Pokúsime sa z našej analýzy pohybu lyžiara na obr. 3-1 urobiť úsudok,
ktorý by mal fyzikálny význam.
Pohyb lyžiara je po piatej sekunde rovnomerný.
Veľkosť priemernej rýchlosti lyžiara sa po piatej sekunde nemení.
Z vyslovených dvoch tvrdení vyplýva záver:
Veľkosť priemernej rýchlosti rovnomerného pohybu sa v závislosti od času nemení.
Priemerná rýchlosť rovnomerného pohybu nezávisí ani od dĺžky časového intervalu ∆t, v ktorom ju meriame. Ukážeme to na príklade.
3 POHYB A SILA
3.1 Rýchlosť rovnomerného pohybu
Podľa tvaru grafu závislosti s = s(t) dráhy od času a závislosti v = v(t), sa lyžiar
na obr. 3-1 pohybuje najprv zrýchlene a potom rovnomerne (pozri článok 1.10).
Z tabuľky vyčítame, akou priemernou rýchlosťou sa pohyboval v jednotlivých časových jednosekundových intervaloch. Priemerné rýchlosti vp v týchto sekundových
intervaloch sme zobrazili aj v grafe. Po uplynutí piatich sekúnd sa lyžiar dostal na
veľmi hladký, zľadovatený povrch rovinky pod svahom a odporová sila, ktorá tam
naň pôsobí proti smeru jeho pohybu, je zanedbateľne malá. Zrejme preto sa jeho
priemerná rýchlosť vp ďalej nemení, má stálu hodnotu 20 m · s−1.
Príklad
Vypočítajte rýchlosť vp rovnomerného pohybu lyžiara v dvoch ľubovoľne zvolených časových intervaloch, začínajúcich v rovnakom čase.
Riešenie
Z tabuľky na obr. 3-1 vyberieme dva časové intervaly so začiatkom v čase t2 = 5 s,
∆tA, ∆tB a k nim prislúchajúce zmeny dráhy ∆sA, ∆sB
∆tA = t7 − t5 = 7 s − 5 s = 2 s;
∆s
40 m
m
vpA = A =
= 20
∆t A
2s
s
∆sA = s7 − s5 = 90 m − 50 m = 40 m;
Výpočtom sa presvedčíme, že napr. aj v časovom intervale ∆tB = 10 s − 5 s
m
vychádza rovnaká priemerná rýchlosť 20 .
s
Veľkosť rýchlosti rovnomerného pohybu sa v závislosti od času
nemení a rovná sa jeho priemernej rýchlosti.
Rýchlosť v rovnomerného pohybu vypočítame podľa rovnakého
vzťahu ako priemernú rýchlosť.
v=
Obr. 3-1
Graf dráhy s = s(t), a priemernej rýchlosti v = v(t), v závislosti od času. Na svahu
je pohyb lyžiara zrýchlený. Na rovinke pod svahom, na zľadovatenom hladkom
povrchu sa pohybuje rovnomerne, stálou rýchlosťou 20
98
m
s
.
∆s
∆t
(1)
Nezávislosť rýchlosti rovnomerného pohybu od dĺžky časového intervalu, v ktorom
meriame, umožňuje použiť grafickú metódu merania rýchlosti na obr. 3-1. Na priamke
znázorňujúcej závislosť dráhy od času pre tú časť pohybu, v ktorom sa lyžiar pohybuje rovnomerne si zvolíme dva body – najlepšie tak, aby boli v čo najväčšej vzájomnej vzdialenosti. Odmeriame interval ∆t, o ktorý sa líšia súradnice zvolených
99
bodov a zodpovedajúcu zmenu dráhy ∆s. Nakoniec dosadíme odmerané hodnoty
do vzťahu (1) a vypočítame rýchlosť rovnomerného pohybu.
Príklad merania a výpočtu (obr. 3-1):
∆t = t11 − t5 = 11 s − 5 s = 6 s; ∆s = s11 − s5 = 170 m − 50 m = 120 m;
∆s 120 m
m
v=
=
= 20
∆t
6s
s
Rýchlosť rovnomerného pohybu
a priemerná rýchlosť nerovnomerného pohybu
Rovnosť, ktorú môžeme položiť medzi rýchlosť a priemernú rýchlosť
rovnomerného pohybu, umožňuje riešiť niektoré úlohy. Často si v nich
zjednodušujeme úlohovú situáciu tak, že s pohybmi s neznámym časovým
priebehom dráhy s = s(t) narábame tak, ako keby to boli rovnomerné
pohyby. Zostavme preto ešte jednu definíciu priemernej rýchlosti. Použijeme na to úlohovú situáciu na obr. 3-2.
Obr. 3-2
Električka (E) a dve autá sa navzájom predbiehajú v časoch t1 a t3. Auto A1 sa chystá
odbočiť doľava a musí počkať až električka prejde križovatkou, a preto brzdí. Auto
A2 sa ešte len rozbieha. Električka sa pohybuje rovnomerne, rýchlosťou vE a touto
rýchlosťou pravdepodobne prejde aj križovatkou.
Príklad
Na obr. 3-2 sú tri vozidlá, ktoré sa pohybujú na širokej jednosmernej ulici smerom
ku križovatke.
Závislosť dráhy od času pre všetky tri vozidlá E, A1, A2 je znázornená na obr. 3-3.
V časoch, ktoré označíme t1 a t3, budú všetky tri vozidlá na rovnakej úrovni – budú
sa navzájom predbiehať. Medzi ich vzájomným predbiehaním uplynul časový
interval ∆t = t3 − t1 = 16 s − 6 s = 10 s a každé vozidlo prešlo dráhu ∆s = s3 − s1 =
= 150 m − 70 m = 80 m.
100
Podľa vzťahu (1) vieme vypočítať priemernú rýchlosť vozidiel. Pre všetky tri
je rovnaká – všetky tri vozidlá prešli v časovom intervale ∆t rovnaké dráhy ∆s.
Obidve autá sa pri tom pohybovali nerovnomerne a menili svoje rýchlosti. Len
jedno z vozidiel – električka – sa pohybovalo rovnomerne – stále rovnakou rýchlosť ou
vE =
∆s
∆t
=
s3 − s1
t3 − t1
=
150 m − 70 m
16 s − 6 s
=
80 m
10 s
=8
m
s
Ak preskúmame grafy zobrazených závislostí s = s(t) môžeme sa presvedčiť, že
rýchlosť rovnomerného pohybu električky je rovnaká ako priemerná rýchlosť vp,
ktorou sa po dráhe ∆s, v časovom intervale ∆t, pohybovali obidve autá A1 a A2:
vE = vp.
Obr. 3-3
Závislosť s = s(t), dráhy od času, zobrazená pre tri
vozidlá z dopravnej situácie na obr. 3-2. Električka (E)
a dve autá sa navzájom predbiehajú v časoch t1 a t3.
V časovom intervale ∆t = t3 − t1 prešli všetky tri vozidlá rovnakú dráhu ∆s = s3 − s1.
Uvažujme, či je pravdivý výrok:
Priemerná rýchlosť nerovnomerného pohybu má rovnakú veľkosť ako rýchlosť rovnomerného pohybu, ktorý sa konal na rovnakej dráhe za rovnaký čas.
Úlohy
1. Vypočítajte priemernú rýchlosť lyžiara na obr. 3-1
a) počas pohybu na svahu
b) pri pohybe na rovinke pod svahom
c) počas celého vyobrazeného deja
2. Osobný automobil sa pohybuje na diaľnici stálou rýchlosťou 108 km · h−1. V aute
zazvonil mobilný telefón a vodič venoval čas ∆t = 2 s pohľadu na jeho displej.
Akú dráhu ∆s zatiaľ auto prešlo? [60 m]
3. Na ceste na obr. 3-2 je povolená maximálna rýchlosť 60 km · h−1. Preskúmajte,
ako sa pohybovali vozidlá v jednotlivých časových intervaloch s dĺžkou 1 s.
Nájdete taký časový interval, v ktorom niektoré vozidlo maximálnu povolenú
rýchlosť prekročilo? [Napr. auto A1 malo v šiestej sekunde priemernú rýchlosť
≈ 20 m · s−1= 72 km · h−1.]
101
3.2 Experimentálne skúmanie pohybu
V predchádzajúcich kapitolách sme sa naučili znázorňovať dráhu s = s(t)
v závislosti od času grafom a merať na grafe priemernú rýchlosť. Vieme už aj
rozlíšiť od seba rôzne druhy pohybu. Pokúsme sa teraz o experiment, pri ktorom by
zo skúmania pohybu vyplynul nový fyzikálny poznatok. Ideme skúmať pohyb
vzduchovej bubliny v rovnej priehľadnej trubici zo skla alebo z plastu, ktorá má
na celej svojej dĺžke rovnaký priemer.
Na začiatku pohybu sa bublina nachádza na spodnom konci trubice – vtedy začneme merať čas t a dráhu s. Do tabuľky zapisujeme sebe zodpovedajúce hodnoty
času a dráhy, dvojice (t, s).
Zostrojíme body so súradnicami (t, s) a vedieme nimi čiaru – graf závislosti dráhy
od času. Ak sa nám podarilo preložiť bodmi (t, s) priamku, závislosť s = s(t) je lineárna (pozri naše výsledky na obr. 3-4) a pohyb bubliny v trubici bol rovnomerný.
Experiment opakujeme pri rôznych sklonoch trubice a výsledky zobrazíme grafom.
Pripravte a vykonajte opísaný experiment. Uvážte, či nám lineárna
závislosť dráhy od času (obr. 3-4) vyšla náhodou, alebo či dráha bubliny
sa zväčšuje priamo úmerne s časom pri ľubovoľnom sklone trubice.
Pokúsme sa pri hľadaní odpovede použiť metódu, ktorú nazývame
modelovanie javu.
Obr. 3-4
Meranie dráhy pohybu v závislosti od času. Postup: Nastavíme na metronóme
časový interval (podľa rýchlosti pohybu bubliny – napr. medzi 0,5 s a 2s) a pri
každom jeho údere urobme fixkou na trubici čiarku.
Skúmať pohyb pre fyzika znamená predovšetkým stanoviť závislosti
s = s(t) a v = v(t) dráhy a rýchlosti od času.
Opis javu
Do rovnej priehľadnej trubice z číreho skla alebo plastu nalejeme vodu tak, aby
v trubici ostala vzduchová bublina. Trubicu na obidvoch koncoch utesníme a potom
položíme na vodorovnú podložku tak, aby s ňou zvierala uhol niekoľko stupňov.
Pozorujeme, že bublina sa pohybuje pozdĺž trubice smerom k vyššie uloženému koncu.
Bublina sa môže pohybovať len v jednom smere – po trajektórii pozdĺž trubice. Pozdĺžnu os trubice zvolíme za smer jedinej osi vzťažnej sústavy, ktorú
označíme s.
102
Obr. 3-5
Vpravo je jav, ktorý chceme skúmať – pohyb vzduchovej bubliny v sklenenej trubici.
Vľavo je jav, pomocou ktorého by sme chceli pohyb bubliny modelovať – lyžiar
znázornený pri pohybe na svahu. a) rovnomerný pohyb lyžiara na svahu s menším
sklonom, b) zrýchlený pohyb lyžiara na svahu s väčším sklonom.
Aby fyzik vedel odpovedať na otázku o jave, ktorý nepozná, hľadá
často taký model javu, ktorý je mu dobre známy zo skúsenosti. Snaží
103
sa, aby sa jeho model vo všetkých znakoch podobal na neznámy jav –
originál. Potom poznatky o správaní modelu môže použiť pri odpovedi
na otázku ako sa za rovnakých podmienok správa originál?
Jav, o ktorom ktorým si myslíme, že sa podobá na rovnomerný pohyb
bubliny v trubici, je pohyb lyžiara na svahu s väčším či menším sklonom na obr. 3-5.
Úlohy
1. Na obr. 3-5 porovnávame dva javy – pohyb lyžiara pri zjazde na svahu s rôznymi
sklonmi a pohyb bubliny v trubici s rôznymi sklonmi.
a) Vysvetlite, ktoré fyzikálne vlastnosti majú obidva javy spoločné a v čom sa
líšia.
b) Vysvetlite, prečo nemôžeme jav lyžiar na svahu považovať za model pohybu
bubliny v trubici. Pri vysvetlení použite obr. 3-5 a výsledky vášho experimentu.
∆s
2. Merajte priemerné rýchlosti v =
pri rôznych sklonoch trubice. (Ak vieme, že
∆t
pohyb bubliny je rovnomerný, postačí merať dobu ∆t, ktorá uplynie pri pohybe
bubliny pozdĺž dĺžky celej trubice (dĺžku trubice označíme ∆s).
3. Zostrojte graf závislosti v = v(k) rýchlosti v bubliny v závislosti od prevýšenia
h horného konca trubice nad jej začiatkom.
4. V článku 3.25 je v úlohe 1 námet na ďalšie experimentálne skúmanie pohybu
bubliny v trubici. Plánujte a vykonajte experiment, aby ste zistili, ako sa pohybuje
bublina v zakrivenej trubici.
3.3 Dráha rovnomerného pohybu
V článku 3.1 sme definovali rýchlosť rovnomerného pohybu
v=
∆s
∆t
(1)
Použijeme teraz túto definíciu, aby sme pre rovnomerný pohyb našli závislosť
s = s(t), dráhy od času.
Na obr. 3-6 je lyžiar vo vleku na lane za motocyklom. Senzory
umiestnené pri trati odmerali dvojice (t, sl), (t, sm) času a dráhy lyžiara
(sl) a motocyklu (sm) a zaznamenali ich v tabuľke. Počítač znázornil
graf dráhy lyžiara a motocykla v závislosti od času.
104
Obr. 3-6
K zavedeniu závislosti s = vt + s0 pre dráhu rovnomerného pohybu. Dráha lyžiara
(L) a motocyklistu (M) v závislosti od času.
Budeme teraz hľadať veličinové rovnice, ktorými by sme opísali rýchlosť a dráhu pohybu lyžiara a potom aj rýchlosť dráhu pohybu motocykla
v závislosti od času. Na tento cieľ sme si grafy z obr. 3-6 zväčšili a znázornili sme na grafe na obr. 3-7a dráhu motocykla v závislosti od času
a na obr. 3-7b dráhu lyžiara v závislosti od času.
Motocykel a lyžiar majú rovnakú rýchlosť. Preto aj obidva grafy závislosti dráhy od času majú rovnaký sklon. Môžeme sa o to presvedčiť, ak
meraním napr. na grafe na obr. 3-7a a 3-7b a výpočtom určíme rýchlosť
rovnomerného pohybu motocykla vm a lyžiara v l, dosadením do definičného vzťahu (1) rýchlosti rovnomerného pohybu
∆s s − s 0 (30 − 10) m
m
vm =
=
=
= 20
(1,0 − 0) s
s
∆t t − t 0
∆s s − s 0 (24 − 0) m
m
=
=
= 20
(1,2 − 0) s
s
∆t t − t 0
Zo vzťahu (1) vyjadríme zmenu dráhy ∆s v časovom intervale ∆t
vl =
∆s = v∆t
alebo
s − s0 = v (t − t0)
(2)
Hodnoty ∆t = t − t0 a ∆s = s − s0 sme vybrali z trojuholníkov ACB na
obrázkoch 3-7ab. Podľa vzťahu (2) je zmena dráhy ∆s je priamo úmerná
časovému intervalu ∆t.
105
Čas a dráhu pri pohybe lyžiara sme začali merať tak, že pri stlačení
stopiek mali tieto veličiny začiatočné hodnoty t0 = 0, s0 = 0. Ak tieto
začiatočné hodnoty pre čas t a dráhu s dosadíme do vzťahu (2), vychádza
pre rovnomerný pohyb závislosť (priama úmernosť) medzi dráhou a časom v tvare
s = vt
(3)
Obr. 3-8
K úlohe 1.
Obr. 3-7
Grafy dráhy v závislosti od času. a) pohyb motocykla, b) pohyb lyžiara.
Z posledného vzťahu (3) vyplýva: dráha rovnomerného pohybu
narastá priamo úmerne s časom, ak sa rovná nule jeho začiatočná
dráha, s0 = 0.
Čas a dráhu pri pohybe motocykla sme začali merať tak, že pri stlačení stopiek mali tieto veličiny začiatočné hodnoty t0 = 0, s0 ≠ 0. Pre
rovnomerný pohyb motocykla vychádza závislosť dráhy od času v tvare
s = vt + s0
V prípade, že začiatočná dráha sa nerovná nule, t. j. pre začiatočné
podmienky t0 = 0, s0 ≠ 0, dráha rovnomerného pohybu narastá
lineárne v závislosti od času.
Úlohy
1. Pozorovateľ v poslednom vozni nákladného vlaku začal merať čas práve vtedy,
keď jeho vozeň vošiel do tunela, ktorý má dĺžku 800 m. Potom prechod vlaku
tunelom znázornil grafom závislosti dráhy s od času t.
– pre rušeň na čele vlaku,
– pre posledný vozeň vlaku.
106
Riešte nasledujúce úlohy
– Je pohyb vlaku rovnomerný pohyb? Vysvetlite prečo áno, alebo prečo nie.
[Rovnomerný pohyb – graf dráhy v závislosti od času je priamka]
– Ktorý z grafov označených A, B opisuje pohyb rušňa, a ktorý pohyb posledného vozňa vlaku? [A-rušeň, B-posledný vozeň]
– Aká je dĺžka vlaku? [200 m]
– Dá sa určiť, akou rýchlosťou sa vlak v tuneli pohybuje? [20 m · s−1]
– Určte čas, v ktorom do tunela vošiel rušeň a potom čas vjazdu posledného
vozňa. [0 s, 10 s]
– Určte časy, v ktorých z tunela vyšiel rušeň a potom posledný vozeň. [30 s, 40 s]
– Vyjadrite pohyb rušňa a posledného vozňa rovnicami, v ktorých vystupujú
veličiny v, s0 a určte ich hodnoty. [Rušeň: s = vt + s0. Posledný vozeň: s = vt;
v = 20 m · s−1; s0 = 200 m.]
3.4 Dráha zobrazená plochou
Vzduchová dráha
Aby sme našli vzájomnú súvislosť medzi dráhou a rýchlosťou rovnomerného
pohybu, urobili sme modelový laboratórny experiment so vzduchovou dráhou, na
ktorej sa pohybuje „klzák“ na vzduchovom vankúši so zanedbateľne malým trením. (Vzduchovú dráhu sme opísali už v článku 2.13.) Dráha a rýchlosť klzáku
vzduchovej dráhy na obr. 3-9 sa zaznamenáva a zobrazuje v závislosti od času na
displeji počítača. Na klzáku je ultrazvukový vysielač, ktorý vyšle dvadsaťkrát za
sekundu signál. Signál zachytený prijímačom (1) sa vedie do počítača. Tam sa ukladajú dáta – dvojice (t, s), času a dráhy.
Hodnoty rýchlosti v počítač určuje dvadsaťkrát za sekundu podľa vzťahu pre
∆s
priemernú rýchlosť v =
, (∆t = 0,05 s).
∆t
107
Dvojice (t, s) a (t, v) počítač zobrazuje na displeji – vykresľuje graf dráhy s = s(t)
a rýchlosti v = v (t) v závislosti od času.
Grafy na obr. 3-9 sme získali tak, že sme jemným impulzom uviedli do pohybu
klzák a súčasne sme zapli senzory počítača – vysielač (2) a prijímač (1).
Pre obsah obdĺžnika so stranami ∆t a v vychádza
∆s = v∆t
Plocha nad určitým časovým intervalom, uzavretá pod čiarou
grafu závislosti rýchlosti od času, zobrazuje dráhu, po ktorej sa
teleso v tomto intervale pohybovalo.
Úloha
Obr. 3-9
Vzduchová dráha – laboratórny model
rovnomerného pohybu telesa bez
trenia. Klzák uvedieme do pohybu
ľahkým dotykom ruky – jeho ďalší
pohyb je rovnomerný. V grafe závislosti rýchlosti od času majú plochy
jednotlivých obdĺžnikov význam
dráhy vyjadrenej v jednotkách meter
(0,05 m · s−1 × 1,0 s = 0,05 m).
Dráha a rýchlosť rovnomerného pohybu navzájom súvisia v definičnom vzťahu, ktorý sme zaviedli v tvare
v=
∆s
∆t
(1)
Vo vzťahu (1) vystupujú zmeny ∆t, ∆s veličín čas t a dráha s. Tieto
zmeny k sebe navzájom patria – v časovom intervale ∆t sa dráha zmení
(narastie) o ∆s.
Preskúmajme teraz graf závislosti v = v(t) na obr. 3-9. Vzájomným vynásobením strán obdĺžnika vyjadrujeme jeho plochu. Každý z vyznačených
obdĺžnikov má strany s veľkosťami 1,0 s, 0,05 m · s−1. Ak strany obdĺžnika vyjadrené v týchto jednotkách navzájom vynásobíme, zistíme,
že plocha každého z obdĺžnikov zobrazuje dráhu v jednotkách meter
(0,05 m · s−1×1,0 s = 0,05 m).
108
Preskúmajte graf na obr. 3-10.
a) Určte časový interval, v ktorom sa električka pohybovala rovnomerne.
b) Meraním plochy uzavretej pod čiarou grafu určte dráhu, ktorú električka
prešla rovnomerným pohybom. [30 m]
c) Vymyslite spôsob ako odmerať dráhu zobrazenú plochou v časových intervaloch, v ktorých sa električka rozbiehala a brzdila. [15 m, 7,5 m]
Obr. 3-10
Rýchlosť električky v závislosti od času
medzi dvoma zastávkami.
3.5 Rýchlosť nerovnomerného pohybu
Pri nerovnomernom pohybe sa v priebehu každého časového intervalu veľkosť
rýchlosti mení a v každom čase t môže byť iná, ako v čase predchádzajúcom. Pre
okamžité hodnoty t, ktoré čas pri svojom plynutí nadobúda, často používame pojem
okamih. Preto ak v budúcnosti budeme používať pojem rýchlosť, budeme mať na
mysli okamžitú rýchlosť, ktorú pohybujúci sa bod nadobudol v určitom čase t –
v okamihu t.
Vo všeobecnosti sa hmotný bod môže pohybovať po trajektórii, ktorá má tvar
krivky. Smer pohybu na krivke sa od jedného bodu k druhému mení. Preto sa mení
aj smer rýchlosti. Rýchlosť je vektorová veličina – na jej určenie nestačí poznať
veľkosť rýchlosti, ale treba určiť aj smer pohybu.
Smer vektora rýchlosti
Pri zobrazovaní rýchlosti vektorovou úsečkou postupujeme podobne,
ako pri znázorňovaní sily: Šípkou na vektorovej úsečke vyznačíme smer
109
pohybu, dĺžka úsečky by mala zodpovedať veľkosti rýchlosti. Pri krivočiarom pohybe leží vektor rýchlosti vždy v smere priamky, ktorá je
dotyčnicou k trajektórii hmotného bodu.
Obr. 3-11
„Iskry“ – drobné žeravé piliny kovu – odletujú od kotúča
v smere dotyčníc k svojim kruhovým trajektóriám.
Aký smer má okamžitá rýchlosť voči trajektórii – krivke, po ktorej sa pohybuje –
môžeme dedukovať z pozorovania otáčajúceho sa brúsneho kotúča (obr. 3-11), na
ktorom brúsime kovový predmet, napr. nôž. Drobné úlomky kovu ostávajú lpieť
na kotúči a konajú spolu s jeho povrchom pohyb po kružnici. Pretože sú žeravé
svietia a ich kruhové trajektórie sú dobre pozorovateľné. Po krátkom čase sa od
povrchu brúsky oddelia a odletia v smere dotyčnice k trajektórii.
Iný príklad zobrazenia rýchlosti vektorom je na obr. 3-12, kde je znázornený
lyžiar pri zjazde. Vybrali sme si na ňom bod, o ktorom sme sa domnievame, že
najlepšie opisuje jeho pohyb. Dohodli sme sa, že tento bod budeme považovať za
hmotný bod. Hmotným bodom sme nahradili lyžiara, aby opis jeho pohybu nebol
príliš zložitý. Vybrali sme si taký bod, ktorý sa pohyboval po pomerne jednoduchej
čiare, napr. jeden z bodov lyží. Lyžiara sme znázornili v v časoch (okamihoch)
t1, t2, t3, t4 v štyroch bodoch trajektórie. V každom z týchto bodov sme znázornili
pomocou vektora aj rýchlosť lyžiara. Smer rýchlosti sa pri pohybe lyžiara na svahu
mení tak, že vektor jeho rýchlosti vždy leží v dotyčnici k trajektórii. Dĺžky vektorov
rýchlosti zodpovedajú veľkosti rýchlosti.
Veľkosť rýchlosti
V hornej časti obr. 3-13 sme znázornili trajektóriu lyžiara pri zjazde na
svahu a na rovinke pod svahom. Mali by sme si všimnúť, že jeho pohyb
sa skladá z dvoch častí. Pri prvej z nich sa lyžiar pohybuje zrýchlene dolu
svahom. Druhý pohyb sa koná pod svahom na rovinke, ktorá je pokrytá
ľadom. Sila trenia, ktorá by tam brzdila lyžiarov pohyb, je zanedbateľne
malá, a preto sa lyžiar pohybuje rovnomerne.
Počas lyžiarovho pohybu sme merali čas t a dráhu s, ktorú prešiel od bodu
označeného 0. Výsledky sme zobrazili grafom závislosti dráhy od času
s = s (t).
Obr. 3-13
Lyžiar na svahu sa pohybuje
zrýchleným pohybom. Na
rovinke pod svahom so
zľadovateným povrchom
si niekoľko sekúnd zachová
poslednú z rýchlostí, ktoré
postupne nadobúdal na svahu.
Analyzujme graf na obr. 3-13. Zistíme, že pohyb lyžiara bol od
okamihu t = 5 s rovnomerný.
Pokúste sa odpovedať na otázky:
Závisí rýchlosť konečného rovnomerného pohybu lyžiara pod svahom aj od jeho
predchádzajúceho pohybu na svahu?
Viete navrhnúť metódu merania konečnej rýchlosti, ktorú lyžiar na obr. 3-13
dosiahol na svahu?
Obr. 3-12
Lyžiar v niekoľkých polohách na svahu pri zjazde.
110
Uvažujme teraz, ako graf na obr. 3-13 súvisí s definíciou rýchlosti
nerovnomerného pohybu:
Rýchlosť pohybu telesa v istom čase je rýchlosť, ktorou by sa
teleso pohybovalo, keby od tohto času bol jeho pohyb rovnomerný
priamočiary.
111
Pokúsme sa teraz túto definíciu použiť aj pri skúmaní pohybov na obr. 3-14.
V závislosti od času sme zobrazili dráhy dvoch automobilov A, B. Ešte predtým
ako začneme grafy analyzovať, mali by sme preskúmať dopravnú situáciu, v ktorej
vznikli. Ulica, v ktorej by sa mali obidva pohyby odohrávať, je vyobrazená pri
pohľade zhora v ľavej časti obrázku. Vpravo sú grafy dráhy obidvoch automobilov
znázornené v závislosti od času.
Krivky obidvoch grafov na obr. 3-14 zodpovedajú nerovnomerným pohybom
automobilov. Krivky prechádzajú v čase t' do priamok. Tieto priamky zobrazujú
dráhy rovnomerných pohybov automobilov A, B v závislosti od času t.
Rovnaký výsledok by sme dostali napr. aj tak, keby sme k obidvom grafom nakreslili v bode P dotyčnice: V bode P prechádzajú obidve krivky do svojich dotyčníc.
Sklon každej z týchto priamok – dotyčníc – určuje okamžitú rýchlosť auta v čase
t'. Je to rýchlosť rovnomerného pohybu, ktorou sa auto od času t' pohybuje alebo
aj posledná rýchlosť nerovnomerného pohybu, ktorý konalo auto až doteraz.
Rýchlosť nerovnomerného pohybu môžeme odmerať na grafe závislosti s = s(t)
dráhy od času. Rýchlosť v určitom okamihu t' sa rovná sklonu dotyčnice krivky
grafu v bode so súradnicou t'.
Sklon dotyčnice v určitom bode krivky meriame ako pomer prírastkov ∆t, ∆s,
 ∆s 
  (indexom t' sme označili bod na číselnej osi, v ktorom sme zostrojili dotyč ∆t  t '
nicu a určili okamžitú rýchlosť).
Úloha
Obr. 3-14
Dva automobily v dvoch jazdných pruhoch A a B sa navzájom predbiehajú. Vľavo je
znázornená dopravná situácia v čase t = 0 a potom vždy po uplynutí troch sekúnd.
Vpravo sú grafmi znázornené dráhy automobilov v závislosti od času.
Najprv by sme odpovedať na otázky:
a) V čom sa navzájom líšia pohyby automobilov?
b) Čo môžeme povedať o ich začiatočných rýchlostiach?
c) Aké boli ich rýchlosti v čase t' = 6 s?
Pri analýze obrázku ste zrejme zistili, v čom sa pohyby A, B líšia. Auto A sa
rozbieha a auto B brzdí. Až do okamihu t' = 6 s je pohyb obidvoch automobilov
nerovnomerný: Auto A sa pohybuje zrýchlene, auto B spomalene. Od okamihu
t' = 6 s je dráha s = s(t) jedného aj druhého pohybu zobrazená priamkou. Obidva
pohyby sú teda od okamihu t' rovnomerné a napr. auto A má stálu rýchlosť
vA =
∆s
∆t
≈
(70 − 42) m
(8,0 − 6,0) s
=
28 m
2,0 s
≈ 14
m
s
Úloha: Vypočítajte rýchlosť, ktorú má od okamihu t' automobil B.
Po vyriešení tejto úlohy by sme sa mali vrátiť k definícii okamžitej rýchlosti
nerovnomerného pohybu. Uvážme, ako definícia súvisí s riešením úlohy o pohybe
automobilov na obr. 3-14:
112
Prekreslite na milimetrový papier graf závislosti s = s(t) z obr. 3-13 alebo si
urobte jeho zväčšenú fotografickú (xeroxovú) kópiu.
a) V prílohe P2 Grafické metódy preštudujte príklad grafickej analýzy závislosti
dráhy od času.
b) Naučte sa používať metódu kreslenia dotyčnice krivky a merania jej sklonu.
c) Zostrojte graf závislosti rýchlosti od času.
3.6 Meranie rýchlosti nerovnomerného pohybu
V predchádzajúcom článku 3.5 sme zaviedli definíciu rýchlosti nerovnomerného
pohybu. Zistili sme, že rýchlosť nerovnomerného pohybu v určitom čase t môžeme
určiť ako sklon dotyčnice vedenej ku krivke grafu závislosti s = s(t) v tomto časovom okamihu. Zopakujme si ešte raz definíciu okamžitej rýchlosti nerovnomerného
pohybu:
Rýchlosť pohybu telesa v istom čase je rýchlosť, ktorou by sa teleso pohybovalo, keby od tohto času bol jeho pohyb rovnomerný priamočiary.
Dotyčnica v určitom bode tejto krivky zobrazuje časovú závislosť dráhy rovnomerného pohybu, ktorý by od tohto okamihu teleso konalo. Jej sklon zodpovedá
okamžitej rýchlosti, ktorou sa teleso v tomto okamihu pohybovalo. V tomto článku
by sme sa mali naučiť definíciu rýchlosti prakticky využiť pri meraní. Začneme
113
s jednoduchým experimentom, ktorý modeluje pohyb lyžiara na svahu a pod svahom (zostava experimentu je na obr. 3-15).
Obr. 3-15
Experiment modelujúci pohyb lyžiara na svahu a pod svahom. Namiesto lyžiara
použijeme valček alebo guľôčku. Na krátkom vodorovnom úseku ∆s pod svahom
pokladáme silu valivého trenia za zanedbateľne malú.
Experiment 1: Odmerajte konečnú rýchlosť, ktorú dosiahne guľôčka (alebo napr.
valček, tenisová lopta…), ak ju uvoľníme v rôznych miestach naklonenej roviny.
(Vhodné je použiť teleso s väčšou hmotnosťou, ktoré zobrazil počítač pri experimente na obr. 3-16.)
Obr. 3-16
Pohyb klzáka vzduchovej dráhy so zanedbateľným trením. Tiažová sila F', pôsobiaca
na závažie, uvádza klzák do zrýchleného pohybu. Po zachytení závažia (v čase t' vo
vzdialenosti s' od začiatku dráhy), sa vozík pohybuje rovnomerne, konštantnou
rýchlosťou.
Plánujte experiment: Prichystajte si rovinnú plochu naklonenú voči vodorovnej
rovine približne o niekoľko stupňov a valček, ktorý bude modelovať lyžiara. Potrebujete aj stopky – nájdete ich napr. na niektorých kalkulačkách alebo na mobilnom
telefóne. Pomocou nich budeme merať časové intervaly ∆t, za ktoré prejde vaša
guľôčka dráhu ∆s.
Čo od experimentu očakávame (hypotéza): Teleso sa bude na naklonenej rovine
pohybovať zrýchleným pohybom. Ak sa bude pohybovať zrýchlene dlhšie, mali by
sme na konci jeho dráhy odmerať väčšiu okamžitú rýchlosť.
Realizujte experiment: Presvedčte sa, že hypotéza, ktorú sme vyslovili v predchádzajúcom odseku, je pravdivá.
114
Záver: Ako súvisí meranie, ktoré ste práve urobili, s definíciou rýchlosti nerovnomerného pohybu?
Experiment 2: Preskúmajte experiment na obr. 3-16. (Vzduchovú dráhu, sme
už opísali v článkoch 2.13 a 3.4.)
Porovnajte experimenty: Uvážte, v čom sa experiment s pohybom guľôčky na naklonenej rovine (obr. 3-15) podobá na experiment so vzduchovou dráhou na obr. 3-16.
Mali by sme (v myšlienkach) zobrazený experiment preskúmať a riešiť úlohy:
Aký pohyb bude konať klzák vzduchovej dráhy pred tým, ako sme zachytili
závažie a aký bude jeho ďalší pohyb potom? Dokedy sa bude jeho rýchlosť zväčšovať?
Akou veľkou rýchlosťou sa bude pohybovať klzák po zachytení závažia na plošine
stojana?
Navrhnite metódu experimentálneho stanovenia konečnej rýchlosti, ktorú klzák
dosiahol pri zrýchlenom pohybe.
Obr. 3-17
Grafy závislosti dráhy od času a rýchlosti od času pri pohybe klzáka na obr. 3-16. Na
obrázku vľavo sme nechali silu pôsobiť na klzák až do konca dráhy. Na obrázku vpravo
sme ponechali na obrazovke prvý graf a pokus sme zopakovali tak, že v okamihu
t = 1,7 s sme zachytili závažie. Od tohto okamihu až po koniec dráhy sa klzák pohyboval rovnomerným pohybom. Dáta, hodnoty času t, dráhy s a rýchlosti v, sa snímali
pomocou špeciálnej aparatúry, umožňujúcej kreslenie grafov na obrazovke počítača.
Na obr. 3-17 sú grafy závislosti dráhy od času s = s(t) a rýchlosti od
času v = v (t).
Grafy v ľavej časti obrázka zodpovedajú voľnému pohybu vozíka bez
zachytenia závažia. V pravej časti obrázka sú grafy nasnímané pri pohybe
so zachytením závažia.
115
Pri skúmaní grafu na obr. 3-17 vpravo môžeme určiť čas t', v ktorom sme
zachytili závažie a dráhu s', ktorú klzák prešiel až do zachytenia závažia.
Mali by sme vedieť vyriešiť úlohy
a) Vysvetlite ako dlho trval zrýchlený pohyb klzáka a po akej dráhe sa konal.
b) Preskúmajte graf závislosti v = v(t) v pravej časti obr. 3-17 a určte rýchlosť v'
vozíka v čase t' zachytenia závažia.
c) Zopakujte si teraz znova definíciu okamžitej rýchlosti. Preskúmajte graf závislosti
s = s(t) v pravej časti obr. 3-17. Meraním na grafe určte rýchlosť v' vozíka v čase
t' zachytenia závažia. Porovnajte výsledky vašich meraní podľa bodov b, c.
Pri riešení úlohy 1 v predchádzajúcom článku 3.5 ste sa mali zoznámiť s novou
grafickou metódou, pomocou ktorej môžeme stanoviť okamžité rýchlosti v, ak poznáme graf závislosti s = s(t), dráhy od času: Ak chceme určiť okamžité rýchlosti
v vo vybraných časoch t, narysujeme dotyčnice krivky grafu s = s(t) v bodoch so
súradnicami (t, s). Potom odmeriame a vypočítame rýchlosti v ako sklon každej
z dotyčníc zostrojených v časoch t.
 ∆s 

 ∆t  t
3.7 Skúmanie voľného pádu
Pri pohyboch, ktorými sme sa doteraz zaoberali, sa ukázalo, že pohyb telesa je
zrýchlený, ak sila, ktorá naň pôsobí v smere pohybu je väčšia ako sila pôsobiaca
proti smeru pohybu. Preskúmajme teraz ešte jeden pohyb, ktorý dôverne poznáme
z každodenného života. Na všetky telesá v okolí Zeme pôsobí tiažová sila. V blízkom
okolí povrchu Zeme, sa táto sila nemení. Ak teleso v určitej výške, napr. niekoľko
metrov nad povrchom Zeme uvoľníme, tiažová sila je príčinou jeho pádu. Zo skúsenosti vieme, že rýchlosť voľného pádu smeruje zvisle nadol a jej veľkosť sa v závislosti od času zväčšuje.
v=
Opis metódy a praktická ukážka merania je v prílohe P2 Grafické metódy. Metódu, ktorú naštudujete, použite pri riešení úlohy 1.
Ak nemáme vzduchovú dráhu, môžeme pri experimente na obr. 3-16 použiť
pri meraní okamžitej rýchlosti pomocou stopiek vozíčkovú súpravu – školskú
súpravu, kde namiesto klzáka sa pohybuje vozík na koľajničkách.
Úlohy
1. Prekreslite na milimetrový papier graf závislosti s = s(t) z obr. 3-17 vľavo, alebo
si urobte zväčšenú fotografickú (xeroxovú) kópiu grafu. Preskúmajte obrázok
a premerajte ho pomocou zrkadla. Určte hodnoty rýchlosti klzáka v troch časoch,
ktoré si zvolíte a porovnajte výsledky s hodnotami na grafe rýchlosti v = v (t).
Zostrojte graf závislosti rýchlosti od času.
2. V článku 1.9, na obr. 1-17 je tabuľka a graf závislosti dráhy od času lyžiara pri
zjazde. Urobte si zväčšenú fotografickú (xeroxovú) kópiu grafu. Použite grafickú
metódu stanovenia okamžitej rýchlosti a zostrojte graf závislosti rýchlosti od času.
3. V článku 1.9, na obr. 1-20 je tabuľka a graf závislosti h = h(t) výšky rastliny od
času. Urobte si zväčšenú fotografickú (xeroxovú) kópiu grafu. Použite grafickú
metódu stanovenia okamžitej rýchlosti a zostrojte graf časovej závislosti v = v (t)
rýchlosti, ktorou sa pohybuje vrchol rastliny.
116
Obr. 3-18
Školský pokus s voľným pádom telies
v Newtonovej trubici. Olovená guľôčka,
pierko a úlomok skla padajú rovnakou
rýchlosťou v, keď z trubice vyčerpáme
vzduch.
Pri páde sa teleso stretáva s odporom prostredia – vzduchu, v ktorom sa
pohybuje. Odporová sila závisí od rozmerov telesa. Ak si zvolíme pomerne malé
teliesko, napr. oceľovú guľôčku s priemerom do jedného centimetra, obvykle
budeme môcť považovať odporovú silu za zanedbateľne malú.
Keby sme chceli odporovú silu podstatnejšie zmenšiť, nepoužili by sme guľôčku,
ale teleso s aerodynamickým tvarom (vyzeralo by ako kvapka, ktorá sa práve odtŕha
od vodovodného kohútika). Keby sme chceli odporovú silu úplne vylúčiť, nechali
by sme guľôčku padať vo vákuu.
Pád telesa, pri ktorom na padajúce teleso nepôsobí proti pohybu
odporová sila, budeme nazývať voľný pád telesa.
Najprv budeme analyzovať pád guľôčky na obr. 3-19. Oceľovú guľôčku udržuje
na začiatku dráhy s elektromagnet. Po uvoľnení padá a my sme zaznamenali jej polohy v časoch, medzi ktorými uplynul interval 0,045 s.
117
Polohy guľôčky počas pádu sme zobrazili pomocou zariadenia, ktoré sa nazýva stroboskop. Guľôčku udržiavanú v začiatočnej polohe sme umiestnili v tmavej
miestnosti pred otvoreným objektívom. Po uvoľnení sme ju vždy po uplynutí času
0,045 s osvetlili krátkym zábleskom reflektora. Tak sme dostali obrázok, ktorý máme
analyzovať.
Obr. 3-19
Fotografia (stroboskopický záznam) pádu guľôčky.
V hornej časti obrázka vidíme cievku so železným
jadrom – elektromagnet, ktorý udržuje v začiatočnej
polohe oceľovú guľôčku. Keď prúd v cievke prerušíme, guľôčka padá. Padajúcu guľôčku sme počas jej
pádu niekoľkokrát zobrazili fotografickou kamerou,
vždy po uplynutí časového intervalu 0,045 s.
Z fotografie vidíme, že pohyb nie je rovnomerný. Zmeny dráhy odmerané v navzájom rovnakých časových intervaloch 0,045 s sa postupne zväčšujú – pohyb je
zrýchlený.
Pri spracovaní fotografického záznamu padajúcej guľôčky treba zostaviť
tabuľku šiestich dvojíc (t, s) a použiť ich pri zostrojení grafu závislosti s = s(t).
Meraním na grafe treba stanoviť aspoň štyri hodnoty rýchlosti v rôznych
časoch t. (Pozri postup Konštrukcia dotyčnice krivky v prílohe P2.)
Nakoniec treba zobraziť graf v = v (t) rýchlosti v závislosti od času. Príklad
spracovania dát získaných analýzou fotografického záznamu je na obr. 3-20.
Ak sme merali a merania spracovali správne, môžeme súdiť, že
guľôčka padá tak, že v navzájom rovnakých časových intervaloch sa
jej rýchlosť zväčšuje o rovnaké hodnoty. Dej, pri ktorom sa rýchlosť
v závislosti od času rovnomerne mení, budeme nazývať rovnomerne
zrýchlený pohyb.
Voľný pád telesa je priamočiary rovnomerne zrýchlený pohyb.
118
Obr. 3-20
Výsledky grafického spracovania dát odmeraných pri páde guľôčky. Hore – body
(t, s) preložené grafom závislosti s = s(t), dráhy od času. Pohyb sa zrejme zrýchľuje.
Dole – výsledky merania okamžitej rýchlosti – body (t, v) preložené grafom závislosti v = v (t) rýchlosti od času.
Zrýchlenie voľného pádu
Rovnomerné narastanie rýchlosti voľného pádu zobrazuje sklon priamky, ktorá je
grafom závislosti v = v (t) rýchlosti od času na obr. 3-20. Sklon priamkového grafu
v sústave súradníc s osami t, v môžeme vyjadriť a aj vypočítať, ak dosadíme hodnoty
∆t a ∆v, ktoré odmeriame v obrázku
a=
∆v
∆t
=
1,5 m ⋅ s
−1
0,15 s
≈ 10 m ⋅ s
−2
Hodnota a, ktorú sme práve vypočítali, vyjadruje ako sa mení rýchlosť pohybu
padajúcej guľôčky za jednotku času.
∆v
(1)
a=
∆t
Je to veľkosť vektorovej veličiny, ktorá sa nazýva zrýchlenie pohybu.
Jednotka fyzikálnej veličiny zrýchlenie nemá zvláštne pomenovanie. Nájdeme
ju podľa predpisu, ktorý sme už niekoľkokrát použili
[a] =
[ ∆ v]
[∆t ]
=
m⋅s
s
−1
= m⋅s
−2
119
Veličinu a, veľkosť zrýchlenia, sme určili meraním sklonu priamkového grafu
závislosti rýchlosti od času v časovom intervale ∆t. Vypočítaná hodnota zrýchlenia
sa teda viaže na tento časový interval. Keďže však je grafom našej závislosti v = v(t)
priamka, rovnako veľké zrýchlenie by sme vypočítali aj, keby sme si boli zvolili
iný časový interval. Zrýchlenie rovnomerne zrýchleného pohybu, ktorým je voľný
pád, má konštantnú veľkosť – nezávisí od dĺžky časového intervalu ∆t, v ktorom
ho meriame.
Pre inom nerovnomernom pohybe, pri ktorom závislosť v = v(t) nie je lineárna,
by zrýchlenie nebolo konštantné a menilo by sa v závislosti od dĺžky časového
intervalu, v ktorom by sme ho merali. Pri takom pohybe by zrýchlenie definované
vzťahom (1) bolo priemerné zrýchlenie pohybu v časovom intervale ∆t.
Pre pohyb rovnomerne zrýchlený platí:
Zrýchlenie rovnomerne zrýchleného pohybu sa rovná priemernému
zrýchleniu tohto pohybu.
Meraním na grafe na obr. 3-20 sme stanovili veľkosť a zrýchlenia pádu guľôčky,
10 m · s−2.
Meraním tejto veličiny – zrýchlenia padajúcich telies – sa už pred viac ako
400 rokmi zaoberal Galileo Galilei. Na základe merania a myšlienkových experimentov usúdil, že zrýchlenie voľného pádu je konštantná hodnota, nezávislá od
hmotnosti padajúceho telesa.
Veľkosť zrýchlenia voľného pádu značíme g. Na povrchu Zeme sa jeho hodnota
mení v rozpätí niekoľkých percent v závislosti od zemepisnej šírky a nadmorskej
výšky, v ktorej ju meriame. V našej krajine je jeho veľkosť (vyjadrená troma platnými číslicami) g = 9,81 m · s−2.
3.8 Priamočiary rovnomerne zrýchlený pohyb
Úlohy
Uvažujme teraz chvíľku ako matematici: Keď je graf závislosti rýchlosti od času
priamka, závislosť v = v(t) by sa mala dať vyjadriť lineárnou funkciou v = kt + q.
V poslednej rovnici sú k a q konštanty. Pre pohyb na obr. 3-21 sa konštanta q rovná
nule (pretože na začiatku merania času t = 0 má klzák rýchlosť v = 0 a platí
0 = k · 0 + q ⇒ q = 0).
Mali by sme teraz určiť význam konštanty k. Z matematiky vieme, že konštanta
k v rovnici, ktorou zapisujeme lineárnu funkciu, má význam sklonu priamky (pozri
časť „Priama úmernosť a lineárna funkcia“ v prílohe P1).
Sklon k priamky, ktorá je grafom závislosti v = v(t) rýchlosti od času na obr. 3-21
môžeme vyjadriť a aj vypočítať v sústave súradníc s osami t, v, ak dosadíme hodnoty ∆t a ∆v, ktoré si môžeme prečítať z grafu závislosti v = v(t) na obr. 3-21
1. Ak sa obmedzíme na tri platné číslice, odmeriame v našej krajine hodnotu
zrýchlenia voľného pádu g = 9,81 m · s−2. Presvedčte sa, že pri meraní, ktorého
výsledky sme vyjadrili v grafoch na obr. 3-20, sme sa od tejto hodnoty odchýlili
nie viac ako o 2 %.
2. Spracujte stroboskopický záznam padajúcej guľky na obr. 3-19 podľa pripojeného
návodu. Meraním na grafe určte zrýchlenie voľného pádu. [Ak sme pracovali
dostatočne presne, meraním sklonu grafu závislosti v = v(t) by sme mali dostať
g ≈ 10 m · s−2]
3. Vyhľadajte si informácie, ktoré by vám umožnili zdôvodniť výrok „Voľný pád
telesa je priamočiary pohyb. Jeho trajektória je priamka, ktorá smeruje (približne)
do stredu Zeme…“ O vašej práci napíšte stručnú správu, v ktorej vysvetlíte, čo
ste o jave zistili a uveďte pramene, z ktorých ste čerpali vedomosti.
120
Experiment na obr. 3-21 už nie je pre nás nový. Mali by sme obrázok preskúmať
a uvážiť, aký druh pohybu koná klzák. Graf jeho rýchlosti v závislosti od času je
priamka: Pohyb klzáka je rovnomerne zrýchlený.
Obr. 3-21
Klzák sa na vzduchovej dráhe
pohybuje so zanedbateľne
malým trením. Tiažová sila F,
pôsobiaca na závažie, uvádza
klzák vzduchovej dráhy do
zrýchleného pohybu. Na displeji
počítača sa zobrazujú grafy
s = s(t) – dráhy od času a v = v(t) –
rýchlosti od času. Meraním na
grafe závislosti v = v(t) a výpočtom sme dostali pre zrýchlenie
a = 0,25 m · s−2.
k=
∆v
∆t
=
0,5 m ⋅ s
2,0 s
−1
≈ 0, 25 m ⋅ s
−2
121
Hodnota k, ktorú sme práve vypočítali, vyjadruje ako sa mení rýchlosť pohybu klzáka za jednotku času. Je to zároveň veľkosť vektorovej
fyzikálnej veličiny, ktorá sa nazýva zrýchlenie pohybu
a=
∆v
∆t
(1)
Pokiaľ sa zaoberáme len zrýchlenými pohybmi na priamke, nebudeme si všímať
vektorového charakteru veličiny zrýchlenie a budeme ju vyjadrovať pomocou zmeny
veľkosti rýchlosti ∆v vzťahom
∆v
a=
(2)
∆t
Klzák vzduchovej dráhy na obr. 3-21 sa pohybuje s konštantným zrýchlením,
ktoré má veľkosť a = 0,25 m · s−2.
Rýchlosť rovnomerne zrýchleného pohybu
Zo vzťahu (2) môžeme vyjadriť zmenu rýchlosti klzáka vzduchovej
dráhy
∆v = a∆t
Ak dosadíme za časový interval ∆t = t − t0 a za zmenu rýchlosti v tomto
intervale ∆v = v − v0, dostaneme
v − v0 = a (t − t0)
(3)
Skúmaním grafov na obr. 3-21 môžeme zistiť, že pre začiatočné
hodnoty času a dráhy platí t0 = 0, v0 = 0. Preto posledný vzťah sa dá
upraviť do tvaru
v = at
(4)
Vzťah (4) vyjadruje priamu úmernosť, ktorá zodpovedá priamkovému
grafu na obr. 3-21. Rýchlosť rovnomerne zrýchleného pohybu klzáka na
obr. 3-21 narastá priamo úmerne s časom.
Vzťahy (3) a (4) použijeme teraz na riešenie úlohy.
Na obr. 3-22 sú grafy opisujúce pohyb dvoch drobných olovených guľôčok. Jednu
z nich sme nechali padať voľným pádom z okna budovy vo výške 20 m. Súčasne
so začiatkom tohto pohybu sme druhú guľôčku vystrelili smerom nadol z praku.
122
Na základe našich predchádzajúcich znalostí by sme mali vedieť odpovedať na
niekoľko otázok:
a) Ktorú z guľôčok A, B sme vystrelili?
b) Akú veľkú rýchlosť mali guľôčky na začiatku pohybu?
c) Podľa ktorej vlastnosti zobrazených grafov poznáme, že obidve guľôčky padajú
s rovnakým zrýchlením?
d) Ako vypočítame zrýchlenie pomocou údajov získaných z grafu?
e) Podľa čoho by sme mohli súdiť, že guľôčky padajú aj keby to nebolo v zadaní
úlohy?
Obr. 3-22
Dva rovnomerne zrýchlené
pohyby s rovnakým
zrýchlením (10 m · s−2)
a s rôznymi začiatočnými
rýchlosťami 0 a 5 m · s−1.
Skúsime teraz opísať pohyb obidvoch guľôčok rovnicami vyjadrujúcimi závislosť rýchlosti od času.
Guľôčka A sa pohybuje so začiatočnými podmienkami t0 = 0, v0 = 0 podľa
vzťahu (4) v = at.
Guľôčka B sa pohybuje so začiatočnými podmienkami t0 = 0, v0 = 5 m. Závislosť dráhy od času dostaneme po dosadení začiatočných podmienok do vzťahu (3):
v = a t + v0.
Obidva priamkové grafy zobrazujúce rýchlosť v v závislosti od času majú voči
osi t rovnaký sklon. Preto aj zrýchlenia obidvoch pohybov vychádzajú rovnaké
aA = aB = a. Meraním na každom zo zobrazených grafov vychádza zrýchlenie
 ∆v 
a=

 ∆t  A
⇒ napr. :
a=
v − v0
15 − 5 m ⋅ s −1
=
= 10 m ⋅ s − 2
t − t0
1,5 − 0,5 s
Na pohyb guľôčky B, ktorú sme vystrelili smerom nadol rýchlosťou v0 = 5 m sa
môžeme pozrieť aj trochu odlišným spôsobom. Zo vzťahu (3) vyplýva, že guľôčka
sa pohybuje smerom nadol rovnomerne zrýchleným pohybom rýchlosťou v' = at
a súčasne rovnomerným pohybom rýchlosťou v0. Môžeme preto pohyb guľôčky vystrelenej zvisle nadol považovať za pohyb zložený z dvoch pohybov: priamočiareho
rovnomerne zrýchleného pohybu, ktorý sme nazvali voľný pád a priamočiareho
rovnomerného pohybu s rýchlosťou, ktorú sme nazvali v0, začiatočná rýchlosť.
123
Úloha
Teleso, ktoré má malé rozmery a aerodynamický tvar necháme padať z jedenásteho poschodia.
a) Akú bude mať rýchlosť po dvoch sekundách pohybu? [19,6 m · s−1. Návod:
Použite vzťah (2) a vyjadrite z neho zmenu rýchlosti ∆v. Za veľkosť zrýchlenia a dosaďte hodnotu zrýchlenia voľného pádu g = 9,81 m · s−2.]
b) Skúste odhadnúť, pri ktorom poschodí sa po uplynutí dvoch sekúnd teleso
nachádza. [Medzi štvrtým a piatym poschodím, ak sú poschodia vysoké
približne 3 m. Pri výpočte treba vychádzať z priemernej rýchlosti, ktorá má
veľkosť rovnajúcu sa polovici hodnoty vypočítanej v bode a). Dráhu voľného
pádu potom vypočítame ako dráhu rovnomerného pohybu, ktorý by sa odohral
na rovnakej dráhe v rovnakom časovom intervale ako voľný pád).]
c) Akú bude jeho rýchlosť po dvoch sekundách pohybu, ak ho hodíme zvisle
nadol rýchlosťou 10 m · s−1 v okamihu, keď začíname merať čas. [29,6 m · s−1]
3.9 Dráha a rýchlosť rovnomerne zrýchleného pohybu
grafom. Priemernú hodnotu rýchlosti v časovom intervale ∆t = t2 − t1
môžeme preto vypočítať podľa vzťahu
vp =
v2 + v1
2
Ak v obr. 3-23 preskúmame graf závislosti s = s(t) zistíme, že vo
vyznačenom časovom intervale ∆t = 1,0 s sa dráha zmenila o hodnotu
∆s = 0,4 m. Rovnakú hodnotu zmeny dráhy môžeme určiť aj meraním
vyšrafovanej plochy pod čiarou grafu nad intervalom ∆t. Vyšrafovaná plocha má rovnaký obsah ako plocha štvoruholníka ABCD, uzavretého pod
čiarou grafu závislosti v = v(t) rovnomerne zrýchleného pohybu klzáka.
Rozpamätajme sa, že dráhu rovnomerného pohybu sme zobrazovali pomocou
plochy v článku 3.4. Teraz vidíme, že zmenu dráhy v určitom časovom intervale
zobrazuje aj plocha pod čiarou grafu rýchlosti nerovnomerného pohybu. Tento
poznatok použijeme pri odvodení vzťahu pre závislosť dráhy od času rovnomerne
zrýchleného pohybu.
Priemerná rýchlosť rovnomerne zrýchleného pohybu
Na obr. 3-23 sú grafy závislostí v = v (t) rýchlosti od času a s = s(t)
rovnomerne zrýchleného pohybu klzáka vzduchovej dráhy. Rýchlosť
sa v závislosti od času rovnomerne mení a je znázornená priamkovým
Obr. 3-23
Počítačový záznam grafov dráhy a rýchlosti
v závislosti od času pri pohybe klzáka
vzduchovej dráhy v pokuse znázornenom
na hornej časti obr. 3-21. Vo vyznačenom
časovom intervale ∆t = 2,0 s – 1,0 s = 1,0 s
mal klzák priemernú rýchlosť vp = 0,4 m · s−1
a dráha sa zmenila o hodnotu ∆s = vp∆t =
= 0,4 m · s−1 · 1,0 s = 0,4 m.
124
Obr. 3-24
Klzák, na ktorý pôsobí stála sila sa pohybuje s konštantným zrýchlením. Na obrázku a)
vľavo sme začali merať čas (t0 = 0) v okamihu, keď sa klzák začal rozbiehať (v0 = 0).
Na obrázku b) vpravo sme začali merať čas (t0 = 0) keď už mal klzák začiatočnú
rýchlosť rôznu od nuly (v0 = 0,2 m · s−1).
125
Dráha rovnomerne zrýchleného pohybu
Na obr. 3-24 sú zobrazené grafy dráhy a rýchlosti v závislosti od času, ktoré sme
získali pri laboratórnych experimentoch so vzduchovou dráhou. Preskúmaním grafov
môžeme zistiť:
a) Zrýchlenie obidvoch pohybov je rovnaké a = 0,05 m · s−2.
b) Začiatočné podmienky pohybov sa navzájom líšia:
– Pri pohybe znázornenom grafmi na obr. 3-24a sa začiatočná rýchlosť rovná
nule (v čase t0 = 0, v0 = 0).
– Pri pohybe znázornenom grafmi na obr. 3-24b je začiatočná rýchlosť rôzna
od nuly (v čase t0= 0, v0 = 0,2 m · s−1).
Preskúmajme najprv grafy na obr. 3-24b.
Z predchádzajúceho článku 3.8 vieme, že na konci časového intervalu
∆t = t − t0 = t môžeme rýchlosť takého pohybu v čase t vyjadriť vzťahom
v = at + v0
V úvode tohto článku sme ukázali, že dráhu ∆s = s − s0, ktorú klzák
prešiel v časovom intervale ∆t = t − t0, nájdeme meraním plochy pod
čiarou grafu nad týmto časovým intervalom
1
∆s = v0 · ∆t + (v − v0) · ∆ t
2
1
s − s0 = v0 · (t − t0) + (v − v0) · (t − t0)
2
1
s = v0 t + (v − v0) · t
2
1
s = v0 t + (at + v0 − v0) · t
2
1 2
s = at + v0t
(1)
2
Vzťah (1) vyjadruje závislosť dráhy od času rovnomerne zrýchleného
pohybu s nenulovou začiatočnou rýchlosťou.
Ak pohyb telesa sledujeme od okamihu, v ktorom sa začalo pohybovať (pozri obr. 3-24a) a jeho rýchlosť sa ešte rovnala nule (t0 = 0, v0 = 0),
vzťah (1) sa zjednoduší
1
s = at 2
2
126
Vo všeobecnosti, ak v čase t0 = 0 malo teleso nenulovú začiatočnú rýchlosť v0 ≠ 0
a prešlo dovtedy nenulovú začiatočnú dráhu s0 ≠ 0, dráhu v závislosti od času vyjadruje vzťah
s=
1 2
at + v0t + s0
2
Príklad: Zákony voľného pádu
Typickým príkladom rovnomerne zrýchleného pohybu je voľný pád. Použijeme
vzťahy, ktoré sme odvodili pre dráhu a rýchlosť rovnomerne zrýchleného pohybu,
aby sme zapísali zákony, ktorými sa riadi voľný pád telesa.
Ak teleso uvoľníme a necháme padať voľným pádom, zrýchlenie jeho pohybu
je a = g a v čase t0 = 0 sú splnené podmienky
s0 = 0, v0 = 0
Pre voľný pád telesa teda môžeme písať vzťahy
g = konšt.,
v = gt,
s=
1
2
gt 2
(2)
Vzťahy uvedené v tabuľke 3-1 rovnomerne zrýchlených pohybov v tomto článku
sú definičné vzťahy rovnomerne zrýchleného pohybu, ktorý konajú telesá pri rôznych podmienkach. Telesá, ktoré sa týmito vzťahmi riadia, konajú rovnomerne
zrýchlený pohyb.
Tabuľka 3-1
Rovnomerne zrýchlený pohyb
zrýchlenie, rýchlosť a dráha pri rôznych začiatočných podmienkach
1
2
3
Začiatočné
podmienky
t0 = 0,
v0 = 0,
s0 = 0
t0 = 0,
v0 ≠ 0,
s0 = 0
t0 = 0,
v0 ≠ 0,
s0 ≠ 0
Zrýchlenie
Závislosť rýchlosti
od času
Závislosť dráhy
od času
a = konšt.
v = at
s=
a = konšt.
v = a t + v0
s=
a = konšt.
v = a t + v0
s=
1
2
1
2
1
2
at2
a t 2 + v0t
a t 2 + v0t + s0
127
Od definičných vzťahov musíme odlíšiť prírodné zákony, ktorými sa telesá
riadia. Tak napr., skutočnosť, že telesá padajú v okolí Zeme voľným pádom
s rovnakým zrýchlením nevyplýva zo žiadnej definície – je to dané zákonitosťami
gravitačného poľa v okolí Zeme. Vzťahy (2) sa dajú experimentálne zistiť – meraním
dráhy alebo rýchlosti voľného pádu v závislosti od času. Preto ich považujeme za
empirické prírodné zákony (empirické – zo skúsenosti vyplývajúce). Nazývame
ich zákon rýchlosti voľného pádu a zákon dráhy voľného pádu.
e) Ako by sme nazvali druh pohybu, ktorý lyžiar konal? [rovnomerne spomalený
pohyb]
Úlohy
1. Vymyslite si niekoľko príkladov rovnomerne zrýchlených pohybov pre závislosti
s = s (t) z posledného stĺpca tabuľky 3-1 a odhadnite, aké by boli ich konštanty
označené a, v0, s0.
2. Projektant má navrhnúť štartovaciu dráhu pre lietadlá, ktorých vzletová rýchlosť je
180 km · h−1. Lietadlo je konštruované tak, že jeho motory mu udeľujú zrýchlenie
1,0 m · s−2. Akú minimálnu dĺžku dráhy navrhne? [1 250 m]
3. Na obr. 3-25 vľavo sa dve autá rozbiehajú, až kým nedosiahnu maximálnu dovolenú rýchlosť.
a) Meraním plôch pod grafmi určte dráhy, ktoré prešli zrýchleným pohybom.
[sA = 75 m, sB = 125 m]
b) Opíšte slovami dopravnú situáciu a možné príčiny nerovnakého pohybu
automobilov.
c) Meraním na grafe stanovte zrýchlenia automobilov. [4,2 m · s−1, 2,5 m · s−1]
d) Vypočítajte dráhy, ktoré prešli autá pri zrýchlenom pohybe a výsledky porovnajte s hodnotami získanými pri riešení podľa bodu a). [sA ≈ 75 m, sB ≈ 125 m]
Obr. 3-26
3.10 Ako automobil brzdí a ako sa rozbieha
V predchádzajúcom článku sme sa zoznámili s pohybom rovnomerne zrýchleným
a s jeho opisom rovnicami, ktoré vyjadrujú dráhu, rýchlosť a zrýchlenie v závislosti
od času. Pokúsime sa teraz tieto vzťahy použiť pri opise situácie na obr. 3-27. Ako
vo väčšine prípadov doteraz, budeme skúmať teleso pohybujúce sa po priamke tak,
že ho nahradíme predstavou, ktorú sme nazvali hmotný bod. Teleso by sa počas
pohybu nemalo otáčať, ale len posúvať tak, aby jeho body konali len priamočiary
pohyb. Takej predstave vyhovuje napr. kamión, ktorý sa blíži rýchlosťou v1 ku
križovatke. Kamión pred križovatkou brzdí – proti smeru jeho pohybu pôsobí stála
sila, preto jeho rýchlosť rovnomerne klesá. Cez križovatku prejde auto rovnomerným
pohybom. Za križovatkou naň pôsobí stála sila v smere pohybu a jeho rýchlosť
rovnomerne rastie.
spomalený pohyb pred križovatkou
Obr. 3-25
K úlohe 3.
4. Pri zjazde lyžiara na svahu sme merali čas t a rýchlosť v. Výsledky sme zobrazili
pomocou grafu, ktorý je na obr. 3-26.
a) Meraním na grafe určte dráhu, ktorú lyžiar prešiel v časovom intervale od
t1 = 2 s do t2 = 10 s.
b) Meraním na grafe určte zrýchlenie pohybu. [≈ −3,8 m · s−2]
c) Určte čas tZ, v ktorom lyžiar zastal. [≈ 12,5 s]
d) Určte začiatočnú rýchlosť lyžiara. [≈ 48 m · s−1]
128
zrýchlený pohyb za križovatkou
smer zrýchlenia ← a1
rovnomerný pohyb
0s
7,0 s
a2 = 0
16,5 m · s−1
6,0 m · s−1
smer sily
smer zrýchlenia → a3
14,0 s
30,0 s
6,0 m · s−1
9,5 m · s−1
smer sily
∆v = v2 − v1 < 0
∆v = v4 − v3 > 0
∆v
a1 =
<0
∆t
a3 =
∆v
>0
∆t
Obr. 3-27
Prejazd kamióna s hmotnosťou 10 000 kg križovatkou. Vektor zrýchlenia má vždy
rovnaký smer ako pôsobiaca sila.
129
Použijeme teraz údaje z obr. 3-27, aby sme vypočítali zrýchlenie a
kamióna pri brzdení pred križovatkou (I), pri rovnomernom pohybe
v križovatke (II) a pri rozbiehaní za križovatkou (III).
∆v v2 − v1 6,0 − 16,5
−10,5
=
=
m ⋅ s−2 =
m ⋅ s −1 ≈ −1,5 m ⋅ s − 2
∆t
t2 − t1
7,0 − 0
7,0
Pri brzdení pred križovatkou pôsobí na kamión stála sila proti smeru pohybu.
Zrýchlenie má konštantnú veľkosť a je orientované proti smeru pohybu. Pri
výpočte vychádza pri hodnote zrýchlenia záporné znamienko.
Pohyb kamióna pred križovatkou je rovnomerne spomalený.
a1 =
I
v − v2
6,0 − 6,0
0
= 3
=
m ⋅ s−2 =
m ⋅ s−2 = 0
∆t
t3 − t2 14,0 − 7,0
7,0
Pri prejazde kamióna križovatkou konštantnou rýchlosťou výsledná sila pôsobiaca
naň v smere pohybu sa rovná nule.
Kamión sa na križovatke pohybuje rovnomerným pohybom.
II
a2 =
∆v
v − v3
9,5 − 6,0
3,5
= 4
=
m ⋅ s−2 =
m ⋅ s − 2 ≈ 0,22 m ⋅ s − 2
∆t
t4 − t3
30,0 − 14,0
16,0
Pri rozbiehaní kamióna za križovatkou pôsobí na kamión stála sila v smere pohybu.
Zrýchlenie má konštantnú veľkosť a je orientované v smere pohybu. Pri výpočte
vychádza pre zrýchlenie kladná hodnota.
Pohyb kamióna za križovatkou je rovnomerne zrýchlený.
III
a3 =
∆v
Veľkosť zrýchlenia kamióna pred križovatkou a za križovatkou vyjadrujeme
v tvare
a=
∆v
(1)
Obr. 3-28
Dráha, rýchlosť a zrýchlenie kamióna na obr. 3-27 v závislosti od času.
∆t
Výraz
∆v
môže nadobudnúť kladnú aj zápornú hodnotu: Čas je veličina, ktorá
Úlohy
∆t
vždy len narastá, a preto menovateľ ∆t vo vzťahu (1) je vždy kladný t2 > t1. Čitateľ
zlomku je kladný v prípade, že pohyb je zrýchlený (v4 > v3) a bude záporný, ak sa
teleso bude pohybovať spomalene (v2 < v1).
Znamienko (−) pred veľkosťou veličiny zmena rýchlosti ∆v, alebo zrýchlenie a,
alebo pri hodnote sily F neznamená, že tieto veličiny majú zápornú veľkosť. Je to
len dôsledok toho, že s vektorovými veličinami ∆v, a pracujeme v našich rovniciach
ako so skalármi ∆v, a. Záporné znamienko pri výsledku výpočtu veľkosti zrýchlenia (a1 = −1,5 m · s−2) znamená, že vektor zrýchlenia je orientovaný proti smeru
pohybu telesa a teda proti smeru vektora rýchlosti.
130
1. Na obr. 3-28 sú grafy znázorňujúce dráhu, rýchlosť a zrýchlenie kamióna na
obr. 3-27. Rozdeľte zobrazený dej – prejazd kamióna križovatkou – na tri časové
intervaly, v ktorých sa pohyb kamióna navzájom líši.
a) Vysvetlite, aký druh pohybu koná kamión v každom z týchto časových úsekov.
b) Vysvetlite, prečo počas brzdenia kamióna vychádza pri vypočítanej hodnote
zrýchlenia záporné znamienko a naopak, pri jeho rozbiehaní je vypočítaná
hodnota zrýchlenia kladná.
2. Uvážte, aké by bolo zrýchlenie brzdiaceho kamióna, keby mal jeho vodič dať
pred križovatkou prednosť vozidlu, ktoré prichádza sprava. [ ≈ −2,4 m · s−2]
3. Zostavte počítačový model v IP Coach a simulujte prejazd kamióna križovatkou.
131
Model
t:=t+dt ' narastanie času
t1=0
If t1>=t2 Then Stop EndIf
If t<=t2 Then a=a1 Else a=0 EndIf
If t>=t3 Then a=a3 EndIf
dv:=a*dt ' prírastok rychlosti
v :=v+dv ' hodnoty rýchlosti
If v<=0 Then Stop EndIf
ds:=v*dt ' prírastok dráhy
s:=s+ds ' hodnoty dráhy
vH:=3.6*v
Začiatočné hodnoty, konštanty
t=0 ' (s) zač.mer.času
dt=0.04 ' (s) prírastok času
v1=16.5 v2=6
v3=6 v4=16.5
t1=0 t2=7
t3=16 t4=30
a1=(v2-v1)/(t2-t1) ' (m/s^2)
a2=(v3-v1)/(t2-t1)
a3=(v4-v3)/(t4-t3)
v1H=60 ' (km/h)
v=10*v1H/36 ' (m/s) zač. rýchlosť
s=0 ' (m) zač. dráha
Zobraziť treba tri grafy časových závislostí – zrýchlenia a = a(t), rýchlosti v = v (t),
(v km/h) dráhy s = s(t).V programe upravte v stĺpci Začiatočné hodnoty, konštanty
vstupné údaje tak, ako sú uvedené v obr. 3-27. V podprograme Vykonať/Simulácia
riešte rôzne dopravné situácie. Napr. nastavte časy t1 až t4 tak, ako by križovatkou
prechádzal osobný automobil, motocykel alebo bicyklista. Použite počítačovú
simuláciu aj pri riešení úlohy 2.
3.11 Druhý Newtonov pohybový zákon
Už niekoľkokrát sme sa pri rôznych dejoch zaoberali vzájomnými súvislosťami
medzi zrýchlením pohybu a silou, ktorá pôsobí na pohybujúce sa teleso. Tak tomu
bolo aj na obr. 3-27 v predchádzajúcom článku 3.10. Priamočiary pohyb kamióna
na ktorý pôsobí sila v smere pohybu a preto sa rozbieha zrýchleným pohybom.
Naopak, pri brzdení na kamión pôsobí sila proti smeru jeho pohybu a preto je jeho
priamočiary pohyb spomalený. Ak však sily pôsobia tak, že ich výslednica v smere
pohybu má nulovú veľkosť, kamión zotrváva v pokoji, alebo v priamočiarom rovnomernom pohybe.
Takéto správanie kamiónu sa zrejme riadi nejakou fyzikálnou zákonitosťou. Dalo
by sa očakávať, že existuje prírodný zákon, podľa ktorého navzájom súvisia
veličiny zrýchlenie a sila. Možno by sa dal vykonať experiment, ktorý by dal odpoveď na otázku ako závisí zrýchlenie pohybu telesa od sily, ktorá naň pôsobí? Aby
sme naše úvahy zjednodušili, považujme teleso počas pohybu za hmotný bod.
Podobnými úvahami sa zaoberal pred viac ako tristo rokmi anglický fyzik
ISAAC NEWTON (1643 – 1727). Spomeňme si na jeho 1. pohybový zákon, podľa
ktorého teleso zotrváva v pohybe priamočiarom a rovnomernom, ak naň nepôsobia
vonkajšie sily (pozri článok 2.13).
132
Newton zrejme vychádzal zo skúsenosti a z experimentov. Uvedomil si, že zmena
rýchlosti ∆v zrýchleného pohybu má ten istý smer ako pôsobiaca sila F a že jej
veľkosť závisí od veľkosti silového pôsobenia. Tento poznatok vyjadril v jednom
z najdôležitejších fyzikálnych zákonov, ktorý sa dnes nazýva podľa jeho autora
druhý Newtonov pohybový zákon.
Druhý Newtonov pohybový zákon môžeme vysloviť a zapísať rôznymi
spôsobmi. Najprv uvedieme jednu z jeho matematických foriem
F = ma
alebo
a=
F
m
(1)
Z rovníc (1) by sme mohli usúdiť:
Zrýchlenie pohybu telesa s konštantnou hmotnosťou je priamo úmerné
sile, ktorá na teleso pôsobí. Smer zrýchlenia je rovnaký ako smer pôsobiacej sily.
Ak pôsobíme rovnakou silou na telesá s nerovnakými hmotnosťami,
zrýchlenie ich pohybu je nepriamo úmerné ich hmotnosti.
Všimnime si, že sila nie je príčinou pohybu, ale je príčinou zmeny
pohybového stavu telesa. Teleso, na ktoré pôsobí sila, sa pohybuje
zrýchleným (alebo spomaleným) pohybom.
Pri priamočiarom pohybe hmotného bodu môže mať vektor zrýchlenia
jeden z dvoch smerov: Je orientovaný buď v smere pohybu, alebo proti
smeru pohybu. Vzájomnú súvislosť sily a zrýchlenia potom vyjadrujeme
v tvare, v ktorom namiesto vektorov vystupujú ich veľkosti
F
F = ma alebo a =
(2)
m
Z 2. Newtonovho zákona vyplývajú javy, ktoré sme doteraz posudzovali buď na
základe skúsenosti alebo neskôr podľa 1. Newtonovho pohybového zákona (pozri
článok 2.13):
Teleso sa pohybuje rovnomerne spomalene, ak naň pôsobí stála sila proti
smeru jeho pohybu.
Teleso sa pohybuje rovnomerne zrýchlene, ak naň pôsobí stála sila v smere
jeho pohybu.
Teleso zotrváva v stave pokoja alebo pohybu priamočiareho rovnomerného,
ak naň nepôsobia vonkajšie sily.
Vráťme sa teraz k prejazdu kamiónu križovatkou na obr. 3-27.
Použijeme hodnoty zrýchlenia a vypočítané v predchádzajúcom článku pre
pohyb kamióna (obr. 3-27) pri brzdení pred križovatkou (I), pri rovnomernom
133
pohybe v križovatke (II) a pri rozbiehaní za križovatkou (III) aby sme vypočítali
veľkosť sily F, ktorá naň pri tom pôsobí.
I
Kamión brzdí jeho pohyb je rovnomerne Na kamión pôsobí sila
spomalený.
−
F1 = m a1 = 10 000 · (−1,5) kg · m · s 2
∆v
−2
a1 =
≈ −1,5 m ⋅ s
F1 = −15 kN
∆t
Pri výpočte zrýchlenia a sily vychádza pri ich hodnotách záporné znamienko.
Zrýchlenie a sila sú orientované proti smeru pohybu kamióna.
II
Kamión prechádza rovnomerným
pohybom križovatkou.
a2 =
∆v
≈0
∆t
Výsledná sila pôsobiaca pri prejazde
križovatkou na kamión v smere jeho
pohybu sa rovná nule
F2 = m a2 = 0
Rýchlosť kamióna sa pri rovnomernom pohybe kamióna cez križovatku nemení. Zmena
rýchlosti, zrýchlenia a sila sa rovnajú nule
III
Kamión sa rozbieha, jeho pohyb je
rovnomerne zrýchlený.
a3 =
∆v
≈ 0,22 m ⋅ s − 2
∆t
Na kamión pôsobí sila
−2
F3 = m a3 = 10 000 · (0,22) kg · m · s
F3 = 2,2 kN
Zrýchlenie a sila sú orientované proti smeru pohybu kamióna.
2. Určte silu, ktorá by mala pôsobiť na kamión na obr. 3-27 pri brzdení a rozbiehaní,
ak by sme k nemu pripojili príves s rovnakou hmotnosťou, akú má kamión.
[≈ 30 kN, ≈ 4,4 kN]
3. Na obr. 3-28 v článku 3.10 sú grafy dráhy, rýchlosti a zrýchlenia v závislosti od
času opisujúce prejazd kamióna križovatkou. Hľadajte a vysvetlite súvislosti
medzi priebehom grafov a silou ktorá pôsobila na kamión.
4. Nákladný automobil so štyrmi kolesami a s hmotnosť ou 10 000 kg sa pohybuje rýchlosťou 20 m · s−1 na asfaltovej ceste s koeficientom statického trenia
0,5 (pre povrchy asfalt-guma).
a) Aká maximálna sila môže pri brzdení pôsobiť na kamión? [49 kN]
b) Aké bude maximálne zrýchlenie (záporné) kamiónu. [−4,9 m · s−2]
c) Aká bude jeho brzdná dráha. [≈ 41 m]
Pomoc: Sila F2, ktorá pôsobí na kamión pri brzdení, nemôže byť väčšia ako
maximálna sila statického trenia Ft = f0 mg.
3.12 Pohybová rovnica
Na obr. 3-29 je lyžiar pri jednom zo zimných športov. Lyžiara ťahá na lane
motocykel na priamej vodorovnej ceste tak, že naň pôsobí silou Fp v smere pohybu.
Zároveň pôsobí na lyžiara v opačnom smere, proti smeru pohybu, odporová sila
Fo, zložená z trecej sily vznikajúcej pri šmýkaní lyží a zo sily, ktorú nazývame
odporová aerodynamická sila.
Rýchlosť rovnomerne spomaleného pohybu v závislosti od času rovnomerne
klesá, a preto zrýchlenie vychádza pri výpočte záporné. Preto aj pre silu pôsobiacu
na kamión pri brzdení vychádza pri výpočte záporná hodnota.
Hodnota vypočítaná pre silu F1 = −15 kN nevyjadruje „zápornú veľkosť“ sily ale je
dôsledkom opačnej orientácie sily vzhľadom na smer, ktorým sa kamión pohybuje.
Druhý Newtonov pohybový zákon nevyplýva z iného zákona, možno sa však
skúsenosťou, napr. experimentmi, presvedčiť o jeho platnosti. Príklad postupu pri
overovacom experimente nájdete na adrese http://fyzikus.fmph.uniba.sk/ucebnice.
Vzťahy, ktoré sme označili (2), dávajú možnosť definovať jednotku sily newton
(N). Ak vyhľadáme jednotkový rozmer sily vychádza
[F] = [m] · [a] = kg · m · s−2 = N
Úlohy
1. Vysvetlite, prečo by sme mohli jednotku sily newton definovať výrokom: „Jeden
newton je sila, ktorá pri pôsobení na teleso s hmotnosťou 1 kg udelí telesu zrýchlenie 1 m · s−2“.
134
Obr. 3-29
Lyžiar na lane za motocyklom.
Pohyb lyžiara je závisí od výslednice síl, ktoré naň pôsobia
v smere jeho pohybu. Pohyb je
a) zrýchlený, b) rovnomerný,
c) spomalený.
135
Na lyžiara na obr. 3-29 pôsobí podľa matematických pravidiel o skladaní vektorov sila F = Fp + Fo. Vektory Fp, Fo majú navzájom opačný smer,
a preto veľkosť ich výslednice sa bude rovnať rozdielu veľkostí obidvoch
vektorov F = Fp − Fo. Výslednica smeruje na stranu väčšej zo skladaných síl. Od jej smeru bude závisieť aj druh pohybu, ktorý lyžiar koná.
Vo všeobecnosti vyjadrujeme druhý Newtonov pohybový zákon vo
vektorovom tvare, napr. vzťahom
F = ma
(1)
V tejto rovnici je na jednej strane výslednica síl, ktoré na teleso pôsobia, na druhej strane súčin hmotnosti a zrýchlenia. Zrýchlenie je veličina,
ktorá charakterizuje zmenu pohybu telesa. Rovnica (1) teda vyjadruje
súvislosť medzi pôsobením sily a pohybom telesa. Nazývame ju pohybová rovnica telesa.
Aby sme vektorovú rovnicu (1) mohli použiť pri riešení úlohy, napíšeme ju tak, aby v nej nevystupovali vektory, ale len veľkosti veličín
sila a zrýchlenie. Pri priamočiarych pohyboch, ktorými sa zaoberáme,
to nie je zložité – výsledná sila a zrýchlenie ležia v spoločnej priamke –
v smere alebo proti smeru pohybu. Ak chceme napr. riešiť úlohy o pohybe lyžiara za motocyklom na obr. 3-29, nájdeme najprv veľkosť
výslednice síl Fp, Fo. pôsobiacich na lyžiara. Sily majú navzájom opačný
smer a preto ich výslednicu nájdeme ako rozdiel – od veľkosti sily
pôsobiacej v smere pohybu odpočítame veľkosť sily pôsobiacej proti
smeru pohybu F = Fp − Fo. Pohybová rovnica má tvar
F = ma
alebo po dosadení
Fp − Fo = ma
(2)
Použijeme teraz pohybovú rovnicu (2), aby sme určili zrýchlenie pohybu lyžiara
na obr. 3-29a, b, c.
Fp − Fo
a=
m
Postupne preskúmajme tri prípady pohybu lyžiara na obr. 3-29.
a) Fp = 500 N, Fo = 100 N Fp > Fo, ma = Fp − Fo > 0
Výsledná sila je orientovaná v smere pohybu lyžiara.
a=
136
Fp − Fo
m
=
500 N − 100 N 400 N 40 kg ⋅ m ⋅ s −2
=
=
= 5 m ⋅ s −2
80 kg
80 kg
8 kg
Výslednica síl Fp, Fo má smer rovnaký so smerom pohybu. Rovnaký smer bude
mať aj zrýchlenie. Lyžiar sa bude pohybovať so zrýchlením veľkosti 5 m · s−2.
b) Fp = 100 N, Fo = 100 N Fp = Fo, ma = Fp − Fo = 0
Sily majú výslednicu s nulovou veľkosťou.
a=
Fp − Fo
m
=
100 N − 100 N
0N
=
=0
80 kg
80 kg
Veľkosť výslednice síl Fp, Fo sa rovná nule. Rýchlosť sa nemení, a preto sa aj
zrýchlenie rovná nule.
c) Fp = 50 N, Fo = 100 N Fp < Fo, ma = Fp − Fo < 0
Výsledná sila je orientovaná proti smeru pohybu.
a=
Fp − Fo
m
=
60 N − 100 N − 40 N
kg ⋅ m ⋅ s −2
=
= −0,5
= − 0,5 m ⋅ s − 2
80 kg
80 kg
kg
Rozdiel veľkostí síl Fp, Fo je záporný. Pri veľkosti zrýchlenia lyžiara vychádza
záporné znamienko. Pohyb lyžiara je spomalený.
Úlohy
1. Výsadkár klesá s padákom k zemi rovnomerným priamočiarym pohybom. Hmotnosť výsadkára je 75 kg, hmotnosť padáka 15 kg. Aká sila pôsobí na výsadkára
proti smeru tohto pohybu? [0,88 kN]
2. Lietadlo s hmotnosťou 104 kg má mať pri štarte rýchlosť 288 km · h−1. Motory
lietadla pôsobia na lietadlo celkovou silou 20 kN. Predpokladáme, že 20 %
tejto hodnoty pripadá na prekonávanie sily trenia a odporovej sily. Aká má
byť dĺžka štartovacej dráhy? [2,0 km]
Obr. 3-30
Lyžiar pri zjazde na svahoch s dvoma rôznymi sklonmi. Počítačové riešenie
úlohy je v prílohe P3 Práca s počítačom.
3. Na obr. 3-30 je lyžiar s hmotnosťou 80 kg pri zjazde na svahu s menším a s väčším sklonom. Koeficient dynamického šmykového trenia má hodnotu 0,05.
Odporovú silu, ktorou na lyžiara pôsobí vzduch, zatiaľ neberme do úvahy.
137
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Vypočítajte z údajov na obrázku vľavo (menší sklon svahu)
a) veľkosti síl Fp a Ft, [0,45 Fg, 0,045 Fg]
b) zrýchlenie pohybu lyžiara. [4,0 m · s−2]
Akú hodnotu by musel mať koeficient šmykového trenia, aby pohyb lyžiara
na svahu s menším sklonom bol približne rovnomerný? [0,5]
Riešte úlohu o zjazde lyžiara z obr. 3-30 na svahu s väčším sklonom. Pred riešením odpovedajte na otázky:
Bude zrýchlenie pohybu lyžiara na druhom svahu väčšie ako v predchádzajúcom prípade? (Uveďte dve príčiny.) [Pri väčšom sklone svahu bude pôsobiť väčšia
sila Fp a menšia trecia sila Fo.]
Ako dlho by sa pohyboval lyžiar na obr. 3-30 vľavo, ak celková dĺžka svahu je
200 m a jeho začiatočná rýchlosť sa rovná nule? [10 s]
Akú rýchlosť nadobudne lyžiar z predchádzajúcej úlohy na konci svahu?
[40 m · s−1]
Vyjadrite konečné rýchlosti lyžiara na obidvoch svahoch v jednotkách km · h−1
a zamyslite sa nad výsledkami. Sú reálne? Uvážte – okrem trecej sily na svahu
pôsobia na lyžiara aj iné odporové sily proti smeru pohybu.
Odporová aerodynamická sila, ktorá pôsobí na teleso proti smeru jeho pohybu
vo vzduchu, má veľkosť
1
Fa = Cρ S v 2
2
kde C je tvarový koeficient (môžeme dosadiť 0,3), S je obsah plochy rezu telesom kolmo na smer pohybu, ρ je hustota vzduchu a v je rýchlosť. Aká je veľkosť
tejto sily na konci svahu? [136 N na svahu vľavo, pri odhade S = 0,5 m2.]
Pokúste sa odpovedať na otázku, prečo nemôžeme odporovú aerodynamickú
silu započítať do nášho riešenia úlohy o pohybe lyžiara na svahu. Počítačové
riešenie úlohy je v prílohe P3 Práca s počítačom.
[Sila Fa nie je konštantná – mení sa počas pohybu v závislosti od rýchlosti
Fa = Fa(v).]
3.13 Hybnosť sústavy telies
Najprv preskúmajme situáciu, ktorou občas autori sci-fi príbehov spestrujú svoje
poviedky: Osamelý kozmonaut vyšiel zo svojej lode, aby vymenil uvoľnenú skrutku.
Lano, ktoré ho spájalo s loďou sa nanešťastie vyvlieklo zo závesu. Ako sa kozmonaut dostane späť na loď?
Kozmonaut, ktorý v rannej mladosti čítal sci-fi príbehy si vie poradiť. Súčiastku
s hmotnosťou m1 = 0,1 kg, ktorú mal použiť pri oprave, odhodí čo najväčšou rýchlosťou,
napr. v1 = 20 m · s−1. Jeho hmotnosť spolu so skafandrom je približne 200 kg, a preto
138
rýchlosť v2 , ktorou sa dá do pohybu smerom k lodi, bude omnoho menšia ako
rýchlosť predmetu, ktorý odhodil.
Obr. 3-31
Kozmonaut, ktorý vo vzdialenosti
10 m od rakety stratil so svojou loďou spojenie, vyriešil svoj problém,
ako sa dostať späť na loď. V smere
od lode odhodil teleso s hmotnosťou
m1, rýchlosťou v1 a sám sa dal do pohybu smerom k lodi rýchlosťou v2.
Predstava kozmonauta, ktorý rozhadzuje po vesmíre skrutky, aby sa zachránil,
je dosť fantastická. Napriek tomu sa situáciu na obr. 3-31 pokúsime analyzovať
pomocou našich doterajších fyzikálnych vedomostí.
Najprv nazveme sústavu dvoch telies, skrutka-kozmonaut s hmotnosťami m1, m2, izolovaná sústava. Za izolovanú sústavu považujeme vo
fyzike sústavu telies, na ktoré nepôsobia vonkajšie sily. V našej sústave
však pôsobí medzi telesami − kozmonautom a skrutkou, vnútorná sila
F1, ktorou kozmonaut v krátkom časovom intervale ∆t pôsobí na skrutku,
aby zmenil jej pohybový stav z pokoja (v01 = 0) na pohyb s rýchlosťou v1.
To môžeme opísať podľa druhého a tretieho Newtonovho pohybového
zákona rovnicami
∆v
∆v
F1 = m1a1 = m1 1
F2 = m2 a2 = m2 2
∆t
∆t
Obidve sily sú rovnako veľké F1 = F2 a majú opačné smery. Začiatočné
rýchlosti skrutky a kozmonauta sa rovnali nule, a preto ∆v1 = v1 − v01 = v1
a ∆v2 = v2 − v02 = v2,
m2 ∆ v 2 = m1∆ v1
(1)
m2 v 2 = m1v1
Kozmonaut pôsobil na skrutku silou F1 v smere od lode a skrutka naň pôsobila
rovnako veľkou silou F2 opačným smerom. Sila F2 uviedla kozmonauta do pohybu
smerom k lodi rýchlosťou
v2 =
m1
0,1 kg
v1 =
20 m ⋅ s−1 = 0,01 m ⋅ s −1
m2
200 kg
139
Rýchlosť 1 cm · s−1 nie je príliš veľká. Necháme na čitateľovi úvahy, ako dlho bude
kozmonautovi trvať návrat na loď a čo by mal urobiť ďalej, aby svoju záchranu
urýchlil.
Skutočnosť, že sa celková hybnosť sústavy nezmenila, môžeme zapísať
vzťahom
∆p = 0
Upravme teraz rovnicu (1). Hmotnosti obidvoch telies sú konštantné,
a preto sa nič nezmení, ak nimi vynásobíme rýchlosti za znakom ∆, ktorý
je symbolom zmeny veličiny
Uvažujme: Ak sa celková zmena hybnosti sústavy rovná nule, potom
sústava svoju celkovú hybnosť p nemení. Hybnosť p izolovanej sústavy
je konštantná veličina
p = konšt.
(4)
∆(m2v2) = ∆(m1v1)
Súčin mv, hmotnosti telesa a jeho rýchlosti, vyjadruje novú fyzikálnu
veličinu, ktorú nazývame hybnosť telesa. Jej veľkosť značíme
p = mv
Jednotka hybnosti nemá zvláštne pomenovanie, a preto len odvodíme jej rozmer
v sústave SI
[p] = [m] · [v] = kg · m · s−1
Hybnosť p = mv je vektorová veličina. Sily, ktorými na seba navzájom
pôsobia dve telesá podľa 3. Newtonovho zákona, majú rovnakú veľkosť,
ale opačný smer. Preto keď postup, ktorým sme opísali kozmonautovu
záchranu, zopakujeme vo vektorovom tvare, dostaneme
F1 = −F2
m1
Zákon zachovania hybnosti (4) je veľmi všeobecný. Platí aj v izolovanej sústave
zloženej z veľkého počtu telies, ktorých hybnosti sú vektory s rôznymi smermi.
Jednoduchý príklad je na obr. 3-32.
∆v 1
∆v 2
⇒ m1∆v1 = −m2∆v2 ⇒ ∆(m1v1) = −∆(m2v2)
= − m2
∆t
∆t
∆p1 = −∆p2
(2)
Veličiny ∆p1 alebo ∆p2 sú zmeny hybnosti prvého a druhého telesa
našej izolovanej sústavy. Zmeny hybnosti telies spôsobené navzájom
rovnako veľkými a opačne orientovanými silami sú rovnako veľké
a opačne orientované vektory. Preto ich súčet sa rovná nule.
∆p1 + ∆p2 = 0
(3)
Na ľavej strane rovnice (3) je súčet zmien hybností obidvoch telies
izolovanej sústavy. Súčet zmien hybností telies izolovanej sústavy nazveme celková zmena hybnosti sústavy a označíme ho ∆p = ∆p1 + ∆p2.
140
Záver
Sústava (skrutka a kozmonaut), ktorú sme začali v úvode tohto článku
skúmať, bola izolovaná sústava. Na telesá, ktoré sa v nej nachádzali,
nepôsobili žiadne vonkajšie sily. Sila, ktorou kozmonaut zmenil hybnosť
skrutky z nulovej hodnoty na hodnotu p1 = m1v1, bola vnútorná sila.
Opačne orientovaná a rovnako veľká vnútorná sila zmenila hybnosť
kozmonauta z nulovej hodnoty na hodnotu p2 = m2v2. Celý tento dej je
dôsledkom platnosti fyzikálneho zákona, ktorý sa nazýva zákon zachovania hybnosti:
V izolovanej sústave telies sa zachováva celková hybnosť sústavy.
Obr. 3-32
Fyzikálny opis výbuchu rakety ohňostroja.
Vystrelená raketa vyletí do výšky niekoľkých
desiatok metrov a vybuchne. Hybnosť, ktorú
malo jej ťažisko pred výbuchom, sa rovná
súčtu hybností úlomkov, na ktoré sa premení
po výbuchu. Ťažisko pokračuje v pohybe
po trajektórii, po ktorej by sa pohybovala
raketa, keby nebola vybuchla.
Z fyzikálneho hľadiska predstavujú úlomky rakety na obr. 3-32 sústavu, v ktorej
každé teleso zmenilo svoju hybnosť pôsobením vnútorných síl sústavy tak, že sa
začalo pohybovať v niektorom zo smerov, vyznačených na obrázku.
141
Vonkajšími silami, ktoré môžu ovplyvniť pohybový stav sústavy, sú tiažové sily
pôsobiace na úlomky a odporové sily, ktoré brzdia pohyb úlomkov po výbuchu.
z toho dôvodu, že veličina hybnosť p = mv, súvisí nielen s rýchlosť ou v, ale aj
s hmotnosť ou m pohybujúceho sa telesa.
Experimentálne overenie zákona zachovania hybnosti
Úlohy
Nakoniec by sme sa mali presvedčiť, že zákon zachovania hybnosti, s ktorým
sme sa práve zoznámili, platí nielen v sci-fi literatúre, ale aj v podmienkach, ktoré
pripravíme v laboratóriu. Preto navrhujeme, aby ste vykonali overovací experiment
znázornený na obr. 3-33.
Experiment môžeme urobiť na vzduchovej dráhe (pozri napr. články 3.4 a 3.6),
ale rovnako môžeme v školských podmienkach použiť vozíčkovú súpravu. Môžeme
sa ho pokúsiť urobiť aj doma, napr. vtedy, keď máme model železničnej trate s vagónikmi so zanedbateľne malým trením. Trenie by malo byť tak malé, aby sme mohli
zanedbať zmenu ich rýchlosti na dráhe niekoľkých centimetrov.
1. Pokračovanie „sci-fi“ príbehu na obr. 3-31: Kozmonaut zistil, že jeho zásoba
vzduchu už vystačí len asi na 10 minút pobytu mimo lode. Dostane sa pri rýchlosti, ktorú získal (obr. 3-31) do lode včas? [Nie. Rýchlosťou 1 cm · s−1 sa bude
pohybovať až k lodi približne 17 min.]
2. Kozmonaut si aj v tejto situácii vie poradiť. „Náhodou“ má pri sebe prak − gumipušku a niekoľko kamienkov s priemernou hmotnosťou 50 g. (Hrdinovia sci-fi
príbehov majú náhodou pri sebe vždy všetko, čo majú použiť.) Pri výstrele
z gumipušky sa kamienok pohybuje rýchlosťou 30 m · s−1. Koľko kamienkov
bude kozmonaut potrebovať, aby prišiel do lode včas?
[Kozmonaut s hmotnosťou 200 kg by sa mal pohybovať rýchlosťou väčšou
ako 3,3 cm · s−1. Jeho hybnosť by sa mala zmeniť z hodnoty p1 = mv1 =
= 200 · 0,01 kg · m · s−1 = 2 kg · m · s−1 na p2 = mv2 = 3,3 kg · m · s−1. Pri vystrelení
kamienka s hmotnosťou 0,05 kg rýchlosťou 30 m · s−1 sa hybnosť kozmonauta
zmení o hodnotu ∆p = 0,05 · 30 kg · m · s−1 = 1,5 kg · m · s−1. Kozmonaut bude
potrebovať len jeden kamienok.]
Obr. 3-33
a) Dva klzáky vzduchovej dráhy
alebo vagóniky s pripevnenými
feritovými magnetmi. Magnety sú
obrátené tak, aby sa klzáky navzájom odpudzovali. b) Po uvoľnení
klzáky nadobudnú rýchlosti vA, vB
a potom sa pohybujú rovnomerným pohybom.
Feritové magnety pripevnené na čelách klzákov vzduchovej dráhy (alebo vagónikov vozíčkovej súpravy) sa navzájom odpudzujú a ich pohyb sa zrýchľuje. Na
krátkom úseku, približne 2 cm, klzáky nadobudnú rýchlosti vA, vB a pokračujú
v pohybe týmito rýchlosťami. Odmerali sme dráhové úseky ∆sA, ∆sB, ktoré klzáky
prešli v časovom intervale 0,5 s.
Meranie a spracovanie dát treba naplánovať a vykonať tak, aby sme potvrdili
platnosť zákona zachovania hybnosti (vzťahy označené 3, 4) alebo v tvare skalárnej
rovnice
(mBvB) = ∆(mAvA)
Predtým, ako pripravíte realizáciu experimentu, použite naše dáta, ktoré sa dajú
vyčítať z obr. 3-33 a vysvetlite, ako zobrazené výsledky potvrdzujú zákon zachovania hybnosti.
Hybnosť je veľmi dôležitý fyzikálny pojem, ktorý používal už Isaac Newton pri
opise pohybu. Vo svojich prácach ho nazýval veľkosť pohybu telesa, pravdepodobne
142
3.14 Časový účinok sily
Najprv riešme úlohu zadanú situáciou a grafmi na obr. 3-34: Aké sily pôsobili
na autá A, B až dovtedy, kým sa nezačali pohybovať rovnomerne?
Obr. 3-34
Vľavo je dopravná
situácia a vpravo sú
grafy rýchlosti oboch
vozidiel v závislosti od
času. Obe vozidlá majú
rovnakú hmotnosť m.
Znázornili sme ich
v dvoch časových okamihoch, t0 = 0 a t = 6 s.
Rýchlosť obidvoch automobilov v závislosti od času lineárne narastá −
obidva pohyby sú rovnomerne zrýchlené − zrejme preto, že hľadané sily
143
FA, FB sú konštantné. Predpokladáme, že obidva automobily sa pohybujú
tak, že ich môžeme považovať za hmotné body.
Z obrázka vidíme, že rýchlosti obidvoch automobilov sa zmenili o rovnaké hodnoty
∆v = 25,0 m · s−1 v navzájom rôznych časových intervaloch ∆tA = 6 s, ∆tB = 10 s.
Obidve vozidlá majú rovnaké hmotnosti m = 1200 kg a ich rýchlosť sa tiež zmenila
o rovnaké hodnoty. Preto zmenu hybnosti každého z nich vypočítame po dosadení
rovnakých hodnôt
∆p = ∆(mv) = 1 200 · 25,0 kg · m · s−1 = 30 000 kg · m · s−1
Našou úlohou je určiť silu, a preto vyjdeme z druhého Newtonovho pohybového
∆v
zákona, ktorý vyjadruje súvislosť medzi silou F a zrýchlením a =
.
∆t
∆v ∆ ( mv) ∆p
F = ma = m
=
=
∆t
∆t
∆t
Pre autá A a B môžeme teda písať
FA =
∆ p 30 000
=
N = 5 kN
∆ tA
6
∆ p 30 000
FB =
=
N = 3 kN
∆ tB
10
V priebehu riešenia úlohy sme zistili, že obidve autá zmenili svoju hybnosť
o rovnakú hodnotu. Na jedno z nich (A) pri tom pôsobila väčšia sila. Čas, ktorý bol
na zmenu hybnosti potrebný, bol kratší ako pri druhom aute (B), na ktoré pôsobila
menšia sila.
Uvážte
Preskúmajte výsledky, ktoré sme dostali a overte platnosť vety: „Koľkokrát
väčšou silou pôsobíme, toľkokrát kratší čas potrebujeme na zmenu hybnosti telesa
o rovnakú hodnotu.“
Možno si niektorí z nás spomenú na roztláčanie automobilu s vybitou batériou.
Aby motor naštartoval, potrebujeme, aby sa pohyboval ur čitou rýchlosťou. Ak
automobil roztláčame niekoľkí, konečnú rýchlosť dosiahne pomerne skoro. Ak ho
roztláčam len sám, auto rovnakú rýchlosť dosiahne až po uplynutí doby ∆t, ktorá
je spravidla omnoho dlhšia.
Pokúsme sa teraz výsledky riešenia našej úlohy zovšeobecniť:
Uvažujeme, ako sa prejavuje pôsobenie sily na teleso, ktoré počas
jeho pohybu môžeme považovať za hmotný bod.
144
Vzťah medzi silou a zrýchlením telesa, na ktoré sila pôsobí, vyjadruje
pohybová rovnica
(1)
F = ma
Ak je sila pôsobiaca na teleso stála, pohybovú rovnicu (1) napíšeme
v tvare
∆v
F =m
∆t
a vynásobíme ju časovým intervalom, ∆t v ktorom sila F na teleso
pôsobila
F∆t = m∆v
(2)
O výraze na pravej strane vieme, že vyjadruje zmenu hybnosti telesa
m∆v = ∆(mv) = ∆p. Pre veličinu na ľavej strane rovnice F∆t sa obvykle
používa pomenovanie časový účinok sily. Platí teda
F∆t = ∆p
(3)
Časový účinok sily sa rovná zmene hybnosti telesa, na ktoré sila
pôsobí.
Pre veličinu F∆t sa vo fyzikálnej literatúre zvykne používať aj názov impulz
sily.
Slovná formulácia 2. Newtonovho pohybového zákona
V článku 3.11 sme zaviedli 2. Newtonov pohybový zákon matematickou formuláciou v tvare
F = ma
V témach, ktoré nasledovali, sme tento matematický vzťah rôznymi
spôsobmi upravovali. V tomto článku sme ho upravili do tvaru (3), aby
sme ukázali, že zmena hybnosti telesa (hmotného bodu) závisí od pôsobiacej sily F, aj od dĺžky ∆t časového intervalu, v ktorom sila na teleso
pôsobila.
Upravme teraz nakoniec vzťah (3) do tvaru
F=
∆p
∆t
(4)
145
Pokúsme sa tento vzťah prečítať spôsobom, ktorý by mal fyzikálny zmysel.
∆p
Vo výraze na pravej strane rovnice (4)
by sme vydelením zmeny hybnosti
∆t
∆p príslušným časovým intervalom ∆t dostali zmenu hybnosti, ktorá pripadá na
jednotku času. Veličinu s týmto významom zvykneme vo fyzike nazývať časová
zmena hybnosti.
Sila F je vonkajšia sila, ktorou na pohybujúci sa hmotný bod, teleso s hmotnosťou m, pôsobia iné objekty podľa 3. Newtonovho pohybového zákona.
3.15 Javy súvisiace so zachovaním hybnosti sústavy
Druhý Newtonov pohybový zákon napísaný pre teleso (hmotný bod)
s hmotnosťou m v tvare (4), by sme teraz mohli slovne vyjadriť vetou,
ktorá je veľmi blízka formulácii, ktorú pôvodne použil sám Newton.
Časová zmena hybnosti je priamo úmerná vonkajšej sile, ktorá
pôsobí na hmotný bod a má smer rovnaký ako pôsobiaca sila.
Skúsenosť. Väčšina z nás má pravdepodobne veľmi málo skúseností so streľbou
z dela − máme však často možnosť ju sledovať vo filmových záberoch. Dobrý
pozorovateľ si iste všimol, že delo sa pri výstrele pohybuje smerom dozadu − buď
celé, alebo len jeho hlaveň.
Hlaveň moderných kanónov býva „brzdená“ zvláštnym mechanizmom, aby sa
utlmila sila, ktorú sme na obr. 3-36 označili −F. Vnútornou silou pri výstrele je tlaková
sila, ktorou spálené a rozpínajúce sa plyny v hlavni zbrane pôsobia jedným smerom
na projektil a v opačnom smere na zbraň. Tento jav sme znázornili na obr. 3-36.
Príklad
O niekoľko riadkov nižšie máme použiť 2. Newtonov pohybový zákon pri
stanovení priemernej tlakovej sily F, ktorou na guľu v hlavni kanóna pôsobili rozpínajúce plyny, vznikajúce horením strelného prachu pri výstrele. Časová zmena
hybnosti a pôsobiaca sila mali rovnaký smer a pre veľkosť týchto veličín platí vzťah
∆p
F=
∆t
Úlohy
1. Na obr. 3-35 je delo, s akým sa dnes stretávame väčšinou len v múzeách alebo
vo filmoch o pirátoch. Predpokladáme, že delová guľa v hlavni sa pohybovala
počas intervalu ∆t = 0,1 s.
Obr. 3-35
Lodné delo zo sedemnásteho storočia.
a) Vypočítajte priemernú veľkosť sily, ktorá pri výstrele pôsobila na delo na
obrázku. [10 000 N]
b) Akou rýchlosťou sa delo pri výstrele pohne smerom dozadu? [6,3 m · s−1]
2. Hasiaci prístroj má po naplnení hmotnosť 2,0 kg. Po uvedení do činnosti vystrekuje každú sekundu 0,20 kg peny rýchlosťou 20 m · s−1, smerom zvisle hore. Určte
silu pôsobiacu na ruku, v ktorej prístroj držíme, na začiatku jeho činnosti. [24 N]
146
V článku 3.14 sme riešili problémy, ktoré súvisia so zákonom zachovania hybnosti. Získali sme dôležitý poznatok: Pôsobením vnútorných síl sústavy sa zmenia
hybnosti telies v pomere prevrátenej hodnoty ich hmotností (pozri pokus s klzákmi
na vzduchovej dráhe na obr. 3-33). Teraz využijeme tento poznatok pri skúmaní
niekoľkých javov, s ktorými sa stretávame v každodennom živote.
Príklad: Streľba z kanóna
Obr. 3-36
Projektil opúšťa hlaveň dela.
Rýchlosť spätného pohybu dela
je toľkokrát menšia od rýchlosti
projektilu, koľkokrát je hmotnosť
projektilu menšia od hmotnosti
dela vk : vp = mp : mk.
V izolovanej sústave projektil-kanón sa zmeny hybností telies projektil-kanón
navzájom rovnajú. Môžeme preto písať rovnice
∆ pp = ∆pk
⇒
∆(mp vp) = ∆(mk vk)
⇒
mp ∆ vp = mk ∆ vk
Začiatočné rýchlosti projektilu a kanóna sa rovnajú nule, a preto ∆vp = vp, ∆vk = vk.
Pre pomer rýchlostí dostaneme
v k mp
=
v p mk
Príklad: Raketový motor
Na podobnom princípe ako delo pracuje aj raketový motor (obr. 3-37). Do spaľovacej komory raketového motora sa vstrekuje palivo, napríklad zmes vodíka
a kyslíka. Spálené plyny sa prejavujú tlakovými silami. V porovnaní s výstrelom
na obr. 3-36 teraz namiesto projektilu súvisle vyletuje prúd plynov.
147
Plyny vznikajúce pri horení unikajú vzadu z dýz motora veľkou rýchlosťou.
Unikajúce plyny spolu s raketou vytvárajú izolovanú sústavu. V tejto sústave sa
navzájom rovnajú veľkosti zmeny hybnosti rakety v časovom intervale ∆t a zmeny
∆p = ∆(mv) hybnosti plynov, ktoré za tento čas ∆t opustia dýzy rakety.
Obr. 3-37
V raketovom motore sa spaľuje zmes
vodíka a kyslíka − každú sekundu
mp = 120 kg paliva. V časovom intervale ∆t sa zmení hybnosť plynov aj
hybnosť rakety o navzájom rovnaké
hodnoty ∆p.
Úloha, ako sa mení hybnosť rakety počas práce motora, nemá jednoduché riešenie. Rakety si spravidla spolu s palivom (napr. vodík) vozia zo sebou vo zvláštnej
nádrži aj okysličovadlo − kyslík. Raketový motor nie je závislý od atmosférického
kyslíka a môže preto pracovať aj v medziplanetárnom priestore.
Raketa spaľuje veľké množstvá tohto paliva a jej hmotnosť sa preto rýchle mení.
Ak by sme chceli zistiť, ako sa v závislosti od času mení rýchlosť rakety, museli by
sme brať do úvahy aj meniacu sa hmotnosť rakety. To však zatiaľ presahuje naše
matematické znalosti. (Počítačový program, ktorý to umožňuje, si môžete stiahnuť
z portálu http:\\fyzikus.fmph.uniba.sk.)
Raketový motor patrí do skupiny reaktívnych motorov. Pomenovanie pochádza
od podstaty fyzikálneho javu: Reaktívny pohon využíva zákon zachovania hybnosti
sústav, v ktorých pôsobia vnútorné sily podľa 3. Newtonovho pohybového zákona.
Do skupiny reaktívnych pohonov patria aj prúdové motory lietadiel (niekedy sa
nazývajú aj tryskové alebo turbínové motory).
Obr. 3-38
Rez reaktívnym leteckým motorom. Do spaľovacej komory sa vstrekuje palivo. Pri
jeho horení vznikajú plyny, ktoré roztáčajú turbínu. Turbína je na spoločnej osi
s kompresorom, ktorý nasáva vzduch a pod tlakom ho vháňa do spaľovacích komôr.
148
Príklad: Reaktívny letecký motor
Na obr. 3-38 je rez motorom, ktorý sa používa v leteckej doprave v atmosfére
Zeme. Otvorom v jeho prednej časti sa nasáva vzduch, pod tlakom sa vháňa do spaľovacích komôr a veľkou rýchlosťou uniká otvorom v zadnej časti motora. Činnosť
motora mení hybnosť nasávaného vzduchu. Aby sa zachovala hybnosť sústavy
zloženej z prúdiaceho vzduchu a z telesa lietadla, na ktorom je pripevnený motor,
lietadlo mení svoju hybnosť v smere letu tak, ako sa mení hybnosť plynov, ktoré
unikajú z motora opačným smerom.
Príklad: Nepružný zraz telies
Na obr. 3-39 sme znázornili laboratórny model merania rýchlosti projektilu
vystreleného zo strelnej zbrane. (V praxi sa často takto merajú rýchlosti kanónového
streliva. Strieľa sa do vagónika pohybujúceho sa na koľajniciach a naloženého vrecami s pieskom. Strela zasiahne vagón, zachytí sa v ňom a pohybuje sa spolu s ním
ďalej zmenenou rýchlosťou.)
Obr. 3-39
Rýchlosť klzáka pred
zasiahnutím strely a po ňom.
Aká je rýchlosť projektilu zo
vzduchovej pištole?
Pri modelovom experimente sme merali rýchlosť projektilu (m0 = 0,5 g) zo vzduchovej pištole (olovený brok „diabolka“). Projektil sa zachytil vo vrstve plastelíny na
dne plechovej škatule od kávy, pripevnenej na klzáku vzduchovej dráhy (hmotnosť
klzáka s plechovkou m1 = 200 g. Pomocou senzorov sme snímali a na počítači
zobrazili rýchlosť v1 klzáka pred zrazom a potom rýchlosť v2 po zraze. Pri zobrazenom deji je splnený zákon zachovania hybnosti:
Hybnosť sústavy klzák-projektil pred zrazom = hybnosť sústavy klzák-projektil
po zraze
m1v1 + m0 v0 = (m1 + m0)v2
v0 =
( m1 + m0 ) v 2 − m1 v1
m0
=
0,200 5 ⋅ 0,25 − 0,200 ⋅ 0,05
0,000 5
m⋅s
−1
≈ 80 m ⋅ s
−1
149
3.16 Vzťažná sústava
Pod pojmom vzťažná sústava spravidla rozumieme súradnicovú sústavu spojenú
s nejakým telesom − napr. s našou Zemou. Z praktických dôvodov potom najčastejšie takúto vzťažnú sústavu považujeme za nepohyblivú a skúmame pohyby všetkých
pohybujúcich sa telies vo vzťahu k tejto sústave súradníc.
Iste sme všetci už viackrát zažili pri cestách autom alebo autobusom, že nás
rýchlejšie auto predbiehalo. Ak to bolo na diaľnici, pravdepodobne malo naše
vozidlo veľkú rýchlosť − možno 100 km/h − voči súradnicovej sústave spojenej
s cestou − nazvime ju vzťažná sústava S. Auto, ktoré nás predbiehalo, sa k nám
približovalo zdanlivo pomaly a keď nás predbehlo, zase sa od nás pomaly vzďaľovalo. Napriek tomu musela byť jeho rýchlosť väčšia ako rýchlosť nášho vozidla,
teda viac ako 100 km/h.
Tento klam vnímame vtedy, keď sa nachádzame vo vzťažnej sústave S', ktorá
sa voči ceste pohybuje. Vtedy vnímame pohyb telies okolo nás vzhľadom k tejto
pohyblivej sústave S', a nie voči ceste, ktorá je nepohyblivou sústavou S.
Zrejme každý z nás vymyslí približne rovnaký príbeh: Policajné auto B prenasleduje vozidlo A. Pretože sa pohybuje rýchlejšie ako auto A, po určitom čase ho
dostihne.
Pravdepodobne nás napadne aj rovnaká otázka ako policajtov v aute B alebo
aj šoféra v aute A:
O akú hodnotu (v jednotkách m · s−1) je policajné auto B rýchlejšie ako auto A?
Ak navzájom odpočítame veľkosti oboch vozidiel, vychádza nám rozdiel
10 m · s−1. To je relatívna rýchlosť, ktorou sa zmenšuje vzájomná vzdialenosť
medzi oboma autami. Aký je smer relatívnej rýchlosti?
Ak si pozorovatelia A a B prestanú všímať cestu − nepohyblivú sústavu S,
podľahnú klamu, ktorý sme spomínali na začiatku článku. Vtedy každý z nich
bude vnímať iný smer relatívnej rýchlosti:
Pozorovateľ A usúdi, že jeho auto je v pokoji a auto B sa k nemu približuje
v smere osi x rýchlosťou 10 m · s−1. Pozorovateľ B bude mať dojem, že jeho
auto je v pokoji, ale auto A sa k nemu približuje (cúva) rýchlosťou 10 m · s−1
proti smeru osi x.
Podobnú úvahu by sme mohli urobiť aj pre dvojicu dopravných prostriedkov,
ktoré sa pohybujú proti sebe − pre jedno auto napr. A a vrtuľník V. Každý z nich
odmeria relatívnu rýchlosť s rovnakou veľkosťou
50 m · s−1 + 30 m · s−1= 80 m · s−1
Obr. 3-40
Niekoľko dopravných prostriedkov pri pohybe na priamej ceste a nad ňou. Vektormi sme vyznačili rýchlosti jednotlivých telies merané v „nepohyblivej“ sústave
S (osi x, y) spojenej s cestou. Pripomeňme si, že šípka na konci vektora vyznačuje
smer pohybu, dĺžka vektora zodpovedá rýchlosti pohybu.
Rýchlosť telesa, ktorú odmeria pozorovateľ spojený s pohyblivou
sústavou S' je relatívna rýchlosť − rýchlosť, ktorou sa pozorované
teleso pohybuje voči sústave S'. Relatívna rýchlosť telesa sa líši od
rýchlosti, ktorú by odmeral pozorovateľ v nepohyblivej sústave S pevne
spojenej s cestou.
Vráťme sa teraz do súradnicovej sústavy S(x, y) spojenej s cestou.
Na obrázku sú tri dopravné prostriedky, ktoré sa pohybujú po priamke,
pozdĺž osi x. Pri každom z nich je pomocou vektora znázornená rýchlosť,
ktorú by odmeral pozorovateľ stojaci vedľa cesty vzhľadom k sústave
S s osami x, y.
150
Preskúmajte nasledujúce dva výroky a uvážte, či sú správne:
Pri pohybe sústav rovnakým smerom, veľkosť výslednej relatívnej
rýchlosti sa rovná rozdielu veľkostí rýchlostí, ktoré majú voči nepohyblivej sústave S.
Pri pohybe sústav navzájom opačnými smermi, veľkosť výslednej
relatívnej rýchlosti sa rovná súčtu veľkostí ich rýchlostí, ktoré majú
voči nepohyblivej sústave S.
Príklad
Určte veľkosť relatívnych rýchlostí, ktoré vypočítajú pozorovatelia B a V na
obr. 3-40.
Automobil A a vrtuľník V sa pohybujú navzájom opačnými smermi. Preto
pozorovateľ A aj pozorovateľ V určí veľkosť vr relatívnej rýchlosti vrtuľníka ako
súčet rýchlosti vA a vV, ktoré majú A a V voči nepohyblivej sústave S.
vr = vV + vB = 50
m
s
+ 40
m
s
= 90
m
s
151
Pozorovateľ v sústave B aj v sústave V zistí, že druhá sústava sa vzhľadom na
jeho sústavu pohybuje rýchlosťou vr = 90 m · s−1.
− Mali by sme si uvedomiť, že aj v sústave súradníc, ktorú by sme spojili s povrchom Zeme, meriame len relatívne rýchlosti. Povrch Zeme nie je v pokoji, ale
vďaka otáčaniu Zeme sa pohybuje rýchlosťou, ktorú by sme v oblasti Európy
vyjadrili v stovkách metrov za sekundu. Pohyb telesa v našom okolí teda vnímame ako relatívny pohyb voči pohybujúcemu sa zemskému povrchu.
− Voľba vzťažnej sústavy je veľmi dôležitý krok, ktorý musí urobiť fyzik pri skúmaní pohybu. Ukážeme to na príklade.
Obr. 3-41
Dva pohľady na pohyb Mesiaca.
Vpravo dole: Trajektória Mesiaca vo vhodne
zvolenej sústave so začiatkom v strede Zeme
sa javí ako elipsa.
Vľavo hore: Trajektória Mesiaca v sústave
spojenej so Slnkom sa javí ako zložitá krivka.
(V obrázku sme nedodržali pomer polomerov
trajektórie Zeme a Mesiaca.)
Na prvý pohľad vidíme, že vo vhodne zvolenej sústave sa opis pohybu Mesiaca
zjednoduší a umožní nám opisovať pohyb Mesiaca ako pohyb po kružnici alebo po
elipse, ktorá sa od kružnice len veľmi málo odlišuje.
3.17 Zrýchlený pohyb vzťažnej sústavy
Inerciálnou sústavou nazývame takú súradnicovú sústavu, v ktorej sa telesá
riadia Newtonovými pohybovými zákonmi. O platnosti Newtonových zákonov
v sústave sa môžeme presvedčiť jednoduchými pokusmi: Telesá ostávajú v pokoji
alebo v pohybe priamočiarom rovnomernom, pokiaľ na ne nepôsobia vonkajšie
sily. Pokusmi možno potom zistiť, že za inerciálne sústavy môžeme považovať aj
ostatné súradnicové sústavy, ktoré sa vzhľadom k našej experimentálne overenej
inerciálnej sústave pohybujú priamočiaro a rovnomerne.
Vlastnosťami inerciálnych sústav sa zaoberal ešte pred Isaakom Newtonom
taliansky fyzik GALILEO GALILEI (1564 – 1642). Vykonal rad experimentov v rôznych pohybujúcich sa sústavách, napr. v podpalubí rovnomerne plávajúcej lode. Jeho
cieľom bolo nájsť také experimenty, pomocou ktorých by sa mohol presvedčiť, že
jeho sústava sa pohybuje určitou rýchlosťou. Zistil, že to možné nie je. Výsledky
formuloval vo všeobecne platnom fyzikálnom zákone, ktorý sa dnes zvykne nazývať
Galileiho princíp relativity. Dnes by sme jeho závery mohli vyjadriť vetou: Všetky
inerciálne sústavy sú si rovnocenné − mechanický pohyb v každej z nich sa
riadi tými istými zákonmi.
Sústava, ktorá sa voči inerciálnej sústave pohybuje zrýchleným pohybom, sa nazýva neinerciálna sústava.
Úlohy
1. Voľba vzťažnej sústavy, ktorú sme uviedli príkladom na obr. 3-41, zohrala v histórii významnú rolu pri poznávaní našej planetárnej sústavy. Pokúste sa o tom
zistiť viacej a vypracujte stručnú správu na tému „Stručná história poznávania
zákonitostí Slnečnej sústavy. Vyhľadajte v literatúre a na internete heslá ako
napr. geocentrický systém, heliocentrický systém, pohyb planéty, a mená ako
napr. Ptolemaios, Galileo Galilei, Koperník, Tycho de Brahe, Johannes Kepler.
2. Naplánujte metódu merania rýchlosti, ktorú použije pozorovateľ stojaci pri ceste.
3. Vypočítajte čas, ktorý uplynie, kým vrtuľník na obr. 3-40 doletí na úroveň začiatku súradnicovej sústavy x, y.
4. Určte čas, ktorý uplynul od okamihu, v ktorom automobil A prechádzal začiatkom súradnicovej sústavy. [ ≈ 0,55 s]
5. Odhadnite vzájomnú vzdialenosť oboch automobilov na obr. 3-40. Za aký čas
sa dostane policajné auto na úroveň pomalšieho automobilu? [ ≈ 1,2 s]
152
Obr. 3-42
Ako sa správa závažie pri zrýchlenom pohybe vozíka?
Potrebujeme stojanček s kyvadlom, ktoré si spravíme
zo závažia (približne 10 g) upevneného na niti.
Stojan s kyvadlom umiestníme na vozíček (vhodná je
napr. detská hračka). Ak nemáme poruke vozíček –
nevadí – pokus sa dá urobiť aj tak, že stojanček
s kyvadielkom budeme držať v ruke a pohybovať ním
vo vodorovnom smere. Vozík predstavuje modelovú
sústavu, ktorou budeme pohybovať najprv
rovnomerne (model inerciálnej sústavy) a potom
zrýchlene (model neinerciálnej sústavy).
Každý z nás iste nadobudol skúsenosť s neinerciálnou sústavou v niektorom
z dopravných prostriedkov − vo vlaku, autobuse, či električke. Pokiaľ sa električka
153
pohybuje priamočiaro a rovnomerne, môžeme v nej stáť bez toho, že by sme sa
držali. Hneď ako električka začne brzdiť, máme pocit, že na nás pôsobí sila v smere
pohybu a spravidla sa musíme niečoho držať, aby sme neodleteli k prednej stene
električky. Keď električka zrýchľuje svoj pohyb máme pocit, že na nás pôsobí sila
proti smeru pohybu.
Iste sa rozpamätáme aj na nepríjemné pocity, ktoré mávame v rýchlovýťahu
vtedy, keď sa rozbieha alebo brzdí. Pocity ako keby vychádzali z nášho žalúdka.
Ak svoj žalúdok považujeme za fyzikálne teleso, musíme mu prisúdiť určitú hmotnosť a aj možnosť pohybu − aj keď obmedzenú na malý priestor brušnej dutiny.
V rýchlovýťahu sa zrejme správa ako senzor − výťah sa rozbieha a žalúdok za jeho
pohybom zaostáva − tlačí na stenu brušnej dutiny. Výťah brzdí − žalúdok pokračuje
v pohybe a znova tlačí na stenu brušnej dutiny.
Preskúmajme výsledky experimentu zo stanoviska dvoch pozorovateľov − najprv
z hľadiska pozorovateľa, ktorý sa nachádza na vozíku a nevšíma si, čo sa deje v jeho
okolí, potom z hľadiska pozorovateľa, ktorý sa nachádza v inerciálnej sústave mimo
vozíka (obr. 3-43)
Obr. 3-43
Dva pohľady na správanie kyvadla pri spomalenom
pohybe sústavy Vozík. Uvážte, ako by videli obidvaja
pozorovatelia podobnú situáciu pri zrýchlenom
pohybe vozíka. Pozorovateľ stojaci mimo vozíka (a)
vidí, že na závažie pôsobí sila Fp = ma. Táto sila je
výslednicou tiažovej sily Fg a sily Fz, ktorou na závažie pôsobí záves Fp = Fg + Fz. Pozorovateľ spojený
s vozíkom (b) má dojem, že záves so závažím sa
ustáli v polohe určenej tiažovou silou Fg a silou Fi.
Domnieva sa, že výslednica týchto síl Fv = Fg + Fi.
Inerciálnu silu Fi považuje za skutočnú silu, pre
ktorú platí 2. Newtonov zákon. V jeho predstavách
je teda inerciálna sila skutočnou silou, ktorá je
opačná k našej sile Fp: Fi = −Fp = −m a.
Úloha
Navrhnite a zostavte akcelerometer − prístroj na meranie zrýchlenia pohybu,
použiteľný napr. pri ceste autom alebo električkou. (Môžete použiť podobné
kyvadielko ako na obr. 3-42 a obr. 3-43, ale napr. aj pružinu, alebo sklenenú
kyvetu s vodou.
154
3.18 Skladanie pohybov
Často sa stáva, že teleso alebo hmotný bod má konať súčasne dva alebo aj viac
pohybov. Jednoduchý príklad: Na obr. 3-44 je znázornená časť vodného kanála,
ktorý spája dve plavebné komory prieplavu. Keď sú obidve komory uzavreté, voda
v kanáli neprúdi. Ak sa komory otvoria, voda kanálom prúdi rýchlosťou vr.
Na preplávanie kanála na obr. 3-44 použijeme motorový čln. Zistíme pri tom:
− Ak voda v kanále neprúdi, motorový čln prejde za čas t1 naprieč riekou v smere
y po dráhe y1 = vc t1.
− Ak voda začne prúdiť a čln zabudneme zakotviť, odnesie ho vodný prúd za
rovnaký čas t1 do vzdialenosti x1 = vr t1.
Obr. 3-44
Pohyb člna, ktorý je rýchlosťou vr unášaný
pohybujúcou sa sústavou − prúdom rieky.
Pohyb člna aj vodného prúdu sledujeme a
opisujeme zo vzťažného systému s osami x, y,
ktorý sme spojili s pevným brehom rieky.
Obidva pohyby sme nechali prebehnúť jeden po druhom, nezávisle od seba.
Teraz počkajme až bude kanálom prúdiť voda a znova sa pokúsime prejsť s člnom
na druhý breh. Ak v prúdiacej vode spustíme motor a nasmerujeme čln kolmo na
vodný prúd, vykoná čln obidva rovnomerné pohyby v smere osi x aj v smere osi y
súčasne. V smere kolmom na vodný prúd prejde dráhu y1 a súčasne dráhu x1 v smere
osi x. Pohyb, ktorý koná, nazývame zložený pohyb.
Zložený pohyb koná teleso vtedy, ak z nejakého dôvodu musí
konať dva alebo viac pohybov súčasne.
155
Pohyb člna na obr. 3-44 bol zložený pohyb, a preto sa čln nepohyboval v smeroch vektorov rýchlostí vc a vr, ale v smere ich výsledného
vektora v = vc + vr. Rýchlosť v je rýchlosť zloženého pohybu a rýchlosti
vc a vr sú zložky výslednej rýchlosti.
Z bodu 0 až do miesta pristátia sa čln môže dostať niekoľkými spôsobmi, napr.:
1. Nechá sa zniesť prúdom po dráhe x1. Počká až voda v kanále prestane prúdiť
a potom sa pohybuje kolmo na druhý breh po dráhe y1.
2. V nehybnej vode v kanále sa čln dostane kolmo na druhý breh po dráhe y1. Počká
až voda v kanále začne prúdiť a potom sa nechá zniesť prúdom po dráhe x1.
3. Vo vode prúdiacej kanálom rýchlosťou vr sa pohybuje kolmo na smer toku rýchlosťou vc. Koná súčasne dva pohyby, ktoré pri cestách podľa bodov 1. a 2. konal
oddelene.
Všetky tri cesty člna, ktoré sme opísali v bodoch 1., 2. a 3. sa začínajú v bode 0
a končia sa v bode, ktorý sme na obr. 3-44 označili ako miesto pristátia. Považujeme ich za rovnocenné.
Uvedená predstava o skladaní pohybov viedla v dávnej minulosti
Galilea Galileiho k formulácii pravidla, ktoré dnes nazývame princíp
nezávislosti pohybov:
Ak má hmotný bod konať dva alebo viacej pohybov súčasne, zaujme takú výslednú polohu, ako keby konal všetky pohyby postupne
za sebou, v ľubovoľnom poradí.
Veľkosť rýchlosti a dráha výsledného pohybu
Pri našom zloženom pohybe sú zložky rýchlosti navzájom kolmé
vektory. Aby sme vypočítali veľkosť v výslednej rýchlosti použijeme
Pytagorovu vetu
v = vr2 + vc2
(1)
V čase t1 by čln na obr. 3-44 prešiel v smeroch osí x, y dráhy x1, y1.
Na osi s, ktorá leží v uhlopriečke rovnobežníka, by v čase t1 podľa
Pytagorovej vety prešiel dráhu
s=
156
x12
+
y12
(2)
Skladali sme dva priamočiare rovnomerné pohyby, ktoré sa konali
v smeroch strán rovnobežníka so stranami x1, y1. Výsledný pohyb sa
konal po uhlopriečke rovnobežníka. Získali sme poznatok:
Výsledný pohyb telesa, ktoré sa pohybuje súčasne dvoma rovnomernými priamočiarymi pohybmi, je opäť priamočiary rovnomerný pohyb.
Poznatok, ktorý sme získali, platí aj vtedy, keď skladané pohyby sa nekonajú
v navzájom kolmých priamkach, ale zvierajú uhol inej veľkosti ako 90°. Nakreslite
si na list papiera dve priamky – osi x a y, zvierajúce navzájom uhol α < 90° (pozri
obr. 3-45).
Obr. 3-45
Hmotný bod koná súčasne dva rovnomerné
priamočiare pohyby v smeroch osí x, y. Vyhľadajte
polohy s1, s2, s3… jeho zloženého pohybu. Ukážte,
že ležia na priamke – na uhlopriečke kosouhlého
rovnobežníka. Pokúste sa výsledok zdôvodniť
pomocou známych geometrických vzťahov.
Vyznačte na osiach polohy x1, x2, x3… y1, y2, y3… ktoré by v časoch t1, t2, t3
zaujal hmotný bod, keby sa na osiach pohyboval rýchlosťami nerovnakej veľkosti
vx, vy. Podľa kresby na obr. 3-45 vyhľadajte polohy hmotného bodu v prípade, že
pohyby v smeroch osí x, y sa konali súčasne.
V prípade, že zložky pohybu neležia na navzájom kolmých priamkach, nemôžeme
použiť ani vzťahy (1) a (2) pre výslednú rýchlosť a výslednú dráhu zloženého pohybu. Ak čitateľ chce vedieť ako v takých prípadoch postupujeme, môže nájsť návod
v časti „Kosínusová veta“ v prílohe P1 Matematické postupy.
Hĺbavejším čitateľom ponúkame, aby sa vrátili k pohybu člna na obr. 3-44
a pokúsili sa jeho zložený pohyb premyslieť ako relatívny pohyb člna vo vzťažnej
sústave prúd rieky.
Úlohy
1. Vyriešte úlohu na obr. 3-46.
[Čln treba nasmerovať tak, aby zložka jeho rýchlosti v smere proti toku vody mala
rovnakú veľkosť ako rýchlosť vodného prúdu a mala opačný smer. (−vr)]
157
3.19 Vodorovný vrh
Obr. 3-46
Vodič člna si predsavzal, že cestu na druhý
breh absolvuje po priamke kolmej na smer
toku vody, prúdiacej v kanáli rýchlosťou
vr. Preskúmajte obrázok a vysvetlite, ako
úlohu vyriešil.
2. Vlak sa v stanici pohybuje priamočiaro konštantnou rýchlosť ou 4 m · s−1.
Cestujúci prechádza od jednej steny vagóna k druhej, kolmo na smer jazdy,
rýchlosťou 3 m · s−1. Akou rýchlosťou sa pohybuje v sústave spojenej s traťou?
[5 m · s−1]
3. a) Aký bude pohyb parašutistu z obr. 3-47?
b) Vypočítajte jeho výslednú rýchlosť pri dopade. [ ≈ 11 m · s−1]
c) Určte súradnice bodu, v ktorom očakávame, že parašutista pristane. [t = 400 s;
x ≈ 2,9 km, y = 0, z ≈ 2,9 km]
Obr. 3-47
Parašutista, ktorý rovnomerne klesá zvisle
nadol pozdĺž osi y s otvoreným padákom,
rýchlosťou 5,0 m · s-1. Vo výške 2000 m sa
dostane do silného južného vetra, ktorý ho
unáša rýchlosťou 10 m · s-1.
158
Zem priťahuje telesá v svojom okolí − pôsobí na ne tiažovou silou. Hovoríme,
že Zem vytvára v svojom okolí tiažové pole. Pri skúmaní pohybov telies v tiažovom poli Zeme musíme vždy uvažovať, ako sa tiažová sila prejavuje. Pri pohybe
na pevnej tuhej podložke pritláča tiažová sila teleso na podložku. Ak podložku
odstránime, teleso padá a tiažová sila zrýchľuje jeho pohyb vo zvislom smere.
Preštudujme experiment na obr. 3-48 tak, aby sme ho mohli zopakovať. Obidve
telesá − doštička a minca sa dajú do pohybu súčasne − minca zvisle nadol, doštička
vo vodorovnom smere. Chceme zistiť, ktoré z pohybujúcich sa telies dopadne na
zem.
Na prvý pohľad sa ponúka odpoveď – minca sa pohybuje po kratšej dráhe, a preto
sa na zem dostane pred doštičkou. Experimentom sa presvedčíme, že tomu tak nie
je: Obidve telesá dopadnú na zem súčasne. Presvedčte sa o tom!
Obr. 3-48
Ktoré teleso dopadne na zem
ako prvé? Na okraji stola leží
drevená alebo plastová hladká
doštička a na nej minca. Ak
udrieme pravítkom vo vodorovnom smere do doštičky,
minca padá a doštička sa začne
pohybovať vo vodorovnom
smere rýchlosťou v.
Výsledok experimentu na obr. 3-48 by nás nemal prekvapiť, ak si
uvedomíme, že doštička koná zložený pohyb.
− Vo vodorovnom smere, v smere osi x sa doštička pohybuje priamočiaro a rovnomerne rýchlosťou v.
− Vo zvislom smere sa súčasne doštička pohybuje voľným pádom.
Pohyb doštičky teda nemôže trvať dlhšie, ako trvá voľný pád mince.
Obidve telesá sa začali pohybovať súčasne, a preto naraz aj dopadnú.
Pohyb telesa v tiažovom poli Zeme, pri ktorom teleso uvedieme do
pohybu vo vodorovnom smere, sa nazýva vodorovný vrh.
Samozrejme, že pri obidvoch telesách by sme mali počítať aj s odporovými
silami, ktoré ich brzdia pri pohybe vo vzduchu. Veľkosť odporovej sily závisí aj od
plochy pohybujúcich sa telies (viac sa o tom dozvieme v kapitole 6). Snažíme sa
preto robiť experiment s telesami s malými a navzájom porovnateľnými rozmermi.
159
Vtedy predpokladáme, že pri experimente sa na krátkej dráhe pohybu telies vplyv
odporovej sily neprejaví.
Pri vodorovnom vrhu sa teleso pohybuje po krivke preto, lebo dráha zvislej
zložky pohybu (pádu) sa zväčšuje rýchlejšie ako dráha vo vodorovnom smere.
Body trajektórie zloženého pohybu neležia na uhlopriečke rovnobežníka ako
pri skladaní priamočiarych rovnomerných pohybov v článku 3.18.
Trajektória vodorovného vrhu
Doštičku na obr. 3-49 sme hodili z výšky h = 1,0 m a zistili sme, že dopadla vo
vzdialenosti x1 = 2,2 m od bodu 0. Našou úlohou je nájsť závislosť y = y(x), ktorá
vyjadruje vlastnosti trajektórie pohybu doštičky.
Pre súradnicu y v ľubovoľne vybranom čase t môžeme písať vzťah
1 2
gt
2
Ak do tejto rovnice dosadíme za čas t zo vzťahu (3), vychádza rovnica
1 x2
y =h− g 2
2 v0
y = h−
Posledný vzťah vyjadruje rovnicu paraboly. Na obr. 3-49 je zobrazená len jej časť
v prvom kvadrante súradnicovej sústavy, teda pre hodnoty x ležiace na nezápornej
časti vodorovnej osi (pozri aj prílohu P1).
Balistická krivka
Obr. 3-49
K odvodeniu rovnice pre parabolickú dráhu vodorovného vrhu. Keby
nebolo tiažovej sily, guľôčka by sa
pohybovala po priamke vo výške h
nad povrchom Zeme.
Pri riešení úlohy potrebujeme vedieť, že doštička sa pohybovala tak dlho (tp),
ako dlho sa pohybovala minca.
Vo zvislom smere padala doštička voľným pádom na dráhe
h=
1
2
2
gtp ; ⇒ t p =
2h
(1)
t1 = tp
Aerodynamická odporová sila brzdí pohyb, a preto sa vodorovne
vrhnuté teleso nepohybuje po parabole, ale po balistickej krivke.
(2)
Vzťahy, ktoré sme označili (1) a (2) sú splnené v čase, ktorý sme nazvali
doba pádu tp. Nájdeme teraz postup, ktorý nám umožní určiť súradnice (x, y)
letiacej doštičky v ľubovoľnom čase t:
Pre súradnicu x v čase t podľa vzťahu (2) vychádza
x = v0 t ⇒ t =
160
Obr. 3-50
Ideálna trajektória
delovej strely – parabola
a balistická krivka –
skutočná trajektória, pri
započítaní aerodynamickej
odporovej sily.
g
Vo vodorovnom smere x doštička prešla dráhu
x1 = v0 t1,
Podľa vzťahu (4) sa teleso, ktoré sme vrhli vo vodorovnom smere,
pohybuje po parabolickej trajektórii. V súvislosti s experimentom na
obr. 3-48 sme sa však už zmienili o odpore vzduchu, ktorý často zanedbávame, ak je pohybujúce sa teleso malé a nepohybuje sa príliš veľkou
rýchlosťou. Silu, ktorá pôsobí na pohybujúce sa teleso proti smeru jeho
pohybu, nazývame aerodynamická odporová sila.
x
v0
(3)
Aby sme získali predstavu ako sa odporová sila prejavuje pri pohybe telesa,
prinášame niekoľko informácií o aerodynamickej odporovej sile a príklad jej
výpočtu:
Pre aerodynamickú odporovú silu Fo platí empirický vzťah, s ktorým sa podrobnejšie zoznámime v kapitole 6
1
Fo = ρ CS v 2
2
kde ρ je hustota vzduchu, v je rýchlosť, S je čelný prierez − obsah plochy rezu
161
telesom, ktorý je kolmý na smer pohybu. Konštanta C je tvarový koeficient odporu,
číslo, ktoré charakterizuje tvar telesa. Pozri obr. 6-32 v článku 6.10.
Príklad
Vypočítajte veľkosť odporovej sily, pôsobiacej na oceľovú guľôčku s tvarovým
koeficientom C = 0,37 s polomerom r = 0,01 m, ktorú by sme hodili vo vodorovnom
smere začiatočnou rýchlosťou 10 m · s−1. Hustota vzduchu má hodnotu 1,3 kg · m−3.
r = 0,01 m, C = 0,37, S = πr 2 = 3,14 · 0,012 m2 = 0,000 314 m2, ρ = 1,3 kg · m−3.
Fo =
1
1
ρ CS v 2 = 1,3 · 0,37 · 0,000 314 · 100 N ≈ 0,008 N
2
2
Výsledok 0,008 N treba porovnať napr. s tiažovou silou, ktorá na guľôčku
pôsobí. Pre oceľovú guľôčku vychádza tiažová sila približne 0,32 N, čo je zhruba
40-krát viac, ako vypočítaná odporová sila.
Úlohy
1. Vypočítajte začiatočnú rýchlosť guľôčky, ktorá by sa pohybovala po trajektórii
zaznamenanej na obr. 3-49. [10 m · s−1]
2. Odporová aerodynamická sila narastá s druhou mocninou rýchlosti pohybu. Predstavme si, že guľôčku nehodíme rukou rýchlosťou 10 m · s−1, ako sme to urobili
pri naposledy riešenej úlohe, ale nabijeme ju do kanóna na obr. 3-50 a vystrelíme
rýchlosťou 100 m · s−1. Aká bude veľkosť aerodynamickej odporovej sily? [0,8 N]
3. Do akej vzdialenosti doletí kameň, ktorý hodíme vo vodorovnom smere rýchlosťou 10 m · s−1 tak, že začiatočná výška je 1,0 m
a) na povrchu Zeme, ak zanedbáme aerodynamickú odporovú silu,
[gZ = 9,8 m · s−2; 4,5 m]
b) na povrchu Mesiaca.
[gM = 1,6 m · s−2; ≈ 11 m]
3.20 Zvislý vrh nahor
V predchádzajúcich dvoch článkoch sme skladali pohyby, ktoré prebiehali v navzájom rôznych smeroch. Často však skladáme aj pohyby, ktoré má teleso súčasne
konať tým istým smerom alebo navzájom opačnými smermi. Snáď najčastejší prípad
zloženého pohybu, ktorého zložky ležia v jednej priamke, je pohyb cestujúceho
v dopravnom prostriedku, napr. vo vlaku:
162
Príklad
Vlak sa pohybuje rýchlosťou vv = 20 m · s−1 vzhľadom na trať a v jeho vnútri
prechádza vagónmi rýchlosťou vc = 2 m · s−1 cestujúci, ktorý hľadá jedálny vozeň.
Akou rýchlosťou sa pohybuje cestujúci vzhľadom na trať?
Riešenie
Predpokladajme, že cestujúci má svoje miesto blízko stredu vlaku. Aby vyhľadal
jedálny vozeň má dve možnosti:
a) Cestujúci sa vyberie hľadať v smere pohybu vlaku. Vtedy jeho výsledná rýchlosť
vzhľadom na trať bude súčtom rýchlosti vlaku a rýchlosti, ktorou sa pohybuje
voči vlaku, v = vv + vc; v = 20 m · s−1 + 2 m · s−1 = 22 m · s−1.
b) Cestujúci sa pohybuje proti smeru pohybu vlaku. Úvaha je podobná ako v prípade a), ale rýchlosť výsledného zloženého pohybu cestujúceho vzhľadom na
trať bude rozdielom rýchlostí skladaných pohybov v = vv − vc; v = 20 m · s−1 −
− 2 m · s−1 = 18 m · s−1.
V diskusii o úlohe by sme mali uvážiť aj prípad, kedy vlak sa pohybuje celkom
pomaly, napr. rýchlosťou 2 m · s−1 a cestujúci v ňom uteká smerom dozadu rýchlosťou 4 m · s−1. Presvedčte sa, že výpočtom nám vyjde pre jeho zložený pohyb
výsledná rýchlosť záporná. Vysvetlite prečo!
V príklade, ktorý sme práve vyriešili, konal cestujúci súčasne dva priamočiare
rovnomerné pohyby. Rozoberme teraz príklad zloženého pohybu, pri ktorom jedna
zo zložiek je nerovnomerný pohyb. Tak ako v článku 3.19, teleso sa bude pohybovať
v tiažovom poli Zeme.
Zvislý vrh nahor
Na obr. 3-51 sme teleso „vrhli“ zvisle nahor. Telesom môže byť napr.
kameň, vystrelený z praku alebo projektil vystrelený zo zbrane, ktorej
hlaveň sme obrátili zvisle nahor. Náčrt situácie je na obr. 3-51.
Pri analýze úlohy budeme vychádzať z princípu nezávislosti pohybov:
1. Keby nebolo tiažového poľa, kameň (hmotný bod) by sa pohyboval
podľa prvého Newtonovho zákona zvisle nahor tou rýchlosťou v0,
ktorou sme ho na začiatku uviedli do pohybu. Jeho pohyb by bol
priamočiary rovnomerný.
V čase t1 by sa kameň nachádzal v bode Q a jeho rýchlosť smerom
nahor by mala veľkosť v0. Dráha OQ, meraná od povrchu Zeme, sa
dá vyjadriť vzťahom OQ = v0 t1.
163
2. Druhý pohyb, ktorý kameň koná súčasne s rovnomerným pohybom
nahor, je voľný pád. V tom istom čase t1 by kameň v opačnom smere,
voľným pádom zvisle nadol, proti smeru kladnej orientácie osi y pre1
šiel dráhu QP = gt12 .
2
a tM označme čas výstupu, v ktorom túto výšku dosiahne. Z rovnice
označenej (1) vychádza čas výstupu po dosadení podmienky v = 0
0 = v0 − g tM ⇒ tM =
v0
g
Po dosadení do rovnice (1) vychádza pre výšku, do ktorej teleso vystúpi
y M = v 0t M −
1 2
v 1 v 2 1 v02
g t M = v0 0 − g 02 =
2
g 2 g
2 g
Teleso vrhnuté zvisle nahor vystúpi do najvyššieho bodu dráhy v čase
v
1 v02
tM = 0 a dosiahne pri tom výšku yM =
.
g
2 g
Obr. 3-51
3. Pri stanovení okamžitej polohy kameňa v čase t1 vyjadríme jeho zvislú
súradnicu y1 ako rozdiel dráh, ktoré prešiel rovnomerným pohybom
nahor a voľným pádom nadol
y1 = v0 t −
1 2
g t1
2
4. Pri stanovení okamžitej rýchlosti v1 kameňa v čase t1 odpočítame od
rýchlosti jeho rovnomerného pohybu rýchlosť, ktorú by v čase t1
nadobudol pri voľnom páde
v1 = v0 − gt
Výška zvislého vrhu nahor
Na obr. 3-51 sme vyznačili, ako sa ukončí pohyb, ktorý sme nazvali
zvislý vrh nahor. Rýchlosť pohybu klesne na nulu. Nasleduje voľný
pád telesa späť na zemský povrch. Nulová rýchlosť pohybu v = 0, je
podmienka, ktorá musí byť splnená pre najvyšší bod dráhy zvislého
vrhu nahor. Označme teda yM maximálnu výšku, do ktorej teleso doletí
164
Pri skúmaní pohybu máme spravidla možnosť voliť si súradnicovú sústavu,
v ktorej sa pohyb odohráva tak, aby sme ho mohli opísať jednoduchým spôsobom.
Pri opise zvislého vrhu nahor nám vyhovuje voľba súradnej osi y orientovanej
nahor, ako je to znázornené na obr. 3-51.
V článku 3.8 (obr. 3-23) sme skúmali pohyb, ktorý by sme mohli nazvať „zvislý
vrh nadol“. Všimnite si, že pri jeho opise sme si zvolili súradnicový systém odlišným spôsobom. Zvislú súradnicovú os sme označili s ako os dráhy a orientovali
sme ju nadol (pozri napr. obr. 3-20 v článku 3.7). Pre dráhu, ktorú hmotný bod
1
prešiel v smere tejto osi, potom vychádza s = v0t + g t 2
2
Vráťte sa ešte raz k tomuto pohybu a uvážte, aké by boli jeho zložky, keby
sme ho chceli považovať za zložený pohyb a opisovali ho v súradnicovej
sústave z obr. 3-51.
Úlohy
1. Pri streľbe z kanóna smerom zvisle nahor je začiatočná rýchlosť strely 800 m · s−1.
Určte aký bude čas výstupu a do akej výšky by strela mala vystúpiť. Vysvetlite,
prečo hodnota výšky výstupu vypočítaná zo vzťahov, ktoré sme odvodili v tomto
článku, nie je v skutočnosti možná a reálna. [ ≈ 81,6 s; 32,6 km; do tejto výšky
by strela vystúpila len v neodporujúcom prostredí, napr. vo vákuu]
2. Zaoberali sme sa niekoľkými druhmi pohybu, ktorý sme nazvali vrh (vrh zvislý
nahor, vodorovný vrh…). Každý z nich sme analyzovali ako pohyb zložený z rovnomerného priamočiareho pohybu a z voľného pádu. Pokúste sa teraz analyzovať
pohyb, ktorý sa nazýva „šikmý vrh“. Teleso sa pohybuje šikmým vrhom vtedy,
165
ak ho uvedieme do pohybu určitou začiatočnou rýchlosťou v0 v smere priamky,
ktorá zviera s vodorovnou rovinou určitý uhol α. Návod: Inšpirujte sa v predchádzajúcom článku na pohybe, ktorý sme nazvali vodorovný vrh. Pri konštrukcii
trajektórie šikmého vrhu použite rovnaký postup.
3.21 Krivočiary pohyb
Pohyb automobilu na obr. 3-52 je rovnomerný, nemení sa veľkosť
jeho rýchlosti, mení sa však smer jeho rýchlosti.
Obr. 3-52
Automobil sa pohybuje rýchlosťou stálej veľkosti po ceste s dvoma zákrutami A, B. Zákruty
majú rovnaké dĺžky ∆sA = ∆sB, ale ich polomery
sa navzájom líšia rB > rA. Každá z nich leží na
časti kružnice.
Tak ako pri priamočiarych pohyboch, aj tu
považujeme pohybujúce sa teleso za hmotný
bod. Jeho rýchlosť sme na dvoch miestach
trajektórie znázornili vektormi.
– buď celý alebo aspoň sčasti. Pohyb po kružnici teda bude pri opise krivočiarych
pohybov veľmi dôležitý a mali by sme sa ním zaoberať.
Rovnomerný pohyb po kružnici
Príklad telesa, ktoré sa pohybuje rovnomerne po kružnici, je na
obr. 3-53. Závažie, ktoré krúži okolo chlapca, prejde za rovnaké doby
∆t rovnaké dráhy ∆s. Hmotný bod, ktorým môžeme závažie nahradiť,
sa pohybuje rovnomerne. Bod opíše celý oblúk kružnice vždy za dobu
T a potom sa tento pohyb znova a znova opakuje. Dej, ktorý sa pravidelne opakuje, nazývame periodický dej. Rovnomerný pohyb po kružnici
je preto periodický pohyb. Doba T, ktorá uplynie pri jednom obehu
závažia, sa nazýva perióda a obvykle sa značí T. Prevrátená hodnota
periódy sa nazýva frekvencia f periodického pohybu.
f =
Jednotkou periódy môže byť ľubovoľná časová jednotka. Tak napr. koncový
bod veľkej ručičky hodín obieha po kružnici s periódou 1 h, perióda obehu Zeme
okolo Slnka je 1 rok. V sústave SI je jednotkou periódy sekunda.
Jednotkou frekvencie je prevrátená hodnota jednotky jej periódy
Veľkosť rýchlosti vyjadríme tak, ako sme to pri rovnomernom pohybe
hmotného bodu zvykli robiť, podľa vzťahu
∆s
(1)
∆t
Vektor rýchlosti leží v dotyčnici ku kružnici a je namierený v smere
pohybu hmotného bodu.
v=
Rozpamätajte sa, že sme sa v článku 3.5 (obr. 3-11) zaoberali smerom rýchlosti
pri krivočiarom pohybe. Ukázali sme si na príklade kotúčovej brúsky, že rýchlosť
má vždy smer dotyčnice ku trajektórii.
Všimnime si, že pokiaľ sa auto pohybuje po kružnici, vektor jeho rýchlosti je
neustále kolmý na sprievodič hmotného bodu – jeho spojnicu so stredom kružnice.
Každá trajektória sa môže skladať priamych a zakrivených úsekov. Ku každému
krivočiaremu úseku trajektórie sa dá nájsť kružnica, ktorou sa dá tento úsek nahradiť
166
1
T
[f ]=
1 1 −1
= =s
[T ] s
Odmerať frekvenciu periodického pohybu závažia na obr. 3-53 v praxi znamená
zistiť, koľko obehov vykoná závažie za jednotku času.
Obr. 3-53
Závažie upevnené na
vlákne koná periodický
pohyb po kružnici.
167
Uhlová rýchlosť
Priamočiare pohyby sme spravidla opisovali tak, že sme hľadali
a skúmali závislosť s = s(t), dráhy od času. Pri pohybe po kružnici sa
okrem dráhy s mení v závislosti od času ďalšia veličina – uhol ϕ. Za
navzájom rovnaké doby ∆t sa dráha mení o rovnaké hodnoty ∆s na
obvode kružnice. Rovnakým oblúkom ∆s prislúchajú rovnaké zmeny
∆ϕ stredového uhla kružnice. Uvažujme teraz, či by sa na opis pohybu
nedali použiť zmeny ∆ϕ uhla opísaného v časovom intervale ∆t sprievodičom hmotného bodu.
Zaveďme novú veličinu uhlová rýchlosť, ktorej veľkosť ω (písmeno
omega gréckej abecedy) je definovaná vzťahom
ω=
∆ϕ
∆t
(2)
Podľa vzťahu (2) veličina ω sa číselne rovná zmene uhla za jednotku
času. Mohli by sme tiež hovoriť, že má význam rýchlosti, ktorou sa mení
uhol opísaný sprievodičom.
Jednotka uhlovej rýchlosti
Predtým, ako zavedieme jednotku uhlovej rýchlosti, mali by sme sa
dohodnúť, v akých jednotkách budeme vyjadrovať veľkosti uhla ϕ. Na
meranie uhlov používame v každodennom živote jednotku stupeň. Vo
fyzike častejšie pracujeme s oblúkovou mierou, v ktorej je jednotkou
uhla radián, ktorú označujeme značkou rad. (Pozri tiež prílohu P1
Matematické postupy). Pre uhol v oblúkovej miere platí vzťah
s
r
ϕ= ,
resp. ∆ϕ =
∆s
r
(3)
Obidva vzťahy definujú uhol v oblúkovej miere:
Uhol v oblúkovej miere sa rovná podielu oblúka, vymedzeného ramenami uhla
na obvode kružnice a polomeru kružnice. Pre jeho jednotku vychádza
rad = [ϕ ] =
[ s] m
= =1
[r ] m
Rozmer fyzikálnej jednotky uhla radián sa rovná číslu 1 (rad = 1). Z tohto
168
dôvodu sa niekedy značka jednotky uhla nevypisuje a nahrádza sa vzťahom
1 rad = 1.
Príklad
Plný uhol (v jednotkách stupeň) = 2 π (radiánov)
180° = π,
30° =
π
,…
6
Napriek tomu, ale pri čítaní vzťahov by sme jednotku radián mali vysloviť, napr.:
180° sa rovná π radiánov…
Platia vzťahy
2 π rad = 360°;
1 rad =
360°
≈ 57,3°
2π
Teraz už môžeme určiť aj jednotku uhlovej rýchlosti známym postupom z definičného vzťahu (2):
[ω ] =
[ ∆ϕ ] rad
=
= rad ⋅ s −1
[ ∆t ]
s
Nakoniec sa môžeme vrátiť k situácii na obr. 3-52, ktorý znázorňuje
rovnomerný krivočiary pohyb auta dvoma zákrutami. Zákruty na obrázku
majú rovnaké dĺžky ∆sA = ∆sB. Auto, ktoré sa pohybuje rovnomerne,
prejde každou z nich za rovnaký časový interval ∆t. Preto aj veľkosti
rýchlostí vA a vB, vypočítané podľa vzťahu (1), vychádzajú rovnaké.
Pomocou veličiny, ktorú sme nazvali veľkosť rýchlosti, teda nedokážeme prejazd auta dvoma zákrutami s nerovnakým polomerom nijak od
seba odlíšiť. Zo skúsenosti však vieme, že polomer zákruty na pohyb
auta vplýva.
Veličina, ktorá umožňuje navzájom rozlíšiť pohyb auta dvoma rozdielnymi zákrutami je uhlová rýchlosť. Zákruty A a B ležia na kružniciach
s polomermi rA, rB, ktoré sa navzájom líšia. Navzájom sa líšia aj stredové
uhly ∆ϕA, ∆ϕB, ktoré patria k oblúkom ∆sA, ∆sB. Preto sa musia navzájom líšiť aj uhlové rýchlosti ωA, ω B automobilu v zákrutách A, B.
Úlohy
1. Zákruta A na obr. 3-52 má dĺžku oblúka 40 m a polomer 100 m. Automobil sa
pohybuje rýchlosťou 72 km · h−1. Vypočítajte
169
a) uhol ∆ϕA,
b) uhlovú rýchlosť ωA.
∆sA = 40 m; rA = 100 m, v = 72 km · h−1 = 20 m · s−1.
∆s
40 m
∆ϕ A = A =
= 0,40 rad
rA
100 m
∆tA =
Znázornili sme aj dva body disku, ktoré ležia na spoločnej priamke
pretínajúcej os otáčania. Body majú od osi otáčania vzdialenosti r1 a r2.
Rýchlosti v1, v2 bodov sme znázornili vektormi nerovnakej dĺžky.
Uvážme, či sme to urobili oprávnene.
∆sA
40
=
s = 2,0 s
v
20
∆ϕ A 0,40 rad
=
= 0,20 rad · s−1
∆t A
2,0 s
2. Určte uhol ∆ϕ B a uhlovú rýchlosť ωB v zákrute B pre hodnoty ∆sB = 40 m;
rB = 160 m. [0,125 rad · s−1 ≈ 0,13 rad · s−1]
ω=
3.22 Rýchlosť a uhlová rýchlosť
rovnomerného pohybu po kružnici
Obr. 3-54
Tenký disk sa otáča okolo zvislej osi.
Je veľkosť rýchlosti všetkých jeho bodov
rovnaká?
Pre rýchlosti dvoch vyznačených bodov platia vzťahy
V predchádzajúcom článku sme jednoduchý experiment s rovnomerným pohybom hmotného bodu po kružnici (obr. 3-53) použili na definíciu uhlovej rýchlosti.
Závažie upevnené na konci lana obiehalo okolo chlapca, ktorý držal druhý koniec
lana. Hmotný bod, za ktorý sme závažie považovali, sa pohyboval uhlovou
rýchlosťou
ω=
∆ϕ
∆t
Rýchlosť v mala v každom bode smer dotyčnice k trajektórii – ku kružnici, po
ktorej sa hmotný bod pohyboval a veľkosť
v=
∆s
∆t
Otáčavý pohyb tuhého telesa opíšeme pomocou veličín rýchlosť v a
uhlová rýchlosť ω.
Tuhé teleso na obr. 3-54 je tenký kruhový disk rotujúci okolo zvislej
osi, ktorá prechádza jeho stredom (spomeňte si na obľúbenú detskú
hračku – ozubené koliesko z mechanických hodín).
Na obrázku sme vyznačili uhol ∆ϕ, o ktorý sa disk otočí pri uplynutí
časového intervalu ∆t. Tieto údaje sú postačujúce na určenie uhlovej
rýchlosti, ktorou sa teleso otáča.
170
v1 =
∆s1
;
∆t
v2 =
∆s 2
∆t
(1)
a pre oblúky ∆s1, ∆s2 s polomermi r1, r2 (pozri tiež v prílohe)
∆s1 = ∆ϕ r1,
∆s2 = ∆ϕ r2
Po dosadení do vzťahov (1) pre rýchlosť vychádza
∆ϕ
r1 ;
∆t
v1 = ω r1 ;
v1 =
∆ϕ
r2
∆t
v 2 = ω r2
v2 =
(2)
Teraz už môžeme rozhodnúť, či zodpovedajú realite nerovnaké dĺžky
vektorov rýchlostí, ktoré sme znázornili na obr. 3-54. Zo vzťahov (2)
vyplýva, že medzi veľkosťou rýchlosti a vzdialenosťou od osi otáčania
je priama úmernosť:
v = ωr
Konštantou v tejto priamej úmernosti je veľkosť uhlovej rýchlosti ω.
171
Úlohy
1. Určte rýchlosť, ktorou sa pohybujú hroty ručičiek vašich hodiniek, vežových
hodín, budíka…
2. Zem sa otáča a všetky body na jej povrchu sa pohybujú po kružniciach so stredmi
na zemskej osi. Vyjadrite uhlovú rýchlosť otáčania Zeme.
2π rad
rad
]
[
= 7,272 ⋅ 10−5
1 deň
s
3. Určte rýchlosť, ktorou sa pohybujú body a) na rovníku, b) na 45o severnej šírky,
c) na póle.
[vR ≈ 1 670 km · h−1; v45 ≈ 1 184 km · h−1; vP = 0]
4. Na obr. 3-55 sme znázornili jednu z metód merania rýchlosti projektilu vystreleného zo strelnej zbrane. Papierové kotúče upevnené na spoločnom hriadeli sa
otočia 7-krát za sekundu. Ich vzájomná vzdialenosť je 1,2 m. Počas preletu strely
po tejto vzdialenosti sa kotúč otočil o uhol ∆ϕ = 30°. Vypočítajte rýchlosť strely.
[≈ 100 m · s−1].
občerstvite si pamäť v článkoch 2.13, 3.10 a 2.10, v ktorých sme sa oboznámili
s Newtonovými pohybovými zákonmi.)
Obr. 3-56
Pri rovnomernom pohybe
po kružnici treba pôsobiť na
teleso silou, ktorá smeruje
do stredu kružnice.
Dostredivá sila Fd pôsobiaca na teleso, ktoré na obr. 3-56 obieha po
kružnici, je podľa Newtonovho tretieho pohybového zákona silou vzájomného pôsobenia telies. Chlapec pôsobí prostredníctvom vlákna na
teleso dostredivou silou Fd. Reakcia k dostredivej sile, sila −Fd, ktorá
pôsobí na chlapca, je rovnako veľká ako sila Fd a má opačný smer. Dostredivá sila Fd by sa mala riadiť aj ďalším z pohybových zákonov −
druhým Newtonovým pohybovým zákonom
Fd = m ad
Obr. 3-55
Meranie rýchlosti projektilu vystreleného z pištole.
3.23 Dostredivá sila
Ak ste niekedy vykonali experiment znázornený na obr. 3-56, iste ste získali
skúsenosť: Ak chceme udržať teleso v rovnomernom pohybe po kružnici, musíme
naň pôsobiť silou, ktorá smeruje do stredu kružnice, a ktorej veľkosť sa nemení.
Túto silu zvykneme nazývať dostredivá sila.
Nielen zo skúsenosti, ale aj z 1. Newtonovho pohybového zákona vyplýva, že
na teleso pohybujúce sa rovnomerne po kružnici musí pôsobiť sila: Teleso, ktoré
obieha po kružnici, mení neustále svoj pohybový stav. To nie je možné bez pôsobenia sily. (Dva základné pohybové stavy sú pokoj a pohyb priamočiary rovnomerný –
172
(1)
Zákon sme napísali vo vektorovom tvare zo závažného dôvodu: Veľkosť vektora Fd dostredivej sily sa pri rovnomernom pohybe hmotného
bodu po kružnici nemení, mení sa však jeho smer tak, aby vektor sily
bol neustále orientovaný do stredu kružnice.
Obr. 3-57
Odstredivý stroj zo školských fyzikálnych
zbierok. Ak otáčame kľukou, roztočí sa
kruhová točňa, na ktorej je valček s hmotnosťou m na oske, pripojený pomocou
silomeru na os točne.
Dostredivé zrýchlenie
Z vektorového zápisu prvého Newtonovho zákona (1) vyplýva:
Rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici je pohyb s nenulovým
zrýchlením ad, ktoré nazývame dostredivé zrýchlenie. Smer dostredivého zrýchlenia bude rovnaký ako smer dostredivej sily − do stredu
173
kružnice, po ktorej sa hmotný bod − naše teleso − rovnomerne pohybuje.
Pre veľkosť dostredivého zrýchlenia môžeme písať
ad =
Fd
m
rýchlosti v ostávajú konštantné a mení sa len smer rýchlosti. Hmotný bod sme pri
jeho pohybe na kružnici na dráhe ∆s v časovom intervale ∆t znázornili v dvoch
polohách. Vyznačili sme ramená uhla ∆α, ktorý opísal sprievodič hmotného bodu
a vektory rýchlosti v1 a v2.
Zo skúsenosti vyplýva, že dostredivá sila nemení pri otáčavom pohybe
svoju veľkosť, pokiaľ sa teleso pri pokusoch na obr. 3-56 a na obr. 3-57
pohybuje rovnomerne. Preto by malo mať konštantnú veľkosť aj dostredivé zrýchlenie ad.
Ešte predtým ako odvodíme vzťah pre veľkosť dostredivého zrýchlenia uvažujme,
s ktorými ďalšími veličinami by malo súvisieť. Podľa vzťahu (1) platí
ad =
Fd
m
Zrýchlenie by malo mať rovnaký smer ako dostredivá sila a jeho veľkosť
by mala byť priamo úmerná veľkosti dostredivej sily.
Pravdepodobne by nám o tom mohli viac povedať športovci, ktorí sa venujú vrhu
kladivom: Tesne predtým ako kladivo vypustia z ruky, vykonajú spolu s ním niekoľko otočiek. Svaly rúk, ktoré kladivo držia, sa namáhajú tým viac, čím rýchlejšie
sa kladivár otáča. Skúste sa o tom presvedčiť.
Pohyb, ktorý skúmame, je rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici. Pri
rovnomernom priamočiarom pohybe sa zrýchlenie vždy rovná nule, pretože sa
nemení ani smer, ani veľkosť rýchlosti. Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa
nemení veľkosť rýchlosti, ale sa mení jej smer.
Navrhnite a vykonajte aj experiment, ktorý sme znázornili na obr. 3-57. Kruhová
točňa sa otáča uhlovou rýchlosťou ω. Silomer zaznamenáva veľkosť dostredivej
sily Fd, ktorá musí na valček na oske pôsobiť, aby sa udržal na trajektórii s určitým
polomerom r. (Ak nenájdete vyobrazenú pomôcku v školských zbierkach, pokúste
sa ju nahradiť iným kotúčom otáčavým okolo zvislej osi (napr. zo staršej hračky
alebo gramofónového prístroja.)
Dostredivá sila Fd je daná vzťahom (1), preto zrejme súvisí aj s hmotnosťou m.
Podľa výsledkov experimentu na obr. 3-59 by mohla veľkosť dostredivej sily súvisieť
aj s polomerom jej kruhovej trajektórie a s uhlovou rýchlosťou ω otáčania točne.
Pokúsme sa teraz odvodiť vzťah pre veľkosť ad dostredivého zrýchlenia.
Na odvodenie využijeme predstavu o pohybe hmotného bodu na obr. 3-58.
Hmotný bod koná rovnomerný pohyb po kružnici. Uhlová rýchlosť ω aj veľkosť
174
Obr. 3-58
K odvodeniu veľkosti dostredivého zrýchlenia.
V časovom intervale ∆t sa vektor rýchlosti zmení z hodnoty v1 na v2, ∆v = v2 − v1.
Veličina ∆v je teda vektor, ktorý nazveme zmena rýchlosti. Rovnoramenné trojuholníky so stranami r, ∆r, r a v1, ∆v, v2 sú navzájom podobné. Vo vektorovom trojuholníku rýchlostí má základňa trojuholníka veľkosť |∆v| a ramená |v| = |v1| = |v2|.
Aby sme geometrickú podobnosť trojuholníkov mohli použiť, potrebujeme porovnávať dĺžky ich strán. Dĺžka vektora zodpovedá veľkosti vektorovej fyzikálnej
veličiny, ktorú vektor zobrazuje. Veľkosť vektorovej veličiny označujeme ako jej
absolútnu hodnotu, napr. | ∆v | alebo | v | = v.
Pre podobné trojuholníky na obr. 3-58 platí rovnosť pomerov
|∆v | ∆r
=
|v |
r
Ak sa obmedzíme na veľmi krátky časový interval ∆t, je uhol ∆α veľmi malý
a úsečku ∆r môžeme nahradiť oblúkom ∆s kružnice ∆s ≈ ∆r. Vzťah (1) upravíme do
tvaru
v∆s
|∆v |=
r
a vynásobíme prevrátenou hodnotou časového intervalu ∆t
|∆v | v∆s
=
(2)
∆t
r∆t
Podiel veľkosti zmeny rýchlosti a príslušného časového intervalu na ľavej strane
poslednej rovnice je veľkosť ad dostredivého zrýchlenia
|∆v |
ad =
∆t
Na pravej strane rovnice (2) vystupuje podiel zmeny ∆s dráhy a príslušnej doby ∆t,
175
ktorý má význam veľkosti konštantnej rýchlosti pohybu
ad =
∆s
= v. Po úprave vychádza
∆t
v v v2
=
r
r
Na obr. 3-59a je sústava síl nakreslená tak, ako ju vníma chlapec
na kolotoči. Pociťuje, že naňho pôsobí tiažová sila Fg a zároveň odstredivá
sila Fo. Obidve tieto sily sa skladajú a ich výslednica Fv, napína záves, na
ktorom je upevnené sedadlo.
Ak využijeme vzťah v = ωr medzi veľkosťami veličín rýchlosť a uhlová rýchlosť platia vzťahy
ad =
v2
;
r
ad = ω 2 r
Teraz už môžeme vyjadriť aj veľkosť dostredivej sily Fd. Vzťah (1)
napíšeme v skalárnom tvare
Fd = mad
a dosadíme doň za veľkosť dostredivého zrýchlenia
Fd = mad = m
v2
= mω 2 r
r
Úlohy
1. Určte veľkosť sily, ktorou udržuje chlapec na obr. 3-56 závažie s hmotnosťou
2 kg priviazené na lane s dĺžkou 1,2 m, ktoré okolo neho obehne raz za sekundu.
[≈ 95 N]
2. Chystáme sa urobiť experiment na obr. 3-57. Vybrali sme valček s hmotnosťou
50 g a predpokladáme, že kotúčom odstredivého stroja dokážeme otáčať dvakrát
za sekundu. Aké vlastnosti by mal mať silomer, ktorý budeme potrebovať?
[Napätý na dĺžku približne 25 cm by mal merať sily do hodnoty ≈ 2 N]
3.24 Odstredivá sila
V tomto článku by sme sa mali zaoberať fyzikálnym vysvetlením javu, ktorý
poznáme z každodennej skúsenosti s krivočiarymi pohybmi − z jazdy na bicykli,
v aute, alebo aj na retiazkovom kolotoči, ktorý sme zjednodušene znázornili na
obr. 3-59. Pri krivočiarom pohybe vnímame silu, ktorá na nás pôsobí smerom na
vonkajšiu stranu zakrivenej trajektórie. Túto silu sme zvykli nazývať odstredivá
sila.
176
Obr. 3-59
Skúsenosť: Odstredivú silu veľmi
výrazne vnímame na retiazkovom
kolotoči.
Na obrázku sú dvojakým spôsobom
znázornené sily, ktoré pri pohybe na
kolotoči pôsobia na chlapca, ktorý
sedí na sedadle
a) z hľadiska „cestujúceho“ na
sedadle,
b) z hľadiska vonkajšieho
pozorovateľa.
Na obr. 3-59b je sústava síl nakreslená tak, ako ju vníma vonkajší
pozorovateľ, ktorý stojí vedľa kolotoča. Vidí, že na chlapca na kolotoči
pôsobia dve sily − tiažová sila Fg a zároveň sila Fz, ktorou retiazka nedovolí sedadlu, aby sa odtrhlo od závesu. Obidve tieto sily sa skladajú
a ich výslednicou je dostredivá sila Fd, vďaka ktorej sa sedadlo s chlapcom pohybuje po kružnici.
Reálny je pohľad vonkajšieho pozorovateľa na obr. 3-59b. Obidve sily Fg, Fz
skutočne existujú, a preto aj dostredivá sila, ktorá vznikla ich zložením, je skutočná
sila. Odstredivá sila Fo znázornená na obr. 3-59a v skutočnosti neexistuje. Chlapcov
dojem, že taká sila pôsobí, je vyvolaný tlakovou silou, ktorou naňho pôsobí sedadlo dovnútra kružnice, smerom k jej stredu. Sedadlo tak sprostredkuje pôsobenie
dostredivej sily potrebnej na to, aby sa chlapec udržal v pohybe na kružnici. Chlapec
vníma toto silové pôsobenie tak, ako keby naňho pôsobila opačne orientovaná
odstredivá sila.
Odstredivá sila je zdanlivá sila, ktorá patrí do skupiny zotrvačných síl. (Tiež sa
používa názov inerciálna sila, podľa latinského názvu inertia – zotrvačnosť).
177
Pôsobenie inerciálnych síl vnímame vtedy, ak sa pohybujeme so vzťažnou sústavou, ktorá koná zrýchlený pohyb (pozri tiež článok 3.17).
Odstredivá sila je rovnako veľká ako sila dostredivá a má opačný smer. To často
vedie k omylu, že sila odstredivá je reakcia k sile dostredivej. Nie je tomu tak. Sily
akcie a reakcie sú sily vzájomného pôsobenia telies a každá z nich pôsobí na iné
teleso. Odstredivej sile však prisudzujeme pôsobisko na tom istom telese, na ktoré
pôsobí aj dostredivá sila.
Inerciálna odstredivá sila je len zdanlivá sila, ktorú vníma pozorovateľ preto, že je viazaný na zrýchlene sa pohybujúcu sústavu. Napriek
tomu sa vo fyzike používa pri riešení niektorých úloh, ak je potrebné
zjednodušiť problém. Niektoré ukážky jej využitia uvádzame v ďalšom
texte.
Príklad: Pohyb na bicykli v zákrute
a) Bicykel s bicyklistom na obrázku (celková hmotnosť 100 kg) prechádza ľavotočivou zákrutou s polomerom 20 m rýchlosťou 10 m · s−1. Určte uhol, o ktorý
sa os bicykla odklonila zo zvislého smeru.
b) Uvážte, či pri sklone bicykla, ktorý vypočítate, nedôjde v zákrute ku šmyku.
Koeficient statického šmykového trenia bicykla fo = 0,8.
v 2 102
m
F
a) tg α = o ⇒ tg α = r = 20 ≈ 0,5 = tg 30° Odklon od zvislej polohy
Fg
mg
9,8
bicykla by mal byť približne 30°.
Obr. 3-60
Bicyklista v zákrute sa nakloní tak,
aby výslednica síl, ktoré naňho pôsobia,
ležala na osi bicykla.
b) Ak nemá dôjsť ku šmyku, odstredivá sila Fo nesmie prekročiť hodnotu Ft0 statického šmykového trenia. Vypočítame obidve sily.
178
mv 2 100 ⋅ 10 2
=
N = 500 N
r
20
Pri uvedenej rýchlosti bicyklista prejde zákrutou bez šmyku.
Ft0 = fomg = 0,8 · 100 · 9,81 N ≈ 785 N;
Fo =
Úlohy
1. Vráťte sa k úlohe o bicyklistovi na obr. 3-60.
a) Akou maximálnou rýchlosťou môže prejsť bicyklista na obr. 3-60 zákrutou
bez šmyku?
b) Aký by mal byť sklon bicyklistu pri tejto rýchlosti?
2. V článku 3-21 sme riešili úlohu 1 o prejazde auta dvoma zákrutami A, B. Vráťte
sa k nej ešte raz a rozhodnite, či automobil s hmotnosťou 1 000 kg prejde danou
rýchlosťou zákrutami bez šmyku, ak koeficient statického šmykového trenia
fo = 0,4.
Treba vypočítať dostredivú silu a silu statického trenia a porovnať ich.
Ft = fomg = 0,4 · 1 000 · 9,81 N ≈ 3 924 N ≈ 3,9 kN
mv 2 1 000 ⋅ 202
=
N = 4 000 N ≈4,0 kN
r
100
mv 2 1 000 ⋅ 202
FdB =
=
N = 2 500 N ≈ 2,5 kN
r
160
V prvej zákrute je potrebná dostredivá sila FdA, ktorá je väčšia ako sila trenia Ft.
Aby nedošlo k šmyku, mal by automobil pred prvou zákrutou spomaliť.
3. Závažie priviazané na niti s dĺžkou 40 cm, obieha v zvislej rovine okolo nášho
prsta. S akou najväčšou periódou? [1,3 s]
4. Obrovské koleso so sedačkami v zábavnom parku sa otáča vo zvislej rovine
(Podobné veľké koleso je v zábavnom parku vo viedenskom Prátri.) Priemer
kolesa je 50 m.
a) Koľkokrát za sekundu by sa muselo koleso otočiť, aby celková sila pôsobiaca
na cestujúceho v najnižšom bode trajektórie sa rovnala dvojnásobku tiažovej
sily? [približne raz za desať sekúnd]
b) Aká celková sila by vtedy pôsobila na cestujúceho v najvyššom bode trajektórie? [0]
FdA =
Obr. 3-61
K riešeniu úlohy 4: Kamión v klopenej zákrute.
Fo – odstredivá sila Fg – tiažová sila,
F – výsledná sila kolmá na povrch cesty.
179
5. Určte uhol klopenia vozovky špeciálnej cesty pre automobily, ktorá má byť celkom bezpečná aj v zime pri rýchlosti 144 km · h−1, v zákrute s polomerom 163 m.
[45°]
6. Akou rýchlosťou po obvode Zeme by sa musel pohybovať automobil, aby vodič,
ktorý v ňom sedí, pociťoval pôsobenie odstredivej sily rovnako veľkej ako je
d) Naplánujte a vykonajte experiment s trubicou tak, aby sa pohyb bubliny v trubici podobal na pohyb rastliny na obr. 1-20 v článku 1-9.
tiažová sila? [ v = gR = 9,81 ⋅ 6 378 ⋅ 103 m · s−1 ≈ 7,9 km · s−1, automobil by
bol v stave „bez tiaže“ − touto rýchlosťou by sa tesne nad povrchom Zeme pohybovala po kružnici umelá obežnica (keby to bolo možné).]
7. Úloha pre počítačové modelovanie
Obr. 3-62
Kamión vchádza do ľavotočivej zákruty,
v ktorej vzápätí havaruje. Čo bolo
príčinou havárie?
Policajný znalec, ktorý analyzuje haváriu, zhromaždí údaje:
Nákladný automobil na obr. 3-62 má ťažisko vo výške 2,0 m. Vzájomná vzdialenosť pravých a ľavých kolies (vpredu i vzadu) je 1,6 m. Pohyboval sa po vodorovnej ceste v ľavotočivej zákrute, ktorej polomer sa postupne menil v hraniciach
od 100 m po 60 m. Koeficient statického šmykového trenia f0 mohol mať hodnoty
medzi 0,1 (pri daždi) po 0,8 (na suchej ceste) Akú rýchlosť by nemal prekročiť?
Bola príčinou havárie veľká rýchlosť na suchej ceste a následné prevrátenie alebo
šmyk na mokrej ceste a následné prevrátenie po vybočení auta z cesty?
Úloha je riešiteľná výpočtom, ale ak chceme meniť parametre úlohy a simulovať
rôzne stavy cesty a výšky ťažiska auta, potrebujeme počítač. Program zostavený
v IP-Coach Modelovanie, spolu s poznámkami k metodike riešenia nájdete na
stránke http://fyzikus.fmph.uniba.sk/ucebnice.
3.25 Úlohy na precvičovanie
1. Naplánujte a vykonajte experiment znázornený na obr. 3-63. Použite pri ňom
trubicu z priehľadného plastu, ktorú pripevníte lepiacimi páskami na zvislú dosku.
a) Znázornite závislosť s = s(t), dráhy s od času t tabuľkou a grafom.
b) Vysvetlite, aký druh pohybu koná bublina a pokúste sa graficky znázorniť
závislosť jej rýchlosti od času.
c) Naplánujte a vykonajte experiment tak, aby sa bublina v trubici pohybovala
spomaleným pohybom.
180
Obr. 3-63
K experimentu na vysvetlenie príčiny pohybu
bubliny v článku 3.2.
2. Na obr. 3-64 sú dve vozidlá: Električka sa pohybuje stálou rýchlosťou a automobil sa práve pohol od okraja cesty a zväčšuje svoju rýchlosť. Odpovedajte na
otázky:
a) Ktorý z grafov zobrazuje pohyb električky, a ktorý pohyb auta?
b) Aká je rýchlosť električky?
c) Určte čas, v ktorom budú mať obidve vozidlá rovnakú rýchlosť.
d) Určte čas, za ktorý električka prešla dráhu 300 m.
e) Určte rýchlosť auta v okamihu, keď električka prešla dráhu 300 m.
f) Určte priemernú rýchlosť auta na tejto dráhe a porovnajte ju s rýchlosťou
električky.
g) Určte dráhu, ktorú auto prešlo v časovom intervale, v ktorom električka prešla
dráhu 300 m.
h) V ktorých bodoch trajektórie sa obidve vozidlá navzájom predbiehali?
[Riešenie a) q − pohyb auta; p − pohyb električky, b) 15 m · s−1, c) 10 s, d) 20 s,
e) 30 m · s−1, f) 15 m · s−1, g) 300 m, h) 0; 300 m]
Obr. 3-64
Automobil A sa začal rozbiehať práve vtedy, keď
okolo neho prechádzala
konštantnou rýchlosťou
električka. Grafy rýchlosti
v = v(t) v závislosti od času
sú na obrázku vpravo označené písmenami p, q.
181
3. Úloha pre počítač: Ako padá teleso vo vzduchu? Zostavte počítačový model
pádu v IP-Coach. Na padajúcu loptu pôsobí proti smeru pohybu odporová sila
Fodp = 0,5 ρ CySyv2, kde ρ (ro) je hustota vzduchu, Cy je tvarový koeficient odporu,
Sy je plocha rezu telesa v smere kolmom na smer pohybu a v je okamžitá rýchlosť
telesa. Zobraziť treba tri grafy časových závislostí − zrýchlenia a = a(t), rýchlosti
v = v(t), dráhy s = s(t).
Ak máte videokameru, nafilmujte pád lopty a spracujte videozáznam na počítači:
Premerajte jej jednotlivé polohy pomocou niektorého videoprehliadača, napr.
VirtualDub. (Ak potrebujete pomoc, nájdete ju na adrese
http://fyzikus.fmph.uniba.sk/ucebnice.)
Simulujte pád lopty z ôsmeho poschodia.
Model
'pad telesa (lopty) s odporom prostredia
t:=t+dt
Fodp:=0.5*ro*Cy*Sy*v^2 'odporova sila
F:=Fp-Fodp 'vysledna sila
a:=F/m
'zrychlenie
dv:=a*dt
'zmena rychlosti
v:=v+dv
'rychlost
ds:=v*dt
'zmena drahy
s:=s+ds
'draha
Začiatočné hodnoty,
konštanty
t=0
'zaciatok mer. (s)
dt=0.05 'krok (s)
m=0.35 'kg
g=9.81
'grav. zrychl.
Fp=m*g 'grav. sila (N)
v=0
'm/s
s=0
'zac. draha (m)
ro=1.137 'kg/m^3 hust. vzd.
Cy=0.37 'koef. odp. gula
r=0.15
'polomer lopty
Sy=Pi*r^2 'obsah plochy
celného prierezu lopty
4. Rýchlik, ktorý sa pohyboval po priamej trati rýchlosťou 144 km · h−1, začal
brzdiť tak, že za čas 60 s sa jeho rýchlosť zmenila o 30 m · s−1. Nakreslite graf
závislosti v = v(t). Určte zrýchlenie a dráhu, ktorú počas brzdenia prešiel.
[0.5 m · s−2, 1500 m]
5. Oceľová guľôčka skáče na oceľovej podložke s periódou 1,0 s. Do akej výšky
môže vyskočiť? [1,2 m]
6. Loď a balón s posádkou sa pohybujú rovnakým smerom, loď rýchlosťou
36 km · h−1, balón vo výške 45 m rýchlosťou 15 m · s−1. Nad prednou časťou
lode vypustia z balóna balíček. Ako ďaleko od lode dopadne ? [15 m]
7. Lietadlo na obr. 3-65 letí vo výške 50 m nad morom rýchlosťou 600 km · h−1.
Pilot má zhodiť na ľadovú kryhu balík (kontajner) s potravinami. Ako ďaleko
pred kryhou (merané vo vodorovnom smere) má balík uvoľniť? Úlohu riešte
a) bez započítania odporovej sily (ako by balík letel vo vákuu), [≈ 0,53 km]
b) so započítaním odporovej sily simuláciou deja na počítači.
182
Obr. 3-65
K úlohe o dodávke
potravín na kryhu.
V pripojenej tabuľke je model deja zostavený v IP-Coach Modelovanie. Pri simulácii je možné meniť rozmery (Sx, Sy), hmotnosť a tvarový Cx, Cy koeficient
kontajnera.
Model
'na ľadovú kryhu treba zhodiť
balíček
'yo=yo(x) bez započítania odporu
'y=y(x) so započítaním odporu
'-------------------------------------t:=t+dt
If yo<=0 Then Stop EndIf
ax:=-0.5*Cx*Sx*ro*(vx^2)/m
ay:=(g+(0.5*Cy*Sy*ro*vy^2)/m)
dvx:=ax*dt vx:=vx+dvx
dx:=vx*dt x:=x+dx
dvy:=ay*dt vy:=vy+dvy
dy:=vy*dt y:=y+dy
xo:=v0*dt
to:=x/v0 yo:=y0+0.5*g*to^2
Začiatočné hodnoty, konštanty
t=0
dt=0.1
v0=450*1000/3600 'm/s
vx=v0 vy=0 vxo=v0
x=0 y0=600 'm
y=y0 yo=y0
m=15 'kg
Sx=0.1 Sy=0.13 'm^2
Cx=0.37 Cy=0.37
ro=1.3
g=-9.81
V tabuľke uvádzame počítačový model vodorovného vrhu balíčka z lietadla na
ľadovú kryhu so započítaním a bez započítania odporovej sily. Zobrazuje vrh
v súradnicovej sústave s osami x, y (so započítaním odporovej sily) a v sústave
x0, y0 (bez započítania odporovej sily.
8. Akou silou pôsobí na lietadlo prúdový reaktívny motor, do ktorého každú sekundu
vteká plyn s hmotnosťou 15 kg rýchlosťou 200 m · s−1 a z ktorého tento plyn
vyteká rýchlosťou 800 m · s−1? [9,0 kN]
9. Motocykel, ktorý sa rozbieha na priamej vodorovnej ceste, zväčší svoju rýchlosť
z 36 km · h−1 na 72 km · h−1 za čas 1,0 s. Určte veľkosť a smer celkovej sily,
ktorou pri rozbiehaní pôsobí na sedlo motocykla jazdec s hmotnosťou 70 kg.
[980 N, v smere výslednice tiažovej a inerciálnej sily]
183
10. Analyzujte grafy na obr. 3-66 a zostavte správu o pohybe auta. Do správy treba
zahrnúť aj názor dopravného policajta, ktorý automobil nakoniec zastavil.
Obr. 3-66
Dva grafy, ktoré opisujú pohyb auta
v mestskej prevádzke medzi dvoma
križovatkami. Vyberte z grafov
čo najviac informácií.
184
Download

3 POHYB A SILA 3.1 Rýchlosť rovnomerného pohybu