Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,2014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,2014,59-74
İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ
Süleyman ŞENYURT *
Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi ,Matematik Bölümü, Ordu
ÖZET
Bu çalışmada,  eğrisi  eğrisinin bir involütü olarak alındığında  involüt
eğrisinin Frenet vektörleri, eğrilik ve torsiyonu  eğrisinin W Darboux ( Jean
Gaston Darboux,1842-1917) vektörü ile B binormal vektörü arasındaki  açısına
bağlı olarak verildi. Bu durumda involüt eğri boyunca oluşan B -scroll’un Gauss
eğriliği, ortalama eğriliği, I. ve II. temel formları yeniden hesaplanmıştır. Son
olarak da helis eğrisi boyunca oluşan involut B -scroll’ların mapple programı ile
çizimi verilmiştir.
Anahtar Sözcükler: B-scroll, involüt B-scroll
Mathematics Subject Classification: 53A04
ON INVOLUTE B-SCROLL A NEW VIEW
ABSTRACT
In this paper, when  is considered as the involute of the  curve, Frenet vectors,
curvature and torsion of  are given, respectively depending on the angle , 
which is between W Darboux vector and B binormal vector of  curve. In this
case, Gaussian and mean curvatures, I. and II. Fundamental forms of B -scroll
generated by involute curve have been calculated. Finally the involute B -scrolls
generated by helix curve have drawn application.
Keywords: B -scroll, involüt B -scroll
Mathematics Subject Classification: 53A04
*
Sorumlu Yazar: [email protected]
59
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış
1. GİRİŞ
 : I  E 3 ,   s   1  s  ,  2  s  ,  3  s   diferensiyellenebilir birim hızlı bir
eğri olsun. Bu eğrinin Frenet 3-ayaklısı
T  s      s 

   s 

1.1
N  s 
   s 

B s  T s  N s
   
  
şeklinde tanımlanır.  eğrinin eğriliği   s  , torsiyonu   s  ile gösterilirse
  s      s 

1.2
    ,  


s



2

    

olur. T , N ve B Frenet vektörleri ile bu vektörlerin türev vektörleri arasında
T   s     s  N  s  ,

 N   s     s  T  s     s  B  s  ,

 B  s     s  N  s 
1.3
bağıntı vardır ve bu bağıntıya Frenet formülleri adı verilir, 3 .
Tanım 1.1:   I  E 3 ve   I  E 3 eğrileri verilmiş olsun.  eğrisinin teğet
doğruları  eğrisinin teğet doğrularına dik oluyorsa  eğrisine  eğrisinin bir
involütü denir.  eğrisi  eğrisinin bir involütü ise
  s     s     s  T  s     IR.
Teorem 1.1:   I  E 3 eğrisi   I  E 3
1.4
eğrisinin bir involütü olsun. Bu
durumda  ( s ) ve  ( s ) noktaları arasındaki uzaklık
d   s  ,   s    c  s , c  sbt , s  I
1.5
dır, 3 .
60
S. Şenyurt
Teorem 1.2:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 eğrisinin bir involütü olsun.  ve 
eğrilerinin Frenet çatıları sırasıyla
T , N , B




ve T , N , B
 ile gösterilirse bu
çatılar arasında

 
T  N
 


T
B
N  
2
2
2
2







 


T
B
B 

 2  2
 2  2
1.6
bağıntısı vardır,  6 .
Teorem 1.3:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 eğrisinin bir involütü olsun. 

eğrisinin eğrilikleri  ve  ,  eğrisinin eğrilikleri   ve  ise bu eğrilikler
arasında
 
 2  2
,  cs
 




  

 
     

  2   2 
1.7
bağıntısı vardır,  6 .
Teorem 1.4:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 eğrisinin bir involütü olsun.  ve 





eğrisinin T , N , B ve T , N , B Frenet çatıları arasında
61
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış

   1
T   T   B



  
2 
  


 
2
2
 
   T    N 
  B
N


3
3


 2  2  2
 2  2  2




  1
 B   T   B

1.8
bağıntısı vardır,  4 .
Sonuç 1.1:

a)   0    0 olur. Bu durumda eğriler düzlemseldir.
b)   0 ve   sabit ise   
 
  2   2

c)  eğrisi helis ise  düzlemseldir.
3
Teorem1.5:  : I  E eğrisi boyunca oluşan B -scroll'un
karşılık gelen matris S ile gösterilirse bu matris
dir, 5 .
   u   u 2 2

3
  u 2 2  1 2
S


  u 2 2  1




u   1


0

şekil operatörüne
2 2
1.9
3
Tanım 1.2:  : I  E eğrisi boyunca oluşan B -scroll'un  Gauss eğriliği ve 
ortalama eğriliği sırasıyla
  det S  
  İzS 
2
u 
2 2
 1
2
  u   u 2 2
u 
2 2
 1
3
2
1.10
1.11
dır, 5, 6 .
62
S. Şenyurt
Tanım 1.3: E
gösterilirse
3
de bir yüzeyin 1. ve II. temel formları sırasıyla I ve II ile
I  s , s dsds  s , u dsdu  u , u dudu
II  S  d  , d ve d   s ds  u du
dır. Burada S yüzeyin şekil operatörüdür. Bu tanıma göre bir  : I  E eğrisi
boyunca oluşan B -scroll'un 1. ve II. temel formlara karşılık gelen matris sırasıyla
3
u 2 2  1 0
I 

1
 0
   u   u 2 2

u 2 2  1
II  


  2 2
u  1

1.12



u  1 

0



2 2
1.13
olur [6].
2. İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ
  I  E 3 eğrisi üzerinde T , N , B çatısı her s anında bir eksen etrafında ani
helis hareketi yaptığı kabul edilir ve bu eksene Darboux ekseni denir. Bu eksen
doğrultusundaki vektöre W ile gösterilirse
W  T   B
 2.1
şeklinde bulunur ve bu vektöre Darboux vektörü denir, 1 . W vektörü ile B
binormal vektörü arasındaki açı  ile gösterilirse şekil 1 den
63
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış
Şekil 1Darboux vektörü
sin  

W
,
cos  

W
 2.2 
Bu durumda 1.6  , 1.7  ve 1.8  ifadelerinin yeni durumları
T   N
 
 N   cos T  sin  B
 B  sin T  cos  B

  sec 
  

  sec 
  
 W

 
1
tan 
B
T   T 



sec 

     tan 
T
N
B
N 

W


W

  1
tan 
B
 B  T 



 2.3
 2.4 
 2.5
şeklinde bulunur.
3
Tanım 2.1:  : I  E birim hızlı eğrisinin Frenet çatısı T , N , B olsun. 
eğrisi boyunca B binormal vektörünün meydana getirdiği regle yüzeye B -scroll
(binormal scroll) denir. Burada  eğrisine B -scroll’un dayanak eğrisi, B binormal
vektörüne de doğrultmanı veya ana doğrusu denir. Bu durumda B -scroll
parametrik denklemi
  s, u     s   u  s  B  s 
 2.6 
şeklinde yazılır,  2 .
64
S. Şenyurt
Tanım 2.2:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 nın bir involütü ve  eğrisinin Frenet
çatısı
T , N , B 




olsun.  eğrisi boyunca B binormal vektörünün meydana

getirdiği regle yüzeye involüt B -scroll ,  eğrisine dayanak eğrisi, B binormal
vektörüne de doğrultman veya ana doğru denir. Bu durumda B -scroll parametrik
denklemi
   s, v     s   v  s  B   s 
 2.7 
şeklinde yazılır,  4 .
Teorem 2.1:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 eğrisinin bir involütü olsun. Involüt
B -scroll' un denklemi
   s, v     s      v sin   T  v cos  B
 2.8


İspat:   s, u     s   v  s  B  s  ifadesinde  ve B  ın yerine sırasıyla
1.4 ve  2.3
den karşılıkları yazılırsa ispat yapılmış olur.
Teorem 2.2:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 eğrisinin bir involütü olsun.  eğrisi
boyunca B -scroll'u ile  eğrisi boyunca involüt B -scroll'nun arakesit eğrisinin
denklemi
  s     s    cot  B  s  .
İspat:  2.8 bağıntısından   v sin   0 ve v cos   u
 2.9 
olmalıdır. Buradan
u   cot  olur. Bu değer  2.8 de yerine yazılırsa işlem tamamlanmış olur.
3
Teorem 2.3:  : I  E eğrisi boyunca B -scroll'un birim normal vektörü alanı
N ile gösterilirse
N  
u T  N
1   u 
2
.
İspat:  2.6  ifadesinin s ve u göre türevleri alınır ve bu türevler N 
 2.10
 s  u
 s  u
ifadesinde yerine yazılırsa ispat tamamlanır.
65
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış
Teorem 2.4:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 eğrisinin bir involütü olsun.  eğrisi
boyunca involüt B -scroll'un birim normal vektörü alanı N  ile gösterilirse
cos T 
N 
İspat:
N 
 2.7  ifadesinin
v  sec 
N  sin  B
 W
 v  sec  
1 

  W 
s ve v
 2.11
2
göre türevleri alınır
ve bu türevler
 s  v
de yerine yazılırsa
 s  v
N  
v T   N 
1   v  

Burada T  , N  ve  yerine sırasıyla
2
 2.3 ve  2.4  den karşılıkları yazılırsa ispat
tamamlanır.
Teorem 2.5:   I  E 3 eğrisi   I  E 3 eğrisinin bir involütü olsun.  eğrisi
boyunca B -scroll'un N birim normal vektörü alanı  eğrisi boyunca involüt
B -scroll'un N  birim normal vektörü alanına dik ise
v
 2.12
 W 2
sin  cos 2 
u.

İspat: N  N   N , N   0
 
cos T 
u T  N
1   u 
 u cos   v 
2
,
v  sec 
N  sin  B
 W
 v  sec  
1 

  W 
2
0
sec 
0
W
66
S. Şenyurt
 W sin  cos 2 
v
u

2
3
Teorem2.6:  : I  E eğrisi boyunca oluşan involüt
B -scroll'un
şekil
operatörüne karşılık gelen matris S ile gösterilirse bu matris
 sec 

 



S  






   sec      sec3 
 v
 
2
2 W
 W 
2
2
3
    sec  2  2
 v2 
  1
  W 



  sec 
W

2


2   sec 
v 
 1

W







2




sec


v2 
  1
 W 





0



 2.13
  sec 
W
İspat: Involüt eğri boyunca oluşan involüt B -scroll'un şekil operatörüne karşılık
gelen matris S ile gösterilirse
 S s  , s
S
 S   , 
  v s
olur.  2.8  ve  2.11 ifadelerinden







S s  , v 


 
S v  , v

 s
T   v  N 

2
 s
 v    1
v
 B ,
v
67
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış
 
S 
 
 



 
S 
 

 


 s
 s


2  2

2  
 
3  3

2 3


   v   v   T  v     v   v   N   v     B

2

 v 2 2  1

v
v
  T   v 2 N 

,
3

2 2

 v   1 2
    
 S  s  , s
    
  s  s





   s  v


S
,



   s  v


    
 S   s  , v
    
  s  v


2
   v     v 2    
v 
2 2

3
 1 2

v 2 2  1
0
bulunur. Burada  2.4 bağıntısı dikkate alınırsa ispat tamamlanmış olur.
Sonuç2.1:  : I  E 3 eğrisi boyunca oluşan involüt B -scroll'un Gauss eğriliği
 ve ortalama eğriliği  ile gösterilirse bu eğrilikler sırasıyla
  det S  
   sec  


 W 
2
    sec  2 
 v2 
  1
  W 



2
 2.14
68
S. Şenyurt
   sec      sec3 
sec 
v
 
2


W
2 W


2
  İzS 
2
    sec  

 v2 


1

   W 



2
3
2
 2.15
olur.
Teorem2.7:  : I  E 3 eğrisi boyunca oluşan involut B -scroll'un 1. ve II. temel
formları sırasıyla I ve II ile gösterilirse
2
2






sec

 v

  1
I     W 




0

0


1 
2
2
 sec 
   sec      sec3 

 v
 
2
 
2 W
 W 

2

   sec  

v
 1
W 


II 

  sec 

W



2
   sec  

v
 1


W



 2.16





2

   sec  
v
 1 
 W 




0




  sec 
W
 2.17
İspat: Involüt eğri boyunca oluşan involut B -scroll'un 1. ve II. temel formları
sırasıyla I ve II ile gösterilirse
I  s , s dsds  s , v dsdv  v , v dvdv,
I   v 2 2  1 dsds  0dsdv  1dvdv,
2
69
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış
II  S  s  ,  s  s dsds  2 S  s  , v  s dsdv  v , v v dvdv,
2
II 
2
   v   v 2  2
 v 
 2
dsds 
1
2 
 v 
 2
dsdv  0dvdv
1
olur. Bu ifadeler matris formunda yazılırsa
 v 2 2  12
I 

0
0

1 
    v   v 2  2

2

v    1

II  


 
2

v    1





 2
 v   1 

0




bulunur. Burada  2.4 bağıntısı dikkate alınırsa ispat tamamlanmış olur.


s
d
s bs 
2
2
 , d  a  b helis eğrisinin
d d 
Örnek 2.1:   s    a cos( ), a sin( ),
( Şekil 2) Frenet vektörleri, eğrilikleri, I. ve II.temel formları sırasıyla
s a
s b
 a
T  s     sin( ), cos( ),  ,
d d
d d
 d
s
s


N  s     cos( ),sin( ), 0 
d
d 

s
b
s a
b
B  s    sin( ),  cos( ),  ,
d
d
d d
d
a
b
 ( s)  2 2
,  ( s)  2
a b
a  b2
70
S. Şenyurt
  ub 2   a 2  b 2 2

2
I 
a 2  b2 



0

0


1 

  u 2 2

u 2 2  1

II  
b

 2 2
2
2 2
 u b   a  b 

b
u 2b 2   a 2  b
0

2 2



.



Şekil 2 helis eğrisi
71
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış
Şekil 3 helis eğrisinin involütü
  s  helis eğrisine ait involüt eğrisinin ( Şekil 3) denklemi, Frenet vektörleri,
eğrilikleri, I. ve II.temel formları sırasıyla
 
s 
s  
s 
s  b( s   ) 
  s    a  cos( )  sin( )  , a  sin( )  cos( )  ,
,
d d
d  
d d
d 
d 
 
  c  s, c  sabit
s
s


T   s   N    cos( ),sin( ), 0  ,
d
d


a
b
s
s


N   s    T  B   sin( ),  cos( ), 0 
d
d
d
d


b
a
B  s   T  B   0, 0,1 ,
d
d
2
a  b2 

,  ( s)  0
 s 
a
Helis eğrisi boyunca B - scroll'un denklemi (Şekil 4)
s ub
s
s ub
s bs  ua 

  s, u    a cos( )  sin( ), a sin( )  cos( ),

d
d
d
d
d
d
d 

72
S. Şenyurt
Şekil 4 B -scroll
Şekil 5 involüt
B - scroll
Involüt eğri boyunca B - scrollun denklemi (Şekil 5)
 
s 
s  
s 
s  b( s   ) 
   s, v    a  cos( )  sin( )  , a  sin( )  cos( )  ,
 v
d d
d  
d d
d 
d
 

Arakesit B- scrollun denklemi (şekil 6 ,Şekil 7)
 
s a
s  
s a
s  (b 2 s   a 2 ) 
  s    a  cos( ) 
sin( )  , a  sin( ) 
cos( )  ,

d
d
d  
d
d
d 
db
 

Şekil 6
B -scroll  İnvolüt B -scroll
Şekil 7 B -scroll ile involüt
B -scroll’un arakesit eğrisi
73
İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış
REFERENCES
1 Gray Alfred,
Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces
with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 201-202, 1997.
 2 Graves L.K., Codimension one isometric immersion between
lorentz space,
Trans. Amer. Soc. 252,367-392, 1979.
3 Hacısalihoğlu
H. Hilmi, Diferensiyel Geometri,Ankara Üniversitesi Fen
Fakültesi Yayınları, 3.Baskı,1998.
 4 Kılıçoğlu
Şeyda, On the Involute B-scrolls in the Euclidean 3-space
IE 3 ,XIII.International Conference Geometry, Integrability and Quantization, June
3-8 2011, Varna, Bulgaria.
5 Kılıçoğlu
Şeyda, n-boyutlu Lorentz uzayında B- scrollar, Doktora Tezi,
Ankara Üniversitesi Fen bilimleri Enstitüsü,2006.
6 Sabuncuoğlu Arif,
Diferensiyel Geometri , Nobel Yayınları, 2006.
74
Download