FRAKTAL YAPILI PENTOMINOLAR VE İŞ ZEKASI
Doç. DR. Kutlu MERİH
Kendini tekrarlayan basit birimler hayret verecek şekilde karmaşık (complex)
oluşumlar yaratabilmeltedir. Bu oluşuma “Fraktal Yapılanma” diyoruz. Bu
anlayış
oldukça
yeni
olup
dinamik
sistemlerin
yaratacağı
oluşumları
anlamamıza olanak sağlıyor. Bunların en basitinin üçgen, kare ve küp olacağı
açıktır.
Burada karelerden oluşan beşli
şekillerin
yatacağı
oluşumları
inceleyeceğiz
Polyominolar
Üçgen ve Kare birimler temel bir şekil inşa birimi oluştururlar. Karenin
üçgene gore daha geniş bir potansiyel sağladığı kolayca görülür. Düzlem bir
alanda kare birimlerden oluşan şekilleri birleştirerek yeni şekiller elde
ettiğimizi düşünelim. Bunun kendi içinde bir matematik yapısı ve disiplini
olacağı açıktır. Konu üzerinde yoğunlaşırken çıkabilecek sonuçlar oldukça
ilgimizi çekecektir. Bunun en populer örneği bilgisayarlara yüklenen TETRIS
oyunudur. Burada bunun daha gelişmiş bir versiyonu olan PENTOMINO
parçalarını birleştirmekten söz edeceğiz.
Burada temel inşa biriminin KARE olduğunu belirtmiştik. Şimdi karelerden
oluşan parçaların sayılarına ve adlarına bakalım.
NKare NParça
NBlok
1
1
1
MINO
2
1
2
DOMINO
3
2
6
TRIOMINO
4
5
20
TETRAMINO
5
12
60
PENTOMINO
6
35
210
HEGZAMINO
Daha fazlası için henüz gelişmiş bir model yok.
Benzer bir inceleme üçgen birimler için de yapılabilir ama kare parçalar inşa
birimi olarak daha büyük potansiyeller sunar. Parça bileşimlerine Solomon
GOLOMB
un
bu
konudalki
çalışmalarından
sonra Polyominoes
(Çokluminolar) adı verilmiş. Çeşitli parça setlerinin oluşturduğu şekiller bir
çok araştırmanın ve özellikle matematiğin konusu olmuş. Bu araştırmaların
çoğunluğu bu şekillerin birleşmesinden düzgün şekillerin elde edilip
edilemeyeceği üzerinedir.
Polyomino bilmecelerinin en açık inşa şekli bunların kare veya dikdörtgen
şekiller oluşturmasıdır. Eğer bütün set göz önüne alınırsa sadece dörtlü ve
beşli parçaların ilginç sonuçları olduğu görülür. Biraz dikkat ile dörtlü
parçaların bir 4x5 dikdörtgeni dolduramayacağı görülebilir. Bunun çözümü
Poliominoları anlamamıza ışık tutar.
Tetrominolar
Tetrominoların dörtlü kareden oluşan 5 adet parça olduğunu biliyoruz. Bir
kağıda 4x5 kareden oluşan bir dikdörtgen çizelim. Bu dikdörtgeni damalı
olarak düşünelim. 10 siyah 10 beyaz kareden oluşacaktır. Şimdi dörtlü
parçaları da damalayalım Göreceğiz ki bunların dört tanesi daima ikili siyah
beyaz olarak damalanabilir. T şeklindeki parça ise daima 3 beyaz veya üç
siyah olarak damalanacak. Böylece parçaların dama sayıları ile dikdöegenin
dama sayıları tutmayacak yani bunlarla bu dikdörtgeni inşa etmek olanaksız
olacaktır.
Pentominolar
Beş kareden oluşan pentominolarda durum değişiktir.
Tablodan gördüğümüz gibi beşli kareler 12 parçalık bir sert oluşturuyor.
Parçalardaki toplam kare sayısı da 60. Bu değer önemli çünkü çok sayıda
çarpanı var. Bu da bunlarla oluşturulacak şekillerin çok sayıda olabileceğini
gösteriyor.
3x20 2 çözüm
4x15 368 çözüm
5x12 1010 çözüm
6x10 2339 çözüm
Elde 2339 çözüm varken 12 parçayı 6x10 bir tabloya yerleştirmenin çok
kolay olacağı düşünülebilir. Böyle düşünenler sürpriz gelişmelere hazır
olmalıdır. Çünkü bu tür problemlerin çözümü ilK göründüğü kadar kolay
değildir.
Parça Yerleştirme Stratejileri
Bu tür problemlerin çözümünde ilk parçaları yerleştirmekte bir sorun
yaşanmaz. Sanki hepsi diğerinin mantıklı sonucu gibidir. Fakat sonraki
parçalar gidere sorun çıkarmaya başlar. Dikkatli seçilmemiş başlangıç
parçaları olanakları kısıtlamıştır. Ama bu geç fark edilir. Sonraki parçalar da
bir türlü yerleştirilir fakat sona kalan bir veya iki parça gerçek bir beladır.
Kendilerine yer bulamazlar. Bunları yerleştirmek için önceki parçaların düzeni
değiştirilir ve bu sefer başlangıçtaki uyum yok olur ve her şeyi yeniden
düşünmek gerekir. Daha önce çok uyumlu parçaları bozmak istenmez ve bu
da durumu daha da kötüleştirir. Kendine yer bulamayan parçaların sayısı
giderek çoğalır. Kişi her şeyi bozup yeniden başlamak ister. Ama bu da aynı
sorunun tekrar yaşanması anlamına gelir.
Akıllı strateji bazı kritik parçaları seçip bunların yerini değiştirmektir. Birkaç
denemeden sonra her şeyin düzene girdiği ve bütün par çaların yerine
oturduğu görülür. Durum yoğun bir trafikte arabayı akıllıca sürmekten pek
farklı değildir. Yine de bunun net bir strateji olduğu söylenemez. Burada
insan beyninin hayranlık verici soyutlama ve yeniden tasarlama yeteneklerine
güvenmek gerekir. Yine de bazı kurallara uyulması karşılaşılacak sorunları
hafifletecektir.
İlk olarak başlangıç parçalarını seçmekte dikkatli olmak gerekir. Onlar nasıl
olsa yerleşir. Sonra gelecek parçaların yerleşme sorunları da dikkate
alınmalıdır. Biraz dikkatle bazı parçaların yerleşim konusunda diğerlerinden
daha uyumlu oldukları görülecektir. Örneğin parça 1 hem köşelere hem de
diğer parçalara kolaylıkla uyum sağlar. Bu tür parçaları önce yerleştirme
dürtüsünden
kaçınmak
gerekir.
Bu
eldeki
gerekinceye kadar kullanmaktan kaçınmalıdır.
bir
kozdur
ve
gerçekten
Köşelere uymakta güçlük çıkartan parçalar en sorunlu olanlardır. Parça 8 en
kötü örnektir. Hiçbir yere uymaz. Yine de parça 7 ile iyi bir çift oluştururlar.
Bu ikisi bir köşeye yerleştirilir ve merkeze doğru çalışılırsa genellikle çözüm
daha kolay olur. Bir başka strateji işe biraz aritmetik katmaktır. 6x10 tablo 1
den 60 a numaralanır. Burada denemeyle edinilmiş bir kural en küçük
numaralı boşluğu en küçük numaralı parça ile doldurmaktır. Parçanın
simetrik yapısı onun kullanma alternatiflerini azaltır. Bunun başata az
simetyrik olanları kullanmak işi kolaylaştırır. Parça 1 simetrik değildir bu
nedenle dört farklı yatay ve dört farklı düşey pozisyonda yer alabilir.
Tablonun simetrisi nedeniyle başlangıç herhangi bir dörtte bir de yapılabilir.
Tablonun bütünün düşünmek gerekli olmayacaktır
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Bu yöntemle ilerlenirse nihayet bir son parça kalacaktır. Bu parça her şekilde
denenir. Uymuyor ise daha önceki parçanın konumu değiştirilir. Böylece
geriye doğru gidilir. Bu yöntem oyuncuya her mümkün altrnatifi deneme
olanağı sağlar. Ama yine de bunun çok uzun zaman alacağı ve insani
kapasiteleri aşacağı açıktır. Günümüzde bu işlemi bilgisayarlar büyük bir
hızla yapabilmektedir. Burada bir örneğini görmektesiniz. Prof. David ECK
tarafından Java dili ile geliştirilen bu program hızlı ve kapsamlı olmakla
birlikte kaba kuvvet yöntemi ile mümkün bütün pozisyonları denemeye
çalışıyor ve bazen gerçekçi olmayan adımlar da atıyor. Yine de bilgisayarın
işlem gücü bir çözüm var ise bunu veriyor.
İki-Oyunculu Pentomino Oyunu
Herhangi bir pentomino takımı ile iki oyunculu bir strateji oyunu oynanabilir.
8x8 bir tablo ve 12 pentomino parçası yetecektir. Oyuncular seçtikleri bir
pentomino parçasını sıra ile koyarlar ve son koyabilen kazanır. Bu oyun
oyunculara parçaların karakteristik özelliklerini kavrama konusunda da
yardımcı olur. Oyuncular X parçasının sonrası için ciddi sorunlar doğuracağını
hızla öğrenirler. Buna uyum sağlayan parçaların sayısı çok azdır. Buna karşılık
1 parçası her yere uyum sağlayabilir.
FRAKTAL OLARAK PENTOMINO
Bir iş Zekası (Business Intellıgence) yazılımı ile bir oyunun ne ilgisi var diye
düşünülebilir. Pentominoların ve diğer bazı matematik oyunların Kompleksite
anlayışı ile ilgisi bunların aynı zamanda FRAKTAL yapıda olmalarıdır. Diğer bir
deyişle ilgisiz polyomino parçaları birleştiğinde kendilerine benzeyen daha
büyük şekiller oluşturabilmektedirler. Bu şekiller orijinallerinin 2 veya 3 katı
olabilirler. Şimdi
açıklama
kolaylığı
için
pentominoların
harf
olarak
gösterilmesine geri dönelim.
İkiye katlanmak
Basit uygulamalardan başlamak daha kolay olur. Başlangıç olarak bazı
parçaları kullanarak ikiye katlamayı deneyebiliriz.. Örnek olarak I, P, V, ve Z
parçaları T parçasını ikiye katlar. V ve X dışındaki bütün parçaların ikiye
katlanmış şekilleri oluşturulabilir. Sadece 4 parça ile F, I, L, N, P, T, U, W, veya
Y pentomino ikiye katlanabilir. V ve X ikiye katlanamaz. Bu yine damalama
tekniği ile gösterilebilir.
Üçe katlanmak
Üçe katlamak için daha fazla parça gerekecektir. En tipik örnek X parçasını
oluşturan parçalardır. Bunlar orijinalin 3 katı bir şekil oluştururlar. Bu da oyun
gibi görünen bir yapının aslında fraktal hiyerarşileri anlamamız için bir
başlangıç noktası oluşturabileceğidir. Yeni şekilde orijinal x parçasının
bulunmadığına dikkat edilmelidir.
içinde X olamayan 15 farklı çözüm var.
http://recmath.org/PolyPages/PolyPages/Pictures1/NoX.gif
Sadece 9 pentomino parçası kullanılarak herhangi bir orijinal pentomino
parçası 3 kat genişlik ve yüksekliğe genişletilebilir. 12 parçanın hepsi ve bazı
fazlalar ile de bazı düzgün şekiller ve katlamalar oluşturulabilir. 12 parçanın
hepsini üçleyebilen 5 dokuzlu parça seti bulunmaktadır.
http://recmath.org/PolyPages/PolyPages/index.htm?pentopatts.htm
F
L
P
N
U
V
X
Y
Z
472
F
L
P
N
T
U
V
Y
Z
504
F
I
L
P
T
U
V
Y
Z
368
F
I
L
P
N
U
V
W
Y
434
F
I
L
P
N
T
U
V
Y
783
Dokuzlu parça takımlarını pentominoların bütün parçalarının üçe katlaması
olarak kullanabiliriz.
Aad van de Wetering
sitesinde parça tekrarlaması
gerekmeden bunun mümkün olduğunu göstermeyi başarmış. Aşağıda verilen
mümkün 69,153 çözümün sadece bir örneği. Daha fazla bilgi için;
http://recmath.org/PolyPages/PolyPages/index.htm?pentopatts.htm
Boşluklu Üçlemeler
Üçleme işlemleri benzer boşluklar taşıyarak da olabiliyor. Bazı örnekler
aşağıda. Bu doğanın fraktal inşasında boşluklu yapıların da ilginç gelişmelere
neden olabileceğinin bir kanıtı.
http://polyforms.eu/pentominoes/parpolsol.gif
http://www.polyforms.eu/pentominoes/parfixsol.gif
Bu kadar basit bir özellik bize doğanın kendini inşa tekniği konusunda da ışık
tutmaktadır. Doğada bir çok varlığın fraktal yapıda olması şaşırtıcı değildir.
Basit parçalar birleşerek daha büyük parçaları bunlar da birleşerek daha da
büyüklerini
yapılarının
oluşturmaktadır.
aslında
anlayabiliyoruz
basit
Böylece
yapıların
doğanın
fraktal
bizi
şaşırtan
hiyerarşisinden
kompleks
oluştuğunu
KAYNAK:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pentomino
Pentominoes: http://www.ma.utexas.edu/users/smmg/archive/1997/radin.h
tml
Polyhedral Dissections By Stewart T. Coffin
http://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld/default.htm
Download

fraktal yapılı pentomınolar ve iş zekası