Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 5
1
Osnovne teoreme Statike
Teorema o paralelnom prenošenju sile
Teorema: Dejstvo sile na telo neće se promeniti pri njenom paralelnom prenošenju u
drugu tačku tela ako joj se doda jedan spreg sila čiji je moment jednak momentu sile koja se
prenosi za tačku u koju se ta sila prenosi.
r
Dokaz: Posmatra
se
sila
koja deluje u tački A tela. Neka je sa B označena tačka van
F
r
u
koju
treba
preneti
tu silu. U tom cilju se u tački B dodaje uravnotežen
napadne linije
sile
F
r r
sistem sila (F ′,F ′′) , takav da je
r r
r
F = F ′ =r − F ′′r, r F r= F ′ = F ′′
F ~ (F,F ′,F ′′)
r
r r r
F ~ (F ′,(F,F ′′))
r r
r r
Ako se moment sprega sila (F, F ′′) označi sa M B (F), tj.
r r r r r
r
M B (F)=M(F,F ′′)= BA × F
sledi
r
r r r
F ~ (F; M B (F)) .
Ovaj postupak se u literaturi naziva redukcija sile na tačku. Tačka u koju se sila
paralelno prenosi naziva se pol (centar) redukcije ili redukciona tačka.
a) Poprečna ekscentrična sila.
b) Podužna ekscentrična sila.
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 5
2
Osnovna teorema Statike
Teorema: Dejstvo proizvoljnog sistema sila na telo može se zameniti jednom silom,
koja je jednaka glavnom vektoru sistema sila, čija napadna linija prolazi kroz proizvoljno
izabranu redukcionu tačku tela i jednim spregom sila čiji je moment jednak glavnom
momentu datog sistema sila u odnosu na istu redukcionu tačku.
r
r
r r
Dokaz: Posmatra se proizvoljan prostorni sistem od n sila (F1 ,F2 ,K ,Fi ,K ,Fn ) koji
deluje u tačkama A1 , A2 ,K , Ai ,K , An tela, čiji su položaji određeni vektorima položaja
r r
r
r
r1 , r2 ,K , ri ,K , rn u odnosu na proizvoljno izabrani centar redukcije O.
−
−
r r
r
r r
r r r r r
r r
(F1 ,F2 ,K ,Fn ) ~ (F1′,F2′,K ,Fn′; M o (F1 ), M o (F2 ),K , M o (Fn ))
r r
Fi = Fi ′,
Fi = Fi ′
r r
r r
Mo (Fi )= ri × Fi
r r
r
r
r r r r
r r
r
,
(F1′,F2′,K ,Fn′ ) ~ FR (M o (F1 ), M o (F2 ),K , M o (Fn )) ~ M o
n
n r
r
r r
r
FR = ∑ Fi , M o = ∑ M o (Fi ) .
i=1
r i =1r
r
r r
(F1 ,F2 ,K , Fn ) ~ (FR ; M o )
glavni vektor datog sistema sila ne zavisi od izbora redukcione tačke,
glavni moment datog sistema sila zavisi od izbora redukcione tačke.
r
r
Za razmatranja koja slede bitan je i ugao između vektora FR i M o .
r r
r r FR ⋅ M o = FR M o cosδ
FR ⋅ M o = X R M ox + YR M oy + Z R M oz
X M
Y M oy Z R M oz
cosδ = R ox + R
+
FR M o FR M o FR M o
U slučaju kada na telo deluje proizvoljan ravan sistem sila, npr. u koordinatnoj ravni
Oyz, moguće je formulisati specijalni oblik osnovne teoreme Statike koji se često primenjuje
u konkretnim zadacima: Dejstvo proizvoljnog ravnog sistema sila na telo može se zameniti
jednom silom koja je jednaka glavnom vektoru datog sistema sila sa napadnom tačkom u
redukcionoj tački tela, a napadnom linijom u ravni dejstva sila i jednim spregom sila čiji
moment ima projekciju samo na osu koja prolazi kroz redukcionu tačku, a koja je upravna na
ravan dejstva svih sila, pri čemu je ta projekcija jednaka projekciji glavnog momenta datog
sistema sila na tu osu.
r r
r
r
r
(F1 ,F2 ,K ,Fn ) ~ (FR ; Mox i ) .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 5
3
Svođenje sistema sila na prostiji oblik
Promena glavnog momenta pri promeni redukcione tačke
n
n
r
r r
r
M o = ∑ M o (Fi ) = ∑ OAi × Fi
i =1
i=1
n
n
r
r r
r
M o1 = ∑ M o1 (Fi ) = ∑ O1 Ai × Fi
i =1
i=1
r
M o1
O1 Ai = O1 O + OAi
n
n
r
r
= ∑ O1O × Fi + ∑ OAi × Fi
i =1
i =1
r
n
∑O O × F
i =1
1
i
r
= O1O × FR
r
r
r
M o1 = M o + O1 O × FR
Može se zaključiti da se glavni moment neće menjati ako
je:
n
r
− ∑ O1O × FR
r
= 0 , tj. ako su vektori O1O i FR kolinearni
i =1
−
r
FR = 0 .
Statičke invarijante
Skalarne, odnosno, vektorske veličine koje se
ne menjaju pri promeni redukcione tačke, nazivaju se
statičke invarijante.
n r
r
r
FR = FR1 = ∑ Fi
i =1
Glavni vektor sistema sila koji deluje na telo je prva
statička invarijanta.
r
r
r
r
r
r
M o1 ⋅ FR = ( O1 O × FR ) ⋅ FR + M o ⋅ FR
r
r
( O1O × FR ) ⋅ FR = 0
r
r
r r
M o1 ⋅ FR1 = M o ⋅ FR
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 5
4
M o1 FR1 cosδ1 = M o FR cosδ
r
r
Kako je FR = FR1 ≠ 0 , sledi da je
M o1 cosδ 1 = M o cosδ = M ξ = const .
Projekcija glavnog momenta na pravac glavnog vektora ne zavisi od izbora redukcione tačke.
Svođenje sistema sila na prostiji oblik
r r
I) FR ⋅ M o = FR M o cosδ = 0
r
r
a) FR = 0; M o = 0
i tada je proizvoljan
sistem
sila uravnotežen.
r
r
b) FR = 0; M o ≠ 0
i tada se sistem
na spreg
r sila svodi
r
r sila. r
c) FR ≠ 0; M o = 0 ili FR ≠ 0; M o ≠ 0; cosδ = 0
posmatrani sistem sila svodi se na rezultantu.
r r
II) FR ⋅ M o = FR M o cosδ ≠ 0
r
r
FR ≠ 0; M o ≠ 0; cosδ ≠ 0
tada se sistem sila svodi na dinamu ili na krst sila.
Svođenje prostornog sistema sila na dinamu
r
r
r
Mo = M1 + M 2
r r
r r r
(FR ; M o ) ~ (FR ; M1 , M 2 )
F = F ′ = F ′′
r r R rR r R r r
(FR ; M o ) ~ (FR ; M1 ; FR′ , FR′′)
r
r
r
M
FR = FR′ = − FR′′ OL = 2
FR
r r
(FR , FR′′) ~ 0
r r
r r
(FR ; M o ) ~ (FR′ ; M1 )
M = M o cosδ
r 1rξ
r r
(FR ; M o ) ~ (FR ; M L )
U tom slučaju rkažer se da je sistem sila sveden
na dinamu (FR ; M L ) , pri čemu se ta dva
kolinearna vektora nalaze na osi udaljenoj u
odnosu na tačku O za rastojanje
M sinδ
OL = o
FR
Ova osa naziva se centralna osa sistema sila (coss).
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 5
5
r
r
Zavisno od toga da li su kolinearni vektori FR i M L istog ili suprotnih smerova,
razlikuju se desna i leva dinama.
Jednačina centralne ose sistema sila.
r
r
r
M L = M o + LO × FR
r
r
M L = pFR
gde je p - parametar diname
M
p = Lξ
FR
r
r
r
pFR = M o − OL × FR
r
r
r
r
FR = X Ri + YR j + Z R k ,
r
r
r
r
M o = M xi + M y j + M z k
r
r
r
r
OL = rL = xi + yj + zk
r
r
r
r
r
r
r
p( X Ri + YR j + Z R k ) = M xi + M y j + M z k - (yZ R - zYR )i r
r
-(zX R - xZ R )j - (xYR - yX R )k
pX R = M x - (yZ R - zYR )
pYR = M y - (zX R - xZ R )
pZ R = M z - (xYR - yX R ) .
Jednačina centralne ose sistema sila
M x - (yZ R - zYR ) M y -(zX R - xZ R ) M z - (xYR - yX R ) M Lξ
=
=
=
FR
XR
YR
ZR
pri čemu M Lξ predstavlja drugu statičku invarijantu.
Jednačina napadne linije rezultante
M x -(yZ R - zYR ) M y -(zX R - xZ R ) M z -(xYR - yX R )
=
=
=0,
YR
ZR
XR
7.3.5. Svođenje prostornog sistema sila na krst sila
r
r
Kada su glavni vektor FR i glavni moment M o datog sistema sila različiti od nule i
ako ugao između njih nije 90 o , tada se posmatrani sistem sila, umesto na dinamu, može svesti
i na krst sila
r r
r r r
(FR ; M o ) ~ (FR ,F,F ′)
M
h= o
r
rF r
FR + F ′ = F1
r r
r r
(FR ; M o ) ~ (F1 , F)
r r
r r
pri čemu sile F1 i F ne pripadaju istoj ravni. Ovakav sistem sila (F1 ,F) naziva se krst sila.
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 5
6
Postavlja se pitanje kada će krst silar biti
r ekvivalentan nuli, tj. kada će važiti
(F1 ,F) ~ 0
Na osnovu
prve
aksiome,
prethodni
uslov
biće
ispunjen ako:
r r
a) sile F1 i F zadovoljavaju jednakost
r
r
F1 = − F
b) sile imaju zajedničku napadnu liniju.
Uslov a):
r
r
r
FR + F ′ + F = 0
r
r r
što se, s obzirom na činjenicu da za sile sprega važi F ′ = − F , FR = 0 .
r
r
r
Uslov b): Sile F1 i F imaće zajedničku napadnu liniju ako sila F prolazi kroz
r
redukcionu tačku O. To znači da je tada h = 0 , što odgovara uslovu M o = 0 .
r
r
Ova razmatranja treba kompletirati pokazivanjem da su uslovi FR = 0 i M o = 0
dovoljni za ravnotežu posmatranog sistema sila. Polazeći od toga da su ispunjeni ovi uslovi
treba
posmatrani sistem uravnotežen. Kako je u ovom slučaju ispunjeno
r r pokazati
r dar je tada
r
(F1 ,F2 ,K , Fn ) ~ (FR ; M o ) , neposredno sledi da važi
r r
r
(F1 ,F2 ,K ,Fn ) ~ 0 .
Varinjonova teorema o momentu rezultante
proizvoljnog prostornog sistema sila
Teorema: Moment rezultante prostornog sistema sila
za proizvoljnu tačku jednak je vektorskom zbiru momenata
svih sila za tu istur tačku.
r
r
r
Dokaz: (F1 ,F2 ,K , Fn ) ~ Fr
r r
r r
(F1 ,F2 ,K , Fn , Fr1 ) ~ 0
n
r r
r r
M o (Fi ) + M o (Fr1 ) = 0
∑
i =1
r r
r r
M o (Fr1 ) = − M o (Fr )
n
r r
r r
M o (Fr ) = ∑ M o (Fi )
i=1
Specijalni slučaj Varinjonove teoreme
n
r
r
M ox (Fr ) = ∑ M ox (Fi )
i=1
Moment rezultante prostornog sistema sila, za neku osu, jednak je zbiru projekcija momenata
svih sila za tu osu.
Teorema: Moment rezultante prostornog sistema sila za proizvoljnu tačku jednak je
glavnom momenatu tog sistema sila za istu momentnu tačku.
Korišćenjem prethodno formulisane teoreme može se dokazati da spreg sila nema
2
r r
rezultantu. Glavni moment sprega sila ( ∑ M o (Fi ) ) različit je od nule i ne zavisi od izbora
i =1
redukcione tačke. Ako se pretpostavi da spreg sila ima rezultantu, tada je
2
r r
r r
M o (Fr ) = ∑ M o (Fi )
i=1
S obzirom da prethodna teorema važi za proizvoljno izabranu momentnu tačku, može se uzeti
da se tačka O nalazi na napadnoj liniji rezultante. U tom slučaju leva strana prethodnog
izraza jednaka je nuli dok je njegova desna strana različita od nule. Ova kontradiktornost je
posledica pogrešne pretpostavke o postojanju rezultante sprega sila. Dakle, spreg sila nema
rezultantu.
Download

null