Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
2 Základy teórie hladkých kriviek a plôch
Diferenciálna geometria študuje priestorové krivky a plochy v trojrozmernom
priestore metódami diferenciálneho počtu. Pri vyšetrovaní geometrických
útvarov sa prevážne zameriava na formulovanie invariantných vlastností kriviek
a plôch, ktoré sú nezávislé na voľbe súradnicového systému (napr. krivosť
krivky, resp. plochy a pod.). Diferencálna geometria študuje väčšinou lokálne
vlastnosti kriviek a plôch. Inokedy však skúma aj vlastnosti týkajúce sa väčšej
časti krivky alebo plochy (napr. dlžka krivky, veľkosť plochy a pod.).
Podrobnosti o krivkách a plochách môže študent nájsť vo viacerých
publikáciách venovaných teórii kriviek a plôch (napr. Budinský a Kepr 1970).
V globálnej geodézii diferenciálna geometria kriviek a ploch je aplikovaná na
„hladké krivky“ a „hladké plochy“, ktoré tvoria základ riešených problémov v
geodézii. Hladké krivky a plochy nemajú ostré hrany ani zlomy. Výrazy na
výpočet súradníc na povrchu elipsoidu alebo v konformnej zobrazovacej rovine
majú základ v diferenciálnej geometri. Aplikácia poznatkov diferenciálnej
geometrie na riešenie geodetických úloh vyžaduje osvojenie si základov
vektorového počtu a pri plochách aj základov tenzorového počtu a zaužívaného
pojmového aparátu a matematického formalizmu nevyhnutného pre odbornú
komunikáciu.
2.1 Základy teórie hladkých kriviek
2.1.1 Karteziánsky súradnicový systém
Základy teórie kriviek a plôch budú vysvetľované v trojrozmernom
karteziánskom súradnicovom systéme a v obyčajnom metrickom euklidovskom
priestore E3 . Trojrozmerný karteziánsky súradnicový systém je definovaný
polohou počiatku O a tromi orientovanými priamkami, prechádzajúcimi
počiatkom O, ktoré zvierajú pravé uhly. Orientované priamky sa nazývajú
súradnicové osi. Ak na všetkých troch osiach sú rovnaké dĺžkové moduly, t.j.
jednotka dĺžky je pevne stanovená, potom takýto súradnicový systém sa nazýva
euklidovský. Ak súradnicové osi X,Y,Z budú orientované proti pohybu
hodinových ručičiek, potom takýto trojrozmerný karteziánsky súradnicový
systém budeme nazývať kladne orientovaný, ktorý sa používa v Globálnej
geodézii 1 (obr. 1).
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Obr. 1 Trojrozmerný karteziánsky súradnicový systém
2.1.2 Definícia krivky
Skôr než pristúpime k formulácii riešených úloh v Globálnej geodézii 1
uvedieme základné definície a pojmy z diferenciálnej geometrie kriviek
v trojrozmernom euklidovskom priestore E3 , v ktorom je daná karteziánka
sústava súradníc O, X, Y, Z.
Bod P je bez rozmerný geometrický útvar, ktorého polohu vo
zvolenom trojrozmernom
súradnicovom systéme budeme vyjadrovať v
karteziánskych súradniciach X, Y, Z. Túto skutočnosť môžeme zapísať
nasledovne P ( X ,Y , Z ) alebo jednoduchšie P( X ,Y , Z ) .
Regulárna krivka c je spojitá množina bodov P na otvorenom intervale J,
P J , definovaná polohovými vektormi r (t ) , kde t je obecný parameter alebo
polohovými vektormi r(s) kde s je parameter oblúka (obr. 2), t.j.
r P
r X t ,Y t , Z t
= r X s ,Y s , Z s , P c .
(1)
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Obr. 2 Regulárna krivka
Pritom predpokladáme, že rovnica (1) má spojité derivácie aspoň prvého
a druhého rádu, ktoré nie sú rovné nule.
Dotyčnica ku krivke je definovaná vektorovou rovnicou
t
dr
ds
r.
(2)
Normála ku krivke je definovaná vzťahom
n
dt
ds
d 2r
ds 2
t
r
(3)
Binormála ku krivke je definovaná vzťahom (obr.3)
b t n
(4)
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Obr. 3 Dotyčnica normála a binormála ku krivke c
dr
Oskulačná rovina krivky. Rovina určená vektormi
ds
oskulačná rovina krivky v bode P.
d 2r
a
ds 2
sa nazýva
Hlavná normála krivky. Normála ku krivke, ktorá je kolmá na dotyčnicu ku
krivke c v bode P a ktorá leží v oskulačnej rovine, sa nazýva hlavná normála
krivky.
Nech krivka je definovaná polohovými vektormi r , potom takúto krivku
budeme nazývať rovinnou krivkou, ak je možné nájsť také konštanty A, B, C, D
v definičnej oblasti, aby vyhovovali rovnici
AX s
BY s
CZ s
D 0.
Ak takéto konštanty nenájdeme, potom krivka je priestorová.
2.1.2 Krivosť krivky
Prvá krivosť krivky v bode P je definovaná vzťahom
(4)
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
k1
dr dr
.
ds ds
t '.t '
r ".r "
d 2 r d 2r
.
ds 2 ds 2
X"
2
Y"
2
Z"
2
.
d2X
ds 2
d 2Y
ds 2
(5)
d 2Z
ds 2
Polomer prvej krivosti krivky r1 je prevrátená hodnota prvej krivosti krivky k1 ,
t. j.
r1
1
.
k1
(6)
Polomer prvej krivosti krivky je invariantný na voľbu súradnicového systému.
Nutná a postačujúca podmienka, aby krivka bola priamkou je splnenie
podmienky k1 0 vo všetkých bodoch krivky.
Druhá krivosť krivky k2 v bode P je definovaná vzťahom
X ', Y ', Z '
X ", Y ", Z "
k2
X ,Y , Z
X"
kde X
krivky.
2
Y"
2
Z"
2
,
X / s, X = 2 X / s2 , X
(7)
3
X / s3 . Výraz (7) sa nazýva sa torzia
Polomer druhej krivosti krivky r2 je prevrátená hodnota druhej krivosti, t.j.
r2
1
.
k2
(8)
Nutná a postačujúca podmienka, aby krivka bola rovinnou je splnenie
podmienky k2 0, t.j., aby
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
X ', Y ', Z '
X ", Y ", Z "
0
(9)
X ,Y , Z
vo všetkých definičných bodoch krivky.
2.2 Základy teórie hladkých plôch
2.2.1 Definícia plochy
Parametrické vyjadrenie plochy.
Nech plocha, ktorú budeme v trojrozmernom karteziánskom súradnicovom
systéme označovať symbolom S, je definovaná množinou spojite rozložených
bodov P(u, v) S len dvoch premenných parametrov u,v, ktoré sú definované vo
všetkých bodoch plochy S, t.j.
P(u, v)
X (u, v), Y (u, v), Z (u, v) , P(u, v) S
(10)
alebo vo vektorovom tvare
r(u, v)
X (u, v), Y (u, v), Z (u, v) .
(11)
Parametrická krivka na ploche S. Ak je jeden z premenných parametrov u,v
konštantný, potom takúto krivku nazývame parametrickou krivkou na ploche S.
Na každej ploche existujú dva systémy parametrických kriviek, ktoré vytvarajú
sieť parametrických kriviek na ploche S.
Vertorové funkcie
ru
r (u, v)
u
X (u, v) Y (u, v) Z (u, v)
,
,
u
u
u
(12)
rv
r (u, v)
v
X (u, v) Y (u, v) Z (u, v)
,
,
v
v
v
definujú dotyčnice k parametrickým krivkám v bode P(u, v) (obr. 4).
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Obr. 4 Dotyčnice k parametrickým krivkám plochy
Normála k ploche S. Vektorový súčin dotyčníc
ru rv
N
(13)
definuje smer normály k ploche S.
Jednotkový vektor normály k ploche S v bode P(u,v) je definovaný vzťahom
n
N
,
ru rv
(14)
kde voľbou
1 orientujeme normálu plochy.
Jednotkový vektor normály (obr. 5) ku ploche S môžeme vypočítať aj zo vzťahu
n
kde
ru rv
EG F 2
,
(15)
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
X u, v
u
E ru .ru
F
X u, v
u
ru .rv
X u, v
v
G rv .rv
2
Y u, v
u
X u, v
v
2
2
Y u, v
u
Y u, v
v
2
Z u, v
u
2
,
Y u, v
v
Z u, v
v
Z u, v
u
Z u, v
,
v
(16)
2
sú Gaussove fundamentálne koeficienty.
Obr. 5 Dotyková rovina k ploche S
Kontravariantné súradnice. Nech na ploche S je definovaná krivka c pomocou
zložených funkcií
u
u (t ), v
v(t ),
(17)
kde t je obecný parameter, alebo pomocou sprievodiča r krivky c
r
r (u (t ), v(t )) .
(18)
Smerový vektor dotyčnice ku krivke c je definovaný vzťahom
r
dr
dt
dr du
du dt
dr dv
dv dt
ru u rv v,
(19)
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
kde
u
dv(t ) / dt sa nazývajú kontravariantné súradnice
du (t ) / dt , v
vektora r .
Prvá základná forma plochy S je definovaná kvadratickou diferenciálnou
rovnicou v tvare
ds 2
dr.dr ru .ru du 2
2ru .rv dudv rv .rvdv2
Edu 2
2Fdudv Gdv 2 ,
(20)
kde ds je diferenciálny element oblúka.
Determinant
E, F
g
F,G
(21)
,
sa nazýva diskriminant prvej základnej formy plochy S a platí
g
EG
F2
2
ru rv
0.
(22)
Pomocou prvej základnej formy plochy je možné vypočítať:
a) dĺžku krivky c na ploche S medzi bodmi P1 a P2
P2
s1,2
P1
dr dr
. ds
dt dt
P2
P1
r r ds
(23)
b) uhol dvoch kriviek c1 , c2 , ktoré prechádzajú bodom P na ploche S . Nech
dve krivky na ploche S v bode P majú dotyčnice t1 ru a1 rv a2 a t 2 rub1 rv b2 ,
kde (a1, a2 ) a (b1, b2 ) sú kontravariantné súradnice dotyčníc, potom uhol
týchto kriviek je daný vzťahom
cos
t1.t 2
t1 t 2
Ea1b1
Ea12
F (a1b2
2 Fa1a2
a2b1 ) Ga2b2
Ga22 Eb12
2Fb1b2
Gb22
,
(24)
kde E, F, G sú Gaussove fundamentálne koeficienty E, F, G , ktoré vypočítame
zo vzťahov (16) pre bod P,
c) obsah plochy S v oblasti Ω je definovaný vzťahom
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
S
gdudv
(25)
Druhá základná forma plochy. Nech krivka c na ploche S je parametrizovaná
oblúkom t = s, t.j.
r ( s) r (u ( s), v( s)),
(26)
potom
r'
dr u s , v s
dr du
du ds
ds
dr dv
dv ds
ruu ' rv v ' t
(27)
je vektor dotyčnice ku krivke c na ploche S.
Vektor
r"
dt
ds
t'
(28)
sa nazýva vektor krivosti krivky a absolútna hodnota tohto vektora t' k sa
nazýva krivosť krivky.
Deriváciou rovnice (26) podľa oblúka s dostaneme
r" = ruu (u')2 + 2ruvu'v' + rvv (v')2 + ru u" + rv v" .
(29)
Skalárnym vynásobením vektorom n (normála k ploche S) dostaneme druhú
základnú formu plochy S
r ".n ruu .n(u ')2
kde L
ruu .n, M
2ruv .nu ' v ' rvv .n(v ')2
ruv .n, N
L(u ')2
rvv .n a ru .n
r v .n
2Mu ' v ' N (v ')2 ,
(30)
0.
Skalárny súčin (30) dvoch vektorov môžeme vyjadriť aj nasledovným vzťahom
(obr. 6)
2
r ".n
r( s)
n cos
s2
k cos ,
(31)
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
kde
je uhol, ktorý zvierajú vektory r " a n . Ak hlavná normála ku krivke
v bode P je totožná s normálou k ploche, potom
0 a výraz (30) sa rovná
krivosti plochy k.
Obr. 6 Geometrický obraz skalárneho súčinu dvoch vektorov
Rovina určená vektormi r a r sa nazýva oskulačná rovina krivky v bode P.
Normála ku krivke, ktorá je kolmá na dotyčnicu ku krivke v bode P a ktorá leží
v oskulačnej rovine sa nazýva hlavná normála krivky.
Normálová krivosť krivky. V danom bode krivky číslo
kn
r ".n
k cos
(32)
sa nazýva normálovou krivosťou krivky c.
Normálová rovina. Normálová rovina v bode P plochy S je každá rovina, ktorá
obsahuje normálu plochy S v bode P.
Normálový rez. Normálový rez je rovinná krivka, ktorá vznikne rezom
normálovej roviny plochou S, prechádzajúcou bodom P.
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Determinant
b
L, M
M,N
LN
M2
(33)
sa nazýva diskriminant druhej formy plochy S. Podľa hodnoty diskriminantu je
možné rozlíšiť, o aký druh plochy sa jedná.
Ak
a) b>0, ide o elipsoidickú plochu,
b) b = 0, ide o parabolickú plochu,
c) b<0, ide o hyperbolickú plochu.
2.2.2 Krivosť plochy
Krivosť plochy je charakterizovaná parametrom, ktorý sa vzťahuje k bodu
plochy P. Je to vlastne prevrátená hodnota polomeru sféry, ktorou môžeme
aproximovať plochu v danom bode P v blízkom okolí.
Meusnierova veta (publikovaná 1776). Oskulačné kružnice všetkých kriviek
plochy S v bode P, majú spoločnú dotykovú rovinu.
Hlavné krivosti plochy k1 , k 2 . V množine normálových rezov plochy S v bode P
existujú dve, ktoré sú na seba kolmé a ich krivosti sú extrémne. Označme tieto
krivosti k1 a k 2 a budeme ich nazývať hlavnými krivosťami plochy S v bode P.
Krivosť normálového rezu kn (Eulerov vzorec publikovaný 1760). Vzťah medzi
krivosťou k n ľubovoľného normálového rezu a hlavnými krivosťami je
definovaný Eulerovým vzorcom (obr. 7)
kn
k1 cos2
k2 sin 2 ,
kde α je uhol, ktorý zvierajú normálové rezy s krivosťou
(34)
k1 a k n ,
obr.7.
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Obr. 7 Krivosť normálového rezu
Gaussova miera krivosti plochy S. Je definovaná vzťahom
K
k1k2 alebo K
b / g,
(35)
kde k1 a k 2 sú hlavné krivosti plochy. Ak K 0 , potom dotykový bod sa
nazýva eliptický a to znamená, že s blízkosti eliptického bodu plocha sa
nachádza na jednej strane dotykovej roviny. Ak K 0 , potom dotykový bod sa
nazýva hyperbolický a to znamená, že v blízkosti hyperbolického bodu plocha
leží na oboch stranách dotykovej roviny. Ak K 0 , potom dotykový bod sa
nazýva parabolický a to znamená, že plocha môže ležať tiež na oboch stranách
dotykovej roviny. Pre K 0 ďalej vyplýva, že jeden z polomerov krivosti musí
byť rovný nekonečnu.
Ak to platí pre všetky body plochy, potom jeden základný smer musí byť
priamkou. Príkladom pre takéto plochy je kužeľ alebo valec. Takéto plochy sa
nazývajú rozvinuteľné plochy, ktoré môžeme rozvinúť do roviny bez
natiahnutia alebo roztrhnutia. Rozvinuteľné plochy sa používajú na zobrazenie
sféry alebo elipsoidu do roviny.
Stredná krivosť plochy S. Je definovaná vzťahom
J
k1
k2
2
alebo J
EN
LFM
2g
GL
.
(36)
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
2.2.3 Geodetická krivosť krivky
Priemety vektora r" do dotykovej roviny k ploche S a normálovej roviny k
ploche S v bode P môžeme vyjadriť vzťahom
r"
An Bb,
(37)
kde
(38)
b n r´ n t
je jednotkový vektor binormály a A, B sú koeficienty krivosti.
Ak vynásobíme rovnicu (37) skalárne vektorom n, dostaneme normálovú
krivosť krivky A v tvare
A r ".n
kn .
(39)
Po vynásobení rovnice (37) skalárne vektorom b, dostaneme geodetickú krivosť
krivky B v tvare
B r ".b .
(40)
Po dosadení rovnice (38) do rovnice (40), dostaneme geodetickú krivosť krivky
v tvare
B kg
r ".(n r´) (n r´).r " ,
(40)
kde koeficient B sa nazýva geodetická krivosť krivky v bode P a označuje sa
kg .
Derivácia krivky na ploche S. Je definovaná vzťahom
r " kn n k g b .
(41)
Geodetická krivka na ploche S. Ak krivka na ploche S má v každom bode
k g 0 , potom takáto krivka sa nazýva geodetickou krivkou. To platí len vtedy,
ak vektory n a r" sú lineárne závislé, t.j. ak normála k ploche S a hlavná
normála krivky sú totožné.
2.2.4 Uhlový exces
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Uhlový exces. Gauss-Bonnetova veta v diferenciálnej geometrii hovorí, že súčet
vnútorných uhlov i uzatvoreného polygónu dĺžky C na ploche S so spojitou
Gaussovov mierou krivosti K je daný vzťahom
n
n 2
i
k g ds
i 1
C
KdS ,
(42)
plocha
kde n je počet uhlov v uzatvorenom polygóne.
Pre sumu vnútorných uhlov v trojuholníku platí
a) ak S je rovina
1
2
3
,
(43)
b) ak S je sféra
1
2
,
3
(44)
kde
KdS ,
(45)
plocha
pretože k g 0 . Suma vnútorných uhlov môže byť väčšia, menšia alebo rovná
v závislosti od Gaussovej miery krivosti či je kladná, záporná alebo nulová.
Napríklad na sfére, uhlový exces sa nazýva sférický exces. Jeho veľkosť je
úmerná ploche sférického trojuholníka, pretože pre sféru s polomerom R
Gaussova miera krivosti má tvar K 1/ R 2 a po dosadení do vzťahu (45),
dostaneme
1
dS
2
R
plocha
1
R2
dS
plocha
S
.
R2
(46)
2.3 Plochy používané v geodézii
Plochy, ktoré používame v geodézii sú vždy reálne a spojité. Môžeme ich
rozdeliť na:
hladké
nehladké
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
uzatvorené
neuzatvorené
Hladké plochy sú také, ktoré spĺňajú nasledovné podmienky:
- v každom bode plochy existuje len jedna dotyčnica a jedna normála,
- dve normály v bodoch A a B ležiacich na ploche v blízkom okolí zvierajú
rAB , kde rAB je priama vzdialenosť medzi bodmi A a B a
ostrý uhol
0, 0
1 sú konštanty,
- v blízkom okolí rovnobežka s normálou k ploche pretne plochu len v
jednom bode.
Rozdelenie hladkých plôch
Hladké plochy môžu byť geometricky definované alebo fyzikálne definované.
1. Geometricky definované hladké plochy môžu byť:
- uzatvorené a hladké plochy, napr. sféra, dvojosový elipsoid a trojosový
elipsoid, ktoré sú definované nasledovnými rovnicami:
a) Sféra
X2
R2
Y2
R2
Z2
R2
1 , kde R je polomer sféry
(47)
b) Dvojosí elipsoid
X2
a2
Y2
a2
Z2
b2
1 , kde a je veľká a b je malá polos elipsoidu
(48)
c) Ttrojosí elipsoid
X2
a2
Y2
b2
Z2
c2
1 , kde a,b,c sú polosi trojosého elipsoidu
(49)
- uzatvorené a nehladké, napr. povrch Zeme alebo teluroid
- neuzatvorené a hladké plochy sú rovina, kužeľ a válec.
2. Fyzikálne definované plochy môžu byť:
- uzatvorené a hladké, napr. skutočné ekvipotenciálne plochy alebo
normálne ekvipotenciálne plochy
Globálna geodézia 1 Zákldy teórie hladkých kriviek a plôch
____________________________________________________________________________
Download

Prednáška 2: Diferenciálna geometria plôch