B 11 – Úloha na teplotní roztažnost látek
Úloha č. 1
Dvě tyče, železná (α=1,2.10-5 K-1) a zinková (α=2,9.10-5 K-1), mají při teplotě 0 °C stejnou
délku. Zvýšíme-li jejich teplotu o 100 °C, je rozdíl délek 1 cm. Jaké délky tyčí při teplotě 0 °C
vyhovují této podmínce?
l0
Zn
Fe
Δl = 1 cm
Rozbor:
Před zvýšením teploty měly obě tyče stejnou délku. Při zvyšování teploty se však každá
z nich prodlužuje jinak (konkrétně: železná tyč se prodlouží méně než zinková). Nejprve si
vyjádříme prodloužení každé tyče zvlášť:
V zadání je uvedeno, že délka tyčí po prodloužení se liší o 1 cm:
Z toho vyjádříme l0 a dosadíme:
Úloha č. 2
Jakou hustotu má rtuť při teplotě 100 °C, známe-li α=1,8.10-4 K-1 a hustotu při 18 °C
13 551 kg/m3?
Rozbor:
Teplotní změny objemu látky mají za následek teplotní změnu hustoty látky, protože
hmotnost tělesa se změnou teploty nemění, platí tedy:
Z toho vyplývá:
Dosadíme:
Úloha č. 3
Jak se změní poloměr železné obruče, která má při teplotě 480° C průměr 120 cm? Obruč se
ochladí na teplotu 20° C.
Rozbor:
Je-li v tělese dutina nebo otvor, rozměry tělesa se zvětšují stejně, jako kdyby byl tento otvor
(dutina) vyplněn daným materiálem.
Úlohu však nelze počítat jako délkovou změnu průměru, je nutné ji počítat jako změnu
obvodu. Nejprve vypočítáme obvod o1 nezvětšené obruče:
Dochází k poklesu teploty, proto bude platit:
Nyní vypočítáme obvod o2 po ochlazení obruče:
Vypočítáme průměr d2:
Poloměr:
Úloha č. 4
Cisternový vagón, vyrobený ze železa, je až po otvor naplněný naftou (ρ = 940 kg.m-3,
β = 1.10-3K-1). Při teplotě 0 °C se do vagónu vejde 50 t nafty. Kolik nafty vyteče po cestě z
vagónu, pokud se během cesty teplota zvýší na 25 °C?
Rozbor:
Jestliže teplota nafty vzroste, zvětší se i její objem. Pro výpočet schodku objemu potřebujeme
znát jeho původní hodnotu:
Vypočteme si objem, který má nafta po zvýšení teploty:
Vlivem zvýšení teploty však nedojde pouze k nárůstu objemu nafty, vzroste i objem cisterny.
Při výpočtu použijeme součinitel teplotní roztažnosti železa α=1,2.10-5 K-1:
Objem nafty, která z cisterny vyteče je roven rozdílu objemů nafty a cisterny po zvýšení
teploty:
Úloha č. 5
O kolik se prodlouží hliníkový drát o průřezu 5 mm2, kterým prochází po dobu jedné minuty
el. proud s výkonem 24 W (tepelné ztráty zanedbejte).
Rozbor:
Z důvodu zanedbání tepelných ztrát předpokládáme, že veškerá energie, kterou vykoná
elektrický proud, se přemění na teplo:
Z tohoto vztahu vyjádříme rozdíl teplot:
Dosadíme do vztahu pro teplotní délkovou roztažnost a vypočítáme:
Úloha č. 6
Na tenkém ocelovém vlákně kmitá kulička s dobou kmitu 2 s při teplotě 20 °C. Jak se změní
doba kmitu, jestliže se kyvadlo ohřeje na 80 °C?
l1
l2
Rozbor:
Pro dobu kmitu kyvadla před změnou teploty platí vztah:
Z toho vypočítáme l1:
Pomocí vztahu pro délkovou teplotní roztažnost vypočítáme délku vlákna po prodloužení (l2):
Vypočítanou délku kyvadla l2 dosadíme do rovnice pro výpočet doby kmitu:
Úloha č. 7
Ocelová součástka délky 25 cm pracuje při teplotě 20 °C s vůlí 1 mm.
a) Při jaké teplotě dojde k vymezení této vůle?
b) Jaké napětí vznikne v materiálu součástky, pokud se ohřeje na teplotu 890 °C? Je taková
deformace ještě pružná?
Rozbor:
a) Pro výpočet teploty, při níž dojde k roztažení tělesa o Δl, použijeme vztah:
Z toho vypočteme teplotu t:
K vymezení vůle dojde při teplotě:
b) Při teplotě t2 = 890 ºC dojde k zvětšení tělesa o Δl:
Podle Hookova zákona:
- vypočítáme relativní prodloužení:
- vypočítáme napětí v materiálu součástky, pro ocel platí E = 220 . 106 Pa:
O pružnou deformaci se jedná, jestliže napětí v materiálu nepřesáhne mez pevnosti σPEV.
V MFChT můžeme najít pro ocel hodnotu σPEV = 520 . 106 Pa. Napětí v materiálu součástky
vyšlo vyšší než je mez pevnosti, jedná se tedy o nepružnou deformaci.
Download

B 11 – Úloha na teplotní roztažnost látek