FUNKCIJA PRENOSA DISKRETNE MREŽE
Ako na ulaz diskretne mreže, čiji je impulsni odziv jednak h ( n ) , dovedemo kompleksnu
eksponencijalnu sekvencu x ( n ) = z n , z ∈ C , signal na izlazu mreže će biti jednak:
 ∞
n−k
−k  n
n
h
k
z
=
(
)
∑
∑
 ∑ h(k ) z  z = H ( z) z .
k =−∞
k =−∞
 k =−∞

Način kako diskretna mreža mijenja signal definisan je funkcijom prenosa diskretne mreže
y (n) = h (n) ∗ x (n) =
H ( z) =
∞
∑ h ( n) z
−n
.
∞
h(k ) x(n − k ) =
Primijetimo
da
je
∞
funkcija
prenosa
diskretne
mreže
jednaka
n =−∞
z-transformaciji impulsnog odziva.
Poznavajući pravilo z-transformacije o konvoluciji diskretnih signala:
y ( n) = h ( n) ∗ x ( n) ↔ Y ( z ) = H ( z ) X ( z ) ,
funkcija prenosa diskretne mreže može se izraziti i kao količnik z-transformacije odziva i
z-transformacije eksitacije:
Y (z)
H ( z) =
.
X ( z)
Kod diskretnih sistema opisanih rekurzivnom jednačinom diferencija:
M
N
k =0
k =1
y ( n ) = ∑ bk x ( n − k ) − ∑ ak y ( n − k )
impulsni odziv je u opštem slučaju beskonačnog trajanja. Funkcija prenosa je racionalna funkcija
i ima i nule zk i polove pk konačnih vrijednosti. Može da se zapiše u jednom od sljedećih oblika,
kao količnik dva polinoma (u razvijenom ili faktorizovanom obliku, po z −1 ili po z ):
M
H (z) =
Y ( z)
X (z)
=
N (z)
D( z)
=
∑ bk z − k
k =0
N
1 + ∑ ak z − k
=z
N −M
∑ bk z M −k
k =0
N
z N + ∑ ak z N − k
k =1
∏ (1 − z z )
M
M
=k
k =1
M
−1
k
k =1
N
∏ (1 − p z )
−1
k
k =1
= kz
N −M
∏( z − z )
k =1
N
∏( z − p )
k =1
M
Ako je diskretni sistem opisan nerekurzivnom jednačinom diferencija y ( n ) = ∑ bk x ( n − k ) ,
k =0
onda je impulsni odziv konačnog trajanja. Funkcija prenosa ima M konačnih nula i pol reda N
u nuli:
M
Y (z) N (z) M
H (z) =
=
= ∑ bk z − k = z − M ∑ bk z M − k .
X ( z ) D ( z ) k =0
k =0
Digitalni filtri su diskretne mreže. Akoje imulsni odziv konačnog trajanja, kažemo da se radi
o FIR (Finite Impulse Responese) filtru, a ako je impulsni odziv beskonačnog trajanja, onda
kežemo da se radi o IIR ili I2R (Infinite Impulse Responese) filtru.
Posebnu klasu IIR filtara čine takozvani “all-pole” filtri koij nemaju konačnih nula
transmisije ( bk = 0, k ≠ 0 ) i čija funkcija prenosa ima oblik:
H (z) =
Y (z)
X (z)
=
b0
N
1 + ∑ ak z − k
k =1
= zN
b0
N
z N + ∑ ak z N − k
k =1
.
k
k
1.1 STABILNOST DIGITALNIH FILTARA
U vremenskom domenu, digitalni filtar, kao diskretna mreža, je stabilan ako njegov impulsni
odziv zadovoljava uslov:
∞
∑ h (n) < ∞ .
n =−∞
Iz uslova stabilnosti datog u vremenskom domenu slijedi da funkcija prenosa konvergira na
jediničnoj kružnici u z-ravi:
H (z) =
∞
∑ h ( n) z
−n
≤
n =−∞
∞
∑ h (n) z
−n
=
n =−∞
∞
∑ h (n)
z −n
n =−∞
=
z =1
∞
∑ h (n) < ∞
n =−∞
Vrijedi i obrnuto. Pretpostavimo kauzalan IIR digitalni filtar sa funkcijom prenosa:
α ∏ (1 − zi z −1 )
M
H (z) =
i =1
N
∏ (1 − p z )
.
−1
k
k =1
Takoñe pretpostavimo da je M ≤ N , što vrijedi u većini praktičnih slučajeva. Razvojem na
parcijalne razlomke imamo:
H ( z ) = ξ0 +
ξ1
1 − p1 z
−1
+
ξ2
1 − p2 z
−1
+ ... +
ξN
1 − pN z −1
,
gdje je
α , N = M 
ξ0 = 

i
(
)
ξi = lim 1 − pi z −1 H ( z ) , i = 1, 2,..., N .
z → pi
0, N > M 
Tako je odgovarajući impulsni odziv jednak:
h ( n ) = ξ1 p1n + ξ 2 p2n + ... + ξ N pNn  µ ( n ) + ξ 0δ ( n ) .
Ako su svi polovi digitalnog filtra u unutrašnjosti jediničnog kruga u z-ravni
pi < 1, i = 1, 2,..., N , za impulsni odziv vrijedi da je
∞
∑ h ( n ) < ∞ , te je digitalni filtar stabilan.
n =−∞
Slično se može pokazati i za IIR digitalne filtre čije funkcija prenosa ima višestruke polove.
Kada se radi o FIR filtru sa funkcijom prenosa koja nema drugih polova osim pola reda N u
nuli:
H ( z ) = b0 + b1 z −1 + ... + bM z − M
zaključujemo da su ovakvi filtri uvijek stabilni jer je njihov impulsni odziv konačnog trajanja:
h ( n ) = 0, n > M i n < 0 .
Dakle, digitalni filtar je stabilan ako i samo ako oblast konvergencije funkcije prenosa
obuhvata jediničnu kružnicu.
1.2 FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE DIGITALNIH FILTARA
Pretpostavimo da diskretnu mrežu, čiji je impulsni odziv jednak h ( n ) , pobuñujemo
diskretnom prostoperiodičnom sekvencom x ( n ) = e jωn , − ∞ < n < ∞ . Odziv mreže je diskretna
prostoperiodična sekvenca jednake učestanosti, ali su njegova amplituda i faza promijenjene:
∞
∞
 ∞

jω n − k
y ( n ) = h ( n ) ∗ x ( n ) = ∑ h ( k ) x ( n − k ) = ∑ h ( k ) e ( ) =  ∑ h ( k ) e − jωk  e jωn = H e jω e jωn
k =−∞
k =−∞
 k =−∞

.
Frekvencijski odziv, ili frekvencijska karakteristika mreže:
( )
∞
( ) ∑ h(k )e
H e jω =
− jω k
k =−∞
je kompleksna funkcija učestanosti:
( )
( )
H e jω = H e jω e
( ( )) .
j arg H e jω
Modul frekvencijske karakteristike je amplitudni odziv mreže i on utiče na promjenu
amplitude izlaznog signala, dok argument frekvencijske karakteristike predstavlja faznu
karakteristiku mreže koja utiče na fazu izlaznog signala.
Frekvencijska karakteristika se može dobiti iz funkcije prenosa smjenom z = e jω :
H (z) =
∞
∑ h ( n) z
−n
n =−∞
=
z = e jω
∞
∑ h (n) e
− jω n
( )
= H e jω
n =−∞
Frekvencijska karakteristika diskretne mreže je, za razliku od frekvencijskih karakteristika
analognih mreža, periodična funkcija učestanosti, sa periodom 2π :
(
H e
j (ω + 2π )
) ∑
=
∞
k =−∞
h(k )e
− j ( ω + 2π ) k
=
∞
∑
k =−∞
h ( k ) e − jω k e− j 2π k =
∞
∑ h(k )e
k =−∞
− jω k
( )
= H e jω .
1.3 OSNOVNI GRADIVNI BLOKOVI DISKRETNIH MREŽA
Za realizaciju su nam potrebni:
a) elementi za kašnjenje (memorisanje prethodnih stanja),
b) množači (operacija množenja),
c) sabirači (operacija sabiranja).
Koriste se sljedeći simboli:
a) element za kašnjenje
b) množač
c) sabirač
1.4 ANALIZA DIGITALNIH FILTARA
Pretpostavimo digitalno kolo S sa jednim ulazom, jednim izlazom, N+2 čvorova i b grana.
Neka je čvor O ulaz, a čvor N+1 izlaz. Za α=1,2,...,N, neka su xα(n) varijable pridružene izlazu
sabirača u čvoru α. Neka je xin(n) ulazni niz, a xout(n) izlazni niz. Konačno, neka je Xi(z) z transformacija od xi(n) za i=1,2,...,N, in i out.
Za svaki čvor α možemo napisati jednačinu koja opisuje zavisnost signala svih grana
koje se stiču u čvoru α, (α=1,2,...,N).
Kao rezultat imaćemo sistem od N algebarskih kompleksnih jednačina
A(z)*X(z)=B(z)*Xin(z),
gdje je A(z) matrica dimenzija NxN koja uključuje karakteristike grana, B(z) je Nx1 vektor,
Xin(z) je ulaz i X(z) je Nx1 vektor
 X 1 (z ) 


 X 2 (z ) 
.

.
X (z ) = 
.

.



 X N ( z )
Rješavajući po X(z):
X(z)=A-1(z)*B(z)*Xin(z).
Uz dodatnu jednačinu za čvor N+1 dobijamo izlaznu jednačinu
Xout(z)=C(z)*X(z)+D(z)*Xin(z)
gdje je C(z) 1xN red-vektor, a D(z) skalar.
∆
Xout(z)=(C*A-1*B+D)*Xin(z) = H(z)*Xin(z).
Funkcija prenosa kola je
H(z)=C(z)*A-1(z)*B(z)+D(z).
PRIMJER:
Pronaći prenosnu funkciju i frekvencijski odziv kola na slici
Xin
0
X1
1
p1
p4
X2
2
z −1
p2
X4
4
p3
X3 3
RJEŠENJE:
X 1 ( z ) = X in ( z ) + p 4 X 3 ( z )
X 2 ( z ) = p1 X 1 ( z )
X 3 ( z ) = z −1 X 2 ( z )
X 4 ( z ) = p 2 X 2 ( z ) + p3 X 3 ( z )
A(z)*X(z)=B(z)*Xin(z)
(*)
Izlazna jednačina je X out ( z ) = X 4 ( z ).
Xout
5
Izražavajući X4(z) iz (*) i uvrštavajući u izlaznu jednačinu dobijamo:
(
)
p p + p3 z −1
X out ( z ) = 1 2
X in ( z ).
1 − p1 p 4 z −1
Funkcija prenosa je


p
p1 p 2 1 + 3 z −1 


p2

,
H (z ) =
−1
1 − p1 p 4 z
a frekvencijski odziv

p
p1 p 2 1 + 3 e − jθ

p2

jθ
He
=
1 − p1 p 4 e − jθ
( )




.
1.5 PROJEKTOVANJE DIGITALNIH FILTARA
Kao i kod analognih filtara, projektovanje digitalnih filtara uključuje proces pronalaženja
odgovarajuće prenosne funkcije koja će zadovoljiti postavljene zahtjeve. Specifikacije se često
zadaju u frekvencijskom domenu.
Frekvencijska karakteristika H e jω digitalnog filtra je kontinualna periodična funkcija
( )
digitalne učestanosti ω sa periodom 2π :
( )
(
H e jω = H e
j (ω + 2 mπ )
) , m je cio broj.
Period se normalno uzima od −π do π . To znači, ako je frekvencijska karakteristika
H e jω poznata za ω od −π do π onda je poznata i za svako ω .
( )
Kako je za realne signale amplitudna karakteristika parna, a fazna neparna funkcija, dovoljno
je specificirati frekvencijsku karakteristiku filtra u opsegu od 0 do π , tj. duž gornje polovine
jedinične kružnice u z-ravni.
Slika 1. Amplitudne i fazne karakteristike digitalnih filtara ( θ = ω )
U projektovanju filtara je pogodnije posmatrati kvadrat amplitudne karakteristike i grupno
kašnjenje nego amplitudnu karakteristiku i fazu:
( )
H e jω
Primjetimo da, ako je
{ }
2
( )
= H ( z ) H z −1
zk { pk } = rk e jωk
z = e jω
.
nula (pol) od
( )
H ( z ) H z −1 , tada je i
( )
1 − jωk
nula (pol) od H ( z ) H z −1 .
e
rk
Kako se kompleksni polovi i nule javljaju u konjugovano kompleksnim parovima,
1
zaključujemo da su zk { pk } = rk e− jωk i zk−1 pk−1 = e jωk nule ( polovi) od H ( z ) H z −1 .
rk
Željena karakteristika grupnog kašnjenja treba da aproksimira konstantu unutar propusnog
opsega filtra.
zk−1 pk−1 =
{ }
( )
1.5.1 PROJEKTOVANJE IIR DIGITALNIH FILTARA
Funkcija prenosa IIR digitalnog filtra je oblika:
M
H (z) =
∑b z
k =0
N
−k
k
1 + ∑ ak z
,
−k
k =1
gdje smo usvojili a0 = 1 .
Primjetimo da ako formalno zamijenimo z sa s, poslednji izraz postaje funkcija prenosa
analognog filtra. Zbog ove sličnosti, najpopularnija tehnika za projektovanje digitalnih filtara je,
na neki način, digitalna verzija projektovanja analognih filtara. Postupak uključuje dva koraka:
1. projektovanje analognog filtra da bi dobili odgovarajuću funkciju prenosa Hˆ ( s ) ,
2. transformacija Hˆ ( s ) u odgovarajuću funkciju prenosa H ( z ) .
Slika 2. Procedura projektovanja digitalnih IIR filtara
Da bismo bili sigurni da nakon preslikavanja digitalni filtar zadržava željene osobine koje
ima analogni filtar projektovan na osnovu zahtjeva za magnitudu i fazu, procedura preslikavanja
mora zadovoljiti sljedeća dva uslova:
1. Imaginarna osa iz s-ravni se preslikava u jediničnu kružnicu u z-ravni:
{s = jΩ, − ∞ < Ω < ∞} → z = e jω , − π < ω ≤ π .
{
}
Ovaj uslov je neophodan da bi sačuvali frekvencijske karakteristike filtra.
2. lijeva polovina s-ravni se preslikava u unutrašnjost jediničnog kruga u z-ravni:
{s Re [ s ] < 0} → {z z < 1} .
Ovaj uslov je neophodan da bi smo sačuvali stabilnost filtra.
Slika 3. Preslikavanje iz analognog u digitalni domen
TEHNIKA NUMERIČKE INTEGRACIJE
Ova tehnika se zasniva na aproksimaciji derivacije konačnim diferencijama. Rezultujući
efekat je zamjena diferencijalne jednačine koja opisuje analogni filtar jednačinom diferencija koja
karakteriše digitalni filtar. Kompleksna varijabla s funkcije prenosa analognog filtra se preslikava
u kompleksnu varijablu z funkcije prenosa digitalnog filtra s = f ( z ) .
Različiti metodi numeričke integracije daće različite funkcije preslikavanja, pa će, samim
tim, i rezultujući digitalni filtri biti različiti. Razmotrićemo najjednostavniji metod, Euler-ovu
aproksimaciju, po kome je:
y ( n ) − y ( n − 1)
dyˆ
,
=
dt t = nT
T
gdje je T korak odmjeravanja i y ( k ) = yˆ ( t )
, k-cio broj.
t = kT
Na osnovu prethodne relacije, koja daje način prelaska iz kontinulnog u diskretni domen,
zaključujemo da je funkcija preslikavanja, koja povezuje s-domen i z-domen data sa:
1 − z −1
s=
≜ f ( z) ,
T
odnosno:
1
.
z=
1 − sT
Da bi procijenili kvalitet aproksimacije provjerićemo kako se preslikava imaginarna osa i
lijeva poluravan s-ravni:
1 1
1 1
− jΩT + + jΩT
1
1 1 + jΩT
2
2
2 2
z=
=
= +
,
1 − jΩT
1 − jΩT
2 1 − jΩT
ili:
1 1 1 + jΩT
z− =
2 2 1 − jΩT
na osnovu čega zaključujemo da je:
1 1
z − = , ∀Ω
2 2
2 ΩT
1 + jΩT 1 jarctg 1−( ΩT )2
,
⋅
= e
1 + jΩT 2
i γ ( Ω ) = arctg
2ΩT
1 − ( ΩT )
2
.
To znači da se imaginarna osa iz s-ravni preslikava u kružnicu poluprečnika 1 2 sa centrom
u z =1 2 .
Za s = σ + jΩ, σ < 0 imamo:
1
1
1
, z =
≤
≤ 1,
z=
2
2
1 − σ T − j ΩT
(1 − σ T ) + ( ΩT ) 1 − σ T
što znači da se lijeva poluravan s-ravni preslikava u unutrašnjost jedinične kružnice.
Prvi uslov, da se imaginarna osa preslikava u jediničnu kružnicu nije u potpunosti
zadovoljen. Ipak, za male vrijednosti ω ovaj uslov je zadovoljen dovoljno dobro. Zbog toga ova
tehnika daje zadovoljavajuće rezultate u oblasti niskih frekvencija i pogodna je za projektovanje
NF filtara. Ako osiguramo da je T dovoljno malo, rezultujući digitalni filtar će imati skoro iste
karakteristike u propusnom opsegu kao analogni filtar.
Slika 4. Preslikavanje analognog u digitalni domen okd tehnike numeričke integracije
METODA IMPULSNE INVARIJANSE
Ova procedura osigurava da je impulsni odziv digitalnog filtra odmjerena verzija impulsnog
odziva analognog filtra:
h ( n ) = hˆ ( t ) , t = nT ,
gdje je T korak odmjeravanja.
Ako funkciju prenosa analognog filtra Hˆ ( s ) razvijemo na parcijalne razlomke, uz
pretpostavku da je N > M ≥ 0 , aN ≠ 0, a0 ≠ 0 i da su svi polovi jednostruki:
M
Hˆ ( s ) =
∑ bˆ s
i
i
i =0
N
∑ aˆi si
N
ξi
i =1
s − pˆ i
=∑
,
i =0
impulsni odziv analognog filtra je:
N
hˆ ( t ) = ∑ ξi e pˆ i t u ( t ) ,
i =1
dok je impulsni odziv digitalnog filtra odmjerena verzija impulsnog odziva analognog filtra:
N
h ( n ) = ∑ ξi e pˆ i nT u ( n ) .
i =1
Funkcija prenosa digitalnog filtra je z-transformacija impulsnog odziva:
∞
∞
N
∞
N
(
H ( z ) = ∑ h ( n ) z − n = ∑∑ ξi e pˆ i nT z − n = ∑ ξi ∑ e pˆ iT z −1
n=0
n = 0 i =1
i =1
Poredeći funkciju prenosa digitalnog filtra H ( z )
) = ∑ 1 − eξ
n
N
i
pˆ i T
.
z −1
sa funkcijom prenosa analognog filtra
n =0
i =1
Hˆ ( s ) , zaključujemo da je relacija preslikavanja analognog u digitalni filtar data sa:
ξi
s − pˆ i
→
ξi
1− e
pˆ i T
z
−1
≜
ξi
1 − pi z −1
gdje je pi = e pˆ iT pol digitalnog filtra koji odgovara polu analognog filtra pˆ i .
( )
Frekvencijska karakteristika ddigitalnog filtra H e jω
je periodična funkcija sa periodom
2π , dok je frekvencijska karakteristika analognog filtra Hˆ ( jΩ ) neperiodična funkcija. Ovo je
direktna posljedica odmjeravanja u vremenu. Izobličenja magnitude digitalnog filtra koja nastaju
zbog preklapanja u frekvencijskom domenu su manja što je period odmjeravanja manji, Slika 5.
Kako je Furijeova transformacija diskretnog signala H ( e jω ) jednaka Furijeovoj
transformaciji diskretizovanog signala, pod uslovom da su jačine udara diskretizovanog signala u
tačkama odmjeravanja jednake vrijednostima diskretnog signala i da je ω = ΩT , uspostavljamo
vezu izmeñu frekvencijskih karakteristika digitalnog i analognog filtra:
1 ∞ ˆ 
2kπ  
∑ H j  Ω + T  .
T k =−∞  

Ako ovu vezu izmeñu digitalnog i analognog domena, koja vrijedi na jediničnoj kružnici u
z-ravni i imaginarnoj osi u s-ravni proširimo na isti način na cijelu z-ravan i cijelu s-ravan,
zamjenom e jω sa z i jΩ sa s, dobijamo vezu izmeñu funkcija prenosa digitalnog i analognog
filtra:
1 ∞
2kπ 

H ( z ) = H ( e sT ) = ∑ Hˆ  s + j
.
T k =−∞ 
T 
Prema tome, funkcija preslikavanja je z = e jω = e jΩT = e sT :
1 ∞
2kπ 

H ( z ) z = esT = ∑ Hˆ  s + j
.
T k =−∞ 
T 
Poslednja relacija daje vezu izmeñu prenosne funkcije digitalnog filtra koji se dobije
metodom impulsne invarijanse i odgovarajućeg analognog filtra.
H ( e jω ) = H ( e jΩT ) =
Slika 5. Amplitudne karakteristike analognog ( ω = Ω ) i odgovarajućeg digitalnog filtra ( θ = ω )
koji se dobije metodom impulsne invarijanse sa korakom odmjeravanja T = 0.1 s i
T =1 s
Da bismo razmotrili osobine ove metode, posmatrajmo relaciju z = e sT odnosno ω = ΩT .
Imaginarna osa se preslikava u jediničnu kružnicu, lijeva polovina horizontalnih segmenata širine
2π T s-ravni u unutrašnjost, a desna polovina u spoljašnost jediničnog kruga. Ovo preslikavanje
2π
4π
nije 1-1. Na primjer, tačke iz s-ravni: s = 0 , s = j
i s= j
se sve preslikavaju u z-ravni u
T
T
tačku z = 1 .
U stvari, funkcija prenosa analognog filtra nad svakim segmentom širine
2π
se preslikava
T
preko cijele z-ravni pri formiranju funkcije prenosa digitalnog filtra.
Zbog efekta “aliasing”-a, metod impulsne invarijanse je primjenljiv samo na filtre koji imaju
frekvencijski ograničenu frekvencijsku karakteristiku, tj.:
Hˆ ( jΩ ) ≈ 0, Ω > Ω ,
g
kao što su, npr., niskopropusni filtri i filtri propusnici opsega.
BILINEARNA TRANSFORMACIJA
Da bismo eliminisali neželjeni efekat preklapanja (”aliasing”) koristimo 1-1 preslikavanje
nazvano bilinearna transformacija.
Posmatrajmo jednostavnu funkciju prenosa analognog filtra:
b
H ( s) =
s+a
kojoj odgovara diferencijalna jednačina:
dy ( t )
+ ay ( t ) = bx ( t ) .
dt
Za t = nT ova diferencijalna jednačina ima oblik:
y ′ ( nT ) = − ay ( nT ) + bx ( nT ) .
Koristeći aproksimaciju integrala trapezoidnom formulom ( T = t − t0 ) :
t
y ( t ) = ∫ y′ (τ ) dτ + y ( t0 ) = Ty′ ( t0 ) +
t0
T
T
 y ′ ( t ) − y ′ ( t0 )  + y ( t0 ) =  y ′ ( t ) + y′ ( t0 )  + y ( t0 ) ,

2
2
za t = nT možemo pisati:
T
 y ′ ( nT ) + y ′ ( nT − T )  + y ( nT − T ) .
2
Uz y ( n ) ≜ y ( nT ) i x ( n ) ≜ x ( nT ) dobijamo:
y ( nT ) =
T
 y′ ( n ) + y′ ( n − 1) 
2
bT
 aT 
 aT 
 x ( n ) + x ( n − 1)  .
1 +
 y ( n ) − 1 −
 y ( n − 1) =
2 
2 
2 


Nakon primjene z-transformacije na prethodnu jednačinu:
 aT   aT  −1 
bT
−1
 1 + 2  −  1 − 2  z  Y ( z ) = 2 (1 + z ) X ( z ) ,






odreñujemo funkciju prenosa digitalnog filtra:
y ( n ) − y ( n − 1) =
bT
(1 + z −1 )
b
2
H (z) =
=
=
.
X ( z )  aT   aT  −1 2  1 − z −1 
1 +
 − 1 −
z

+a
2  
2 

T  1 + z −1 
Y (z)
Poredeći dobijeni izraz za funkciju prenosa digitalnog filtra sa izrazom za funkciju prenosa
analognog filtra, može se zaključiti da se funkcijom preslikavanja u obliku:
2 1 − z −1
T 1 + z −1
funkcija prenosa analognog filtra prevodi u funkciju prenosa digitalnog filtra.
s = f ( z) ≜
Obrnuta transformacija je data sa:
z=
Za s = jΩ imamo:
2 + sT
.
2 − sT
4 − ( ΩT ) + 4 jΩT
2 + jΩT ( 2 + jΩT )
=
=
2
2
2 − jΩT
4 + ( ΩT )
4 + ( ΩT )
2
z=
2
2
 4 − ( ΩT )2  + ( 4ΩT ) 2


=
2
4 + ( ΩT )
4 ΩT
e
jarctg
4 ΩT
4 − ( ΩT )
2
=
jΦ ( Ω )
2
4 − ( ΩT ) ≜
=e
e
što znači da se imaginarna osa iz s-ravni preslikava u jediničnu kružnicu u z-ravni.
Za s = σ + jΩ , σ < 0 , dobijamo:
jarctg
z=
2 + sT
2 − sT
=
s =σ + j Ω
2 + σ T + j ΩT
,
2 − σ T − jΩT
ili:
( 2 + σ T ) + ( ΩT )
.
2
2
( 2 − σ T ) + ( ΩT )
2
z =
2
2
Za σ < 0 nazivnik je uvijek veći od brojnika, ta je z < 1 .
Bilinearna transformacija zadovoljava ova dva uslova, što ne znači da će frekvencijske
karakteristike digitalnog i analognog filtra biti identične, samo će imati isti oblik. Npr, ako je
amplitudna karakteristika analognog filtra monotono opadajuća za 0 < Ω < ∞ , odgovarajući
digitalni filtar će imati monotono opadajuću magnitudu od 0 do π .
Razlike u frekvencijskim odzivima analognog i digitalnog filtra su posljedica nelinearne
relacije izmeñu ω i Ω .
Pronañimo sliku jedinične kružnice z = e jθ iz z-ravni u s-ravan:
s = σ + jΩ =
2 1 − e − jω 2 e jω 2 − e− jω 2 2 j sin ω 2
2 ω
=
=
= j  tg  .
− jω
jω 2
− jω 2
T 1+ e
Te
−e
T cos ω 2
T 2 
Dakle, jedinična kružnica se iz z-ravni preslikava imaginarnu osu u s-ravni jer je
2 ω
σ = 0 . Zakonitost preslikavanja je data sa Ω = tg i prikazana je na Slici 6.
T 2
Sa Slike 6 je očito da se period odmjeravanja T može koristiti za razvlačenje ili sabijanje
krive duž ΩT -ose. Naravno, za dati period T, zavisnost ω od Ω je fiksna.
Ako je poznata frekvencijska karakteristika analognog filtra, frekvencijsku karakteristiku
digitalnog filtra pomoću bilinearne transformacije dobijamo na sljedeći način:
ˆ ( jΩ )
H ( e jω ) = H
ˆ (Ω)
Φ (ω ) = Φ
2 ω
Ω= tg
T 2
2 ω
Ω= tg
T 2
Slika 6. Preslikavanje bilinearnom transformacijom ( θ = ω , ω = Ω )
Primjer:
Predpostavimo da je poznata magnitudna funkcija analognog filtra, data na slici. Pronaći
magnitudnu krivu odgovarajućeg digitalnog filtra koji se dobije bilinearnom transformacijom.
Slika 7. Postupak preslikavanja ampitudne karakteristike analognog filtra u amplitudnu
karakteristiku digitalnog filtra bilinearnom transformacijom ( θ = ω , ω = Ω )
Ako je pˆ lokacija pola analognog filtra, nakon bilinearne transformacije lokacija pola
dagitalnog filtra je:
p≜
ˆ
2 + pT
.
ˆ
2 − pT
Ako je funkcija prenosa analognog filtra Hˆ ( s ) data preko razvoja na parcijalne razlomke:
Hˆ (s ) =
N
ξ
∑ s − kpˆ
k =1
,
k
odgovarajući digitalni filtar će imati funkciju prenosa:
ξkT
(1 + z −1 )
2 − pˆ k T
H (z) = ∑
.
2 + pˆ k T −1
k =1
1−
z
2 − pˆ k T
N
FREKVENCIJSKE TRANSFORMACIJE
Procedure preslikavanja koje se koriste za projektovanje digitalnih filtara imaju dobre
osobine kad se primjenjuju na NP filtre. Ako je potrebno projektovati neki drugi digitalni filtar,
prvo se primijene postupci preslikavanja a zatim frekvencijske transformacije koje su u
digitalnom domenu date sa:
1. NP u NP
z −1 →
z −α
, α=
1 − α z −1
−1
sin
sin
ω p −ωc
2
ω p + ωc
,
2
gdje je ωc granična učestanost NP filtra, a ω p granična učestanost NP prototipa.
2. NP u PO
 2αβ  −1 β − 1
z −2 − 
z +
β + 1 
β +1

−1
z →
 β − 1  −2  2αβ  −1
 β +1 z −  β +1 z +1




α = cos ω0 =
cos
ωu + ωl
cos
ωu − ωl
2
, β = ctg
ωu − ωl
2
tg
ωp
2
,
2
gdje su:
ω p -granična učestanost NF prototipa
ωc -centralna učestanost PO
ωu , ωl -gornja i donja granična učestanost PO
3. NP u NPO
 2α  −1 1 − β
z −2 − 
z +
1 + β 
1+ β

−1
z →
,
 1 − β  −2  2α  −1
1+ β  z − 1+ β  z +1




α = cos ω0 =
cos
ωu − ωl
cos
ωu + ωl
2
, β = tg
ωu − ωl
2
tg
ωp
2
,
2
gdje su ω0 , ωu , ωl kao kod transformacije NP u PO.
4. NP u VP
z −1 + α
’
1 + α z −1
ω p + ωc
cos
2
.
α =−
ω p − ωc
cos
2
z −1 → −
PROJEKTOVANJE SVEPROPUSNIKA OPSEGA
Neophodan uslov koji se postavlja za funkciju mreže H ( s ) da bi ona predstavljala
svepropusnik opsega je da za svaki pol pk = rk e jωk postoji odgovarajuća nula zk =  1  e jωk .
 rk 
Tipična sekcija prvog reda digitalnog filtra svepropusnika opsega ima oblik:
H1 ( z ) =
Da bi filtar bio stabilan mora biti a <1.
z −1 − a
, a∈R .
1 − az −1
Izračunavajući magnitudu
( )
H1 e
jω
2
e− jω − a
=
1 − ae − jω
2
( cos ω − a ) + sin 2 ω
2
2
(1 − a cos ω ) + ( a sin ω )
2
=
=
cos 2 ω − 2a cos ω + a 2 + sin 2 ω
1 − 2a cos ω + a 2 cos 2 ω + a 2 sin 2 ω
vidimo da se zaista radi o filtru svepropusniku opsega.
Tipična sekcija drugog reda je data funkcijom prenosa
2
1
cos ωk z −1 + 2 z −2
rk
rk
,
H2 ( z) =
−1
1 − 2rk cos ωk z + rk2 z −2
1−
ili, zapisano u drugom obliku:
H2 ( z ) =
sa polovima p1,2 = rk e ± jωk i nulama z1,2
 1 jωk −1   1 − jωk −1 
1 − e z  1 − e z 
 rk
  rk

jωk
−1
1 − rk e z  1 − rk e
1
= e ∓ jωk .
rk
− jωk
,

Za stabilnost je potrebno rk <1.
Amplitudna karakteristika je data sa:
H 2 ( e jω ) =
2
1 jωk
e
rk
− rk e jωk
2
e jω −
e jω
1 − jωk
e
rk
− rk e− jωk
2
e jω −
⋅
e jω
.
Prvi član amplitudne karakteristike je:
1
e − e jωk
rk
jω
e − rk e jωk
jω
2
2
1 2
− cos (ω − ωk )
rk2 rk
=
= rk−2 .
1
1 + 2 − 2rk cos (ω − ωk )
rk
1+
Na sličan način se lako pronañe da je i drugi član jednak rk−2 .
Prema tome je H 2 ( e jω ) = rk−4 , ∀ω , te se radi o propusniku opsega.
2
2

 

1
1
 cos ω − cos ωk  +  sin ω − sin ω 
rk
rk
 
 =
=
2
2
ω
ω
ω
ω
cos
−
r
cos
+
sin
−
r
sin
(
(
k
k)
k
k)
1.6 PROJEKTOVANJE FIR DIGITALNIH FILTARA
1.6.1 Osobine FIR filtara sa linearnom fazom
Funkcija prenosa FIR filtra ima oblik:
H (z ) =
N −1
∑ h(n )z − n ,
n =0
gdje je h ( n ) impulsni odziv konačnog trajanja od N odmjeraka.
Ako impulsni odziv FIR filtra zadovoljava uslov h ( n ) = h ( N − 1 − n ) za n = 0,1,..., N 2 za n
parno, a n = 0,1,..., ( N − 1) 2 za n neparno, može se pokazati da digitalni filtar ima linearnu faznu
karakteristiku. Zaista, ako je N neparno, vrijedi:
N −1
( )
H e jω = ∑ h ( n ) e − jnω =
=
( N − 3)
∑
2
n =0
=
( N − 3)
n=0
 h ( n ) e− jnω + h ( N − 1 − n ) e − j ( N −1− n )ω  + h  N − 1  e− j ( N −1) 2ω =


 2 
2
∑ h ( n ) e
− jnω
+e
− j ( N −1− n )ω
n =0
=e
=e
− j ( N −1) 2 ω
 N −1 
− j
ω
 2 
 + h  N − 1  e − j ( N −1) 2ω =

 2 
 N −1 
  N − 1  ( N −3) 2
 − j  n − N2−1 ω
j n−
ω  

2 



+
h
n
e
+
e

 =
(
)
h 
 ∑
n =0

 
  2 
( N − 3) 2

N − 1   
  N − 1 
+ ∑ 2h ( n ) cos  n −
ω 
h 

2  
n =0
  2 


Na sličan način, ako je N parno, frekvencijska karakteristika je data sa:
N −1
ω
2
 N 2 −1

N −1 
 ∑ 2h ( n ) cos  n −
ω  .
2   

 n=0
N −1
U oba slučaja, fazna karakteristika Φ ( ω ) =
ω je linearna za −π < ω ≤ π , a grupno
2
d Φ (ω ) N − 1
kašnjenje τ (θ ) ≜
je konstantno za −π < ω ≤ π .
=
dω
2
H ( e jω ) = e
−j
Nule prenosnih funkcija FIR filtara sa linearnom fazom su simetrično rasporeñene. Iz
h ( n ) = h ( N − 1 − n ) imamo:
N −1
N −1
n =0
n =0
H ( z ) = ∑ h ( n ) z − n = z −( N −1) ∑ h ( n ) z N − n −1
Stavljajući m ≜ N − n − 1 , slijedi:
N −1
N −1
m= 0
m =0
H ( z ) = z −( N −1) ∑ h ( N − m − 1) z m = z −( N −1) ∑ h ( m ) ( z −1 )
−m
= z − ( N −1) H ( z −1 )
što znači da su nule od H ( z ) istovremeno nule od H ( z −1 ) , izuzev nule u ishodištu. Na osnovu
izloženog zaključujemo da nule digitalnog FIR filtra sa linearnom fazom imaju sljedeće osobine:
a) ako je zi = a realna nula od H ( z ) , tada je zi−1 = a −1 takoñe nula od
H (z )
b) ako je zi = e jωi nula od H ( z ) , uz ωi ≠ 0 i ωi ≠ π , tada je
zi = zi−1e − jωi takoñe nula od H ( z )
c) ako je zi = e jωi nula od H ( z ) , gdje je ri ≠ 1 , tada su
1
1
zi = ri e − jωi , zi−1 = e− jωi , zi−1 = e jωi takoñe nule od H ( z ) .
ri
ri
Slika 8. Raspored nula i polova ( θ = ω )
Prema tome, funkcija prenosa FIR filtra sa linearnom fazom se može napisati kao
proizvod elementarnih faktora:
k
H ( z ) = ∏ Hi ( z ) ,
i =1
gdje svaki član H i ( z ) može imati jednu od sljedećih formi:
 1
1


H A ( z ) = (1 − az −1 ) 1 −  z −1   = 1 −  a +  z −1 + z −2
a
a


 
(
)(
)
H B ( z ) = 1 − e jωi z −1 1 − e − jωi z −1 = 1 − 2cos ωi ⋅ z −1 + z −2
 1
 1

H C ( z ) = 1 − ri e jωi z −1 1 − ri e− jωi z −1 1 − e jωi z −1 1 − e − jωi z −1  =
 ri
 ri

2
2


r +1
r +1
1
cos ωi ⋅ z −1 +  ri 2 + 2 + 4cos ωi  z −2 − 2 i
cos ωi ⋅ z −3 + z −4
=1− 2 i
ri
ri
ri


(
)(
)
.
METOD MNOŽENJA PROZORSKIM FUNKCIJAMA
Kako je frekvencijska karakteristika H ( e jω ) digitalnog filtra periodična funkcija po ω ,
ona se može razviti u Furijeov red:
H ( e jω ) =
∞
∑ h (n) e
− jω n
,
n =−∞
gdje je:
h (n) =
1
2π
π
ω
ω
∫π H ( e ) e dω .
j
j n
−
Koeficjenti ovog Furijeovog reda h ( n ) predstavljaju impulsni odziv digitalnog filtra.
Jedan od načina da se dobije FIR digitalni filtar je da aproksimiramo željenu
frekvencijsku karakteristiku H d ( e jω ) uzimajući samo konačan broj članova Furijeovog reda.
Ovakvo ograničenje će izazvati premašaje i talasanja u željenoj frekvencijskoj karakteristici. Ta
pojava je poznata kao Gibbs-ov fenomen. To znači da direktno “odsijecanje“ nije zadovoljavajući
metod za aproksimaciju frakvencijske karakteristike filtra.
Metod “prozora” koristi težinske nizove p ( n ) konačne dužine, nazvane “prozorima” za
modifikaciju Furijeovih koeficjenata da bi se dobio konačan impulsni odziv:
h ( n ) = hD ( n ) p ( n ) , p ( n ) = 0, n ≥ N i n < 0 ,
pa je i h ( n ) = 0 za n ≥ N i n < 0 .
Procedura se sastoji iz sljedećih koraka:
1) Zadati željenu frekvencijsku karakteristiku H d ( e jω ) , koja može biti rezultat metoda
odmjeravanja u frekvenciji.
2) Pronaći odgovarajući impulsni odziv hD ( n ) inverznom z-transformacijom iz funkcije
mreže H d ( z ) koja se dobije iz H d ( e jω ) smjenom e jθ = z .
3) Primijeniti odgovarajuću prozorsku funkciju p ( n ) tako da dobijemo konačan
impulsni odziv h ( n ) FIR filtra .
Množenju prozorskom funkcijom u vremenskom domenu odgovara konvolucija sa njegovom
frekvencijskom karakteristikom u frekvencijskom domenu. Stoga dolazi do odstupanja od željene
frekvencijske karakteristike filtra, Slika 9. Metod množenja prozorskim funkcijama koje su
različite od pravougaone prozorske funkcije koja odgovara jednostavnom odsijecanju impulsnog
odziva ima efekat “glačanja”. Loša osobina ovog metoda je proširenje prelaznog opsega.
Slika 9. Uticaj prozorskih funkcija na amplitudnu karakteristiku filtra ( θ = ω )
(a) Amplitudna karakteristika FIR filtra kod koga je izvršeno jednostavno
odsijecanje impulsnog odziva (pravougaona prozorska funkcija)
(b) Amplitudna karakteristika FIR filtra čiji je impulsni odziv dobijen
množenjem sa nekom od složenijih prozorskih funkcija
Najčešće korištene prozorske funkcije su:
1) Pravougaoni prozor
1, 0 ≤ n ≤ N − 1
p ( n) = 
inače
0,
2) Trougaoni ili BARTLETT-ov prozor
N −1
 2n
 N −1, 0 ≤ n ≤ 2

2n
N −2

p ( n ) = 2 −
,
≤ n ≤ N −1
N −1
2

inače
0,


3) HANN-ov prozor
1 
2π n 
 1 − cos
p ( n ) =  2 
N − 1  ,
0, inače

0 ≤ n ≤ N −1
4) HAMMING-ov prozor
2π n

,
0.54 − 0.46
p (n) = 
N −1
0, inače
0 ≤ n ≤ N −1
5) BLACKMAN-ov prozor
2π n
4π n

+ 0.08cos
, 0 ≤ n ≤ N −1
0.42 − 0.5cos
p (n) = 
N −1
N −1
0, inače
6) KAISER-ov prozor
2
2
 
 I 0  pa  N − 1  −  n − N − 1  
 
2  
 2  
,
 
p (n) = 
 N − 1

I 0 ωa
2 


0, inače

0 ≤ n ≤ N −1
gdje je I 0 ( ⋅) modifikovana Beselova funkcija prve vrste i pa je parametar za uobličavanje.
METOD ODMJERAVANJA U FREKVENCIJI
DFT impulsnog odziva
H (k ) =
N −1
∑ h ( n )W
nk
N
n =0
predstavlja, zapravo, uniformno odmjerenu frekvencijsku karakteristiku digitalnog filtra.
Impulsni odziv i funkcija prenosa, izraženi preko H ( k ) imaju oblik:
N −1
h ( n) =
1
N
H (z) =
1 − z−N
N
∑ H ( k )W
− nk
N ,
k =0
N −1
H (k )
∑1−W
− k −1
N z
k =0
.
(*)
Projektovanje digitalnih FIR filtara se zasniva na ovoj jednačini.
( )
Pretpostavimo da je poznata željena frekvencijska karakteristika H e jω za −π < ω ≤ π .
H ( k ) se dobije uniformnim odmjeravanjem date frekvencijske karakteristike u N tačaka:
( )
H ( k ) = H e jω
ω=
a na osnovu (*) dobijamo funkciju prenosa H ( z ) .
Primjer:
2π
k
N
, k = 0,1,..., N -1
( )
Projektovati NF filter čija je željena amplitudna karakteristika H d e jω
prikazana na Slici
10. Pronaći odgovarajuću funkciju prenosa metodom odmjeravanja u frekvenciji u 16 tačaka.
Slika 10. Ilustracija metoda odmjeravanja u frekvenciji ( θ = ω )
H (z) =
1 − z −16
16
1 − z −16
=
16
=
−16
1− z
16
15
H (k )
k =0
jk
∑
1− e
π
8
z −1
=




1
1
1
+
+

=
j 0 −1
π
π
π
1 − e z
1 − cos z −1 1 − cos z −1 + j sin z −1 
8
8
8



π

 
2  1 − cos z −1  
 1
8
 

+ 
−1
π
1 − z
1 − 2cos z −1 + z −2 


8


Glava 2
REALIZACIJA DIGITALNIH FILTARA
Digitalni filtar je digitalni procesor signala koji konvertuje niz brojeva nazvan ulazom u
drugi niz brojeva koji nazivamo izlazom. Digitalne filtre je moguće realizovati softverski i
hardverski. Implementacija uključuje sljedeća dva koraka:
• iskazivanje relacije ulaz-izlaz u obliku algoritma,
• realizacija algoritma softverski ili digitalnim hardverom.
Kao ilustraciju, pretpostavimo digitalni filtar sa funkcijom prenosa:
∆
H (z ) =
Y ( z ) 1 + az −1
.
=
X ( z ) 1 + bz −1
Da bi realizovali prenosnu funkciju, prevedemo je u jednačinu diferencija
y (n ) + by (n − 1) = x(n ) + ax(n − 1)
ili
y (n ) = x(n ) + ax(n − 1) − by(n − 1).
Izlaz y(n) je težinska suma prethodnih izlaza i trenutnog i prethodnih ulaza.
2.1.1 REALIZACIJA IIR DIGITALNIH FILTARA
Funkcija prenosa IIR digitalnog filtra ima formu
M
H ( z) =
∑a z
−i
i
1= 0
N
1 + ∑ bi z − i
=
A( z )
B( z )
i =1
Postoje dva načina realizacije: direktni, kad se funkcija prenosa realizuje u
jednom dijelu i indirektni, kad se vrši dekompozicija prenosne funkcije u sekcije prvog i
drugog reda, koji se zatim povezuje na odreñeni način. Za prenosne funkcije nižeg reda
direktna realizacija ima prednost.
DIREKTNA REALIZACIJA
Zasniva se na realizaciji jednačine diferencija
M
N
i =0
i =1
y (n ) = ∑ ai x(n − i ) + ∑ (−bi ) y (n − i )
I direktna forma
a) sa sabiračima sa dva ulaza
b) sa sabiračima sa više ulaza
Neka je W(z) definisana sa
W (z)
1
=ˆ
X ( z ) B( z )
(*)
Tada je
Y ( z ) Y ( z ) X ( z ) A( z )
=
=
B( z ) = A( z )
W ( z ) X ( z )W ( z ) B( z )
(**)
Na osnovu toga, prenosnu funkciju možemo realizovati realizujući dvije jednostavnije
prenosne funkcije (*) i (**) .
II direktna forma
Primijetimo da ova metoda zahtijeva samo N elemenata za kašnjenje, što je,
istovremeno najmanji potreban broj za realizaciju digitalnog filtra N-tog reda. Broj
množača je, takoñe, minimalan, i iznosi N+M+1.
Primjer:
Realizovati prenosnu funkciju
H ( z) =
Rješenje:
1 + 0.2 z −1 − 0.2 z −2
1 − 0.2 z −1 + 0.3 z −2 + z −3
M=2, N=3, a0 = 1, a1 = 0.2, a 2 = −0.2, b0 = 1, b1 = −0.2, b2 = 0.3, b3 = 1
I direktna forma
II direktna forma
LJESTVIČASTA REALIZACIJA
Predpostavimo da je funkcija prenosa data sa
H ( z) =
a0 + a1 z −1 + ... + a M z − M
,
b0 + b1 z −1 + ... + bN z − N
N - M ≤1
H(z) se može predstaviti u mnogo različitih ekvivalentnih oblika koristeći kontinuirani razvoj
na parcijalne razlomke, što vodi ljestvičastim konfiguracijama.
1. SLUČAJ
Razvojem oko z −1 = ∞ ili z=0 imamo
a)
H 1 ( z ) = A0 +
1
B1 z −1 +
1
A1 +
1
...........
+
1
BN z −1 +
1
AN
b)
H ( z ) = B0 z −1 +
1
A0 +
1
B1 z −1 +
1
A1 +
1
.........
1
B N z −1 +
1
AN
Realizacija se može svesti na realizaciju prenosnih funkcija
H B1 ( z ) =
1
1
, i H B 2 ( z ) = −1
,
A + T (z)
Bz + T ( z )
dati na sljedećim slikama
Posmatrajmo prvo jednačinu (*)
1
1
TAO
TB11( z ) =
= H1( z ) = A0 + TB11
1
B1z −1 +
1
A1 +
1
.......
+
Da bi realizovali TB11( z ) napišemo
TB11( z ) =
1
B1z
−1
+ TA11 ( z )
gdje je
TA11( z ) = A1 +
1
B2 z −1 +
1
.....
+
1
formu ima istu formu kao TAO
(z)
1
AN
1
AN
Na sličan način se realizuje funkcija prenosa H 2 ( z )
2
T AO
=
TB21 ( z ) =
1
A0 + TB21 ( z )
1
B1 z −1 +
1
A1 +
1
......
+
1
AN
U ovim strukturama postoje petlje bez elemenata za kašnjenje, što nije dozvoljeno u
digitalnim filtrima, jer se radi o nedefinisanom stanju.
Npr.
za x1 treba x4
za x4 treba x3
za x3 treba x2
za x2 treba x1
Kasnije ćemo vidjeti kako da eliminišemo ove petlje.
Primjer:
3
− 1 + z −1 +   z −2
 16 
Realizovati prenosnu funkciju H ( z ) =
ljestvičastom strukturom.
1
  −1  1  −2
1−  z −  z
 4
8
−
3
2
1
1
 3 −2
z + z −1 − 1
− z −2 − z −1 + 1
8
4
 16
1
3 −2 3 −1 3
z + z −
− z −1
16
8
2
5
5 −1 1  1 −2 1 −1
z +
 − z − z +1
4
8
2  8
25
1
1
− z −2 − z −1 −
6
8
10
5
1
−1
3

− z −1 + 1  z +
2
20
 8
5 −1 25 - 9 z −1
z −
280
8
6
3
14 
- z −1 + 1

20
3 
3
- z −1
20
1 )
14
3
14
3
14
3
0
3
H ( z) = − +
2
1
1
− z −1 +
5
1
25
1
− +
6 − 9 z −1 + 1
14
280
3
2. SLUČAJ
Predpostavimo da H(z) razvijamo oko z-1 =0 ili z=∞. Podrazumjevamo da je u izrazu za
H(z) ao ≠ 0 i b0 ≠ 0 .
H 3 ( z ) = A0 +
1
B1 z +
(*)
1
H 4 (z) =
1
A1 +
1
A0 +
....
+
B1 z +
1
BN z +
1
AN
1
1
.
i H B4 (z) =
Bz + T ( z )
A + T ( z)
Da bi realizovali prenosnu funkciju (*) napišemo H 3 ( z ) u obliku:
H 2 ( z ) = A0 + TB31 ( z ) = A0 +
1
,
B1 z + TA31 ( z )
gdje je
TB31 ( z ) =
1
,
B1 z + TA31 ( z )
(2)
1
1
A+
.....
+
Za implementaciju nam trebaju blokovi koji realizuju dvije funkcije
H B3 ( z) =
(1)
(**)
1
1
BN z +
1
AN
i
TA31 ( z ) =
1
A1 +
1
B2 z +
1
.....
1
+
AN
Primjenjujući blokove sa slike a), jednačine (1) i (2) se realizuju kao na slikama c) i d).
Primjetimo da − T A31 ( z ) sa slike možemo napisati kao
− TA31 ( z ) =
1
, gdje je TB 2 ( z ) =
− A1 − TB 2 ( z )
1
B2 z +
1
A2 +
1
......
1
BN z +
1
AN
Koristeći blokove sa slike b), slika e) ilustruje ovaj korak. Ponavljajući ovaj proces,
kompletna realizacija H 3 ( z ) prikazana je na slici f). Na sličan način realizujemo H 4 ( z ) .
− TB41 ( z ) =
1
,
− B1 z − T A4! ( z )
4
TA1
( z) =
1
A1 +
1
B2 z +
1
......
+
1
AN
Primjer:
Realizovati prenosnu funkciju H ( z ) =
z −1
ljestvičastom strukturom.
1
1
1 −   z −1 −   z − 2
 4
8
2
Rješenje: Množenjem i brojnika i nazivnika sa z dobijamo
z
, a razvojem na parcijalne razlomke oko z = ∞ z -1 = 0
H ( z) =
1
1


z 2 −  z −
 4 8
1
H ( z) =
1
z+
1
−4+
1
1
 z +
4
 2
(
)
Eliminacija petlji bez kašnjenja
Ljestvičaste strukture u sebi sadrže petlje bez kašnjenja i ne mogu se implementirati bez
modifikacija.
Posmatrajmo prvo slučaj petlje izmeñu dva čvora.
x1 (n) = a 2 x 2 (n) + y1 (n)
x 2 (n) = a1 x1 (n) + y 2 (n)
p1 (n) = x1 (n)
p 2 ( n) = x 2 ( n)
a2
1
y1 (n) +
y 2 ( n)
1 − a1 a 2
1 − a1 a 2
a1
1
x 2 ( n) =
y1 (n) +
y 2 ( n)
1 − a1 a 2
1 − a1 a 2
x1 (n) =
b)
Uz pretpostavku da je a1 , a 2 ≠ 1 imamo:
p1 (n) =
a2
1
y1 (n) +
y 2 ( n)
1 − a1 a 2
1 − a1 a 2
p 2 ( n) =
a1
1
y1 (n) +
y 2 ( n)
1 − a1 a 2
1 − a1 a 2
Rezultujuće kolo je prikazano na slici b). Ako petlja sadrži više od dva čvora, postupak se
sastoji u svoñenju petlji sa k čvorova na petlju od k-1 čvorova, sve dok se ne dobije petlja od dva
čvora.
Posmatrajmo kolo na slici a)
x1 (n) = a 4 x 4 (n) + y1 (n)
xi (n) = a i −1 xi −1 (n) + yi (n) , i = 2,3,4
p k (n) = x k (n) , k = 1,2,3,4
Zamjenom prve jednačine u drugu imamo
x 2 (n) = a1 a 4 x 4 (n) + a1 y1 (n) + y 2 (n)
x 3 ( n) = a 2 x 2 ( n) + y 3 ( n )
x 3 ( n) = a 3 x 3 ( n) + y 4 ( n)
p1 (n) = a 4 x 4 (n) + y1 (n)
p k (n) = x k (n) , k = 2,3,4
Kolo je prikazano na slici b). Petlja uključuje sada 3 čvora.
Nastavljajući proceduru imamo:
x3 (n) = a1 a 2 a 4 x 4 (n) + a1 a 2 y1 (n) + y 3 (n)
x 4 ( n ) = a 3 x 3 ( n) + y 4 ( n)
p1 (n) = a 4 x 4 (n) + y1 (n)
p 2 (n) = a1 a 4 x 4 (n) + a1 y1 (n) + y 2 (n)
p 3 ( n) = x 3 ( n)
p 4 ( n) = x 4 ( n)
Kolo sa petljama sa dva čvora prikazano je na slici c)
Primjer:
Za kolo na slici pronaći ekvibalentno kolo bez zatvorenih petlji bez kašnjenja.
1
1
x 3 ( n) + x ( n)
4
2
1
x 2 (n) = x1 (n)
2
1
x3 (n) = x 2 (n) + x(n − 1)
2
1
1
y (n) = x 2 (n) + x3 (n − 1)
2
2
x1 (n) =
Nakon zamjene prve jednačine u preostale imamo:
1
1
x 3 ( n) + x ( n)
8
4
1
x3 (n) = x 2 (n) + x(n − 1)
2
1
1
y (n) = x 2 (n) + x3 (n − 1)
2
2
x 2 (n) =
Konačno rješavajući po x 2 i x3 :
4
2
x(n) + x(n − 1)
15
15
2
16
x 3 ( n) = x ( n) + x ( n)
15
15
x 2 (n) =
x1 =
a2
1
y1 +
y2
1 − a1 a 2
1 − a1 a 2
, a1 =
1
2
x2 =
a1
1
y1 +
y2
1 − a1a 2
1 − a1 a 2
, a2 =
1
8
1
4
2
x ( n) +
x(n − 1) = x(n) + x(n − 1)
1 4
1
15
15
1−
1−
16
16
1
2
16
1
1
x3 = 2
x ( n) +
x(n − 1) = x(n) + x(n − 1)
1 4
1
15
15
1−
1−
16
16
x2 =
1
1
8
INDIREKTNA REALIZACIJA
Posmatrajmo, prvo, realizaciju sekcija prvog i drugog reda. Sekcija digitalnog filtra prvog
reda opisana je sa
ao + a1 z −1
H1 ( z ) =
.
1 + b1 z −1
Ova se može realizovati I ili II direktnom formom, ili ljestvičastim strukturama, kao što je
prikazano na slici. Primijetimo da su za realizaciju sekcije prvog reda uvijek potrebna 3 množača.
H ( z) =
a1
+
b1
1
2
1
b
1
z −1 +
a
b
a 0 b1 − a1
0 1 − a1
b1
-ljestvičaste forme
Sekcija digitalnog filtra drugog reda data je sa
H ( z) =
1
1
+
a0
1
a
2
0
b1 a 0 − a1
z+
1
b1 a 0 − a1
a 0 a1
H 2 ( z) =
a 0 + a1 z −1 + a 2 z −2
1 + b1 z −1 + b2 z − 2
Realizacije I i II direktnom formom prikazane su na slici:
Posmatrajmo sad
M
H ( z) =
∑a z
−i
i
i =0
N
1 + ∑ bi z −i
i =1
i predpostavimo M ≤ N .
Ako je M>N, tada H(z) možemo predstaviti sa
H ( z ) = H FIR ( z ) + H IIR ( z )
gdje je H FIR ( z ) = c 0 + c1 z −1 + ... + c M − N z − (M − N )
N −1
i H IIR ( z ) =
∑d z
−i
i
i =0
N
1 + ∑ bi z
.
−i
i =1
Zadržaćemo se prvo na realizaciji prenosne funkcije IIR filtra.
KASKADNA REALIZACIJA
Datu prenosnu funkciju uz M ≤ N možemo napisati kao
H ( z ) = H 1 ( z ) H 2 ( z ) ⋅ ... ⋅ H k ( z )
gdje su H i ( z ) , i = 1,2,..., k , prenosne funkcije prvog i drugog reda.
Primjer:
Realizovati prenosnu funkciju
H ( z) =
1 + z −1 + z −2
  1  −1  1  −2    1  −1    1  −1  1  − 2 
1 −  4  z −  8  z  ⋅ 1 −  3  z  ⋅ 1 +  2  z +  2  z 
         
  
  
Rješenje:
1
1 + z −1 + z −2
1
, H 2 ( z) =
, H 3 (z) =
1 −1 1 − 2
1 −1
1 −1 1 − 2
1− z
1− z − z
1+ z + z
4
8
3
2
2
II direktnom realizacijom, H 2 ( z ) , H 3 ( z ) I direktnom realizacijom.
Neka su H 1 ( z ) =
H1 ( z)
PARALELNA REALIZACIJA
Razvojem funkcije mreže na parcijalne razlomke dobijemo
N2
Ai
Bi − C i z −1
+
, A i , Bi , C i , ci ∈ R, d i ∈ C
∑
−1
−1
1 − d i* z −1
i =1 1 − c i z
i = N1 +1 1 − d i z
N1
H ( z) = ∑
(
)(
)
Funkcije H 1 ( z ),..., H N1 ( z ) su prenosne funkcije prvog, a H N1 +1 ( z ),..., H N 2 ( z ) drugog reda.
Prema tome, bilo koju prenosnu funkciju možemo realizovati paralelnim vezivanjem sekcija
prvog i drugog reda (slika (*) ).
Primjer:
 3
2
3 +   z −1 +   z −2
 5
3
Realizovati prenosnu funkciju H ( z ) =
, paralelnom
 1 −1   1 −1 1 −2 
1 − 3 z  ⋅ 1 + 2 z + 2 z 
metodom.
Rješenje:
Razvojem na parcijalne razlomke imamo:
2
1 + z −1
H ( z) =
+
1
1
1
1 − z −1 1 + z −1 + z −2
3
2
2
2
, I direktna forma
H1 ( z ) =
1
1 − z −1
3
H 2 ( z) =
1 + z −1
, II direktna forma
1 −1 1 −2
1+ z + z
2
2
2.1.2 REALIZACIJA FIR DIGITALNIH FILTARA
Funkcija prenosa FIR digitalnog filtra je
H ( z) =
N −1
∑ h( n) z − n .
n =0
Realizacija je mnogo jednostavnija nego realizacija IIR digitalnih filtara, i svodi se na
realizaciju linearne konvolucije y (n) =
N −1
∑ h( k ) x ( n − k ) .
k =0
Direktna realizacija je prikazana na sljedećoj slici
Ako funkciju mrežu izrazimo kao proizvod polinoma prvog i drugog reda
H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) ⋅ ⋅ ⋅ H k ( z ) ,
gdje je H i ( z ) = α i + β i z −1 + γ i z −2 .
FIR digitalni filtar se može realizovati u kaskadnoj formi
U posebnim slučajevima kada FIR filtar ima linearnu fazu, h( n) = h( N − 1 − n) broj
množača se može smanjiti dva puta.
REALIZACIJA FIR FILTARA METODAMA ODABIRANJA U FREKVENCIJI
Ako se funkcija prenosa digitalnog FIR filtra formira metodama odabiranja u frekvenciji
N −1
H ( z ) = (1 − z − N ) ∑
H (k ) N
− k −1
k = 0 1 − WN z
realizacija sa kompleksnim množačima je prikazana na sljedećoj slici:
Download

null