Mechanika kontinua a termodynamika
Continuum mechanics and
thermodynamics
textbook for course
International Master in Mechatronics
Milan Hokr
Inst. of Novel Technologies and Applied Informatics
Faculty of Mechatronics and Interdisciplinary Engineering Studies
Technical University of Liberec
1. října 2013
1
Obsah
1 Úvod
2
2 Síly v spojitém prostředí (kontinuu) - Forces in continuum media 2
2.1 Objemová síla (volumetric force, body force) . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Plošná síla – vyjádření „vektoru napětíÿ (areal force – stress vector) 3
3 Tenzor napětí (stress tensor)
3.1 Vlastnost tenzoru (ad 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vyjádření T~ pro libovolný směr (ad 2) . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Rovnováha sil a momentů (ad 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Hlavní napětí, kvadrika napětí a invarianty (principal stress, invariants) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Speciální vztahy ve 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Napětí v šikmém řezu – transformace složek tenzoru napětí
3.5.2 Znaménka u smykového napětí (shear stress sign) . . . . .
3.5.3 Vztahy pro hlavní směry a hlavní napětí . . . . . . . . . .
4
4
5
5
7
9
9
10
11
4 Tenzor deformace (strain tensor)
4.1 Odvození a definice tenzorů deformace . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Tenzor konečné deformace (tensor of finite strain) . . . . .
4.1.2 Tenzor malé deformace (small strain tensor) . . . . . . . .
4.2 Fyzikální význam složek tenzoru (malé) deformace . . . . . . . . .
4.2.1 Rozklad deformace–rotace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Tenzorové vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Rovnice kompatibility deformací ((Saint Venant) compatibility
equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
11
12
13
14
15
5 Zobecněný Hookeův zákon (generalised Hooke’s Law)
16
6 Formulace okrajových úloh v teorii pružnosti (formulation
boundary-value problems)
6.1 Speciální případy – jednoduché úlohy . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Jednoosý tah (uniaxial tension) . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Prostý smyk (simple shear) . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Základní definice pro matematickou formulaci . . . . . . . . . .
6.3 Statická neurčitost (Static indeterminacy) . . . . . . . . . . . .
6.4 Laméovy a Beltramiovy-Michellovy rovnice . . . . . . . . . . . .
6.5 Základní okrajové úlohy – klasická formulace . . . . . . . . . . .
15
of
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
21
22
23
23
25
7 Variační principy, energie deformace (Variational principles, deformation energy)
26
7.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
7.1.1
7.1.2
7.2
7.3
1
Princip virtuální práce (principle of virtual work) . . . . .
Princip virtuálních posunutí (principle of virtual displacement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Princip virtuálních napětí (principle of virtual changes of
stresses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Princip minima potenciální energie (Principle of minimum potential energy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hybridní principy – Hellingerův-Reissnerův princip (hybrid principles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
27
27
27
28
Úvod
Tento dokument je přípravou pro budoucí studijní materiál pro příslušnou část
předmětu „Mechanika kontinua a termodynamikaÿ (Continuum mechanics and
thermodynamics) vyučovaném v navazujícím magisterském studijním oboru „Mechatronikaÿ (Mechatronics) strukturovaného studijního programu „Elektrotechnika a informatikaÿ na Fakultě mechatroniky a mezioborových inženýrských studií Technické univerzity v Liberci (FM TUL). Cílem současné verze je především
poskytnout spolu se standardním výkladem české varianty předmětu anglickou
terminologii a obraty, výkladový text v angličtině v obdobné formě je dostupný
online např. v knize [4] a dalších.
Náplní předmětu je úvod do obecného popisu mechaniky kontinua (continuum
mechanics) pomocí tenzorového počtu (tensor calculus) a parciálních diferenciálních rovnic (partial differential equations), vycházející z učebnice [3], v návaznosti
na inženýrské metody (engineering methods) pružnosti, pevnosti a mechaniky tekutin (elasticity, strength, and fluid mechanics).
Vyučovaná látka navazuje na předmět „Mechanikaÿ v bakalářském studijním
programu na FM TUL a využívá matematiký aparát vyučovaný v předmětech
„Matematika I-IVÿ a „Aplikovaná matematikaÿ na Fakultě mechatroniky. (The
study material refers to basic courses of mechanics, differential and integral calculus, linear algebra).
2
Síly v spojitém prostředí (kontinuu) - Forces
in continuum media
V mechanice kontinua i v technické pružnosti se používá následující rozdělení
druhů sil (we distinguish types of forces):
3
• objemové (volumetric) = působící na dálku (gravitační, elektromagnetické,
setrvačné - e.g. gravity, electromagnetic, inertia)
• plošné (areal) =kontaktní (viz princip akce–reakce, metoda myšleného řezu)
Tyto dva druhy sil pak odlišným způsobem vystupují v rovnicích popisujících
napjatost a deformaci pružných těles (stress and deformation of elastic bodies).
2.1
Objemová síla (volumetric force, body force)
Definujeme jako sílu vztaženou na jednotkový objem (pozor neplést značení s běžnou značkou pro sílu)
F~ = (F1 , F2 , F3 )
[N · m−3 ]
Fi (~x) funkce prostorových souřadnic (function of spatial coordinates)
(1)
(2)
Později zavedeme (we introduce) např. požadavek spojitosti (requirement on continuity) Fi ∈ C(Ω) (prostor spojitých funkcí; oblast Ω odpovídá zkoumanému
tělesu)
Vyjádření celkové síly (v N) na daný objem V (total force on given volume):
~ (ob) =
R
Z
F~ dV
(tj.
(ob)
Ri
Fi dV , i = 1, 2, 3)
(3)
V
V
2.2
=
Z
Plošná síla – vyjádření „vektoru napětíÿ (areal force
– stress vector)
Vyjádříme sílu jako vztaženou na jednotkovou plochu (unit area) – tj. již máme
veličinu rozměrem odpovídající napětí (tj. N/m2 ) (quantity with a dimension
corresponding to stress).
Uvažujeme elementární plochu dS na povrchu či uvnitř tělesa (pokud uvnitř,
pak s obecnou orientací). Označíme vnější jednotkovou normálu (outward unit
normal) ~ν (pokud je plocha uvnitř, pak si ji představujeme jako část povrchu
nějakého sub-objemu ∆V , aby bylo možno určit co je směr ven).
Síla na tuto plochu má obecně jiný směr než normála (force has different direction
than the normal). Označíme celkovou sílu T~ dS, potom
T~ (~x, ~ν )
[N · m−2 ]
4
(4)
se nazývá vektor napětí (stress vector) v bodě ~x na plochu s orientací ~ν (oriented
plane). Jak je uvedeno, závisí síla na zvoleném bodě tělesa a také na orientaci
zvolené plochy (myšleného řezu).
Platí (podle principu akce–reakce)
T~ (~x, ~ν ) = −T~ (~x, −~ν )
(5)
Dále vyjádříme rozklad (decomposition) síly (napětí) T~ do normálového a tečného
směru (normal and tangential direction) k ploše dS.
N (~x, ~ν ) = T~ (~x, ~ν ) · ~ν
T~ − N (~x, ~ν )~ν
normálové napětí (normal stress)
(6)
tečné napětí (tangential stress)
(7)
(připomeňte si geometrické vlastnosti skalárního součinu vektorů) (properties of
scalar product of vectors)
3
Tenzor napětí (stress tensor)
Motivace: chceme vyjádřit silové působení v materiálu lépe než vektorem napětí
(funkce polohy a směru), chtěli bychom nějakou veličinu, která bude funkcí pouze
polohy a ponese přitom stejnou informaci (we seek a funtion of position, instead
of both position and plane orientation).
Platí (potvrdíme níže) - it holds:
Stačí znát vektor napětí T~ pro tři různě orientované plochy v daném bodě (s lineárně nezávislými (linear independent) normálami), z nich pak lze určit T~ pro
libovolně orientovanou plochu (arbitrary oriented plane).
Budeme tedy mít 3 krát 3 (3 by 3 vector components) složky vektoru T~ . Pomocí
nich definujeme tenzor napětí takto (we define the stress tensor as follows)
τij = Tj (~x, ~ei )
i, j = 1, 2, 3
(8)
kde ~e1 , ~e2 , ~e3 jsou jednotkové vektory ve směrech souřadných os (unit vectors in
direnction of coordinate axes). Tj. za zmíněné tři významné roviny jsme si zvolili
právě roviny tvořené kartézskými osami (cartesian). Níže ukážeme, že z definovaných 9 čísel (funkcí prostoru) je pouze 6 nezávislých (symetrický tenzor napětí).
Nyní bychom měli:
1. ověřit, že takto definované τij jsme „oprávněniÿ nazývat tenzorem (tj. má
potřebné vlastnosti)
5
2. ověřit, že opravdu dokážeme vyjádřit T~ pro libovolnou plochu
3. zjistit nějaké další vlastnosti τij , např. co plyne z rovnováhy sil a momentů
(force and moment (torque) equilibrium)
3.1
Vlastnost tenzoru (ad 1)
Tuto otázku probereme jen stručně, nad rámec předmětu.
Požadovaná vlastnost: tenzor se musí transformovat při ortogonální transformaci
souřadné soustavy podle daných pravidel.
Ortogonální transformace souřadné soustavy (~x → ~x0 ):
x0i = aij xj = ai1 x1 + ai2 x1 + ai3 x3
(9)
kde jsme uplatnili Einsteinovu sumaci a aij je ortogonální matice (připomeňte
si z lineární algebry). Takováto transformace geometricky odpovídá kombinaci
rotace a zrcadlení.
Tenzor se při ortogonální transformaci transformuje takto:
τij0 = aik ajm τkm
(dvojí Einsteinova sumace – násobení matic)
(10)
což náš tenzor napětí splňuje, ale nebudeme to zde dokazovat.
3.2
Vyjádření T~ pro libovolný směr (ad 2)
Uvažujeme jehlan (pyramid) s vrcholem (vertex) v počátku SS, hranami na osách
a podstavou obecně orientovanou s normálou ~ν . Pro tuto podstavu vyjádříme
působící sílu pomocí působících sil na boční stěny (ty co leží v rovinách kolmých
na osy SS).
Rovnováha sil pro celý jehlan (povrchové + objemové):
1
T~ (−~e1 )dS1 + T~ (−~e2 )dS2 + T~ (−~e3 )dS3 + T~ (~ν )dS + dShF~ = 0
3
(11)
kde dSi jsou plochy bočních stěn, pro ně platí
dSi = dS cos(~ν , ~ei ) = dSνi
(12)
(připomeňte si vlastnosti jednotkového normálového vektoru: složky = směrové
kosiny)
6
Dosazením za dSi , použitím T~ (−~ei ) = −T~ (~ei ) a limitou h → 0 dostaneme
T~ (~ν ) = T~ (~ei )νi
(13)
což je to co jsme chtěli: vyjádření síly z tenzoru napětí (viz definice) a směru. Ve
složkách:
Tj (~ν ) = τij νi
(14)
(Einsteinova sumace, násobení matice–vektor)
3.3
Rovnováha sil a momentů (ad 3)
Rovnována sil: předpokládáme že těleso se jako celek nepohybuje a „drží pohromaděÿ, tj. i každá jeho část musí být ve statické rovnováze (připomeňte si metodu
myšleného řezu) (each part of the body is in static equilibrium).
Zvolíme obecný objem (arbitrary volume) V s povrchem S. Rovnována sil objemových a plošných (vnějších) je
Z
F~ dV +
V
Z
T~ (~ν )dS = ~0
(15)
S
Dosadíme (we substitute) za T~ pomocí tenzoru napětí a na plošný integrál aplikujeme Gaussovu větu (apply Gauss theorem):
Z
Ti (~ν )dS =
S
Z
τji νj dS =
S
Z
V
∂τji
dV
∂xj
i = 1, 2, 3
(16)
Dosazením do původní rovnice dostaneme
Z V
Fi +
∂τji dV = 0
∂xj
(17)
Toto musí platit pro libovolný objem V a tedy i integrand musí být nulový (standartní argumentace)
Fi (~x) +
∂τji
(~x) = 0
∂xj
∀~x ∈ Ω, i = 1, 2, 3
(18)
tj. v každém bodě tělesa.
Toto je rovnice rovnováhy sil (equation of force equilibrium) pro kontinuum.
Vezmeme-li působící objemové síly jako dané, je to soustava tří diferenciálních
rovnic (system of 3 differential equations) pro 6 neznámých složek (for 6 unknown
components) tenzoru napětí (z působících sil se snažíme určit napětí). Je tedy
7
zřejmé, že napětí nejsou jednoznačně určena, jedná se o tzv. statickou neurčitost
(nelze určit síly uvnitř tělesa pouze z podmínky rovnovány) (statically indeterminate). Ve speciálních geometricky jednoduchých případech určit napětí lze - to
jsou úlohy staticky určité (viz cvičení) (in special cases is statically determinate).
Rovnováha momentů sil:
Z
(~r × F~ )dV +
V
ve složkách
Z
Z
(~r × T~ (~ν ))dS = ~0
(19)
εijk xj Tk (~ν )dS = ~0
(20)
S
εijk xj Fk dV +
V
Z
S
kde εijk je Levi-Civitův antisymetický tenzor. Gaussovou větou, hrátkami se sumací, dosazením z rovnice rovnováhy sil (nebudeme postup provádět) nakonec
dostaneme:
Z
εijk τjk dV = 0 tj. pro libovolný bod platí
εijk τjk = 0 ∀i
(21)
V
Rozepsáním po jednotlivých složkách dostaneme (kromě triviálních rovností)
τ12 = τ21 , τ23 = τ32 , τ13 = τ31
(22)
tj. vlastnost symetrie tenzoru napětí (je vyjádřen symetrickou maticí složek τij ).
Tedy jak bylo již dříve předesláno, tenzor napětí je určen 6 nezávislými složkami
(symmetric tensor, 6 independent component).
3.4
Hlavní napětí, kvadrika napětí a invarianty (principal
stress, invariants)
Ukážeme další zajímavé vlastnosti a možnosti vyjádření tenzoru napětí. Otázka:
máme daný bod ~x a ptáme se co se bude dít při při otáčení sledované plochy
(vektoru ~ν ), např. jak se bude měnit normálové napětí (skalár).
Použitím známých vztahů dostaneme
N (~x, ~ν ) = T~ (~x, ~ν ) · ~ν = Ti νi = τij νi νj
(23)
přičemž pro N > 0 jde o tah a pro N < 0 o tlak (obecně se může měnit s ~ν ). Všimněme si, že N jako funkce směru normály ~ν je kvadratickou formou v proměnných
νi (složkách vektoru normály).
8
Určíme nyní, zda pro nějaký směr nenastane speciální situace, kdy bude vektor
napětí T~ rovnoběžný s normálou ~ν (stress vector parallel to normal), tj. bude
nulové tečné napětí a normálové bude rovno velikosti T~ . Zapsáno tedy
N~ν = T~
resp.
T~ = τ~ν
(24)
pro nějaké číslo τ (zatím obecná konstanta, posléze se ukáže, že je to určitá
speciální hodnota napětí – zřejmé již z rozměrové analýzy rovnice). Druhý vztah
zapsaný ve složkách je
τij νj = τ νi
(25)
což je vlastně formulace úlohy na vlastní čísla (eigenvalues) matice dané složkami
τij . Neznámé číslo τ dostaneme řešením rovnice (připomeňte si z lineární algebry)
det(τij − τ δij ) = 0
tj.
−τ 3 + θ1 τ 2 − θ2 τ + θ3 = 0
(26)
(27)
kde koeficienty θi jsou
θ1 = τ11 + τ22 + τ33 ,
τ
τ
θ2 = 11 12
τ12 τ22
+
τ22 τ23
τ32 τ33
+
τ11 τ13
τ13 τ33
,
θ3 = det(τij )
(28)
Z vlastností tenzoru (další kterou jsme neukazovali vedle transformace (10))
plyne, že θi jsou tzv. invarianty, tj. hodnoty nezávislé na zvolené SS (při transformaci (9) se nemění). To pak zároveň znamená, že i řešení algebraické rovnice
(27) jsou nezávislá na SS. Navíc díky symetrii tenzoru napětí má polynom vždy
3 reálné kořeny (real roots) (vlastní čísla symetrické matice jsou reálná). Tyto
označíme
τ1 , τ2 , τ3
(29)
a nazývají se hlavní napětí (principal stresses). Příslušné vlastní vektory (směry
normál) ~ν 1 , ~ν 2 , ~ν 3 se pak nazývají hlavní směry napětí (principal direnctions).
Nyní definujeme tzv. kvadriku napětí (viz výše – normálové napětí je kvadratická
forma ve složkách νi ). Zvolíme libovolný bod prostoru ~x (v něm budeme zkoumat
napětí) a nenulovou konstantu k (pouze jako určité měřítko bez fyzikálního významu). Zavedeme-li vektor ξ~ v SS s počátkem v zkoumaném bodě ~x, definujeme
množinu bodů ξ~ takových, že
τij ξi ξj = ±k 2
(30)
jako Cauchyovu kvadriku napětí v bodě ~x. V závislosti na složkách τij se množina
skládá buď ze 2 částí (pro obě znaménka u k 2 ) nebo jen z jedné části, pokud pro
jedno ze znamének je množina prázdná. V lineární algebře toto odpovídá definitní
nebo indefinitní matici, fyzikálně to znamená, že buď má normálové napětí pro
9
všechny orientace plochy stejné znaménko nebo se znaménko normálového napětí
(tah/tlak) mění v závislosti na orientaci plochy. Příslušnou kvadrikou je pak buď
elipsoid nebo hyperboloid.
Nejléle je situace vidět, zapíšeme-li definici kvadriky v hlavních směrech
τ1 ξ12 + τ2 ξ22 + τ3 ξ32 = ±k 2
(31)
tedy dvě rozdílné situace popsané výše jsou rozlišeny znaménky hlavních napětí
(buď všechna stejná nebo různá).
Z kvadriky napětí je možno určit (názorně geometricky) velikost normálového
napětí a směr vektoru napětí. Zvolíme směr ~ν a přímkou v tomto směru z bodu
~x protneme kvadriku v bodě s polohovým vektorem ξ~ (vzhledem k ~x). Tedy platí
νi =
ξi
~
|ξ|
i = 1, 2, 3
(32)
Normálové napětí pak je
N = τij νi νj = τij
±k 2
ξi ξj
=
~2
~2
|ξ|
|ξ|
(33)
tj. velikost normálového napětí na plochu s normálou v daném směru je nepřímo
úměrné druhé mocnině vzdálenosti bodu kvadriky od bodu ~x v tomto směru.
Např. je-li kvadrikou elipsoid, pak největší napětí bude v tom směru, kde je
elipsoid „nejspláclejšíÿ a nejmenší napětí v tom směru, kde je elipsoid „nejprotáhlejšíÿ. Pro případ hyperboloidu nastává případ, kdy průsečík v daném směru
neexistuje (asymptotické směry), tj. délka je „nekonečnáÿ a normálové napětí pro
danou orientaci je rovno nule (směr ~ν , kdy kladné znaménko N přechází v záporné
– spojitě).
Směr vektoru napětí určíme konstrukcí takto (nebudeme dokazovat a matematicky odvozovat): ve směru ~ν najdeme průsečík s kvadrikou (stejně jako výše),
zde vedeme tečnou rovinu ke kvadrice. Kolmice vedená z ~x k této tečné rovině
má směr T~ . Snadno si uvědomíme, kdy (geometricky) nastane případ T~ ||~ν (tj.
hlavní směry), tj. jak souvisí hlavní směry napětí s orientací kvadriky.
3.5
3.5.1
Speciální vztahy ve 2D
Napětí v šikmém řezu – transformace složek tenzoru napětí
Pro těleso (např. čtverec pro jednoduchou představu) zatížené homogenně napětím (loaded by homogeneous stress) o složkách τ11 , τ22 a τ12 vyjádříme namáhání
10
na obecně orientované ploše (tj. úsečce) v tělese (s normálou ~ν ). Úloha je ekvivalentní nalezení složek tenzoru napětí τξξ a τξη v transformované soustavě, kde
osa ξ má směr normály k ploše a osa η směr tečny a orientaci tak, že ξη vzniky
otočením x1 x2 (viz obrázek).
Pro vyjádření tedy můžeme užít buď vztah pro vektor napětí na ploše v danou
orientací (normála ~ν )
Ti (~ν ) = τij νj
(34)
a následně provést rozklad T~ na normálovou a tečnou složku nebo můžeme použít
vztah pro transformaci složek tenzoru
τij0 = aik ajl τkl
(35)
kde τ je tenzor v soustavě x1 x2 a τ 0 v soustavě ξη a matice aij vyjadřují otočení
o úhel θ, tj.
cos θ sin θ
a=
(36)
− sin θ cos θ
Prvním způsobem odvodíme (za použítí ~ν = (cos θ, sin θ)) složky vektoru napětí
v soustavě x1 x2
T1 = τ11 cos θ + τ12 sin θ
T2 = τ12 cos θ + τ22 sin θ
(37)
(38)
Normálové napětí pak bude
τξξ ≡ N (~ν ) = T~ (~ν ) · ~ν =
τ11 cos2 θ + τ12 sin θ cos θ + τ12 sin θ cos θ + τ22 sin2 θ =
1
(τ + τ22 ) + 12 (τ11 − τ22 ) cos 2θ + τ12 sin 2θ
2 11
(39)
(40)
(41)
tečné napětí nebudeme podrobně odvozovat, vyjde
1
τξη ≡ |T~ − N~ν | = (τ22 − τ11 ) sin 2θ + τ12 cos 2θ
2
(42)
Druhým způsobem provedeme dvojí sčítání (pozor – v jiné struktuře než běžné
algebraické násobení matic) a dostaneme
τ11 cos2 θ + 2τ12 sin θ cos θ + τ22 sin2 θ
(τ22 − τ11 ) cos θ sin θ + τ12 (cos2 θ − sin2 θ)
τξη =
2
2
(τ22 − τ11 ) cos θ sin θ + τ12 (cos θ − sin θ)
τ11 sin2 θ − 2τ12 sin θ cos θ + τ22 cos2 θ
(43)
tj. po úpravě goniometrických funkcí vidíme, že odpovídající složky jsou skutečně
stejné.
11
3.5.2
Znaménka u smykového napětí (shear stress sign)
Používají se dvě různé znaménkové konvence pro smykové napětí. Zde jsme definovali za kladný směr ten, který odpovídal kladné orientaci osy ve druhém indexu
jedná-li se o plochu s vnější normálou ve směru osy v prvním idexu (viz výše).
V technické pružnosti se užívá opačné znaménko, definované takto: pokud vektor
orientace tečného napětí vznikl otočením vektoru normály po směru hodinových
ručiček, je napětí kladné, pokud proti směru, je záporné. Takto určené znaménko
je přirozené např. při krutu (viz níže), kdy kladnému kroutícímu momentu odpovídá kladné smykové napětí.
Poznámka: obě definice nám dají různá znaménka, pokud souřadné osy jsou
uspořádané tak, že druhá je otočená o π2 proti směru HR (např. x doprava, y
nahoru). Naopak, obě definice nám dají totéž pravidlo, pokud osy budou uspořádané opačně, např. x doprava a y dolů.
Použití obou konvencí budeme rozlišovat značkou indexu u τ – číslice 1,2,3 odpovídají prvnímu způsobu (typické pro teoretické publikace), symboly x, y, z
odpovídají druhému způsobu (typické pro technické publikace).
Tedy např. vztah pro transformaci složek (42) se po záměně znamének u τξη a τ12
změní na
1
(44)
τξη = (τxx − τyy ) sin 2θ + τxy cos 2θ
2
3.5.3
Vztahy pro hlavní směry a hlavní napětí
Hlavní směry tenzoru napětí jsou definovány nulovým tečným napětím na ploše
s normálou v hlavním směru. Dosadíme-li do (42) nulu, vyjádříme příslušný úhel
tg2θ =
2τ12
τ11 − τ22
(45)
Hlavní napětí můžeme vyjádřit (nebudeme odvozovat)
τ1,2
τ11 + τ22
=
±
2
s
τ
11
− τ22 2
2
+ τ12
2
(46)
je zajímavé si všimnout, že platí
τ1 + τ2 = τ11 + τ22
což přesně odpovídá tomu, že τii je invariant.
12
(47)
4
Tenzor deformace (strain tensor)
Odvodíme nyní lokální popis deformace v okolí libovolného bodu ~x pomocí tenzoru, podobně jako napjatost je lokálně vyjádřena tenzorem. Vyjdeme z přirozeného popisu přetvoření (deformace) tělesa pomocí pole posunutí ~u(~x) (displacement field); tento popis jak je zřejmé v sobě obsahuje nadbytečnou informaci a to
posun tělesa jako celku (např. pro ~u = konst 6= 0 nedochází k deformaci) (ridig
body motion).
Zadefinujeme nejprve tenzor konečné (velké) deformace εij a jako jeho speciální
případ tenzor malé deformace eij (pozor, rozlišovat εij od označení ε pro relativní
prodloužení v technické pružnosti).
4.1
4.1.1
Odvození a definice tenzorů deformace
Tenzor konečné deformace (tensor of finite strain)
Vyjádříme změnu polohy každého bodu ~x do bodu ~y (change of position = displacement).
~y (~x) = ~x + ~u(~x)
(48)
Porovnáme nyní změnu polohy bodu ~x a blízkého bodu ~x + d~x (resp. úsečky d~x
obecného směru). Sledujeme tedy, jak se změnila vzájemná poloha dvou blízkých
bodů a „odfiltrujemeÿ část posunutí společnou pro oba body (tj. ne deformaci,
ale pohyb tělesa).
Obrázek: body ~x, ~x + d~x (v Ω) a ~y , ~y + d~y (v Ω0 – deformovaném tělese)
Vyjádříme d~y v závislosti na d~x. Označíme-li posun bodu ~x + d~x do bodu ~y + d~y
jako ~u + d~u, můžeme psát
dyi = dxi + dui (x1 , x2 , x3 ) = dxi +
∂ui ∂ui
dxj = δij +
dxj
∂xj
∂xj
(49)
kde jsme využili rozpisu přírůstku složené funkce pomocí parciálních derivací (a
opět připomínáme Einsteinovu sumaci).
Pomocí výše uvedeného vztahu porovnáme změnu délky úsečky v závislosti na
její orientaci. Označíme ds0 původní délku a ds délku po deformaci, tj.
ds20 = d~x · d~x
ds2 = d~y · d~y
(50)
Potom platí (nebudeme podrobně odvozovat, ale jde jen o dosazení uvedených
vztahů a roznásobení):
ds2 − ds20 = 2 εij dxi dxj
(51)
13
kde jsme označili
εij =
1 ∂ui ∂uj ∂uk ∂uk +
+
·
2 ∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
i, j = 1, 2, 3
(52)
Tímto vztahem je definován tenzor konečné deformace.
Ihned vidíme, že
• jde o symetrický tenzor, εij = εji
• v zápisu se vyskytují pouze derivace složek ~u nikoli přímo hodnoty – tedy
ve složkách εij již není obsažen posun celého tělesa
Podrobnější rozbor provedeme níže, pro speciální případ malých deformací, kdy
je situace jednodušší.
4.1.2
Tenzor malé deformace (small strain tensor)
Jako malé deformace definujeme takové, kdy
∂ui
1
∂xj
(∀i, j)
(53)
což je v běžné praxi splněno. Potom tedy součin výrazů tohoto typu je zanedbatelný vůčin výrazům samotným (třetí člen vůči prvním dvěma v (52)). Složky
tenzoru velké deformace (52) se pak přibližně rovnají složkám tenzoru malé deformace definovaným takto:
eij =
1 ∂ui ∂uj +
2 ∂xj
∂xi
i, j = 1, 2, 3
(54)
Symetrie a další vlastnosti tenzoru konečné deformace přirozeně přechazejí i na
tenzor malé deformace.
4.2
Fyzikální význam složek tenzoru (malé) deformace
Zvlášť rozebereme diagonální a mimodiagonální složky (diagonal and off-diagonal
components). Odvození není v plné geometrické a matematické obecnosti, což je
doufám vyváženo jeho názorností.
Jako diagonální vezmeme např. složku
1 ∂u1 ∂u1
∂u1
+
)=
e11 = (
2 ∂x1 ∂x1
∂x1
14
(55)
Situace bude nejlépe zřejmá z „ jednorozměrnéÿ úvahy. Podobně jako v obecném
případě sledujeme rozdíl v posunu bodu x a bodu x + dx (do bodů y a y + dy).
Platí
y = x + u(x)
y + dy = x + dx + u(x + dx)
tedy dy = dx + u(x + dx) − u(x)
(56)
(57)
a pro poměrné prodloužení úsečky dx
u(x + dx) − u(x)
∂u
dy − dx
=
=
dx
dx
∂x
(58)
Vidíme tedy, že diagonální složka tenzoru deformace e11 se rovná relativnímu prodloužení ( ve směru osy x (resp. x1 v našem značení). Situace pro zbylé diagonální
složky je jistě zřejmá.
Poznámka: výše uvedený postup je vlastně zjenodušením postupu při odvození
tenzoru konečné deformace ( dyi pomocí dxi ).
Nyní vyšetříme mimodiagonální složky, tentokrát zjednodušeně ve 2D. Sledujeme
polohu dvou kolmých elementárních úseček před deformací a po deformaci. Poloha
styčného budu je (x1 , x2 ), jeho posuny u1 , u2 . Jedna úsečka má směr osy x1 a délku
∆x1 , druhá směr osy x2 a délku ∆x2 .
Posun prvního koncového budu bude:
směr 1: u1 +
∂u1
∆x1
∂x1
směr 2: u2 +
∂u2
∆x1
∂x1
(59)
První výraz vyjadřuje relativní prodloužení ve směru 1 (viz výše pro diagonální
složky eii ), nás bude zajímat druhý výraz – pomocí něj nyní vyjádříme úhel α
mezi původní polohou úsečky ∆x1 a její novou polohou po deformaci. Platí
tan α =
∂u2
∆x1 ) − u2
∂x1
1
∆x1 ) −
(u1 + ∂u
∂x1
(u2 +
∆x1 +
u1
=
(1
∂u2
∆x1
∂x1
∂u1
+ ∂x1 )∆x1
Použijeme-li předpoklad malé deformace, tj. tan α ≈ α a
α≈
∂u2
∂x1
∂u1
∂x1
(60)
1, dostaneme
(61)
Obdobným postupem pro úhel β mezi původní a deformovatelnou polohou úsečky
1
∆x2 dostaneme β ≈ ∂u
. Součet obou úhlů nám dá celkovou změnu původního
∂x2
pravého úhlu, tj.
∂u1 ∂u2
γ =α+β =
+
= 2e12
(62)
∂x2 ∂x1
Tedy složka tenzoru deformace e12 udává polovinu změny úhlu v rovině x1 x2 , tzv.
poloviční úhel smyku. (shear strain - shear angle)
15
4.2.1
Rozklad deformace–rotace
Ukážeme ještě jednu zajímavou věc ve vyjádření transformace úsečky (resp. alternativní způsob odvození tenzoru malé deformace). V rámci výše používaného
označení můžeme vektorovou změnu úsečky zapsat
( d~y − d~x)i =
Matici parciálních derivací
část
∂ui
=
∂xj
∂ui
(~x) dxj
∂xj
(63)
můžeme rozložit na symetrickou a antisymetrickou
1 ∂ui ∂uj
1 ∂ui
∂uj
(
+
)+ (
−
)
2 ∂xj
∂xi
2 ∂xj
∂xi
(64)
kde první člen vyjadřuje deformaci (jde přímo o složku tenzoru malé deformace)
∂ui
j
a druhý antisymetrický člen ωij = 12 ( ∂x
− ∂u
) vyjadřuje rotaci. Obecně lze pole
∂xi
j
posunutí v kontinuu rozložit na translaci (tělesa), rotaci a deformaci. (translation,
rotation, deformation)
4.3
Tenzorové vlastnosti
Veškeré úvahy provedené výše pro tenzor napětí lze nyní analogicky zopakovat
pro tenzor deformace. Jedná se o:
• transformační vlastnosti (tj. definované tenzory εij a eij splňují matematické
požadavky na tenzorovou veličinu – viz výše pro tenzor napětí)
• existenci a vyjádření invariantů (stejné vztahy, značnení ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 )
• nalezení hlavních směrů deformace a hlavních prodloužení
• kvadrika (zde hraje roli normálového napětí změna délky úsečky daného
směru)
Zmíníme konkrétně pouze případ prvního invariantu, který má názorný fyzikální
význam. Vyjádříme změnu určitého objemu tělesa na zjednodušeném případě
krychle (hrana a) v hlavních směrech deformace
V 0 = a3
3
Y
(1 + ei ) = V (1 + e1 )(1 + e2 )(1 + e3 ) ≈ V (1 + eii )
(65)
i=1
z čehož plyne
V0−V
≈ eii = ϑ1
(66)
V
tj. první invariant ϑ1 = eii vyjadřuje relativní změnu objemu (objemovou dilataci).
16
4.4
Rovnice kompatibility deformací ((Saint Venant)
compatibility equations)
Tenzor deformace byl definován na základě pole posunutí (spojitého, diferencovatelného). Můžeme položit otázku, zda naopak pro libovolný symetrický tenzor je
možné definovat takové pole posunutí, pro nějž by byl tenzorem deformace podle
definice (54). Ke stejnému problému dospějeme, chceme-li vyjádřit podmínku fyzické spojitosti tělesa při deformaci, tj. rozložíme-li těleso na části, nevzniknou
mezi nimi při deformaci popsané eij žádné mezery (což je při definici pomocí
spojitého pole posunutí zřejmě splněno).
Jde vlastně o řešitelnost soustavy 6 rovnic (i, j = 1, 2, 3 a symetrie)
eij =
1 ∂ui ∂uj +
2 ∂xj
∂xi
(67)
pro 3 neznámé funkce ui (tj. přeurčenou), kde eij jsou zadané parametry. Z výše
uvedených úvah kolem odvození je zřejmé, že pokud řešení existuje, nebude nikdy
jednoznačné – platí, že ui jsou určeny jednoznačně až na posunutí a rotaci tělesa
jako celku.
Nutnou a zároveň postačující podmínkou pro řešitelnost (nebudeme dokazovat)
je splnění rovnice
∂ 2 ekm
εikl εjmn
= 0 i, j = 1, 2, 3
(68)
∂xl ∂xn
pro tenzor deformace (parametry v rovnici (67)). Tato rovnice se nazývá rovnice
kompatibility deformací (Saint Venantova) a jde o 6 rovnic pro 6 neznámých.
5
Zobecněný Hookeův zákon (generalised Hooke’s Law)
Stress-strain curve: elasticity, proportinality, yield, strength limit
Při tahové zkoušce rozlišujeme několik “režimů” (lineární, plastický, . . . ) charakterizující různou závislostí mezi napětím a deformací. Lineární režim je popsán
úměrností (Hookeovým zákonem)
τ11 = Ee11
(69)
tj. normálové napětí (normal stress) (ve smyslu výše používaného značení např
ve směru osy x je τ11 ) je úměrné relativnímu prodloužení (extension) (ve směru
x jsme označili e11 ), s konstantou úměrnosti E (Youngův modul pružnosti).
17
Tento lineární vztah (linear relation) nyní zobecníme pro případ 3D elastického
prostředí (elastic medium) a s napjatostí a deformací (stress and deformation)
popsanou pomocí tenzorů τij a eij . Obecně v úměrnosti (proportionality) mezi
dvěma tenzory 2. řádu bude příslušný koeficient tenzorem 4.řádu (rank 4 tensor)
(např. si lze představit jako “4-rozměrnou algebraickou matici”). V našem případě
zapíšeme
τij = Cijkl ekl
(70)
kde Cijkl se nazývají elastické koeficienty. Tenzor 4. řádu by měl obecně 81 složek,
díky symetrii tenzorů napětí a deformace a dalším vlastnostem lze počet nezávislých koeficientů snížit na 21. Některé plně anizotropní (anizotropic) materiály
skutečně vyžadují popis pomocí těchto 21 hodnot.
Připomínáme přirozenou skutečnost, pro homogenní materiál jsou Cijkl konstanty, pro nehomogenní materiál jde o funkce polohy Cijkl (~x) (homogeneous/inhomogeneous).
Úměrnost mezi τij a eij lze zapsat i jinak, uvažujeme-li uvedené tenzory jako
6-tice jejich (nezávislých) hodnot. Pak bude úměrnost vyjádřena maticí 6×6, tj.
 




e11
τ11
C˜11 C˜12 . .
.
.
 



 ˜
  e22 
 τ22 
 C21
 




  e33 
 τ33 

·


=
(71)
  2e 
τ 

  23 
 23 

 




  2e13 
 τ13 

.
.
. . C˜65 C˜66
2e12
τ12
kde jsme odlišili C˜ od C i když jde o stejná čísla jen jinak poskládaná do matice.
Z výše uvedeného vidíme, že koeficientů je 36, lze však ukázat, že matice C˜kl je
symetrická, čímž dostaneme právě 21 konstant.
Dále se budeme zabývat izotropním materiálem, tj. materiál který má ve všech
směrech stejné vlastnosti, typicky amorfní látky. V tomto případě lze vztah mezi
napětím a deformací vyjádřit pomocí pouze 2 nezávislých konstant. Standartně
se zavádějí tzv. Laméovy koeficienty λ, µ, které jsou vzhledem k předchozímu
zápisu definovány jako
λ = C˜12
µ = C˜44
(72)
(tj. ostatní C˜ij již jdou vyjádřit pomocí těchto dvou). Konkrétně vypadá zápis
úměrnosti pomocí matice 6×6 s použitím Laméových koeficientů takto (na prázných místech jsou nuly)



 

e11
τ11
λ + 2µ
λ
λ



 

λ
λ + 2µ
λ
 τ22 

  e22 



 

 τ33 

  e33 
λ
λ
λ + 2µ

=
·

τ 

  2e 
µ
 23 

  23 



 

 τ13 

  2e13 
µ
τ12
µ
2e12
18
(73)
což můžeme v kompaktním tvaru zapsat
τij = λδij ϑ + 2µeij
(74)
kde δij je Kroneckerovo delta a ϑ ≡ ϑ1 = eii je invariant tenzoru deformace
(objemová dilatace).
Inverzní vztah (deformace jako funkce napětí)
Ze vztahu (74) můžeme vyjádřit složky eij (pomocí τij ) principiálně snadno –
rovnice je vlastně soustavou 6 lineárních rovnic pro 6 neznámých eij (system of
6 linear equations for 6 unknowns). Jak bude z níže udeveného zřejmé, technické
provedení je už složitějsí.
Determinant soustavy je
(2µ)5 (3λ + 2µ)
(75)
a ten musí být nenulový (nonzero), aby byla soustava jednoznačně řešitelná
(unique solution), tj. µ 6= 0, (3λ + 2µ) 6= 0. Rozborem na jednoduchých úlohách lze ukázat µ > 0 a (3λ + 2µ) > 0 (k = λ + 32 µ je modul stlačitelnosti, poměr
mezi objemovou dilatací a hydrostatickým tlakem).
Při splnění výše uvedených podmínek můžeme definovat
E=
µ(3λ+2µ)
λ+µ
G=µ
λ
σ = 2(λ+µ)
Youngův modul pružnosti (Young modulus)
(76)
Modul pružnosti ve smyku (shear modulus)
Poissonovo číslo (Poisson number/ratio)
(77)
(78)
a inverzní vztah pak lze zapsat
σ
1+σ
eij = − δij θ +
τij
E
E
kde obdobně θ ≡ θ1 = τii (sčítáme). Rozepsáním dospějeme k zápisu
e11 =
e22 =
e33 =
γ12 ≡ 2e12 =
γ13 ≡ 2e13 =
γ23 ≡ 2e23 =
1
[τ11 − σ(τ22 + τ33 )]
E
1
[τ22 − σ(τ11 + τ33 )]
E
1
[τ33 − σ(τ11 + τ22 )]
E
1
τ12
G
1
τ13
G
1
τ23
G
(79)
(80)
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)
(86)
19
což je zápis užívaný běžně v technických aplikacích (viz příklad na cvičení).
Poznámky: Deformace je vyjádřena buď složkou tenzoru (mimodiagonální) nebo
úhlem smyku. V technické pružnosti se používá značení σ1 ≡ τ11 (σ je normálové
napětí) a Poissonovo číslo se značí µ (tj. pozor na dva různé významy σ a µ).
Všechny zmíněné konstanty mají stejný fyzikální rozměr [Pa], kromě Poissonova
čísla, které je bezrozměrné.
6
Formulace okrajových úloh v teorii pružnosti
(formulation of boundary-value problems)
Zkoumané těleso definujeme jako oblast (domain) (otevřená souvislá množina)
Ω ⊂ R3 , její hranici označíme ∂Ω ≡ Γ (dále upřesníme později, sekce 6.2).
Typická úloha je zadána takovýmto způsobem (např. i technické příklady řešené
na cvičení):
Dáno: (Given/prescribed) síly (vektor napětí) a/nebo posunutí na hranici
(povrchu tělesa) – tedy funkce na množině Γ (forces/displacement)
Hledáme: (We solve for) vektor posunutí a/nebo tenzor napětí v bodech tělesa – tedy funkce na množině Ω (displacement/stress tensor)
K dispozici přitom máme tyto rovnice:
• rovnice rovnováhy napětí (stress equation of equilibrium)
• zobecněný Hookeův zákon
• (rovnice kompatibility deformací, pokud místo posunutí vyjadřujeme tenzor
deformace)
Vidíme tedy, že jde o řešení okrajové úlohy pro diferenciální rovnici(e). Než odvodíme přesnou matematickou formulaci pro obecnou úlohu, ukážeme si jednoduché
úlohy pružnosti vyjádřené jako okrajové úlohy a jejich řešení.
6.1
6.1.1
Speciální případy – jednoduché úlohy
Jednoosý tah (uniaxial tension)
Uvažujeme válec (tyč) (cylinder) umístěný do souřadné soustavy (coordinate system) takto: osa (axis) válce leží na ose x1 , jedna podstava (base) leží v rovině
20
x2 x3 a počátek SS je totožný se středem podstavy. Druhá podstava (rovnoběžná
= parallel) leží ve vzdálenosti L (délka tyče), tj. v rovině x1 = L. Poloměr (radius)
podstavy (průřezu) označíme r.
Namáhání tahem (tension) je zadáno jako rovnoměrně rozložená síla (uniformly
distributed) na obě podstavy, tj. vektor napětí o velikosti T ve směru osy x1 .
Plášť válce je bez zatížení (no loading). Tím je definována okrajová podmínka
(boundary condition) na celé hranici. Hledáme napětí uvnitř válce, tj. τij (~x).
Vyjádříme tedy okrajové podmínky nejprve pro vektor napětí T~ , pak pro tenzor
napětí τij pomocí vztahu Ti = τji νj , kde νj jsou složky vektoru normály.
1. pravá podstava (x1 = L, ~x ∈ Γ, ~ν = (1, 0, 0) = ~e1 )
T~ (~x, ~ν ) = T~ (~x, ~e1 ) = (T, 0, 0)
2. levá podstava (x1 = 0, ~x ∈ Γ, ~ν = (−1, 0, 0) = −~e1 )
T~ (~x, ~ν ) = T~ (~x, −~e1 ) = (−T, 0, 0)
3. plášť (x22 + x23 = r2 , ~x ∈ Γ, ~ν = (0, xr2 , xr3 ))
T~ (~x, ~ν ) = 0
Pro složky tenzoru napětí na pravé podstavě (limita x1 → L) tedy platí
T = T1 (~x, ~e1 ) = τj1 νj = τ11 · 1 + τ21 · 0 + τ31 · 0 = τ11
0 = T2 (~x, ~e1 ) =
...
= τ12
0 = T3 (~x, ~e1 ) =
...
= τ13
(87)
(88)
(89)
přičemž tentýž výsledek dostaneme pro levou podstavu. Pro plášť je vyjádření
složitější díky proměnnému směru normály (variable normal direction), pro složky
vektoru napětí dostáváme
x3
x2
(90)
0 = T1 (~x, ~ν (~x)) = τ21 + τ31
r
r
x2
x3
0 = T2 (~x, ~ν (~x)) = τ22 + τ32
(91)
r
r
x2
x3
0 = T3 (~x, ~ν (~x)) = τ23 + τ33
(92)
r
r
Tím máme vyjádřeny okrajové podmínky pro funkce τij (~x) ~x ∈ Ω.
Nyní najdeme hodnoty funkcí (složek tenzoru) vyhovující rovnici rovnováhy pro
nulové objemové síly
∂τji
= 0 (pozor – sčítáme!)
(93)
∂xj
a uvedeným okrajovým podmínkám. Řešením rovnice (93) jsou funkce konstantní
v celém objemu (nelze vyloučit ani jiná řešení, ale pro toto se podaří splnit okrajové podmínky).
21
Máme-li tedy okrajovou podmínkou na podstavách dány hodnoty τ11 , τ12 a τ13 ,
budou tyto složky napětí mít tutéž hodnotu v celém objemu, tj. ∀~x ∈ Ω.
τ11 (~x) = T
τ12 (~x) = 0
τ13 (~x) = 0
(94)
(95)
(96)
Zbývá určit hodnoty τ22 , τ33 a τ23 z okrajové podmínky pro plášť. Zde již využijeme konstantnost funkcí vyplývající z podmínky rovnováhy, abychom mohli
porovnávat okrajové podmínky v různých bodech (díky rozdílnému směru normály má každá podmínka v každém bodě jiný tvar). Např. tedy podle (90) musí
pro libovolné dva body (x1 , x2 , x3 ) a (˜
x1 , x˜2 , x˜3 ) platit
x3
x2
+ τ31
= 0
r
r
x˜2
x˜3
τ21 + τ31
= 0
r
r
τ21
(97)
(98)
Byly-li body zvoleny tak, že vektory normál jsou lineárně nezávislé (což je automaticky, pokud nebyly druhá i třetí souřadnice totožné), pak tato soustava pro
neznámé (konstanty) τ21 a τ31 má pouze triviální nulové řešení. Obdobný výsledek
dostaneme ze zbylých rovnic okrajové podmínky pro další složky tenzoru napětí.
Celkově tedy máme toto řešení okrajové úlohy pro diferenciální rovnici (93)

T

τij (~x) =  0
0

0 0

0 0
0 0
∀~x ∈ Ω
(99)
což je výsledek, který považujeme za samozřejmost a v aplikacích přirozeně používáme (jedna hodnota normálového napětí τxx resp. σx ).
6.1.2
Prostý smyk (simple shear)
Uvažujeme krychli (cube) o hraně (edge) h umístěnou jedním vrcholem do počátku (origin), hranami ležícími na kladných částech kartézských os (Cartesian
exes). Na svislé stěny (vertical faces) (rovnoběžné s osou x3 ) působí rovnoměrně
spojitě rozložené tečné síly (napětí), ve směru x1 a x2 s přírozenou orientací tak,
aby bylo těleso jako celek v rovnováze. Je tedy dáno
x1 = h , ~ν = (1, 0, 0)
x1 = 0 , ~ν = (−1, 0, 0)
x2 = h , ~ν = (0, 1, 0)
x2 = 0 , ~ν = (0, −1, 0)
x3 = 0 , x3 = h , ~ν = (0, 0, ±1)
22
T (~x, ~ν ) = (0, T, 0)
T (~x, ~ν ) = (0, −T, 0)
T (~x, ~ν ) = (T, 0, 0)
T (~x, ~ν ) = (−T, 0, 0)
T (~x, ~ν ) = (0, 0, 0)
(100)
(101)
(102)
(103)
(104)
čímž je „pokrytaÿ celá hranice uvažované krychle. Uvnitř pak platí podmínka
rovnováhy
∂τji
= 0.
(105)
∂xj
Obdobnou úvahou jako pro prostý tah dostaneme řešení

0

τij (~x) =  T
0
6.2
T
0
0

0

0
0
∀~x ∈ Ω .
(106)
Základní definice pro matematickou formulaci
Aby bylo možné korektně definovat okrajové úlohy, jsou nutné určité požadavky
na tvar oblasti Ω, přesněji její hranice. Nežádoucí případy vyloučíme požadavkem
tzv. lipschitzovské hranice, která je definována následovně (definici uvádíme pro
úplnost, její formulace je nad rámec studia):
Nechť Ω je oblast (o dimenzi n). Hranice Γ oblasti Ω se nazývá lipschitzovská,
jestliže existují čísla α > 0 a β > 0 taková, že ke každému bodu ~x0 ∈ Γ můžeme
otočit a posunout kartézskou soustavu souřadnic do bodu ~x0 tak, že platí:
Označíme-li ((n − 1)-dimenzionální otevřená krychle)
n
o
Kn−1 = ~x |xi | < α, i = 1, . . . , n − 1 ,
(107)
pak existuje taková lipschitzovská funkce a(x1 , . . . , xn−1 ) definovaná na Kn−1 , že
a(x1 , . . . , xn−1 ) = xm
(x1 , . . . , xn ) ∈ Γ .
(108)
Navíc všechny body ~x = (x1 , . . . , xn−1 , xn ) ≡ (~x0 , xn ), pro něž
~x0 ∈ Kn−1 a a(~x0 ) < xn < a(~x0 ) + β
(109)
leží uvnitř Ω a všechny body
~x = (~x0 , xn ) , ~x0 ∈ Kn−1 , a(~x0 ) − β < xn < a(~x0 )
(110)
leží vně Ω.
Poznámka 1: funkce se nazývá lipschitzovská (např. na množině Kn−1 ), jestliže
existuje L > 0 takové, že
|a(~x0 ) − a(~y 0 )| < L |~x0 − ~y 0 |
∀~x0 , ~y 0 ∈ Kn−1
(111)
Poznámka 2: Stručně řečeno, hranici lze po částech vyjádřit jako graf nějaké
lipschitzovské funkce a vždy je na jedné straně vnitřek a na druhé vnějšek (tj.
23
nepřipouští se „špičkaÿ, kde z obou stran má funkce stejnou tečnu, nebo „vynecháníÿ množiny nižší dimenze z vnitřku oblasti – viz obrázky)
Dále si připomeneme označení množin spojitých a spojitě diferencovatelných
funkcí (na oblasti Ω):
C(Ω)
C(Ω)
(k)
C (Ω)
C (k) (Ω)
6.3
množina
množina
množina
množina
funkcí
funkcí
funkcí
funkcí
spojitých na Ω
spojitých na Ω a spojitě rozšířitelných na Ω
se spojitou k-tou derivací na Ω
s k-tou derivací spojitou na Ω a spojitě rozšířitelnou na Ω
Statická neurčitost (Static indeterminacy)
V úlohách v sekci 6.1 bylo možné určit napětí pouze řešením rovnice rovnováhy
s využitím okrajových podmínek, tj. šlo o staticky určité úlohy (statically determinate problems). Statická určitost je dána počtem stupňů volnosti (degrees of
freedom) tělesa. V obecném případě (při větším počtu upevnění (support) tělesa,
tj. okrajových podmínek pro posunutí) je počet stupňů volnosti záporný a úlohu
rozložení napětí nelze vyřešit pouze pomocí rovnice rovnováhy (3 skalární rovnice
pro 6 neznámých složek tenzoru napětí) – úloha je staticky neurčitá (statically
indeterminate).
Obecně je nutno řešit úlohu pro neznámá napětí i posunutí (popř. složky deformace) s využitím dalších rovnic – Hookova zákona a popř. rovnic kompatibility.
V následující sekci ukážeme možnosti formulace rovnic buď pro posunutí nebo pro
napětí vzájemným dosazením výše uvedených vztahů. V obou případech půjde o
rovnice pro izotropní materiál (pro nějž lze Hookeův zákon vyjádřit v kompaktním tvaru).
6.4
Laméovy a Beltramiovy-Michellovy rovnice
(Lame equations, Beltrami-Michell compatibility equations)
Laméovy rovnice odvodíme dosazením zobecněného Hookeova zákona (závislosti
napětí na deformaci) do rovnice rovnováhy (pro napětí) a za složky tenzoru deformace dosadíme posunutí (podle definice).
Předpokládáme hladkost (smoothness) Laméových koeficientů λ ∈ C (1) (Ω) a
µ ∈ C (1) (Ω) a intenzity objemových sil Fi ∈ C (1) (Ω). Pro složky posunutí předpokládáme ui ∈ C (2) (Ω). Popsaným dosazením dostaneme
"
∂
∂ui ∂uj
λϑδij + µ
+
∂xj
∂xj
∂xi
24
!#
+ Fi = 0
(112)
(3 rovnice pro i = 1, 2, 3, přes j se sčítá). Úpravou dostaneme
∂
∂
(λϑ) +
∂xi
∂xj
∂ui
µ
∂xj
!
∂
+
∂xj
∂uj
µ
∂xi
!
+ Fi = 0 ,
i = 1, 2, 3 ,
(113)
což jsou tzv. obecné Laméovy rovnice (pro izotropní nehomogenní materiál).
Zjednodušíme dále rovnici za předpokladu, že jde o homogenní materiál. Nejprve
vezmeme µ konstantní a dostaneme
∂
∂
(λϑ) + µ∆ui +
(µϑ) + Fi = 0 ,
∂xi
∂xi
(114)
kde jsme využili
∂
ui = ∆ui
∂xj ∂xj
∂uj
= ejj = ϑ
∂xj
a
(sčítání přes j) .
(115)
Sloučením členů rovnice vyjádříme
∂
[(λ + µ) ϑ] + µ∆ui + Fi = 0 .
∂xi
(116)
Je-li rovněž λ konstantní, dostaneme
(λ + µ)
∂ϑ
+ µ∆ui + Fi = 0 ,
∂xi
(117)
což jsou tzv. Laméovy rovnice (pro homogenní izotropní materiál). Jde o 3 rovnice
pro 3 neznámé složky posunutí (invariant tenzoru deformace ϑ je rovněž vyjádřen
j
).
složkemi posunutí, ϑ = ∂u
∂xj
Beltramiovy-Michellovy rovnice jsou rovnice pro neznámé složky tenzoru napětí.
Je možné je odvodit dvojím způsobem. Buď vyjdeme z Laméových rovnic, úpravami dostaneme vztahy pro složky tenzoru deformace (místo složek posunutí) a
dosadíme z inverzního Hookeova zákona (podrobně v [1]). Druhou možností je dosazení inverzního Hookeova zákona do rovnice kompatibility deformací, přičemž
v následných úpravách se dále zohlední rovnice rovnováhy (podrobně v [3]).
Výsledný tvar je
1
∂ 2θ
σ
∂Fk
∂Fi ∂Fj
∆τij +
+
δij
+
+
1 + σ ∂xi ∂xj 1 − σ
∂xk
∂xj
∂xi
!
= 0,
(118)
kde indexy i, j jsou volné a rovnice je invariantní vůči jejich záměně, tj. jde o 6
nezávislých rovnic (pro 6 složek tenzoru napětí, θ je invariant tenzoru). Sečtením
rovnic pro i = j lze odvodit další rovnici (jednodušší)
∆θ +
1 + σ ∂Fk
= 0,
1 − σ ∂xk
25
(119)
která však již pochopiteně není nezávislá (lze jí např. nahradit kteroukoli z výše
uvedených šesti rovnic). Tato rovnice se nazývá první Beltramiova-Michellova
rovnice.
Speciálně pro nulové objemové síly dostáváme rovnici
∆τij +
∂ 2θ
1
= 0,
1 + σ ∂xi ∂xj
(120)
která se nazývá Beltramiova rovnice.
6.5
Základní okrajové úlohy – klasická formulace
Jde o úlohy pro neznámá posunutí s různým typem okrajových podmínek, tedy
okrajové úlohy pro obecné Laméovy rovnice (113). Předpokládáme hladkost koeficientů λ, µ a Fi jako bylo uvedeno výše.
První základní úloha pružnosti (first basic/fundamental problem of
elasticity theory)
Na hranici Γ jsou dány povrchové síly T~ , Ti ∈ C(Γ) (prescribed force/traction).
Tj. pro složky posunutí je dána okrajová podmínka (prostřednictvím složek tenzoru deformace)
Ti (~x) = τij (~x)νj (~x) = λϑνi + 2µeij νj
~x ∈ Γ , i = 1, 2, 3 .
(121)
Hledáme tedy složky posunutí ui ∈ C (1) (Ω) ∩ C (2) (Ω) splňující obecné Laméovy
rovnice (113) a okrajové podmínky (121).
Druhá základní úloha pružnosti (second basic problem of elasticity
theory)
V tomto případě je na hranici je předepsáno posunutí (prescribed displacement)
~u(~x) = f~(~x)
~x ∈ Γ
(122)
a předpokládáme fi ∈ C(Γ). Úlohou je nalézt složky posunutí ui ∈ C(Ω)∩C (2) (Ω)
splňující obecné Laméovy rovnice (113) a okrajové podmínky (122).
26
Kombinovaná základní úloha pružnosti (mixed basic problem of elasticity theory)
V tomto případě jsou na různých částech hranice použity okrajové podmínky obou
typů (v první a druhé základní úlohy). Jsou dány množiny Γτ a Γu , disjunktní
(disjoint) a otevřené v Γ a Γ = Γτ ∪ Γu (uzávěr v Γ).
Hledáme složky posunutí
ui ∈ C (1) (Ω ∪ Γτ ) ∩ C(Ω ∪ Γu ) ∩ C (2) (Ω) ,
i = 1, 2, 3 ,
(123)
které splňují okrajovou podmínku (121) na Γτ , okrajovou podmínku (122) na Γu
a rovnice (113) v Ω, přičemž Ti ∈ C(Γτ ) a fi ∈ C(Γu ).
7
Variační principy, energie deformace (Variational principles, deformation energy)
V této kapitole odvodíme formulace úloh pružnosti pomocí integrálních (integral)
vztahů (dosud bylo vše vyjádřeno diferenciálními (differential) vztahy).
7.1
Základní pojmy
U diferenciální formulace je pole napětí a deformace řešením diferenciální rovnice
s určitými okrajovými podmínkami (upevnění či síly na okrajích tělesa). Pro vyjádření splnění okrajových podmínek u variačních principů se zavádějí následující
pojmy:
Staticky přípustné pole napětí (statically admissible stress field):
tenzorová funkce τij (~x), která
• je symetrická τij = τji
• splňuje rovnici rovnováhy Fi +
∂τji
∂xj
= 0 v Ω, i = 1, 2, 3
• na části hranice Γτ splňuje okrajovou podmínku τij νj = Ti (fulfils the
boundary condition)
Geometricky přípustné pole posunutí (Kinematically/geometrically admissible displacem
vektorová funkce ~u(~x), která na části hranice Γu splňuje okrajovou podmínku ui = fi (i = 1, 2, 3).
Ze základních principů pružnosti popsaných výše (kapitoly 3, 4 a 5) lze jednoduše
odvodit následující integrální principy (derive the following integral principles):
27
7.1.1
Princip virtuální práce (principle of virtual work)
Pro staticky přípustné pole napětí τij (~x) a geometricky přípustné pole posunutí
~u(~x) platí
Z
τij eij (~u) dx =
Ω
Z
Fi ui dx +
Ω
Z
Ti ui dS +
Γτ
Z
τij νj fi dS
(124)
Γu
Vztah byl odvozen integrací per-partes a dosazením rovnic rovnovány a okrajových podmínek. Fyzikálně jednotlivé členy odpovídají virtuální práci vnitřních
sil (levá strana) (internal forces), práci objemových sil (volumetric forces) (Fi ),
povrchových sil (surface/contact forces) (Ti ) a sil od „popuštění opěrÿ (yielding
of supports).
Vztah platí i pro nelineární závislost mezi napětím a deformací (zobecnění Hookova zákona) (it holds for also non-linear stress-strain relation).
7.1.2
Princip virtuálních posunutí (principle of virtual displacement)
Vyjádříme princip virtuálních prací pro skutečné pole posunutí (real displacement
field) (klasické řešení kombinované úlohy pružnosti) a pro jiné rovněž geometricky
přípustné pole posunutí ~u + δ~u. Odečtením obou rovností dostaneme (princip
virtuálních posunutí):
Z
τij δeij (~u) dx =
Ω
Z
Fi δui dx +
Z
Ti δui dS
(125)
Γτ
Ω
Označili jsme δeij = eij (δ~u), kde δ~u je tzv. virtuální posunutí (též „variaceÿ ~u).
V rovnici je τij skutečné, staticky přípustné pole napětí.
7.1.3
Princip virtuálních napětí (principle of virtual changes of stresses)
Provedeme obdobnou operaci jako v předchozím, ale pro skutečné pole napětí τ 0
a jeho variaci τ 0 + δτ (staticky přípustnou). Dostáváme princip virtuálních prací:
Z
0
eij (~u ) δτij dx =
Ω
Z
fi δτij νj dS
(126)
Γu
(platí pro skutečné pole posunutí ~u0 ).
Připomínám, že k odvození principů jsme nepoužili Hookeův zákon ani jiný obdobný vztah. Tyto principy jsou tedy obecnější a platí i pro úlohy např. s nelineární závislostí napětí a deformace.
28
7.2
Princip minima potenciální energie (Principle of minimum potential energy)
Uvažujeme kombinovanou úlohu pružnosti (mixed problem) (její řešení ~u0 ) a zobecněný Hookův zákon ve tvaru τij = Cijkl ekl (pro anizotropní pružné těleso).
Předpokládáme že kvadratická forma odpovídající koeficientu Cijkl je stejnoměrně
pozitivně definitní (uniformly positive definite), tj.
2W (e) ≡ Cijkl (~x)eij ekl ≥ c0 eij eij
∀eij , x ∈ Ω
(127)
(kde jsme zároveň definovali funkcionál W (e)). Pozitivní definitnost odpovídá „rozumnémuÿ chování materiálu, např. pro izotropní materiál je splněna pro kladné
Laméovy koeficienty, tj. těleso se při stlačení zmenší apod.
Dosadíme nyní z Hookova zákona do principu virtuálních posunutí. Navíc výraz
na levé straně lze vyjádřit ve tvaru variace:
δW (e(~u0 )) =
d
W [e(~u0 + tδ~u0 )] = Cijkl ekl (~u0 ) eij (δ~u)
t=0
dt
(128)
čímž můžeme zapsat princip virtuálních posunutí ve tvaru
0
0
δΦ(~u ) = 0 , kde Φ(~u ) =
Z
0
W (e(~u )) dx −
Ω
Z
Fi u0i
dx −
Ω
Z
Ti u0i dS
(129)
Γτ
Funkce Φ(~u) je potenciální energie (potential energy) pružného tělesa. Výše uvedený vztah říká, že ~u0 udílí funkcionálu potenciální energie stacionární hodnotu
(stationary value). S využitím pozitivní definitnosti lze odvodit Φ(~u0 + δ~u) −
Φ(~u0 ) ≥ 0, tj. že stacionární bod je minimum.
Princip minima potenciální energie zní: Řešení (pole posunutí ~u0 ) kombinované
úlohy teorie pružnosti udílí funkcionálu potenciální energie
Φ(~u) =
Z
Z
1Z
Cijkl eij (~u) ekl (~u) dx − Fi ui dx − Ti ui dS
2
Ω
Ω
(130)
Γτ
minimální hodnotu na množině geometricky přípustných polí posunutí (minimum
on the set of . . .).
7.3
Hybridní principy – Hellingerův-Reissnerův princip
(hybrid principles)
Hybridní variační principy jsou takové, ve kterých vystupují též „duálníÿ veličiny
(dual quantities), tj. kromě pole posunutí (variované veličina u principu minima
29
potenciální energie) též pole napětí. Jeden z jejich významů je tedy právě ten,
že např. při numerickém řešení určíme přímo hodnoty napětí (na základě této
formulace jsou odvozeny varianty metody konečných prvků).
Příkladem je Hellingerův-Reissnerův funkcionál:
R(~u, τ ) =
Z "
1
1
− aijkl τij τkl + τij
2
2
Ω
−
Z
Ti ui dS +
Γτ
Z
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
!
#
− Fi ui dx −
τij νj (fi − ui ) dS
(131)
(132)
Γu
Z podmínky δR = 0 (tj. pro hodnoty napětí a posunutí odpovídající stacionárnímu bodu) vyplývají rovnice rovnovány, „inverzníÿ Hookův zákon eij (~u) =
aijkl τkl a okrajové podmínky. Narozdíl od funkcionálu potenciální energie nejde
v tomto případě o extrém, ale o sedlový bod (saddle point). Pro řešení kombinované úlohy ~u0 a odpovídající tenzor napětí τ 0 platí:
R(~u0 , τ 0 ) = min max R(~u, τ ) = max min R(~u, τ ) = Φ(~u0 )
~
u∈U τ ∈Q
τ ∈Q ~
u∈U
(133)
kde U je množina všech geometricky přípustných polí posunutí ~u a Q je množina
všech symetrických tenzorů napětí (tj. větší množina než množina staticky přípustných polí: splnění rovnice rovnováhy a okrajových podmínek je již obsaženo
ve funkcionálu).
Reference
[1] J. Nečas, I. Hlaváček: Úvod do matematické teorie pružných a pružněplastických těles, SNTL, Praha, 1983 (online dostupná varianta
http://ucebnice.euromise.cz/index.php?conn=0&section=biomech&node=node20).
[2] Ivan Hlavácek. Variational principles in the linear theory of elasticity for general boundary conditions. Applications of Mathematics 12 (1967), no. 6, pages
425448. (available online http://dml.cz/dmlcz/103124)
[3] M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha, 2000.
[4] Teodor M. Atanackovic, Ardéshir Guran Theory of Elasticity for Scientists
and Engineers, available on books.google.com
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_elasticity
[6] http://en.wikiversity.org/wiki/Introduction_to_Elasticity
30
Download

Czech with English comments (PDF file, M. Hokr)