14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
MODELOVANJE
I SIMULACIJA PROCESA
14. Optimizacija procesa;
analiza i redukcija modela
Dr Nikola Nikačević
OPTIMIZACIJA PROCESA
• Optimizacija – matematički metod za pronalaženje
optimalnih vrednosti posmatranih veličina, pri tome ne
narušavajući ograničenja sistema – matematičko
programiranje.
• Uobičajni ciljevi optimizacije procesa su postizanje:
minimalnih troškova, maksimalnog profita, minimalne
potrošnje energije, maksimalnog kapaciteta, maksimalne
efikasnosti i dr.
• Potreba za optimizacijom – kada dve (ili više) karakteristike procesa različito utiču na posmatranu promenjivu,
delujući jedna nasuprot drugoj → kompromisni zadatak.
• Oblasti: a) optimizacija uređaja pri projektovanju,
b) optimizacija operativnih parametara procesa,
c) optimizacija upravljanja procesima.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
1
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
FORMULACIJA PROBLEMA I ZADATAK
OPTIMIZACIJE
• Osnovni elementi: 1) Matematički model / ograničenja
2) Funkcija cilja
• Funkcija cilja pretstavlja kriterijum (ekonomski, tehnički)
optimizacije – izraz formulisan na osnovu zahteva optimizacije i svojstva procesa definisanih modelom procesa.
• Zadatak optimizacije – pronalaženje ekstremuma (minimuma ili maksimuma) funkcije cilja.
• Pronalaženje ektremuma funkcije cilja (objektne funkcije)
se vrši pomoću matematičkih metoda koji se rešavaju
pomoću računara (često posebni programski paketi).
• Samo za jednostavne slučajeve može se analitičkim putem
pronaći ekstremum neprekidne funkcije cilja - (x):

0
x
 '' ( x)  0 → minimum,
 '' ( x )  0 → maksimum
METODE I KLASE OPTIMIZACIJE
• Podela po broju promenivih koje se optimizuju:
1) jednoparametarska 2) višeparametarska
• Podela po broju funkcija cilja, odnosno kriterijuma:
1) jednoobjektna
2) višeobjektna
• Podela po zadatku optimizacije:
1) statička
2) dinamička
- optim. projektovanje procesa - optimalno vođenje procesa
• Metode optimizacije:
1) Linearno i nelinearno programiranje
2) Dinamičko programiranje
3) Stohastičko programiranje
4) Optimizacija upravljanja
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
2
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
LINEARNO PROGRAMIRANJE
• Metod traženja optimuma u modelima sa linearnim jedn.
• Funkcija cilja je takođe linearana jednačina:
min ( x1 , x2 ,..., xn )  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn  d  matrično: min   cT x
• Ograničenja se zadaju u obliku lineranih nejednačina:
a11 x1  a12 x2  ...  a1m x n  b1
matrično:
Ax  b
a 21 x1  a 22 x2  ...  a 2 m xn  b2
a n1 x1  a n 2 x2  ...  a nm x n  bn
x1 , x2 ,..., , xn  0
• Najpoznatiji algoritam: Simplex
• Upotreba: proizvodnja sa različitim sirovinama, transport,
planiranje proizvodnje i nabavke, energetika, ekonomija.
• NELINEARNO PROGRAMIRANJE – opšti slučaj, kada
su ili funkcija cilja ili/i ograničenja nelinearna.
• Kod nelinearnih, često se funkcije dele u podfunkcije,
koji se minimiziraju kao linerarne (aproksimacija).
DINAMIČKO PROGRAMIRANJE
• Metod koji je vremenski efikasniji od statičkog programiranja (lineranog ili nelinearnog).
• Metod se koristi za probleme koji se mogu podeliti u
podprobleme / podsisteme, za koje se onda traži optimum.
• Algoritam: 1) podela problema u podprobleme,
2) pronalaženje optimuma za podprobleme ili
podela u još manje podprobleme, i dalje,
sve dok ne postanu jednostavno rešivi.
3) konstruisanje optimalnog rešenja celog
problema na osnovu rešenja podproblema.
• Često se isti podproblemi u strukturi ponavljaju (na pr.
Fibonacci-jev niz)→ u cilju uštede vremena se prva rešenja
memorišu, a onda se kasnije, po potrebi koriste.
• Upotreba: stupnjeviti procesi (destilacija, ekstrakcija,
apsorpcija), višestruki slojevi katalizatora, reaktori u nizu...
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
3
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
STOHASTIČKO PROGRAMIRANJE
• Metod za optimizaciju stohastičkih procesa, odnosno onih
koji uključuju izvesnu neodređenost.
• Neophodno je poznavanje ili predviđanje raspodele verovatnoće slučajnih veličina koje su predmet optimizacije.
• Cilj je da se pronađe optimalna akcija koja za većinu
podataka (slučajnih vrednosti) daje maksimum funkcije
cilja.
• Često se koristi algoritam sa dvostepenim linearnim
programom:
1) Sprovodi se akcija zasnovana na prvobitnoj optimizaciji.
2) Javlja se slučajni dogadjaj koji utiče na proces.
3) U drugom stepenu se koriguje optimizaciona akcija kako bi
se kompenzovali negativni efekti slučajnog dogadjaja.
OPTIMIZACIJA UPRAVLJANJA
• Metod za pronalaženje optimalne upravljačke akcije,
odnosno definisanje upravljačkog zakona za dati sistem
koji će ispunjavati kriterijum optimizacije.
• Upravljački zakon → set diferencijalnih jednačina koje
opisuju putanje upravljačkih veličina kojima se minimizira funkcija cilja.
• Jednostavni primer: Optimalna vožnja automobilom po
krivudavom putu po pitanju utroška vremena. Upravljački
zakon: način pritiskanja gasa i kočnica na putu. Sistem:
automobil i konfiguracija puta. Kriterijum optimizacije:
minimizacija ukupnog vremena vožnje. Moguće dodatna
ograničenja: ograničenje brzine na putu, ograničena
količina goriva i dr.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
4
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
PRIMER – UPOTREBA OPTIMALNOG
UPRAVLJANJA
• Zadatak: Izvesti optimalno upravljanje kontinualnim procesom
proizvodnje polimera, kada se menja proizvodnja od polimera A do B.
Kriterijum: Minimalna količina škarta.
• Ukupan model sadrži: model fizičkog reaktorskog sistema sa kinetikom
polimerizacije, model sistema upravljanja i operativnih procedura.
Rezultat – optimalna promena
protoka šarže
monomera i H2
koja daje minimalni škart.
Pomoću metoda optimalnog
upravljanja, na osnovu ukupnog
modela i funkcije cilja,
programski paket gPROMS,
formira upravljački zakon.
ANALIZA MODELA
• Cilj je ispitivanje robustnosti procesa na osnovu
postavljenog matematičkog modela, kao i ispitivanje
kvaliteta modela.
• Analizu modela treba razlikovati od validacije i verifikacije modela, koja se zasniva prvenstveno na poređenju
rezultata modela sa eksperimentima ili na fizičkoj
konzistentnosti rezultata modela.
• Analize modela mogu da daju nove informacije o
posmatranom sistemu i procesu i njegovom očekivanom
ponašanju.
• Analize modela se mogu korisiti za optimalno planiranje
fizičkih ili numeričkih eksperimenata.
• Osnovne tehnike su analiza nepouzdanosti i analiza
osetljivosti modela.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
5
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
ANALIZA NEPOUZDANOSTI
• Analiza nepouzdanosti je tehnika kojom se kvantifikuje
nepouzadnost rezultata modela i izgradnje modela.
• Uzroci nepouzdanosti modela mogu da budu:
1) Struktura modela – nerealistične ili simplifikovane pretpostavke.
2) Numerička aproksimacija – nedovoljna preciznost simulacije.
3) Početni i granični uslovi – netačno postavljeni.
4) Ulazni podaci – nedovoljna tačnost merenja / određivanja.
• Analizom se mogu utvrditi različiti tipovi nepouzdanosti:
1) Usled promenjivosti ulaznih i/ili parametara modela kada je
poznata funkcija promenjivosti (raspodela verovatnoće i sl.).
2) Usled promenjivosti ulaznih i/ili parametara modela kada nije
poznata funkcija promenjivosti parametara.
3) Usled nepoznavanja procesa ili mehanizma.
• Za tip 1 koriste se klasične stohastičke metode (momenti,
Monte Carlo i dr) a za tipove 2 i 3 metode Fuzzy Logic i dr.
ANALIZA OSETLJIVOSTI
• Tehnika ispitivanja uticaja promene ulaznih veličina ili
parametara modela na rezultate (izlaze) modela.
• Cilj analize je da se ulazne veličine modela poređaju po
značaju uticaja na rezultate (intenzitetu promene izlaza).
• Analiza osetljivosti može da se koristi za:
1) Pojednostavljenje i poboljšanje modela.
2) Ispitivanje robustnosti pretpostavki modela.
3) Analizu šta-ako, odnosno kreiranje različitih scenarija.
4) Potvrdu kvaliteta modela.
• Analiza takođe obezbeđuje informacije o: a) interakciji
između parametara i faktora, b) regionima optimalnosti
ili nestabilnosti.
• Postoji veliki broj metoda, a po pristupu se mogu svrstati
u dve grupe: determinstičke i stohastičke.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
6
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
PRIMERI ANALIZE OSETLJIVOSTI
• Deterministički pristup –
• Stohastički pristup – analiza
variranje parametara u
intervalu oko optimalne
vrednosti pomoću simulacije i
analiza dobijenog odstupanja.
4.0
Pe
alfa 1
alfa 2
delta
s 1 x10
3
(x dyn)
3.5
3.0
2.5
Shodno gradijentu greške
(nagib) model
je najosetljiviji
na promenu ,
pa onda 1, Pe
i 2
simulacija za kombinacije vrednosti
ulaznih parametara uzorkovanih iz
poznate funkcije raspodele.
-8
8
-8
8
-10
10
-12
12
2.0
1.5
1.0
0.5
1
1.5
P / P opt
2
Parametar Z4 najviše utiče na proces Y jer
su tačke rasute na najvećoj površini (opseg
ose za Z4 od -12 od 12 – najveći)
REDUKCIJA MODELA
• Često su modeli, a naročito dinamički, vrlo složene strukture,
pa je rešavanje zahtevno po pitanju utroška računarskog
vremena i neophodne memorije.
• Moguće rešenje je da se generiše značajno jednostavniji
model koji daje esencijalni opis sistema, kao i detaljni model
• Redukcija modela – matematički metod za aproksimaciju
sistema običnih diferencijalnih jednačina (ODJ) u model
manjih dimenzija:
Uslov je da za
više-dimenziono
stanje sistema
postoji manjedimenzioni
podsistem
Cilj metode je nalaženje
manje-dimenzionog podsistema
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
Više-dimenzioni
sistem se onda
projektuje u
podsistem i tako
se dobija manjedimenziona
aproksimacija
(linearna u ovom
prikazu)
7
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
METODE REDUKCIJE MODELA
• U zavisnosti od oblika ODJ metode se dele na:
1) Linearne – za linearne ODJ prvog reda.
2) Drugog reda – za linearne ODJ drugog reda.
3) Parametarske – za linearne ODJ kada je neophodno ne
menjati neki paremetar u matricama.
4) Slabo nelinearne – za nelinearne ODJ u kojima je
linearnost limitirana na kvadratnu i kubnu funkciju.
5) Nelinearne – za nelinerane ODJ u opštem slučaju.
• Parcijalne diferencijalne jednačine se metodama redukcije
mogu prevesti u sistem običnih diferencijalnih jednačina.
• Kod parcijalnih diferencijalnih jednačina, koje se rešavaju
diskretizacijom (metoda konačnih elemenata – CFD)
metodom redukcije se može smanjiti veliki broj
neophodnih čvorova, time ubrzati konvergencija.
DODATNA LITERATURA – 1
• Mikroskopski modeli
– D. Šepa, Hemijska kinetika, Akademska misao, Bgd,
2001, str. 138-178
• Mezoskopski modeli
– S. Cvijović, N. Bošković-Vragolović, Fenomeni prenosa
– strujanje, toplota, difuzija, TMF, Bgd, 2001, glava
1, poglavlja 1-4, str. 3-69
• Makroskopski modeli
– A. Duduković, Osnovi i operacije prenosa mase,
Akademska misao, Bgd, 2008, deo I, poglavlja 1 i
2, str. 1-28, deo II, poglavlje 1, str. 63-78
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
8
14. OPTIMIZACIJA PROCESA, ANALIZA I
REDUKCIJA MODELA
4.6.2012
DODATNA LITERATURA – 2
• Makroskopski modeli
– O. Levenspiel, Osnovi teorije i projektovanja hemijskih
reaktora, TMF, Bgd, 1991, poglavlja 5 i 6, str. 97156, i poglavlje 8, 209-242
• Dinamički modeli
– M. Petkovska, Merenje i upravljanje u procesnim
sistemima, TMF, Bgd, 2004, deo I, str. 1-23, deo II,
poglavlja 1-4, str. 25-98, poglavlje 6, str. 122129
• Populacioni modeli
– O. Levenspiel, Osnovi teorije i projektovanja hemijskih
reaktora, TMF, Bgd, poglavlja 9 i 10, str. 252-346
DODATNA LITERATURA – 3
• Stohastički modeli
– J. Savković-Stevanović, Modelovanje i simulacija
procesa, TMF, Bgd, 1995, poglavlje 6, str. 127-197
• Optimizacija procesa
– J. Savković-Stevanović, Modelovanje i simulacija
procesa, TMF, Bgd, 1995, poglavlje 9, str. 287-312
• MATLAB
– A. Gilat, Uvod u Matlab 7 sa primerima, Mikro Knjiga,
Bgd, 2007
– Ćalasan L., Petkovska M., MATLAB i dodatni moduli
Control System Toolbox i Simulink, Mikro knjiga, Bgd,
1996
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
9
Download

Predavanje 14