Geometrija (I smer)
deo 2: Afine transformacije
Srdjan Vukmirovi´c
Matematiˇ
cki fakultet, Beograd
septembar 2013.
1
Transformacije koordinata taˇcaka
Pretpostavimo da za bazne vektore repera Oe i O � f vaˇzi
→
→
f1 = c11 e1
→
→
f2 = c12 e1
→
+c21 e2 ,
→
+c22 e2
Matrica C = (cij ) je tzv. matrica prelaska sa baze e na bazu f .
Neka su koordinate novog koord. poˇcetka su [O � ]Oe = (b1 , b2 ).
Za koordinate proizvoljne taˇcke M u tim sistemima vaˇzi:
→
(x, y ) = [M]Oe = [OM]e ,
→
(x � , y � ) = [M]O � f = [O � M]f ,
→
→
→
odnosno
OM= x e1 +y e2 ,
odnosno
O � M= x � f1 +y � f2 .
5
→
→
→
Odatle imamo
→
→
x e1 +y e2
→
→
→
→
→
→
→
=
OM=OO � + O � M= b1 e1 +b2 e2 +x � f1 +y � f2 =
=
b1 e1 +b2 e2 +x � (c11 e1 +c21 e2 ) + y � (c12 e1 +c22 e2 ) =
=
(c11 x � + c12 y � + b1 ) e1 +(c21 x � + c22 y � + b2 ) e2 .
→
→
→
→
→
→
→
→
Zato vaˇze formule:
x
= c11 x � + c12 y � + b1 ,
y
= c21 x � + c22 y � + b2 .
Te formule predstavljaju transformaciju koordinata taˇ
caka
�
�
ravni, tj. vezu koordinata (x, y ) i (x , y ) iste taˇcke M u dva
razliˇcita koordinatna sistema. Matriˇcno ih zapisujemo ovako:
�� � � �
�
� � �
x
b1
x
c11 c12
+
.
=
c21 c22
y�
b2
y
(1)
8
Primer
→
→
→
→
Neka je OABC paralelogram i e = (OA, OC ), f = (OB, CA) dve
baze. Odrediti formule transformacija koordinata u reperima Oe i
Bf , kao i inverzne formule.
9
Transformacije koordinata ortonormiranih repera
a) Ako su ON reperi Oe i O � f formule (1) postaju:
� � �
�� � � �
�
x
cos φ − sin φ
x
q1
=
+
.
y
sin φ cos φ
y�
q2
(2)
Ovo je kompozicija rotacije za ugao φ i translacije za vektor
(q1 , q2 ).
b) Ukoliko su reperi razliˇcitih orjentacija formule su:
�� � � �
� � �
�
x
cos φ sin φ
x
q1
=
+
.
sin φ − cos φ
y
y�
q2
(3)
Ovo je kompozicija refleksije u odnosu na pravu kroz O koja gradi
ugao φ2 sa x-osom i translacije za vektor (q1 , q2 ).
13
Matrica Rφ =
Za nju vaˇzi:
�
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
�
je matrica rotacije za ugao φ.
1) Rφ−1 = RφT = R−φ ;
2) det Rφ = 1 (> 0 zato ˇsto reperi imaju istu orjentaciju).
�
�
cos φ sin φ
je matrica refleksije.
Matrica Sφ =
sin φ − cos φ
Za nju takodje vaˇzi
1) Sφ−1 = SφT , ALI
2) Sφ = −1 (< 0 zato ˇsto reperi imaju istu orjentaciju).
Primer
Pravougaonik OABC ima ivice OA = 4, OC = 3 i srediˇste S.
Napisati vezu koordinata ON repera Oe i Sf , razliˇcitih orjentacija,
gde je
→
→
→
→
OC
e1 = OA
4 , e2 = 3 ,
→
a f1 je kolinearan sa SB.
20
Afina preslikavanja
Jednaˇcine (1) se mogu posmatrati i sa tzv. aktivne taˇ
cke
glediˇsta, tj. kao formule preslikavanja.
Definicija
Afino preslikavanje ravni je preslikavanje koje taˇcki M(x, y )
preslikava u taˇcku M � (x � , y � ) po pravilu
� � � �
�� � �
�
x
a11 a12
x
q1
=
+
,
y�
a21 a22
q2
y
(4)
uz uslov det(aij ) �= 0.
Kolone matrice A = (aij ) su slike baznih vektora pri tom
preslikavanju, a (q1 , q2 ) je slika koordinatnog poˇcetka.
Sliˇcno se definiˇse i afino preslikavanje prostora.
25
Teorema (Osobine afinih preslikavanja ravni)
Bijekcije su
Preslikavaju pravu na pravu;
Preslikavaju krug u krug ili elipsu;
ˇ
Cuvaju
razmeru tri taˇcke;
ˇ
Cuvaju
paralelnost (recimo, slika paralelograma je paralelogram);
jednoznaˇcno su odredjena slikama tri nekolinearne taˇcke;
�)
Odnos povrˇsina slike i originalne figure je VV(F
(F ) = | det A|.
Primer
Date su taˇcke A(−1, −1), B(1, −1), C (1, 1), D(−1, 1); A� (4, 5),
B � (8, 7), C � (6, 9), D � (2, 7).
1) Odrediti jednaˇcine afinog preslikavanja koje kvadrat ABCD
preslikava u paralelogram A� B � C � D � .
2) Odrediti jednaˇcinu slike kruga upisanog u kvadrat.
3) Kolika je povrˇsina slike kruga.
27
Predstavljanje afinih preslikavanja matricama
Afino preslikavanje
�� � �
�
� � � �
a11 a12
x
q1
x
=
+
,
y�
a21 a22
q2
y
moˇzemo predstaviti matricom:


a11 a12 q1
Aq =  a21 a22 q2  .
0
0 1
Teorema
Proizvod matrica (6) odgovara kompoziciji afinih
preslikavanja. Drugim reˇcima, grupa svih matrica oblika (6) je
izomorfna grupi afinih preslikavanja ravni.
29
Translacija
→
Translacija τ→
za vektor q (q1 , q2 ) data je formulama
q
x � = x + q1 ,
y � = y + q2 ,
ili u matriˇcnom obliku
�� � �
�
� � � �
1 0
x
q1
x
+
=
.
y�
q2
0 1
y

1 0 q1
odnosno τ→
:  0 1 q2 
q
0 0 1

Kompozicija translacija je translacija, tj. sve translacije ˇ
cine
komutativnu podgrupu grupe afinih transformacija.
33
(5)
(6)
Rotacija
Rotacija oko koordinatnog poˇcetka, za ugao φ, je data formulama
�� �
� � � �
cos φ − sin φ
x
x
=
.
Rφ :
�
y
sin φ cos φ
y
Za rotaciju oko proizvoljne taˇcke Q(q1 , q2 ) se realizuje malim
trikom:
RQ,φ = τ → ◦ Rφ ◦ τ → .
OQ
RQ,φ
QO



cos φ − sin φ 0
1 0 q1
1 0 −q1
cos φ 0   0 1 −q2 
:  0 1 q2   sin φ
0 0 1
0 0
1
0
0 1

36
Primer
Odrediti formule rotacije oko taˇcke S(1, −2) za ugao od
Reˇsenje:


RS, 2π = 
3
√
√ 
− 23 23 − √3
3
3 
1

−
−1
−
2
2
2
0
0
1
1
−
√2
38
2π
3 .
Refleksija
Kao ˇsto smo ve´c videli, preslikavanje dato formulama
�� �
� � � �
cos φ sin φ
x
x
=
.
S p0 :
�
y
sin φ − cos φ
y
je refleksija u odnosu na pravu p0 kroz koord. poˇcetak, koja gradi
ugao φ sa x−osom.
Ako prava p � p0 ne prolazi kroz koordinatni poˇcetak, nego kroz
neku taˇcku Q ∈ p, tada je refleksija u odnosu na pravu p :
S p = τ → ◦ S p0 ◦ τ → .
OQ
QO
Kasnije ´cemo videti i drugi, opˇstiji, naˇcin da odredimo formule
refleksije.
41
Preslikavanja koja ˇcuvaju duˇzine (a samim time i uglove) nazivaju
se izometrije. Izometrije koje ˇcuvaju orjentaciju zovu se kretanja.
Poˇsto izometrija preslikava ON bazu u ON bazu, ve´c smo pokazali
(formule (2), (3)) da su jedine izometrije ravni: kompozicija
translacije i rotacije i kompozicija translacije i refleksije.
Primetimo da u svim tim sluˇcajevima vaˇzi AAT = I .
Teorema
ˇ viˇse, afino
Svaka izometrija prostora Rn je afino preslikavanje. Sta
preslikavanje je izometrija ako i samo je matrica A preslikavanja
ortogonalna, tj. vaˇzi AAT = I .
Matrice reda n za koje vaˇzi AAT = I ˇcine tzv. ortogonalnu grupu
O(n). Njena podgrupa SO(n) := {A ∈ O(n) | det A = 1} ⊂ O(n)
zove se specijalna ortogonalna grupa i predstavlja kretanja.
48
Istezanje
Sa HQ,λ1 ,λ2 oznaˇcavamo istezanje u pravcu koordinatnih osa, sa
centrom u taˇcki Q (λ1 , λ2 �= 0).
Ako je taˇcka Q koordinatni poˇcetak,
�� �
� � � �
λ1 0
x
x
=
.
Hλ1 ,λ2 :
�
y
y
0 λ2
Primetimo da je H1,−1 refleksija u odnosu na x−osu.
Ako je taˇcka Q proizvoljna, sliˇcno kao kod rotacije:
HQ,λ1 ,λ2 = τ → ◦ Hλ1 ,λ2 ◦ τ → .
OQ
QO
Primetimo da je homotetija specijalan sluˇcaj ovog preslikavanja za
λ 1 = λ2 .
53
Smicanje
Preslikavanje dato formulama
�� �
� � � �
1 λ
x
x
=
�
y
0 1
y
naziva se smicanje sa koeficientom λ u pravcu x ose.
Smicanje preslikava kvadrat u paralelogram iste visine i osnovice,
pa dakle i iste povrˇsine (det A = 1).
Primer
Prestaviti kao afinu transformaciju slede´ce dogadjaje:
1) ”pan”: miˇs je pritisnut u P(x0 , y0 ), a otpuˇsten u Q(x1 , y1 ).
2) ”zoom in”: klikom miˇsa u P(x0 , y0 ), slika se uve´cava 40%.
2) ”zoom to window”: miˇs je pritisnut u taˇcki P(x0 , y0 ), a
otpuˇsten u Q(x1 , y1 ), gde je PQ dijagonala prozora.
56
Afina preslikavanja prostora
Afino preslikavanje prostora je preslikavanje koje taˇcku
M(x, y , z) preslikava u taˇcku M � (x � , y � , z � ) po pravilu
 �  
  

x
a11 a12 a13
x
q1
 y �  =  a21 a22 a23   y  +  q2  ,
z�
a31 a32 a33
q3
z
(7)
det(aij ) �= 0. Kolone matrice A = (aij ) su slike baznih vektora, a
taˇcka (q1 , q2 , q3 ) je slika koordinatnog poˇcetka.
Preslikavanje (7) se moˇze predstaviti 4x4 matricom:

a11
 a21
Aq := 
 a31
0
a12
a22
a32
0
a13
a23
a33
0

q1
q2 

q3 
1
i tada kompoziciji preslikavanja odgovara mnoˇzenje matrica.
59
Najznaˇcajnija klasa afinih preslikavanja su izometrije jer se njima
realizuju kretanja objekata u prostoru.
Videli smo da je preslikavanje (7) izometrija ako je AAT = I . Ako
je dodatno i det A = 1, ta izometrija je kretanje.
Teorema (Ojlerova 1)
Svaka matrica kretanja (AAT = I , det A = 1) se moˇze predstaviti
kao kompozicija tri rotacije oko koordinatnih osa, tj:
A = Rx”,φ ◦ Ry � ,θ ◦ Rz,ψ .
Uglove ψ, φ ∈ [−π, π], θ ∈ [− π2 , π2 ] zovemo Ojlerovi uglovi.
Ovde y � i x” oznaˇcava da su te ose ve´c zarotirane, a ne ose
originalnog koordinatnog sistema.
62
Na ovoj animaciji oznake se podudaraju sa naˇsima. Primetite samo
da koordinatni sistem jeste pozitivne orjentacije, samo je z-osa
okrenutna ”nadole”. Koordinatni sistem je vezan za avion: x-osa
je pravac aviona, y -osa krila, a z-osa upravna na ravan aviona.
Matrice rotacija oko koordinatnih osa su date sa:

cos ψ
Rz,ψ =  sin ψ
0
− sin ψ
cos ψ
0


0
cos ψ
0  , Ry ,θ = 
0
1
− sin ψ
0
1
0


sin ψ
1
 , Rx,φ =  0
0
cos ψ
0
0
cos φ
sin φ

0
− sin φ  .
cos φ
Na osnovu prethodnog, svako kretanje prostora je kompozicija
tri rotacije oko koordinatnih osa i translacije.
Izometrija koja ne ˇcuva orjentaciju (tj. det A = −1) dodatno sadrˇzi
i ravnsku refleksiju tj. ”ogledanje”.
66
Refleksija u odnosu na ravan (pravu)
ˇ
Pretpostavimo da je n kolona koordinata JEDINICNOG
normalnog
vektora ravni α0 , koja sadrˇzi koordinatni poˇcetak O.
3x3 matrica refleksije Sα0 u odnosu na ravan α0 je data sa
Sα0 : I3 − 2nnT ,
gde je I3 jediniˇcna 3x3 matrica, a


 2

n
n1
n
n
n
n
1
2
1
3
1
�
�
nnT =  n2  n1 n2 n3 =  n1 n3 n22 n1 n3  .
n3
n1 n3 n1 n3 n32
Ako ravan α � α0 ne sadrˇzi O nego neku taˇcku A, tada se
refleksija Sα moˇze predstaviti kao kompozicija
S α = T → ◦ S α0 ◦ T → .
OA
AO
69
Rotacija oko prave u prostoru
ˇ
Pretpostavimo da je p kolona koordinata JEDINICNOG
vektora
prave p0 , koja sadrˇzi koordinatni poˇcetak O.
3x3 matrica rotacije Rp0 ,φ u odnosu na pravu p0 za ugao φ u
pozitivnom smeru, je data sa
Rp0 ,φ : pp T + cos φ(I3 − pp T ) + sin φp× ,
gde je p× matrica vektorskog mnoˇzenja

0
−p3
0
p× =  p3
−p2 p1
vektorom p:

p2
−p1  .
0
Ako prava p � p0 ne sadrˇzi O nego neku taˇcku Q, tada se rotacija
Rp,φ moˇze predstaviti kao kompozicija
Rp0 ,φ = T → ◦ Rp0 ,φ ◦ T → .
OQ
QO
72
Teorema (Ojlerova 2)
Svako kretanje prostora je rotacija oko neke prave p za neki ugao
φ.
Primer
Odrediti formule refleksije u osnosu na pravu p : 3x − 4y − 6 = 0
(u ravni).
Primer
Odrediti formule rotacije za ugao φ = 3Pi
zi
2 oko prave p koja sadrˇ
taˇcku Q(1, 0, 0) i ima vektor pravca p = (1, 2, 2).
73
Download

File