Skupovi
Nikola Ajzenhamer
06.09.2014.
Sadrˇ
zaj
1 Osnovno o skupovima. Skupovi N i N0
2
2 Podskup. Jednakost skupova
2
3 Prazan skup
3
4 Venov dijagram
3
5 Operacije sa skupovima
5.1 Presek skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Unija skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Razlika skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
8
1
1
Osnovno o skupovima. Skupovi N i N0
Izdvajanjem i grupisanjem nekih objekata formiramo skup. Objekti od kojih
je skup formiran su njegovi elementi.
Skupove obiˇcno oznaˇcavamo velikim latiniˇcnim slovima: A, B, C, ..., S, ...
Skup zapisujemo stavljanjem njegovih elemenata u veliku (vitiˇcastu) zagradu.
Pogledajmo to na slede´cim primerima:
• skup neparnih brojeva prve desetice oznaˇcavamo: A = {1, 3, 5, 7, 9},
• skup neparnih dvocifrenih brojeva oznaˇcavamo: B = {11, 13, 15, ..., 95, 97, 99}.
U drugom primeru smo koristili ,,...” (tri taˇcke) zato ˇsto bi nam oduzelo mnogo
vremena da ispisujemo sve neparne dvocifrene brojeve. Oznaka ,,...” se koristi
radi brˇzeg zapisa, i koristi se samo u sluˇcaju kada je potpuno oˇcigledno koje
elemente ona zamenjuje.
Ipak, dosta puta je ovo nepraktiˇcno, pa se zbog toga, ukoliko moˇzemo da uoˇcimo
neko svojstvo α (alfa) koje vaˇzi za sve elemente skupa, ceo skup moˇze predstaviti
na slede´ci naˇcin:
S = {x|x ima svojstvo α}.
i ˇcita se ,,skup S je skup elemenata x takvih da x ima svojstvo α”. Zapiˇsimo
sada prethodne primere pomo´cu ove oznake:
• A = {x|x je jednocif ren neparan broj}
• B = {x|x je dvocif ren neparan broj}
Upoznali smo se ranije sa skupom prirodnih brojeva, {1, 2, 3, ..., n, ...} , koji se
oznaˇcava N .
Takođe smo se upoznali sa skupom N0 = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}.
Ukoliko postoji a i on je element skupa S, to ´cemo kra´ce zapisivati a ∈ S
(,,a pripada S”).
Ukoliko a nije element skupu S, to ´cemo zapisivati a ∈
/ S (,,a ne pripada S”).
Sada kada ovo znamo, lako je zakljuˇciti da 0 ∈ N0 , ali da 0 ∈
/ N.
2
Podskup. Jednakost skupova
Ako svaki element skupa P pripada skupu S, onda kaˇzemo da skup P je podskup skupa S i piˇsemo P ⊂ S.
Moˇzemo lako da uoˇcimo da se svaki element skupa N nalazi i u N0 , pa vaˇzi
da je N ⊂ N0 . Ipak, ne vaˇzi obrnuto. (Zaˇsto?)
Za skupove A i B kaˇzemo da su jednaki ako se sastoje od istih elemenata,
tj. ako svaki element koji pripada skupu A, pripada i skupu B i obratno, svaki
2
element skupa B je ujedno i element skupa A. Piˇsemo A = B.
Zapravo, A = B je isto ˇsto i re´ci A ⊂ B i B ⊂ A.
Ono ˇsto je zanimljivo uoˇciti jeste da je svaki skup podskup samog sebe, odnosno, za svaki skup A vaˇzi da A ⊂ A.
Zadatak: Dati su skupovi A i B. Odredi dali vaˇzi A ⊂ B, B ⊂ A ili A = B
• A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3, 1, 2, 3}
• A = {A, B, C, D} i B = {B, C}
• A = {M, A, T, E, M, A, T, I, K, A} i B = {A, E, I, M, T }
Prilikom nabrajanja elemenata skupa, izbegavamo ponavljanje i svaki element
nabrajamo samo jedanput, tako da je {a, a, a, a, a} = {a}.
3
Prazan skup
Prazan skup je skup koji ne sadrˇzi ni jedan element. Prazan skup oznaˇcavamo
∅. Prazan skup je podskup svakog skupa.
Primeri:
• skup ljudi na Jupiteru,
• skup prirodnih brojeva istovremeno ve´cih od 17 i manjih od 10.
Zadatak: Na´ci sve podskupove skupa A = {a, b}.
4
Venov dijagram
Osim standardnog zapisa skupa velikim zagradama, skup moˇzemo predstaviti i
grafiˇcki. Predstaviti skup grafiˇcki znaˇci obeleˇziti njegove elemente taˇckama, a
potom ih smestiti unutar neke zatvorene linije. Slika koja nastaje ovim putem
naziva se Venov dijagram.
Zadatak: Prikazati Venovim dijagramom skup S = {a, b, c}, a potom na
istoj slici predstaviti skup P = {a, b}. Potom se grafiˇcki uveriti da je P ⊂ S i
zakljuˇciti kada moˇzemo grafiˇcki zakljuˇciti da je P ⊂ S.
Zadatak: Na slici 1 su dati Venovi dijagrami skupova A, B i C:
• Uoˇci i navedi sve elemente skupa A,
• Da li je B ⊂ A?
• Da li je C ⊂ A?
3
Slika 1
4
Zadaci za veˇ
zbanje
1. Dat je skup A = {3, 6, 9, 12, 15, 18}. Dopuni slede´ce reˇcenice tako da budu
taˇcne:
a) Broj 9 je element skupa
.
b) Broj 6 pripada skupu
.
A.
c) Broj 1 nije element
d) Broj 12 je
skupa A.
sadrˇzi broj 15.
e) Skup
2. Dopuni ili ispravi slede´ce zapise tako da budu taˇcni, koriste´ci simbole ∈
i ∈:
/
a) 5
{13, 4, 5, 6};
, 12};
b) 7 ∈ {11, 4,
c) 4 ∈ {16, 7, 8, 14}.
3. Dopuni reˇcenice tako da budu taˇcne:
a) Elementi skupa {3, 30, 331} su brojevi:
b) Skupu {1, 2, 3, 4, 51} pripadaju brojevi:
c) Skup {12, 345, 6781} ima
elemenata.
4. Koliko elemenata ima skup:
a) jednocifrenih prirodnih brojeva;
b) dvocifrenih prirodnih brojeva?
5. Zapiˇsi navođenjem svih elemenata skup prirodnih brojeva koji pripadaju
tre´coj desetici.
6. Koje svojstvo imaju elementi skupa {71, 72, ..., 80}?
7. Na´ci sve podskupove skupa A:
a) A = {15};
b) B = {15, 16, 17}.
8. Dati su skupovi A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 4, 3, 2, 1}, C = {1, 3, 5}. Da li
je taˇcno:
a) A ⊂ B;
b) A ⊂ C;
c) B ⊂ C;
d) B ⊂ A;
e) C ⊂ A;
f) C ⊂ C.
9. Posmatraj sliku 2 i odgovori da li je taˇcan iskaz:
a) 3 ∈ A;
b) 4 ∈
/ A;
c) 5 ∈ A;
d) 2 ∈ A;
e) 5 ∈
/ A.
5
Slika 2
10. Dat je skup A = {a, j, m}. Napiˇsi bar 5 reˇci srpskog jezika koje se zapisuju
pomo´cu elemenata skupa A, pri ˇcemu je dozvoljeno da se elementi ponavljaju.
11. Popuni odgovaraju´cim simbolima {∈, ∈,
/ ⊂, =} slede´ce reˇcenice tako da se
dobiju taˇcne reˇcenice:
{11, 2, 3};
a) 3
b) {11, 3}
{11, 2, 3};
c) 0
{11, 2, 3};
d) {1, 2, 3}
{1, 2, 3}.
·
12. Ako je A ⊂ B i B ⊂ C, onda je A ⊂ C? Dokaˇzi ili opovrgni.
13. Da li je {M, A, M, A} ⊂ {A, M }?
14. Da li je {x|x ≤ 20 i x je kvadrat prirodnog broja} = {1, 4, 9, 16}?
15. Odredi elemente skupa {x|x ∈ N, 1 < x2 < 3}.
6
5
Operacije sa skupovima
Ukoliko imamo dva (ili viˇse) skupa, posebnim operacijama moˇzemo formirati
neke nove skupove.
5.1
Presek skupova
Presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B, skup je svih elemenata koji pripadaju
skupu A i skupu B. Na Venovom dijagramu na slici 3, elementi preseka nalaze
se u osenˇcenom delu.
A ∩ B = {x|x ∈ A i x ∈ B}
Ukoliko je presek dva skupa prazan skup, onda za ta dva skupa kaˇzemo da su
disjunktni.
Slika 3
Primer: Na´ci presek skupova A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} i B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}.
Traˇzimo zajedniˇcke elemente skupova A i B. Uoˇcavamo da su to brojevi 6, 12 i
18, pa je stoga A ∩ B = {6, 12, 18}.
Zadatak: Uveriti se da je A ∩ B = B ∩ A.
5.2
Unija skupova
Unija skupova A i B, u oznaci A ∪ B, skup je svih elemenata koji se nalaze
u skupu A ili u skupu B, odnosno, da bi se element naˇsao u uniji dva skupa,
dovoljno je da se nađe u barem jednom od skupova.
A ∪ B = {x|x ∈ A ili x ∈ B}
Napomena: Vaˇzno je napraviti razliku između ,,koji se nalaze u A ili u B” i
,,koji se nalaze ili u A ili u B”. U prvom sluˇcaju je reˇc o uniji, a u drugom je
o sasvim drugom (simetriˇcna razlika).
7
Slika 4
Primer: Na jednom igraliˇstu, samo fudbal igraju 4 dece, samo odbojku 3, dok 5
igraju i fudbal i odbojku. Koliko njih se bavi barem jednim od ovih sportova?
Ako je F skup onih koji igraju fudbal, a O skup onih koji igraju odbojku, onda
je F ∪ O skup onih koji igraju barem jedan sport. Broj elemenata takvog skupa
je 4 + 5 + 3 = 12.
Zadatak: Uveriti se da je A ∪ B = B ∪ A.
5.3
Razlika skupova
Razlika dva skupa A i B, u oznaci A\B, skup je svih elemenata koji pripadaju
skupu A, a ne pripadaju skupu B.
A\B = {x|x ∈ A i x ∈
/ B}.
Slika 5
Ipak, za razliku od preseka i unije, razlika skupova ne poseduje svojstvo komutativnosti, odnosno, A\B 6= B\A:
B\A = {x|x ∈
/ A i x ∈ B}.
Slika 6
Primer: Dati su skupovi A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {4, 5, 6, 7}. Odrediti A∩B, A∪
B, A\B, B\A.
8
Slika 7
Sa slike 7 lako uoˇcavamo da je A ∩ B = {4, 5}, A ∪ B = {1, 2, ..., 7}, A\B =
{1, 2, 3} i B\A = {6, 7}. Dakle, stvarno vaˇzi da je A\B 6= B\A, u opˇstem
sluˇcaju.
Primer: Posmatrati sliku 8 i odrediti A\B.
Slika 8
Lako se uoˇcava da je A\B = {e, f, g, h}. Vidimo da je B ⊂ A, pa je i A\B
dopuna skupa B do celog skupa A. Takvu dopunu definiˇcemo da slede´ci naˇcin:
Komplement skupa B u odnosu na skup A skupova A i B, gde je B ⊂ A,
u oznaci CA (B), skup je elemenata koji se nalaze u skupu A, a ne nalaze se u
skupu B.
CA (B) = A\B, ako je B ⊂ A.
Slika 9
9
Download

File - Nikola Ajzenhamer