NESTACIONARNA STANJA
Opšta forma talasne funkcije čestice u harmonijskom potencijalnom oscilatoru ima oblik :
Ova talasna funkcija reprezentuje stanje neodređene energije zbog toga što pri višestrukom merenju
energije može da postoji više različitih ishoda :
sa verovatnoćama
. Ova talasna funkcija takođe predstavlja nestacionarno stanje, stanje sa vremenski zavisnim
opservabilnim osobinama. Na primer, amplituda verovatnoće položaja
ima vremenski zavisne
članove koji nastaju interferencijom članova koji uključuju različite energije svojstvene funkcije
.
Konkretno, interferencija članova
sa
dovodi do člana koji oscilira sa
ugaonom frekvencijom :
, koja je celobrojni umnožak klasične ugaone frekvencije ω. Dakle, raspodela verovatnoće pozicije,
, može oscilovati sa nizom ugaonih frekvencija : ω, 2ω, 3ω ... . Na prvi pogled očekujemo da
prosečna pozicija čestice osciluje sa istim frekvencijama, pošto procenom očekivane vrednosti :
, dobijamo članove oblika
Međutim, većina ovih članova je jednaka nuli, pošto je integral jednak nuli kada je
. Sledi da
prosečna pozicija osciluje jedino sa ugaonom frekvencijom ω, i tako čini prosečan impuls. U principu,
prosečna pozicija i impuls čestice mase m sa talasnom funkcijom (15.12) su dati sa :
Dakle, u izvesnoj meri, čestica osciluje napred-nazad kao klasičan oscilator. Ali sličnost sa klasičnim
oscilatorom ne može biti veća, jer neodređenost u položaju i impulsu može biti velika i može da se
menja kako čestica osciluje napred-nazad. Shodno tome, dobro bi bilo identifiovati kvazi-klasična stanja
u kojima je kretanje najsličnije kretanju jednostavnog harmonijskog oscilatora. Može se pokazati da
talasna funkcija ovih kvazi-statičkih stanja je data sa (15.12) verovatnoćom amplitude energije , koja
zadovoljava Poasonovu raspodelu verovatnoće :
Standardna devijacija energije u kvazi-statičkom stanju je data sa :
Kada je prosečna pobuđenost velika, relativna neodređenost energije je data sa :
, pa neodređenost u energiji postaje manje važna. Pošto neodređenost pozicije i impulsa takođe postaje
manje važna kretanje čestice se približava nemogućem savršenstvu klasičnog harmonijskog oscilatora.
Na početku 20.veka Plank i Ajnštajn su napravili nadahnute pretpostavke da oscilatori koji ispoljavaju
jednostavno harmonijsko kretanje takođe imaju kvantizovanu energiju. Mi smo pratili suprotan trag i
pokazali da kvantni oscilator koji ima kvantnu energiju skoro da može ispoljavati jednostavno
harmonijsko kretanje.
DVOATOMSKI MOLEKULI
U prvoj aproksimaciji dvoatomski molekul se sastoji od dva jezgra koja zajedno čine efektivni potencijal
koji proizilazi iz Kulonove interakcije elektrona i jezgra kao i kvantnog ponašanja elektrona. Ovaj
efektivni potencijal određuje snagu molekularne veze i takođe određuje vibracije jezgara. Efektivni
potencijal i vibracioni energetski nivoi jednostavnog dvoatomskog molekula, vodonikovog molekula
prikazani su na slici 15.04.
Slika 15.04 Efektivni internuklearni potencijal i vibracioni energetski nivoi vodonikovog molekula
Primećujemo sa slike 15.04 da efektivni potencijal dvoatomskog vodonikovog molekula
ima
minimum i da u blizini tog minimuma imamo oblik kao kod harmonijskog potencijalnog oscilatora. Zaista
ako sa označimo razdvojenost na kojoj efektivni potencijal ima minimum i sa
ozačimo malo
izmeštanje od možemo pisati :
, gde je k konstanta. Ova formula implicira da kada su jezgra izmeštena za distancu x od njihove
ravnotežne udaljenosti
, javlja se povratna sila kx, i potencijalna energija raste za
. Konstanta k je
efektivna konstanta elastičnosti koja karakteriše snagu molekularne veze između jezgara u molekulu. U
klasičnoj fizici je važilo da će jezgra imati energiju :
, gde su
uzeti
i
mase jezgara a i su magnitude njihovih impulsa. U centru mase sistema, možemo
i ako uvedemo redukciju mase :
, dobijamo
Ova energija je ista kao i energija čestice mase μ na struni konstante eleastičnosti k. Shodno tome,
očekujemo da se vibracije jezgra u dvoatomskom moekulu ponašaju kao harmonijski oscilator klasične
frekvencije
. Kvanto mehaničko ponašanje ovog oscilatora je opisano talasnom funkcijom
koja zadovoljava Šredingerovu jednačinu :
Ova jednačina je uglavnom identična jedančini (15.7) koju smo imali u opisu ponašanja kvantnog
oscilatora. Zaista, ako zamenimo masu m sa redukovanom masom μ, sve dobijene rezultate možemo
primeniti na dvoatomski molekul. Ono što je najvažnije možemo da iskoristimo jednačinu (15.10) da
zapišemo izraze za vibracione energetske nivoe dvoatomskog molekula redukovane mase μ i konstante
elastičnosti k.
Kvantni brojevi mogu uzimati vrednosti 0,1,2,... , ali kada n uzme velike vrednosti model harmonijskog
oscilatora se slama. Ovo se dešava kada vibraciona energija ostaje uporediva sa energijom odvajanja
molekula kao to se vidi sa slike 15.04. Tranzicija iz jednog vibracionog nivoa na drugi je često praćena
emisijom ili apsorpcijom elektromagnetnog zračenja, najčešće u infracrvenom delu spektra. Ovo je
naročito karakteristično za za dvoatomske molekule sa dva različita jezgra. U takvim molekulima
elektroni formiraju električne dipole koji mogu emitovati ili apsorbovati elektromagnetno zračenje.
Zapravo, ovaj mehanizam dovodi do tranzicije između susednih vibracionih nivoa i emisije ili apsorpcije
fotona sa energijom :
Ovi fotoni predstavljaju povod za pojavu spektralne linije sa talasnom dužinom:
Na primer razmotrimo molekul ugljen monoksida. Redukovana masa jezgra je
, pa kada se
dešava tranzicija između susednih vibracionih nivoa, emituje se ili apsorbuje infracrvena svetlost talasne
dužine
. Ako zamenimo ove vrednosti u (15.20) dobićemo konstantu elastičnosti koja
karakteriše jačinu veze u molekulu ugljen monoksida,
. U stvarnosti je situacija mnogo
kompleksnija. Pre svega, tranzicija između susednih vibracionih nivoa daje malo različite talasne dužine
radijacije pošto su vibracioni nivoi samo aproksimativno jednako udaljeni jedan od drugog. Drugo,
molekul može rotirati pa je svaki vibracioni nivo zaista skup blisko razmaknutih nivoa sa različitim
rotacionim energijama. Shodno tome postoji opseg spektralnih linija koji je povezan sa svakom
vibracionom tranzicijom.
Download

(PDF, 337KB)