MECHANICKÉ KMITÁNÍ
Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A
Kinematika kmitavého pohybu
Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení
Rovnovážná poloha
Výchylka
Kinematika kmitavého pohybu
Veličiny charakterizující kmitání:
Perioda T
Frekvence f
Pohyb nerovnoměrný
Časový diagram kmitavého pohybu:
Kinematika kmitavého pohybu
Oscilátor koná harmonický pohyb
Podobnost s pohybem po kružnici
Kinematika kmitavého pohybu
Pro okamžitou polohu oscilátoru platí: y = ym ⋅sin (ω t )
ω - úhlová frekvence
ω = 2πf
2π
ω=
T
Kinematika kmitavého pohybu
Vztahy pro okamžitou rychlost a okamžité zrychlení:
Veličina
Rovnice
Amplituda
y
y = ym ⋅sin (ω t )
ym
v
v = vm ⋅ cos (ω t )
vm = ω ⋅ ym
a
a = − am ⋅sin (ω t ) = − ω y
2
a m = ω ym
2
Kinematika kmitavého pohybu
Vztahy pro okamžitou rychlost a okamžité zrychlení:
Příklad 1
Hmotný bod kmitá harmonicky s maximální výchylkou 1,5 cm a
periodou 0,2 s. Určete rovnici kmitavého pohybu. Jaká bude
výchylka v čase 0,75 s?
Příklad 2
Určete dobu od počátečního okamžiku, kdy hmotný bod dosáhne
výchylky -5 mm. Rovnice kmitání tohoto bodu je:
y = 5 ⋅10 sin ( 4πt )
−3
Příklad 3
Mechanický oscilátor kmitá s periodou 0,5 s a amplitudou 2 cm.
Počáteční fáze kmitání je 30°. Určete v čase 1,3 s a) okamžitou
výchylku, b) okamžitou rychlost, c) okamžité zrychlení.
Skládání kmitání
Počáteční fáze ϕ 0 - určuje počáteční výchylku
Obecný tvar rovnice kmitavého pohybu: y = ym ⋅sin (ω t + ϕ 0 )
Skládání kmitání
Fázový rozdíl = rozdíl fází dvou kmitání
Závisí pouze na rozdílu počátečních fází ( pokud mají stejné f ! )
Δϕ = ϕ 02 − ϕ 01
Stejná fáze Δϕ = 2k ⋅π
Opačná fáze Δϕ = ( 2k + 1) ⋅π
Skládání kmitání
Složením dvou a více kmitání vzn. složené kmitání
Princip superpozice
Skládání kmitání
Skládání kmitání se stejnou frekvencí: vzn. harmonické kmitání
stejná fáze: ym = ym1 + ym2
opačná fáze: ym = ym1 − ym2
Skládání kmitání
Skládání kmitání s různou frekvencí: neharmonické kmitání
speciální případ: frekvence jsou si blízké - rázy ( zázněje )
Dynamika kmitavého pohybu
Platí 2. Newtonův pohybový zákon: F = − mω y
2
Vlastnosti mechanického oscilátoru: hmotnost a tuhost
Fp
Tuhost pružiny: k =
Δl
Příčinou kmitání je síla, která oscilátor vychyluje z rovnovážné
polohy: F = − ky
Dynamika kmitavého pohybu
Z 2. Newtonova pohybového zákona platí:
k
ω0 =
m
1
k
f0 =
⋅
2π m
m
T0 = 2π ⋅
k
Příklad 4
Těleso zavěšené na pružině o tuhosti 50 Nm-1 vykoná 50 kmitů
za 64 s. Určete hmotnost tělesa.
Příklad 5
Pružina se po zavěšení tělesa prodlouží o 2,5 cm. Určete
frekvenci vlastního kmitání mechanického oscilátoru.
Kyvadlo
Model: matematické kyvadlo
g
Úhlová frekvence kyvadla: ω 0 =
l
Kyv
Příklad 6
Určete délku kyvadla hodin.
Příklad 7
Kyvadlo dlouhé 40 cm kmitá se stejnou periodou jako těleso
zavěšené na pružině o tuhosti 20 Nm-1. Určete hmotnost tělesa.
Energie kmitavého pohybu
Platí zákon zachování mechanické energie:
1 2
Kinetická energie: Ek = mv
2
1 2
Potenciální energie: Ep = ky
2
Obě tyto energie se harmonicky mění ( příčina kmitání )
Celková mech. energie je rovna součtu energií
Příklad 8
Určete celkovou mechanickou energii pružiny, která má tuhost
30 Nm-1, pokud je její amplituda výchylky 3 cm.
Netlumené kmitání
Ideální případ.
Nepůsobí žádné vnější síly.
Amplituda kmitání se nemění.
Oscilátor by kmital neomezeně dlouho.
Takovýto případ je jen modelem, ve skutečnosti dochází k
tlumení.
Tlumené kmitání
Působí vnější síly - odporová síla vzduchu, deformace pružiny
oscilátoru apod.
Mechanická energie oscilátoru se tak mění na jiné formy energie
Vzn. tlumeného kmitání.
Kmitání reálného oscilátoru je vždy tlumené!
Tlumení má vliv na periodu kmitání.
Tlumené kmitání
Amplituda tlumeného kmitání se v čase zmenšuje, až dojde k
ustání kmitavého pohybu.
Nucené kmitání
Aby nedocházelo ke tlumení
kmitavého pohybu, musíme
působit vnějšími silami.
Mezi oscilátorem a jeho okolím
existuje vazba.
Vazbou se do oscilátoru přivádí
energie.
Nucené kmitání
Pokud jsou ztráty energie kompenzovány v krátkém okamžiku,
pohyb není harmonický.
Aby pohyb byl harmonický, je třeba ztráty nahrazovat v průběhu
celé periody - vzniká nucené kmitání.
Při nuceném kmitání oscilátor kmitá vždy s frekvencí
vnějšího působení.
Rezonance
Vlastní frekvence oscilátoru sice nemá vliv na frekvenci
nuceného kmitání, ale ovlivňuje jeho amplitudu.
Amplituda nucených kmitů je největší tehdy, pokud frekvence
nucených kmitů, která je rovna vlastní frekvenci oscilátoru.
Nastává tedy rezonance oscilátoru.
Frekvence, pro níž toto maximum nastává, nazýváme rezonanční
frekvence.
Rezonance
Rezonanční křivka
Rezonance
Při rezonanci na sebe tedy působí dva oscilátory - jeden je
zdrojem nucených kmitů ( oscilátor ) a druhý se působením
nucených kmitů rozkmitá ( rezonátor ).
Mezi oscilátorem a rezonátorem může existovat pevná nebo
volná vazba.
Rezonance
Spřažená kyvadla:
Rezonance
Příklad 9
Perioda vlastního kmitání železničního vagonu je 1,25 s. Při jaké
velikosti rychlosti dosáhne kmitání způsobené nárazy kol na
spoje mezi kolejnicemi maxima, jestliže délka kolejnic je 25 m?
Download

prezentace - Fyzika GJVJ