Poměr
153
„Míchání živin pro květinu“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
hmotnost danou poměrem
přepočítat na gramy
pro konkrétní celek
Pro kvetoucí rostliny je potřeba připravit hnojivou zálivku. Aby
květiny dobře prospívaly, musí být dodán hlavně dusík, fosfor
a draslík, a to v poměru 8 : 5 : 6. Předepsané dávkování říká rozpustit
10 g namíchaného hnojiva v 10 litrech vody. Vypočítej hmotnost
jednotlivých složek hnojiva (N, P, K) pro přípravu 50 l zálivky.
POSTUP





žáci se rozdělí do skupin např. po čtyřech
každá skupina obdrží od učitele obal od hnojiva, na kterém žáci
vyhledají složení (měli by zjistit, že všechna kombinovaná hnojiva
obsahují dusík, fosfor a draslík a další minerály ve formě
sloučenin)
složení je většinou udáváno v % a z toho žáci odvodí, že ostatní
látky jsou zastoupené jen v malém množství = stopové prvky
učitel s žáky provede rozbor úlohy se zaměřením na dělení celku
v daném poměru, samotný výpočet mohou žáci provést
samostatně
po kontrole výsledků mohou žáci diskutovat o používání umělých
a přírodních hnojiv, o jejich výhodách a nevýhodách
k učení – učitel vede žáka
k třídění informací
k řešení problémů – učitel vede
žáka k užívání logických,
matematických a empirických
postupů
pracovní – učitel vede žáka
k přístupu k výsledkům pracovní
činnosti z hlediska ochrany
životního prostředí
POMŮCKY
základní
obaly od hnojiv (Kristalony, NPK,
HORTUS, AG)
aktivizující
složení hnojiv –
informace na internetu
METODY
skupinová práce, společná
kontrola, diskuze
s environmentálním aspektem
VYUŽITELNOST
CH, PŘ
PŘÍLOHY
ŘEŠENÍ
---
Zadaný poměr je pro pelargónie.
Poměr – N : P : K
8:5:6
8 + 5 + 6 = 19 dílů
Jestliže je potřeba 10g hnojiva na 10 litrů vody, pak je na 50 litrů vody potřeba 50 g hnojiva (celek).
Jednomu dílu odpovídá hmotnost 50 g : 19 = 2,63 g (po zaokrouhlení).
hmotnost dusíku N
hmotnost fosforu P
hmotnost draslíku K
8 (dílů) * 2,63 g (hmotnost 1 dílu) = 21,04 g
5 * 2,63 = 13,15 g
6 * 2,63 = 15,78 g
Odpověď: Pro přípravu 50 litrů zálivky navážíme 21 g sloučeniny dusíku,
13 g sloučeniny fosforu a 16 g sloučeniny draslíku.
217
Poznámky:
218
Procenta
154
CÍL
„Počítání složení roztoků“
využít procenta a poměr
pro výpočet koncentrace roztoku
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
ANTIFREEZE K 11 koncentrát je nemrznoucí kapalina do chladičů
automobilů. Výrobce ji doporučuje vyměnit po třech letech
používání. Pro správnou funkci musí být zředěna vodou v určitém
poměru. Zjisti, kolikaprocentní roztok je nutné připravit pro běžnou
zimní teplotu na Žatecku? Kolikaprocentní bude roztok pro velké
zimy -25°C? A co když se vydáš s rodinou na zimní dovolenou
na šumavskou Kvildu, kde dosahují teploty až -40° C? Dále zjisti kolik
ml Antifreeze naliješ do chladicí oběhové soustavy pro teplotu -18° C,
jestliže potřebuješ 2,7 litru roztoku? Jak to konkrétně namícháš?
Totální pesticid Roundup se s úspěchem používá na zahrádkách
k hubení jednodomých plevelů. Koupil jsi 80% roztok. Abys nespálil
celou
úrodu,
musíš
ho
zředit
na
2%
roztok
o objemu 10 litrů (zahradní konev). Kolik koncentrovaného pesticidu
a kolik vody smícháš? Jak to provedeš? Jak budeš s oběma roztoky
pracovat? Na co musíš dát pozor?



k řešení problémů – učitel vede
žáka k rozvíjení samostatného
uvažování
k řešení problémů – učitel vede
žáka k nalezení strategicky
nejvýhodnějšího řešení,
ke konfrontaci získaného řešení
se zadáním
POMŮCKY
základní
kalkulačka
aktivizující
etikety a návody výrobků
- internet
METODY
práce v malých skupinách,
společná kontrola
POSTUP


k řešení problémů – učitel vede
žáka k aplikaci ověřených
postupů na konkrétní úlohy
VYUŽITELNOST
žáci pracují samostatně nebo se rozdělí do skupin po dvou
CH
učitel žáky seznámí se zadáním úlohy a rozdá žákům
PŘÍLOHY
tabulku na ředění nemrznoucí kapaliny (Příloha č. I
Příloha č. I
Samostatná práce)
nemrznoucí kapalina - žáci tuto část úlohy řeší pomocí poměrů
roztok na hubení plevele – tuto část úlohy žáci řeší pomocí rovnice pro směšování roztoků
na konci hodiny žáci s učitelem zkontrolují své výsledky
ŘEŠENÍ
K části úlohy týkající se nemrznoucí směsi:
V tabulce na ředění nemrznoucí kapaliny jsou uvedeny díly. Nejprve sečteme počty dílů v jednotlivých
řádcích a tímto číslem vydělíme 100%. Výsledky jsou zaznamenány v následující tabulce.
219
Procenta
154
Antifreeze K 11
voda
Teplota vzduchu
Procentuální koncentrace
roztoku
1
2
-18° C
33%
1
1,5
-25° C
40%
1
1
-37° C
50 %
2,7 : 3 = 0,9
Odměříme 0,9 litru Antifreeze a 2 . 0,9 = 1,8 litru vody. Do nádoby o objemu aspoň 3 litry nalijeme
nejdříve vodu a pak přilijeme Antifreeze.
K části úlohy týkající se roztoku na hubení plevele:
Použijeme rovnici pro směšování roztoků: V1 c1 + V2 c2 = (V1 + V2) . c3
Kde V1 je objem koncentrovaného roztoku (tj. 80%ního)
c1 je koncentrace tohoto roztoku, tj. 80%
V2 je objem vody
c2 je koncentrace Roundupu ve vodě, tj. 0%
(V1 + V2) připravovaný objem, tj. 10litrů
c3 je koncentrace připravovaného roztoku, tj. 2%
Dále použijeme vztah: V1 + V2 = 10 (litrů)
Vyjádříme
V2 = 10 – V1
A dosadíme
V1 . 80 + (10 – V1 ) . 0 = 10 . 2
V1 . 80 + 0 = 20
V1 = 0,25
Pro přípravu roztoku smícháme 0,25 litru přípravku Roundup s 9,75 litru vody.
U této rovnice je výhodou to, že nemusíme převádět na základní jednotky, pouze dáme pozor,
abychom dosadili všechny údaje ve stejných jednotkách.
220
164/1
„Počítání složení roztoků“
………………………………
Příloha č. I Samostatná práce
Tabulka ředění nemrznoucí kapaliny
Antifreeze K 11
Voda
Teplota vzduchu
1
2
-18 º C
1
1,5
-25 º C
1
1
-37 º C
221
Poznámky:
222
Výrazy
155
„Sestav správně vzorce“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
zopakovat a upevnit si znalosti
vzorců pro úpravu výrazů
Ve skupině sestav správně 3 vzorce. K sestaveným vzorcům
přiřaď konkrétní příklady.
POSTUP






žáci se rozdělí do skupin po dvou či třech členech
učitel rozdá žákům obálky s rozstříhanými vzorci (Příloha č. I
Karty s vzorci) a obálky s konkrétními příklady (Příloha č. II Karty
s příklady)
žáci si nejprve roztřídí jednotlivé karty a poskládají je podle
vzorců do správných tvarů
k sestaveným vzorcům přiřadí konkrétní příklady (pozor
na variantu, kdy se nejedná o vzorec)
poté si žáci své výsledky zkontrolují
karty lze použít pro rozklad výrazu v závorce nebo naopak
pro úpravu trojčlenu na mocninu dvojčlenu, v dalších hodinách
mohou sloužit např. k individuálnímu zkoušení
k učení - učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly, k uvádění věcí
do souvislostí, k poznávání
smyslu a díle učení,
k pozitivnímu vztahu k učení
k učení – učitel vede žáka
k posouzení vlastního pokroku,
k určení překážky či problému
bránícímu učení, k plánování
způsobu zdokonalení svého
učení, ke kritickému hodnocení
svého učení
k řešení problémů - učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů; k volbě vhodných
způsobů řešení; k užívání
logických, matematických
a empirických postupů při řešení
problémů
POMŮCKY
základní
karty s částmi vzorců, karty
s příklady, obálky
ŘEŠENÍ
1)
aktivizující
(a+b)2=a2 + 2ab + b2
2
2
(a-b) =a - 2ab + b
karty s částmi vzorců, karty
s příklady, obálky
2
METODY
(a+b).(a-b)= a2 - b2
skupinová práce, společná
kontrola
2)
vzorec (a+b)2=a2 + 2ab + b2: 1, 6
VYUŽITELNOST
vzorec (a-b)2=a2 - 2ab + b2: 2, 8, 10
---
vzorec (a+b).(a-b)= a2 - b2: 4, 9
PŘÍLOHY
Příloha č. I - II
není vzorec: 3, 5, 7
223
155/1
„Sestav správně vzorce“
Příloha č. I Karty se vzorci
2
2
(a+b) (a-b)
(a-b) (a+b).
2ab 2ab
2
2
a
a
224
155/1
2
b
+
=
2
b
+
=
225
2
b
2
a
+
=
155/1
„Sestav správně vzorce“
Příloha č. II Karty s příklady
2
2
1.
4x + 4xy + y
2 4
2 3
6
2. 9x y - 6xy z + z
2
2
3.
4x + 25y
6
2
4.
16a – 9b
4
2
5.
25x + 20x - 4
2
2
6. 9a + 12ab + 4b
2
2
7. 4a – 10ab + 9b
3
2
8. 9x – 12xy + 4y
4 2
6
9.
36a y – 49b
6
3 2
4
10. 64x – 48x y + 9y
226
Výrazy
156
CÍL
„Sestav výraz“
využít osvojená pravidla
při sestavení a řešení číselných
výrazů
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Z připravené sady karet sestav úplný číselný výraz. Z
jednotlivých číslic je možné sestavit maximálně trojciferné číslo,
musíš použít všechny karty.
k učení - učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly
POSTUP
k řešení problémů - učitel vede
žáka k promyšlenému způsobu
řešení podle vlastních zkušeností


sociální a personální - učitel vede
žáka k účinné spolupráci
ve skupině


žáci se rozdělí do skupin po dvou či třech členech
každá skupina obdrží od učitele jednu sadu karet (buď 1. sadu –
Příloha č. I Karty 1 nebo 2. sadu – Příloha č. II Karty 2)
žáci ze všech karet v sadě sestaví číselný výraz
hotové výrazy žáci napíší na tabuli a poté je vypočítají (v hodině
nebo doma za DÚ)
POMŮCKY
základní
karty s částmi výrazů
aktivizující
---
ŘEŠENÍ
METODY
Z následujících symbolů a číslic sestav číselný výraz a vypočítej jeho
hodnotu. Z číslic můžeš vytvořit max. trojciferné číslo:
0
5
)
.
1
6
(
2
7
+
3
8
4
9
:
Řešení:
příklad sestaveného výrazu: 10 + 9 . (374 – 658 : 2)
určení hodnoty: 10 + 9 . (374 – 658 : 2) = 415
227
skupinová práce, společná
kontrola
VYUŽITELNOST
---
PŘÍLOHY
Příloha č. I - II
156/1
„Sestav výraz“
Příloha č. I Karty 1
1
4
7
1
2
5
8
0
228
3
6
9
0
156/1
+
.
:
(
+
.
:
(
229
+
.
:
(
156/1
)
)
2
2
4 5
)
2
7
3
5
√25 √16 √81
230
156/2
„Sestav výraz“
Příloha č. II Karty 2
1
4
7
1
2
5
8
0
231
3
6
9
0
156/2
+
+
+
-
-
-
.
.
.
:
:
:
(
(
(
232
156/2
)
)
)
6
2
3
2
7
2
2
9
√36 √64 √49
233
Poznámky:
234
Rovnice
157
CÍL
„Fyzikální a chemické vzorce“
využít osvojené znalosti řešení
rovnic při práci se vzorci
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Řeš úlohy pracovního listu. Po dokončení své práce si můžeš
se spolužáky zahrát domino.
POSTUP

učitel rozdá žákům pracovní list (Příloha č. I Pracovní list)
a vysvětlí jim zadání práce
žáci pracují samostatně
v prvním úkolu musí žáci přiřadit vzorec, veličinu a jednotky
v druhém úkolu na základě ekvivalentních úprav rovnice žáci
hledají správně vyjádřenou veličinu
ve třetím úkolu žáci k vyjádření označené veličiny použijí
ekvivalentní úpravy rovnice (vzorec zde má stejný význam
jako rovnice)
ve čtvrtém úkolu žáci k vyjádření označené veličiny použijí
ekvivalentní úpravy rovnice (vzorec zde má stejný význam
jako rovnice), v případě c) a d) je použita i neekvivalentní
úprava rovnice (odmocnění)
žáci, kteří mají správně vyřešené všechny úlohy, si mohou
zahrát domino (Příloha č. II Domino) – přiřazují
k sobě různé varianty vzorců a příslušné jednotky (jako
pomoc lze využít vyřešenou úlohu č.1 Pracovního listu)






ŘEŠENÍ
1)
A3e, B1c, C2b, D5d, E4a
2)
správně je b)
4)
a)
b)
3)
c)
a)
W = P.t
b)
d)
c)
e)
f)
235
k učení - učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly; k uvádění věcí
do souvislostí
k řešení problémů - učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů
komunikativní - učitel vede žáka
k formulaci svých myšlenek
v logickém sledu, k souvislému
a kultivovanému vyjadřování
v písemném i ústním projevu
POMŮCKY
základní
pracovní list
aktivizující
domino
METODY
samostatná práce, didaktická hra
VYUŽITELNOST
F, CH
PŘÍLOHY
Příloha č. I - II
157/1
„Fyzikální a chemické vzorce“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
1)
Ze vzorců a jednotek tvoř správné trojice (např. A5d, …):
vzorce:
veličiny:
1:
jednotky:
2:
=W
3:
4:
5:
b:
e:
trojice:
………………………………………………………………........................................................................
2)
Zakroužkuj písmeno řádku, na kterém je ze vzorce správně vyjádřena tučně označená veličina:
a)
c)
3)
V=ρ.m
b)
d)
Vyjádři správně ze vzorce tučně označenou veličinu:
a)
b)
c)
4)
Vyjádři správně ze vzorce tučně označenou veličinu:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
236
s = v. t
157/2
„Fyzikální a chemické vzorce“
Příloha č. II Domino
.V

n
V
a.b.c
mol
S
.r2
kg
m
N.m =J
F.s
P
cm2
litr
237
157/2

.V
n
m
V
mol
S
kg
a.b.c
v
F.s
P
.r2
N.m =J
cm2
litr
238
Závislosti a data
158
„Rozpis soutěže“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
připravit tabulky pro zápasy
ve sportovních soutěžích
Děvčata Hanka, Janka, Mařka a Zuzka jsou dobré kamarádky
a tráví hodně času sportováním. Mezi jejich záliby patří i stolní tenis.
Rozhodly se, že si jednou zahrají turnaj každá s každou na dva
vyhrané zápasy. Ve fit centru si rezervovaly dva stoly. Za vítězství
v zápase se počítá 1 bod. Navrhni tabulku rozpisu zápasů u dvou
stolů. Vytvoř tabulku pro zápis výsledků. Do tabulky dosaď pomyslné
výsledky. Urči, která dívka zvítězila, a urči celkové pořadí.
POSTUP






učitel žákům vysvětlí zadání úlohy
žáci pracují samostatně (možnost i na PC)
nejprve žáci navrhnou tabulku rozpisu zápasů u dvou stolů
poté vytvoří tabulku pro zápis výsledků
žáci do vytvořené tabulky doplní pomyslné výsledky
nakonec žáci určí, které děvče zvítězilo
k učení – učitel vede žáka
k třídění informace, k uvádění
věci do souvislostí
k řešení problémů - učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů, k volbě vhodných
způsobů řešení, k užívání
logických, matematických
a empirických postupů při řešení
problémů, k využívání získaných
vědomostí
pracovní – učitel vede žáka
k využívání znalosti získané
v jednotlivých vzdělávacích
oblastech
POMŮCKY
základní
počítač
aktivizující
počítač
METODY
ŘEŠENÍ
samostatná práce na PC
s vyhodnocením, řešení
problému
1. Tabulka – rozpis zápasů
1. stůl
2. stůl
1. kolo
H-J
M-Z
2. kolo
H-M
Z-J
3. kolo
H-Z
M-J
VYUŽITELNOST
TV, INF
PŘÍLOHY
---
239
Závislosti a data
158
2. Tabulka průběžných výsledků
H
X
H
J
J
M
Z
X
M
X
Z
X
3. Pomocná tabulka průběžných výsledků - pomyslné výsledky
H
X
J
21 : 15
21 : 10
15 : 21
10 : 21
21 : 13
10 : 21
7 : 21
10 : 21
19 : 21
X
H
J
M
Z
M
13 : 21
21 : 10
21 : 7
Z
21 : 10
21 : 19
X
X
4. Tabulka výsledků – doplnit pomyslné výsledky (např. barevně) a zvýrazni vyhrané zápasy (např.
podtrhnout)
H
J
M
Z
H
X
2:0 2:1 2:0
J 0:2
X
2:1 0:2
M 1:2 1:2
X
0:2
Z 0:2 2:0 2:0
X
SKÓRE
6:1
2:5
2:6
4:2
BODY
ZA VÍTĚZSTVÍ
3
1
0
2
5. Tabulka určení vítězky
Pořadí
H
Z
J
M
Skóre
6:1
4:2
2:5
2:6
Získané body
3
2
1
0
240
Rovinné útvary
159
CÍL
„Kruh, kružnice“
procvičit s žáky vlastnosti kruhu
a kružnice, výpočet obvodu
a obsahu kruhu
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Děti na táboře nacvičovaly starý indiánský tanec. V určitém
okamžiku odpovídalo postavení dětí zadané situaci. Posvátné území
(kruh K), ohraničené plochými kameny (kružnice k), uprostřed totem
(bod S). Adam, Bára, Cyril, Dana, Eva, Franta, Gustav, Hanka a Jirka se
rozmístili kolem totemu (body A až J podle počátečních písmen jmen
dětí), někteří drželi konec provázku přivázaného k totemu (jednotlivé
úsečky). Využij nákres postavení dětí při tanci k řešení úkolů. Červeně
vybarvi pole se správnými odpověďmi.
Zjisti, kolikrát se otočí kolo autobusu, auta a koloběžky na dráze
1 km. Průměry kol: autobusu 110 cm, auta 60 cm a koloběžky 24 cm.
Vypočítej obsah poklic (zaokrouhli na celé dm2) na kola auta,
jestliže poloměr poklice je 38 cm.
Pan Blažek ze Žatce zlepšuje své služby. Nabízí svým zákazníkům
dopravu zakoupeného zboží za nízké ceny. Cenová pásma zakreslil do
mapy pomocí soustředných kružnic, střed kružnic je v jeho prodejně.
Urči podle mapy a ceníku, kolik zaplatí za přivezení lednice paní
Krásná z Krásného Dvora, pan Žížala ze Žíželic, paní Rázná z Března.
k učení - učitel vede žáka
k vyhledávání a třídění informací
a k jejich vzájemnému
propojování
komunikativní - učitel vede žáka
k formulaci svých myšlenek
k řešení problémů - učitel vede
žáka k řešení problémových úloh
z praktického života
POMŮCKY
základní
kalkulačky
aktivizující
mapové internetové aplikace
METODY
samostatná práce, práce podle
instrukcí učitele, práce s mapou
a plánem
VYUŽITELNOST
F
POSTUP
PŘÍLOHY
Příloha č. I

učitel žákům rozdá pracovní list (Příloha č. I Pracovní list)
a vysvětlí zadání jednotlivých úloh

úlohu č. 1 vypracují žáci samostatně – vybarvují okénka v tabulce se správnou odpovědí

úlohu č. 2 může učitel rozdělit - počet otáček kola autobusu spočítají žáci společně s učitelem,
počet otáček auta a koloběžky mohou žáci vypočítat samostatně

úlohu č. 3 vypočítají žáci společně s učitelem – počítají zde obsah poklic auta

úlohu č. 4 vypočítají žáci samostatně – počítají zde cenu dopravy
241
Rovinné útvary
159
ŘEŠENÍ
1. úloha:
Kružnici k náleží:
Adam, Bára, Cyril,
Dana, Gustav
Eva, Jirka
Franta, Hanka
jen totem
Kruhu K náleží:
Adam, Bára, Cyril,
Dana, Gustav
Eva, Jirka
Franta, Hanka
totem
Průměrem kruhu K:
vzdálenost Dany a
totemu
vzdálenost Báry
a Gustava
vzdálenost
Franty a Cyrila
vzdálenost Cyrila
a Gustava
Poloměrem kružnice
k:
vzdálenost Adama
a totemu
vzdálenost Báry
a totemu
vzdálenost Dany
a totemu
polovina
vzdálenosti Báry
a Gustava
Pro délky úseček BG,
SD platí vztah:
BG = SD
BG = 2.SD
SD = 2.BG
SD = BG/2
Pro délky úseček AS,
BS platí vztah:
AS = BS
AS > BS
SB = SA
BS = 2.AS
2. úloha:
Autobus o = π . d = 3,14 . 110 = 345,4 cm = 3,454 m
1000 : 3,454 = 289,51 = 290 krát
Auto
o′ = π . d = 3,14 . 60 = 188,4 cm = 1,884 m
1000 : 1,884 = 530,78 = 531 krát
Koloběžka
o″ = π . d = 3,14 . 24 = 75,36 cm = 0,7536 m
1000 . 7536 = 1 326,96 = 1 327 krát
3. úloha:
obsah 1 poklice S = π . r² = 3,14 . 38² = 4 534,16 cm² = 45 dm²
obsah 4 poklic
4 . 4 534,16 = 18 136,64 cm² = 181,3664 dm² = 181 dm²
4. úloha:
a)
paní Krásná z Krásného Dvora ….. 60 Kč
b)
pan Žížala ze Žíželic ….. 0 Kč
c)
paní Rázná z Března ….. 40 Kč
242
159/1
„Kruh, kružnice“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
1.
Děti na táboře nacvičovaly starý indiánský tanec. V určitém okamžiku odpovídalo postavení dětí
situaci na obrázku. Posvátné území (kruh K), ohraničené plochými kameny (kružnice k), uprostřed
totem (bod S). Adam, Bára, Cyril, Dana, Eva, Franta, Gustav, Hanka a Jirka se rozmístili kolem
totemu (body A až J podle počátečních písmen jmen dětí), někteří drželi druhý konec provázku
přivázaného k totemu (jednotlivé úsečky). Využij nákres postavení dětí při tanci k řešení
následujících úkolů. Červeně vybarvi pole se správnými odpověďmi.
Kružnici k náleží:
Adam, Bára,
Cyril, Dana,
Gustav
Eva, Jirka
Franta, Hanka
jen totem
Kruhu K náleží:
Adam, Bára,
Cyril, Dana,
Gustav
Eva, Jirka
Franta, Hanka
totem
vzdálenost
Dany a totemu
vzdálenost Báry
a Gustava
vzdálenost
Franty a Cyrila
vzdálenost Cyrila
a Gustava
Poloměrem kružnice k:
vzdálenost
Adama a totemu
vzdálenost Báry
a totemu
vzdálenost Dany
a totemu
polovina
vzdálenosti Báry
a Gustava
Pro délky úseček BG, SD
platí vztah:
BG = SD
BG = 2.SD
SD = 2.BG
SD = BG/2
Pro délky úseček AS, BS
platí vztah:
AS = BS
AS > BS
SB = SA
BS = 2.AS
Průměrem kruhu K:
nákres k úloze č. 1
243
159/1
2. Kolikrát se otočí kolo autobusu, auta a koloběžky na dráze 1 km? Průměry kol: autobusu 110 cm,
auta 60 cm a koloběžky 24 cm. Počet otočení zaokrouhli na celé číslo.
3. Vypočítej obsah poklic (zaokrouhli na celé dm2) na kola auta, jestliže poloměr poklice je 38 cm.
4. Pan Blažek ze Žatce zlepšuje své služby. Nabízí svým zákazníkům dopravu zakoupeného zboží
za nízké ceny. Cenová pásma zakreslil do mapy pomocí soustředných kružnic, střed kružnic je
v jeho prodejně. Urči podle mapy a ceníku, kolik zaplatí za přivezení lednice:
a) paní Krásná z Krásného Dvora
b) pan Žížala ze Žíželic
Jednotná cena za dopravu:
0. pásmo ZDARMA
1. pásmo za 40 Kč
2. pásmo za 60 Kč
244
c)paní Rázná z Března
Rovinné útvary
160
CÍL
„Hra s kružnicí a přímkou“
procvičit vzájemnou polohu
přímky a kružnice
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Stará keltská hra spočívala v házení dřevěné hůlky na cíl.
Nejdříve si děti vytvořily terč – vymezený kruh ohraničily kamínky.
Z určité vzdálenosti pak házely dřevěnou hůlkou tak, aby hůlka
protínala okraj terče ve dvou bodech. Za dva společné body získaly
10 korálků, za 1 společný bod hůlky a okraje terče 5 korálků
a za žádný společný bod žádný korálek nedostaly. Ale pozor! Hůlka je
symbolem nekonečné přímky, tedy při určování počtu korálků bylo
nutné si nejdříve představit prodloužení hůlky přes celý terč. Příklady
hodů a získaných korálků:
k učení – učitel vede žáka
k vyhledávání a třídění informací
a k jejich vzájemnému
propojování
komunikativní – učitel vede žáka
k práci ve skupině,
k respektování názoru druhých,
ke komunikaci s členy skupiny
k řešení problémů – učitel vede
žáka k volbě vhodných způsobů
řešení, k obhajobě vlastního
řešení
POMŮCKY
10 korálků
základní
pracovní list
aktivizující
terč, hůlky - hra
METODY
5 korálků
skupinová práce, společná
kontrola s diskuzí
VYUŽITELNOST
---
0 korálků
PŘÍLOHY
Příloha č. I
Rozhodčí hlásí soutěžícím jejich výsledky pomocí pojmů – sečna, tečna, „vnější“ a podle počtu
společných bodů zapíše počet získaných korálků. Nakresli aspoň dvě různé možnosti u každého
soutěžícího, jak mohly vypadat jeho jednotlivé hody v sérii 5 hodů při získání uvedeného počtu korálků.
Doplň i ostatní údaje.
245
Rovinné útvary
160
POSTUP





učitel žákům nejprve vysvětlí zadání úlohy a poté s nimi zopakuje vzájemnou polohu přímky
a kružnice – pojem sečna, tečna, vnější přímka kružnice, počty společných bodů
žáci vytvoří skupiny po čtyřech
učitel žákům rozdá pracovní listy (Příloha č. I Pracovní listy)
žáci ve skupině řeší zadání u jednotlivých soutěžících (Jindra, Alenka, Pavel, Jitka)
po dokončení práce všech skupin učitel s žáky kontroluje dosažené výsledky a společně
porovnávají možnosti hodů při získání daného počtu korálků
ŘEŠENÍ
Jindra získal 40 korálků:
I.
nákresy hodů
společné body
2
1
2
1
2
hlášený pojem
sečna
tečna
sečna
tečna
sečna
počet korálků
10
5
10
5
10
II.
nákresy hodů
společné body
0
2
2
hlášený pojem
vnější
sečna
sečna
sečna
sečna
počet korálků
0
10
10
10
10
Obdobně pro Jitku, Pavla, Alenku.
246
2
2
160/1
„Hra s kružnicí a přímkou“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
Stará keltská hra spočívala v házení dřevěné hůlky na cíl. Nejdříve si děti vytvořily terč – vymezený
kruh ohraničily kamínky. Z určité vzdálenosti pak házely dřevěnou hůlkou tak, aby hůlka protínala okraj
terče ve dvou bodech. Za dva společné body získaly 10 korálků, za 1 společný bod hůlky a okraje terče
5 korálků a za žádný společný bod žádný korálek nedostaly. Ale pozor! Hůlka symbolizovala
nekonečnost, tedy při určování počtu korálků bylo nutné si nejdříve představit prodloužení hůlky
do přímky.
Rozhodčí hlásí soutěžícím jejich výsledky pomocí pojmů – sečna, tečna, „vnější“ a podle počtu
společných bodů zapíše počet získaných korálků.
Nakresli alespoň dvě různé možnosti u každého soutěžícího, jak mohly vypadat jeho jednotlivé hody
v sérii 5 hodů při získání uvedeného počtu korálků. Doplň i ostatní údaje.
Jindra získal 40 korálků:
I.
nákresy hodů:
společné body:
2
hlášený pojem:
sečna
počet korálků:
10
II.
nákresy hodů:
společné body:
hlášený pojem:
počet korálků:
247
160/1
Alenka získala 35 korálků:
I.
nákresy hodů:
společné body:
hlášený pojem:
počet korálků:
II.
nákresy hodů:
společné body:
hlášený pojem:
počet korálků:
Pavel získal 15 korálků:
I.
nákresy hodů:
společné body:
hlášený pojem:
počet korálků:
II.
nákresy hodů:
společné body:
hlášený pojem:
počet korálků:
Jitka získala 25 korálků:
I.
nákresy hodů:
společné body:
hlášený pojem:
počet korálků:
II.
nákresy hodů:
společné body:
hlášený pojem:
počet korálků:
248
Rovinné útvary
161
CÍL
„Návrh záhonu s fontánou“
procvičit konstrukci tečen
pomocí Thaletovy kružnice
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Vytvoř pro městský park návrh záhonu s fontánou podle
následujících zadaných instrukcí.
k učení – učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly; k uvádění věcí
do souvislostí
komunikativní – učitel vede žáka
k naslouchání promluvám
ostatních, k účinnému
zapojování se do diskuze
POSTUP











učitel žákům vysvětlí zadání úlohy a poté připomene pojmy,
které se v postupu konstrukce vyskytují, zopakuje s žáky postup
konstrukce tečny ke kružnici pomocí Thaletovy kružnice
žáci pracují samostatně s pracovním listem (Příloha č. I Pracovní
list)
žáci nejprve sestrojí kružnici k se středem S a průměrem 4 cm
poté bodem S vedou přímku, na této přímce zvolí ve vzdálenosti
7 cm od středu S body A a B tak, aby střed S ležel mezi body A, B
z bodu A i B sestrojí tečny ke kružnici k
poté v bodech A a B vztyčí kolmice na přímku AB
průsečíky tečen a kolmic žáci označí C, D, E, F
silnější čarou žáci zvýrazní kružnici a úsečky AE, AD, BF, BC, CF,
CD, DE, EF
tak jim vznikne záhon, v jehož středu je fontána a zbývající
obrazce budou osázeny květinami či vysypány oblázky
žáci vytvoří barevně svůj návrh na uspořádání tohoto záhonu
po dokončení práce učitel společně s žáky zkontroluje jejich
výsledky
k řešení problémů – učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů, k volbě vhodných
způsobů řešení
POMŮCKY
základní
rýsovací potřeby, pracovní list
aktivizující
grafický editor
METODY
samostatná práce, tvorba plánu,
společná diskuze o výsledcích
VYUŽITELNOST
---
PŘÍLOHY
Příloha č. I
ŘEŠENÍ
F
A
E
Sx
B
C
D
249
161/1
„Návrh záhonu s fontánou“
……………………………….
Příloha č. I Pracovní list
Vytvoř pro městský park návrh záhonu s fontánou podle následujících instrukcí:
1.
Sestroj kružnici k se středem S a průměrem 4 cm.
2.
Bodem S veď přímku, na této přímce zvol ve vzdálenosti 7 cm od středu S body A a B tak,
aby střed S ležel mezi body A, B.
3.
Z bodu A i B sestroj tečny ke kružnici k.
4.
V bodech A a B vztyč kolmice na přímku AB.
5.
Průsečíky tečen a kolmic označ C, D, E, F (viz náčrtek).
6.
Silnější čarou zvýrazni kružnici a úsečky AE, AD, BF, BC, CF, CD, DE, EF.
7.
Vznikl záhon, v jehož středu je fontána a zbývající obrazce budou osázeny květinami či vysypány
oblázky.
8.
Vytvoř barevně svůj návrh na uspořádání tohoto záhonu.
F
E
A
B
C
D
250
Rovinné útvary
162
CÍL
„Podlaha z parket“
využít obsahy pravidelných
mnohoúhelníků v úloze z praxe
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Rodina Rychlých se rozhodla pokrýt podlahu v chodbě novými
parketami. V katalogu firmy si vybrali tři možné typy parket trojúhelníkové, čtvercové a šestiúhelníkové. Všechny mají pravidelný
tvar a každou stranu dlouhou 20 cm. Chodba má rozměry
2,20m x 3,80m. Na prořez je počítáno 10%. Vypočítej cenu parket,
jestliže 1m2 všech typů stojí 585 Kč. Zkombinuj tvary do různých
vzorů, případně si jeden vyber a vypočítej spotřebu jednotlivých
druhů parket na celou chodbu.
sociální a personální – učitel
vede žáka k respektování
různých hledisek
občanské – učitel vede žáka
k projevování smyslu pro kulturu
a tvořivost
k řešení problémů - učitel vede
žáka k praktickému ověřování
správnosti řešení problému
POMŮCKY
základní
POSTUP







rovnostranné trojúhelníky,
čtverce a pravidelné
šestiúhelníky se stranou dlouhou
2 cm, každý tvar jinak barevný,
v počtu 40, 20, 20 ks pro žáka
(každý žák má pouze jeden tvar),
čtvrtka A3, dlouhé pravítko,
tužka, lepidlo, nůžky
učitel žákům vysvětlí zadání úlohy a zopakuje s nimi obsah
obdélníku a procentový počet
učitel společně s žáky vypočítá plochu chodby a cenu parket
(přičíst prořez 10%)
žáci se rozdělí do skupin po třech, každý z trojice dostane jiný aktivizující
tvar parket (trojúhelník, čtverec, šestiúhelník)
sada geometrických tvarů
učitel s žáky stanoví podmínky pokládky podlahy – celá plocha
METODY
musí být pokryta parketami - ve vzoru není možné nechat díry,
práce podle instrukcí, skupinová
nejdříve žáci staví vzor, zatím neřeší jeho rozměry, žáci musí práce, výtvarná tvorba,
vymyslet co nejvíce možných vzorů, při nedostatku dílků vyhodnocení
vymyšlený vzor nakreslit
VYUŽITELNOST
podle schopnosti skupiny žáci vyberou vzor, u kterého budou VV
počítat spotřebu
PŘÍLOHY
na čtvrtku žáci vyznačí 1 m2 v měřítku 1 : 10 a celou plochu
Příloha č. I
pokladou parketami vybraného vzoru (nalepit a dorýsovat)
žáci spočítají kusy pro každý tvar zvlášť a po dokončení práce s učitelem zkontrolují své výsledky
ŘEŠENÍ
a) Cena parket:
plocha chodby * cena za 1 m2 = 2,20 * 3,80 * 585 = 8,36 * 585 = 4 890,60 Kč
cena + prořez 10% = 4 890,60 * 1,10 = 5 380 Kč (po zaokrouhlení)
Odpověď: Rodina Rychlých zaplatí za parkety 5 380 Kč.
b)
Možnosti sestavení vzorů příklad:
Tabulka Spotřeba jednotlivých kusů na 1 m2
251
vzor č.
trojúhelník
čtverec
šestiúhelník
1
50
0
0
2
0
25
0
162/1
„Podlaha z parket“
…………………………….
Příloha č. I Možné řešení
Možnosti sestavení vzorů:
252
Rovinné útvary
163
CÍL
„Úpravy v parku“
procvičit určování množin bodů
daných vlastností a jejich využití
při konstrukčních úlohách
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Na jaře proběhne úprava části městského parku. Vytvoř návrh
a matematicky vyjádři umístění jednotlivých rostlin či předmětů
v upravované části parku. Na zahradě jsou dva kruhové květinové
záhony. Vyznač, kam je možné umístit kolík, k němuž hospodář
přiváže kozu šňůrou dlouhou 5 m, aniž by koza poničila květiny
na záhonech.
POSTUP







učitel žákům vysvětlí zadání úlohy a zopakuje s nimi množiny
bodů daných vlastností – např. kde leží množina všech bodů
stejně vzdálených od 1 bodu, od 2 bodů, od přímky, atd.
učitel žáky upozorní, že umístění nejdříve provedou konstrukčně,
vytvoření barevného návrhu již bude na jejich fantazii
žáci vytvoří skupiny po třech a pracují s pracovním listem (Příloha
č. I Pracovní list)
nejprve žáci vytvoří návrh a matematicky vyjádří umístění květin
a ozdobných sloupků a odpadkových košů
poté vyřeší úlohu, kam umístit kolík, k němuž hospodář přiváže
kozu šňůrou dlouhou 5 m, aby koza neponičila květiny na
záhonech
učitel provede s žáky společnou kontrolu matematického
vyjádření umístění částí v parku a kolíku na zahradě
na závěr hodiny může učitel vyhlásit soutěž s vytvořenými návrhy
části parku
253
k učení – učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly; k uvádění věcí
do souvislostí
komunikativní – učitel vede žáka
k práci ve skupině,
k respektování názoru druhých
k řešení problémů – učitel vede
žáka k volbě vhodných způsobů
řešení, k obhajobě vlastního
řešení
POMŮCKY
základní
pastelky, rýsovací pomůcky
aktivizující
grafický editor
METODY
skupinová práce, tvorba
grafického návrhu, společná
kontrola, soutěž
VYUŽITELNOST
VV, PV
PŘÍLOHY
Příloha č. I
Rovinné útvary
163
ŘEŠENÍ
1.
macešky
pěšina
volné prostranství
x A
tulipány
koš
lampa
růže
x B
C
x
koš
D
x
cesta
sloupky
kopretiny
oblázky
kopretiny
Matematické vyjádření umístění rostlin a předmětů:
macešky leží na kružnici
tulipány vyplňují kruh bez hraniční kružnice, kde jsou macešky
kopretiny leží na rovnoběžkách v obou polorovinách od oblázků a ve stejné vzdálenosti
růže leží na ose úhlu, jehož ramena jsou kraj pěšiny a kraj cesty
sloupky leží na ose rovinného pásu, který vytváří cesta
odpadkové koše leží ve středu úseček AB a CD
2.
Kolík musí být současně ve vnějších oblastech obou kružnic, jejichž středy jsou středy kruhových
záhonků a mají poloměry o 5 m větší než poloměry záhonků.
254
163/1
„Úpravy v parku“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
1.
Na jaře proběhne úprava části městského parku. Podle podmínek v zadání vytvoř návrh
a matematicky vyjádři umístění jednotlivých rostlin či předmětů v upravované části parku.
-
Macešky mají být zasazeny ve stejné vzdálenosti od lampy,
-
tulipány ve vzdálenosti menší než je vzdálenost macešek od lampy,
-
kopretiny ve stejné vzdálenosti od oblázků,
-
řada růží ve volném prostranství ve stejné vzdálenosti od kraje pěšiny a cesty,
-
ozdobné sloupky mají být umístěny ve stejné vzdálenosti od obou krajů cesty,
-
odpadkové koše ve stejné vzdálenosti od laviček A a B, C a D.
pěšina
volné prostranství
x A
lampa
x B
C
x
cesta
oblázky
255
D
x
163/1
Matematické vyjádření umístění rostlin a předmětů:
-
macešky………………………………………………………………………………………………………………………………………….
-
tulipány……………………………………………………………………………………………………………………………………………
-
kopretiny…………………………………………………………………………………………………………………………………………
-
růže…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
-
sloupky……………………………………………………………………………………………………………………………………………
-
odpadkové koše………………………………………………………………………………………………………………………………
2.
Na zahradě jsou dva kruhové květinové záhony (viz obr.). Vyznač na náčrtku, kam je možné
umístit kolík, k němuž hospodář přiváže kozu šňůrou dlouhou 5 m, aniž by koza poničila květiny
na záhonech.
x
x
256
Metrické vlastnosti v rovině
164
CÍL
„Běžecká dráha“
rozlišit základní geometrické
útvary a jejich části, vypočítat
obvod kruhu (role čísla pí)
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
V roce 2011 byl na naší škole slavnostně otevřen nově
rekonstruovaný stadion Mládí s oválnou čtyřtraťovou běžeckou
dráhou délky 250 metrů. Vypočítej délku vnitřního a vnějšího
oblouku této dráhy. Ve stavebních plánech je uveden vnější poloměr
25 700 mm a vnitřní poloměr 21 000 mm. Urči délku těchto oblouků
v metrech. A ještě něco navíc. Najdi souvislost této úlohy se jmény
Archimédes ze Syrakus a Ludolph van Cuelen a řeckým slovem
PERIFÉREIA.
POSTUP






učitel žákům na úvod předloží ukázku stavebního plánu (nejlépe
sportoviště), aby si ho prohlédli a zjistili, jak takový plán vypadá
učitel žáky seznámí s textem úlohy a provede na tabuli náčrtek
s vyznačením potřebných údajů (Příloha č. I Pracovní list)
učitel s žáky zopakuje termíny průměr, poloměr, rozdíl mezi
kružnicí a kruhem, části kružnice a kruhu, vyjádření délky
kružnice, část kružnice, význam role čísla π (pí)
žáci pracují samostatně
žáci provedou odhad a výpočet délek oblouků pomocí kalkulačky
na závěr hodiny učitel s žáky provede kontrolu dosažených
výsledků a hodnocení zvládnutí úkolu
k učení - učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly; k uvádění věcí
do souvislostí
k řešení problémů - učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů, k volbě vhodných
způsobů řešení
sociální a personální – učitel
vede žáka k podílu na utváření
příjemné atmosféry v týmu,
k poskytnutí pomoci nebo
požádání o pomoc
POMŮCKY
základní
stavební plán sportoviště,
kalkulačka
aktivizující
---
METODY
samostatná práce
VYUŽITELNOST
TV, VZ
PŘÍLOHY
Příloha č. I
ŘEŠENÍ
1. Náčrtek
vnější poloměr r1 = 25 700 mm = 25,7 m
vnitřní poloměr r2 = 21 000 mm = 21 m
délka oblouku (polovina kružnice) d =? (m)
2. Odhad: d1 = 80 m, d2 = 65 m
3. Výpočet: d1 = π . r1 = 3,14 . 25,7 m = 80,698 m zaokrouhleně 80,7 m
d2 = π . r2 = 3,14 . 21 m = 65,94 m zaokrouhleně 66 m
4. Odpověď: Délka vnějšího oblouku běžeckého oválu je 80,7 m a délka vnitřního oblouku je 66 m.
5. „A ještě něco navíc“: Tato úloha souvisí s uvedenými jmény matematiků. Zabývali se hodnotou čísla
π: Archimédes ze Syrakús vypočítal velmi přesně hodnotu čísla π na 2 desetinná místa, Ceulen
vypočítal hodnotu tohoto čísla na 35 desetinných míst. Řecké slovo PERIFÉREIA (obvod) – podle něho
bylo označeno číslo π, které vyjadřuje úměrnost délky kružnice a jejího průměru.
257
164/1
„Běžecká dráha“
.………………………………
Příloha č. I Pracovní list
V roce 2011 byl na naší škole slavnostně otevřen nově rekonstruovaný stadion Mládí s oválnou
čtyřtraťovou běžeckou dráhou délky 250 metrů. Vypočítej délku vnitřního a vnějšího oblouku této
dráhy. Ve stavebních plánech je uveden vnější poloměr 25 700 mm a vnitřní poloměr 21 000 mm. Urči
délku těchto oblouků v metrech.
Náčrt oválu:
Zdroj: vlastní foto
Výpočet:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
„A ještě něco navíc“. Najdi souvislost této úlohy se jmény Archimédes ze Syrakus a Ludolph van Cuelen
a řeckým slovem PERIFÉREIA.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
258
Metrické vlastnosti v rovině
165
CÍL
„Povrch pro běžecký ovál“
rozlišit základní geometrické
útvary, využívat znalosti výpočtu
obsahu kruhu v praktické úloze
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Běžecký ovál našeho stadionu Mládí v Žatci je opatřen umělým
povrchem – polytanem. Kolik metrů čtverečných polytanu bylo
potřeba na pokrytí našeho čtyřtraťového oválu? Urči cenu této
hmoty, jestliže 1 čtverečný metr stojí 650 Kč. Poznámka: Polytanem
je pokryt běžecký ovál na stadion v Oslu, který je častým dějištěm
mezinárodních lehkoatletických závodů.
k učení - učitel vede žáka
k vyhledávání a třídění informací
a k jejich efektivnímu využívání
v procesu učení, tvůrčích
činnostech a praktickém životě
POSTUP
sociální a personální - učitel vede
žáka k diskuzi v malé skupině
i k debatě celé třídy, k pochopení
potřeby efektivní spolupráce






učitel žákům vysvětlí zadání úlohy, společně s žáky navrhují
možné řešení, rozdělení útvaru na útvary jednodušší,
charakterizují jednotlivé útvary (mezikruží)
žáci společně s učitelem formulují, jak vypočítat obsahy
příslušných útvarů
žáci se rozdělí do skupin po čtyřech
žáci si ve skupině rozdělí úkoly, provedou odhad a vlastní výpočet
žáci doplní pracovní list (Příloha č. I Pracovní list) – každý žák
provede zápisy a výpočty samostatně
na závěr hodiny žáci prezentují a kontrolují postupy a výsledky
své práce
k řešení problémů - učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů, k volbě vhodných
způsobů řešení
POMŮCKY
základní
kalkulačka
aktivizující
Ms Excel
METODY
skupinová práce, prezentace
VYUŽITELNOST
TV, VZ, OV
PŘÍLOHY
Příloha č. I
ŘEŠENÍ
1. Výpočet:
r1 = 25 700 mm = 25,7 m; r2 = 21 000 mm = 21 m; š = 5 000 mm = 5 m; d = 59 000 mm = 59 m; π = 3,14
Obsah mezikruží
S1 =? (m2)
Obsah zbytku dráhy S2 =? (m2)
2
2
S = S1 - S2
S = π r1 - π r2
2
2
S1 = π . ( r1 - r2 ) = 689,1986 m2
S2 = 2 . d . š = 590 m2
S = 1 279,1986 m2 - zaokrouhleně 1 279,2 m2
2. Výpočet:
Cena polytanu: 1 279,2 . 650 = 831 480 Kč
Odpověď: Na pokrytí běžeckého oválu se spotřebovalo 1 297,2 m2 polytanu. Cena tohoto materiálu
činí 831 480 Kč.
259
165/1
„Povrch pro běžecký ovál“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
Náčrtek – běžecký ovál
π = 3,14
Výpočet obsahu běžecké dráhy oválu:
Výpočet ceny polytanu:
Odpověď:
Doplňující otázky
1. Znáš jiná místa, kde byl použit polytan na běžeckou dráhu?
2. Víš, co je Diamantová liga (Diamond league)?
3. Jaké jsou tvé výkony v běžeckých disciplínách?
260
Metrické vlastnosti v rovině
166
„Pythagorova věta“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
použít Pythagorovu větu k řešení
praktické úlohy
Ze dna sudu, který má tvar rovnostranného válce (výška
a poloměr válce mají stejnou velikost), zůstala jediná deska 5 cm
široká. Hrany desky jsou 3 dm a 4 dm. Vypočítej objem sudu.
Potřebné údaje zjisti výpočtem (tyto údaje je možné zjistit též
graficky).







k řešení problémů – učitel vede
žáka k volbě vhodných způsobů
řešení
komunikativní – učitel vede žáka
formulaci svých myšlenek
v logickém směru
POSTUP

k učení - učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly, k uvádění věcí
do souvislostí
učitel s žáky zopakuje Pythagorovu větu a pojmy tětiva, objem
válce, lichoběžník, kružnice lichoběžníku opsaná
učitel žáky seznámí s úlohou a pomocí názorné ukázky – desky
tvaru rovnoramenného lichoběžníka žáci provedou náčrtky na
tabuli i v sešitech, v náčrtku vyznačí pravoúhlé trojúhelníky
(ŘEŠENÍ obr. 1)
žáci pracují ve dvojicích nebo samostatně, každý žák odevzdá
vyplněný svůj pracovní list
žáci vyjádří poloměr pomocí Pythagorovy věty
žáci zjistí vzdálenost tětiv AB a CD (základny lichoběžníku ABCD)
od středu S
potom vypočítají poloměr kružnice a objem válce (sudu)
skupiny prezentují své postupy řešení a výsledky
učitel zhodnotí práci skupin
POMŮCKY
základní
kalkulačka, deska (např.
z kartonu) tvaru
rovnoramenného lichoběžníku
aktivizující
grafický editor
METODY
práce v malých skupinách,
nápověda a náčrt učitele,
prezentace, zhodnocení
VYUŽITELNOST
---
PŘÍLOHY
---
ŘEŠENÍ
Náčrtky:
obr. 1
3dm
5cm
4dm
261
Metrické vlastnosti v rovině
166
obr. 2
D
N
1,5dm
C
5cm
A
. M
r
B
2dm
x
r
S
k
SD = SB = r - poloměr
AB = 4 dm
CD = 3 dm
Deska má tvar lichoběžníku se základnami 3 dm a 4 dm. Základny tvoří tětivy kružnice k lichoběžníku
opsané. Označme středy tětiv M a N. Vzdálenost MN = 5 cm = 0,5 dm, vzdálenost tětivy AB od středu
S označme x. Platí r = BS a r = DS. Z pravoúhlého trojúhelníka BMS platí:
(1) r 2  x 2  2 2
Z pravoúhlého trojúhelníka SND platí:
(2) r 2  ( x  0,5) 2  1,5 2
Porovnáním vztahů (1) a (2) vypočítáme x a následně poloměr r:
x 2  2 2  ( x  0,5) 2  1,5 2
x 2  4  x 2  2.0,5.x  2,25
x  1,5 (dm)
262
Metrické vlastnosti v rovině
166
Dosazením do (1):
r 2  1,5 2  2 2
r 2  2,25  4
r 2  6,25
r  2,5 (dm)
Objem rovnostranného válce vypočítáme podle vzorce V= π r3;
π = 3,14
V = 3,14 . 2,53
V = 3,14 .15,625
V ≈ 49 ( dm3)
V ≈ 49 litrů
Odpověď:
Sud měl objem 49 litrů.
Poznámka :
Grafické zjištění údajů :
Poloměr r zjistíme sestrojením kružnice opsané rovnoramennému lichoběžníku ABCD, kde základny
jsou tětivy AB = 4 dm a CD = 3 dm. Střed S opsané kružnice k je průsečík osy lichoběžníka ABCD
s osou ramena AD. Sestrojme obraz desky v měřítku např. 1 : 5. Délka poloměru r v obraze bude
přibližně 5 cm, t. j. skutečné velikosti odpovídá délka 2,5 dm.
263
Poznámky:
264
Metrické vlastnosti v rovině
167
„Příprava základny chaty“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
vyznačit pravý úhel na ploše
Každý pravoúhlý čtyřúhelník se dá rozdělit úhlopříčkou na dva
pravoúhlé trojúhelníky. Vymodeluj toto tvrzení, např. pomocí
obdélníku vystřiženého z papíru. Pravoúhlý trojúhelník dokázali už ve
starém Egyptě vyznačit pomocí provázku a na něm pravidelně
uvázaných uzlů. Vyzkoušej si tento způsob ve skupině.
POSTUP
komunikativní - učitel vede žáka
k naslouchání promluvám
ostatních a vhodné reakci na ně
k řešení problémů - učitel vede
žáka k výběru a užití vhodných
způsobů řešení
sociální a personální - učitel vede
žáka k účinné spolupráci
ve skupině
POMŮCKY
základní








každý žák si samostatně zkusí vymodelovat pravoúhlý čtyřúhelník provázek (šňůra), měřidlo
aktivizující
a z něj poté dva pravoúhlé trojúhelníky
--následně se žáci rozdělí do skupin po min. třech
každá skupina pomocí měřítka uváže na provázku 13 uzlů ve
METODY
stejné vzdálenosti od sebe
skupinová práce, činnostní učení
poté první žák ve skupině chytí oba konce provázku do jedné
VYUŽITELNOST
ruky, druhý žák chytí pátý uzel a stoupne si co nejdále od prvního
PČ
žáka tak, aby se provázek napnul, třetí žák uchopí osmý uzel a
PŘÍLOHY
stoupne si co nejdále od obou žáků tak, aby se provázek napnul
--u druhého žáka se vytvořil pravý úhel
žáci provázek položí na zem a klackem vyryjí čáru po celém obvodu vzniklého pravoúhlého
trojúhelníku, vhodným způsobem vyznačí pravý úhel
poté se spojí s další skupinou a doplní poslední vrchol obdélníku (přepony se kryjí) a vyznačí zbylé
dvě strany
celá třída nakonec s učitelem překontroluje správnost své práce
ŘEŠENÍ
1. Na vymezeném pozemku je vyznačený
(pískem, vyrytý do země, klacky, kamínky
apod.) obdélník přiměřené velikosti.
2. Rozestavění žáků při
modelování
pravého úhlu:
3. Vytyčení obdélníku
dvěma skupinami žáků.
265
Poznámky:
266
Prostorové útvary
168
„Kotvení pro zajištění hrazdy“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
využít Pythagorovu větu
k výpočtu délky úseček
Urči délku čtyř lan ukotvujících hrazdu 2,5 m vysokou a 2,4 m
širokou. Lana jsou upevněná ve vrcholech obdélníku o délce 5,8 m
a šířce 4,6 m. Situaci vymodeluj a proveď náčrtek.
POSTUP





učitel žáky seznámí se zadáním úlohy (Příloha č. I Pracovní list)
žáci si zkusí pomocí modelíny a špejlí vymodelovat danou situaci
(nalezení pravoúhlého trojúhelníku, úhlopříčky obdélníku a jejich
správné označení)
učitel s žáky diskutuje o možném řešení a žáci společně
předběžně odhadují výsledek (použití Pythagorovy věty)
žáci se rozdělí do skupin po dvou a řeší úlohu za pomoci
kalkulačky
na závěr hodiny si skupiny porovnají své výsledky
k učení - učitel vede žáka
k vyhledávání a třídění informací
a k jejich efektivnímu využívání
v procesu učení
k řešení problémů – učitel vede
žáka k užívání logických,
matematických a empirických
postupů při řešení problémů
sociální a personální - učitel vede
žáka k diskuzi s ostatními žáky
a efektivní spolupráci při řešení
daného úkolu
POMŮCKY
základní
kalkulačka
aktivizující
modelína a špejle
METODY
skupinová práce, tvorba náčrtu
ŘEŠENÍ
VYUŽITELNOST
TV, PČ
1.
2.
Náčrtek, vyznačení všech potřebných délek, obr. č. 1.
Výpočet úhlopříčky obdélníku, která je zároveň odvěsnou
trojúhelníku (druhá odvěsna je výška hrazdy, přeponou je délka
lana), obr. 2.
Obr. 1
a = (5,8 m – 2,4 m) / 2 = 1,7 m
b = 4,6 m / 2 = 2,3 m
u2 = a2 + b2
u2 = 1,72 +2,32
u = 2,86 m
3.
PŘÍLOHY
Příloha č. I
Obr. 2
x2 = u2 + 2,52
x2 = 2,862 + 2,52
x = přibližně 3,8 m
délka jednoho lana = 3,8 m
délka čtyř lan = 3,8 . 4 = 15,2 m
Užití Pythagorovy věty pro výpočet délky přepony
pravoúhlého trojúhelníku, obr. 3.
Výpočet délky čtyř lan.
Odpověď:
Čtyři kotvící lana hrazdy mají délku 15,2 metru.
Obr.
267
3
168/1
„Kotvení pro zajištění hrazdy“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
Urči délku čtyř lan ukotvujících hrazdu 2,5 metru vysokou a 2,4 metru širokou. Lana jsou upevněná
ve vrcholech obdélníku o délce 5,8 metru a šířce 4,6 metru. Situaci vymodeluj a proveď náčrtek.
Výpočet délky:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Odpověď:
___________________________________________________________________________________
268
Prostorové útvary
169
„Materiál pro výrobu stanu“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
využít výpočtu povrchu a objemu
trojbokého hranolu v praxi
Firma obdržela zakázku na výrobu 50 ks stanů typu A
pro putovní tábor s těmito požadavky: obsah podlahy stanu do 4 m²,
výška stanu 1,6 m a vnitřní prostor více než 3 m³ a méně než 4 m³.
Byly vyrobeny stany s těmito rozměry: šířka 1,8 m, délka 2,2 m
a výška 1,6 m. Švy a odpad činí 10% materiálu. Zjisti, kolik
čtverečných metrů materiálu se spotřebovalo na výrobu 50 stanů
a zda byly splněny všechny požadavky zákazníka.
POSTUP







žáci v diskuzi s učitelem provedou rozbor úlohy, určí trojboký
hranol, určí podstavu hranolu (rovnoramenný trojúhelník),
provedou náčrtek a zápis potřebných údajů, proberou podmínky
zákazníka
žáci dále určí, které údaje je třeba vypočítat, výška podstavy
(Pythagorova věta), obsah podstavy, obsah bočních stěn,
spotřeba materiálu pro 50 stanů, odhad spotřeby materiálu,
výpočet objemu
žáci na modelech demonstrují úlohu
žáci si spolu s učitelem zopakují převody jednotek obsahu
a objemu
žáci provedou předběžný odhad povrchu jednoho trojbokého
hranolu
žáci samostatně provedou výpočet úlohy
na závěr hodiny žáci porovnají a prodiskutují postupy a správné
řešení
ŘEŠENÍ
1.
náčrt:
výška stanu
v= 1,6 m
šířka podlahy
š = 1,8 m
délka podlahy
d = 2,2 m
délka hrany
x (m)
povrch stanu
S = ? (m2)
269
k učení - učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly; k uvádění věcí
do souvislostí
k řešení problémů - učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů; k volbě vhodných
způsobů řešení; k užívání
logických, matematických
a empirických postupů při řešení
problémů
komunikativní - učitel vede žáka
k naslouchání promluvám
ostatních, k účinnému
zapojování se do diskuze
POMŮCKY
základní
kalkulačka, rozkladné žákovské
modely těles
aktivizující
rozkladné žákovské modely těles
METODY
diskuze, demonstrace
na modelu, odhadování,
samostatná práce
VYUŽITELNOST
PČ
PŘÍLOHY
---
Prostorové útvary
2.
náčrtek:
169
(výpočet délky hrany)
x² = 1,6² + 0,9²
x² = 2,56 + 0,81
x² = 3,37
x = 1,84 m
3.
Povrch hranolu
Obsah podstavy:
Obsahy stěn:
S1  S2
S4 ,
S3  S5
S = 2S₁ + 2S₃ + S₄
S₁ = 0,5 . 1,6 . 1,8 = 1,44 (m²)
S₃ = 1,84 . 2,2 = 4,048 (m²)
S₄ = 2,2 . 1,8 = 3,96 (m²)
S = 2,88 + 8,096 + 3,96 = 14,936 (m²) – zaokrouhleně 15 m²
Poznámka:
Výsledek porovnat s odhadem.
Výpočet spotřeby materiálu:
Povrch 50ti stanů:
50 . S = 746,8 (m²)
Množství materiálu na odpad a švy: 0,1 * 746,8 = 74,68 (m²)
Celková spotřeba materiálu:
746,8 + 74,68 = 821,48 (m²) – zaokrouhleně 822 m²
Zákazníkovy podmínky:
a) velikost výšky stanu =
1,6 m Splněno
b) velikost obsahu podlahy =
4 m²
2
(v úloze S4 = 3,96 m , což jsou přibližně 4 m²)
Splněno
c) velikost vnitřního objemu (více než 3 m³ a méně než 4 m³)
V = 0,5 x 1,6 x 1,8 x 2,2 =
3,168 m3
Tudíž platí: 3 < 3,168 < 4
Splněno
Odpověď:
Na výrobu padesáti stanů typu A bude třeba 822 m² materiálu. Všechny zákazníkovy podmínky byly
splněny.
270
Prostorové útvary
170
„Truhlářská dílna“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
využívat povrchu a objemu
krychle v praktické úloze
Vytvoř dokumentaci pro výrobu čtyř truhlíků tvaru krychle
na květiny. Truhlíky budou na čtyři sazenice. Každá sazenice
potřebuje pro správný růst 2 dm3 zeminy. V truhlářské dílně je
k dispozici řezivo o rozměrech délky 1 m, šířky 24 cm nebo 20 cm a
tloušťky 2 cm. Každý řez (prořez) znamená ztrátu 1 cm na délce
prkna. K důkladnému spojení je třeba stěny k sobě připevnit čtyřmi
vruty nebo hřebíky. V dokumentaci uveď rozměry a počet dílů na
sestavení, potřebné množství řeziva (počet prken), množství
spojovacího materiálu (vruty nebo hřebíky). Podstava truhlíku musí
být vsazena mezi jednotlivé stěny a musí být připevněna ze všech
stran. Počítej s tím, že horní hrana truhlíku musí být o 2 cm výše, než
sahá zemina. Nezapomeň na náčrty.






komunikativní – učitel vede žáka
k porozumění různým typům
záznamů
sociální a personální - učitel
vede žáka k účinné spolupráci
ve skupině, k diskuzi v malé
skupině, k pochopení potřeby
efektivní spolupráce
POMŮCKY
základní
rozkladné modely - geometrická
tělesa, kalkulačka
aktivizující
průhledné modely těles
POSTUP

k učení – učitel vede žáka
k poznávání smyslu a cíle učení
METODY
skupinová práce,
učitel seznámí žáky s úlohou a společně provedou rozbor pomocí kontrola a hodnocení
rozkladné krychle (Příloha č. I Nákresy)
VYUŽITELNOST
žáci ve dvojicích nebo ve trojicích
PČ
žáci zhotoví nákres truhlíku
PŘÍLOHY
žáci vypočítají objem zeminy pro čtyři sazenice a stanoví délky
--vnitřní hrany truhlíku
dále vypočítají rozměry a počty dílů jednoho truhlíku a počty dílů pro čtyři truhlíky
žáci vypočítají potřebné díly truhlíku z 1 metru řeziva, počty kusů prken pro výrobu čtyř truhlíků
a potřebné množství spojovacího materiálu
na závěr hodiny proběhne kontrola postupů a výsledků jednotlivých žáků a hodnocení práce
271
Prostorové útvary
170
ŘEŠENÍ
Dokumentace:
1. Objem zeminy potřebný pro 1 sazenici:
Objem zeminy potřebný pro 4 sazenice:
V1 = 2 dm3
V4 = 4 * 2 dm3 = 8 dm3
Truhlík má tvar krychle, jeho vnitřní objem má být V = 8 dm3, proto délka vnitřní hrany je
a = 3√ 8 dm3 = 2 dm, tloušťka desky je 2 cm = 0,2 dm.
K sestavení jednoho truhlíku je potřeba:
Rozměry dílů musí být:
1.
20 cm x 20 cm
2.
20 cm x 24 cm
3.
24 cm x 24 cm
Počet kusů
podstava
1 truhlík
4 truhlíky
Stěny
1 truhlík
4 truhlíky
Stěny
1 truhlík
4 truhlíky
1
4
2
8
2
8
Rozměry dílů
20 cm x 20 cm
1 ks
2 ks
2 ks
podstava
stěny
stěny
Počet vrutů:
Na 1 truhlík
28
20 cm x 24 cm
24 cm x 24 cm
272
Na 4 truhlíky
112
Prostorové útvary
171
CÍL
„Příprava hřiště“
využít znalosti vlastností
rovinných útvarů a válce
při řešení úlohy z praxe
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Sportovní klub se chystá na jarní údržbu antukového
volejbalového hřiště. Celé hřiště o rozměrech 24m a 17m se musí
celkem třikrát uválcovat – dvakrát prázdným válcem a jednou válcem
naplněným vodou. K dispozici je jeden ruční válec o průměru 50cm
a délce 90cm. Zjisti, zda je výhodnější válcovat hřiště na šířku nebo
na délku? Jakou vzdálenost údržbář ujde, válcuje-li hřiště třikrát
(dráhu mimo hřiště neuvažuj)? Jak velkou vzdálenost ujede válec
na jedno otočení? Jakou plochu uválcuje válec na jedno otočení?
Kolik litrů vody je třeba do válce nalít při posledním válcování, jestliže
bude naplněn do dvou třetin svého objemu?
POSTUP








žáci pracují samostatně
pro lepší představivost používají žáci rozkládací model válce
žáci nejprve spočítají, kolikrát se vejde válec o délce 90cm = 0,9m
do hřiště při válcování na šířku a kolikrát při válcování na délku
a kolik metrů se při válcování v jednotlivých případech ujde
délku určenou v předchozím bodě žáci násobí třikrát
jedno otočení válce odpovídá obvodu podstavného kruhu a žáci
ho spočítají podle vzorce o = π . d
plocha jednoho otočení válce odpovídá obsahu pláště válce a žáci
ji spočítají podle vzorce SPL = π . d . v = 2 . π . r . v
žáci vypočítají objem válce a z výsledku určí dvě třetiny (objem
válce spočítají pomocí vzorce V = π . r2 . v), výsledek pak
převedou na litry
žáci společně s učitelem zkontrolují své výsledky
k učení - učitel vede žáka
k vyhledávání a třídění informací
a k jejich efektivnímu využívání
v procesu učení, tvůrčích
činnostech a praktickém životě
k řešení problémů - učitel vede
žáka k promyšlenému způsobu
řešení podle vlastních zkušeností
k řešení problémů- učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů; k volbě vhodných
způsobů řešení; k užívání
logických, matematických
a empirických postupů při řešení
problémů
POMŮCKY
základní
rozkládací model válce, popř.
papír pro náčrt hřiště
aktivizující
plnitelné modely těles
METODY
samostatná práce, společná
kontrola výsledků
VYUŽITELNOST
---
PŘÍLOHY
Příloha č. I
ŘEŠENÍ
1) Při válcování na šířku se válec vejde do 24 metrů 24 : 0,9 = 26,7krát, tj. 27krát. Celkem při jednom
válcování ujde údržbář 27 . 17 m = 459 m.
2) Při válcování na délku se válec vejde do 17 metrů 17 : 0,9 = 18,9krát, tj. 19krát. Celkem při jednom
válcování ujde údržbář 19 . 24 m = 456 m. Výhodnější je tedy válcovat hřiště na délku.
3) Válcování 3x: 456 . 3 = 1 368 m, tj. 1,368km Údržbář ujde vzdálenost 1, 368 km.
4) Při jednom otočení ujede válec vzdálenost 3,14 . 50 = 157 cm = 1,57 m
5) Při jednom otočení válec uválcuje 3,14 . 50 . 90 = 14 130 cm2 = 1,413 m2
6) Objem válce je 176 625cm3, dvě třetiny objemu jsou 117 750 cm3 = 117,75 l.
273
171/1
„Příprava hřiště“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
Zadání úlohy:
Sportovní klub se chystá na jarní údržbu antukového volejbalového hřiště. Celé hřiště o rozměrech
24m a 17m se musí celkem třikrát uválcovat – dvakrát prázdným válcem a jednou válcem naplněným
vodou. K dispozici je jeden ruční válec o průměru 50cm a délce 90cm.
1)
Je výhodnější válcovat hřiště na šířku, nebo na délku?
Výpočet:
Odpověď:
2)
Jakou vzdálenost údržbář ujde, válcuje-li hřiště třikrát (dráhu mimo hřiště neuvažujte)?
Výpočet:
Odpověď:
3)
Jak velkou vzdálenost ujede válec na jedno otočení?
Výpočet:
Odpověď:
4)
Jakou plochu uválcuje válec na jedno otočení?
Výpočet:
Odpověď:
5)
Kolik litrů vody je třeba do válce nalít při posledním válcování, jestliže bude naplněn do dvou
třetin svého objemu?
Výpočet:
Odpověď:
274
Prostorové útvary
172
„Objem a hmotnost benzínu“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
vypočítat objem válce
a hmotnost látky ve válci
Sud tvaru válce má vnitřní průměr d = 65 cm a délku v = 1 m.
Vypočítej, kolik benzínu je přibližně v sudu a jaká je přibližně jeho
hmotnost, jestliže u vodorovně položeného sudu sahá hladina
benzínu 25 cm pod plnící hrdlo. Objem vypočítej v litrech. Potom sud
postav do svislé polohy a zjisti, v jaké výšce je hladina benzínu.







k řešení problémů – učitel vede
žáka ke kritickému myšlení,
k uvážlivému rozhodování
komunikativní - učitel vede žáka
k formulaci svých myšlenek
v logickém sledu
POSTUP

k učení - učitel vede žáka
k provádění operací s obecně
užívanými termíny, znaky
a symboly, k uvádění věcí
do souvislostí
učitel seznámí žáky s úlohou (Příloha č. I Nákresy) a společně si
zopakují výpočet - obsah kruhu, kruhová výseč, obsah
lichoběžníku, objem válce, výpočet - hmotnosti (hmotnost
vypočítáme, jestliže hustotu látky násobíme objemem)
žáci pracují samostatně
nejprve žáci provedou rozbor úlohy - rozdělení podstavy na
půlkruh a lichoběžník a určení obsahu této plochy
potom vypočítají objem benzínu
žáci si vyhledají hustotu benzínu v tabulkách
žáci vypočítají hmotnost
dále vypočítají výšku ve svisle postaveném sudu
na závěr žáci s učitelem zkontrolují výsledky a zhodnotí průběh
hodiny
POMŮCKY
základní
geometrické tělesa – rotační
válec, tabulky pro ZŠ, kalkulačka
aktivizující
modely těles
METODY
samostatná práce, společná
kontrola a hodnocení
VYUŽITELNOST
CH, VOB
PŘÍLOHY
Příloha č. I
ŘEŠENÍ
1.
Náčrtek sudu a položeného sudu dle zadání viz. Příloha č. I Nákres
2.
Obsah půlkruhu S1 
3.
Určení základen lichoběžníku - průměr
Počítáme s poloměrem
Druhou základnou je tětiva
Úsečka EC je polovinou tětivy, platí
x² = r² – 0,75²
x² = 3,25² – 0,75²
x² = 10,5625 – 0,5625
x² = 10
x = 3,16 (dm)
r 2 3,14 x3,25 2

 16,583 (dm²)
2
2
d = 65 cm = 6,5 dm
r = 6,5 dm / 2 = 3,25 dm
t = CD v pravoúhlém trojúhelníku SCE
EC = x
275
Prostorové útvary
172
Druhá základna je
t = 2x = 6,32 (dm)
Obsah lichoběžníku
S₂ =[(6,5 + 6,32) x 0,75] /2 = 4,8075
Obsah podstavy s benzínem tvoří půlkruh + lichoběžník:
Sp = 16,583 + 4,8075 = 21,3905 (dm²)
Objem benzínu v sudu:
V = 21,3905 * 10 = 213,905 (dm³)
213,905 dm³ ≈ 214 litrů
4.
Hustota benzínu
Hmotnost
ρ = 750 kg na m³
m = ρ x V = 750 x 0, 2139 = 160,425 kg ≈ 160 kg
5.
Výšku vb vypočítáme ze vztahu:
V =π r² vb , kde vb je výška kapalinového sloupce, tj., v jaké výšce je hladina benzínu:
vb = V / (π r²)
vb = 214 /: (3,14 . 3,252) = 214 / (3,14 . 10,5625) = 214 / 33,16625 = 6,45 (dm)
6.
Odpověď:
V sudu je přibližně 214 litrů benzínu. Jeho hmotnost je asi 160 kg. Ve svisle postaveném sudu je
hladina benzínu ve výšce 6,45 dm.
2. řešení: vycházet z obr. 4 – vypočítat úhel α, použít goniometrické fce.
276
172/1
„Objem a hmotnost benzínu“
Příloha č. I Nákres
d=65cm
25cm
v=1m
2222
v=1m
obr. 1
obr.2
D
25cm
E
t
A
X
lichoběžník ABCD
C
S
B
půlkruh
obr. 3
E25cm
D
E
t

A
S
x
C
r
CD = t
B
obr. 4
277
- tětiva
EC = t:2 = x
SC = r
- poloměr
AB = d
- průměr
vb=?
Poznámky:
278
Nestandardní aplikační
úlohy a problémy
173
„Škodliviny v ovzduší“
CÍL
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
sestrojit diagram z nalezených
hodnot
Vyhledej aktuální údaje o stavu ovzduší v dané oblasti (nejlépe
na stránkách Českého hydrometeorologického ústavu). Seznam se
se sledovanými limitními hodnotami znečišťujících látek v ovzduší
a porovnej jejich aktuální stav s limity. Nalezené hodnoty
zaznamenej. Sestav vhodný diagram pro jednotlivé sledované látky.
Vynes do něj hodnoty limitní a aktuální a vyhodnoť ho. Zaznamenej
také o kolik % byla překročena limitní hodnota pro danou škodlivinu.
POSTUP






pracovní – učitel vede žáka
k přístupu k výsledkům z hlediska
ochrany svého zdraví a ochrany
životního prostředí
občanské – učitel vede žáka
k chápání základních
ekologických souvislostí
a environmentálních problémů
sociální a personální - učitel vede
žáka k účinné spolupráci
ve skupině
POMŮCKY
základní
žáci se rozdělí do skupin po dvou
učitel žákům rozdá pracovní listy (Příloha č. I Pracovní list)
každá dvojice na internetu vyhledá potřebné údaje, žáci mezi
sebou prodiskutují nalezené hodnoty a navrhnou nejlepší řešení
(mohou diskutovat i jako celá třída)
údaje žáci zaznamenají do pracovního listu (Příloha č. I Pracovní
list)
poté žáci sestrojí sloupcový diagram, do kterého zaznamenají
potřebné údaje (hodnoty limitní a aktuální – odlišnými barvami)
na závěr hodiny žáci zhodnotí své výsledky ve spolupráci
s učitelem
pracovní list
aktivizující
internet, případně jiný zdroj
informací o znečišťujících látkách
v ovzduší
METODY
skupinová práce, společná
kontrola, diskuze
s environmentálním aspektem,
grafické znázornování dat
VYUŽITELNOST
CH
PŘÍLOHY
ŘEŠENÍ
Příloha č. I
Záleží na aktuálním stavu ovzduší a na oblasti. Vhodné je vybrat období a oblast, kdy dochází
k překročení limitů (zima a bezvětří a Ostravsko). Přikládáme vzorové řešení. Na měřící stanici v Žatci
byly 20. 2. 2012 naměřeny tyto hodnoty škodlivin v ovzduší: (všechny údaje jsou uvedeny v μg/m3)
škodlivina
PM10
NO2
SO2
O3
aktuální stav
54
125
400
100
limitní povolená hodnota
50
200
350
120
Výpočet překročení
limituPM10 :
C = (54 – 50) . 100 / 50
C=8%
Překročené byly limitní hodnoty u polétavého prachu PM10 (o 8%)
a oxidu siřičitého SO2 (o 8,75%).
Diagram škodlivin v ovzduší:
279
překročení limitu v %
8,00
-37,50
8,75
-16,67
173/1
„Škodliviny v ovzduší“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
Měřící stanice v ______________________ dne _____________________ .
1. Tabulka stavu škodlivin (všechny údaje jsou uvedeny v μg/m3).
škodlivina aktuální stav limitní povolená hodnota
překročení limitu c v %
PM10
NO2
SO2
O3
Pomůcka: Výpočet překročení limitních hodnot:
C = (aktuální stav – limitní hodnota) . 100 / limitní hodnota
2. Diagram škodlivin v ovzduší
❶ limitní hodnota
❷ aktuální stav
280
Nestandardní aplikační
úlohy a problémy
174
CÍL
„Kornouty pro prvňáčky“
vypočítat spotřebu materiálu
na výrobu kornoutů, navrhnout
rozložení do normalizovaného
formátu A1
ZADÁNÍ
Na Mikulášskou nadílku pro prvňáčky je třeba vyrobit
80 kornoutů tvaru rotačního kužele. Středový úhel při vrcholu kužele
je 70°, strana kužele 48 cm. Kolik barevného kreslicího papíru
formátu A1 (841 x 594 mm) spotřebuješ, je-li potřeba přidat 1,5 cm
širokou záložku na slepení? Můžeš vyzkoušet vyrobit kornout
i z papíru A2 (420 x 594 mm) nebo z A3 (420 x 297 mm).
KOMPETENCE
k učení - učitel vede žáka
k samostatnému pozorování
a experimentování,
k porovnávání získaných
výsledků, ke kritickému
posuzování a vyvozování závěrů
pro využití v budoucnosti
POSTUP
k řešení problémů - učitel vede
žáka k promyšlenému způsobu
řešení podle vlastních zkušeností



komunikační - učitel vede žáka
k naslouchání promluvám
ostatních, k účinnému
zapojování se do diskuze




žáci pracují při řešení této úlohy samostatně
žáci nejprve provedou rozvinutí kužele do roviny – kruhová výseč
poté úlohu graficky znázorní, provedou rozbor úlohy a odhadnou
velikosti obsahů a počet výsečí, které lze získat z 1 archu
kreslícího papíru
žáci vyřeší úlohu výpočtem (mohou použít kalkulačku)
dále žáci provedou konstrukci a rozložení do obdélníkového tvaru
žáci určí množství materiálu pro 80 kornoutů
v závěru hodiny žáci porovnají a zdůvodní své výsledky
POMŮCKY
základní
kreslící papír A1, kalkulačka
aktivizující
rozkladné žákovské modely kužel
METODY
ŘEŠENÍ
samostatná práce – výpočty,
tvorba dle vlastních výpočtů
a náčrtu
S1 ......obsah výseče
S2.......záložka
S3......obsah kreslicího papíru
VYUŽITELNOST
PČ, VV
PŘÍLOHY
--A 1 (841 x 594 mm)
2
S1 = πr / 360º * α = 3,14 * 48 * 48 * 70º / 360º =
= 1 406,72 cm²
S2 = 1,5 * 48 = 72 cm²
A 2 (420 x 594 mm)
Stejné jako A1
A 3 (297 x 420 mm)
Stejné jako A1
Stejné jako A1
Stejné jako A1
S3= 84,1 * 59,4 = 4 995,54 cm²
S3 : (S1 + S2 ) =
=2494,8 : 1 478,72 = 1
S3 : (S1 + S2 ) =
=1247,4 : 1 478,72 = 0
Porovnáním obsahů by bylo možno vyrobit v A1 3 kornouty, ale podaří se to prakticky? Sestrojením
výseče a rozložením do formátu zjistíme, že můžeme vyrobit pouze dva kornouty. Takže
pro 80 kornoutů budeme potřebovat 40 kusů kreslicího papíru formátu A1.
281
Poznámky:
282
Nestandardní aplikační
úlohy a problémy
175
„Úspora vody po úpravě WC“
CÍL
ZADÁNÍ
využít znalostí výpočtu objemů
těles (kvádru a válce)
k praktickým výpočtům
KOMPETENCE
Jedním z nejdůležitějších neobnovitelných zdrojů na zemi je
voda, bez které není života. Zjisti, kolik m3 vody můžeme ušetřit
na naší škole se 700 žáky výměnou splachovacích nádrží na WC?
(Jedná se o úsporu na jedno spláchnutí.) Na každém z 3 podlaží školy
je 15 nádrží. Voda, spotřebovaná jedním spláchnutím, zaujímá
v nádrži kvádr o rozměrech 40 x 1O x 25 cm. V nové nádrži má tento
prostor rozměry 30 x 10 x 20 cm. Vypočítej, jaká bude úspora vody,
jestliže každý žák postupně použije každou nádržku právě jednou?
Bude toto množství vody stačit např. na naplnění nafukovacího
bazénu tvaru rotačního válce o průměru 192 cm a v = 53 cm? Příp.
kolik bazénů lze naplnit? Jaká finanční částka se ušetří, stojí-li 1 m3
83 Kč?
k učení - učitel vede žáka
k výběru a užití vhodných
způsobů řešení, k porovnávání
získaných výsledků
k řešení problémů - učitel vede
žáka k promyšlenému způsobu
řešení podle vlastních zkušeností
a zkušeností
občanské – učitel vede žáka
k chápání základních
ekologických souvislosti
POMŮCKY
základní
rozkladné žákovské modely těles
3
(sada pro žáka) model 1m
3
a 1dm , 1l, kalkulačka
POSTUP
aktivizující







žáci se nejprve seznámí se zadáním úlohy a poté pracují
samostatně
k demonstraci úlohy si žáci vyberou příslušné modely těles
žáci graficky znázorní zadání úlohy
žáci si zopakují převod jednotek objemu 1 m3 a 1 dm3, 1 l, 1 hl
žáci společně diskutují o možném řešení a odhadují výsledek
žáci samostatně počítají úlohy (mohou využít kalkulačku)
na závěr hodiny žáci porovnají dosažené výsledky, podávají
návrhy na možné využití úspor a další návrhy jak šetřit vodou
průhledné plnitelné modely
těles
METODY
samostatná práce, společná
kontrola, diskuze
s environmentálním aspektem
VYUŽITELNOST
PČ
PŘÍLOHY
---
ŘEŠENÍ
Objem původní nádrže
V1 = a * b * c = 0,4 * 0,1 * 0,25 = 0,01 m3
Počet spláchnutí 700
Objem nové nádrže
V2 = a * b * c = 0,3 * 0,1 * 0,2 = 0,006 m3
Počet nádrží 15 * 3 = 45
Počet spláchnutí 45 * 700 = 31 500
Úspora po 1 spláchnutí: (V1 - V2 ) * 31 500 = 0,004 * 31 500 = 126 m3
Odpověď: Výměnou nádrží se ušetří 126 m3 vody.
Objem válce V = π * r2 * v = 3,14 * 0,962 * 0,53 = 1,53 m3 (po zaokrouhlení)
Objem uspořené vody 126 m3.
Porovnání: 126 m3 >1,53 m3 Ano, bazén se zaplní 1,53 m3 vody.
Odpověď: Z uspořené vody by se naplnilo 82 bazénů.
Cena 1 m3 vody.....83 Kč
Cena uspoř. 126 m3.....126 * 83 = 10 458 Kč
Odpověď: Za uspořenou vodu se ušetří 10 458 Kč.
283
Poznámky:
284
Nestandardní aplikační úlohy
a problémy
176
CÍL
„Vytápění rodinného domku“
zjistit výkony radiátorů a výkon
kotle potřebného k vytápění
rodinného domu
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Rodinný domek má tyto místnosti a jejich rozměry – koupelna
12 m², obývací pokoj 30 m², kuchyň 16 m², 2 pokojíky po 15 m²,
ložnice 18 m², WC a chodba 8 m². Výška místností je 2,55 m. V každé
místnosti je umístěn radiátor. Při venkovní teplotě - 15 °C
a vnitřní teplotě 20 °C je tepelná ztráta domu 40 W/m3. Vypočítej
výkony radiátorů pro každou místnost. Pro potřebný výkon je třeba
vypočítanou hodnotu navýšit alespoň (přibližně) o 0,5 kW. Hodnota
se může „prakticky“ - přiměřeně zaokrouhlit. Zjisti, jak velký výkon
topného zdroje potřebuješ k vytápění tohoto domu. Pro zajištění
tepelné pohody, musí mít kotel výkon větší až o 20 %.
k učení – učitel vede žáka
k poznávání smyslu a cíle učení
k řešení problémů – učitel vede
žáka k uvážlivému rozhodování,
k uvědomění si zodpovědnosti
za svá rozhodnutí
pracovní – učitel vede žáka
k využívání získaných znalostí
a zkušeností v jednotlivých
vzdělávacích
POMŮCKY
základní
kalkulačka, pracovní list
POSTUP






aktivizující
---
učitel seznámí žáky s úlohou a vysvětlí jim, jak určit výkon
METODY
radiátoru a výkon kotle a jak v praxi zaokrouhlit tuto hodnotu
skupinová práce, zhodnocení
žáci pracují ve dvojicích s pracovním listem (Příloha č. I Pracovní
VYUŽITELNOST
list)
F, PČ, VZ
žáci mají za úkol doplnit plošný obsah místností, vypočítat objem
jednotlivých místností, vypočítat výkon potřebný k vytápění PŘÍLOHY
(započítat tepelné ztráty), vypočítat výkon navýšený o 20 %, Příloha č. I
převod jednotek výkonu na kW
pro kontrolu - hodnota v sloupci „VÝSLEDEK“ a v řádku „CELKEM“ (postupným doplněním součtů
v jednotlivých sloupcích) je stejná
nakonec žáci provedou praktické zaokrouhlení (navýšení výkonu nejméně o 0,5 kW)
na závěr hodiny učitel s žáky zhodnotí výsledky jejich práce (u praktického zaokrouhlení je možná
tolerance)
285
Nestandardní aplikační úlohy
a problémy
176
ŘEŠENÍ
místnost
Plošný
obsah
Objem
místnosti
Výkon
potřebný k
vytápění
Výkon
navýšený
o 20 %
Výsledek
Praktické
zaokrouhlení
----------
x 2,55
x 40
X 1,2
--------
----------
v m2
v m3
ve W
ve W
v kW
v kW
kuchyň
16
40,8
1632
1958,4
1,958
2
koupelna
12
30,6
1224
1468,8
1,469
1,5
obývací pokoj
30
76,5
3060
3672
3,672
4
1. pokojík
15
38,25
1530
1836
1,836
2
2. pokojík
15
38,25
1530
1836
1,836
2
ložnice
18
45,9
1836
2203.2
2,203
2,5
WC + chodba
8
20,4
816
979,2
0,979
1
114
290,7
11628
13953,6
13,954
15
celkem
Závěr, odpověď:
Výkony radiátorů jsou uvedeny v tabulkách v posledním sloupci. Topný zdroj (kotel) potřebný
k vytápění domu musí mít nejméně 15 kW.
286
176/1
„Vytápění rodinného domku“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
Zadání úlohy:
Rodinný domek má tyto místnosti a jejich rozměry:
koupelna
obývací pokoj
kuchyň
12 m2
30 m2
16 m2
2 pokojíky po
ložnice
WC + chodba
15 m2
18 m2
8 m2
Výška místností je 2,55 m. V každé místnosti je umístěn radiátor. Při venkovní teplotě - 15 °C
a vnitřní teplotě 20°C je tepelná ztráta domu 40 W/m3.
1.
2.
Vypočítej výkony radiátorů pro každou místnost. Pro potřebný výkon je třeba vypočítanou
hodnotu navýšit alespoň (přibližně) o 0,5 kW. Hodnota se může „prakticky“ - přiměřeně
zaokrouhlit.
Zadej, jak velký výkon topného zdroje je potřeba k vytápění tohoto domu. Pro zajištění tepelné
pohody, musí mít kotel výkon větší až o 20 %.
místnost
Plošný
obsah
Objem
místnosti
Výkon
potřebný k
vytápění
Výkon
navýšený
o 20 %
Výsledek
Praktické
zaokrouhlení
----------
x 2,55
x 40
X 1,2
--------
----------
v m2
v m3
ve W
ve W
v kW
v kW
kuchyň
koupelna
obývací pokoj
1. pokojík
2. pokojík
ložnice
WC + chodba
celkem
Závěr, odpověď:
287
Poznámky:
288
Nestandardní aplikační úlohy
a problémy
177
CÍL
„Chmelový maják“
použít znalosti o objemu
a povrchu válce k řešení
praktické úlohy
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Žatec je historickým městem s velkým množstvím památek,
je i centrem českého chmele. Jedna z jeho významných turistických
aktivit je Chrám Chmele a Piva s rozhlednou – Chmelový maják.
Na vrcholu majáku je sedm sloupů, které symbolizují pěstování
chmele. Imitace chmelových sloupů – symbolická chmelnice – je
tvořena sedmi tubusy. Každý sloup o délce 5 m je vyroben z oceli
ve tvaru válce o vnějším průměru 40 cm, tloušťka materiálu je 9 mm.
Sloupy jsou dole připevněny k podlaze, shora jsou uzavřeny víkem
tvaru válce - ze stejného materiálu - průměr 40 cm, výška 9 mm.
Vypočítej objem jedné trubky (trubka = tubus = sloup), objem všech
trubek, hmotnost jednoho sloupu, hmotnost všech sloupů, kolik kg
barvy je potřeba na vnější nátěr všech sedmi sloupů – uveď celým
číslem v kg (zaokrouhlit nahoru), objem vzduchu v jedné uzavřené
trubce. Kolik půllitrů piva by se vešlo do jednoho tubusu? Jakou
hmotnost by měly trubky, jestliže by byly zhotoveny ze zlata, z olova,
nebo z plastu? Proč asi nejsou zhotoveny z těchto materiálů?
k učení - učitel vede žáka
k samostatnému pozorování,
k poznávání smyslu a cíle učení,
k posouzení vlastního pokroku
k řešení problémů – učitel vede
žáka k uvážlivému rozhodování,
k uvědomění si zodpovědnosti
za svá rozhodnutí
komunikativní – učitel vede žáka
k využívání získaných dovedností
k vytváření vztahů potřebných
k soužití s ostatními lidmi
POMŮCKY
základní
pracovní list, kalkulačka
aktivizující
fotografie z Chrámu Chmele
METODY
samostatná práce, zhodnocení
POSTUP

VYUŽITELNOST
PČ, F, VZ
učitel seznámí žáky se zadáním úlohy, využije přitom ilustrační
foto z Přílohy č. I a nákresy a rozměry z Přílohy č. III
PŘÍLOHY
Příloha č. I - IV

žáci pracují ve dvojicích nebo samostatně, každý žáak odevzdá
vyplněný svůj pracovní list

žáci si nejprve nakreslí potřebné náčrtky a poté dále pracují s pracovním listem
(Příloha č. IV Pracovní list)

žáci při plnění úlohy pracují s hodnotami veličin (Příloha č. II Zdrojová data)

žáci v pracovním listě vypočítají objem jedné trubky, objem všech trubek, hmotnost jedné trubky,
hmotnost všech trubek, plochu potřebnou k natření, množství barvy na všechny trubky, objem
vzduchu v jedné uzavřené trubce, hmotnost jedné trubky, kdyby byla z olova, ze zlata, či z plastu,
počet půllitrů (při výpočtech je možné zaokrouhlovat)

na závěr hodiny učitel s žáky zkontroluje výsledky (využití různých materiálů zhodnotí učitel sám)
289
Nestandardní aplikační úlohy
a problémy
177
ŘEŠENÍ
Dané a vypočítané hodnoty veličin:
Vnější průměr
d1 = 40 cm
Tloušťka trubky
9 mm = 0,9 cm
Vnitřní průměr
40 cm – 2 x 0,9 cm = 38,2 cm
Výška sloupu
h = 5 m = 500 cm
Počet sloupů
7
Průměr víka
d1 = 40 cm
Výška víka
t = 9 mm = 0,9 cm
Hustota oceli
ρ = 7 800 kg/ m3 =7,8 g/ cm3
Hustota vzduchu
ρv =1,29 kg/ m3 = 0,00129 g/ cm3
Objem jedné trubky
V = V1 – V2 + V3
π = 3,14
Vnější poloměr
r1 = 20 cm
Vnitřní poloměr
r2 = 19,1 cm
Spotřeba barvy
300 g/1 m2
Hustota zlata
Hustota olova
Hustota plastu
ρAu =19 300 kg/ m3
ρPb =11 300 kg/ m3
ρpl =1 200 kg/ m3
V1 = π r12 h
V2 = π r22 h
V3 = π r12 t
V1 = 3,14 x 202 x 500 V2 = 3,14 x 19,12 x 500 V3 = 3,14 x 202 x 0,9
V1 = 628 000 cm3
V2 = 572 751,7 cm3
V3 = 1 130,4 cm3
V = π r12 h – π r22 h + π r12 t
V = π h (r12 – r22 ) + π r12 t
V = 3,14 x 500 (202 – 19,12) + 3,14 x 202 x 0,9
V = 55 248,3 + 1 130,4
V = 56 378,7 (cm3)
Objem všech trubek
7 V = 7 x 56 378,7 cm3
7 V = 394 650,9 cm3 ≈ 0,4 m3
Hmotnost jedné trubky
Hmotnost všech trubek
m1 = ρ x V
m = 7 x 439,754 g
m1 = 7,8 x 56 378,7 g
m = 3 078,278 kg ≈ 3 078 kg
m1 = 439753,86 g = 439,754 kg ≈ 440 kg
Plocha potřebná k natření:
7 S = 7 ( S1
+ S2 + S3 )
7 S – obsah celkové plochy
potřebné k natření
2
7 S = 7 (2π r1 h + π r1 + 2 π r1 t )
S1 – obsah plochy pláště
2
7 S=7 (2 π x 20 x 500 + π x 20 +2 π x 20 x 0,9)
S1 = 2π r1 h
7 S = 7 (20 000 π + 400 π + 36 π)
S2 – obsah podstavy víka
7 S = 7 (20 436 π)
S2 = π r12
7 S = 7 x 64 169,04 cm2
S3 – obsah plochy pláště víka
7 S = 449 183,28 cm2 ≈ 45 m2
S3 = 2π r1 t
290
Nestandardní aplikační úlohy
a problémy
177
Množství barvy na všechny trubky
mB = 45 x 0,3 kg = 13,5 kg
mB ≈ 14 kg
Hmotnost vzduchu v jedné uzavřené trubce
mv = ρv x Vv
mv = 1,29 x 0,628
mv = 0,81 kg
Objem vzduchu v jedné uzavřené trubce
Vv = π r12 h
Vv = π 202 X500
Vv = 200 000 π
Vv = 628 000 cm3 = 0,628 m3
Hmotnost jedné trubky, jestliže by byla
ze zlata
z olova
z plastu
mAu = ρAu x V
mPb = ρPb x V
mpl = ρpl x V
mAu v = 19,3 x 56 378,7
mPb = 11,3 x 56 378,7
mpl = 1,2 x 56 378,7
mAu = 1088108,91
mPb = 625779,31
mpl = 66454,44
mAu = 1 088 108,91 g ≈
mPb = 625 779,31 g ≈
mpl = 66 454,44 g ≈
≈ 1 088 kg ≈ 1 t
≈ 626 kg
≈ 66 kg
Počet půllitrů:
Objem vzduchu Vv = 628 000 cm3 = 628 dm3 vynásobíme č. 2 = 1256
Do jednoho tubusu by se vešlo 1256 půllitrů piva.
291
177/1
„Chmelový maják“
………………………………
Příloha č. I Ilustrační foto
obr. 1
obr. 2
obr. 3 Noční ilustrace
292
177/2
„Chmelový maják“
………………………………
Příloha č. II Zdrojová data
Při řešení úloh pracuj s hodnotami veličin:
π
Vnější průměr trubky
Tloušťka trubky
Výška sloupu
Počet sloupů
Hustota oceli
7 800 kg/ m3
Hustota vzduchu
1,29 kg/ m3
Spotřeba barvy
300 g/1 m2
Další hodnoty si vyhledejte
v matematicko – fyzikálních tabulkách
3,14
d1 = 40 cm
t =9 mm
h=5m
7
293
177/3
„Chmelový maják“
………………………………
Příloha č. III Nákresy a rozměry
Obr. 1
t = 0,9cm
cm
d1= 40 cm
h=5m
294
177/3
Obr2
d1= 40 cm
d2= 38,2 cm
d1
d2
Obr3
víko
d1= 40 cm
t = 0,9 cm
295
177/4
„Chmelový maják“
………………………………
Příloha č. IV Pracovní list
Na zvláštní list papíru si proveď náčrty.
Dané a vypočítané hodnoty veličin:
Vnější průměr
Tloušťka trubky
Vnitřní průměr
Výška sloupu
Počet sloupů
Průměr víka
Výška víka
Hustota oceli
Hustota vzduchu
π = 3,14
Vnější poloměr
Vnitřní poloměr
Spotřeba barvy
Hustota zlata
Hustota olova
Hustota plastu
Objem jedné trubky
V=
V1 =
V2 =
V3 =
V=
Objem všech trubek
Hmotnost jedné trubky
Hmotnost všech trubek
m1 =
m =
Plocha potřebná k natření :
296
177/4
Množství barvy na všechny trubky
mb =
Objem vzduchu v jedné uzavřené trubce
Hmotnost vzduchu v jedné uzavřené trubce
Vv =
mv =
Hmotnost jedné trubky, jestliže by byla
ze zlata
z olova
mPb =
Počet půllitrů:
Odpověď:
297
z plastu
mpl =
Poznámky:
298
Nestandardní aplikační úlohy
a problémy
178
CÍL
„Péče o trávník“
využít znalosti vlastností
rovinných útvarů a válce
při řešení úlohy z praxe
ZADÁNÍ
KOMPETENCE
Pan Novák má u domu trávník tvaru obdélníku o rozměrech
17 m a 29 m. Aby zlepšil jeho vzhled, rozhodl se jej na jaře zbavit
plevelů a pohnojit. Přípravek na hubení plevelů se prodává v balení
po 100 ml za 195 Kč. Ředí se v poměru 60 ml přípravku (1 víčko =
10 ml) na 4 l vody a tato směs vystačí na 100 m2. K namíchání směsi
má k dispozici postřikovač tvaru válce s průměrem 22,5 cm a výškou
25 cm. Zjisti, kolik mililitrů přípravku musí do postřikovače nalít. Kolik
naplněných postřikovačů potřebuje na celý trávník? Kolik balení pan
Novák potřebuje, aby mohl přípravek aplikovat na celý trávník?
Hnojivo se prodává v balení po 20 l za 670 Kč. Ředí se v poměru
20 ml (1 víčko = 10 ml) na 8 l vody. Na 1 m2 plochy trávníku je
potřeba cca 15 l namíchané směsi. Zjisti, kolik ml hnojiva je třeba
přidatdo postřikovače tvaru válce o průměru 22,5 cm a výšce 25 cm.
Kolik ml hnojiva celkem pan Novák spotřebuje na pohnojení celého
trávníku? Bude mu stačit jedno balení hnojiva?
Kolik Kč celkem pan Novák zaplatí za nákup všech přípravků?
Kolik litrů vody celkem spotřebuje?
k učení - učitel vede žáka
k vyhledávání a třídění informací
a k jejich efektivnímu využívání
v procesu učení, tvůrčích
činnostech a praktickém životě
k řešení problémů - učitel vede
žáka k promyšlenému způsobu
řešení podle vlastních zkušeností
k řešení problémů - učitel vede
žáka k samostatnému řešení
problémů, k volbě vhodných
způsobů řešení, k užívání
logických, matematických
a empirických postupů při řešení
problémů
POMŮCKY
základní
kalkulačka, pracovní list
aktivizující
---
METODY
POSTUP
skupinová práce, samostatná
práce. zhodnocení

VYUŽITELNOST
úlohu je možné řešit skupinově – zvlášť hubení plevelů a zvlášť
úlohu s hnojivem, na závěr pak společně nebo samostatně žáci
dopočítají doplňující úkoly (Příloha č. I Pracovní list)
F
PŘÍLOHY
Příloha č. I





1) hubení plevelů
žáci vypočítají plochu trávníku pomocí vzorce pro obsah obdélníku S = a . b
dále vypočítají objem postřikovače pomocí vzorce pro objem válce V =  . r2 . v a objem
postřikovače převedou na litry
s využitím trojčlenky žáci vypočítají množství prostředku na 1 postřikovač a kolik m² pokropí
z jednoho postřikovače
dále žáci vypočítají, kolik naplněných postřikovačů je potřeba na celý trávník – lze trojčlenkou
i logickou úvahou
nakonec žáci vyčíslí, kolik ml přípravku je třeba na celý trávník a potřebné množství přípravku
přepočítají na počet balení
299
Nestandardní aplikační úlohy
a problémy





178
2) hnojení
žáci opět spočítají plochu trávníku pomocí vzorce S = a . b a objem postřikovače pomocí vzorce
V =  . r2 .v
s využitím trojčlenky žáci vypočítají množství prostředku na 1 postřikovač
dále žáci vypočítají, kolik litrů směsi je potřeba, jestliže na 1 m2 je třeba 15 l směsi
vypočítají (nejlépe trojčlenkou), kolik ml hnojiva je potřeba na celkové množství směsi
a rozhodnou, zda stačí 1 balení
na závěr z obou částí úlohy žáci sečtou celkové náklady na nákup prostředků a použité množství
vody
ŘEŠENÍ
1)









Hubení plevelů
plocha trávníku S = 493 m2
objem postřikovače V = 9 935 cm3
objem postřikovače v litrech V = 9,9 l , budeme pracovat se zaokrouhlenou hodnotou V = 10 l
do postřikovače je třeba nalít 150 ml prostředku
z jednoho postřikovače se postříká 250 m2 trávníku
jsou potřeba 2 naplněné postřikovače
do 1 postřikovače potřebujeme 150 ml, do 2 postřikovačů je tedy třeba 300 ml přípravku
1 balení má objem 100 ml, jsou tedy potřeba 3 balení přípravku
tj.: cena přípravku 3 . 195 Kč = 585 Kč, spotřebováno 19,7 l vody
2)


Hnojení
plocha trávníku S = 493 m2
objem postřikovače V = 9 935 cm3, objem postřikovače v litrech V = 9,9 l, budeme pracovat
se zaokrouhlenou hodnotou V = 10 l
do postřikovače je třeba nalít 25 ml hnojiva
na celý trávník potřebujeme 493 . 15 = 7 395 l směsi
do 7 395 l směsi použijeme 7 395 : 10 . 25 = 18 487,5 ml = 18,4875 l hnojiva
balení má objem 20 l, bude tedy stačit
tj.: cena přípravku 670 Kč, spotřebováno 7 395 l vody





Celkové náklady:
Celkové množství vody:
3 . 195 Kč + 1 . 670 Kč = 1 255 Kč
2 . 10 l + 7 395 l = 7 415 l vody
300
178/1
„Péče o trávník“
………………………………
Příloha č. I Pracovní list
Pan Novák má u domu trávník tvaru obdélníku o rozměrech 17 m a 29 m. Aby zlepšil jeho vzhled,
rozhodl se jej na jaře zbavit plevelů a pohnojit. Přípravek na hubení plevelů se prodává v balení
po 100 ml za 195 Kč. Ředí se v poměru 60 ml přípravku (1 víčko =10 ml) na 4 l vody a tato směs vystačí
na 100 m2. K namíchání směsi má k dispozici postřikovač tvaru válce s průměrem 22,5 cm a výškou 25
cm. Zjisti, kolik mililitrů přípravku musí do postřikovače nalít. Kolik naplněných postřikovačů potřebuje
na celý trávník? Kolik balení pan Novák potřebuje, aby mohl přípravek aplikovat na celý trávník?
Výpočet:
Hnojivo se prodává v balení po 20 l za 670 Kč. Ředí se v poměru 20 ml (1 víčko = 10 ml) na 8 l
vody. Na 1 m2 plochy trávníku je potřeba cca 15 l namíchané směsi. Zjisti, kolik ml hnojiva je třeba
přidat do postřikovače tvaru válce o průměru 22,5 cm a výšce 25 cm. Kolik ml hnojiva celkem pan
Novák spotřebuje na pohnojení celého trávníku? Bude mu stačit jedno balení hnojiva?
Výpočet:
Kolik Kč celkem pan Novák zaplatí za nákup všech přípravků? Kolik litrů vody celkem spotřebuje?
Výpočet:
Odpověď:
301
Poznámky:
302
Download

8.třída