2.3. ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ
HODNOTOU
V této kapitole se dozvíte:
•
jak vypadá a jak se řeší rovnice a n erov nice s ab solutní hod not ou v reálném
obo ru.
Klíčová slova této kapitoly: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly:
0,5 + 1,5 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Definice.
Rovnice, resp. nerovnice s absolutní hodnotou je každá algebraická rovnice, resp. nerovnice,
která obsahuje aspoň jednu absolutní hodnotu, jejímž argumentem je výraz obsahující
proměnnou.
Metoda řešení.
Nejprve určíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tzn. takové hodnoty proměnné,
pro které je aspoň jedna absolutní hodnota nulová. Nulové body rozdělují reálnou osu na
disjunktní intervaly. V každém z těchto intervalů má argument každé absolutní hodnoty
jednoznačně definované znaménko. Buď je argument kladný, pak absolutní hodnotu
nahradíme přímo jejím argumentem, nebo záporný, pak absolutní hodnotu nahradíme záporně
vzatým argumentem, podle definice absolutní hodnoty. Takto se zbavíme všech absolutních
hodnot a dostaneme (ne)rovnici bez absolutních hodnot, kterou řešíme vhodnou metodou
podle jejího typu. Získáme tak řešení, které v průniku s aktuálním intervalem, dává část
celkového řešení. Celkové řešení je pak sjednocením všech dílčích řešení pro jednotlivé
disjunktní intervaly.
Shrnutí kapitoly:
Rovnice (nerovnice) s absolutní hodnotou je každá algebraická r ovnice
(nerovnice), která obsahuje výraz s proměnnou v absolutní hodnotě.
Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou nelze většinou řešit přímo,
protože s absolutními hodnotami se špatně pracuje. Metoda řešen í je proto
založena na rozdělení oboru proměnné na vhodné intervaly, ve kterých
můžeme (na základě definice) absolutní hodnoty odstranit a vzniklé
rovnice vyřešit. Celkové řešení je pak sjednocením jednotlivých dílčích
řešení.
Otázky:
•
Jak je defin ována rov nice a ne rov n ice s ab solutní hodn otou ?
•
Fo rmu lu jte jasn ě metod u řešení rov nic a nero v nic s ab solutními hodnotami
v reálném oboru. V čem spo čívá základní p rincip jejich řešení?
Řešený příklad.
Řešte v R rovnici 1 − x − 2 x + 6 = 1 .
Řešení.
Nulový bod první absolutní hodnoty je 1, druhé –3. Tyto body rozdělí množinu reálných
čísel na tři intervaly: ( −∞, −3) , −3, 1 , (1, ∞ ) . Na tom, do kterých intervalů zařadíme
nulové body, nezáleží.
Hledejme nejprve řešení v intervalu ( −∞, −3) . Výraz v první absolutní hodnotě je
v tomto intervalu kladný, proto absolutní hodnotu můžeme odstranit. Ve druhé absolutní
hodnotě je výraz záporný, proto ji můžeme nahradit jeho opačnou hodnotou. Dostaneme
rovnici (1 − x ) −  − ( 2 x + 6 )  = 1 . Řešením této rovnice je x = −6 . Protože −6 ∈ ( −∞, −3) ,
je číslo –6 řešením původní rovnice.
Pokračujme intervalem −3, 1 . Původní rovnici můžeme v tomto intervalu převést na
rovnici tvaru (1 − x ) − ( 2 x + 6 ) = 1 , jejímž řešením je x = −2 . Protože −2 ∈ −3, 1 , je
hodnota –2 dalším kořenem.
Zbývá interval (1, ∞ ) , ve kterém původní rovnice nabývá ekvivalentního tvaru
− (1 − x ) − ( 2 x + 6 ) = 1 . Řešením je x = −8 , což ale nepatří do intervalu (1, ∞ ) a proto
není kořenem původní rovnice.
Nakonec provedeme sjednocení dílčích řešení, tzn. jednoprvkových množin {−6} a {−2}
a obdržíme jako konečný výsledek dvouprvkovou množinu {−6, −2} .
Příklad 1.
Řešte v R rovnici s absolutní hodnotou:
2
a) −2 x = 8 ; b) 2 x − 6 = 10 ; c) 1 − x − 2 x + 6 = 1 ; d) 2 x + 4 + x − 2 = x + 8 ; e) x = 25 ;
f) x 2 − 2 = 2 .
Příklad 2.
Řešte v R nerovnici s absolutní hodnotou:
a) x − 2 + 1 − x ≤ x + 5 ; b) x − 4 − x + 6 ≥ 8 ; c) x + 3 < x − 1 ; d) x + x − 1 > 2 ;
e) 7 − x > 1 − x + 3 x ; f) 2 x + 6 ≤ 0 .
Řešení příkladů:
1a) {±4} ; 1b) {−2, 8} ; 1c) {−2, −6} ; 1d) {− 7 2 , 3} ; 1e) {±5} ; 1f) {±2, 0} .
2a) x ∈ − 2 3 , 8 ; 2b) x ∈ −∞, −6 ; 2c) x ∈ ( −∞, 1) ; 2d) x ∈ ( −∞, − 1 2 ) ∪ ( 2 3, ∞ ) ;
2e) x ∈ ( −2,
8
5
) ; 2f)
x = −3 .
Další zdroje:
1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997.
2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996.
3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996.
4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus,
1995.
ZÁVĚR:
[Tady klepněte a pište]
Download

2.3. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou