Výpočet oblouku s krajními
klotoidickými
přechodnicemi
Pomůcka pro studenty K137
ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Katedra železničních staveb
Marek Pýcha
DOST
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
0/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
1. Úvod
Tato pomůcka obsahuje teoretický úvod k výpočtu směrového oblouku s krajními
symetrickými klotoidickými přechodnicemi a dále příklad takového výpočtu. Věříme,
že s pomocí tohoto textu bude pro studenty jednodušší porozumět základnímu
konstrukčnímu prvku, užívanému při trasování železničních tratí (a kolejových drah
obecně), a bude pro ně i jednodušší vypracovat první domácí úlohu z předmětu
DOST.
Autor děkuje Ing. Karlu A. Fridrichovi za laskavé svolení k použití obrázků, fotografií
a částí textu z původní pomůcky pro výpočet směrových oblouků.
Za připomínky a kontrolu pomůcky autor děkuje svým kolegům Martinu Lidmilovi a
Petru Kučerovi.
Obsah
1. Úvod .................................................................................................................... 1 2. Seznam obrázků a tabulek .................................................................................. 2 2.1. Obrázky ......................................................................................................... 2 2.2. Tabulky .......................................................................................................... 2 3. Teoretický úvod ke konstrukci směrového oblouku ............................................. 3 3.1. Směrové vedení železniční trati – přímá, oblouk a přechodnice ................... 3 3.2. Výškové řešení oblouků – převýšení a vzestupnice ...................................... 4 4. Postup výpočtu směrového oblouku s krajními symetrickými klotoidickými
přechodnicemi ............................................................................................................ 6 4.1. Vstupní údaje ................................................................................................ 6 4.2. Převýšení ...................................................................................................... 6 4.3. Nedostatek/přebytek převýšení ..................................................................... 7 4.4. Délka krajní vzestupnice a přechodnice oblouku ........................................... 8 4.4.1. Potřebná délka vzestupnice .................................................................... 8 4.4.2. Potřebná délka přechodnice ................................................................... 9 4.5. Vytyčovací prvky přechodnice a kružnicové části oblouku .......................... 10 4.6. Staničení ..................................................................................................... 13 4.7. Konstrukce dvou směrových oblouků za sebou........................................... 14 5. Příklad výpočtu .................................................................................................. 15 5.1. Zadání ......................................................................................................... 15 5.2. Vstupní údaje .............................................................................................. 15 Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
1/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
5.3. Výpočet převýšení a nedostatku převýšení prvního oblouku....................... 15 5.3.1. Výpočet a ověření převýšení................................................................. 15 5.3.2. Výpočet a ověření nedostatku převýšení .............................................. 16 5.4. Návrh krajních přechodnic prvního oblouku ................................................ 16 5.4.1. Stanovení délky přechodnice ................................................................ 16 5.4.2. Výpočet vytyčovacích prvků krajních přechodnic prvního oblouku ....... 17 5.5. Odhad poloměru druhého oblouku .............................................................. 18 5.6. Výpočet převýšení a nedostatku převýšení druhého oblouku ..................... 19 5.6.1. Výpočet a ověření převýšení................................................................. 19 5.6.2. Výpočet a ověření nedostatku převýšení .............................................. 20 5.7. Návrh krajních přechodnic druhého oblouku ............................................... 20 5.7.1. Stanovení délky přechodnice ................................................................ 20 5.7.2. Výpočet vytyčovacích prvků vnější přechodnice druhého oblouku ....... 20 5.8. Ověření dostatečné délky mezipřímé mezi oblouky .................................... 21 5.9. Závěr ........................................................................................................... 22 6. Výkres ............................................................................................................... 22 7. Drobná poznámka na závěr .............................................................................. 22 8. Literatura ........................................................................................................... 22 2. Seznam obrázků a tabulek
2.1.
Obrázky
Obr. 1: Názvosloví směrového oblouku s přechodnicemi ........................................... 4 Obr. 2: Vytyčovací schéma směrového oblouku s krajními symetrickými klotoidickými
přechodnicemi .......................................................................................................... 11 Obr. 3: Staničník (a) betonový, (b, c) tabulový (foto K. A. Fridrich) ........................... 14 Obr. 4: Ilustrace směrového polygonu a souvisejícího názvosloví ........................... 14 2.2.
Tabulky
Tab. 1: Hodnoty standardního, mezního a maximálního nedostatku převýšení
(Zjednodušeno pro potřeby předmětu DOST. Úplné znění viz [3]) ............................. 8 Tab. 2: Hodnoty sklonu lineární vzestupnice .............................................................. 9 Tab. 3: Hodnoty součinitele změny nedostatku převýšení .......................................... 9 Tab. 4: Vytyčovací prvky krajní klotoidické přechodnice ........................................... 12 Tab. 5: Délka kružnicových částí oblouků a přímých mezi vzestupnicemi ................ 13 Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
2/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
3. Teoretický úvod ke konstrukci směrového oblouku
3.1.
Směrové vedení železniční trati – přímá, oblouk a přechodnice
Primárním účelem budování železniční trati je spojit dvě odlišná místa dopravní
infrastrukturou. Je zřejmé, že nejjednodušším způsobem, jak toho dosáhnout, je
propojit dvě taková místa podle přímky, což ovšem v realitě není vždy možné
(případně by to bylo neúnosně nákladné). Z hlediska směrového vedení tedy
železniční trasu rozlišujeme na přímé úseky (přímá) a na směrové oblouky (oblouk).
Směrové oblouky slouží k plynulému přechodu mezi dvěma sousedními přímými
úseky.
Z pohledu kinematiky kolejových vozidel představuje přímá úsek trati s nulovou
křivostí.1 Naproti tomu směrový oblouk představuje úsek trati s kladnou křivostí
(protože oblouk má na rozdíl od přímé konečný poloměr). Protože parametry
ovlivňující jízdu (např. příčné zrychlení apod.) jsou závislé na aktuální křivosti, je
zřejmé, že v místě styku přímé a oblouku může docházet ke skokovým změnám
těchto parametrů a v důsledku toho může být jízda kolejových vozidel vnímána
cestujícími jako nepohodlná. Je nasnadě, že se taková místa na trati snažíme
eliminovat a proto mezi přímou (prvek s nulovou křivostí) a oblouk (prvek s kladnou
křivostí) vkládáme ještě část koleje, kterou nazýváme přechodnice. Tato část koleje
je konstruována tak, aby na svém počátku měla křivost nulovou a na svém konci aby
měla křivost rovnu křivosti oblouku. Mezi těmito dvěma body se pak křivost plynule
mění.
Z předcházejícího odstavce jsme odvodili, že přechodnice je půdorysná křivka
se spojitě se měnící křivostí, která na svém počátku a konci má křivost rovnou
křivosti v přilehlých úsecích (přímá, oblouk). Podle umístění přechodnice
v konstrukci tratě rozlišujeme


přechodnici krajní, která spojuje přímou a kružnicovou část oblouku, a
přechodnici mezilehlou, která spojuje dvě kružnicové části složeného
oblouku.
Z hlediska průběhu křivosti po délce přechodnice pak rozlišujeme


1
přechodnice s lineárně se měnící křivostí – přechodnice tvaru klotoidy (v
současnosti nejpoužívanější), přechodnice tvaru kubické paraboly (starší typ).
Tyto typy přechodnic se používají v kombinaci s lineárními vzestupnicemi (viz
dále), případně v obloucích bez převýšení.
přechodnice s nelineárně se měnící křivostí – přechodnice podle Blosse.
Tento typ přechodnic se používá jen ve výjimečných případech (stísněné
prostorové poměry, speciálně kolejové konstrukce apod.).
Uvažujeme křivost jako převrácenou hodnotu poloměru.
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
3/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
Obr. 1: Názvosloví směrového oblouku s přechodnicemi
Je zřejmé, že do každého oblouku vkládáme dvě přechodnice. Jednu na začátek
oblouku a druhou na jeho konec. Podle toho, jakou délku mají obě přechodnice,
hovoříme o


oblouku se symetrickými přechodnicemi, pakliže mají obě přechodnice
stejnou délku, nebo o
oblouku s nesymetrickými přechodnicemi, pakliže mají krajní přechodnice
délku rozdílnou.
Oblouk s nesymetrickými přechodnicemi se projektuje prakticky jen v tom případě,
kdy na oblouk se symetrickými přechodnicemi není dostatečné místo a je nutné
jednu z přechodnic zkrátit.
V této pomůcce se věnujeme pouze nejtypičtější konstrukci směrového oblouku a tou
je směrový oblouk s krajními symetrickými klotoidickými přechodnicemi. Všem
slovům vysázeným v předchozí větě kurzívou byste již měli být schopni porozumět.
Názvosloví směrového oblouku s přechodnicemi je přiblíženo na Obr. 1.
3.2.
Výškové řešení oblouků – převýšení a vzestupnice
Při průjezdu kolejového vozidla obloukem působí v jeho těžišti příčné zrychlení, které
podle třetího Newtonova zákona generuje odstředivou sílu. Tato odstředivá síla je
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
4/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
přímo úměrná kvadrátu rychlosti, kterou kolejové vozidlo jede, a nepřímo úměrná
poloměru oblouku. Odstředivá síla má na kolejové vozidlo nepříznivé účinky,
způsobuje nepohodlí cestujících, může způsobit posunutí nákladu a v extrémním
případě by mohla vést k vykolejení anebo dokonce k převrácení kolejového vozidla.
Pro eliminaci příčného zrychlení (a s ním spojené odstředivé síly) zřizujeme
v oblouku tzv. převýšení. Princip převýšení je velmi přirozený a spočívá
v nadvýšení vnějšího kolejnicového pásu oproti pásu vnitřnímu. Tím je docíleno
„naklopení“ vozidla dovnitř oblouku, čímž dojde k redukci odstředivých sil.
V konečném důsledku jsme tak schopni obloukem s převýšením projíždět vyšší
rychlostí (se zachováním stejné úrovně bezpečnosti), než kdybychom převýšení
nezřídili. Výklad principů převýšení přesahuje rámec tohoto textu, a proto ho zde
neuvádíme. Velmi dobře je tento princip vysvětlen v [1] na stránce 38.
Rozlišujeme tři základní druhy převýšení:



převýšení teoretické, značíme Deq,
převýšení doporučené, značím DN,
převýšení skutečně projektované, značíme D.
Teoretické převýšení je takové převýšení, které při daném poloměru a dané
návrhové rychlosti právě vyrovnává působící příčné zrychlení. Toto převýšení je
výhodné projektovat v uzavřených kolejových systémech, kde jezdí vlaky téhož typu
vždy stejnou (tj. návrhovou) rychlostí. Takovým uzavřeným systémem je např. trať
metra.
Na reálné železnici je ovšem rozpětí kolejových vozidel, které trať pojíždějí, a
rychlostí, kterými tato vozidla jedou, značně široké. V takových případech je výhodné
projektovat převýšení doporučené, které sice při průjezdu návrhovou rychlostí zcela
nevyrovnává působící příčné zrychlení, ale způsobuje rovnoměrnější opotřebování
trati i při rozdílné charakteristice traťového provozu při zachování požadované
bezpečnosti provozu.
Převýšení projektované je pak to převýšení, které se projektant rozhodne v oblouku
skutečně navrhnout. Protože doporučené převýšení je skutečně pouze doporučené,
může projektant navrhnout projektované převýšení i v jiné hodnotě (např. právě u
metra navrhne přímo převýšení teoretické, u obloukového zhlaví pak zpravidla
navrhne převýšení nižší, než doporučené apod.). Nicméně platí, že na širé trati za
standardních podmínek je hodnota projektovaného převýšení rovna hodnotě
převýšení doporučeného.
Zřízení převýšení v kružnicové části oblouku nám sice umožní jízdu vyšší rychlostí,
ale přináší nám praktický problém, kdy vzájemná výška levého a pravého kolejového
pásů je stejná v přímé (kde žádné převýšení není potřeba), ale rozdílná v oblouku
(vnější kolejnicový pás převýšen oproti vnitřnímu řádově v desítkách milimetrů). Je
zřejmé, že změna vzájemné výšky jednotlivých kolejnicových pásů se nemůže udát
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
5/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
skokově (taková „schodovitá“ konstrukce by neumožňovala jízdu vozidel), ale musí
se odehrát postupně. Úsek trati, ve kterém se spojitě mění vzájemná výšková
poloha kolejnicových pásů, se nazývá vzestupnice.
Z hlediska průběhu změny výšky kolejnicových pásů rozeznáváme


vzestupnice s lineárním nárůstem převýšení – lineární vzestupnice –
standardní a nejpoužívanější typ vzestupnic,
vzestupnice s nelineárním nárůstem převýšení – vzestupnice podle
Blosse – pouze speciálně používaná, nejčastěji ve stísněných poměrech
anebo ve speciálních kolejových zařízeních.
Při návrhu směrového oblouku se snažíme vždy dodržovat pravidlo, že „délka
vzestupnice má být rovna délce přechodnice a umisťuje se do stejného úseku
trati“. To znamená, že začátek vzestupnice a začátek přechodnice leží v tomtéž bodě
a totéž platí pro konec vzestupnice a přechodnice. Délka přechodnice a vzestupnice
je pak shodná a zvolí se podle délky delší z nich (jako by se kratší z dvojice
vzestupnice/přechodnice „roztáhla“ na podle délky té delší z dvojice).
Postup jak stanovit konkrétní hodnoty převýšení, délky přechodnic, vzestupnic atd. je
uveden v následující kapitole.
4. Postup výpočtu směrového oblouku s krajními symetrickými
klotoidickými přechodnicemi
4.1.
Vstupní údaje
Vstupními údaji výpočtu jsou návrhová rychlost VN [km · h-1], poloměr směrového
oblouku (dále jen oblouku) R [m] a vrcholový úhel oblouku α [°] resp. [rad] resp.
[gon].
4.2.
Převýšení
Teoretické převýšení se určí podle vzorce
(1)
11,8 ∙
,
[mm]
kde VN je návrhová rychlost v [km/h] a R je poloměr oblouku v [m]. Výsledná
hodnota teoretického převýšení se zaokrouhlí nahoru na celé [mm].
Vzorec pro doporučené převýšení závisí na návrhové rychlosti. Doporučené
převýšení se spočte podle vzorců
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
6/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
7,1 ∙
(2)
6,5 ∙
5,9 ∙
,pro
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
120km/h ,
,pro120km/h
160km/h,
,pro160km/h
200km/h ,
[mm]
kde VN je návrhová rychlost v [km/h] a R je poloměr oblouku v [m]. Výsledná
hodnota se opět zaokrouhlí nahoru na celé [mm].
Při volbě projektovaného převýšení je třeba splnit dva požadavky
1) Projektované převýšení se zvolí v rozmezí od Dmin = 20 mm do Dlim = 150 mm
(ve zdůvodněných případech až Dmax = 160 mm, ale takový případ vyžaduje
svolení správce trati a proto je zcela výjimečný). Pokud by hodnota
doporučeného převýšení vyšla menší než 20 mm, navrhujeme oblouk bez
převýšení (tj. projektované převýšení má hodnotu nula mm).
2) Projektované převýšení je třeba volit tak, aby byla splněna podmínka omezení
nedostatku/přebytku převýšení (viz dále).
V případě, kterému se věnujeme v této pomůcce, není za projektované převýšení
třeba volit jiné než doporučené převýšení. Projektované převýšení proto bude
,
(3)
[mm]
kde index i je zvolen dle návrhové rychlosti VN podle rovnice (2).
4.3.
Nedostatek/přebytek převýšení
Je-li projektované převýšení menší než převýšení teoretické, působí na kolejové
vozidlo projíždějící obloukem návrhovou rychlostí nedostatek převýšení, který se
spočte podle vzorce
.
(4)
[mm]
Hodnota nedostatku převýšení je normově omezena. Musíme tedy zkontrolovat, že
platí
(5)
resp.
resp.
,
kde In resp. Ilim resp. Imax je standardní resp. mezní resp. maximální hodnota
nedostatku převýšení (podle toho na které hodnoty posuzujeme). Hodnoty In resp. Ilim
resp. Imax udává Tab. 1.
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
7/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Rychlost
[km/h]
V ≤ 80
80 < V ≤ 230
230 < V ≤ 250
250 < V ≤ 300
Standardní
hodnota
In
[mm]
Mezní hodnota
Ilim
[mm]
80
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
Maximální
hodnota
Imax
[mm]
100
100
130
60
80
Tab. 1: Hodnoty standardního, mezního a maximálního nedostatku převýšení (Zjednodušeno pro potřeby
předmětu DOST. Úplné znění viz [3])
Je-li projektované převýšení větší než převýšení teoretické, působí na kolejové
vozidlo projíždějící obloukem návrhovou rychlostí přebytek převýšení, který se spočte
podle vzorce
.
(6)
[mm]
Hodnota přebytku převýšení je normově omezena. Musíme tedy zkontrolovat, že
platí
resp.
(7)
,
kde Elim resp. Emax je mezní resp. maximální hodnota přebytku převýšení (podle toho
na které hodnoty posuzujeme). Mezní hodnota přebytku převýšení je Elim = 80 mm,
maximální hodnota přebytku převýšení je Emax = 110 mm.
4.4.
Délka krajní vzestupnice a přechodnice oblouku
Jak již bylo uvedeno výše, pro vyrovnání převýšení v přímé a v kružnicové části
oblouku je třeba mezi nimi zřídit vzestupnici. Stejně tak pro zajištění plynulé změny
křivosti mezi přímou a kružnicovou částí oblouku je třeba v části koleje zřídit
přechodnici.
V této pomůcce se budeme věnovat pouze lineární vzestupnici a klotoidické
přechodnici.
4.4.1. Potřebná délka vzestupnice
Potřebná délka lineární vzestupnice se spočte dle vzorce
(8)
∙
,
1000
[m]
kde D je projektované převýšení oblouku a n je součinitel sklonu lineární vzestupnice,
určený z Tab. 2. V této tabulce jsou pro jednotlivá rychlostní pásma uvedeny hodnoty
součinitele n a tyto hodnoty jsou dále rozděleny do třech kategorií



hodnoty standardní,
hodnoty mezní a
hodnoty minimální (případně maximální).
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
8/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
Platí zásady, že veškeré konstrukce v železničním stavitelství se snažíme navrhovat
tak, aby byly splněny požadavky zařazené v kategorii standardní. Pokud by však
splnění standardních požadavků vedlo na příliš nákladný návrh (příliš hluboký zářez,
příliš dlouhý oblouk apod.), lze použít i hodnoty mezní, pokud projektant svou volbu
může adekvátně odůvodnit (tzv. odůvodněné situace). Hodnoty minimální/maximální
lze oproti tomu použít pouze s výhradním souhlasem vlastníka (či budoucího
vlastníka) trati.
V této pomůcce budeme dále navrhovat tak, aby byly splněny standardní návrhové
parametry. Hodnoty minimální/maximální budou naproti tomu pro nás zapovězené.
Součinitel sklonu lineární vzestupnice n
standardní
mezní
minimální
a
10 · V
6·V
6 · Vb
10 · V
7·V
6·V
10 · V
8·V
7·V
Rychlost
V ≤ 80 km.h-1
80 km.h-1 < V ≤ 120 km.h-1
120 km.h-1 < V ≤ 160 km.h-1
Pozn.:
a
Alespoň však 445.
b
Alespoň však 400
Pro užití minimálních hodnot nutný souhlas vlastníka trati.
Tab. 2: Hodnoty sklonu lineární vzestupnice
4.4.2. Potřebná délka přechodnice
Potřebná délka přechodnice pro dodržení časové změny nedostatku převýšení se
spočte jako
∙
,
1000
(9)
[m]
kde I je nedostatek převýšení oblouku v [mm] a nI součinitel časové změny
nedostatku převýšení určený podle Tab. 3. Opět se snažíme prvotně navrhovat na
hodnoty standardní.
Rychlostní pásmo
[km/h]
V ≤ 160
160 < V ≤ 300
Standardní Mezní Minimální
hodnota
hodnota hodnota
nI,n
nI,lim
nI,min
4·V
4·V
10 · V
8·V
6·V
Tab. 3: Hodnoty součinitele změny nedostatku převýšení
Mimo požadavku (9) je třeba splnit ještě požadavek na možnost strojní údržby
směrové polohy koleje, který stanoví, že potřebná délka přechodnice by měla být
alespoň
(10)
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
0,7 ∙ √ ,
[m]
9/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
kde R je poloměr oblouku v [m]. Posledním požadavkem na délku přechodnice je
požadavek na provoz vozidel s naklápěcími skříněmi, který požaduje délku
přechodnice alespoň
20m.
(11)
Nakonec se ještě snažíme dodržovat zásadu, že délka přechodnice se projektuje
shodná s délkou vzestupnice (a naopak).
Je zřejmé, že všechny výše zmíněné požadavky musí být splněny současně a proto
potřebná délka přechodnice bude
max
(12)
,
,
,
.
[m]
Skutečnou délku vnější přechodnice prvního oblouku získáme tak, že výsledek
z předcházející rovnice zaokrouhlíme na celé [m] nahoru. Tím získáme hodnotu
délky přechodnice Lk.
4.5.
Vytyčovací prvky přechodnice a kružnicové části oblouku
Se znalostí délky přechodnice můžeme vypočítat všechny vytyčovací prvky
klotoidické přechodnice. Jednotlivé prvky i vzorce pro jejich výpočet jsou uvedeny
v Tab. 4.
Celkové vytyčovací schéma směrového oblouku s krajními symetrickými
klotoidickými přechodnicemi je zobrazeno na Obr. 2. Obrázek v Tab. 4 pak zobrazuje
pouze tu část vytyčovacího schématu, která se bezprostředně týká přechodnice.
Kromě vytyčovacích prvků samotné přechodnice musíme spočíst i vytyčovací prvky
kružnicové části oblouku. Malá tečna oblouku se spočte jako
∙ tan
(1)
2
.
[m]
Velká tečna oblouku je dána
.
(2)
[m]
Vzepětí oblouku určuje rovnice
(1)
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
cos
.
2
[m]
10/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
Obr. 2: Vytyčovací schéma směrového oblouku s krajními symetrickými klotoidickými přechodnicemi
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
11/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
D
délka přechodnice v ose koleje LK [m]
poloměr kružnicového oblouku R [m]
parametr klotoidy A [m]
úhel tečny v koncovém bodě přechodnice τK
[rad]
Lk
R
2
A = R · Lk
L
k  k
2R
3
souřadnice koncového bodu přechodnice XK [m]
X k  Lk 
2
souřadnice koncového bodu přechodnice YK [m]
Yk 
odsazení kružnicového oblouku m [m]
souřadnice XS středu kružnicového oblouku [m]
vzdálenost libovolného bodu osy přechodnice od
jejího začátku ℓ [m]
5
Lk
Lk

40  R 2 3456  R 4
4
6
Lk
Lk
Lk


6  R 336  R 3 42240  R 5
m = Yk – R · (1 – cos τk)
XS = Xk – R · sin τk
ℓ
x  
souřadnice x libovolného bodu přechodnice [m]
souřadnice y libovolného bodu přechodnice [m]
y
5
9

2
4
2
40  R  LK 3456 R4  LK
3
7
11


3
3
6  R  LK 336  R  LK 42240 R5  LK5
 
úhel tečny v libovolném bodě přechodnice τ [rad]
2
2 .R .L K
Tab. 4: Vytyčovací prvky krajní klotoidické přechodnice
Středový úhel oblouku se spočte dle rovnice
2∙
(1)
.
[rad]
Délka kružnicové části oblouku pak je
(2)
,
∙
.
[m]
Délka kružnicové části oblouku musí splnit podmínku
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
12/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
(3)
,
resp.
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
,
kde Llim resp. Lmin je mezní resp. minimální délka kružnicové části oblouků, určená
podle Tab. 5.
Rychlostní
pásmo
[km/h]
V ≤ 80
80 < V ≤ 200
Hodnota délky kružnicových
částí oblouků a přímých částí
koleje mezi vzestupnicemi
Minimální
Mezní
Lmin
Llim
[m]
[m]
20
15
0,2*V
20
Tab. 5: Délka kružnicových částí oblouků a přímých mezi vzestupnicemi
Poznámka k Tab. 5: Všimněme si, že pro některé rychlosti vyjde mezní hodnota
délky menší než hodnota minimální. V takovém případě pak samozřejmě platí
hodnota minimální (např. pro VN = 90 km/h vychází Llim = 0,2 * 90 = 18 m, ale
minimální hodnota délky je stanovena na Lmin = 20 m a proto samozřejmě platí
Llim = Lmin = 20 m).
4.6.
Staničení
Staničení je polohový systém železniční trati, sloužící pro popis umístění trasovacích
bodů (hlavní body oblouků – začátek přechodnice ZP, začátek oblouku ZO, konec
oblouku KO, konec přechodnice KP, body lomu sklonu atp.) nebo objektů (poloha
stanic a zastávek, výhybek, návěstidel, mostů atp.) na trati. Osa staničení je vedena
osou koleje, na dvoukolejné trati nebo ve stanici zpravidla osou 1. koleje. Staničení
má být spojitě rostoucí od začátku ke konci trati, nemusí nutně začínat nulovou
hodnotou. Z historických důvodů je na mnoha tratích směr od začátku ke konci trati
protisměrný vůči směru staničení, případně se staničení v některých místech na trati
mění (tzv. skok ve staničení). Staničení má vždy kladnou hodnotu a v dokumentacích
pro stavbu se udává v kilometrech s přesností na milimetry.
Na trati se staničení vyznačuje tabulovými nebo betonovými (popř. kamennými)
staničníky po 100 metrech (Obr. 3a, Obr. 3b). Betonový nebo kamenný staničník se
osazuje pokud možno přesně do bodu, jehož staničení nese. Tabulový staničník se
umísťuje buď na samostatný sloupek rovněž přesně do bodu, jehož staničení nese,
nebo se u elektrifikovaných tratí zavěsí na nejbližší stožár trakčního vedení.
V takovém případě bude na staničníku uvedena navíc upřesněná poloha v metrech,
napsaná drobným písmem v rohu staničníku (viz Obr. 3c).
Staničení používají veškeré stavební dokumentace, studie, pasportní systémy a
doklady provozovatele dráhy a dopravců. Pouze ve vytyčovacích výkresech projektů
staveb se uvádí také souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální
(S-JTSK).
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
13/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
a)
b)
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
c)
Obr. 3: Staničník (a) betonový, (b, c) tabulový (foto K. A. Fridrich)
4.7.
Konstrukce dvou směrových oblouků za sebou
Při trasování železničních tratí většinou nenastává situace, kdy bychom mohli použít
jen jeden osamocený směrový oblouk, ale v drtivé většině případů musíme použít
několik oblouků, často i těsně za sebou. Pokud taková situace nastane, máme
většinou pevně daný tzv. směrový polygon, který je tvořen vrcholy jednotlivých
oblouků, propojených přímkami. Tyto přímky tvoří tečny jednotlivých oblouků a na
jejich části je pak vedena přímá. Do tohoto směrového polygonu pak navrhujeme
jednotlivé oblouky způsobem popsaným v předcházejícím textu. Popisovaná situace
navrhování v předcházejícím odstavci je ilustrována na Obr. 4).
Obr. 4: Ilustrace směrového polygonu a souvisejícího názvosloví
Po navržení obou oblouků je ovšem třeba ještě posoudit skutečnost, zda je mezi
krajními body obou oblouků (bod KP prvního oblouku a bod ZP druhého oblouku)
dostatečně dlouhý mezipřímý úsek. Je-li pevně dána vzdálenost vrcholových bodů
obou oblouků V1V2 [m], pak délka mezipřímé mezi krajními body obou oblouků se
spočte jako
(4)
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
,
,
[m]
14/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
kde T1 resp. T2 jsou velké tečny prvního resp. druhého oblouku. Délka tohoto
mezipřímého úseku pak musí splňovat podmínku
(5)
,
resp.
,
kde Llim resp. Lmin je mezní resp. minimální délka mezipřímé, určená podle Tab. 5.
5. Příklad výpočtu
5.1.
Zadání
Vypočítejte vytyčovací prvky úseku železniční tratě se dvěma protisměrnými
kružnicovými oblouky s přechodnicemi ve tvaru klotoidy pro následující parametry:




poloměr prvního oblouku: R1 = 600 m,
návrhová rychlost: VN = 90 km/h,
vrcholové úhly: α1 = 15°, α2 = 18°,
vzdálenost V1V2 = 325 m.
5.2.
Vstupní údaje
Ze zadání vyplývají následující hodnoty vstupních veličin:
Poloměr prvního oblouku
Vzdálenost vrcholů
Návrhová rychlost
Vrcholový úhel prvního oblouku
Ro1
V1V2
VN
αo1
Vrcholový úhel druhého oblouku
αo2
5.3.
= 600,000
m
= 325,000
m
= 90
km/h
=
15,000 000 °
=
16,666 667 gon
=
0,261 799 rad
=
18,000 000 °
=
20,000 000 gon
=
0,314 159 rad
Výpočet převýšení a nedostatku převýšení prvního oblouku
5.3.1. Výpočet a ověření převýšení
Teoretické převýšení
11,8 ∙
,
Doporučené převýšení
(protože VN = 60 km/h, volíme DN1)
Projektované převýšení
(není důvod projektovat jiné než
doporučené převýšení)
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
,
11,8 ∙ 90
600
159,300 mm 160mm
7,1 ∙
7,1 ∙ 90
600
95,850 mm 96mm
96 mm
,
15/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
Meze pro projektované převýšení:
20 mm
150 mm
spodní mez
horní mez
Ověření projektovaného převýšení
20mm
96mm
150mm
VYHOVUJE na mezní hodnoty
5.3.2. Výpočet a ověření nedostatku převýšení
Nedostatek převýšení
,
Standardní hodnota nedostatku
80 mm
převýšení
Ověření nedostatku převýšení
64mm
5.4.
80mm
160
96
64 mm
VYHOVUJE na standardní hodnoty2
Návrh krajních přechodnic prvního oblouku
5.4.1. Stanovení délky přechodnice
V souladu s ČSN 73 6360-1 užíváme klotoidickou přechodnici s lineární vzestupnicí
a projektujeme délku přechodnice shodnou s délkou vzestupnice.
Standardní hodnota součinitele sklonu
lineární vzestupnice
Potřebná délka lineární vzestupnice při
návrhu na standardní hodnoty
Standardní hodnota součinitele změny
nedostatku převýšení
Potřebná délka klotoidické přechodnice
s ohledem na změnu nedostatku
převýšení při návrhu na standardní
hodnoty
Potřebná délka klotoidické přechodnice
určená z poloměru (z hlediska údržby)
Potřebná délka klotoidické přechodnice
pro průjezd vozidel s naklápěcími
skříněmi
Požadovaná délka krajních přechodnic
prvního oblouku
10 ∙
,
,
,
,
,
,
,
10 ∙ 90
900 ‐
∙
900 ∙ 96
1000
1000
86,400 m
10 ∙
10 ∙ 90 900 ‐
,
∙
1000
57,600 m
,
,
900 ∙ 64
1000
0,7 ∙
0,7 ∙ √600
17,146 m
20,000 m
,
,
max , , , , , , , , ,
max 86,400; 57,600; 17,146; 20,000
86,400 m
,
,
2
Pokud posouzení nevyjde na standardní hodnoty, je nutné buď změnit hodnotu projektovaného
převýšení (což se většinou neobejde bez zvětšení poloměru oblouku anebo snížení návrhové
rychlosti) anebo je nutné posoudit nedostatek převýšení na mezní hodnotu dle Tab. 1. Druhá ze
zde uváděných možností je v tomto případě používanější.
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
16/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Délka krajních přechodnic prvního
oblouku po zaokrouhlení
,
,
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
m
5.4.2. Výpočet vytyčovacích prvků krajních přechodnic prvního oblouku
Délka přechodnice v ose koleje
87,000 m
,
Poloměr kružnicového oblouku
600,000 m
Parametr klotoidy
∙ ,
600 ∙ 87 52200,000m2
87
Úhel tečny v koncovém bodě
,
0,072500rad
,
přechodnice
2 ∙ 600
2∙
4,153 944 ° 4,615 493gon
Souřadnice koncového bodu
,
,
,
,
přechodnice
6∙
336 ∙
42240 ∙
87
87
6 ∙ 600 336 ∙ 600
2,102 m
,
,
Malá tečna
∙ tan
600
,
cos
Středový úhel prvního oblouku
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
,
2
0,526 ∙ tan
79,061 m
Velká tečna
Vzepětí oblouku
Skutečná délka kružnicové části
prvního oblouku
Požadovaná délka kružnicové
části oblouku (pro rychlost od
80 km/h do 200 km/h)
,
3 456 ∙
40 ∙
87
87
87
40 ∙ 600
3 456 ∙ 600
86,954 m
∙ 1 cos ,
,
2,102 600 ∙ 1 cos 0,072500
0,526 m
∙ sin ,
,
86,954 600 ∙ sin 0,072500
43,492 m
Odsazení kružnicového oblouku
Souřadnice středu kružnicového
oblouku
,
,
87
42240 ∙ 600
0,261799
2
43,492 79,061 122,553 m
600 0,526
600
0,261799
cos
2
2
5,707 m
2∙
0,261 799 2 ∙ 0,072500
0,116 799 rad
∙
600 ∙ 0,116 799 70,080 m
max 0,2 ∙ ; 20,000 m
max 0,2 ∙ 90; 20,000 m
max 18,000; 20,000 m
20,000m
17/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
Ověření dostatečné délky kružnicové části prvního oblouku
,
70,080m
5.5.
20,000m
VYHOVUJE při užití mezních hodnot
Odhad poloměru druhého oblouku
Velikost poloměru druhého oblouku není zadána a musíme ji tudíž rozumně
navrhnout. Návrh poloměru je zdola omezen normovými požadavky (min. 300 m),
shora je pak návrh omezen skutečností, že zvolíme-li příliš velký poloměr, konstrukce
se nám do zadané části polygonu V1V2 nevejde. Pro lepší představu o vhodném
návrhu Ro2 si spočteme jednoduchý odhad.
Je zřejmé, že vzdálenost vrcholů tečného polygonu musí být
(6)
,
,
kde To1 resp. To2 jsou velké tečny prvního resp. druhého oblouku a Li,m je mezipřímá
mezi koncem prvního a začátkem druhého oblouku (uvažujeme 20 m dle Tab. 5).
Velkou tečnu prvního oblouku máme již spočtenou, velká tečna druhého oblouku je
dána vztahem
(7)
,
,
[m]
kde XS je souřadnice středu druhého kružnicového oblouku a tS je malá tečna
druhého oblouku. Obě tyto veličiny závisí na volbě Lk,o2. Tuto hodnotu ovšem zatím
neznáme a tak se budeme muset spokojit s dostatečně přesným odhadem. Malou
tečnu odhadneme jako
≅
(8)
∙ tan
2
.
[m]
Souřadnici středu kružnicových oblouků odhadneme polovinou délky přechodnice3
(9)
,
≅
,
2
[m]
.
Hodnotu délky krajních přechodnic druhého oblouku pak budeme uvažovat pouze
z požadavku dodržení standardní hodnoty sklonu vzestupnice, tedy
(10)
,
≅
10 ∙
∙
1000
,
[m]
Převýšení Do2 druhého oblouku budeme uvažovat podle doporučeného převýšení4
3
Ve skutečnosti jde o linearizaci vzorce pro XS uvedeného v Tab. 4, tedy o rozvoj tohoto vzorce
pomocí polynomické řady pro funkci sinus a uvážení pouze prvního členu této řady. Studentům tuto
úlohu doporučujeme jako dobré cvičení.
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
18/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
(11)
7,1 ∙
≅
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
[mm]
.
,
Dosazením rovnic (7) až (11) do rovnice (6) obdržíme následující
1 10 ∙ 7,1 ∙
∙
2 1000 ∙
,
(12)
,
∙ tan
2
.
,
V rovnici (12) je jediná neznámá Ro2,odhad a nalezením jejich kořenů dostaneme
odhad pro poloměr druhého oblouku. Odhad zaokrouhlíme dolů na celé desítky
metrů a prohlásíme za poloměr druhého oblouku Ro2.
Řešením rovnice (12) byl získán odhad poloměru druhého oblouku:
(13)
986,254
.
165,675
,
[m]
Volíme Ro2 = 980,000 m.
5.6.
Výpočet převýšení a nedostatku převýšení druhého oblouku
5.6.1. Výpočet a ověření převýšení
Teoretické převýšení
Doporučené převýšení
(protože VN = 60 km/h, volíme DN1)
,
Projektované převýšení
(není důvod projektovat jiné než
doporučené převýšení)
Meze pro projektované převýšení:
spodní mez
horní mez
Ověření projektovaného převýšení
20mm
59mm
150mm
11,8 ∙
11,8 ∙ 90
980
97,531 mm 98mm
7,1 ∙
7,1 ∙ 90
980
58,684 mm 59mm
59 mm
,
20 mm
150 mm
VYHOVUJE na mezní hodnoty
4
Protože uvažujeme návrhovou rychlost do 120 km/h používáme doporučené převýšení DN1. Pokud
bychom měli zadanou rychlost vyšší, užijeme samozřejmě DN2 anebo DN3.
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
19/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
5.6.2. Výpočet a ověření nedostatku převýšení
Nedostatek převýšení
,
Standardní hodnota nedostatku
80 mm
převýšení
Ověření nedostatku převýšení
39mm
5.7.
80mm
98
59
39mm
VYHOVUJE na standardní hodnoty5
Návrh krajních přechodnic druhého oblouku
5.7.1. Stanovení délky přechodnice
V souladu s ČSN 73 6360-1 užíváme klotoidickou přechodnici s lineární vzestupnicí
a projektujeme délku přechodnice shodnou s délkou vzestupnice.
Standardní hodnota součinitele sklonu
lineární vzestupnice
Potřebná délka lineární vzestupnice při
návrhu na standardní hodnoty
Standardní hodnota součinitele změny
nedostatku převýšení
Potřebná délka klotoidické přechodnice
s ohledem na změnu nedostatku
převýšení při návrhu na standardní
hodnoty
Potřebná délka klotoidické přechodnice
určená z poloměru (z hlediska údržby)
Potřebná délka klotoidické přechodnice
pro průjezd vozidel s naklápěcími
skříněmi
Požadovaná délka krajních přechodnic
druhého oblouku
Délka krajních přechodnic druhého
oblouku po zaokrouhlení
10 ∙
,
,
,
,
,
,
,
10 ∙ 90
900 ‐
∙
900 ∙ 59
1000
1000
53,100 m
10 ∙
10 ∙ 90 900 ‐
,
∙
1000
35,100 m
,
,
900 ∙ 39
1000
0,7 ∙
0,7 ∙ √980
21,913 m
20,000 m
,
,
max , , , , , , , , ,
max 53,100; 35,100; 21,913; 20,000
53,100 m
,
m
,
,
,
5.7.2. Výpočet vytyčovacích prvků vnější přechodnice druhého oblouku
Délka přechodnice v ose koleje
54,000 m
,
Poloměr kružnicového oblouku
980,000 m
Parametr klotoidy
∙ , ,
980 ∙ 54 52920,000m2
54
Úhel tečny v koncovém bodě
,
0,027551rad
,
přechodnice
2∙
2 ∙ 980
1,578 557 ° 1,753 952gon
5
Opět platí stejná poznámka jako u prvního oblouku, viz část 5.3.2 na str. 16.
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
20/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Souřadnice koncového bodu
přechodnice
,
,
,
,
6∙
336 ∙
42240 ∙
54
54
54
6 ∙ 980 336 ∙ 980
42240 ∙ 980
0,496 m
,
Odsazení kružnicového oblouku
Souřadnice středu kružnicového
oblouku
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
,
,
,
,
3 456 ∙
40 ∙
54
54
54
40 ∙ 980
3 456 ∙ 980
53,996 m
∙ 1 cos ,
,
0,496 980 ∙ 1 cos 0,027551
0,124 m
∙ sin ,
,
53,996 980 ∙ sin 0,027551
26,999 m
Malá tečna
∙ tan
980
2
0,124 ∙ tan
0,314159
2
155,236 m
26,999 155,236
,
182,236 m
980 0,124
980
0,314159
cos
cos
2
2
12,341 m
2∙
0,314 159 2 ∙ 0,027551
0,259 057 rad
∙
980 ∙ 0,259 057 253,876 m
Velká tečna
Vzepětí oblouku
Středový úhel prvního oblouku
Skutečná délka kružnicové části
,
prvního oblouku
Požadovaná délka kružnicové
max 0,2 ∙ ; 20,000 m
části oblouku (pro rychlost od 80
max 0,2 ∙ 90; 20,000 m
km/h do 200 km/h)
max 18,000; 20,000 m
Ověření dostatečné délky kružnicové části prvního oblouku
,
253,876m
5.8.
20,000m
20,000m
VYHOVUJE při užití mezních hodnot
Ověření dostatečné délky mezipřímé mezi oblouky
Mezipřímá mezi koncem prvního
a začátkem druhého oblouku
Požadovaná délka mezipřímé
mezi vzestupnicemi (pro rychlost
od 80 km/h do 200 km/h)
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
,
325,000 122,553 182,236
20,211 m
max 0,2 ∙ ; 20,000 m
max 0,2 ∙ 90; 20,000 m
max 18,000; 20,000 m
20,000m
21/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Oblouk s klotoidickými přechodnicemi
Návod
Učební pomůcka
DOST, příklad č. 1
Ověření dostatečné délky kružnicové části prvního oblouku
,
20,211m
5.9.
20,000m
VYHOVUJE při užití mezních hodnot
Závěr
Navržená konstrukce dvou protisměrných oblouků se symetrickými krajními
klotoidickými přechodnicemi oddělenými mezipřímou vyhovuje při užití
standardních hodnot.
6. Výkres
Výkres navržené konstrukce je k dispozici v samostatném souboru ve složce DOST
na webových stránkách K137.
7. Drobná poznámka na závěr
Po zkušenostech z minulých let bychom rádi studentům sdělili, že nadstavba
RailCAD, u studentů velmi oblíbená, byla vyvíjena jako ne zcela komerční software
na VUT v Brně a její vývoj byl výrazně utlumen okolo roku 2002. Z tohoto důvodu
pouze aktuální verze RailCAD 3.2 (vydána 2009) dokáže reflektovat změny
v navrhování konstrukcí železničních staveb, které byly od té doby zavedeny.
Zejména se jedná o novelizaci normy ČSN 73 6360-1, která proběhla v říjnu 2008.
Nicméně ani verze 3.2 již není zcela v souladu se současnými normami.
Bude-li tedy program RailCAD (a zejména starší verze) použit bezmyšlenkovitě a
automaticky, bude výkres takto vzniklý zaručeně chybný. K vykreslení je třeba použít
buď novějších programových aplikací anebo výkres vzniklý za pomoci RailCADu
důkladně zkontrolovat a ručně na chybných místech překreslit a opravit.
Ostatně důkladná kontrola odevzdávané práce a používání softwaru s rozmyslem a s
plnou znalostí o jeho možnostech a rizicích se hodí při jakékoli činnosti, nejenom při
projektování železničních staveb.
8. Literatura
[1] Krejčiříková H., Lidmila M.: Železniční stavby 1, skripta ČVUT, 1. vydání,
Praha 2011
[2] Fridrich, K., A.: Železniční stavby 1 – Návody pro cvičení, skripta ČVUT, 1.
vydání, Praha 2008
[3] ČSN 73 6360-1 Konstrukční uspořádání koleje železničních drah a její
prostorová poloha – Část 1: Projektování, říjen 2008
[4] Směrnice GŘ SŽDC 11/2006: Dokumentace pro přípravu staveb na
železničních drahách celostátních a regionálních, předpis, 2006
[5] SŽDC S 3 Železniční svršek, předpis, 2008
Katedra železničních staveb,
Fakulta stavební, ČVUT v Praze
22/22
poslední aktualizace 20.2.2013
Download

Výpočet oblouku s krajními klotoidickými přechodnicemi DOST