1.1. KVANTIFIKATORI (KVANTORI)
Ako bismo posmatrali rečenicu x 2  4 i upitali se da li je ona iskaz, odgovor bi bio
negativan. Naime ovo je jedna matematička formula za koju ne možemo precizno utvrditi
da li je tačna ili ne. Ali ako bismo posmatrali rečenice:
1) Za svaki broj x važi formula x 2  4 ili
2) Postoji broj x takav da važi formula x 2  4
situacija bi bila drugačija. Ubacivanjem reči „ Za svaki broj x“ i „Postoji broj x“ početna
rečenica prestaje da zavisi od x i postaje iskaz. Ove rečenice je moguće zapisati i
skraćeno:
1) (x)( x 2  4);
2) (x)( x 2  4)
Ova dva simbola za skraćeno zapisivanje navedenih reči nazivaju se kvantifikatori ili
kraće kvantori.
U matematičkoj logici postoje dva kvantifikatora.
Definicija1: Univerzalni kvantifikator -  . Obrnuto slovo A kao početno slovo engleske
reči all = svi, a znači „svaki“, „ma koji“ ili „bilo koji“.
Definicija2: Egzistencijalni kvantifikator -  . Obrnuto slovo E kao početno slovo
engleske reči exist = postoji, a znači „najmanje jedan“, „makar jedan“,“neki“ ili „postoji
bar jedan“.
Koriste se kao oznake za:
(x) ( x) - „za svaki x važi  ( x) “
(x) ( x) - „postoji x za koje važi  ( x) “
α(x) je neka formula
ili osobina.
Formule u kojima se pojavljuju kvantifikatori nazivaju se predikatske formule.
U matematičkoj logici, a i u matematici inače, od posebnog je značaja ponašanje
kvantifikatora u odnosu na negaciju. To ponašanje se vidi iz sledećih uvek tačnih
formula:
(x) ( x)  (x) ( x);
(x) ( x)  (x) ( x).
Prva od njih kaže da izrazi „nije svaki“ i „neki nije“ imaju isto značenje, a druga da
izrazi „nije neki“ i „svaki nije“ takođe imaju isto značenje.
Na primer, rečenice: „Nije svaki čovek dobar“ i „Postoji čovek koji nije dobar“ imaju isto
značenje. Slično bi se mogla obrazložiti i druga formula.
Ako želimo da označimo da postoji jedno i samo jedno x, odnosno jedinstveno x, onda
koristimo izmenjenu varijatnu egzistencijalnog kvantifikatora: (! x) ili (1 x) .
Na primer rečenica „Postoji jedinstveno x takvo da je x+1=5“ se može zapisati i ovako:
(! x)( x  1  5) ili (1 x)( x  1  5) .
ZADACI:
1. Koje od sledećih rečenica su tačne u skupu prirodnih brojeva?
a) (x)( x  5); b) (x)( x  0); c) (x)(3 x  2  3);
d ) (! x)( x  7  11); e) (x)( x 1  1); f ) (x)( x  2).
Rešenje: Ne postoji univerzalni način za rešavanje ovakvih zadataka. Treba obratiti
pažnju da je u postavci rečeno da se tvrdnje odnose na skup prirodnih brojeva.
a) Iskaz je svakako tačan, na pr. broj 4 je prirodan broj i manji je od 5.
b) Ovaj iskaz je takođe tačan, jer poznato je da su prirodni brojevi {1, 2,3...} pa je jasno
da je svaki veći a samim tim i veći ili jednak od nule.
c) Rešavanjem ove jednačine dobijamo da je x jednako 1/3, a to nije prirodan broj, tako
da ovo tvrđenje nije tačno u skupu prirodnih brojeva (u nekom drugom skupu je tačno).
d) Rešenje ove jednačine je x=4, to jeste broj iz skupa prirodnih brojeva i takođe jedini
broj koji zadovoljava ovu jednačinu, pa samim tim x jeste jedinstveno, tako da ovo važi.
e) Ovo tvrđenje nije tačno, jer na pr. ako je x=2 imamo 2=1 što nije tačno.
f) Prvo ćemo negirati ovaj iskaz i tako dobiti: (x)( x  2)  (x)( x  2) . Jasno je da
ovo tvrđenje nije tačno jer je dovoljno da uzmemo na pr. broj 5. Tada bi trebalo da važi
5<2, što naravno nije tačno, tako da ni ovo tvrđenje nije tačno). Ovaj primer je moguće
uraditi i tako što bismo zanemarili negaciju koja stoji na početku, i odredili istinitost
iskaza (x)( x  2) , i zatim dobijenu vrednost negiramo.
2. Ispitati tačnost formule u skupu prirodnih brojeva:
a) (x)(y )( x  y ); b) (x)(y )( x  y ); c) (x)(y )( x  y );
d ) (x)(y )( x  y  y  x); e) (x)(y )( x  y  x).
Rešenje:
a) Formula ima značenje od svakog prirodnog broja postoji veći, i tačna je.
b) Tačno je, postoji takvo x i ono je 1. Svaki prirodan broj je veći ili jednak od 1.
c) Ovo nije tačno, jer na pr. za x=1 ne postoji y koje je manje od 1.
d) Ovo tvrđenje je tačno i predstavlja zapis komutativnosti u skupu prirodnih brojeva.
e) I ovo tvrđenje je tačno, postoji takvo y i ono je jednako jedan. Svaki broj pomnožen sa
jedan daje samog sebe.
3. Ispitati koje od sledećih formula su tačne u skupu realnih brojeva:
a) (x)(y)(z )( xz  y  0); b) (x)(y)(z )( xz  y  0);
c) (x)(y)(z )( xz  y  0); d ) (x)(y)(z )( xz  y  0);
e) (x)(y)(z )( x( xz  y)  0); f ) (x)(y)(z )( x  y  x  z ).
Rešenje: Ovaj zadatak predstavlja nešto komplikovaniju verziju dva prethodna zadatka, i
ovog puta se operiše na skupu realnih brojeva, što je od velike važnosti.
a) Pošto dato tvrđenje mora da bude tačno za sve x i y naš zadatak je da utvrdimo da li
postoji bar jedno z koje zadovoljava dat izraz. Jednostavnim transformacijama početnog
y
izraza dobijamo da je z   . Odavde vidimo da je u slučaju da je x=0 ovaj zapis nije
x
definisan, tako da ovo tvrđenje ne važi.
b) Ni ovo tvrđenje nije tačno jer u slučaju da je x=y=0 ma koje z da izaberemo sa leve
strane ćemo dobiti 0.
c) Ovo tvrđenje je uvek tačno.
d) Ovo tvrđenje je uvek tačno
e) Ovo tvrđenje je uvek tačno.
f) Ovo je više nego očigledno netačna formula, primera radi uzmimo y=1, z=2, tada
bismo imali x  1  x  2 1  2 što naravno nije tačno. Ovo tvrđenje važi onda i samo
onda kada su y i z jednaki.
4. Napisati negacije sledećih rečenica:
a) (x)( x  0); b) (x)( x 2  0);
c) (x)( x  0  0); d ) (x)( x je ceo broj  x  5  0);
e) (x)( x je prirodan broj  x  0).
Rešenje: Stavljanjem negacije ispred datih rečenica vršimo njihovu negaciju.
a ) (x)( x  0);
b) (x)( x 2  0);
c) (x)( x  0  0);
d ) (x)( x nije ceo broj  x  5  0);
e) (x)( x nije prirodan broj  x  0).
5. Koristeći logičke operacije, zapisati sledeće rečenice:
a) x je potpun kvadrat.
b) postoji tačno jedan broj čiji je kvadrat nula.
c) nijedan prost broj nije jednak 1.
d) između svaka dva racionalna broja postoji racionalan broj.
e) postoji najmanji prirodan broj.
Rešenje:
a) (y )( y    x  y 2 );
b) (! x)( x 2  0);
c) (x)( x je prost broj  x  1);
d ) (x   )(y   )(z   )( x  y  ( x  z  y  y  z  x));
e) (x   )( y  x  y   ).
Ovakvi zadaci nemaju samo jedan način zapisivanja tražene
rečenice. Postoji dosta sintaksički različitih rečenica koje imaju
isto značenje. O tome treba voditi računa!
Još jednu stvar ćemo napomenuti na samom kraju, umesto
(x)(y) mnogo češće se piše: (x, y ) a značenje je identično.
Download

1.1. KVANTIFIKATORI (KVANTORI)