Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení
slovních úloh (13. - 14. lekce)
Sylva Potuˇ
˚ cková, Dana Stesková, Lubomír Sedláˇcek
Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín
Zlín, 22. ˇríjna 2011
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 1
Pˇríklad 1
ˇ bazénu vodou první rourou trvá o dveˇ hodiny déle než
Naplnení
druhou rourou a o 3 hodiny 36 minut déle, než kdyby bazén natékal
ˇ
ˇ bazénu jen první
obema
rourami najednou. Kolik hodin trvá naplnení
rourou? Za jak dlouho by se bazén naplnil jen druhou rourou?
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 1
Pˇríklad 1
ˇ bazénu vodou první rourou trvá o dveˇ hodiny déle než
Naplnení
druhou rourou a o 3 hodiny 36 minut déle, než kdyby bazén natékal
ˇ
ˇ bazénu jen první
obema
rourami najednou. Kolik hodin trvá naplnení
rourou? Za jak dlouho by se bazén naplnil jen druhou rourou?
ˇ
Rešení:
ˇ – y hod.
doba spoleˇcného napouštení
za 1 hod.
1. roura . . . . . . x + 2 hod. . . . . . .
2. roura . . . . . .
Soustava:
y
x+2
+
x hod.
......
y
x
1
(x + 2) − 3,6
y
=
=
za y hod.
y
1
x+2 bazénu . . . . . . x+2 bazénu
y
1
x bazénu . . . . . . x bazénu
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 1
y
x+2
+
y
x
=
1
y
=
x − 1,6
x−1,6
x
=
1
(x − 1,6) · x + (x − 1,6) · (x + 2)
=
x · (x + 2)
x − 1,6x + x − 1,6x + 2x − 3,2
=
x2 + 2x
x2 − 3,2x − 3,2
=
0
x−1,6
x+2
2
+
2
x1 = −0,8
nevyhovuje zadání úlohy
x2 = 4
Bazén se naplní jen první rourou za 6 hodin, jen druhou rourou za 4
hodiny.
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 2
Pˇríklad 2
Smícháme 10 litru˚ 30% roztoku a 15 litru˚ 50% roztoku. Kolikaprocentní
bude výsledný roztok?
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 2
Pˇríklad 2
Smícháme 10 litru˚ 30% roztoku a 15 litru˚ 50% roztoku. Kolikaprocentní
bude výsledný roztok?
ˇ
Rešení:
1% =
x% =
1
100
x
100
......
využijeme zápis procent pomocí zlomku˚
......
výsledný roztok
30
100
50
15 l. . . . . . . 100
30
50
100 + 15 · 100
3 + 15
2
10 l. . . . . . .
10 ·
Výsledný roztok je 42%.
roztok
roztok
=
25 ·
=
x
4
12 + 30
=
x
x
=
42
x
100
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 3
Pˇríklad 3
Ze stanic A a B, vzdálených od sebe 170 km jedou proti sobeˇ dva
vlaky. Rychlík, který ujede za hodinu 80 km, vyjel ze stanice A v 8
hodin. Osobní vlak vyjel ze stanice B v 7 hodin 30 minut a jel rychlostí
40 km · h−1 . V kolik hodin a jak daleko od stanice A se oba vlaky
potkají?
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 3
Pˇríklad 3
Ze stanic A a B, vzdálených od sebe 170 km jedou proti sobeˇ dva
vlaky. Rychlík, který ujede za hodinu 80 km, vyjel ze stanice A v 8
hodin. Osobní vlak vyjel ze stanice B v 7 hodin 30 minut a jel rychlostí
40 km · h−1 . V kolik hodin a jak daleko od stanice A se oba vlaky
potkají?
ˇ
Rešení:
170 km
A
B
R
00
vR = 80
8
km
h
v
vOs = 40
km
h
t (h)
s (km)
80x
R
80
x
Os
40
x+
1
2
40 · x +
km
h
1
2
Os
730
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 3
Zkouška:
sR + sOs
80x + 40 · x + 12
=
170
=
170
80x + 40x + 20
=
170
120x
=
150
x
=
5
4
sR
=
80 ·
sOs
=
40 ·
sR + sOs
=
170
5
4
= 1 h 15 min
= 100
+ 12 = 40 ·
5
4
7
4
= 70
Vlaky se potkají v 9 hodin 15 minut ve vzdálenosti 100km
od stanice A.
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 4
Pˇríklad 4
Kolik litru˚ destilované vody musíme pˇrilít ke 100 litrum
˚ 90% lihu,
abychom dostali líh 75%?
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 4
Pˇríklad 4
Kolik litru˚ destilované vody musíme pˇrilít ke 100 litrum
˚ 90% lihu,
abychom dostali líh 75%?
ˇ
Rešení:
množství 0% dest. vody
......
xl
množství 90% lihu
......
100 l
množství 75% lihu
......
(100 + x) l
x·
0
100
90
100
=
(100 + x) ·
9000
=
7500 + 75x
x
=
20
+ 100 ·
Je tˇreba pˇrilít 20 litru˚ desilované vody.
75
100
/ · 100
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 5
Pˇríklad 5
Kolik litru˚ vody 60◦ C teplé musíme pˇrilít do 30 litru˚ vody 30◦ C teplé,
chceme-li, aby výsledná teplota vody byla 40◦ C?
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 5
Pˇríklad 5
Kolik litru˚ vody 60◦ C teplé musíme pˇrilít do 30 litru˚ vody 30◦ C teplé,
chceme-li, aby výsledná teplota vody byla 40◦ C?
ˇ
Rešení:
množství 60◦ C vody
......
xl
množství 30◦ C vody
......
30 l
......
(x + 30) l
◦
množství 40 C vody
60x + 30 · 30
=
40 · (x + 30)
60x + 900
=
40x + 1200
20x
=
300
x
=
15
Je potˇreba 15 litru˚ vody o teploteˇ 60◦ C.
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 6
Pˇríklad 6
Ze dvou míst C, D, vzdálených od sebe 120 km vyjedou souˇcasneˇ dveˇ
ˇ je po 20 minutách jízdy jejich
auta. Pohybují-li se proti sobe,
ˇ
vzdálenost 50 km. Vyjedou-li týmž smerem,
pak po 24 minutách je
jejich vzdálenost 108 km. Vypoˇcítejte, jakými rychlostmi se obeˇ auta
pohybují.
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 6
Pˇríklad 6
Ze dvou míst C, D, vzdálených od sebe 120 km vyjedou souˇcasneˇ dveˇ
ˇ je po 20 minutách jízdy jejich
auta. Pohybují-li se proti sobe,
ˇ
vzdálenost 50 km. Vyjedou-li týmž smerem,
pak po 24 minutách je
jejich vzdálenost 108 km. Vypoˇcítejte, jakými rychlostmi se obeˇ auta
pohybují.
ˇ
Rešení:
a)
120 km
D
C
v1
1
za
v
1
3
km
h
hod
v2
50 km
t (h)
za
1
3
2
hod
s (km)
1
v1
1
3
v1 ·
1
3
2
v2
1
3
v2 ·
1
3
s1 + s2 + 50 = 120
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 6
b)
120 km
D
C
v1
1
za
2
5
v2
2
hod
za
2
5
hod
108 km
v
km
h
t (h)
s (km)
1
v1
2
5
v1 ·
2
5
2
v2
2
5
v2 ·
2
5
s1 + 108 = s2 + 120
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 6
s1 + s2 + 50
=
120
s1 + 108
=
s2 + 120
=
120
+ 108
=
2v2
5
v1 + v2 + 150
=
360
2v1 + 540
=
2v2 + 600
v1 + v2
=
210
2v1 − 2v2
=
60 / : 2
v1 + v2
=
210
v1 − v2
=
30
v1
3
+
v2
3
2v1
5
+ 50
/·3
/·5
+ 120
2v1
=
240
120 + v2
=
210
v1
=
120
v2
=
90
První auto se pohybuje rychlostí 120 km/h a druhé 90 km/h.
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 7
Pˇríklad 7
ˇ
Do mesta
vzdáleného 50 km vyjel cyklista. Vyjel však o 10 minut
ˇ než si naplánoval, a proto jel rychostí o 0,5 km · h−1 vetší,
ˇ
pozdeji,
ˇ puvodn
ˇ
než mel
˚
eˇ v plánu. Do mesta
však pˇrijel v plánovaném cˇ ase.
ˇ v plánu jet? Za jak dlouho chtel
ˇ puvodn
Jakou rychlostí mel
˚
eˇ dojet do
ˇ
mesta?
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 7
Pˇríklad 7
ˇ
Do mesta
vzdáleného 50 km vyjel cyklista. Vyjel však o 10 minut
ˇ než si naplánoval, a proto jel rychostí o 0,5 km · h−1 vetší,
ˇ
pozdeji,
ˇ puvodn
ˇ
než mel
˚
eˇ v plánu. Do mesta
však pˇrijel v plánovaném cˇ ase.
ˇ v plánu jet? Za jak dlouho chtel
ˇ puvodn
Jakou rychlostí mel
˚
eˇ dojet do
ˇ
mesta?
ˇ
Rešení:
50 km
bydl.
ˇ
mesto
vp = x
plán
vs = x + 0,5
skut.
v
km
h
plán
x
skuteˇcnost
x + 0,5
t (h)
s (km)
t
x·t
t−
1
6
(x + 0,5) · t −
1
6
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Pˇríklad 7
x·t
x + 21 · t − 16
50
1
1
t + 2 · t− 6
=
50 ⇒ x =
=
50
=
50
1
12
=
50
600t + 6t2 − 100 − t
=
600t
6t2 − t − 100
=
0
50 +
t
2
−
50
6t
t1 = −4
t2 =
50
12
vp =
s
t2
−
50
t
/ · 12t
nevyhovuje zadání úlohy
= 4 h 10 min
=
50
50
12
= 12
ˇ v plánu jet rychlostí 12 km · h−1 , trasu by tak ujel za 4
Cyklista mel
hodiny 10 minut.
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Cviˇcení
Cviˇcení
1. V prvním cˇ tvrtletí vyrobil podnik 200 tun výrobku,
˚ z toho 80 %
první jakosti. V druhém cˇ tvrtletí vyrobil 300 tun, z toho 90 % první
jakosti. Kolika procent výrobku˚ první jakosti dosáhl podnik v
prvním pololetí?
ˇ
2. Z prum
˚ erné
hmotnosti vejce 53 g pˇripadá 11 % na skoˇrápku,
58,5 % na bílek, 30,5 % na žloutek. Bílek obsahuje 86 % a žloutek
61 % vody, zbytek jsou výživné látky. Kolik kilogramu˚ výživných
látek obsahuje 1000 vajec?
ˇ
3. Kolik procent povrchu Zemeˇ by zaujímal povrch Mesíce,
je-li
ˇ Zemeˇ 6371 km a polomer
ˇ Mesíce
ˇ
polomer
1741 km?
4. Jeden kolektiv vykoná urˇcitou práci o 4 hodiny, druhý kolektiv o 9
ˇ než by ji zvládly pˇri spoleˇcné práci. Jak dlouho
hodin pozdeji,
trvá práce každému z nich?
[1. [86 %],
2. [10,645 kg] ,
3. [asi 7,47 %] ,
4. [10 hodin; 15 hodin ]]
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (13. - 14. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh
Cviˇcení
Cviˇcení
5. Dveˇ pumpy vyˇcerpají cisternu oleje za 3,75 hodiny. První pumpou
by se cisterna vyprázdnila o 4 hodiny dˇríve než druhou pumpou.
Za jak dlouho vyˇcerpají cisternu jednotlivé pumpy?
6. Dva parníky jezdí na trati 5 km dlouhé. První vyjíždí o 5 minut
ˇ protože druhý parník
dˇríve než druhý a k cíli dojedou souˇcasne,
ˇ
ujede za hodinu o 3 km více než první. Jaká je prum
˚ erná
hodinová rychlost obou parníku?
˚
7. Plavec uplaval na rˇece 480 m po proudu a proti proudu za 12
minut 30 sekund. Vlastní rychlost plavce je nejvýš 80 m za
minutu. Jaká je rychlost proudu?
8. Pˇremístí-li se na ramenech pravého úhlu dva hmotné body
vzdálené 15 cm tak, že jeden se pˇriblíží o 1 cm k vrcholu úhlu a
ˇ vzdálí o 3 cm, bude jejich vzdálenost 17 cm.
druhý se od nej
Urˇcete puvodní
˚
vzdálenosti bodu˚ od vrcholu.
[5. [6 hodin; 10 hodin ] ,
6. [12 km/h; 15 km/h] ,
7. [nejvýše 16 m] ,
8. [9 cm; 12 cm]]
Download

Užití rovnic a jejich soustav pri rešení slovních úloh (13