RNDr.Miroslav Telepovský
Ihlan
Ihlan - je mnohosten, ktorého podstavou je mnohouholník a bočné steny sú trojuholníkové;
- spoločný bod všetkých bočných stien je vrchol ihlanu,
- vzdialenosť vrcholu od podstavy je výška
- pravidelný ihlan má podstavu tvaru pravidelného n-uholníka a ostatné steny rovnaké
1
V  .S p v
3

S  S p  S pl
pravidelný štvorboký ihlan
1
V  .a2.v
3
S  a2  4.
a.va
 a2  2.a.va
2
1. Vypočítaj povrch pravidelného štvorbokého ihlana, keď je daný
jeho objem V = 120 a uhol bočnej steny s rovinou podstavy je α = 42°30´.
(200,7)
2. Vypočítaj objem pravidelného osembokého ihlana, ktorého výška v = 100 a uhol bočnej hrany s
rovinou podstavy je α = 60°.
(314 300)
3. Podstava kolmého ihlana je obdĺžnik s obsahom P = 180; súčet obsahov bočných stien je 384 a
objem ihlana V = 720. Vypočítaj rozmery telesa.
(18; 10)
4. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má dĺžky hrán: AB=10, AV=13. Vypočítaj povrch.
5. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má obsah podstavy rovný 16 a objem rovný 16/3. Aká je
dĺžka hrany AV?
6. Pravidelný trojboký ihlan ABCV má dĺžky hrán: AB = 6, AV = 5. Vypočítaj jeho povrch.
7. Ihlan ABCDV má dĺžky strán: AB = 4, AV = 7. Aká je jeho výška ?
8. Pravidelný 4-boký ihlan má bočnú hranu 7 cm a jej odchýlka od roviny podstavy je 54. Určite
dĺžku jej podstavnej hrany a objem.
Zrezaný ihlan
Zrezaný ihlan – je časť ihlana nachádzajúca sa medzi
podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá
prechádza ihlanom
v
V  .S1  S1 S 2  S 2 
3
S  S1  S 2  S pl
8. Jama má tvar pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana. Hrany podstáv majú dĺžky a1=14m,
a2 =10m. bočné steny majú sklon 45°. Koľko m3 zeminy sa vykopalo?
(2; 290,7)
9. Pravidelný šesťboký zrezaný ihlan má podstavné hrany a1 = 65, a2 = 25 a bočnú hranu b = 85.
Vypočítaj objem telesa.
(420 560)
3
10. Zrezaný pravidelný štvorboký ihlan má objem V = 1 281cm , výšku v = 7cm a obsah dolnej
základne je o 81 cm2 väčší ako obsah hornej základne. Vypočítaj obsah hornej základne.
(144)
1
RNDr.Miroslav Telepovský
Kužeľ
Kužeľ – je rotačné teleso, ktoré vznikne rotáciou pravouhlého
trojuholníka okolo odvesny, ktorá je výškou kužeľa, druhá
odvesna je polomerom kužeľa.
1
1
V  .S p v  . .r 2 .v
3
3
S  S p  S pl   .r 2   .r.s   .r.r  s 
11. Vypočítaj objem telesa, ktoré vznikne rotáciou trojuholníka okolo strany a, keď je dané: b = 25,
α = 78°, γ = 48°.
12. Rotačný kužeľ má výšku v = 6; jeho plášť má číselne toľko m2 , koľko m3 jeho objem. Urči uhol φ
pri vrchole v osovom reze kužeľa.
(60°)
13. Vypočítaj objem šikmého kužeľa, ktorého podstava má polomer r = 10, najdlhšia strana zviera s
rovinou podstavy uhol α = 42°10´, najkratšia strana uhol β = 115°20´.
(1 327; 3 321)
14. Kužeľ má objem 34. Aký bude objem nového kužeľa, ak polomer podstavy zmenšíme na jeho
polovicu a výšku zväčšíme na jej dvojnásobok ?
15. Pomer obsahu podstavy rotačného kužeľa k jeho plášťu je 3 : 5. Vypočítajte povrch a objem
kužeľa, ak jeho výška v = 4.
16. Rovnostranný kužeľ je preťatý rovinou rovnobežnou s podstavou tak, že prechádza stredom výšky.
Určite povrchy oboch telies.
17. Osovým rezom rotačného kužeľa je rovnoramenný trojuholník s obsahom 1600 cm2 a uhlom pri
hlavnom vrchole s veľkosťou 30. Vypočítajte povrch kužeľa.
Zrezaný kužeľ
Zrezaný kužeľ – je časť kužeľa nachádzajúca sa medzi podstavou a
rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza kužeľom
V
v  2
. r1  r1.r2  r22 

3 
S  S1  S2  S pl   .r12   .r12   .(r1  r2 ).s   . r12  r22  r1.s  r2.s 


18. Povrch zrezaného rotačného kužeľa so stranou s = 13 cm je S = 510π cm2. Vypočítaj polomery
podstáv, keď ich rozdiel dĺžok je 10cm.
(15 cm; 5 cm)
19. Rotačný kužeľ rozdeľ rovinou rovnobežnou s podstavou na dve časti s rovnakým povrchom.
V akom pomere budú výšky jednotlivých častí ?
20. Zrezaný rotačný kužeľ má podstavy s polomermi r1 = 8 cm, r2 = 4 cm a výšku v = 5 cm. Aký je
objem kužeľa, z ktorého zrezaný kužeľ vznikol ?
(670,22 cm2)
21. Rotačný kužeľ je rozdelený rovinou rovnobežnou s jeho podstavou a prechádzajúcou stredom jeho
výšky na dve telesá – na menší rotačný kužeľ a na zrezaný rotačný kužeľ. Určite pomer objemov
týchto dvoch telies.
22. Zrezaný rotačný kužeľ má podstavy s polomermi r1 = 6 cm a r2 = 3 cm. Vypočítajte jeho objem, ak
sa jeho plášť rovná súčtu obsahov obidvoch podstáv.
2
RNDr.Miroslav Telepovský
c
ZREZANÝ IHLAN
c
1. Vypočítajte objem a povrch zrezaného ihlana, ktorého plášť sa
skladá zo 4 zhodných rovnoramenných lichobežníkov so
základňami 12 cm a 8 cm a výškou lichobežníka 9 cm.
Vypočítajte uhol, ktorý zviera bočná stena s dolnou podstavou.
r
va
va
2. Škatuľka na hranolky má tvar pravidelného zrezaného ihlana.
Je vysoká 12 cm. Dolná podstava je široká 8 cm , horná hrana je
dlhá 10 cm. Koľko cm2 papiera treba na jej výrobu, ak na
zahnutie sa spotrebujú 2 % z povrchu škatuľky.
a
a
c
H
G
d
3. Zrezaný ihlan má spodnú podstavu v tvare obdĺžnika
s rozmermi 21 cm, 15 cm. Horná podstava má obsah 9 krát
menší. Horná a dolná podstava sú podobné. Výška telesa je
25 cm. Vypočítajte uhly, ktoré zvierajú bočné steny
s dolnou podstavou, výšku bočných stien, objem a povrch
telesa.
E
F
r
va v
vb

D
C

b
A
a
B
ZREZANÝ KUŽEĽ
r2
1. Daný je zrezaný kužeľ vysoký 30 cm s priemerom dolnej
podstavy 10 cm a polomerom hornej podstavy 2 cm. Aký uhol
zviera plášť s podstavou ?
v
2. Vyjadrite objem zrezaného kužeľa, ktorého výška je 2 krát
väčšia ako priemer dolnej podstavy a polomer hornej podstavy
je 2 krát menší ako polomer dolnej podstavy.
s
r1
3. Plášť zrezaného kužeľa tvorí útvar podľa obrázka.
Aký je objem telesa.
s = 20 cm
r´ = 8 cm
3
RNDr.Miroslav Telepovský
VALEC
1. Obsah plášťa valca je 4 krát väčší ako obsah podstavy valca. Vyjadrite objem
valca len pomocou polomeru podstavy.
r
v
2. Valcovité nádoby dutých mier sa zhotovujú tak, že výška nádoby je dvojnásobok
jej priemeru. Určte rozmery nádoby, ak nádoba má objem – 1 liter.
3. Koľko metrov kubických muriva obsahuje 7,8 m vysoká valcovitá vežička, ktorej
vonkajší priemer je 5,1 m a ktorá má hrúbku múra 75 cm ?
4. Koľko litrov vody môžeme naliať do pohára valcovitého tvaru, ktorý má rovnako hrubé steny
s hrúbkou 3 mm, ak vonkajší priemer pohára je 12,6 cm a jeho výška je 24,5 cm.
5. Dva rotačné valce majú výšky 64 cm a 27 cm. plášť každého z nich má ten
istý obsah ako podstava druhého valca. V akom pomere sú objemy valcov ?
6. Kolmý rez valca smerom na podlahy má tvar obdĺžnika s uhlopriečkou
u = 39 cm. Obsah plášťa valca je s obsahom podstavy v pomere 5 : 3. Koľko
litrov vody nalejeme do valca ?
7. Koľko km2 plochy zvalcuje motorový valec široký 3,5 m s priemerom 2 m,
ak sa otočí 1200 krát ?
8. Do valca je vpísaná kocka (všetky vrcholy kocky sa dotýkajú
povrchu valca).
a) Koľkokrát je objem valca väčší ako objem kocky ?
b) Koľkokrát je povrch valca väčší ako povrch kocky ?
9. Do kocky je vpísaný valec (valec sa dotýka všetkých stien kocky).
a) Koľkokrát je objem kocky väčší ako objem valca ?
b) Koľkokrát je povrch kocky väčší ako povrch valca ?
r
v
a
10. Do rovnostranného valca je vpísaný kužeľ .
a) Koľkokrát je objem valca väčší ako objem kužeľa ?
b) Koľkokrát je povrch valca väčší ako povrch kužeľa ?
4
RNDr.Miroslav Telepovský
Teleso – je každá uzavretá oblasť v priestore
Mnohosten – je množina všetkých bodov priestoru ležiacich vnútri a na mnohostenovej ploche, ktorá
je zjednotením n hraničných mnohouholníkov (n ≥ 4) ležiacich v rôznych rovinách tak, že strana
každého z nich je zároveň stranou iného mnohouholníka
Vrchol – je každý prienik aspoň troch hraničných mnohouholníkov mnohostena
Hrana – je každá spoločná strana dvoch hraničných mnohouholníkov mnohostena
Stena – je každý hraničný mnohouholník mnohostena
Hranol – má dve zhodné podstavy, ktoré ležia v dvoch rovnobežných rovinách; vzdialenosť podstáv
je výška hranola, plášť hranola tvoria ostatné steny
– kolmý hranol má roviny stien kolmé na roviny podstavy
– pravidelný hranol je kolmý hranol s podstavou tvaru pravidelného n-uholníka
– rovnobežnosten je štvorboký hranol s podstavou tvaru rovnobežníka
Kocka – je kolmý hranol, ktorého všetky steny sú štvorce
Kváder – je kolmý rovnobežnosten, ktorého podstavou je pravouholník
Ihlan – je mnohosten, ktorého podstavou je mnohouholník a bočné steny sú trojuholníkové; spoločný
bod všetkých bočných stien je vrchol ihlanu, vzdialenosť vrcholu od podstavy je výška
– pravidelný ihlan má podstavu tvaru pravidelného n-uholníka a ostatné steny rovnaké
Zrezaný ihlan – je časť ihlana nachádzajúca sa medzi podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou,
ktorá prechádza ihlanom
Štvorsten – je mnohosten so 4 stranami tvaru trojuholníka
Pravidelný štvorsten – je ihlan, ktorého všetky steny majú tvar rovnakých rovnostranných
trojuholníkov
Pravidelné mnohosteny – sú všetky mnohosteny, ktorých každá stena má tvar pravidelného nuholníka
Guľa – je rotačné teleso vytvorené rotáciou kruhu okolo jeho priemeru
– guľová plocha je povrch gule, ktorý je tvorený všetkými bodmi vo vzdialenosti r od stredu gule
– guľová vrstva je časť gule nachádzajúca sa medzi dvomi rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi
guľou
– guľový pás je plášť guľovej vrstvy
– guľový vrchlík je prienik polpriestoru, ktorého hraničná rovina prechádza guľou s guľou
– guľový výsek je prienik gule rotačným kužeľom, ktorý má vrchol v strede gule a výšku väčšiu ako r
Valec – je rotačné teleso vytvorené rotáciou obdĺžnika okolo jednej jeho hrany, ktorá je zároveň osou
aj výškou valca, dĺžka druhej strany je polomerom valca
Kužeľ – je rotačné teleso, ktoré vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo odvesny, ktorá je
výškou kužeľa, druhá odvesna je polomerom kužeľa
Zrezaný kužeľ – je časť kužeľa nachádzajúca sa medzi podstavou a rovinou rovnobežnou s
podstavou, ktorá prechádza kužeľom
5
Download

Ihlan, valec, kužeľ, zrezaný ihlan.pdf