3. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
Gözlenen verinin düzenlenerek çizelgelerle, grafiklerle sunulması çoğu
kez yeterli olmaz .Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere
gereksinim vardır. Bu ölçüler verileri yalnızca özlü bir biçimde
belirtmekle kalmazlar aynı zamanda karşılaştırmalara, genellemelere,
yorumlamalara olanak sağlarlar[2].
Merkezi eğilim(yığılma) ölçüleri, bir veri grubunun dağılımında,
verilerin etrafında yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri grubunu
“özetleyen” değerlerdir.
Örneğin matematik dersinde sınıfın not ortalaması 65 dendiğinde, bu
notun o sınıfdaki tüm öğrenciler için matematik dersi notunu temsil
ettiği düşünülür.
Merkezi eğilim ölçüleri şunlardır:
Aritmetik ortalama
Ortanca
Mod
Geometrik ortalama
Harmonik ortalama
Karesel ortalama
Aritmetik Ortalama
Merkezi eğilim ölçülerinin en çok kullanılanıdır. Gözlenen değerlerin
tümü toplanır ve gözlem sayısına bölünerek bulunur. Ana kitledeki
eleman sayısı N ile gösterildiğinde Ana kitlenin aritmetik ortalaması
Eşitlik 3.1’ de verildiği gibi hesaplanabilir.
N
µ=
∑x
i =1
i
N
=
x1 + x 2 + ... + x N
N
(3.1)
Ana kitle içinden seçilen örneklem için aritmetik ortalama Eşitlik 3.3 deki
gibi hesaplanır. Örneklemde yer alan eleman sayısı n ise,
n
x=
∑x
i =1
i
n
x1 + x 2 + ... + x n
n
=
(3.4)
Eğer kitle içinde veriler tekrar ediyorsa veriler için frekans dağılım
tablosu düzenlenebilir. x1 , x 2 , x3 , ...x k verinin aldığı değerleri ve
f1 , f 2 , f 3 , ... f k her bir verinin frekansını göstersin. Bu durumda aritmetik
ortalama
k
x=
∑x . f
i =1
i
n
i
=
x1 . f1 + x 2 . f 2 + ... + x k . f k
f 1 + f 2 + ... + f k
k
Burada n = ∑ f i olduğu görülebilir.
i =1
Guruplanmış veriler aralık şeklinde verilmiş ise aritmetik ortalama
aşağıda verildiği şekilde elde edilebilir.
k
∑x
x=
i
i =1
. fi
n
=
x 1 . f 1 + x 2 . f 2 + ... + x k . f k
f 1 + f 2 + ... + f k
Eğer verilerin ağırlığı var ise bu durumda ağırlıklı aritmetik ortalama
hesaplanır.
k
∑ x .w
x=
i
i =1
i
k
∑w
=
x1 . w1 + x 2 . w2 + ... + x k . wk
w1 + w2 + ... + wk
i
i =1
Aritmetik ortalamanın özellikleri
• Nicel(sayısal) verilere uygulanabilir.
• Bir değerde meydana gelen değişimler aritmetik ortalamayı etkiler.
• Her bir verinin aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır.
N
∑ (x
i =1
i
− µ) = 0
• Her bir verinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin
toplamı toplamı minimum bir değerdir.
Örnek1: Bir sınıftaki 8 öğrencilerin ağırlıkları 40, 45, 60,55, 43, 80,90,65
olarak veriliyor. Ortalama öğrenci ağırlıklarını bulunuz.
N
µ=
∑x
i =1
N
i
=
40 + 45 + 60 + 55 + 43 + 80 + 90 + 65
= 59.75
8
Örnek 2: Bir kreşteki çocukların yaşlarına göre dağılımı aşağıda
verilmiştir. Buna göre Aritmetik ortalamayı bulunuz.
fi
xi
2
3
4
5
6
7
4
8
6
5
3
2
N=28
k
µ=
∑x . f
i =1
i
i
N
=
2.4 + 3.8 + 4.6 + 5.5 + 6.3 + 7.2
= 4.035
4+8+6+5+3+ 2
Örnek3: Matematik dersinden 35 öğrencisi olan bir sınıfta not dağılımı
aşağıdaki şekilde verilmiştir.. Sınıfın not ortalamasını bulunuz.
Sınıflar
0≤X<20
20≤X<40
40≤X<60
60≤X<80
80≤X<100
fi
5
7
12
8
3
Öncelikle her bir sınıfın sınıf orta değeri bulunur.
Sınıflar
0≤X<20
20≤X<40
40≤X<60
60≤X<80
80≤X<100
fi
5
7
12
8
3
10
30
50
70
90
50
210
600
560
270
+
+
N=35
1690
k
µ=
∑x
i
i =1
. fi
N
=
1690
= 48.28
35
Geometrik ortalama
Geometrik Ortalama bir dizideki ölçümlerin birbirleriyle çarpılıp, ölçüm
sayısı derecesinde kökünün alınmasına eşittir. GO’nun hesaplanmasında
değerler sıfırdan büyük olmak zorundadır.
G = n x1.x2 .... xn
Geometrik ortalama eşitliğine bakıldığında veri sayısı (n) arttıkça
hesaplama zorlaşacağından logaritmadan yararlanılır.
n
log G =
∑ log x
i =1
i
n
düzenlenirse
G = anti log
1 n
∑ log xi
n i =1
eşitliği
geometrik ortalamanın hesaplanmasında kullanılabilir.
Örnek :
10,30,50,70,90 sayılarının geometrik ortalaması kaçtır.
1
G = 5 10.30.50.70.90 = anti log( [log10 + log 30 + log 50 + log 70 + log 90]) = 39.362
5
Guruplanmış verilerin geometrik ortalaması
G = n x1 1 .x 2 2 ... x i
f
f
fn
1
G = anti log( [ f1 log x1 + f 2 log x 2 + .... f k log x k )
n
Geometrik ortalamanın özellikleri
•
Verilerden biri sıfır ise G hesaplanamaz
•
Uç değerlerden aritmetik hesaplama kadar etkilenmez
•
Aritmetik ortalamadan küçük harmonik ortalamadan büyüktür.
•
Gözlem sonuçlarından her biri bir önceki gözlem sonucuna bağlı
ise ve bu değişim hıznı saptamak gerekiyorsa kullanılır.
(Ölçümler arasındaki değişme oranı, Gelişme ve büyüme hızı)
Harmonik Ortalama
Bir dizideki verilerin birbiri ile ilişkisi düzensiz ise aralarında belirli bir
uyum yok ise kullanılır. Örneğin zaman dizilerinde verilerin ani ve
beklenmeyen olaylardan etkilendiği durumlarda hamonik ortalama en
uygun ortalamadır.
H=
H=
1
1
1 
 1
+ .... +

 +
xn 
 x1 x 2


n




=
n
1
1
1
+
+ .... +
x1 x 2
xn
n
n
1
∑x
i =1
i
Örnek :
10,30,50,70,90 sayılarının harmonik ortalaması kaçtır.
H=
5
= 27.975
1
1
1
1
1
+
+
+
+
10 30 50 70 90
Guruplanmış verilerin harmonik ortalaması
H=
n
f1
x1
+
f2
x2
+ .... +
fn
xn
Harmonik ortalamanın özellikleri
•
Verilerden biri sıfır ise H hesaplanamaz
•
Küçük değerlerden çok etkilenir ve yüksek değerlerden az
etkilenir
•
H<Geometrik ortalama<Aritmetik ortalamadır
•
Gözlem sonuçlarından her biri bir önceki gözlem sonucuna bağlı
ise ve bu değişim hını saptamak gerekiyorsa kullanılır.
(Ölçümler arasındaki değişme oranı, Gelişme ve büyüme hızı)
Ortanca (Medyan)
Veriler sıraya konulduktan sonra tam ortaya düşen, verileri tam ortadan
iki eşit parçaya bölen değerdir. aritmetik ortalamayı hesaplamak için
yeterli süre yoksa, dağılımın tam orta noktası isteniyorsa, uç puanların
ortalamayı büyük ölçüde etkilemesi söz konusu ise ortanca hesaplanır.
Ortanca veri sayısı tek ise
Xortanca=X(n+1)/2
Ortanca veri sayısı çift ise
Xortanca=(Xn/2 + X(n/2)+1))/2
Şeklinde hesaplanır.
Örnek :
30,10,70,50,90 sayılarının ortanca degeri nedir kaçtır.
Veri sayısı tek olduğundan ortanca değer 50 dir.
Ortancanın özellikleri
•
Aşırı uç değerlerden etkilenmez
•
Verilerin ortanca değerden farklarının mutlak değeri minimum
bir değerdir.
n
∑x
i =1
i
− or tan ca = min imum
Tepe değer (Mod)
Veriler arasında en çok tekrar eden değere Tepedeğer denir.
Örnek:
10,10, 30,30, 30,30,50,50,70,90,90 verilerinin tepe değeri nedir.
Tepe değer=30
Tepe deger özellikleri
Hassaslığı en az olan değerdir.
Sayısal ve sayısal olmayan veriler için kullanılabilir.
Download

3. Merkezi Eğilim Ölçüleri