FUNKCIJE
Sa pojmom funkcije smo se sretali mnogo puta do sada. Ovde se ponovo, kao i kod
relacija, radi o uspostavljanju određenih veza među elementima neka dva skupa, s tim što
sada ovakve veze imaju i neke osobenosti. Naime, dok, kada je reč o relacijama, jedan
element skupa A može biti povezan sa više različitih elemenata skupa B, dopušta se, kada
su u pitanju funkcije, da jedan element skupa A bude u vezi sa najviše jednim elementom
skupa B. Uz to neophodno je još i da je svaki element skupa A u vezi sa nekim
elementom skupa B.
Iako svi imamo otprilike predstavu šta je to funkcija sada ćemo je i formalno definisati:
Definicija1: Funkcija (preslikavanje) skupa A u skup B, u oznaci f : A  B je relacija
f  A  B koja ima svojstvo da je svaki element skupa A u relaciji f sa tačno jednim
elementom skupa B. Kada se radi o funkciji a ne samo o relaciji ne piše se ( x, y)  f već
y  f ( x) . Dakle, vidimo da je funkcija ništa drugo do specijalni tip relacija.
Ako je funkcija definisana na skupovima A i B na način f : A  B , nije
neophodno da svaki element skupa B ima para u skupu A, ali jeste da
svaki element skupa A ima para u skupu B.
Poznavajući kvantifikatore, definiciju funkcija možemo zapisati i na sledeći način:
(x  A)(y  B) y  f ( x)
a uslov da se svaki element skupa A slika u tačno jedan element skupa B ovako:
(x  A)(y, z  B)( y  f ( x)  z  f ( x)  y  z )
Dakle nijedan element skupa A ne sme ostati bez slike u skupu B.
Skup A se naziva domenom funkcije, a skup B kodomenom funkcije f.
Elementi skupa A nazivaju se argumentima nezavisno promenljive ili originalima.
Još jedna važna napomena (iako je naglašena u definiciji još jednom ćemo skrenuti
pažnju): Svaki element domena se slika u tačno jedan elemenat kodomena, dok se
različiti elementi domena mogu slikati u isti element kodomena.
Dakle, sa ove slike vidimo da se elementi domena b i c slikaju u isti element kodomena,
ali to je kao što rekosmo dozvoljeno.
Funkcije imaju brojne osobine i sa njima ćemo se upoznavati tokom sve četiri godine
učenja matematike. Sada ćemo navesti dva veoma važna svojstva:
Definicija2: Za preslikavanja f : A  B kažemo da je 1-1(jedan-jedan) ako važi:
(x1 , x2  A)( x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )), ili, što je ekvivalentno:
(x1 , x2  A)( x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )) .
Za funkcije koje zadovoljavaju ovaj uslov kažemo da su injektivne.
Drugim rečima, injektivne funkcije slikaju različite argumente u različite vrednosti.
Da bismo lakše shvatili šta su to 1-1 funkcije pogledaćemo grafičke prikaze nekih
funkcija:
ovo jeste 1-1 preslikavanje
ovo preslikavanje nije 1-1
Definicija 3: Za preslikavanja f : A  B kažemo da je „NA“ ako važi:
(y  B)(x  A)( y  f ( x)).
Drugim rečima, funkcija je „NA“ ako svaki elemenat kodomena ima odgovarajući
original u domenu.
Za funkcije koje zadovoljavaju ovaj uslov kažemo da su surjektivne.
Da bismo lakše shvatili šta su to „NA“ funkcije pogledaćemo grafičke prikaze nekih
funkcija:
ovo jeste „NA“ preslikavanje
ovo preslikavanje nije „NA“
jer element C nema svoj original
Definicija 4: Za funkcije koje su istovremeno i injektivne i surjektivne kažemo da su
bijekcije.
Bijekcije predstavljaju najvažniju klasu funkcija.
Neka su zadate funkcije f : A  B i g : B  C .
Definicija 5: Preslikavanje g  f : A  C predstavlja kompoziciju funkcija f i g i
definisano je uslovom (x  A)(( g  f )( x)  g ( f ( x))) .
Ovo nam omogućava da umesto da prvo slikamo skup A u skup B, a zatim skup B u skup
C, direktno preslikamo skup A u skup C.
Neka je f : A  B , funkcija koja slika skup A u skup B. Zapitajmo se da li postoji
nekakva funkcija koja radi obrnuto, tj. slika skup B u skup A. Takva funkcija postoji pod
određenim uslovima i ona se naziva inverznom funkcijom.
Nema svaka funkcija svoju inverznu funkciju. Funkcija koja ima inverznu funkciju
naziva se invertibilnom funkcijom.
Teorema 1: Neka je f : A  B bijekcija. Tada postoji inverzno preslikavanje
f 1 : B  A tako da je: ( f 1  f )( x)  x .
Dakle, funkcija jeste inverzna ako i samo ako je bijekcija. Ovo tvrđenje je očigledno,
jer ako uzmemo neku funkciju koja nije „NA“ tada postoji neki element u kodomenu koji
nema svoj original, pa je nemoguće očekivati da se u inverznom preslikavanju taj element
slika u neki elemenat skupa domena.
Posmatrajmo grafički prikaz. Tako ćemo najlakše shvatiti suštinu inverznog
preslikavanja:
Da rezimiramo:
Surjektivno ali
neinjektivno
preslikavanje
(jeste „NA“
nije „1-1“)
Injektivno ali
nesurjektivno
preslikavanje
(Jeste „1-1“
nije „NA“)
Bijekcija
(i „1-1“
i „NA“)
ZADACI:
1. Dat je skup A  {a, b, c, d} .
a) Da li su skupovi:
f  {(a, b), (b, a ), (c, d ), (d , c)} i
g  {(a, c), (b, a ), (c, a), ( d , d )}
preslikavanja A u A?
b) Odrediti f ( f (a)), f ( f (b)), f ( f ( f (d ))), g ( f ( g (a))), g ( g (c)).
c) Rešiti jednačinu f ( x)  g ( x)
Rešenje: Jesu preslikavanja, jer zadovoljavaju sve uslove neophodne da neka relacija
bude preslikavanje.
f ( f (a))  a, f ( f (b))  b, f ( f ( f (d )))  c, g ( f ( g (a)))  d , g ( g (c))  c.
Uputstvo za rešavanje ovakvih zadataka. Kada imamo neko složeno preslikavanje dve ili
više funkcija, uvek pri rešavanju idemo iznutra ka spolja. Na primer, kada radimo
f ( f ( f (d ))) , prvo se radio no što je skroz unutra, u ovom slučaju to je f (d ) . Iz
definicije funkcije f vidimo da je f (d )  c (jer se d slika u c). Tada smo početni zadatak
sveli na jednostavniji koji je oblika: f ( f (c)) . Ponovo krećemo iznutra i rešavamo f (c) ,
iz definicije funkcije f čitamo da je f (c)  d , pa se početni problem svodi na f(d) a to je
jednako c.
Rešenje ove jednačine je x=b jer se samo b slika u isti elemenat u oba preslikavanja.
g ( x)  2  x x 
2. Neka su f i g funkcije f ( x)  2  3x,
a) Naći f (1), f (2), g (1), g (2), f ( g (1)), g ( f (1)).
b) Rešiti jednačine f(x)=17 i f(x)=g(x).
c) Naći f (2 x), g (3x), g ( f ( x)), f ( g ( x)) .
Rešenje: Zadaci ovog tipa vam vrlo četo prave probleme. Naime, potrebno je shvatiti da
kada je zadata neka funkcija, na pr f ( x)  2  3x , da bismo našli f(1) potrebno je samo
umesto x staviti 1 i izračunati vrednost izraza. Isto važi i ako se traži f(2x), svuda gde piše
x jednostavno treba zameniti 2x. Što se tiče primera g ( f ( x)) , u funkciji g(x) svuda gde
se nalazi x treba ga zameniti sa f(x) tj. u ovom slučaju sa 2+3x. Tako će u ovom primeru
biti: g ( f ( x))  2  f ( x)  2  2  3x  4  3x
3. Odrediti sva preslikavanja skupa {a, b} u skup {1, 2,3} i sva preslikavanja skupa
{1, 2,3} u skup {a, b} .
4. Neka je f :    , tako definisano da je f(x) zbir cifara broja x.
a) Odrediti f (5), f (12), f (253), f ( f (253));
b) rešiti jednačinu f(x)=5;
c) da li je f 1-1 i NA?
Rešenje:
a) f (5)  5, f (12)  3, f (253)  10, f ( f (253))  f (10) 1;
b) Jednačina f(x)=5 ima beskonačno mnogo rešenja, to su svi brojevi čiji je zbir cifara 5.
Na pr 5, 50, 401...
c) f jeste NA ali nije 1-1, primer za to su upravo brojevi 5 i 50. Različiti originali se
slikaju u istu sliku, što znači da funkcija nije 1-1.
5. Neka je A  {1, 2,3, 4} i f : A  A . Koje od sledećih relacija su funkcije, a koje od
funkcija su „1-1“ a koje „NA“:
1 2 3 4 
1 2 3 4 
1 2 3 4
a) f  
 b) f  
 c) f  

1 2 3 4 
1 1 2 2 
3 4 2 1
1 2 3 3 
1 2 3 4
1 2 3 4
d) f  
 e) f  
 f) f 

1 2 3 4 
 4 3 2 2
3 3 3 3
Rešenje:
Sve su funkcije osim primera pod d) jer se element 3 slika i u 3 i u 4, a to je kao što
znamo nemoguće.
Funckija pod a) je i „1-1“ i „NA“,
b) nije ni „1-1“ ni „NA“,
c) jeste i „1-1“ i „NA“ ,
e) nije ni „1-1“ni „NA“,
f) nije ni „1-1“ ni „NA“.
6. Data su preslikavanja:
a b c d 
a b c d 
a
f 
 g 
 h
1 2 3 4
2 4 1 3
4
Odrediti inverzna preslikavanja f 1 , g 1 , h 1 .
Rešenje:
1 2 3 4
1 2 3 4
1
f 1  
 g 
 h
a b c d 
c a d b
d
b c d

3 2 1
2 3 4

c b a
7. Neka je f :    . Dokazati da je f „1-1“ i „NA“ preslikavanje i odrediti inverznu
funkciju f 1 :
5x  2
;
4
x 1
x2
d ) f ( x)  5 x  1; e) f ( x)   ; f ) f ( x) 
.
3 12
3
Rešenje: Ovakvi zadaci se rade direktno iz definicije: radimo primer pod a)
Po definiciji ako je funkcija 11 to znači da iz. Da proverimo, neka je
f ( x1 )  f ( x2 )  7 x1  1  7 x2  1  7 x1  7 x2  x1  x2 , pa iz toga sledi da funkcija jeste
„1-1“. Za ispitivanje da li je funkcija „NA“, potrebno je da utvrdimo da li baš za svaki
element kodomena postoji neki element iz domena koji se u njega slika. Neka je
y 1
, što dokazuje da za ma koje y iz kodomena postoji
y  7 x 1  7 x  y  1  x 
7
y 1
neko x u domenu koje se slika u to z i ono je oblika: x 
.
7
a ) f ( x)  7 x  1; b) f ( x)  2 x  3; c) f ( x) 
8. Ispitati da li sledeće funkcije f :    imaju svojstva „1-1“ i „NA“.
x 3
a) f ( x)  x 2  2 x  1; b) f ( x) 
, x  2; c) f ( x)  x 2  4 x  5.
x2
9. Ako je f ( x)  2 x  5, g ( x)  5x  3, odrediti f  f , f  g , g  f , g  g .
Rešenje: f  f ( x)  f ( f ( x))  f (2 x  5)  2(2 x  5)  5  4 x  15
10. Neka je f ( x)  1  2 x, g ( x)  1  x 2 . Naći
f  g , g  f , g  g , g 3  ( g  g  g ), f  g 3
1
x
, h( x ) 
, x   \{1}. Dokazati da je:
1 x
x 1
b) f  h  g; c) (( f  g )  h)( x)  x.
11. Neka je f ( x)  1  x, g ( x) 
a) g  h  f ;
12. Odrediti f(x) ako je:
x

x 
a) f   3   x  1; b) f   1  x  8;
2 
3 
x 
x

c) f   1  x  4; d ) f   3   x  19.
5 
7

Rešenje:
Ovi zadaci se rade uvođenjem smene
x
x
a) Neka je  3  t   t  3  x  2t  6 pa je tada f (t )  (2t  6)  1  2t  7 a s
2
2
obzirom da je t bilo koje slovo umesto njega možemo staviti i x i tada je f ( x)  2 x  7.
Download

FUNKCIJE