Algebra
1. Výraz a jeho úpravy
1.1 Spresniť chápanie písmena vo význame čísla
1. x predstavuje celé číslo, ktoré je deliteľom čísla 60. Vypíš všetky hodnoty čísla x.
2. a predstavuje prirodzené číslo, ktorého obraz na číselnej osi leží medzi obrazmi čísel 2 a 10.Vypíš hodnoty čísla a.
3. S je obsah obdĺžnika, ktorý má rozmery 6 cm a 3,5 cm. Akú hodnotu má S?
4. Obsah obdĺžnika je 24 cm². Aké rozmery a, b môže mať obdĺžnik s týmto obsahom?
1.2 Na základe písaného alebo hovoreného textu správne zapísať číselné výrazy
alebo výrazy s premennou a určiť ich hodnotu. Vyčísliť výrazy
1. Urč hodnotu výrazov:
a) 17 + 8.5 – 2
b) (17 + 8) . 5 + 2
c) 17 + (8.5 – 2)
d) (17 + 8) . (5 – 2)
e) 17 + 8 . (5 – 2)
f) 3.4 + 5² – 8
g) –2 + 6 : 2 – 4
2. Napíš výrazy: a) dvojnásobok čísla a
b) polovica čísla m
c) číslo o 2 väčšie ako k
d) číslo o 2 menšie ako x.
3. Urč hodnotu výrazu pre čísla uvedené v zátvorke
a) 11 . a
(a = 13)
b) x – 4
(x = –5)
c) 4x – 1
(x = 5)
d) 2(x + y)
(x = 2, y = 3)
e) c²
(c = –12)
4. Zapíš výrazom
a) Tretina čísla a
b) Napíš číslo ktoré je: 2-krát väčšie ako x
o 3 väčšie ako y
o 5 menšie ako k
3-krát menšie ako z
c) Napíš tretinu čísla zväčšenú o 7
d) Napíš polovicu súčinu čísel 3 a y
5. Určte hodnotu výrazov dosadením ľubovoľného čísla za premennú.
1.3 Sčitovať, odčitovať, násobiť a deliť číselné výrazy:
8 – (–5) –3 – (3 – 5) =
5
11
3
(–3,5 + 4) + (3,5 – 4) =
–– – ––– + –– =
2
8
4
2. a) (833 – 732) . (23 + 17) =
b) (–28 + 14) . (90 – 45) =
3. a) (1 – 2 . 3) : (4 – 5) =
b) (1 – 2 .3 – 4) : 5 =
4. 4(4 – 8).[(10 – (–6)] =
1. –2 + (3 – 6)=
1.4 Sčitovať a odčitovať celistvé algebraické výrazy
1. Vypočítaj:
a) 4m + (–2p) + (+m) + (–3p) =
d) 6a + (5a² – 2a + 1) =
b) –3x² + 5x –1 – 6x + 4x² + 2 =
e) (3x + 5y – 4) + (2x – 7y – 1) =
c) (2m² + 10m) + (6m² – 5m) =
f) (3a² –2ab – b³ ) + (a² + ab + b³) =
2. K daným výrazom utvor opačný výraz: a) 2x + y
b) –0,5x² + 2x - 3,7
3. Odčítaj: a) (5m – 3n) – (4m + n) =
b) (5x² – 2x) – 5x =
c) (9a² + 14a – 5) – (4a² – 7a + l) =
d) 3z – (2z + 1 – 9v) =
1.5 Násobiť celistvé výrazy
1. Vypočítaj:
a) 3 . 2b =
b) 2x² . (3y³) =
c) (–xy²) . 3xy =
2. Doplň:
a) 2x4 . = 86 b) . 6a² = 18a5
3. Vynásob:
a) 5 . (4 + 2x)
b) (a + b + c) . 3
c) (–x + y) . (–z)
4. Vynásob a uprav: a) (x + 4) . (x + 1)
b) (a – 2b + 3).(a – 4)
5. Uprav:
a) 2(x + 3y) – y b) 5(a + b) + 3(a – b)
1.6 Upraviť výrazy vynímaním pred zátvorku.
x(a + b) + y(a + b) =
42a + 30b =
z(n + 2s) – v(n + 2s) =
6a + 24b =
4a + 2b =
4y – 8x + 12 =
5k – 5 =
1.7 Upraviť výrazy pomocou vzorcov (a ± b)², a² – b²
1. Uprav pomocou vzorcov: a) (6 + x)²
b) (a - 4)²
c) (3 + z).(3 - z)
2. Rozlož na súčin pomocou vzorcov:
a) x² + 2xy + y²
b) r² – 2rs + s²
c) v² - 100
d) 4m² + 12 mn + 9n² e) a² – 4ab + 4b² f) 9m² – 49p²
1.8 Vedieť rozoznať lomený výraz od celistvého výrazu.
1. Z daných výrazov vyber lomené:
15x
x³ – 3x² –ax
x² + 3 ; ––– ; –––––––––––;
2a² + 4ab
7
x
1.9 Vedieť udať alebo zapísať lomený výraz
1.10 Určiť podmienky, pri ktorých má lomený výraz význam
1+a
a) –––––
x
4r
b) –––
xy
4
c) –––––
x+y
k
d) ––––
a–1
3
e) ––––––––
(x–2).(x+3)
1
f) ––––––––
x² – 4
1.11 Krátiť a rozširovať lomený výraz:
1. Rozšír lomené výrazy tak, aby mali uvedené menovatele:
3a
3(2x - 5)
1
2+a
a) –– = –––
b) –––––––– = –––––––
c) –– = –––––
d) ––––– = ––––––
2b 2ab
3xy
12 x³y
2
2x + 2
a–3
a² – 9
2. Zjednoduš lomené výrazy:
9a³b²c
3a
2a(a + b)
9a² - b²
a) ––––––– b) –––––––– c) –––––––––
d) ––––––––––––––
18a²b²c²
3a² + 6a
a² - b²
9a² + 6ab + b²
1.12 Sčitovať a odčitovať lomené výrazy
1. Sčítaj:
2x – 1 x
a) ––––– + ––
y
2y
x
2
b) ––––– + ––––––
x+1
3x + 3
1
1
c) ––––– + ––––
1 – v² 1 + v
a–b
4–b
d) –––––– + –––––––
ax + ay bx + by
2. Odčítaj:
2u² – 3v² 5v² – u²
a) –––––––– – ––––––
5uv
5uv
5m 2m m
b) –– – ––– – –––
6n 3n
2n
2b
3
c) –––––– – ––––
ab – ac b – c
3
2a – 2b
d) ––––– – –––––––
a+b
a² – b²
1.13 Násobiť lomený výraz celistvým aj lomeným výrazom
1. Vynásob, a ak je možné, zjednoduš:
x
5
2
3m
a) –– . 3
b) –––– . (a + b)
c) –––. 0
d) ––––– . (4 + n)
24
a+b
3x
2+n
2. Vynásob, a ak je možné zjednoduš:
4k² 5m
x+y
6
r² – s²
m+n
x² + 2x + 2
15
a) –––. –––
b) ––––– . –––––
c) –––––– . ––––––
d) –––––––––– . –––––
3m 2k
3
x+y
m² – n²
r-s
5x – 5
x+1
1.14 Deliť lomený výraz celistvým aj lomeným výrazom
Vydeľ, ak je možné zjednoduš:
1. 4a²
m² – n²
a) –––– : 8a
b) ––––––– : (m.n)
7
mn
2. 2x + 4
4x + 8
5c² – 5cd d³ – dc²
a) –––––– : ––––––
b) –––––––– : ––––––
3x + 9
5x + 15
cd + d²
cd²
3. Uprav na jednoduchý tvar:
5
10x
––
––––
x
15y
a) –––––
b) ––––––
3
2x²
––
–––
y
3y³
1.15 Vyjadriť neznámu zo vzorca
1. Vyjadri z uvedených vzorcov ostatné premenné:
a) S = a. b
V = π. r². v
V = a. b . c
zv
S = ––––
2
2. Lineárne rovnice a ich sústavy
2.1 Rozhodnúť o rovnosti dvoch číselných výrazov
1. Použitím znamienok >, <, = porovnaj výrazy
25 – 9,2
6 + 3,8
7² – 1
–7² – 1
1
1
–– + ––
2
4
2
1
–– + ––
8
2
2.2 Rozhodnúť o rovnosti dvoch algebraických výrazov
1. Urč, pre ktoré x ∈ {–2, 0, 5, 6} tvoria výrazy 3x + 5 a x² – 5 rovnosť a pre ktoré x tvoria nerovnosť.
2. Zisti, pre ktoré a ∈ {–2, 0, 3} tvoria výrazy 5a + 7 a a² + 7 rovnosť a pre ktoré nerovnosť.
2.3 Vedieť urobiť ekvivalentné úpravy rovnice a pomocou nich riešiť lineárne rovnice s jednou neznámou
1. Vymenuj ekvivalentné úpravy, ktoré používame pri úprave rovníc
2. Za použitia ekvivalentných úprav vyrieš rovnice a vykonaj skúšku správnosti
x
x + 12 = 30
2x = 10
x – 3 = 10
–– = 15
3
3. Rieš rovnice a vykonaj skúšku:
a) 4x – 2 = 3x + 10
15y + 12 = 6y – 15
x – 7 + 8x = 9x – 3 – 4x
3t – 20 + 6t – 2 = 8t – 20 + 2t
b) 7(x + 6) = 49
3(x – 8) = 69
15(x + 2) = 6(2x + 7)
(2n – 9) . 5 = 3 (9 – 2n)
6(m + 2) – 9(m – 1) = 0
c) x
4
7
x–2
x+4
–– = 2 ;
–– x = –– ;
––––– = ––––– ;
4
3
9
3
5
3u
––– = 4 ;
2
x
x
–– + –– = 15 ;
2
6
7x + 1
7x – 1
–––––– – ––––– = 0 ;
4
3
x
–– – 3 = 0 ;
5
u
u
u
–– – –– + –– = 15 ;
2
2
4
x
10 – –– = 8 ;
3
p
p
1
–– – –– = 2–– ;
5
6
3
s+3
s–4
–––––– – ––––– = 2 ;
4
5
2.4 Vedieť riešiť lineárne rovnice s neznámou v menovateli.
1. Rieš rovnice, urč podmienku riešiteľnosti a urob skúšku:
3
20 + 3a
3(x + 5)
2
6
3z – 1
a) –– = 1 ;
b) ––––––– = 7 ; c) 4 = –––––––– ;
d) –– = ––– ;
e) –––––– = 0,5 ;
x
a
2x
3
z
4z
20
g) ––– + 3 = 7
x
2. Rieš rovnice a urč počet riešení:
1 + 6x
10z
2 + 5a
a) –––––– = 2 ;
b) 5 = ––– ;
c) –––––– = 4 ;
3x
2z
a
3. Rieš rovnice, urč podmienku riešiteľnosti a urob skúšku:
2
x – 27
a) –––– = 1
b) –––––– = 5
r–2
2x
10
f) ––––– = 1 ;
r–1
2.5 Vedieť urobiť skúšku správnosti riešenia lineárnej rovnice.
Uskutočnené v požiadavkách 2.3 a 2.4.
2.6 Riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi
1. Rieš sústavy rovníc a urob skúšku správnosti:
a) x + y = 3
b) 5a + 2b = 15
c) 0,2n + 0,3m = 0,6
x– y=1
7a – b = 2
0,3n + 0,4m = 1,2
d) x
y
–– + –– = 2
4
4
e) x + 2y
–––––– = 8
2
f) x + 3
2–y
––––– + ––––– = 2
2
3
x
y
3x + y
x–1 y+1
–– + –– = 2
–––––– = 6
–––– + –––– = 4
6
3
3
4
3
2. Rieš sústavy rovníc a urč počet riešení:
a) x – y = – 4
b) x + 2y = 5
c) a + b – 4 = 4
y–x =4
2x + 4y = 14
3a + b = 0
3. Rieš sústavy a urob skúšku správnosti:
a) r + s = 4
b) a + 4b = 1
r–s=3
2a – b = 2
2.7 Riešiť slovné úlohy, ktoré vedú k riešeniu lineárnou rovnicou s jednou neznámou alebo sústavou dvoch
lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.
1. Ku ktorému číslu mám pripočítať 25, aby sme dostali 100?
2. Keď neznáme číslo vydelím 9, dostanem podiel 6. Urč neznáme číslo.
3. Trojnásobok neznámeho čísla je o 9 menší ako 21. Ktoré je to číslo?
4. V družine je 42 žiakov, chlapcov je o 4 viac ako dievčat. Koľko chlapcov a koľko dievčat je v družine?
5. Keby bolo v škole o 457 žiakov viac, chýbal by jeden žiak do tisíc. Koľko žiakov je v škole?
6. Cez prázdniny bolo 159 žiakov na výlete ubytovaných v troch chatách označených A, B, C. V chate B bolo
ubytovaných o 8 žiakov viac ako v chate A a v chate C o 14 žiakov viac ako v chate B. Koľko žiakov bolo
ubytovaných v každej chate?
7. Obvod trojuholníka je 110 cm. Základňa je o 6 cm dlhšia ako jedna strana a o 8 cm kratšia ako druh strana. Urč
dĺžky strán trojuholníka.
8. Dvaja turisti, z ktorých jeden prejde za hodinu 5 km a druhý 6 km, vyjdú o 7. hodine proti sebe z miest A a B
vzdialených od seba 38.5 km. Kedy a v akej vzdialenosti od A sa stretnú?
9. Dvaja natierači spoločne natierajú most. Keby pracoval každý sám, skončil by prvý z nich prácu za 16 hodín,
druhý za 20 hodín. Kedy skončia prácu spoločne?
10. Súčet dvoch čísel je 28, ich rozdiel je 12. Ktoré sú to čísla?
11. Na dvore boli sliepky a zajace. Spolu mali 22 hláv a 54 nôh. Koľko bolo sliepok a koľko zajacov?
3. Lineárne nerovnice
3.1 Riešiť lineárnu nerovnicu
1. Rieš nerovnice:
x+5>7
5a – 3 < 12
2(x + 5) – x < 10
x + 14 > 10
4(x + 2) > 4
4x – 18 > 2x
3.2 Násobiť lineárnu nerovnicu záporným číslom.
Rieš nerovnice
1
12x + 9 < 12–– x – 5
2
15x + 3 < 26 x + 8
–2(2x – 1) > –2(3 – 2x)
1.
2.
3.
4.
3.3 Riešiť slovné úlohy, ktoré vedú na lineárne nerovnice
Rieš slovné úlohy:
Pre ktoré prirodzené čísla platí, že ich dvojnásobok je menší ako 10?
Pre ktoré prirodzené číslo platí, že zväčšené o 7 dáva jednociferné číslo a násobené 7 dáva dvojciferné číslo?
Keby traktorista zoral denne o 2 hektáre viac než plánoval, zoral by za 9 dní viac ako 84 hektárov. Keby zoral o 1
hektár menej než plánoval, zoral by za 12 dní najviac 84 hektárov. Koľko hektárov m zorať denne podľa plánu?
Milan beží rýchlosťou 5m/sek. Pri spoločnom behu Milana s Jožkom za 1/2 min. Jožko zaostane za Milanom
najmenej o 15 m. Akou najväčšou rýchlosťou môže Jožko bežať?
4. Funkcie. Lineárna funkcia.
4.1 Vedieť udať dvojicu veličín, medzi ktorými je lineárna funkčná súvislosť
1. Z daných veličín utvor dvojice, medzi ktorými je lineárna funkčná závislosť:
počet robotníkov, cena tovaru, dráha auta, čas jazdy auta, množstvo vykonanej práce, množstvo tovaru,
spotreba benzínu, mzda robotníkov (pri rovnakom výkone)
1.
4.2 Vedieť zostrojiť graf lineárnej funkcie na základe tabuľky
Zostroj grafy lineárnych funkcií daných tabuľkami:
a) x 0 1 2 3 -2
b) x
-2 -1 0
1
2
y 0 2 4 6 -4
y
-5 -2 1
4
7
4.3 Poznať význam parametrov v rovnici lineárnej funkcie
1. Dané sú dvojice lineárnych funkcií rovnicami:
1
a) y = 2x
g) y = 3x
c) y = ––x
d) y = –2
2
1
y = 5x
y = –2x
y = –– x + 2
y = –2x – 2
2
Zostroj grafy dvojíc týchto funkcií do jedného obrázku.
Vysvetli príčiny rozdielnosti týchto grafov.
Geometria
1. Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami
1.1 Odmerať veľkosť narysovaného uhla, výsledok zapísať.
1. Narysuj 5 ľubovoľných uhlové odmeraj ich veľkosť a výsledok zapíš.
1. Narysuj uhly: α = 48°
1.2 Narysovať uhol danej veľkosti v stupňoch.
β = 112°
γ = 90°
δ = 165°
ε = 74°
ω = 180°
1.3 Narysovať, pomenovať a popísať druhy uhlov: ostrý uhol, pravý uhol, tupý uhol, priamy uhol; vrcholové
uhly, susedné uhly, striedavé uhly, súhlasné uhly, vnútorný a vonkajší uhol trojuholníka.
1. Narysuj a) ostrý uhol
b) pravý uhol
c) tupý uhol
d) priamy uhol
Označ každý uhol oboma spôsobmi.
2. Urč, ktorý z uhlov na obrázku je ostrý, pravý, tupý a priamy, pomenuj ich dvoma spôsobmi
3. Pomenuj uhly na obrázku:
4. Dané sú uhly, ktoré majú tieto veľkosti: 121°, 39°, 90°, 87°, 180°, 179°, 91°, 66°, 181°, 18°.
Vypíš z nich všetky uhly
a) ostré
b) tupé
c) pravé
d) priame
5. Urč na obrázkoch
a) dvojice susedných uhlov
b) dvojice vrcholových uhlov
6.
Narysuj rôznobežky a, b, ich priesečník označ P. Vyznač oblúčikmi jednu dvojicu vrcholových uhlov.
Pomenuj ich, odmeraj a porovnaj ich veľkosti.
7.
8.
Narysuj rôznobežné priamky m, n a ich priesečník označ O. Vyznač jednu dvojicu susedných uhlov a uhly
pomenuj. Odmeraj ich veľkosti a vypočítaj ich súčet.
Rovnobežné priamky u, v na obrázku sú preťaté spoločnou priamkou p. Tak vzniklo 8 uhlov. Zapíš po dve
dvojice a) súhlasných uhlov b) striedavých uhlov
9.
Zapíš, ako nazývame dvojice nasledovných uhlov na obrázku v predchádzajúcej úlohe:
a) α
b) α β
c) β´
d) ε´
10. Narysuj dve rovnobežky r, s a ich spoločnú rôznobežku c. Vyznač oblúčikmi a gréckymi písmenami
a) niektorú dvojicu súhlasných uhlov
b) niektorú dvojicu striedavých uhlov.
Odmeraj, zapíš a porovnaj veľkosti týchto dvojíc uhlov.
11. Uhol α na obrázku má veľkosť 56°. Vypočítaj a zdôvodni veľkosti ostatných vyznačených
uhlov.
12. Uveď, čo vieš o veľkosti
a) ostrého uhla
e) dvojíc vrcholových uhlov
b) pravého uhla
f) dvojíc susedných uhlov
c) tupého uhla
g) dvojíc súhlasných uhlov
d) priameho uhla
h) dvojíc striedavých uhlov
1.
2.
3.
1.4 Prenášať uhol
Narysuj ľubovoľný uhol KVL a polpriamku AB. Prenes uhol KVL pomocou kružidla k polpriamke AB.
Zostroj ľubovoľný uhol EUF. Prenes uhol EUF k polpriamke UF do polroviny opačnej k polrovine UFE.
Narysuj ľubovoľný trojuholník KLM a polpriamku VX. Zapíš všetky vnútorné uhly trojuholníka a postupne ich
prenes vedľa seba k polpriamke VX.
1.5 Zostrojiť os uhla
1. Narysuj uhol MVN menší ako priamy uhol. Zostroj pomocou kružidla jeho os.
2. Narysuj ľubovoľný štvorec KLMN. Zostroj osi jeho uhlov NKL a KLM. Akú zaujímavosť si zistil?
3. Narysuj ľubovoľný trojuholník. Zostroj osi jeho uhlov.
1.6 Porovnávať uhly podľa ich veľkosti numericky i graficky
1. Narysuj ľubovoľné uhly AVB a MUN. Zmeraj ich veľkosti uhlomerom a výsledky merania zapíš. Ktorý z uhlov je
menší?
2. Porovnaj výpočtom i graficky veľkosti vnútorných uhlov
a) v trojuholníku MNO
b) v trojuholníku PRS
1.7 Sčitovať a odčitovať uhly graficky i numericky v stupňoch
1. Narysuj dva rôzne ostré uhly α, β. Zostroj graficky ich súčet. Výsledok over meraním a výpočtom.
2. Narysuj tupý uhol γ a ostrý uhol δ. Zostroj graficky ich rozdiel. Výsledok over meraním a výpočtom.
3. Vypočítaj: a) 35° + 125°
b) 143° – 65°
4. Narysuj ľubovoľný trojuholník. Odmeraj veľkosti všetkých troch vnútorných uhlov trojuholníka a sčítaj ich. Výsledok
skontroluj graficky.
1.8 Násobiť a deliť veľkosť uhla dvoma
1. Narysuj ostrý uhol α a zostroj jeho dvojnásobok. Výsledok over meraním a výpočtom.
2. Daný je uhol β = 115°. Násob ho dvoma. Výsledok over graficky.
3. Narysuj tupý uhol γ. Zostroj uhol α, ktorý je polovicou uhla γ. Výsledok over graficky.
4. Daný je ostrý uhol δ = 86°. Deľ uhol δ dvoma. Výsledok over graficky.
5. Dané sú uhly α = 38°, β = 64°. Od dvojnásobku uhla α odčítaj polovicu uhla β.
2. Trojuholník
2.1 Určiť v trojuholníku vnútorné a vonkajšie uhly.
1. Podľa obrázka urč, ktoré uhly sú:
a) vonkajšie
b) vnútorné
2.2 Riešiť úlohy s využitím súčtu vnútorných uhlov trojuholníka a súčtu vnútorného a vonkajšieho uhla pri tom
istom vrchole trojuholníka.
1. Vysvetli zápisy: a) α + β + γ = 180° pre vnútorné uhly
b) α´ = 180° – α pre vonkajšie uhly
2. Urč veľkosť vonkajšieho uhla, ak je daný vnútorný uhol:
a) α = 48°
b) β = 126°
α´=
β´=
3. Urč veľkosť veľkosť vnútorného uhla, ak je daný vonkajší uhol:
a) β´ = 65°
b) α´= 90°
β =
α =
4. V trojuholníku ABC je uhol γ = 52°. Vonkajší uhol α´= 118°.
Vypočítaj uhly α,β.
2.3 Popísať a zostrojiť rovnostranný a rovnoramenný trojuholník.
1. Popíšte vlastnými slovami, ktorý trojuholník voláme:
a) rovnostranný
b) rôznostranný
c) rovnoramenný
2. Popíšte vlastnými slovami, ktorý trojuholník voláme:
a) ostrouhlý
b) pravouhlý
c) tupouhlý
3. Z trojuholníkov na obrázkoch 1. až 6. urč:
a) rovnostranný
e) ostrouhlý
b) rôznostranný
f) pravouhlý
c) rovnoramenný
g) tupouhlý
4. Na obrázku je rovnostranný trojuholník.
Odpovedaj na otázky:
a) akú vlastnosť majú strany
b) akú vlastnosť majú vnútorné uhly
c) koľko osí súmernosti má rovnostranný trojuholník
5. Akú veľkosť má vnútorný uhol v rovnostrannom trojuholníku? Narysuj takýto uhol bez pomoci uhlomeru.
6. V rovnostrannom trojuholníku m strana dĺžku 5 cm. Vypočítajte obvod trojuholníka. Trojuholník narysuj.
7. Na obrázku je rovnoramenný trojuholník. Ukáž:
a) ramená
b) základňu
c) hlavný vrchol
d) uhly pri základni
e) uhol pri hlavnom vrchole
8. Pomocou obrázka k 7. príkladu popíšte vlastnými slovami:
a) čo platí o ramenách v rovnoramennom trojuholníku
b) čo platí do uhloch pri základni rovnoramenného trojuholníka
c) ako nazývame priamku CS
9. V rovnoramennom trojuholníku má uhol pri hlavnom vrchole veľkosť 66°. Urč veľkosti uhlov pri základni.
10. V rovnoramennom trojuholníku má uhol pri základni veľkosť 36°. Urč veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka.
11. V rovnoramennom trojuholníku má základňa dĺžku 8 cm a rameno dĺžku 5 cm. Vypočítaj obvod trojuholníka.
2.4 Zostrojiť stredné priečky trojuholníka, poznať vlastnosti strednej priečky
1. V trojuholníku na obrázku vyznač stredné priečky.
2) Popíš podľa obrázka vlastnosti strednej priečky trojuholníka:
a) koľko stredných priečok má trojuholník
b) porovnaj strednú priečku B1A1 so stranou AB a popíš vlastnosti strednej priečky
3. Narysuj ľubovoľný trojuholník, zostroj stredy strán. Popíš čo vznikne, ak zostrojíš úsečky s krajnými bodmi
v týchto bodoch.
4. Zostroj trojuholník:
a) ostrouhlý a zostroj jeho stredné priečky
b) pravouhlý a zostroj jeho stredné priečky
c) tupouhlý a zostroj jeho priečky
Meraním zisti dĺžky stredných priečok a porovnaj s príslušnou stranou.
5. Trojuholník m strany a = 8 cm, b = 6 cm, c = 9 cm. Urč výpočtom dĺžky stredných priečok.
2.5 Zostrojiť ťažnice a ťažisko trojuholníka, poznať jeho vlastnosti.
1. Ukáž na obrázku ťažnice a ťažisko trojuholníka.
Podľa obrázka popíš vlastnosti ťažnice a ťažiska. Popíš ako delí ťažisko ťažnicu.
2. Zostroj ľubovoľný trojuholník: a) ostrouhlý
b) pravouhlý
c) tupouhlý
a zostroj ťažnice.
3. Zostroj: a) rovnoramenný trojuholník
b) rovnostranný trojuholník
c) rôznostranný trojuholník
a zostroj ich ťažnice. V ktorom trojuholníku je ťažnica zhodná s osou súmernosti?
2.6 Zostrojiť výšky trojuholníka
1. Popíš vlastnosti výšky trojuholníka. Urč:
a) koľko výšok má trojuholník
b) koľko priesečníkov majú priamky, na ktorých ležia výšky
2. Urč, ktorá úsečka v trojuholníku OPR je výška a zdôvodni.
3. Zostroj výšky v trojuholníku:
a) ostrouhlom
b) pravouhlom
c) tupouhlom
Podľa obrázka popíš, kde sa nachádza priesečník výšok v jednotlivých trojuholníkoch.
2.7 Zostrojiť trojuholník z troch strán
1. Popíš postup konštrukcie trojuholníka, ak sú dané jeho tri strany.
2. Vyslov, kedy sa trojuholník – ak sú dané rozmery troch strán – nedá zostrojiť.
3. Zisti bez konštrukcie, či sa daný trojuholník dá zostrojiť:
a) a = 7 cm
b = 6 cm
c = 5 cm
b) a = 10 cm
b = 3 cm
c = 7 cm
c) a = 4 cm
b = 11 cm
c = 3 cm
4. Zostroj trojuholník ABC, ak je dané a = 5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm.
2.8 Zostrojiť trojuholník z dvoch strán a uhla, ktorý tieto strany zvierajú.
1. Popíš konštrukciu trojuholníka, ak sú dané dve strany a uhol, ktorý tieto strany zvierajú.
2. Zostroj trojuholník KLM, ak k = 5 cm, m = 4 cm a uhol, ktorý zvierajú strany k a m má 75°.
3. Zostroj trojuholník EFG, ak g = 7 cm, e = 66,5 cm a uhol, ktorý tieto strany zvierajú má 134°.
2.9 Zostrojiť trojuholník zo strany a dvoch k nej priľahlých uhlov
1. Popíš konštrukciu trojuholníka, ak sú dané: strana a priľahlé uhly.
2. Zostroj trojuholník BCD, ak BC = 5 cm, β = 55°, γ = 68°.
3. Zisti, či sa dá zostrojiť trojuholník, ak sú dané c = 6 cm,
α = 68°, β = 125° a zdôvodni.
2.10 Vypočítať obvod a obsah trojuholníka, riešiť slovné úlohy s využitím premeny jednotiek dĺžky a obsahu.
1. Vypočítaj obvod trojuholníka, ktorého strany majú dĺžky:
a) a = 8 cm
b = 14 cm
c = 9 cm
b) a = 13,5 dm
g = 8,1 dm
c = 11,7 dm
c) a = 1,2 m
b = 9,5 dm
c = 67 cm
Výsledok vyjadri v menších i väčších jednotkách.
2. Zo zápisov urč vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka a popíš ho.
a+b
a . va
a.b
S = –––––
S = ––––––
o = –––––
2
2
2
b . vb
c . vc
S = –––––
S = –––––
2
2
3. Vypočítaj obsah trojuholníka ABC, keď poznáš:
a) a = 6,5 cm
va = 4 cm
b) c = 8,6 cm
vc = 2,8cm
c) b = 42 mm
vb = 28 mm
Výsledok vyjadri v metroch štvorcových.
S = 2a + va
3.
Pozemok má tvar trojuholníka, ktorého rozmery sú vyznačené na plániku. Pomocou kalkulačky (alebo
výpočtom) vypočítaj výmeru pozemku v hektároch.
2.11 Zapísať Pytagorovu vetu pri každom označení trojuholníka
1. Pre aký útvar je definovaná Pytagorova veta?
2. Zapíš Pytagorovu vetu pre dané trojuholníky.
2.12 Vypočítať preponu alebo odvesnu pravouhlého trojuholníka s využitím Pytagorovej vety
pri riešení úloh z praxe.
1. V pravouhlom trojuholníku sú dané dĺžky odvesien 6 cm a 9 cm. Vypočítaj dĺžku prepony.
2. Dĺžka prepony v pravouhlom trojuholníku je 12 cm. Jedna odvesna má dĺžku 5 cm. Urč dĺžku druhej odvesny.
3. Aká dlhá je uhlopriečka obdĺžnika, ktorý má dĺžky strán a = 5,7 cm, b = 8,2 cm?
4. Vypočítaj výšku rovnostranného trojuholníka, ak dĺžka strany je 6,8 cm.
5. Koľko árov má obdĺžniková parcela, ktorej uhlopriečka má dĺžku 26 m a jedna strana dĺžku 15 m? Koľko pletiva
treba na jej oplotenie?
2.13 Vypočítať a určiť hodnoty sin α, cos α, tg α pre 0 ≤ α ≤ 90° pomocou tabuliek a kalkulačky.
1. Doplň pomocou tabuliek
00
270
450
460 30´ 670 30´ 900
α
sin α
cos α
tg α
2. Pomocou kalkulačky urč hodnoty goniometrických funkcií
a) sin α
b) cos α
c) tg α
pre α = 30°, 55°30´,79°.
2.14 Riešiť pravouhlý trojuholník s využitím goniometrie ostrého uhla.
V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C poznáme preponu c = 75cm a odvesnu a = 25cm.
Pomocou goniometrických funkcií vypočítaj
a) ostrý uhol α
b) ostrý uhol β
c) odvesnu b.
2. Vypočítaj uhlopriečku obdĺžnika, ak a = 5 cm a uhol, ktorý zviera uhlopriečka so stranou a α1 = 34°.
3.Vypočítaj dĺžky ostatných strán a veľkosti uhlov pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole C
ak je dané: a) c = 120 mm
α = 50°20´,
b) c = 8,3 cm
β = 42°40´,
1.
2.15 Použiť goniometriu ostrého uhla pri riešení úloh z praxe.
1. Chlapci púšťali šarkana na šnúre 100 metrov dlhej. Asi ako vysoko vyletel šarkan, ak odhadli uhol napnutej šnúry od
vodorovnej roviny na 60°?
2. Štít strechy rovnoramenného trojuholníka má šírku 10 metrov a výšku 6 metrov. Vypočítaj sklon strechy.
3. Pod akým uhlom stúpa cesta, ak je jej stúpanie 10 %?
4. Lanová dráha z Nitry na vrch Zobor stúpa pod uhlom 15°a spája hornú a dolnú stanicu s výškovým rozdielom 340 m.
Aká dlhá je lanová dráha?
5. Odmeraj výšku a šírku jedného schodu a vypočítaj, v akom uhle stúpa školské schodište.
3. Rovnobežníky
3.1 Načrtnúť a pomenovať všetky druhy rovnobežníkov a poznať ich základné vlastnosti.
1. Vyhľadaj medzi obrázkami rovnobežníky
2. Zdôvodni, prečo štvorec, obdĺžnik, kosodĺžnik a kosoštvorec sú rovnobežníky.
3. Z rovnobežníka na obrázku vypíš:
a) vrcholy
d) uhlopriečky
b) strany
e) dvojice protiľahlých strán
c) vnútorné uhly
f) dvojice susedných strán
4. Vymenuj vlastnosti strán, uhlov a uhlopriečok:
a) štvorca
b) kosoštvorca
c) obdĺžnika
d) kosodĺžnika
3.2 Zostrojiť obdĺžnik, kosodĺžnik, štvorec, kosoštvorec
1. Zostroj obdĺžnik KLMN, ak KL= 7 cm, LM = 9 cm.
2. Zostroj obdĺžnik ABCD, ak AB= 6 cm, AC= 8 cm.
3. Zostroj štvorec MNOP, ak je dané MN = 4,5 cm.
4. Zostroj kosodĺžnik ABCD, v ktorom AB= 6 cm a BC = 3 cm, β = 100°.
5. Zostroj kosoštvorec ABCD, v ktorom AB= 4 cm, AC= 7 cm.
6. Zostroj kosoštvorec OPRS, v ktorom OP = 5 cm a uhol OPR = 120°.
3.3 Vypočítať obvod a obsah obdĺžnika, kosodĺžnika, štvorca a kosoštvorca, riešiť slovné úlohy s využitím
premeny jednotiek dĺžky a obsahu.
1. V uvedených rovnobežníkoch vyznač výšku na stranu a aj na stranu b.
2. Zo zápisov urč vzorec pre:
a) obsah štvorca
b) obsah obdĺžnika
c) obsah kosoštvorca
d) obsah kosodĺžnika
S = b.vb
S = a.va
S = a.b
S = a.a
S = a.b.va S = va.vb
S = b.vb
S = a²
3. Zo zápisov urč vzorec pre obvod:
a) štvorca
c) obdĺžnika
b) kosoštvorca
d) kosodĺžnika
o = a + b + c o = a + va
o = (a + b).2 o = 4.a
S = 4.a
o = a.b.2
o=4+a
o = a + b.2
4. Vypočítaj obvod kosodĺžnika, ktorého jedna strana má 14cm, príslušná výška k tejto strane má 8cm. Koľko je to dm?
5. Vypočítaj obvod a obsah rovnobežníka, ak sú dané strany a = 6,4cm, b = 3,2cm a výška va = 3cm. Vyjadri vo väčších
jednotkách.
6. Lesná škôlka má tvar rovnobežníka s dĺžkou strán 106 m a 86 m. Urč koľko metrov pletiva treba na oplotenie škôlky.
7. Ihrisko tvaru obdĺžnika je 30 m dlhé a 15 m široké. Koľko metrov drôtu treba, aby sa natiahol okolo ihriska 2-krát?
8. Do miestnosti tvaru štvorca so stranou 5,4m treba uložiť podlahovú krytinu. Koľko m² krytiny treba kúpiť? Koľko
korún zaplatíme za krytinu, ak 1 m² stojí 339 Sk?
9. Vypočítajte obvod a obsah kosoštvorca RSTU, ak strana kosoštvorca má dĺžku 9,8cm a výška je 6cm.
Vyjadri v dm², m².
4. Lichobežník
4.1 Načrtnúť lichobežník, pomenovať a charakterizovať jeho základné prvky
1. Ktorý z narysovaných štvoruholníkov je lichobežník?
2. Daný je lichobežník ABCD (AB  CD). Ako sa nazývajú úsečky:
a) AB, DC
b) BC, AD
c) AC, BD
3. Zisti, či štvoruholník ABCD je lichobežník, keď o jeho uhloch platí:
a) α = 62°
β = 118°
γ = 97°
δ = 83°
b) α = 78°
β = 61°
γ = 119°
δ = 102°
4. V lichobežníku ABCD(ABCD) má uhol pri vrchole A veľkosť 62°, pri vrchole B 48°. Vypočítaj veľkosti
zostávajúcich uhlov.
4.2 Zostrojiť lichobežník s dodržaním základných pravidiel
Zostroj lichobežník ABCD (ABCD), ak je dané:
1. a = 6 cm;
c = 3,5 cm; d = 4 cm; f = 5 cm
2. a = 7 cm;
c = 5 cm;
d = 4,5 cm; α = 75°
3. a = 6,5 cm; b = 3 cm;
d = 3,5 cm; e = 5 cm
4. a = 8 cm;
b = d = 4 cm;
α = 60°
5. a = 6 cm; e = 8 cm;
β = 90°;
c = 3 cm
6. AB= 7 cm; CD = 3 cm; AD = 4 cm; ∠ ABD = 30°
rysovania
4.3 Vypočítať obvod a obsah lichobežníka, riešiť slovné úlohy s využitím premeny jednotiek dĺžky a plochy
1. Vypočítaj, koľko m pletiva potrebujeme na oplotenie záhrady tvaru rovnoramenného lichobežníka so základňami
dlhými 7,8 m 5,4 m, keď ramená majú dĺžku 42 dm.
2. Obvod lichobežníka je 6,7 dm. Jeho základne majú dĺžku 25 cm a 21 cm, jedno jeho rameno meria 1,1 dm. Koľko cm
meria druhé rameno lichobežníka?
3. Vypočítaj obsah lichobežníka, ktorého základne majú dĺžku 9 cm a 5 cm a výška lichobežníka je 0,44 dm.
4. Vypočítaj výšku lichobežníka ABCD, ktorého základne majú dĺžku a = 9,9 dm, c = 6,4 dm a jeho obsah je 29,34 dm².
5. Pozemok tvaru pravouhlého lichobežníka má jedno rameno kolmé na základne. Základne majú dĺžky 192m a 176m,
kolmé rameno má dĺžku 136m. Vypočítaj, výmeru pozemku a vyjadri ju v hektároch.
6. Pozemok, na ktorom má stáť autoservis, má tvar lichobežníka so základňami dlhými 92 m a 76m. Vzdialenosť
základní je 64m. Vypočítaj cenu pozemku, ak 1m² stojí 120Sk.
5. Kruh, kružnica
5.1 Vedieť pomenovať základné prvky kružnice a kruhu.
1. Na obrázku vyznač:
a) stred kružnice
b) stred kruhu
c) polomer kružnice
d) polomer kruhu
e) priemer kružnice
f) priemer kruhu
Aký je rozdiel medzi kružnicou a kruhom?
5.2 Zostrojiť a zapísať kružnicu a kruh s daným stredom a polomerom
1. Zapíš pomocou symbolov:
a) Daná je kružnica stredom S a polomerom r.
b) Daný je kruh stredom S a polomerom r.
2. Narysuj: K(S; r = 3 cm). Vyznač dva polomery SA a SB kružnice k tak, aby SA > SB.
3. Narysuj K(S; r = 20 mm). Narysuj ľubovoľný priemer AB. Vyznač bod Z ∈ K; L ∈ K.
4. Narysuj ľubovolnú úsečku PQ. Zostroj kružnicu k s priemerom PQ.
5. Narysuj ľubovoľnú úsečku LM. Zostroj a vyšrafuj kruh s polomerom LM.
5.3 Vyznačiť kružnicový oblúk a kruhový výsek.
1. Je daná kružnica k (S; r = 4cm), body A∈k; B∈k. Ako sa nazývajú časti kružnice k, ktorých krajné body sú A, B?
Vyznač ich.
2. Je daný kruh K (S; r = 35mm) a dva rôzne polomery SA, SB. Ako sa nazývajú časti kruhu ohraničené polomermi SA a
SB? Vyznač ich.
5.4 Určiť vzájomnú polohu kružnice a priamky. Riešiť príslušné jednoduché konštrukčné úlohy.
1. Urč vzdialenosť bodu L od priamok p a q
2. Je daná kružnica k (S, r) a priamka p. Urč všetky možnosti vzájomnej polohy priamky p a kružnice k.
3. Na obrázku je kružnica k (S, r) a priamky m, n, p. Urč množinu všetkých spoločných bodov kružnice k a priamky:
a) m, b) n, c) p. Túto množinu zapíš.
4. Zostroj kružnicu k (S, 2,5cm) a jej priemer AB
a) Zostroj dotyčnice kružnice k s bodmi dotyku A,B
b) Aká je vzájomná poloha týchto dotyčníc?
5. Narysuj priamku m a bod S tak, aby vzdialenosť bodu S od priamky m bola 3,5 cm. Zostroj kružnicu k so
stredom S a polomerom a) 4cm, b) 2,5cm, c) 3,5cm. Urč vzájomnú polohu kružnice k a priamky m v každom z daných
prípadov.
6. Zostroj kružnicu k (S; 2,5 cm).Zvoľ si priamku m, ktorá je nesečnicou kružnice k. Zostroj dotyčnicu ku kružnici k
rovnobežnú s priamkou m.
7. Daná je kružnica k (S; r = 2 cm) a priamka p, vzdialená od bodu S 3 cm. Zostroj dotyčnice ku kružnici k:
a) rovnobežné s priamkou p
b) kolmú na priamku p
8. Narysuj priamku p a mimo nej zvoľ bod A. Zostroj kružnicu k (A; r) tak, aby priamka p bola jej dotyčnicou.
5.5 Určiť vzájomnú polohu dvoch kružníc. Riešiť príslušné jednoduché konštrukčné úlohy.
1. Zostroj kružnice k (S1;r1=3cm), l (S2; r 2= 2,5cm), pre ktoré platí S1S2 = 6cm. Urč:
a) Súčet r 1 + r 2 a porovnaj ho s dĺžkou úsečky S1S2
b) množinu všetkých spoločných bodov kružníc k a h
2. Zostroj kružnice k (S1; r1 =30mm), l (S2;r2 = 2,5cm), pre ktoré platí S1S2 = 5,5cm. Urč:
a) súčet r1 + r2 a porovnaj ho s dĺžkou úsečky S1S2
b) množinu všetkých spoločných bodov kružníc k a l
3. Zostroj kružnice k (S1;r1 = 30mm), l (S2;r2 = 2,5cm), pre ktoré platí S1S2 = 4cm. Urč:
a) súčet r1 + r2 a porovnaj ho s dĺžkou úsečky S1S2
b) množinu všetkých spoločných bodov kružníc k a l
4. Zostroj kružnice k (S1;r1 = 30mm), l (S2;r2 = 2,5cm), pre ktoré platí S1S2 = 0,5cm. Urč:
a) rozdiel r1 – r2 a porovnaj ho s dĺžkou úsečky S1S2
b) množinu všetkých spoločných bodov kružníc k a l (ak existujú)
5. Zostroj kružnice k (S1;r1 = 4cm) a h (S2;r2= 2,5cm), pre ktoré platí S1S2= 1cm. Urč:
a) rozdiel r1 – r2 a porovnaj ho s dĺžkou úsečky S1S2
b) množinu všetkých spoločných bodov kružníc k a h
6. Narysuj kružnicu k (S1;r 1 =3cm) a zvoľ bod S2 tak, aby platilo
S1S2= 1 cm. Zostroj kružnicu h(S2;r 2) tak, aby s kružnicou k
a) nemala ani jeden spoločný bod
b) mala spoločný práve jeden bod
c) mala spoločné dva body
7. Narysuj kružnicu k (S1; r1=3cm). Zvoľ na nej bod T. Zostroj kružnicu h (S2;r2), ktorá sa kružnice k dotýka v bode T a
má polomer 2 cm.
8. Zostroj kružnicu k (S1; r = 2cm).Zvoľ bod S2, pre ktorý platí S1S2= 3,5cm. Zostroj kružnicu h (S2; r2), ktorá nemá s
kružnicou k žiadny spoločný bod. Zapíš pomocou nerovností, aké hodnoty môže nadobúdať polomer r2.
9. Zostroj kružnicu k1 (S1; r 1= 1,5cm), k2 (S2; r2= 2cm), ak:
a) S1S2= 3cm b) S1S2= 3,5cm c) S1S2= 4cm
Vyznač spoločné body kružníc.
5.6 Zostrojiť dotyčnicu ku knižnici z daného bodu, ležiaceho mimo kružnice. Využiť Thalesovu kružnicu.
1. Narysuj kružnicu k(S;2 cm) a vyznač bod M, pre ktorý platí SM=5 cm. Zostroj dotyčnicu z bodu M ku kružnici k.
2. Narysuj kružnicu K(S;2 cm) a vyznač bod K, pre ktorý platí SK=2 cm. Zostroj dotyčnicu z bodu K ku kružnici k.
3. Zostroj pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C, keď je dané c = 7 cm, b = 4 cm.
4. Zostroj pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C, keď má preponu c = 7,2 cm a ďalej:
a) vc = 3,2 cm
b) vc = 3,8 cm
c) vc = 3,6 cm
Ako závisí počet riešení od veľkosti výšky?
5.7 Vypočítať obsah kruhu, dĺžku kružnice, riešiť slovné úlohy s využitím premeny jednotiek dĺžky a obsahu.
1. Vypočítaj dĺžku kružnice, ktorej polomer má veľkosť
1
a) 13,7 dm, b) 5 ––m.
3
2
2. Vypočítaj polomer kružnice, ktorej dĺžka je a) 1,63 m
b) 1––m.
5
3. Akú dráhu opíše koncový bod sekundovej ručičky na hodinách za jeden deň, keď jej dĺžka je 9,5mm?
4. Priemer kolesa zvodného bicykla je 71 cm. Koľkokrát sa koleso bicykla otočí na kruhovej dráhe, ktorej polomer je 45m.
5. Na hriadeli s kolesom je upevnené lano s vedrom. Priemer hriadeľa je 40 cm. O koľko metrov klesne vedro, ak
kolesom otočíme sedemkrát?
6. Vypočítaj obsah kruhu, ktorého polomer má veľkosť
1
a) 37 cm, b) 0,82 dm, d) 3––m. Obsah vyjadri v: mm², m².
5
7. Koľko cm má polomer kruhu, ktorého obsah je a) 37,2 dm²
b) 0,476 m²?
8. Vypočítaj obvod kruhu, ak jeho obsah je 706,5 cm².
9. Vypočítaj obsah kruhu, ak jeho obvod je 59,66 cm.
10. Do kružnice k s polomerom r = 5 cm je vpísaný štvorec. Vypočítaj o koľko cm² je obsah štvorca menší ako bsah
kruhu ohraničeného kružnicou k?
6. Zhodnosť rovinných útvarov
6.1 Dodržiavať základné pravidlá rysovania
6.2 Zostrojiť obraz bodu, úsečky, trojuholníka a štvoruholníka v stredovej súmernosti
1. Zostroj obraz bodu K v stredovej súmernosti so stredom S, (Bod K a stred súmernosti si zvoľ ľubovoľne)
a) čo je obrazom bodu K v stredovej súmernosti so stredom S?
b) ako voláme bod K, bod K´, bod S?
c) zapíš túto stredovú súmernosť.
2. Zvoľ si body A, B, C, D tak, aby žiadne tri z nich neležali na jednej priamke. Zostroj obrazy týchto bodov v stredovej
súmernosti so stredom B.
3. Narysuj úsečku KL a bod S, ktorý neleží na úsečke KL. Zostroj obraz úsečky KL v stredovej súmernosti so stredom S.
4. Narysuj úsečku KL a bod S, ktorý leží na úsečke KL. Zostroj obraz úsečky KL v stredovej súmernosti so stredom S.
5. Zostroj obraz trojuholníka v stredovej súmernosti so stredom S:
Čo je obrazom trojuholníka v stredovej súmernosti?
6. Narysuj ľubovoľný obdĺžnik OPRS. Zostroj jeho obraz v stredovej súmernosti so stredom X, ak bod X∈RS. Popíš
obrázok.
6.3 Zistiť, či sú preberané rovinné útvary stredovo súmerné.
Doplň tabuľku, ak stred súmernosti je bod S.
vzor
A B C AB BC CD AD
obraz
Čo je obrazom obdĺžnika ABCD v stredovej súmernosti so stredom S?
1.
2. Zisti, ktoré útvary na obrázku sú stredovo súmerné:
3. Zostroj pomocou kružidla stred súmernosti úsečky MN, ak MN= 6,3cm.
6.4 Zostrojiť obraz bodu, úsečky, trojuholníka a štvoruholníka v osovej súmernosti.
1. Urč, ktorý bod na obrázku je obrazom bodu B v osovej súmernosti s osou o:
2. Na obrázku je priamka o osou súmernosti. Ukáž a pomenuj obraz:
a) priamky AB
b) polpriamky BX
c) úsečky AX
d) bodu Z=Z´
3. Zostroj obraz úsečky v danej osovej súmernosti:
4. Zostroj trojuholník A´B´C´ súmerne združený s trojuholníkom ABC v osovej súmernosti s osou o podľa obrázka:
5. Zostroj obraz štvorca EFGH, ktorého strana má dĺžku 3,5 cm v osovej súmernosti s osou EF.
6.5 Zistiť, či sú preberané rovinné geometrické útvary osovo a stredovo súmerné
1. Narysuj ľubovoľný obdĺžnik ABCD a zostroj aspoň jednu os súmernosti.
2. Narysuj štvorec KLMN, ak KL = 3,7 cm. Vyznač osi súmernosti.
3. Narysuj kružnicu k(S,3cm)a zostroj aspoň tri osi súmernosti. Koľko osí súmernosti má kružnica, kruh?
4. Vymenuj geometrický útvar, ktorý má:
a) jednu os súmernosti
b) dve osi súmernosti
c) tri a viac osí súmernosti
6.6 Popísať zhodnosť dvoch rovinných útvarov, určiť zhodné útvary v rovine
1. Na obrázku vyhľadaj dvojice zhodných rovinných útvarov. Zhodnosť zdôvodni a popíš.
6.7 Vedieť pohotovo používať vety o zhodnosti dvoch trojuholníkov pri jednoduchých dôkazoch a konštrukciách.
1. Dané sú trojuholníky ABC a A´B´C´. Zisti, či sú zhodné, ak áno, zapíš podľa ktorej vety sa zhodujú, ak je dané:
a) a = 3 cm, b = 4 cm, α = 45°, γ = 60°, a´= 3 cm, b´= 4 cm, α´ = 55°, γ ´ = 60°.
b) a = 5 cm, b = 6 cm, α = 75°, γ = 50°, a´= 4 cm, b´= 6 cm, α´= 75°, γ´ = 50°.
c) a = 4,5 cm, b = 5 cm, c = 3,8 cm, β = 65°, a´= 4,5 cm, b´= 0,5 dm, c´= 38 mm, β´= 70°, γ´ = 40°.
2. Rozhodni, či možno zostrojiť ABC, ak je dané:
a) a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm
b) a = 55 mm, b = 70 mm, γ = 120°
c) a = 0,6 dm, β = 105°, γ = 90°
Ktorú vetu o zhodnosti trojuholníkov využiješ?
3. a) Zostroj ABC, ak je dané b = 4 cm, c = 7 cm, α = 60°.
b) Zostroj trojuholník BCD, keď poznáš: d = 5 cm, β = 55°, γ = 68° (Uhol β je pri vrchole B, uhol γ je pri vrchole C)
c) Zostroj trojuholník DEF s dĺžkami strán d = 7 cm, e = 6 cm, f = 5 cm.
7. Podobnosť rovinných útvarov
7.1 Vysvetliť podstatu podobnosti dvoch geometrických útvarov
1. Sú dané trojuholníky ABC a A´B´C´, pre ktoré platí:
a = 6 cm, b = 9 cm, c = 12 cm, a´= 2 cm, b´= 3 cm, c´= 4 cm.
a´ b´
c´
a) Vypočítaj a porovnaj podiely: ––,
,
a
b
c
b) Vieš povedať, v akom vzťahu sú oba trojuholníky?
c) Čo platí o veľkosti príslušných vnútorných uhlov?
2) Na obrázku sú znázornené dva lichobežníky. Odmeraj potrebné údaje a zisti, či sú lichobežníky podobné.
1.
7.2 Určiť podobné útvary v rovine.
Na obrázku sú dvojice obrazcov. Zistiť ktoré z týchto dvojíc obrazcov sú podobné.
2. Uveď aspoň dva príklady útvarov, o ktorých určite vieš, že sú vždy podobné.
7.3 Zostrojiť rovinný útvar podobný danému.
1. K danému trojuholníku ABC (a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm) narysuj podobný trojuholník ak
a) k = 2
b) k = 0,5
2. Zmeň úsečku AB = 8 cm v pomere
a) 2 : 5
2
b)
5
Napíš o akú zmenu ide.
7.4 Vedieť určiť a použiť pomer podobnosti dvoch geometrických útvarov
1.O obdĺžnikoch CDEF a KLMN platí, že sú podobné. Vypočítaj pomer podobnosti, ak:
a) CD = 6 cm, KL = 4 cm
b) DE = 5 cm, LM = 2 cm.
2. Trojuholník ABC je podobný A´B´C´. Vypočítaj pomer podobnosti, ak platí:
a) a = 3 cm, a´= 4 cm b) a = 1,8 cm, a´= 9 mm c) o = 28 cm, o´= 1,2 dm.
3. Obdĺžnik ABCD; a = 4 cm, b = 3 cm je podobný obdĺžniku A´B´C´D´; a´= 10 cm. Vypočítaj pomer obvodov a
obsahov týchto obdĺžnikov a porovnaj ich.
4. O obdĺžnikoch ABCD a EFGH vieš, že sú podobné. AB=5cm, BC= 4cm, EF=15cm. Urč pomer podobnosti a
vypočítaj dĺžku strany FG druhého obdĺžnika.
5. Je daný obdĺžnik ABCD: a= 9cm, b =5cm. Vypočítaj dĺžky strán obdĺžnika EFGH, ak platí ABCD EFGH a pomer
podobnosti k = 5.
7.5 Využiť vety o podobnosti trojuholníkov na riešenie matematických a praktických úloh vrátane
konštrukčných úloh.
1. Zisti, či sú dvojice trojuholníkov na obrázku podobné. Predtým vyslov a zapíš skratku vety, ktorú použiješ.
2. Kedy sú dva trojuholníky podobné podľa vety:
a) sss
b) sus
c) usu?
3. Zisti, ktoré z trojuholníkov a podľa akej vety sú podobné, ak poznáš tieto údaje:
a) v trojuholníku ABC: ∠ ABC = 63°; ∠ BCA = 56°
b) v trojuholníku DEF: d = 8 cm, e = 12 cm, f = 10 cm
c) v trojuholníku GHI: g = 5 cm, h = 6 cm, i = 7 cm
d) v trojuholníku KLM: ∠ KLM = 61°, ∠ MKL = 62°
e) v trojuholníku NOP: n = 3,5 cm, o = 3 cm, p = 2,5 cm
f) v trojuholníku RDT: ∠ RST= 61°, ∠ STR = 56°
g) v trojuholníku XYZ: x = 18 dm, y = 15 dm, z = 12 dm
Podobnosť zapíš. Ak sa dá, urč pomer podobnosti.
4. V trojuholníku ABC so stranami a = 36mm, b= 48mm, c =5,1cm je narysovaná stredná priečka DEAB. Dokáž, že
stredná priečka DE je polovicou strany AB.
5. Komín neznámej výšky vrhá tieň 50 m dlhý. V tom istom čase vrhá tyč 2m dlhá tieň 150 cm. Vypočítaj výšku komína.
6. Vypočítaj skutočné rozmery pozemku tvaru obdĺžnika, ktorý je zobrazený na pláne v mierke 1 : 2000. Rozmery
obdĺžnika na pláne sú 80 mm a 45 mm.
7. Pozemok má tvar pravouhlého lichobežníka ABCD, ABCD, s pravým uhlom pri vrchole A a s rozmermi
AB=120m, AC= 100 m, AD = 60 m, CD= 80 m.
a) Vypočítaj výmeru pozemku
b) Narysuj plán pozemku v mierke 1 : 1500.
8. Turistická mapa má mierku 1:100 000. Miesta X a Y majú skutočnú vzdialenosť a) 5km, b) 430m. Vypočítaj
vzdialenosť týchto bodov na turistickej mape.
7.6 Vedieť deliť danú úsečku v danom pomere.
1. Úsečku MN (MN= 7 cm) rozdeľ na dve časti v pomere 3 : 5.
2. Rozdeľ úsečku MN = 9 cm na 2 časti v pomere 3 : 7.
8. Riešenie konštrukčných úloh
8.1 Riešiť konštrukčné úlohy s využitím množín bodov danej vlastnosti ( os úsečky, os uhla,
rovnobežné priamky s danou vzdialenosťou, zvonku sa dotýkajúce kružnice danej kružnice,
stredy kružníc dotýkajúcich sa dvoch rôznobežiek).
1. Určte množinu stredov všetkých kružníc, ktoré majú polomer r = 3 cm a prechádzajú daným bodom P.
2. Určte množinu stredov všetkých kružníc, ktoré majú polomer r = 2 cm a dotýkajú sa danej priamky p.
3. Narysujte dve rovnobežky, ktorých vzdialenosť je 4 cm. Vyšetrite množinu stredov všetkých kružníc, ktoré sa
dotýkajú obidvoch rovnobežiek.
4. Určte množinu stredov všetkých kružníc, ktoré prechádzajú krajnými bodmi úsečky AB.
5. Určte množinu stredov všetkých kružníc, ktoré sa dotýkajú dvoch rôznobežiek a, b.
6.Narysuj kružnicu k (S; 2cm). Vyšetri množinu všetkých stredov kružníc, z ktorých každá má polomer r=1,5cm a dotýka
sa zvonku danej kružnice k.
7. Urč množinu všetkých bodov roviny, z ktorých každý má od priamky p vzdialenosť d = 2 cm.
8.2 Vedieť vykonať rozbor konštrukčnej úlohy, zápis postupu konštrukcie a presnú konštrukciu.
1. Zostroj trojuholník ABC, keď je dané AB= c = 6cm,BC= a = 4cm, vc = 3 cm.
2. Zostroj štvoruholník ABCD, keď sú dané dĺžky jeho strán a = 4,5cm, c = 3cm, uhlopriečka AC = e = 5,3 cm a
∠DAB = α = 78°.
3. V trojuholníku ABC c = 6cm, vc = 5cm. Zostroj tento trojuholník ak je ešte dané:
a) tc = 5,6 cm,
b) tc = 5 cm
c) tc = 4,5 cm
Urč počet riešení každej úlohy a porovnaj súvislosť so vzťahom medzi vc a tc.
4. Zostroj rovnoramenný lichobežník KLMN (KLMN) ak je dané:
a) KL= 7,4 cm, ∠ NKL = 67°, LM = 3,9 cm,
b) KL= 3,8 cm, LM = 4,2, MN = 6,3 cm
(Návod: Lichobežník rozdeľ na rovnobežník a trojuholník)
8.3 Vedieť pohotovo využiť Thálesovu kružnicu pri jednoduchých konštrukciách.
1. Daná je kružnica k (S; 2cm) a bod K, pre ktorý platí SK = 5,5cm. Zostroj dotyčnice ku kružnici k, ktoré prechádzajú
bodom K.
2. Zostroj pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C keď je dané:
a) c = 6cm, a = 2,8 cm
b) c = 6,8 cm, b = 4,2 cm
c) c = 6,8 cm, tc = 2,8 cm
10. Objem a povrch geometrických telies
10.1 Načrtnúť kváder, kocku, hranol, valec, ihlan a kužeľ s vyznačením ich základných prvkov.
1. Vymenuj všetky telesá na obrázku
2. Načrtni telesá, vyznač všetky ich základné prvky.
10.2 Načrtnúť siete kvádra, kocky, hranola, valca ihlana kužeľa.
10.3 Vypočítať povrch kvádra, kocky, hranola, valca, ihlana a kužeľa. Riešiť slovné úlohy
s využitím goniometrie ostrého uhla a premeny jednotiek obsahu.
1. Vypočítaj povrch kvádra ak a = 2 cm, b = 3,5cm, c= 4 cm.
2. Vypočítaj povrch kocky ak a = 5,2cm.
3. Na obrázku je znázornený trojboký hranol, ktorého podstava je pravouhlý trojuholník, a sieť tohto hranola. Vypočítaj
jeho povrch.
4. Vypočítaj povrch valca ak je dané:
a) r = 5,5 dm, v = 20 cm
b) d = 10 cm, v = 80 mm
5. Vypočítaj plášť valca ak r = 3 cm, v = 8 cm.
6. Cestný valec má priemer 1,2 m a dĺžku 180 cm.
a) koľko m2 cesty urovná, keď sa otočí 85-krát?
b) koľkokrát sa otočí, keď zvalcuje 2 km dlhý úsek?
7. Strecha veže má tvar pravidelného štvorbokého ihlana, ktorého hrana podstavy a =5,4m a výška strechy v = 5m. Koľko
krytiny treba na pokrytie celej strechy?
8. Vypočítaj povrch pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV, keď poznáme AB= 30 cm, a ∠ VAB = γ = 57°.
9. Koľko korún sa zaplatí robotníkovi za natretie strechy tvaru pravidelného štvorbokého ihlana, keď výška strechy je
12m, bočná stena zviera s podstavou uhol α = 65° a natretie 1 m² stojí 45 Sk?
10. Vypočítaj povrch kužeľa ak polomer podstavy je 9 cm a výška v = 12 cm.
11. Vypočítaj povrch rotačného kužeľa, ktorého osový rez má pri vrchole V uhol γ = 98° a výška kužeľa je 20cm.
Výsledok zaokrúhli na celky.
12. Strecha veže má tvar rotačného kužeľa s priemerom podstavy d = 16m. Strana s má od roviny podstavy odchýlku
α=34°. Vypočítaj spotrebu krytiny na túto vežu. Výsledok zaokrúhli na štvorcové metre.
10.4 Výpočet objemu kvádra, kocky, hranola, valca, ihlana a kužeľa. Riešiť slovné úlohy
s využitím goniometrie ostrého uhla a premeny jednotiek objemu.
1. Vypočítaj objem kvádra s rozmermi a = 3 cm, b = 4 cm, c = 8 cm. Výsledok vyjadri v dm³.
2. Porovnaj objem kvádra a kocky. Rozmery kvádra sú a = 15 cm, b = 10 cm, c = 16 cm, rozmer kocky je 2 dm.
3. Koľko m³ betónu potrebujeme na zhotovenie stĺpa tvaru pravidelného štvorbokého hranola (podstava je štvorec),ak
a=60cm a výška stĺpa má byť 2 m?
4.Vypočítaj v dm³ objem skleneného brúseného hranola, ktorého podstava je pravouhlý rovnoramenný trojuholník s
odvesnami dĺžky 3cm. Výška hranola je 10 cm.
5. Ozdobná váza má tvar šesťbokého hranola, ktorého podstava má obsah 66dm² a ktorého výška je 70cm. Koľko litrov
vody sa zmestí do vázy?
6. Vypočítaj objem valca, keď r = 10cm, v = 3 dm.
7. Vypočítaj objem valca, keď d = 10 cm a v = 7 cm.
8. Vypočítaj polomer podstavy valca, ktorého výška je v =2m a objem V = 1,57m³.
9. Vypočítaj výšku valca, keď r = 5cm a V = 0,15dm³.
10. Vypočítaj objem pravidelného štvorbokého hranola ABCDEFGH, keď hrana AE zviera s telesovou uhlopriečkou EC
uhol α = 59°20´, a EC = 20cm. Načrtni. Výsledok zaokrúhli na 1desatinné miesto.
11.Najväčšia egyptská pyramída je pravidelný štvorboký ihlan s hranou podstavy a = 227m a výškou v = 140m. Koľko m³
kameňa bolo treba na jej postavenie? (chodby a miestnosti vo vnútri pyramídy neberieme do úvahy)
12.Vypočítaj objem štvorbokého ihlana ABCDV, ktorého podstava je obdĺžnik s rozmermi a = 18cm, b = 1dm a výška
bočnej steny BCV zviera s rovinou podstavy uhol α = 65°.
13. Strana rotačného kužeľa má dĺžku s = 15cm a zviera s rovinou podstavy uhol α = 67°40´. Vypočítaj objem kužeľa.
(Výsledok zaokrúhli na desatiny.)
14. Rybník má rozlohu 2,36ha. Jeho dno sa rovnomerne zvažuje k stredu, kde je hĺbka 3,2m. Objem vody v rybníku
môžeme určiť približne ako objem kužeľa s výškou 3,2m a obsahom podstavy 2,36ha.
a) Vypočítaj objem rybníka
b) Za koľko hodín sa rybník vypustí, keď po otvorení priepustu vytečie za 1sek. priemerne 9hl vody. Priepust je na
najnižšom bode dna.
15. Kužeľovitá nádoba s polomerom 20cm a výškou 36cm bola naplnená po okraj vodou. Vodu sme preliali do valca s
polomerom podstavy 12 cm.
a) Do akej výšky bude siahať voda vo valci?
b) Koľko litrov vody je v kužeľovej nádobe?
10.5 Popísať guľu a pomenovať jej základné prvky
Download

Zbierka úloh