oscilatorno kolo, koje se sastoji od kondenzatora
Ci s 

kapacitivnosti C i i kalema induktivnosti Li . Taj član je po svojoj prirodi
admitansa, te se veže paralelno sa preostalom admitansom YLC 3 ( s ) .
Kao i kod Fosterovog prvog metoda, svako uklanjanje pola u nuli ili
beskonačnosti košta nas jedan, a uklajanje pola na konačnoj učestanosti dva
elementa. Struktura kola koje nastaje realizacijom impedanse Fosterovim
metodom naziva se Fosterova druga forma i prikazana je na Slici 3.6.
C∞
L0
C2
C4
L2
L4
Cq

Lq
YLC
Slika 3.6 Fosterova druga forma LC mreže.
73
GLAVA 3
Primjer 3.1:
Fosterovim I metodom realizovati LC impedansu petog reda:
Z LC
(s
(s) =
s(s
2
2
)(
+ 4 )( s
+ 1 s2 + 9
2
)
+ 16
)
.
Rješenje:
Prije same realizacije neophodno je provjeriti da li zadana impedansa ima
osobine LC impedansi. Z LC ( s ) je neparna racionalna funkcija kod koje je
stepen polinoma u nazivniku za jedan veći od stepena polinoma u brojniku.
Z LC ( s ) ima pol u s = 0 i nulu u s = ∞ . Nule: s = ± j1 i s = ± j 3 , kao i polovi:
s = 0 , s = ± j 2 , s = ± j 4 su prosti i smjenjuju se na imaginarnoj osi.
Da bismo pronašli rezidume, uvedimo smjenu p = s 2 :
Z LC ( s )
s
( s + 1)( s + 9 ) = ( p + 1)( p + 9 ) = p + 10 p + 9 ,
s ( s + 4 )( s + 16 ) p ( p + 4 )( p + 16 ) p ( p + 4 )( p + 16 )
2
=
2
2
Z LC ( s )
s
2
2
=
s2 = p
2
p 2 + 10 p + 9
A
B
C
= +
+
 Zˆ ( p ) ,
p ( p + 4 )( p + 16 ) p p + 4 p + 16
(3.53)
(3.54)
9
5
35
, B=
i C=
reziduumi od Zˆ ( p ) u polovima p1 = 0 ,
64
16
64
p2 = −4 i p3 = −16 . Stoga je:
gdje su A =
Z LC ( s )
s
Z LC ( s ) =
74
9 64 5 16
35 64
,
+ 2
+ 2
2
s
s + 4 s + 16
(3.55)
9 64 ( 5 16 ) s ( 35 64 ) s
.
+ 2
+ 2
s
s +4
s + 16
(3.56)
=
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Svi rezidumi od Z LC ( s ) su realni i pozitivni. Dakle, Z LC ( s ) zadovoljava sve
uslove da se može realizovati u formi LC mreže sa jednim pristupom.
Razvojem impedanse na parcijalne razlomke prikazujemo je u obliku zbira
elementarnih impedansi (kalemova, kondenzatora i paralelnih oscilatornih
kola):
Z LC ( s ) =
1
1
1
,
+
+
64
16
1
64
1
s
s+
s+
5
35
9
5
s 35
s
64
1024
(3.57)
te se radi o rednoj vezi impedansi nazvanoj Fosterova I forma. Realizacija
zadane impedanse je prikazana na Slici 3.7.
64
9
16
5
64
35
5
64
35
1024
Slika 3.7 Realizacija LC imitanse Fosterovom I formom.

75
GLAVA 3
Primjer 3.2:
Realizovati LC admitansu petog reda Y ( s ) =
s ( s 2 + 2 )( s 2 + 4 )
(s
2
+ 1)( s 2 + 3)
, koristeći
Fosterove metode realizacije.
Rješenje:
Prije same realizacije neophodno je provjeriti da li zadana admitansa ima
osobine LC admitansi. Admitansa Y ( s ) je neparna racionalna funkcija kod
koje je stepen polinoma u brojniku za jedan veći od stepena polinoma u
nazivniku. Y ( s ) ima nulu u s = 0 i pol u beskonačnosti. Preostale nule
admitanse su: s = ± j 2 i s = ± j 2 , dok su preostali polovi: s = ± j1 , s = ± j 3
prosti. Nule i polovi se nalaze na imaginarnoj osi i međusobno se smjenjuju.
Svi rezidumi od Y ( s ) su realni i pozitivni:
k∞ = lim
Y (s)
s
s →∞
=1,
( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 3 ,
s2 + 1
Y ( s ) = lim
=−1
s 2 =−1
s
2
( s 2 + 3)
(3.59)
( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 1 .
s2 + 3
Y ( s ) = lim
=−3
s 2 =−3
s
2
( s 2 + 1)
(3.60)
k1 = lim
2
s
k2 = lim
2
s
(3.58)
Dakle, Y ( s ) zadovoljava sve uslove da se može realizovati u formi LC mreže
sa jednim pristupom. Razvojem admitanse Y ( s ) na parcijalne razlomke
prikazujemo je u obliku zbira, tj. paralelne veze elementarnih admitansi:
Y ( s ) = k∞ s +
k1s
ks
+ 22 .
s +1 s + 3
2
(3.61)
Uklanjanjem pola u beskonačnosti realizujemo kondenzator:
C0 = k ∞ = 1 .
76
(3.62)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Preostala dva člana zbira realizujemo u vidu rednih oscilatornih kola:
k1s
1
1
3
1 2
=
=
 C1 = k1 = , L1 = = ,
1
s +1 1 + 1 s
2
k1 3
+ L1 s
k1s k1
C1 s
(3.63)
2
k2 s
k
1
1
1
1
=
=
 C2 = 2 = , L2 = = 2 .
3
1
1
s2 + 3
3
6
k
2
+ s
+ L2 s
k2 s k2
C2 s
(3.64)
Električna šema koja prikazuje zadatu admitansu data je na Slici 3.8.
C1
C0
1
L1
3
2
2
3
C2
L2
1
6
2
Y
Slika 3.8 Električna šema zadate LC admitanse u obliku
druge Fosterove forme.

77
GLAVA 3
3.3
Kauerovi metodi realizacije LC imitansi
Realizacija imitansi koja se zasniva na razvoju imitanse na verižne razlomke i
uzastopnom uklanjanju polova u beskonačnosti ili polova u nuli nazvana je po
njemačkom naučniku Kaueru (Wilhelm Cauer, 1900-1945).
3.3.1
Kauerov prvi metod
Kada smo analizirali osobine LC imitansi, zaključili smo da se stepen
polinoma u brojniku i stepen polinoma u nazivniku LC imitanse razlikuju tačno
za jedan. Tačka u beskonačnosti je pol ili nula LC imitanse. Kauerovim prvim
metodom se imitansa realizuje razvojem na verižne razlomke oko tačke u
beskonačnosti i sukcesivnim uklanjanjem pola u beskonačnosti. Postupak
realizacije LC impedanse Kauerovim prvim metodom ilustrovan je na Slici 3.9 i
odvija se na sljedeći način.
Pretpostavimo da u beskonačnosti LC imitansa ima pol, tj. da je stepen
polinoma u brojniku za jedan veći od stepena polinoma u nazivniku.
Označimo imitansu koju treba da realizujemo sa FLC1 ( s ) . Budući da smo
pretpostavili da LC imitansa ima pol u beskonačnosti, nakon prvog koraka
dijeljenja polinoma u brojniku sa polinomom u nazivniku, imitansu možemo
zapisati u obliku:
FLC ( s ) = FLC1 ( s ) = k∞1s +
1
FLC 2 ( s )
,
(3.65)
gdje je:
k∞1 = lim
s →∞
FLC1 ( s )
s
(3.66)
ostatak u polu u beskonačnosti. Uklanjanjem pola u beskonačnosti, dobijamo
imitansu:
1
FLC 2 ( s )
78
= FLC1 ( s ) − k∞1s .
(3.67)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Nakon uklanjanja pola u beskonačnosti, preostala imitansa data sa (3.67), u
beskonačnosti nema pol. Na osnovu ranije razmatranih osobina znamo da LC
imitansa u beskonačnosti mora da ima ili nulu ili pol, pa zaključujemo da LC
imitansa data sa (3.67) u beskonačnosti mora da bude jednaka nuli:
1
FLC 2 ( ∞ )
=0,
(3.68)
te stoga FLC 2 ( s ) ima pol u beskonačnosti:
FLC 2 ( s ) = k∞ 2 s +
1
FLC 3 ( s )
,
(3.69)
sa reziduumom:
k∞ 2 = lim
s →∞
FLC 2 ( s )
s
.
(3.70)
Ako ponovo uklonimo pol u beskonačnosti, FLC 3 ( s ) će imati pol u
beskonačnosti. Ponavljanje ovog postupka vodi zapisu u obliku verižnog
razlomka:
FLC ( s ) = FLC1 ( s ) = k∞1s +
1
k∞ 2 s +
,
1
k∞ 3 s +  +
(3.71)
1
k ∞n s
pri čemu su k∞i reziduumi FLCi ( s ) u polu koji se nalazi u beskonačnosti.
Posmatrajući (3.65) zaključujemo da se radi o zbiru imitansi. Ako imitansa
koju realizujemo ima prirodu impedanse, to znači da uklanjanjem pola u
beskonačnosti u realizaciji dobijamo rednu vezu kalema i neke preostale
impedanse. Nakon invertovanja, ta imitansa poprima prirodu admitanse.
Uklanjanjem pola u beskonačnosti admitanse realizujemo paralelnu vezu
kondenzatora i neke preostale admitanse, koja nakon invertovanja poprima
prirodu impedanse.
Na ovaj način dobijamo kalemove u rednim, a kondenzatore u odvodnim
granama realizovane LC mreže.
79
GLAVA 3
k∞1
LC
mreža
Z LC = FLC1
FLC 2
k∞1
LC
mreža
k∞ 2
Z LC = FLC1 FLC 2
FLC 3
k∞ 3
k∞1
LC
mreža
k∞ 2
Z LC = FLC1
FLC 2
FLC 3
FLC 4
Slika 3.9 Postupak realizacije LC impedanse Kauerovim prvim metodom.
80
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
k∞1
k∞ 3
k∞ 5
k∞ 4
k∞ 2
k∞ 6
FLC
Slika 3.10 Kauerova prva forma LC mreže.
U slučaju da imitansa FLC ( s ) u beskonačnosti nema pol već nulu, onda
uzimamo njenu recipročnu vrijednost, pa zatim primjenjujemo razvoj na
verižne razlomke:
FLC ( s ) =
1
FLC1 ( s )
=
1
k∞1 s +
.
1
k∞ 2 s +
(3.72)
1
k∞ 3 s +  +
1
k ∞n s
U oba slučaja, neovisno o tome da li LC imitansa u beskonačnosti ima pol
ili nulu, prilikom realizacije Kauerovim prvim metodom dobijamo kalemove u
rednim, a kondenzatore u odvodnim granama, kao na Slici 3.10.
Realizovana LC mreža može početi i završiti kalemom u rednoj ili
kondenzatorom u odvodnoj grani, ovisno o tome da li impedansa ili admitansa
ima pol u beskonačnosti, te od reda zadate funkcije.
Primjer 3.3:
Realizovati LC impedansu petog reda:
Z LC
(s
(s) =
s(s
2
2
)(
+ 4 )( s
+ 1 s2 + 9
2
)
+ 16
)
=
s 4 + 10 s 2 + 9
s 5 + 20 s 3 + 64 s
Kauerovim I metodom.
81
GLAVA 3
Rješenje:
Provjerimo da li zadana impedansa ima osobine LC impedansi. Z LC ( s ) je
neparna racionalna funkcija kod koje je stepen polinoma u nazivniku za jedan
veći od stepena polinoma u brojniku. Z LC ( s ) ima pol u s = 0 i nulu u s = ∞ .
Nule: s = ± j1 i s = ± j 3 i polovi: s = 0 , s = ± j 2 , s = ± j 4 su prosti i smjenjuju
se na imaginarnoj osi. Da bismo pronašli reziduume, uvedimo smjenu p = s 2 :
Z LC ( s )
s
( s + 1)( s + 9 ) = ( p + 1)( p + 9 ) = p + 10 p + 9 ,
=
s ( s + 4 )( s + 16 ) p ( p + 4 )( p + 16 ) p ( p + 4 )( p + 16 )
2
2
2
Z LC ( s )
s
2
2
=
2
s =p
2
p 2 + 10 p + 9
A
B
C
= +
+
 Zˆ ( p ) ,
p ( p + 4 )( p + 16 ) p p + 4 p + 16
(3.73)
(3.74)
9
5
35
, B=
i C=
rezidumi od Zˆ ( p ) u polovima p1 = 0 ,
64
16
64
p2 = −4 i p3 = −16 . Stoga je:
pri čemu su A =
Z LC ( s )
s
Z LC ( s ) =
9 64 5 16
35 64
,
+ 2
+ 2
2
s
s + 4 s + 16
(3.75)
9 64 ( 5 16 ) s ( 35 64 ) s
.
+ 2
+ 2
s
s +4
s + 16
(3.76)
=
Rezidumi od Z LC ( s ) su realni i pozitivni. Dakle, Z LC ( s ) zadovoljava sve
uslove da se može realizovati u formi LC mreže sa jednim pristupom.
Kako je stepen polinoma u nazivniku za jedan veći od stepena polinoma u
brojniku, zadana impedansa ima nulu u beskonačnosti, te je treba invertovati:
Y1 ( s ) =
1
Z LC ( s )
=
s 5 + 20 s 3 + 64 s
,
s 4 + 10 s 2 + 9
kako bi se dobila admitansa sa polom s = ∞ i reziduumom:
82
(3.77)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Y1 ( s )
s 4 + 20 s 2 + 64
= lim 4
=1.
2
s →∞
s →∞ s + 10 s + 9
s
k∞1 = lim
(3.78)
Nakon izdvajanja pola u beskonačnosti, preostala admitansa:
s 5 + 20 s 3 + 64 s
10 s 3 + 55s
,
−
s
=
s 4 + 10 s 2 + 9
s 4 + 10 s 2 + 9
Y2 ( s ) = Y1 ( s ) − k∞1s =
(3.79)
ima nulu u beskonačnosti. Dobijena admitansa se invertuje:
Z2 ( s ) =
1
Y2 ( s )
=
s 4 + 10 s 2 + 9
,
10 s 3 + 55s
(3.80)
te se ponovo izdvaja pol u beskonačnosti:
Z 2 ( s ) s 3 + 10 s + 9
=
= 0.1 .
s →∞
s
10 s 3 + 55s
k∞ 2 = lim
(3.81)
Postupak se nastavlja na isti način:
Z 3 ( s ) = Z 2 ( s ) − k∞ 2 s =
Y3 ( s ) =
s 4 + 10 s 2 + 9
4.5s 2 + 9
,
−
0.1
=
s
10 s 3 + 55s
10 s 3 + 55s
1
Z3 ( s )
=
10 s 3 + 55s
,
4.5s 2 + 9
Y3 ( s ) 10 s 2 + 55
=
= 2.2222 ,
s →∞
s
4.5s 2 + 9
k∞ 3 = lim
Y4 ( s ) = Y3 ( s ) − k∞ 3 s =
Z4 ( s ) =
10 s 3 + 55 s
35s
,
− 2.2222 s =
2
4.5s + 9
4.5s 2 + 9
1
Y4 ( s )
=
4.5s 2 + 9
,
35s
Z 4 ( s ) 4.5s 2 + 9
=
= 0.1286 ,
s →∞
s
35s 2
k∞ 4 = lim
(3.82)
(3.83)
(3.84)
(3.85)
(3.86)
(3.87)
83
GLAVA 3
0.1
0.1286
1
2.2222
3.8889
Slika 3.11 Realizacija LC impedanse Kauerovom I formom.
Z 5 ( s ) = Z 4 ( s ) − k∞ 4 s =
Y5 ( s ) =
4.5s 2 + 9
9
,
− 0.1286 s =
35s
35s
1
35s
=
,
Z5 ( s )
9
(3.88)
(3.89)
Y5 ( s)
= 3.8889 .
s →∞
s
k∞5 = lim
(3.90)
Konačan razvoj date impedanse u verižni razlomak oko beskonačnosti jeste:
Z LC ( s ) =
1
s+
,
1
0.1s +
(3.91)
1
2.2222s +
1
0.1286s +
1
3.8889s
a njena realizacija Kauerovom I formom je prikazana na Slici 3.11.

3.3.2
Kauerov drugi metod
Realizacija imitansi razvojem na verižne razlomke oko nule naziva se
Kauerov drugi metod. Budući da imitansa u nuli ima pol ili nulu, s = 0 mora
biti pol ili impedanse ili admitanse, te uvijek možemo početi od pretpostavke
84
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
da imitansa ima pol u nuli, što znači da je stepen polinoma u brojniku za jedan
veći od stepena polinoma u nazivniku.
Imitansu koju treba da realizujemo ćemo označiti sa FLC1 ( s ) i zapisati u
obliku:
FLC ( s ) = FLC1 ( s ) =
k01
1
+
,
s FLC 2 ( s )
(3.92)
gdje je ostatak u polu s = 0 :
k01 = lim sFLC1 ( s ) .
s →0
(3.93)
Uklanjajući pol imitanse FLC1 ( s ) u s = 0 dobijamo imitansu:
FLC 2 ( s ) =
k02
1
+
,
s
FLC 3 ( s )
(3.94)
koja takođe ima pol u nuli. Ako je imitansa FLC1 ( s ) imala prirodu impedanse,
FLC 2 ( s ) ima prirodu admitanse i obrnuto. Postupak ponavljamo tako da
dobijamo verižni razlomak u obliku:
FLC ( s ) = FLC1 ( s ) =
k01
1
+
.
k02
1
s
+
k03
1
s
+ +
k0 n
s
s
(3.95)
Ako u nuli imitansa FLC ( s ) nema pol već nulu, uzimamo njenu recipročnu
vrijednost, pa zatim primjenjujemo razvoj na verižne razlomke:
FLC ( s ) =
1
FLC1 ( s )
=
1
.
k01
1
+
k02
1
s
+
k03
1
s
+ +
k0 n
s
s
(3.96)
85
GLAVA 3
1
k01
LC
mreža
Z LC = FLC1
FLC 2
1
k01
1
k02
LC
mreža
FLC 3
Z LC = FLC1 FLC 2
1
k01
1
k03
1
k02
Z LC = FLC1 FLC 2
LC
mreža
FLC 3
FLC 4
Slika 3.12 Postupak realizacije LC impedanse Kauerovim drugim metodom.
Postupak realizacije LC impedanse Kauerovim drugim metodom prikazan je
Slici 3.12.
86
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Ako realizujemo impedansu, izdvajanjem pola u nuli realizujemo
kondenzator u rednoj vezi sa nekom preostalom impedansom. Kada tu
preostalu impedansu invertujemo, ona poprima prirodu admitanse. Prilikom
realizacije admitanse, izdvajanje pola u nuli rezultuje paralelnom vezom kalema
i preostale admitanse. Postupak nastavljamo, tako da ovim metodom dobijamo
kondenzatore u rednim, a kalemove u odvodnim granama, kao na Slici 3.13.
1
k01
1
k03
1
k05
1
k02
1
k04
1
k06
FLC
Slika 3.13 Kauerova druga forma LC mreže.
Primjer 3.4:
(s
Z (s) =
s(s
2
Realizovati
impedansu
2
+ 1)( s 2 + 3)
+ 2 )( s 2 + 4 )
drugim
Kauerovim
metodom.
Rješenje:
U Primjeru 3.1 provjerili smo da zadata admitansa, koja je jednaka
recipročnoj vrijednosti ove impedanse, ima takve osobine da može biti
realizovana kao LC mreža. Drugi Kauerov metod zahtijeva razvoj imitanse na
verižne razlomke oko nule:
87
GLAVA 3
s 4 + 4s 2 + 3
,
s 5 + 6 s 3 + 8s
(3.97)
k01
0.375 0.625s 3 + 1.75s
1
= Z1 ( s ) −
=
=
,
4
2
s
s
s + 6s + 8
Y2 ( s )
(3.98)
Z ( s ) = Z1 ( s ) =
Z 2 ( s ) = Z1 ( s ) −
Y3 ( s ) = Y2 ( s ) −
k02
s 4 + 6s 2 + 8
4.5714
s 3 + 3.1429s
1
=
−
=
=
, (3.99)
3
3
0.625s + 1.75s Z 3 ( s )
s 0.625s + 1.75s
s
Z 4 ( s ) = Z3 ( s ) −
k03 0.625s 2 + 1.75 0.5568
0.06818s
1
= 3
−
= 2
=
,
s
s + 3.1429s
s
s + 3.1429 Y4 ( s )
(3.100)
k04 s 2 + 3.1429 46.095
1
s
=
−
=
=
.
s
s
0.06818s
0.06818 Z 5 ( s )
(3.101)
Y5 ( s ) = Y4 ( s ) −
Razvoj zadate impedanse na verižne razlomke je:
Z (s) =
0.375
1
.
+
4.5714
1
s
+
0.5568
1
s
+
46.095
1
s
+
0.06818
s
s
(3.102)
Električna šema zadate impedanse je prikazana na Slici 3.14.
Slika 3.14 Električna šema zadate impedanse u obliku druge Kauerove forme.
88
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Primjetimo da je ova LC mreža ekvivalentna mreži iz Primjera 3.1. U oba
slučaja za realizaciju nam je trebalo pet elemenata, te su realizacije kanoničke.

Primjer 3.5:
Realizovati admitansu Y ( s ) =
s ( s 2 + 2 )( s 2 + 4 )
(s
2
+ 1)( s 2 + 3)
u formi datoj na Slici 3.15.
C2
L2
C1
C3
L3
Y
Slika 3.15 Kombinovana realizacija impedanse.
Rješenje:
Zadata forma se ne može postići primjenom samo jednog od izloženih
metoda, već ih je neophodno kombinovati. Prvo uklanjamo pol u
beskonačnosti admitanse kako bismo realizovali kondenzator kapacitivnosti
C1 u odvodnoj grani:
Y ( s ) = k∞ s + Y1 ( s ) ,
k∞ = lim
s →∞
Y (s)
s
 C1 = 1.000 .
(3.103)
(3.104)
89
GLAVA 3
Zatim realizujemo preostalu admitansu:
Y1 ( s ) = Y ( s ) − s =
2s ( s 2 + 2.5)
(s
2
+ 1)( s 2 + 3)
.
(3.105)
Budući da treba da realizujemo redno vezano paralelno oscilatorno kolo,
admitansu Y1 ( s ) invertujemo, pa iz tako dobijene impedanse Z1 ( s ) :
s 2 + 1)( s 2 + 3)
(
1
Z1 ( s ) =
=
,
Y1 ( s )
2s ( s 2 + 2.5 )
(3.106)
izdvajamo konjugovano kompleksni par polova s1,2 = ± j 2.5 :
Z1 ( s ) =
k1s
+ Z2 ( s ) ,
s + 2.5
2
2
2
s 2 + 2.5 ( s + 1)( s + 3)
k1 = 2lim
⋅
= 0.15 .
s =−2.5
s
2s ( s 2 + 2.5 )
(3.107)
(3.108)
Vrijednosti kondenzatora i kalema u paralelnom oscilatornom kolu se računaju
iz impedanse tog kola na sljedeći način:
0.15s
=
s 2 + 2.5
1
s
2.5
+
0.15 0.15s
=
1
C2 s +
1
L2 s
 C2 = 6.667, L2 = 0.060 .
(3.109)
Impedansa koja je preostala za realizaciju je:
Z 2 ( s ) = Z1 ( s ) −
0.15s
s 2 + 1.2
=
.
2
s + 2.5
2s
(3.110)
Zatim nam treba paralelno vezano redno oscilatorno kolo. Invertujemo
impedansu Z2 ( s ) :
Y2 ( s ) =
90
1
Z2 ( s )
=
2s
,
s + 1.2
2
(3.111)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
pa odredimo vrijednosti kalema i kondenzatora u rednom oscilatornom kolu iz
njegove admitanse:
2s
1
1
 L3 = 0.500, C3 = 1.667 .
=
=
s 2 + 1.2 s + 0.6 L s + 1
3
2
s
C3 s
(3.112)

Primjer 3.6:
( s + 1)( s + 3)
Realizovati impedansu Z ( s ) =
s ( s + 2 )( s + 4 )
2
2
2
2
u formi datoj na Slici 3.16.
Slika 3.16 Kombinovana realizacija impedanse.
Rješenje:
Prvo uklanjamo pol impedanse Z ( s ) u nuli da bismo dobili redno vezan
kondenzator C1 :
91
GLAVA 3
s 2 + 1)( s 2 + 3)
(
k0
3
8
 C1 = = 2.6667 ,
Z ( s ) = + Z1 ( s ) = +
2
2
s
8s s ( s + 2 )( s + 4 )
3
(3.113)
pa ostatak mreže:
2
s 2 + 1)( s 2 + 3)
(
k0
3 0.625s ( s + 2.8)
Z1 ( s ) = Z ( s ) − =
− =
.
s s ( s 2 + 2 )( s 2 + 4 ) 8s
s 4 + 6s 2 + 8
(3.114)
realizujemo Fosterovim drugim metodom. Fosterovim drugim metodom
realizujemo admitanse, te je potrebno invertovati Z1 ( s ) :
Y1 ( s ) =
1
Z1 ( s )
=
s 4 + 6s 2 + 8
.
0.625s ( s 2 + 2.8 )
(3.115)
Razvojem admitanse na parcijalne razlomke dobijamo:
Y1 ( s ) = 1.600s +
4.5714 0.5486s
+ 2
 C2 = 1.6000, L2 = 1 4.5714 = 0.2188 , (3.116)
s
s + 2.8
a vrijednosti induktivnosti kalema L3 i kapacitivnosti kondenzatora C3
određujemo iz admitanse rednog oscilatornog kola:
0.5486 s
=
s 2 + 2.8
1
s
2.8
+
0.5486 0.5486 s
=
1
1
L3 s +
C3 s
 L3 = 1.8228, C3 = 0.1959 . (3.117)

92
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
3.4
Osobine RC imitansi
Osobine RC impedansi i osobine RC admitansi se donekle razlikuju, pa
ćemo ih razmatrati odvojeno.
3.4.1
Osobine RC impedansi
Impedansa pasivne RC mreže sa jednim pristupom je pozitivno realna
funkcija. Iz (3.9) vidimo da je njen opšti oblik:
Z RC ( s ) =  Rk
R
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
2
1
1 Ik ( s )
.
+ 
s C Ck I1 ( s ) 2
(3.118)
• Svi polovi i nule RC impedanse su na negativnom dijelu realne ose u
s ravni.
Dokaz:
Uz oznake:
α ( s ) =  Rk
Ik ( s )
2
I1 ( s )
2
≥ 0, ∀s ,
(3.119)
1 Ik ( s )
β (s) = 
≥ 0, ∀s ,
2
C Ck I ( s )
1
(3.120)
R
2
zaključujemo da se nule impedanse:
Z RC ( s ) = 0  α ( s ) s + β ( s ) = 0  s = −
β (s)
α (s)
(3.121)
93
GLAVA 3
nalaze na negativnom dijelu realne ose u s ravni. Dualnim putem izvodimo isti
zaključak za polove RC impedansi.

• Reziduumi RC impedanse Z RC ( s ) su realni i pozitivni.
Dokaz:
Da bismo na jednostavniji način došli do izraza za RC impedansu zapisanu
preko razvoja na parcijalne razlomke, posmatrajmo prvo LC mrežu, čija
impedansa se može izraziti kao:
Z LC ( s ) = L∞ s +
n
1
1
.
+
C0 s i =1 C s + 1
i
Li s
(3.122)
Ako svaku granu sa kalemom impedanse Li s zamijenimo otpornikom
otpornosti Ri , dobićemo impedansu RC mreže:
Z RC ( s ) = R∞ +
Uz oznake k∞ = R∞ , k0 =
n
1
1
.
+
C0 s i =1 C s + 1
i
Ri
(3.123)
1
1
1
, ki =
i σi =
, RC impedansu možemo
C0
Ci
Ri Ci
zapisati sa:
Z RC ( s ) = k∞ +
k 0 n ki
+
.
s i =1 s + σ i
(3.124)
Iz (3.124) zaključujemo da su svi reziduumi ki , i = 1,2,..., n , kao i k0 i k ∞ realni
i pozitivni.

94
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
• RC impedansa Z RC ( s ) ne može imati pol u beskonačnosti. Uvijek je
Z RC ( ∞ ) < Z RC ( 0) .
Dokaz:
Vrijednost RC impedanse u beskonačnosti je konačna i nenegativna:
Z RC ( ∞ ) = lim Z RC ( s) = k∞ ,
(3.125)
s →∞
dok se, na osnovu (3.124), vrijednost u nuli može izraziti kao:
n
k0
k
+ i ,
s →0 s
σ
i =1
i
(3.126)
Z RC (0) = k∞ + lim
odakle slijedi da je:
n
k0
k
− i .
s →0 s
i =1 σ i
k∞ = Z RC (∞ ) = Z RC (0) − lim
(3.127)
Kako su svi reziduumi realni i pozitivni, vrijedi da je:
Z RC ( ∞ ) < Z RC ( 0) .
(3.128)

• Impedansa RC mreže Z RC ( s ) je monotono opadajuća funkcija duž realne
ose s ravni, izuzev u polovima funkcije Z RC ( s ) .
Dokaz:
Izvod funkcije Z RC ( s ) po σ je negativan:
n
dZ RC ( s )
k
ki
= − 02 − 
2
ds
s
i =1 ( s + σ i )
=−
s =σ
k0
σ
2
n
−
i =1
ki
< 0,
(σ + σ i ) 2
(3.129)
95
GLAVA
A3
× o
×
× o
(a))
o×
o ×
(c))
×
(
(b)
o×
o×
(
(d)
S a 3..17 Mog
Slika
M gućii ob
blicci fu
unkkcijee Z RC (σ ) .
ossim zaa σ = −σ i , i = 11, 2,,, n , što
o suu polo
p ovi fun
nkccije Z RC
G fičkki pprik
kaz
R ( s ) . Graf
m ućih
mogu
ho
R im
mpeddan
nse u fun
f kciji ood σ je prik
p azaan na
n Slic
S i 3..17..
oblikka RC

96
6
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
• Realni dio impedanse Z RC ( s ) , posmatran na imaginarnoj osi, monotono
opada kad Ω raste.
Dokaz:
Realni dio impedanse Z RC ( s ) , posmatran na imaginarnoj osi:
n
Re {Z RC (Ω )} = k∞ + 
i =1
k iσ i
,
Ω + σ i2
2
(3.130)
očito opada pri porastu vrijednosti za Ω . Stoga Re{Z RC (Ω)} ima minimalnu
vrijednost u beskonačnosti.
S druge strane, iz izraza:
Z RC ( s ) = k∞ +
n
k0
k
+ i
s i =1 s + σ i
(3.131)
se vidi da je Z RC ( ∞ ) = lim Z RC ( s ) realno. Dakle:
s →∞
Z RC (∞) = Re{Z RC (∞)} ≤ Re{Z RC (Ω)} , ∀ Ω < ∞ .
(3.132)
To znači da je Z RC ( ∞) najveća pozitivna konstanta koju možemo izvući iz
Z RC ( s ) , a da preostala impedansa i dalje ima sve osobine RC impedansi mreža
sa jednim pristupom. Ovo je važna osobina za realizaciju RC mreža po prvom
Kauerovom metodu.

Svi polovi i nule Z RC ( s ) su jednostruki i smjenjuju se duž negativnog dijela
realne ose. Posmatrajući moguće rasporede nula i polova na Slici 3.17 i znajući
da je Z RC ( ∞ ) < Z RC ( 0) , zaključujemo da kritična tačka najbliža ishodištu ili u
ishodištu mora biti pol, dok kritična tačka najbliža beskonačnosti ili u
beskonačnosti mora biti nula. Uključujući tačku u beskonačnosti, broj polova
jednak je broju nula.
97
GLAVA 3
Na osnovu navedenih osobina, impedansa RC mreže se može predstaviti u
obliku:
Z RC ( s ) =
k∞ ( s + σ 2 )( s + σ 4 )...( s + σ r )
( s + σ 1 )( s + σ 3 )...( s + σ r −1 )
(3.133)
ako RC impedansa Z RC ( s ) u beskonačnosti nema nulu, odnosno u obliku:
Z RC ( s ) =
k ( s + σ 2 )( s + σ 4 )...( s + σ r )
,
( s + σ 1 )( s + σ 3 )...( s + σ r +1 )
(3.134)
ako je u beskonačnosti nula impedanse Z RC ( s ) , pri čemu je r parno i
0 ≤ σ 1 < σ 2 < ... < σ r +1 .
U prvom slučaju, broj konačnih polova jednak je broju konačnih nula i
stepeni polinoma u brojniku i nazivniku su jednaki. U drugom slučaju, stepen
polinoma u nazivniku je za jedan veći, što znači da je broj konačnih polova
veći od broja konačnih nula.
Sve navedene osobine RC impedansi nisu međusobno neovisne. Potrebni i
dovoljni uslovi koje treba da zadovolji funkcija prenosa da bi bila RC
impedansa su:
1. da je racionalna funkcija kompleksne učestanosti,
2. da ima proste polove i to samo na negativnom dijelu realne ose ili u
koordinatnom početku, dok u beskonačnosti ne smije da ima pol,
3. da su reziduumi u polovima realni i pozitivni.
3.4.2
Osobine RC admitansi
Opšti oblik admitanse pasivne RC mreže sa jednim pristupom je:
YRC ( s ) = C∞ s +
98
n
1
1
.
+
R0 i =1 R + 1
i
Ci s
(3.135)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Uz oznake:
k0 =
1
1
1
,
, k i = , k ∞ = C∞ , σ i =
R0
Ri
Ri Ci
admitansu RC mreže
možemo napisati u obliku:
n
YRC ( s ) = k∞ s + k0 + 
i =1
ki s
.
s +σi
(3.136)
Većina osobina RC admitansi je slična osobinama RC impedansi, pa ćemo
ih navesti i samo neke od njih dokazati:
• Svi polovi i nule RC admitanse YRC ( s ) su na negativnom dijelu realne ose
s ravni.
• Reziduumi RC admitanse YRC ( s ) u konačnim, realnim i negativnim
polovima su realni i negativni. Reziduum YRC ( s ) u polu u beskonačnosti je
realan i pozitivan.
• RC admitansa YRC ( s ) ne može imati pol u nuli. Uvijek je:
YRC ( 0 ) ≤ YRC ( ∞ ) = YRC ( −∞ ) .
(3.137)
Admitansa YRC ( s ) može imati pol u beskonačnosti i/ili nulu u nuli.
• RC admitansa YRC ( s ) je monotono rastuća funkcija duž realne ose s ravni,
izuzev u polovima, vidi Sliku 3.18.
• Realni dio admitanse
YRC ( s )
s
, posmatran na imaginarnoj osi, monotono
opada kad Ω raste.
99
GLAVA
A3
o
×
o ×
o
o
×
(a))
×
×
o × o
(
(d)
Slikaa 3.18 Moggućii ob
blicci fu
unkkcijee YRC (σ ) .
10
00
o
(
(b)
o × o
(c))
×
o
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Dokaz:
Admitansa:
YRC ( s )
s
= k∞ +
k 0 n ki
+
s i =1 s + σ i
(3.138)
ima istu formu kao impedansa Z RC ( s ) , te Re {YRC ( Ω ) jΩ} , jednako kao
Re{Z RC (Ω)} , monotono opada kad Ω raste.

• Realni dio admitanse YRC ( s ) , posmatran na imaginarnoj osi, je monotono
rastuća funkcija od Ω . Vrijedi da je YRC ( 0 ) ≤ Re {YRC ( Ω )} , ∀Ω .
Dokaz:
Realni dio RC admitanse, posmatran na imaginarnoj osi, se može zapisati
kao:
ki Ω2
.
2
2
i =1 Ω + σ i
n
Re {YRC ( Ω )} = k0 + 
(3.139)
Minimalna vrijednost Re{YRC ( Ω )} se dobija za Ω = 0 , jer je drugi sabirak
(suma) pozitivan za svako Ω ≠ 0 :
YRC ( 0 ) ≤ Re {YRC ( Ω )} , ∀Ω .
(3.140)
YRC ( 0 ) = Re {YRC ( 0 )} = k0 .
(3.141)
Takođe vrijedi da je:
Dakle, YRC ( 0 ) je najveća konstanta koja se može izvući iz YRC ( s ) , a da
preostala funkcija i dalje ima sve osobine RC admitanse mreže sa jednim
pristupom, što je značajno pri realizaciji RC mreža drugim Kauerovim
metodom.

101
GLAVA 3
Svi polovi i nule YRC ( s ) su jednostruki i smjenjuju se duž realne ose.
Kritična tačka najbliža ishodištu ili u ishodištu mora biti nula, a kritična tačka
najbliža beskonačnosti ili u beskonačnosti mora biti pol. Uključujući pol u
beskonačnosti, broj polova jednak je broju nula. Ako RC admitansa nema pol u
beskonačnosti, njen oblik je:
YRC ( s ) =
k∞ ( s + σ 1 )( s + σ 3 ) ... ( s + σ r )
( s + σ 2 )( s + σ 4 ) ...( s + σ r +1 )
,
(3.142)
a ako ima pol u beskonačnosti oblik admitanse je:
YRC ( s ) =
k ( s + σ 1 )( s + σ 3 ) ... ( s + σ r )
( s + σ 2 )( s + σ 4 ) ...( s + σ r −1 )
,
(3.143)
gdje je r neparno i 0 ≤ σ 1 < σ 2 < ... < σ r +1 .
U drugom slučaju stepen polinoma u brojniku je veći od stepena polinoma u
nazivniku.
Osobine RC admitansi koje smo analizirali nisu međusobno neovisne.
Potrebni i dovoljni uslovi koje treba da zadovolji funkcija prenosa da bi bila
RC admitansa su:
1. da je racionalna funkcija kompleksne učestanosti,
2. da ima proste polove i to samo na negativnom dijelu realne ose ili u
beskonačnosti, dok u koordinatnom početku ne smije da ima pol,
3. da su reziduumi funkcije
3.5
YRC ( s)
u njenim polovima realni i pozitivni.
s
Fosterovi metodi realizacije RC imitansi
Fosterov prvi i drugi metod realizacije RC imitanse se, jednako kao kod
Fosterovih metoda realizacije LC imitansi, zasniva na razvoju RC imitanse na
parcijalne razlomke.
102
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
3.5.1
Fosterov prvi metod
Fosterov prvi metod realizacije zasniva se na razvoju RC impedanse na
parcijalne razlomke:
Z RC ( s ) = R∞ +
n
1
1
.
+
C0 s i =1 C s + 1
i
Ri
(3.144)
Iz (3.144) je potpuno jasno da se radi o rednoj vezi otpornika otpornosti R∞ ,
kondenzatora kapacitivnosti C0 i impedansi:
Zi ( s ) =
1
Ci s +
1
Ri
,
(3.145)
koje se realizuju kao paralelne veze otpornika Ri i kondenzatora C i . Na Slici
3.19 prikazana je opšta forma RC mreže koja se dobije realizacijom Fosterovim
prvim metodom.
C1
R∞
C0
C2
Cn

R1
R2
Rn
Z RC
Slika 3.19 Fosterova prva forma RC mreže.
103
GLAVA 3
Primjer 3.7:
Realizovati RC impedansu Z RC ( s ) =
( s + 1)( s + 3) Fosterovim prvim
s ( s + 2 )( s + 4 )
metodom.
Rješenje:
Zadata impedansa ima sve potrebne osobine impedanse RC mreže sa
jednim pristupom. Razvojem na parcijalne razlomke dobijamo:
Z RC ( s ) =
k0
k
k
3
1
3
+ 1 + 2 , k0 = , k1 = i k2 = ,
s s+2 s+4
8
4
8
(3.146)
tako da je:
Z RC ( s ) =
1
1
1
1
1
1
.
+
+
=
+
+
8
8
32
1
1
+
s
C
s
4
8
0
s
s+
C1s +
C2 s +
R1
R2
3
3
3
(3.147)
Električna šema realizovane RC mreže prikazana je na Slici 3.20.
4
2.66
0.12
0.09
2.66
Z RC
Slika 3.20 Električna šema zadate RC impedanse u obliku
druge Fosterove forme.
104

Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
3.5.2
Fosterov drugi metod
Fosterov drugi metod realizacije zasniva se na razvoju RC admitanse na
parcijalne razlomke:
YRC ( s ) = C∞ s +
n
1
1
.
+
R0 i =1 R + 1
i
Ci s
(3.148)
Ovdje se radi o zbiru admitansi, odnosno o paralelnoj vezi kondenzatora
kapacitivnosti C∞ , otpornika otpornosti R0 i admitansi:
Yi ( s ) =
1
Ri +
1
Ci s
,
(3.149)
koje se realizuju u vidu redne veze otpornika Ri i kondenzatora C i . Opšta
forma RC mreže koja se dobije realizacijom Fosterovim drugim metodom je
data na Slici 3.21.
C∞
R0
C1
C2
R1
R2
Cn

Rn
Z RC
Slika 3.21 Fosterova druga forma RC mreže.

Primjer 3.8:
Realizovati RC impedansu Z RC ( s ) =
( s + 1)( s + 3) Fosterovim drugim
s ( s + 2 )( s + 4 )
metodom.
105
GLAVA 3
Rješenje:
Fosterovom drugom formom realizujemo admitanse, te prvo zadatu
impedansu invertujemo:
YRC ( s ) =
s ( s + 2 )( s + 4 )
( s + 1)( s + 3)
.
(3.150)
Stepen polinoma u brojniku je za jedan veći od stepena polinoma u nazivniku,
pa na parcijalne razlomke razvijamo
YRC ( s )
s
YRC ( s )
s
:
3
1
2s + 5
=1+
=1+ 2 + 2 .
s +1 s + 3
( s + 1)( s + 3)
(3.151)
Množenjem lijeve i desne strane (3.151) sa s , dobijamo:
3
1
s
s
1
1
1
1
, (3.152)
+
= C∞ s +
+
YRC ( s ) = s + 2 + 2 = s +
2 2
6
1
1
s +1 s + 3
+
R1 +
R2 +
2+
s
C1 s
C2 s
3 3s
odakle jednostavnim poređenjem određujemo vrijednosti elemenata. Električna
šema zadate admitanse prikazana je na Slici 3.22.
1.5
1
0.66
0.16
2
YRC
Slika 3.22 Električna šema zadate RC admitanse u obliku
druge Fosterove forme.
106

Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
3.6
Kauerovi metodi realizacije RC imitansi
Kauerov prvi metod zasniva se na sukcesivnom izdvajanju pola RC
admitanse u beskonačnosti, dok se Kauerov drugi metod zasniva na
sukcesivnom izdvajanju pola RC impedanse u nuli.
3.6.1
Kauerov prvi metod
Kauerov prvi metod koristi sljedeće osobine RC imitansi:
•
RC admitansa YRC ( s) može imati pol u beskonačnosti,
•
Z RC (∞) = Re{Z RC (∞)} ≤ Re{Z RC (Ω)} , ∀ Ω < ∞ .
To znači da, ako iz RC impedanse izdvojimo Z RC (∞ ) , preostala impedansa:
r
Z RC
( s ) = Z RC ( s ) − Z RC ( ∞ ) ,
(3.153)
r
i dalje ima istu prirodu kao Z RC ( s ) . U beskonačnosti je Z RC
( ∞ ) = 0 , dok
r
admitansa YRC
( s ) ima pol u beskonačnosti.
Realizacija se zasniva na sukcesivnom uklanjanju pola u beskonačnosti iz
RC admitanse. Ukoliko admitansa nema pol u beskonačnosti, ona se invertuje,
pa se iz tako dobijene impedanse izdvaja vrijednost te impedanse u
beskonačnosti. Na taj način se postiže da impedansa u beskonačnosti bude
nula, odnosno da nakon invertovanja admitansa ima pol u beskonačnosti.
Razmotrimo dvije mogućnosti. Prva je da zadata admitansa YRC ( s ) ima pol
u beskonačnosti, a druga da je YRC ( s ) u beskonačnosti konačno.
Ako YRC ( s ) ima pol u beskonačnosti, on se može odmah izdvojiti i
realizovati odvodnim kondenzatorom:
YRC ( s ) = C0 s + YRC1 ( s ) ,
(3.154)
1
C0 = lim YRC ( s ) ,
s →∞ s
(3.155)
107
GLAVA 3
kao na Slici 3.23. Preostala funkcija:
YRC1 ( s ) = YRC ( s ) − C0 s ,
(3.156)
je takođe admitansa, koja u beskonačnosti nema pol. RC admitansa YRC1 ( s ) u
beskonačnosti ne može ni da bude jednaka nuli, već ima neku konačnu
vrijednost različitu od nule, jer RC impedansa u beskonačnosti ne može da ima
pol.
Realizacija YRC1 ( s ) se svodi na drugu mogućnost koja može da se pojavi u
toku realizacije: da admitansa nema pol u beskonačnosti. U tom slučaju
invertujemo YRC1 ( s ) da dobijemo Z RC1 ( s ) . Iz Z RC1 ( s ) možemo izdvojiti
r
Z RC1 ( ∞ ) , a da preostala funkcija ZRC
1 ( s ) i dalje ima prirodu RC impedanse:
r
Z RC
1 ( s ) = Z RC1 ( s ) − Z RC1 ( ∞ ) .
(3.157)
Dakle, Z RC1 ( s ) možemo realizovati kao rednu vezu otpornika R0 = Z RC1 ( ∞ ) i
r
preostale impedanse Z RC
1 ( s ) , kao na Slici 3.24.
C0
YRC
RC
mreža
YRC1
Slika 3.23 Kauerov prvi metod realizacije RC admitanse :
uklanjanje pola u beskonačnosti.
108
S teza
Sint
a ellekttričn
nih mre
eža
a sa
a jed
dnim
m prist
p tupo
om
R0
C0
YRC
RC
C
mrež
m ža
r
Z RC
C1
Z RC1
Sliika 3.224 Kaaueerovv prvi meetod
d reealiizaccije RC
C ad
dmiitannse:
izdvaajan
nje reaalno
og dije
d ela.
r
Im
mpedaansaa Z RC
stalaa nak
n kon
n oduzzim
manja Z RRC1 ( ∞ ) od
o Z RC
C1 ( s ) preos
R 1 ( s) u
beskkon
načn
nosti im
maa nuulu,, paa addmiitan
nsa YRRC 2 ( s ) =
1
Z
r
RC1
(s)
u beesk
konaačn
nostti im
ma
pol.
Ako
A o posm
mattram
mo effekaat iizdvvajaanjaa o
otpo
orn
nikaa R0 = Z RC
n tipi
t čno
om
R 1 ( ∞ ) na
o a to
o odgoovaara pom
p makku horrizo
ontalne ose
o σ preemaa go
ore za
grrafiiku Z RC
R (σ ) , ond
o naa Sllici 3.225. Treebaa prrimjetiiti da
d sse lo
okaacijee polo
ova ne miijen
njajuu, ddokk se
R0 , kao
okacijee nuula mijjenjjajuu i nas
n tajee do
odaatnaa nuula u besk
b kon
načn
nossti.
lo
×
o×
•
×
o×
•
×
o×
S a 3.25 Efek
Slika
E kat izddvaajan
nja min
m nim
maln
nog reaalno
og dije
d ela iimp
ped
dansse.
109
1
GLAVA 3
Postupak realizacije se dalje nastavlja kao u prvom slučaju. Na ovaj način se
u realizovanoj mreži dobiju kondenzatori u odvodnim, a otpornici u rednim
granama ljestvičaste mreže. U prvom slučaju, kada polazna admitansa koju
realizujemo ima pol u beskonačnosti, realizacija počinje odvodnim
kondenzatorom, kao na Slici 3.26, a u drugom slučaju, kada u beskonačnosti
nije pol polazne admitanse, realizacija počinje redno vezanim otpornikom, kao
na Slici 3.27.
YRC
Slika 3.26 Kauerova prva forma kada RC admitansa ima pol
u beskonačnosti.
YRC
Slika 3.27 Kauerova prva forma kada RC admitansa nema pol
u beskonačnosti.
110
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Primjer 3.9:
Realizovati RC impedansu Z ( s ) =
( s + 1)( s + 3) u obliku Kauerove prve
s ( s + 2 )( s + 4 )
forme.
Rješenje:
Zadana impedansa u beskonačnosti nema pol, već nulu. Zbog toga je
invertujemo i dobijamo admitansu:
Y (s) =
1
s 3 + 6 s 2 + 8s
= 2
Z (s)
s + 4s + 3
(3.158)
ima pol u beskonačnosti, te odmah realizujemo odvodni kondenzator:
Y1 ( s ) = Y ( s ) − k0 s =
s 3 + 6 s 2 + 8s
− s  C0 = 1 .
s 2 + 4s + 3
(3.159)
Preostala admitansa:
Y1 ( s ) =
2 s 2 + 5s
s 2 + 4s + 3
(3.160)
nakon invertovanja daje impedansu koja u beskonačnosti ima konačnu
vrijednost:
Z1 ( s ) =
s 2 + 4s + 3
.
2 s 2 + 5s
(3.161)
Oduzimanjem R1 = Z1 ( ∞ ) iz Z1 ( s ) dobijamo otpornik:
Z 2 ( s ) = Z1 ( s ) − Z1 ( ∞ ) =
s 2 + 4s + 3 1
1
−  R1 =
2 s 2 + 5s
2
2
(3.162)
redno vezan sa preostalom impedansom:
3
s+3
Z2 ( s ) = 22
,
2 s + 5s
(3.163)
111
GLAVA 3
odnosno admitansom:
Y2 ( s ) =
2 s 2 + 5s
.
3
s+3
2
(3.164)
Admitansa Y2 ( s ) ima pol u beskonačnosti, pa ponovo izdvajamo odvodni
kondenzator:
Y3 ( s ) = Y2 ( s ) − k1s =
2 s 2 + 5s 4
4
− s  C1 = .
3
3
s+3 3
2
(3.165)
Preostala admitansa:
Y3 ( s ) =
2s
,
3s + 6
(3.166)
se invertuje i izdvajanjem vrijednosti u beskonačnosti realizuje redno vezan
otpornik:
Z3 ( s ) = Z 2 ( s ) − Z 2 ( ∞ ) =
3s + 6 3
3
−  R2 = .
2s
2
2
Na kraju, preostalu impedansu Z3 ( s ) =
(3.167)
3
invertujemo i realizujemo kao
s
odvodni kondenzator:
1
1
Y3 ( s ) = s  C3 = .
3
3
(3.168)
Napisano preko verižnog razlomka, zadata admitansa je:
Y (s) = s +
1
1
1
+
4
1
2
s+
3 1
3
+
2 1s
3
.
Električna šema zadate impedanse je prikazana na Slici 3.28.
112
(3.169)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
0.5
1.5
1.33
1
0.33
Z
Slika 3.28 Električna šema zadate RC impedanse u vidu
prve Kauerove forme.

3.6.2
Kauerov drugi metod
Kauerov drugi metod koristi sljedeće osobine RC imitansi:
•
RC impedansa Z RC ( s) može imati pol u nuli,
•
YRC ( 0 ) ≤ Re {YRC ( Ω )} , ∀Ω .
Prema tome, ako iz RC admitanse izdvojimo YRC (0) , preostala admitansa:
r
YRC
( s ) = YRC ( s ) − YRC ( 0) ,
(3.170)
r
r
je iste prirode kao YRC ( s ) . U nuli je YRC
( 0) = 0 , dok impedansa Z RC
( s ) ima
pol u nuli.
Prilikom realizacije se vrši sukcesivno uklanjanje pola u nuli iz RC
impedanse. Ako impedansa nema pol u nuli, ona se invertuje. Iz tako dobijene
admitanse izdvaja se njena vrijednost u nuli. Na taj način se postiže da
admitansa u nuli bude jednaka nuli, odnosno da nakon invertovanja impedansa
u nuli ima pol.
Posmatraćemo dva moguća slučaja. U prvom zadata impedansa Z RC (s) ima
pol u nuli, dok je u drugom slučaju njena vrijednost u nuli konačna.
113
GLAVA 3
Ako Z RC (s) ima pol u nuli, prvo izvajamo taj pol, što rezultuje redno
vezanim kondenzatorom (Slika 3.29):
Z RC ( s ) =
1
+ Z RC1 ( s ) ,
C0 s
(3.171)
1
= lim sZ RC ( s ) .
C0 s → 0
(3.172)
Ako impedansa Z RC1 ( s ) u nuli nema pol, ona se invertuje i od tako dobijene
admitanse se oduzima najveća moguća vrijednost, tako da preostala admitansa i
dalje ima sve osobine RC admitansi:
r
YRC
1 ( s ) = YRC1 ( s ) − YRC1 ( 0 ) .
C0
Z RC
RC
mreža
Z RC1
Slika 3.29 Kauerov drugi metod realizacije RC admitanse:
uklanjanje pola u nuli.
C0
RC
mreža
G0
Z RC
YRC1
r
YRC
1
Slika 3.30 Kauerov drugi metod realizacije RC impedanse:
izdvajanje realnog dijela.
114
(3.173)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Tako dobijamo rednu vezu otpornika provodnosti G0 = YRC1 ( 0) i preostale
r
admitanse YRC
1 ( s ) , kao na Slici 3.30.
Preostala impedansa ima pol u nuli, pa postupak ponavljamo. Kauerovim
drugim metodom realizacije RC mreža u rednim granama dobijamo
kondenzatore, a u odvodnim otpornike. Kada polazna impedansa ima pol u
nuli, realizacija počinje rednim kondenzatorom, kao na Slici 3.31, a kada u nuli
nije pol polazne impedanse, realizacija počinje otpornikom u odvodnoj grani,
kao na Slici 3.32.
Z RC
Slika 3.31 Kauerova druga forma kada RC impedansa
ima pol u nuli.
Z RC
Slika 3.32 Kauerova druga forma kada RC impedansa
nema pol u nuli.
115
GLAVA 3
Primjer 3.10:
Realizovati RC impedansu Z ( s ) =
forme.
3 + 4s + s 2
u vidu Kauerove druge
8s + 6 s 2 + s 3
Rješenje:
Impedansa Z ( s ) ima pol u nuli, tako da prvo realizujemo redni
kondenzator:
Z1 ( s ) = Z ( s ) −
k0
3 + 4s + s 2
3
8
=
−  C0 = .
2
3
s 8s + 6 s + s 8s
3
(3.174)
Preostalu impedansu:
7 5
+ s
Z1 ( s ) = 4 8 2 ,
8 + 6s + s
(3.175)
invertujemo, pa oduzimamo njenu vrijednost u nuli i tako realizujemo otpornik
u odvodnoj grani:
Y2 ( s ) = Y1 ( s ) − Y1 ( 0 ) =
8 + 6s + s 2 32
7
−  R1 = .
7 5
7
32
+ s
4 8
(3.176)
Sad smo dobili admitansu:
22
s + s2
7
Y2 ( s ) =
,
7 5
+ s
4 8
(3.177)
koja u nuli ima nulu, tako da odgovarajuća impedansa ima pol u nuli, koji
realizujemo kondenzatorom u rednoj grani:
7 5
+ s
k1
49
88
Z3 ( s ) = Z 2 ( s ) − = 4 8 −
 C1 =
.
22
s
49
s + s 2 88s
7
116
(3.178)
Sinteza električnih mreža sa jednim pristupom
Impedansu:
3
Z 3 ( s ) = 44
22
+s
7
(3.179)
invertujemo, pa oduzimamo vrijednost tako dobijene admitanse u nuli, što
rezultuje otpornikom u odvodnoj grani:
22
+s
968
21
Y4 ( s ) = Y3 ( s ) − Y3 ( 0 ) = 7
−
 R2 =
.
3
21
968
44
(3.180)
Konačno, preostalu impedansu realizujemo u vidu kondenzatora u rednoj
grani:
Y4 ( s ) =
44
44
s  C2 =
.
3
3
(3.181)
Zadata impedansa zapisana u formi verižnog razlomka je:
Z (s) =
3
1
,
+
1
8s 32 +
49
1
7
+
88s 968 + 1
3
21
44 s
(3.182)
a njena električna šema je prikazana na Slici 3.33.
2.6
1.78
0.21
14.6
0.021
Z (s)
Slika 3.33. Električna šema zadate RC impedanse u vidu
druge Kauerove forme.

117
Download

Glava 3 SINTEZA ELEKTRIČNIH MREŽA SA JEDNIM PRISTUPOM