Skalární vlny
vlnová rovnice pro vektorové elmag. vlny
⃗
⃗
-
3 složkové rovnice
libovolná složka intenzity el. nebo mag. pole (označíme V) musí být řešením skalární vlnové rovnice
nejjednodušší řešení: rovinné vlny, kulové vlny, harmonické vlny rovinné a kulové
rovinné vlny
- řešení skalární vlnové rovnice ve tvaru
(
⃗
)
⃗
- radiusvektor bodu P
⃗ - jednotkové vektory ve směrech souřadných
os x, y, z
- jednotkový vektor v libovolném pevném směru
velikost V je v každém okamžiku stejná na ploše,
jejíž rovnice je
- rovina vzdálená ξ od počátku a kolmá na → rovinná vlna
substituce:
p = ξ – v.t
řešení skalární vlnové rovnice je potom
V1 a V2 - libovolné funkce argumentů
(
(
q = ξ + v.t
(
a
) – rovinná vlna šířící s rychlostí v ve směru
) – rovinná vlna šířící s rychlostí v proti směru
1
)
(
)
kulové vlny
– řešení skalární vlnové rovnice ve tvaru
| |
V = V(r,t)
√
aby tato kulová vlna byla řešením skalární vlnové rovnice, musí platit
(
)
(
)
V1, V2 – libovolné funkce
1. člen – kulová rozbíhavá vlna, 2. člen – kulová sbíhavá vlna
rychlost šíření obou vln – v
intenzita el. nebo magn. pole (výchylka pole) – závisí v urč. čase jen na vzdálenosti od počátku; výchylka
kulové vlny klesá nepřímo úměrně se vzdáleností r od bodového zdroje
harmonické vlny
V1(p) – harmonická fce s periodou λ > 0 a amplitudou a > 0
(
)
( )
(
)
[
(
)
]
argument cos – fáze, δ – konstantní fázový člen
výchylka pole se v urč. místě mění harmonicky s časem; stejné výchylky dosahuje za dobu jedné periody T
počet kmitů pole za sekundu – kmitočet
počet kmitů pole za 2π sekund – úhlový kmitočet
vzdálenost míst se stejnou výchylkou pole – vlnová délka
světlo urazí tuto dráhu za dobu jedné periody
ve vakuu – spektroskopická vlnová délka
absolutní index lomu prostředí
počet vlnových délek v jednotce délky – vlnočet
úhlový vlnočet
2
Dosadíme nové veličiny do rovnice harmonické vlny.
( )
harmonická vlna je potom
[
]
obecná reálná harmonická vlna - řešení vlnové rovnice ve tvaru
( )
( )
[
( )]
( )
( ) - reálné funkce
( )
( )
vlnoplochy – plochy dané rovnicí
plochy konstantní amplitudy
pokud nespadají – nehomogenní vlna
pro optické výpočty (lineární operace s reálným polem) přiřazujeme skutečné reálné výchylce pole
( )
[
]
analytický signál
(
)
(
)
(
)
[
( )
( )]
( )
( )
reálná část analytického signálu je rovna reálnému poli
komplexní amplituda pole – informace o fázi i amplitudě, pro reálné pole bereme jen reálnou část
( )
( )
( )
fázová a grupová rychlost
doteď – jedna harmonická vlna s jediným úhlovým kmitočtem ω = monochromatická vlna (abstraktní
pojem)
šíření grupy monochromatických vln blízkých kmitočtů (ω + Δω/2) a (ω – Δω/2) a stejných amplitud, ve
směru osy x (tedy
), Δω << ω, prostředí je homogenní a izotropní
analytický signál jednotlivých vln
[(
)
(
) ]
[(
)
(
) ]
výsledné pole je superpozicí – algebraickým součtem parciálních polí
[
(
)
(
)
]
(
)
(
(
)
)
reálné pole je tedy
(
)
(
)
pole se v bodě x mění s časem téměř harmonicky (Δω << ω), a to s amplitudou
3
(
)
místa stejné amplitudy – dána rovnicí
a pohybují se grupovou rychlostí
místa stejné fáze – dána rovnicí
a pohybují se fázovou rychlostí
Δω a Δk nahradíme diferenciály
(
)
(
)
N závisí na vlnové délce světla v prostředí
a proto
(
)
-
Rayleighův vzorec, λ – vln. délka světla v prostředí pro
světlo se středním úhlovým kmitočtem ω
Grupovou rychlostí se šíří amplituda grupy (výsledné vlny) – rychlost šíření výsledné energie (uvažujeme u
elopt dálkoměrů).
transverzalita elmag pole – z Maxwellových rovnic – intenzity el. pole i magn. pole jsou kolmé na směr
šíření vlny i na sebe navzájem → rovinné elmag vlny v homogenním izotropním dielektriku jsou vlnami
příčnými – transverzálními
mezi absolutními hodnotami intenzit polí je vztah (pro dielektrikum je μr z1)
√
√
8. Maxwellova rovnice – hustota elmag energie w [J/m3]
[⃗ ⃗
⃗ ⃗]
Poyntigův vektor – charakterizuje hustotu proudění energie v elmag poli, jeho abs. hodnota udává výkon,
který prochází jednotkovou plochou kolmou ke směru šíření vlny
⃗
⃗
intenzita světla – absolutní hodnota ze střední časové hodnoty Poyntigova vektoru
|〈 〉|
4
střední časová hodnota – detektory záření nestačí sledovat rychlá optická pole a reagují pouze na střední
hodnotu dopadajícího výkonu
rovinná elmag vlna – Poyntigův vektor má stálý směr, shodný se směrem šíření vlny
〈
〉
√ 〈
〉
√ 〈
〉
Vektorové rovinné harmonické vlny, polarizované světlo
složka vektorové harmonické elmag vlny
( )
[
]
složky intenzity el. pole
[
– jednotkový vektor ve směru šíření vlny
]
[
]
[
]
zvolíme vlnu šířící se ve směru osy z → Ez = 0
pro jednoduchost označíme
potom
(
)
- parametrické rovnice rovinné křivky, které v urč. bodě opisuje koncový bod vektoru intenzity el. pole
vyloučíme parametr τ
√
(
)
(
(
)
)
- rovnice elipsy v souřadnicích Ex a Ey, jejíž poloosy jsou obecně pootočeny vůči souřadným osám x a y
pravotočivá eliptická polarizace – při pohledu proti směru šíření vlny opisuje při rostoucím čase koncový
bod vektoru E elipsu po směru hodinových ručiček (sinδ > 0)
levotočivá polarizace – proti směru hodinových ručiček (sinδ < 0)
5
lineární polarizace – fázový rozdíl δ = j.π → sinδ = 0 a cosδ = (-1)j → elipsa přechází do úsečky, j = 0, ±1,...
dráhový rozdíl obou složek E je roven celistvému násobku λ/2
(
)
(
)
(
)
(
)
kruhová polarizace – fázový rozdíl δ = j.π/2, j = ±1, ±3,… a navíc ax = ay = a, cosδ = 0, sin2δ = 1
dráhový rozdíl obou složek E je roven lichým násobkům λ/4
6
Download

2 - PMO