PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově
Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia
Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2009
2
Planimetrie
Úvod
Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách
a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny
střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické
vybavení a zázemí.
Cílová skupina:
Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových
materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se
nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů
částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového
studia.
Planimetrie
3
Obsah
Črtáme, rýsujeme, měříme ......................................................................................................... 7
Body, úsečky, přímky, polopřímky ........................................................................................ 7
Body, úsečky, přímky, polopřímky .................................................................................. 10
Varianta A ........................................................................................................................ 10
Body, úsečky, přímky, polopřímky .................................................................................. 13
Varianta B ........................................................................................................................ 13
Body, úsečky, přímky, polopřímky .................................................................................. 15
Varianta C ........................................................................................................................ 15
Obvody a obsahy, hmotnost ..................................................................................................... 17
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti ........................ 17
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti .................... 19
Varianta A ........................................................................................................................ 19
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti .................... 21
Varianta B ........................................................................................................................ 21
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti .................... 23
Varianta C ........................................................................................................................ 23
Úhel .......................................................................................................................................... 25
Úhel a jeho velikost .............................................................................................................. 25
Úhel a jeho velikost .......................................................................................................... 30
Varianta A ........................................................................................................................ 30
Úhel a jeho velikost .......................................................................................................... 31
Varianta B ........................................................................................................................ 31
Úhel a jeho velikost .......................................................................................................... 32
Varianta C ........................................................................................................................ 32
Osová souměrnost .................................................................................................................... 34
Osová souměrnost ............................................................................................................ 37
4
Planimetrie
Varianta A ........................................................................................................................ 37
Osová souměrnost ............................................................................................................ 38
Varianta B ........................................................................................................................ 38
Osová souměrnost ............................................................................................................ 40
Varianta C ........................................................................................................................ 40
Kruh, kružnice .......................................................................................................................... 42
Kruh, kružnice .................................................................................................................. 50
Varianta A ........................................................................................................................ 50
Kruh, kružnice .................................................................................................................. 51
Varianta B ........................................................................................................................ 51
Kruh, kružnice .................................................................................................................. 54
Varianta c ......................................................................................................................... 54
Trojúhelník ............................................................................................................................... 56
Trojúhelník a jeho konstrukce .............................................................................................. 56
Trojúhelník a jeho konstrukce .......................................................................................... 63
Varianta A ........................................................................................................................ 63
Trojúhelník a jeho konstrukce .......................................................................................... 65
Varianta B ........................................................................................................................ 65
Trojúhelník a jeho konstrukce .......................................................................................... 67
Varianta C ........................................................................................................................ 67
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ..................................................................... 69
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ............................................................. 76
Varianta A ........................................................................................................................ 76
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ............................................................. 77
Varianta B ........................................................................................................................ 77
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ............................................................. 79
Varianta C ........................................................................................................................ 79
Planimetrie
5
Lichoběžník .............................................................................................................................. 81
Lichoběžník ...................................................................................................................... 83
Varianta A ........................................................................................................................ 83
Lichoběžník ...................................................................................................................... 84
Varianta B ........................................................................................................................ 84
Lichoběžník ...................................................................................................................... 86
Varianta C ........................................................................................................................ 86
Shodná zobrazení ..................................................................................................................... 88
Shodná zobrazení v rovině ................................................................................................... 88
Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................... 98
Varianta A ........................................................................................................................ 98
Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................. 101
Varianta B ...................................................................................................................... 101
Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................. 105
Varianta C ...................................................................................................................... 105
Shodnost a podobnost útvarů ................................................................................................. 109
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti .................................................... 109
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti ................................................ 112
Varianta A ...................................................................................................................... 112
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti ................................................ 114
Varianta B ...................................................................................................................... 114
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti ................................................ 116
Varianta C ...................................................................................................................... 116
Množiny bodů dané vlastnosti................................................................................................ 118
Množiny bodů dané vlastnosti........................................................................................ 123
Varianta A ...................................................................................................................... 123
Množiny bodů dané vlastnosti........................................................................................ 124
6
Planimetrie
Varianta B ...................................................................................................................... 124
Množiny bodů dané vlastnosti........................................................................................ 126
Varianta C ...................................................................................................................... 126
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy................................................................. 128
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy......................................................... 129
Varianta A ...................................................................................................................... 129
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy......................................................... 131
Varianta B ...................................................................................................................... 131
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy......................................................... 134
Varianta C ...................................................................................................................... 134
Planimetrie
Črtáme, rýsujeme, měříme
Body, úsečky, přímky, polopřímky
Používané symboly v planimetrii





7
8
Planimetrie
Vzájemná poloha přímek v rovině
přímky p, q jsou rovnoběžné ………
přímky a, b jsou různoběžné ………..
Planimetrie
přímky m, n jsou na sebe kolmé ….
.
……. znak kolmosti
9
10
Planimetrie
Body, úsečky, přímky, polopřímky
Varianta A
Sestroj body A, B, C, D, E, z daných bodů sestroj: úsečku AD (AD ), polopřímku EB(→EB),
přímku AC (↔AC )
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Doplň body:
2)
a)
………………….  ↔ EG
b)
…………………  ↔ EG
Vypiš: a) dvojice rovnoběžných přímek, b) dvojice kolmých přímek c) dvojice
různoběžných přímek
11
12
Planimetrie
a) a-b; a-c, b-c b) o-a, o-b, o-c b) a-n, b-n, c-n, a-m, b-m, c-m
3)
Vypište útvary a)
c b)
c
a) →DC, AB b) b, →BC, AD
4) Sestrojte obdélník KLMN, kružnici k(S,r), čtverec ABCD, polopřímku KS, přímku
AM-do jedné konstrukce.
Planimetrie
13
Body, úsečky, přímky, polopřímky
Varianta B
Narýsujte úsečku AB,
|
|,
ď
,
.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Narýsuj úsečku
,
. Sestroj osu této úsečky. Na ose zvol 4 různé body
, které se stanou středy kružnic. Tyto kružnice sestroj tak, aby procházely
bodem A. Co jste zjistili? Jaký bude nejmenší možný poloměr takto zvolených
kružnic?
2) Sestroj přímky
Sestroj dále bod
Bodem Z veď kolmici k přímce p, nazvi ji a
, bod
, bod Z:Z p,Z q.
. Co lze říci o přímkách
a, q? Urči vzdálenost rovnoběžek p, q ( určíme tak, že na jedné z rovnoběžek zvolíme
bod-S, z něj uděláme kolmici na dané rovnoběžky. Kde mi tato kolmice protne druhou
rovnoběžku, dostanu bod-T. Vzdálenost rovnoběžek je rovna |ST|.
14
Planimetrie
3) Sestroj 4 přímky, aby měly a) jeden, b) čtyři c) pět d) šest průsečíků
Řešení:
a)
b)
c)
d)
4) Přímka p,
bude?
, napiš všechny polopřímky určené body A,B,C. kolik jich
Planimetrie
15
Body, úsečky, přímky, polopřímky
Varianta C
Máme kružnici
Na této kružnici zvol tři různé body A, B, C. Body spoj do
trojúhelníku ABC. Narýsuj osu úsečky AB, osu úsečky BC, osu úsečky AC. Co jsi zjistil?
Příklad:
Osy všech úseček budou procházet středem kružnice, do níž jsme trojúhelník vepsali. Jestliže
má totiž kružnice procházet krajními body např. úsečky AB, má od těchto bodů střed kružnice
stejnou vzdálenost a tedy musí tento střed ležet na ose AB. Tak je to i s ostatními dvěma
stranami, tedy průsečík os stran trojúhelníku je zároveň středem kružnice tomuto trojúhelníku
opsané.
Výsledek řešení:Bylo zjištěno, že každá osa prochází středem S dané
kružnice. Tedy S kružnice je průnikem os stran trojúhelníku.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Máme trojúhelník ABC. Kolik různých přímek, polopřímek, lze proložit vrcholy
tohoto trojúhelníku?
2) Sestroj čtverec ABCD, |
. Sestroj m:
Ozn
. Co jsi zjistil?
pr se ky
,
16
Planimetrie
3) M me kru nici
polom r
N kru nici zvol od
cm ve vzd lenosti od
pomoc kru tk sestroj od
Vzniklé ody spoj podle
Vznikl
Do kru tk vezmi
cm proti sm ru hodinov ch ru i ek
d le potom stejn m postupem od odu
od
ecedy Kolik jsi n kru nici dost l celkem od ?
tv r se pokus pojmenov t
4) Jaké geometrické tvary můžeme dostat ze čtyř různých bodů A, B, C, D jejich
nejkratším spojením v tomto pořadí?
Planimetrie
17
Obvody a obsahy, hmotnost
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti
Jednotky délky:
Milimetr, centimetr, decimetr, metr-vedlejší jednotky mají mezi sebou jedno desetinné místo,
znáte již ze ZŠ.
1cm=10mm, 1dm=10cm=100mm, 1m=10dm=100cm=1000mm
1km=1000m
Jednotky obsahu:
Sousední jednotky mají mezi sebou dvě desetinná místa
Jednotky hmotnosti:
Platí tedy:
18
Planimetrie
Pro obdélník a čtverec platí vzorce:
Obdélník o stranách a, b: Obvod
Čtverec o straně a: Obvod
, Obsah
, Obsah
Planimetrie
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti
Varianta A
Obdélník má strany a=18 cm, b= 0,06m. Spočítej jeho obvod a obsah.
Příklad:
a=18 cm, b= 0,06m=6cm
nejdříve uvedeme rozměry ve stejných jednotkách, v našem případě cm.
Výsledek řešení:
S=108
,
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1)
Čtverec o straně a=20 cm. Urči jeho
a
v závorce.
2)
převeď
a)
c)
b)
d)
v jednotkách uvedených
19
20
3)
4)
Planimetrie
převeď na požadované jednotky a sečti:
a)
b)
c)
d)
Anička koupila 20 dkg salámu, 2 mouky po jednom kg, půl kg sádla, 3 másla po 250 g
a 1,3 kg jablek. Kolik vážil její nákup?
Planimetrie
21
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti
Varianta B
Čtvrtina bochníku sýra a 6-ti kilogramové závaží mají stejnou hmotnost jako celý bochník.
Kolik váží bochník?
Příklad:
Závaží vlastně nahrazuje ¾ bochníku. Tedy
Bochník váží 8 kg.
Výsledek řešení: Bochník váží 8 kg.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1)
a)
c) cm
b)
m
dm
d)
c
d
2) Obdélník o stranách a=12cm, b=? má obvod stejný jako čtverec o straně 135 mm. Urči b.
22
Planimetrie
3) Místo otazníku doplň správně jednotky:
?
a)
d)
b)
?
c)
?
?
4) Zahrada má obdélníkový tvar o stranách 20 m a 45 m. V ní je postaven dům čtvercového
základu o straně 8m a garáž o ploše 32
. Urči plochu zeleně.
Planimetrie
23
Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti
Varianta C
Pozemek má tvar pravoúhlého trojúhelníku. Jedna jeho odvěsna je o 2 krát větší než ta druhá.
Obě odvěsny dohromady měří 1200 m. Urči plochu pozemku.
Příklad:
1.odvěsna ………………. x m
2.odvěsna ………………2x m
dohromady ……………. 1200 m
Návratem do zápisu:
1.odvěsna… 400 m
2.odvěsna… 800 m
Plocha parcely je vlastně polovinou obdélníku, který tvoří dané odvěsny, tedy
Parcela má plochu 16 ha.
Výsledek řešení: Parcela má plochu 16 ha.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
24
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) a)
b)
c)
d)
2) Pro strany obdélníku platí, že jedna strana je třikrát delší než druhá a jeho obvod je
656 cm. Určete délky stran a obsah obdélníku.
20172
2
3) V obdélníku je průsečík úhlopříček vzdálen od kratší strany o 6 cm dál než od delší
strany. Obvod obdélníku je 84 cm. Určete obsah obdélníku.
4) Zahrada tvaru obdélníkového má delší stranu čtyřnásobkem délky kratší strany. Délka
plotu kolem zahrady je 315 m. Určete výměru zahrady.
Planimetrie
Úhel
Úhel a jeho velikost
úhel
obr.2
obr.1
ß
V
V
K
B
α
L
A
Máme-li dvě polopřímky se společným počátkem
rozdělí rovinu na dvě části, které se nazývají úhly
,
…ramena
… vrchol úhlu
, tak ty nám
25
26
Planimetrie
ody které n le
ody které nen le
Klasifikace úhlů
AVB (vnitřní body úhlu AVB) …………N, A, V, B, M, R, P
AVB (vnější body úhlu AVB) ………O, Q
1. Nekonvexní (obr. 2) – spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů
úhlu nemusí obsahovat vždy vnitřní body úhlu.
2. Konvexní - spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů obsahuje vždy
vnitřní body úhlu.
a) nulové
b) duté (ostré, pravé, tupé)
c) přímé
d) plné
Velikost úhlů
Úhly měříme ve stupních ˚ , minutách , vteřinách
1˚
Máme-li 2 nebo více úhlů sečíst, sčítáme stupně se stupni, minuty s minutami, vteřiny
s vteřinami. Jestliže se dostaneme u minut nebo vteřin do čísla
převedeme na vyšší
jednotku.
Např.:
Při odčítání, pokud odčítáme víc minut než je v menšenci, musíme si
poté odčítat.
Např.:
převést na minuty a
Planimetrie
27
úhel nekonvexní: 8
úhel konvexní: nulový = 0˚, ostrý = 0˚
přímý =
, pravý
, tupý
,
.
Máme-li dány dvě různoběžky, potom dostáváme dvojice úhlů:
ß
δ
γ
Úhly vedlejší α-ß ;ß-γ, γ-δ, δ-α …mají společní jedno rameno, druhá ramena jsou opačné
polopřímky. Součet je roven 8 °.
Úhly vrcholové α-γ,ß-δ … mají společný vrchol a ramena jsou navzájem opačnými
polopřímkami. Mají stejnou velikost, jsou tedy shodné.
Jsou-li přímky a, b rovnoběžné a protíná je nějaká různoběžka p, potom existují dvojice úhlů:
α
γ
a
ß
b
δ
p
a b, p
úhly souhlasné … α-ß … shodné, leží v jedné polorovině sw hraniční přímkou p na „stejných
stranách“ rovnoběžek
úhly střídavé …γ-δ … shodné, leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p, je to
vedlejší úhel k úhlu souhlasnému
28
Planimetrie
Osa úhlu:
V
L
P
K
o
Dělí úhel na dva stejné úhly.
Postup konstrukce osy úhlu (viz. obr).:
1. sestrojíme dostatečně velký oblouk úhlu (z důvodu přesnosti),
průsečíky oblouku s rameny jsme nazvali K, L
2. Kružítko zabodneme do bodu K a narýsujeme oblouk
3. Kružítko zabodneme do bodu L a narýsujeme oblouk o stejném poloměru jako
Dostali jsme oblouk
4. Průsečík oblouků
úhlu o.
,
(v našem případě bod P) nám tvoří spolu s vrcholem úhlu osu
Planimetrie
29
Přenášení úhlů
Máme-li nějaký úhel (třeba úhel KLM, nebo nějaký vnitřní úhel -ku) přenést, musíme
postupovat následovně (viz.obr.):
1. Narýsujeme polopřímku, na niž chceme úhel přenést (
) – bude jedním
ramenem úhlu
2. Úhel, který chceme přenést opatříme dostatečně velkým obloukem (pro přesnost
rýsování)
3. Oblouk o stejném poloměru (r) narýsujeme na naši polopřímku, střed oblouku je
počáteční bod polopřímky (V).
4. Do kružítka si vezmeme délku oblouku úhlu, který přenášíme (x) a tuto délku
naneseme na oblouk na polopřímce (uděláme oblouk se středem B a poloměrem x).
5. Dostaneme bod (A), který po spojení s počátkem polopřímky dává druhé rameno
hledaného úhlu. Přenesený úhel:
.
Dvojnásobek (trojnásobek …) úhlu – naneseme na nový oblouk 2 ( …) délky oblouku
původního úhlu.
Máme-li graficky sestrojit polovinu úhlu - děláme osu úhlu, čtvrtinu úhlu- děláme osu
polovičního úhlu…
délka oblouku tohoto úhlu je rovna jeho poloměru (tedy x r).
K
x
L
r
M
A
x
r
V
B
30
Planimetrie
Úhel a jeho velikost
Varianta A
a změřte jeho vnitřní úhly α,ß,γ.
Sestrojte
Příklad:
Velikost úhlů měříme úhloměrem. Střed úhloměru dáme na vrchol A, úhloměr položíme na
stranu AB. Na úhloměru najdeme stupnici, která začíná nulou (O°)na rameni →AB. Na této
stupnici vyčteme velikost úhlu α. Čteme tam, kde druké rameno protíná stupnici. Obdobně
úhel ß: střed úhloměru dáme na vrchol B, úhloměr položíme na polopřímku BA, která je
ramenem zjišťovaného . Na úhloměru na tomto rameni najdeme stupnici, která začíná 0°a na
této stupnici vyčteme tam, kde je druhé rameno tohoto úhlu, jeho velikost. Stejný postup
opakujeme i s úhlem γ.
Výsledek řešení: α= 56 ;
ß= 36
γ= 88
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
. Přeneste jeho vnitřní úhly a změřte
1) Sestrojte
jak úhly původní, tak přenesené.
2) 6˚23=…
328=…˚…
18˚4=…
6524=…˚…
3) Narýsujte α=63˚, ß=204˚
4) Narýsujte
, sestrojte jeho osu
Planimetrie
31
Úhel a jeho velikost
Varianta B
α=82˚16, ß=27˚55. Početně: a) α+ß
b) α-ß
c) α-2ß
Příklad:
α+ß=82˚16+27˚55=109˚71=110˚11 po součtu bylo minut více jak 60, tedy se daly převést na
˚ a na zbylé .
α-ß= 82˚16-27˚55=81˚76-27˚55
při odčítání bylo potřeba si “půjčit“ 1˚a převést
2
ho na , abychom mohli minuty odečíst.
α-2ß=82˚16-2 27˚55=82˚16-
=81˚76-
2 2 opět jsme
abychom mohli odčítat. Při dvojnásobku ß jsme zase
Výsledek řešení:a) 110˚11
b)
2
museli převést na ,
převedli na
a
.
c) 2 2
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
b)82
1) A)2 37˚22-15˚50
2)
-
2
2 2-(
2- 2
)
ABC: a=13cm, b=8cm, c=9cm. Graficky sečti vnitřní úhly , tedy α+ß+γ. Výsledek
změř.
3)
é
é
é
é
4) Obdélník ABCD: a=9cm, b= 6cm, S= průsečík úhlpříček. Změř velikost ASB a
n pi k n mu hel vrcholov
hel vedlej
32
Planimetrie
Úhel a jeho velikost
Varianta C
a) 8˚2539
2
2 =
b) 180˚242 -19˚2953
Příklad:
a) 8˚2539
2
2 =
c) 180˚242 -19˚2953 = musíme si „půjčit“ jak jeden stupe , abychom mohli stupně
odčítat, tak také jednu minutu, aby bylo v menšenci více vteřin než
v menšiteli
2 -19˚2953
a) Výsledek řešení:a)
2
b)
.
2
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1)
α
ß
p
δ
q
γ
ß=127˚46, α= …, γ= …, δ= …
2) Sestroj bez úhloměru α=22˚30, ß=82˚30, γ=202˚30
é
Planimetrie
33
3) Do kružnice o poloměru 4,3cm narýsuj libovolně poloměr. Počínaje tímto
poloměrem nanášej další poloměry proti směru hodinových ručiček po každých
36˚. Poloměry budou mít názvy SA, SB, SC, SD,… Pokus se popsat útvar, který
dostaneš po spojení bodů A, B, C, D, … v tomto pořadí.
4) Graficky rozděl přímý úhel na 8 shodných úhlů.
34
Planimetrie
Osová souměrnost
Jestliže budeme chtít nakreslit obrázek tak, aby byl na obou stranách stejný, souměrný
(motýla, broučka – viz.obrázek ), přeložíme papír, namalujeme jenom půlku obrázku po
překlad papíru a na druhou půlku obrázek otiskneme.
Případně si namalujeme nebo narýsujeme opět jenom půlku obrázku po přehyb, papír
přehneme a špendlíkem propíchneme důležité body, aby byly ve stejné vzdálenosti od
přehybu a ty potom spojíme stejným způsobem jako na půlce první a máme i na druhé půlce
obrázek stejný – viz.domeček.
Planimetrie
35
Na obou obrázcích je přehyb papíru narýsován čerchovanou čarou, které říkáme osa obrázku,
osa útvaru, osa souměrnosti. Těmto obrázkům, útvarům, říkáme útvary osově souměrné
( brouček je osově souměrný, domeček je osově souměrný, …). Útvary osově souměrné se
dají rozdělit přímkou – osou – na dvě shodné části, které když překlopíme podle této osy, tak
se překryjí.
Některé útvary mají jednu některé i více os souměrnosti: písmeno V = 1 osa souměrnosti,
obdélník = 2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, pravidelný šestiúhelník = 6 os
souměrností – viz. následující obrázek, kruh = nekonečně mnoho os souměrností.… .
Ne vždy je možné papír přehýbat, ne vždy rýsujeme nebo malujeme na papír. K sestrojení
osově souměrného obrázku, bodu, využíváme tzv. osové souměrnosti, kdy postupujeme
následujícím způsobem.
Chceme sestrojit bod osově souměrný podle osy o s bodem X, tedy bod Y:
1. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o
2. Průsečík této kolmice s osou = P
3. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r=|XP| a přenesu tento poloměr (tuto
vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX….“přehodím bod X přes osu na
druhou stranu“
4. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).
36
Planimetrie
Zapisujeme O(o):X Y a čteme : v osové souměrnosti O s osou souměrnosti o
sestrojíme bod X na bod Y.
Samodružný bod – je bod, který se zobrazí sám na sebe. V osové souměrnosti jsou to ty
body, které leží na ose souměrnosti.
Planimetrie
37
Osová souměrnost
Varianta A
Sestroj libovolný rovnostranný trojúhelník a sestroj jeho osy souměrnosti. Urči jejich počet.
Příklad:
Osa souměrnosti je přímka spojující vrchol se středem protější strany (jedná se zároveň o
kolmici z vrcholu na protější stranu). Pouze rovnostranný trojúhelník je trojúhelník se třemi
osami souměrnosti. Rovnoramenný trojúhelník má jednu osu souměrnosti a různostranný
trojúhelník osu souměrnosti nemá.
Výsledek řešení: Rovnostranný trojúhelník má 3 osy souměrnosti
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
1) Vyber velké tiskací písmeno z abecedy, které je osově souměrné, narýsuj ho a
zvýrazni jeho osu, případně osy.
2) Sestroj kružnici
(Výsl.:Např.A, D, M, V= 1 osa, X, O=2osy)
a urči její počet os souměrností, narýsuj některé
3) Sestroj libovolný obdélník, urči jeho počet os a dané osy sestroj
4) Sestroj čtverec o straně a= 4 cm, urči jeho počet os a dané osy sestroj
38
Planimetrie
Osová souměrnost
Varianta B
Narýsuj jakýkoliv obrázek osově souměrný a zvýrazni červeně jeho osu o
Příklad:
Postup:
Nejdříve si sestrojíme osu souměrnosti. Každý bod obrázku hned sestrojíme v osové
souměrnosti podle této zvolené osy. Kružnici sestrojím tak, že sestrojím osově souměrný střed
kružnice, poloměry těchto kružnic jsou shodné, potom tedy už jen sestrojím daný obraz
kružnice. I případné barvy musí osově odpovídat.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení: Body, které leží na ose, se zobrazí samy na sebe,
ostatní body sestrojíme podle uváděného postupu v úvodu kapitoly..
Jednotlivé body spolu na jednotlivých stranách správně hned
spojujeme. Na závěr vybarvíme.
Planimetrie
1) Sestroj kružnici
, a přímku, která nemá s kružnicí žádný společný bod. Danou
kružnici sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici
2) Sestroj kružnici
.
, a přímku, která má s kružnicí 1 společný bod. Danou kružnici
sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici
3) Sestroj kružnici
39
.
, a přímku, která má s kružnicí 2 společné body. Danou kružnici
sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici
4) Sestroj úsečku AB a její osu
.
40
Planimetrie
Osová souměrnost
Varianta C
Sestroj úsečku AB a mimo ni různoběžně osu o. Danou úsečku sestroj v osové souměrnosti
s osou o. Pojmenuj ji A´B´
Příklad:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
Planimetrie
41
1) Sestroj úsečku MN a přímku o, která je různoběžná s úsečkou a má s ní 1 společný
bod. V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz úsečky AB a nazvi ji A´B´.Kolik
bude samodruhých bodů?
2) Na přímce o zvol body A,B. Tyto body jsou krajními body úsečky AB. Tuto úsečku
zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na úsečku A´B´.
3) Čtverec KLMN zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti
4) Pokus se napsat slovo osově souměrné
OTO-svislá osa )
na K´L´M´N´.
(OKO,DEKO-vodorovná osa, AVA,
42
Planimetrie
Kruh, kružnice
Kruh je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kruhu) vzdálenost
menší nebo rovnu číslu r (poloměru kruhu). 2r = d = průměr kruhu.
.
Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kružnice)
vzdálenost rovnu číslu r (poloměru kružnice). 2r = d = průměr kružnice.
Planimetrie
43
44
Planimetrie
Vzájemná poloha kružnic:
SS. = úsečka spojující středy dvou kružnic = středná
é
Planimetrie
…vnější dotyk
45
46
Planimetrie
Vzájemná poloha kružnice a přímky
a)
b)
c)
é
tětiva = úsečka, která spojuje dva body na kružnici. Nejdelší možnou tětivou je průměr
kružnice, tedy tětiva procházející středem kružnice.
Délka kružnice:
Obvod kruhu je délka kružnice, která ohraničuje kruh
Obsah kruhu:
Planimetrie
47
…Ludolfovo číslo. Je to konstanta, která vyjadřuje poměr délky kružnice k délce
jejího průměru.
tedy přibližná hodnota 3,14
Kruhový oblouk
Délka kruhového oblouku
48
Planimetrie
Kruhová výseč:
Obsah kruhové výseče:
Kruhová úseč:
Planimetrie
Mezikruží:
Obsah mezikruží:
Výseč mezikruží:
49
50
Planimetrie
Kruh, kružnice
Varianta A
Kruh K(S. r= 2,8 cm), určete obvod a obsah kruhu.
Příklad:
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestrojte kružnici k (S, r=3 cm), sestrojte dva průměry k této kružnice AB, CD.
V krajních bodech průměrů sestrojte tečny k dané kružnici. Průsečíky tečen popište
P,Q,R,S. Co vzniklo?
tverec PQRS
2) Je dána přímka p a bod S vzdálený od přímky p 3 cm. Jaký průměr musí mít kružnice
se středem v bodě S, aby daná p byla a) vnější přímkou, b) tečnou, c) sečnou
kružnice?
3) Dán kruh K(S, r=3,4 cm). Jaký je obsah čtvrtkruhu?
4) Dvě kružnice mají průměr 25 cm a 35 cm. Jaký je rozdíl délek těchto kružnic?
Planimetrie
51
Kruh, kružnice
Varianta B
Jaká je plocha kruhové podložky (zelená barva) s poloměrem 8,4 cm, z níž byl vystřižen kruh
s průměrem5,4 cm? Viz. obr.
Příklad:
Plocha podložky spočítáme rozdílem ploch většího a menšího kruhu.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
52
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Strana čtverce je 16 cm. Ze dvou rohů je vykrojen čtvrtkruh. Určete zbylou plochu. S=
střed strany čtverce.
2) Obsah kruhu je 3560
, jaký je jeho průměr.
3) Kolikrát se zvětší a)obvod b) obsah kruhu, zvětší-li se jeho poloměr 14 krát?
4) Spočítejte obvod a plochu červeného obrazce
Planimetrie
53
54
Planimetrie
Kruh, kružnice
Varianta c
Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaký
je obsah kruhové výseče, kterou vytíná?
Příklad:
… délka tětivy
cos
Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaká
je výška oblouku, který vytíná?
Výsledek řešení:
Tětiva =
,
Planimetrie
55
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
1)
?
2)
é
3) Jaký je obsah mezikruží kružnice opsané a vepsané pravidelnému šestiúhelníku o
straně 10 cm.
4) Kruhový záhon o průměru 12 m se má rozdělit soustřednou kružnicí na kruh a
mezikruží o stejném obsahu.. Jaký je poloměr této kružnice?
é
?
Planimetrie
56
Trojúhelník
Trojúhelník a jeho konstrukce
Mějme tři různoběžné přímky, které mají tři průsečíky. Trojúhelník = rovinný útvar
ohraničený třemi úsečkami, z těchto průsečíků vzniklých – viz. obr.1 -
.
Obr.1.:
….. vrcholy
….. strany
( červeně –vnitřní úhly)
Vedlejší úhly k vnitřním úhlům = vnější úhly
(modře)
Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu dvou vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů.
Součet vnitřních úhlů = 180°
Trojúhelníková nerovnost – součet dvou stran musí být větší než strana třetí.
Planimetrie
57
Trojúhelník:
a) Různostranný
b) Rovnoramenný – má dvě stejné strany (ramena),třetí se nazývá základna
c) Rovnostranný – má všechny strany stejné, těžnice jsou zároveň výškami, těžiště je
zároveň průsečíkem výšek a zároveň středem kružnice jak opsané, tak vepsané.
Trojúhelník:
a) ostroúhlý –má všechny úhly ostré
b) pravoúhlý – má 1 úhel pravý, dva úhly ostré
c) tupoúhlý – má 1 úhel tupý, dva ostré
Planimetrie
58
Střední příčky
= úsečky, které spoují středy stran trojúhelníku (viz.obr.2)
= je rovnoběžná se stranou, kterou neprochází a její velikost je rovna polovině
této stany.
Obr.2.:
Těžnice
= úsečka spojující vrchol se středem protější strany.
Průsečík těžnic = těžiště – značíme T (obr.3).
Těžiště dělí těžnice na dvě části v poměru
kdy 1 díl je u strany
Obr.3.:
Výšky
= kolmice spuštěné z vrcholu na protější stranu.
Průsečík přímek, na nichž výšky leží značíme V
Poloha V – ostroúhlý
-
pravoúhlý
-
tupoúhlý
= uvnitř
(obr4.)
= ve vrcholu pravého úhlu
= vně
(obr.6)
(obr.5)
a 2 díly u jeho vrcholu
Planimetrie
-
obr.4.:
obr.5.:
59
60
Planimetrie
obr.6.:
Kružnice trojúhelníku opsaná
Prochází všemi vrcholy . Její střed=O je průsečíkem os stran daného trojúhelníku (obr. 7).
Její poloměr
. K sestrojení středu kružnice opsané stačí pouze dvě
osy.
Poloha středu kružnice trojúhelníku opsané – uvnitř
straně (přeponě)
= pravoúhlý
, vně
=ostroúhlý
= tupoúhlý
, na nejdelší
Planimetrie
Obr. 7.:
Obr. 8.
61
62
Planimetrie
Obr. 9.
Kružnice
vepsaná (obr.9) .
Dotýká se všech tří stran trojúhelníku. Její střed je průsečík os vnitřních úhlů . K sestrojení
středu stačí sestrojit pouze dvě osy. Poloměr kružnice vepsané
= nejkratší vzdálenost
nalezeného středu ke straně trojúhelníku (uděláme ze středu kolmice na jednotlivé strany,
průsečíky těchto kolmic se stranami nám dají body dotyku kružnice s
Obr.10. :
.
Planimetrie
63
Trojúhelník a jeho konstrukce
Varianta A
Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice
trojúhelníku opsaná.
Příklad:
Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice
trojúhelníku opsaná.
Vzhledem k tomu, že opsaná kružnice prochází všemi vrcholy trojúhelníku, vždy na kružnici
zvolíme tři body, které nám po spojení dají trojúhelník.
Výsledek řešení: Řešením jsou
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
64
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Sestroj libovolný trojúhelník ABC. Narýsuj trojúhelník PQR takový, aby AB, AC, BC
byly střední příčky
.
Sestroj a změř těžnice.
2) Sestroj
t
cm t
cm t
cm
3) Sestroj
Sestroj a změř výšky
4) Sestroj
Sestroj mu kružnici opsanou a
změř poloměr.
Planimetrie
65
Trojúhelník a jeho konstrukce
Varianta B
Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato
kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná.
Příklad:
Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato
kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná.
Vepsaná kružnice má s trojúhelníkem body dotyku na stranách trojúhelníku, a to tak, že strana
je zároveň kolmá k poloměru kružnice k tomuto bodu sestrojenému. Tedy na kružnici zvolíme
3 body (body dotyku) – např. X, Y, Z, body spojíme se středem kružnice a uděláme v nich
kolmici na vzniklý poloměr. Průsečíky těchto kolmic = vrcholy
Úlohu ještě jednou opakujeme pro další trojúhelník.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
.
66
Planimetrie
Příklady k procvičení:
Tomuto trojúhelníku sestroj
1) Sestroj
těžnice
změř je a poté změř
, T = těžiště, kontrolu měření ověř
výpočtem z naměřených těžnic.
2) Sestroj rovnostranný trojúhelník,
Změř výšky, těžnice, poloměr kružnice
opsané r, poloměr kružnice vepsané .
Změř největší úhel. O jaký jde ?
3) Sestroj
4) Výška
Přičemž
. O jaký trojúhelník se jedná?
Planimetrie
67
Trojúhelník a jeho konstrukce
Varianta C
Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku?
Příklad:
Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku?
Vzhledem k tomu, že v rovnostranném trojúhelníku je osa strany zároveň osou úhlu, zároveň
na ní leží i výška i těžnice , jsou body dotyku
-
patami výšek
-
středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic
-
středy stran a tedy krajními body středních příček
-
leží na osách strany, úhlu
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
-
patami výšek
-
středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic
-
středy stran a tedy krajními body středních příček
-
leží na osách strany, úhlu
68
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) V
P itom vnit n
hel je dv kr t v t ne vnit n
2) Poloměr kružnice vepsané rovnostrannému
hel
Kolik m
?
je 4,9 cm. Jaká je výška a poloměr
kružnice opsané tohoto ?
3) Vnitřní úhly
4) Poloměr kružnice opsané rovnostrannému
těžnici
?
je 6,8 cm. Jak dlouhou mé
Planimetrie
69
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku
Čtyřúhelník:
A,B,C,D – vrcholy
a,b,c,d – strany
AC = e ; BD = f - úhlopříčky
- vnitřní úhly
A) obecný:
B) deltoid:
…odvození na konci kapitoly
C) lichoběžník – viz. kapitola Lichoběžník
D) rovnoběžník =čtyřúhelníky, které mají protější strany shodné a rovnoběžné.
- součet velikostí vnitřních úhlů je 360 , sousední úhly tvoří 180 .
- úhlopříčky se vzájemně půlí.
- průsečík úhlopříček je středem souměrnosti rovnoběžníku
Rovnoběžníky :
1.Čtverec = 4 strany shodné a na sebe kolmé
- Vnitřní úhly jsou shodné=90
- Lze mu vepsat (r=
i opsat
kružnici, středy mají tyto kružnice
v průsečíku úhlopříček.
- Úhlopříčky jsou shodné, jsou na sebe kolmé, půlí vnitřní úhel
70
Planimetrie
2.Obdélník = vedlejší strany na sebe kolmé, různě dlouhé.
Úhlopříčky jsou shodné, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel
Lze opsat kružnici: r=
Planimetrie
3.Kosočtverec =strany shodné, nejsou na sebe kolmé.
Úhlopříčky jsou na sebe kolmé, nejsou shodné, půlí vnitřní úhel
Lze vepsat kružnici, její střed =průsečík úhlopříček,
, v= výška kosočtverce
71
Planimetrie
72
4.Kosodélník =vedlejší strany různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé
Úhlopříčky různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel
Nelze vepsat ani opsat kružnici
-
Planimetrie
73
Odvození obsahu kosodélníku pomocí obsahu obdélníku:
Obsah kosodélníku ABCD převedeme na obsah obdélníku XYCD tak,že „uřezaný“
trojúhelník AXD přesuneme za stranu BC a tím dostaneme z kosodélníku ABCD obdélník
XYCD, jejichž obsahy jsou shodné, obsah obdélníku už známe:
v . Podobný by byl postup při odvozování
S
obsahu pomocí strany b, tedy S
v .
Odvození obsahu trojúhelníku pomocí obsahu kosodélníku:
Je vidět, že
v
S
S
v
S
c v
74
Planimetrie
Na tomto obrázku jsou sestrojeny 4 trojúhelníky- jejich obsahy jsou stejné, protože mají
společnou stranu AB a shodnou výšku na stranu AB ( ).
Odvození obsahu čtverce pomocí délek úhlopříček (platí i pro odvození obsahu
deltoidu, kosočtverce)
(
)
Planimetrie
S
75
e f
Pro obsah kosočtverce pomocí úhlopříček platí stejné odvození, tedy stejný vzorec:
S
Máme-li počítat obsah obecného čtyřúhelníku nebo jiného obrazce, daný obrazec si rozdělíme
na útvary (například dva trojúhelníky), jejichž obsahy umíme spočítat známými vzorci.
76
Planimetrie
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku
Varianta A
Určete obsah deltoidu s úhlopříčkami
.
Příklad:
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) V kosodélníku je
Urči ostatní vnitřní úhly.
2) V kosočtverci je velikost jednoho vnitřního úhlu rovna 38°16´.Urči druhý úhel a jaký
úhel svírají úhlopříčky daného kosočtverce.
é
3) V obdélníku je strana a třikrát větší než strana b. Obvod obdélníku je 60 cm. Urči jeho
obsah.
4) Obdélník má obsah 140
, strana a má délku 20 cm. Urči jeho obvod.
5) a)Strana kosočtverce je 8 cm. Jeho výška je 5 cm. Urči jeho obvod a obsah.
b) Strana kosodélníku
obvod a obsah.
6) Urči obsah
. Jeho výška je
. Urči jeho
Planimetrie
77
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku
Varianta B
Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li a=5cm, e= 8cm.
Nejdříve sestrojíme
podle věty sss, potom využijeme rovnoběžnost protějších stran.
Příklad:
1.Rozbor:
2. Popis konstrukce:
Výsledek řešení: ve zvolené polorovině 1 řešení
78
Planimetrie
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li délka úhlopříček e=7 cm, f= 4 cm.
2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno
é
3) Sestroj kosodélník ADCD, je-li dáno
é
4) Sestroj kosodélník KLMN, je-li dáno
é
.
Planimetrie
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku
Varianta C
Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno
Příklad:
1.Rozbor:
2. Popis konstrukce
é
3. Závěr:
Ve zvolené polorovině 2 řešení, protože výška kosodélníku je menší než strana b, tedy
kružnice k bude mít s rovnoběžkou p dva společné body.
Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 2 řešení
79
80
Planimetrie
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno
é
2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno
é
3) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno
é
4) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno
Planimetrie
Lichoběžník
Lichoběžník je čtyřúhelník, který má dvě strany rovnoběžné (základny) a dvě strany
různoběžné (ramena). Vzdálenost mezi základnami je výškou lichoběžníku.
A,B,C,D – vrcholy
a,b,c,d – strany
AB, CD – základny
BC, AD – ramena
e = AC, f = BD – úhlopříčky
v – výška
Pravoúhlý lichoběžník - má 1 rameno kolmé na základny.
81
82
Planimetrie
Rovnoramenný lichoběžník – má shodná ramena
lze mu opsat kružnici, jejíž
střed je průsečíkem os stran a poloměrem je vzdálenost tohoto středu od vrcholů. Tento
lichoběžník má osu souměrnosti, která je zároveň osami základen. Tato osa dělí
rovnoramenný lichoběžník na dva pravoúhlé shodné lichoběžníky. Platí
(tedy
úhel, který svírají ramena s jednotlivými základnami, jsou shodné.
Obvod lichoběžníku:
o
Obsah lichoběžníku:
S
c
d
Na obrázku je ukázka 4 lichoběžníků se stejným obsahem. Mají shodnou základnu a, stejnou
výšku v a stejně velkou základnu c
Planimetrie
83
Lichoběžník
Varianta A
Jaký je obsah lichoběžníku se základnami a=8cm, c=6cm a výškou v=11cm?
Příklad:
c
S
v
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Urči obvod rovnoramenného lichoběžníku se základnami 13 cm a 0,4 dm a ramenem
dlouhým 8cm.
2) Urči obvod lichoběžníku, jehož strany mají rozměr a=20cm, b=11cm, c=4cm, d=8cm.
3) Spočítej obvod a obsah znázorněného pravoúhlého lichoběžníku:
4) Vypočítej obsah lichoběžníku, je-li
84
Planimetrie
Lichoběžník
Varianta B
Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno
Příklad:
1. Rozbor:
2. Popis konstrukce:
1)
2)
°
3)
4)
5)
6)
3. Závěr: Ve zvolené polorovině 1 řešení
Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 1 řešení
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno
,
é
2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD:
é
.
3) Sestroj pravoúhlý lichoběžník, je-li dáno
é
4) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno
é
85
86
Planimetrie
Lichoběžník
Varianta C
Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno a=11cm, b=7cm, c=3cm, d=6cm.
Příklad:
1. Rozbor:
Je-li zadán lichoběžník 4 stranami, rozdělíme ho rovnoběžkou s ramenem BC tak, aby vznikl
rovnoběžník (XBCD) a trojúhelník (AXD). Tedy zvolíme na straně AB bod X ve vzdálenosti
od bodu B rovné velikosti strany c. Nejdříve sestrojíme AXD podle sss a na rovnoběžných
základnách dorýsujeme ve vzdálenosti délky c body B a C.
(samozřejmě je možné „posouvat“ rameno AD rovnoběžně do bodu C).
2.Popis konstrukce:
1)
2)
3)
5)
6)
7)
8)
9)
3.Závěr: Ve zvolené polorovině má úloha 1 řešení. Pokud by nebyla splněna
trojúhelníková nerovnost v AXD, úloha by neměla řešení.
Planimetrie
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno
, v=4cm.
é
2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno
é
é
é
é
3) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno
,
é
4) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno
,
87
88
Planimetrie
Shodná zobrazení
Shodná zobrazení v rovině
Útvary v rovině, které bychom mohli přemístit tak, že by se kryly, jsou shodné (např. úsečky
stejných velikostí, kružnice stejného poloměru, čtverce se shodnou stranou, … ).
O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět:
1. sss – jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.
2. sus – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou
shodné.
3. usu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně
přilehlých, jsou shodné.
4. Ssu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší
z nich, jsou shodné.
Shodná zobrazení (= zobrazení, které zachová shodnost útvarů) = osová souměrnost, středová
souměrnost, posunutí, otočení.
Samodružný bod = bod, který se zobrazí sám na sebe.
Útvar, který zobrazujeme, se nazývá vzor, útvar, který vzniká je obraz.
Přímá shodnost = vzor lze pouze posunutím, otočením překrýt s obrazem.
přímá shodnost
přímá shodnost
Planimetrie
Nepřímá shodnost = aby se obraz se vzorem překryl, musíme jej zrcadlově převrátit
nepřímá shodnost
89
90
Planimetrie
Osová souměrnost - O(o)
Je dána osou souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz).
Samodružných bodů je nekonečně mnoho – osa osové souměrnosti (body na ose se zobrazí
samy na sebe)
Nepřímá shodnost
Obraz bodu X:
:
5. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o
6. Průsečík této kolmice s osou = P
7. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r=|XP| a přenesu tento poloměr (tuto
vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX….“přehodím bod X přes osu na
druhou stranu“
8. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).
Planimetrie
91
Některé útvary mají jednu nebo více os souměrnosti: úsečka = 1 osa souměrnosti, obdélník =
2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, kruh = nekonečně mnoho os souměrnosti…,
takovým útvarům říkáme osově souměrné
Jestliže máme v osové souměrnosti zobrazovat obrazce, zobrazujeme jejich jednotlivé
vrcholy = body (výše uvedeným způsobem) a potom spojíme. Je dobré body okamžitě
popisovat a zároveň dodržovat jejich pořadí při popisu .
např. zápisem
rozumíme :“ v osové souměrnosti O s osou
souměrnosti p zobraz trojúhelník ABC na trojúhelník KLM“, přičemž bod A se
zobrazí na K, bod B na L, bod C na M.
92
Planimetrie
v(A,p)=v(K,p) , v(B,p)=v(L,p), v(C,p)=v(M,p)
(body vzor-obraz mají stejnou vzdálenost od osy p).
Planimetrie
93
Středová souměrnost - S(S)
Je dána středem souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz).
Má 1 samodružný bod = střed souměrnosti.
Nepřímá shodnost
Obraz bodu X:
:
1. Bod X spojím se středem souměrnosti
2. Kružítko zabodnu do bodu S, nastavím poloměr r=|XS| a nanesu tento poloměr
(tuto vzdálenost od středu souměrnosti) na polopřímku opačnou k
polopřímce SX….“přehodím bod X přes střed souměrnosti na druhou stranu“
3. Ve stejné vzdálenosti od středu souměrnosti o jako je bod X (vzor) dostávám bod
Y (obraz).
94
Planimetrie
Útvary, které mají střed souměrnosti se nazývají středově souměrné útvary. Jsou jimi např.
úsečka (S=střed úsečky), obdélník (S=průsečík úhlopříček), kružnice (S= střed kružnice) …
Př.
BS
,
Planimetrie
Posunutí - P(
) neboli translace - T(
95
)
( bod A je počátečním bodem orientované úsečky a bod B jejím bodem koncovým)
Posunutí je tedy dáno orientovanou úsečkou, tedy úsečkou, která má směr a velikost nebo je
dáno dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz).
Nemá bod samodružný.
Přímá shodnost.
96
Planimetrie
Obraz bodu X:
Rotace (otáčení)
Je dáno středem otáčení (tedy bodem, kolem něhož se budou útvary otáčet), velikostí otáčení
(tedy velikostí úhlu, o jaký objekt otočíme)a jeho orientací (+nebo -) nebo dvojicí
odpovídajících si bodů (vzor-obraz) a středem otáčení.
Rotace má 1 samodružný bod – střed rotace
Přímá shodnost.
Planimetrie
97
Obraz bodu X:
1. Bod X (vzor) spojíme se středem rotace. Tím dostáváme rameno úhlu rotace.
2. Na rameno naneseme úhel rotace – (+= proti směru hodinových ručiček, - =ve směru
hodinových ručiček)
3. Na nové rameno naneseme obraz Y ve stejné vzdálenosti od středu rotace, jako je vzor
X ( nejlépe kružítkem)
98
Planimetrie
Shodná zobrazení v rovině
Varianta A
V osové souměrnosti
, vzdálenost S od osy je a) větší než r b) rovna r c)
menší než r, d) nulová.
Kolik bude samodružných bodů?
Příklad: a)
b)
c)
d)
Stačil zobrazit v osové souměrnosti střed kružnice, protože jde o shodné zobrazení, tedy
poloměr zůstává stejný.
Výsledek řešení:samodružných bodů a) 0, b) 1, c) 2, d) nekonečně
mnoho, kružnice se zobrazila sama na sebe = identita
Planimetrie
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Narýsuj libovolnou úsečku AB.
Řeš.:
2) S P k S r
l
r P
k
.
99
100
Planimetrie
3) Libovolný čtverec ABCD.
4)
.
. Popiš samodruhé body.
Planimetrie
Shodná zobrazení v rovině
Varianta B
Sestroj libovolný trojúhelník ABC a uvnitř něho bod M.
Příklad:
Výsledek řešení:
101
102
Planimetrie
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestroj rovnostranný
.
Planimetrie
2) Sestroj libovolný pravidelný šestiúhelník a narýsuj jeho osy souměrnosti a středy
souměrnosti. Kolik jich je?
3) Sestroj libovolný lichoběžník KLMN ,
103
104
4)
Planimetrie
, kde ABCD je čtverec o straně 4 cm
Planimetrie
105
Shodná zobrazení v rovině
Varianta C
Rovnostranný
Příklad:
Je nutné hned popisovat zobrazené body. Nejdříve se provede rotace
obraz
a dostáváme jeho
, poté se tento obraz stává vzorem pro středovou souměrnost podle bodu T a
dostáváme obraz:
106
Planimetrie
Výsledek řešení
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Pravidelný sedmiúhelník ABCDEF.
2) Libovolný nekonvexní pětiúhelník KLMNO.
107
108
Planimetrie
3) Obdélník ABCD:
4) Libovolný pětiúhelník ABCDE:
´
Planimetrie
109
Shodnost a podobnost útvarů
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti
O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět:
5. sss – jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.
6. sus – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou
shodné.
7. usu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně
přilehlých, jsou shodné.
8. Ssu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší
z nich, jsou shodné.
Podobnost
Dva rovinné útvary jsou podobné, jestliže jsou si rovny poměry délek všech párů sobě
odpovídajících si úseček. Tento poměr podobnosti = k.
Jestliže
(shodnost je zvláštní případ podobnosti)
Podobnost trojúhelníků:
sss: Dva
jsou si podobné, jsou-li rovny poměry délek každých dvou odpovídajících si
podle věty sss.
stran.
uu: Dva
jsou si podobné, shodují-li se ve dvou vnitřních úhlech (stačí uvádět ve dvou,
protože i třetí odpovídá shodnosti, je doplňkem do 180°).
Sus: Dva
podle věty uu.
jsou si podobné, shodují-li se v poměru délek dvou odpovídajících si stran a
v úhlu těmito stranami sevřeným.
podle věty sus.
Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou si podobné, shodují-li se v úhlu při hlavním vrcholu
(sus).
Užití podobnosti
k úpravě geometrických útvarů v daném poměru (jejich zmenšování
nebo zvětšování) nebo dělení úsečky v daném poměru:
110
Planimetrie
Danou úsečku AB, |AB|=4,6 cm upravte v poměru 5:3.
Sestrojíme pomocné rameno, na které naneseme stejně dlouhé dílky (obvykle 1cm).
Poměrk
, tedy jde o zvětšení. Úsečka zvětší svoji délku
. My ale
nebudeme řešit početně, to může pouze sloužit pro kontrolu, ale graficky danou úsečku AB
upravíme (zvětšíme) na úsečku
. Koncový bod úsečky(B) spojíme s koncem 3.dílu, z 5.
dílu uděláme rovnoběžku. Kde tato rovnoběžka protne prodlouženou úsečku AB , tam
dostaneme bod
,
Danou úsečku AB , rozdělte na dvě části,aby jejich délky byly v poměru 2:3 .
Planimetrie
111
Máme úsečku rozdělit na dva díly v poměru 2:3. Rozdělíme pomocné rameno na 5 stejných
dílků, aby se dobře zachoval poměr (2+3=5). První díl má být menší (musí být zachováno
pořadí čísel), tedy 2, druhý delší, tedy 3. Popíšeme body na pomocném rameni odpovídajícími
čísly odpovídajícími čísly. Celá úsečka AB je součtem jednotlivých členů poměru, Z 5ky
sestrojíme úsečku do koncového bodu zadané úsečky. A potom rovnoběžkou z 2ky dostaneme
bod (X), který zadanou úsečku dělí v daném poměru.
Libovolný
zmenšete v poměru 1:4.
Zmenšíme v poměru jednu jeho stranu, v našem případě stranu KL , dostaneme bod L´.
Velikost úhlu se nemění, rovnoběžkou z bodu L´ se stranou LM dostaneme M´. Hledaný
trojúhelník je
K´L´M´
112
Planimetrie
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti
Varianta A
Libovolnou úsečku AB zmenši v poměru 1:5
Příklad:
Libovolnou úsečku AB zmenšit v poměru 1:5 znamená, že celá úsečka je 5 dílů stejně
dlouhých libovolně navolených na pomocném rameni, nová má být pětinou, tedy jedním
dílem. Pátý díl na pomocném rameni spojíme s koncovým bodem úsečky, 1-kou vedeme
potom rovnoběžku s touto spojnicí. Dostaneme B´. A´B´ je výsledná hledaná úsečka.
Výsledek řešení:
Planimetrie
113
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Trojúhelníky
jsou si podobné. k = poměr podobnosti. Doplňte na
místo * :
a)
b)
2) a) Úsečku KL dlouhou 8cm upravte v poměru 3:4. Změřte výslednou úsečku
b) Úsečku AB dlouhou 12 cm rozděl na dvě části v poměru 2:7. Změřte její delší
díl.
3) Vyjmenujte aspoň tři rovinné útvary, které jsou podobné, aniž známe jejich
rozměry.
é
4) Úsečku AB upravte v poměru 3:1. Co jste zjistili o délce výsledné úsečky?
114
Planimetrie
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti
Varianta B
Stín tyče dlouhé 1,5 m měří 4m. Jak vysoký je strom, jestliže je jeho stín dlouhý 18 m?
Příklad:
Jde o podobné trojúhelníky podle věty sus (délka stínu, pravý úhel mezi zemí a stromem nebo
tyčí, výška stromu nebo tyče).
Poměr podobnosti
é
é
Výška stromu
Strom je vysoký 6,75 m.
Výsledek řešení: Strom je vysoký 6,75 m.
Planimetrie
115
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Ttrojúhelník ABC:
Upravte v poměru 5:3. Kolikrát se
zvětší jeho obvod?
2) Pro délky úseček a, b platí : a:b = 3:5, a+b = 16 cm. Jaké jsou rozměry úseček?
3) Narýsujte obdélník ABCD, a=9cm, b= 4 cm. Sestrojte obdélník KLMN tak, aby poměr
úhlopříček AC:KM byl 3:2.
é
4) Silnice stoupá na každých 5 metrech o 80cm. Jaké bude převýšení po 254 m?
116
Planimetrie
Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti
Varianta C
Libovolnou úsečku AB rozděl na tři úsečky tak, aby se z nich dal sestrojit pravoúhlý
trojúhelník.
Příklad:
V pravoúhlém trojúhelníku je jeden z možných poměrů stran 3:4:5 (Pythagorejský ). Tímto
poměrem tedy rozdělíme naši úsečku. Koncový bod pomocného ramene, na němž jsou úsečky
v poměru 3:4:5 spojíme s koncovým bodem úsečky. Potom už jen rovnoběžkami z bodů na
pomocném rameni dostaneme body X a Y, které nám úsečku dělí v potřebném poměru.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Planimetrie
117
1) Ze dvou podobných trojúhelníků má první obvod 150 cm a druhý strany dlouhé 19
cm, 17 cm a 14 cm. Určete délky stran trojúhelníku prvního.
2) Dokažte, že obvody dvou podobných trojúhelníků mají týž poměr, jako délky stran
těchto trojúhelníků ležící proti shodným úhlům.
3) Úsečku dlouhou 13,2 cm rozdělte na 7 shodných dílů
é
4) Poměr podobnosti 1. a 2. Trojúhelníku je , poměr podobnosti 1. a 3. Trojúhelníku je
Jaký je poměr podobnosti 1. a 2. ?
118
Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti.
Vzdálenost bodu od přímky měříme na kolmici z bodu (X) k dané přímce p (je to tedy
nejkratší možná vzdálenost bodu od přímky (
).
Osa úsečky (o)= množina bodů roviny, které mají od krajních bodů úsečky (A, B) stejnou
vzdálenost:
Rovnoběžka p1, p1 = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost rovnu a.
Pás = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost menší nebo rovnu a.
Planimetrie
119
Kružnice = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost rovnu r (obr.1).
Kruh = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r
(obr.2).
Obr.1
Obr.2
Mezikruží = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost větší nebo rovnu r2
a zároveň vzdálenost menší nebo rovnu r1.
120
Planimetrie
Osa úhlu, který má ramena na různoběžkách a, b a vrchol v jejich průsečíku V = množina
bodů roviny, které mají od různoběžek a, b stejnou vzdálenost.
Thaletova kružnice= množina všech vrcholů C pravoúhlých trojúhelníků sestrojených nad
přeponou AB (kromě bodů A,B).
Thaletova věta – Jestliže leží vrchol C na kružnici k s průměrem AB, potom je trojúhelník
ABC pravoúhlý s přeponou AB.
Planimetrie
Používané symboly v planimetrii





121
122
Planimetrie
Planimetrie
123
Množiny bodů dané vlastnosti
Varianta A
Sestrojte množinu bodů, které mají od bodu P vzdálenost rovnu 2,5 cm.
Příklad:
Body, které mají od bodu P vzdálenost 2,5 cm leží
na kružnici se středem P a poloměrem 2,5 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Výsledek řešení:
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Určete množinu bodů, které mají od přímky f vzdálenost 4 cm.
2) Najděte 5 bodů, které mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky AB,
3) Máme úhel KLM,
, najděte 4 body, které mají od ramen úhlu stejnou
vzdálenost.
4) Najděte 5 bodů, které mají od přímky p vzdálenost menší nebo rovnu 2,2 cm.
124
Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti
Varianta B
Sestrojte množiny bodů, které mají od bodu S vzdálenost větší neš 3 cm.
Příklad:
Body, které mají od bodu S vzdálenost rovnu 3cm leží na
, body, které mají od
S vzdálenost větší nebo rovnu této vzdálenosti, leží na této kružnici nebo vně. Na obrázku je
tato množina znázorněna zelenou barvou. Jedná se tedy o kružnici k a její vnější oblast.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
Planimetrie
125
Příklady k procvičení:
1) Určete množinu bodů, které mají od bodu A vzdálenost menší než 5 cm.
2) Určete množinu bodů, které mají od krajního bodu A úsečky AB vzdálenost větší než
od bodu B.
3) Určete množinu bodů, které mají od bodu M vzdálenost větší než 2cm a menší nebo
rovnu 4 cm.
4) Určete množinu bodů, které mají od přímky q vzdálenost větší jak 1,7 cm.
126
Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti
Varianta C
Najděte všechny body, které mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost a zároveň
tvoří s body A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u hledaného vrcholu.
Příklad:
Hledané body musí ležet na ose úsečky AB, aby měly od bodů A, B stejnou vzdálenost. Aby
hledaný bod byl vrcholem trojúhelníku s pravým vnitřním úhlem u tohoto vrcholu, musí ležet
na Thaletově kružnici s přeponou AB. Průnikem těchto dvou množin získáme hledané body.
Výsledek řešení: Úloha má dvě řešení, jedná se o body C1, C2:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
k= Thaletova kružnice nad AB, o=osa AB
Planimetrie
127
Příklady k procvičení:
1) Najděte body C, které mají od úsečky AB,
vzdálenost 3cm a tvoří s body
A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u bodu C. Rozeberte počet
řešení vzhledem k zadanému rozměru úsečky AB.
2) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB,
vzdálenost
3 cm a od středu této úsečky vzdálenost 4 cm.
3) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB:
vzdálenost
3cm a od této úsečky mají vzdálenost 4 cm.
4) Najděte body, které mají od různoběžek a,b stejnou vzdálenost rovnu 1 cm.
é
é
128
Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy
Při konstrukci rovinných útvarů využíváme množin bodů dané vlastnosti, jejich průniky.
Vždy je dobré si načrtnout rozbor úlohy, tedy udělat náčrtek a v něm zvýraznit zadané
hodnoty. Kvalitní náčrtek hodně napoví, jak úlohu řešit a i případná množství řešení.
Používané symboly v planimetrii





Planimetrie
129
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy
Varianta A
Sestroj
, je-li dáno:
Příklad:
Konstrukci provádíme obvykle jen v jedné (zvolené) polorovině a to tak, aby byl zachován
směr popisu konstrukce-vrcholů-proti směru hodinových ručiček.
Rozbor: nečrtneme „od ruky“ a zaznamenáme zadané hodnoty (nejlépe barevně) a případné
množiny bodů dané vlastnosti, které nám konstrukci umožňují.
Popis konstrukce
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Závěr: Úloha má ve zvolené polorovině jedno řešení.
nerovnost, jinak by úloha neměla řešení.
splňuje trojúhelníkovou
130
Planimetrie
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestroj
é
2) Sestroj
é
3) Sestroj rovnoběžník
é
4) Sestroj kosočtverec
é
Planimetrie
131
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy
Varianta B
Sestroj
Příklad:
Rozbor: Začneme stranou BC. V dané konstrukci využijeme Thaletovu kružnici, protože u
hledaného vrcholu A je pravý úhel nad úsečkou BC. Dále využijeme množinu bodů, které
mají od úsečky BC vzdálenost rovnu 3cm, tedy rovnoběžku se stranou BC ve vzdálenosti
3cm. Opět si zvolíme jednu polorovinu a tedy sestrojíme tuto rovnoběžku pouze na jednu
stranu od BC tak, aby bod A splňoval s body BC správný směr popisu konstrukce.
Popis konstrukce:
………také se značí
132
Planimetrie
Závěr: Ve zvolené polorovině 2 řešení. Pokud by
řešení, pokud by
, úloha by neměla řešení.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
bylo by ve zvolené polorovině 1
Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Sestroj
é
2) Sestroj
é
3) Sestroj lichoběžník ABCD:
é
4) Sestroj lichoběžník ABCD:
é
133
134
Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy
Varianta C
Dána kružnice
Daným bodem P veď k dané kružnici tečny.
Příklad:
Tečna je přímka, která má s kružnicí 1 společný bod a je kolmá na její poloměr v bodě
dotyku. Tato kolmost napovídá, že budeme bod dotyku tečny s kružnicí hledat pomocí
Thaletovy kružnice nad SP.
Popis konstrukce:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Závěr: 2 tečny, pokud by
pokud
.
Planimetrie
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestroj lichoběžník ABCD:
é
2) Sestroj lichoběžník ABCD:
3) Sestroj konvexní čtyřúhelník ABCD:
4) Sestroj
é
135
Download

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST