Elementarna matematika 2, ispitna pitanja 2013/14.
Ispitna pitanja se odnose na skripte sa predavanja koje su podeljene
studentima.
(1) kompleksni brojevi - istorijat i osnovne operacije
a) Kako se zove najznaˇcajnije Kardanovo matematiˇcko delo,
kada je objavljeno i po ˇcemu je naroˇcito poznato?
b) Po ˇcemu se posebno razlikuje polje kompleksnih brojeva
u odnosu na polja racionalnih i realnih brojeva (ˇsto smo
u tekstu nazvali prvom magijom kompleksnih brojeva)?
Kako glase Ojlerova formula i fundamentalna teorema algebre? Po ˇcemu je specifiˇcno korenovanje, odnosno stepenovanje kompleksnih brojeva? Navesti primer koji ilustruje
tu specifiˇcnost.
(2) osnovni kombinatorni problemi
a) Neka f : A → B, |A| < ∞, |B| < ∞. Kada f moˇze da bude
injekcija, a kada sirjekcija? Navesti princip bijekcije. Kako
glasi Dirihleov princip? Navesti primer koji ga ilustruje.
b) Navesti pravilo proizvoda i pravilo zbira. Kako glasi pravilo ukljuˇcenja/iskljuˇcenja za dva skupa? koriste´ci Venov
dijagram formulisati pravilo ukljuˇcenja/iskljuˇcenja za tri
skupa?
(3) kvantifikatori
a) Navesti tipove kvantifikatora i tablicu istinitosti iskaza P (x, y)
u zavisnosti od redosleda kvantifikatora.
b) Navesti Goldbahovu hipotezu i njenu negaciju u formi iskaza.
Napisati uz pomo´c kvantifikatora, a zatim negirati iskaz:
Goldbahova hipoteza ima najviˇse konaˇcno mnogo kontraprimera.
Kako glasi i kada je dokazana slaba Goldbahova hipoteza?
(4) skupovi, operacije sa indeksiranim familijama skupova
a) Definisati indeksiranu familiju skupova i operaciju unije
i preseka indeksirane familije. Dokazati de Morganove zakone i svojstva distributivnosti za indeksirane familije skupova.
b) Definisati monotone nizove skupova i dokazati da za monotono
opadaju´ce nizove skupova Un i Vn vaˇzi
∩n∈N (Un ∪ Vn ) = (∩n∈N Un ) ∪ (∩n∈N Vn ) .
c) Definisati limes superior, limes inferior i ganiˇcnu vrednost
niza skupova. Dokazati da vaˇzi:
lim sup Un = ∩n∈N ∪k∈N Un+k−1 , lim inf Un = ∪n∈N ∩k∈N Un+k−1 .
2
(5) skup realnih brojeva
a) Definisati totalno ured¯eno polje F , Koˇsijev niz u F , supremum skupa A ⊂ F i Dedekindovu aksiomu kompletnosti.
b) Definisati Dedekindov presek u Q i navesti primere Dedekindovih preseka. Definisati skup realnih brojeva, relaciju
poretka i operacije sabiranja i mnoˇzenja pomo´cu Dedekindovih preseka.
c) Dokazati da je totalno ured¯eno polje (R, +, ·, 0, 1, ≤) Dedekind
kompletno.
(6) svojstvo kompaktnosti - Dokazati ekvivalentnost iskaza o kompaktnim podskupovima skupa realnih brojeva (Teorema 2.3 u
odeljku topoloˇski prostor).
Download

Ispitna pitanja - PMF Personal Pages