Základy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných
podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Náhodný jev – jakékoli tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze (po provedení
pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé. Náhodné jevy budeme značit velkými
písmeny.
Příklad:
Jev, který nemůže nastat, nazýváme nemožný (např. padnutí sedmičky při hodu kostkou).
Jev, který vždy nastane, nazýváme jistý (např. padnutí čísla menšího než sedm při hodu
kostkou).
Průnikem jevů A a B je takový jev C, který nastane při současném nastoupení jevů A a B.
Zapisujeme C = A  B.
Př. Nechť jev A znamená zakoupení výrobku první jakosti, jev B = zakoupení výrobku modré
barvy. Potom jev C = A  B označuje zakoupení výrobku první jakosti modré barvy.
Sjednocením jevů A a B vzniká jev C, který nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden
z jevů A, B. Zapíšeme C = A  B.
Př. Nechť A = padne dvojka při hodu kostkou, B = padne jednička při hodu kostkou. Potom
jev C = A  B = padne číslo menší než 3 při hodu kostkou (neboli padne 1 nebo 2).
Jev A je doplňkovým jevem k jevu A, jestliže nastane právě tehdy, když nenastane jev A.
Př. Jestliže při hodu kostkou označíme jako jev A padnutí šestky, potom jev A bude padnutí
čísla menšího než šest. Je zřejmé, že tyto jevy budou navzájem disjunktní, tedy A  A   .
Pravděpodobnost náhodného jevu – je objektivní vlastnost každého jevu bez ohledu na to,
zda ji umíme určit. Formálně můžeme pravděpodobnost definovat pomocí třech axiómů:
1)
2)
3)
Každému náhodnému jevu A je přiřazena nezáporná pravděpodobnost P(A).
Pravděpodobnost sjednocení disjunktních jevů je součet pravděpodobností těchto jevů
A  B = Ø  P(A  B) = P(A) + P(B)
Pravděpodobnost jistého jevu je 1 (100%).
Z výše uvedených axiómů vyplývá, že pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule
a pro libovolný jev A platí: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Klasická definice pravděpodobnosti
Máme-li takový náhodný pokus, u něhož jsou výsledky stejně možné, je jich konečný počet
a vzájemně se vylučují, potom číselnou hodnotu pravděpodobnosti jevu A určíme podle
vzorce:
m
P  A  ,
n
kde m je počet výsledků, které mají za následek nastoupení jevu A, n je počet všech možných
výsledků náhodného pokusu.
Příklady k procvičení:
1) V loterii je 5000 losů, z nichž 100 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že na zakoupený
los vyhrajeme?
2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo?
3) Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajeme ve sportce první cenu, vyplníme-li jednu
sázenku (tj. uhádneme všech 6 tažených čísel ze 49 čísel)?
4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami bude součet bodů 12?
5) Ve třídě je 40 žáků, z toho 25 dívek. Náhodně vylosujeme 2 žáky. Jaká je
pravděpodobnost, že to bude 1 chlapec a 1 dívka?
6) Jaká je pravděpodobnost vyhrát třetí cenu ve sportce (uhodnout 5 čísel ze 6
tažených)?
7) V krabici je 6 bílých koulí a 4 černé koule. Náhodně vybereme 3 koule. Jaká je
pravděpodobnost, že
a) nebude vybrána žádná bílá koule,
b) bude vybrána právě jedna bílá koule,
c) budou vybrány maximálně dvě bílé koule?
Podmíněná pravděpodobnost
Máme dva jevy A a B. Podmíněná pravděpodobnost jevu A vzhledem k jevu B je
pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastoupí jev B. Značíme ji P(A/B).
Příklad: V obchodním skladu je celkem 100 výrobků, z nichž 10 má drobnou technickou
vadu. Náhodně vybereme výrobek a zajímá nás pravděpodobnost, zda je daný výrobek
bezvadný (označíme jev A). Pak P(A) = 0,9.
Připusťme novou informaci, že všechny vadné výrobky jsou od jednoho dodavatele (který
dodal pouze vadné výrobky), zatímco výrobky od ostatních dodavatelů jsou bezvadné. Jako
jev B označíme, že vybraný výrobek vyrobil dodavatel, který zaslal vadné výrobky. Potom
P(A/B) = 0.
Nyní úlohu obrátíme. P(B) = 0,1. Pokud víme, že nastane jev A, je P(B/A) = 0.
Závislost dvou jevů
Dva jevy A a B jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho jevu nezávisí na nastoupení
jevu druhého, tedy: P(A) = P(A/B) a současně P(B) = P(B/A). V opačném případě říkáme, že
jevy A a B jsou závislé.
Příklad 8
Označme jev A „při hodu kostkou padne šestka“, jev B „při hodu kostkou
padne sudé číslo“. Jsou tyto jevy závislé nebo nezávislé?
Příklad 9
Údaje o 100 narozených dětech jsou uspořádané do tabulky. Náhodně vybereme
jedno dítě. Označíme jako jev A vybrání dítěte s hmotností do 3 kg a jako jev B
vybrání dítěte do výšky 50 cm. Rozhodněte, zda jevy A a B jsou jevy závislé.
Pravděpodobnost průniku dvou jevů
P ( A  B )  P  A  P  B / A  P B   P  A / B 
Jsou-li jevy A a B nezávislé, pak P( A  B)  P A  PB 
Příklad 10
V klobouku je 10 lístků, na kterých jsou jména 6 chlapců a 4 dívek. Lístky řádně
promícháme a dva z nich vybereme. Jaká je pravděpodobnost, že na obou
lístcích jsou jména chlapců?
Příklad 11 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo sudé a současně
dělitelné třemi?
Pravděpodobnost sjednocení jevů
Jsou-li jevy A a B disjunktní ( A  B   ), pak pravděpodobnost jejich sjednocení je rovna
součtu pravděpodobností těchto jevů, tedy P(A  B) = P(A) + P(B).
Nejsou–li jevy A a B disjunktní ( A  B   ), pak pro pravděpodobnost jejich sjednocení
platí: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B).
Příklad 12
Pravděpodobnost úspěchu vojenské operace při prvním pokusu je 80%, při
druhém pokusu 90%. Jaká je pravděpodobnost alespoň jednoho úspěchu,
jestliže výsledek prvního pokusu neovlivňuje pravděpodobnost výsledku
druhého pokusu?
Příklad 13
Přístroj je sestaven ze tří nezávisle pracujících částí. Ve sledovaném časovém
intervalu je pravděpodobnost poruchy každé části 0,1. Jaká je
pravděpodobnost, že
a) ani jedna část nebude mít poruchu,
b) všechny části budou mít poruchu,
c) právě jedna část bude mít poruchu,
d) alespoň jedna část bude mít poruchu?
Příklad 14
Ve třídě je 70% chlapců. S vyznamenáním studuje 20% chlapců a 10% dívek.
Náhodně vybereme jednoho žáka. Jaká je pravděpodobnost, že studuje
s vyznamenáním?
Nezávislé pokusy
Náhodné pokusy považujeme za nezávislé, jestliže pravděpodobnost výsledku kteréhokoli
pokusu nezávisí na výsledcích pokusů ostatních. Typickými příklady nezávislých pokusů jsou
házení kostkou, otáčení ruletou, výroba na automatickém stroji, apod.
Provádíme n nezávislých pokusů. Pravděpodobnost jevu A je p, pravděpodobnost jeho
doplňku A je 1 – p. Hledáme pravděpodobnost, že při n nezávislých pokusech nastane jev A
právě x - krát.
Příklad 15
Jaká je pravděpodobnost, že při pěti hodech kostkou padne jednou šestka?
1
.
6
Dále označme A1 jev „šestka padne při prvním hodu (a pak už nepadne)“.
Označme jev A „ padne šestka“, pak P(A) =
4
1 5 5 5 5 1 5
Pak P A1            0,080375514
6 6 6 6 6 6 6
Nyní označme A2 jev „šestka padne pouze při druhém hodu“.
4
Pak P A2  
5 1 5 5 5 1 5
         0,080375514
6 6 6 6 6 6 6
Nyní označme A3 jev „šestka padne pouze při třetím hodu“.
4
Pak P A3  
5 5 1 5 5 1 5
         0,080375514
6 6 6 6 6 6 6
Jistě není třeba vysvětlovat, co že to označíme jako jevy A4 a A5 a taktéž jaká bude jejich
pravděpodobnost. Výsledná pravděpodobnost bude rovna součtu všech těchto „dílčích“
pravděpodobností, neboť jevy A1 až A5 jsou navzájem disjunktní (nemohou nastat současně).
4
5
15
5
P(1)  P A1   P A2   ...  P A5   5        0,401877572  cca 40%
66
6
Obecným vyjádřením této problematiky je tzv. Bernoulliho schéma. Označíme-li symbolem
P(x) pravděpodobnost, že při n nezávislých pokusech jev A nastane právě x-krát, dostaneme:
 n
n x
P x     p x  1  p  , kde p  P A
 x
Zkusíme vyřešit příklad 15 pomocí Bernoulliho schématu.
n=5
(kostkou házíme pětkrát)
x=1
(šestka má padnout jen jednou)
1
5
p=
→ 1 p 
6
6
5
1
4
 5  1   5   5 
P 1          =    0,401877572  cca 40%
 1  6   6   6 
Příklad 17)
Jaká je pravděpodobnost, že při 5-ti hodech kostkou padne šestka
a) jednou,
b) třikrát,
c) aspoň jednou,
d) dvakrát, a to při prvním a druhém hodu?
Příklad 18)
Test obsahuje 10 otázek a na každou z nich jsou možné 4 odpovědi. Správnou
odpověď má student zaškrtnout. Jaká je pravděpodobnost, že student zodpoví
správně alespoň 5 otázek, jestliže látku vůbec nezná a volí odpovědi náhodně?
Příklad 19)
Je známo, že určitý lék úspěšně léčí dané onemocnění v 90% případů. Jaká je
pravděpodobnost, že alespoň čtyři z pěti pacientů budou vyléčeni?
Příklad 20)
Pravděpodobnost vypěstování zdravé rostliny ze semene je 0,3. Zasadíte 10
semen. Jaká je pravděpodobnost, že vypěstujete 5 zdravých rostlin?
Příklad 21)
Pravděpodobnost, že dítě zdědí určitou chorobu, je 20%. Jaká je
pravděpodobnost, že v rodině s pěti dětmi a) žádné nezdědí chorobu, b) právě
jedno zdědí chorobu, c) maximálně dvě zdědí chorobu, d) všechny zdědí
chorobu?
Příklad 22)
Rozhodněte, který z následujících jevů je pravděpodobnější.
a) Při šesti hodech hrací kostkou padne 6 aspoň jednou.
b) Při dvanácti hodech hrací kostkou padne 6 aspoň dvakrát.
c) Při osmnácti hodech hrací kostkou padne 6 aspoň třikrát.
Příklad 23)
Automat vyrobí za minutu 10 součástek. Pravděpodobnost vyrobení vadné
součástky je 0,01. Po kolika minutách bude pravděpodobnost, že byl vyroben
alespoň jeden zmetek, rovna minimálně 0,8?
Po kolika minutách bude pravděpodobnost, že bude vyroben právě jeden
zmetek, 100%?
Download

Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – každá