24.10.2014
ELEKTROMANYETİK DALGA
TEORİSİ
DERS - 5
İletim Hatları
İLETİM HATLARI
• İletim hatlarının tarihsel gelişimi iki iletkenli basit hatlarla (ilk
telefon hatlarında olduğu gibi) başlamıştır.
• Mikrodalga enerjisinin iletimini gerçekleştirmek için kullanılan
iletim hattı, kaynak ile yük arasında doğrudan bağlantı
sağlayan bir devre elemanıdır.
• Boyutları ve elektriksel özellikleri yayılma (propagasyon)
yönüne dik düzlem içinde değişmeyen iletim hatları üniform
hat olarak adlandırılır.
1
24.10.2014
İLETİM HATLARI
• Özellikle telefon haberleşmesinde yaşanan sıkıntılar nedeniyle
önce koaksiyel kablolara, sonra da dalga kılavuzlarına geçilmiştir.
• İki iletkenli hatlar DC’ den en fazla birkaç yüz kHz frekanslara
kadar kullanılmaktadır. Oysa koaksiyel hatlar DC’den birkaç yüz
MHz’lere dek kullanılabilmektedirler. Hatta, bir iki GHz
frekanslarda kullanılabilen özel koaksiyel hatlar da vardır.
• İki iletkenli ve koaksiyel hatlar birer alçak geçiren filtre gibi
davranırlar. Yani DC,’ den belli bir üst frekansa kadar işareti geçirir
ve iletirler, bu frekansın üstündeki işaretler hızla
söndürüldüğünden söz konusu frekanslarda iletim hattı olarak
kullanılamazlar.
İLETİM HATLARI
• Dalga kılavuzları bu ikisinden farklıdır, alçak frekansları geçirmez,
birer üst geçiren filtre gibi davranırlar.
• Dalga kılavuzları değişik kesitlere sahip iletken yapılardır. En yaygın
kullanılanları dikdörtgen ve dairesel kesitli olanlarıdır. Kesit boyutları
daraldıkça kesim frekansları yükselir. Yani, ilettikleri en düşük
frekansın değeri artar.
• Mikroşerit iletim hatları, iki metal şerit arasına dielektrik katman
yerleştirilerek oluşturulur.
• Optik fiber hatlar ise, farklı kırılma indislerine sahip cam elyaf tipi
maddenin eş merkezli olarak (koaksiyel hat gibi) yerleştirilmesi ile
elde edilir.
2
24.10.2014
İLETİM HATLARI
Koaksiyel hat
Mikroşerit
Fiberoptik hat
Dalga Kılavuzu
İLETİM HATLARI
Kolaylık açısından, devre bağlantılarını göstermek için, pek çok
devre diyagramında paralel telli iletim hattı kullanılır
3
24.10.2014
İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri
• Alçak frekans devreleri ile çalışırken, çeşitli devre elemanlarını
bağlamak için kullanılan bütün hatlar, üzerinde gerilim düşümü ve
hat ile birleşik empedansı olmayan (toplu empedans devreleri)
mükemmel iletkenden yapılmış teller olarak düşünülebilir. Tellerin
uzunluğu işaretin dalga boyundan çok daha küçük olduğu sürece
bu durum geçerlidir. Bu durumda, her hangi bir anda aynı tel
üzerindeki her noktada akım ve gerilim aynıdır.
İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri
• Bilindiği gibi, evlere sağlanan elektrik, ülkeye bağlı olarak, 50 veya 60 Hz
frekanslı yüksek güçlü sinüzoidal işaretlerden oluşur. Teller arasındaki
izolatörün hava (ε≈ε0) olduğu kabul edilirse, 50 Hz için dalga boyu,
•
.
=6000 km
• Şimdi bunu mikrodalga bölgesindeki bir frekans ile örneğin 50 GHz ile
karşılaştıracak olursak dalga boyu,
•
.
.
=6 mm
4
24.10.2014
Çıkarılması gereken sonuç nedir?
• Yeteri kadar yüksek frekanslarda, dalga boyunun uzunluğu ile iletim
hattının iletkenlerinin uzunluğu aynı mertebelerdedir. Akım ve gerilim
iletim hattının her noktasında aynı değere sahip olamayacağından,
hat boyunca akım ve gerilim bir dalga olarak yayılırlar. Bundan dolayı
iletkenlerin empedans özellikleri ihmal edilemez (dağılmış empedans
devreleri)
İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri
• Bir kaynağın eşdeğer devresi, ideal bir AC gerilim kaynağının
gerçek iç empedansıyla seri bağlanmasından ibarettir Kaynak
açık devre ile sonlandırılırsa
(
→ ∞)
5
24.10.2014
İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri
• Kaynak
yüküne bağlandığında
İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri
•
yükü kısa devre edilirse (
= 0),
6
24.10.2014
İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı
İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı
• Amaç, ZL yük empedansı ile sonlandırılmış bir iletim hattının
kaynaktan görünen eşdeğer empedansını bulmaktır. Bunun için
devre teorisi yöntemleri kullanılabilir.
• Bir uniform iletim hattı, boyutları ve elektriksel özellikleri iletim
yönüne dik düzlem içinde değişmeyen, başka bir deyişle, sonsuz
küçük uzunluktaki özdeş birim uzunluktaki hücrelerin kaskat
bağlanmış hali olarak tanımlanabilen bir dağılmış devredir.
• Bir iletim hattını gerçekleştirmek için kullanılan iletkenler belirli bir
seri dirence ve indüktansa sahiptir. İlave olarak, iletkenler arasında
bir paralel kapasitans ve hatta iletkenler arasındaki dielektrik ortam
mükemmel değilse, bir paralel kondüktans mevcuttur. Böylece bir
iletim hattını dağılmış devre elemanları eşdeğeri ile şekil’deki gibi
göstermek mümkündür (genel kayıplı hat modeli).
7
24.10.2014
İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı
(a) Voltage and
current
definitions.
(b) Lumpedelement
equivalent
circuit.
İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı
• R İletim hattının birim uzunluğundaki direnç (Ω/m)
• L İletim hattının birim uzunluğundaki indüktansı (H/m)
• C İletim hattının birim uzunluğundaki kapasitansı (F/m)
• G İletim hattının birim uzunluğundaki kondüktansı (S/m)
belirtmektedir. Her bir birim uzunluktaki hücrenin sonsuz küçük uzunluğu dz olmak
üzere, dağılmış devrenin her bir hücresi, değeri R.dz, L.dz, C.dz ve G.dz olan
empedans elemanlarına sahip olacaktır.
8
24.10.2014
Kayıpsız İletim Hatları
• Pek çok durumda, iletim hattındaki rezistif etkileri ihmal etmek (R=0, G=0)
mümkündür.
• Böyle bir yaklaşımda, sadece reaktif elemanlar mevcut olacağından ısı (omik)
kaybı olmayacaktır. Kayıpsız iletim hattının birim hücresinin eşdeğer devresi
şekilde gösterilmiştir.
Kayıpsız İletim Hatları
• Şekildeki devreye göre, seri indüktans birim uzunluktaki hücrenin girişinden
çıkışına gerilim değişimini belirler. Bu durumda devre denklemi,
• Kirchoffun gerilim kanunu ile;
Birinci dereceden diferansiyel denklem
9
24.10.2014
Kayıpsız İletim Hatları
• Paralel kapasitörden geçen akım birim uzunluktaki hücrenin
girişinden çıkışına akımdaki değişimi belirler. Şekildeki devre
için denklem,
• Böylece, uniform iletim hattındaki akım ve gerilimi tanımlayan
bir çift kuple birinci mertebeden diferansiyel denklem elde
edilir.
Kayıpsız İletim Hatları
Telgrafçı
Denklemi
 Z- düzleminde bu denklemleri türevi tekrar alınırsa;
10
24.10.2014
Kayıpsız İletim Hatları
• Bu denklemler matematiksel olarak, dalga denklemleridir ve
birbirinden bağımsız olarak çözülebilirler. Gerilim denklemi için
genel çözüm,
• Burada dalganın yayılma sabiti,
• Faz sabiti β ayrıca,
Burada λ = v p /f iletim hattının iletkenlerini kuşatan dielektrik
ortamdaki dalga boyudur ve dielektrik ortamdaki dalganın faz hızı,
Kayıpsız İletim Hatları
• İletim hattındaki akım dağılımı, gerilim için elde edilen sonucun türevlenmesiyle,
•
Bu iki eşitlikten;
bulunur. Kayıpsız iletim hattının karakteristik empedansı
11
24.10.2014
Kayıplı İletim Hatları
Şekil’de gösterilen birim uzunluktaki iletim hattının eşdeğer
devresi kullanılarak, uniform kayıplı iletim hattı için çözüm çok
basit bir prosedür ile bulunabilir.
Kayıplı İletim Hatları
Şekilde verilen alt devreye göre, seri empedans birim uzunluktaki hattın
girişinden çıkışına gerilim değişimini belirler. Uygun devre denklemi,
şeklinde yazılabilir. Bu denklemden gerilim için birinci mertebeden diferansiyel
denklem,
12
24.10.2014
25
Kayıplı İletim Hatları
• Şekilde verilen alt devreye göre, paralel empedans
birim uzunlukta ki hattın girişinden çıkışına akım
değişimini belirler.
• Uygun devre denklemi,
26
Kayıplı İletim Hatları
Kayıplı iletim hatları için Telgrafçılar Denklemi
• Daha önce yapıldığı gibi, bu denklemler z’e göre
türetilerek kuplajsız denklem takımı,
Bu denklemler, kayıplı iletim
hatları için kuplajsız ikinci
mertebeden diferansiyel
denklemlerdir ve yine dalga
denklemleridir.
13
24.10.2014
27
Kayıplı İletim Hatları
• Gerilim denklemi için genel çözüm,
• Burada dalganın yayılma sabiti kompleks bir büyüklüktür.
• Yayılma sabiti γ’nın
• α : reel bileşeni rezistif kayıplar nedeniyle işaretin zayıflamasını temsil eder.
• β : İmajiner bileşen, kayıpsız durumda olduğu gibi, işaretin yayılma
özelliklerini tanımlar.
28
Kayıplı İletim Hatları
• Burada kayıplı iletim hattının karakteristik empedansı,
Karakteristik
empedans
kompleks!!
Karakteristik Empedans hat uzunluğundan bağımsızdır !!!
14
24.10.2014
Kayıplı İletim Hatları
• Karakteristik empedans, iletkenlerin yapıldığı metale, iletkenleri
kuşatan dielektrik ortama ve hat kesitinin geometrisine bağımlıdır.
• Diğer taraftan, karakteristik empedansı bir eşdeğer devrede iletim
hattı yerine toplu empedansla yorumlamamaya dikkat edilmelidir.
SONUÇ
30
• V(z) ve I(z), ikinci mertebeden diferansiyel dalga denklemlerinin
çözümleri olduğundan, sırayla, pozitif ve negatif yönde yürüyen
kararlı voltaj dalgalarının genliklerini ifade eden V + ve V −
bilinmeyenlerinin belirlenmesi gerekir.
• Bu bilinmeyenleri belirlemek için, iletim hattına bağlı kaynak ve
yükün etkisini dikkate alarak, iki sınır şartına ihtiyaç vardır.
15
24.10.2014
İletim Hatları
31
• Sınır şartlarını uygulamadan önce, sıfır referans noktasının kaynak yerine
yük konumunda olmasını sağlamak için, uzay koordinat sisteminin referans
noktasını kaydırmak uygun olacaktır.
• İletim hattı boyunca yükten kaynağa doğru giderken artış olması için,
koordinatın pozitif yönünü de değiştirmek gerekir. Böylece, yükün
konumunu sıfır referans noktası olarak kabul ederek, yeni koordinat
değişkenini d = -z olarak alabiliriz.
İletim Hatları
32
• Buna göre, hat boyunca voltaj ve akım için yeni denklemler,
• şeklinde yazılabilir. Yük üzerinde, d=0 olacağından, her iki durumda da,
• Yük empedansı ZL verilmiş ise, yük sınır şartı;
16
24.10.2014
33
İletim Hatları
• Bu eşitlikten de, (yansıma katsayısı yansıyan dalga genliğinin gelen
dalga genliğine oranı olarak tanımlandığından) voltaj yük yansıma
katsayısı,
• Bu eşitlikleri iletim hattı denklemlerinde kullanacak olursak,
34
İletim Hatları
• Yükten d-uzaklıkta, hattın herhangi bir noktasındaki yansıma katsayısı
genelleştirilmiş yansıma katsayısı olarak tanımlanır;
Kayıpsız
Kayıplı
17
24.10.2014
Yansıma katsayı formülü ile hat denklemleri;
İletim Hatları
• Yandaki basit devre verilen hat
empedansının ve genelleştirilmiş
yansıma katsayısının önemini
göstermek için yeterlidir.
36
İletim hattı empedansı;
• d-konumunda hattı kestiğimizi
düşünürsek, hattın yükle
sonlandırılmış parçasının giriş
empedansı, kesimden önce 0
noktadaki giriş empedansı ile
aynıdır.
• d-konumunun sol tarafındaki
hattın davranışı, kesim noktasına
Z(d) eşdeğer empedansı
yerleştirilmesi durumunda,
aynıdır. Yeni yükün yansıma
katsayısı Γ (d)’ye eşittir ve
18
24.10.2014
37
İletim Hatları
• Eğer hattın toplam uzunluğu L ise, giriş empedansı
hat empedansı formülünden,
• Giriş empedansı, bir yükle sonlandırılmış tüm hattı
temsil eden bir eşdeğer empedanstır.
+
Vin
Iin
ZL
Z0
-
Zin
L
İletim Hatları
38
• Genelleştirilmiş yansıma katsayısının uygun ifadeleri
kullanılarak, hat empedansı için değişik ifadeler türetilebilir:
• Kayıpsız Hat için:
19
24.10.2014
39
Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Kısa Devre Sonlandırma)
• Kısa devre sonlandırma;
ZL = 0  Γ= -1
V ( z )  V0 e  j  z  e j  z   2 jV0 sin  z ,
V0  j  z
V0
j z


e   2
I ( z) 
e
cos  z
Z0 
Z0
Z in  jZ 0 tan  l
(2.45)
Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Kısa Devre Sonlandırma)
Kısa devre sonlandırma;
ZL = 0  Γ= -1
Kısa devre sonlandırma durumu
için yanda verilen denklem
kullanılarak da giriş empedansı
bulunabilir.
ZL = 0
Z in  jZ 0 tan  l
(2.45)
20
24.10.2014
41
Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Kısa devre sonlandırma)
V ( z )  V0 e  j  z  e j  z   2 jV0 sin  z ,
V0  j  z
V0
j z
e
 e   2
I ( z) 
cos  z
Z0 
Z0
Z in  jZ 0 tan  l
(2.45)
42
Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Özel Durumlar)
• Açık devre sonlandırma;
ZL = ∞  Γ= 1
V ( z )  V0 e  j z  e j  z   2V0 cos  z ,
I ( z) 
2 jV0
V0  j  z
e
 e j  z  
sin  z
Z0
Z0
(2.46)
Z in   jZ 0 cot  l
21
24.10.2014
43
Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Açık devre sonlandırma)
V ( z )  V0 e  j  z  e j  z   2V0 cos  z ,
I ( z) 
2 jV0
V0  j z
e
 e j  z  
sin  z
Z0
Z0
(2.46)
Z in   jZ 0 cot  l
Yarım dalga boyuna sahip iletim hatları
ZL
Z0
Zin
d=/2
d=/2
Zin=ZL
Hattın boyu /2’nin katları olduğu
zaman, girişten görünen
empedans yük empedansıdır.
22
24.10.2014
Çeyrek Dalga Dönüştürücü
Z0
d=/4
Zin
Zin= Z1.
ZL
Z1
.
.
.
.


Zin=
d=/4
Yansıma olmaması için Zin=Z0 olmalıdır.
Z0=
Z1=
.
23
Download