Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
1 z 25
1. Mechanický pohyb hmotného bodu
Mechanika z gréckeho slova „mechané“ je časť fyziky zaoberajúca sa skúmaním mechanického
pohybového stavu hmotných telies a štúdiom silového pôsobenia na tieto telesá. Patrí historicky medzi
najstaršie poznatky fyziky. Zákonitosti mechaniky sú veľmi dobre teoreticky zvládnuté a prakticky sa
využívajú vo veľkej miere. V dôsledku historického vývoja má mechanika v systéme fyzikálnych
poznatkov významné postavenie tým, že sa v nej uvádza veľa pojmov (predovšetkým veličín), ktoré sú
z hľadiska fyzikálneho poznania východzie a základné. Delí sa na dve časti – kinematiku a dynamiku.
Kinematika z gréckeho slova „kiné“ (pohyb) sa zaoberá štúdiom pohybu telies bez ohľadu na ich
hmotnosť a sily ktoré pri pohybe pôsobili. V kinematike sa vyšetruje iba závislosť polohy telesa od
času, t. j. geometria jeho pohybu. Pritom sa zavádzajú kinematické veličiny rýchlosť, zrýchlenie,
uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie.
Dynamika z gréckeho slova „dynamis“ (sila) vyšetruje závislosti medzi mechanickým pohybom
telies a silami ktoré naň pôsobia a vyvolávajú zmeny ich pohybového stavu. Najvýznamnejšou
dynamickou charakteristikou telesa je jeho hmotnosť. Samostatným odborom dynamiky je statika,
ktorá sa zaoberá vyšetrovaním podmienok rovnováhy síl.
Až do 17. storočia bol všeobecne uznávaný Aristotelov systém fyzikálnych poznatkov. V 17.
storočí na základe prác Galilea Galileiho (1564 - 1642), René Descartesa (1596 - 1650) a Issaca
Newtona (1643 - 1727) sa začala rozvíjať mechanika označovaná ako mechanika klasická, platná pre
telesá v makrokozme, ktoré sa pohybujú rýchlosťami oveľa menšími ako rýchlosť svetla. Jej
dovŕšením je mechanika relativistická, vznikajúca začiatkom 20. storočia prácami Alberta Einsteina
(1879 - 1955). Až do začiatku nášho storočia panovala predstava, že poznatky klasickej fyziky sú
platné celkom všeobecne i v oblasti mikrosveta. Ale rozvoj poznatkov z oblasti atomistiky viedol v 20tich rokoch 20. storočia k vzniku kvantovej mechaniky, so zákonitosťami kvalitatívne odlišnými od
zákonov klasickej fyziky.
1. 1 Hmotný bod
Všetky telesá, ktoré fyzika skúma (pevné, kvapalné, plynové) sa nazývajú fyzikálne telesá. Každé
jednotlivé teleso zaberá určitú, konečnú časť priestoru, má hmotnosť a možno ho charakterizovať ešte
radom vlastností (objem, tvar, látka z ktorej sa skladá, tepelný stav a i.).
Z hľadiska štúdia mechanického pohybu telies je často užitočné abstrahovať od týchto konkrétnych
vlastností a nahradiť skutočné teleso jeho ideálnym modelom – hmotným bodom (niekedy tiež
časticou). Hmotný bod (častica) je ideálny bezrozmerný objekt (bez vnútornej štruktúry), ktorý má
rovnakú hmotnosť ako dané teleso. Pretože sa všetky makroskopické telesá skladajú z veľkého počtu
častíc (molekúl, atómov), ktorých rozmery sú veľmi malé oproti rozmerom týchto telies, možno každé
makroskopické teleso z mechanického hľadiska považovať za sústavu hmotných bodov. Reálne teleso
môžeme teda nahradiť hmotným bodom vtedy, keď rozmery telesa sú zanedbateľne malé voči
rozmerom opisovanej trajektórie a zaujíma nás iba posuvný, (translačný) pohyb (t. j. opis jediného
bodu telesa opisuje súčasne pohyb všetkých bodov telesa). Napr. pri pohybe Zeme okolo Slnka možno
považovať Zem za hmotný bod, lebo polomer Zeme (RZ = 6,37 . 106 m) je oproti vzdialenosti Zeme od
Slnka (d = 1,49 . 1011 m) zanedbateľný. Pri štúdiu otáčavého pohybu Zeme okolo jej osi, pravda,
neprichádza takáto abstrakcia do úvahy.
1. 2 Poloha hmotného bodu. Vzťažná sústava
Polohu a pohyb hmotného bodu (častice) možno určiť len vzhľadom na nejaké iné teleso. Toto
teleso sa nazýva vzťažné teleso (často ním býva napr. Zem). Ak sa nemení poloha nejakého telesa
voči vzťažnej sústave, je toto teleso vzhľadom na vzťažnú sústavu v kľude; ak sa jeho poloha mení,
teleso sa voči vzťažnej sústave pohybuje. Takto chápaný pohyb ako „premiestňovanie“ telesa
vzhľadom na vzťažnú sústavu sa označuje ako mechanický pohyb. Kľud i pohyb telesa
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
2 z 25
v mechanickom zmysle sú teda relatívne, lebo závisia od voľby vzťažnej sústavy. Určenie polohy
hmotného bodu a jeho pohybu je teda relatívne.
So vzťažným telesom sa spája pojem vzťažná sústava, t. j. sústava súradníc zvolená tak, že jej
začiatok, aj osi sú so vzťažnou sústavou pevne spojené. Všeobecne je sústava súradníc 3-rozmerná; vo
zvláštnych prípadoch sa redukuje na dvojrozmernú, prípadne i jednorozmernú.
Ďalej budeme používať pravouhlú (ortogonálnu) sústavu súradníc 0xyz. Jej základom sú tri
navzájom kolmé orientované priamky idúce počiatkom súradníc 0. Osi súradníc sa označujú x, y, z. Ak
volíme orientáciu priamok v súlade s obr. 1.1 dostávame pravotočivú sústavu súradníc. Poloha
ľubovoľného bodu A vzhľadom na takúto súradnicovú sústavu je určená vtedy, keď poznáme všetky
jeho tri súradnice x, y, z. Ak sú jednotkové dĺžky všetkých troch osí rovnaké, hovoríme
o karteziánskej (ortonormálnej) súradnicovej sústave. Karteziánska súradnicová sústava je
pravotočivá sústava, ak otočenie osi x do smeru osi y o uhol
π
pozorujeme ako opačné k otáčaniu
2
hodinových ručičiek z ľubovoľného bodu na kladnej poloosi z (z > 0).V opačnom prípade je to
ľavotočivá sústava.
Keďže polohu bodu v trojrozmernom priestore určujú tri súradnice, napr. x, y, z v karteziánskej sústave, r, φ, θ vo sférickej sústave – obr. 1.2, možno túto funkčnú závislosť napísať v podobe troch rovníc. Oveľa výhodnejšie je však použiť na určenie polohy hmotného bodu polohový vektor r. Polohový
Obr. 1.1
Obr. 1.2
vektor r (tiež rádiusvektor, sprievodič bodu) je definovaný ako orientovaná úsečka, ktorej
počiatočným bodom je vzťažný bod 0 a koncový bod je totožný s bodom, ktorého polohu určujeme.
Veľkosť polohového vektora (je to skalárna veličina) označujeme:
r = |r|
1(2.1)
Ďalej sa definuje jednotkový smerový vektor r0, čo je bezrozmerná veličina (jej rozmer je 1) s
jednotkovou veľkosťou a rovnakým smerom aký má daný polohový vektor. Platí:
1(2.2)
| r0 | = 1
r = r r0
r
r0 =
r
Ak zavedieme jednotkové vektory osí karteziánskych súradníc i, j, k, potom pre polohový vektor r
platí – obr. 1.3:
r = xi + yj + zk
1(2.3)
Výrazy xi, yj, zk určujú priemety vektora r do súradnicových osí a nazývajú sa zložkami vektora;
súradnice bodu A(x, y, z) sa nazývajú súradnicami polohového vektora.
Pre veľkosť polohového vektora r platí:
r=
x2  y2  z 2
1(2.4)
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
3 z 25
Ak vektor r zviera s kladnými smermi súradnicových osí uhly α, β, γ, tak:
x = r cos α
y = r cos β
z = r cos γ
1(2.5)
Tieto vzťahy umožňujú prejsť od vyjadrenia polohy hmotného bodu pomocou polohového vektora
r k vyjadreniu pomocou pravouhlých súradníc x, y, z. Platia tieto vzťahy:
Uhly α, β, γ nie sú od seba navzájom nezávislé, ale ako vyplýva zo vzťahu 1(2.4) a 1(2.5) spĺňajú
podmienku:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
1(2.7)
Polohu bodu A možno tiež určiť pomocou polohového vyjadreného vo sférických súradniciach
r, φ, θ a obr. 1.4 (priemet vektora r do roviny xy je ρ = r sin θ):
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
Obr. 1.3
z = r cos θ
1(2.8)
Obr. 1.4
Zo vzťahov 1(2.3), 1(2.5) a 1(2.8) bezprostredne vyplýva, že určenie polohy bodu pomocou
polohového vektora r alebo pomocou pravouhlých súradníc x, y, z, prípadne pomocou sférických
súradníc r, φ, θ, je celkom rovnocenné.
1. 3 Pohyb hmotného bodu
Už sme uviedli, že mechanický pohyb (tiež pohyb častice) chápeme ako „premiestňovanie“ telesa
vzhľadom na vzťažnú sústavu. Takýto pohyb, ako nakoniec každý hmotný proces, neprebieha len
v určitom priestore ale aj v určitom čase. Polohový vektor r pohybujúceho sa hmotného bodu je teda
funkciou času, čo možno vyjadriť vzťahom:
r = r(t)
1(3.1)
Tento vzťah, napísaný pre konkrétny prípad v explicitnom tvare, udáva polohu hmotného bodu pri jeho pohybe v ľubovoľnom časovom okamihu. Sled polôh, ktoré hmotný bod v priestore zaujíma
budeme nazývať trajektória a jej dĺžku medzi dvomi bodmi dráha. Závislosť dráhy od času bude
predstavovať rovnicu dráhy – obr. 1.5.
Vzťah 1(3.1) je vektorová rovnica dráhy pohybu. S touto rovnicou sú celkom rovnocenné tri
skalárne rovnice:
1(3.2)
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Samotný polohový vektor, ani jeho veľkosť nemá nič spoločné so skutočnou veľkosťou vykonanej
dráhy – obr. 1.6, pretože jeho začiatok môže byť zvolený ľubovoľne. Rozdiel polohových vektorov
dvoch dostatočne blízkych časoch Δ t = t2 – t1 udáva však nielen smer, ale približne aj veľkosť
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
4 z 25
vykonanej dráhy, a to tým lepšie, čím je tento interval menší. V limite je táto zhoda úplná, pretože
platí:
lim
 r 0
s ds

 1;
r dr
ds=dr
1(3.3)
kde d s je element dráhy.
Obr. 1.5
Obr. 1.6
1. 4 Rýchlosť pohybu
V praxi nás často zaujíma nielen to, po akej dráhe sa pohyb vykonáva, ale aj to ako „rýchlo“ sa
hmotný bod pohybuje. Pojem rýchlosť je príkladom pojmu získaného skúsenosťou. Označuje dráhu
vykonanú za jednotku času. Podiel:
s
 vs
t
1(4.1)
potom udáva strednú rýchlosť pohybujúceho sa hmotného bodu na dráhe z miesta A do miesta B. Je to
veličina, ktorá sa číselne rovná dráhe pripadajúcej na jednotku času. Ak uvážime – obr. 1.6, že
r2 – r1 = Δ r, potom podiel:
r
 vs
t
1(4.2)
udáva nejakú veličinu vs vektorového charakteru, ktorého absolútna hodnota sa bude nepatrne líšiť od
strednej rýchlosti vs definovanej vzťahom 1(4.1). Pretože vektor vs má smer vektora Δ r, charakterizuje
do značnej miery aj smer pohybu, a vyjadruje tú okolnosť, že rýchlosť je vektorová veličina.
V hraničnom prípade, keď Δ t bude konvergovať k nule, vektor vs bude rovný vektoru v. Pritom
namiesto doterajšej sečnice, preloženej bodmi A a B prejde vektor v do dotyčnice v bode A. Vektor:
v = lim
t 0
r dr

t dt
1(4.3)
udáva okamžitú rýchlosť pohybujúceho sa hmotného bodu v čase t. Keďže vektor r má smer dotyčnice
k dráhe pohybu – obr. 1.7, 1.8, možno písať:
v=
dr ds

τ vτ
dt dt
1(4.4)
kde τ je jednotkový vektor v smere dotyčnice a ds elementárna dráha. Vzhľadom na to, že
r = xi + yj + zk, možno písať:
Ján Klima Mechanika – Kinematika
v=
17. 10. 2012
5 z 25
dr d
dx
dy
dz

( xi  yj  zk ) 
i
j
k  vx i  v y j  vz k
dt dt
dt
dt
dt
1(4.5)
Veličiny vxi, vyj, vzk sú zložky rýchlosti v smere súradnicových osí; vx, vy, vz sú príslušné
súradnice rýchlosti. Pre absolútnu hodnotu rýchlosti potom platí:
2
v  v  v v v
2
x
2
y
2
z
2
d x d y d z
  
  

 
 dt   dt  dt 
2
Pre uhly α, β, γ, ktoré zviera vektor v so súradnicovými osami x, y, z platí:
vy
v
v
cos α = x
cos γ = z
cos β =
v
v
v
1(4.6)
1(4.7)
Hlavnou jednotkou rýchlosti je m / s.
Obr. 1.7
Obr. 1.8
1. 5 Zrýchlenie pohybu
Rýchlosť zavedená vzťahom 1(4.3) sa môže v priebehu pohybu meniť. Buď preto, že sa mení jej
veľkosť, alebo smer, prípadne aj veľkosť, aj smer. Veľkosť tejto zmeny za jednotku času určuje zrýchlenie, ktoré tiež definujeme ako vektor.
Predpokladajme, že hmotný bod má v čase t1 rýchlosť v1. V čase t2 má rýchlosť v2 - obr. 1.7. označme:
v2 – v1 = Δ v
Podielom:
t2– t1 = Δ t
v
 as
t
1(5.1)
definujeme stredné zrýchlenie pohybujúceho sa hmotného bodu. Tak ako pri rýchlosti, aj tu okamžitú
hodnotu zrýchlenia dostaneme tak, že časový interval Δ t budeme zmenšovať k nule.
Podiel:
a = lim
t 0
v dv

t dt
1(5.2)
udáva okamžité zrýchlenie hmotného bodu – obr. 1.8. Vzhľadom na to, že rýchlosť sa rovná derivácii
polohového vektora podľa času, môžeme zrýchlenie a vyjadriť tiež podľa vzťahu:
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
a=
6 z 25
d v d 2r

d t d t2
1(5.3)
Analogicky ako rýchlosť, aj zrýchlenie môžeme vyjadriť pomocou jeho pravouhlých zložiek:
a=
d vy
d v d vx
d vz

i
j
k  ax i  a y j  az k
dt
dt
dt
dt
1(5.4)
kde ax, ay, az, sú súradnice spadajúce do jednotlivých súradnicových osí. Platia pre ne vzťahy:
ax =
d vx d 2 x

d t d t2
ay =
d vy
dt

d2 y
d t2
az =
d vz d 2 z

d t d t2
1(5.5)
Absolútnu hodnotu zrýchlenia možno vyjadriť vzťahom:
a ≡ a  ax2  a y2  az2
1(5.6)
Uhly, ktoré zvierajú jednotlivé zložky ax, ay, az s príslušnými súradnicovými osami možno určiť zo
vzťahov:
1(5.7)
ay
ax
az
cos α =
cos β =
a
a
cos γ =
a
Z definície zrýchlenia je zrejmé, že jednotkou je m / s2.
1. 6 Plošná rýchlosť
Je to rýchlosť používaná hlavne pri opise pohybu hmotného bodu v centrálnom silovom poli,
definovaná vzťahom:
w=
1
(r x v)
2
kde r = r (t) je polohový vektor hmotného bodu, ktorý je funkciou času t a v = v(t) =
1(6.1)
dr
je rýchlosť
dt
tohto bodu. Pretože plošná rýchlosť je definovaná ako vektorový súčin, je pseudovektorom. Veľkosť
plošnej rýchlosti:
dA
1
1 rv
w = | (r x v)| = |
|=|
|,
2
2 dt
dt
1(6.2)
kde dA je obsah elementárnej plochy opísanej polohovým vektorom za dobu dt na obr. 1.9, odtiaľ
názov plošná rýchlosť. Plošná rýchlosť závisí od voľby počiatku 0, t. j. pevného počiatočného bodu
polohového vektora.
Derivácia polohového vektora podľa času
dw
sa nazýva plošné zrýchlenie, pre ktoré platí:
dt
dw
1
=
(r x a)
2
dt
kde a je zrýchlenie hmotného bodu.
1(6.3)
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
7 z 25
Obr. 1.9: plošná rýchlosť
Príklady a úlohy
1.
Dva automobily vyšli z Bratislavy, jeden o 8. 00 h, priemernou rýchlosťou veľkosti 60 km/h,
druhý o 10 min neskôr, priemernou rýchlosťou 72 km./h. V akej vzdialenosti od Bratislavy sa
pravdepodobne budú predbiehať ? [60 km]
2.
Z dvoch miest vzdialených od seba 270 km, vyšli súčasne proti sebe dve nákladné autá. Prvé auto
prejde každú hodinu dráhu 30 km, druhé 60 km. Za aký čas po štarte sa stretnú ? [3 h]
3.
Eva išla ráno z internátu do školy rýchlosťou 1,0 m.s. Ivan na ňu zakričal, nech ho počká, potom
išli spolu ďalej rýchlosťou 7,2 km/h. Spolu s čakaním na Ivana (1 min 20 s) trvala Eve cesta do
školy 13 min. Ako ďaleko od školy čakala Eva na Ivana, keď celá cesta z internátu do školy je
dlhá 1,0 km ? [400 m]
4.
Vlak sa pohybuje stálou rýchlosťou veľkosti 72 km/h. Akou veľkou rýchlosťou sa pohybuje
vzhľadom na trať cestujúci, ktorý prechádza vagónom rýchlosťou 1,5 m/s, a) v smere pohybu
vlaku, b) proti smeru pohybu vlaku ? [21,5 m.s; 18,5 m.s]
5.
Automobil prešiel prvú tretinu dráhy stálou rýchlosťou v1, ďalšie dve tretiny dráhy stálou
rýchlosťou v2. Jeho priemerná rýchlosť bola vp. Vypočítajte veľkosť rýchlosti v1, ak je v2 = 72
km/h, vp = 36 km/h. [18 km.h]
6.
Do priameho tunela s dĺžkou l = 600 m vošiel vlak. Od okamihu vstupu rušňa do tunela do
okamihu, keď posledný vozeň vlaku opustil tunel, uplynul čas t1 = 35 s. Okolo pozorovateľa
stojaceho pri trati prešiel uvedený vlak za čas t2 = 5 s. Pretože je tunel priamy, vlak vykonáva
priamočiary translačný pohyb s rýchlosťou v1 = konšt. Vypočítajte:
a) dĺžku vlaku l1 [100 m],
b) veľkosť rýchlosti v1 [72 km/h].
7.
Parašutista padá za bezvetria stálou rýchlosťou 8 m/s. Vypočítajte veľkosť a smer výslednej
rýchlosti parašutistu (vzhľadom na zvislú priamku), ak fúka bočný vietor rýchlosťou 2 m/s. [8,2
m/s; smer vetra výslednej rýchlosti zviera so zvislou priamkou uhol 14º].
8.
Auto sa rozbieha tak, že za čas 10 s je vo vzdialenosti 50 m od miesta štartu. S akým veľkým
zrýchlením sa rozbieha? [1 m/s2, s predpokladom, že jeho pohyb je rovnomerne zrýchlený].
9.
Pretekársky automobil sa pri skúšobnej jazde na priamej vodorovnej ceste rozbehol zo stavu
pokoja tak, že v čase 12 s nadobudol rýchlosť 108 km/h. Touto rýchlosťou sa pohyboval
20 s a posledných 6 s svojej jazdy rovnomerne brzdil až do zastavenia.
a) Nakreslite graf rýchlosti v závislosti od času.
b) Vypočítajte priemernú rýchlosť auta pri rozbiehaní. [15 m/s]
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
8 z 25
c) Vypočítajte priemernú rýchlosť auta pri brzdení. [15 m/s]
d) Vypočítajte priemernú rýchlosť auta počas celej skúšobnej jazdy. [23 m/s]
e) Vypočítajte dráhu počas celej skúšobnej jazdy pomocou grafu.
10. Dve pristávacie dráhy letiska, každá s dĺžkou 1000 m, sa pretínajú v strede. Na začiatku jednej
z nich sa rozbieha lietadlo tak, aby na konci dráhy získalo vzletovú rýchlosť 360 km/h. Na
začiatku druhej dráhy sa pohybuje auto letiskovej služby rýchlosťou 108 km/h. Čo urobí služba
v riadiacej veži? [ netreba urobiť nič; auto sa dostane ku križovatke približne o 2,5 s neskôr ako
lietadlo]
11. Rýchlik sa rozbieha zo stavu pokoja tak, že každých 20 s sa jeho rýchlosť zmení o 10 m/s. Akú
dráhu prejde, keď veľkosť jeho rýchlosti bude 72 km/h ? [ 400 m]
12. Rýchlik, ktorý sa pohyboval po priamej trati rýchlosťou 144 km/h, začal brzdiť tak, že za čas 60 s
sa jeho rýchlosť zmenila o 30 m/s. Vypočítajte zrýchlenie a dráhu, ktorú počas brzdenia prešiel.
[0. 5 m/s, 1500 m]
13. Rýchlik ide po priamom úseku železničnej trate rýchlosťou 90 km/h. V opačnom smere, po
susednej koľaji, ide nákladný vlak rýchlosťou 54 km/h. Jeden z cestujúcich rýchlika zistil, že
okolo neho prešiel nákladný vlak za čas 5 s.
a) Aká je dĺžka nákladného vlaku ? [200 m]
b) Za akú dobu by prešiel okolo nákladného vlaku cestujúci v rýchliku, keby obidva vlaky išli
rovnakým smerom ? [20 s]
14. Automobil sa začne rozbiehať zo stavu pokoja s konštantným zrýchlením 2,0 m/s 2 v čase, keď
okolo neho prechádza električka, tým istým smerom, stálou rýchlosťou 36 km/h. Vypočítajte čas,
za ktorý automobil električku dobehne. [10 s]
15. Po priamej ceste sa rovnakým smerom pohybujú dva automobily rýchlosťami 20 m/s a 10 m/s.
V čase keď sa predbiehajú, začne rýchlejší z nich brzdiť tak, že absolútna hodnota jeho stáleho
zrýchlenia je 2,5 m/s2:
a) načrtnite na jednom obrázku grafy závislosti rýchlosti od času pre obidva automobily.
b) Vyznačte na obrázku čas ti, v ktorom sú rýchlosti obidvoch vozidiel rovnaké.
c) Vypočítajte čas ti. [4 s]
16. Hmotný bod sa pohybuje podľa rovnice s = s0 + v0t +
1 2
a t , kde s0 = 240 m, v0 = 10 m/s,
2
a = 0,2 m/s2. Aká bude jeho rýchlosť keď celková dráha bude 800 m? [18 m/s]
20. Loď a balón s posádkou sa pohybujú rovnakým smerom, loď rýchlosťou 36 km/h, balón vo
výške 45 m rýchlosťou 15 m/s. Nad prednou časťou lode vypustia z balóna balíček. Ako ďaleko
od lode dopadne ? [15 m]
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
9 z 25
1. 7 Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie
Pri hodnotení mechanického pohybu sa často používa fyzikálna veličina uhlová rýchlosť. Skôr
ako ju definujeme pripomeňme si, že pri teoretických úvahách vo fyzike pripisujeme aj uhlu vektor.
Uhol φ charakterizuje kruhový, resp. všeobecný krivočiary pohyb. V prípade rovinného pohybu je
definovaný uhlom vytvoreným sprievodičom pohybujúceho sa hmotného bodu a sprievodičom
zvoleným za základ – obr. 1.10. Jeho prírastok ako vektor vyjadrujeme vzťahom:
dφ=dφν
1(7.1)
kde ν je jednotkový vektor v osi otáčania, kolmý na rovinu otáčania smerujúci na tú stranu, z ktorej sa
otáčanie javí proti pohybu hodinových ručičiek. Je zrejmé, že takto definovaný prírastok d φ možno
použiť aj pri všeobecnom pohybe v priestore. Vektor uhlovej rýchlosti – uhlová rýchlosť ω – je
definovaný vzťahom:
ω=
d
ν
dt
1(7.2)
Jednotkou uhlovej rýchlosti je rad / s.
V prípade rovinného krivočiarového pohybu vektory φ a ω ležia vždy v tej istej priamke a majú
rovnaký smer. V tomto prípade stačí uvažovať skalárnu rovnicu ω =
d
, kde φ predstavuje veľkosť
dt
uhla a ω veľkosť uhlovej rýchlosti. Z obr. 1.11 vidieť, že pre oblúk dráhy vykonaný pohybom
hmotného bodu možno písať:
s=Rφ
1(7.3)
Pre veľkosť rýchlosti v ktorou sa bod pohybuje po kružnici platí:
v=
d
ds
=R
=Rω
dt
dt
Obr. 1.10
1(7.4)
Obr. 1.11
Keďže v takomto prípade ω = konšt., je aj v = R ω konštantné a možno písať:
s=vt=Rωt
1(7.5)
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
10 z 25
Takýto pohyb označujeme ako rovnomerný pohyb po kružnici. Čas, za ktorý hmotný bod pri
rovnomernom pohybe raz obehne kružnicu, t. j. časový interval, po ktorom sa celý pohyb opakuje,
nazývame periódou T, pre ktorú možno písať:
T=
2 R 2 R 2


v
R 
1(7.6)
Frekvenciou f pohybu rozumieme počet obehov hmotného bodu za jednotku času. Platí:
f=
1 

T 2
ω=2πf
1(7.7)
Podobne ako sme zaviedli pojem uhlovú rýchlosť, zavádzame aj pojem uhlové zrýchlenie a
definujeme ho vzťahom:
d ω d 2
α=

d t d t2
1(7.8)
Veličiny α a ω sú vektory, ktoré pri rovinnom pohybe hmotného bodu ležia v tej istej priamke ako
vektor φ – obr. 1.12. Ak označíme jednotkový vektor v smere φ symbolom ν, možno pre rovinný
krivočiary pohyb písať:
φ=φν
ω=ων=
d
ν
dt
α=
d  d2 
ν αν
ν
d t2
dt
1(7.9)
kde φ, ω, α sú veľkosti príslušných vektorov. Môžu byť kladné alebo záporné podľa toho, či
príslušné vektory majú rovnaký alebo opačný smer ako vektor ν.
Pri rovinnom pohybe vystačíme so skalárnymi rovnicami:
ω=
d
dt
α=
d  d 2

dt
d t2
1(7.10)
lebo smer vektorov α a ω je v tej istej priamke.
Obr. 1.12
Jednotka uhlového zrýchlenia má rozmer rad / s2.
Treba si uvedomiť, že nové zavedené veličiny 1(3.1), 1(4.3), 1(5.2) sú všeobecnejšie ako pojmy
dané len skúsenosťou. Napríklad zrýchlenie môže byť nenulové aj vtedy, keď sa nemení veľkosť
rýchlosti, ale len jej smer. Takže z tohto hľadiska má každý krivočiary pohyb zrýchlenie, aj keď sa
hmotný bod pohybuje stálou rýchlosťou.
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
11 z 25
1. 8 Klasifikácia pohybov
Najjednoduchšia klasifikácia mechanických pohybov hmotného bodu vyplýva z vyjadrenia
rýchlosti vzťahom 1(4.4):
v=vτ
Ak je τ = konšt. pohyby sú priamočiare, ak τ ≠ konšt., pohyby sú krivočiare. Pozri obr. 1.13
Priamočiare pohyby môžeme ďalej rozdeliť na špeciálne typy:
- pohyb rovnomerný je definovaný podmienkami τ = konšt., v = konšt. Rovnica dráhy má potom
tvar (r0 = 0):
r =  v dt  v  dt = v t
ak je smer pohybu totožný so smerom τ, vykonaná dráha je skalár:
s=vt
1(8.1)
1(8.2)
- pohyb premenný (rovnomerne premenný) je určený podmienkami v ≠ konšt., τ = konšt.,
a = konšt., takže zákon rýchlosti a dráhy majú tvar:
v = a dt  v0  a dt  v0  a t + v0
1(8.3)

r=

1
 a t  v  dt  2 at
0
2
 v 0t
1(8.4)
resp., keďže všetky vektory majú rovnaký smer:
v = a t + v0
s=
1 2
at  v0t
2
1(8.3a)
1(8.4a)
Z krivočiarych pohybov má najväčší význam pohyb po kružnici so stálou rýchlosťou. Pre takýto
prípad pohybu možno ľahko nájsť súvislosť medzi „obežnou“ a uhlovou rýchlosťou:
v=
d s d (R )
d

R
 R
dt
dt
dt
1(8.5)
Tento vzťah možno písať vo vektorovom tvare, ak si uvedomíme, že jednotkový vektor v smere
rýchlosti τ možno vyjadriť ako vektorový súčin jednotkového vektora ρ v smere ľubovoľného
polohového vektora R a jednotkového vektora v smere uhlovej rýchlosti ν – obr. 1.10:
τ ν ρ
1(8.6)
takže:
v=
dR
 vτ  v ν  ρ  R ν  ρ   ν  ρ R   ν  R ρ  ω  R
dt
1(8.7)
Vzťah 1(8.7) platí aj pre premenný pohyb po kružnici, ba aj pre ľubovoľný krivočiary pohyb, kde R
znamená polomer oskulačnej kružnice – obr. 1.14.
Vzťah 1(8.7) možno zovšeobecniť na vyjadrenie časovej derivácie ľubovoľného, na tuhé teleso
viazaného jednotkového vektora ρ. Predpokladajme situáciu na kružnici s jednotkovým polomerom –
obr. 1.15:
dρ ds
d

τ
τ   ν  ρ   ν  ρ  ω  ρ
dt dt
dt
kde ω je uhlová rýchlosť otáčania tuhého telesa.
1(8.8)
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
Obr. 1.13
12 z 25
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
13 z 25
Obr. 1.14
Obr. 1.15
1. 8. 1 Pohyb s konštantným zrýchlením
Dôležitým typom pohybu je pohyb s konštantným zrýchlením vyjadrený vzťahom 1(8.3a). Keď sa
častica (hmotný bod) pohybuje s konštantným zrýchlením, zrýchlenie je rovné strednému zrýchleniu,
čo možno zapísať:
a
v(t ) - v0
t 0
1(8.9)
Riešením tejto rovnice dostaneme:
v(t) = v0 + at
1(8.10)
Rýchlosť častice je lineárnou funkciou času t.
Uvažujme kvôli jednoduchosti pohyb v jednom smere, napr. v osi x. Vzťah pre dráhu x(t)
možno nájsť podľa definície rýchlosti – 1(4.3):
v(t ) 
d
x(t )
dt
1(8.11)
pretože:
dostávame:
v(t) = v0 + at
d
x(t ) = v0 + at
dt
1(8.12)
Teda, x(t) je takou funkciou času, ktorej časová derivácia je rovná v0 + at. Riešením tejto rovnice,
s predpokladom, že počiatočná hodnota x(t) v čase t = 0 je x0 (podobne ako 1(8.4) ) – obr. 1.16
dostaneme:
x(t) = x0 + v0t +
1
2
at2
1(8.13)
Dráha x závisí kvadraticky od t.
Iný tvar rovnice, ktorá sa niekedy využíva pre vyjadrenie pohybu častice v jednorozmernom
prípade s konštantným zrýchlením je:
x = x0 +
1
2
(v0 + v)t
Tento vzťah dostaneme, ak v rovnici 1(8.13) vyjadríme zrýchlenie a zo vzťahu 1(8.9).
1(8.14)
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
14 z 25
Obr. 1.16
Obr. 1.17
1.8.2 Grafické vzťahy medzi kinematickými veličinami
V predošlej časti sme uviedli matematické a grafické relácie medzi fyzikálnymi veličinami x(t)
a rýchlosťou v, v(t) a zrýchlením a. Veľmi často však potrebujeme vypočítať obrátenú úlohu, t. j. určiť
rýchlosť v z grafickej závislosti a(t) alebo nájsť súradnicu x z grafickej závislosti v(t). Takáto grafická
závislosť je vyjadrená vzťahom: v = v0 + at - 1(8.10). Plocha medzi grafom a osou t a medzi
súradnicou v a vertikálnou čiarou v čase t sa označuje ako plocha pod grafom. Táto plocha sa rovná
súčtu plôch obdĺžnika s výškou v0 a (stranou) t plus plocha trojuholníka s výškou at a stranou t:
Plocha pod grafom = v0t +
Z obr. 1.16 vidíme, že v0t +
1
2
1
2
(at)t = v0t +
1
2
at2
at2 = x – x0. Teda, plocha pod grafom v(t) určuje súradnicu x ak je
známa počiatočná súradnica x0. Hoci sme tu uviedli len prípad pre konštantné zrýchlenie, je platný aj
všeobecne, ale vyžaduje výpočty pomocou integrálu. Príklad takého všeobecného výpočtu pre
počiatočnú a konečnú veličinu označenú spodnými indexmi j a k, je na obr. 1.18.
Vzťah medzi rýchlosťou v a zrýchlením a je podobný vzťahu medzi súradnicou x a rýchlosťou
v. Ako možno očakávať, plocha pod grafom a(t) je rovná: v – v0, podobne ako plocha pod grafom v(t)
udávala rozdiel súradníc x – x0. tento prípad je uvedený na obr. 1.17.
Obr. 1.18
Obr. 1.19
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
15 z 25
1. 9 Tangenciálne a normálové zrýchlenie
Podľa svojej definície vyjadruje zrýchlenie nielen zmenu veľkosti rýchlosti, ale aj zmenu jej smeru.
V praxi je často veľmi dôležité vedieť akú časť zrýchlenia zapríčiňuje zmena veľkosti a akú časť jej
zmena smeru. Prvú časť zrýchlenia nazývame tangenciálne zrýchlenie at, druhú časť normálovým
(dostredivým) zrýchlením an. Podľa vzťahu 1(5.2) (alebo využitím dvojnásobného vektorového
súčinu* - pozri poznámku) možno zrýchlenie písať v tvare:
a=
dv d
dv
dτ

(v τ ) 
τ v
dt dt
dt
dt
1(9.1)
Deriváciu jednotkového vektora τ podľa času možno vyjadriť podľa 1(8.8):
dτ
 ω  τ   (ν  τ )   (- ρ)
dt
1(9.2)
dv
v2
dv
dv
τ
ρ=
τ  v ρ =
τ 2ρ
dt
r
dt
dt
1(9.3)
a vzťah pre zrýchlenie:
a=
kde sme využili vzťah 1(7.4).
Poznámka*:
ω  τ  ω  (ν  ρ)  ν(ω . ρ) - ρ(ω . ν)   ρ
Zo vzťahu 1(9.3) vyplýva, že tangenciálne zrýchlenie je definované:
at =
dv
τ
dt
at  at 
dv
dt
1(9.4)
a normálové (dostredivé zrýchlenie):
an = -
v2
ρ
r
v2
an  a n 
 r 2
r
1(9.5)
pričom pre absolútnu hodnotu výsledného zrýchlenia platí – obr. 1.19:
2
dv
  r 2 4
a  a  a  
dt 
2
t
2
n
1(9.6)
Z príslušných vzťahov pre at a an je zrejmé, že tangenciálne zrýchlenie spôsobuje zmenu veľkosti
rýchlosti a normálové (dostredivé) zrýchlenie spôsobuje zmenu smeru rýchlosti. Ak je krivočiary
pohyb rovnomerný, potom v = konšt. a at = 0. V takom prípade je celkové zrýchlenie dané
normálovým (dostredivým) zrýchlením, t. j. a = an = -
v2
ρ . Tak je to napr. pri rovnomernom pohybe
r
po kružnici. Pre hodnotu tangenciálneho a normálového zrýchlenia možno na základe rov. 1(7.4)
potom písať:
at 
dv
d
R
 R ,
dt
dt
an 
v 2 R 2 2

 R 2
R
R
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
16 z 25
Príklady a úlohy
1. Vypočítajte uhol pootočenia φ telesa T, ktoré vykonáva rovnomerný rotačný pohyb okolo stálej
osi rotácie v čase t, ak je dané:
a) ω = 38 s –1,
b) n = 3600 ot/min
a ak v čase t0 = 0 je φ0 = 0 (φ0 je začiatočný uhol pootočenia).   378 rad/s,   378 t 
2. Vypočítajte uhlovú rýchlosť ω v čase t:
a) zemegule pri rotačnom pohybe okolo svojej osi   0,000 0727 s 1 
b) hodinovej ručičky hodín    0,0001455 s 1 
c) sekundovej ručičky hodín    0,1047 s 1  .
3. Vypočítajte uhlovú rýchlosť ω a uhol pootočenia φ telesa T, ktoré vykonáva rovnomerne
zrýchlený rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie v čase t, ak v čase t0 = 0 platí α = π s-2,
ω = ω0 = 2 π s-1, φ = φ0 = π/25. Vypočítajte aj otáčky telesa T za minútu. [ω = π(t + 2) s-1,
n = 30(t + 2) ot/min, φ = π(0,5 t2 + 2 t + 0,04)]
4. Vypočítajte uhlovú rýchlosť ω a uhol pootočenia φ telesa T, ktoré vykonáva rovnomerne
spomalený rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie v čase t, ak v čase t0 = 0 platí α = 2π s-2,
ω = ω0 = π s-1, φ = φ0 = π/4. [ω = π(1 – 2t) s-1, φ = π(0,25 +t - t2)]
5. Lanovica vykonáva rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie a rozbieha sa s konštantným zrýchlením
α. Za 10 s od začiatku pohybu sa lanovica otočila 25-krát. Vypočítajte:
a) uhlové zrýchlenie α lanovice v čase t. [ π s-2]
b) uhlovú rýchlosť ω lanovice v čase t. [ πt s-1]
c) uhol pootočenia φ lanovice v čase t, ak v čase t0 = 0 je φ0 = 0. [π/2t2]
6. Rotor turbíny s otáčkami 3000 ot/min sa brzdením zastaví za dve minúty. Počet otáčok za sekundu
sa pri brzdení rovnomerne zmenšuje. Koľko otáčok vykoná rotor od počiatku brzdenia až do
svojho zastavenia? [3000]
7. Akou veľkou rýchlosťou sa pohybuje pri otáčaní Zeme bod (polomer R = 6378 km, obežná doba
T = 86 164 s; zároveň vypočítajte normálovú zložku zrýchlenia):
a) na rovníku [v1 = 465 /s, an1 = 0,034 m/s2]
b) v zemepisnej šírke φ = 45º ? [v2 = 328,8 m/s, an2 = 0,024 m/s2]
8. Po vodorovnej rovine sa valí rovnomerným pohybom obruč s polomerom 0,5 m so 4 otáčkami za
sekundu. Vypočítajte:
a) zrýchlenie bodu na obruči vo vzdialenosti 0,2 m od osi obruče. [126,2 m/s2]
b) postupnú rýchlosť osi obruče. [12,5 m/s]
9. Koleso sa otáča konštantným uhlovým zrýchlením α okolo svojej osi. V čase t1 = 5 s od začiatku
pohybu zviera vektor obvodovej rýchlosti bodu ležiaceho na kolese s vektorom celkového
zrýchlenia uhol φ = 60º:
a) koľkokrát je v čase t1 normálové zrýchlenie bodu na obvode väčšie ako tangenciálne?
[an = 3 at ]
b) vypočítajte veľkosť uhlového zrýchlenia. [α = 0,07 s-2]
10. Dva papierové kotúče namontované na spoločnú kolmú os vo vzájomnej vzdialenosti 0,2 m, sa
otáčajú rovnakým smerom s frekvenciou 50 s-1. Strela, letiaca rovnobežne s ich spoločnou osou,
zanechala v kotúčoch otvory navzájom posunuté o uhol 8,0º. Vypočítajte rýchlosť strely. [450 m/s]
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
17 z 25
1. 10 Zložený pohyb
O zloženom pohybe hovoríme vtedy, keď skúmame určitý pohyb z hľadiska dvoch vzťažných
sústav, z ktorých jedna sa vzhľadom na druhú pohybuje. Problém, ktorý treba riešiť je takýto:
Poznáme pohyb hmotného bodu vzhľadom na jednu zo vzťažných sústav a treba nájsť jeho pohybové
rovnice vzhľadom na pozorovateľa v druhej vzťažnej sústave, pričom vzájomný pohyb sústav je
známy.
Majme pre jednoduchosť nepohyblivú sústavu S a sústavu S', ktorá sa vzhľadom na sústavu S
pohybuje tak, že rýchlosť jej začiatku je v0 a zrýchlenie a0, uhlová rýchlosť ω0 a uhlové zrýchlenie α0 –
obr. 1.20.
Obr. 1.20
Polohový vektor, rýchlosť a zrýchlenie hmotného bodu vzhľadom na sústavu S' nech sú r', v', a',
vzhľadom na sústavu S r, v, a. Jednotkové vektory sú podľa predpokladu konštantné (nemenia svoj
smer), zatiaľ čo jednotkové vektory i', j', k' menia svoju polohu v čase. Následkom toho je, že pri derivovaní ľubovoľného vektora b rozloženého na zložky v sústave S', treba za premenné považovať len
jeho zložky. Ak sa derivácia vzťahuje na sústavu S' (relatívna derivácia), ale premennými sú zložky aj
jednotkové vektory. Ak sa derivácia vzťahuje na sústavu S hovoríme o absolútnej derivácii. Platí teda:
d by
 d b  d bx
db
i 
j  z k 

 
dt
dt
 d t r d t
1(10.1)
a
d by
d bx
d b
d bz
d i
d j
d k

 
i 
j 
k   bx
 by
 bz
dt
dt
dt
dt
dt
dt
 d t a
1(10.2)
Čo možno zapísať:
d b
d b

  
  ω  b
 d t a  d t r
1(10.3)
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
18 z 25
kde ω je uhlová rýchlosť otáčania sústavy S' vzhľadom na sústavu S. Toto tvrdenie sa ľahko dokáže,
ak deriváciu jednotlivých vektorov vo vzťahu 1(10.2) vyjadríme podľa vzťahu 1(10.3).
Rýchlosť hmotného bodu vzhľadom na pevnú sústavu S súvisí s rýchlosžou v' vzhľadom na
pohybujúcu sa sústavu. Jej odvodenie pomocou absolútnej derivácie vektora r, ktorý na základe
obr. 1.20 je:
r = r0 + r'
1(10.4)
potom:
 d r   d r0   d r  
  
  

v  
 d t a  d t a  d t a
1(10.5)
Prvý člen na pravej strane má význam rýchlosti v0. Druhý člen upravíme podľa vzťahu 1(10.3)
a dostaneme:
v = v0 + v' + ω x r'
1(10.6)
Zrýchlenie v sústave S podľa definície je:
 d v0   d v    d ω 
 d r 
 
 
  r + ω  

 d t a  d t a  d t a
 d t a
a= 
Člen:
 d v0 


 d t a
1(10.7)
má význam zrýchlenia a0;
d ω


má význam uhlového zrýchlenia α sústavy S';
 d t a
 d v   d v 

 
  ω  v   a  ω  v  ;
d
t
d
t

a 
r
 d r   d r 

  
  ω  r  .
 d t a  d t r
Po dosadení do vzťahu 1(10.7) :
a = a0 + a' + 2 ω x v' + α x r' + ω x (ω x r')
1(10.8)
Pri riešení pohybov vzhľadom na sústavu viazanú na Zem je situácia obrátená. Absolútna rýchlosť
v a zrýchlenie a vyplýva zo všeobecných dynamických zákonov a to, čo treba vypočítať je, akú
rýchlosť v' a zrýchlenie a' nameria pre takýto pohyb pozorovateľ na Zemi, t. j. v sústave ktorá sa
pohybuje. Zo vzťahov 1(10.6) a 1(10.8) dostaneme:
v' = v - v0 – ω x r'
a' = a - a0 - 2 ω x v' - α x r' - ω x (ω x r')
1(10.9)
1(10.10)
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
19 z 25
Príklady a úlohy
1. Kruhová doska s polomerom R sa otáča uhlovou rýchlosťou okolo osi kolmej na rovinu dosky
a prechádzajúcej jej stredom tak, že vykoná n1 otáčok za sekundu. Po obvode dosky sa
rovnomerne pohybuje mravec tak, že vykoná n2 otáčok za sekundu vzhľadom na dosku.
Vypočítajte veľkosť absolútnej rýchlosti a veľkosť absolútneho zrýchlenia mravca, ak sa
pohybuje:
a) v opačnom smere ako sa otáča doska [|v| = 2πR (n1 – n2); |a| = 4π2R (n1 – n2)2 ]
b) v súhlasnom smere s otáčaním dosky [|v| = 2πR (n1 + n2); |a| = 4π2R (n1 + n2)2 ]
2. Vodorovná kruhová doska sa otáča okolo zvislej osi tak, že za minútu vykoná 120 otáčok. Pozdĺž
jej polomeru sa pohybuje bod vzhľadom na dosku rovnomerne rýchlosťou v0 = 5 cm/s. Treba nájsť
hodnotu rýchlosti a zrýchlenia bodu vzhľadom na okolie v čase t = 20 s, keď v čase t = 0 sa
pohybujúci bod nachádzal v strede dosky. [|v| = v 1   2t 2 ; |a| =  v 4   2t 2 ]
3. Gramoplatňa s polomerom R sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω okolo svojej osi. Od
stredu platne pozdĺž jej polomeru sa pohybuje mravec konštantnou rýchlosťou c. Aká je veľkosť
rýchlosti a zrýchlenia mravca v sústave ktorá je spojená s nehybnou skrinkou gramorádia?
[|v| = c 1   2t 2 ; |a| =  c 4   2t 2 ]
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
20 z 25
DODATOK
Základy vektorového počtu
Vektor  veličina určená veľkosťou a smerom.
  
1. Súčet dvoch vektorov: a  b  c

   
2. Rozdiel dvoch vektorov: c  a  b  a  ( b )
3. Skladanie vektorov:
Rozklad vektora na zložky sa stane jednoznačným, keď predpíšeme nejaké vedľajšie
podmienky. Najčastejšie: aby zložky rozkladaného vektora boli na seba kolmé. Napr. pri
rozklade vektora do smerov vyznačených osami karteziánskej súradnicovej sústavy xyz. Keď
príslušné zložky označíme písmenami: a x , a y , az :




a  a x  a y  az
Pomocou poznatkov z analytickej geometrie možno ľahko nájsť aj absolútne hodnoty
vektorov, určených súčtom alebo rozdielom iných dvoch vektorov, a veľkosti zložiek. Napr.:
  

absolútna hodnota vektora a rozloženého na zložky a x , a y , a z :


a  a  ax2  a y2  az2

1
2
Príklad 1. Dokážte graficky, že pre sčítanie vektorov platí komutatívny zákon.
   
a b b a
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
21 z 25
Príklad 2. Dokážte graficky, že pre sčítanie vektorov platí asociatívny zákon:
 
 
 
(a  b )  c  a  (b  c )

Príklad 3. Vyjadrite vektor a , ktorý má začiatok v bode A1 (x1, y1, z1) a koniec v bode
A2 (x2, y2, z2).







a  axi  a y j  az k  ( x2  x1 )i  ( y2  y1 ) j  ( z2  z1 ) k

Polohový vektor r , ktorý má začiatok v začiatku súradnicovej sústavy (0, 0, 0) možno
na základe vyššie uvedeného písať:




r  xi  yj  zk
4. Skalárny súčin dvoch vektorov:
   
c  a . b  a b cos 
Z definície skalárneho súčinu vyplývajú pre jednotkové vektory vzťahy:
     
i .i  j . j  k .k 1
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
22 z 25
     
i . j  j .k  k .i  0
Geometrický význam skalárneho súčinu je znázornený na nasledujúcom obrázku.
Príklad 4. Dokážte, že pre skalárne násobenie platí komutatívny a distributívny zákon!
   
a .b b .a
   
a . b  a b cos 
   
b . a  b a cos 
č.b.d.
  
   
a . (b  c )  a . b  a . c
 
a . b  axbx  a yby  azbz
 
a . c  ax cx  a y cy  az cz
   
a . b  a . c = axbx  a yby  azbz + ax cx  a y cy  az cz =
  
  
  
 ax (bx  c x )  a y (by  cy )  az (bz  cz )
č.b.d.


Pre absolútne hodnoty vektora a a polohového vektora r platia vzťahy:

 
a  a .a 

 
a a cos   ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2

1
2

r  x2  y2  z2
5. Vektorový súčin dvoch vektorov:
  
c a b

  
c  a b sin  
Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor s absolútnou hodnotou rovnajúcou sa súčinu
absolútnych hodnôt obidvoch vektorov a sínusu uhla nimi zovretého, orientovaného na tú
stranu, z ktorej sa stotožnenie prvého vektora s druhým na kratšej ceste javí proti pohybu
Ján Klima Mechanika – Kinematika
17. 10. 2012
23 z 25

hodinových ručičiek (smer pohybu pravotočivej skrutky). Smer vektora c je kolmý na rovinu
 
v ktorej ležia vektory a , b .
Veľkosť vektorového súčinu dvoch vektorov možno interpretovať ako plošný obsah
rovnobežníka vytvoreného týmito vektormi. Navyše výsledný vektor jednoznačne určuje
orientáciu roviny v priestore, preto ho možno chápať ako vektor priradený ploche.
Z definície vektorového súčinu vyplývajú pre jednotlivé jednotkové vektory vzťahy:
  
i  jk
  
j k i
  
k i  j
Praktický výpočet vektorového súčinu:

i

j

k
 
a  b  ax
ay



az  i (a ybz  by az )  j (axbz  bx az )  k (axby  bx a y )
bx
by
bz
(i)
Príklad 5. Dokážte, že pre vektorový súčin neplatí komutatívny zákon, ale že platí:
 
 
a b b a
Rozpísaním vektorov na zložky možno vektorový súčin na pravej strane rovnice písať:

i

j

k
 
b  a  bx
by



bz  i (by az  a ybz )  j (bx az  a xbz )  k (bx a y  a xby )
ax
ay
az
Porovnaním výrazu (ii) z vyššie uvedeným (i) vidieť, že:
 
 
a b b a
Príklad 6. Dokážte platnosť zmiešaného súčinu troch vektorov:
  
  
  
a . (b  c )  b . (c  a )  c . (a  b )
(ii)
Ján Klima Mechanika – Kinematika

i

j
17. 10. 2012

k
 
b  c  bx
by



bz  i (by cz  cybz )  j (bx cz  cxbz )  k (bx cy  cxby )
cx
cy
cz
a i  a
x

(1)






j

a
k
.
(
b
c

c
b
)
i

(
b
c

c
b
)
j

(
b
c

c
b
)
k

y
z
y z
y z
x z
x z
x y
x y
 axby cz  ax cybz  cx a ybz  bx ay cz  bx cy az  cxby az

i
24 z 25

j
(2)

k
 
c  a  cx
cy



cz  i ( cy az  a y cz )  j ( cx az  ax cz )  k ( cx a y  ax cy )
ax
ay
az



 
(bxi  by j  bz k ) . (c  a )  bx cy az  bx a y cz  cxby az  axby cz  cx a ybz  axbz cy
(3)
(4)
Porovnaním jednotlivých členov vo výrazoch (2) a (4) skutočne platnosť zmiešaného súčinu
troch vektorov platí.
Zmiešaný súčin je číslo, závisiace od troch vektorov. Jeho geometrický význam je ten,
že jeho absolútna hodnota je rovná veľkosti objemu rovnobežnostena vytvoreného týmito
tromi vektormi umiestnenými v spoločnom začiatku.
Príklad 7. Dokážte platnosť vzťahov pre dvojnásobný vektorový súčin:
 
  

  
a  (b  c )  b (a . c )  c (a . b )
Dôkaz sa urobí rozpisom vektorov na zložky.
Download

Mechanika-kinematika