1
1.BÖLÜM
KOMPLEKS SAYILAR
Bu bölümde, kompleks sayılar tanıtıldıktan sonra bazı özellikleri
incelenecektir. Ayrıca bölümün sonunda, meraklı okuyucular için,
kompleks sayıların kısa bir tarihcesi verilmiştir.
1.1. Kompleks Sayılara İhtiyaç Duyulması:
Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinin, genelde, reel sayı
olması gerekmediği bilinmektedir. Örneğin, +ß ,ß - − ‘ ve ? œ ,#  %+-  !
olması halinde
+B#  ,B  - œ !
denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü, negatif reel sayıların karekökü tanımlı
değildir. Zengin özelliklere sahip olan reel sayılar için bu bir eksikliktir. O
halde, reel sayıların cebirsel özelliklerini taşıyan ve ikinci dereceden
denklemlerin çözümlerini içeren (başka bir deyişle, her bir elemanının karekökü
olan) yeni bir sayı sistemi aramak doğaldır. Bu düşünce bizi kompleks sayı
sistemine götürür.
1.1. Alıştırmalar
1. +ß ,ß - − ‘ ve + Á ! olmak üzere +B#  ,B  - œ ! denkleminin köklerinin
B" œ
 ,  È,#  %+ ,  È,#  %+ß B# œ
#+
#+
formülleri ile verildiğini biliyoruz. Bu formülleri çıkarınız. Ayrıca bu kökleri
? œ ,#  %+- olmak üzere ?  !ß ? œ !ß ?  ! durumuna göre belirleyiniz.
2. 1. Alıştırmadaki formülleri unuttuğunuzu kabul ederek, bu formülleri
çıkarırken hareket ettiğiniz yolu kullanarak, aşağıdaki denklemlerin reel
köklerini bulunuz.
2
i. #B#  &B  $ œ !
ii. B#  B  # œ !
iii. B#  #B  " œ !
1.2. Kompleks Sayıların Tanımı:
1.2.1. Tanım: ‘# œ ‘ ‚ ‘ kümesini gözönüne alalım. Ð+ß ,Ñß Ð-ß .Ñ − ‘#
olmak üzere
Ð+ß ,Ñ  Ð-ß .Ñ œ Ð+  -ß ,  .Ñ
Ð+ß ,ÑÐ-ß .Ñ œ Ð+-  ,.ß +.  ,-Ñ
işlemlerini tanımlayalım. Bu işlemlerle beraber ‘# ye kompleks sayı sistemi
denir. Bu sistemin herbir elemanına da kompleks sayı adı verilir ve kompleks
sayılar kümesi ‚ ile gösterilir.
1.2.1. Tanımdan anlaşılacağı gibi, ‚ kompleks sayılar kümesi denildiği
zaman küme olarak ‚ œ ÖÐ+ß ,Ñ À +ß , − ‘× ( œ ‘# ) ve 1.2.1. Tanımdaki
işlemler hatırlanacaktır. 1.2.1. Tanımdaki işlemlerde dikkat edilmesi gereken
bazı noktaları hatırlatmakta fayda vardır: Ð+ß ,Ñ  Ð-ß .Ñ œ Ð+  -ß ,  .Ñ
işleminde +  -ß ,  . reel sayılardaki bilinen toplama işlemi; Ð+ß ,Ñ  Ð-ß .Ñ
ise
kompleks
sayılardaki
toplama
işlemidir.
Benzer
şekilde,
Ð+ß ,ÑÐ-ß .Ñ œ Ð+-  ,.ß +.  ,-Ñ işleminde +-ß ,.ß +.ß ,- reel sayılardaki
çarpma, +-  ,.ß +.  ,- de reel sayılardaki çıkarma ve toplama işlemleri;
Ð+ß ,ÑÐ-ß .Ñ ise kompleks sayılardaki çarpma işlemidir.
1.2.2. Örnek: D œ Ð#ß $Ñ ve A œ Ð%ß  #Ñ kompleks sayıları için
D  A œ Ð#ß $Ñ  Ð%ß  #Ñ œ Ð#  %ß $  Ð  #ÑÑ œ Ð'ß "Ñ
DA œ Ð#ß $ÑÐ%ß  #Ñ œ Ð# † %  $ † Ð  #Ñß # † Ð  #Ñ  $ † %Ñ œ Ð"%ß )Ñ
olur.ú
Reel sayılar ile bir doğru üzerindeki noktalar arasında birebir eşleme
olduğunu biliyoruz. Bu yüzden reel sayıları, geometrik olarak, bir doğru ile
gösterdik. Düzlem ile kompleks sayılar arasında da birebir bir eşleme
kurulabilir: Her bir kompleks sayıya düzlemde bir ve yalnız bir nokta,
düzlemdeki her bir noktaya da bir ve yalnız bir kompleks sayı karşılık getirilir.
Dolayısıyla kompleks sayıların geometrik gösterilişi için ‘# yi, yani BCdüzlemini, kullanırız. Kompleks sayıların gösterildiği bu düzleme kompleks
düzlem (veya Gauss düzlemi veya Argand Diyagramı) denir. Bu durumda B
eksenine reel eksen, C eksenine ise imajiner eksen adı verilir.
3
1.2.3. Örnek: Ð#ß $Ñß Ð!ß !Ñß Ð  #ß  #Ñß Ð$ß !Ñ ve Ð!ß "Ñ kompleks
sayılarını kompleks düzlemde gösteriniz.
Çözüm: Bu sayıları sırasıyla Eß Fß Gß H ve I ile gösterelim. Bu
noktaların kompleks düzlemdeki yerleştirilişi 1.2.1. Şekilde verilmiştir.ú
1.2.1. Şekil: Kompleks sayıların düzlemde gösterilişi
B ekseni üzerindeki ÐBß !Ñ noktası B reel sayısını gösterdiğinden B œ ÐBß !Ñ
yazılır (Cebirsel anlamı için 6.alıştırmaya bakınız). C ekseni üzerindeki Ð!ß "Ñ
noktasına imajiner birim adı verilir ve bu nokta 3 ile gösterilir. Yani 3 œ Ð!ß "Ñ
dir. Şimdi 3# œ 3Þ3 nin değerini 1.2.1.Tanımdaki işlemlerden yararlanarak
hesaplayalım:
3# œ 3Þ3 œ Ð!ß "ÑÐ!ß "Ñ œ Ð  "ß !Ñ
Burada B œ ÐBß !Ñ olduğunu hatırlayarak
3# œ  "
elde edilir. 3 œ Ð!ß "Ñ olarak tanımlanmasıyla D œ Ð+ß ,Ñ kompleks sayısı için
D œ Ð+ß ,Ñ œ Ð+ß !Ñ  Ð!ß ,Ñ œ Ð+ß !Ñ  Ð!ß "ÑÐ,ß !Ñ œ +  3,
şeklinde yeni bir gösterim buluruz ÐD œ Ð+ß ,Ñ kompleks sayısı D œ +  3,
şeklinde yazıldığı gibi D œ +  ,3 şeklinde de yazılabilir). Buna kompleks
sayının cebirsel gösterimi denir. Bu durumda kompleks sayılar kümesi
‚ œ Ö+  ,3 À +ß , − ‘ß 3# œ  "×
olur. Yeni gösterim kullanılarak kompleks sayılar ile (şekilsel olarak) daha
kolay işlem yapma fırsatı ortaya çıkar. Örneğin, D œ +  3,ß A œ -  3.
kompleks sayılarını gözönüne aldığımızda
D  A œ Ð+  3,Ñ  Ð-  3.Ñ œ Ð+  -Ñ  3Ð,  .Ñ
DA œ Ð+  3,ÑÐ-  3.Ñ œ +-  3+.  3,-  3# ,. œ +-  ,.  3Ð+.  ,-Ñ
4
bulunur. Bu ise 1.2.1. Tanımdaki işlemlerden başka bir şey değildir. Buradan
görüleceği gibi, reel sayılarda edinilen alışkanlığı kullanarak kompleks sayılar
ile işlem yaptık ve 3# yerine  " aldık. Bazı işlemlerde 3 nin daha büyük
kuvvetleri ile karşılaşabiliriz. Şimdi 3 nin tam kuvvetleri ile ilgili bazı
incelemeler yapalım: 3! œ " ve 38 œ 38" 3 Ð8 − Ñ olarak tanımlanır. Bu
durumda 3 nin kuvvetleri de
$
3! œ "ß 3" œ 3ß 3# œ  "ß 3 œ  3ß 3% œ "ß 3& œ 3ß á
şeklinde olur. Daha genel olarak 8 −  sayısı 8 œ %5  <, Ð< œ !ß "ß #ß $ ve
5 − Ñ olarak yazılırsa
38 œ 3%5< œ 3%5 3< œ "Þ3< œ 3<
bulunur. Örneğin $( œ % † *  " olduğundan 3$( œ 3" œ 3à "## œ % † $!  #
olduğundan 3"## œ 3# œ  " dir.
1.2.4. Tanım: i. D œ Ð+ß ,Ñ œ +  3, − ‚ kompleks sayısı verildiğinde +
ya D kompleks sayısının reel kısmı denir ve Re D œ + ile gösterilir; , ye de D
kompleks sayısının imajiner (sanal) kısmı adı verilir ve Im D œ , ile gösterilir.
ii. , Á ! olmak üzere D œ +  3, kompleks sayısında + œ ! ise D kompleks
sayısına pür (saf) imajiner kompleks sayı denir.
1.2.5. Örnek: i. D œ Ð#ß $Ñ kompleks sayısının reel kısmı 2, imajiner kısmı
3 olduğundan Re D œ #, Im D œ $ yazılır.
ii. D œ #  $3 ve A œ %  #3 kompleks sayıları için Re ÐD  AÑß
ImÐD  AÑ, Re ÐD † AÑ ve ImÐD † AÑ sayılarını bulunuz.
Çözüm:
D  A œ Ð#  $3Ñ  Ð%  #3Ñ œ '  3
DA œ Ð#  $3ÑÐ%  #3Ñ œ "%  )3
olur. Buradan Re ÐD  AÑ œ 'ß
ImÐD † AÑ œ ) yazılır.
Im ÐD  AÑ œ "
ve
Re ÐD † AÑ œ 14ß
iii. D œ !  !3 kompleks sayısı D œ ! ile gösterilir ve Re D œ !ß Im D œ !
dır.
iv. 1.2.3. Örnekteki Eß Fß Gß H ve I kompleks sayıları sırasıyla
#  $3ß !ß  #  #3ß $ ve 3
5
şeklinde de yazılabilir (bu sayıların düzlemdeki gösterilişini inceleyiniz).
Burada I kompleks sayısının pür imajiner kompleks sayı olduğuna dikkat
ediniz.ú
1.2.6. Tanım: D œ +  ,3ß A œ -  .3 kompleks sayıları verilsin. Eğer
+ œ - ve , œ . oluyorsa D ile A kompleks sayıları birbirine eşittir denir ve
D œ A olarak yazılır. + Á - veya , Á . oluyorsa D ile A kompleks sayıları
birbirinden farklıdır denir ve D Á A olarak yazılır.
Bu tanıma göre D ile A kompleks sayılarının eşit olması için gerek ve yeter
şart Re D œ Re A ve Im D œ Im A olmasıdır.
1.2.7. Örnek: i. Ð#ß $Ñß Ð#ß %Ñ kompleks sayıları birbirinden farklı, yani
Ð#ß $Ñ Á Ð#ß %Ñ dür.
ii. D œ #  $3 ve +ß , − ‘ olmak üzere A œ Ð+  #Ñ  Ð,  $Ñ3 kompleks
sayılarının eşit olması için + ve , ne olmalıdır?
Çözüm: D œ A olması için Re D œ Re A ve Im D œ Im A olmalıdır. Buna
göre +  # œ #ß ,  $ œ $ yani + œ %ß , œ ' bulunur.ú
Kompleks sayılarda tanımlanan toplama ve çarpma işlemi ile ilgili
özellikler aşağıdaki teoremde verilmiştir:
1.2.8. Teorem: 1. Kompleks sayılarda tanımlanan toplama işlemi için
aşağıdaki özellikler vardır:
T1. Herhangi iki kompleks sayının toplamı yine bir kompleks sayıdır.
T2. Her Dß Aß > − ‚ için D  ÐA  >Ñ œ ÐD  AÑ  > olur.
T3. Her D − ‚ için !  D œ D  ! œ D olur.
T4. Her D œ +  ,3 − ‚ için D  Ð  DÑ œ Ð  DÑ  D œ ! olacak şekilde
 D œ  +  ,3 kompleks sayısı vardır.
T5. Her Dß A − ‚ için D  A œ A  D olur.
2. Kompleks sayılarda tanımlanan çarpma işlemi için aşağıdaki özellikler
vardır:
Ç1. Herhangi iki kompleks sayının çarpımı yine bir kompleks sayıdır.
Ç2. Her Dß Aß > − ‚ için DÐA>Ñ œ ÐDAÑ> olur.
Ç3. Her D − ‚ için 1D œ D 1 œ D olur.
Ç4. Her D œ +  ,3 − ‚ÏÖ!× için DD " œ D " D œ " olacak şekilde
+
,
D " œ #
3 #
kompleks sayısı vardır.
#
+ ,
+  ,#
6
Ç5. Her Dß A − ‚ için DA œ AD olur.
3. Çarpma ile toplama işlemleri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:
ÇT. Her Dß Aß > − ‚ için DÐA  >Ñ œ DA  D> olur.
TÇ. Her Dß Aß > − ‚ için ÐD  AÑ> œ D>  A> olur.
İspat: Bu teoremin ispatını yapmak oldukça kolaydır. T1 ve Ç4 şıklarını
ispatlayıp geriye kalan şıkların ispatının yapılmasını okuyucuya bırakacağız.
T1. D œ +  ,3 ve A œ -  .3 diyelim.Burada
D  A œ Ð+  ,3Ñ  Ð-  .3Ñ œ Ð+  -Ñ  Ð,  .Ñ3
olur. +! œ +  -ß ,! œ ,  . − ‘ olup D  A œ +!  ,! 3 − ‚ dir.
Ç4. D œ +  ,3 Á ! ve D " œ B  C3 diyelim. Şimdi bu D " kompleks
sayısını belirleyelim.
DD " œ " Ê +B  ,C  Ð+C  ,BÑ3 œ "
olur. Buradan
+B  ,C œ "
+C  ,B œ !
denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde
Bœ
+#
+
,
ß Cœ #
#
,
+  ,#
olarak bulunur. Yani,
D " œ
+#
+
,
 #
3
#
,
+  ,#
dir.…
1.2.8. Teoremdeki şartların sağlanması demek, ‚ nin 1.2.1. Tanımda
verilen toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisim olması demektir.
Hatırlanacağı gibi ‘ reel sayılar kümesi de bildiğimiz toplama ve çarpma
işlemlerine göre bir cisimdir.
Reel sayılarda olan ancak kompleks sayılarda olmayan özellikler vardır.
+ß , reel sayıları verildiği zaman +  ,ß +  ,ß + œ , üç halinden birisi daima
doğrudur. Kompleks sayılar için aynı şeyi söyleyemeyiz. Çünkü imajiner kısmı
7
sıfırdan farklı olan kompleks sayılar arasında büyüklük-küçüklük şeklinde bir
karşılaştırma yapılamaz. Dß A kompleks sayıları için D œ Aß D Á A hallerinden
birisi doğrudur.
1.2. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki kompleks sayıları, önce, ikişer ikişer toplayınız ve ikişer ikişer
çarpınız. Sonra da her bir şıkta verilen kompleks sayıyı +  ,3 şeklinde yazınız.
i. D œ Ð  $ß &Ñ
ii. A œ Ð "# ß "# Ñ
iii. > œ Ð!ß $Ñ
2. Aşağıdaki kompleks sayıları, önce, ikişer ikişer toplayınız ve ikişer ikişer
çarpınız. Sonra da her bir şıkta verilen kompleks sayıyı sıralı ikili şeklinde
yazınız.
i. D œ &  3
ii. A œ $3  %
iii. > œ  #  1
3. Birinci ve ikinci sorudaki kompleks sayıların reel ve imajiner kısımlarını
yazınız. Ayrıca bu sayıları kompleks düzlemde gösteriniz.
4. Bß C − ‘ olmak üzere aşağıdaki her bir durum için B ve C yi bulunuz.
i. ÐB  $ß )Ñ œ Ð&ß C  &Ñ
ii. ÐB  $Ñ  3ÐC  $Ñ œ !
iii. B  3C œ ! 38
"!"
8œ!
5. Aşağıdaki her bir kompleks sayıyı +  ,3 şeklinde yazınız.
i. Ð"  3ÑÐ#  $3Ñ
ii. 3%$  &3"#!  3"***
iii. Ð#ß  "ÑÐ&ß %Ñ
6. O œ ÖÐ+ß !Ñ À + − ‘× § ‚ olsun. O
nın ‚ deki işlemlere göre bir cisim ve
ayrıca, ‘ ile O -3=73nin izomorf olduğunu gösteriniz ( ‘ § ‚ ve + œ Ð+ß !Ñ
almamızın nedeni budur).
7.
P œ ÖÐ!ß ,Ñ À , − ‘× § ‚ olsun. P nin ‚ deki işlemlere göre bir cisim
olmadığını gösteriniz.(Bunun sonucunda L ile ‘ nin izomorf olamayacağını
söyleriz. Bu yüzden b Á 0 olmak üzere (0,b) ile bir reel sayıyı gösteremedik).
+ ,
À +ß , − ‘ matris kümesini gözönüne alalım. Önce Q
,
+ 
nin matrislerin toplanması ve çarpılması işlemlerine göre bir cisim, sonra ‚ ile
Q nin izomorf olduğunu gösteriniz (Bunun neticesinde kompleks sayılar için bir
matris gösterimi elde ederiz).
8. Q
œ œŒ
8
1.3. Kompleks Sayıların Eşleniği ve Mutlak Değeri:
1.3.1. Tanım: +  ,3 ve +  ,3 kompleks sayılarından her birine diğerinin
eşleniği denir ve D kompleks sayısının eşleniği D ile gösterilir.
Bu tanıma göre D œ +  ,3 kompleks sayısının eşleniği D œ +  ,3
œ +  ,3 dir. Kompleks sayıların diğer gösterimi D œ Ð+ß ,Ñ için D œ Ð+ß  ,Ñ
olur. Ð+ß ,Ñ ve Ð+ß  ,Ñ noktaları B eksenine göre simetrik olduğundan D ve D
sayıları düzlemde B eksenine göre simetriktir.
1.3.1. Şekil: D ve D sayılarının düzlemde gösterilişi
D œ +  ,3 ve D œ +  ,3 kompleks sayılarını gözönüne alalım.
DD œ Ð+  ,3ÑÐ+  ,3Ñ œ +#  ,#
olur. Yani, bir kompleks sayı ile onun eşleniğinin çarpımı bir (negatif olmayan)
reel sayı olmaktadır. Paydasının imajiner kısmı sıfırdan farklı olan AD kompleks
sayısını +  ,3 şeklinde yazmak için bu eşitlikten yararlanılır.
1.3.2. Örnek: i. D œ +  ,3 Á ! olmak üzere
şeklinde yazınız.
"
D
kompleks sayısını B  C3
Çözüm: D œ +  ,3 ise D œ +  ,3 olur. Bilindiği gibi DD œ +#  ,# dir.
O halde
"
" +  ,3
+
,
œ
œ #
 #
3
D
+  ,3 +  ,3
+  ,#
+  ,#
bulunur. 1.2.8.Teoremdeki Ç4 gözönüne alınırsa D " œ
ii. D œ
"
olduğu görülür.
D
"  #3
kompleks sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulunuz.
$  %3
9
Çözüm: D kompleks sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulmak için onu
D œ +  ,3 şeklinde yazmamız gerekir.
Dœ
"  #3
"  #3 $  %3
""
#
œ
œ
 3
$  %3
$  %3 $  %3
#& #&
olur. Buradan
Re D œ
""
#
ß Im D œ 
#&
#&
yazılır.
iii. D pür imajiner bir kompleks sayı ise D œ  D dir. D kompleks sayısının
imajiner kısmı sıfır, yani D bir reel sayı ise D œ D dir.
Çözüm: D pür imajiner bir kompleks sayı olduğundan , Á ! olmak üzere
D œ ,3 œ !  ,3 dir. Buna göre
D œ !  ,3 œ !  ,3 œ  ,3 œ  D
olur. D bir reel sayı ise D œ + œ +  !3 olarak yazılır. Bu durumda
D œ +  !3 œ +  !3 œ + œ D
olduğu görülür.ú
Kompleks sayıların eşlenikleri ile ilgili bazı özellikler aşağıdaki teoremde
verilmiştir:
1.3.3. Teorem: D ve A kompleks sayıları verilsin. Bu durumda eşlenikle
ilgili aşağıdaki özellikler vardır:
i. D œ D dir.
ii. D  A œ D  A ve D  A œ D  A dir.
iii. DA œ D A dir.
D
D
iv. A Á ! olmak üzere Š ‹ œ
dir.
A
A
v. D kompleks sayısının reel ve imajiner kısmı D ve D cinsinden
Re D œ
DD
DD
ß Im D œ
#
#3
şeklindedir.
İspat: i ve ii.şıkların ispatı kolay olduğundan okuyucuya bırakılmıştır.
10
iii. D œ +  ,3ß A œ -  .3 diyelim. Bu durumda
DA œ Ð+-  ,.Ñ  Ð+.  ,-Ñ3 Ê DA œ Ð+-  ,.Ñ  Ð+.  ,-Ñ3
ve
D A œ Ð+  ,3ÑÐ-  .3Ñ œ Ð+-  ,.Ñ  Ð+.  ,-Ñ3
olduğundan DA œ D A dir.
iv. İspatı, teoremin iii.kısmını kullanarak yapacağız. A Á ! olmak üzere
D
D
D
D
D œ ŠŠ ‹A‹ Ê D œ Š ‹ A Ê Š ‹ œ
A
A
A
A
elde edilir.
v. D œ +  ,3 ise D œ +  ,3 olur. Re D œ + ve Im D œ , dir. Diğer yandan
D  D œ #+ Ê + œ
DD
DD
ve D  D œ #,3 Ê , œ
#
#3
olduğundan
Re D œ
DD
DD
ß Im D œ
#
#3
bulunur.…
Daha genel olarak, bu teoremin ii.kısmındaki toplamayı
D"  D#  â  D8 œ D"  D#  â  D8
ve iii.kısmındaki çarpmayı da
D" D# âD8 œ D" D# âD8
şeklinde yazabiliriz. Son yazılan eşitlikte D" œ D# œ â œ D8 œ D alınırsa
D 8 œ ÐDÑ8
elde edilir. Burada 8 nin pozitif bir tam sayı olduğuna dikkat ediniz.
1.3.4. Tanım: D œ +  ,3 kompleks sayısı verilsin. È+#  ,# sayısına
D œ +  ,3 kompleks sayısının mutlak değeri (veya modülü) denir ve lDl ile
gösterilir.
11
Bu
tanıma
göre
D œ +  ,3
kompleks
sayısı
için
lDl œ ÈÐRe DÑ#  ÐIm zÑ# œ È+#  ,# yazılır. Daha önce D œ +  ,3
kompleks sayısı verildiğinde DD œ +#  ,# olduğunu gördük. O halde
DD œ lDl#
yazılır. Bu eşitlikten, D Á ! olmak üzere,
D " œ
D
lDl#
elde edilir. Buradan da lDl œ " ise D " œ D olduğu görülür.Yine bilindiği üzere
D œ +  ,3 kompleks sayısı düzlemde D œ Ð+ß ,Ñ noktasını gösterir. Bu nokta ile
orijin arasındaki uzaklığı . ile gösterirsek . œ È+#  ,# olur. Dolayısıyla, bir
kompleks sayının mutlak değeri, o kompleks sayının düzlemde gösterdiği
noktanın orijine olan uzaklığıdır.
1.3.2. Şekil: Kompleks sayının mutlak değeri
1.3.5. Örnek: i. D œ "  #3 kompleks sayısının mutlak değeri
lDl œ È"#  ## œ È&
dir.
ii. D œ  $ kompleks sayısının mutlak değeri lDl œ l  $l œ $ olur.
iii. D œ 3 ise lDl œ l3l œ " olur.
iv. D œ ! ise lDl œ ! olur. Diğer yandan lDl œ ! ise D œ ! dır. Bu iki
ifadenin sonucunda
D œ ! Í lDl œ !
yazarız.
v. ) − ‘ olmak üzere D œ cos )  3sin ) ise lDl œ Ècos# )  sin# ) œ "
dir.ú
12
Kompleks sayıların mutlak değeri ile ilgili bazı özellikler aşağıdaki
teoremde verilmiştir:
1.3.6. Teorem: D ve A kompleks sayıları verilsin. Bu durumda mutlak
değerle ilgili aşağıdaki özellikler vardır:
i. lDAl œ lDllAl dır.
D
lDl
ii. A Á ! olmak üzere ¹ ¹ œ
dır.
A
lAl
iii. lDl œ l D l dir.
iv. Re D Ÿ lRe Dl Ÿ lDl ve Im D Ÿ lIm Dl Ÿ lDl dir.
v. lD  Al Ÿ lDl  lAl dir (Üçgen eşitsizliği).
vi. llDl  lAll Ÿ lD  Al dir.
İspat: i. lDAl# œ ÐDAÑÐDAÑ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla
lDAl# œ ÐDAÑÐDAÑ œ lDl# lAl#
eşitliğinden lDAl œ lDllAl elde edilir.
ii. İspatı, teoremin i.kısmını kullanarak yapacağız. A Á ! için
A
D
lDl œ ¹D ¹ œ ¹ ¹lAl
A
A
D
lDl
olduğu görülür. Buradan ¹ ¹ œ
bulunur.
A
lAl
iii. D œ B  3C ise D œ B  3C dir. Bu durumda
lDl œ ÈB#  Ð  CÑ# œ ÈB#  C# œ lDl
yazılır.
iv. Bir < reel sayısı için < Ÿ l<l olduğu bilinmektedir. Buna göre Re D Ÿ
lRe Dl dir. O halde
lDl œ ÈÐRe DÑ#  ÐIm DÑ# lRe Dl Re D
yazılır. Bu da gösterilmek istenen sonuçtur. Im D Ÿ lIm Dl Ÿ lDl eşitsizliği de
benzer şekilde görülür.
v. İspatımızda l?l# œ ?? özelliğini kullanacağız.
13
lD  Al# œ ÐD  AÑÐD  AÑ œ ÐD  AÑÐD  AÑ
œ DD  DA  AD  AA
œ DD  DA  DA  AA
œ lDl#  #Re ÐDAÑ  lAl#
Ÿ lDl#  #lRe ÐDAÑl  lAl#
Ÿ lDl#  #lDAl  lAl#
œ lDl#  #lDllAl  lAl#
œ ÐlD l  lAlÑ#
olur. İlk ve son terimden
lD  Al Ÿ lDl  lAl
elde edilir.
Buna üçgen eşitsizliği denmesinin nedeni, üçgenin bir kenarının uzunluğu
diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük olmasındandır. Üçgen
eşitsizliğinden, kompleks düzlemde iki nokta arasındaki en kısa yolun bu iki
noktayı birleştiren doğru parçası olduğu sonucu çıkarılabilir.
vi. D œ ÐD  AÑ  A yazıp üçgen eşitsizliğini uygularsak
lDl œ lÐD  AÑ  Al Ÿ lD  Al  lAl
buradan da
lDl  lAl Ÿ lD  Al
elde edilir. Yukarıda D ile A nın yerlerini değiştirirsek
 lD  Al Ÿ lDl  lAl
bulunur. Bu iki sonuç birleştirilirse
llDl  lAll Ÿ lD  Al
elde edilir.…
Bu teoremin i.kısmındaki çarpmayı, daha genel olarak,
lD" D# âD8 l œ lD" llD# lâlD8 l
şeklinde yazabiliriz. Hatta bu eşitlikte D" œ D# œ â œ D8 œ D alınırsa
14
lD 8 l œ lDl8
elde edilir. v.şıktaki üçgen eşitsizliğini de, daha genel olarak,
lD"  D#  â  D8 l Ÿ lD" l  lD# l  â  lD8 l
şeklinde yazabiliriz.
Kompleks düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık: D œ +  ,3 ve
A œ -  .3 kompleks sayıları verilsin. Bu sayılar düzlemde D œ Ð+ß ,Ñ ve
A œ Ð-ß .Ñ noktalarını gösterir. Bunlar arasındaki uzaklığı .ÐDß AÑ ile
gösterirsek
.ÐDß AÑ œ ÈÐ+  -Ñ#  Ð,  .Ñ#
olur. Şimdi bu uzaklığı D ve A cinsinden ifade edelim. Her şeyden önce
D  A œ Ð+  -Ñ  Ð,  .Ñ3
olduğundan
lD  Al œ ÈÐ+  -Ñ#  Ð,  .Ñ#
yazılır. O halde kompleks düzlemdeki D ile A arasındaki uzaklık
.ÐDß AÑ œ lD  Al
olur. Örneğin, D œ  #  $3, A œ %  3 olmak üzere
.ÐDß AÑ œ l  #  $3  %  3l œ l  '  %3l œ È&#
bulunur.
Kompleks düzlemde çemberin denklemi: Şimdi de D œ B  C3 ve < sabit
pozitif bir reel sayı olmak üzere lDl œ < eşitliğini gözönüne alalım.
lDl œ < Í ÈB#  C# œ < Í B#  C# œ <#
yazılır. Bu, merkezi orijinde yarıçapı < olan çemberdir. O halde, lDl œ < merkezi
orijinde yarıçapı < olan çemberin kompleks düzlemdeki denklemidir. Benzer
muhakeme uygulanarak merkezi D! œ Ð+ß ,Ñ noktasında yarıçapı < olan
çemberin kompleks düzlemdeki denklemi
lD  D! l œ <
olarak yazılır.
15
Aslında, çemberin tanımından hareket ederek de kompleks düzlemde
çemberin denklemini yazabiliriz. Bilindiği gibi, belli bir D! noktasından sabit bir
< uzaklığında olan bütün D noktalarının kümesine D! merkezli < yarıçaplı
çember denir. Bunun matematiksel yazılışı lD  D! l œ < şeklindedir.
1.3.7. Örnek: i. Birim çemberin kompleks düzlemdeki denklemi lDl œ "
dir.
ii. lD  #  $3l œ *ß merkezi Ð#ß  $Ñ yarıçapı * olan bir çemberdir.
lD  #  $3l œ * eşitliğinde D œ B  C3 alınarak bu çemberin reel denklemi
ÐB  #Ñ#  ÐC  $Ñ# œ )"
olarak yazılır.ú
lD  D! l  <, D! merkezli < yarıçaplı çemberin içini, lD  D! l  < de D!
merkezli < yarıçaplı çemberin dışını gösterir.
1.3. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki kompleks sayıların eşleniklerini bulunuz.
"
#  $3
#3
i.
ii.
iii.
3
3"
Ð"  3ÑÐ  #  &3Ñ
2. Birinci sorudaki kompleks sayıları +  ,3 şeklinde yazınız. Bu kompleks
sayıları ikişer ikişer toplayınız.
3. Birinci sorudaki kompleks sayılardan her birinin mutlak değerini bulunuz.
4. D œ B  C3 olmak üzere lBl  lCl Ÿ È# lDl olduğunu gösteriniz. (Yol
gösterme: ! Ÿ ÐlBl  lClÑ# olduğundan #lBllCl Ÿ lBl#  lCl# yazılır. Sonra her
iki tarafa lBl#  lCl# ilave ediniz).
5. lDl œ " ise DD œ " olduğunu gösteriniz. Bunu kullanarak, lDl œ " iken
+ß , − ‚ için
º
olduğunu gösteriniz.
+D  ,
ºœ"
,D  +
16
6. D œ B  C3 olmak üzere A œ Ð"  DÑÎÐ"  DÑ veriliyor.
i. B ve C nin hangi değerleri için A − ‘ dir?
ii. B ve C nin hangi değerleri için A pür imajiner kompleks sayıdır?
7. D ve A birbirinden farklı iki kompleks sayı olsun.
i. Re DA œ lDAl olması için gerek ve yeter şart >  ! olmak üzere D œ >A
olmasıdır. Gösteriniz.
ii. lD  Al œ lDl  lAl olması için gerek ve yeter şart >  ! olmak üzere D œ >A
olmasıdır. Gösteriniz.
8. Her bir şıkta verilen kompleks düzlemdeki noktalar arasındaki .ÐDß AÑ
uzaklığını bulunuz.
i. D œ #  $3ß A œ "  3
ii. D œ  $3ß A œ "  3
iii. D œ #ß A œ "  3
9. Aşağıdaki çemberlerin kompleks düzlemdeki denklemlerini yazınız.
i. merkezi "  3ß yarıçapı 3
ii. merkezi  3ß yarıçapı "
#
#
iii. ÐB  #Ñ  C œ #
10. Aşağıda verilen çemberleri kompleks düzlemde gösteriniz.
i. lD  "  3l œ "
ii. lD  $l œ #
iii. lD  3l œ
"
#
11. lD  Al#  lD  Al# œ #alDl#  lAl# b ifadesi "Bir paralelkenarın
kenarlarının uzunlukları kareleri toplamı, köşegenlerin uzunluklarının kareleri
toplamına eşittir" diye ifade edilen paralel kenar kuralıdır. Bu eşitliği gösteriniz.
12. Dß A iki kompleks sayı olmak üzere bu kompleks sayıların düzlemde
gösterdiği noktalar arasındaki uzaklığın .ÐDß AÑ œ lD  Al olduğunu gördük.
Bu uzaklığı . À ‚ ‚ ‚ Ä ‘ß .ÐDß AÑ œ lD  Al şeklinde bir fonksiyon olarak
yazabiliriz. Bu . fonksiyonunun ‚ üzerinde bir metrik olduğunu gösteriniz.
13. Elipsin ve hiperbolün tanımlarını ve kompleks düzlemdeki denklemlerini
yazınız.
1.4. Kompleks Sayıların Argümanı ve Kutupsal Şekli:
D œ B  C3 kompleks sayısını, başlangıç noktası orijin, bitim noktası
D œ B  C3 olan bir vektör olarak düşünebiliriz. Dolayısıyla her kompleks sayı
bir vektör olarak gözönüne alınabilir. Bu durumda D kompleks sayısının lDl
mutlak değeri bize D kompleks sayısının belirttiği vektörün uzunluğunu verir.
17
1.4.1. Tanım: D Á ! kompleks sayısı verilsin. Bu D kompleks sayısının
belirttiği vektörün B ekseninin pozitif kısmı ile yaptığı açıya D kompleks
sayısının argümanı denir.
Tanımdan anlaşılacağı gibi, D œ ! kompleks sayısının argümanı tanımlı
değildir. Bu kitapta, argümanların ölçüsünü radyan cinsinden almayı tercih
edeceğiz.
1.4.1. Şekil: D Á ! kompleks sayısının argümanları
Argümanın tanımından hareketle, D Á ! kompleks sayısının bazı
argümanları 1.4.1. Şekilde gösterilmiştir. Görüldüğü gibi )1 , )2 , )3 , D kompleks
sayısının argümanlarıdır. Buradan anlaşılacağı gibi bir D Á ! kompleks sayısı
için sonsuz sayıda argüman yazmak mümkündür. Bu argümanlardan herhangi
birisi arg D ile gösterilir. Şekildeki D Á ! kompleks sayısı için
arg D œ )1 , arg D œ )2 , argD œ )3 , ÞÞÞ
yazılır. 1.4.1.Şekil gözönüne alınarak, ardışık iki argüman arasındaki farkın #1
(veya  #1Ñ olduğunu görmek zor değildir. Dolayısıyla keyfi iki argüman
arasındaki fark da #1 nin bir tam katı olur. Buna göre ) , D Á ! kompleks
sayısının bir argümanı ise her bir 5 − ™ için )  #5 1, D kompleks sayısının
argümanıdır. ), D Á ! kompleks sayısının bir argümanı olmak üzere D Á !
kompleks sayısının bütün argümanlarından oluşan küme
Ö)  #5 1 À 5 − ™×
olarak yazılır. Örneğin, D œ  " kompleks sayısının bir argümanı 1
olduğundan, her bir 5 − ™ için
arg Ð  "Ñ œ 1  #5 1
olur. 5 œ ! için arg Ð  "Ñ œ 1; 5 œ  " için argÐ  "Ñ œ  1; 5 œ " için arg
Ð  "Ñ œ $1ß ... olacağına dikkat ediniz. D œ  " kompleks sayısının bütün
argümanlarından oluşan küme Ö1  #5 1 À 5 − ™× olur.
18
Bu açıklamalardan sonra, 1.4.1. Şekilde verilen D kompleks sayısının
argümanları, reel eksen üzerinde gösterilirse #1 birim aralıklarla dizildikleri
görülür.
1.4.2. Şekil: D Á ! kompleks sayısının argümanlarının reel eksen üzerindeki yerleşimi
Dolayısıyla, ! − ‘ olmak üzere, !  arg D Ÿ !  #1 kısıtlaması yapılırsa,
yani reel eksen üzerinde 21 uzunluğunda yarı açık yarı kapalı bir aralık
seçilirse, bu aralıkta D nin argümanlarından tek bir tane bulunur. ! œ ! alınırsa
!  arg D Ÿ #1, ! œ  1 alınırsa  1  arg D Ÿ 1 olur.
1.4.2. Örnek: 1. D œ & ve A œ 3 kompleks sayılarının argümanlarını
bulunuz.
Çözüm: D œ & kompleks sayısının belirttiği vektör ile B ekseni arasındaki
açı ! dır. Aynı zamanda …21, …41, ... herbiri de D œ & kompleks sayısının
argümanıdır. Her bir 5 − ™ için arg D œ #5 1 yazılır. Daha genel olarak D
pozitif reel sayı ise her bir 5 − ™ için arg D œ #5 1 dir.
A œ 3 kompleks sayısının belirttiği vektörün B ekseninin pozitif kısmı ile
1
yaptığı açı
olduğundan her bir 5 − ™ için arg D œ 12  #5 1 olur. Benzer
2
muhakeme ile ,  ! reel sayı olmak üzere D œ ,3 kompleks sayısı gözönüne
alınırsa her bir 5 − ™ için arg D œ 1#  #5 1 dir.
2. D œ  #3 kompleks sayısını gözönüne alalım. Bu kompleks sayının
i. Ð!ß #1Ó
ii. Ð  1ß 1Ó
iii. Ð1ß $1Ó
iv. Ð#!1ß ##1Ó
aralıklarına düşen argümanlarını yazınız.
Çözüm: Bir kere D œ  #3 kompleks sayısının, her bir 5 − ™ için
1
arg Ð  #3Ñ œ   #5 1
#
olduğu biliniyor. Buna göre
i. Ð!ß #1Ó aralığına düşen argüman, arg Ð  #3Ñ œ $#1 ß
ii. Ð  1ß 1Ó aralığına düşen argüman, arg Ð  #3Ñ œ  1# ß
iii. Ð1ß $1Ó aralığına düşen argüman, arg Ð  #3Ñ œ $#1 ß
iv. Ð#!1ß ##1Ó aralığına düşen argüman, arg Ð  #3Ñ œ %$#1
19
olur.ú
Bu örneğin 1.kısmından anlaşılacağı gibi, başlangıç noktası orijin olan bir
yarıdoğru üzerindeki kompleks sayıların argümanlarından oluşan kümeler
eşittir. Dolayısıyla kompleks sayıları bu yarıdoğrular üzerindeki noktalar diye
sınıflara ayırabiliriz. Bu yarıdoğruları belirlemenin yolu da argümanlarını
bilmektir. Bilindiği gibi reel sayıları, pozitif reel sayılar ve negatif reel sayılar
diye sınıflara ayırmıştık. Kompleks düzlemde, argümanı sıfır olan kompleks
sayıların pozitif reel sayılara ve argümanı 1 olan kompleks sayıların da negatif
reel sayılara karşılık geldiği bilinir. Buna göre, kompleks sayılardaki argüman
kavramı, reel sayılardaki işaret kavramının genelleştirilmişidir.
1.4.3. Tanım: Bir D kompleks sayısının Ð  1ß 1Ó aralığına düşen
argümanına bu D kompleks sayısının esas argümanı denir ve Arg D ile gösterilir.
Bu tanıma göre
Arg 3 œ
1
ß
#
Arg Ð  3Ñ œ 
1
ß
#
Arg Ð  "Ñ œ 1
olur. Ayrıca pozitif reel sayıların esas argümanı !ß negatif reel sayıların esas
argümanı 1 dir.
Bir D kompleks sayısının argümanı ile esas argümanı arasında şu ilişkiler
vardır: Her bir 5 − ™ için
arg D œ Arg D  #51
ve uygun bir 5 tam sayısı için
Arg D œ arg D  #51
olur.
Bazı kompleks sayıların argümanlarını bulmak oldukça kolaydır. Örneğin,
pozitif reel sayıların bir argümanı !, negatif reel sayıların bir argümanı 1 dir.
Benzer şekilde, ,  ! olmak üzere D œ ,3 kompleks sayısının bir argümanı 12 ;
,  ! olmak üzere D œ ,3 kompleks sayısının bir argümanı da  1# dir. Bu
sayıların diğer argümanları, bilinen argümanlara #1 nin tam katları eklenerek
bulunur.
Keyfi bir D œ +  ,3 kompleks sayısının argümanının nasıl bulunacağını
inceleyelim. 1.4.3. Şekilde, bir açısı ) olan dik üçgenden
20
1.4.3. Şekil: D kompleks sayısının geometrik gösterimi
cos ) œ
+
,
lDl
sin ) œ
,
lDl
yazılır. İşte bu (reel) denklemleri, aynı anda, sağlayan ) reel sayısı D œ +  ,3
kompleks sayısının bir argümanıdır. Bu iki denklemi
tan ) œ
,
,
Ê ) œ arctan
+
+
şeklinde bir tek denkleme indirgeyebiliriz. Bu son denklem kullanılarak )
bulunmak istenirse, önce kompleks sayının hangi bölgeye düştüğünün
belirlenmesi gerekir.
1.4.4. Örnek: i. D œ "  È$ 3 kompleks sayısının argümanlarını bulunuz.
Çözüm: D kompleks sayısında + œ "ß , œ È$ ve lDl œ # olduğundan

cos ) œ
sin ) œ
"
#
È$
#
yazılır. Bu denklem sisteminin çözümlerinden biri ) œ 1$ dür. O halde her bir
5 − ™ için argÐ"  È$ 3Ñ œ 1$  #5 1 yazılır. Arg Ð"  È$ 3Ñ œ 1$ dür.
İkinci Yol: ) œ arctan "$ yani ) œ arctan È$ olduğundan ) œ 1$ veya
) œ %$1 bulunur. Verilen D œ "  È$ 3 kompleks sayısı 1.bölgede kaldığından
) œ %$1 , bu kompleks sayının argümanı olamaz. O halde ) œ 1$ olur. Her bir
5 − ™ için argÐ"  È$ 3Ñ œ 1$  #5 1 olacağından Arg Ð"  È$ 3Ñ œ 1$ olur.
È
ii. D œ  "  3 kompleks sayısının argümanlarını bulunuz.
Çözüm: + œ  "ß , œ " ve lDl œ È# olduğundan
21
Ú
Û
Ü sin ) œ
cos ) œ 
1
È#
"
È#
yazılır. Bu denklem sisteminin bir çözümü ) œ $%1 dür. O halde her bir 5 − ™
için argÐ  "  3Ñ œ $%1  #5 1 yazılır. ArgÐ  "  3Ñ œ $%1 dür.
İkinci Yol: ) œ arctan Ð  "Ñ olduğundan ) œ $%1 veya ) œ (%1 bulunur.
Verilen D œ  "  3 kompleks sayısı #.bölgede kaldığından ) œ $%1 olur. Her
bir 5 − ™ için argÐ  "  3Ñ œ $%1  #5 1 olacağından Arg Ð  "  3Ñ œ $%1
olur.
iii. D œ  (  &3 kompleks sayısının argümanlarını bulunuz.
Çözüm: lDl œ È(% olur.
cos ) œ
(
&
ve sin ) œ
È(%
È(%
denklemlerini aynı anda sağlayan ), D kompleks sayısının argümanıdır. Ya da
 (  &3 ikinci bölgede kaldığından arctan Ð  &( Ñ nin ikinci bölgede kalan
değeri gözönüne alınarak ) œ arctan Ð  &( Ñ yazılır. (Dikkat edilirse ) argümanı
için net bir değer yazamadık. Bunu yazmak için trigonometrik hesaplama
özelliği olan bir hesap makinesine ihtiyaç vardır. Böyle bir hesap makinesi
kullanılarak, radyan cinsinden, ) ¸ 2.52 olarak bulunur.) ú
Kompleks sayıların kutupsal şekli: Bir argümanı ) olan D œ +  ,3
kompleks sayısı için
cos ) œ
+
,
lDl
sin ) œ
,
lDl
veya
+ œ lDlcos )ß , œ lDlsin )
yazılır. Bunları D œ +  ,3 sayısında yerine yazarsak
D œ lDlÐcos )  3sin )Ñ
elde edilir. Bu şekildeki yazılışa D kompleks sayısının kutupsal şekli denir.
Burada ) , D kompleks sayısının bir argümanıdır. Bu durumda, her bir 5 − ™ için
22
arg D œ )  #5 1 olduğunu düşünerek
D œ lDlccos Ð)  #5 1Ñ  3sin Ð)  #5 1Ñdß
yazılır. Buna, D kompleks sayısının kutupsal şekilde en genel yazılışı adı verilir.
Görüldüğü gibi, bir D kompleks sayısının kutupsal olarak yazılışı tek değildir.
Bu farklı yazılışın argümandan kaynaklandığını unutmayalım. Ancak farklı
yazılışlar olsa bile bunların hepsi sadece bir tek D kompleks sayısını gösterir.
Bazen, kısalık olması bakımından, lDl yi < ile göstererek D œ <Ðcos )  3sin )Ñ
veya D œ <Òcos Ð)  #5 1Ñ  3sin Ð)  #5 1ÑÓ yazacağız.
1.4.5. Örnek: Aşağıdaki kompleks sayıları kutupsal şekilde yazınız.
i. D œ 3
ii. D œ #  #3
iii. D œ "  È$ 3
iv. D œ $  #3
Çözüm: i. D œ 3 kompleks sayısının bir argümanı
dir. Buna göre
1
1
3 œ cos  3sin
#
#
1
#,
mutlak değeri ise "
yazılır. Daha genel olarak, 5 − ™ olmak üzere
1
1
3 œ cos Ð  #5 1Ñ  3sin Ð  #5 1Ñ
#
#
olur.
ii. lDl œ È##  ## œ #È#
olduğundan
ve arg D œ  1% ß #  #3 nin bir argümanı
#  #3 œ #È# ’cosÐ 
1
1
Ñ  3sinÐ  Ñ“
%
%
yazılır.
iii. lDl œ É"#  ÐÈ$Ñ# œ # ve arg Ð"  È$ 3Ñ œ
D œ #Òcos
olarak yazılır.
1
$
dür. O halde
1
1
 3sin Ó
$
$
iv. D œ $  #3 kompleks sayısının mutlak değeri lDl œ È$#  ## œ È"$
olur. Bir argümanı ise
23
cos ) œ
$
ß
È"$
sin ) œ
#
È"$
denklemlerini, aynı anda, sağlayan ) dır. Bu durumda verilen kompleks sayının
kutupsal şekli
D œ È"$ acos )  3sin )b
veya arctan
#
$
ün birinci bölgedeki değeri gözönüne alınarak
#
#
D œ È"$ ”cos Ðarctan Ñ  3sin Ðarctan Ñ•
$
$
olarak da yazılabilir. arctan #$ ün birinci bölgedeki değerini gözönüne
almamızın nedeni, verilen D œ $  #3 kompleks sayısının birinci bölgede
olmasıdır.ú
Kutupsal şekilde verilen kompleks sayılar ile
D œ lDlacos )  3sin )b, D kompleks sayısının kutupsal şekli ise
işlemler:
Re D œ lDlcos ), Im D œ lDlsin )
olur. Öncelikle kutupsal şekilde verilmiş iki kompleks sayının eşitliğini
inceleyelim: D œ lDlacos )  3sin )b ve A œ lAlacos <  3sin <b olmak üzere
D œ A Í lDl œ lAl ve ) œ <  #5 1
olmasıdır. Burada 5 uygun bir tam sayıdır. Bir başka deyişle, kutupsal şekilde
verilen iki kompleks sayının eşit olması için gerek ve yeter şart bu iki kompleks
sayının mutlak değerlerinin eşit ve argümanlar farkının #1 nin tam katı
olmasıdır.
1.4.6. Örnek: Kutupsal şekilde verilmiş D œ (Ðcos 1$  3 sin 1$ Ñ ve
A œ lAlÐcos <  3sin<Ñ kompleks sayılarının eşit olması için lAl ve < ne
olmalıdır?
Çözüm: Yukarıdaki açıklamaya göre, uygun bir 5 tam sayısı için,
1
lAl œ ( ve < œ  #5 1
$
olmalıdır.ú
24
D œ lDlacos )  3sin )b ve A œ lAlacos <  3sin <b kutupsal şekilde
verilmiş iki kompleks sayının çarpımı
DA œ lDllAlacos )  3sin )bacos <  3sin <b
œ lDllAl’cos )cos <  sin )sin <  3Ðcos ) sin <  sin ) cos <Ñ“
œ lDllAl’cos Ð)  <Ñ  3sin Ð)  <Ñ“
ve bölümü de
D
lDl acos )  3sin )b
œ
A
lAl acos <  3sin <b
lDl acos )  3sin )b acos <  3sin <b
œ
lAl acos <  3sin <b acos <  3sin <b
lDl acos )cos <  sin <sin )b  3asin ) cos <  sin <cos )b
œ
acos# <  sin# <b
lAl
lDl
œ
’cos Ð)  <Ñ  3sin Ð)  <Ñ“
lAl
olur. Bunlar aynı zamanda DA ve
D
A
için kutupsal şekilde yazılışlardır. Ayrıca
D œ lDlacos )  3sin )b Ê D œ lDlacos )  3sin ) b


veya D kutupsal olarak

D œ lDlÒcos Ð  )Ñ  3sin Ð  ) ÑÓ
şeklinde yazılır.
Kompleks sayıların kutupsal yazılışından yararlanarak, argümanla ilgili
bazı özellikler elde edebiliriz.
1.4.7. Teorem: D ve A sıfırdan farklı herhangi iki kompleks sayı olsun. Bu
durumda argümanla ilgili aşağıdaki özellikler vardır:
i. arg D  arg A, DA nın argümanlarından birisidir. Yani,
arg ÐDAÑ œ arg D  arg A
dır.
ii. arg D  arg A,
D
A
nın argümanlarından birisidir. Yani,
D
arg Š ‹ œ arg D  arg A
A
25
dır.
iii.  arg D , D in argümanlarından birisidir. Yani, arg D œ  arg D dir.
İspat: D œ lDlacos )  3sin )b ve A œ lAlacos <  3sin <b olarak verilirse
arg D œ ) ve arg A œ <
yazılır.
i. D ile A kompleks sayılarının çarpımının
DA œ lDllAl’cos Ð)  <Ñ  3sin Ð)  <Ñ“
olduğunu gördük. Buna göre
arg ÐDAÑ œ )  < œ arg D  arg A
yazılır.
ii. DÎA bölümü
D
lDl
œ
’cos Ð)  <Ñ  3sin Ð)  <Ñ“
A
lAl
olduğundan
D
arg Ð Ñ œ )  < œ arg D  arg A
A
yazılır.
iii. Teoremden hemen önce D œ lDlacos )  3sin )b şeklinde bir kompleks

sayı ise D œ lDlÒcos Ð  )Ñ  3sin Ð  ) ÑÓ olduğunu gördük. O halde,
arg D œ  ) œ  arg D
elde edilir.…
Not: i. "ß bir ? kompleks sayısının argümanı olması durumunda nasıl ki
arg ? œ " yazıyorsak, arg D  arg A da DA kompleks sayısının bir argümanı
olmasından arg ÐDAÑ œ arg D  arg A yazıyoruz. Yine bilinmektedir ki her bir
5 − ™ için
arg ÐDAÑ œ arg D  arg A  #51
olur. Bazı kitaplarda ise
26
arg ÐDAÑ œ arg D  arg A (mod #1)
şeklinde de verilir.
ii. Teoremin ii.kısmında da benzer düşünce ile arg D  arg A, DÎA
kompleks sayısının bir argümanı olduğundan arg ÐDÎAÑ œ arg D  arg A yazılır.
Her bir 5 − ™ için
arg ÐDÎAÑ œ arg D  arg A  #51
olduğunu biliyoruz. Bazı kitaplarda ise bunun yerine
arg ÐDÎAÑ œ arg D  arg A (mod #1)
ifadesi de kullanılmaktadır.
Teoremin i. ve ii.kısmındaki benzer düşünceyi iii.kısmı için de
söyleyebiliriz.
Ayrıca Teoremin i.kısmını, D" , D# , â, D8 sıfırdan farklı kompleks sayılar
olmak üzere
argÐD" D# âD8 Ñ œ arg D"  arg D#  â  arg D8
şeklinde genelleştirebiliriz. Burada D" œ D# œ â œ D8 œ D alınırsa
arg D 8 œ 8arg D
elde edilir.
1.4.8. Örnek: Arg ÐDAÑ œ Arg D  Arg A eşitliği D ve A nın her değeri
için sağlanmayabilir. Bu eşitliği sağlamayan D ve A sayılarına örnek veriniz.
Çözüm: D œ  "ß A œ 3 alınırsa
Arg D œ Arg Ð  "Ñ œ 1ß
Arg A œ ArgÐ3Ñ œ
ve
Arg ÐDAÑ œ Arg Ð  3Ñ œ 
1
#
dir. Bu durumda
Arg ÐDAÑ œ 
1
$1
Á
œ Arg D  Arg A
#
#
1
#
27
dır.ú
Bu örnek bize, Arg D ve Arg A gibi iki esas argümanın toplamının bir esas
argüman olması gerekmediğini söyler. Unutulmamalıdır ki, Arg D  Arg A
œ $#1 , DA nın, esas argümanı olmasa bile, bir argümanıdır. Yani, Arg
ÐDAÑ Á $#1 olmasına karşın arg ÐDAÑ œ $#1 dir. Bilinmektedir ki, uygun bir 5
tam sayısı için
Arg ÐDAÑ œ Arg D  Arg A  #51
olarak yazılabilir. 1.4.8. Örnekte "uygun 5 ",  " olarak alınırsa
Arg ÐDAÑ œ Arg D  Arg A  #Ð  "Ñ1 œ 
1
#
bulunur.
İki kompleks sayının çarpımının geometrik anlamı: Şimdi tekrar
kutupsal şekilde verilen D œ lDlacos )  3sin )b ve A œ lAlacos <  3sin <b
kompleks sayılarının çarpımına dönelim. Bu iki kompleks sayının çarpımından
DA œ lDllAl’cos Ð)  <Ñ  3sin Ð)  <Ñ“
elde edilmişti. Buna göre D kompleks sayısını A kompleks sayısı ile çarpmak
demek D vektörünün boyunu lAl çarpanı kadar büyütüp (veya küçültüp veya
aynı bırakıp) orijin etrafında A nın argümanı kadar döndürmek demektir.
1.4.9. Örnek: i. D œ #  $3 kompleks sayısı ile temsil edilen vektörü,
orijin etrafında 16 kadar döndürmekle elde edilen yeni vektörün temsil ettiği
kompleks sayıyı bulunuz.
Çözüm: Bizden istenen D œ #  $3 sayısı ile mutlak değeri 1, argümanı
olan A sayısının çarpımıdır. Verilenlere göre,
A œ Ðcos
È$
1
1
"
 3sin Ñ œ
3
6
6
#
#
dır. O halde istenen kompleks sayı
DA œ Ð#  $3Ñ
olur.
È$
"
$
$È $
 3  œ ŒÈ$    " 
3
#
#
#
# 
1
6
28
ii. Ağırlık merkezi orijin olan bir eşkenar üçgenin bir köşesi #  3
noktasında ise diğer köşeleri bulunuz.
Çözüm: Eşkenar üçgen T UV olsun. #  3 noktasını T ile gösterelim. U ve
V yi hesaplayacağız. T UV eşkenar üçgen olduğundan
T SU açısı œ USV açısı œ VST açısı œ
#
1 ve |ST | œ |SU| œ |SV|
$
yazılır. Buna göre ST doğru parçasının orijin etrafında #$ 1 kadar
döndürülmesiyle SUß  #$ 1 kadar döndürülmesiyle de SV doğru parçası elde
edilir. U ve V noktalarına karşılık gelen kompleks sayılar sırasıyla
È$
#
#
"
Ð#  3ÑÐcos 1  3sin 1Ñ œ Ð#  3ÑÐ   3
Ñ
$
$
#
#
È$
"
œ  Ð" 
Ñ  3ÐÈ$  Ñ
#
#
ve
Ð#  3ÑÐcos
È$
#
#
"
1  3sin
1Ñ œ Ð#  3ÑÐ   3
Ñ
$
$
#
#
È$
"
œ  Ð" 
Ñ  3ÐÈ$  Ñ
#
#
olur.ú
1.4. Alıştırmalar
1. Aşağıdakilerden hangileri bir kompleks sayının esas argümanı olabilir?
i. $%1
ii. %$1
iii. #
iv. &
v.  $#1
29
2. Aşağıdaki kompleks sayıların her birinin bütün argümanlarını ve ayrıca her
birinin esas argümanını bulunuz.
i. 1
ii. #  #3
iii. È$  3 iv.  "  3 v.  È&
3. 2.sorudaki kompleks sayıları kutupsal şekilde yazınız.
4. D kompleks sayısı D œ 200Òcos #!!'  3sin #!!'Ó şeklinde kutupsal olarak
veriliyor. D nin argümanlarını ve Arg D yi bulunuz Ð1 yerine 3.14 alınız).
5.
Dœ
"  cos )  3sin )
"  cos )  3sin )
kompleks sayısı veriliyor. Bu kompleks sayının !  )  1 ve 1  )  #1
olması durumunda mutlak değerini ve argümanını bulunuz. (Yol gösterme:
"  cos ) œ #sin# #) ß "  cos ) œ #cos# #) ve sin ) œ #sin #) cos #) trigonometrik
özdeşlikleri kullanınız).
6. Aşağıdaki kompleks sayıların her birinin mutlak değerini ve bütün
argümanlarını bulunuz.
È$ 3Ñ$ ÐÈ$ 3Ñ
i. Ð"3ÑÐ#3Ñ
ii. Ð" Ð"3Ñ
iii. È#  3È'
#
$3
(Yol gösterme: i ve ii için çözüm, +  ,3 şekline getirip yapılabileceği gibi
mutlak değer ve argümanın özelliklerinden yararlanarak da yapılabilir).
7. !  )  1# olmak üzere D œ "  sin )  3cos ) kompleks sayısını kutupsal
şekilde yazınız. (Yol gösterme: lDl œ È#Ð"  sin )Ñß arg D œ ! denirse sin !
œ È"# È"  sin ) ve cos ! œ È"# È"  sin ) olduğunu görünüz. tan ! dan
hareketle ! œ
1
%

)
#
olduğunu bulunuz.)
8. Aşağıdakilerden hangileri bir kompleks sayının kutupsal şekilde yazılışıdır?
i. D" œ Ð  #шcos 1&  3sin 1& ‰
ii. D# œ $ˆcos #$1  3sin #$1 ‰
1
1
&
&
iii. D$ œ #ˆcos '  3sin ' ‰
iv. D% œ $ˆcos %$1  3sin %$1 ‰
9. D" ß D# ve D$ eşkenar üçgenin köşeleri ise D"#  D##  D$# œ D" D#  D# D$  D$ D"
olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme: D" ß D# ve D$ köşeli eşkenar üçgenin
kenarlarının döndürülmesi dikkate alınarak
1
1
D"  D$ œ ÐD#  D$ Ñ/ $ 3 ve D#  D" œ ÐD$  D" Ñ/ $ 3
30
yazılabileceğini gözönüne alınız.)
1.5. Kompleks Sayıların Tam ve Rasyonel Kuvveti:
Bir kompleks sayının tam kuvveti: Reel sayılarda olduğu gibi, D bir
kompleks sayı, 8 bir pozitif tam sayı olmak üzere
D8 œ î
DDÞÞÞD
8 tane
olarak tanımlanır. Bu tanımdan D 8" œ D 8 D olduğu görülür. Diğer yandan D Á !
için
D 8 œ
"
ve D ! œ "
D8
olarak tanımlanır. 8, 7 tam ve Dß A kompleks sayılar olmak üzere, reel
sayılarda olduğu gibi,
D 8 D 7 œ D 87 , ÐDAÑ8 œ D 8 A8 , ÐD 8 Ñ7 œ D 87 ß
D8
D 8
D8
87
œ
D
ß
œ
Š
‹
D7
A
A8
özellikleri vardır. Doğal olarak, paydadaki kompleks sayılar sıfırdan farklı
alınacaktır. Ayrıca, binom açılımının ve D #  A# œ ÐD  AÑÐD  AÑ gibi
cebirsel özdeşliklerin kompleks sayılar için aynen geçerli olduğunu
vurgulayalım.
Bunlara
ilave
olarak
kompleks
sayılarda
D #  A# œ ÐD  3AÑÐD  3AÑ şeklinde özdeşliklerin olduğunu hatırlatmakta
yarar vardır.
Eğer D kompleks sayısı D œ cos )  3sin ) kutupsal olarak verilirse D 8 , çok
ilginç bir şekilde karşımıza çıkar. Bu, aşağıdaki teoremde verilmiştir.
1.5.1. Teorem (De Moivre Formülü): 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere
D œ cos )  3sin ) kutupsal şekilde verilmiş kompleks sayısı için
Ðcos )  3sin )Ñ8 œ cos Ð8)Ñ  3sin Ð8))
olur.
İspat: Tümevarım ispat metodunu kullanacağız. 8 œ " için
Ðcos )  3sin )Ñ" œ cos Ð" † )Ñ  3sin Ð" † ))
31
olur ve teorem doğrudur. 8 œ 5 için Ðcos )  3sin )Ñ5 œ cos Ð5 ) Ñ  3sin Ð5 ) Ñ
eşitliğinin, yani teoremin, doğru olduğunu kabul edelim. 8 œ 5  " için
doğruluğunu gösterirsek her pozitif tam sayı için bu teoremin geçerli olduğunu
ispatlamış olacağız.
Ðcos )  3sin )Ñ5 œ cos Ð5 ) Ñ  3sin Ð5 ) Ñ
eşitliğinin her iki yanını Ðcos )  3sin )Ñ ile çarpıp gerekli trigonometrik
işlemleri yaparsak
Ðcos )  3sin )Ñ5" œ cos ÒÐ5  "Ñ) Ó  3sin ÒÐ5  "Ñ) Ó
elde edilir. Böylece teorem ispatlanmış olur.…
Not: i. De Moivre formülünde üs negatif ise
Ðcos )  3sin )Ñ8 œ cos ÒÐ  8Ñ) Ó  3sin ÒÐ  8Ñ) Ó
olur (burada 8  ! olarak alınmıştır). Gerçekten
1
Ðcos )  3sin )Ñ8
"
œ
cos Ð8)Ñ  3sin Ð8)Ñ
œ cos ÒÐ  8Ñ)Ó  3sin ÒÐ  8Ñ) Ó
Ðcos )  3sin )Ñ8 œ
bulunur. Ayrıca 8 œ ! için
Ðcos )  3sin )Ñ! œ cos !  3sin ! œ "
dır. Burada yapılan açıklamalar ile 1.5.1.Teorem gözönüne alınırsa De Moivre
Formülünün her 8 tam sayısı için geçerli olduğu sonucuna varılır. (1.5.1.
Teoremde "8 pozitif bir tam sayı" yerine "8 bir tam sayı" alınmış olsaydı ispat,
tümevarım ispat metodu ile yapılamazdı. Bilinmektedir ki, bütün pozitif tam
sayılar için doğru olan sonuçları ispatlamak için tümevarım ispat metodu
kullanılır.)
ii. D œ <Ðcos )  3sin )Ñ kutupsal şekilde verilmiş ise
D 8 œ [<Ðcos )  3sin )Ñ]8 œ <8 [cos Ð8)Ñ  3sin Ð8) Ñ]
olur. Bu formülü kullanarak +  ,3 şeklindeki bir kompleks sayının 8.kuvvetini
daha pratik bir şekilde bulabiliriz.
iii. 8 pozitif tam sayı olmak üzere Ðcos )  3sin )Ñ8 için binom açılımını da
uygulayabiliriz. Bu binom açılımı ile De Moivre formülünü kullanarak,
analizden bildiğimiz, bazı trigonometrik özdeşlikleri kolaylıkla elde ederiz.
32
1.5.2. Örnek: i. D œ cos 1&  3sin 1& olarak veriliyor. D #! kompleks sayısını
+  ,3 şeklinde yazınız.
Çözüm: De Moivre formülünden
D #! œ Šcos
#!1
#!1
1
1 #!
 3sin ‹ œ cos
 3sin
œ"
&
&
&
&
elde edilir.
ii. Ð"  3Ñ#$ sayısını +  ,3 şeklinde yazınız.
Çözüm: İlk bakışta aklımıza binom açılımı gelir. Bu yolla elde edilecek
sonuç doğrudur, ancak zamanımızı alır. Bunun için üssün büyük olması
durumunda daha pratik sonuç veren De Moivre formülünü kullanacağız.
1
1
"  3 œ È# Šcos
 3sin
‹
%
%
olduğundan
Ð"  3Ñ#$ œ ÐÈ# Ñ#$ Šcos
1
 1 #$
 3sin
‹
%
%
 #$1
 #$1
œ ÐÈ# Ñ#$ Œcos
 3sin

%
%
1
1
œ ÐÈ# Ñ#$ ’cos Ð  '1Ñ  3sinÐ  '1Ñ“
%
%
1
1
#$
È
œ Ð # Ñ Šcos  3sin ‹
%
%
""
œ # a"  3b
elde edilir. Burada Arg Ð"  3Ñ œ 
ediniz.
1
%
iken Arg Ð"  3Ñ#$ œ
1
%
olduğuna dikkat
İkinci yol: [Ð"  3Ñ# ]"" œ Ð  #3Ñ"" œ #"" 3 olduğunu gözönüne alarak
Ð"  3Ñ#$ œ Ð"  3Ñ# ‘ Ð"  3Ñ œ #"" 3Ð"  3Ñ œ #"" Ð"  3Ñ
""
yazılır.
iii. De Moivre formülünü ve binom açılımını kullanarak cos #)ß sin #)ß cos
$)ß sin $) ifadelerinin her birini sin ) ve cos ) cinsinden yazınız.
33
Çözüm: Önce cos #)ß sin #) ifadelerini gözönüne alalım. De Moivre
formülünden
Ðcos )  3sin )Ñ# œ cos #)  3sin #)
ve binom açılımından
Ðcos )  3sin )Ñ# œ cos# )  sin# )  #3cos ) sin )
yazılır. Bu iki özdeşlikten
cos #)  3sin #) œ cos# )  sin# )  #3cos ) sin )
ve kompleks sayıların eşitliğinden
cos #) œ cos# )  sin# ) ve sin #) œ #cos ) sin )
bulunur. Bunlar trigonometriden çok iyi bildiğimiz iki özdeşliktir.
Şimdi de cos $)ß sin $) ifadelerini gözönüne alalım. De Moivre
formülünden
Ðcos )  3sin )Ñ$ œ cos $)  3sin $)
ve binom açılımından
Ðcos )  3sin )Ñ$ œ cos$ )  $cos ) sin# )  3Ð$cos# ) sin )  sin$ ) Ñ
yazılır. Bu iki özdeşlikten
cos $)  3sin $) œ cos$ )  $cos ) sin# )  3Ð$cos# ) sin )  sin$ ) Ñ
ve kompleks sayıların eşitliğinden
cos $) œ cos$ )  $cos ) sin# ) ve sin $) œ $cos# ) sin )  sin$ )
elde edilir.ú
Bir kompleks sayının rasyonel kuvveti: Önce reel sayılarda 8Þkökün
nasıl tanımlandığını hatırlayalım: 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere + ! reel
8
sayısının 8Þkökü +"Î8 (veya È
+ Ñ ile gösterilir ve B8 œ + denklemini sağlayan
negatif olmayan B reel sayısı olarak tanımlanır. Bu tanımlamaya göre
Ð  #Ñ# œ % ve ## œ % olmasına rağmen %"Î# œ # dir. + nın negatif olması
durumunda, 8 tek tam sayı ise +"Î8 , B8 œ + eşitliğini sağlayan (negatif) B reel
sayısıdır.
34
Şimdi de kompleks sayıların 8Þkökünü tanımlayacağız. '! bir kompleks
sayı, 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere D 8 œ '! denklemini sağlayan D
"Î8
8
kompleks sayılarının her birine '! ın 8Þkökü denir ve bu kökler '! (veya È
'! Ñ
ile gösterilir. Karışıklığı önlemek için, kompleks sayıların n.kökünü alırken reel
sayılarla karşılaştığımızda reel kök alma işlemi uygulanacak, ancak "kompleks
sayı" vurgulaması yapılan reel sayıların kökünü alırken kompleks kök alma
işlemi uygulanacaktır.
Önce, kompleks sayıların kareköklerini ele alalım ve her kompleks sayının
karekökünün olduğunu gösterelim. 1.1. Kesimde, bu özelliğin reel sayılarda
olmadığını görmüştük.
1.5.3. Teorem: '! œ +  ,3 kompleks sayısının karekökleri
Ô +  È +#  , #
 +  È +#  , # ×
Dœ… Ë
 .3Ë
#
#
Õ
Ø
şeklindedir. Burada ,  ! ise . œ  "à ,  ! ise . œ " alınır. , œ ! ise
D œ …È+ dır.
İspat: D , '! ın karekökü olduğuna göre D # œ '! olur. D œ B  C3 ve
'! œ +  ,3 olsun. , œ ! için D œ …È+ olacağı açıktır. , Á ! olduğunu kabul
edelim.
D # œ D! Ê B#  C#  #3BC œ +  ,3
ve buradan da
B#  C # œ +
#BC œ ,
yazılır. Bizim amacımız bu denklem sistemini çözmektir. Bunun için yardımcı
bir denkleme ihtiyaç vardır. ÐB#  C# Ñ# œ +# ß %B# C# œ ,# ve bunları taraf tarafa
toplar ve ÐB#  C# Ñ#  %B# C# œ ÐB#  C# Ñ# olduğunu dikkate alırsak, istenen
yardımcı denklem,
ÐB#  C# Ñ#  %B# C# œ +#  ,# Ê B#  C# œ È+#  ,#
şeklindedir. Denklem sistemindeki birinci denklem ile son bulduğumuz
yardımcı denklemi alarak elde edilen
35
B #  C # œ È +#  , #
B#  C # œ +
denklem sistemini çözersek
B# œ
veya
B œ …Ë
+  È +#  , #
 +  È +#  , #
ve C# œ
#
#
+  È +#  , #
 +  È +#  , #
ve C œ …Ë
#
#
bulunur. Bunlardan #BC œ , şartını sağlayan B ve C, ilk denklem sisteminin
çözümü olurÞ Şimdi bunu , nin pozitif veya negatif olmasına göre irdeleyelim:
Kısalık olması bakımından
!œË
+  È +#  , #
 +  È +#  , #
ve " œ Ë
#
#
diyelim.
i. ,  ! ise B œ !ß C œ " veya B œ  !ß C œ  " olmalıdır. Bu
durumda D œ !  " 3 veya D œ  !  " 3 œ  Ð!  " 3Ñ olur. İkisini bir arada
D œ …(!  " 3)
olarak yazabiliriz (bu son eşitlikte ,  ! için  " 3 olduğuna dikkat ediniz).
ii. ,  ! ise B œ !ß C œ  " veya B œ  !ß C œ " olmalıdır. Bu
durumda D œ !  " 3 veya D œ  !  " 3 œ  Ð!  " 3Ñ olur. İkisini bir arada
D œ …(!  " 3)
olarak yazabiliriz (bu son eşitlikte ,  ! için  " 3 olduğuna dikkat ediniz).
Parantez içindeki ikazları gözönüne alarak, ,  ! ise . œ  "à ,  ! ise
. œ " olmak üzere
D œ …(!  ." 3)
yazılır.…
36
Bu teoreme göre, sıfırdan farklı her kompleks sayının iki farklı karekökü
vardır. Ayrıca bu teorem bize D # œ '! şeklindeki bir denklemin köklerinin
D œ …(!  ." 3) olduğunu söyler.
1.5.4. Örnek: i. '! œ ! kompleks sayısının karekökü sıfırdır. D" œ %
kompleks sayısının karekökleri  # ve # dir.
ii. 3 nin kare köklerini bulunuz.
Çözüm: Yukarıdaki teoreme göre + œ !ß , œ " dir. ,  ! olduğundan
. œ " alınacaktır. O haldeß 3 nin kare kökleri
D œ …(
1
"

3)
È2 È#
şeklindedir. Bunlar aynı zamanda D # œ 3 denklemini sağlayan D kompleks
sayılarıdır.
iii. D # œ  "&  )3 denklemini çözünüz.
Çözüm: Kompleks sayılarda D # œ  "&  )3 denkleminin köklerini bulma
ile  "&  )3 sayısının karekökünü bulmak aynı şeydir. Burada + œ  "&ß
, œ  ) dir. ,  ! olduğundan . œ  " alınacaktır. O halde
! œ "ß " œ %
olduğundan verilen denklemin kökleri  "  %3 ve "  %3 şeklindedir. Bunların
aynı zamanda  "&  )3 sayısının karekökleri olduğuna dikkat ediniz.ú
Şimdi tekrar +D #  ,D  - œ ! ikinci dereceden denklemlerin çözümüne
dönelim. 1.5.3. Teorem öncesine kadar, kompleks sayıların karekökünü
hesaplamasını bilmediğimizden, sadece reel katsayılı ikinci dereceden
denklemlerin köklerini bulabiliyorduk. Şimdi, kompleks sayıların karekökünü
hesaplamasını öğrendiğimizden +ß ,ß - kompleks sayıları için +D #  ,D  - œ !
denkleminin köklerini bulabiliriz. Bunun için yine
D"ß# œ
 ,…È,#  %+#+
formülü kullanılır. O halde kompleks sayılar, ikinci dereceden denklemlerin
köklerini kapsamaktadır.
1.5.5. Örnek: i. D #  "!D  %! œ ! denkleminin köklerini bulunuz.
37
Çözüm: + œ "ß , œ  "! ve - œ %! olduğundan
D"ß# œ
 ,…È,#  %+œ &…È  "& œ &…3È"&
#+
bulunur. Yani, D" œ &  3È"& ve D# œ &  3È"& verilen denklemin kökleridir.
Bu köklerin birbirinin eşleniği olduğuna dikkat ediniz. Yani, D" ve D# ,
D #  "!D  %! œ ! denkleminin kökleridir.
ii. D #  $D  $  3 œ ! denkleminin köklerini B  C3 şeklinde yazınız.
Çözüm: + œ "ß , œ  $ß - œ $  3 olduğundan
D"ß# œ
$…È  $  %3
#
olur. Şimdi buradaki  $  %3 nin karekökünü hesaplayalım:
!œË
 $  È#&
œ "ß
#
"œË
$  È#&
œ#
#
olduğundan È  $  %3 œ …Ð"  #3Ñ dir. Dolayısıyla verilen denklemin
kökleri
D" œ "  3ß
D# œ #  3
olarak bulunur. Burada kökler eşlenik değildir.
D #  $D  $  3 œ ! denkleminin kökleri değildir. ú
Yani,
D"
ve
D#
Aşağıdaki örnekte, A kompleks sayısı +8 D 8  +8" D 8"  â  +! œ !
denkleminin kökü ise A kompleks sayısı hangi durumda bu denklemin kökü
olacağı ile ilgili bir kural verilmektedir.
1.5.6. Örnek: :ÐDÑ œ +8 D 8  +8" D 8"  â  +" D  +! reel katsayılı bir
polinom olsun. Eğer A − ‚, :ÐDÑ œ ! denkleminin bir kökü ise A kompleks
sayısının da bu denklemin bir kökü olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Çözümü yaparken eşlenikle ilgili özellikleri kullanacağız. A
verilen denklemin bir kökü ise :ÐAÑ œ ! yani
+8 A8  â  +" A  +! œ !
38
dır. Bu ifadenin her iki yanının eşleniğini alırsak
+8 A8  â  +" A  +! œ ! Ê +8 A8  â  +" A  +! œ !
Ê +8 A8  â  +" A  +! œ !
yani :ÐAÑ œ ! elde edilir. Dolayısıyla, A de :ÐDÑ œ ! denkleminin bir kökü
olur. Burada, + reel sayısı için + œ + özelliğini de kullandık.ú
Şimdi daha genel bir hal olan herhangi bir kompleks sayının, 8 pozitif bir
tam sayı olmak üzere, 8Þkökünü inceleyeceğiz. Aşağıdaki teorem bununla
ilgilidir.
1.5.7. Teorem: 8 pozitif bir tam sayı ve '! œ l'! lacos )  3sin )b olmak
üzere '! kompleks sayısının 8Þkökleri
D5 œ l'! l"Î8 ”cos
)  #5 1
)  #5 1
 3sin
•ß 5 œ !ß "ß #ß ÞÞÞß Ð8  "Ñ
8
8
şeklindedir. Bu 8Þköklerin sayısı tam 8 tanedir.
İspat: D , '! kompleks sayısının 8Þkökü ise D 8 œ '! olur. Şimdi bu eşitliği
sağlayan D kompleks sayılarını belirleyelim. Kutupsal olarak D œ lDlÐcos < 
3sin<Ñ olsun. De Moivre formülüne göre
D 8 œ lDl8 Ðcos 8<  3sin 8<Ñ
dır. D 8 œ '! olduğundan
lDl8 Ðcos 8<  3sin 8<Ñ œ l'! lÐcos )  3sin )Ñ
ve kutupsal şekildeki sayıların eşitliğinden
lDl8 œ l'! l Ê lDl œ l'! l"Î8
ve
8< œ )  #5 1 Ê < œ
)  #5 1
8
olur. Her 5 − ™ için elde edilecek < bizim için uygundur. Dolayısıyla, D 8 œ '!
denkleminin bütün kökleri, 5 − ™ olmak üzere,
D5 œ l'! l"Î8 Œcos
)  #5 1
)  #5 1
 3sin

8
8
39
şeklindedir. Ancak 5  ! veya 5 8 için, bölme algoritmasına göre,
5 œ ;8  < Ð! Ÿ < Ÿ 8  ", ;ß < − ™Ñ olarak yazılabileceğinden
D5 œ l'! l"Î8 ”cos
)  #5 1
)  #5 1
 3 sin
•
8
8
)  #;81  #<1
)  #;81  #<1
œ l'! l"Î8 ”cos
 3 sin
•
8
8
)  #<1
)  #<1
œ l'! l"Î8 ”cos Œ
 #; 1  3 sin Œ
 #; 1•
8
8
)  #<1
)  #<1
 3 sin
œ l'! l"Î8 ”cos
• œ D<
8
8
elde edilir. Böylece ! Ÿ 5 Ÿ 8  " tamsayısı için D5 , '! ın bütün 8Þköklerini
verir.
Bu D5 Ð! Ÿ 5  8  "Ñ değerlerinin hepsinin birbirinden farklı olduğunu
gösterelim: ! Ÿ 6  7 Ÿ 8  " şartını sağlayan 6 ve 7 tam sayıları için
)  #71 )  #61
76

œŒ
#1
8
8
8
yazılır. !  76
8  " olduğundan bu fark #1 nin tam katı değildir. Yani, arg D7
ile arg D6 arasındaki fark 21 nin tam katı olamaz. O halde, D6 Á D7 dir. Böylece
5 œ !ß "ß ÞÞÞß Ð8  "Ñ için D5 değerleri birbirinden farklıdır. Yani, '! kompleks
sayısının 8.köklerinin sayısı tam 8 tanedir.…
Not: i. Sıfır olmayan bir '! kompleks sayısının birbirinden farklı
8Þköklerinin sayısı tam 8 tanedir ve bunlar D 8 œ '! denkleminin kökleridir.
ii. Sıfır olmayan bir '! kompleks sayısının birbirinden farklı 8Þkökleri
merkezi orijinde yarıçapı l'! l"Î8 olan çember üzerindedir ve bu kökler çemberi
tam 8 eşit parçaya ayırır.
iii. D 8 œ '! denkleminin kökleri, teoremdeki formülde, 5 œ !ß "ß ÞÞÞß 8  "
için elde edilecek D5 değerleri olarak verilmiştir. Ancak, 8! − ™ olmak üzere
5 œ 8! ß 8!  "ß ÞÞÞß 8  8!  " için teoremdeki formülden elde edilecek D5
değerleri de D 8 œ '! denkleminin kökleri olur. Yani 5 , ardışık 8 tane tam sayı
üzerinde değiştirilerek elde edilecek D5 değerleri D 8 œ '! denkleminin kökleri
olur.
1.5.8. Örnek: i. "  3 nin küpköklerini bulunuz.
40
Çözüm: Öncelikle "  3 œ #"Î# Òcos Ð  1% Ñ  3 sin Ð  1% ÑÓ olduğundan,
1.5.7. Teoreme göre, "  3 nin küpkökleri
D5 œ #"Î' ”cos

1
%
 #5 1

 3sin
$
formülü ile verilir. Buradan
D! œ #"Î' ’cos Ð 
D" œ #"Î' ”cos
(1
"#
&1
D# œ #"Î' ”cos
%
1
%
 #5 1
•ß 5 œ !ß "ß #
$
1
1
Ñ  3sin Ð  Ñ“
"#
"#
(1
 3sin
•
"#
&1
 3sin
•
%
yazılır.
ii. " in 8.köklerini bulunuz. 8 œ % olması halinde bu kökleri tek tek
yazınız.
Çözüm:
A5 œ cos
#5 1
#5 1
 3sin
ß 5 œ !ß "ß ÞÞÞß Ð8  "Ñ
8
8
şeklindedir. Burada A! œ " dir. 8 œ % alınırsa
A! œ "ß A" œ 3ß A# œ  "ß A$ œ  3
elde edilir.ú
Şimdi bir kompleks sayının rasyonel kuvvetini tanımlayabiliriz: : ve ;
birer tam sayı, Ð:ß ;Ñ œ " olmak üzere '! ın +:Î; rasyonel kuvveti D ; œ '!:
eşitliğini sağlayan D kompleks sayıları olarak tanımlanır.
1.5.9. Sonuç: '! œ l'! lacos )  3sin )b ve Ð:ß ;Ñ œ " olmak üzere '!; ,
:
D5 œ l'! l:Î; ”cos
:)  #5 1
:)  #5 1
 3sin
•
;
;
şeklinde ; tane farklı değere sahiptir.
İspat: 1.5.7. Teoremin bir sonucudur.
5 œ !ß "ß ÞÞÞß ;  "
41
$
1.5.10. Örnek: Ð"  3È$ Ñ % ün bütün değerlerini bulunuz.
Çözüm: Ð"  3È$ Ñ œ #ˆcos 1$  3sin 1$ ‰
$
Ð"  3È$ Ñ % ün tam 4 farklı değeri vardır ve
ve
Ð$ß %Ñ œ "
olduğundan
$ 13  #5 1
$ 13  #5 1
D5 œ # ”cos
 3sin
•
%
%
$
1  #5 1
1  #5 1
œ # % ”cos
 3sin
•, Ð5 œ !ß "ß #ß $Ñ
%
%
$
%
olarak yazılır. Bu değerlerin her birini D5 ile gösterirsek
"
"
"
"
D! œ # % Ð"  3Ñß D" œ # % Ð  "  3Ñß D# œ # % Ð  "  3Ñß D$ œ # % Ð"  3Ñ
şeklinde bulunur.ú
1.5. Alıştırmalar
1. Aşağıda verilen kompleks sayıları +  ,3 şeklinde yazınız.
"**
È
È
i. ÐÈ$  3Ñ"!!
ii. Ð"  3Ñ((
iii. Š #  3 # ‹
#
#
2. 1.soruda verilen kompleks sayıların her birinin bütün argümanlarını bulunuz.
Ayrıca her birinin esas argümanını yazınız.
3. Aşağıda verilen kompleks sayıların kareköklerini bulunuz.
i. )  '3
ii. (  3È"&
iii. $  %3
4. Aşağıda verilen denklemlerin çözümlerini bulunuz.
i. D $ œ #  #3
ii. D % œ "  3
iii. D & œ  "
iv. D ' œ  3
5. Aşağıdaki denklemleri çözünüz ve köklerini B  C3 şeklinde yazınız.
i. D #  %3D  %  #3 œ !
ii. D #  %D  & œ !
#
iii. #D  Ð#  &3ÑD  #  3 œ !
iv. 3D #  Ð"  &3ÑD  "  )3 œ !
6. D 8 œ + Ð+  !Ñ denkleminin kökleri, A œ cos #81  3sin #81 olmak üzere,
+"Î8 ß +"Î8 Aß +"Î8 A# ß ÞÞÞß +"Î8 A8"
şeklinde olduğunu gösteriniz (burada A, 1 in 8Þköküdür). Bundan yararlanarak
D ' œ # denkleminin köklerini bulunuz.
42
7. ÐDÑ#  %3D  & œ ! denklemini çözünüz. (Yol gösterme: Bu denklemin D ye
göre 2.dereceden bir denklem olmadığına dikkat ediniz. D œ B  3C alıp
kompleks sayıların eşitliğinden yararlanınız.)
8. Aşağıdaki ifadelerin bütün değerlerini bulunuz.
i. Ð#3Ñ$Î%
ii. Ð"  3Ñ)Î$
iii. Ò  )Ð3  È$ ÑÓ$Î&
9. ÒÐ"  cos #Ñ  3sin #Ó8 œ #8 cos8 "Ðcos 8  3sin 8Ñ olduğunu gösteriniz.
10. tan &) yı tan ) cinsinden yazınız.
1.6. Kompleks Sayılarda Üstel İfade ve Logaritma:
Kompleks sayılarda üstel ifade denildiğinde, D bir kompleks sayı olmak
üzere, /D anlaşılacaktır. Şimdi bunun ne anlama geldiğini inceleyelim.
/ sayısının kompleks kuvveti: Analiz derslerindeß B bir reel sayı olmak
üzere /B üstel ifadesi ile karşılaşmıştık. D bir kompleks sayı olması durumunda
/D yi tanımlamak istiyoruz. Bu tanımlamayı reel üstel ifadenin özellikleri
korunacak şekilde yapmalıyız. Öncelikle
/B3C œ /B /3C
olarak tanımlayacağız. Burada /3C ile neyin gösterilmek istendiğini belirlemek
gerekir. Bunun için serilerden istifade edilerek, şekilsel işlemlerle, bir sonuca
ulaşılır. Biz, ulaşılan bu sonucu tanım olarak vereceğiz.
1.6.1. Tanım: C bir reel sayı olmak üzere
/3C œ cos C  3sin C
olarak tanımlanır ve buna Euler formülü denir.
Not: i. 1.6.1. Tanıma göre her D œ B  3C kompleks sayısı için
/D œ /B3C œ /B /3C œ /B Ðcos C  3sin CÑ
olur. C œ ! için /D œ /B olacağına dikkat ediniz. Yani, imajiner kısmı sıfır olan
D kompleks sayısı için /D reel üstel sayı gibi işlem görür.
ii. D œ B  3C kompleks sayısını kutupsal olarak D œ lDlacos )  3sin )b
şeklinde yazmıştık. 1.6.1. Tanımdan sonra bu kutupsal yazılışı
43
D œ lDl /3)
şeklinde de yazabiliriz. Kısa olması açısından bu yazılış çok tercih edilir. Hatta
bu formül kullanılarak bazı trigonometrik ifadelerin toplamı kolayca bulunur
(bak 1.6.4. Örnek ii.şık).
1
1.6.2. Örnek: i. Euler formülünü kullanarak /! ß /13 ß /" % 3 ß /3 sayılarını
+  ,3 şeklinde yazınız.
Çözüm: Tanım olarak /! œ " olduğunu biliyoruz. Euler formülünden de
/! œ /!3 œ cos !  3sin ! œ "
dir. Yine Euler formülüne göre
/13 œ cos 1  3sin 1 œ  "
bulunur. Bunun sonucunda /13  " œ ! yazarız. Böylece, /ß 1ß 3ß " ve !
sayılarını bir eşitlikte sunmuş oluruz. Diğer yandan
È#
È#
1
1
 3sin Ñ œ /Ð
3
Ñ
%
%
#
#
/3 œ cos "  3sin "
1
/" % 3 œ /Ðcos
olur.
ii. ) − ‘ olsun. Önce /3) œ cos )  3sin ) eşitliğini elde ediniz. Sonra da
qq
/3) œ /3) œ /3)
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: /3) œ /3Ð)) dır. Buna Euler formülü uygulanırsa
/3) œ /3Ð)Ñ œ cos Ð  )Ñ  3sin Ð  ) Ñ œ cos )  3sin )
elde edilir. Diğer yandan /3) œ cos )  3sin ) olduğundan
qq
/3) œ cos )  3sin ) œ /3)
dır. Ayrıca, 3) œ  3) olduğu düşünülerek
qq
/3) œ /3) œ /3)
44
yazılabilir.ú
/D ile ilgili bazı özellikler aşağıdaki teoremde verilmiştir.
1.6.3. Teorem: i. Her D kompleks sayısı için /D Á ! dır.
ii. l/D l œ /Re D ve arg /D œ Im D dir.
iii. /D /A œ /DA dır.
iv. Her 8 tam sayısı için a/D b8 œ /8D dir.
v. /D œ " olması için gerek ve yeter şart D œ #5 13 (5 − ™Ñ olmasıdır.
vi. /D œ /A olması için gerek ve yeter şart A œ D  #5 13 (5 − ™Ñ
olmasıdır.
İspat: i. Keyfi D œ B  C3 kompleks sayısı için /D œ /B Ðcos C  3sin CÑ
yazılır. Her B − ‘ için /B Á ! ve her C − ‘ için Ðcos C  3sin CÑ Á ! olur. O
halde her D kompleks sayısı için /D Á ! dır.
ii. D œ B  3C için /D œ /B Ðcos C  3sin CÑ olduğunu biliyoruz. Buradan
l/D l œ ÈÐ/B cos CÑ#  Ð/B sin CÑ# œ /B œ /Re D
olur. Diğer yandan
arg /D œ arctan
/B sin C
œ arctan Ðtan CÑ œ C œ Im D
/B cos C
yazılır. Yani, Im Dß /D nin argümanlarından birisidir.
v. /D œ " olduğunu kabul ederek D œ #5 13 olduğunu göstereceğiz.
D œ B  C3 alalım. /D œ " olduğundan l/D l œ " dir. Buna göre
l/D l œ " Ê /B œ " Ê B œ !
dır. O halde Re D œ B œ ! olacağından D œ 3C olur. Bu durumda, /D œ "
denklemi /3C œ " denklemine dönüşür.
/3C œ " Ê cos C  3sin C œ " Ê C œ #5 1 Ð5 − ™Ñ
dir. B ve C nin bulduğumuz değerlerini D œ B  C3 de yerlerine yazarsak
D œ #5 13 Ð5 − ™Ñ elde edilir.
Tersine, D œ #5 13 Ð5 − ™Ñ için
/D œ /#513 œ cos #5 1  3sin #5 1 œ "
45
olduğu görülür.
vi. /DA œ " olmasından görülür.…
1.6.4. Örnek: i. /#$3 sayısının mutlak değerini, argümanlarını ve esas
argümanını bulunuz.
Çözüm: /#$3 sayısının mutlak değeri
l/#$3 l œ /ReÐ#$3Ñ œ /# ß
her bir 5 − ™ için
arg /#$3 œ ImÐ#  $3Ñ  #5 1 œ $  #5 1
ve esas argümanı
Arg /#$3 œ $
olur.
ii. D Á " olmak üzere
"  D  D#  â  D8 œ
D 8"  "
D"
olduğunu gösteriniz. Bu eşitlikten ve Euler formülünden yararlanarak sin B# Á !
olmak üzere
"  cos B  cos #B  â  cos 8B œ
sin Ð8"ÑB
cos 8B
#
#
sin B#
sin Ð8"ÑB
sin 8B
#
#
sin B  sin #B  â  sin 8B œ
sin B#
eşitliklerini gösteriniz.
Çözüm:
D 8"  " œ ÐD  "ÑÐ"  D  D #  â  D 8 Ñ
özdeşliğinden D Á " olmak üzere
46
"  D  D#  â  D8 œ
D 8"  "
D"
elde edilir. Diğer yandan
=" œ "  cos B  cos #B  â  cos 8Bß
=# œ sin B  sin #B  â  sin 8B
diyelim ve = œ ="  3=# toplamını gözönüne alalım. Gerekli düzenlemeler
yapılırsa
= œ "  Ðcos B  3sin BÑ  Ðcos #B  3sin #BÑ  â  Ðcos 8B  3sin 8BÑ
œ "  /3B  /3#B  â  /38B
/3Ð8"ÑB  "
œ
Ð/3B Á "Ñ
/3B  "
B
olur. Bu son ifadenin pay ve paydasını /3 # ile çarparsak
B
/3Ð8"ÑB  " /3 #
=œ
Ð/3B Á "Ñ
B
/3B  " /3 #
"
B
/3Ð8 # ÑB  /3 #
œ
B
B
/3 #  /3 #
cos Ð8  "# ÑB‘  cos B#  3ˆsin Ð8  "# ÑB‘  sin B# ‰
œ
#3 sin B#
Ðsin
B
Á !Ñ
#
elde edilir. Burada
cos ?  cos @ œ  #sin
?@
?@
?@
?@
sin
ß sin ?  sin @ œ #sin
cos
#
#
#
#
trigonometrik özdeşlikleri kullanılırsa
sin Ð8"ÑB
cos 8B
sin Ð8"ÑB
sin 8B
#
#
#
#
= œ ="  3=# œ

3
sin B#
sin B#
bulunur. Kompleks sayıların eşitliğinden istenen elde edilir.ú
Kompleks sayıların logaritmaları: Kompleks sayılarda logaritmanın
tabanı / olarak alınır. Reel sayılarda /+ œ , Ð,  !Ñ eşitliğini sağlayan bir tek
+ − ‘ olduğunu gördük. Bu + sayısına , sayısının / tabanına göre (doğal)
logaritması dedik ve bunu + œ ln , yazarak gösterdik. Şimdi bu eşitliğin
benzerini kompleks sayılar için düşünelim. D sıfırdan farklı bir kompleks sayı
olmak üzere /A œ D (D Á !Ñ eşitliğini gözönüne alalım. Bu eşitliği sağlayan A
kompleks sayılarını (D ye bağlı olarak) belirleyelim: /A œ D eşitliğinden
47
l/A l œ lDl Ê /Re A œ lDl ve arg /A œ arg D
yazılır. Buradan, reel sayılardaki logaritmanın özellikleri kullanılarak,
/Re A œ lDl Ê Re A œ ln lDl
ve 1.6.3.Teoremin ii.şıkkında arg /A œ Im A olduğu gözönüne alınarak
Im A œ arg D
yazılır. Dolayısıyla /A œ D eşitliğini sağlayan A nın değerlerinden biri
A œ Re A  3Im A œ ln lDl  3arg D
dır. ), D nin bir argümanı olmak üzere her bir 5 − ™ için elde edilecek
A œ ln lDl  3Ð)  #5 1Ñ
değerleri /A œ D denklemini sağlar. Yani, /A œ D denklemini sağlayan sonsuz
sayıda A vardır.
1.6.5. Örnek: /D  3 œ ! denklemini sağlayan D değerlerini bulunuz.
Çözüm: Bizden /D œ  3 denklemini sağlayan D değerleri istenmektedir.
D œ B  3C olmak üzere
/D œ  3 Ê l/D l œ l  3l Ê /B œ " Ê B œ !
ve
/D œ  3 Ê arg /D œ argÐ  3Ñ Ê C œ 
1
#
bulunur. Her bir 5 − ™ için C œ  1#  #5 1 olarak bulunur. Dolayısıyla
/D  3 œ ! denklemini sağlayan D değerleri D œ B  3C œ Ð  1#  #5 1Ñ3
Ð5 − ™Ñ olarak bulunur.ú
1.6.6. Tanım: D sıfırdan farklı bir kompleks sayı olmak üzere /A œ D
eşitliğini sağlayan A kompleks sayılarına D nin (doğal) logaritmaları denir, bu
logaritmalardan herhangi birisi log D ile gösterilir ve log D œ ln lDl  3arg D
olarak yazılır.
Tanımdan anlaşılacağı gibi, D œ ! kompleks sayısının logaritması tanımlı
değildir. Yine 1.6.6. Tanım ve öncesindeki açıklamalardan anlaşılacağı gibi
48
sıfırdan farklı her kompleks sayının sonsuz sayıda logaritması vardır. D sıfırdan
farklı bir kompleks sayı ve ), D nin bir argümanı olmak üzere her bir 5 − ™ için
log D œ ln lDl  3Ð)  #5 1Ñ
olur. ), D nin bir argümanı olduğundan her bir 5 − ™ için )  #5 1 sayısı da D
nin bir argümanıdır. Dolayısıyla, bir D Á ! kompleks sayısının her bir argümanı
bu kompleks sayının logaritmalarından birisinin imajiner kısmıdır. Bir başka
deyişle, D Á ! kompleks sayısının her bir argümanı için D nin bir logaritması
vardır. 5 nın ardışık iki değeri için elde edilen logaritmalar arasındaki fark 213
(veya  213Ñ dir. Dolayısıyla bir D kompleks sayısının keyfi iki logaritması
arasındaki farkın #13 nin bir tam katı olduğunu söyleriz. Demek ki, D nin bir
logaritmasını bilirsek buna #13 nin tam katlarını ekleyerek D nin diğer
logaritmalarını da elde ederiz. Bir D kompleks sayısının logaritmalarını
kompleks düzlemde gösterirsek, B œ ln lDl doğrusu üzerinde #1 birim
aralıklarla yerleştiğini görürüz (Bak 1.6.1. Şekil).
1.6.1. Şekil: ) , D nin bir argümanı olmak üzere log D œ ln lDl  3Ð)  #5 1Ñ Ð5 − ™Ñ
değerlerinin geometrik gösterimi
Bazı kısıtlamalar yaparak logaritmanın bir tek değere sahip olması
sağlanabilir: Sıfırdan farklı bir D kompleks sayısının bir tek argümana sahip
olduğu !  arg D Ÿ !  #1 Ð! − ‘Ñ şeklindeki aralıklarda log D nin de bir tek
değeri vardır. Daha açık bir deyişle, arg D nin bir tek değeri olduğu yerde log D
nin de bir tek değeri vardır. Örneğin, D Á ! kompleks sayısı için argüman
olarak Arg D alınırsa log D œ ln lDl  3Arg D olur ve bu değer tek bir tanedir. Bu
değer için özel bir adlandırma yapılır.
1.6.7. Tanım: D Á ! kompleks sayısının ln lDl  3Arg D logaritmasına D nin
logaritmasının esas değeri denir ve Log D ile gösterilir.
49
Bu tanıma göre
Log D œ ln lDl  3Arg D
olur.
Bir D kompleks sayısının logaritması ile logaritmasının esas değeri arasında
şu ilişkiler vardır: Her bir 5 − ™ için
log D œ Log D  #5 13
ve uygun bir 5 tam sayısı için
Log D œ log D  #5 13
olur.
Bu kitapta "kompleks sayıların logaritması" yerine, kısaca, "logaritma"
ifadesini kullanacağız. Bazen de doğabilecek bir karışıklığı önlemek amacıyla,
kompleks sayıların logaritması için kompleks logaritma, reel sayıların
logaritması için reel logaritma ifadesini kullanacağız. log ile kompleks
logaritmayı, ln ile de reel logaritmayı göstereceğiz.
Kompleks logaritma ile reel logaritma arasındaki en önemli fark şudur:
Reel logaritmada sadece pozitif reel sayıların logaritmasından sözedilirken,
kompleks logaritmada sıfırdan farklı her kompleks sayının (dolayısıyla negatif
reel sayıların da) logaritmasından sözedilebilir.
B pozitif bir reel sayı ise B in kompleks logaritmasının esas değeri ile reel
logaritması çakışır, yani Log B œ ln B olur.
1.6.8. Örnek: i. D œ " kompleks sayısının logaritmalarını ve D œ " in
logaritmasının esas değerini bulunuz.
Çözüm: Tanımdan hareket edersek, /D œ " eşitliğini sağlayan değerler
D œ #5 13 Ð5 − ™Ñ olduğundan her bir 5 − ™ için log " œ #5 13 ve Log " œ !
dır. ln " œ ! œ Log " olduğuna dikkat ediniz.
İkinci yol: lnl"l œ ! ve ) œ ! olduğunu dikkate alıp, logaritmanın
formülünü kullanırsak her bir 5 − ™ için
log " œ ln l"l  3Ð!  #5 1Ñ œ #5 13
50
elde edilir.
ii.  " in logaritmalarını ve Log Ð  "Ñ değerini bulunuz.
Çözüm: l  "l œ " ve  " in argümanlarından biri ) œ 1 olduğundan her
bir 5 − ™ için
log Ð  "Ñ œ ln l  "l  3Ð)  #5 1Ñ œ Ð#5  "Ñ13
ve LogÐ  "Ñ œ 13 dir.  " in reel logaritmasının tanımlı olmadığına dikkat
ediniz.
iii. "  3 nin logaritmalarını ve Log Ð"  3Ñ yi bulunuz. 5 œ  "ß !ß " için
elde edilen log Ð"  3Ñ nin değerlerini kompleks düzlemde gösteriniz.
Çözüm: Ð"  3Ñ nin argümanlarından biri ) œ
olduğundan her bir 5 − ™ için
log Ð"  3Ñ œ ln È2  Š
1
%
ve l"  3l œ È#
1
"
1
 #5 1‹3 œ ln #  Š  #5 1‹3
%
#
%
ve logaritmanın esas değeri ise Log Ð"  3Ñ œ "# ln #  1% 3 dir.
1.6.2. Şekil: "  3 nin logaritmalarının düzlemdeki yerleşimi
iv. /#$3 ve /#%3 sayılarının logaritmalarını, Log /#$3 ve Log /#%3 yi
bulunuz.
51
Çözüm: l/#$3 l œ /# ve /#$3
olduğundan her bir 5 − ™ için
nin
argümanlarından
birisi
)œ$
log /#$3 œ ln /#  3Ð$  #5 1Ñ œ #  3Ð$  #5 1Ñ
dir. Logaritmanın esas değeri ise Log /#$3 œ #  $3 olur.
Diğer yandan
l/#%3 l œ /# ve ) œ %
olduğundan her bir 5 − ™ için
log /#%3 œ #  3Ð%  #5 1Ñ
dir. Arg Ð/#%3 Ñ œ %  #1 olduğundan logaritmanın esas değeri Log /#%3 œ
#  Ð%  #1Ñ3 olur. ú
Sıfırdan farklı bir kompleks sayının sonsuz tane logaritması olacağından,
reel logaritmadaki özelliklerin hepsinin kompleks logaritma için de
sağlanmasını bekleyemeyiz. Reel logaritmadaki bir kısım özellikler kompleks
logaritmada özel bir durum olarak karşımıza çıkar. Kompleks logaritma için
sağlanabilecek bazı özellikler aşağıda verilmiştir:
1.6.9. Teorem: D ve A sıfırdan farklı iki kompleks sayı olsun. Bu durumda
i. /log D œ D dir.
ii. D , /D nin logaritmalarından bir tanesidir. Yani, log /D œ D dir.
iii. log D  log A, DA nın logaritmalarından birisidir. Yani, logÐDAÑ œ log
D  log A dır.
iv. log D  log A, AD nın logaritmalarından birisidir. Yani, logˆ AD ‰ œ log
D  log A dır.
v. 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere 8log D , D 8 nin logaritmalarından
birisidir. Yani, 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere log D 8 œ 8log D dir.
İspat: i. D Á ! kompleks sayısı için log D œ ln lDl  3arg D olduğundan
/log D œ /ln lDl3arg D
œ /ln lDl /3arg D
œ lDl/3arg D œ D
elde edilir.
ii. D œ B  3C alalım. l/D l œ /B ve arg /D œ C olduğundan
52
log /D œ ln l/D l  3C
œ ln /B  3C
œ B  3C œ D
elde edilir.
iii. Bilindiği gibi, DA nın argümanlarından biri arg D  arg A dır. Buna göre
log ÐDAÑ œ ln lDAl  3arg ÐDAÑ
œ ln lDl  ln lAl  3Òarg D  arg AÓ
œ aln lDl  3arg D b  aln lAl  3arg Ab
œ log D  log A
olur.
iv. iii. şıkkın ispatına benzer olarak yapılır. …
Not: i. i. şık hem kompleks logaritma hem de reel logaritma için doğrudur.
ii. Dß /D nin logaritmalarından bir tanesi olduğundan her bir 5 − ™ için
log /D œ D  #5 13
olur. Bu, bazı kaynaklarda
log /D œ D Ðmod #13Ñ
şeklinde de yazılır.
iii. log D  log A, DA nın bir logaritması olduğundan her bir 5 − ™ için
log ÐDAÑ œ log D  logA  #5 13
olur. Bu, bazı kaynaklarda
log ÐDAÑ œ log D  logA Ðmod #13Ñ
şeklinde de yazılır. Benzer düşünce AD ve 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere D 8
nin logaritmaları için de geçerlidir.
iv. 1.6.9. Teoremin ii, iii, iv ve v.şıklarındaki eşitliklerin logaritmanın
belirli aralıklara kısıtlanmış değerleri için sağlanmayabilir.
1.6.10. Örnek: i. Log ÐDAÑ œ Log D  Log A eşitliği D ve A nın her değeri
için sağlanmayabilir. Bu eşitliği sağlamayan D ve A sayılarına örnek veriniz.
Çözüm: D œ  "ß A œ 3 için
53
Log ÐÐ  "Ñ3Ñ œ Log Ð  3Ñ œ 
1
$1
3Á
3 œ Log Ð  "Ñ  Log 3
#
#
olur.
Demek ki, Log D  Log Aß DA nın bir logaritması olmasına rağmen
logaritmasının esas değeri olmayabilir. Ancak uygun bir 5 tam sayısı için
Log ÐDAÑ œ Log D  Log A  #5 13
yazılır. Örneğimizde 5 œ  " alırsak eşitliğin sağlandığı görülür.
ii. Log D 8 œ 8Log D eşitliğinin doğru olması gerekmediğini gösteren bir
örnek veriniz.
Çözüm: D œ  3 ve 8 œ # alırsak
LogÐ  3Ñ# œ Log Ð  "Ñ œ 13 Á  13 œ #Log Ð  3Ñ
elde edilir. ú
1.6. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki ifadelerin bütün değerlerini bulunuz.
1
i. / # 3
ii. /1Ð"3Ñ
iii. /%&3
"3
iv. log Ð  $  $3Ñ
v. log Ð  "  3Ñ
vi. log
È$  3
2. argÐ"  3Ñ nin Ð  1ß 1Óß Ð!ß #1Óß Ð1ß $1Ó ve Ð#!1ß ##1Ó aralıklarında olmasını
dikkate alarak her bir aralık için log Ð"  3Ñ yi hesaplayınız.
3. i. A Á "ß D 8 œ " denkleminin kökü olsun. Bu durumda
"  A  A#  â  A8" œ !
olduğunu gösteriniz.
ii. i.şıktan yararlanarak
cos
ve
#1
%1
'1
#Ð8  "Ñ1
 cos
 cos
 â  cos
œ "
8
8
8
8
54
sin
#1
%1
'1
#Ð8  "Ñ1
 sin
 sin
 â  sin
œ!
8
8
8
8
olduklarını gösteriniz.
4. D '  D &  D %  D $  D #  D  " œ ! denkleminin köklerini bulunuz. Ayrıca,
bu köklerden yararlanarak
cos
#1
%1
'1
"
 cos
 cos
œ 
(
(
(
#
olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme: Eşitliği göstermek için 3.Alıştırmanın
#1
i.şıkkında A œ / ( 3 olduğunu kullanınız.)
5. Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
i. /D  3 œ !
ii. /D  " œ !
3B
iv. / œ cos 1B ÐB − ‘Ñ
v. Log ÐD  3Ñ œ !
iii. /#D  #/D  $ œ !
vi. Log Ð3  DÑ œ "
6. Negatif reel sayıların reel logaritmalarının niçin olamayacağını, bu sayıların
kompleks logaritmalarının ise niçin olabileceğini açıklayınız.
7. /D œ /D olduğunu gösteriniz.
1.7. Kompleks Sayıların Kompleks ve İrrasyonel
Kuvveti:
Şu ana kadar öğrendiğimiz bilgiler ışığında D A üslü sayısı ile A nın tam ve
rasyonel sayı olması durumunda işlem yapabiliriz. D œ ! ve A Á ! için
D A œ !A œ ! olarak tanımlanır.!! ise tanımlı değildir.
Diğer yandan D œ / ve her A œ B  3C kompleks sayısı için
/A œ /B Ðcos C  3sin CÑ
şeklinde tanımlandığını ve C œ ! için /D œ /B olacağını görmüştük.
Şimdi, esas olarak, bu tanımdan hareket ederek kompleks sayıların
kompleks ve irrasyonel kuvvetini inceleyeceğiz. D Á ! olmak üzere D ve A
kompleks sayıları verilsin. Bu durumda D A nın değerlerinden birisi
55
D A œ /Alog D
olarak tanımlanır. )ß D nin bir argümanı ve her bir 5 − ™ için
logD œ lnlDl  3Ð)  #5 1Ñ olduğu dikkate alınarak,
D A œ /AÒln lDl3Ð)#51ÑÓ
şeklinde yazılır. /ALog D ifadesine ise D A nın esas değeri denir.
D Á ! ve D Á / olmak üzere D A nın değerlerinin sayısı A nın durumuna
bağlıdır. Bu değerler aşağıdaki şekilde irdelenebilir:
1. A nın tam sayı olması durumunda D A nın bir tek değeri vardır.
2. Ð:ß ;Ñ œ " olması durumunda A œ :; için D A nın ; tane değeri vardır.
3. A irrasyonel veya imajiner kısmı sıfırdan farklı bir kompleks sayı olması
durumunda D A nın sonsuz sayıda değeri vardır. Bu değerler birbirinden /#A513
çarpanı kadar farklıdır.
İlk iki durumu daha önce inceledik. Ancak, D A için verilen yukarıdaki
formül ilk iki durum için de kullanılabilir.
1.7.1. Örnek: i. 33 nin bütün değerlerini ve esas değerini bulunuz. Ayrıca 33
nin her bir değeri için Re33 ß Im 33 ß l33 l ve arg 33 leri yazınız.
Çözüm: Üs A œ 3 olduğundan 33 nin sonsuz sayıda değeri vardır.
Tanımımıza göre 33 œ /3log 3 dir. arg 3 œ 1# ve l3l œ " olduğundan, 33 nin bütün
değerleri
33 œ /3Òln "3Ð1Î#Ñ#513Ó œ /#51Ð1Î#Ñ Ð5 − ™Ñ
olarak bulunur. Burada 5 ya verilecek her tam sayı için farklı bir sayı elde
edileceğinden 33 nin sonsuz sayıda değeri vardır. 33 nin esas değeri ise
33 œ /Ð1Î#Ñ
dir. 33 œ /#51Ð1Î#Ñ eşitliğinden, her bir 5 − ™ için
Re Ð33 Ñ œ /#51Ð1Î#Ñ ß ImÐ33 Ñ œ !
ve
l33 l œ /#51Ð1Î#Ñ ß argÐ33 Ñ œ #5 1 Ð5 − ™Ñ
yazılır.
56
È#
ii. Ð"  3Ñ
nin bütün değerlerini bulunuz.
Çözüm: Üs A œ È# olduğundan Ð"  3Ñ
vardır. Tanıma göre
È#
È#
Ð"  3Ñ
È#
yazılır. Dolayısıyla, Ð"  3Ñ
È#
Ð"  3Ñ
œ/
nin sonsuz sayıda değeri
È# log Ð"3Ñ
nin bütün değerleri
œ/
œ/
È# ÒlnÈ#3Ð1Î%Ñ#5 13Ó
È#
#
È
ln #3Ð %#1 #È# 5 1)
Ð5 − ™Ñ
Ð5 − ™Ñ
È#
olarak bulunur. 5 nın her değeri için farklı bir sayı bulunacağından Ð"  3Ñ
nin sonsuz tane değeri vardır.
iii. Ð"  3Ñ%Î$ ün bütün değerlerini bulunuz.
Çözüm: Üs A œ %Î$ ve Ð%ß $Ñ œ " olduğundan Ð"  3Ñ%Î$ ün üç tane
değeri vardır. Tanıma göre
%
Ð"  3Ñ%Î$ œ / $ log Ð"3Ñ
yazılır. Burada arg Ð"  3Ñ œ 
sayısının bütün değerleri
1
%
%
ve l"  3l œ È# dir. O halde Ð"  3Ñ%Î$
Ð"  3Ñ%Î$ œ / $ Òln
œ/
œ#
È# 3Ð 1 #5 1ÑÓ
%
#
1 #Ð%Ñ5 1
$ ln #3Ð $  $ Ñ
#Î$ 3Ð 1$  )5$1 Ñ
/
Ð5 − ™Ñ
Ð5 − ™Ñ
Ð5 − ™Ñ
bulunur. 5 œ !ß "ß # için elde edilecek değerler 5 nın diğer değerleri ile elde
edilecek değerlerle çakışacağından Ð"  3Ñ%Î$ ün tam üç tane farklı değeri
vardır.
iv. Ð  È$  3Ñ#$ kompleks sayısının kaç tane değeri vardır. Bu değeri
veya değerleri bulunuz.
Çözüm: Üs A œ #$ bir tam sayı olduğundan Ð  È$  3Ñ#$ kompleks
sayısının tek bir değeri vardır. Bu değer, l  È$  3l œ # ve ) œ ('1 ,  È$  3
kompleks sayısının bir argümanı olduğundan
57
Ð  È$  3Ñ#$ œ /#$Òln 23( ' #5 1)Ó œ ### Ð  È$  3Ñ
(1
bulunur.ú
1.7. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki üstel ifadelerin her birinin kaç tane değeri olduğunu söyleyiniz ve
bunları bulunuz.
"
È
È
i. /3
ii. / #
iii. / # 3 &
2. Aşağıdaki üslü ifadelerin bütün değerlerini bulunuz.
È
i. 3"Î3
ii. "3
iii. Ð  "Ñ #
#3
iv. Ð "3
v. Ð"  3Ñ"3
vi. Ð3/1Î# Ñ3
È# Ñ
vii. ÐÈ$  3Ñ")
viii. Ð"  3Ñ&Î(
ix. "Ð"3Ñ
3. 1 ve 2.sorudaki her bir kompleks sayının reel ve imajiner kısmını, mutlak
değerini bulunuz. Bu kompleks sayıların bazılarının birden çok değeri olduğunu
dikkate alarak seçeçeğiniz bir değerin bütün argümanlarını ve esas argümanını
bulunuz.
4. D Á ! olmak üzere D 3 nin esas değeri için lD 3 l  /1 olduğunu gösteriniz.
1.8. Bazı Kümelerin Geometrik Gösterimi:
Bu başlık altında bazı kümelerin kompleks düzlemde gösterilişini
örneklerle inceleyeceğiz.
1.8.1. Örnek: i. E œ ÖD À arg D œ 1% × kümesini kompleks düzlemde
gösteriniz.
Çözüm: Argümanları 1% olan kompleks sayılar C œ B doğrusunun birinci
bölgede kalan kısmı üzerindedir.
İkinci yol: Argümanın bulunuşu hatırlanacak olursa
58
1
×
%
1
C
œ ÖD œ B  3C À arctan œ ×
B
%
1
C
œ ÖD œ B  3C À tan œ ×
%
B
œ ÖD œ B  3C À C œ B×
E œ ÖD À arg D œ
elde edilir. Argümanı
1
%
olan kompleks sayılar birinci bölgede kalacağından
E œ ÖD œ B  3B À B  !×
olur.
Not: arg ÐD  D! Ñ œ ! şartını sağlayan noktaları kompleks düzlemde
gösterirken, D  D! ın başlangıç noktasını içermeyen bir vektör temsil ettiği, bu
vektörün başlangıç noktasının D! , bitim noktasının D olduğu ve B-ekseninin
pozitif kısmı ile ! radyanlık açı yaptığı gözönüne alınır. 1.8.1. Örnek i. de
D! œ ! ve ! œ 1% olarak verildiğine dikkat ediniz.
1.7.1. Şekil: arg D œ
1
%
şartını sağlayan noktalar şekildeki yarıdoğrudur.
ii. F œ ÖD À arg ÐD  "  3Ñ œ $% 1×
gösteriniz.
kümesini
kompleks
düzlemde
Çözüm: 1.8.1. Örneğin i.şıkkındaki notu gözönüne alarak işlem yapacağız.
D  "  3 œ D  Ð  "  3Ñ
kompleks sayısı, başlangıç noktası  "  3 ve bitim noktası D olan bir vektör
ile temsil edilir. B-ekseninin pozitif kısmı ve D  "  3 vektörü arasındaki
açının arg ÐD  "  3Ñ olduğunu biliyoruz. arg ÐD  "  3Ñ œ $% 1 veriliyor. Bu
durumda argÐD  "  3Ñ œ $% 1 ile belirtilen D kompleks sayıları,  "  3
noktasından başlayan ve B-ekseninin pozitif kısmı ile $% 1 radyanlık açı yapan
yarıdoğruyu oluşturur.
59
1.7.4. Şekil: F œ ÖD À arg ÐD  "  3Ñ œ $% 1× kümesi şekildeki yarıdoğrudur.
iii. G œ ÖD À 
1
%
 arg D Ÿ 1% × kümesini kompleks düzlemde gösteriniz.
Çözüm: arg D œ  1% ve arg D œ 1% doğrularının nasıl çizilebileceğini
i.şıkta gördük. Buna göre istenen küme 1.7.2.Şekildeki gibidir.
1.7.2. Şekil: G kümesi taralı kısımdır.
iv. H œ ÖD À  1  arg D  1× ve I œ ÖD À 1  arg D  $1× kümelerini
kompleks düzlemde gösteriniz.
Çözüm: İstenen kümeler 1.7.3. Şekilde gösterilmiştir (Yönlendirmelere
dikkat ediniz). Diğer yandan
H œ ‚ÏÖD œ B  3C À B Ÿ !ß C œ !×
şeklinde de yazılabilir. I kümesini de aynı şekilde gösterebiliriz, ancak
karışıklık olmaması için argümanın belirtilmesinde yarar vardır. Yani,
1  argD  $1 olmak üzere I œ ‚ÏÖD œ B  3C À B Ÿ !ß C œ !× yazılır.
60
1.7.3. Şekil: Ð+Ñ H taralı kısımdır. Ð,Ñ I taralı kısımdır.
v. J œ Öarg D À  1  arg D  1×
gösteriniz.
kümesini
kompleks
düzlemde
Çözüm: J kümesi reel sayılarda (  1ß 1) açık aralığıdır.
vi. K œ ÖD À  1  Im D  1× kümesini kompleks düzlemde gösteriniz.
Çözüm: D œ B  3C olarak alınırsa Im D œ C olur. Bu durumda
K œ ÖD À  1  Im D  1× œ ÖD œ B  3C À  1  C  1×
yazılır. Böylece istenen küme 1.7.4. Şekildeki gibi gösterilir.
1.7.5. Şekil: K kümesi taralı kısımdır.
vii. L œ ÖD À " Ÿ lDl Ÿ $× kümesini kompleks düzlemde gösteriniz.
Çözüm: L kümesi, lDl œ " ve lDl œ $ çemberleri ve bu çemberler arasında
kalan kısımdır. Bu 1.7.5. Şekilde gösterilmiştir.
61
1.7.5. Şekil: L kümesi taralı kısımdır.
viii. lD  "l œ "# lDl bağıntısı ile verilen D noktalarının kümesini bulunuz.
Çözüm: D œ B  3C olsun. Buna göre
lD  "l œ
"
"
lDl Ê ÈÐB  "Ñ#  C# œ ÈB#  C#
#
#
Ê %ÐB  "Ñ#  %C# œ B#  C#
Ê %B#  )B  %  %C# œ B#  C#
veya gerekli düzenleme yapılarak
%
#
#
ŒB    C œ Œ 
$
$
#
#
elde edilir. Bu, düzlemde merkezi Ð %$ ß !Ñ, yarıçapı #$ olan çemberdir. Bunun
kompleks düzlemdeki denklemi lD  %$ l œ #$ dır. O halde, lD  "l œ "# lDl
bağıntısı ile verilen D noktaları, düzlemde merkezi Ð %$ ß !Ñ yarıçapı #$ olan çember
üzerindedir. ú
1.8. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki kümeleri kompleks düzlemde gösteriniz.
i. E œ ÖD À  1% Ÿ arg D Ÿ 1×
ii. F œ ÖD À larg Dl  1×
iii. G œ ÖD À !  lDl  $×
iv. H œ ÖD À "#  lD  "  3l  "×
v. I œ ÖD À Im D !×
vi. J œ ÖD À Re D  "×
1
3
vii. K œ ÖD À  # Ÿ arg ÐD  "  3Ñ Ÿ 4 1×
2. E œ ÖD À "  lDl  #ß
gösteriniz.
1
'
 arg D 
$1
% ×
kümesini
kompleks
düzlemde
D" œ "  3ß D# œ È#  È$ 3ß D$ œ D" D#
veriliyor. D" , D# , D$ sayılarının E kümesine ait olup olmadığını, gerekçelerini
kısaca belirterek, yazınız.
3. Aşağıdaki bağıntılar ile verilen kümeleri kompleks düzlemde gösteriniz.
¸
¸
i. lD  "l œ #lD  "l
ii. ¸ D$
iii. ¸ D$
D$  #
D$ œ "
iv. D  lDl Á !
62
4. D Á  " ve lDl œ " iken #Arg Ð"  DÑ œ Arg D olduğunu gösteriniz.
1.9. Kompleks Düzlemde Topolojik Kavramlar:
Bir kümede, açık küme ve açık küme yardımıyla tanımlanabilen
kavramlara topolojik kavram adı verilir. D ve A, kompleks düzlemde herhangi
iki nokta olmak üzere
.ÐDß AÑ œ lD  Al
ile D ve A noktaları arasındaki uzaklığı vermiştik. Şimdi bu uzaklık kavramını
kullanarak bazı temel tanımlar vereceğiz.
1.9.1.Tanım: D! − ‚ ve &  ! olmak üzere
HÐD! à &Ñ œ ÖD − ‚ À lD  D! l  &×
kümesine D! noktasının &-komşuluğu denir. HÐD! à &ÑÏÖD! × kümesine ise D!
noktasının &-delinmiş komşuluğu adı verilir ve H* ÐD! à &Ñ ile gösterilir.
1.8.1. Şekil: (a) HÐD! à &Ñ komşuluğu, (b) H* ÐD! à &Ñ delinmiş komşuluğu.
Önceki bilgilerimizden hatırlanacağı gibi, HÐD! à &Ñ kümesi, merkezi D!
noktası, yarıçapı & olan bir çemberin içidir. H* ÐD! à &Ñ, &-delinmiş komşuluğunu
H* ÐD! à &Ñ œ ÖD À !  lD  D! l  &×
şeklinde de yazabiliriz. Bazen, "HÐD! à &Ñ komşuluğu" yerine "‚ de bir disk"
ifadesi de kullanılır.
1.9.2. Tanım: i. E § ‚, boş olmayan bir küme olsun. D! − E noktasının
en az bir komşuluğu tamamen E kümesinde kalırsa D! noktasına E kümesinin
bir iç noktası denir.
ii. E nın bütün iç noktalarının kümesi içE ile gösterilir ve içE kümesine E
kümesinin içi denir. E œ g olması halinde içg œ g olarak tanımlanır.
63
iii. E kümesinin her noktası bir iç nokta, yani içE œ E, ise E ya (‚ de)
açık küme denir.
1.9.3. Örnek: i. ‚ nin her noktası bir iç noktadır. Dolayısıyla ‚, açık
kümedir.
ii. g boş küme için içg œ g olarak tanımlandığından g, açık kümedir.
iii. E œ ÖD − ‚ À lDl  #× kümesinin her noktası bir iç nokta, yani
içE œ E dır. Gerçekten D − E için & œ #  lDl alınırsa HÐDà &Ñ § E olur. O
halde E kümesi açıktır.
iv. F œ ÖD À "  lDl Ÿ $× kümesini gözönüne alalım. lDl œ $ çemberi
üzerinde alacağımız herhangi bir D noktası F nin bir iç noktası olamaz. O halde
F , bir açık küme değildir. içF œ ÖD À "  lDl  $× dir.
v. Kompleks düzlemde HÐD! à &Ñ komşuluğu ve H* ÐD! à &Ñ delinmiş
komşuluğu birer açık kümedir. ú
1.9.4. Tanım: i. E § ‚, boş olmayan bir küme olsun. D! − ‚ noktasının
her delinmiş komşuluğu E kümesinin en az bir noktasını ihtiva ederse D!
noktasına E kümesinin bir yığılma noktası denir ve E kümesinin bütün yığılma
noktalarının kümesi Ew ile gösterilir. E œ g olması halinde Ew œ gw œ g olarak
tanımlanır.
ii. E  Ew kümesine E kümesinin kapanışı denir ve E ile gösterilir.
iii. Ew § E oluyorsa, yani E œ E ise, E kümesine (‚ de) kapalı küme
denir.
iv. E œ ‚ oluyorsa E kümesine ‚ de yoğundur denir.
Bu tanımdan anlaşılacağı gibi yığılma noktası kümeye ait olmak zorunda
değildir. Ayrıca, kümeye ait her noktanın da yığılma noktası olması gerekmez.
1.9.5. Örnek: i. ‚ kompleks sayılar kümesinin yığılma noktalarının
kümesi kendisidir. Dolayısıyla ‚ bir kapalı kümedir. 1.9.3. Örneğin i.kısmında
bu kümenin açık olduğunu gördük. O halde ‚, hem açık hem de kapalı bir
kümedir.
ii. Boş kümesinin yığılma noktalarının kümesi boş küme olarak
tanımlandığından ve dolayısıyla gw œ g § g olduğundan g kapalı bir kümedir.
1.9.3. Örneğin ii.kısmında g nin bir açık küme olduğunu gördük. O halde g, ‚
gibi, hem açık hem de kapalı bir kümedir.
64
iii. D! − ‚ olmak üzere E œ ÖD! × ise Ew œ g olur. Diğer yandan, Ew § E
olduğundan E kapalı bir kümedir. Bundan hareketle, kompleks sayılar
kümesinin bir tek noktadan oluşan her bir altkümesinin bir kapalı küme olduğu
söylenir.
iv. F œ ÖD À lDl  "× kümesini gözönüne alalım. F w œ ÖD À lDl Ÿ "× dir.
Dikkat ediniz ki lDl œ " çemberi üzerindeki noktalar F kümesine ait
olmamasına rağmen her biri yığılma noktasıdır. F œ F  F w œ ÖD À lDl Ÿ "×
olur. Diğer yandan F w ß F nin altkümesi olmadığından F kapalı değildir.
v. G œ ÖD À "  lDl Ÿ $× kümesini gözönüne alalım. G w œ ÖD À " Ÿ lDl
Ÿ $× olur. G w ß G nin altkümesi olmadığından G kapalı değildir. Diğer yandan
1.9.3. Örneğin iv.kısmında G nin açık küme olmadığı gösterilmişti.
Bu örnekten anlaşılacağı gibi, genel olarak, bir küme kapalı değilse açıktır
veya açık değilse kapalıdır diyemeyiz.
vi. ‚ de H œ ÖD À "  Re D  $ ve Im D œ !× kümesini gözönüne alalım.
H, ‚ de ne açık ne de kapalıdır. Aynı kümeyi ‘ de düşünürsek
H" œ ÖB À "  B  $× olur ve H" , ‘ de açık bir kümedir. Yani, ‘ reel sayılar
kümesinde açık olan bir kümenin ‚ kompleks sayılar kümesinde açık olması
gerekmez.ú
1.9.6. Tanım: E § ‚ ve D! − ‚ olsun. Her <  ! için HÐD! à <Ñ diskinin
hem E hem de ‚ÏE ile arakesiti boş olmayan bir küme ise D! noktasına E
kümesinin bir sınır noktası denir. E kümesinin bütün sınır noktalarından oluşan
kümeye E kümesinin sınırı adı verilir ve kısaca `E ile gösterilir.
1.9.7. Örnek: HÐD! à <Ñ, HÐD! à <Ñ ve O œ ÖD À lD  D! l œ <× kümeleri için
`HÐD! à <Ñ œ ` HÐD! à <Ñ œ `O œ O
ve
`H* ÐD! à <Ñ œ O  ÖD! ×
olur.ú
Kompleks düzlemdeki açık kümeyi, hiç bir sınır noktasını içermeyen
küme; kapalı kümeyi de, bütün sınır noktalarını içeren küme olarak karakterize
edebiliriz.
65
1.9.8. Tanım: E § ‚ olsun. E § HÐ!à <Ñ olacak şekilde bir <  ! sayısı
varsa E ya sınırlı küme denir.
Bir kümenin sınırlı olmasını tanımlamak için HÐ!à <Ñ dairesi yerine E
kümesini kapsayan bir kare de alınabilir. Karenin alınması bazen kolaylık
sağlar.
Bir E § ‚ kümesinin sınırlı olması şu şekilde de tanımlanabilir: Her D − E
için lDl Ÿ < olacak şekilde bir <  ! sayısı bulunabiliyorsa E ya sınırlı küme
denir.
Aşağıda vereceğimiz teorem, hangi kümenin en az bir yığılma noktasına
sahip olacağı ile ilgilidir.
1.9.9. Teorem (Bolzano-Weierstrass Teoremi): Kompleks düzlemdeki her
sonsuz elemanlı ve sınırlı kümenin en az bir yığılma noktası vardır.
Bağlantılı kümeler: Kompleks sayılar kümesinde Y ve Z gibi boş
olmayan iki küme gözönüne alalım. Bu kümelerin
arakesiti boş_ ise bu iki
_
kümeye ayrık küme denildiğini biliyoruz. Eğer Y  Z œ g œ Y  Z oluyorsa
Y ve Z ye ayrılmış küme adı verilir. Bu tanımlamalardan, ayrık kümelerin
ayrılmış küme olması gerekmediği ancak, ayrılmış kümelerin ayrık kümeler
olacağı söylenir.
1.9.10. Tanım: Eß Y ve Z , ‚ nin altkümeleri olsun.
_
_
i. Y ve Z ayrılmış küme, yani Y Á g Á Z ve Y  Z œ g œ Y  Z olsun.
E œ Y  Z ise ÖY ß Z ×, E kümesi için bir ayrışımdır denir.
ii. E kümesi için bir ayrışım varsa E ya bağlantısız küme denir.
iii. E kümesi için hiç bir ayrışım yoksa, yani E bağlantısız değilse, E ya
bağlantılı küme denir.
iv. E kümesinden alınan her nokta çifti yine bu kümede kalan bir eğri ile
birleştirilebiliyorsa E kümesine eğrisel bağlantılı küme denir.
Eğrisel bağlantılı bir küme aynı zamanda bağlantılıdır. Sezgisel olarak bir
kümenin bağlantılı olmasına karar verebilmek için eğrisel bağlantılılık oldukca
kullanışlıdır. Ancak unutmamak gerekir ki, her bağlantılı küme eğrisel
bağlantılı değildir.
Y ve Z açık ve ayrık iki küme olmak üzere E œ Y  Z ise ÖY ß Z ×, E
kümesi için bir ayrışımdır. Demek ki, Y ve Z açık ve ayrık iki küme olmak
66
üzere E œ Y  Z ise A kümesi bağlantısızdır (bağlantılı değildir). Bu ifadeden
hareketle bağlantısız kümeyi şu şekilde de tanımlayabiliriz:
1.9.11. Tanım: E, ‚ nin bir altkümesi olsun. Eğer
i. Y ß Z ayrık kümeler
ii. E  Y Á g ve E  Z Á g
iii. E § Y  Z
olacak şekilde ‚ de Y ve Z açık kümeleri varsa E kümesine bağlantısızdır
denir.
1.9.12. Örnek: i. ‚ kompleks sayılar kümesini gözönüne alalım. Bu küme
eğrisel bağlantılı olduğundan aynı zamanda bağlantılı bir kümedir.
ii.
E œ ÖD À lDl  "×ß
F œ ÖD À lDl Ÿ "×ß
G œ ÖD À "  lDl Ÿ $×
kümelerinin herbiri eğrisel bağlantılı ve dolayısıyla bağlantılıdır.
iii. H œ ÖD À Im D œ ! ve Re D rasyonel sayı} kümesi bağlantılı değildir.
Çünkü, Y ile È# den küçük rasyonel sayıların kümesinin, Z ile de È# den
büyük rasyonel sayıların kümesini gösterirsek ÖY ß Z ×, H kümesinin bir
ayrışımı olur.
iv. D! − ‚ olmak üzere E œ ÖD! ×, bağlantılı bir kümedir. ú
1.9.13. Tanım: Kompleks düzlemde açık ve bağlantılı bir kümeye bölge
denir.
Kompleks düzlemde kapalı ve bağlantılı bir kümeye de kapalı bölge adı
verilir.
1.9.14. Örnek: i. ‚ kompleks sayılar kümesi, hem açık hem de bağlantılı
olduğundan bir bölgedir.
ii. E œ ÖD À lDl  "×ß F œ ÖD À "  lDl  $× kümeleri birer bölgedir.
Burada F , iki çember arasında kalan noktalardan oluşmaktadır. Bu tip bölgelere
halka bölge adını veririz. G œ ÖD À " Ÿ lDl Ÿ $× kümesi kapalı bir bölgedir.
H œ ÖD À " Ÿ lDl  $× ise ne açık ne kapalı olan bağlantılı bir kümedir (bunu
bir bölge çeşiti olarak söylemiyoruz).
iii. I œ ÖD À Im D  !× ve J œ ÖD À Im D  !× kümelerinin her biri bir
bölgedir. I kümesine üst yarı düzlem, J kümesine de alt yarı düzlem adı
verilir.
67
iv.
Y œ ÖD À lD  "l  "×ß Z œ ÖD À lD  &l  #×
olmak
üzere
K œ Y  Z olsun. K bağlantılı bir küme olmadığından bir bölge değildir.ú
1.9.15. Teorem: F bir bölge, Y ve Z ayrık ve açık iki küme olsun.
F œ Y  Z ise ya Y œ g veya Z œ g olur.
1.9. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki her bir kümenin yığılma noktalarının kümesini ve iç noktalarının
kümesini yazınız. Ayrıca her bir kümenin sınırını bulunuz.
i. E œ ÖD À lDl "×
ii. F œ ÖD À !  lDl  &×
iii. G œ ÖD À "  lD  "l Ÿ #×
iv. H œ ÖD À Re D œ Im D×
v. I œ ÖD À Re D  #×
vi. J œ ÖD À 1'  arg D  1$ ×
2. 1.sorudaki kümelerin açık, kapalı ve sınırlı olup olmadıklarını araştırınız.
Ayrıca, bu kümelerin bağlantılı olup olmadığını söyleyiniz.
3. Kompleks düzlemde sınırı olan bir kümenin sınırlı olması gerekir mi? Örnek
vererek kısaca açıklayınız.
4. Aşağıdaki kümelerin bölge olup olmadığını nedenleri ile yazınız.
i. E œ ÖD À lDl  "×
ii. F œ ÖD À lDl  "×  ÖD À lD  &l  #×
iii. G œ ÖD À  1  arg D  1×
5. Y ve Z kompleks sayıların açık iki altkümesi ise Y  Z kümesinin ‚ de açık
olduğunu gösteriniz.
1.10. Genişletilmiş Kompleks Sayılar ve Riemann
Küresi:
Kompleks sayılar kümesine bir ideal nokta ilave ederek genişletilmiş
kompleks sayılar kümesi elde edilir. Bu ideal nokta sonsuz dediğimiz ve _ ile
gösterdiğimiz bir noktadır. Genişletilmiş kompleks sayılar kümesi ‚_ ile
gösterilir. O halde ‚_ œ ‚  Ö_× olur. _ ile yapacağımız işlemler aşağıda
tanımlanmıştır:
i. Her D − ‚ için _…D œ D…_ œ _à
ii. Her D − ‚_ ÏÖ!× için _ † D œ D † _ œ _à
iii. Her D − ‚ için DÎ_ œ !à
68
iv. Her D − ‚_ ÏÖ!× için DÎ! œ _Þ
Bununla beraber
_  _ß _  _ß _Î_ß ! † _
ifadelerinin genişletilmiş kompleks sayılarda bir anlamı yoktur.
Genişletilmiş kompleks sayılar kümesi, geometrik olarak, bir küre ile
temsil edilir. Bunun için, ‘$ de W œ ÖÐB" ß B# ß B$ Ñ À B#"  B##  B#$ œ "× küresini
gözönüne alalım. ‚ œ ÖÐB" ß B# ß !Ñ À B" ß B# − ‘× alarak ‚ yi ‘$ ün B" B# düzlemi gibi düşünürüz. Bu durumda kompleks düzlem, W küresini ekvator
boyunca keser. :! œ Ð!ß !ß "Ñ, W küresinin kuzey kutbudur. :! noktasından
başlayan ve ‚ deki bir D noktasından geçen ışın küreyi bir tek noktada keser.
Bu şekildeki eşleme ile kompleks düzlemdeki lDl  " şeklindeki D kompleks
sayılar ile, :! hariç, üst yarı kürenin noktaları; lDl  " şeklindeki D kompleks
sayıları da alt yarı kürenin noktaları ile bire-bir eşleşir. Ekvator üzerindeki
noktalar da, düzlemle kesiştiği kompleks sayılarla eşleşmiş olur. Bu durumda,
sadece :! noktasına bir nokta eşlenmemiş olur. :! noktası ile _ noktasını
eşlersek küre üzerindeki noktalar ile genişletilmiş kompleks düzlemin noktaları
arasında bire-bir bir eşleme kurmuş oluruz. Bu eşleştirmeye stereografik
izdüşüm denir. Genişletilmiş kompleks sayılar ile bire-bir eşlenen bu küreye
Riemann küresi adı verilir.
1.9.1. Şekil: Riemann küresi ve ‚ arasındaki eşleme
Şimdi bu eşleşmeyi matematiksel olarak verelim. Bu dönüşümü 1 ile
gösterirsek, öncelikle, 1Ð:! Ñ œ _ yazılır. Diğer yandan 1:WÏÖ:! × Ä ‚
dönüşümünü, > yi :!  >Ð:  :! Ñ ın üçüncü bileşenini sıfır yapacak şekilde
seçersek, 1Ð:Ñ œ :!  >Ð:  :! Ñ olarak tanımlayabiliriz. : œ ÐB" ß B# ß B$ Ñ olmak
üzere bu şekildeki >ß
69
:!  >Ð:  :! Ñ œ Ð!ß !ß "Ñ  >ÐB" ß B# ß B$  "Ñ œ Ð>B" ß >B# ß "  >ÐB$  "ÑÑ
olduğundan
"  >ÐB$  "Ñ œ ! Ê > œ "ÎÐ"  B$ Ñ
şeklinde bir reel sayıdır. Şimdi daha açık olarak : œ ÐB" ß B# ß B$ Ñ olmak üzere
B"
B#
B"
B#
1Ð:Ñ œ Ð
ß
ß !Ñ œ
3
"  B $ "  B$
"  B$
"  B$
bulunur. Yaniß WÏÖ:! × kümesindeki : œ ÐB" ß B# ß B$ Ñ noktası 1 dönüşümü
B"
B#
altında ‚ düzleminde "B
 3 "B
kompleks sayısına dönüşür. D œ B  3C
$
$
kompleks sayısı verilirse
: œ Š lDl#B
# " ß
lDl# "
#C
lDl# " ß lDl# "
‹ œ Š lDlDD
# " ß


3ÐDD Ñ lDl# "
lDl# " ß lDl# "
‹
Ð"Þ*Þ"Ñ
için 1Ð:Ñ œ D olduğunu görürüz. Bu durumda 1" ÐDÑ œ : dir. Yani, D œ B  3C
olmak üzere
1" À ‚ Ä WÏÖ:! ×ß 1" ÐDÑ œ : œ Š lDl#B
# " ß
lDl# "
#C
lDl# " ß lDl# "
‹
olur.
1.10.1. Örnek: i. Düzlemdeki "  3 kompleks sayısına stereografik
izdüşümle küre üzerinde karşılık gelen : noktasını bulunuz.
Çözüm: Verilen kompleks sayı için B œ "ß C œ " ve lDl# œ # olduğundan
: œ Š lDl#B
# " ß
lDl# "
#C
lDl# " ß lDl# "
# # "
‹œŒ ß ß 
$ $ $
bulunur.
ii. Stereografik izdüşüm altında küre üzerindeki : œ Š "# ß "# ß
düzlemde karşılık gelen D noktasını bulunuz.
Çözüm: B" œ "# ß B# œ "# ß B$ œ
Dœ
È#
#
olduğundan
B"
B#
"
3
œ
Ð"  3Ñ
"  B$
"  B$
#  È#
È#
# ‹
noktasına
70
elde edilir.ú
‚_ genişletilmiş kompleks düzlemdeki D ve A noktaları arasındaki
uzaklığı ._ ÐDß AÑ ile gösterelim. Bu uzaklığıß Riemann küresi üzerinde karşılık
gelen noktalar arasındaki kiriş uzunluğu olarak tanımlarız. Bu kiriş uzunluğu,
aslında, ‘$ deki iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile hesaplanır. Dß A − ‚_
noktalarına küre üzerinde karşılık gelen noktalar ^ß [ olsun. ^ œ ÐB" ß B# ß B$ Ñ,
[ œ ÐBw" ß Bw# ß Bw$ Ñ ise, tanım olarak,
._ ÐDß AÑ œ ÉÐB"  Bw" Ñ#  ÐB#  B#w Ñ#  ÐB$  B$w Ñ#
yazılır. ^ ve [ , W küresi üzerinde olduğundan
Ò._ ÐDß AÑÓ# œ #  #ÐB" Bw"  B# Bw#  B$ Bw$ Ñ
olur. Burada (1.9.1) eşitliğindeki ÐB" ß B# ß B$ Ñ ün D cinsinden; ÐBw" ß Bw# ß Bw$ Ñ nün de
A cinsinden karşılıklarını yerlerine yazar gerekli işlemleri yaparsak
._ ÐDß AÑ œ
#lD  Al
ÈÐ"  lDl# ÑÐ"  lAl# Ñ
olduğunu görürüz. D − ‚ için
._ ÐDß _Ñ œ
#
È"  lDl#
bulunur.
Not: ._ ÐDß AÑ değeri, düzlemde, bildiğimiz anlamda bir uzaklık değildir.
Daha doğru bir ifade ile bu ._ , ‚_ üzerinde bir metriktir.
1.10.2. Örnek: i. Küre üzerindeki :" œ ˆ #$ ß #$ ß "$ ‰ ve :# œ a!ß "ß !b
noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm: ‘$ deki bu noktalar arasındaki uzaklık
È'
#
#
"
% " "
ÊÐ  !Ñ#  Ð  "Ñ#  Ð  !Ñ# œ Ê   œ
$
$
$
* * *
$
olarak bulunur.
ii. Genişletilmiş kompleks düzlemdeki D œ "  3 ve A œ 3 noktaları
arasındaki uzaklığı bulunuz.
71
Çözüm:
._ ÐDß AÑ œ
È'
#lD  Al
#l"  3  3l
œ
œ
ÈÐ"  lDl# ÑÐ"  lAl# Ñ
ÈÐ"  l"  3l# ÑÐ"  l3l# Ñ
$
bulunur. Dikkat ediniz ki, stereografik izdüşüm altında, i.şıktaki :" ß D kompleks
sayısı ile, :# de A kompleks sayısı ile eşleşir.ú
Şimdi de _ noktasının komşuluğunu tanımlayalım.
1.10.3. Tanım: ÖD À lDl  <  !×  Ö_× şeklindeki kümeye _ noktasının
bir komşuluğu denir ve H_ ile gösterilir. H_ ÏÖ_× kümesine ise _ noktasının
*
delinmiş komşuluğu adı verilir ve H_
ile gösterilir.
1.10. Alıştırmalar
1. Aşağıda verilen kompleks sayılara, stereografik izdüşüm ile, karşılık gelen
Riemann küresi üzerindeki noktaları bulunuz.
i.  3
ii.  È"#  È3 #
iii. "  3È$
2. Aşağıda verilen Riemann küresi üzerindeki noktalara, stereografik izdüşüm
ile, karşılık gelen kompleks sayıları bulunuz.
$ % "# ‰
i. ˆ "$
ß "$ ß "$
ii. Š "# ß "' ß É "$
iii. Ð"ß !ß !Ñ
") ‹
3. .Ð3ß "  3Ñ ve ._ Ð3ß "  3Ñ değerlerini bulunuz. Ayrıca, ._ Ð!ß _Ñ değerini
bulunuz ve bulduğunuz bu değerin ne anlama geldiğini açıklayınız.
4. Ђ_ ß ._ Ñ ?8 bir metrik ?D+C olduğunu gösteriniz.
KOMPLEKS SAYILARIN TARİHCESİ
Kompleks sayılar, 16. yüzyılda 3.dereceden denklemlerin köklerini veren
formülde, bir rastlantı sonucu, ortaya çıkmıştır. 3.dereceden denklemlerin
çözümleri ilk defa, Giroloma Cardano (İtalyan, 1501-1576) tarafından 1545
yılında "Ars Magna (Büyük Sanat)" adlı kitapta yayınlandı. Cardano, kitapta
verdiği çözümleri, hiçbir şekilde yayınlamayacağı sözünü vererek, Türkçe
karşılığı kekeme olan Tartaglia takma adıyla ün kazanan Niccola Fontana'dan
(İtalyan, 1500-1557) öğrenmişti. Ancak, Cardano kitabında bundan hiç
bahsetmedi. 3.dereceden denklemlerin köklerini veren formülün ortaya çıkışı
gerek bu yönüyle gerekse kompleks sayıların başlangıçı olması nedeniyle belki
72
de Matematik Tarihinde en çok konuşulan olaylar arasındadır. 3.dereceden
denklemin köklerini bulurken 2.dereceden denklemlerin köklerinin bulunması bir
ara işlem olarak kullanılır. İşte bu ara işlemde Cardano, toplamları 10,
çarpımları 40 olan iki sayıyı bulmak istiyordu. Bu sayılar B ve C ile gösterilirse
B  C œ "!ß BC œ %! denklem sistemini çözmesi gerekiyordu. Bu iki denklemden
BÐ"!  BÑ œ %! veya B#  "!B  %! œ ! denklemi yazılır. Bu denklemi sağlayan
reel sayı yoktur. Ancak Cardano bu denklemden hareketle aradığı B ve C
değerlerini
B œ &  È  "&
ve C œ &  È  "&
olarak buldu. Gerçekten bu değerler, şekilsel olarak, istenen şartları sağlıyordu.
Ancak matematikçiler, È  "& in ne anlama geldiğini bilmediğinden bu
çözümün geçerli olup olmadığı hakkında uzun tartışmalar yaptılar.
Negatif sayıların kareköklerinden sözedilmesinin doğal bir düşünce
olduğunu vurgulayan Rafael Bombelli (İtalyan, 1526-1572), 1572 yılında
yayınladığı "Algebra (Cebir)" adlı kitabında negatif sayıların karekökleri ile nasıl
işlem yapılacağı hakkında bazı kurallar verdi. Ancak, matematikçiler bir süre bu
alışılmamış işlemleri kullanmaktan çekindi.
René Descartes (Fransız, 1596-1650), 1637 yılında yayınladığı "La
Géométrie (Geometri)" kitabında negatif sayıların kareköklerini hayali (sanal)
yaratıklar olduğu düşüncesi ile imajiner (sanal) olarak niteledi. Aralarında Isaac
Newton'un (İngiliz, 1642-1727) da olduğu bir kısım matematikçiler de aynı
düşüncedeydi. Hatta bunlara göre, herhangi bir problemin çözümünde sanal
sayıların bulunması, problemin çözümünün olmaması anlamına geliyordu.
Leonhard Euler (İsviçreli, 1707-1783),  " sayısının karekökünü 3 ile
gösterdi (Bazı kaynaklarda,  " sayısının karekökünü 3 ile gösterilmesinin
Gauss'a ait olduğu belirtilmektedir). Yani È  " œ 3 yazdı. Bu sembol
kullanılarak < pozitif bir reel sayı olmak üzere È  < œ 3È< (veya  3È< )
yazılır. 3 kullanılmasının nedeni, Türkçe olarak sanal veya hayali dediğimiz
kelimenin Almanca, Fransızca ve İngilizce'deki karşılığının ilk harfi olmasıdır
(Alm. imaginare, Fr. imaginaire, İng. imaginary). Ancak Euler de sanal sayılara
çok alışamamış olacak ki "È  "ß È  # şeklindeki bütün ifadeler negatif
sayıların kareköklerini temsil ettiklerinden imajiner sayılardır. Böyle sayıların
imajiner olmalarını gerektiren ise bunların ne sıfır, ne sıfırdan küçük, ne de
sıfırdan büyük olmalarıdır." söylemiştir. Euler aynı zamanda 3 sembolünden
başka 0 ÐBÑß / ve ! sembollerini de ilk kullanan matematikçidir. Euler, 1748
yılında, ) bir reel sayı olmak üzere
/3) œ cos )  3sin )
olduğunu gösterdi. Bu, Euler Formülü olarak bilinir.
73
Abraham De Moivre (Fransız, 1667-1754), 1730 yılında, 8 bir tam sayı
ve ) bir reel sayı olmak üzere
Ðcos )  3sin )Ñ8 œ cos 8)  3sin 8)
formülünü verdi. Kompleks sayılar teorisinin ilk yıllarında olduğu gibi
günümüzde de önemini koruyan bu formül, De Moivre Formülü olarak bilinir.
Karl Friedrich Gauss (Alman, 1777-1855),
3" œ 3, 3# œ  ", 3$ œ  3, 3% œ "
olduğunu gösterdi. B  C3 için "kompleks sayı", B#  C# için de "norm" ifadelerini
kullandı. Ayrıca, John Wallis (İngiliz, 1616-1703) 'in 1685 yılında ileri sürdüğü
reel sayıları bir doğru üzerindeki noktalar ile temsil edilebileceği fikrini kompleks
sayılara uygulayarak, 1831 yılında yayınladığı bir makalesinde, kompleks
sayıların düzlemdeki noktalar ile temsil edilebileceğini belirtti. Burada B-ekseni
üzerinde reel sayıların, C -ekseni üzerinde de imajiner sayıların gösterileceğini
vurguladı. Böylece, kompleks sayılar geometrik bir temsile sahip oldu. Belki de
bu, kompleks sayılara olan bakışı değiştiren en önemli faktör olmuştur. Ayrıca
Gauss cebirin temel teoremi olarak bilinen herhangi bir polinom denklemin bir
kompleks kökünün olacağını ispatladı.
1833 yılında William Rowan Hamilton (İrlandalı, 1805-1865), B  C3
şeklinde verilen kompleks sayıları ÐBß CÑ şeklinde sıralı reel sayı çifti ile gösterdi.
Bu, Gauss'un kompleks sayıları düzlemde gösterme düşüncesi ile uyuşan bir
gösterimdi. Kompleks sayıların gösterildiği düzlem kompleks düzlem olarak
adlandırılır. Jean-Robert Argand (Fransız, 1768-1822), 1806 yılında kompleks
sayıların grafik temsilleri ile ilgili yayınından sonra "kompleks düzlem" yerine
bazen "Argand şeması (diyagramı)" da denilmektedir. Argand, D œ B  3C olmak
üzere < œ ÈB#  C# için "modül" ifadesini kullandı. Karl Theodor Wilhelm
Weierstrass (Alman, 1815-1897), "modül" yerine "mutlak değer" ifadesini
kullandı ve bunu kısaca lDl ile gösterdi. Ayrıca Argand, cos )  3sin ) için ise
"doğrultu çarpanı" isimlendirmesini yaptı. cos )  3sin ) için Augustin Louis
Cauchy (Fransız, 1789-1857), "indirgenmiş form", Hermann Hankel (Alman,
1839-1873) ise "doğrultu katsayısı" ifadelerini kullanmıştır.
Kompleks sayılar düzlemdeki noktalar olarak gösterildiğinde, B reel sayısı
ÐBß !Ñ ve C3 imajiner sayısı da Ð!ß CÑ olur. Bu düşünceden hareketle, reel sayılar
kümesinin kompleks sayılar kümesinin bir altkümesi olduğu söylenir. Yani,
kompleks sayılar, reel sayıların bir uzantısı olarak düşünülür.
74
2.BÖLÜM
KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ
FONKSİYONLAR
Bu bölümde kompleks değişkenli fonksiyonlar ve bu fonksiyonlarla ilgili
bazı özellikleri inceleyeceğiz. Kompleks değişkenli fonksiyonlar denildiğinde
reel değişkenli reel değerli fonksiyonlar, reel değişkenli kompleks değerli
fonksiyonlar, kompleks değişkenli reel değerli fonksiyonlar ve kompleks
değişkenli kompleks değerli fonksiyonlar anlaşılır. Biz kompleks değişkenli
kompleks değerli fonksiyonlar üzerinde duracağız ve buna kısaca kompleks
fonksiyon diyeceğiz.
2.1. Kompleks Fonksiyonlar:
En genel haliyle kompleks fonksiyonu şu şekilde tanımlarız: E § ‚ boş
olmayan bir küme olmak üzere E kümesindeki her bir D elemanına A kompleks
sayısı karşılık getiren 0 kuralına E dan ‚ ye bir fonksiyon denir ve 0 À E Ä ‚
ile gösterilir. Burada E, fonksiyonun tanım kümesi, ‚ de değer kümesidir. D!
elemanına 0 fonksiyonu tarafından A! kompleks sayısı karşılık getiriliyorsa bu
A! œ 0 ÐD! Ñ şeklinde yazılarak gösterilir. Bu durumda A! , D! ın 0 altındaki
görüntüsü (veya 0 nin D! daki değeri) olarak adlandırılır. Fonksiyon belirli bir
kural ile verilmişse bunu A œ 0 ÐDÑ şeklinde yazarız.
Eğer bir fonksiyon sadece kuralı ile verilmişse, bu kural altında kompleks
sayılara dönüşen elemanların oluşturduğu kompleks sayıların en geniş altkümesi
fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır.
2.1.1. Örnek: Aşağıda kuralları verilen fonksiyonların her birinin tanım
kümesini bulunuz.
i. 0 ÐDÑ œ D
ii. 0 ÐDÑ œ ÈD
iii. 0 ÐDÑ œ DD#
# *
75
iv. 0 ÐDÑ œ
"
D
v. 0 ÐDÑ œ log D
vi. 0 ÐDÑ œ /D
Çözüm: i. D yerine yazılacak her kompleks sayı için yine bir kompleks
sayı elde edilir. Bu yüzden tanım kümesi X œ ‚ dir.
ii. Sıfırın karekökünün sıfır olduğunu biliyoruz. Fonksiyon sıfırdan farklı
her kompleks sayıya iki farklı kompleks sayı karşılık getirir. Bu fonksiyonun
tanım kümesi X œ ‚ dir.
iii. Reel sayılarda olduğu gibi, kompleks sayılarda da sıfır ile bölme
yapmak belirli ve anlamlı değildir. 0" ÐDÑ œ D  # ve 0# ÐDÑ œ D #  *, bütün
komplek sayılarda tanımlı olduğundan 0 ÐDÑ œ 00"# ÐDÑ
ÐDÑ fonksiyonu paydayı sıfır
yapan değerler hariç tüm kompleks sayılarda tanımlıdır. Buna göre 0 ÐDÑ
fonksiyonunun tanım kümesi X œ ‚ÏÖ  $3ß $3× olur.
iv. iii.şıktaki benzer düşünce ile, 0 ÐDÑ œ
X œ ‚ÏÖ!× dır.
"
D
fonksiyonun tanım kümesi
v. Logaritma konusunda sıfırdan farklı her kompleks sayının logaritmasının
olduğunu gördük. O halde 0 ÐDÑ œ log D fonksiyonunun tanım kümesi
X œ ‚ÏÖ!× dır.
vi. Her D kompleks sayısı için /D nin de bir kompleks sayı olduğunu
gördük. O halde, bu fonksiyonun tanım kümesi X œ ‚ dir.ú
2.1.1. Örneğin ii ve v.kısımlarında verilen fonksiyonlar bir kompleks
sayıya birden fazla kompleks sayı, diğer kısımlardaki fonksiyonlar ise bir
kompleks sayıya sadece ve sadece bir tek kompleks sayı karşılık getirmektedir.
O halde, yukarıda verilen fonksiyonun tanımını aşağıdaki şekilde yeniden
düzenlenebilir:
2.1.2. Tanım: E § ‚ boş olmayan bir küme olmak üzere 0 À E Ä ‚
fonksiyonu verilsin.
i. 0 fonksiyonu E daki her bir elemana belirli bir tek A kompleks sayısı
karşılık getiriyorsa 0 fonksiyonuna tek değerli fonksiyon denir.
ii. 0 fonksiyonu E daki enaz bir elemana birden fazla kompleks sayı
karşılık getiriyorsa 0 fonksiyonuna çok değerli fonksiyon denir.
Birinci şıktaki tanım, Analiz derslerinden bildiğimiz fonksiyonun
tanımıdır. İkinci şıkta tanımladığımız çok değerli fonksiyon, aslında, Analiz
76
derslerinde fonksiyon olarak dikkate alınmaz. Çok değerli fonksiyonları tek
değerli yapabilmek için analitik devam ve Riemann yüzeyi gibi yeni kavramlar
matematiğe dahil edilmiştir.
2.1.3. Örnek: 1. Aşağıdaki fonksiyonların her biri tek değerli
fonksiyondur.
i. 0 ÐDÑ œ %  $3ß
ii. 0 ÐDÑ œ D
iii. 0 ÐDÑ œ D #  #D  $  (3
"
D#
iv. 0 ÐDÑ œ D
v. 0 ÐDÑ œ D# *
vi. 0 ÐDÑ œ Arg D
2Þ Aşağıdaki fonksiyonların her biri çok değerli fonksiyondur.
i. 1ÐDÑ œ arg D
ii. 1ÐDÑ œ ÈD
iii. 1ÐDÑ œ 33
Bu kitapta, tek değerli fonksiyonlar incelenecek ve fonksiyon denildiği
zaman da tek değerli fonksiyondan bahsedildiği anlaşılacaktır. Çok değerli
fonksiyonlar da tek değerli oldukları kümede incelenecektir.
Fonksiyonlar için bildiğimiz tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi,
bire-bir fonksiyon, örten fonksiyon, fonksiyonların bileşkesi, ... v.s. gibi
kavramlar aynen tek değerli kompleks fonksiyonlar için de geçerlidir.
Kompleks fonksiyonların sınırlılığını şu şekilde tanımlayabiliriz:
2.1.4. Tanım: E § ‚ boştan farklı bir küme ve 0 À E Ä ‚ fonksiyonu
verilsin. Her D − E için l0 ÐDÑl Ÿ Q olacak şekilde Q ! reel sayısı varsa
0 ÐDÑ fonksiyonuna sınırlıdır denir.
Bu tanımı, kümelerin sınırlılığını kullanarak, şu şekilde de verebiliriz:
E § ‚ boştan farklı bir küme ve 0 À E Ä ‚ fonksiyonu verilsin. 0 ÐEÑ § ‚
kümesi sınırlı ise 0 ÐDÑ ye sınırlı fonksiyon adı verilir.
Fonksiyonun tanımına göre, A œ 0 ÐDÑ bir kompleks sayı olduğundan,
bunun reel ve imajiner kısmından sözedilebilir. O zaman A œ 0 ÐDÑ
fonksiyonunu reel değişkenler cinsinden yazılmalıdır. Bu düşünce ile
D œ B  3C alındığında
A œ 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ
olur. Doğal olarak
Re 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ ve Im 0 ÐDÑ œ @ÐBß CÑ
dir. Görüleceği gibi bir kompleks fonksiyon, biri reel diğeri imajiner kısım
olmak üzere, iki tane iki değişkenli fonksiyondan oluşmaktadır. Aynı kompleks
77
fonksiyon, kompleks değişkenlerle A œ 0 ÐDÑ ve reel değişkenlerle
0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ şeklinde yazıldığını unutmayalım. D œ </3) kutupsal
şekilde alınırsa 0 ÐDÑ kompleks fonksiyonu kutupsal şekilde
0 ÐDÑ œ ?Ð<ß )Ñ  3@Ð<ß ) Ñ
olarak yazılır. Bu durumda
Re 0 ÐDÑ œ ?Ð<ß )Ñ ve Im 0 ÐDÑ œ @Ð<ß ) Ñ
olur.
2.1.5. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D # ve 1ÐDÑ œ D kompleks değişkenlerle verilmiş
fonksiyonları reel değişkenler cinsinden yazınız. Bu fonksiyonların reel ve
imajiner kısımlarını bulunuz.
Çözüm: D œ B  3C alırsak 0 ÐDÑ fonksiyonunu reel değişkenlerle
0 ÐDÑ œ D # œ ÐB  3CÑ# œ B#  C#  #3BC
şeklinde yazarız. Burada Re 0 ÐDÑ œ B#  C# ve Im 0 ÐDÑ œ #BC dir. Kısalık
olması bakımından bir 0 ÐDÑ fonksiyonunun reel ve imajiner kısımlarını,
sırasıyla, ? ve @ ile gösteririz. O halde 0 ÐDÑ œ B#  C#  #3BC için ? œ B#  C#
ve @ œ #BC dir.
Benzer olarak 1ÐDÑ fonksiyonunu reel değişkenlerle
1ÐDÑ œ D œ B  3C
şeklinde yazarız. Dolayısıyla Re 1ÐDÑ œ B ve Im 1ÐDÑ œ  C veya ? œ B ve
@ œ  C olur.
ii. 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunu kutupsal olarak yazınız. Reel ve imajiner
kısımlarını bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonu kutupsal olarak lDl œ < ve ) œ Arg D
olmak üzere 0 ÐDÑ œ ln <  3) olarak yazıldığından
? œ ln <ß @ œ )
olur. ú
78
2.1. Alıştırmalar
1. Aşağıda kuralları verilen fonksiyonların hangilerinin tek değerli, hangilerinin
çok değerli olduğunu söyleyiniz.
i. 0 ÐDÑ œ D $
ii. 0 ÐDÑ œ Arg ÐD  "Ñ
iii. 0 ÐDÑ œ Log ÐD  "Ñ
È
iv. 0 ÐDÑ œ D "Î%
v. 0 ÐDÑ œ Ð"  3Ñ #
vi. 0 ÐDÑ œ arg ÐD  &Ñ
2. 1.sorudaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz.
3. 1.sorudaki fonksiyonların reel ve imajiner kısımlarını yazınız.
4. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz.
D
D"
i. 0 ÐDÑ œ Log
ii. 0 ÐDÑ œ Arg
iii. 0 ÐDÑ œ Log D 
D"
D
D
D # %
79
2.2. Bazı Fonksiyonlar:
Bu başlık altında kompleks üstel fonksiyon, kompleks trigonometrik
fonksiyon, kompleks hiperbolik fonksiyon, argüman fonksiyonu, kompleks
logaritma fonksiyonu ve kompleks ters trigonometrik fonksiyonları, kısaca,
tanıtacağız. Ayrıca bu fonksiyonlarla ilgili bazı temel özellikleri vereceğiz.
Kompleks üstel fonksiyon: 0 À ‚ Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ /D
kompleks üstel fonksiyon denir. D œ B  3C olmak üzere
fonksiyonuna
0 ÐB  3CÑ œ /B3C œ /B Ðcos C  3sin CÑ
şeklinde yazılır. Burada
? œ /B cos Cß
@ œ /B sin C
dır. Üstel ifadeleri incelerken her D − ‚ için /D Á ! olduğunu görmüştük. O
halde
0 À ‚ Ä ‚ÏÖ!×ß 0 ÐDÑ œ /D
örten (üzerine) bir fonksiyondur.
Diğer yandan D ile D  #13ß daha genel olarak D ile D  #5 13 Ð5 − ™Ñ,
kompleks sayılarının 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu altındaki görüntüleri eşittir. Yani,
0 ÐDÑ œ 0 ÐD  #5 13Ñ
dir. O halde, 0 ÐDÑ œ /D periyodik bir fonksiyondur ve periyodu #13 dir.
Periyodik bir fonksiyon bire-bir olamayacağından 0 À ‚ Ä ‚ÏÖ!×ß 0 ÐDÑ œ /D
fonksiyonu bire-bir değildir. Ancak tanım kümesinde yapılacak bazı
kısıtlamalarla bu fonksiyon bire-bir yapılabilir. Aşağıdaki teorem bununla
ilgilidir.
2.2.1. Teorem: C! − ‘ ve EC! œ ÖB  3C À B − ‘ ve C!  C Ÿ C!  #1×
olmak üzere
0 À EC! Ä ‚ÏÖ!×ß 0 ÐDÑ œ /D
fonksiyonu bire-bir örtendir.
80
İspat: Önce 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun bire-bir olduğunu gösterelim. D" ß
D# − EC! için
/D" œ /D# Í /D" D# œ " Í D"  D# œ #813
olacak şekilde uygun bir 8 tam sayısı vardır. Yani, /D" œ /D# eşitliğini sağlayan
D" ile D# noktaları arasındaki uzaklık bu iki kompleks sayının imajiner kısımları
arasındaki uzaklık olup bu da uygun bir 8 tamsayısı için #81 dir. D" ve D# , EC!
kümesinde olduğundan bu iki noktanın imajiner kısımları arasındaki uzaklık 21
den küçük olacağından 8 œ ! alınmalıdır. Bu durumda D" œ D# olur. Yani
fonksiyon bire-birdir.
Şimdi de fonksiyonun örten olduğunu gösterelim. Bunun için A − ‚ÏÖ!×
olmak üzere /D œ A eşitliği sağlanacak şekilde D − EC! olduğunun gösterilmesi
gerekir. /D œ A denkleminin çözümünden
D œ ln lAl  3arg A
bulunur. arg A değerlerinden sadece birisi ÐC! ß C!  #1Ó aralığına düşer. Bu
aralığa düşen değer için D − EC! dır. Yani verilen fonksiyon örtendir.…
2.2.1. Şekil: 0 À EC! Ä ‚ÏÖ!×, 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu
Kompleks trigonometrik fonksiyonlar: Önce kompleks trigonometrik
ifadeleri tanımlayalım. Euler formülünden, ) − ‘ için,
/3) œ cos )  3sin )ß
/3) œ cos )  3sin )
olduğunu biliyoruz. Bu iki eşitlikten
cos ) œ
/3)  /3)
ß
#
yazılır. ) − ‘ yerine D − ‚ alınırsa
sin ) œ
/3)  /3)
#3
81
cos D œ
/3D  /3D
ß
#
sin D œ
/3D  /3D
#3
elde edilir. Bunlar, sırasıyla, kompleks kosinüs ve kompleks sinüs ifadelerinin
tanımıdır. Reel trigonometrik ifadelere benzer olarak, diğer kompleks
trigonometrik ifadeler de,
sin D
ß
cos D
tan D œ
cot D œ
cos D
ß
sin D
sec D œ
"
ß
cos D
csc D œ
"
sin D
şeklinde tanımlanır.
Bildiğimiz reel trigonometrik özdeşlikler kompleks trigonometrik ifadeler
için de aynen geçerlidir. Örneğin, Dß A − ‚ olmak üzere bu özdeşliklerden
birkaçı
cos# D  sin# D œ "
sin ÐD  AÑ œ sin D cos A  sin Acos D
sin ÐD  AÑ œ sin D cos A  sin Acos D
cos ÐD  AÑ œ cos D cos A  sin D sin A
cos ÐD  AÑ œ cos D cos A  sin D sin A
şeklindedir.
Şimdi de kompleks trigonometrik ifadelerin reel ve imajiner kısımlarını
bulalım. Bir örnek olarak cos D yi ele alalım. D œ B  C3 olmak üzere
/3D  /3D
/C3B  /C3B
œ
#
#
/C Ðcos B  3sin BÑ  /C Ðcos B  3sin BÑ
œ
#
/C  /C
/C  /C
œ cos BÐ
Ñ  3sin BÐ
Ñ
#
#
cos D œ
şeklinde yazılır. Reel hiperbolik ifadeleri hatırlayacak olursak
cosh C œ
/C  /C
ß
#
sinh C œ
/C  /C
#
şeklinde idi. O halde
cos D œ cos B cosh C  3sin B sinh C
olur. Buna göre
82
? œ cos B cosh Cß
@ œ sin B sinh C
dır. Yukarıdaki işlemlerin benzerini sin D için yaparsak
sin D œ sin B cosh C  3cos B sinh C
olduğunu görürüz.
D œ B  C3 olmak üzere sin D œ ! denklemini çözelim.
sin D œ ! Í sin B cosh C œ !
ve
cos B sinh C œ !
yazılır. Son iki denklemin ortak çözümü sin D œ ! denkleminin de çözümüdür.
Bir kere cosh C " olduğundan birinci denklemin sıfır olması için sin B œ !
olmalıdır. Bu da B œ 81 Ð8 − ™Ñ için sağlanır. Bu değerleri ikinci denklemde
kullanırsak cos B sıfır olmaz. Böylece sinh C œ ! olmalıdır. Bu da C œ ! için
sağlanır. B ve C nin bu değerlerini D œ B  C3 de yerlerine yazarsak sin D œ !
denkleminin köklerini D œ 81 Ð8 − ™Ñ olarak bulmuş oluruz.
cos D œ ! denklemi için de benzer işlemler yapılarak D œ Ð#8  "Ñ 1#
Ð8 − ™Ñ olduğu görülür.
Demek ki, sin D œ ! ve cos D œ ! denklemlerinin sadece reel kökleri vadır.
Bu köklerin aynı zamanda, sin B œ ! ve cos B œ ! reel trigonometrik
denklemlerinin de kökleri olduğuna dikkat ediniz.
sin D ve cos D ifadeleri her D − ‚ için anlamlıdır. O halde
0 À ‚ Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ cos D œ
/3D  /3D
#
0 À ‚ Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ sin D œ
/3D  /3D
#3
ve
kompleks trigonometrik fonksiyonlarından sözedebiliriz. 2ÐDÑ œ /3D üstel
fonksiyonunun periyodu #1 olduğundan 0 ÐDÑ œ cos D ve 0 ÐDÑ œ sin D
fonksiyonları da periyodik olup periyodları #1 dir. Reel trigonometrik
fonksiyonlar için de periyodun aynı olduğunu unutmayalım.
0 ÐBÑ œ sin B ve 0 ÐBÑ œ cos B reel trigonometrik fonksiyonlarının sınırlı
yani,
83
lcos Bl Ÿ "ß
lsin Bl Ÿ "
olduğunu biliyoruz. Kompleks trigonometrik sinüs ve kosinüs fonksiyonları için
bu doğru değildir. Aşağıdaki örnek bununla ilgilidir.
2.2.2. Örnek: i. lcos 3l ve lsin 3l yi bulunuz.
Çözüm: cos D nin tanımında D œ 3 alırsak ve / œ #Þ(")#) olduğunu
kullanırsak
/3  /3
/"  /
"
lcos 3l œ »
œ
º
º œ Ð!Þ$'()(  #Þ(")#)Ñ œ "Þ&%$!(
»
#
#
#
#
#
ve benzer muhakeme ile
lsin 3l œ »
/3  /3
/"  /
"
ϼ
º œ l!Þ$'()(  #Þ(")#)l œ "Þ"(&#!
»
#
#
#
#
#
bulunur. Buradan görüleceği gibi lcos 3l  " ve lsin 3l  " dir.
ii. 0 ÐDÑ œ sin D fonksiyonunun
değerinin mutlak değerini bulunuz.
D œ 1  3ln Ð#  È& Ñ
noktasındaki
Çözüm: Kolaylık açısından önce sin D nin mutlak değerini bulalım.
D œ B  C3 olmak üzere
sin D œ sin B cosh C  3sinh C cos B
şeklindedir. Buna göre
lsin Dl œ Èsin# B cosh# C  sinh# C cos# B
œ Èsin# B cosh# C  sinh# C Ð"  sin# BÑ
œ Èsin# B  sinh# C
bulunur. Burada D œ 1  3ln Ð#  È& Ñ yazarsak
84
¹sin Ð1  3ln Ð#  È& Ñѹ œ sinh ’ln Ð#  È& Ñ“
" ln Ð#È& Ñ
È
 /ln Ð# & Ñ “
’/
#
"
"
œ –#  È & 
—
#
#  È&
œ
œ#
elde edilir.
iii. sin D œ & kompleks trigonometrik denklemini çözünüz. sin B œ & reel
trigonometrik denkleminin çözümü için ne söylersiniz?
Çözüm: sin D œ
denklemi
/3D  /3D
olduğunu biliyoruz. Bu durumda sin D œ &
#3
/3D  /3D
œ & denklemine dönüşür. Buradan
#3
/#3D  "!3/3D  " œ !
yazılır. Bu denklemi /3D ye göre çözersek
/3D œ Ð&…È#% Ñ3
bulunur. D yi bulmak istediğimize göre, her bir 5 − ™ için
3D œ log ÒÐ&…È#% Ñ3Ó Ê 3D œ ln lÐ&…È#% Ñl  3Ð
veya
DœŠ
1
 #5 1Ñ
#
1
 #5 1‹  3ln lÐ&…È#% Ñl
#
elde edilir.
sin B œ & reel trigonometrik denkleminin, her B − ‘ için  " Ÿ sin B Ÿ "
olduğundan, çözümü yoktur. ú
Yukarıdaki açıklamalardan lsin Dl  " ve lcos Dl  " olabileceğini gördük.
Ancak, aklımıza doğal olarak şu soru gelir: Acaba 0 ÐDÑ œ sin D ve 0 ÐDÑ œ cos D
fonksiyonları sınırlı mıdır? Cevabımız, bu kısmın sonundaki alıştırmaların
5.sorusundaki eşitsizliklerden görülür. Bu sorudaß lsinh Cl Ÿ lsin Dl Ÿ cosh C ve
lsinh Cl Ÿ lcos Dl Ÿ cosh C eşitsizliklerinin olduğundan sözedilmektedir. Analiz
85
derslerinden 0 ÐBÑ œ sinh B ve 0 ÐBÑ œ cosh B fonksiyonlarının sınırlı olmadığı
bilinmektedir. Dolayısıyla 0 ÐDÑ œ sin D ve 0 ÐDÑ œ cos D fonksiyonları sınırlı
değildir. Daha genel bir ifade ile kompleks trigonometrik fonksiyonlar sınırlı
değildir.
Kompleks hiperbolik fonksiyonlar: Hatırlanacağı gibi, B − ‘ olmak
üzere reel hiperbolik ifadelerden sinh B ve cosh B,
sinh B œ
/B  /B
ß
#
cosh B œ
/B  /B
#
şeklindeydi. Burada B yerine D − ‚ alınırsa, sinh D ve cosh D kompleks
hiperbolik ifadeleri
sinh D œ
/D  /D
ß
#
cosh D œ
/D  /D
#
coth D œ
cosh D
sinh D
ve diğer hiperbolik ifadeler de
tanh D œ
sinh D
ß
cosh D
olarak tanımlanır. Reel hiperbolik ifadelerde olduğu gibi kompleks hiperbolik
ifadeler için de
cosh# D  sinh# D œ "
sinh ÐD  AÑ œ sinh D cosh A  cosh D sinh A
cosh ÐD  AÑ œ cosh D cosh A  sinh D sinh A
özdeşlikleri vardır. Diğer yandan, kompleks trigonometrik ifadeler ile kompleks
hiperbolik ifadeler arasında
sinÐ3DÑ œ 3sinh Dß sinhÐ3DÑ œ 3sin D
cosÐ3DÑ œ cosh Dß coshÐ3DÑ œ cos D
şeklinde bağıntılar yazılır.
Bu bilgilerden sonra sinh D ve cosh D fonksiyonları
0 À ‚ Ä ‚, 0 ÐDÑ œ sinh D œ
/D  /D
#
0 À ‚ Ä ‚, 0 ÐDÑ œ cosh D œ
/D  /D
#
ve
şeklindedir. Bu fonksiyonlar da periyodiktir ve periyodları #13 dir.
86
Argüman fonksiyonu: 2 À ‚ÏÖ!× Ä ‘ß 2ÐDÑ œ arg D fonksiyonuna
argüman fonksiyonu denir. Bir kompleks sayının sonsuz sayıda argümanının
olduğunu biliyoruz. Bu yüzden argüman fonksiyonu çok değerli bir
fonksiyondur. Burada
? œ arg Dß @ œ !
olduğuna dikkat ediniz.
2.2.2. Şekil: 2 À ‚ÏÖ!× Ä ‘ß 2ÐDÑ œ arg D çok değerli fonksiyonu
Argüman fonksiyonunu tek değerli yapmak için değer kümesinde, ! − ‘
olmak üzere, !  arg D Ÿ !  #1 şeklinde bir kısıtlama yapmak gerekir. O
zaman her bir kompleks sayıya bir tek reel sayı karşılık getirilir. Bu durumda
tek değerli argüman fonksiyonu
2 À ‚ÏÖ!× Ä Öarg D À !  arg D Ÿ !  #1ß ! − ‘×ß 2ÐDÑ œ arg D
şeklinde yazılır. Bu fonksiyon örtendir, ancak bire-bir değildir.
2.2.3. Şekil: 2 À ‚ÏÖ!× Ä Öarg D À !  arg D Ÿ !  #1ß ! − ‘×ß 2ÐDÑ œ arg D tek
değerli fonksiyonu
Burada şu hatırlatmayı yapalım ki E œ Öarg D À !  arg D Ÿ !  #1ß
! − ‘× kümesi ile F œ ÖD À !  arg D Ÿ !  #1× kümesi aynı şey değildir. E
kümesi Ð!ß !  #1Ó aralığıdır ve geometrik olarak 2.2.3. Şekilde, değer
kümesinde, koyu çizgi ile gösterilmiştir. F kümesi ise orijinden başalayan arg D
œ ! ışınını kompleks düzlemden çıkararak elde edilir.
Kompleks logaritma fonksiyonu: Daha önce D Á ! kompleks sayısının
logaritmasının log D œ ln lDl  3arg D olduğunu gördük. Bundan yararlanarak
logaritma fonksiyonunu
87
0 À ‚ÏÖ!× Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ log D œ ln lDl  3arg D
olarak tanımlarız. Buna göre
2.2.4. Şekil: 2 À ‚ÏÖ!× Ä ‚ß 2ÐDÑ œ log D çok değerli fonksiyonu
? œ ln lDl
ve @ œ arg D
dir. Logaritma fonksiyonu, çok değerli argüman fonksiyonuna bağlı olarak
tanımlandığından, çok değerli bir fonksiyondur. Yine logaritmanın tanımında
kullanılan ln lDl ise bildiğimiz tek değerli reel logaritmadır.
Şimdi bu logaritma foksiyonunu tek değerli yapmaya çalışalım. Doğal
olarak argümanın tek değerli olduğu bir yerde logaritma fonksiyonu da tek
değerli olacaktır. Değer kümesinde, ! − ‘ olmak üzere !  arg D Ÿ !  #1
kısıtlaması yapılırsa, bu aralıkta, arg D nin bir tek değeri olduğundan, log D nin
de bir tek değeri vardır. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli nokta arg D
nin logaritma fonksiyonunun imajiner kısmı olması ve !  arg D Ÿ !  #1
kısıtlamasının argümanın aldığı değerler üzerinden yapılmasıdır. Ayrıca, bu
şekilde tanımlanan tek değerli logaritma fonksiyonu 2.2.1. Teoremde verilen
üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur. Bu durumda
2.2.5. Şekil: 2 À ‚ÏÖ!× Ä EC! ß 2ÐDÑ œ log D tek değerli fonksiyonu
88
0 À ‚ÏÖ!× Ä EC! ß
0 ÐDÑ œ log D
yazılır. Bu, bire-bir örten bir fonksiyondur. C! œ  1 alınırsa
0 À ‚ÏÖ!× Ä EC! ß
0 ÐDÑ œ Log D
logaritmanın esas değer fonksiyonu elde edilir.
Kompleks ters trigonometrik ifadeler: Kompleks ters trigonometrik
ifadeler reel ters trigonometrik ifadelere benzer şekilde tanımlanır. Örneğin, reel
ters trigonometrik ifadelerde sin C œ B ise arcsin B œ C olarak tanımlandığını
hatırlayalım. Benzer şekilde sin A œ D ise arcsin D œ Aß cos A œ D ise arccos
D œ A, tan A œ D ise arctan D œ A olarak tanımlanır. Burada D bilindiğinde A
nın ne olacağını araştıralım. Örnek olarak sin A œ D eşitliğini ele alalım. A yı
bulmak için
sin A œ D Ê D œ
/3A  /3A
#3
denklemini kullanırız. : œ /3A alınırsa "Î: œ /3A olur ve denklemimiz
Dœ
:  "Î:
#3
halini alır. Buradan da
:#  #3D:  " œ !
yazılır. Bu denklemin : ye göre çözümü
: œ D3…Ð"  D # Ñ"Î#
olur
(Bazı
kaynaklardaß
Ð"  D # Ñ"Î#
iki
değerli
olduğundan
# "Î#
: œ D3  Ð"  D Ñ şeklinde alınır ve bu şekildeki alınış D3  Ð"  D # Ñ"Î# yi de
kapsar). : œ /3A alınıp gerekli işlem yapılırsa
A œ  3log ÒD3…Ð"  D # Ñ"Î# Ó
bulunur. A œ arcsin D olduğundan
arcsin D œ  3log ÒD3…Ð"  D # Ñ"Î# Ó
elde edilir. arcsin D , logaritma fonksiyonuna bağlı olduğundan, çok değerli bir
fonksiyondur.
89
Benzer işlemleri D œ cos A denklemine uygularsak
arccos D œ  3 log D…3 Ð"  D # Ñ"Î# ‘
olduğunu görürüz. arctan D için de
arctan D œ
3
3D
log Œ

#
3D
yazılır.
2.2.3. Örnek: arcsin "# yi hesaplayınız.
Çözüm: arcsin D ile ilgili formülü kullanarak
arcsin
yazılır. …Ð $% Ñ"Î# œ …
arcsin
È$
#
olduğundan
È$
"
3
1
œ  3 log –
 — œ  3 log /3Ð1Î'#5 1Ñ œ  #5 1
#
#
#
'
ve
arcsin "# œ  3 log ’ 
olur.ú
"
3 $
œ  3 log ” …Ð Ñ"Î# •
#
# %
È$
#
 #3 “ œ  3 log /3Ð&1Î'#51Ñ œ
&1
'
 #5 1
Ð5 − ™Ñ
Ð5 − ™Ñ
90
2.2. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki kompleks sayıları +  ,3 şeklinde yazınız.
i. sin ˆ 1'  3‰
ii. cosˆ 1%  3 1# ‰
iv. sin Ðarg Ð"  3ÑÑ
v. cos Ð3arg Ð"  3ÑÑ
iii. sinh %3
vi. /Log ÐLog ÐLog 3ÑÑ
2. Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz.
i. cos# D  sin# D œ "
ii. cosh# D  sinh# D œ "
iii. sinÐ3DÑ œ 3sinh D
iv. sinhÐ3DÑ œ 3sin D
v. cosÐ3DÑ œ cosh D
vi. coshÐ3DÑ œ cos D
3. D œ B  3C olmak üzere aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz.
i. sinh D œ sinh B cos C  3 cosh B sin C
ii. cosh D œ cosh B cos C  3 sinh B sin C
4. D œ B  3C olmak üzere aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz.
i. lsin Dl# œ sin# B  sinh# C
ii. lcos Dl# œ cos# B  sinh# C
#
#
#
iii. lcosh Dl œ sinh B  cos C
iv. lsinh Dl# œ sinh# B  sin# C
5. D œ B  3C olmak üzere aşağıdaki eşitsizliklerin doğruluğunu gösteriniz.
Bunun sonucunda 0 ÐDÑ œ sin D ve 0 ÐDÑ œ cos D fonksiyonlarının sınırlı olup
olmadıkları hakkında ne söylersiniz?
i. lsinh Cl Ÿ lsin Dl Ÿ cosh C
ii. lsinh Cl Ÿ lcos Dl Ÿ cosh C
6. Aşağıdaki sayıları +  ,3 şeklinde yazınız.
i. arcsin ˆ 1$ 3‰
ii. arctan Ð"  3Ñ
7. 0 ÐDÑ œ /D ise 8 bir tam sayı olmak üzere 0 ÐD  381Ñ œ Ð  "Ñ8 0 ÐDÑ
olduğunu gösteriniz.
91
2.3.Kompleks Fonksiyonların Geometrik Gösterimi:
0 À E § ‘ Ä ‘ß C œ 0 ÐBÑ reel fonksiyonunu, grafiğini çizerek, geometrik
olarak temsil edebiliriz. Grafik çizerken, fonksiyonun tanım ve değer kümesini
aynı koordinat sisteminde göstermek gerekir. Örneğin, 0 À E § ‘ Ä ‘ß
C œ 0 ÐBÑ fonksiyonunun, BC kartezyen koordinat sisteminde grafiğini çizerken,
tanım kümesini B ekseni, değer kümesini de C ekseni üzerinde;
0 À E § ‘# Ä ‘ß D œ 0 ÐBß CÑ fonksiyonunun ise, BCD koordinat sisteminde
grafiğini çizerken, tanım kümesini BC-düzleminde, değer kümesini D ekseni
üzerinde aldık. 0 À E § ‘# Ä ‘# , 0 ÐBß CÑ œ Ð?ÐBß CÑß @ÐBß CÑÑ fonksiyonunun
ise grafiğini çizemedik. Çünkü, bu fonksiyonun grafiğini çizebilmemiz için
tanım ve değer kümesini aynı koordinat sisteminde göstermemiz gerekir ve
bunun için dört boyutlu bir uzaya ihtiyaç vardır.
Kompleks fonksiyonlar için de problem aynıdır. Yani, 0 À E § ‚ Ä ‚ß
A œ 0 ÐDÑ kompleks fonksiyonunun grafiğini çizemeyiz. Dolayısıyla,
"kompleks fonksiyonların geometrik gösterimi" ile 0 fonksiyonunun tanım
kümesinde verilen bir küme ve bunun 0 altındaki görüntüsünün geometrik
olarak gösterimi anlatılır. Bunun için iki kompleks düzleme ihtiyaç vardır.
Tanım kümesinin bulunduğu kompleks düzleme D -düzlemi veya BC-düzlemi;
değer kümesinin bulunduğu kompleks düzleme de A-düzlemi veya ?@-düzlemi
adını veririz. D -düzlemindeki bir kümeyi A-düzlemindeki bir kümeye
dönüştürdüğünden "0 ÐDÑ fonksiyonu" yerine "0 ÐDÑ dönüşümü" ifadesi tercih
edilir. Biz ikisini de kullanacağız.
2.3.1. Şekil: A œ 0 ÐDÑ fonksiyonunun geometrik gösterimi
Hatırlatalım ki, BC-düzleminde grafik çizmemiz için kullandığımız bilgiler
?@-düzleminde de aynen geçerlidir. Örneğin, BC-düzleminde C œ 6ÐBÑ veya
B œ 1ÐCÑ şeklinde verilen bağıntıların grafiklerini çizdiğimiz gibi [email protected]üzleminde de ? œ 2Ð@Ñ veya @ œ 5Ð?Ñ bağıntılarının grafiklerini çizebiliriz.
92
?@-düzlemindeki ? œ 2Ð@Ñ veya @ œ 5Ð?Ñ bağıntılarını BC-düzleminde verilen
bağıntılar yardımı ile elde edebiliriz.
0 ÐDÑ fonksiyonunu reel değişkenlerle yazdığımızda bu fonksiyonun reel
kısmını ?, imajiner kısmını da @ ile gösteririz. Bunun sonucunda 0 nin tanım
kümesindeki D œ B  3C noktasına A düzleminde karşılık gelen noktayı
A œ ?  3@ olarak yazarız.
2.3.1. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D dönüşümü altında lDl œ " çemberinin
görüntüsünü bulunuz. Bunu geometrik olarak gösteriniz.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ D dönüşümü altında her nokta kendisine dönüşeceğinden,
sezgisel olarak, lDl œ " birim çemberinin bu dönüşüm altında lAl œ " birim
çemberine dönüşeceğini söyleriz.
Şimdi bunu matematiksel olarak gösterelim: D œ B  3C için
0 ÐDÑ œ B  3C olup ? œ Bß @ œ C yazılır. BC-düzleminde verilen küme
B#  C# œ " olduğundan ?#  @# œ " bulunur. Bu da A-düzleminde birim
çemberdir.
Bu fonksiyonu geometrik gösterimi 2.3.2. Şekildedir.
2.3.2. Şekil: 0 ÐDÑ œ D fonksiyonu altında lDl œ " çemberinin görüntüsü
ii. 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu altında B œ # ve C œ % doğrularının görüntülerini
bulunuz.
Çözüm: D œ B  3C olmak üzere 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu için
? œ /B cos Cß @ œ /B sin C
dir. B œ # olarak verildiğinden
? œ /# cos Cß @ œ /# sin C veya
yazılır. Böylece
?
@
œ cos Cß # œ sin C
#
/
/
93
?#
@#

œ cos# C  sin# C Ê ?#  @# œ /%
/%
/%
elde edilir. Bu da, A-düzleminde, merkezi orijinde yarıçapı /# olan bir
çemberdir.
Şimdi de C œ % doğrusunun 0 ÐDÑ œ /D dönüşümü altındaki görüntüsünü
bulalım: C œ % için ? œ /B cos %ß @ œ /B sin % olup bu iki ifadeyi taraf tarafa
bölersek
@
œ tan %
?
bulunur. Bu da A œ ?  3@ olmak üzere arg A œ % demektir. O halde, C œ %
doğrusunun 0 ÐDÑ œ /D dönüşümü altındaki görüntüsü, A-düzleminin
3.bölgesinde, orijinden başlayan bir ışındır.
Not: C œ % doğrusunun görüntüsünü bulurken /?B œ cos %ß [email protected] œ sin %
alarak ?#  @# œ /#B eşitliğine ulaşıp, burada B œ + alarak elde edilen çemberin
C œ % doğrusunun görüntüsü olabileceği düşüncesi yanlıştır. Çünkü, burada
B œ + için elde edilen çember, aslında, B œ + doğrusunun 0 ÐDÑ œ /D dönüşümü
altındaki görüntüsüdür.
2.3.3. Şekil: 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu altında B œ # ve C œ % doğrularının görüntüsü
iii. 0 ÐDÑ œ sin D fonksiyonu altında + Á ! olmak üzere C œ + doğrusunun
elipse, cos - Á ! ve sin - Á ! olmak üzere B œ - doğrusunun hiperbole
dönüştüğünü gösteriniz.
Çözüm: Öncelikle D œ B  3C olmak üzere
sin D œ sin B cosh C  3sinh C cos B œ ?  3@
94
eşitliğinden
? œ sin B cosh Cß
@ œ sinh C cos B
yazılır.
Önce C œ + doğrusunun 0 fonksiyonu altındaki görüntüsünü bulalım. Bu
durumda C œ + için
? œ sin B cosh +ß
@ œ sinh + cos B
?#
œ sin# Bß
cosh# +
@#
œ cos# B
sinh# +
olur.
ve sin# B  cos# B œ " özdeşliğini kullanarak
?#
@#

œ"
cosh# + sinh# +
elde edilir. Bu A-düzleminde bir elipstir.
Şimdi de B œ - denklemi ile verilen doğrunun görüntüsünü bulalım.
Böylece B œ - için
? œ sin - cosh Cß
@ œ sinh C cos -
?#
œ cosh# Cß
sin# -
@#
œ sinh# C
cos# -
yazılır.
ve cosh# C  sinh# C œ " özdeşliğini kullanarak
?#
@#

œ"
sin# cos# elde edilir. Bunun da A-düzleminde bir hiperbol olduğu görülür.
iv. 0 ÐDÑ œ sin D dönüşümü altında B œ
bulunuz. Bunu geometrik olarak gösteriniz.
1
#
doğrusunun dönüştüğü kümeyi
Çözüm: D œ B  3C olmak üzere
sin D œ sin B cosh C  3sinh C cos B œ ?  3@
95
eşitliğinden
? œ sin B cosh Cß
yazılır. B œ
1
#
@ œ sinh C cos B
için
? œ cosh C, @ œ !
bulunur. " Ÿ cosh C  _ olduğundan B œ 1# doğrusu 0 fonksiyonu altında
Y œ Ö?  3@ À " Ÿ ?  _ß @ œ !× kümesine dönüşür.
2.3.4. Şekil: 0 ÐDÑ œ sin D fonksiyonu altında B œ
1
#
doğrusunun görüntüsü
v. 0 ÐDÑ œ D # dönüşümü altında - Á ! olmak üzere C œ - doğrusunun
görüntüsünü bulunuz.
Çözüm: D œ B  3C için
0 ÐDÑ œ ÐB  3CÑ# œ B#  C#  #3BC œ ?  3@
eşitliğinden
? œ B#  C# ß
@ œ #BC
olur. C œ - olduğunu kullanarak
? œ B#  - # ß
yazarız. B œ
@
#-
@ œ #B-
için,
?œ
@#
 -#
%- #
bulunur. Bu da A-düzleminde bir parabolün denklemidir.ú
96
2.3. Alıştırmalar
1. 0 ÐDÑ œ B  #3C dönüşümü altında lDl œ " birim çemberinin görüntüsünü
bulunuz.
2. 0 ÐDÑ œ cos D dönüşümü altında yatay ve düşey doğruların görüntülerini
bulunuz.
3. 0 ÐDÑ œ 3D dönüşümü altında C œ B  " doğrusunun görüntüsünü bulunuz.
97
2.4. Kompleks Fonksiyonların Limiti:
Bir 0 fonksiyonu bir + noktasında tanımlı ise o noktadaki değerini 0 Ð+Ñ ile
gösteririz. Bu bize fonksiyonun sadece o noktadaki değeri hakkında bilgi verir.
Bizim için önemli olan fonksiyonun bir noktadaki değeri değil, o noktanın bir
komşuluğundaki davranışıdır. Limit kavramı bu davranışı inceler.
2.4.1. Tanım: E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ fonksiyonu verilsin. D! − ‚,
E kümesinin bir yığılma noktası ve A! bir kompleks sayı olsun. Her &  ! ve
!  lD  D! l  $ şartını sağlayan her D − E için l0 ÐDÑ  A! l  & olacak şekilde
$ œ $ Ð&Ñ  ! sayısı varsa D , D! a yaklaşırken 0 ÐDÑ fonksiyonunun limiti A! dır
denir ve bu durum kısaca
lim 0 ÐDÑ œ A!
DÄD!
ile gösterilir.
Limitin tanımı şu şekilde de verilebilir: E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ bir
fonksiyon, D! − ‚, E kümesinin yığılma noktası ve A! bir kompleks sayı olsun.
Her &  ! için
0 ÐE  H* ÐD! à $ ÑÑ § HÐA! à &Ñ
olacak şekilde $ œ $ Ð&Ñ  ! sayısı varsa D , D! noktasına yaklaşırken 0 ÐDÑ
fonksiyonunun limiti A! dır denir.
Limitin tanımında kullandığımız D! noktasının $ -delinmiş komşuluğu için
iki durum söz konusudur:
Birincisi, E  H* ÐD! à $ Ñ œ H* ÐD! à $ Ñ yani, H* ÐD! à $ Ñ § E olmasıdır. Bu
durumda, D! noktasına her yoldan yaklaşmak mümkündür. Bazı kaynaklar
limitin tanımında böyle komşuluk kullanır.
İkincisi, D! noktasının $ -delinmiş komşuluğu için E  H* ÐD! à $ Ñ Á
H ÐD! à $ Ñ yani, H* ÐD! à $ Ñ §
Î E olması durumudur. O zaman, D! noktasına sadece
*
E  H ÐD! à $ Ñ kümesinde kalan yollar boyunca yaklaşılır. Bu, kısmi bir
yaklaşmadır.
*
98
Her iki durumda da D! noktası için ortak olan özelliğin, bu noktanın E
kümesinin bir yığılma noktası olmasıdır.
Bazen, verilen bir fonksiyonun D! œ _ noktasının bir komşuluğundaki
davranışını inceleme ihtiyacı duyabiliriz. Bu durumda, D! œ _ olması halinde,
limitin tanımını vermek gerekir. Hatırlanacağı gibi, _ noktasının delinmiş
*
komşuluğu kompleks sayıların altkümesi olan H_
œ ÖD À lDl  <  !×
kümesidir. _ noktasındaki limitin tanımını verirken, D! noktası için verilen
limitin tanımında, D! noktasının delinmiş komşuluğu yerine _ noktasının
delinmiş komşuluğu alınacaktır.
2.4.2. Tanım: E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ bir fonksiyon ve _, E
kümesinin bir yığılma noktası olsun. Ayrıca A! kompleks sayısı verilsin. Her
&  ! ve lDl  Q şartını sağlayan her D − E için l0 ÐDÑ  A! l  & olacak
şekilde Q œ Q Ð&Ñ  ! sayısı varsa D , _ a yaklaşırken 0 ÐDÑ fonksiyonunun
limiti A! dır denir ve bu durum kısaca
lim 0 ÐDÑ œ A!
DÄ_
ile gösterilir.
Limit tanımının direkt bir sonucu olarak, A! − ‚ olmak üzere,
lim 0 ÐDÑ œ A! Í lim l0 ÐDÑ  A! l œ !
DÄD!
DÄD!
yazılır.
2.4.3. Örnek: i. - − ‚ olmak üzere 0 ÐDÑ œ - sabit fonksiyonu için
lim 0 ÐDÑ œ - olduğunu gösteriniz.
DÄD!
Çözüm: D! − ‚ alalım. 0 ÐDÑ œ - sabit fonksiyonunun tanım kümesi ‚ dir.
Herhangi bir D! − ‚, ‚ nin yığılma noktasıdır. Her &  ! ve !  lD  D! l  $
şartını sağlayan her D için
l0 ÐDÑ  A! l œ l-  -l œ !  $
olur. Burada $ œ & olarak alınırsa her &  ! için $  ! olacağından lim - œ DÄD!
dir.
Tanımdan hareketle, D! œ _ için de lim - œ - olduğu gösterilebilir.
DÄ_
99
ii. lim D œ D! olduğunu gösteriniz.
DÄD!
Çözüm: D! − ‚ alalım. 0 ÐDÑ œ D fonksiyonunun tanım kümesi ‚ dir.
Herhangi bir D! − ‚, ‚ nin yığılma noktasıdır. Her &  ! ve !  lD  D! l  $
şartını sağlayan her D için
l0 ÐDÑ  A! l œ lD  D! l  $
olur. Burada $ œ & olarak alınırsa her &  ! için $  ! olacağından lim D œ D!
DÄD!
dir.
D! œ _ için de lim D œ _ olacağına dikkat ediniz.
DÄ_
iii. lim Ð#D  "Ñ œ &  #3 olduğunu gösteriniz.
DÄ#3
Çözüm: D! œ #  3ß 0 ÐDÑ œ #D  " fonksiyonunun tanım kümesi olan
X œ ‚ için bir yığılma noktasıdır. Her &  ! ve !  lD  #  3l  $ şartını
sağlayan her D için
l#D  "  Ð&  #3Ñl œ l#D  "  &  #3l œ #lD  #  3l  #$
olur. Burada #$ œ & olarak alınırsa $ œ &Î# olur ve her &  ! için $  !
olacağından
lim Ð#D  "Ñ œ &  #3
DÄ#3
yazılır.
Not: Aslında, biz burada, her &  ! sayısı için !  lD  #  3l  $ œ &Î#
şartını sağlayan her D için l0 ÐDÑ  A! l œ l#D  "  Ð&  #3Ñl  & olacak
şekilde $ œ &Î#  ! sayısının varlığını göstermiş olduk.
iv. lim Ð#D  "Ñ œ '  #3 olup olmadığını araştırınız.
DÄ#3
Çözüm: D! œ #  3ß 0 ÐDÑ œ #D  " fonksiyonunun tanım kümesi olan
X œ ‚ için bir yığılma noktasıdır. Her &  ! ve !  lD  #  3l  $ şartını
sağlayan her D için
l#D  "  Ð'  #3Ñl œ l#D  "  '  #3l œ l#D  &  #3l
100
olur. l#D  &  #3l œ lÐ#D  %  #3Ñ  Ð  "Ñl Ÿ #lD  #  3l  "
dikkate alırsak
olduğunu
l#D  "  Ð'  #3Ñl Ÿ #lD  #  3l  "  #$  "
bulunur. Burada #$  " œ & denirse $ œ &"
olur ve !  &  " için $  !
#
olacağından lim Ð#D  "Ñ œ '  #3 doğru değildir.
DÄ#3
v. E œ ÖD À lDl  "×  Ö"  3× olmak üzere 0 À E Ä ‚ß A œ 0 ÐDÑ
fonksiyonu veriliyor. lim 0 ÐDÑ limiti hesaplanabilir mi?
DÄ"3
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesi E olarak veriliyor. D! œ "  3ß
E kümesinin yığılma noktası olmadığından lim 0 ÐDÑ limitinden sözedilemez.
DÄ"3
vi. 0 À ‚ÏÖ!× Ä ‚ß
0 ÐDÑ œ
"
D#
fonksiyonu veriliyor.
olduğunu gösteriniz.
lim 0 ÐDÑ œ !
DÄ_
Çözüm: D! œ _ß 0 ÐDÑ œ D"# fonksiyonunun tanım kümesi olan
X œ ‚ÏÖ!× için bir yığılma noktasıdır (Genişletilmiş kompleks sayılar
gözönüne alınarak bunu söyleyebiliriz). &  ! alalım. lDl  Q için
º
yazılır. Burada
"
Q#
"
"
"
 !º œ #  #
#
D
lDl
Q
œ & alınırsa Q œ
dır. Dolayısıyla lim 0 ÐDÑ œ ! olur.
"
È&
bulunur ve &  ! için Q œ Q Ð&Ñ  !
DÄ_
vii. D œ B  3C olmak üzere limÐB#  3C# Ñ œ 3 olup olmadığını araştırınız.
DÄ3
Çözüm: 0 ÐDÑ œ B#  3C# fonksiyonunun tanım kümesi X œ ‚ dir. D! œ 3,
X œ ‚ nin yığılma noktasıdır. &  ! olsun. !  lD  3l  $ veya D œ B  3C
alarak !  lB  3ÐC  "Ñl  $ olduğunda
101
l0 ÐDÑ  3l œ lB#  3ÐC#  "Ñl
Ÿ lBl#  lC#  "l
Ÿ lBl#  lC  "lÐlCl  "Ñ
œ lBl#  lCllC  "l  lC  "l
 $ #  $ Ð$  "Ñ  $
œ # $ #  #$
bulunur. Burada !  lB  3ÐC  "Ñl  $ olmasından hareketle
lBl  $ ß lC  "l  $ ve lC  "l  $ Ê lCl  "  $ Ê lCl  $  "
olduklarını gözönüne
denkleminden
aldık.
$"ß# œ
bulunur. $ œ
"È"#&
#
#$ #  #$ œ &
denirse
# $ #  #$  & œ !
 "…È"  #&
#
alınırsa her &  ! için $ œ $ Ð&Ñ  ! olacağından
limÐB#  3C# Ñ œ 3
DÄ3
yazılır. ú
Limit ile işlemler: Limitin tanımı, verilen bir sayının limit olup
olmadığına karar veren bir kuraldır. Bu tanım ile limit hesaplanamaz. Pratik
olarak limit hesaplayabilmek için yukarıdaki 2.4.3. Örneğin i ve ii.şıkları ile
aşağıda vereceğimiz teoremlerden yararlanırız.
2.4.4. Teorem: 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ fonksiyonları için
lim 0 ÐDÑ œ A" ß
DÄD!
lim 1ÐDÑ œ A#
DÄD!
olsun (A" ß A# − ‚Ñ. Bu durumda
i. lim Ò0 ÐDÑ  1ÐDÑÓ œ lim 0 ÐDÑ  lim 1ÐDÑ œ A"  A# olur.
DÄD!
DÄD!
DÄD!
ii. lim Ò0 ÐDÑ1ÐDÑÓ œ Œ lim 0 ÐDÑŒ lim 1ÐDÑ œ A" A# olur.
DÄD!
DÄD!
iii. lim 1ÐDÑ œ A# Á ! olmak üzere
DÄD!
DÄD!
102
lim 0 ÐDÑ
0 ÐDÑ
A"
DÄD!
lim ”
œ
•œ
DÄD! 1ÐDÑ
lim 1ÐDÑ
A#
DÄD!
olur.
iv. lim Re0 ÐDÑ œ Re A" dir.
DÄD!
v. lim Im0 ÐDÑ œ Im A" dir.
DÄD!
vi. lim l0 ÐDÑl œ lA" l olur.
DÄD!
vii. A" − ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !× olmak üzere
lim Arg 0 ÐDÑ œ Arg A"
DÄD!
olur.
İspat: ii. D! − ‚ olsun. !  &  " ve !  &w  " olacak şekilde & ve &w
sayılarını alalım (daha sonra &w , & cinsinden ifade edilecektir).
Hipotezde lim 0 ÐDÑ œ A" ß lim 1ÐDÑ œ A# olarak verilmiştir. O halde, öyle bir
DÄD!
DÄD!
$  ! sayısı bulunur ki !  lD  D! l  $ özelliğindeki, 0 ve 1 fonksiyonlarının
tanım kümelerindeki, D noktaları için
l0 ÐDÑ  A" l  &w ve l1ÐDÑ  A# l  &w
olur. Buna göre
l0 ÐDÑl œ lA"  Ð0 ÐDÑ  A" Ñl  lA" l  &w  lA" l  "
yazılır. 0 ÐDÑ1ÐDÑ  A" A# œ 0 ÐDÑ1ÐDÑ  A# 0 ÐDÑ  A# 0 ÐDÑ  A" A#
gözönüne alınarak
olduğu
l0 ÐDÑ1ÐDÑ  A" A# l Ÿ l0 ÐDÑll1ÐDÑ  A# l  lA# ll0 ÐDÑ  A" l
 ÐlA" l  "Ñ&w  lA# l&w œ &w ÐlA" l  lA# l  "Ñ
bulunur. &w œ &ÎÐlA" l  lA# l  "Ñ alınırsa !  lD  D! l  $ özelliğindeki, 0 ve
1 fonksiyonlarının tanım kümelerindeki, D noktaları için
l0 ÐDÑ1ÐDÑ  A" A# l  &
olur. Bu ise
lim Ò0 ÐDÑ1ÐDÑÓ œ A" A#
DÄD!
demektir. D! œ _ olması durumunda da bu şık geçerlidir.
103
iii. ii.şıkkı kullanarak
lim 0 ÐDÑ œ lim ”0 ÐDÑ
DÄD!
DÄD!
1ÐDÑ
0 ÐDÑ
lim
lim 1ÐDÑ
• œ DÄD
1ÐDÑ
! 1ÐDÑ DÄD!
yazılır. Buradan da
lim ”
DÄD!
lim 0 ÐDÑ
0 ÐDÑ
A"
DÄD!
œ
œ
•
lim 1ÐDÑ
1ÐDÑ
A#
DÄD!
elde edilir.
iv. D! − ‚ olsun. ReÒ0 ÐDÑ  A" Ó œ Re0 ÐDÑ  Re A" dir. Diğer yandan
lRe0 ÐDÑ  Re A" l Ÿ l0 ÐDÑ  A" l
olduğu kompleks sayılar ile ilgili özelliklerden bilinmektedir. lim 0 ÐDÑ œ A"
DÄD!
olduğundan her &  ! ve !  lD  D! l  $ özelliğindeki 0 nin tanım
kümesindeki her D için l0 ÐDÑ  A" l  & olacak şekilde $  ! sayısı vardır.
Dolayısıyla, yukarıdaki &, $ ve aynı D ler için lRe0 ÐDÑ  Re A" l  & yazılır. Bu
lim Re0 ÐDÑ œ Re A" demektir. D! œ _ olması durumunda da bu şık geçerlidir.
DÄD!
v. D! − ‚ olsun. ImÒ0 ÐDÑ  A" Ó œ Im 0 ÐDÑ  Im A" dir. Diğer yandan
lIm 0 ÐDÑ  Im A" l Ÿ l0 ÐDÑ  A" l
olduğu kompleks sayılar ile ilgili özelliklerden bilinmektedir. Bu eşitsizlik
kullanılarak lim Im0 ÐDÑ œ Im A" olduğu görülür. D! œ _ olması durumunda
DÄD!
da bu şık geçerlidir.
vi. ll0 ÐDÑ  lA" ll Ÿ l0 ÐDÑ  A" l
buradan istenen elde edilir.…
olduğu
bilinmektedir.
Dolayısıyla
2.4.4. Teoremin i ve ii.şıkları aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir: A5 − ‚
ve lim 05 ÐDÑ œ A5 Ð" Ÿ 5 Ÿ 8Ñ olmak üzere
DÄD!
lim a0" ÐDÑ  â  08 ÐDÑb œ lim 0" ÐDÑ  â  lim 08 ÐDÑ œ A"  â  A8
DÄD!
ve
DÄD!
DÄD!
104
lim a0" ÐDÑ0# ÐDÑâ08 ÐDÑb œ lim 0" ÐDÑ lim 0# ÐDÑâ lim 08 ÐDÑ œ A" A# âA8
DÄD!
DÄD!
DÄD!
DÄD!
olur.
2.4.5. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonu verilsin.
i. lim 0 ÐDÑ œ A" olması için gerek ve yeter şart lim 0 ÐDÑ œ A" olmasıdır.
DÄD!
DÄD!
ii. lim 0 ÐDÑ œ A" olması için gerek ve yeter şart lim Re0 ÐDÑ œ Re A" ve
DÄD!
DÄD!
lim Im0 ÐDÑ œ Im A" olmasıdır.
DÄD!
iii. lim 0 ÐDÑ œ ! olması için gerek ve yeter şart lim l0 ÐDÑl œ ! olmasıdır.
DÄD!
DÄD!
İspat: i. Önce lim 0 ÐDÑ œ A" olduğunu kabul edelim. Bu durumda her
DÄD!
&  ! ve !  lD  D! l  $ özelliğindeki 0 nin tanım kümesindeki her D için
l0 ÐDÑ  A" l  & olacak şekilde $  ! sayısı vardır. Diğer yandan
l0 ÐDÑ  A" l œ l0 ÐDÑ  A" l olduğunu biliyoruz. Bu durumda aynı &, aynı $ ve
aynı D ler için l0 ÐDÑ  A" l  & olur. Yani, lim 0 ÐDÑ œ A" dir.
DÄD!
Tersine, lim 0 ÐDÑ œ A" olduğunu kabul edelim. 0 ÐDÑ yerine 0 ÐDÑ, A yerine
DÄD!
de A" alıp yukarıdaki muhakeme aynen uygulanırsa lim 0 ÐDÑ œ A" olduğu
DÄD!
görülür.
ii. lim 0 ÐDÑ œ A" ise lim Re0 ÐDÑ œ Re A" ve lim Im0 ÐDÑ œ Im A"
DÄD!
DÄD!
DÄD!
olduğu 2.4.4. Teoremden söylenir.
Tersine lim Re0 ÐDÑ œ Re A" ve
DÄD!
lim Im0 ÐDÑ œ Im A" olduğunu kabul
DÄD!
edelim.
|0 ÐDÑ  A" | Ÿ lRe0 ÐDÑ  Re A" l  lIm0 ÐDÑ  Im A" l
eşitsizliği kullanılarak lim 0 ÐDÑ œ A" olduğu görülür.…
DÄD!
Hatırlanacağı gibi 0 ÐDÑ fonksiyonu D œ B  3C olmak üzere reel
değişkenler
cinsinden
0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ
olarak
yazılabilir.
D! œ B!  3C! olmak üzere
105
lim 0 ÐDÑ yerine
a?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑb
lim
DÄD!
ÐBßCÑÄÐB! ßC! Ñ
alınır ve 2.4.5. Teoreme göre
lim 0 ÐDÑ œ
DÄD!
lim
ÐBßCÑÄÐB! ßC! Ñ
?ÐBß CÑ  3
lim
@ÐBß CÑ
ÐBßCÑÄÐB! ßC! Ñ
yazılır. Böylece, iki değişkenli fonksiyonlar için öğrendiğimiz limit alma
işlemlerini kompleks değişkenli fonksiyonlar için kullanma fırsatını elde etmiş
oluruz.
2.4.6. Örnek: Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
%
"
i. lim D #
ii. lim ÐD #  D  $Ñ
iii. lim DD3
iv. lima$D b
DÄ3
C
B
vi. lim Š B# C
#  3 B# C # ‹
DÄ3
DÄ"3
v. limArg D
#
DÄ3
DÄ#
DÄ"3
Çözüm: i. lim D œ 3 olduğundan
DÄ3
limD # œ ŠlimD ‹ŠlimD ‹ œ 3 † 3 œ  "
DÄ3
DÄ3
DÄ3
bulunur.
ii.
lim D # œ Ð"  3Ñ# ß
DÄ"3
lim D œ "  3
DÄ"3
ve
lim Ð  $Ñ œ  $
DÄ"3
olacağından
lim ÐD #  D  $Ñ œ lim D #  lim D  lim Ð  $Ñ
DÄ"3
DÄ"3
DÄ"3
DÄ"3
#
œ Ð"  3Ñ  Ð"  3Ñ  $
œ  #  $3
yazılır.
iii. limÐD  3Ñ œ #3 Á ! ve lim ÐD %  "Ñ œ # olduğundan
DÄ3
DÄ3
limÐD %  "Ñ
D%  "
#
lim
œ DÄ3
œ
œ 3
DÄ3 D  3
limÐD  3Ñ
#3
DÄ3
bulunur.
iv. lim $ œ $ ve lim D # œ % dür. Buna göre
DÄ#
DÄ#
106
limˆ$D # ‰ œ Š lim$‹Š limD # ‹ œ "#
DÄ#
DÄ#
DÄ#
olur.
v. 2.4.5. Teoremin i.şıkkına göre lim D œ 3 Í lim D œ 3 olacağından
limD œ  3
DÄ3
DÄ3
olur.
DÄ3
lim D œ  3 − ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
DÄ3
dır.
2.4.4.
Teoremin vii.şıkkına göre
limArg D œ Arg 3 œ ArgÐ  3Ñ œ 
DÄ3
1
#
olur.
vi. D œ B  3C için D Ä "  3 olduğunda B Ä "ß C Ä " dir. Buna göre
lim
?ÐBß CÑ œ
lim
@ÐBß CÑ œ
ÐBßCÑÄÐ"ß"Ñ
lim
B
"
œ
#
C
#
lim
C
"
œ
#
C
#
ÐBßCÑÄÐ"ß"Ñ B#
ve
ÐBßCÑÄÐ"ß"Ñ
ÐBßCÑÄÐ"ß"Ñ B#
olduğundan
lim Œ
DÄ"3
B
C
"
3 #
 œ Ð"  3Ñ
B#  C #
B  C#
#
elde edilir.ú
2.4.7. Teorem: lim 0 ÐDÑ limiti var ise bu limit tektir.
DÄD!
İspat: lim 0 ÐDÑ limitinin var ve bir an için
DÄD!
lim 0 ÐDÑ œ A! ve lim 0 ÐDÑ œ A"
DÄD!
DÄD!
olduğunu kabul edelim (A! ß A" − ‚Ñ. Bu durumda
lim l0 ÐDÑ  A! l œ ! ve lim l0 ÐDÑ  A" l œ !
DÄD!
yazılır.
DÄD!
107
! Ÿ lA!  A" l œ lim lA!  A" l
DÄD!
œ lim lA!  0 ÐDÑ  0 ÐDÑ  A" l
DÄD!
Ÿ lim l0 ÐDÑ  A! l  lim l0 ÐDÑ  A" l œ !
DÄD!
DÄD!
olduğundan ilk ve son terimden
! Ÿ lA!  A" l Ÿ ! Ê lA!  A" l œ ! Ê A!  A" œ ! Ê A! œ A"
elde edilir.…
Not: i. 2.4.7. Teoremden çıkarılabilecek en önemli sonuç şudur: Limit tek
değil ise lim 0 ÐDÑ limiti yoktur.
DÄD!
Kompleks düzlemde bir D! noktasına yaklaşabilmek için sonsuz sayıda yol
vardır. 2.4.7. Teoreme göre, lim 0 ÐDÑ œ A! ise D! noktasına hangi yoldan
DÄD!
yaklaşılırsa yaklaşılsın her zaman aynı A! değeri bulunur. Dolayısıyla D!
noktasına yaklaşılan farklı iki yol için bulunan limitler farklı olursa lim 0 ÐDÑ
DÄD!
limiti yoktur deriz.
D
limitinin olup olmadığını araştırınız.
DÄ! D
2.4.8. Örnek: i. lim
Çözüm: D! œ !, 0 ÐDÑ œ
kümesinin yığılma noktasıdır.
D
D
fonksiyonunun tanım kümesi olan X œ ‚ÏÖ!×
Önce sıfıra B ekseni boyunca yaklaşalım: D œ B  3C alınırsa
lim
D
DÄ! D
œ
lim
B  3C
B
œ lim œ "
BÄ!
 3C
B
BÄ!ß Cœ! B
bulunur. Şimdi de sıfıra C ekseni boyunca yaklaşalım: D œ B  3C alınırsa
D
B  3C
3C
 3C
œ lim
œ lim œ lim
œ "
DÄ! D
CÄ!ß Bœ! B  3C
CÄ! 3C
CÄ! 3C
lim
olur. Dolayısıyla sıfıra yaklaşılan iki farklı yol için bulunan limitler farklı
D
olduğundan lim limiti yoktur.
DÄ! D
108
ii. 0 ÐDÑ œ Arg D fonksiyonunun D! negatif reel sayı veya D! œ ! olması
durumunda lim Arg D limitinin olmadığını gösteriniz.
DÄB!
Çözüm: Hatırlanacağı gibi 0 À ‚ÏÖ!× Ä ‘ß 0 ÐDÑ œ Arg D olarak yazılır.
B! negatif reel eksen üzerinde bir nokta olsun. Bu B! , ‚ÏÖ!× kümesinin bir
2.4.1. Şekil
yığılma noktasıdır. B! noktasına, 2.4.1. Şekildeki, #" eğrisi boyunca yaklaşırsak
lim 0 ÐDÑ œ lim Arg D œ 1,
DÄB!
DÄB!
## eğrisi boyunca yaklaşırsak
lim 0 ÐDÑ œ lim Arg D œ  1
DÄB!
DÄB!
bulunur. O halde, lim Arg D limiti yoktur.
DÄB!
Diğer yandan, D! œ ! iken sıfıra C-ekseninin üst yarı düzlemde kalan kısmı
boyunca yaklaştığımızda limArg D œ 1# à B-ekseninin pozitif kısmı boyunca
DÄ!
yaklaştığımızda limArg D œ ! olduğu görülür. Bu iki sonuca göre limArg D
limiti yoktur.ú
DÄ!
DÄ!
Limit ile ilgili özellikler: Aşağıdaki iki teorem, 0 ÐDÑ fonksiyonunun D!
noktasında limiti olması durumunda, D! noktasının delinmiş komşuluğundaki
davranışı hakkında bilgi vermektedir.
2.4.9. Teorem: lim 0 ÐDÑ limiti varsa D! ın öyle bir delinmiş komşuluğu
DÄD!
vardır ki bu komşulukta kalan tanım kümesine ait noktalarda 0 ÐDÑ fonksiyonu
sınırlıdır.
İspat: D! − ‚ alalım. A! − ‚ olmak üzere lim 0 ÐDÑ œ A! olsun. Bunun
DÄD!
anlamı şudur: Her &  ! ve !  lD  D! l  $ şartını sağlayan 0 ÐDÑ nin tanım
109
kümesindeki noktalar için l0 ÐDÑ  A! l  & olacak şekilde $  ! sayısı vardır.
& œ " alınırsa bu D noktaları için
l0 ÐDÑl œ l0 ÐDÑ  A!  A! l Ÿ l0 ÐDÑ  A! l  lA! l  &  lA! l
yazılır. Q œ "  lA! l denirse yukarıda belirlediğimiz, !  lD  D! l  $ şartını
sağlayan 0 ÐDÑ nin tanım kümesindeki her D için l0 ÐDÑl  Q , yani 0 ÐDÑ sınırlı
bir fonksiyon olur. D! œ _ olması durumunda da teorem doğrudur.…
2.4.10. Teorem: lim 0 ÐDÑ limiti var ve sıfırdan farklı olsun. Bu durumda
DÄD!
D! ın öyle bir delinmiş komşuluğu vardır ki bu komşulukta kalan tanım
kümesine ait noktalarda 0 ÐDÑ fonksiyonu sıfırdan farklıdır.
İspat: D! − ‚ alalım. A! − ‚ÏÖ!× olmak üzere lim 0 ÐDÑ œ A! olsun.
DÄD!
Bunun anlamı şudur: Her &  ! ve !  lD  D! l  $ şartını sağlayan 0 ÐDÑ nin
tanım kümesindeki noktalar için l0 ÐDÑ  A! l  & olacak şekilde $  ! sayısı
vardır. & œ "# lA! l alınırsa
l0 ÐDÑ  A! l 
"
lA! l
#
yazılır. Bu ise yukarıda belirlenen, !  lD  D! l  $ şartını sağlayan 0 ÐDÑ nin
tanım kümesindeki, D noktaları için 0 ÐDÑ fonksiyonunun sıfırdan farklı olması
demektir. D! œ _ olması durumunda da teorem doğrudur.…
110
2.4. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki limitlerin doğru olup olmadığını limitin tanımını kullanarak
gösteriniz.
i. limÐ#DÑ œ #
ii. lim Ð3DÑ œ  "
iii. lim ÐD  3Ñ œ !
DÄ"
iv. limÐD #  "Ñ œ !
DÄ3
vii. lim lDl œ &
DÄ$%3
DÄ3
v. lim D"
D# œ #
DÄ3
viii. lim ÐD  3Ñ œ "
DÄ3
2. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
$
"
i. lim DD"
ii. lim ÒB  3Ð#B  CÑÓ
DÄ"
DÄ"3
iv. lim Log ÐD  "Ñ
DÄ"3
cos #D
v. lim1 cosh 3D3
sinh 3D
DÄ 4
DÄ3
D"
DÄ_ D#
lim D"
DÄ_ D#
vi. lim
œ"
ix.
œ!
$
"
iii. lim 3DD"
DÄ3
#D
"
vi. lim31 //D 3
DÄ #
3. lim sinDlDl limitinin olup olmadığını araştırınız.
DÄ!
4. 2.4.5. Teoremin iii.şıkkından yararlanarak
lim /B$3C
BÄ_
limitini bulunuz.
5. lim 0 ÐDÑ œ lim0 Ð "D Ñ dir. Bunu kullanarak aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
DÄ_
i. lim /"ÎD
DÄ_
DÄ!
D # "
#
DÄ_ D $
ii. lim
D # "
DÄ_ D
iii. lim
6. 0 À E § ‚ Ä ‚ fonksiyonu verilsin. A! − ‚ olmak üzere lim 0 ÐDÑ œ A!
DÄ_
olsun. Bu durumda uygun bir < sayısı için E  ÖD À <  lDl  _× kümesinde
0 ÐDÑ fonksiyonunun sınırlı olduğunu gösteriniz.
111
2.5. Kompleks Fonksiyonların Sürekliliği:
Bu başlık altında, önce kompleks düzlemdeki keyfi bir küme üzerinde
sürekli fonksiyonun tanımı verilecek daha sonra da bu fonksiyonların bazı
özellikleri incelenecektir.
2.5.1. Tanım: E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ bir fonksiyon ve D! − E
olsun. Her &  ! ve lD  D! l  $ şartını sağlayan her D − E için
l0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñl  & olacak şekilde $ œ $ Ð&ß D! Ñ  ! sayısı varsa 0 ÐDÑ
fonksiyonu D! noktasında süreklidir denir.
Sürekliliğin tanımı şu şekilde de verilebilir: E § ‚ olmak üzere
0 À E Ä ‚ bir fonksiyon ve D! − E olsun. Her &  ! için
0 ÐE  HÐD! à $ ÑÑ § HÐ0 ÐD! Ñà &Ñ
olacak şekilde $ œ $ Ð&ß D! Ñ  ! sayısı varsa 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında
süreklidir denir.
2.5.2. Tanım: 0 ÐDÑ fonksiyonu verilen bir D! noktasında sürekli
olmuyorsa, 0 ÐDÑ fonksiyonuna D! noktasında sürekli değildir denir. Bu D!
noktasına da fonksiyonun süreksiz olduğu nokta veya süreksizlik noktası adı
verilir.
0 À E Ä ‚ fonksiyonunun D! − E noktasında sürekliliğini incelerken bu
noktanın E nın yığılma noktası olup olmamasına göre irdeleme yaparız.
1. E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ bir fonksiyon ve D! − E, E nın yığılma
noktası olsun. Bu durumda 0 À E Ä ‚ fonksiyonunun D! noktasında sürekli
olması limit yardımı ile
lim 0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ
DÄD!
eşitliği ile verilir. Bu eşitlik aşağıdaki üç şartı kapsamaktadır:
i. 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında tanımlıdır.
ii. lim 0 ÐDÑ limiti vardır.
DÄD!
iii. lim 0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ dır.
DÄD!
112
Açık olarak, bu üç şarttan en az biri sağlanmazsa 0 fonksiyonu D! noktasında
sürekli değildir.
2. E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ bir fonksiyon ve D! − E, E nın yığılma
noktası olmasın. Bu durumda 0 ÐDÑ fonksiyonu, açık olarak, D! noktasında
sürekli olur. Şimdi bunu gösterelim: D! − E, E nın yığılma noktası
olmadığından HÐD! à $ Ñ  E œ ÖD! × olacak şekilde $  ! sayısı bulunur. Buna
göre
0 ÐHÐD! à $ Ñ  EÑ œ 0 ÐÖD! ×Ñ œ Ö0 ÐD! Ñ× § HÐ0 ÐD! Ñà &Ñ
olur. Bu ise 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında sürekli olması demektir.
2.5.3. Tanım: 0 À E Ä ‚ fonksiyonu W § E kümesinin her noktasında
sürekli ise 0 ÐDÑ fonksiyonuna W kümesinde süreklidir denir. Eğer, 0 ÐDÑ
fonksiyonu E kümesinde, yani tanım kümesinde, sürekli ise 0 ÐDÑ fonksiyonuna
sürekli fonksiyon adı verilir.
2.5.4. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonu D! œ $ noktasında sürekli midir?
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesi ‚ dir. D! œ $ − ‚ ve D! , ‚ nin
bir yığılma noktasıdır.
lim0 ÐDÑ œ limD # œ * œ 0 Ð$Ñ
DÄ$
DÄ$
olduğundan 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonu D! œ $ noktasında süreklidir.
ii. 0 ÐDÑ œ
D # %
D#
fonksiyonu hangi noktalarda süreklidir?
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesi X œ ‚ÏÖ#× dir. D! − ‚ÏÖ#×
alınırsa D! ß ‚ÏÖ#× nin bir yığılma noktası olur.
D#  %
œ D!  # œ 0 ÐD! Ñ
DÄD! D  #
lim 0 ÐDÑ œ lim
DÄD!
olduğundan verilen 0 ÐDÑ fonksiyonu D! − ‚ÏÖ#× noktasında süreklidir. Bu
nokta keyfi olduğundan 0 ÐDÑ fonksiyonu ‚ÏÖ#× kümesinde süreklidir.
iii. 0 À ÖD À lDl  "×  Ö%  &3× Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonunun sürekli
olduğu noktaların kümesini yazınız.
113
Çözüm: E œ ÖD À lDl  "×ß ve F œ Ö%  &3× olarak alınırsa fonksiyonun
tanım kümesi X œ E  F olur. D! − Eß X tanım kümesinin bir elemanı ve aynı
zamanda yığılma noktasıdır.
lim 0 ÐDÑ œ D!# œ 0 ÐD! Ñ
DÄD!
olduğundan 0 ÐDÑ fonksiyonu E kümesinde süreklidir. Diğer yandan
D! œ %  &3, X tanım kümesinin bir elemanıdır ancak, yığılma noktası değildir.
Dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreklidir. O halde verilen 0 ÐDÑ œ D # ,
X œ ÖD À lDl  "×  Ö%  &3× kümesinde sürekli bir fonksiyondur.
iv. 0 ÐDÑ fonksiyonu
0 ÐDÑ œ œ
Dß
!ß
D Á"3
D œ"3
olarak veriliyor. Bu fonksiyon D! œ "  3 noktasında sürekli midir?
Çözüm: D! œ "  3ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesi olan ‚ nin
elemanı ve aynı zamanda yığılma noktasıdır.
lim 0 ÐDÑ œ "  3 Á ! œ 0 Ð"  3Ñ
DÄ"3
olduğundan 0 ÐDÑ fonksiyonu D! œ "  3 noktasında sürekli değildir.
v. 0 ÐDÑ œ Arg D fonksiyonunun negatif reel eksen üzerinde sürekli
olmadığını, E œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !× kümesinde ise sürekli
olduğunu gösteriniz. Ayrıca, 0 À ÖD À !  arg D Ÿ #1× Ä ‘ß 0 ÐDÑ œ arg D
fonksiyonunun sürekli olduğu küme hakkında ne söylersiniz?
Çözüm: Hatırlanacağı gibi 0 À ‚ÏÖ!× Ä ‘ß 0 ÐDÑ œ Arg D olarak yazılır.
B! negatif reel eksen üzerinde bir nokta olsun. 2.4.8. Örnekte lim Arg D
DÄB!
limitinin olmadığını gördük. Bu da 0 ÐDÑ œ Arg D fonksiyonunun B! noktasında
sürekli olmaması demektir. B! negatif reel eksen üzerinde keyfi bir nokta
olduğundan bu eksen üzerinde 0 ÐDÑ œ Arg D fonksiyonu sürekli değildir.
‚ÏÖ!× kümesinin negatif reel eksen üzerinde olmayan noktalarından oluşan
E œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
kümesini gözönüne alalım. D! − E için
114
lim Arg D œ Arg D!
DÄD!
olduğundan, 0 ÐDÑ œ Arg D fonksiyonu E kümesinde süreklidir.
Diğer yandan benzer düşünce ile !  arg D Ÿ #1 olmak üzere 0 ÐDÑ œ arg D
fonksiyonunun
E œ ‚ÏÖB  3C À B !ß C œ !×
kümesinde sürekli olduğu görülür.ú
Sürekli fonksiyonlar ile işlemler: Şimdi de sürekli fonksiyonlar ile
yapılabilen bazı işlemleri vereceğiz.
2.5.5. Teorem: 0 À E Ä ‚ ve 1 À E Ä ‚ fonksiyonları D! − E noktasında
sürekli olsun. Bu durumda
i. 0 ÐDÑ  1ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında süreklidir.
ii. 0 ÐDÑ1ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında süreklidir.
ÐDÑ
iii. 1ÐD0 Ñ Á ! olmak üzere 01ÐDÑ
fonksiyonu D! noktasında süreklidir.
iv. ReÒ0 ÐDÑÓ ve ImÒ0 ÐDÑÓ fonksiyonları D! noktasında süreklidir.
v. l0 ÐDÑl fonksiyonu D! noktasında süreklidir.
İspat: D! − Eß E nın yığılma noktası değilse teoremin doğru olacağı
açıktır. O halde ispatı, D! − Eß E nın yığılma noktası olması durumu için
yapmamız gerekir. i.şıkkın ispatını vereceğiz. Diğer şıklar benzer şekilde
gösterilebilir.
i. 2.4.4. Teoreme göre
lim Ò0 ÐDÑ  1ÐDÑÓ œ lim 0 ÐDÑ  lim 1ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ  1ÐD! Ñ
DÄD!
DÄD!
DÄD!
yazılır. Yani 0  1 fonksiyonu, D! noktasında süreklidir.…
Şunuda belirtelim ki, 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ fonksiyonları W § E kümesinde sürekli
ise 2.5.4. Teorem, W § E kümesi için de doğrudur.
2.5.6. Teorem: i. 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında sürekli olması için
gerek ve yeter şart 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında sürekli olmasıdır.
ii. 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart
Re0 ÐDÑ ve Im0 ÐDÑ fonksiyonlarının D! noktasında sürekli olmasıdır.
115
İspat: 2.4.5. Teorem kullanılarak ispat yapılır.…
Bilindiği gibi, 0 ÐDÑ fonksiyonunu, D œ B  3C olmak üzere, reel
değişkenler cinsinden 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ şeklinde yazılabilir. 2.5.6.
Teoremin ii.şıkkına göre ?ÐBß CÑ fonksiyonu E" § ‚ kümesinde, @ÐBß CÑ
fonksiyonu E# § ‚ kümesinde sürekli ise E"  E# Á g olmak üzere
0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ fonksiyonu E œ E"  E# kümesinde sürekli olur.
Böylece, iki değişkenli fonksiyonlar yardımı ile kompleks fonksiyonların
sürekliliği incelenebilir.
2.5.7. Örnek: 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi
bulunuz.
Çözüm: Logaritmanın esas değerinin tanımından Log D œ ln lDl  3Arg D
olup 0 ÐDÑ œ ln lDl  3Arg D fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi bulacağız.
2.5.6. Teoremin ii.şıkkına göre 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonu 2" ÐDÑ œ lnlDl ve
2# ÐDÑ œ Arg D fonksiyonlarının sürekli olduğu kümelerin arakesitinde
süreklidir. 2" ÐDÑ œ lnlDl fonksiyonunun sürekli olduğu küme E" œ ‚ÏÖ!×à
2# ÐDÑ œ Arg D fonksiyonunun sürekli olduğu küme de, 2.4.5. Örneğin v.şıkkına
göre, E# œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !× dır. O halde 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonu
E œ E"  E# œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
kümesinde süreklidir.ú
2.5.8. Teorem: 0 À E Ä ‚ ve 1 À F Ä ‚ iki fonksiyon, 0 ÐEÑ § F olsun.
0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında ve 1ÐDÑ fonksiyonu da A! œ 0 ÐD! Ñ noktasında
sürekli ise Ð190 ÑÐDÑ fonksiyonu D! noktasında sürekli olur.
İspat: A œ 0 ÐDÑ diyelim. 1ÐDÑ fonksiyonu 0 ÐD! Ñ da sürekli olduğundan her
&  ! ve lA  A! l  $" özelliğindeki her A − F için l1ÐAÑ  1ÐA! Ñl  &
olacak şekilde $"  ! sayısı vardır. Diğer yandan 0 ÐDÑ fonksiyonu D!
noktasında sürekli olduğundan &"  ! ve lD  D! l  $ özelliğindeki her D − E
için l0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñl  &" olacak şekilde $  ! sayısı vardır. &" œ $"
düşünülürse, her &  ! ve lD  D! l  $ özelliğindeki her D − E için
lÐ190 ÑÐDÑ  Ð190 ÑÐD! Ñl œ l1Ð0 ÐDÑÑ  1Ð0 ÐD! ÑÑl  &
yazılır. Bu da Ð190 ÑÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında sürekli olması demektir.…
2.5.8. Teoremin bir sonucu olarak, 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ sürekli fonksiyonlar ise
Ð190 ÑÐDÑ ninde sürekli fonksiyon olduğu söylenir.
116
2.5.9. Örnek: i. 2ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ tüm düzlemde sürekli
fonksiyon olmak üzere 0 ÐDÑ œ Arg 2ÐDÑ fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi
bulunuz. Bundan yararlanarak 0 ÐDÑ œ Arg Ð#D  "Ñ fonksiyonunun sürekli
olduğu küme hakkında ne söylersiniz?
Çözüm: 0" ÐDÑ œ Arg D ve 0# ÐDÑ œ 2ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ denirse
0 œ 0" 90# yazılır. 0" ÐDÑ œ Arg D fonksiyonunun E" œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß
C œ !× kümesinde sürekli olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla 2 fonksiyonu altında
ÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !× œ Ð  _ß !Ó kümesine dönüşen noktalarda 0 œ 0" 90#
fonksiyonu sürekli olamaz. 2 fonksiyonu altında Ð  _ß !Ó kümesine dönüşen
noktaların kümesi ÖB  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !× şeklindedir. O halde,
0 ÐDÑ œ Arg 2ÐDÑ fonksiyonu
E œ ‚ÏÖB  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !×
kümesinde süreklidir.
2ÐDÑ œ #D  " fonksiyonu tüm düzlemde süreklidir. D œ B  3C için
2ÐDÑ œ Ð#B  "Ñ  #3C
yazılır.
Dolayısıyla
0 ÐDÑ œ Arg Ð#D  "Ñ
fonksiyonunun sürekli olduğu küme
"
E œ ‚ÏÖB  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !× œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ  ß C œ !×
#
olarak bulunur.
ii. 2ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ tüm düzlemde sürekli fonksiyon olmak üzere
0 ÐDÑ œ LogÒ2ÐDÑÓ fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi bulunuz. Bundan
yararlanarak 0 ÐDÑ œ Log D # fonksiyonunun sürekli olduğu küme hakkında ne
söylersiniz?
Çözüm: 0" ÐDÑ œ Log D ve 0# ÐDÑ œ 2ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ denirse
0 œ 0" 90# yazılır. 0" ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun E" œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß
C œ !× kümesinde sürekli olduğunu biliyoruz. i.şıktaki düşünceye benzer
olarak, 0 ÐDÑ œ Log 2ÐDÑ fonksiyonunun
E œ ‚ÏÖB  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !×
kümesinde sürekli olduğu söylenir.
117
2ÐDÑ œ D # fonksiyonu tüm kompleks düzlemde süreklidir. D œ B  3C için
2ÐDÑ œ ÐB#  C# Ñ  #3BC
yazılır.
?ÐBß CÑ œ B#  C# ß
@ÐBß CÑ œ #BC
#
olduğundan 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun sürekli olduğu küme
E œ ‚ÏÖB  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !×
œ ‚ÏÖB  3C À B#  C# Ÿ !ß #BC œ !×
œ ‚ÏÖB  3C À B œ !ß C − ‘×
olarak bulunur.ú
Sürekli fonksiyonlar ile ilgili özellikler: Bir fonksiyon sürekli ise bu
fonksiyonun sağladığı bazı özellikler vardır. Şimdi bu özellikleri inceleyeceğiz
ve gerekli gördüklerimizin ispatını vereceğiz.
2.5.10. Teorem: 0 À E § ‚ Ä ‚ fonksiyonu verilsin. 0 fonksiyonunun E
kümesinde sürekli olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki şartlardan birinin
sağlanmasıdır:
i. Herhangi bir Y § ‚ açık kümesi için 0 " ÐY Ñ § E kümesi açıktır.
ii. Herhangi bir O § ‚ kapalı kümesi için 0 " ÐOÑ § E kümesi kapalıdır.
Bu teoremin i.şıkkı, açık bir kümenin sürekli bir dönüşüm altındaki ters
görüntüsünün açık olduğunu vurgulamaktadır. Doğal olarak, "Sürekli bir
dönüşüm altında açık bir kümenin görüntüsü açık mıdır?" sorusu akla gelir.
Buna verilecek cevap, açık bir kümenin sürekli bir dönüşüm altındaki
görüntüsünün açık olması gerekmediğidir. Örneğin, D œ B  3C olmak üzere
0 À ‚ Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ B fonksiyonu ‚ kompleks sayılar kümesinde süreklidir,
E œ ÖD À lDl  "× § ‚ açık kümesi için 0 ÐEÑ œ Ð  "ß "Ñ § ‘ olup Ð  "ß "Ñ
aralığı, ‚ kompleks sayılar kümesinde açık küme değildir.
Bazı fonksiyonlar açık kümeleri açık kümelere dönüştürür. İlerideki
konularda göreceğimiz analitik fonksiyonlar böyle fonksiyonlardır. Açık
kümeleri açık kümelere dönüştüren fonksiyona açık fonksiyon adı verilir.
2.5.11. Teorem: 0 À E § ‚ Ä ‚ sürekli bir fonksiyon ve G , E nın
bağlantılı bir altkümesi olsun. Bu durumda 0 ÐGÑ de bağlantılı bir kümedir.
İspat: Bir an için 0 ÐGÑ nin bağlantısız olduğunu kabul edelim. O halde, i.
Y  Z œ gß ii. 0 ÐGÑ  Y Á g ve 0 ÐGÑ  Z Á g, iii. 0 ÐGÑ § Y  Z olacak
şekilde ‚ de Y ve Z açık kümeleri vardır. 0 fonksiyonu sürekli, Y ve Z
kümeleri açık olduğundan, 2.5.10. Teoremin i.şıkkına göre, 0 " ÐY Ñß 0 " ÐZ Ñ
kümeleri de açıktır. i.şıkka göre 0 " ÐY Ñ  0 " ÐZ Ñ œ gà ii.şıkka göre
118
0 " ÐY Ñ  G Á g ve 0 " ÐZ Ñ  G Á g; iii.şıkka göre de G § 0 " ÐY Ñ  0 " ÐZ Ñ
olur. Bu durumda 1.9.11. Tanıma göre G bağlantısızdır. Bu ise, hipotezde, G
nin bağlantılı verilişi ile çelişir. Bu çelişki 0 ÐGÑ nin bağlantısız olduğunu
kabulden meydana geldi. O halde 0 ÐGÑ bağlantılıdır.…
2.5.12. Teorem: 0 À E § ‚ Ä ‚ sürekli bir fonksiyon ve O , E nın kapalı
ve sınırlı bir altkümesi olsun. Bu durumda 0 ÐOÑ da kapalı ve sınırlı bir
kümedir.
2.5.12. Teoremde değer kümesi olarak ‘ reel sayılar kümesi alınırsa
Analiz derslerinde sürekli fonksiyonlar için gördüğümüz, "0 À Ò+ß ,Ó Ä ‘
fonksiyonu Ò+ß ,Ó aralığında sürekli ise 0 fonksiyonu bu aralıkta en az bir
maksimum en az bir de minimum değer alır." teoreminin benzerini verebiliriz:
2.5.13. Sonuç: 0 À E § ‚ Ä ‘ sürekli bir fonksiyon ve O , E nın kapalı
ve sınırlı bir altkümesi olsun. Bu durumda O daki her D için
0 ÐD" Ñ Ÿ 0 ÐDÑ Ÿ 0 ÐD# Ñ olacak şekilde D" ß D# − O elemanları vardır. Bir başka
deyişle, O kapalı ve sınırlı kümesine kısıtlanan 0 fonksiyonu bu küme üzerinde
maksimum ve minimum değer alır.
2.5.14. Sonuç: 0 À E § ‚ Ä ‚ sürekli bir fonksiyon ve O , E nın kapalı
ve sınırlı bir altkümesi olsun. O kapalı ve sınırlı kümesine kısıtlanan l0 l
fonksiyonu bu küme üzerinde maksimum ve minimum değer alır.
Kompleks düzlemde kapalı ve sınırlı kümeye kompakt küme denir. Ancak
daha genel topolojik uzaylar için bu tanımlama doğru değildir.
119
2.5. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki her bir fonksiyonun karşısında verilen noktada sürekli olup
olmadığını araştırınız.
i. 0 ÐDÑ œ /D ß D! œ !
ii. 0 ÐDÑ œ sin Dß D! œ 1
D
D # *
ß DÁ!
ß
D
Á
$3
iii. 0 ÐDÑ œ œ D$3
, D! œ $3 iv. 0 ÐDÑ œ œ D
ß D! œ !
!ß D œ !
'3ß D œ $3
2. Aşağıdaki her bir fonksiyonun sürekli olduğu kümeleri yazınız.
D
D
i. 0 ÐDÑ œ Arg
ii. 0 ÐDÑ œ / D"
iii. 0 ÐDÑ œ /"ÎD
D"
Arg
D
"
Re D
iv. 0 ÐDÑ œ DlDl
v. 0 ÐDÑ œ Im D
vi. 0 ÐDÑ œ D3
#
3. 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi bulunuz. 2ÐDÑ œ /D  "
fonksiyonunun kompleks düzlemde sürekli olduğunu gösteriniz. Bu durumda
0 ÐDÑ œ Log 2ÐDÑ fonksiyonunun sürekli olduğu küme için ne söylersiniz?
4. 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında sürekli ise 0 ÐDÑ fonksiyonunun da bu noktada
sürekli olduğunu gösteriniz.
5. 1ÐDÑ œ 0 Ð "D Ñ olsun. Eğer 1ÐDÑ fonksiyonu D! œ ! noktasında sürekli ise 0 ÐDÑ
fonksiyonu _ noktasında süreklidir denir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonların
_ noktasında sürekli olup olmadıklarını belirleyiniz.
i. 0 ÐDÑ œ "D
ii. 0 ÐDÑ œ /"ÎD
iii. 0 ÐDÑ œ D
6. D! , 0 fonksiyonunun tanım kümesinin bir iç noktası olsun. 0 fonksiyonu D!
noktasında sürekli ve 0 ÐD! Ñ Á ! ise D! ın uygun bir komşuluğunda, tanım
kümesine ait her D için 0 ÐDÑ Á ! olacağını gösteriniz.
7. D! , 0 fonksiyonunun tanım kümesinin bir iç noktası olsun. 0 fonksiyonu D!
noktasında sürekli ise D! ın uygun bir komşuluğunda, tanım kümesine ait her D
için 0 ÐDÑ fonksiyonunun sınırlı olacağını gösteriniz.
120
2.6. Kompleks Fonksiyonların Türevi:
Bu başlık altında kompleks fonksiyonların türevinin tanımı verilerek bazı
özellikleri incelenecektir. E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ bir fonksiyon ve
D! − E, E nın bir iç noktası olsun. Bu durumda
1ÐDÑ œ
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
D  D!
fonksiyonun tanım kümesi X œ EÏÖD! × ve D! ß X nin yığılma noktasıdır. Bu
hazırlıktan sonra aşağıdaki tanımı verebiliriz.
2.6.1. Tanım: E § ‚ olmak üzere 0 À E Ä ‚ bir fonksiyon ve D! , E nın
bir iç noktası olsun. Eğer
lim
DÄD!
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
D  D!
limiti varsa 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında diferensiyellenebilir (veya
.0
türevlenebilir) denir. Bu limitin değeri 0 w ÐD! Ñ veya
ÐD! Ñ ile gösterilir ve
.D
buna 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasındaki türevi adı verilir.
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
limiti yoksa 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında
D  D!
diferensiyellenemez (veya türevlenemez) diyeceğiz.
Eğer lim
DÄD!
2.6.1. Tanıma göre, 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında türevi varsa,
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
DÄD!
D  D!
0 w ÐD! Ñ œ lim
yazılır. Bu formülde 2 œ D  D! alınarak 0 fonksiyonunun D! noktasındaki
türevi için
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
2Ä!
2
0 w ÐD! Ñ œ lim
formülü de yazılır.
121
2.6.2. Örnek: 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonunun D! œ # noktasındaki türevini
bulunuz.
Çözüm: X œ ‚, 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonunun tanım kümesidir. D! œ #,
içX œ ‚ nin bir iç noktasıdır. Türevin tanımından
0 Ð#  2Ñ  0 Ð#Ñ
Ð#  2Ñ#  %
%2  2#
œ lim
œ lim
œ%
2Ä!
2Ä!
2Ä!
2
2
2
0 w Ð#Ñ œ lim
bulunur.ú
2.6.1. Tanım gözönüne alındığındaß 0 À E Ä ‚ fonksiyonunun tanım
kümesindeki
noktaları
fonksiyonunun
diferensiyellenebildiği
ve
diferensiyellenemediği noktalar diye iki kümeye ayırabiliriz. Bunları, sırasıyla,
F" ve F# ile gösterirsek F"  F# œ g ve E œ F"  F# olacağı açıktır. F" œ g
ise 0 ÐDÑ fonksiyonu E kümesinin hiç bir noktasında diferensiyellenemez.
F# œ g ise 0 ÐDÑ fonksiyonu E kümesinin her noktasında diferensiyellenebilir.
Hem F" Á g hem de F# Á g olabilir. F" Á g olmak üzere,
0 ÐD  2Ñ  0 ÐDÑ
2Ä!
2
0 w À F" Ä ‚ß 0 w ÐDÑ œ lim
fonksiyonunu tanımlayabiliriz. Buna 0 ÐDÑ fonksiyonunun türev fonksiyonu
veya kısaca 0 ÐDÑ fonksiyonunun türevi adı verilir. Eğer 0 ÐDÑ fonksiyonunun
türevi bilinirse, diferensiyellenebildiği bir D! noktasındaki türevi, D yerine D!
alınarak elde edilen 0 w ÐD! Ñ değeridir.
2.6.3. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Türevin tanımını kullanarak
0 ÐD  2Ñ  0 ÐDÑ
ÐD  2Ñ  D
œ lim
œ"
2Ä!
2Ä!
2
2
0 w ÐDÑ œ lim
bulunur. 0 w À ‚ Ä ‚ß 0 w ÐDÑ œ " olur.
ii. 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Türevin tanımından
0 ÐD  2Ñ  0 ÐDÑ
ÐD  2Ñ#  D #
#2D  2#
œ lim
œ lim
œ #D
2Ä!
2Ä!
2Ä!
2
2
2
0 w ÐDÑ œ lim
122
olarak bulunur. (2.6.2. Örnekte 0 w Ð#Ñ œ % olarak bulunmuştu. Burada da D œ #
için aynı sonucun bulunacağına dikkat ediniz.)
iii. 0 ÐDÑ œ D fonksiyonunun türevi olup olmadığını araştırınız.
Çözüm: Türevin tanımını kullanacağız.
0 ÐD  2Ñ  0 ÐDÑ
ÐD  2Ñ  D
2
œ lim
œ lim
2Ä!
2Ä!
2Ä! 2
2
2
0 w ÐDÑ œ lim
bulunur. 2 œ <  3= diyelim. Sıfıra, reel eksen boyunca yaklaşırsak
2
<  3=
<
œ lim
œ lim œ "
<Ä ! <  3=
<Ä ! <
2Ä! 2
=œ!
=œ!
lim
ve imajiner eksen boyunca yaklaşırsak
2
<  3=
 3=
œ lim
œ lim
œ "
=Ä ! <  3=
=Ä ! 3=
2Ä! 2
<œ!
<œ!
lim
bulunur. O halde ‚ nin hiç bir noktasında
0 ÐD  2Ñ  0 ÐDÑ
2Ä!
2
lim
limiti yoktur. Yani, 0 ÐDÑ œ D fonksiyonu ‚ nin hiç bir noktasında
türevlenemez.ú
Fonksiyonun türevinin limit yardımıyla tanımlanabildiğini yukarıda
gördük. Süreklilik ile türev arasındaki ilişki ise aşağıdaki teoremde verilmiştir.
2.6.4. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında diferensiyellenebilirse,
0 ÐDÑ fonksiyonu bu noktada süreklidir.
İspat: 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında diferensiyellenebildiğinden D! , 0 ÐDÑ
fonksiyonunun tanım kümesinin bir iç noktası olup aynı zamanda yığılma
noktasıdır. Bu noktadaki sürekliği göstermek için lim 0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ olduğunu
DÄD!
göstermek yeterlidir. Hipotezde
diferensiyellenebildiği verildiğinden
0 ÐDÑ
fonksiyonunun
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
œ 0 w ÐD! Ñ
DÄD!
D  D!
lim
D!
noktasında
123
yazılır. Ayrıca
lim 0 ÐD! Ñ œ 0 ÐD! Ñ ve lim ÐD  D! Ñ œ !
DÄD!
DÄD!
olduğundan
lim ”ÐD  D! Ñ
DÄD!
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
lim ÐD  D! Ñ lim
œ!
• œ DÄD
DÄD!
D  D!
D  D!
!
bulunur. Buna göre, limit ile ilgili özellikler gözönüne alınarak,
lim 0 ÐDÑ œ lim ”0 ÐD! Ñ  ÐD  D! Ñ
DÄD
DÄD
!
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
•
D  D!
!
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
œ lim 0 ÐD! Ñ  lim ”ÐD  D! Ñ
•
DÄD!
DÄD!
D  D!
œ 0 ÐD! Ñ  ! † 0 w ÐD! Ñ
œ 0 ÐD! Ñ
elde edilir. Dolayısıyla, 0 ÐDÑ fonkiyonu D! noktasında sürekli olur. …
Not: i. 2.6.4. Teoremden çıkarılabilecek en önemli sonuç şudur: 0 ÐDÑ
fonksiyonu bir noktada sürekli değilse o noktada türevlenemez.
ii. 2.6.4. Teoremden, 0 ÐDÑ fonksiyonunun sürekli olduğu bir noktada
diferensiyellenebildiği sonucu çıkarılamaz. Örneğin, 0 ÐDÑ œ D fonksiyonu ‚ de
sürekli olmasına rağmen, 2.6.3. Örnekte gösterildiği gibi, hiç bir noktada türevi
yoktur.
Türev alma kuralları: Şimdi kompleks fonksiyonların türevlerini pratik
olarak hesaplamak için kurallar vereceğiz.
2.6.5. Teorem: 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ, D! noktasında diferensiyellenebilen iki
fonksiyon olsun. 0 ÐDÑ  1ÐDÑß 0 ÐDÑ1ÐDÑ ve 1ÐD! Ñ Á ! olmak üzere 0 ÐDÑÎ1ÐDÑ
fonksiyonları da D! noktasında diferensiyellenebilir. Bu durumda
i. Ð0  1Ñw ÐD! Ñ œ 0 w ÐD! Ñ  1w ÐD! Ñß
ii. Ð0 1Ñw ÐD! Ñ œ 0 w ÐD! Ñ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1w ÐD! Ñß
iii.
0
0 w ÐD! Ñ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1w ÐD! Ñ
Œ  ÐD! Ñ œ
1
Ò1ÐD! ÑÓ#
w
şeklindedir.
124
İspat: ii. 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ, D! noktasında diferensiyellenebilen fonksiyon
olduklarından bu noktada süreklidirlerÞ Bunun sonucunda lim 0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ ve
DÄD!
lim 1ÐDÑ œ 1ÐD! Ñ yazılır. Türevin tanımını kullanarak
DÄD!
0 ÐDÑ1ÐDÑ  0 ÐD! Ñ1ÐD! Ñ
DÄD!
D  D!
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
1ÐDÑ  1ÐD! Ñ
œ lim ”
1ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
•
DÄD!
D  D!
D  D!
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
1ÐDÑ  1ÐD! Ñ
œ lim
lim 1ÐDÑ  lim 0 ÐD! Ñ lim
DÄD!
DÄD!
DÄD!
DÄD!
D  D!
D  D!
w
w
œ 0 ÐD! Ñ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1 ÐD! Ñ
Ð0 1Ñw ÐD! Ñ œ lim
bulunur.
iii. ii.şıkka benzer şekilde
0
lim
Œ  ÐD! Ñ œ DÄD
1
!
w
0 ÐDÑ
1ÐDÑ

0 ÐD! Ñ
1ÐD! Ñ
D  D!
0 ÐDÑ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1ÐDÑ
"
œ lim ”
•
DÄD!
D  D!
1ÐD! Ñ1ÐDÑ
0 ÐDÑ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1ÐDÑ
œ lim ”
•
DÄD!
ÐD  D! Ñ1ÐD! Ñ1ÐDÑ
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ 1ÐD! Ñ
1ÐDÑ  1ÐD! Ñ 0 ÐD! Ñ
œ lim ”

•
DÄD!
D  D!
1ÐD! Ñ1ÐDÑ
D  D!
1ÐD! Ñ1ÐDÑ
0 w ÐD! Ñ1ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñ1w ÐD! Ñ
œ
Ò1ÐD! ÑÓ#
elde edilir.…
2.6.6. Teorem: i. 0 ÐDÑ œ - sabit fonksiyonu için 0 w ÐDÑ œ ! dır.
ii. 8 sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere 0 ÐDÑ œ D 8 fonksiyonu için
0 w ÐDÑ œ 8D 8" dir.
İspat: i. Türevin tanımından
0 ÐD  2Ñ  0 ÐDÑ
-œ lim
œ!
2Ä!
2Ä! 2
2
0 w ÐDÑ œ lim
olduğu görülür.
125
ii. 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere
0 ÐD  2Ñ  0 ÐDÑ
2
ÐD  2Ñ8  D 8
œ
2
ÐD  2  DÑÒÐD  2Ñ8"  ÐD  2Ñ8# D  â  D 8" Ñ
œ
2
œ 8D 8"
0 w ÐDÑ œ lim
2Ä!
elde edilir.
D Á ! olmak üzere 8 negatif tam sayısı için 0 ÐDÑ œ
durumda, 2.6.5. Teoremin iii.şıkkına göre,
0 w ÐDÑ œ
"
D 8
yazılır. Bu
 Ð  8ÑD 8"
œ 8D 8"
#8
D
bulunur.…
Burada şu noktayı da hatırlatmalıyız ki, + bir tam sayı değilse 0 ÐDÑ œ D +
çok değerli bir fonksiyondur. Bu durumdaß 0 ÐDÑ nin tek değerli olduğu ve
diferensiyellenebildiği bir kümedeki türevi
0 w ÐDÑ œ +D +"
olur.
2.6.7. Örnek: Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
#
"
i. 0 ÐDÑ œ D (
ii. 0 ÐDÑ œ #DD"
iii. 0 ÐDÑ œ ÈD
Çözüm: i. 0 w ÐDÑ œ (D ' olur.
ii. Bölümün türevine göre
0 w ÐDÑ œ
yazılır.
%DÐD  "Ñ  Ð#D #  "Ñ
ÐD  "Ñ#
iii. Bilindiği gibi 0 ÐDÑ œ ÈD çok değerli bir fonksiyondur. Bu
fonksiyonun tek değerli olduğu ve diferensiyellenebildiği bir kümedeki türevi
126
0 w ÐDÑ œ
"
#È D
dir.ú
Türev hesaplamalarında çok önemli bir yere sahip olan ve zincir kuralı
olarak bilinen türev alma kuralı aşağıdaki teoremde verilmiştir.
2.6.8. Teorem (Zincir Kuralı): 0 À E Ä ‚ ve 1 À F Ä ‚ iki fonksiyon,
0 ÐEÑ § F olsun. 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında ve 1ÐDÑ fonksiyonu da
A! œ 0 ÐD! Ñ noktasında diferensiyellenebilir ise Ð190 ÑÐDÑ fonksiyonu D!
noktasında diferensiyellenebilir ve
Ð190 Ñw ÐD! Ñ œ 1w ÐA! Ñ0 w ÐD! Ñ
dır.
İspat: J À E Ä ‚ ve K À F Ä ‚ fonksiyonlarını
J ÐDÑ œ 
0 ÐDÑ0 ÐD! Ñ
ß
DD!
w
0 ÐD! Ñß
D Á D!
D œ D!
ve
KÐAÑ œ 
1ÐAÑ0 ÐA! Ñ
ß
AA!
w
1 ÐA! Ñß
A Á A!
A œ A!
olarak tanımlayalım.
lim J ÐDÑ œ lim
DÄD!
DÄD!
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
œ 0 w ÐD! Ñ œ J ÐD! Ñ
D  D!
olduğundan J ß D! noktasında süreklidir. Benzer şekilde, K fonksiyonunun da
A! noktasında sürekli olduğu gösterilebilirÞ Bunun sonucunda K90 de D!
noktasında sürekli olur. D Á D! olmak üzere E daki D için
190 ÐDÑ  190 ÐD! Ñ
1Ò0 ÐDÑÓ  1Ò0 ÐD! ÑÓ
œ
D  D!
D  D!
œ
1Ò0 ÐDÑÓ1ÐA! Ñ 0 ÐDÑ0 ÐD! Ñ
ß
0 ÐDÑA!
DD!
!ß
œ KÒ0 ÐDÑÓJ ÐDÑ
yazılır. Buradan da
0 ÐDÑ Á A!
0 ÐDÑ œ A!
127
190 ÐDÑ  190 ÐD! Ñ
DÄD!
D  D!
œ lim KÒ0 ÐDÑÓJ ÐDÑ
Ð190 Ñw ÐD! Ñ œ lim
DÄD!
œ KÒ0 ÐD! ÑÓJ ÐD! Ñ œ 1w ÐA! Ñ0 w ÐD! Ñ
elde edilir.…
"
2.6.9. Örnek: 0 ÐDÑ œ Š #DD"
‹
#
%!
fonksiyonunun türevini bulunuz.
#D # "
D"
Çözüm: 0" ÐDÑ œ D %! ve 0# ÐDÑ œ
Burada
0"w ÐDÑ œ %!D $* ve 0#w ÐDÑ œ
denirse 0 ÐDÑ œ Ð0" 90# ÑÐDÑ dir.
%DÐD  "Ñ  Ð#D #  "Ñ
ÐD  "Ñ#
olduğundan
0"w Ð0# ÐDÑÑ œ %!Œ
#D #  "

D"
$*
yazılır. Dolayısıyla
0 w ÐDÑ œ Ð0" 90# Ñw ÐDÑ œ 0"w Ð0# ÐDÑÑ0#w ÐDÑ
#D #  "
%DÐD  "Ñ  Ð#D #  "Ñ
œ %!Œ

D"
ÐD  "Ñ#
$*
bulunur.ú
Reel değişkenlerle verilen 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ
kompleks
fonksiyonunun D! œ B!  3C! noktasındaki türevi ile bu fonksiyonun reel ve
imajiner kısımları olan ?ÐBß CÑ, @ÐBß CÑ iki değişkenli fonksiyonları arasındaki
ilişki aşağıdaki teoremde verilmiştir.
2.6.10. Teorem: 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ fonksiyonu D! œ B!  3C!
noktasında diferensiyellenebilirse bu noktada ?B ß ?C ß @B ß @C kısmi türevleri var
ve
?B ÐB! ß C! Ñ œ @C ÐB! ß C! Ñß
Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır.
?C ÐB! ß C! Ñ œ  @B ÐB! ß C! Ñ
128
İspat: 2 œ <  3= olsun. Bu durumdaß D!  2 œ ÐB!  <Ñ  3ÐC!  =Ñ ve
0 ÐD!  2Ñ œ ?ÐB!  <ß C!  =Ñ  3@ÐB!  <ß C!  =Ñ
yazılır. 0 w ÐD! Ñ mevcut olduğundan
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
2Ä!
2
lim
limiti vardır. Bu limit
lim ”
2Ä!
?ÐB!  <ß C!  =Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ
@ÐB!  <ß C!  =Ñ  @ÐB! ß C! Ñ
3
•
<  3=
<  3=
şeklinde yazılır. Dolayısıyla, 2 sıfıra hangi yönden yaklaşırsa yaklaşsın
bulunacak sonuçlar eşit olmak zorundadır. Sıfıra, < Ä !ß = œ ! boyunca
yaklaştığımızda
lim”
<Ä!
?ÐB!  <ß C! Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ
@ÐB!  <ß C! Ñ  @ÐB! ß C! Ñ
3
•
<
<
limiti de vardır ve yukarıdaki limite eşittir. Limit konusundan bilyoruz ki bu
limitin olması
?ÐB!  <ß C! Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ
@ÐB!  <ß C! Ñ  @ÐB! ß C! Ñ
ve lim
<Ä!
<Ä!
<
<
lim
limitlerinin olmasını gerektirir. Bunların da
lim
<Ä!
?ÐB!  <ß C! Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ
@ÐB!  <ß C! Ñ  @ÐB! ß C! Ñ
œ ?B ÐB! ß C! Ñß lim
œ @B ÐB! ß C! Ñ
<Ä!
<
<
olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla
lim”
?ÐB!  <ß C! Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ
@ÐB!  <ß C! Ñ  @ÐB! ß C! Ñ
3
•
<
<
œ ?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ
<Ä!
yazılır. Benzer şekilde sıfıra, < œ !ß = Ä ! boyunca yaklaştığımızda
0 w ÐD! Ñ œ lim ”
=Ä !
<œ!
?ÐB! ß C!  =Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ
@ÐB! ß C!  =Ñ  @ÐB! ß C! Ñ
3
•
3=
3=
œ @C ÐB! ß C! Ñ  3?C ÐB! ß C! Ñ
129
bulunur. O halde, D! œ B!  3C! noktasında ?B ß ?C ß @B ß @C kısmi türevleri
vardır. Yine hipoteze göre 0 w ÐD! Ñ mevcut olduğundan, bulunan limitlerin eşit
olması gerekeceğinden,
?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ œ @C ÐB! ß C! Ñ  3?C ÐB! ß C! Ñ
yazılır. Bu ise
?B ÐB! ß C! Ñ œ @C ÐB! ß C! Ñß
?C ÐB! ß C! Ñ œ  @B ÐB! ß C! Ñ
olması, yani Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanması demektir. …
Not: i. Aslında, 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ olmak üzere Cauchy-Riemann
denklemleri denildiğinde
?B ÐBß CÑ œ @C ÐBß CÑ
œ ? ÐBß CÑ œ  @ ÐBß CÑ
C
B
denklem sistemi anlaşılmalıdır. Cauchy-Riemann
D! œ B!  3C! noktasında sağlanması demek
?B ÐB! ß C! Ñ œ @C ÐB! ß C! Ñß
denklemlerinin
bir
?C ÐB! ß C! Ñ œ  @B ÐB! ß C! Ñ
olması demektir. Bu iki eşitlikten en az birisi gerçeklenmezse D! œ B!  3C!
noktasında Cauchy-Riemann denklemleri sağlanmaz denir.
ii.
2.6.10.Teoreme
göre
0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ
fonksiyonu
D! œ B!  3C! noktasında diferensiyellenebilirse bu noktada Cauchy-Riemann
denklemleri sağlanır. Bir başka deyişle, 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ fonksiyonu
D! œ B!  3C! noktasında diferensiyellenebilirse D! œ B!  3C! , CauchyRiemann denklem sistemi için bir çözüm olur.
iii. 2.6.10.Teoreme göre, D! œ B!  3C! noktasında Cauchy-Riemann
denklemleri sağlanmazsa 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ fonksiyonu D! œ B!  3C!
noktasında diferensiyellenemez. Bunu, bir fonksiyonun bir noktada türevinin
olmaması kuralı olarak alacağız.
iv. 2.6.10. Teoremden "D! œ B!  3C! noktasında Cauchy-Riemann
denklemleri sağlanırsa 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ fonksiyonu D! œ B!  3C!
noktasında diferensiyellenebilir" sonucu çıkmaz. (Ancak, bazı kısıtlamalar
altında bunun doğruluğu gösterilecektir. Bak 2.6.13.Teorem).
2.6.11. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun D! œ #
noktasında diferensiyellenebildiği bilinmektedir. Bu noktada Cauchy-Riemann
denklemlerinin sağlandığını gösteriniz.
Çözüm: D œ B  3C olmak üzere 0 ÐDÑ œ B#  C#  #3BC olduğundan
130
?ÐBß CÑ œ B#  C# ß
@ÐBß CÑ œ #BC
?C ÐBß CÑ œ  #Cß
@B ÐBß CÑ œ #Cß
ve
?B ÐBß CÑ œ #Bß
@C ÐBß CÑ œ #B
yazılır. O halde
?B Ð#ß !Ñ œ % œ @C Ð#ß !Ñß
?C Ð#ß !Ñ œ ! œ  @B Ð#ß !Ñ
olup Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır.
ii. 0 ÐDÑ œ D fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon için, hiç bir noktada,
Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmadığını gösteriniz.
Çözüm: D œ B  3C olmak üzere 0 ÐDÑ œ B  3C olduğundan
?ÐBß CÑ œ Bß
@ÐBß CÑ œ  C
?C ÐBß CÑ œ !ß
@B ÐBß CÑ œ !ß
ve
?B ÐBß CÑ œ "ß
@C ÐBß CÑ œ  "
yazılır. O halde
?B ÐBß CÑ œ " Á  " œ @C ÐBß CÑß
?C ÐBß CÑ œ ! œ  @B ÐBß CÑ
olur. İkinci denklem her ÐBß CÑ için sağlanmasına rağmen, birinci denklemi
sağlayan hiç bir ÐBß CÑ yoktur. Dolayısıyla Cauchy-Riemann denklemleri hiç bir
yerde sağlanmaz. (Bu durumda 0 ÐDÑ œ D fonksiyonunun hiç bir yerde
diferensiyellenemeyeceğini söyleyebiliriz).
iii. D œ B  3C olmak üzere
0 ÐDÑ œ 
#B$ C $
#B# C #
$
$
C
 3 #B
#B# C # ,
!ß
DÁ!
Dœ!
fonksiyonu veriliyor. Önce D! œ ! noktasında Cauchy-Riemann denklemlerinin
sağlandığını, sonra da bu noktada fonksiyonun diferensiyellenemeyeceğini
gösteriniz.
Çözüm: Burada D Á ! olmak üzere
131
?œ
#B$  C$
ß
#B#  C#
@œ
#B$  C$
#B#  C#
ve D œ ! olmak üzere de ? œ !ß @ œ ! yazılır. Reel değişkenli fonksiyonlardaki
kısmi türevin tanımını kullanarak
?Ð2ß !Ñ  ?Ð!ß !Ñ
2
œ lim œ "ß
2Ä! 2
2
?Ð!ß 2Ñ  ?Ð!ß !Ñ
2
?C Ð!ß !Ñ œ lim
œ lim
œ "
2Ä!
2Ä! 2
2
?B Ð!ß !Ñ œ lim
2Ä!
ve benzer şekilde
@B Ð!ß !Ñ œ "ß
@C Ð!ß !Ñ œ "
olduğu görülür. Dolayısıyla D! œ ! noktasında
?B Ð!ß !Ñ œ " œ @C Ð!ß !Ñß
?C Ð!ß !Ñ œ  " œ  @B Ð!ß !Ñ
Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır.
Şimdi de D! œ ! noktasında 0 ÐDÑ fonksiyonunun türevlenemeyeceğini
gösterelim. Bunun için
lim
DÄ!
0 ÐDÑ  0 Ð!Ñ
0 ÐDÑ
œ lim
DÄ! D
D!
limitinin olmadığını göstermeliyiz. B ekseni boyunca sıfıra yaklaşırsak
0 ÐDÑ
B  3B
œ lim
œ"3
DÄ! D
BÄ!
B
lim
ve C ekseni boyunca sıfıra yaklaşırsak
lim
DÄ!
0 ÐDÑ
 C  3C
œ lim
œ"3
CÄ!
D
3C
bulunur. C œ B doğrusu boyunca sıfıra yaklaştığımızda ise
$
$
B
$B
0 ÐDÑ
#
"
#  3 $B#
lim
œ lim $B
œ 3
DÄ! D
BÄ! BÐ"  3Ñ
$
$
bulunmaktadır. D! œ ! noktasına farklı yönlerden yaklaştığımızda farklı
değerler bulduğumuzdan verilen 0 ÐDÑ fonksiyonu D! œ ! noktasında
diferensiyellenemez.ú
132
Bu örnek, yukarıda verdiğimiz notun iv.şıkkı ile uyumludur. Demek ki, bir
noktada Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanması, fonksiyonun o noktada
diferensiyellenebilmesini garanti etmez.
Bazı kısıtlamalar altında, bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerinin
sağlanması halinde bu noktada fonksiyonun diferensiyellenebileceği
söylenebilir. Bununla ilgili teoremi vermeden önce bu teoremin ispatında
kullanacağımız bir önermeyi ispatlayalım.
2.6.12. Önerme: E § ‘# olmak üzere ? À E Ä ‘ bir fonksiyon ve
D! œ ÐB! ,C! Ñ − E olsun. HÐD! à <Ñ § E komşuluğunda ?B ve ?C kısmi türevleri
var ve bu kısmi türevler D! œ ÐB! ß C! Ñ noktasında sürekli ise
?ÐB!  <ß C!  =Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ œ ?B ÐB! ß C! Ñ<  ?C ÐB! ß C! Ñ=  !<  " =
olur. Burada Ð<ß =Ñ Ä ! iken ! œ !Ð<ß =Ñ Ä ! ve " œ " Ð<ß =Ñ Ä ! dır.
İspat: ÐB!  <ß C!  =Ñ, HÐD! à <Ñ komşuluğuna ait bir nokta olsun.
?? œ ?ÐB!  <ß C!  =Ñ  ?ÐB! ß C! Ñ
œ Ò?ÐB!  <ß C!  =Ñ  ?ÐB! ß C!  =ÑÓ  Ò?ÐB! ß C!  =Ñ  ?ÐB! ß C! ÑÓ
œ Ò1ÐB!  <Ñ  1ÐB! ÑÓ  Ò2ÐC!  =Ñ  2ÐC! ÑÓ
yazılır. Burada
1ÐBÑ œ ?ÐBß C!  =Ñß
ÐB! Ÿ B Ÿ B!  <Ñ
ve
2ÐCÑ œ ?ÐB! ß CÑß
ÐC! Ÿ C Ÿ C!  =Ñ
şeklinde tek değişkenli fonksiyonlardır. B! Ÿ B Ÿ B!  < ve C! Ÿ C Ÿ C!  =,
HÐD! à <Ñ komşuluğunda birer doğru parçası olduklarından sırasıyla 1 ve 2
fonksiyonları bu doğru parçaları üzerinde diferensiyellenebilirdir. Böylece tek
değişkenli fonksiyonlar için bilinen Ortalama Değer Teoreminden
?? œ
.1ÐB!  <)Ñ
.2ÐC!  =)w Ñ
<
=ß
.B
.C
!  )  ", !  ) w  "
yazılır. Dikkat etmek gerekir ki B!  <) , B! ile B!  <; C!  =)w , C! ile C!  =
arasında kalır. Böylece ÐB!  <)ß C!  =Ñ ve ÐB! ß C!  =)w Ñ noktaları HÐD! à <Ñ
komşuluğundadır. Bundan başka
133
.1ÐB!  <)Ñ
.2ÐC!  =)w Ñ
œ ?B ÐB!  <)ß C!  =Ñß
œ ?C ÐB! ß C!  =)w Ñ
.B
.C
ve dolayısıyla
?? œ ?B ÐB!  <)ß C!  =Ñ<  ?C ÐB! ß C!  =)w Ñ=
olur.
!Ð<ß =Ñ œ ?B ÐB!  <)ß C!  =Ñ  ?B ÐB! ß C! Ñß
" Ð<ß =Ñ œ ?C ÐB! ß C!  =)w Ñ  ?C ÐB! ß C! Ñ
olarak tanımlanırsa ?B ve ?C , D! noktasında sürekli olduğundan Ð<ß =Ñ Ä ! iken
! Ä ! ve " Ä ! olur. Bu durumda
?? œ ?B ÐB! ß C! Ñ<  ?C ÐB! ß C! Ñ=  !<  " =
elde edilir. …
2.6.13. Teorem: 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ fonksiyonu verilsin.
D! œ B!  3C! , bu fonksiyonun tanım kümesinin bir iç noktası ve 0 ÐDÑ bu D!
noktasında sürekli olsun. D! noktasının bir komşuluğunda ?B ß ?C ß @B ß @C kısmi
türevleri var ve bu kısmi türevler D! noktasında sürekli, ayrıca bu noktada
?B ÐB! ß C! Ñ œ @C ÐB! ß C! Ñß
?C ÐB! ß C! Ñ œ  @B ÐB! ß C! Ñ
Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa 0 w ÐD! Ñ vardır ve
0 w ÐD! Ñ œ ?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ
olur.
İspat: 2 œ <  3= olmak üzere, 2.6.12. Önermeye göre
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ œ Ò?ÐB!  <ß C!  =Ñ  ?ÐB! ß C! ÑÓ  3Ò@ÐB!  <ß C!  =Ñ  @ÐB! ß C! ÑÓ
œ ?B ÐB! ß C! Ñ<  ?C ÐB! ß C! Ñ=  3Ò@B ÐB! ß C! Ñ<  @C ÐB! ß C! Ñ=Ó  &
olur. Burada & œ !<  " =  3Ð# <  (=Ñ ve 2 Ä ! iken !, " , # , ( Ä ! dır.
Cauchy-Riemann denklemlerini kullanarak
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ œ Ð<  3=Ñ?B ÐB! ß C! Ñ  3Ð<  3=Ñ@B ÐB! ß C! Ñ  &
yazılır. Buradan da
134
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
<
=
œ ?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ  Ð!  3# Ñ  Ð"  3(Ñ
2
2
2
bulunur. l<l Ÿ l2l ve l=l Ÿ l2l olduğundan
<
¹ ¹ Ÿ "ß
2
=
¹ ¹Ÿ"
2
dır. Bunu gözönüne alarak
º
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
 Ò?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! ÑÓº Ÿ l!  3# |  |"  3(l
2
yazılır. Burada 2 Ä ! için limit alınırsa
lim º
2Ä!
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
 Ò?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! ÑÓº œ !
2
veya 2.4.2. Tanımdan sonraki açıklama dikkate alınarak
lim
2Ä!
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
œ ?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ
2
elde edilir. Yani, 0 w ÐD! Ñ vardır ve
0 w ÐD! Ñ œ ?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ
olur. …
Not: i. 0 w ÐD! Ñ varsa Cauchy-Riemann denklemleri gözönüne alınarak
0 w ÐD! Ñ œ ?B ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ
yerine
0 w ÐD! Ñ œ @C ÐB! ß C! Ñ  3?C ÐB! ß C! Ñ
da yazılabilir. Cauchy-Riemann denklemleri ayrı ayrı kullanılarak
0 w ÐD! Ñ œ ?B ÐB! ß C! Ñ  3?C ÐB! ß C! Ñ veya 0 w ÐD! Ñ œ @C ÐB! ß C! Ñ  [email protected] ÐB! ß C! Ñ
şeklinde de yazılabileceği unutulmamalıdır.
ii. 2.6.13. Teoremin hipotezinde 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında sürekli
olduğunun verilmesi diferensiyellenebilmenin ön şartının sağlanması içindir.
iii. 2.6.13. Teoremden görülmektedir ki ?ÐBß CÑ ve @ÐBß CÑ iki değişkenli
fonksiyonlarının birinci mertebeden sürekli kısmi türevlerinin olması
135
0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ kompleks fonksiyonunun diferensiyellenebilmesini
gerektirmez. Dolayısıyla kompleks diferensiyellenebilme ile iki reel değişkenli
fonksiyonların diferensiyellenebilmesi aynı değildir. Bu da Kompleks Analiz ile
Reel Analizi ayıran bir farktır.
Bilindiği gibi kompleks fonksiyonları kutupsal şekilde de ifade edebiliriz.
Bu durumda 2.6.13. Teoremi, kutupsal şekilde verilen fonksiyonlar için,
düzenlememiz gerekir. Aşağıdaki teorem bununla ilgilidir.
2.6.14. Teorem: 0 ÐDÑ œ ?Ð<ß )Ñ  3@Ð<ß ) Ñ fonksiyonu verilsin.
D! œ <! (cos)!  3sin )! Ñ Á !, bu fonksiyonun tanım kümesinin bir iç noktası ve
0 ÐDÑ bu D! noktasında sürekli olsun. D! noktasının bir komşuluğunda ?< ß ?) ß
@< ß @) kısmi türevleri var ve bu kısmi türevler D! noktasında sürekli, ayrıca bu
noktada
?< Ð<! ß )! Ñ œ
"
@) Ð<! ß )! Ñß
<!
@< Ð<! ß )! Ñ œ 
"
?) Ð<! ß )! Ñ
<!
kutupsal Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa 0 w ÐD! Ñ vardır ve
0 w ÐD! Ñ œ /3)! Ò?< Ð<! ß )! Ñ  3@< Ð<! ß )! ÑÓ
olur.
İspat: 2.6.13. Teoremi kutupsal şekilde yazacağız. D œ B  3C noktasını
kutupsal olarak D œ <(cos )  3sin )Ñ şeklinde yazarsak
C
B œ <cos )ß C œ <sin )ß < œ ÈB#  C# ß ) œ arctan
B
olur. Bu durumda
"
?B œ ?< <B  ?) )B œ ?< cos )  ?) sin )
<
"
?C œ ?< <C  ?) )C œ ?< sin )  ?) cos )
<
"
@B œ @< <B  @) )B œ @< cos )  @) sin )
<
"
@C œ @< <C  @) )C œ @< sin )  @) cos )
<
dır. ?B œ @C olduğundan
136
"
"
?< cos )  ?) sin )  @< sin )  @) cos ) œ !
<
<
Ð"Ñ
ve ?C œ  @B olduğundan da
"
"
?< sin )  ?) cos )  @< cos )  @) sin ) œ !
<
<
Ð#Ñ
yazılır. (1) ifadesini cos ), (2) ifadesini de sin ) ile çarpıp taraf tarafa
topladığımızda
?< œ
"
@)
<
eşitliğini; (1) ifadesini  sin ), (2) ifadesini de cos ) ile çarpıp taraf tarafa
topladığımızda da
"
@< œ  ? )
<
eşitliğini elde ederiz. Bunlar kutupsal Cauchy-Riemann denklemleridir.
Şimdi de 0 w ÐDÑ türevini kutupsal şekilde yazalım. ?< œ "< @) ß @< œ  "< ?)
eşitliklerini gözönüne alarak
0 w ÐDÑ œ ?B  [email protected]
"
"
œ ?< cos )  ?) sin )  3@< cos )  3 @) sin )
<
<
œ Ð?<  3@< Ñcos )  3Ð?<  3@< Ñsin )
œ /3) Ò?<  3@< Ó
elde edilir.…
2.6.14.Teoremin D Á ! için geçerli olduğunu bir kez daha hatırlatalım.
Problem çözümlerinde bu teorem kullanılırsa, <  ! ve < œ lDl, ) œ arg D
olduğu gözönüne alınmalıdır. Kutupsal Cauchy-Riemann denklemleri
kullanılarak 0 w ÐDÑ için başka formüller de yazılabilir.
2.6.15. Örnek: 0 ÐDÑ œ #BC  3ÐB#  C# Ñ fonksiyonunun D! œ "  3 ve
D" œ 3 noktalarında diferensiyellenip diferensiyellenemeyeceğini araştırınız.
Diferensiyellenebilirse o noktadaki türevini bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonu D! ve D" noktalarında süreklidir. 0 ÐDÑ
fonksiyonunun verilişinden
137
? œ #BCß
@ œ B#  C #
ve bunların kısmi türevleri
?B œ #Cß
?C œ #Bß
@B œ #Bß
@C œ #C
olarak yazılır.
Önce D! œ "  3 noktasını alalım. Bu noktada, kısmi türevler ile elde
edilen fonksiyonlar süreklidir. Ancak
?B Ð"ß "Ñ œ # œ @C Ð"ß "Ñß ?C Ð"ß "Ñ œ # Á  # œ  @B Ð"ß "Ñ
olup, bu noktada, Cauchy-Riemann denklemleri sağlanmaz. Dolayısıyla verilen
fonksiyon D! œ "  3 noktasında diferensiyellenemez.
Şimdi de D" œ 3 noktasını alalım. Bu noktada, kısmi türevler ile elde edilen
fonksiyonlar süreklidir. Diğer yandan
?B Ð!ß "Ñ œ # œ @C Ð!ß "Ñß ?C Ð!ß "Ñ œ ! œ  @B Ð!ß "Ñ
olup Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır. O halde 0 ÐDÑ fonksiyonu D" œ 3
noktasında diferensiyellenebilir. Bu noktadaki türevi ise
0 w Ð3Ñ œ ?B Ð!ß "Ñ  [email protected] Ð!ß "Ñ œ #
olarak bulunur.ú
Bazen, verilen 0 ÐDÑ œ ?  3@ fonksiyonunun diferensiyellenebildiği
noktaların kümesinin bulunması istenebilir. Bu kümeyi bulurken aşağıdaki
adımlar takip edilir:
1.Adım: 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesinin içi H! bulunur.
2.Adım: 0 ÐDÑ fonksiyonunun sürekli olduğu H" kümesi bulunur.
3.Adım: ? ve @ fonksiyonlarının birinci mertebeden kısmi türevlerinin var
ve sürekli olduğu H# kümesi bulunur.
4.Adım: Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlandığı H$ kümesi bulunur.
5.Adım: Sonunda, H œ H!  H"  H#  H$ bulunur. H Á g ise 0 ÐDÑ
fonksiyonunun diferensiyellenebildiği küme H olur. Eğer H œ g ise 0 ÐDÑ
fonksiyonu hiç bir noktada diferensiyellenemez.
2.6.16. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ #BC  3ÐB#  C# Ñ fonksiyonu veriliyor. Bu
fonksiyonun diferensiyellenebildiği noktaların kümesini ve bu kümedeki
türevini bulunuz.
138
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesi ‚ olduğundan H! œ ‚ dir.
0 ÐDÑ fonksiyonu H" œ ‚ kümesinde süreklidir. 0 ÐDÑ fonksiyonunun
verilişinden
? œ #BCß
@ œ B#  C #
dir. Kısmi türevler
?B œ #Cß
?C œ #Bß
@B œ #Bß
@C œ #C
olup bu fonksiyonların her biri H# œ ‚ kümesinde süreklidir. Diğer yandan
?B œ #C œ @C ß
?C œ #B œ  #B œ  @B
Cauchy-Riemann denklemlerinden birincisi her ÐBß CÑ − ‘# için sağlanırken,
ikincisi sadece Ð!ß CÑ − ‘# için sağlanmaktadır. O halde, Cauchy-Riemann
denklemleri imajiner eksen üzerinde, yani H$ œ Ö3C À C − ‘× kümesinde
sağlanır. Buna göre, 0 ÐDÑ fonksiyonunun diferensiyellenebildiği küme
H œ H!  H"  H#  H$ œ Ö3C À C − ‘× Á g
olur. Bu kümedeki türevi
0 w ÐDÑ œ ?B  [email protected] œ #C  #3B Ê 0 w ÐDÑ œ #C
olarak bulunur. Türevi hesaplarken H kümesinde B œ ! olduğunu dikkate aldık.
ii. 0 ÐDÑ œ sin D ve 0 ÐDÑ œ cos D fonksiyonlarının her birinin
diferensiyelenebildiği noktaların kümesini ve bu kümedeki türevini bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesi ‚ olup H! œ ‚ dir. Ayrıca,
0 ÐDÑ œ sin D fonksiyonu H" œ ‚ kümesinde süreklidir. D œ B  3C için
sin D œ sin B cosh C  3sinh C cos B
olduğundan
0 ÐDÑ œ sin B cosh C  3sinh C cos B œ ?  3@
eşitliğinden
? œ sin B cosh C ve @ œ sinh C cos B
yazılır.
?B œ cos B cosh Cß ?C œ sin B sinh C
@B œ  sin B sinh Cß @C œ cos B cosh C
139
kısmi türevleri H# œ ‚ kümesinde var ve süreklidir. Diğer yandan
?B œ cos B cosh C œ @C ß
?C œ sin B sinh C œ  @B
Cauchy-Riemann denklemleri H$ œ ‚ kümesinde sağlanır.
H œ H!  H"  H#  H$ œ ‚
olduğundan 0 ÐDÑ œ sin D fonksiyonunun diferensiyellenebildiği kümenin H
olduğu söylenir. Bu kümedeki türevi ise
0 w ÐDÑ œ cos B cosh C  3 sin B sinh C œ cos D
olarak bulunur.
Benzer şekilde, 0 ÐDÑ œ cos D fonksiyonunun da H œ ‚ kümesinde
diferensiyellenebildiği gösterilebilir. Bu kümedeki türevi ise
0 w ÐDÑ œ  sin D
olur.
iii. 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun diferensiyellenebildiği noktaların kümesini
ve bu kümedeki türevini bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun tanım kümesi ‚ olduğundan H! œ ‚
dir. Ayrıca, 0 ÐDÑ fonksiyonunun sürekli olduğu küme H" œ ‚ dir. D œ B  3C
olmak üzere
? œ /B cos Cß
@ œ /B sin C
yazılır. Bunların kısmi türevleri
?B œ /B cos Cß
?C œ  /B sin Cß
@B œ /B sin Cß
@C œ /B cos C
olur ve her biri H# œ ‚ kümesinde süreklidir. Diğer yandan
?B œ /B cos C œ @C ß
?C œ  /B sin C œ  @B
Cauchy-Riemann
denklemleri
H$ œ ‚
kümesinde
sağlanır.
H œ H!  H"  H#  H$ œ ‚ olduğundan 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu H kümesinde
diferensiyellenebilir. Bu kümedeki türevi
0 w ÐDÑ œ ?B  @B œ /B Òcos C  3sin CÓ œ /D
olur.
140
iv. 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun diferensiyellenebildiği
kümesini ve bu kümedeki türevini bulunuz.
noktaların
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun tanım kümesi ‚ÏÖ!× olduğundan
H! œ ‚ÏÖ!× dır. Log D œ ln lDl  3 Arg D olarak tanımlandığı bilinmektedir.
0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun sürekli olduğu küme H" œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß
C œ !× dır. Diğer yandan  1  ) Ÿ 1 olmak üzere D œ </3) olarak alınırsa
Log D œ ln lDl  3Arg z œ ln <  3 )
olacağından
? œ ln <ß
@œ)
?) œ !ß
@< œ !ß
şeklindedir.
?< œ
"
ß
<
@) œ "
kısmi türevlerin her biri H# œ ‚ÏÖ!× kümesinde sürekli ve H$ œ ‚ÏÖ!×
kümesinde
?< œ
"
"
"
œ @) ß @< œ ! œ  ?)
<
<
<
Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır. Diğer yandan,
H œ H!  H"  H#  H$ œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
olur. O halde, 2.6.8. Teoreme göre 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonu H kümesinde
diferensiyellenebilir. Bu kümedeki türevi ise
0 w ÐDÑ œ /3) Ò?<  3@< Ó œ
"
"
œ
3
)
</
D
olur.
v. 2ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ, tüm kompleks düzlemde diferensiyellenebilir
bir fonksiyon olsun. 0 ÐDÑ œ LogÒ2ÐDÑÓ fonksiyonunun diferensiyellenebildiği
noktaların kümesini ve bu kümedeki türevini bulunuz.
Çözüm: 0" ÐDÑ œ Log D denirse 0 ÐDÑ œ Ð0" 92ÑÐDÑ olur. 0" ÐDÑ œ Log D
fonksiyonu
E" œ ÖD œ B  3C À B Ÿ !ß C œ !×
kümesinde
sürekli
olmadığından
bu
kümede
diferensiyellenemez.
O
halde,
2ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ fonksiyonu altında E" kümesindeki noktalara
dönüşen D noktalarında 0 ÐDÑ fonksiyonu diferensiyellenemez. Bu D noktalarının
141
kümesi ÖD œ B  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !×
0 ÐDÑ œ LogÒ2ÐDÑÓ fonksiyonu
şeklindedir.
O
halde
H œ ‚ÏÖB  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !×
kümesinde diferensiyellenebilir.
kümesindeki türevi ise
0 ÐDÑ œ LogÒ2ÐDÑÓ
0 w ÐDÑ œ
fonksiyonunun
H
2w ÐDÑ
2ÐDÑ
dir.ú
2.6. Alıştırmalar
1. Türevin tanımını kullanarak aşağıdaki fonksiyonların karşılarında verilen
noktalarda diferensiyellenip diferensiyellenemeyeceğini araştırınız. Eğer varsa,
bu noktadaki türevini bulunuz.
i. 0 ÐDÑ œ D $ ß D! œ 3
ii. 0 ÐDÑ œ "D ß D! œ "  3
iii. 0 ÐDÑ œ Re Dß D! œ 3
2. 8 pozitif bir tam sayı ve 5 œ !ß "ß âß 8 için +5 − ‚ olmak üzere
:ÐDÑ œ +8 D 8  +8" D 8"  â  +" D  +!
fonksiyonunun ‚ kompleks sayılar kümesinde diferensiyellenebileceğini
gösteriniz.
3. :ÐDÑ ve ;ÐDÑ sırasıyla 8Þ ve 5Þ dereceden iki polinom olsun. Bu durumda
0 ÐDÑ œ :ÐDÑ
;ÐDÑ fonksiyonunun diferensiyellenebileceği en geniş kümeyi yazınız.
4. Aşağıdaki her bir fonksiyonun diferensiyellenebileceği en geniş kümeyi
yazınız. (Yol gösterme:3.problemden yararlanınız).
D$3
i. 0 ÐDÑ œ DD"
ii. 0 ÐDÑ œ D$""
iii. 0 ÐDÑ œ #D# Ð#&3ÑD#3
# 3
5. 0 ÐDÑ fonksiyonu
D
ß
0 ÐDÑ œ  lDl%
!ß
&
DÁ!
Dœ!
olarak veriliyor. D! œ ! noktasında Cauchy-Riemann denklemleri sağlandığı
halde, 0 ÐDÑ fonksiyonunun bu noktada diferensiyellenemeyeceğini gösteriniz.
142
6. Aşağıdaki her bir fonksiyonun, varsa, diferensiyellenebileceği en geniş
kümeyi yazınızÞ
#
#
i. 0 ÐDÑ œ B$  3Ð"  CÑ$
ii. 0 ÐDÑ œ /B C ccos Ð#BCÑ  3sin Ð#BCÑd
ÐB"Ñ3C
iii. 0 ÐDÑ œ ÐB"Ñ
iv. 0 ÐDÑ œ B#  C#  #3BC
# C #
v. 0 ÐDÑ œ B#  C#  #3BC
vi. 0 ÐDÑ œ B#  3C#
vii. 0 ÐDÑ œ B&  3C$
viii. 0 ÐDÑ œ  BC  #3 ÐB#  C# Ñ
7. 0 ÐDÑ œ Log ÐD  "Ñ ve 1ÐDÑ œ ÈD  " fonksiyonları veriliyor. Bu
fonksiyonların diferensiyellenebildiği en geniş kümeleri bulunuz.
8. i. 0 ÐDÑ œ <& Ðcos &)  3sin &)Ñ fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun, D Á !
için diferensiyellenebilir olduğunu gösteriniz.
ii. 0 ÐDÑ œ Arg D fonksiyonunun hangi noktalarda diferensiyellenemeyeceğini
araştırınız.
2.7. Analitik Fonksiyonlar:
0 ÐDÑ fonksiyonunun bir noktadaki türevinin tanımını 2.6. Kısımda verdik.
Bundan hareketle, verilen bir 0 ÐDÑ fonksiyonunun hangi noktalarda
diferensiyellenebileceğini araştırdık. Şimdi, bir 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktası
ve bu noktanın uygun bir komşuluğunda diferensiyellenebilmesi ile
ilgileneceğiz.
2.7.1. Tanım: 0 ÐDÑ fonksiyonu, D! noktasında ve bu noktanın uygun bir
komşuluğundaki her noktada diferensiyellenebilirse 0 ÐDÑ fonksiyonuna D!
noktasında analitiktir denir.
Bu tanıma göre, 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitiktir dediğimiz
zaman, bu fonksiyonun sadece D! noktasında değil bu noktanın uygun bir <komşuluğundaki her noktada diferensiyellenebildiği anlaşılır (Bu durumda D! ,
0 ÐDÑ fonksiyonunun diferensiyellenebildiği kümenin bir iç noktası olacağına
dikkat ediniz). Hatırlatmak gerekir ki, kompleks düzlemde, D! noktasının bir <komşuluğu HÐD! à <Ñ œ ÖD − ‚ À lD  D! l  <× şeklinde açık bir dairedir. Doğal
olarak, 0 ÐDÑ fonksiyonunun diferensiyellenebildiği D! noktasının böyle bir
komşuluğu yok ise fonksiyon o noktada analitik değildir. 0 ÐDÑ fonksiyonu D!
noktasında analitik değilse, bu noktaya fonksiyonun singüler (tekil) noktası
denir.
143
0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında analitik olduğunu göstermek için D!
noktasının, 0 ÐDÑ fonksiyonunun diferensiyellenebildiği H kümesinin bir iç
noktası olduğunu göstermek gerekir. Aksi halde 0 ÐDÑ fonksiyonu, D! noktasında
analitik olamaz. Eğer 0 ÐDÑ fonksiyonu bir D! noktasında analitik ise bu noktanın
uygun bir komşuluğundaki her noktada da analitik olacağı açıktır.
2.7.2. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu D! œ #  $3 noktasında analitik
midir?
Çözüm: 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun diferensiyellenebildiği kümenin ‚
olduğunu 2.6.16. Örnekte gördük. Ayrıca, D! œ #  $3, ‚ nin bir iç noktasıdır.
O halde 0 ÐDÑ fonksiyonu D! œ #  $3 noktasında analitiktir.
ii. 0 ÐDÑ œ #BC  3ÐB#  C# Ñ fonksiyonunun D! œ 3 noktasında analitik olup
olmadığını gerekçeleriyle söyleyiniz.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ #BC  3ÐB#  C# Ñ fonksiyonunun H œ Ö3C À C − ‘×
kümesinde diferensiyellenebileceğini 2.6.16. Örnekte gördük. D! œ 3, H
kümesinin bir iç noktası değildir. Dolayısıyla 0 ÐDÑ fonksiyonu, D! œ 3
noktasında analitik olamaz.ú
2.7.3. Tanım: i. W ve E, ‚ kompleks sayılar kümesinin açık iki altkümesi
ve W § E olsun. 0 À E Ä ‚ fonksiyonu, W kümesinin her noktasında analitik
ise 0 ÐDÑ fonksiyonuna W kümesinde analitik fonksiyon denir. 0 ÐDÑ fonksiyonu
E kümesinde, yani tanım kümesinde, analitik ise 0 ÐDÑ fonksiyonuna analitik
fonksiyon adı verilir.
ii. ‚ kompleks sayılar kümesinde analitik olan fonksiyona ise tam
fonksiyon denir.
0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi bulmak için şu adımlar takip
edilir:
1. Adım: Önce 0 ÐDÑ fonksiyonunun diferensiyellenebildiği H kümesi
bulunur.
2. Adım: içH bulunur. içH Á g ise E œ içH, 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik
olduğu kümedir. içH œ g ise 0 ÐDÑ fonksiyonu hiç bir noktada analitik değildir.
2.7.4. Örnek: i. - bir kompleks sayı olmak üzere 0 ÐDÑ œ - sabit
fonksiyonu hangi kümede analitiktir?
Çözüm: 0 ÐDÑ œ - sabit fonksiyonu ‚ kompleks sayılar kümesinde
diferensiyellenebilir. ‚ œ iç‚ olduğundan 0 ÐDÑ œ - bir tam fonksiyondur.
144
ii. 0 ÐDÑ œ D fonksiyonu hangi kümede analitiktir?
Çözüm: 0 ÐDÑ œ D fonksiyonunun hiç bir noktada türevlenemediğini 2.6.3
ve 2.6.11. Örnekte görmüştük. O halde, 0 ÐDÑ œ D fonksiyonu hiç bir yerde
analitik değildir.
iii. 0 ÐDÑ œ #BC  3ÐB#  C# Ñ fonksiyonunun analitik olduğu küme olup
olmadığını araştırınız.
Çözüm: 2.6.16. Örnekte, verilen 0 ÐDÑ fonksiyonunun sadece imajiner
eksen üzerindeki noktalarda diferensiyellenebildiğini gördük. Bunu küme
olarak H œ Ö3C À C − ‘× şeklinde yazarız. içH œ g olduğundan verilen 0 ÐDÑ
fonksiyonu hiç bir yerde analitik değildir.
iv. 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonu hangi kümede analitiktir?
Çözüm: 2.6.16. Örnekte, 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun
H œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
kümesinde diferensiyellenebildiğini gösterdik. E œ içH œ H olduğundan
0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonu E kümesinde analitiktir. Dikkat edilirse 0 ÐDÑ œ Log D
fonksiyonu, ‚ de analitik değildir. Dolayısıyla bir tam fonksiyon olamaz.
v. 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi bulunuz.
Çözüm: 2.6.16. Örnekte, 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun H œ ‚ kümesinde
diferensiyellenebildiğini gördük. E œ içH œ ‚ olduğundan 0 ÐDÑ œ /D
fonksiyonu ‚ nin her noktasında analitiktir. Yani, bir tam fonksiyondur.ú
2.7.4. Örneğin iii.şıkkı ve analitik fonksiyonun tanımı dikate alınırsa şu
sonuçları söyleriz: Fonksiyonun bir noktada diferensiyellenebilir olması
fonksiyonun o noktada analitik olmasını garanti etmez. Ancak, fonksiyonun bir
noktada analitik olması fonksiyonun o noktada (ve o noktanın uygun bir
komşuluğunda) diferensiyellenebilmesini garanti eder.
Buraya kadar verilen bilgilerden anlaşılacağı gibi, 0 ÐDÑ fonksiyonunun
analitik olduğu küme, iç noktalardan oluştuğundan, açıktır. Keyfi bir küme
verildiğinde fonksiyonun bu kümede analitikliğinin nasıl tanımlanacağı, aşağıda
verilmiştir.
145
2.7.5. Tanım: O , 0 ÐDÑ nin tanım kümesinin boş olmayan bir altkümesi
olsun. 0 ÐDÑ, O yı kapsayan bir açık kümede analitik ise 0 ÐDÑ fonksiyonuna O
kümesinde analitiktir denir.
Bu tanıma göre, 0 ÐDÑ fonksiyonu bir kümede analitik ise o kümenin boş
olmayan her altkümesinde de analitiktir.
2.7.6. Teorem: 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ, bir D! noktasında analitik olan iki fonksiyon
olsun.
i. 0 ÐDÑ  1ÐDÑ fonksiyonu da D! noktasında analitiktir.
ii. 0 ÐDÑ1ÐDÑ fonksiyonu da D! noktasında analitiktir.
iii. 1ÐD! Ñ Á ! olmak üzere 0 ÐDÑÎ1ÐDÑ fonksiyonu da D! noktasında
analitiktir.
İspat: 2.6.5. Teorem kullanılarak ispat yapılır.
2.7.7. Teorem: 0 À E Ä ‚ ve 1 À F Ä ‚ iki fonksiyon, 0 ÐEÑ § F olsun.
0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında ve 1ÐDÑ fonksiyonu da A! œ 0 ÐD! Ñ noktasında
analitik ise Ð190 ÑÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitik olur.
İspat: 2.6.8. Teorem kullanılarak ispat yapılır.
2.7.6. Teorem gözönüne alınarak şu sonuca varılır: 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ
fonksiyonları aynı W kümesinde analitik ise 0 ÐDÑ  1ÐDÑ ve 0 ÐDÑ1ÐDÑ
fonksiyonları da bu W kümesinde, 0 ÐDÑÎ1ÐDÑ ise WÏÖD À 1ÐDÑ œ !× kümesinde
analitiktir. Benzer şekilde 2.7.7. Teorem gözönüne alınarak şu sonuç
söylenebilir: 0 ÐDÑ fonksiyonu W kümesinde ve 1ÐDÑ fonksiyonu da 0 ÐWÑ
kümesinde analitik ise Ð190 ÑÐDÑ fonksiyonu W kümesinde analitiktir. Bunları,
bu şekilde verilen fonksiyonların analitik olduğu kümenin bulunmasında
kullanabiliriz. Aşağıdaki örneği inceleyiniz.
2.7.8. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ /D  D fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi
bulunuz.
Çözüm: 0" ÐDÑ œ /D
ve 0# ÐDÑ œ D birer tam fonksiyondur.
0 ÐDÑ œ 0" ÐDÑ  0# ÐDÑ olup 0 ÐDÑ fonksiyonu da bir tam fonksiyon olur. Yani,
0 ÐDÑ fonksiyonu E œ ‚ kümesinde analitiktir.
ii. 8 pozitif bir tam sayı ve 5 œ !ß "ß âß 8 için +5 − ‚ olmak üzere
146
:ÐDÑ œ +8 D 8  +8" D 8"  â  +" D  +!
fonksiyonunun tam olduğunu gösteriniz.
Çözüm: 8 pozitif bir tam sayı ve 5 œ !ß "ß âß 8 için +5 − ‚ olmak üzere
:5 ÐDÑ œ +5 D 5 tam fonksiyondur. 2.7.6. Teoreme göre
:ÐDÑ œ :8 ÐDÑ  :8" ÐDÑ  â  :! ÐDÑ
œ +8 D 8  +8" D 8"  â  +" D  +!
fonksiyonuda bir tam fonksiyon olur.
iii. 0 ÐDÑ œ
D &  'D %  "
ÐD #  "Ñ$ ÐD  3Ñ#
fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi
bulunuz.
Çözüm: 0" ÐDÑ œ D &  'D %  " ve 0# ÐDÑ œ ÐD #  "Ñ$ ÐD  3Ñ# diyelim.
0" ÐDÑ ve 0# ÐDÑ birer polinom olduğundan her ikisi de ‚ kompleks sayılar
0" ÐDÑ
kümesinde analitiktir. O halde, 2.7.6. Teoreme göre, 0 ÐDÑ œ
fonksiyonu
0# ÐDÑ
E œ ‚ÏÖD À ÐD #  "Ñ$ ÐD  3Ñ# œ !× œ ‚ÏÖ  "ß "ß  3×
kümesinde analitiktir.
iv. 0 ÐDÑ œ sin
1
fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi bulunuz.
D
1
Çözüm: 0" ÐDÑ œ sin D ve 0# ÐDÑ œ
denirse 0 ÐDÑ œ Ð0" 90# ÑÐDÑ yazılır.
D
1
0 ÐDÑ œ sin
fonksiyonu D! œ ! noktasında sürekli değildir. Dolayısıyla bu
D
1
noktada diferensiyellenemez. 0# ÐDÑ œ , ‚ÏÖ!× kümesinde ve 0" ÐDÑ œ sinD
D
1
de 0# ЂÏÖ!×Ñ kümesinde analitik olduğundan 0 ÐDÑ œ Ð0" 90# ÑÐDÑ œ sin
D
fonksiyonu E œ ‚ÏÖ!× kümesinde analitiktir.
v. 0" ÐDÑ ve 0# ÐDÑ birer tam fonksiyon olmak üzere 0 ÐDÑ œ Ð0" 90# ÑÐDÑ
fonksiyonunun da bir tam fonksiyon olduğunu gösteriniz.
Çözüm: 0" ÐDÑ ve 0# ÐDÑ birer tam fonksiyon olduğundan her biri ‚
kompleks sayılar kümesinde analitiktir. Dolayısıyla Ð0" 90# ÑÐDÑ fonksiyonu,
147
2.7.7.Teoreme göre, her D! − ‚ noktasında analitik olur. Yani 0 ÐDÑ
œ Ð0" 90# ÑÐDÑ fonksiyonu bir tam fonksiyondur.
vi. 0 ÐDÑ œ /sin D fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi bulunuz.
Çözüm: 0" ÐDÑ œ /D ve 0# ÐDÑ œ sin D birer tam fonksiyon olup 0 ÐDÑ œ
Ð0" 90# ÑÐDÑ œ /sin D dir. O halde, 0 ÐDÑ œ /sin D bir tam fonksiyondur. Yani, ‚
kompleks sayılar kümesinde analitiktir.ú
Bazı
çok
değerli
fonksiyonların
analitikliği:
0 ÐDÑ œ log D
fonksiyonunun, uygun bir kısıtlama yapılmazsa, çok değerli bir fonksiyon
olduğunu biliyoruz. Biz bu fonksiyonun tek değerli olduğu kümede analitik
olup olmadığını inceleyebiliriz. Bunun için, daha önce, 0 ÐDÑ œ Log D
fonksiyonunu gözönüne aldık ve bunun E œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
kümesinde analitik olduğunu gördük. Bu E kümesini, E œ ÖD À  1  arg
D  1× şeklinde de yazabiliriz. Daha genel olarak, 0 ÐDÑ œ log D fonksiyonunun
! − ‘ olmak üzere E! œ ÖD À !  arg D  !  #1× kümesinde analitik olduğu
gösterilebilir. ! œ  1 için yukarıdaki E kümesinin elde edileceği açıktır. İşte,
0 ÐDÑ œ log D fonksiyonunun E! kümesine kısıtlanması ile elde edilen tek
değerli ve analitik fonksiyona logaritma fonksiyonunun bir dalı denir. ! œ  1
alınarak elde edilen logaritma fonksiyonunun dalına ise logaritmanın esas dalı
adı verilir.
Bu hazırlıktan sonra, + − ‚Ï™ olmak üzere 0 ÐDÑ œ D + çok değerli
fonksiyonunun analitikliğini inceleyebiliriz. Bilindiği üzere D + œ /+log D olarak
tanımlanmıştı. O halde, logaritmanın her bir dalı için 0 ÐDÑ œ D + fonksiyonunun
da bir dalı bulunur. Buna göre 0 ÐDÑ œ D + fonksiyonunun analitik olduğu küme,
logaritmanın seçilen dalının analitik olduğu kümedir. Eğer logaritma için
herhangi bir dal verilmemişse logaritmanın esas dalı gözönüne alınacaktır.
2.7.9. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ ÈD fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi ve bu
kümedeki türevini bulunuz.
Çözüm: Her şeyden önce 0 ÐDÑ œ ÈD çok değerli bir fonksiyondur.
Herhangi bir dal belirtilmediğinden logaritmanın esas dalını alarak
0 ÐDÑ œ ÈD œ / # Log D
"
yazarız. Böylece 0 ÐDÑ fonksiyonu tek değerli olur. 0 ÐDÑ œ ÈD fonksiyonunun
analitik olduğu küme, 2ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun analitik olduğu kümedir.
2ÐDÑ œ Log D fonksiyonu
148
E œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
kümesinde analitik olduğundan 0 ÐDÑ œ ÈD fonksiyonu da
analitiktir. Bu kümedeki türevi
0 w ÐDÑ œ
E kümesinde
"
È
# D
olur.
ii. Logaritmanın E! œ ÖD À !  arg D  #1× kümesindeki dalını gözönüne
alarak 0 ÐDÑ œ ÈD fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi ve bu kümedeki
türevini bulunuz.
Çözüm: Logaritmanın verilen dalı E œ ‚ÏÖB  3C À B !ß C œ !×
kümesinde analitik olduğundan 0 ÐDÑ œ ÈD fonksiyonu, E kümesinde
analitiktir. Bu kümedeki türevi
0 w ÐDÑ œ
"
#È D
dir.
iii. 0 ÐDÑ œ sin ÈD fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi ve bu kümedeki
türevini bulunuz.
Çözüm: 0" ÐDÑ œ sin D ve 0# ÐDÑ œ ÈD denirse 0 ÐDÑ œ Ð0" 90# ÑÐDÑ yazılır.
Logaritmanın esas dalı gözönüne alınırsa, 0 ÐDÑ fonksiyonu ÖB  3C À B Ÿ !ß
C œ !× kümesinde sürekli değildir ve bu kümede diferensiyellenemez. 0# ÐDÑ,
E œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !× kümesinde, 0" ÐDÑ de 0 ÐEÑ kümesinde analitik
olduğundan 0 ÐDÑ œ Ð0" 90# ÑÐDÑ yani, 0 ÐDÑ œ sin ÈD fonksiyonu
E œ ‚ÏÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !×
kümesinde analitiktir. Bu kümedeki türevi ise
0 w ÐDÑ œ
dir.
"
cos ÈD
#È D
149
iv. Önce, 2ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ bir tam fonksiyon olmak üzere
0 ÐDÑ œ LogÒ2ÐDÑÓ fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi yazınız. Sonra da,
bundan yararlanarak, 0 ÐDÑ œ Log Ð/D  "Ñ fonksiyonunun analitik olduğu
kümeyi bulunuz ve bu kümeyi geometrik olarak gösteriniz. Ayrıca, 0 ÐDÑ
fonksiyonunun analitik olduğu kümedeki türevini bulunuz.
Çözüm: Daha önce 2.6.16. Örnekte 0 ÐDÑ œ LogÒ2ÐDÑÓ fonksiyonunun
H œ ‚ÏÖB  3C À ?ÐBß CÑ Ÿ !ß @ÐBß CÑ œ !×
kümesinde diferensiyellenebilir olduğunu gördük. E œ içH œ H olduğundan
0 ÐDÑ œ LogÒ2ÐDÑÓ fonksiyonu E kümesinde analitiktir.
Şimdi de 0 ÐDÑ œ Log Ð/D  "Ñ fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi
bulalım. 2ÐDÑ œ /D  " bir tam fonksiyondur. D œ B  3C için
/D  " œ Ð/B cos C  "Ñ  3/B sin C
olduğundan ? œ /B cos C  ", @ œ /B sin C dir. Böylece 0 ÐDÑ œ Log Ð/D  "Ñ
fonksiyonu, bu şıkkın birinci kısmına göre,
E œ ‚ÏÖB  3C À /B cosC  " Ÿ !ß /B sin C œ !×
kümesinde analitiktir. E kümesini geometrik olarak gösterebilmek için daha
açık şekilde yazmalıyız. Bunun için E" œ ÖB  3C À /B cosC  " Ÿ !ß /B sin
C œ !× kümesini daha açık bir şekilde yazalımÞ
/B cos C  " Ÿ !
/B sin C œ !
sistemini sağlayan B ve C yi belirleyelim. Bu sistemdeki ikinci denklemden
/B sin C œ ! Ê sin C œ ! Ê C œ 5 1 Ð5 − ™Ñ
bulunur. 5 nın çift değerlerine karşılık elde edilen C ler için, yani C œ #81
Ð8 − ™Ñ için, sistemdeki birinci ifade /B  " Ÿ ! olur ki bu mümkün değildir. O
halde 5 nın çift değerleri bu sistemin çözümü olamaz. C œ Ð#8  "Ñ1 Ð8 − ™Ñ
alalım. Sistemdeki birinci ifadeden
 /B  " Ÿ ! Ê /B " Ê B !
elde edilir. Bu durumda
E" œ ÖB  3C À B !ß C œ Ð#8  "Ñ1×
yazılır. 2ÐDÑ œ Log Ð/D  "Ñ fonksiyonu
150
E œ ‚ÏÖB  3C À B !ß C œ Ð#8  "Ñ1×
kümesinde analitiktir (2.7.1. Şekil). Dolayısıyla, 0 ÐDÑ œ Log Ð/D  "Ñ
fonksiyonu E kümesinde analitik olur. Bu kümedeki türevi ise
0 w ÐDÑ œ
/D
/D  "
olarak bulunur.
v. 0 ÐDÑ œ È/D  " fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi ve bu kümedeki
türevini bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ È/D  " çok değerli bir fonksiyondur. Herhangi bir dal
belirtilmediğinden, logaritmanın esas dalı gözönüne alınarakß
0 ÐDÑ œ È/D  " œ / # Log Ð/ "Ñ
"
D
yazılır. Böylece 0 ÐDÑ fonksiyonu tek değerli olur. Bu durumda 0 ÐDÑ
fonksiyonunun analitik olduğu kümeß 2ÐDÑ œ Log Ð/D  "Ñ fonksiyonunun
analitik olduğu kümedir. 3@Þşıkta bu kümenin
E œ ‚ÏÖB  3C À B !ß C œ Ð#8  "Ñ1×
olduğunu gördük (2.7.1. Şekil) . 0 ÐDÑ fonksiyonunun bu kümedeki türevi
0 w ÐDÑ œ
dir.
/D
#È /D  "
151
2.7.1. Şekil: 0 ÐDÑ œ Log Ð/D  "Ñ ve 0 ÐDÑ œ È/D  " fonksiyonları şekildeki taralı
kısımda analitiktir.
vi. 0 ÐDÑ œ ÈD $  " fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi, logaritmanın
E! œ ÖD À !  arg D  #1× kümesindeki dalını kullanarak, bulunuz ve bu
kümeyi geometrik olarak gösteriniz. Ayrıca, 0 ÐDÑ fonksiyonunun bu kümedeki
türevini hesaplayınız.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ ÈD $  " fonksiyonu çok değerlidir. Logaritmanın verilen
dalı kullanılarak
0 ÐDÑ œ ÈD $  " œ / # log ÐD
"
$
"Ñ
yazılır. Böylece, fonksiyon tek değerli olur. Bu durumda 0 ÐDÑß
2ÐDÑ œ logÐD $  "Ñ fonksiyonunun analitik olduğu kümede analitiktir.
2" ÐDÑ œ D $  " bir tam fonksiyondur. Logaritmanın verilen dalı gözönüne
alınırsa
2ÐDÑ œ logÐD $  "Ñ œ logÐ?  3@Ñ
fonksiyonunun
E œ ‚ÏÖB  3C À ? !ß @ œ !× kümesinde analitik olduğu görülür. D œ B  3C
için
D $  " œ ÐB$  $BC#  "Ñ  3Ð$B# C  C$ Ñ
olduğundan
? œ B$  $BC#  "ß
@ œ $B# C  C$
dir.
E" œ ÖB  3C À ? !ß @ œ !× kümesinde yerine yazdığımızda
E" œ ÖB  3C À B$  $BC#  " !ß $B# C  C$ œ !×
Bunları
152
olur. Şimdi E" kümesini daha açık bir şekilde yazalımÞ Bunun için
B$  $BC#  " !
$B# C  C$ œ !
sistemini sağlayan B ve C yi belirleyelim. Bu sistemdeki ikinci denklemden
$B# C  C$ œ ! Ê C œ ! ” C œ …È$B
bulunur. Bunları sistemdeki birinci ifadede yerine yazarsak
i. C œ ! için B$  " ! Ê B ",
ii. C œ …È$B için Ê B Ÿ  "#
elde edilir. O halde
Ew" œ ÖB  3C À B "ß C œ !×ß
"
Eww" œ ÖB  3C À B Ÿ  ß C œ  È$B×ß
#
"
www
E" œ ÖB  3C À B Ÿ  ß C œ È$B×
#
olmak üzere
E" œ Ew"  E"ww  E"www
"
œ ÖB  3C À B "ß C œ !×  ÖB  3C À B Ÿ  ß C œ  È$B×
#
"
 ÖB  3C À B Ÿ  ß C œ È$B×
#
yazılır. O halde, 2ÐDÑ œ logÐD $  "Ñ fonksiyonu
E œ ‚ÏE"
kümesinde analitiktir. Dolayısıyla verilen 0 ÐDÑ œ ÈD $  " fonksiyonu bu E
kümesinde analitik olur. Bu kümedeki türevi
0 w ÐDÑ œ
dir.
$D #
#È D $  "
153
2.7.2. Şekil: 0 ÐDÑ œ ÈD $  " fonksiyonu şekildeki taralı kısımda analitiktir.
vii. 0 ÐDÑ œ #D fonksiyonunun analitik olduğu kümeyi ve bu kümedeki
türevini bulunuz.
Çözüm: D − ‚Ï™ için 0 ÐDÑ œ #D nin birden fazla değeri olacağından çok
değerli bir fonksiyondur.
#D œ /Dlog #
olarak yazılır. Logaritmanın belirli bir dalı için log # belirli bir sayı olacağından
0 ÐDÑ œ #D bir tam fonksiyondur. Bu dal gözönüne alınarak
0 w ÐDÑ œ #D log #
olur.
Bir bölgede analitik fonksiyonlar: Analiz derslerinde, Ð+ß ,Ñ açık
aralığında 0 w ÐBÑ œ ! olması halinde 0 ÐBÑ fonksiyonunun bu aralıkta sabit
olacağını görmüştük. Bu ifadenin benzerini analitik fonksiyonlar için
inceleyeceğiz. Daha önce bir hazırlık önermesi verelim.
2.7.9. Önerme: F düzlemde bir bölge ve ? À F Ä ‘ fonksiyonu verilsin.
Her ÐBß CÑ − F için ?B ÐBß CÑ œ ?C ÐBß CÑ œ ! ise ?ß F bölgesinde sabit olur.
İspat: F , bölgesinde kapsanan ve merkezi - œ Ð+ß ,Ñ olan bir O açık
dairesini gözönüne alalım. D œ ÐBß CÑß O nın keyfi bir noktası olsun. Ortalama
Değer Teoremine göre D ile - noktalarını birleştiren doğru parçası üzerindeki
Ð' ß (Ñ noktası için
154
?ÐDÑ  ?Ð-Ñ œ ?B Ð' ÑÐB  +Ñ  ?C Ð(ÑÐC  ,Ñ œ ! † ÐB  +Ñ  ! † ÐC  ,Ñ œ !
yazılır. Böylece O daki her D için ?ÐDÑ œ ?Ð-Ñ olur. O halde, F bölgesinde
kapsanan her açık daire içinde ? bir sabit fonksiyon olur. Burada ?ÐDÑ ve ?Ð-Ñ
ile sırasıyla ?ÐBß CÑ ve ?Ð+ß ,Ñ gösterilmiştir.
D! œ ÐB! ß C! Ñ, F nin keyfi fakat sabit bir noktası için
Y œ ÖD − F À ?ÐDÑ œ ?ÐD! Ñ×ß
Z œ ÖD − F À ?ÐDÑ Á ?ÐD! Ñ×
olacak şekilde Y ve Z kümelerini tanımlayalım. Dikkat edilirse F œ Y  Z ve
Y  Z œ g olur. İddia ediyoruz ki Y ve Z kümeleri açıktır. Önce Y nun açık
olduğunu gösterelim: D − Y için H œ HÐDà <Ñ § F olacak şekilde H açık
dairesini gözönüne alalım. Yukarıda görüldü ki ? fonksiyonu F bölgesinde
kapsanan her açık dairede sabittir. O halde her D w œ ÐBw ß Cw Ñ − H için
?ÐD w Ñ œ ?ÐDÑ œ ?ÐD! Ñ olur. Yani H § Y dur. D , Y nun keyfi bir elemanı
olduğundan her D − Y için bu sağlanır. O haldeß Y açık bir kümedir. Şimdi de
Z nin açık bir küme olduğunu gösterelim: D − Z için Hw œ Hw ÐDà <Ñ § F
olacak şekilde Hw açık dairesini gözönüne alalım. ? fonksiyonu F bölgesinde
kapsanan her açık dairede sabit olduğundan her D w − Hw için ?ÐD w Ñ œ ?ÐDÑ
Á ?ÐD! Ñß yani H § Z dir. O halde, Z açık bir kümedir. F bir bölge
olduğundan, Y ve Z açık ve ayrık kümeleri için F œ Y  Z yazıldığında ya Y
ya da Z kümesi boş olmalıdır. D! − Y olduğundan Z œ g olur. Bu F œ Y
demektir. Yani, her D − F için ?ÐDÑ œ ?ÐD! Ñ olur. Dolayısıyla ?, F bölgesinde
sabittir. …
2.7.10. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonu bir F bölgesinde analitik olsun. Her
D − F için 0 w ÐDÑ œ ! oluyorsa 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde sabittir.
İspat: 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ alalım. 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde
analitik olduğundan bu bölgede diferensiyellenebilir ve türevi de
0 w ÐDÑ œ ?B ÐBß CÑ  [email protected] ÐBß CÑ olarak yazılır. Hipotezde 0 w ÐDÑ œ ! olarak
verildiğinden, F bölgesinde
?B ÐBß CÑ  [email protected] ÐBß CÑ œ ! Ê ?B ÐBß CÑ œ !ß
@B ÐBß CÑ œ !
dır. 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde analitik olduğundan, bu bölgede CauchyRiemann denklemleri sağlanacaktır. Dolayısıyla, F bölgesinde
?C ÐBß CÑ œ !,
@C ÐBß CÑ œ !
155
olur. ? ve @ için 2.7.9. Önerme sağlandığından, ? ve @ fonksiyonları F
bölgesinde sabittir. Bu da, 0 ÐDÑ fonksiyonunun F bölgesinde sabit olmasını
gerektirir.…
Başka hangi şartlar altında bir analitik fonksiyonun bir bölgede sabit
olabileceği aşağıdaki teoremde verilmiştir:
2.7.11. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonu bir F bölgesinde analitik olsun. Her
D − F için aşağıdaki ifadelerden herhangi birisi sağlanırsa 0 ÐDÑ fonksiyonu F
bölgesinde sabit olur.
i. Re Ò0 ÐDÑÓ œ sabit.
ii. Im Ò0 ÐDÑÓ œ sabit.
iii. l0 ÐDÑl œ sabit.
İspat: i. 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ alalım. 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde
analitik olduğundan bu bölgede diferensiyellenebilir ve türevi de
0 w ÐDÑ œ ?B ÐBß CÑ  [email protected] ÐBß CÑ olarak yazılır. Hipotezde Re Ò0 ÐDÑÓ œ sabit olarak
verildiğinden uygun bir - reel sayısı için Re Ò0 ÐDÑÓ œ ? œ - yazılır. Bu durumda
her ÐBß CÑ − F için
?B ÐBß CÑ œ !,
?C ÐBß CÑ œ !
olur. Bu denklemler ve Cauchy-Riemann denklemleri gözönüne alınarak her
ÐBß CÑ − F için
@B ÐBß CÑ œ !,
@C ÐBß CÑ œ !
yazılır. Dolayısıyla 2.7.9. Önermeye göre @ß F bölgesinde sabit olur. Bu, her
D œ ÐBß CÑ − F için
0 w ÐDÑ œ @C ÐBß CÑ  [email protected] ÐBß CÑ œ !
olması demektir. 2.7.10. Teoreme göre 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde sabittir.
ii. @ÐBß CÑ œ - alınarak i.şıkka benzer şekilde ispatlanır.
iii. 0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ olsun. Hipotezde l0 ÐDÑl œ sabit olarak
verildiğinden uygun bir negatif olmayan - reel sayısı için l0 ÐDÑl œ - yazılır. Bu
durumda
l0 ÐDÑl œ - Ê ?#  @# œ - #
156
olur. - nin alınışından - ! dır. - œ ! ise 0 ÐDÑ œ ! olup fonksiyon sabittir.
Yani teorem doğrudur. -  ! olsun. ?#  @# œ - # eşitliğinden, kısmi türev
alınarak,
??B  @@B œ !
??C  @@C œ !
denklem sistemi yazılır. Cauchy-Riemann denklemleri gözönüne alındığında bu
denklem sistemi
??B  @?C œ !
??C  @?B œ !
haline dönüşür. Buradan
?B ÐBß CÑ œ !ß
?C ÐBß CÑ œ !
elde edilir. Bu ? nun yani, ReÒ0 ÐDÑÓ nin sabit olması demektir. O halde ii.şıkka
göre, 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde sabittir.…
2.7.10. Teorem ve 2.7.11. Teoremlerin bir bölge üzerinde geçerli olduğunu
tekrar hatırlatalım. Eğer bölge yerine keyfi bir açık küme alınırsa bu teoremlerin
doğru olması gerekmediğini vurgulayalım. Aşağıdaki örnek bununla ilgilidir.
2.7.12. Örnek: E" ve E# , ‚ de boş olmayan iki açık küme, E"  E# œ g
ve E œ E"  E# olsun.
0 À E Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ œ
"ß
 "ß
D − E"
D − E#
fonksiyonunu gözönüne alalım. E açık kümesinde 0 ÐDÑ fonksiyonu analitik ve
0 w ÐDÑ œ ! dır. Ancak 0 ÐDÑ fonksiyonu E açık kümesinde sabit değildir.ú
Önceki bilgilerimiz gözönüne alındığında 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitikliği,
en genel anlamda, bir açık küme üzerinde incelenmişti. Ancak 2.7.10. Teorem
ve 2.7.12. Örnekten görüleceği gibi, 2.7.10. Teorem, bölgede analitik olan
fonksiyonlar için (açık küme üzerinde analitik olan fonksiyonlara göre) ilave bir
özelliktir. Bu yüzden analitik fonksiyonları incelerken açık küme yerine bölge
tercih etmek daha uygundur.
Harmonik fonksiyonlar: Burada bir bölge üzerinde harmonik olan
fonksiyonlarla ilgileneceğiz. Önce harmonik fonksiyonun tanımını vermekle işe
başlayalım.
157
2.7.13. Tanım: F § ‘# bölgesi ve ?:F Ä ‘ fonksiyonu verilsin. ? nun
birinci ve ikinci dereceden kısmi türevlerinin F bölgesinde var ve sürekli
olduğunu kabul edelim. Ayrıca her ÐBß CÑ − F için
?BB ÐBß CÑ  ?CC ÐBß CÑ œ !
oluyorsa ? ya F bölgesinde harmonik fonksiyon denir.
Bu
?BB ÐBß CÑ  ?CC ÐBß CÑ œ ! kısmi diferensiyel denklemi Laplace
denklemi olarak bilinir. Demek ki harmonik fonksiyonlar Laplace denkleminin
çözümleridir.
2.7.14. Örnek: i. ? À ‘# Ä ‘ß ?ÐBß CÑ œ B#  C# fonksiyonunun ‘# de
harmonik olup olmadığını söyleyiniz.
Çözüm: ? fonksiyonunun
?B œ #Bß
?C œ  #Cß
?BB œ #ß
?CC œ  #
kısmi türevleri ‘# kümesinde var ve süreklidir. Diğer yandan her ÐBß CÑ − ‘#
için
?BB ÐBß CÑ  ?CC ÐBß CÑ œ #  # œ !
olur. Yani ?, ‘# de harmonik bir fonksiyondur.
ii. ? À ‘# Ä ‘ß ?ÐBß CÑ œ sinB fonksiyonunun harmonik olduğu bölge
olup olmadığını araştırınız.
Çözüm: ? fonksiyonunun
?B œ cos Bß
?C œ !ß
?BB œ  sin Bß
?CC œ !
kısmi türevleri ‘# kümesinde var ve süreklidir. Diğer yandan
?BB ÐBß CÑ  ?CC ÐBß CÑ œ  sin B
olur. Bu eşitliğin sıfır olması için sin B œ ! olmalıdır. Bu denkleminin çözüm
kümesi ise E œ ÖÐBß CÑ À B œ 5 1ß 5 − ™× Á ‘# dır. Laplace denkleminin
sağlandığı küme E ve E da bölge olmadığından, biz de harmonikliği bir bölge
üzerinde tanımladığımızdan ? nun harmonik olduğu bölge yoktur. Yani ?,
harmonik değildir. ú
158
Şimdi, analitik fonksiyonlar ile harmonik fonksiyonlar arasındaki ilişkiden
bahsedeceğiz. Bunun için, daha sonra ispatlayacağımız, bir özelliğe daha
ihtiyacımız vardır. Bu özellik, burada ihtiyaç duyulan şekliyle, şöyle ifade
edilebilir: 0 ÐDÑ œ ?  3@ fonksiyonu bir F bölgesinde analitik ise ? ve @
fonksiyonlarının bu F bölgesinde her dereceden sürekli kısmi türevleri vardır.
2.7.15. Teorem: 0 ÐDÑ œ ?  3@ fonksiyonu F bölgesinde analitik ise ? ve
@ fonksiyonları bu bölgede harmoniktir.
İspat: 0 , F bölgesinde analitik olduğundan bu bölgede
? B œ @ C ß ? C œ  @B
Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır. Bu eşitliklerin B e göre kısmi türevini
alırsak
?BB œ @CB ß ?CB œ  @BB
ve C ye göre kısmi türevini alırsak
?BC œ @CC ß
?CC œ  @BC
buluruz. Bu kısmi türevlerin sürekli olduğu yukarıdaki özellikte verildi. Analiz
derslerinden hatırlanacağı gibi, kısmi türevlerin sürekliliği
?BC œ ?CB ß @BC œ @CB
olmasını gerektirir. Bu eşitlikleri de dikkate alarak F bölgesinde
?BB ÐBß CÑ  ?CC ÐBß CÑ œ !
ve
@BB ÐBß CÑ  @CC ÐBß CÑ œ !
yazılır. Yani ? ve @, F bölgesinde harmoniktir.…
Bu teoremden sonra doğal olarak aklımıza şu soru gelir: ? ve @
fonksiyonları bir F bölgesinde harmonik ise 0 ÐDÑ œ ?  3@ fonksiyonu bu
bölgede analitik olur mu? Buna verilecek cevap, 0 ÐDÑ œ ?  3@ fonksiyonunun
bu bölgede her zaman analitik olamayacağıdır. Eğer analitik olursa "harmonik
eşlenik" diye yeni bir kavram tanımlarız.
2.7.16. Tanım: ? ve @ fonksiyonları F bölgesinde harmonik olsun.
0 ÐDÑ œ ?  3@ fonksiyonu F bölgesinde analitik ise @ ye ? nun harmonik
eşleniği denir.
159
0 ÐDÑ œ ?  3@ bir analitik fonksiyon olsun. Burada ? (veya @)
fonksiyonunu bilirsek Cauchy-Riemann denklemlerini kullanarak @ (veya ?)
fonksiyonunu bulabiliriz. İşte bu şekilde hareket ederek verilen bir harmonik
fonksiyonun harmonik eşleniğini bulabiliriz.
2.7.17. Örnek: i. Reel kısmı ? œ /B Ðsin C  cos CÑ olan 0 ÐDÑ œ ?  3@
analitik fonksiyonunu bulunuz ve bu fonksiyonu D cinsinden yazınız.
Çözüm: 0 fonksiyonunun analitik olması istendiğine göre ? ve @
fonksiyonlarının Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması gerekir. CauchyRiemann denklemlerinden ?B œ @C kullanılarak
?B œ @C Ê @C œ  /B Ðsin C  cos CÑ
Ê @ œ ( /B Ðcos C  sin CÑ.C
C
Ê @ œ /B Ðsin C  cos CÑ  :ÐBÑ
ve ?C œ  @B kullanılarak da
?C œ  @B Ê  /B Ðsin C  cos CÑ œ  /B Ðsin C  cos CÑ  :w ÐBÑ
Ê :w ÐBÑ œ !
Ê :ÐBÑ œ -
bulunur. Burada ' ile integralin C ye göre alınacağı belirtilmektedir. O halde
C
@ œ /B Ðsin C  cos CÑ  -
Ð- − ‘Ñ
dır. Dolayısıyla, ‚ komplek sayılar kümesinde, Cauchy-Riemann denklemleri
sağlanır. Diğer yandan ?ß @, ?B ß ?C ß @B ß @C fonksiyonlarının her biri ‚
komplek sayılar kümesinde süreklidir. O halde
0 ÐDÑ œ ?  3@ œ Ò/B Ðsin C  cos CÑÓ  3Ò/B Ðsin C  cos CÑ  -Ó
tam fonksiyondur.
Not: Bu fonksiyonu D cinsinden yazmak istersek, uygun olan, şu iki yoldan
birisi tercih edilebilir:
1.yol: D œ B  3C için
Bœ
DD
ß
#
Cœ
DD
#3
160
olduğu biliniyor. Bu değerler BC  cinsinden verilmiş fonksiyonda yerine
yazılırsa 0 ÐDÑ fonksiyonu D cinsinden ifade edilmiş olur.
2.yol: 0 ÐDÑ fonksiyonu, B ekseni üzerindeki bir açık aralığı kapsayan
bölgede analitik ise C œ ! alıp B yerine D yazılarak 0 ÐDÑ fonksiyonu D cinsinden
ifade edilmiş olur (Bak 4.5.9. Sonuç ve 4.5.10. Örnek).
0 ÐDÑ tam fonksiyon olduğundan, 2.yolu kullanarak, C œ ! alıp B yerine D
yazarak 0 ÐDÑ fonksiyonu D cinsinden
0 ÐDÑ œ  /D  3/D  G
(G − ‚)
şeklinde yazılır.
ii. ? œ $BC#  B$ fonksiyonunun harmonik olduğunu gösteriniz ve
harmonik eşleniğini bulunuz.
Çözüm: ? fonksiyonu, ikinci dereceye kadar sürekli kısmi türevlere sahip
ve
?BB  ?CC œ  'B  'B œ !
olduğu görülür. Yani ?, ‘# de harmoniktir.
Şimdi ? nun harmonik eşleniğini bulalım. 0 ÐDÑ œ ?  3@ analitik olacak
şekilde @ fonksiyonunu bulmalıyız. i.şıktaki yolu aynen takip edeceğiz. CauchyRiemann denklemlerinden ?B œ @C kullanılarak
?B œ @C Ê @C œ $C#  $B#
Ê @ œ ( Ð$C#  $B# Ñ.C
C
Ê @ œ C$  $B# C  :ÐBÑ
ve ?C œ  @B kullanılarak da
?C œ  @B Ê  'BC œ  'BC  :w ÐBÑ
Ê :w ÐBÑ œ !
Ê :ÐBÑ œ bulunur. O halde
@ œ C$  $B# C  -
Ð- − ‘Ñ
161
dır. Dolayısıyla, ‚ komplek sayılar kümesinde, Cauchy-Riemann denklemleri
sağlanır. Diğer yandan ?ß @, ?B ß ?C ß @B ß @C fonksiyonlarının her biri ‚
komplek sayılar kümesinde süreklidir. O halde
0 ÐDÑ œ ?  3@ œ Ò$BC#  B$ Ó  3ÒC$  $B# C  -Ó
tam fonksiyondur. Bu durumda @ œ C$  $B# C  - tüm düzlemde harmoniktir.
Sonuç olarak ? nun harmonik eşleniğidir.ú
Bu örnekten görüleceği gibi, ? nun harmonik eşleniği olan @ tek değildir.
Ancak, herhangi iki harmonik eşlenik arasındaki fark sabit bir sayıdır. Bunu şu
şekilde gösterebiliriz: @" ve @# ß ? nun iki harmonik eşleniği olsun. Bu durumda,
0" ÐDÑ œ ?  3@" ve 0# ÐDÑ œ ?  3@# analitik fonksiyonları vardır. Analitik
fonksiyonlarla ilgili özelliklerden
2ÐDÑ œ 0" ÐDÑ  0# ÐDÑ œ 3Ð@"  @# Ñ
fonksiyonunun da analitik olduğunu söyleriz. Ancak ReÒ2ÐDÑÓ œ ! olduğundan,
2.7.11.Teoreme göre, 2ÐDÑ analitik fonksiyonu sabittir. O halde, @" œ @#  dir. Yani, harmonik eşleniklerden biri bilinirse ona reel sabitler ilave ederek
diğer harmonik eşlenikler elde edilir.
Hatırlatılması gereken bir noktada şudur: @ß ? nun harmonik eşleniği ise ?
nun da @ nin harmonik eşleniği olması gerekmez. Ancak, @ß ? nun harmonik
eşleniği ise ? da  @ nin harmonik eşleniği olur.
2.7. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki fonksiyonların hangi kümelerde analitik olduklarını yazınız.
#
#
i. 0 ÐDÑ œ B$  3Ð"  CÑ$
ii. 0 ÐDÑ œ /B C ccos Ð#BCÑ  3sin Ð#BCÑd
ÐB"Ñ3C
iii. 0 ÐDÑ œ ÐB"Ñ
iv. 0 ÐDÑ œ B#  C#  #3BC
# C #
v. 0 ÐDÑ œ B#  C#  #3BC
vi. 0 ÐDÑ œ B#  3C#
vii. 0 ÐDÑ œ cos D
viii. 0 ÐDÑ œ  BC  #3 ÐB#  C# Ñ
2. Aşağıdaki fonksiyonların analitik oldukları kümeleri belirtiniz.
D
i. 0 ÐDÑ œ //
ii. 0 ÐDÑ œ sin /D
D
/
iii. 0 ÐDÑ œ #
iv. 0 ÐDÑ œ cos D
D $
"
D
v. 0 ÐDÑ œ D
vi. 0 ÐDÑ œ #
/ "
D "
3. Aşağıdaki fonksiyonların analitik oldukları kümeleri belirtiniz.
162
i. 0 ÐDÑ œ $D
iii. 0 ÐDÑ œ D "3
$
v. 0 ÐDÑ œ È
D
vii. 0 ÐDÑ œ ÈD $  "
ii. 0 ÐDÑ œ Log ÐD  "Ñ
iv. 0 ÐDÑ œ 33
ÈD
vi. 0 ÐDÑ œ
Log D
viii. 0 ÐDÑ œ Log Ð"  D # Ñ
4. Aşağıda kutupsal formda verilmiş fonksiyonların, varsa, analitik oldukları
kümeleri belirtiniz.
i. 0 ÐDÑ œ <# cos# )  3<# sin# )
ii. 0 ÐDÑ œ <& cosÐ&) Ñ  3<& sinÐ&) Ñ
5. 0 ÐDÑ œ ?  3@ bir tam fonksiyon ve @# œ ? ise 0 ÐDÑ fonksiyonunun sabit
olduğunu gösteriniz.
6. ? œ B$  +BC#
ve @ œ ,B# C  -C$  " olmak üzere 0 ÐDÑ œ ?  3@
fonksiyonu verilsin. 0 ÐDÑ fonksiyonunun tam olması için +ß ,ß - katsayıları ne
olmalıdır?
7. Reel kısmı ? œ $B# C  #B#  C$  #C# olan 0 ÐDÑ œ ?  3@
fonksiyonunu bulunuz ve bu fonksiyonu D cinsinden yazınız.
tam
8. Aşağıdaki fonksiyonların harmonik olup olmadığını araştırınız. Harmonik ise
harmonik eşleniğini bulunuz.
i. ? œ BC
iii. ? œ /B cos B
ii. ? œ sin B cosh C
iv. ? œ B#  C#  C
9. 0 ÐD! Ñ Á ! ve 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitik, 1ÐDÑ fonksiyonu da D!
noktasında analitik değilse 2ÐDÑ œ 0 ÐDÑ1ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında
analitik olamayacağını gösteriniz. (Yol gösterme: 2.7.6.Teoremi kullanınız.)
163
3.BÖLÜM
KOMPLEKS
İNTEGRASYON
3.1. Kompleks Düzlemde Eğri:
Bu başlık altında, ihtiyacımıza cevap verecek kadar, ‚ deki eğrilerin bazı
özelliklerini inceleyeceğiz. Düzlemde hareketli bir noktanın eğri çizdiğini
biliriz. Eğriyi, matematiksel olarak, aşağıdaki gibi tanımlarız.
3.1.1. Tanım: Ò+ß ,Ó § ‘ olmak üzere # À Ò+ß ,Ó Ä ‚ sürekli fonksiyonuna
‚ de bir eğri denir.
Bu tanımda + noktasındaki sürekliliğin sağdan ve , noktasındaki
sürekliliğin soldan olduğu anlaşılacaktır. Ayrıca, # À Ò+ß ,Ó Ä ‚ fonksiyonunun
kuralı parametrik olarak # Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñ ile verilir. # À Ò+ß ,Ó Ä ‚,
# Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñ eğrisini # Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñ, + Ÿ > Ÿ , ile de gösteririz. B
ve C nin > parametresine bağlı olduğu gözönüne alınarak BÐ>Ñ yerine Bß CÐ>Ñ
yerine C yazacağız. Bir eğriyi geometrik olarak c+ß ,d aralığının # fonksiyonu
altındaki görüntüsü olan şekil ile veririz.
3.1.2. Örnek: i. # À c"ß #d Ä ‚ß # Ð>Ñ œ >  #3> fonksiyonunu gözönüne
alalım. Bu, sürekli bir fonksiyon olduğundan dolayı ‚ de bir eğridir. Burada
B œ >ß C œ #> olduğundan # eğrisi, BC düzlemindeki, C œ #Bß " Ÿ B Ÿ # doğru
parçasının parametrik gösterilmesinden başka bir şey değildir.
ii. # Ð>Ñ œ È>  3>ß " Ÿ > Ÿ % fonksiyonu, c"ß %d aralığından ‚ ye sürekli
bir fonksiyon olduğundan, ‚ de bir eğridir. B œ È> ve C œ > olduğu dikkate
alınırsa # eğrisi BC düzlemindeki C œ B# parabolünün " Ÿ B Ÿ # aralığındaki
parçasıdır.ú
164
# Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñ, + Ÿ > Ÿ , eğrisi verildiğinde # Ð+Ñ ve # Ð,Ñ eğrinin uç
noktaları olarak adlandırılır. # Ð+Ñ ya eğrinin başlangıç noktası, # Ð,Ñ ye de
eğrinin bitiş noktası adı verilir. # Ð+Ñ œ # Ð,Ñ oluyorsa # Ð>Ñ eğrisine kapalı eğri
denir. 3.1.1. Şekildeki (b) ve (c) kapalı eğrilerdir. >, + dan , ye artarken, buna
karşılık gelen # Ð>Ñ nin # Ð+Ñ dan # Ð,Ñ ye doğru sıralanması eğrinin yönünü
belirtir. Kapalı bir eğrinin yönü ya pozitif veya negatiftir. Kapalı olmayan
eğriler için başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru sıralama yön olarak
alınır.
3.1.1. Şekil: (a) # (a) dan # (b) ye doğru, (b) negatif yön, (c) pozitif yön
Eğrileri, uç noktaların çakışma durumu hariç, kendini kesip kesmemesi
durumuna göre sınıflandırırız. Uç noktaların çakışması hariç, kendini kesmeyen
eğrilere basit eğriler denir. Yani, #Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , eğrisi Ò+ß ,)
(veya Ð+ß ,Ó) aralığında bire-bir ise # Ð>Ñ eğrisine basit eğri adı verilir. Buradan
anlaşılacağı gibi eğrinin uç noktalarının çakışması onun basit eğri oluşunu
etkilemez. 3.1.1. Şekildeki Ð+Ñ ve (b) de basit eğri, (c) de ise basit olmayan eğri
gösterilmiştir. Bir eğri hem basit hemde kapalı olabilir. Böyle eğrilere basit
kapalı eğri (veya Jordan eğrisi) denir. Basit kapalı # eğrisi, kompleks düzlemi
biri sınırlı diğeri sınırsız iki bölgeye ayırır. Sınırlı bölgeye # basit kapalı
eğrisinin içi, sınırsız bölgeye ise # basit kapalı eğrisinin dışı denir. Keyfi bir
kapalı eğrinin içi ve dışı kavramları daha sonra tanımlanacaktır.
Dikkat edilmesi gereken bir nokta da şudur: Bir eğrinin parametrik
gösterilişi tek değildir. 2 À c-ß . d Ä c+ß ,d fonksiyonu örten, sürekli, ayrıca
2w Ð>Ñ  ! ve 2w Ð>Ñ sürekli olsun. Böyle verilen 2 fonksiyonu için 2Ð-Ñ œ +ß
2Ð.Ñ œ , yazılır. Bu durumda # Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , olmak üzere
" À c-ß . d Ä ‚, " Ð=Ñ œ # c2Ð=Ñd bir eğridir ve # ile aynı eğriyi gösterir. Bu "
eğrisine # eğrisinin yeniden parametrelenmişi (değişik bir parametre ile
verilmişi) denir.
3.1.3. Örnek: i. #Ð>Ñ œ "  3>ß ! Ÿ > Ÿ " eğrisi verilsin. 2 À c"ß /d Ä
c!ß "dß 2Ð=Ñ œ ln = alalım. 2, c"ß /d aralığında örten, sürekliß yine bu aralıkta
2w Ð=Ñ œ "=  ! ve 2w Ð=Ñ süreklidir. O halde " Ð>Ñ œ # Ð2Ð>ÑÑ œ "  3ln >,
" Ÿ > Ÿ /, # Ð>Ñ eğrisinin yeniden parametrelenmişidir.
165
ii. #Ð>Ñ œ Ð#  >Ñ  3ß " Ÿ > Ÿ # eğrisi verilsin. 2 À c2ß 4d Ä c1ß 2dß
2Ð=Ñ œ #= alalım. 2, c#ß %d aralığında örten, sürekli, yine bu aralıkta
2w Ð=Ñ œ "#  ! ve 2w Ð=Ñ sürekli olduğundan " Ð>Ñ œ # Ð2Ð>ÑÑ œ Ð#  #> Ñ  3,
# Ÿ > Ÿ %, # Ð>Ñ eğrisinin yeniden parametrelenmiş şeklidir.ú
3.1.4. Tanım: i. #Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , eğrisi verilsin. Eğer Ò+ß ,Ó
aralığında # w Ð>Ñ œ Bw Ð>Ñ  3Cw Ð>Ñ türevi sürekli ve sıfırdan farklı ise # eğrisine
düzgün eğri denir.
ii.
#Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ ,
eğrisi
verilsin.
+ œ B!  B"
 â  B8 œ , olmak üzere c œ ÖB! ß B" ß ÞÞÞß B8 ×, Ò+ß ,Ó aralığının sonlu bir
bölüntüsü olsun. # nın ÒB5" ß B5 Ó aralıklarına kısıtlanması bir düzgün eğri
olacak şekilde Ò+ß ,Ó aralığının bir c bölüntüsü varsa # eğrisine parçalı düzgün
eğri (veya çevre veya yol) denir.
Not: i. 3.1.4. Tanımda, + noktasındaki türevin sağdan, , noktasındaki
türevin ise soldan olduğu anlaşılacaktır.
ii. Düzgün eğri ile üzerindeki her bir noktada bir tek teğete sahip olan eğri
kastedilmektedir.
iii. Parçalı düzgün eğri, sonlu sayıda düzgün eğrinin uç uca eklenmesiyle
oluşmuş eğridir. # , parçalı düzgün bir eğri ise # w Ð>Ñ parçalı sürekli bir
fonksiyondur.
3.1.5. Örnek: i. #Ð>Ñ œ >  3>ß ! Ÿ > Ÿ " eğrisinin kapalı, basit, düzgün
(veya parçalı düzgün) olup olmadığını belirtiniz.
Çözüm: ! Ÿ > Ÿ " için # w Ð>Ñ œ "  3 sürekli ve sıfırdan farklı olduğundan
# düzgün bir eğridir. # Ð!Ñ œ ! Á "  3 œ # Ð"Ñ olduğundan kapalı değildir.
Ayrıca, bu eğri basittir.
ii. # Ð>Ñ œ cos >  3sin >ß ! Ÿ > Ÿ #1 eğrisinin kapalı, basit, düzgün (veya
parçalı düzgün) olup olmadığını ve yönünü belirtiniz.
Çözüm: ! Ÿ > Ÿ #1 için # w Ð>Ñ œ  sin >  3cos > sürekli ve sıfırdan farklı
olduğundan verilen eğri düzgündür. # Ð!Ñ œ " œ # Ð#1Ñ olup eğri kapalıdır.
Ayrıca, ! Ÿ >  #1 aralığında # Ð>" Ñ œ # Ð># Ñ olması >" œ ># olmasını
gerektirdiğinden basit bir eğridir. Yani # Ð>Ñ œ cos >  3sin >ß ! Ÿ > Ÿ #1 bir
Jordan eğrisidir. Ayrıca, > nin artan kuvvetlerine göre # Ð>Ñ leri
yerleştirdiğimizde # Ð!Ñ dan # Ð#1Ñ ye doğru pozitif yönde bir eğri olduğu
görülür. Dikkat edilirse # Ð>Ñ œ cos >  3sin >ß ! Ÿ > Ÿ #1 pozitif yönlü birim
166
çemberin parametrik denklemidir. Bu, # Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 şeklinde de
yazılır.
iii. # Ð>Ñ œ cos >  3sin >ß ! Ÿ > Ÿ #1 eğrisinin kapalı, basit, düzgün (veya
parçalı düzgün) olup olmadığını ve yönünü belirtiniz.
Çözüm: Bu, düzgün ve basit kapalı bir eğridir. Ayrıca, > nin artan
kuvvetlerine göre # Ð>Ñ leri yerleştirdiğimizde # Ð!Ñ dan # Ð#1Ñ ye doğru negatif
yönde bir eğri olduğu görülür. Diğer özellikler ii.şıktaki gibidir. Dikkat edilirse
# Ð>Ñ œ cos>  3sin >ß ! Ÿ > Ÿ #1 negatif yönlü birim çemberin parametrik
denklemidir. Bu, # Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 şeklinde de yazılır.
iv. D! merkezli < yarıçaplı ve pozitif yönlü basit kapalı bir çemberin
parametrik denklemi # Ð>Ñ œ D!  </3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 şeklindedir. ii.şıktaki eğri ile
aynı özelliklere sahiptir. Burada D! œ ! alınırsa, orijin merkezli < yarıçaplı,
pozitif yönlü # Ð>Ñ œ </3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 çemberi bulunur.ú
#
#
Not: lD  D! l œ < çemberiß B+#  C,# œ " elipsi, ... şeklinde verilen veya
üçgen, kare, çember, elips, ... gibi söylenen kapalı eğrilerin pozitif yönlü ve
basit kapalı olduğu kabul edilecektir.
Bir eğrinin tersi: # À c+ß ,d Ä ‚ eğrisi verilsin. # nın tersi  # ile
gösterilir ve  # À c+ß ,d Ä ‚ß  # Ð>Ñ œ # Ð,  +  >Ñ olarak tanımlanır. Dikkat
edilirse, # ve  # şekil olarak aynı eğriyi göstermesine rağmen yönleri
farklıdır. Yani, >ß + dan , ye doğru artarken # Ð>Ñ ler # Ð+Ñ dan # Ð,Ñ ye doğru,
 # Ð>Ñ ler de # Ð,Ñ den # Ð+Ñ ya doğru sıralanır.
İki eğrinin toplanması: #" À c+" ß ," d Ä ‚ ve ## À c+# ß ,# d Ä ‚ eğrileri için
#" Ð," Ñ œ ## Ð+# Ñ şartının sağlandığını kabul edelim. Bu durumda #1 ve ##
eğrilerinin toplamı #1  ## ile gösterilir ve #1  ## À c+" ß ,"  ,#  +# d Ä ‚ß
Ð#1  ## ÑÐ>Ñ œ œ
#1 Ð>Ñß
## Ð>  ,"  +# Ñß
+" Ÿ > Ÿ ,"
," Ÿ > Ÿ ,"  ,#  +#
olarak tanımlanır. #1  Ð  ## Ñ yerine, kısaca, #1  ## yazacağız.
3.1. Alıştırmalar
1. Aşağıda verilen eğrileri çiziniz ve bu eğrilerin kapalı, basit, düzgün (veya
parçalı düzgün) olup olmadığını ve yönünlerini belirtiniz.
167
i. # Ð>Ñ œ 3  /3> ß ! Ÿ > Ÿ #1
ii. " Ð>Ñ œ œ
"  3Ð"  >Ñß
"  >  3ß
!Ÿ>Ÿ"
"Ÿ>Ÿ!
#Þ i. Köşeleri !ß "ß "  3 olan üçgenin parametrik denklemini yazınız.
ii. Köşeleri !ß "ß "  3 ve 3 olan karenin parametrik denklemini yazınız.
iii. Birim çemberin üst yarı düzlemdeki kısmı ile B-ekseni üzerindeki  " den "
e uzanan doğru parçasının oluşturduğu pozitif yönlü kapalı eğrinin parametrik
denklemini yazınız.
3. " , # eğrisinin yeniden parametrelenmişi olsun. # düzgün bir eğri ise " nın da
düzgün bir eğri olduğunu gösteriniz. Bunun sonucundaß # parçalı düzgün bir
eğri ise " nın da parçalı düzgün bir eğri olduğu söylenebilir mi?
4. # düzgün bir eğri olsun.  # eğrisininde düzgün bir eğri olduğunu gösteriniz.
Bunun sonucundaß # parçalı düzgün bir eğri ise  # nın da parçalı düzgün bir
eğri olduğu söylenebilir mi?
3.2. Kompleks Fonksiyonların Eğrisel İntegralleri:
Eğrisel integralin daha iyi anlaşılması için önce reel değişkenli reel değerli
fonksiyonların ve sonra da reel değişkenli kompleks değerli fonksiyonların
Ò+ß ,Ó aralığındaki belirli integrallerini inceleyeceğiz.
Reel değişkenli reel değerli fonksiyonların belirli integrali: Reel
değişkenli reel değerli fonksiyon denildiğinde 0 À E § ‘ Ä ‘, C œ 0 Ð>Ñ
şeklindeki fonksiyonlar anlaşılacaktır. Burada, analiz derslerinde görülen, reel
değişkenli reel değerli fonksiyonların Ò+ß ,Ó aralığındaki belirli integralini
hatırlatacağız. 0 À c+ß ,d Ä ‘ sınırlı fonksiyonunu gözönüne alalım.
+ œ B!  B"  â  B8 œ , olmak üzere c œ ÖB! ß B" ß ÞÞÞß B8 ×ß c+ß ,d
aralığının bir bölüntüsü olsun. >5 − cB5" ß B5 d ve ?B5 œ B5  B5" olmak üzere
"0 Ð>5 Ñ?B5
8
5œ"
toplamına Riemann toplamı denir. lc l œ makÖ?B5 À 5 œ "ß #ß ÞÞÞß 8× diyelim.
Eğer
lim "0 Ð>5 Ñ?B5
8
|clÄ!
5œ"
168
limiti varsa 0 Ð>Ñ fonksiyonunun c+ß ,d aralığında belirli integrali vardır (veya
,
0 Ð>Ñ fonksiyonu c+ß ,d aralığında integrallenebilirdir) denir ve bu limit '+ 0 Ð>Ñ.>
ile gösterilir. Yani,
( 0 Ð>Ñ.> œ lim "0 Ð>5 Ñ?B5
8
,
|c lÄ!
+
5œ"
olur. Analiz derslerinden bilinmektedir ki, 0 Ð>Ñ fonksiyonu Ò+ß ,Ó aralığında
sürekli veya parçalı sürekli ve sınırlı ise 0 Ð>Ñ fonksiyonu c+ß ,d aralığında
,
integrallenebilirdir, yani '+ 0 Ð>Ñ.> integrali vardır. 0 Ð>Ñ fonksiyonu Ò+ß ,Ó
aralığında sürekli ve J Ð>Ñß 0 Ð>Ñ nin ilkeli ise
( 0 Ð>Ñ .> œ J Ð>ѹ œ J Ð,Ñ  J Ð+Ñ
,
,
+
+
olduğu bilinmektedir.
İntegralin tanımı kullanılarak ispat edilebilen bazı özellikler aşağıdaki
teoremde verilmiştir.
3.2.1. Teorem: 0 ve 1, c+ß ,d aralığında integrallenebilen iki fonksiyon
olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler vardır:
,
,
,
i. '+ Ò0 Ð>Ñ  1Ð>ÑÓ.> œ '+ 0 Ð>Ñ.>  '+ 1Ð>Ñ.>ß
,
,
ii. '+ -0 Ð>Ñ.> œ - '+ 0 Ð>Ñ.> Ð- − ‘Ñß
,
+
iii. '+ 0 Ð>Ñ.> œ  ', 0 Ð>Ñ.>ß
,
+
,
iv. '+ 0 Ð>Ñ.> œ '+ ! 0 Ð>Ñ.>  '+ 0 Ð>Ñ.> Ð+! − c+ß ,dÑß
,
,
v. ¹'+ 0 Ð>Ñ.>¹ Ÿ '+ l0 Ð>Ñl .>Þ
!
Reel değişkenli kompleks değerli fonksiyonların belirli integrali: Reel
değişkenli kompleks değerli fonksiyon denildiğinde 0 À E § ‘ Ä ‚, A œ 0 Ð>Ñ
şeklindeki fonksiyonlar anlaşılacaktır. Burada ?Ð>Ñ ve @Ð>Ñ reel değişkenli reel
değerli fonksiyonlar olmak üzere 0 Ð>Ñ œ ?Ð>Ñ  3@Ð>Ñ şeklindedir. Şimdi, reel
değişkenli reel değerli fonksiyonların belirli integralinden yararlanarak reel
değişkenli reel değerli fonksiyonların Ò+ß ,Ó aralığındaki belirli integralini
tanımlayacağız.
3.2.2. Tanım: 0 À c+ß ,d Ä ‚ß 0 Ð>Ñ œ ?Ð>Ñ  3@Ð>Ñ fonksiyonu verilsin. ?
ve @, c+ß ,d aralığında integrallenebilen fonksiyonlar ise 0 fonksiyonunun c+ß ,d
169
aralığında belirli integrali vardır (integrallenebilirdir) denir ve bu integral
'+, 0 Ð>Ñ.> ile gösterilir. Ayrıca bu belirli integral
( 0 Ð>Ñ.> œ ( ?Ð>Ñ.>  3( @Ð>Ñ.>
,
+
,
,
+
+
olarak tanımlanır.
0 Ð>Ñ œ ?Ð>Ñ  3@Ð>Ñ olsun. c+ß ,d aralığında sürekli olan ?Ð>Ñ ve @Ð>Ñ reel
değerli reel değişkenli fonksiyonların ilkeli, sırasıyla, Y Ð>Ñ ve Z Ð>Ñ ise
( 0 Ð>Ñ.> œ ( ?Ð>Ñ.>  3( @Ð>Ñ.>
,
+
,
,
+
+
œ Y Ð>ѹ  3Z Ð>ѹ
,
,
+
+
,
œ ÒY Ð>Ñ  3Z Ð>ÑÓ¹
+
yazılabilir.
3.2.3. Örnek: i. 0 Ð>Ñ œ Ð"  >Ñ  3># fonksiyonunun Ò  "ß "Ó aralığında
integrallenebilir olduğunu gösteriniz ve
( 0 Ð>Ñ.>
"
"
integralini hesaplayınız.
Çözüm: ?Ð>Ñ œ "  >ß @Ð>Ñ œ ># fonksiyonları c  "ß "d aralığında sürekli
olduklarından 0 Ð>Ñ fonksiyonu bu aralıkta integrallenebilirdir. Bu durumda
#
#
( Ð"  >Ñ  3> ‘.> œ ( Ð"  >Ñ.>  3( > .>
"
"
"
"
"
"
>#
>$
œ Ð>  Ñl""  3 l""
#
$
#
œ#3
$
elde edilir.
ii.
170
( (cos >  3sin >).>
1
0
integralini hesaplayınız.
Çözüm: Tanıma göre
( (cos >  3sin >).> œ ( cos >.>  3( sin >.> œ #3
1
1
0
1
0
0
olur.ú
3.2.4. Teorem: 0 Ð>Ñ œ ?Ð>Ñ  3@Ð>Ñ ve 1Ð>Ñ œ ?" Ð>Ñ  3@" Ð>Ñ, c+ß ,d
aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler
vardır:
,
,
,
i. '+ Ò0 Ð>Ñ  1Ð>ÑÓ.> œ '+ 0 Ð>Ñ.>  '+ 1Ð>Ñ.>ß
,
,
ii. '+ -0 Ð>Ñ.> œ - '+ 0 Ð>Ñ.> Ð- − ‚Ñß
,
+
iii. '+ 0 Ð>Ñ.> œ  ', 0 Ð>Ñ.>ß
,
+
,
iv. '+ 0 Ð>Ñ.> œ '+ ! 0 Ð>Ñ.>  '+! 0 Ð>Ñ.> Ð+! − c+ß ,dÑß
,
,
,
,
v. Re’'+ 0 Ð>Ñ.>“ œ '+ Re[0 Ð>Ñ].> ve Im’'+ 0 Ð>Ñ.>“ œ '+ Im[0 Ð>Ñ].>
vi. ¹'+ 0 Ð>Ñ.>¹ Ÿ '+ l0 Ð>Ñl .>Þ
,
,
İspat: i-iv özelliklerinin ispatı 3.2.1. Teoremden yararlanılarak yapılır. v.
şık ise kolayca görülür.
,
,
vi. '+ 0 Ð>Ñ.> œ ! ise ¹'+ 0 Ð>Ñ.>¹ œ ! olacağından teorem doğrudur.
'+, 0 Ð>Ñ.> Á ! olduğunu kabul edelim. '+, 0 Ð>Ñ.> œ '+, ?Ð>Ñ.>  3'+, @Ð>Ñ.> bir
kompleks sayı olduğundan
< œ »( 0 Ð>Ñ.>» ve ) œ arg( 0 Ð>Ñ.>
,
,
+
+
olmak üzere
( 0 Ð>Ñ.> œ <Òcos )  3sin ) Ó
,
+
şeklinde yazılır. Bu durumda
171
< œ Òcos )  3sin )Ó( 0 Ð>Ñ.>
,
+
olur. < − ‘ olduğundan
< œ ReÒcos )  3sin )Ó( 0 Ð>Ñ.>
,
+
şeklinde de yazılır. Dolayısıyla
< œ ReÒcos )  3sin )Ó( 0 Ð>Ñ.>
,
+
œ Re( Òcos )  3sin )Ó0 Ð>Ñ.>
,
+
œ ( ReÐÒcos )  3sin )Ó0 Ð>ÑÑ.>
,
+
Ÿ ( lReÐÒcos )  3sin )Ó0 Ð>ÑÑl.>
,
+
Ÿ ( lÒcos )  3sin )Ó0 Ð>Ñl.>
,
+
œ ( l0 Ð>Ñl .>
,
+
elde edilir.
Kompleks fonksiyonların eğrisel integrali: Kompleks değişkenli
kompleks değerli fonksiyona kısaca kompleks fonksiyon adını vermiştik. Yani,
kompleks fonksiyon 0 À E § ‚ Ä ‚, A œ 0 ÐDÑ şeklindeki fonksiyondur. Şu
noktaya da işaret etmek gerekir ki eğrisel integral denildiğinde, düzgün veya
parçalı düzgün eğri üzerinden alınan integraller anlaşılacaktır. Şimdi, reel
değişkenli kompleks değerli fonksiyonların belirli integralinden yararlanarak bir
kompleks fonksiyonun düzgün bir eğri üzerindeki integralini tanımlayacağız ve
daha sonra bu tanımı parçalı düzgün eğriye genişleteceğiz. Parçalı düzgün
eğriye yol veya çevre de dediğimizden, bazı kaynaklarda eğrisel integral yerine
çevre integrali veya yol üzerinden integral da denilmektedir.
172
3.2.5. Tanım: # À c+ß ,d Ä ‚ düzgün bir eğri, 0 ÐDÑ de # ac+ß ,db üzerinde
tanımlı kompleks değerli sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda, 0 ÐDÑ
fonksiyonunun # eğrisi üzerindeki integrali '# 0 ÐDÑ.D ile gösterilir ve
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ð# Ð>ÑÑ# Ð>Ñ.>
,
#
+
olarak tanımlanır. Buna, 0 ÐDÑ fonksiyonunun eğrisel integrali denir.
Bu tanıma göre, # À c+ß ,d Ä ‚ düzgün eğrisi üzerinde sürekli olan bir 0 ÐDÑ
fonksiyonunun integralini hesaplamak için şu adımlar takip edilir:
1. Adım: # eğrisi #Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , şeklinde parametrik
olarak yazılır.
2. Adım: # Ð>Ñ fonksiyonunun # w Ð>Ñ türevi bulunur.
3. Adım: 0 ÐDÑ fonksiyonunda D yerine # Ð>Ñ (0 ÐDÑ fonksiyonu Bß C
cinsinden verilmişse B yerine BÐ>Ñà C yerine de CÐ>Ñ ) yazılarak 0 Ð# Ð>ÑÑ elde
edilir.
4. Adım: Reel değişkenli kompleks değerli 0 Ð# Ð>ÑÑ# w Ð>Ñ sürekli
fonksiyonunun Ò+ß ,Ó aralığındaki belirli integrali hesaplanır.
0 ÐDÑ œ ?ÐBß CÑ  3@ÐBß CÑ
alınırsa, bu adımlar sonucunda,
ve
# w Ð>Ñ œ Bw Ð>Ñ  3Cw Ð>Ñ
olduğu
dikkate
w
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( c?ÐBÐ>Ñß CÐ>ÑÑB Ð>Ñ  @ÐBÐ>Ñß CÐ>ÑÑC Ð>Ñd.> 
,
#
+
 3( c?ÐBÐ>Ñß CÐ>ÑÑCw Ð>Ñ  @ÐBÐ>Ñß CÐ>ÑÑBw Ð>Ñd.>
,
+
yazılır.
3.2.5. Tanımı, # nın parçalı düzgün eğri (çevre veya yol) olması durumuna
genişletebiliriz. # parçalı düzgün eğrisinin ÒB5" ß B5 Ó aralığına kısıtlanması #5
düzgün eğrisi olacak şekilde c+ß ,d aralığının c œ ÖB! ß B" ß ÞÞÞß B8 × sonlu
bölüntüsünü seçelim. Bu durumda 0 ÐDÑ fonksiyonu #ac+ß ,db üzerinde sürekli ise
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D  â  ( 0 ÐDÑ.D
#
#"
##
#8
olarak tanımlanır. Bu tanımı kullanarak, düzgün eğriler üzerinden alınan
integrallerle ilgili özellikleri parçalı düzgün eğrilere genelleştirebiliriz. Bu
kitapta, üzerinden integral hesapladığımız eğrilerin düzgün veya parçalı
173
düzgün olduğunu düşüneceğiz. Eğri dediğimiz zaman da bu tür eğrilerden
bahsettiğimiz anlaşılacaktır.
3.2.6. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ $D fonksiyonunun # Ð>Ñ œ >  3># ß ! Ÿ > Ÿ " eğrisi
üzerinden integralini hesaplayınız.
Çözüm: Bizden istenen '# 0 ÐDÑ.D œ '# $D.D integralidir. # , parametrik
olarak verilmiş düzgün bir eğri olup eğrisel integralin tanımdan
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ð# Ð>ÑÑ# Ð>Ñ.>
"
#
!
olduğu bilinmektedir. # w Ð>Ñ œ "  #3> dir. 0 ÐDÑ fonksiyonu D cinsinden
verildiğinden D yerine # Ð>Ñ œ >  3># yazarsak 0 Ð# Ð>ÑÑ œ $>  $3># bulunur. O
halde
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ð# Ð>ÑÑ# Ð>Ñ.>
"
#
!
œ ( Ð$>  $3># ÑÐ"  #3>Ñ.>
"
!
œ ( Ð$>  '>$ Ñ.>  3( *># .>
"
"
!
!
œ $3
elde edilir.
ii. # Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 birim çemberi veriliyor. Buna göre
(
.D
# D
integralini hesaplayınız.
Çözüm: 0 Ð# Ð>ÑÑ œ /3> ve # w Ð>Ñ œ 3/3> dir. Buna göre
(
elde edilir.
#1 3>
#1
.D
3/
œ(
.>
œ
3
.> œ #13
(
/3>
# D
!
!
174
lDl œ " ile pozitif yönlü basit kapalı birim çemberi gösterdiğimizden,
bazen,
(
.D
.D
yerine (
D
#
lDlœ" D
yazacağız.
iii. # , Ð"ß !Ñ noktasını Ð!ß "Ñ noktasına birleştiren doğru parçası olmak üzere
( B.D
#
integralini hesaplayınız.
Çözüm: # eğrisinin başlangıç noktası Ð"ß !Ñ, bitiş noktası ise Ð!ß "Ñ
olduğundan parametrik denklemi #Ð>Ñ œ Ð"  >Ñ  3>ß ! Ÿ > Ÿ " olarak yazılır.
O halde istenen integral
( B.D œ ( Ð"  >ÑÐ  "  3Ñ.> œ 
"
#
!
" "
 3
# #
olarak bulunur.
iv. # eğrisi Ð"ß !Ñ noktasını Ð"ß "Ñ noktasına ve Ð"ß "Ñ noktasını Ð!ß "Ñ
noktasına birleştiren doğru parçalarından oluşan çevre (parçalı düzgün eğri)
olmak üzere
( B.D
#
integralini hesaplayınız.
Çözüm: Bahsedilen # eğrisi aşağıdaki şekilde verilmiştir. Bu eğrinin Ð"ß !Ñ
175
noktasından Ð"ß "Ñ noktasına uzanan kısmına #1 , Ð"ß "Ñ noktasından Ð!ß "Ñ
noktasına uzanan kısmına da #2 diyelim. Böylece parçalı düzgün # eğrisini #1
ve ## gibi iki düzgün eğriye ayırırız. O halde
( B.D œ ( B.D  ( B.D
#
#"
##
yazılır. #1 eğrisinin parametrik denklemi #1 Ð>Ñ œ "  3>ß ! Ÿ > Ÿ "; #2 eğrisinin
parametrik denklemi ise #2 Ð>Ñ œ Ð1  >Ñ  3ß ! Ÿ > Ÿ " dir.
0 ÐDÑ œ B için
0 Ð#" Ð>ÑÑ œ 0 Ð"  3>Ñ œ 0 Ð"ß >Ñ œ "ß ! Ÿ > Ÿ "
ve
0 Ð## Ð>ÑÑ œ 0 ÐÐ"  >Ñ  3Ñ œ 0 Ð"  >ß "Ñ œ "  >ß ! Ÿ > Ÿ "
olur. Bu durumda
( 0 ÐDÑ .D œ ( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D
#
#"
"
##
œ ( 0 Ð#" Ð>ÑÑ#"w Ð>Ñ.>  ( 0 Ð## Ð>ÑÑ##w Ð>Ñ.>
"
!
!
œ ( 3.>  ( Ð"  >ÑÐ  "Ñ.>
"
!
"
!
"
œ  3
#
olarak bulunur. Bu sonuçla iii.şıktaki sonucu karşılaştırınız.
v. #1 düzgün bir eğri ve #2 , #1 in yeniden parametrelenmişi olsun. Bu
durumda
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
#1
##
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Öncelikle şunu vurgulayalım ki, #2 , #1 in yeniden
parametrelenmişi olarak verildiğinden ve #1 düzgün bir eğri olduğundan #2 de
düzgün bir eğridir. #2 À c-ß . d Ä ‚, #1 À c+ß ,d Ä ‚ eğrileri verilsin. #2 , #" in
yeniden parametrelenmişi olduğundan sürekli, örten, 2Ð-Ñ œ +ß 2Ð.Ñ œ , ayrıca
176
2w Ð>Ñ  !, 2w Ð>Ñ sürekli ve ## Ð>Ñ œ #" Ð2Ð>ÑÑ olacak şekilde bir 2 À c-ß .d Ä c+ß ,d
fonksiyonu vardır. Buna göre
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ð## Ð>ÑÑ## Ð>Ñ.>
.
#2
-
œ ( 0 Ð#" Ð2Ð>ÑÑÑ#"w Ð2Ð>ÑÑ2w Ð>Ñ.>
.
-
œ ( 0 Ð#" Ð=ÑÑ#"w Ð=Ñ.=
,
+
œ ( 0 ÐDÑ.D
#"
elde edilir. Demek ki eğrisel integral, eğrinin parametrik yazılışına bağlı
değildir. Son olarak şunu belirtelim ki, #1 , parçalı düzgün eğri olması
durumunda da bu eşitlik geçerlidir.
vi. # À c+ß ,d Ä ‚ düzgün bir eğri, 0 de # ac+ß ,db üzerinde tanımlı kompleks
değerli sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda
w
( 0 ÐDÑl.Dl œ ( 0 Ð# Ð>ÑÑl# Ð>Ñl.>
,
#
+
olarak tanımlanır. Buna göre
(
l.Dl
lDlœ" D
ve
(
lDlœ"
º
.D
º
D
integrallerini hesaplayınız.
Çözüm: lDl œ " pozitif yönlü birim çemberi göstermektedir. Bunun
parametrik denklemi # Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 dir. O halde
#1
#1
#1
#1
l.Dl
l3/3> l
3>
cos
œ
.>
œ
/
.>
œ
>.>

3
(
(
(
(
( sin >.> œ !
/3>
# D
!
!
!
!
bulunur.
Diğer yandan
#1
.D
l.Dl
3>
œ
œ
l.Dl
œ
(
(
( l3/ l.> œ #1
º º (
D
lDl
lDlœ"
lDlœ"
lDlœ"
!
177
elde edilir.
vii. #Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , düzgün eğrisi verilsin. Bu durumda
( l.Dl
#
integralini hesaplayınız. Bu integralin anlamının ne olduğunu açıklayınız.
Çözüm: vi.şıktaki formülü 0 ÐDÑ œ " alıp uygulayacağız. Buna göre
#
#
w
( l.Dl œ ( l# Ð>Ñl.> œ ( ÉcBw Ð>Ñd  cCw Ð>Ñd .>
,
#
,
+
+
yazılır.
Analiz derslerinden hatırlanacağı gibi bu, # Ð+Ñ dan # Ð,Ñ ye uzanan #
eğrisinin yay uzunluğudur. Yay uzunluğu PÐ# Ñ ile gösterilir. O halde,
PÐ# Ñ œ ( ÉcBw Ð>Ñd#  cCw Ð>Ñd# .>
,
+
olur. Örneğin, # birim çember olmak üzere
PÐ# Ñ œ (
lDlœ"
l.Dl œ (
#1
!
Éc  sin >d#  ccos >d# .> œ #1
dir. ú
Eğrisel integral ile ilgili bazı özellikler aşağıdaki teoremde verilmiştir.
3.2.7. Teorem: # eğrisinin düzgün, 0 ÐDÑ ve 1ÐDÑ fonksiyonlarının # eğrisi
üzerinde sürekli olduğunu kabul edelim. Ayrıca #1 ß #2 düzgün eğriler ve
#1  #2 œ # olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler vardır:
i. '# c0 ÐDÑ  1ÐDÑd.D œ '# 0 ÐDÑ.D  '# 1ÐDÑ.D ,
ii. '# -0 ÐDÑ.D œ - '# 0 ÐDÑ.D , Ð- − ‚Ñß
iii. '# 0 ÐDÑ.D œ  '# 0 ÐDÑ.D ,
iv. '#1 +#2 0 ÐDÑ.D œ '#" 0 ÐDÑ.D  '## 0 ÐDÑ.D ,
v. ¹'# 0 ÐDÑ.D ¹ Ÿ '# l0 ÐDÑll.Dl,
vi. # eğrisi üzerinde l0 ÐDÑl Ÿ Q ise ¹'# 0 ÐDÑ.D ¹ Ÿ Q PÐ# Ñ dır.
178
İspat: Eğrilerin düzgün olduğunu düşünerek ispatı yapmak yeterlidir.
iii. # À Ò+ß ,Ó Ä ‚ß # œ # Ð>Ñ şeklinde verilirse
 # Ð>Ñ œ # Ð,  +  >Ñ olduğunu biliyoruz. Buna göre
 # À Ò+ß ,Ó Ä ‚ß
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ò  # Ð>ÑÓÐ  # Ñ Ð>Ñ.>
,
#
+
œ ( 0 Ò# Ð,  +  >Ó# w Ð,  +  >ÑÐ  "Ñ.>
,
+
yazılır. Burada ? œ ,  +  > değişken değiştirmesi yapılırsa
.? œ  .>ß ?Ð+Ñ œ ,ß ?Ð,Ñ œ +
olur. Dolayısıyla
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ð# Ð?ÑÑ# Ð?Ñ.?
+
#
,
œ  ( 0 Ð# Ð?ÑÑ# w Ð?Ñ.?
,
+
œ  ( 0 ÐDÑ.D
#
elde edilir.
iv. #" À c+" ß ," d Ä ‚, ## À c+# ß ,# d Ä ‚ olmak üzere #1 ve ## eğrilerinin
toplamının #1  ## À c+" ß ,"  ,#  +# d Ä ‚ß
Ð#1  ## ÑÐ>Ñ œ œ
#1 Ð>Ñß
## Ð>  ,"  +# Ñß
+" Ÿ > Ÿ ,"
," Ÿ > Ÿ ,"  ,#  +#
179
olduğunu biliyoruz. O halde
(
#1 +#2
0 ÐDÑ .D œ (
œ(
," ,# +#
+"
,"
+"
(
œ(
0 ÐÐ#1  ## ÑÐ>ÑÑÐ#1  ## Ñw Ð>Ñ.>
0 Ð#" Ð>ÑÑ#"w Ð>Ñ.>
," ,# +#
,"
,"
+"
0 Ð## Ð>  ,"  +# ÑÑ##w Ð>  ,"  +# Ñ.>
0 Ð#" Ð>ÑÑ#"w Ð>Ñ.>  (
œ ( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D
#"
,#
+#
0 Ð## Ð?ÑÑ##w Ð?Ñ.?
##
elde edilir. İkinci eşitlikten üçüncü eşitliğe geçerken
? œ >  ,"  +# Ê .? œ .>
?Ð," Ñ œ +# ß ?Ð,"  ,#  +# Ñ œ ,#
değişken değiştirmesi yapılmıştır.
v. 3.2.4. Teoremin vi. şıkkı gözönüne alınarak
w
º( 0 ÐDÑ.D º œ »( 0 Ð# Ð>ÑÑ# Ð>Ñ.>»
,
#
+
Ÿ ( l0 Ð# Ð>Ñll# w Ð>Ñl.>
,
+
œ ( l0 ÐDÑll.Dl
#
elde edilir.
vi. v. şık kullanılarak sonuç görülür. …
Teoremin vi.şıkkı bize, integrali hesaplamadan integralin mutlak değerinin
ne olabileceği hakkında bir sınır vermektedir.
3.2.8. Örnek: 1. Aşağıdaki eşitsizliklerin doğruluğunu integralleri
hesaplamadan gösteriniz.
#1+
i. ¹'lDlœ" /D .D ¹ Ÿ #1/
ii. ¹'lDlœ+ D#.D
,# ¹ Ÿ +# l,l# ß Ðl,l  +Ñ
180
Çözüm: i. # birim çember olduğundan PÐ# Ñ œ #1 dir. Diğer yandan birim
çember üzerindeki bütün D œ B  3C Ð  " Ÿ B Ÿ "Ñ noktaları için
l/D l œ /B Ÿ / œ Q olur. O haldeß vi. şıktan
»(
lDlœ"
/D .D » Ÿ #1/
yazılır.
ii. lD #  ,# l œ lD #  Ð  ,# Ñl llDl#  l,l# l olduğundan ve lDl œ + ve
l,l  + için
º
D#
"
"
"
"
œ #
œ #
œQ
ºŸ
#
#
#
#
,
llDl  l,l l
l+  l,l l
+  l,l#
alınır. Ayrıca # , + yarıçaplı bir çember olduğundan PÐ# Ñ œ #1+ olur. O halde
»(
lDlœ+
D#
.D
#1 +
Ÿ #
ß Ðl,l  +Ñ
»
#
,
+  l,l#
elde edilir.
2. # , Ð!ß !Ñ noktasını Ð!ß "Ñ noktasına birleştiren doğru parçası olmak üzere
ReŒ( D .D  Á ( Re D .D
#
#
olduğunu gösteriniz. Bununla 3.2.4. Teoremin v.kısmını karşılaştırınız.
Çözüm: # Ð>Ñ œ 3>ß ! Ÿ > Ÿ " # eğrisinin parametrik denklemidir.
D œ B  3C için Re D œ B olur. Eğrisel integralin tanımından
( D .D œ  ( > .> œ 
"
#
!
"
"
ve ( Re D .D œ ( B.D œ ( !.D œ !
#
#
#
!
bulunur. Buradan da
ReŒ( D .D  œ 
#
olduğu görülür.
"
Á ! œ ( Re D .D
#
#
181
Bununla 3.2.4. Teoremin v.kısmını karşılaştırdığımızda şu sonucu
söyleyebiliriz: Reel değişkenli kompleks değerli fonksiyonların integrali için
,
,
3.2.4. Teoremin v.kısmında verilen ReŠ'+ 0 Ð>Ñ.>‹ œ '+ Re 0 Ð>Ñ .> şeklindeki
özelliğin kompleks fonksiyonların eğrisel integrali için doğru olması
gerekmez.ú
# , #1 ß #2 , #1  #2 eğrilerinin parçalı düzgün olması durumunda da 3.2.7.
Teoremin doğru olduğunu vurgulayalım.
Bir fonksiyonun ilkeli: 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde sürekli ve J ÐDÑ
fonksiyonu ise F bölgesinde analitik olsun. Her D − F için J w ÐDÑ œ 0 ÐDÑ
oluyorsa J ÐDÑ fonksiyonuna 0 ÐDÑ fonksiyonunun F deki bir ilkeli (veya
antitürevi) denir.
J ÐDÑ ilkel fonksiyonunu bulurken Analiz derslerinde gördüğümüz belirsiz
integrasyon tekniklerinden yararlanabiliriz.
3.2.9. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ #D fonksiyonunun ‚ deki ilkeli J ÐDÑ œ D #  Ð- − ‚Ñ dir.
ii. 0 ÐDÑ œ "D fonksiyonunun F œ ÖD − ‚ À  1  arg D  1× bölgesindeki
ilkeli J ÐDÑ œ Log D  - dir.
iii. 0 ÐDÑ œ D/D fonksiyonunun ‚ deki ilkeli J ÐDÑ œ D/D  /D  - Ð- − ‚Ñ
dir.ú
Şimdi, bir ilkele sahip olan 0 ÐDÑ fonksiyonunun eğrisel integralinin, ilkele
bağlı olarak, nasıl hesaplanacağını inceleyeceğiz. Bunun için Analiz derslerinde
gördüğümüz İntegral Hesabın Temel Teoreminin, Kompleks Fonksiyonlar
Teorisindeki karşılığını vererek işe başlayacağız.
3.2.10. Teorem: 0 ÐDÑß F bölgesinde sürekli bir fonksiyon ve J ÐDÑ analitik
fonksiyonu bu bölgede 0 ÐDÑ nin bir ilkeli olsun. # , F bölgesinde kalan
başlangıç noktası D1 , bitiş noktası D# olan düzgün bir eğri olmak üzere
( 0 ÐDÑ.D œ J ÐD# Ñ  J ÐD" Ñ
#
olur.
İspat: #Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , olarak alırsak hipoteze göre
# Ð+Ñ œ D" ß # Ð,Ñ œ D# olur. Yine hipoteze göre her D − F için J w ÐDÑ œ 0 ÐDÑ dir.
Eğrisel integralin tanımından hareketle
182
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ð# Ð>ÑÑ# Ð>Ñ.>
,
#
+
œ ( J w Ð# Ð>ÑÑ# w Ð>Ñ.>
,
+
œ ( .J Ð# Ð>ÑÑ
,
+
œ J Ð# Ð>ÑÑl,+
œ J Ð# Ð,ÑÑ  J Ð# Ð+ÑÑ
œ J ÐD# Ñ  J ÐD" Ñ
elde edilir.…
Not: i. 3.2.10. Teorem, # eğrisinin parçalı düzgün olması durumunda da
doğrudur.
ii. 3.2.10. Teoreme dikkat edilirse '# 0 ÐDÑ.D integrali D" ve D# noktalarına
bağlı, bu noktaları birleştiren çevrelere bağlı değildir. Yani 3.2.10. Teoremin
hipotezinin sağlanması durumunda integral yoldan bağımsızdır.
D
iii. 3.2.10. Teoremdeki '# 0 ÐDÑ.D integrali yerine bazen 'D"# 0 ÐDÑ.D
yazacağız. İntegral bu son ifade ile verilirse 3.2.10. Teoremin hipotezinin
sağlandığını kabul edeceğiz.
D
iv. 3.2.10. Teoremde D" œ D# yani # kapalı bir çevre ise 'D"# 0 ÐDÑ.D œ !
olur. Buna göre şu sonucu yazabiliriz: Eğer 0 ÐDÑ fonksiyonunun bir bölgede
ilkeli varsa bu bölgede kalan her kapalı çevre boyunca alınan integrali sıfırdır.
v. 3.2.10. Teoremden sonra doğal olarak şu soru akla gelir: Verilen bir
0 ÐDÑ fonksiyonunun hangi şartlar altında ilkeli vardır? Özel bir durum için, bu
sorunun cevabını ileride vereceğiz (Bak 3.3.11. Teorem).
3.2.11. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonunun D" œ ! noktasını D# œ 3
noktasına birleştiren yol (parçalı düzgün eğri) üzerinden integralini
hesaplayınız.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ D # fonksiyonu tüm düzlemde sürekli, J ÐDÑ œ
tam fonksiyon olup 0 ÐDÑ œ D # nin ilkelidir. O halde
3
"
#
( D .D œ J Ð3Ñ  J Ð!Ñ œ  3
$
0
elde edilir.
D$
$
de bir
183
ii. #Ð>Ñ œ >  3># ß " Ÿ > Ÿ # olmak üzere
( D.D
#
integralini hesaplayınız.
Çözüm: Bu integrali, tanımı uygulayarak, kolaylıkla hesaplayabiliriz
(bunu okuyucuya bırakıyoruz). Biz, 3.2.10. Teoremi kullanarak hesaplama
yapacağız. Verilenlere göre
D" œ # Ð"Ñ œ "  3ß D# œ # Ð#Ñ œ #  %3
yazılır. 0 ÐDÑ œ D tüm düzlemde sürekli bir fonksiyon, J ÐDÑ œ
fonksiyon olup 0 ÐDÑ œ D nin ilkelidir. O halde
( D.D œ (
#
D#
#
de bir tam
#%3
D.D œ J Ð#  %3Ñ  J Ð"  3Ñ œ  '  (3
"3
elde edilir.
iii. 0 ÐDÑ œ "D fonksiyonunun F œ ÖD − ‚ À  1  arg D  1× bölgesinde
kalan ve  3 yi 3 ye birleştiren yol üzerinden alınan integralini hesaplayınız.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ
halde
(
"
D
fonksiyonunun bu kümedeki ilkeli J ÐDÑ œ Log D dir. O
3
.D
œ Log Dl33 œ Log 3  Log Ð  3Ñ œ 13
3 D
elde edilir.
iv.
(
3Log #
D sin D .D
!
integralini hesaplayınız.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ D sin D tam fonksiyonunun ilkelini, kısmi integrasyon
metodunu kullanarak, J ÐDÑ œ  D cos D  sin D şeklinde buluruz. Buna göre
184
(
3Log #
!
$ &Log 2
D sin D .D œ Ð  D cos D  sin DÑl3!Log # œ Œ 
3
%
4
olur.
"
v. 0 ÐDÑ œ DD
!
olmadığını gösteriniz.
fonksiyonunun
F œ ‚ÏÖD! ×
bölgesinde
ilkelinin
Çözüm: # Ð>Ñ œ D!  </3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 çemberi için
(
#1
.D
3</3>
œ(
.> œ #13
3>
! D!  </  D!
# D  D!
olur. Eğer 0 nin F de ilkeli olsaydıß bu integralin sıfır olması gerekirdi. O
"
halde, 0 ÐDÑ œ DD
fonksiyonunun F bölgesinde bir ilkeli yoktur.
!
vi. # Ð>Ñ œ D!  </3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 eğrisi ve 8 − ™ veriliyor. Bu durumda
!ß
8
( ÐD  D! Ñ .D œ œ #13ß
#
8Á "
8œ "
olduğunu gösteriniz.
"
Çözüm: 8   " olsun. J ÐDÑ œ 8"
ÐD  D! Ñ8" fonksiyonu her D − ‚
için J w ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ8 œ 0 ÐDÑ dir. # eğrisi kapalı olduğundan
8
( ÐD  D! Ñ .D œ !
#
dır.
"
8   " için J ÐDÑ œ 8"
ÐD  D! Ñ8" alalım. Her D − ‚ÏÖD! × için
8
J ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ œ 0 ÐDÑ dir. # , kapalı bir eğri olduğundan
w
8
( ÐD  D! Ñ .D œ !
#
yazılır.
8 œ  " için
185
#1
.D
3</3>
œ(
.> œ #13
(
3>
! D!  </  D!
# ÐD  D! Ñ
elde edilir.ú
3.2. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
#
1
i. '# cÐ#  >Ñ  3># d.>
ii. '0 (>cos >  3>/> ).>
iii. '0 (>/>  3>$ ).>
1
#
2. # eğrisi, köşeleri Ð!ß !Ñß Ð"ß !Ñ ve Ð"ß #Ñ olan pozitif yönlü üçgen ise
#
( D .D
#
integralini hesaplayınız.
3. # eğrisi, köşeleri !ß "ß "  3 ve 3 olan pozitif yönlü kare olmak üzere
1D
( 1/ .D
#
integralini hesaplayınız.
4. # , birim çember olmak üzere
( ÐB  #C3Ñ.D
#
integralini hesaplayınız.
5. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
i. '"3 D.D
"3
ii. '! cos D.D
1
iii. 'lDlœ" /D .D
6. +#  ,# œ " olmak üzere # Ð>Ñ œ + cos >  3, sin >ß ! Ÿ > Ÿ #1 elipsi verilsin.
Önce "  Ò# Ð>ÑÓ# œ Ò# w Ð>ÑÓ# eşitliğini görünüz. Bunu kullanarak da
.D
œ …#1
( È
#
"  D#
olduğunu gösteriniz.
186
7. İntegral hesaplamadan
»(
.D
%1
Ÿ
#  "»
D
$
lDlœ#
olduğunu gösteriniz.
8. # , <  " olmak üzere lDl œ < çemberinin sağ yarıdüzlemdeki kısmı ise
º(
Log D
1
1
.D º Ÿ Ðln <  Ñ
#
<
#
# D
olduğunu gösteriniz. Ayrıca < Ä  _ için integralin değerinin sıfır olduğunu
görünüz.
9. # eğrisi, B-ekseni üzerindeki  " den " e uzanan doğru parçası ile lDl œ "
birim çemberinin üst yarısından oluşan pozitif yönlü basit kapalı bir eğri olmak
üzere
( lDl D .D
#
integralini hesaplayınız.
10. # Ð>Ñ œ #/3> ß 
kullanarak
1
'
Ÿ>Ÿ
1
'
eğrisi verilsin. l'# 0 ÐDÑ.Dl Ÿ Q PÐ# Ñ formülünü
º(
#
.D
#1
ºŸ
"
#"
D$
olduğunu gösteriniz. Ancak bu integral için daha iyi bir tahmin yapılabilir. F?
.+
º(
.D
#1
Ÿ
$  "º
È
D
$ '&
#
şeklindedir. Bunu gösteriniz.
3.3. Analitik Fonksiyonların Eğrisel İntegrali:
187
# Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , düzgün bir eğri ve 0 ÐDÑ, # ÐÒ+ß ,ÓÑ üzerinde
sürekli bir fonksiyon olmak üzere 0 ÐDÑ fonksiyonunun # eğrisi üzerindeki
integralini
w
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 Ð# Ð>ÑÑ# Ð>Ñ.>
,
#
+
olarak tanımladık. Şimdi, analitik fonksiyonlar için, eğrisel integralleri daha
pratik hesaplayabileceğimiz kurallar elde etmeye çalışacağız. Bunların başında
Cauchy Teoremi ve Cauchy-Goursat Teoremi gelir. Bu teoremlerin ispatında
kullanacağımız iki teoremin ifadesini vererek işe başlayalım.
3.3.1. Teorem (Green Teoremi): # , kompleks düzlemde pozitif yönlü basit
kapalı bir çevre olsun. F ile # eğrisinin içinde ve üzerinde bulunan noktaların
oluşturduğu kapalı kümeyi gösterelim. Eğer T ÐBß CÑ ve UÐBß CÑ reel değerli
fonksiyonları ve onların birinci mertebeden kısmi türevleri F de sürekli ise
( ÐT .B  U.CÑ œ ( ( ÐUB  TC Ñ.B.C
#
F
olur.
3.3.2. Teorem: # ve F , 3.3.1. Teoremdeki gibi verilsin ve 0 ÐDÑ, F de
analitik bir fonksiyon olsun. F yi V4 kareleri ve T4 kısmi kareleri göstermek
üzere V" ß V# ß ÞÞÞß V7 ß T7" ß ÞÞÞß T8 ile öyle 8 sayıda alt karelere bölebilirizki
her &  ! için her bir V4 Ðveya T4 Ñ de
º
0 ÐDÑ  0 ÐD4 Ñ
 0 w ÐD4 Ѻ  &,
D  D4
(her D − V4 (veya T4 ÑÑ
eşitsizliği sağlanacak şekilde bir D4 noktası vardır.
Bu teoremde V4 kareleri ile tamamı F de olan kareler; T4 kısmi kareleri ile
de F de bulunmayan noktalar da içeren ve bu noktaları çıkarılmış kareler
gösterilmiştir. Bu karelerin her biri sınırını ve sınırı içindeki noktaları
içermektedir.
3.3.3. Tanım: Fß ‚ de bir bölge olsun. Eğer F bölgesindeki her basit
kapalı eğrinin içi tamamen F de kalıyorsa F bölgesine basit bağlantılı bölge
denir. Basit bağlantılı olmayan bölgeye ise çok bağlantılı bölge adı verilir.
188
Geometrik bir yorumla, bir bölgedeki her basit kapalı eğri bölgenin dışına
çıkmadan, bölgede bir noktaya büzülebilirse bu bölgeye basit bağlantılı bölge
adını veririz.
3.3.1. Şekil: (a) Basit bağlantılı bölge, (b) ve (c) Çok bağlantılı bölge
Basit bağlantılı bölge için en basit örnek ‚ kompleks düzlem, lDl  <
diskidir. Bazı kaynaklarda basit bağlantılı bölgeye 1-bağlantılı, Ð,Ñ deki gibi
bölgelere 2-bağlantılı, Ð-Ñ deki gibi bölgelere 3-bağlantılı bölge denmektedir.
Bu isimlendirme yapılırken bölgenin sınırını oluşturan ve ortak noktası olmayan
kapalı eğrilerin sayısı dikkate alınır. Buna göre, 8 bağlantılı bir bölgeden
sözedildiğinde bu bölgenin sınırını, ortak noktası olmayan, tam 8 tane kapalı
eğrinin meydana getirdiği anlaşılır.
3.3.4. Teorem: i. (Cauchy Teoremi) Basit kapalı # çevresi içinde ve
üzerinde 0 ÐDÑ fonksiyonu analitik, 0 w ÐDÑ fonksiyonu sürekli ise
( 0 ÐDÑ.D œ !
#
olur.
ii. (Cauchy-Goursat Teoremi) 0 ÐDÑ fonksiyonu basit kapalı # çevresi
içinde ve üzerinde analitik ise
( 0 ÐDÑ.D œ !
#
olur.
İspat: i. (Bu ispat Cauchy tarafından 1825 yılında yapılmıştır). # ,
kompleks düzlemde basit kapalı pozitif yönlü bir çevre, F de # çevresinin
içindeki ve üzerindeki noktalardan oluşan kapalı bir bölge olsun. D œ B  3C
için 0 ÐDÑ œ ?  3@ ve .D œ .B  3.C olur. Buna göre integral ile ilgili
özelliklerden
189
( 0 ÐDÑ.D œ ( Ð?  3@ÑÐ.B  3.CÑ
#
#
œ ( Ð?.B  @.CÑ  3( Ð@.B  ?.CÑ
#
#
yazılır. Bilindiği gibi
0 w ÐDÑ œ ?B  [email protected] œ @C  3?C
şeklindedir. Hipoteze göre 0 w ÐDÑ, F de sürekli olduğundan ?B ß ?C ß @B ve @C
kısmi türevleri de F de süreklidir. O halde Green Teoreminden
( 0 ÐDÑ.D œ  ( ( Ð@B  ?C Ñ.B.C  3( ( Ð?B  @C Ñ.B.C
#
F
F
yazılır. 0 ÐDÑ fonksiyonu F de analitik olarak verildiğinden Cauchy-Riemann
denklemleri sağlanır ve son eşitliğin sağ tarafındaki integraller sıfır olur.
Dolayısıyla
( 0 ÐDÑ.D œ !
#
elde edilir.
 # çevresi için de
( 0 ÐDÑ.D œ  ( 0 ÐDÑ.D œ !
#
#
elde edilir.
O halde, yönü ne olursa olsun, basit kapalı # çevresi içinde ve üzerinde
0 ÐDÑ fonksiyonu analitik, 0 w ÐDÑ fonksiyonu sürekli ise
( 0 ÐDÑ.D œ !
#
olur.
ii. (Bu ispat Goursat tarafından 1900 yılında yapılmıştır).
# Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ ,, ‚ de basit kapalı bir çevre, F de # çevresinin
üzerindeki ve içindeki noktalardan oluşan kapalı bir bölge olsun. Her &  ! için
190
¹'# 0 ÐDÑ.D ¹  & olduğu gösterilirse ispat tamamlanır. V! , bir kenarının
uzunluğu W olan ve # § V! olacak şekilde bir kare ve F yi, V4 kareleri ve T4
kısmi kareleri göstermek üzere, V" ß V# ß ÞÞÞß V7 ß T7" ß ÞÞÞß T8 ile 8 tane kareye
ayıralım. &  ! ve X œ È#WÐ%W  PÐ# ÑÑ olsun. Şimdi 4Þkarede (veya kısmi
karedeÑ
94 ÐDÑ œ 
0 ÐDÑ0 ÐD4 Ñ
DD4
 0 w ÐD4 Ñß
!ß
D Á D4
D œ D4
fonksiyonunu tanımlayalım. 3.3.2. Teoreme göre 9 nin tanımlı olduğu V4 Ðveya
T4 Ñ deki her D için
l94 ÐDÑl 
&
X
olur. 94 fonkiyonunu gözönüne alarak her D − V için
0 ÐDÑ œ 0 ÐD4 Ñ  D4 0 w ÐD4 Ñ  D0 w ÐD4 Ñ  ÐD  D4 Ñ94 ÐDÑ
yazılır. V4 Ðveya T4 Ñ nin sınırını pozitif yönlü #4 ile gösterelim. 0 ÐD4 Ñß D4 0 w ÐD4 Ñ
ve 0 w ÐD4 Ñ fonksiyonlarının her birinin ‚ de ilkeli olduğundan
w
w
( 0 ÐD4 Ñ.D œ !ß ( D4 0 ÐD4 Ñ.D œ ! ve ( 0 ÐD4 Ñ.D œ !
#4
#4
#4
yazılır. Böylece
&
È
»( 0 ÐDÑ.D » œ »( ÐD  D4 Ñ94 ÐDÑ.D »  # =4 Š X ‹PÐ#4 Ñ
#4
#4
191
bulunur. Burada =4 , V4 (veya T4 ) karesinin bir kenarının uzunluğudur. #4
üzerindeki her D için lD  D4 l Ÿ È# =4 dir. F yi V4 kareleri ve T4 kısmi kareleri
göstermek üzere V" ß V# ß ÞÞÞß V7 ß T7" ß ÞÞÞß T8 ile 8 sayıda kareye
ayırtığımızdan 4 Ÿ 7 ise PÐ#4 Ñ œ %=4 à 7  4 Ÿ 8 ise PÐ#4 Ñ Ÿ %=4  54 yazılır.
Burada 54 ile #  T4 nin uzunluğunu göstermekteyiz. Şimdi
"( 0 ÐDÑ.D
8
4œ" #4
toplamına bakalım. Şekildeki komşu iki EFIK ve KILJ kareleri için IK
birinci karede I den K ye, ikinci karede ise K den I ye doğru
yönlendirilmiştir. Böylece bu iki kenar üzerinden alınan integrallerin toplamı
sıfır olur. Bu düşünce ile # çevresi içindeki kenarlar boyunca alınan
integrallerin toplamı sıfır olacağından geriye sadece ( 0 ÐDÑ.D kalır. O halde
#
( 0 ÐDÑ.D œ "( 0 ÐDÑ.D
8
#
4œ" #4
olur. Buna göre
º( 0 ÐDÑ.D º œ »"( 0 ÐDÑ.D »
8
#
4œ" #4
Ÿ "»( 0 ÐDÑ.D »
8
4œ"
7
#4
8
&
&
 "È# =4 Š ‹%=4  " È# =4 Š ‹Ð%=4  54 Ñ
X
X
4œ"
4œ7"
Ÿ
8
8
&È# 7 #
#
"
"
"
%=

%=

=4 54 
4
4
X  4œ"
4œ7"
4œ7"
&È#
ˆ%W #  WPÐ# щ
X
œ&
Ÿ
elde edilir. Dolayısıyla teoremin ispatı yapılmış olur.…
Not: i. Burada =#4 , V4 nin ve W # , V! ın alanı olduğundan ! =4# Ÿ W # dir.
8
4œ"
Diğer yandan
192
" =4 54 Ÿ " W54 œ W " 54 Ÿ WPÐ# Ñ
8
8
8
4œ7"
4œ7"
4œ7"
yazılır.
ii. Cauchy-Goursat Teoreminin bir sonucu olarak şunu söyleyebiliriz: Eğer
0 ÐDÑ fonksiyonu basit bağlantılı bir F bölgesinde analitik ise F de bulunan her
basit kapalı bir # çevresi için
( 0 ÐDÑ.D œ !
#
olur.
iii. Basit bağlantılı bir bölge gözönüne alarak, Cauchy-Goursat Teoremini
şu şekilde de ifade edebiliriz: 0 ÐDÑ, F basit bağlantılı bölgesinde ve bu bölgenin
`F sınırında analitik bir fonksiyon ise
(
0 ÐDÑ.D œ !
`F
olur.
3.3.5. Örnek: 1. Aşağıdaki integrallerin hesabında Cauchy-Goursat
Teoreminin uygulanıp uygulanamayacağını belirtiniz. Eğer uygulanamazsa,
Cauchy-Goursat Teoremi uygulanabilecek şekilde yeni bir # çevresi seçebilir
miyiz?
i. # , D" œ ! noktasından D2 œ #  $3 noktasına uzanan düzgün bir eğri
olmak üzere '# Ð#D  $Ñ.D ,
.D
ii. # pozitif yönlü birim çember olmak üzere (
ß
# D
.D
iii. # pozitif yönlü birim çember olmak üzere (
ß
D
# #
iv. # pozitif yönlü birim çember olmak üzere ( D .D Þ
#
Çözüm: i. 0 ÐDÑ œ #D  $ bir tam fonksiyondur. Ancak # , basit kapalı bir
eğri olmadığından bu integralin hesaplanması için Cauchy-Goursat Teoremini
uygulayamayız. Eğer # , herhangi bir basit kapalı çevre olarak verilirse o zaman
bu integral hesabı için Cauchy-Goursat Teoremini uygulayabiliriz.
193
ii. Burada # basit kapalı bir eğri olarak verilmiştir. Ancak, 0 ÐDÑ œ "D
fonksiyonu bu eğrinin içindeki D œ ! noktasında analitik olmadığından, bu
integral hesabı için de, Cauchy-Goursat Teoremini uygulayamayız. Eğer # yı,
içinde ve üzerinde D œ ! noktası olmayan, basit kapalı bir çevre olarak alırsak
Cauchy-Goursat Teoremini uygulayabiliriz.
"
iii. 0 ÐDÑ œ D#
fonksiyonu D œ # noktası hariç ‚ de analitiktir. # , basit
kapalı bir eğri ve 0 ÐDÑ fonksiyonu bu eğrinin içinde ve üzerinde analitik
olduğundan Cauchy-Goursat Teoremi uygulanabilir. Dolayısıyla
(
.D
œ!
#D #
olur.
iv. 0 ÐDÑ œ D fonksiyonu hiçbir yerde analitik olmadığından, # eğrisi nasıl
seçilirse seçilsin, Cauchy-Goursat Teoremini uygulayamayız.
2. # , ‚ de herhangi bir basit kapalı çevre olmak üzere aşağıdaki integralleri
hesaplayınız.
i. '# .D
ii. '# D.D
iii. '# sin D .D
iv. '# /D .D
Çözüm: i. 0 ÐDÑ œ " bir tam fonksiyon olup herhangi bir basit kapalı çevre
içinde ve üzerinde (hatta ‚ de) analitiktir. O halde Cauchy-Goursat Teoremine
göre '# .D œ ! olur.
ii, iii ve iv.şıklar için de aynı muhakeme uygulanır ve
( D.D œ !ß
( sin D .D œ !ß
#
#
D
( / .D œ !
#
elde edilir.ú
3.3.6. Teorem (Büzülme Teoremi): #" , pozitif yönlü basit kapalı bir çevre,
## de tamamen #" çevresi içinde kalan pozitif yönlü basit kapalı başka bir çevre
ve 0 ÐDÑ fonksiyonu da bu çevrelerin üzerinde ve aralarında kalan bölgede
analitik olsun. Bu durumda
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
#"
olur.
##
194
İspat: #1 ve #2 eğrileri ve aralarında kalan kapalı bölgeyi V ile gösterelim.
Bu kapalı bölgeyi, şekildeki gibi, 6" ve 6# doğruları ile iki basit bağlantılı
bölgeye ayıralım. O zaman V" in sınırı >1 œ #"w  6"  ##w  6# ve V# nin sınırı
>2 œ #"ww  6"  ##ww  6# olur. Burada #"w ve ##w sırasıyla V"  #" ve V"  ## à #"ww
ve ##ww sırasıyla V#  #" ve V#  ## dir. Hipoteze göre 0 fonksiyonu bu
bölgelerin herbirinde analitiktir. Dolayısıyla bu bölgelerin sınırları üzerinden
alınan integrali Cauchy-Goursat Teoremine göre
( 0 ÐDÑ.D œ !
>1
ve ( 0 ÐDÑ.D œ !
>2
olur. Ayrıca
( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D œ !
>1
>2
dır. Buradan
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
#"
##
elde edilir.…
Not: i. Büzülme Teoremin sonuçlarından birisi şudur: 0 ÐDÑ fonksiyonunun
analitik olduğu bir bölgede bulunan aynı yönlü iki basit kapalı çevre, bölgenin
dışına çıkmadan, biri diğeri üzerine büzülerek getirilebilirse 0 ÐDÑ
fonksiyonunun bu çevreler üzerinden alınan integralleri eşit olur. Bu tip eğrilere
homotop eğri denir.
ii. Büzülme Teoremini şu şekilde de ifade edebiliriz: #" , basit kapalı bir
çevre, ## de tamamen #" çevresi içinde kalan ve #" ile aynı yönlü basit kapalı
başka bir çevre ve bu çevreler arasında kalan bölge F ile gösterilsin. 0 ÐDÑ
fonksiyonuda bu bölgede ve bu bölgenin sınırı olan `F kümesinde analitik ise
195
(
0 ÐDÑ.D œ !
`F
olur. Bu durumda, Büzülme Teoremine Cauchy-Goursat Teoreminin 2bağlantılı bölgelere uygulanması gözüyle bakılır.
iii. ii.şıktaki açıklamalar gözönüne alınarak
(
`F
0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D
#"
##
olarak tanımlanır.
Büzülme Teoreminin daha genel hali aşağıdaki teoremde verilmiştir.
3.3.7. Teorem (Genelleştirilmiş Büzülme Teoremi): # , pozitif yönlü basit
kapalı bir çevre, #" ß ## ß ÞÞÞß #8 iç içe olmayan, birbirini kesmeyen ve # nın içinde
kalan sonlu sayıda pozitif yönlü basit kapalı çevreler; V , #" ß ## ß ÞÞÞß #8 nin
içindeki noktalar hariç # nın içindeki ve üzerindeki noktaları içeren kapalı bir
bölge olsun. Ayrıca 0 ÐDÑ fonksiyonunun bu V kümesinde analitik olduğunu
kabul edelim. Bu durumda
( 0 ÐDÑ.D œ "( 0 ÐDÑ.D
8
#
4œ" #4
olur.
İspat: İspatımızı 8 œ # için yapacağız. Diğer haller için benzer muhakeme
uygulanabilir. V kapalı bölgesini, şekildeki gibi, P" ß P# ß P$ doğruları ile V" ve
V# bölgelerine ayıralım. Şekile göre V" in sınırı >" œ # w  P"  #"w  P# 
##w  P$ ve V# nin sınırı ># œ # ww  P$  ##ww  P#  #"ww  P" olur. >" ve >#
basit kapalı iki eğridir. Teoremin hipotezine göre 0 ÐDÑ fonksiyonu, V de
analitik
196
olduğundan, bu çevrelerin içinde ve üzerinde de analitik olur. Cauchy-Goursat
Teoremine göre
( 0 ÐDÑ.D œ !
ve ( 0 ÐDÑ.D œ !
>"
>#
yazılır. Buradan
( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D œ !
>"
>#
ve böylece
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D
#
#1
##
elde edilir.…
3.3.8. Örnek: i. Önce
(
.D
lDlœ" D
integralini hesaplayınız. Bu integralden yararlanarak, # eğrisi köşeleri #  #3ß
 #  #3ß  #  #3ß #  #3 olan kare olmak üzere
(
.D
# D
integralini bulunuz.
Çözüm: Daha önce lDl œ " pozitif yönlü eğrisinin parametrik denkleminin
# Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ #1 olduğunu biliyoruz. İntegralin tanımından hareketle
(
.D
œ #1 3
lDlœ" D
bulunur. # karesinin yönü pozitif olarak alınacağını daha önce belirtmiştik.
0 ÐDÑ œ "D fonksiyonu lDl œ " ve # eğrileri üzerinde ve aralarında kalan bölgede
analitik olduğundan, Büzülme Teoremine göre,
(
yazılır.
.D
.D
œ(
œ #1 3
D
#
lDlœ" D
197
ii. # , F œ ÖD À " Ÿ lDl Ÿ #× kapalı halka bölgesinin sınırı olsun. Buna
göre
(
.D
# D
integralini hesaplayınız.
Çözüm: Büzülme Teoreminden sonraki notun iii.şıkkına göre
( 0 ÐDÑ.D œ (
#
lDlœ#
0 ÐDÑ.D  (
0 ÐDÑ.D
lDlœ"
olduğunu biliyoruz. Buna göre
(
.D
œ!
# D
bulunur.ú
İntegralin iki noktayı birleştiren çevrelerden bağımsız olması: CauchyGoursat Teoremi, basit kapalı bir # çevresinin içinde ve üzerinde analitik olan
bir 0 ÐDÑ fonksiyonunun bu çevre üzerindeki integrali için çok pratik sonuç
verdiğini gördük. Çevre kapalı değilse integral hesaplarken Cauchy-Goursat
Teoremini kullanamayız ama, aşağıdaki teoremde de görüleceği gibi, Cauchy
Teoreminden yararlanarak çıkarılan sonuçları kullanabiliriz.
3.3.9. Teorem: F , basit bağlantılı bir bölge, 0 ÐDÑ bu bölgede analitik bir
fonksiyon ve D" ß D# − F olsun. #1 ve #2 , F de kalan ve başlangıç noktası D" ,
bitiş noktası D# olan iki çevre ise
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
#1
##
olur.
İspat: 1.Hal: #1 ve #2 , başlangıç noktası D" ve bitiş noktası D# olan ve bu
noktaların hariçinde kesişmeyen ve tamamen F de kalan iki çevre olsun.
# œ #"  ## denirse # basit kapalı bir çevre olur. 0 ÐDÑ fonksiyonu bu eğri
içinde ve üzerinde analitik olduğundan Cauchy Teoremine göre
198
( 0 ÐDÑ.D  (
#"
0 ÐDÑ.D œ !
##
olur. Bu ise
( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
#"
##
demektir.
2.Hal: Çevreler ikiden fazla noktada kesişirse ardışık olarak kesişen iki
nokta arasındaki çevrelere 1.Hal uygulanır. Bu tip çevreler aşağıdaki şekilde
verilmiştir.…
Şekil: '#1 0 ÐDÑ.D œ '## 0 ÐDÑ.D dir.
3.3.9. Teorem, bir 0 ÐDÑ fonksiyonunun, başlangıç ve bitiş noktaları aynı
olan, iki farklı çevre üzerinden alınan integrallerinin eşitliği (bir başka deyişle
yoldan bağımsız olması) ile ilgilidir. Bu integrali, '# 0 ÐDÑ.D yerine bazen
'DD# 0 ÐDÑ.D ile de gösteririz.
"
Daha önce 3.2.6. Örneğin iii. ve iv.şıklarında başlangıç ve bitiş noktaları
aynı olan iki farklı çevre üzerinde 0 ÐDÑ œ B fonksiyonunun integralini
hesaplamıştık ve sonuçlarının farklı olduğunu görmüştük. Bu durum
3.3.9.Teorem ile çelişmez. Çünkü, 0 ÐDÑ œ B fonksiyonu hiç bir yerde analitik
değildir.
3.3.10. Örnek: # şekildeki eğri olmak üzere '# .D
D integralini hesaplayınız.
199
Çözüm: Bilindiği gibi 0 ÐDÑ œ "D fonksiyonu ‚ÏÖ!× kümesinde analitiktir.
# ve " Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ 1# eğrisini içeren ve 0 fonksiyonunun analitik olduğu
bir F bölgesi seçebiliriz. # ve " , D" œ " den D# œ 3 ye uzanan eğrilerdir.
Yukarıdaki teoreme göre 0 ÐDÑ œ "D fonksiyonunun # ve " eğrileri üzerinden
alınan integralleri eşit olur. O halde
# 3/3>
.D
.D
1
œ(
œ(
.> œ 3
(
3>
#
# D
" D
! /
1
bulunur. ú
Aşağıdaki teorem, basit bağlantılı bölge ile analitik fonksiyonun ilkeli
arasındaki ilişkiyi vermektedir.
3.3.11. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonu F basit bağlantılı bölgesinde analitik ise
bu bölgede ilkeli vardır.
İspat: F basit bağlantılı bir bölge ve 0 ÐDÑ de bu bölgede analitik
olduğundan, 3.3.9. Teoreme göre, 0 ÐDÑ nin F bölgesindeki D! noktasını yine F
bölgesindeki D noktasına birleştiren ve tamamen F de kalan çevre üzerindeki
integrali yoldan bağımsızdır. D! noktasını sabit kabul ederek
J ÐDÑ œ ( 0 Ð=Ñ.=
D
D!
olarak tanımlayalım. F bölgesinde J w ÐDÑ œ 0 ÐDÑ olduğunu göstereceğiz. 2 yı D
ile D  2 noktalarını birleştiren doğru parçası F bölgesinde kalacak şekilde
seçelim. Bu durumda
J ÐD  2Ñ  J ÐDÑ œ (
œ(
D2
D!
D2
0 Ð=Ñ.=  ( 0 Ð=Ñ.=
D
D!
0 Ð=Ñ.=
D
olduğundan
J ÐD  2Ñ  J ÐDÑ
" D2
œ (
0 Ð=Ñ.=
2
2 D
yazılır. İntegral alırken, D ile D  2 yı birleştiren eğriyi bu iki nokta arasındaki
doğru parçası olarak alalım. Son eşitliğinin her iki yanına  0 ÐDÑ ilave edilirse
200
J ÐD  2Ñ  J ÐDÑ
" D2
 0 ÐDÑ œ (
c0 Ð=Ñ  0 ÐDÑd.=
2
2 D
olur. 0 ÐDÑ analitik olduğundan aynı zamanda süreklidir. O halde, &  !
verildiğinde lD  =l  $ iken l0 ÐDÑ  0 Ð=Ñl  & olacak şekilde $  ! sayısı
vardır. Böylece l2l  $ alarak
º
D2
J ÐD  2Ñ  J ÐDÑ
"
&l2l
 0 ÐDѺ œ
c0 Ð=Ñ  0 ÐDÑd.=» 
œ&
(
»
2
l2l D
l2l
elde edilir. Dolayısıyla
J ÐD  2Ñ  J ÐDÑ
œ 0 ÐDÑ
2Ä!
2
J w ÐDÑ œ lim
olduğu ispatlanır. D , F de keyfi bir nokta olduğundan J ÐDÑ, F de analitik ve
0 ÐDÑ nin ilkelidir.…
Cauchy İntegral Formülü: Cauchy-Goursat Teoreminin en önemli
sonucu Cauchy İntegral Formülüdür. Bu formül ile bazı integrallerin hesabı ve
analitik fonksiyonların türevleri ile ilgili uygulamalar yapılır.
3.3.12. Teorem (Cauchy İntegral Formülü): 0 ÐDÑ, pozitif yönlü basit
kapalı # çevresi içinde ve üzerinde analitik bir fonksiyon ve D! bu çevrenin
içinde bir nokta olsun. Bu durumda
0 ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
# 1 3 # D  D!
olur.
İspat: 0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ  Ò0 ÐDÑ  0 ÐD! ÑÓ
teoremdeki integral
olduğu
gözönüne
alınarak
"
0 ÐDÑ
0 ÐD! Ñ
.D
"
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
.D œ

.D
(
(
(
# 1 3 # D  D!
# 1 3 # D  D!
#1 3 #
D  D!
şeklinde yazılır. Sağdaki integralleri hesaplayalım. Bunun için, # çevresinin
içinde kalan ve merkezi D! , yarıçapı < olan pozitif yönlü #" çemberini çizelim.
201
ÐD! Ñ
"
0" ÐDÑ œ DD
ve 0# ÐDÑ œ 0 ÐDÑ0
fonksiyonları # ve #" eğrilerinin üzerinde ve
DD!
!
aralarında kalan bölgede analitik olduklarından Büzülme Teoremine göre
(
.D
.D
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
ve (
œ(
.D œ (
.D
D  D!
D  D!
# D  D!
#" D  D!
#
#"
olur. Bu durumda
(
.D
œ #1 3
#" D  D!
olduğundan eşitliğin sağındaki ilk integral
0 ÐD! Ñ
.D
œ 0 ÐD! Ñ
(
# 1 3 # D  D!
olarak bulunur. Teoremi ispat edebilmek için ikinci integralin sıfır olduğunu
göstermemiz gerekir. 0 ÐDÑß # eğrisi içinde ve üzerinde analitik olduğundan aynı
zamanda bu kümede süreklidir. Böylece &  ! verildiği zaman lD  D! l  $
olduğunda l0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñl  & olacak şekilde $  ! sayısı vardır. #" in <
yarıçapını $ dan daha küçük seçerek #" in üzerindeki her nokta için
º
&
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
º
D  D!
<
yazılır. Dolayısıyla
º(
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
&
.D º Ÿ ( º
ºl.Dl  #1< œ #1&
D  D!
D  D!
<
#1
#"
bulunur. &  ! istenildiği kadar küçük seçilebileceğinden
202
(
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñ
.D œ (
.D œ !
D  D!
D  D!
#
#1
olur. İntegrallerin değerleri ilk eşitlikte yerine yazılırsa
0 ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
# 1 3 # D  D!
elde edilir.…
Not: i. Cauchy İntegral Formülünden çıkarılacak en önemli sonuç şudur:
Basit kapalı bir # çevresinin içinde ve üzerinde analitik olan bir 0 ÐDÑ
fonksiyonunun # çevresi içindeki noktalardaki değerleri, 0 ÐDÑ fonksiyonunun #
çevresi üzerindeki değerleri ile belirlenebilir.
ii. Cauchy İntegral Formülünden
(
0 ÐDÑ
.D œ #13 0 ÐD! Ñ
# D  D!
yazılır. Bu, bazı integrallerin hesabında kullanılır.
3.3.13. Örnek: i. # , lD  "l œ " çemberi olmak üzere
(
/D
.D
#D "
integralini hesaplayınız.
Çözüm: Cauchy İntegral Formülünü uygulayacağız. Burada 0 ÐDÑ œ /D ß
D! œ " dir. 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonu # eğrisi içinde ve üzerinde analitiktir. Ayrıca
D! œ ", # eğrisinin içinde ve 0 Ð"Ñ œ / dir. O halde
(
/D
.D œ #1/3
#D "
yazılır.
ii. # , köşeleri  "  3ß "  3ß "  3 ve  "  3 olan pozitif yönlü bir
karedir. Bu durumda
"
D#  %
.D
(
#1 3 # D
203
integralini hesaplayınız.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ D #  % ve D! œ ! alarak Cauchy İntegral Formülünü
kullanabiliriz. 0 Ð!Ñ œ % olduğundan
"
D#  %
.D œ %
(
#1 3 # D
elde edilir.
iii. # , lDl œ # çemberi olmak üzere
(
D.D
#
# Ð*  D ÑÐD  3Ñ
integralini hesaplayınız.
Çözüm: Bu integrali
(
D
D.D
*D # .D
œ
(
#
# Ð*  D ÑÐD  3Ñ
# ÐD  3Ñ
D
şeklinde yazabiliriz. Burada 0 ÐDÑ œ *D
# fonksiyonu # eğrisi içinde ve üzerinde
"
analitiktir. D! œ  3 noktası # eğrisinin içindedir. 0 Ð  3Ñ œ  "!
3 olup
Cauchy İntegral Formülüne göre
(
1
D.D
"
œ # 1 3Œ  3  œ
#
"!
&
# Ð*  D ÑÐD  3Ñ
bulunur.
iv.
(
cos D
.D
$
#D D
integralini # eğrisini (a) lDl œ #ß (b) lDl œ "# ß (c) lD  #3 l œ " alarak
hesaplayınız.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ
cos D
D $ D
fonksiyonunu basit kesirlere ayırarak
cos D
cos D
cos D
" cos D
" cos D
œ
œ


D$  D
DÐD  3ÑÐD  3Ñ
D
#D3 #D3
204
şeklinde yazarız. Dikkat edilirse paydanın kökleri !ß 3 ve  3 dir.
(a) Paydanın köklerinin hepsi lDl œ # çemberi içinde kalmaktadır.
(
cos D
cos D
" cos D
" cos D
.D œ (
.D  (
.D  (
.D
$
# #D 3
# #D 3
#D D
# D
olarak yazılır. Sağdaki integrallerin her birini Cauchy İntegral Formülünü
kullanarak hesaplayabiliriz. Bunun için sağdaki birinci integralde 0 ÐDÑ œ cos Dß
D! œ !à ikinci integralde 0 ÐDÑ œ cos Dß D! œ  3à üçüncü integralde ise
0 ÐDÑ œ cos Dß D! œ 3 olarak seçeriz. Burada 0 ÐDÑ œ cos D fonksiyonu #
eğrisinin içinde ve üzerinde analitik ve her bir D! ß # eğrisinin içindedir. O halde
(
cos D
"
"
.D œ #13”cos !  cos Ð  3Ñ  cos 3• œ #13c"  cosh "d
$
#
#
#D D
elde edilir.
(b) Paydanın köklerinden sadece D œ !, lDl œ "# eğrisinin içinde
kalmaktadır. Geriye kalan ifadeyi Cauchy İntegral Formülündeki 0 ÐDÑ
D
fonksiyonu olarak alabiliriz. Yani, 0 ÐDÑ œ Dcos
# " olur. Bu fonksiyon # eğrisinin
içinde ve üzerinde analitik ve 0 Ð!Ñ œ " dir. Buna göre
(
cos D
.D œ #13
$
#D D
bulunur.
(c) Paydanın köklerinden ! ve 3, lD  #3 l œ " eğrisi içinde kalmaktadır.
D
Geriye kalan 0 ÐDÑ œ cos
D3 dir. Bu fonksiyon # eğrisinin içinde ve üzerinde
analitiktir. Bu durumda
cos D
D3
DÐD  3Ñ
œ 3”
cos D
D3
D

cos D
D3
D3
•
yazılır ve
(
cos D
cos !
cos 3
"
.D œ #13”3Œ
  3Œ
• œ #13”"  cosh "•
$D
D
3
#3
#
#
olarak bulunur.ú
205
Analitik fonksiyonların türevlerinin analitikliği: Cauchy İntegral
Formülü, pozitif yönlü basit kapalı bir # çevresinin içinde ve üzerinde analitik
olan bir 0 ÐDÑ fonksiyonunun # eğrisinin içindeki noktalardaki değerlerinin,
0 ÐDÑ nin # çevresi üzerindeki değerleri ile belirlenebileceğini söylemektedir. Bu
durumda, # çevresinin içindeki noktalardan oluşan kümeyi F ile gösterirsek
0 À F Ä ‚ß 0 ÐAÑ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
#1 3 # D  A
fonksiyonu tanımlanabilir. Ayrıca, aşağıdaki teoremde karşılaşacağımız 0 Ð!Ñ ÐDÑ
nin 0 Ð!Ñ ÐDÑ œ 0 ÐDÑ olarak tanımlandığını hatırlatalım.
3.3.14. Teorem (Cauchy Türev Formülü): 0 ÐDÑ, pozitif yönlü basit kapalı
# çevresi içinde ve üzerinde analitik bir fonksiyon ve D! bu eğrinin içinde bir
nokta olsun. Bu durumda 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ için
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ œ
8x
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
olur.
İspat: 8 œ ! için 0 Ð!Ñ ÐD! Ñ œ 0 ÐD! Ñ olarak tanımlandığından, bu durumda
Cauchy Türev Formülü
0 ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
# 1 3 # D  D!
Cauchy İntegral Formülüne dönüşür ve teorem doğru olur.
Şimdi de 8 œ " alarak
0 w ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ#
olduğunu gösterelim. Bir kere D! noktasındaki türev
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
2Ä!
2
0 w ÐD! Ñ œ lim
olarak tanımlanır. #" , D! merkezli < yarıçaplı ve tamamen # eğrisi içinde kalan
bir çember olarak alındığında Büzülme Teoremine göre
206
8x
0 ÐDÑ
8x
0 ÐDÑ
.D œ
.D
(
(
8"
#13 # ÐD  D! Ñ
#13 #" ÐD  D! Ñ8"
olur. 0 ÐD!  2Ñ ve 0 ÐD! Ñ ın Cauchy Türev Formülündeki ifadeleri gözönüne
alınarak
0 ÐD!  2Ñ  0 ÐD! Ñ
"
0 ÐDÑ
0 ÐDÑ
œ
.D  (
.D •
”(
2
#132 #" D  ÐD!  2Ñ
#" D  D!
"
0 ÐDÑ
œ
.D
(
#13 #" ÐD  D!  2ÑÐD  D! Ñ
0 ÐDÑ.D
bulunur. Bu son integralde, 2 Ä ! için '# ÐDD
# olduğunu gösterdiğimiz zaman
!Ñ
ispatımızı tamamlamış oluruz. Bunun gösterilmesi demek, 2 Ä ! için
0 ÐDÑ.D
0 ÐDÑ.D
¹ '#" ÐDD! 2ÑÐDD! Ñ  '#" ÐDD! Ñ# ¹ Ä !
olması demektir. Burada
(
0 ÐDÑ.D
0 ÐDÑ.D
0 ÐDÑ2
(
œ(
.D
#
#
#" ÐD  D!  2ÑÐD  D! Ñ
#" ÐD  D! Ñ
#" ÐD  D!  2ÑÐD  D! Ñ
olduğundan 2 Ä ! için
º(
0 ÐDÑ2
.D º Ä !
#
#" ÐD  D!  2ÑÐD  D! Ñ
olduğunu göstermemiz yeterlidir. 0 , #" üzerinde analitik bir fonksiyon
olduğundan aynı zamanda bu eğri üzerinde süreklidir. Dolayısıyla her D − #"
için l0 ÐDÑl Ÿ O olacak şekilde bir O sabiti vardır. #" eğrisi üzerindeki her D
için lD  D! l# œ <# olduğundan
"
"
œ #
#
lD  D! l
<
ve l2l 
<
#
alınırsa #" eğrisi üzerindeki her D için
lD  D!  2l 
yazılır. O halde l2l 
<
#
ise
<
#
veya
"
#

lD  D!  2l
<
207
º(
41
0 ÐDÑ2
# "
.D º Ÿ Ol2l # #1< œ Ol2l #
#
<<
<
#" ÐD  D!  2ÑÐD  D! Ñ
elde edilir. 2 Ä ! için
(
0 ÐDÑ2
.D œ !
#
#" ÐD  D!  2ÑÐD  D! Ñ
ve dolayısıyla 2 Ä ! için
(
0 ÐDÑ
0 ÐDÑ
.D œ (
.D
#
#" ÐD  D!  2ÑÐD  D! Ñ
#" ÐD  D! Ñ
bulunur. Büzülme Teoremi gözönüne alınarak
0 w ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ#
yazılır. Bu işlemleri 0 w ÐD! Ñ için uygularsak 0 ww ÐD! Ñ; 0 ww ÐD! Ñ için uygularsak
0 www ÐD! Ñ; ve bu şekilde devam ettiğimiz zaman 8 œ !ß "ß #ß $ß ÞÞÞ için
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ œ
8x
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
elde edilir.…
Not: 1. D! , # çevresi içinde keyfi bir nokta olduğundan bu türevler #
çevresi içindeki her noktada mevcuttur. Dolayısıyla, 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ için 0 Ð8Ñ ÐDÑ
fonksiyonları # çevresi içindeki her noktada analitik olur. O halde, bu teoremin
belirtmek istediği en önemli nokta şudur: 0 ÐDÑ, F bölgesinde analitik bir
fonksiyon ise bu bölgede her dereceden türevi vardır ve bu türevler de F
bölgesinde analitiktir.
2. Cauchy türev formülünden
(
0 ÐDÑ
#13 Ð8Ñ
.D œ
0 ÐD! Ñ
8"
8x
# ÐD  D! Ñ
yazılır. Bunu, integral hesaplamada kullanabiliriz.
3.3.15. Örnek: "Þ Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
$
'
i. lDlœ# D #D"
ii. 'lDlœ& cos D ' .D
iii. 'lDlœ $
$ .D
ÐD"Ñ
ÐD13Ñ
#
/D
ÐD"Ñ# ÐD # %Ñ .D
208
Çözüm: i. 0 ÐDÑ œ D $  #D  " fonksiyonu lDl œ # çemberinin içinde ve
üzerinde analitik bir fonksiyon; D! œ ", lDl œ # çemberinin içinde bir nokta;
8  " œ $ Ê 8 œ # ve 0 ww Ð"Ñ œ ' dır. Cauchy Türev Formülüne göre
(
D $  #D  "
#13 ww
.D œ
0 Ð"Ñ œ '13
$
#x
lDlœ# ÐD  "Ñ
elde edilir.
ii. 0 ÐDÑ œ cos D fonksiyonu lDl œ & çemberinin içinde ve üzerinde analitik
bir fonksiyon; D! œ 13 bu çemberin içinde bir nokta; 8  " œ ' Ê 8 œ & ve
0 Ð&Ñ Ð13Ñ œ  sin Ð13Ñ dir. Cauchy Türev Formülüne göre
(
cos D
#13 Ð&Ñ
#1 3
1
.D œ
0 Ð13Ñ œ 
sin Ð13Ñ œ
sinh 1
'
ÐD

1
3Ñ
&x
"#!
'!
lDlœ&
olur.
iii. # eğrisini lDl œ $# , 0 ÐDÑ œ
Formülünü uyguladığımızda
/D
D # % ,
D! œ " ve 8 œ " alarak Cauchy Türev
/D .D
/D
1
œ
#
3
(
Œ
¹
# #
D #  % Dœ"
# ÐD  "Ñ ÐD  %Ñ
/D ÐD #  %Ñ  #D/D
'1/3
œ #1 3
œ
¹
#
#
Dœ"
ÐD  %Ñ
#&
w
bulunur.
#Þ
(
#
cos D
.D
 "Ñ
D # ÐD
integralini # eğrisini i. lDl œ "$ ß ii. lD  "l œ "$ ß iii. lDl œ & alarak hesaplayınız.
D
Çözüm: i. 0 ÐDÑ œ cos
D" verilen çemberin içinde ve üzerinde analitiktir.
D! œ ! ve 8 œ " olduğundan Cauchy Türev Formülüne göre
(
olur.
D‰
ˆ cos
D"
lDlœ "$
D#
.D œ #13Š
cos D w
œ  #1 3
‹¹
D  " Dœ!
209
D
ii. 0 ÐDÑ œ cos
D # fonkiyonu verilen eğrinin içinde ve üzerinde analitiktir.
D! œ " dir. 8 œ ! olduğundan Cauchy İntegral Formülüne göre
D # cos D
.D œ #13cos Ð"Ñ
(
lD"lœ "$ D  "
elde edilir.
iii. Hem D œ ! hem de D œ " verilen eğrinin içinde kalmaktadır. Bu
"
"
durumda D# ÐD"Ñ
œ D"
 "D  D"# şeklinde basit kesirlere ayrılıp
(
#
cos D
cos D
cos D
cos D
.D œ (

 # ‹.D
Š
 "Ñ
D
D
lDlœ& D  "
cos D
cos D
cos D
œ(
.D  (
.D  (
.D
#
lDlœ& D  "
lDlœ& D
lDlœ& D
œ #13ccos Ð"Ñ  cos !  sin !d œ #13ccos Ð"Ñ  "d
D # ÐD
olarak bulunur.ú
3.3.16. Teorem (Morera Teoremi): 0 ÐDÑß F bölgesinde sürekli bir
fonksiyon ve bu bölgedeki her basit kapalı # çevresi için
( 0 ÐDÑ.D œ !
#
olsun. Bu durumda 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde analitiktir.
İspat: 0 ÐDÑ fonksiyonunun, F bölgesindeki her basit kapalı çevre boyunca,
D
integrali sıfır olarak verildiğinden 'D! 0 Ð=Ñ.= integrali yoldan bağımsızdır. O
halde
J ÐDÑ œ ( 0 Ð=Ñ.=
D
D!
iyi tanımlı bir fonksiyondur. D! − F ve HÐD! à <Ñ § F olacak şekilde <  !
sayısı vardır. 3. 3. 11. Teoremin ispatındaki gibi hareket ederek HÐD! à <Ñ
komşuluğunda J w ÐDÑ œ 0 ÐDÑ olduğunu gösterebiliriz. Bu durumda J ÐDÑ, D!
noktasında analitiktir. Cauchy Türev Formülünden sonraki notun i.şıkkına göre
0 ÐDÑ fonksiyonu da D! noktasında analitik olur. D! , F bölgesinin keyfi bir
noktası olduğundan 0 ÐDÑß F bölgesinde analitik bir fonksiyondur.…
210
Not: Cauchy-Goursat Teoremi basit bağlantılı bir bölgede 0 ÐDÑ
fonksiyonunun analitik olması için bir gerek şart verir. Morera Teoremi ise bir
bölgede sürekli bir fonksiyonun analitik olması için bir yeter şart verir. Bu
anlamda Morera teoremi Cauchy-Goursat Teoreminin tersidir.
3.3.17. Örnek: 0 ÐDÑ fonksiyonu bir F bölgesinde sürekli ve FÏÖD! ×
bölgesinde analitik ise 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde analitiktir.
Çözüm: F bölgesindeki her basit kapalı eğri boyunca alınan integrallerin
sıfır olduğu gösterilirse Morera Teoremine göre 0 ÐDÑ fonksiyonunun F
bölgesinde analitik olduğu söylenir. D! noktalarını içinde ve üzerinde
bulundurmayan basit kapalı eğriler üzerinden alınan integraller Cauchy-Goursat
Teoremine göre sıfırdır.
Şimdi D! noktasını içinde veya üzerinde bulunduran basit kapalı eğriler için
0 ÐDÑ fonksiyonunun integralini inceleyelim: F bölgesinde D! noktasını içinde
veya üzerinde bulunduran V karesini gözönüne alalım. Bu kareyi 8# tane eş
kareye bölelim. Bu durumda
(
0 ÐDÑ.D œ "(
8
`V
0 ÐDÑ.D
5œ" `V5
olur. D! noktasını içermeyen V5 kareleri için
(
0 ÐDÑ.D œ !
`V5
bulunur. D! noktası V5 karesine ait ise
º(
`V5
0 ÐDÑ.D º Ÿ (
l0 ÐDÑll.Dl Ÿ
`V5
Q PÐVÑ
8
yazılır. D! en çok dört karenin ortak noktası olabilir. Böylece
º(
`V
0 ÐDÑ.D º œ » " (
D! −V5 `V5
0 ÐDÑ.D » Ÿ " º(
D! −V5
`V5
0 ÐDÑ.D º Ÿ
%Q PÐVÑ
8
olur. Bu eşitsizlik istenildiği kadar büyük 8 için de doğru olacağından 8 Ä _
için
(
0 ÐDÑ.D œ !
`V
211
elde edilir. O halde, Morera Teoremine göre 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde
analitiktir.ú
Aşağıdaki iki teorem Cauchy İntegral Formülü ile Cauchy Türev
Formülünün basit iki uygulamasıdır.
3.3.18. Teorem (Ortalama Değer Özelliği): # eğrisi lD  D! l œ < çemberi
olarak verilsin. 0 , # çemberi içinde ve üzerinde analitik bir fonksiyon olsun. Bu
durumda
0 ÐD! Ñ œ
" #1
3>
( 0 ÐD!  </ Ñ.>
#1 !
olur.
İspat: Teoremde verilen çemberin parametrik denklemi #Ð>Ñ œ D!  </3> ß
! Ÿ > Ÿ #1 dir. Cauchy İntegral Formülünde integralin tanımını kullanırsak
0 ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
# 1 3 # D  D!
#1
"
0 ÐD!  </3> Ñ
3</3> .>
(
#13 ! D!  </3>  D!
" #1
3>
œ
( 0 ÐD!  </ Ñ.>
#1 !
œ
elde edilir.…
3.3.19. Teorem (Cauchy Eşitsizliği): # eğrisi lD  D! l œ < çemberi olarak
verilsin. 0 , # çemberi içinde ve üzerinde analitik bir fonksiyon, # eğrisi
üzerindeki her D için l0 ÐDÑl Ÿ Q olsun. Bu durumda
l0 Ð8Ñ ÐD! Ñl Ÿ
8xQ
<8
olur.
İspat: Cauchy Türev Formülüne göre
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ œ
yazılır. Buradan
8x
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
212
8x
0 ÐDÑ
.D º
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
"
0 ÐDÑ
Ÿ
.D º
( º
#1 # ÐD  D! Ñ8"
8x Q #1<
8xQ
Ÿ
œ 8
#1 <8"
<
l0 Ð8Ñ ÐD! Ñl œ º
elde edilir.…
Cauchy Eşitsizliğini kullanarak tam fonksiyonlar hakkında aşağıdaki
önemli teoremi ispatlayabiliriz.
3.3.20. Teorem (Liouville Teoremi): Tam ve sınırlı bir 0 ÐDÑ fonksiyonu
sabittir.
İspat: Bir fonksiyonun bir bölgede sabit olduğunu göstermek için o
bölgede türevinin sıfır olduğunu göstermek yeterlidir. Hipotezde 0 ÐDÑ, ‚ de
sınırlı olarak verildiğinden her D − ‚ için l0 ÐDÑl Ÿ Q olacak şekilde bir
Q  ! reel sayısı vardır. D! keyfi bir kompleks sayı olmak üzere lD  D! l œ <
çemberini gözönüne alalım. 0 ÐDÑ bir tam fonksiyon olduğundan < ne kadar
büyük olursa olsun, 0 ÐDÑ fonksiyonu bu eğri içinde ve üzerinde analitiktir. O
halde Cauchy Eşitsizliğinin hipotezi sağlanır. 8 œ " alıp Cauchy Eşitsizliğini
uygularsak her D − ‚ için
l0 w ÐDÑl Ÿ
Q
<
yazılır. Bu eşitsizlik lD  D! l œ < çemberinde < Ä _ için de doğrudur. Böylece
< Ä _ için 0 w ÐD! Ñ œ ! bulunur. D! , ‚ de keyfi bir nokta olduğundan her D − ‚
için 0 w ÐDÑ œ ! olur. Dolayısıyla 2.7.10.Teoreme göre 0 ÐDÑ fonksiyonu ‚ de
sabittir.…
3.3.21. Teorem (Cebirin Temel Teoremi): 8 " ve +8 Á ! olmak üzere
:ÐDÑ œ +8 D 8  +8" D 8"  â  +" D  +!
kompleks katsayılı 8Þdereceden bir polinom olsun. Bu durumda :ÐDÑ œ !
denkleminin ‚ de bir kökü vardır.
213
İspat: Bir an için :ÐDÑ polinomunun ‚ de sıfırı olmadığını yani, her D − ‚
"
için :ÐDÑ Á ! olduğunu kabul edelim. Bu durumda 0 ÐDÑ œ :ÐDÑ
bir tam
fonksiyon olur. lim l:ÐDÑl œ _ olduğundan
DÄ_
lim l0 ÐDÑl œ lim
DÄ_
"
DÄ_ l:ÐDÑl
œ!
bulunur. Bu ise &  ! için lDl  < olduğunda l0 ÐDÑl  & olması demektir. Yani,
lDl  < için 0 fonksiyonu sınırlı olur. Diğer yandan 0 tam olduğundan aynı
zamanda süreklidir. Bu durumda ÖD À lDl Ÿ <× kümesindeki her D için
l0 ÐDÑl Ÿ Q olacak şekilde Q sayısı vardır. Yani bu kümede de 0 fonksiyonu
sınırlıdır. ‚ œ ÖD À lDl Ÿ <×  ÖD À lDl  <× olduğundan 0 , ‚ de sınırlı bir
fonksiyondur. 0 aynı zamanda tam olduğundan Liouville Teoremine göre 0 ÐDÑ
ve dolayısıyla :ÐDÑ, ‚ de sabit olur. Ancak hipotezde 8 " ve +8 Á ! olarak
verildiğinden :ÐDÑ sabit değildir. Bu bir çelişki yaratır. O halde :ÐDÑ
polinomunun ‚ de bir sıfırı vardır.…
Not: Bilindiği gibi D! , 8  " olmak üzere, 8Þdereceden :ÐDÑ polinomunun
bir sıfırı ise :ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ;ÐDÑ yazılır. Burada ;ÐDÑ, Ð8  "ÑÞ dereceden bir
polinomdur. Cebirin Temel Teoremine göre ;ÐDÑ de bir sıfıra sahiptir. Bu
düşünceyi devam ettirerek şunu söyleriz: 8 " olmak üzere 8Þdereceden bir
polinomun tam 8 tane sıfırı vardır.
3.3.22. Teorem (Maksimum Prensibi): 0 ÐDÑß F bölgesinde sabit olmayan
analitik bir fonksiyon olsun. Bu durumda l0 ÐDÑl, F bölgesinde maksimum
değer alamaz.
İspat: Bir an, her D − F için l0 ÐDÑl Ÿ l0 ÐD! Ñl olacak şekilde bir D! − F
olduğunu kabul edelim. D! bir iç nokta olduğundan, lD  D! l Ÿ < kapalı dairesi
F de kalacak şekilde <  ! sayısı vardır. lD  D! l œ < çemberini # ile
gösterelim. Ortalama Değer Özelliğine göre
0 ÐD! Ñ œ
" #1
3>
( 0 ÐD!  </ Ñ.>
#1 !
l0 ÐD! Ñl Ÿ
" #1
3>
( l0 ÐD!  </ Ñl.>
#1 !
olduğundan
ve D!  </3> ß # eğrisi üzerinde bir nokta olduğundan kabulümüze göre
l0 ÐD!  </3> Ñl Ÿ l0 ÐD! Ñl olup
214
" #1
3>
( l0 ÐD!  </ Ñl.> Ÿ l0 ÐD! Ñl
#1 !
yazılır. Buna göre
" #1
3>
( l0 ÐD!  </ Ñl.> œ l0 ÐD! Ñl
#1 !
veya
(
#1
!
ˆl0 ÐD!  </3> Ñl  l0 ÐD! Ñl‰.> œ !
olur. Bu da l0 ÐD!  </3> Ñl œ l0 ÐD! Ñl olmasını gerektirir. Böylece # eğrisi
üzerindeki her D için l0 ÐDÑl œ l0 ÐD! Ñl elde edilir. Bu eşitlik !  = Ÿ < olmak
üzere her lD  D! l œ = çemberi için sağlanır. O halde l0 ÐDÑlß lD  D! l Ÿ < kapalı
dairesinde sabittir.
W œ ÖD − F À l0 ÐDÑl œ l0 ÐD! Ñl×
ve
X œ ÖD − F À l0 ÐDÑl Á l0 ÐD! Ñl×
kümelerini gözönüne alalım. W  X œ g ve F œ W  X olur. Yukarıda
yapılanlardan, W kümesinin herbir noktasının iç nokta olduğu görülür. Yani, W
kümesi açıktır. D! − W olduğundan aynı zamanda W Á g olur. Diğer yandan,
2 À F Ä ‚ß 2ÐDÑ œ l0 ÐDÑl  l0 ÐD! Ñl fonksiyonunu gözönüne alalım. X
kümesinde 2ÐDÑ Á ! dır. 0 ÐDÑ fonksiyonu, F bölgesinde analitik olduğundan,
bu bölgede süreklidir. Dolayısıyla l0 ÐDÑl fonksiyonu da F bölgesinde sürekli
olur. Bunun sonucunda, 2ÐDÑ fonksiyonunun F bölgesinde sürekli olduğu
söylenir. D w − X için
lim 2ÐDÑ œ l0 ÐD w Ñl  l0 ÐD! Ñl Á !
DÄD w
bulunur. Bu durumda D w noktasının F bölgesinde öyle bir
O œ ÖD À lD  D w l  <× komşuluğu bulunur ki buradaki her D için 2ÐDÑ Á !,
yani O § X olur. Sonuç olarak X kümesi açıktır. O zaman, ÖWß X ×ß F
bölgesinin bir parçalanışıdırÞ F bölge olduğundan 1.9.12. Teoreme göre W veya
X kümelerinden birisi boştur. W Á g olduğundan X œ g olur. Bu durumda
F œ W yazılır ve 2.7.11. Sonucun iii.şıkkına göre 0 ÐDÑß F bölgesinde sabittir.
Bu ise hipotezle çelişir. O halde 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde maksimum
değer alamaz.…
3.3.23. Sonuç: F sınırlı bir bölge ve sabit olmayan 0 ÐDÑ fonksiyonu da bu
bölgenin sınırında sürekli içinde ise analitik olsun. Bu durumda l0 ÐDÑl
maksimum değerini F bölgesinin sınırında alır.
215
İspat: F kapalı ve sınırlı olduğundan l0 ÐDÑl reel değerli fonksiyonu bu
küme üzerinde bir maksimum değer alır. Maksimum Prensibine göre bu nokta
F bölgesinin içinde olamayacağına göre bölgenin sınırındadır.…
3.3.24. Teorem (Minimum Prensibi): 0 ÐDÑß F bölgesinde sabit olmayan
bir fonksiyon ve her D − F için 0 ÐDÑ Á ! olsun. Bu durumda l0 ÐDÑl, F
bölgesinde minimum değer alamaz.
"
İspat: 1ÐDÑ œ 0 ÐDÑ
fonksiyonunu tanımlayalım. l1ÐDÑl nin maksimum
olduğu noktada l0 ÐDÑl minimum olur. Maksimum Prensibine göre l1ÐDÑlß F
bölgesinde maksimum değer almaz. Dolayısıyla l0 ÐDÑl ninde F bölgesinde
minimum değeri olmaz.…
3.3.25. Sonuç: F sınırlı bir bölge, 0 ÐDÑ sabit olmayan bir fonksiyon ve her
D − F için 0 ÐDÑ Á ! olsun. Ayrıca 0 ÐDÑ fonksiyonunun F bölgesinin içinde
analitik, sınırında sürekli olduğunu kabul edelim. Bu durumda l0 ÐDÑl minimum
değerini F bölgesinin sınırında alır.
3.3. Alıştırmalar
1. # , lDl œ " çemberi olmak üzere
1Ð=Ñ œ (
#D #  D  #
.D
D=
#
olarak veriliyor. 0 ÐDÑ œ #D #  D  # olmak üzere lD! l  " için
1ÐD! Ñ œ #130 ÐD! Ñ olduğunu gösteriniz. lD! l  " iken 1ÐD! Ñ değeri hakkında ne
söylersiniz?
2. # eğrisi, lBl  lCl œ " karesi olmak üzere
(
/D  D # sin D
.D
D$
#
integralini hesaplayınız.
3. 0 ÐDÑß bir tam fonksiyon ve her D − ‚ için l0 ÐDÑl " olsun. Bu durumda
0 ÐDÑ fonksiyonunun sabit olduğunu gösteriniz.
216
4. #ß lDl œ & çemberi olmak üzere
(
D #  ,D  D #  ,D  .D œ $#13 ve (
.D œ "'13
#
D$
#
# ÐD  $Ñ
olarak veriliyor. , ve - sayılarını bulunuz.
5. #, lDl œ # çemberi olmak üzere
/1 D
.D
( $
#D D
integralini hesaplayınız.
6. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
i. 'lD"lœ# D#.D%
iv. 'lDlœ" cosD D .D
vii. 'lD"lœ# D#.D
#3
.D
ii. 'lDlœ# D# D"
.D
iii. 'lDlœ# D# #D$
v. 'lDlœ" sinD%D .D
D
vi. 'lDlœ" /D#
.D
D
viii. 'lD#lœ& D#/'D .D
D#
C #3BC
ix. 'lDlœ# BÐB3C"3Ñ
.D
#
#
7. 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere
/5D
.D
(
lDlœ" D
8
integralini hesaplayınız. Bundan yararlanarak
(
#1
/5cos 8> cos Ð5 sin 8>Ñ.> œ #1
!
olduğunu gösteriniz.
3.4. Kapalı Bir Eğrinin Dönme Sayısı:
0 ÐDÑ, pozitif yönlü basit kapalı # çevresi içinde ve üzerinde analitik bir
fonksiyon ve D! noktasının bu çevrenin içinde olması durumunda Cauchy
İntegral Formülüne göre
217
0 ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
# 1 3 # D  D!
ve Cauchy Türev Formülüne göre 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ için
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ œ
8x
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
olduğunu gördük. Burada # çevresinin basit kapalı alındığına dikkat ediniz.
Ancak, bazen basit olmayan kapalı çevreler için de bu formüllerle
karşılaşabiliriz. Bu durumda # çevresinin D! noktası etrafındaki dönme sayısına
ihtiyaç duyulur. #Ð>Ñ œ BÐ>Ñ  3CÐ>Ñß + Ÿ > Ÿ , çevresinin üzerinde olmayan D!
noktası etrafındaki dönme sayısından sözedebilmek için aşağıdaki iki durumun
gerçekleşmesi gerekir:
1. # eğrisi kapalıdır (basit olması gerekmez).
2. Kapalı eğri üzerinde # Ð+Ñ (veya herhangi bir # Ð>! Ñ) noktasından
başlayıp hep aynı yönde ilerleyip # Ð,Ñ œ # Ð+Ñ (veya aynı # Ð>! Ñ) noktasına
ulaşılmalıdır.
Bazı kaynaklarda "# çevresinin D! noktası etrafındaki dönme sayısı" yerine
"# çevresinin D! noktasına göre indeksi" ifadesi kullanılır.
3.4.1. Tanım: # , kompleks düzlemde kapalı bir çevre ve D! , bu çevre
üzerinde olmayan bir nokta olsun. # çevresinin D! noktası etrafındaki dönme
sayısı MÐ# ß D! Ñ ile gösterilir ve
MÐ# ß D! Ñ œ
"
.D
(
# 1 3 # D  D!
olarak tanımlanır.
MÐ# ß D! Ñ bir tam sayıdır. MÐ# ß D! Ñ Á ! olması durumunda 5 pozitif bir tam
sayı olmak üzere MÐ# ß D! Ñ œ 5 veya MÐ# ß D! Ñ œ  5 olur. MÐ# ß D! Ñ œ 5 , #
çevresinin D! noktası etrafında pozitif yönde 5 kere döndüğünü, MÐ# ß D! Ñ œ  5
ise # çevresinin D! noktası etrafında negatif yönde 5 kere döndüğünü ifade eder.
3.4.1. Tanımdan MÐ  # ß D! Ñ œ  MÐ# ß D! Ñ olduğu kolayca görülebilir.
3.4.2. Örnek: # Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ '1 kapalı eğrisi verilsin. Buna göre
aşağıdaki dönme sayılarını bulunuz.
i. MÐ# ß !Ñ
ii. MÐ# ß #Ñ
iii. MÐ  # ß !Ñ
218
Çözüm:i. Dönme sayısının ve eğrisel integralin tanımı kullanılarak
MÐ# ß !Ñ œ
'1
"
.D
"
" 3>
'1
œ
3/ .> œ
œ$
(
(
3>
#1 3 # D
#1 3 ! /
#1
elde edilir.
ii. #" Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ #1à ## Ð>Ñ œ /3> ß #1 Ÿ > Ÿ %1 ve #$ Ð>Ñ œ /3> ß
%1 Ÿ > Ÿ '1 olarak alınırsa # œ #"  ##  #$ yazılır. Burada #" ß ## ve #$ basit
kapalı eğrilerdir. Dönme sayısının tanımı ve Cauchy-Goursat Teoremine göre
MÐ# ß #Ñ œ
"
.D
"
.D
.D
.D
œ
(
(
(
”(
•œ!
#1 3 # D  #
#13 #" D  #
## D  #
#$ D  #
bulunur.
iii. # Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ '1 ise  # Ð>Ñ œ /3> ß ! Ÿ > Ÿ '1 dir. O halde
MÐ  # ß !Ñ œ
"
.D
"
.D
œ 
œ $
(
(
#13 # D
#1 3 # D
elde edilir.ú
3.4.1. Tanımdan görüleceği gibi # , pozitif yönlü basit kapalı bir çevre
olması durumunda D! ß # çevresinin içinde bir nokta iken MÐ# ß D! Ñ œ "; D! ß #
çevresinin dışında iken MÐ# ß D! Ñ œ ! olur. Keyfi bir # kapalı eğrisini #" ß ## ß ÞÞÞß
#5 basit kapalı eğriler olmak üzere # œ #"  ##  â  #5 şeklinde
yazılabilirse
MÐ# ß D! Ñ œ MÐ#" ß D! Ñ  MÐ## ß D! Ñ  â  MÐ#5 ß D! Ñ
olur.
3.4.3. Örnek: 3.4.1.Şekilde verilen eğrileri ve noktaları gözönüne alalım.
Ð+Ñ şeklinde # basit kapalı bir eğridir. Dolayısıyla
219
3.4.1. Şekil:
MÐ# ß D! Ñ œ "ß MÐ# ß D" Ñ œ !ß MÐ  # ß D! Ñ œ  "
olur. Ð,Ñ şeklinde ise içteki basit kapalı eğriyi "" ile dıştaki basit kapalı eğriyi "#
ile gösterirsek " œ ""  "# yazılır. Buna göre
MÐ" ß D! Ñ œ MÐ"" ß D! Ñ  MÐ"# ß D! Ñ œ "  " œ #
MÐ" ß D" Ñ œ MÐ"" ß D" Ñ  MÐ"# ß D" Ñ œ !  " œ "
MÐ" ß D# Ñ œ MÐ"" ß D# Ñ  MÐ"# ß D# Ñ œ !  ! œ !
bulunur.ú
Dönme sayısını kolayca bulabilmek için önerilebilecek bir yol şu olabilir:
# kapalı bir eğri, D! bu eğri üzerinde olmayan bir nokta olsun. D! noktasından
başlayan ve # eğrisini kesen bir ışın çizelim. Bu ışının # nın kendisini kestiği
noktalardan geçmediğini ve # ya herhangi bir noktasından teğet olmadığını
kabul edelim. Eğer 8 œ MÐ# ß D! Ñ Á ! ise bahsedilen ışın # eğrisini en az l8l defa
kesmek zorundadır.
Şimdi bu ışının # eğrisini kestiği noktalar ile MÐ# ß D! Ñ dönme sayısı
arasındaki ilişkiden sözedeceğiz. Bunun için aşağıdaki adımlar takip edilecektir:
1. # eğrisi ve D! noktası şekildeki gibi verilsin.
z0
2. D! noktasından başlayan # nın kendisini kestiği noktalardan geçmeyen
ve # ya herhangi bir noktasından teğet olmayan > ışınını çizelim.
220
z0
t
3. > ışınının # eğrisini kestiği her noktada eğrinin yönüne uygun
yönlendirilmiş ilmikler çizelim. Eğrinin yönüne uygun ilmikler
şekildeki gibi oluşturulur.
z0
4. Bu ilmiklerden pozitif yönlü olanları  "ß negatif yönlü olanları  "
ile değerlendirelim. Bir ışın üzerinde elde edilen bu sayıların cebirsel toplamı
bize MÐ# ß D! Ñ dönme sayısını verir.
Bu dört adımı kısaca  " yerine  ,  " yerine de  alarak aşağıdaki
şekilde olduğu gibi gösterebiliriz: MÐ# ß D! Ñ œ  "  " œ # olarak yazılacağına
dikkat ediniz.
221
t
z0
+
+
Şimdi keyfi kapalı eğriler için Cauchy İntegral Formülü ve Cauchy Türev
Formülünü ifade edebiliriz:
3.4.4. Teorem (Keyfi Kapalı Eğriler İçin Cauchy İntegral Formülü): 0 ÐDÑß
basit bağlantılı bir F bölgesinde analitik bir fonksiyon, # , bu bölgede kapalı bir
çevre ve D! , # çevresi üzerinde olmayan bir nokta olsun. Bu durumda
MÐ# ß D! Ñ0 ÐD! Ñ œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
# 1 3 # D  D!
olur.
3.4.5. Teorem (Keyfi Kapalı Eğriler İçin Cauchy Türev Formülü): 0 ÐDÑß
basit bağlantılı bir F bölgesinde analitik bir fonksiyon, # , bu bölgede kapalı bir
çevre ve D! , # çevresi üzerinde olmayan bir nokta olsun. Bu durumda
8 œ !ß "ß #ß á için
MÐ# ß D! Ñ0 Ð8Ñ ÐD! Ñ œ
8x
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
olur.
3.4.4. Teorem ile 3.4.5. Teoremde # nın pozitif yönlü basit kapalı bir çevre
olarak alınması durumunda MÐ# ß D! Ñ œ " olacağından, sırasıyla, Cauchy İntegral
Formülü ve Cauchy Türev Formülü elde edilir.
3.4.6. Örnek: # , 3.4.2. Şekildeki eğri olmak üzere aşağıdaki integralleri
hesaplayınız.
222
i. (
ii. (
/D
.D
# D
/D
.D
$
# ÐD  2Ñ
iii. (
/D
.D
#D%
3.4.2. Şekil: 3.4.6. Örnekteki # eğrisi
Çözüm: i. D! œ !, MÐ# ß !Ñ œ # ve 0 ÐDÑ œ /D dir. Genelleştirilmiş Cauchy
İntegral Formülüne göre
(
/D
.D œ #13MÐ# ß !Ñ0 Ð!Ñ œ %13
# D
elde edilir.
ii. D! œ  #ß MÐ# ß  #Ñ œ " ve 0 ÐDÑ œ /D dir. Genelleştirilmiş Cauchy
Türev Formülüne göre
(
/D
#1 3
.D œ
MÐ# ß  #Ñ0 ww Ð  #Ñ œ 1/# 3
$
ÐD

Ñ
#x
2
#
bulunur.
iii. D! œ %ß MÐ# ß %Ñ œ ! ve 0 ÐDÑ œ /D dir. Genelleştirilmiş Cauchy İntegral
Formülüne göre
(
/D
.D œ #13MÐ# ß %Ñ0 Ð%Ñ œ !
#D%
elde edilir.
Hatırlanacağı gibi, basit kapalı bir eğrinin içini ve dışını tanımlamıştık.
Keyfi kapalı bir eğri için bu kavramları kullanmadığımıza dikkat ediniz. Şimdi
dönme sayısını kullanarak keyfi kapalı bir eğrinin içinin ve dışının tanımını
223
yapabiliriz: # , keyfi kapalı bir eğri olsun. ÖD À MÐ# ß DÑ Á !× kümesine #
eğrisinin içi; ÖD À MÐ# ß DÑ œ !× kümesine ise # eğrisinin dışı denir.
3.4. Alıştırmalar
1. Aşağıda verilen şekile göre MÐ# ß D! Ñß MÐ# ß D" Ñ ve MÐ# ß D# Ñ dönme sayılarını
bulunuz.
2. # eğrisi şekildeki gibi verilsin. Buna göre aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
i. '# sinD D .D
cos D
ii. '# ÐD"Ñ
# .D
/
iii. '# ÐD3Ñ
$ .D
1D
224
4.BÖLÜM
DİZİLER, SERİLER
VE
KUVVET SERİLERİ
4.1. Kompleks Sayı Dizileri:
4.1.1. Tanım: Tanım kümesi pozitif tam sayılar, değer kümesi kompleks
sayılar olan fonksiyona kompleks sayı dizisi veya kısaca kompleks dizi denir.
Bu tanıma göre 0 À  Ä ‚ fonksiyonu bir dizidir. 0 bir dizi ise 8 nin 0
altındaki görüntüsü için D8 sembolü kullaılır. Yani, 0 Ð8Ñ œ D8 dir. Dizi, kısaca,
ÐD8 Ñ ile gösterilir. Bu durumda
ÐD8 Ñ œ ÐD" ß D# ß á ß D8 ß á Ñ
olarak yazılır. Burada D" ß D# ß á ß D8 ß á elemanlarının her birine dizinin
terimleriß D8 ye de dizinin genel terimi (veya 8Þterimi veya dizinin kuralı) denir.
Dizi çeşitli şekillerde inşa edilebilir. Genel terimin verilmesi bunların en
kullanışlı olanıdır.
ÐD8 Ñ, ‚ de bir dizi olsun. 8"  8#  8$  á pozitif tam sayılar olmak
üzere ÐD85 Ñ dizisine ÐD8 Ñ dizisinin alt dizisi denir. Burada şuna dikkat etmek
gerekir ki her bir D85 , ÐD8 Ñ dizisinin bir elemanıdır.
4.1.2. Örnek: i. Genel terimi D8 œ Ð  "Ñ8 olarak verilen dizi
ÐD8 Ñ œ Ð  "ß "ß  "ß "ß á ß Ð  "Ñ8 ß á Ñ şeklinde yazılır. Bu diziden
seçeceğimiz ÐD#8 Ñ œ Ð"ß "ß "ß á ß "ß á Ñ, ÐD8 Ñ nin bir alt dizisidir.
225
ii. Genel terimi D8 œ 3 olan dizi ÐD8 Ñ œ Ð3ß 3ß 3ß á ß 3ß á Ñ şeklinde yazılır.
Bu diziden seçilecek olan her alt dizi, ÐD8 Ñ dizisi ile çakışır.
iii. Genel terimi D8 œ 38 olan dizi Ð38 Ñ œ Ð3ß  "ß  3ß "ß 3ß á ß 38 ß á Ñ
şeklinde yazılır. Bu diziden ÐD%8$ Ñ œ Ð  3ß  3ß  3ß á ß  3ß á Ñ şeklinde bir
alt dizi seçebiliriz.
iv. ÐD8 Ñ œ Ð 8"  8  Ð  "Ñ8 8Ñ dizisini gözönüne alalım. Bu dizi, açık
olarak, ÐD8 Ñ œ Ð"ß *# ß "$ ß á ß 8"  8  Ð  "Ñ8 8ß á Ñ şeklinde yazılır. Genel
"
terimi D$8" œ $8"
 Ð$8  "Ñ  Ð  "Ñ$8" Ð$8  "Ñ olan dizi, verilen ÐD8 Ñ
dizisinin bir alt dizisidir.ú
4.1.3. Tanım: ÐD8 Ñ kompleks dizisi ve D! kompleks sayısı verilsin. Her
&  ! için 8  8! iken lD8  D! l  & olacak şekilde bir 8! œ 8! (&Ñ sayısı varsa
8 Ä  _ için ÐD8 Ñ dizisinin limiti D! sayısıdır denir ve lim D8 œ D! olarak
8Ä_
yazılır.
Fonksiyonlarda olduğu gibi diziler için de "Limit varsa tektir" ifadesi
geçerlidir. Bir dizinin limitin olması oldukça önemlidir. Dizileri, limiti olan ve
limiti olmayan diziler diye iki sınıfa ayırırız.
4.1.4. Tanım: ÐD8 Ñ kompleks dizisi verilsin. lim D8 œ D! olacak şekilde
8Ä_
bir D! kompleks sayısı varsa ÐD8 Ñ dizisi D! sayısına yakınsıyor denir ve D8 Ä D!
ile gösterilir. Bir sayıya yakınsayan diziye yakınsak dizi aksi halde ıraksak dizi
denir. Bir dizinin yakınsaklığına veya ıraksaklığına o dizinin karakteri adı
verilir.
Demek ki, limiti olan diziler yakınsak dizi, limiti olmayan diziler de
ıraksak dizi sınıfını oluştururlar.
ÐD8 Ñ kompleks dizisinin bir D! kompleks sayısına yakınsaması demek, bu
dizinin belli bir 8! sayısından büyük indisli terimlerinin D! sayısının &komşuluğunda kalması demektir. Bu komşulukta 8! sayısından küçük indisli
terimlerin bulunma zorunluluğu yoktur, ancak 8! sayısından büyük indisli
terimlerin hepsi bu komşulukta bulunmak zorundadır. İlave olarak söylemek
gerekir ki 8! herhangi bir reel sayıdır. Dolayısıyla 8! negatif bir reel sayı da
olabilir. 8! negatif reel sayı olması durumunda dizinin bütün terimleri D!
sayısının &-komşuluğunda kalır.
226
Şunu da belirtmek faydalıdır: D8 Ä D! ile lD8  D! l Ä ! ifadeleri denktir.
4.1.1. Şekil: D8 Ä D! yakınsamasının geometrik açıklaması (8! doğal sayı alınmıştır)
Bir dizi ve bir sayı verildiği zaman, dizinin bu sayıya yakınsayıp
yakınsamadığını tanımı kullanarak gösterebiliriz. Sadece dizi verildiği zaman,
bu dizinin karakterini belirlemek için yararlanacağımız teoremlerden birisi
aşağıda verilmiştir.
4.1.5. Teorem: ÐD8 Ñ kompleks dizisinin bir D! kompleks sayısına
yakınsaması için gerek ve yeter şart ÐRe D8 Ñ ve ÐIm D8 Ñ dizilerinin, sırasıyla,
Re D! ve Im D! sayılarına yakınsamasıdır.
İspat: D8 Ä D! olduğunu kabul ederek Re D8 Ä Re D! ve Im D8 Ä Im D!
olduğunu gösterelim. Bunun için
lRe D8  Re D! l Ÿ lD8  D! l
ve |Im D8  Im D! | Ÿ lD8  D! l
eşitsizliğini kullanacağız. D8 Ä D! olduğundan her &  ! için 8  8! iken
lD8  D! l  & olacak şekilde 8! sayısı vardır. Aynı 8! ve aynı & sayıları için,
yukarıdaki birinci eşitsizlikten, lRe D8  Re D! l  & ve ikinci eşitsizlikten de |Im
D8  Im D! |  & yazılabileceğinden Re D8 Ä Re D! ve Im D8 Ä Im D! olur.
Re D8 Ä Re D! ve Im D8 Ä Im D! olduğunu kabul ederek D8 Ä D!
olduğunu göstermek için
lD8  D! l Ÿ lRe D8  Re D! l  |Im D8  Im D! |
eşitsizliğini kullanırız. Burada
lim lRe D8  Re D! l œ ! ve
8Ä_
lim |Im D8  Im D! | œ !
8Ä_
olduğundan
lim lD8  D! l œ ! veya D8 Ä D!
8Ä_
227
elde edilir.…
4.1.5. Teorem şu şekilde de ifade edilebilir: ÐD8 Ñ kompleks dizisinin
yakınsak olması için gerek ve yeter şart ÐRe D8 Ñ ve ÐIm D8 Ñ dizilerinin yakınsak
olmasıdır.
4.1.5. Teoreme göre, ÐD8 Ñ kompleks dizisinin limitinin olması için gerek ve
yeter şart ÐRe D8 Ñ ve ÐIm D8 Ñ dizilerinin limitinin olmasıdır.
4.1.6. Örnek: Aşağıda genel terimi verilen dizilerin her birinin karakterini
belirleyiniz.
8
i. D8 œ Ð"  8" Ñ  3 8$#
ii. D8 œ $  3 "8
iii. D8 œ #8  3
Çözüm: i. lim Re D8 œ " ve lim Im D8 œ ! olduğundan verilen dizinin
8Ä_
limiti
8Ä_
lim D8 œ "
8Ä_
olarak bulunur. Dolayısıyla ÐD8 Ñ, yakınsak bir dizidir.
ii. lim Re D8 œ $ ve lim Im D8 œ " olduğundan
8Ä_
8Ä_
lim Œ$  3
8Ä_
8
œ$3
"8
bulunur. O halde, dizi yakınsaktır.
iii. lim Re D8 œ _ ve lim Im D8 œ " bulunur. Dolayısıyla
8Ä_
8Ä_
lim Ð#8  3Ñ œ _
8Ä_
olur. Limit, bir kompleks sayı olmadığından verilen dizi ıraksaktır. ú
4.1.7. Teorem: ÐD8 Ñ kompleks dizisi verilsin. Bu durumda
i. lim lD8 l œ ! ise lim D8 œ !,
8Ä_
8Ä_
ii. lim lD8 l œ _ ise lim D8 œ _
olur.
8Ä_
8Ä_
İspat: i. lD8 l Ä ! ise her &  ! için 8  8! iken klD8 l  !k  & olacak
şekilde 8! Ð&Ñ sayısı vardır. Burada
228
llD8 l  !l œ llD8 ll œ lD8 l
olduğundan lD8 l  & yazılır. Dolayısıyla lim D8 œ ! olur.
8Ä_
ii. lD8 l Ä _ ise her Q  ! sayısı için 8  8! iken |lD8 ll  Q olacak
şekilde 8! œ 8! ÐQ Ñ sayısı vardır. Burada
llD8 ll œ lD8 l
olduğundan lD8 l  Q yazılır. O halde, lim D8 œ _ olur.…
8Ä_
4.1.8. Örnek: Aşağıda genel terimi verilen her bir dizinin karakterini
belirleyiniz.
8
8
i. D8 œ 38
ii. D8 œ Ð"3Ñ
8
Çözüm: i. 8 Ä _ için 38 nin davranışını incelemeden 4.1.7. Teoremin
i.şıkkını kullanarak sonuca gidebiliriz.
lim lD8 l œ lim º
8Ä_
8Ä_
38
8Ä_ 8
bulunur. Dolayısıyla lim
38
l3l8
"
lim
œ lim œ !
º œ 8Ä_
8Ä_ 8
8
8
œ ! yazılır. Buna göreß verilen dizi yakınsaktır.
ii.
lim lD8 l œ lim º
8Ä_
8Ä_
Ð"  3Ñ8
#8Î#
lim
œ_
º œ 8Ä_
8
8
olduğundan lim D8 œ _ bulunur. Limit, bir kompleks sayı olmadığından
8Ä_
verilen dizi ıraksaktır.ú
4.1.9. Teorem: D8 Ä D! ve A8 Ä A! olmak üzere ÐD8 Ñ ve ÐA8 Ñ kompleks
dizileri verilsin. Bu durumda aşağıdaki ifadeler vardır:
i. Herhangi bir - kompleks sayısı için -D8 Ä -D! dır.
ii. D 8 Ä D ! dır.
iii. lD8 l Ä lD! l dır.
iv. D8  A8 Ä D!  A! dır.
v. D8 A8 Ä D! A! dır.
vi. A! Á ! ve A8 Á ! olmak üzere AD88 Ä AD!! dır.
229
İspat: 2.4.4. Teoremin ispatına benzer şekilde yapılır.…
4.1.10. Örnek: Ð38x  #8 Ñ dizisinin karakterini belirleyiniz.
Çözüm: 4.1.9. Teoremin iv.şıkkını kullanacağız. Bunun için D8 œ 38x ve
A8 œ #8 olmak üzere Ð38x  #8 Ñ œ ÐD8  A8 Ñ yazılır. Dolayısıyla her bir
terimin limitini ayrı ayrı inceleyeceğiz. 8 4 için 8x, 4 ün bir katı olduğundan
38x œ ", yani lim D8 œ " dir. Diğer yandan lim #8 œ !, yani lim A8 œ ! dır.
O halde
8Ä_
8Ä_
8Ä_
lim Ð38x  #8 Ñ œ "
8Ä_
bulunur. Bu da, verilen verilen dizinin yakınsak olması demektir.ú
Şimdi de dizilerle ilgili başka bir tanım verelim:
4.1.11. Tanım: ÐD8 Ñ kompleks dizisi verilsin. Her &  ! için 7ß 8  8!
iken lD8  D7 l  & olacak şekilde bir 8! sayısı varsa ÐD8 Ñ dizisine (‚ de)
Cauchy dizisi denir.
için
Cauchy dizisinin tanımı şu şekilde de verilebilir: Eğer ÐD8 Ñ kompleks dizisi
lim
8Ä_ß 7Ä_
lD8 D7 l œ !
oluyorsa bu diziye Cauchy dizisi denir. Uygulamalarda, genel olarak, bu tanımı
tercih ederiz.
"‘ deki bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter şart bu dizinin bir
Cauchy dizisi olmasıdır." ifadesini biliyoruz. Bu ifade ‚ için de aynen
geçerlidir. Aşağıdaki teorem bununla ilgilidir.
4.1.12. Teorem (Diziler İçin Cauchy Yakınsaklık Kuralı): ÐD8 Ñ kompleks
dizisinin ‚ de yakınsak olması için gerek ve yeter şart bu dizinin ‚ de bir
Cauchy dizisi olmasıdır.
İspat: ÐD8 Ñ dizisinin D! sayısına yakınsadığını kabul ederek bu dizinin bir
Cauchy dizisi olduğunu gösterelim. D8 Ä D! olduğundan her &  ! için 8  8!
iken lD8  D! l  & olacak şekilde 8! sayısı vardır. 7  8! için de lD7  D! l  &
yazılır. Bu iki ifadeye göre, her &  ! için 8ß 7  8! iken
230
lD8  D7 l œ lD8  D!  D!  D7 l Ÿ lD8  D! l  lD!  D7 l  #&
olacak şekilde 8! sayısı vardır. Dolayısıyla ÐD8 Ñ, bir Cauchy dizisidir.
Şimdi de, ‚ deki bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterelim. ÐD8 Ñ
bir Cauchy dizisi olduğundan, her &  ! için 7ß 8  8! iken lD8  D7 l  &
olacak şekilde bir 8! sayısı vardır. D8 œ B8  3C8 için
lB8  B7 l Ÿ lD8  D7 l  & ve lC8  C7 l Ÿ lD8  D7 l  &
yazılır. Bu durumda ÐB8 Ñ ve ÐC8 Ñ, ‘ de birer Cauchy dizisi olur. ‘ deki her
Cauchy dizisi yakınsak olduğundan B8 Ä B! ve C8 Ä C! olacak şekilde B! ß
C! − ‘ vardır. O halde
D8 œ B8  3C8 Ä B!  3C! œ D!
olur.…
Burada şu hatırlatmaları yapmakta fayda vardır: Keyfi bir metrik uzaydaki
her yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir. Ancak, keyfi bir metrik uzayda her
Cauchy dizisinin yakınsak olması gerekmez. Bir metrik uzaydaki her Cauchy
dizisi yakınsak ise bu uzaya tam metrik uzay denir ("dizinin yakınsaması" ile
bulunduğu uzayda bir noktaya yakınsama anlaşılır). Buna göre, ‚ mutlak değer
metriği ile bir tam metrik uzaydır.
4.1. Alıştırmalar
1. Genel terimi D8 œ
"
8

8"
8 3
olan ÐD8 Ñ dizisi veriliyor. Buna göre
lim D8 œ 3
8Ä_
olduğunu gösteriniz.
2. Aşağıda genel terimi verilen her bir dizinin limitini bulunuz. Bu dizilerin
karakteri hakkında ne söylersiniz?
#
‰8
i. D8 œ 838
ii. D8 œ ˆ "3
iii. D8 œ Ð"  3Ñ8
# "
$
81
3. Genel terimi D8 œ / # 3 olan dizinin karakterini belirleyiniz.
4. + ve , pozitif iki farklı reel sayı olmak üzere
8
lim È
+8  ,8 œ maxÖ+ß ,×
8Ä_
231
8
olduğunu gösteriniz. Bu durumda ÐÈ
+8  ,8 Ñ dizisinin karakteri hakkında ne
söylersiniz?
5. ÐD8 Ñ, D! sayısına yakınsayan bir dizi ve ÐD85 Ñ, ÐD8 Ñ nin bir alt dizisi olsun. Bu
durumda ÐD85 Ñ dizisinin de D! sayısına yakınsadığını gösteriniz.
6. ‘ deki her Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
4.2. Kompleks Sayı Serileri:
Verilen sonlu sayıdaki kompleks sayıların toplanması işlemi cebirsel
olarak yapılabilir. Sonsuz sayıdaki kompleks sayıların toplanması işlemi ise
cebirsel bir işlem değildir ve dolayısıyla sonlu sayıdaki sayıların toplanması
gibi yapılamaz. Sonsuz sayıdaki sayıların toplanması işlemi sonlu sayıdaki
sayıların toplanması gibi yapılırsa, bu işlem sonuçlandırılamaz. O halde, sonsuz
sayıdaki sayıların toplanmasının nasıl yapılacağı açıklanmalıdır. Bunun için,
seri kavramını tanıtacağız.
4.2.1. Tanım: i. ÐD8 Ñ, bir kompleks dizi olmak üzere
D"  D#  D$  â  D8  â
ifadesine kompleks sayı serisi veya kısaca kompleks seri denir ve
"D8
_
8œ"
ile gösterilir.
ii. ! D8 kompleks serisi verilsin. D" , D# , D$ ,á , D8 ,á elemanların her
_
8œ"
birine serinin terimleri, D8 ye de serinin genel terimi adı verilir.
Şimdi, seri dediğimiz sonsuz toplamın ne anlama geldiğini inceleyelim: =8
ile kompleks serinin 8Þindise kadar (8.indis dahil) olan terimlerinin toplamını
gösterirsek ! D8 serisinin terimlerinden
_
8œ"
232
= " œ D"
= # œ D "  D#
=$ œ D"  D#  D$
ã
=8 œ D"  D#  â  D8
ã
yazılır. Böylece Ð=8 Ñ kompleks dizisini elde ederiz. Bu diziye, verilen serinin
kısmi toplamlar dizisi denir. Kısmi toplamlar dizisinin genel terimi olan =8 ß
verilen serinin 8Þkısmi toplamı olarak adlandırılır.
4.2.2. Tanım: ! D8 kompleks serisi ve bu serinin Ð=8 Ñ kısmi toplamlar
_
dizisi verilsin. Eğer Ð=8 Ñ dizisi bir = sayısına yakınsıyor ise ! D8 serisi de =
8œ"
_
8œ"
sayısına yakınsıyor denir ve
"D8 œ =
_
8œ"
olarak yazılır. Bu = sayısına serinin toplamı adı verilir. Bir sayıya yakınsayan
seriye yakınsak seri, aksi halde ıraksak seri denir. Bir serinin yakınsaklık veya
ıraksaklığına o serinin karakteri adı verilir.
Bu açıklamalardan sonra, şekilsel olarak,
lim =8 œ lim "D5 œ "D5
8Ä_
8Ä_
8
_
5œ"
5œ"
yazılır. Bu yüzden seriyi, Ð=8 Ñ kısmi toplamlar dizisi olarak da tanımlarız.
Tanımdan anlaşılacağı gibi serinin yakınsak olması, onun bir toplama sahip
olacağını gösterir. Aynı zamanda, toplamı belirli bir sayı olan seri yakınsaktır.
Toplamın belirli bir sayı olmadığı durumda ise seri ıraksaktır.
4.2.3. Teorem: ! D8 kompleks serisinin bir = kompleks sayısına
_
yakınsaması için gerek ve yeter şart ! Re D8 serisinin Re= sayısına ve ! Im D8
8œ"
_
_
8œ"
8œ"
serisinin Im = sayısına yakınsamasıdır.
233
İspat: Ð=8 Ñ kısmi toplamlar dizisini gözönüne alıp diziler için yapılan
ispatı aynen uygularız.…
Bu teorem şu şekilde de ifade edilebilir: ! D8 kompleks serisinin yakınsak
_
olması için gerek ve yeter şart ! Re D8 ve ! Im D8 serilerinin yakınsak
_
olmasıdır. Bu durumda
dikkat ediniz.
8œ"
_
! D8 œ ! Re D8  3! Im D8 şeklinde yazılacağına
_
8œ"
_
8œ"
8œ"
8œ"
_
8œ"
4.2.4. Örnek:
"Œ
_
8œ"
"
"
 8 3
#
8
#
serisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.
Çözüm: D8 œ
Analiz derslerinden
"
8#

"
#8 3
olduğundan Re D8 œ
"
8#
ve Im D8 œ
"
#8
yazılır.
"Re D8 œ "
_
_
"
"
"
"
ve
Im
D
œ
8
#
8
#8
8œ"
8œ"
8œ"
_
_
8œ"
serilerinin yakınsak olduğunu biliyoruz. O halde verilen seri yakınsaktır.ú
Bir serinin yakınsaklığı ile genel teriminin limiti arasında yakın bir ilişki
vardır. Aşağıdaki teorem bununla ilgilidir.
4.2.5. Teorem: ! D8 serisi yakınsak ise lim D8 œ ! olur.
_
8œ"
8Ä_
İspat: ! D8 serisinin = sayısına yakınsadığını kabul edelim. Ð=8 Ñ ve Ð=8" Ñ
_
8œ"
bu serinin 8Þ ve Ð8  "ÑÞ kısmi toplamlar dizisi olsun. Bu durumda lim =8 œ =
ve lim =8" œ = dir. O halde
8Ä_
8Ä_
234
lim Ð=8  =8" Ñ œ lim =8  lim =8" œ !
8Ä_
8Ä_
8Ä_
yazılır. Diğer yandan D8 œ =8  =8" olup
lim D8 œ lim Ð=8  =8" Ñ Ê lim D8 œ !
8Ä_
8Ä_
8Ä_
elde edilir.…
4.2.6. Sonuç: ! D8 serisi verilsin. lim D8 Á ! ise ! D8 serisi ıraksaktır.
_
_
8Ä_
8œ"
8œ"
Not: i. 4.2.5. Teorem ve 4.2.6. Sonuç verildikten sonra yapılan en büyük
_
hata, lim D8 œ ! ise ! D8 serinin yakınsak olduğunu söylemektir. Tekrar
8Ä_
hatırlatalım ki bu doğru değildir. lim D8 œ ! olması durumunda ! D8 serisi
8œ"
_
8Ä_
"
8Ä_ 8
yakınsak veya ıraksak olabilir. Örneğin, lim
karşın ! 81 serisi ıraksak, ! 8"# serisi yakınsaktır.
_
_
8œ"
8œ"
"
#
8Ä_ 8
œ ! ve lim
8œ"
œ ! olmasına
ii. 4.2.6. Sonuç serinin ıraksaklığını garanti etmektedir. Onun için buna
ıraksaklık kuralı adı verilir.
Dizilerde olduğu gibi seriler için de Cauchy yakınsaklık kuralı vardır.
4.2.7. Teorem (Seriler İçin Cauchy Yakınsaklık Kuralı): ! D8 kompleks
_
8œ"
serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter şart her &  ! için 8  8! ve
: œ "ß #ß $ß ÞÞÞ iken
» " D5 »  &
8:
5œ8"
olacak şekilde 8! œ 8! Ð&Ñ sayısının olmasıdır.
İspat: ! D8 kompleks serisinin kısmi toplamlar dizisi Ð=8 Ñ olsun. 4.1.12.
_
8œ"
Teoremin ispatında ÐD8 Ñ dizisi yerine Ð=8 Ñ kısmi toplamlar dizisi ve 7 œ 8  :
alınarak sonuç görülür.…
235
! D8 serisi verildiğinde bu serinin terimlerinin mutlak değerlerinden
_
meydana gelen ! lD8 l serisinden de sözedilebilir. Bu iki seri kullanılarak yeni
8œ"
_
8œ"
kavramlar tanımlarız.
4.2.8. Tanım: ! D8 serisi verilsin.
_
i. ! lD8 l serisi yakınsak ise ! D8 serisine mutlak yakınsak seri denir.
_
8œ"
_
ii. ! D8 serisi yakınsak ancak ! lD8 l serisi ıraksak ise ! D8 serisine şartlı
8œ"
_
8œ"
8œ"
yakınsak seri adı verilir.
_
_
8œ"
8œ"
4.2.9. Teorem: ! lD8 l serisi yakınsak ise ! D8 serisi de yakınsaktır.
_
_
8œ"
8œ"
İspat: Üçgen eşitsizliğinden
» " D5 » Ÿ " lD5 l
8:
8:
5œ8"
5œ8"
yazılır. ! lD8 l serisi yakınsak verildiğinden herhangi bir &  ! sayısı için
_
8œ"
8  8! olduğunda
» " lD5 l» œ " lD5 l  &
8:
8:
5œ8"
5œ8"
olacak şekilde 8! sayısı vardır. Yukarıdaki eşitsizlik gözönüne alınarak, aynı 8!
için
» " D5 »  &
8:
5œ8"
yazılır. Cauchy yakınsaklık kuralına göre verilen ! D8 serisi yakınsak olur.…
_
8œ"
Bu teoremden anlaşılacağı gibi, bir serinin mutlak yakınsak olması o
serinin yakınsak olmasını garanti eder. Ayrıca bir serinin terimlerinin mutlak
236
değerini alarak elde edilen ! lD8 l serisi bize bazı avantajlar sağlar. Bu durumda
_
8œ"
seri, Analiz derslerinde gördüğümüz, pozitif terimli reel bir seriye döner.
Böylece pozitif terimli reel serilere uyguladığımız yakınsaklık kurallarını bu
_
seriye de uygulama fırsatı yakalamış oluruz. ! D8 serisi mutlak yakınsak ise bu
8œ"
serinin terimlerini kendi aralarında keyfi bir şekilde değiştirebiliriz ve bu
değiştirme sonucunda serinin toplamı ve karakteri değişmez. Ancak şartlı
yakınsak seriler için bu, genel olarak, doğru değildir.
Şimdi de, bir serinin mutlak yakınsak olduğunu göstermek için
kullanacağımız kurallardan bir kaçını vereceğiz. Hemen vurgulayalım ki,
serilerin yakınsaklığını belirlemede bunlar dışında kullanılan kurallar da vardır.
Bizim vereceğimiz kurallar, kullanılması kolay ve yaygın olanlardır.
4.2.10. Teorem (Geometrik Seri Kuralı): D! bir kompleks sayı olmak üzere
! D!8 serisi verilsin.
_
8œ!
i. lD! l  " ise seri mutlak yakınsaktır ve bu durumda serinin toplamı
dır.
"
"D!
ii. lD! l " ise seri ıraksaktır.
İspat: i. lD! l  " olsun. 8. kısmi toplam gözönüne alınarak
=8 œ "  D!  â  D!8
D! =8 œ D!  D!#  âD!8  D!8"
yazılır. Bu ifadeleri taraf tarafa çıkarırsak
Ð"  D! Ñ=8 œ "  D!8"
bulunur. D! Á " ve "  D! Á ! olup
=8 œ
"  D!8"
"
Ê lim =8 œ
8Ä_
"  D!
"  D!
elde edilir. Böylece verilen seri yakınsak ve toplamı
"
"D!
dır.
ii. lD! l " ise lD!8 l " olurÞ Bu da lim lD!8 l Á ! demektir. Bu durumda
verilen seri ıraksaktır.…
8Ä_
237
4.2.11. Teorem (Karşılaştırma Kuralı): i. ! D8 kompleks serisi verilsin.
_
8œ"
Yeteri kadar büyük bir indisten sonraki her 8 için lD8 l Ÿ +8 olacak şekilde
pozitif terimli ve yakınsak ! +8 reel serisi bulunabiliyorsa ! D8 serisi mutlak
_
_
8œ"
8œ"
yakınsak olur.
_
ii. ! D8 serisi verilsin. Yeteri kadar büyük bir indisten sonraki her 8 için
8œ"
,8 Ÿ lD8 l olacak şekilde pozitif terimli ve ıraksak
bulunabiliyorsa ! lD8 l serisi ıraksak olur.
! ,8 reel serisi
_
8œ"
_
8œ"
İspat: i. ! +8 serisi yakınsak olduğundan Cauchy yakınsaklık kuralına
_
8œ"
göre verilen herhangi bir &  ! sayısı için 8  8! ve : œ "ß #ß á iken
" +5 œ » " +5 »  &
8:
8:
5œ8"
5œ8"
olacak şekilde bir 8! sayısı vardır. Diğer yandan, yeteri kadar büyük bir indisten
sonraki her 8 için lD8 l Ÿ +8 olarak verildiğinden bu 8! ve : sayıları için
" lD5 l Ÿ " +5  &
8:
8:
5œ8"
5œ8"
yazarız. Cauchy yakınsaklık kuralına göre ! lD8 l serisi yakınsar. Dolayısıyla
_
! D8 serisi mutlak yakınsak bir seridir.
8œ"
_
8œ"
ii. Ð=8 Ñ, ! ,8 serisinin, Ð=w8 Ñ de ! lD8 l serisinin kısmi toplamlar dizisi
_
_
8œ"
8œ"
olsun. Hipotezde verilenlerden, yeteri kadar büyük 8 ler için =8 Ÿ =w8 yazılır. Bu
eşitsizlik ve ! ,8 serisi ıraksak olduğundan lim =8 œ  _ olduğu gözönüne
_
8Ä_
_
alınırsa lim =w8 œ  _ bulunur. O halde, ! lD8 l serisi ıraksaktır.…
8œ"
8Ä_
8œ"
238
Dikkat edilirse, ii.şıkta ! lD8 l serisinin ıraksaklığından sözediliyor. ! D8
_
_
8œ"
8œ"
serisinin ıraksaklığı veya yakınsaklığı hakkında birşey söylenmiyor. Bu seri,
yakınsak veya ıraksak olabilir.
4.2.12. Teorem (Bölüm Kuralı): ! D8 serisi verilsin.
_
8œ"
lim º
8Ä_
D8"
ºœ6
D8
olsun.
i. 6  " ise seri mutlak yakınsaktır.
ii. 6  " ise seri ıraksaktır.
iii. 6 œ " ise serinin karakterini belirlemek için bu kuralı kullanamayız.
İspat: Öncelikle
lim º
8Ä_
D8"
ºœ6"
D8
olduğunu kabul edelim. 6  6w  " ve 8  8! olacak şekilde öyle 6w ve 8!
sayıları seçebiliriz ki
º
D8"
w
º6
D8
olur. Bu eşitsizlikten hareketle, sabit bir R  8! için
lDR " l  6w lDR l
lDR # l  6w lDR " l  Ð6w Ñ# lDR l
lDR $ l  6w lDR # l  Ð6w Ñ$ lDR l
ã
yani, : œ "ß #ß $ß á için lDR : l  lDR lÐ6w Ñ: yazılır. O zaman
lD" l  lD# l  â  lDR l  lDR l6w  lDR lÐ6w Ñ#  â
serisi
lD" l  lD# l  â  lDR " l 
lDR l
"  6w
239
sayısına yakınsar. Karşılaştırma kuralına göre ! lD8 l serisi yakınsaktır.
_
8œ"
Şimdi de
lim º
8Ä_
D8"
ºœ6"
D8
olduğunu kabul edelim. "  6w  6 ve 8  8! olacak şekilde öyle 6w ve 8!
sayıları seçebiliriz ki
º
D8"
w
º6
D8
olur. Bu eşitsizlik gözönüne alınarak lD8! : l  lD8! lÐ6w Ñ: yazılır. Buradan
anlaşılmaktadır ki 8 büyüdükçe lD8 l sınırsız olarak artmaktadır. Dolayısıyla
lim lD8 l œ _ olur. lim lD8 l Á ! olduğundan seri ıraksaktır.
8Ä_
8Ä_
Teoremin son kısmını görebilmek için ! 8": :-serisini gözönüne alalım.
_
8œ"
Burada
lim º
8Ä_
D8"
ºœ"
D8
olmasına rağmen :  " için seri yakınsak, : Ÿ " için ise seri ıraksaktır. O halde
serinin karakteri bu kural yardımı ile belirlenemez.…
4.2.13. Teorem (Kök Kuralı): ! D8 serisi verilsin.
_
8œ"
lim kD8 k"Î8 œ 6
8Ä_
olsun.
i. 6  " ise seri mutlak yakınsaktır.
ii. 6  " ise seri ıraksaktır.
iii. 6 œ " ise serinin karakterini belirlemek için bu kuralı kullanamayız.
İspat: Öncelikle
lim kD8 k"Î8 œ 6  "
8Ä_
240
olduğunu kabul edelim. 6  6w  " ve 8  8! olacak şekilde öyle 6w ve 8!
sayıları seçebiliriz ki
kD8 k"Î8  6w
olur. Bu eşitsizlik gözönüne alınarak lD8 l  Ð6w Ñ8 yazılır. O zaman
lD" l  lD# l  â  lD8! " l  Ð6w Ñ8!  Ð6w Ñ8! "  â
serisi
lD" l  lD# l  â  lD8! " l 
Ð6w Ñ8!
"  6w
sayısına yakınsar. Karşılaştırma kuralına göre ! lD8 l serisi yakınsaktır.
_
8œ"
Şimdi de
lim kD8 k"Î8 œ 6  "
8Ä_
olduğunu kabul edelim. "  6w  6 ve 8  8! olacak şekilde öyle 6w ve 8!
sayıları seçebiliriz ki
kD8 k"Î8  6w
olur. Bu eşitsizlik gözönüne alınarak lD8 l  Ð6w Ñ8 yazılır. Buradan
anlaşılmaktadır ki 8 büyütükçe lD8 l sınırsız olarak artmaktadır. Dolayısıyla
lim lD8 l œ _ olur. lim lD8 l Á ! olduğundan seri ıraksaktır.
8Ä_
8Ä_
Teoremin son kısmını görebilmek için ! 8": :-serisini gözönüne alalım.
_
Burada
8œ"
lim kD8 k"Î8 œ "
8Ä_
olmasına rağmen :  " için seri yakınsak, : Ÿ " için ise seri ıraksaktır. O halde
serinin karakteri bu kural yardımı ile belirlenemez.…
241
! D8 ve ! A8 serileri yakınsak (veya mutlak yakınsak) ise ! ÐD8  A8 Ñ
_
_
_
ve - bir kompleks sayı olmak üzere ! -D8 serileri de yakınsak (veya mutlak
8œ"
8œ"
8œ"
_
8œ"
yakınsak) tır. Ayrıca
"-D8 œ - "D8 ve "ÐD8  A8 Ñ œ "D8  "A8
_
_
_
_
_
8œ"
8œ"
8œ"
8œ"
8œ"
olur.
Daha önce yakınsak seriler için verdiğimiz 4.2.3. Teoremi mutlak yakınsak
_
seriler içinde verebiliriz: ! D8 kompleks serisinin mutlak yakınsak olması için
gerek ve yeter şart ! Re D8 ve ! Im D8 serilerinin mutlak yakınsak olmasıdır.
8œ"
_
8œ"
_
8œ"
4.2.14. Örnek: Aşağıdaki her bir serinin karakterini belirleyiniz.
8
8
_
_
Ð"  #3Ñ8
3
"3
"
"
"
i.
ii.
iii.
8Œ 
Œ

8x
#
&
8œ"
8œ"
8œ"
_
_
_
83
8x
3
"
iv. "
v. "
vi.
8
È
8

"
Ð"

#3Ñ
8
8œ"
8œ"
8œ"
_
Çözüm: i. D8 œ
Ð"  #3Ñ8
olduğundan, Bölüm Kuralına göre
8x
lim º
8Ä_
D8"
Ð"  #3Ñ8"
8x
lim
œ
º 8Ä_º
º
D8
Ð8  "Ñx Ð"  #3Ñ8
"  #3
œ lim º
º
8Ä_ 8  "
È&
œ lim
8Ä_ 8  "
œ!
bulunur. 6 œ !  " olduğundan verilen seri mutlak yakınsaktır.
ii. D8 œ 8ˆ #3 ‰ olduğundan, Kök Kuralına göre
8
242
3
lim kD8 k"Î8 œ lim º8Œ  º
8Ä_
8Ä_
#
8 "Î8
bulunur. 6 œ
"
#
8"Î8
"
œ
8Ä_ #
#
œ lim
 " olduğundan verilen seri mutlak yakınsaktır.
iii. Bu < œ
"3
&
olan bir geometrik seridir.
l<l œ º
È#
"3
"
ºœ
&
&
olduğundan verilen seri mutlak yakınsaktır.
83
8"
iv. D8 œ
olarak veriliyor.
lim
8Ä_ 8
83
œ3Á!
"
olduğundan verilen seri ıraksaktır.
v. D8 œ
8x
Ð"#3Ñ8
lim º
8Ä_
verilmiştir. Bölüm Kuralına göre
D8"
Ð8  "Ñx Ð"  #3Ñ8
8"
œ_
lim º
lim
º œ 8Ä_
º œ 8Ä_
8"
È&
D8
Ð"  #3Ñ
8x
olduğundan verilen seri ıraksaktır.
vi. ! È38 serisi veriliyor. ! Im È38 œ ! È"8 olur. 8 " için
_
_
_
8œ"
8œ"
8œ"
,8 œ
"
"
Ÿ
œ lD8 l
È
8
8
yazılır. ! 8" serisi ıraksak olduğundan karşılaştırma kuralı gereğince ! È"8
_
_
serisi de ıraksak olur. O halde, 4.2.3. Teoreme göre ! È38 serisi ıraksaktır.
8œ"
İkinci Yol:
_
! Im 3
È8
8œ"
_
œ!
_
8œ"
8œ"
"
È8
olur. Bu bir :  serisi olup : œ
olduğundan ıraksaktır. Dolayısıyla ! È38 serisi ıraksaktır.ú
8œ"
_
8œ"
"
#
243
4.2. Alıştırmalar
1. ! D8 œ "!$ olduğuna göre lim D8 limitini bulunuz.
_
8Ä_
8œ"
2. ! D8 serisinin ıraksak olduğu biliniyor.
_
lim D8 limiti hakkında ne
8Ä_
8œ"
söylersiniz?
3. Aşağıdaki her bir serinin karakterini belirleyiniz.
i. ! 38
_
ii. ! ’ 8"# 
_
8
iii. ! ’ 8x" 
8œ"
_
8œ"
iv. ! ’ 8"$ 
8œ"
_
"
È8 3“
8œ"
8
Ð8"ÑÐ8#Ñ 3“
Ð"Ñ8
8 3“
4. Aşağıdaki serilerin mutlak yakınsak olup olmadığını araştırınız.
i. ! 38
_
ii. ! c/8  #8 3d
_
8
8œ"
8œ"
"
iii. !  8"

_
8œ"
" ‘
8# 3
4.3. Fonksiyon Dizileri ve Fonksiyon Serileri:
E § ‚ ve 8 pozitif bir tam sayı olmak üzere 08 À E Ä ‚
fonksiyonlarından oluşan kümeyi W ile gösterelim. 2 À  Ä Wß 2Ð8Ñ œ 08
olarak tanımlanan fonksiyon bir dizidir. Değer kümesi fonksiyonlardan
oluştuğundan bu diziye fonksiyon dizisi denir. Genel terim 08 olduğundan bu
_
dizi Ð08 Ñ ile gösterilir. ! 08 de fonksiyon serisi olarak adlandırılır. E
kümesindeki bir + elemanı için Ð08 Ð+ÑÑ sayı dizisi ( ! 08 Ð+Ñ sayı serisi) olur.
8œ"
_
Dolayısıyla her bir D − E" için Ð08 ÐDÑÑ sayı dizileri ( ! 08 ÐDÑ sayı serileri) elde
8œ"
_
8œ"
edilir. Eğer E" § E olmak üzere her bir D − E için elde edilen Ð08 ÐDÑÑ sayı
dizileri ( ! 08 ÐDÑ sayı serileri) yakınsak ise Ð08 Ñ fonksiyon dizisi ( ! 08
_
_
8œ"
8œ"
fonksiyon serisi) E" kümesinde yakınsaktır denir.
244
Ð08 Ñ fonksiyon dizisi ( ! 08 fonksiyon serisi) E" kümesinde yakınsak ise
_
her bir D − E" için 08 ÐDÑ Ä +D (veya ! 08 ÐDÑ œ =D ) olacak şekilde +D − ‚
8œ"
_
8œ"
(veya =D − ‚) sayısı bulunur. 0 À E" Ä ‚ß 0 ÐDÑ œ +D ( 0 ÐDÑ œ =D ) fonksiyonu
tanımlanır. Bu durumda Ð08 Ñ fonksiyon dizisi (veya ! 08 fonksiyon serisi) E"
_
8œ"
kümesinde 0 fonksiyonuna yakınsar. Bu yakınsama tanım olarak aşağıdaki gibi
verilir:
4.3.1. Tanım: Ð08 Ñß E § ‚ olmak üzere 08 À E Ä ‚ fonksiyonlarının
dizisi ve E" § E olsun.
i. Her &  ! ve her bir D − E" için 8  8! olduğunda l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  &
olacak şekilde 8! œ 8! Ð&ß DÑ sayısı bulunabiliyorsa Ð08 Ñ fonksiyon dizisi E"
kümesinde 0 fonksiyonuna yakınsıyor denir ve 08 Ä 0 veya lim 08 œ 0 ile
8Ä_
gösterilir.
_
ii. ! 08 fonksiyon serisi ve Ð=8 Ñ, bu serinin kısmi toplamlar dizisi olsun.
8œ"
Her bir D − E" için Ð=8 ÐDÑÑ kısmi toplamlar dizisi 0 ÐDÑ sayısına yakınsıyor ise
verilen seri E" kümesinde 0 fonksiyonuna yakınsıyor denir ve ! 08 œ 0 olarak
_
8œ"
yazılır.
Not: i. Ð08 Ñ fonksiyon dizisi verildiğinde
lim 08 ÐDÑ œ 0 ÐDÑ
8Ä_
oluyorsa Ð08 Ñ dizisi 0 fonksiyonuna yakınsıyor diyeceğiz.
ii. Dikkat edilirse burada yakınsamaß fonksiyonların noktalarda aldığı
değerler ile elde edilen her bir diziye (seriye) göre belirlendi. Doğal olarak 8!
sayısı da, & aynı olmasına rağmen, noktadan noktaya değişebilir. Bu yüzden,
4.3.1. Tanımdaki yakınsamaya noktasal yakınsaklık adı verilir.
iii. Sayı serileri için verilen yakınsaklık kurallarının sağlandığı D
noktalarında fonksiyon serileri de yakınsak olur. Dolayısıyla verilen bir
fonksiyon serisinin yakınsak olduğu kümeyi bulurken bu kurallardan
yararlanılır.
_
iv. Bir E kümesinde 08 Ä 0 ( ! 08 œ 0 ) ise 0 fonksiyonuna E
kümesinde Ð08 Ñ dizisi ( ! 08 serisi) tarafından belirlenen fonksiyon adı verilir.
_
8œ"
8œ"
245
" ‰
4.3.2. Örnek: i. 08 ÐDÑ œ ˆ#  8"
D kuralı ile verilen fonksiyonların Ð08 Ñ
dizisinin 0 ÐDÑ œ #D kuralı ile verilen 0 fonksiyonuna yakınsadığını gösteriniz.
Bu yakınsama hangi kümede olmaktadır?
Çözüm: Ð08 Ñ fonksiyon dizisinin 0 fonksiyonuna yakınsadığını göstermek
için tanımı kullanacağız. Her &  ! için
l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl œ l#D 
D
lDl
 #Dl œ
&
8"
8"
yazılır. Buradan 8  lDl
&  " œ 8! Ð&ß DÑ olur. Yani, Ð08 Ñ fonksiyon dizisi 0
fonksiyonuna yakınsar. Her D için 8! Ð&ß DÑ sayısı bulunabileceğinden, bu
yakınsama ‚ kompleks sayılar kümesinde olmaktadır.
ii. 08 ÐDÑ œ D 8 kuralı ile verilen fonksiyonların Ð08 Ñ dizisinin
E œ ÖD À lDl  "× kümesinde yakınsak olduğunu gösteriniz ve yakınsadığı
fonksiyonu bulunuz.
Çözüm: lDl  " için
lim D 8 œ !
8Ä_
oduğundan verilen fonksiyon dizisi E œ ÖD À lDl  "× kümesinde yakınsaktır.
Yakınsadığı fonksiyon da 0 ÐDÑ œ ! dır.
iii. ! D 8 serisinin yakınsak olduğu kümeyi ve bu kümedeki toplamını
_
8œ!
bulunuz.
Çözüm: Bu seri bir geometrik seridir ve geometrik serideki < yerinde D
vardır. Dolayısıyla verilen seri, lDl  " şartını sağlayan D noktalarından oluşan
E œ ÖD À lDl  "× kümesinde yakınsak olur. Bu kümedeki toplamının da
"D 8 œ
_
8œ!
olduğu görülür.
Demek ki, lDl  " için
"
"D
246
_
"
œ "  D  D #  â  D 8  â œ "D 8
"D
8œ!
şeklindedir. Bunu, ileride pratik seri açılımlarında sık sık kullanacağız.
iv. ! /38D serisinin yakınsak olduğu kümeyi ve bu kümedeki toplamını
_
8œ!
bulunuz.
8
Çözüm: ! /38D œ ! a/3D b olarak yazılabilir. O halde verilen seri, ortak
_
_
8œ!
8œ!
çarpanı D! œ /3D olan bir geometrik seridir. Bu seri, l/3D l  " şartını sağlayan D
noktalarında yakınsaktır. Bu noktaların oluşturduğu küme
E œ ÖD À l/3D l  "× œ ÖD À Im D  !×
dır. Geometrik serinin toplamı gözönüne alınarak, E kümesinde,
"/38D œ
_
8œ!
"
"  /3D
olur.ú
4.3.2. Örneğin i.şıkkını daha ayrıntılı bir şekilde inceleyelim:
" ‰
08 ÐDÑ œ ˆ#  8"
D kuralı ile verilen fonksiyonların Ð08 Ñ dizisinin ‚ kompleks
sayılar kümesinde 0 ÐDÑ œ #D kuralı ile verilen 0 fonksiyonuna yakınsadığını
gördük. Her &  ! ve her bir D kompleks sayısı için l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olacak
"
şekilde 8! Ð&ß DÑ œ lDl
&  " şeklinde bir 8! sayısı olduğunu gördük. & œ # olarak
alınırsa D œ &! için 8! œ **ß D œ "!!! için 8! œ "***ß D œ " !!! !!! için
8! œ " *** ***, ... olarak bulunur (kolay işlem yapılabilmesi için D yi tam sayı
olarak seçtik). Buradan 8! sayısının, & sabit kalmasına rağmen, nokta değiştiği
zaman değiştiği görülmektedir. Doğal olarak aklımıza şu soru gelir: Her D
kompleks sayısı için l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olacak şekilde ortak bir 8! sayısı
bulunabilir mi? İncelediğimiz örnekte, ayrı ayrı D noktaları için, bu noktalara
bağlı, birer 8! sayısı bulunmasına rağmen bütün D kompleks sayıları için ortak
bir 8! sayısının olamayacağı görülür. Bazı durumlarda ise böyle ortak bir 8!
sayısı bulunabilir. O zaman, bu yakınsamaya düzgün yakınsama adı verilir ve
aşağıdaki gibi tanımlanır:
247
4.3.3. Tanım: E § ‚ olmak üzere 08 À E Ä ‚ fonksiyonlarının dizisi Ð08 Ñ
ve E" § E olsun.
i. Her &  ! ve her D − E" için 8  8! olduğunda l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  &
olacak şekilde ortak bir 8! œ 8! Ð&Ñ sayısı bulunabiliyorsa Ð08 Ñ fonksiyon dizisi
E" kümesinde 0 fonksiyonuna düzgün yakınsıyor denir.
_
ii. ! 08 fonksiyon serisi ve Ð=8 Ñ bu serinin kısmi toplamlar dizisi olsun.
8œ"
Ð=8 Ñ dizisi E" kümesinde bir 0 fonksiyonuna düzgün yakınsıyor ise verilen seri
E" kümesinde 0 fonksiyonuna düzgün yakınsıyor denir.
" ‰
4.3.2. Örneğin i.şıkkındaki, 08 ÐDÑ œ ˆ#  8"
D kuralı ile verilen
fonksiyonların Ð08 Ñ dizisinin ‚ de 0 ÐDÑ œ #D kuralı ile verilen 0 fonksiyonuna
yakınsadığını gösterdik. 4.3.3. Tanımdan önce yapılan açıklamadan anlaşılacağı
gibi bu yakınsama düzgün değildir. Ancak, E œ ÖD À lDl  &× kümesi gözönüne
alınırsa, her &  ! ve her D − E için l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olacak şekilde ortak bir
8! œ &&  " sayısı bulunur. O zaman bu yakınsama, E kümesinde, düzgün olur.
4.3.1. Tanım ve 4.3.3. Tanım dikkate alınarak, her düzgün yakınsak dizinin
aynı zamanda noktasal yakınsak olduğu söylenir. Ancak noktasal yakınsak bir
dizinin düzgün yakınsak olduğunu söylemek, genel olarak, doğru değildir.
Noktasal yakınsaklık ile düzgün yakınsaklık arasındaki en önemli fark şudur:
Noktasal yakınsaklıkta bulunan 8! sayısı bulunduğu nokta için geçerli olmasına
karşın, düzgün yakınsaklıkta bulunan 8! sayısı yakınsamanın olduğu kümedeki
her nokta için geçerlidir.
Bir küme üzerinde Ð08 Ñ dizisi 0 fonksiyonuna yakınsaması halinde,
noktalara bağlı olarak bulunan 8! Ð&ß DÑ sayılarından daha büyük bir 8! Ð&Ñ sayısı
bulunabilirse bu yakınsama düzgün yakınsama olur. Buna bağlı olarak şu
açıklamayı da yapabiliriz: Bir E kümesinde 08 Ä 0 yakınsaması düzgün ise
öyle bir 8! sayısı bulabiliriz ki verilen bir &  ! sayısı ve her D − E için 8  8!
olduğunda l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & sağlanır. Noktasal yakınsaklıkta ise her D − E
için l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olmayı garantileyecek bir 8! sayısı bulamayız. Bu fark
düzgün yakınsaklıkla ilgili teoremlerin noktasal yakınsaklık için niçin geçerli
olamayacağının da bir açıklamasıdır.
4.3.4. Teorem: i. Ð08 Ñ dizisindeki her bir fonksiyonun bir E kümesinde
sürekli olduğunu ve Ð08 Ñ dizisinin, bu kümede, 0 fonksiyonuna düzgün
yakınsadığını kabul edelim. Bu durumda, 0 fonksiyonu E kümesinde süreklidir.
248
ii. ! 08 serisindeki her bir fonksiyonun bir E kümesinde sürekli olduğunu
_
ve ! 08 serisinin, bu kümede, 0 fonksiyonuna düzgün yakınsadığını kabul
_
8œ"
8œ"
edelim. Bu durumda, 0 fonksiyonu E kümesinde süreklidir.
İspat: i. Keyfi bir D! − E alalım. 0 À E Ä ‚ fonksiyonunun D! noktasında
sürekli olduğunu göstereceğiz. &  ! verilsin. lD  D! l  $ şartını sağlayan E
kümesine ait her D için l0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñl  & olacak şekilde bir $  ! sayısı
bulmalıyız. E kümesinin herhangi bir D noktası ve dizideki herhangi bir 8 indisi
için, üçgen eşitsizliği kullanılarak,
l0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñl Ÿ l0 ÐDÑ  08 ÐDÑl  l08 ÐDÑ  08 ÐD! Ñl  l08 ÐD! Ñ  0 ÐD! Ñl
yazılır. Diğer yandan Ð08 Ñß E kümesinde 0 fonksiyonuna düzgün
yakınsadığından, E daki her D için l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  &Î$ olacak şekilde dizinin
sabit bir 8 indisi vardır. Hipoteze göre 08 ß E kümesinde sürekli olduğundan
lD  D! l  $ şartını sağlayan E kümesine ait her D için l08 ÐDÑ  08 ÐD! Ñl  &Î$
olacak şekilde bir $  ! sayısı bulunur. Bunları üçgen eşitsizliği kullanılarak
yazılan yukarıdaki eşitsizlikte kullanırsak, lD  D! l  $ şartını sağlayan E
kümesine ait her D için
&
&
&
l0 ÐDÑ  0 ÐD! Ñl    œ &
$ $ $
elde edilir. Böylece, 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında sürekli olur. D! ß E
kümesinin keyfi bir noktası olduğundan 0 fonksiyonunun E kümesinde sürekli
olduğu söylenir.
ii. Bu kısmı ispatlamak için i.şıkkındaki 08 ÐDÑ yerine verilen serinin kısmi
toplamlar dizisinin genel terimi =8 ÐDÑ alınarak aynı işlemler yapılır. …
Not: i. 4.3.4. Teoremden çıkarılabilecek önemli bir sonuç şudur: Her bir
terimi E kümesinde sürekli olan Ð08 Ñ dizisinin yakınsadığı fonksiyon E
kümesinde sürekli değilse, bu yakınsama E kümesinde düzgün olamaz. Bu
sonucu düzgün yakınsamanın olmadığını göstermek için kullanabiliriz. Örneğin,
E œ ÖB À ! Ÿ B Ÿ "× kümesinde tanımlanan ve bu kümede sürekli olan
08 ÐBÑ œ B8 reel fonksiyonlarının oluşturduğu Ð08 Ñ fonksiyon dizisini gözönüne
alalım. Bu dizinin yakınsadığı fonksiyon
0 ÐBÑ œ lim 08 ÐBÑ œ œ
8Ä_
"ß
!ß
Bœ"
!ŸB"
249
olarak bulunur. 0 fonksiyonu E kümesinde sürekli değildir. O halde bu
yakınsama E kümesinde düzgün olamaz.
ii. Her bir terimi E kümesinde sürekli olan Ð08 Ñ dizisinin yakınsadığı
fonksiyon E kümesinde sürekli ise Ð08 Ñ dizisinin E kümesinde düzgün yakınsak
olması gerekmez (4.3.2. Örneğin i.şıkkına bakınız).
Burada akla gelen bir soru şudur: 4.3.4. Teoremin hipotezindeki düzgün
yakınsama yerine noktasal yakınsama alınırsa yukarıdaki ispat niçin doğru
olmaz? Bu soruya verilecek cevap aslında düzgün ve noktasal yakınsamanın
tanımında yatmaktadır. Noktasal yakınsama aldığımız zaman ispattaki "E daki
her D için l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  &Î$ olacak şekilde sabit bir 8 indisi seçilebilir"
cümlesini yazamayız.
4.3.5. Teorem: i. Ð08 Ñ dizisindeki her bir fonksiyonun E kümesinde
sürekli olduğunu ve Ð08 Ñ dizisinin, bu kümede, 0 fonksiyonuna düzgün
yakınsadığını kabul edelim. Bu durumda, E kümesindeki her parçalı düzgün #
eğrisi için
lim ( 08 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
8Ä_ #
olur.
#
ii. ! 08 serisindeki her bir fonksiyonun E kümesinde sürekli olduğunu ve
_
! 08 serisinin, bu kümede, 0 fonksiyonuna düzgün yakınsadığını kabul edelim.
_
8œ"
8œ"
Bu durumda, E kümesindeki her parçalı düzgün # eğrisi için
"( 08 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
_
8œ" #
#
olur.
İspat: i. 4.3.4. Teoreme göre 0 fonksiyonu E kümesinde süreklidir.
Dolayısıyla '# 0 ÐDÑ.D integralinden sözedebiliriz. Ð08 Ñß E kümesinde 0
fonksiyonuna düzgün yakınsadığından her &  ! için öyle bir 8! sayısı
bulabilirizki her D − E için 8  8! olduğunda l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olur. Bu
durumda, her &  ! ve her D − E için 8  8! olduğunda
º( 08 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D º Ÿ ( l08 ÐDÑ  0 ÐDÑll.Dl  &PÐ# Ñ
#
#
#
250
yazılır. Yani
lim ( 08 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐDÑ.D
8Ä_ #
#
olur.
ii. i.şıkta 08 ÐDÑ yerine verilen serinin kısmi toplamlar dizisinin genel terimi
olan =8 ÐDÑ alınır ve geri kalan kısım aynen kalır.…
Not: i. 4.3.5. Teoremin i. kısmının hipotezinde 0 ÐDÑ œ
verildiğinden
lim 08 ÐDÑ
8Ä_
lim ( 08 ÐDÑ.D œ ( lim 08 ÐDÑ.D
8Ä_ #
# 8Ä_
yazılır. Yani, Ð08 Ñ dizisinin düzgün yakınsaması halinde limit ile integral yer
değiştirebilir.
ii. 4.3.5. Teoremin ii. kısmının hipotezinde ! 08 ÐDÑ œ 0 ÐDÑ olarak
_
8œ"
verildiğinden
"( 08 ÐDÑ.D œ ( "08 ÐDÑ.D
_
8œ" #
_
# 8œ"
yazılır. Yani, ! 08 ÐDÑ serisinin düzgün yakınsaması halinde toplam ile integral
_
8œ"
yer değiştirebilir. Bir başka deyişle seri, terim terim integrallenebilir.
Şimdi tekrar düzgün yakınsama kavramına dönelim ve verilen bir dizinin
(serinin) düzgün yakınsaklığını garanti edecek olan bazı kuralları inceleyelim.
4.3.6. Tanım: Her bir terimi E kümesinde tanımlı olan Ð08 Ñ fonksiyon
dizisi verilsin ve E" § E olsun. Her &  ! ve her D − E" için 8ß 7  8! iken
l08 ÐDÑ  07 ÐDÑl  & olacak şekilde 8! œ 8! Ð&Ñ sayısı varsa Ð08 Ñ dizisine E"
kümesinde düzgün Cauchy dizisi denir.
4.3.7. Teorem : i. (Diziler İçin Cauchy Düzgün Yakınsaklık Kuralı) Her bir
terimi E kümesinde tanımlı olan Ð08 Ñ fonksiyon dizisi verilsin ve E" § E
olsun. Ð08 Ñ dizisinin E" kümesinde düzgün yakınsaması için gerek ve yeter şart
bu dizinin E" kümesinde düzgün Cauchy dizisi olmasıdır.
251
ii. (Seriler İçin Cauchy Düzgün Yakınsaklık Kuralı) Her bir terimi E
_
_
kümesinde tanımlı olan ! 08 fonksiyon serisi verilsin ve E" § E olsun. ! 08
8œ"
8œ"
serisinin E" kümesinde düzgün yakınsaması için gerek ve yeter şart her &  !
ve her D − E" için 8  8! ve : œ "ß #ß ÞÞÞ iken
» " 05 ÐDÑ»  &
8:
5œ8"
olacak şekilde 8! œ 8! Ð&Ñ sayısının olmasıdır.
İspat: Önce Ð08 Ñ dizisinin E" kümesinde 0 ÐDÑ fonksiyonuna düzgün
yakınsadığını kabul edelim. Bu durumda her &  ! ve her D − E" için 8  8!
iken l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olacak şekilde 8! œ 8! Ð&Ñ sayısı vardır. E" kümesinde,
aynı 8! için, 7ß 8  8! olduğunda
l08 ÐDÑ  07 ÐDÑl Ÿ l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  l07 ÐDÑ  0 ÐDÑl  #&
bulunur. O halde Ð08 Ñ, E" kümesinde düzgün Cauchy dizisidir.
Şimdi de Ð08 Ñ dizisinin E" kümesinde düzgün Cauchy dizisi olduğunu
kabul edelim. O halde &  ! ve her D − E" için 7ß 8  8! iken
l08 ÐDÑ  07 ÐDÑl  &Î# olacak şekilde 8! œ 8! Ð&Ñ sayısı vardır. Yani her bir
D − E" için Ð08 ÐDÑÑ, ‚ de bir Cauchy dizisidir. Bu durumda her bir D − E" için
Ð08 ÐDÑÑ dizisi yakınsar. Bunu 0 ÐDÑ œ lim 08 ÐDÑ olarak yazalım. Şimdi,
8Ä_
l08 ÐDÑ  07 ÐDÑl  &Î# ifadesinde 8 yi sabit tutup 7 Ä _ alınırsa aynı 8! ve
her D − E" için
l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl Ÿ &Î#  &
elde edilir. Bu ise
demektir.…
Ð08 Ñ dizisinin E" kümesinde düzgün yakınsaması
Serilerin düzgün yakınsaklığını garanti eden en önemli kural aşağıdaki
teoremde verilmiştir. Bu teorem, Weierstrass M-kuralı (Weierstrass Majorant
kuralı) olarak bilinir.
4.3.8. Teorem (Weierstrass M-kuralı): ! 08 serisinin her bir terimi E
_
8œ"
kümesinde tanımlı ve E" § E olsun. Her D − E" için l08 ÐDÑl Ÿ Q8 olacak
252
şekilde Q8 reel sayıları var ve bu sayılardan oluşan ! Q8 serisi yakınsak ise
_
! 08 serisi E" kümesinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.
8œ"
_
8œ"
İspat: ! Q8 serisi yakınsak olduğundan Cauchy yakınsaklık kuralı gereği
_
8œ"
verilen bir &  ! sayısı için 8  8! ve : œ "ß #ß ÞÞ olduğunda
» " Q5 » œ " Q5  &
8:
8:
5œ8"
5œ8"
olacak şekilde 8! œ 8! Ð&Ñ sayısı vardır. O halde, E" kümesindeki her D ve bu
8! œ 8! Ð&Ñ sayısı için
» " 05 ÐDÑ» Ÿ " l05 ÐDÑl Ÿ " Q5  &
8:
8:
8:
5œ8"
5œ8"
5œ8"
yazılır. Cauchy düzgün yakınsaklık kuralı gereği, verilen seri E" kümesinde
düzgün yakınsaktır. Diğer yandan, karşılaştırma kuralı uygulanarak verilen
serinin mutlak yakınsak olduğu söylenir.…
4.3.9. Örnek: i. E œ ÖD À lDl  "× kümesinde
"
_
D8
8#
8œ"
serisinin düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Her D − E için
D8
"
º #º  #
8
8
olur. Q8 œ 8"# için !Q8 serisi yakınsaktır. O halde Weierstrass M-kuralına
göre verilen seri E kümesinde düzgün ve mutlak yakınsaktır.
ii. E œ ÖD À lDl Ÿ "× kümesinde
"
_
D8  "
8#  cosh 8lDl
8œ"
253
serisinin düzgün yakınsadığını gösteriniz.
Çözüm: E kümesindeki her D için
º
olur. Q8 œ
#
8#
D8  "
lDl8  "
#
Ÿ
Ÿ #
º
#
#
8  cosh 8lDl
8
8
olmak üzere ! Q8 serisi yakınsaktır. Weierstrass M-kuralına
_
8œ"
göre verilen seri E kümesinde düzgün ve mutlak yakınsak olur.ú
Bir kümenin kapalı altkümeleri üzerinde düzgün yakınsama: Her bir
_
terimi bir E açık kümesinde tanımlı olan Ð08 Ñ dizisini (! 08 serisini) gözönüne
alalım. E kümesindeki her kapalı diskte 08 Ä 0 ( ! 08 œ 0 ) yakınsamasının
8œ!
_
8œ!
düzgün olması, E kümesinin tamamında bu yakınsamanın düzgün olmasını
gerekmez., ancak, noktasal olmasını gerektirir (bak 4.3.10. Örnek). Bazı
kitaplarda, bu yakınsamaya lokal düzgün yakınsama veya normal yakınsama adı
verilmektedir. Normal yakınsamaya, noktasal yakınsama ile düzgün yakınsama
arasındaki bir kavram olarak bakılabilir. Şunu da vurgulayalım ki, bir dizi (seri)
E kümesinde düzgün yakınsak ise E kümesinin her altkümesinde, ve
dolayısıyla E kümesindeki her kapalı diskte de düzgün yakınsaktır.
4.3.10. Örnek: E œ ÖD À lDl  "× kümesi verilsin. ! D 8 serisinin E
_
8œ!
kümesindeki her kapalı diskte düzgün yakınsak olduğunu, ancak E kümesinin
kendisinde düzgün yakınsak olmadığını (noktasal yakınsak olduğunu)
gösteriniz.
Çözüm: Tamamen E kümesinde kalan keyfi bir kapalı disk alalım ve buna
_
H diyelim. ! D 8 serisinin, bu kapalı diskte düzgün yakınsak olduğunu
8œ!
göstereceğiz. Bunun için Weierstrass M-kuralını kullanacağız. H diskinin,
lDl œ " çemberine olan uzaklığı $ olsun. Bu durumda her D − H için,
lDl Ÿ "  $ olacağından,
l08 ÐDÑl œ lD 8 l œ lDl8 Ÿ (1  $ )8 œ Q8
yazılır.
! Q8 œ ! Ð"  $ Ñ8
_
_
8œ"
8œ"
geometrik
serisi
l"  $ l  "
olduğundan
yakınsaktır. Dolayısıyla Weierstrass Q -kuralı gereği verilen seri H kapalı
254
diskinde düzgün yakınsak olur. H keyfi olduğundan E daki her kapalı diskte bu
yakınsamanın düzgün olduğu görülür.
Şimdi de verilen serinin E kümesinde düzgün yakınsak olmadığını
_
gösterelim. 4.3.2. Örneğin iii.şıkkında ! D 8 serisinin E kümesinde 0 ÐDÑ œ "
"D
8œ!
fonksiyonuna yakınsadığını gördük. Bu yakınsamanın düzgün yakınsama
_
olmadığını ancak noktasal yakınsama olduğunu göstereceğiz. ! D 8 serisinin
8œ!
"D 8"
"D
kısmi toplamlar dizisinin =8 ÐDÑ œ
olduğunu biliyoruz. D œ "  5" − E
noktasını gözönüne alalım. &  ! sayısı için l=8 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olacak şekilde
8! sayısını araştıralım:
l=8 ÐDÑ  0 ÐDÑl œ º
"  D 8"
"
D 8"
"

ºœº
º œ 5 Œ"  
"D
"D
"D
5
8"
olduğundan
5 Œ" 
"

5
8"
&
yazılır. Böylece,
8
ln &  ln Ð5  "Ñ
œ 8! Ð&ß 5Ñ
ln Ð5  "Ñ  ln 5
sayısı bulunur. Şimdi "5 değiştiği zaman bu 8! sayılarının bir en büyüğünü
bulabilir miyiz?" sorusunu inceleyelim. 5 keyfi şekilde büyürse
ln &  ln Ð5  "Ñ
œ_
5Ä_ ln Ð5  "Ñ  ln 5
lim
olur. Bunun anlamı şudur: 5 keyfi olarak büyüdükçe E kümesinde D œ "  5"
noktaları değişecektir ve bu noktalara karşılık gelen 8! sayıları sınırsız olarak
_
büyüyerek bir en büyükleri bulunamayacaktır. Bu da ! D 8 serisinin E
8œ!
255
kümesinde düzgün yakınsak olamayacağını gösterir. Ancak verilen seri, E
kümesinde noktasal yakınsaktır.ú
4.3.11. Teorem: i. F bir bölge ve Ð08 Ñß F bölgesinde analitik olan
fonksiyonlardan oluşan bir dizi olsun. Eğer F deki her kapalı diskte Ð08 Ñß 0
fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa 0 , F bölgesinde analitik olur. Ayrıca, Ð08w Ñ
dizisi de F bölgesinde 0 w fonksiyonuna noktasal yakınsar ve bu yakınsama F
bölgesindeki her kapalı diskte düzgündür.
_
ii. F bir bölge ve ! 08 , F bölgesinde analitik olan fonksiyonlardan oluşan
bir seri olsun. Eğer F deki her kapalı diskte ! 08 , 0 fonksiyonuna düzgün
8œ"
_
yakınsıyorsa 0 , F bölgesinde analitik olur. Ayrıca, ! 08w serisi de F bölgesinde
8œ"
_
8œ"
0 w fonksiyonuna noktasal yakınsar ve bu yakınsama F bölgesindeki her kapalı
diskte düzgündür.
İspat: i. D! , F bölgesinde keyfi bir nokta olsun. H tamamen F bölgesinde
kalacak şekilde H œ ÖD À lD  D! l  <× diskini gözönüne alalım. Hipoteze göre
H œ ÖD À lD  D! l Ÿ <× kümesinde 08 Ä 0 yakınsaması düzgün olduğundanß
H üzerinde de bu yakınsama düzgün olacaktır. 0 nin H de analitik olduğunu
göstereceğiz. Bunun için Morera Teoreminden yararlanacağız. 08 fonksiyonları
F bölgesinde analitik olduğundan aynı zamanda süreklidirler. Dolayısıyla, Ð08 Ñ
dizisi H kümesinde 0 fonksiyonuna düzgün yakınsadığından 0 fonksiyonu bu
kümede, aynı zamanda H de, süreklidir. # , H de basit kapalı parçalı düzgün bir
eğri olsun. 08 fonksiyonları H de analitik olduğundan Cauchy Teoremine göre
'# 08 ÐDÑ.D œ ! dır. Diğer yandan, 4.3.5. Teoreme göre, '# 08 ÐDÑ.D Ä '# 0 ÐDÑ.D
olup '# 0 ÐDÑ.D œ ! dır. Böylece Morera Teoremine göre 0 , H diskinde
dolayısıyla D! noktasında analitiktir. D! , F bölgesinin keyfi bir noktası
olduğundan 0 fonksiyonu F de analitik olur.
Şimdi F deki her kapalı diskte 08w Ä 0 w yakınsamasının düzgün olduğunu
gösterelim. Bu Ð08w Ñ dizisinin F bölgesinde 0 w fonksiyonuna noktasal
yakınsadığını garanti eder. H œ ÖD À lD  D! l Ÿ <×, F bölgesinde kapalı bir
disk olsun. F bölgesinde D! merkezli 3 yarıçaplı öyle bir # çemberi gözönüne
alalım ki H kümesi bu çemberin içinde kalsın. Bu durumda <  3 olur. Cauchy
İntegral Formülüne göre her D − H için
256
08w ÐDÑ œ
"
08 ÐAÑ
.A ve
(
#13 # ÐA  DÑ#
"
0 ÐAÑ
.A
(
#13 # ÐA  DÑ#
0 w ÐDÑ œ
yazarız. Hipoteze göre ÖD À lD  D! l Ÿ 3× kapalı diskinde 08 Ä 0 yakınsaması
düzgündür. Bu durumda her &  ! ve her D − ÖD À lD  D! l Ÿ 3× için 8  8!
olduğunda l08 ÐDÑ  0 ÐDÑl  & olacak şekilde bir 8! œ 8! Ð&Ñ sayısı bulabiliriz.
# , ÖD À lD  D! l Ÿ 3× kümesinin sınırı olduğundan # üzerindeki her A için
8  8! œ 8! Ð&Ñ olduğunda l08 ÐAÑ  0 ÐAÑl  & yazılabilir.
l08w ÐDÑ  0 w ÐDÑl œ º
"
08 ÐAÑ  0 ÐAÑ
.Aº
(
#13 # ÐA  DÑ#
ve her D − Hß her A − # için lA  Dl 3  < olduğunu dikkate alarak
8  8! œ 8! Ð&Ñ olduğunda
l08w ÐDÑ  0 w ÐDÑl 
1
&
&3
†
† PÐ# Ñ œ
#
Ð3  <Ñ#
21 Ð3  <Ñ
elde edilir. Böylece teorem ispat edilmiş olur.…
Not: i. Eğer F bölgesindeki her kapalı diskte Ð08 Ñ dizisi 0 fonksiyonuna
düzgün yakınsıyorsa
lim 08w œ 0 w œ Ð lim 08 Ñw
8Ä_
8Ä_
olur. Yani, limit ile türev yer değiştirir.
ii. Eğer F bölgesindeki her kapalı diskte ! 08 serisi 0 fonksiyonuna
_
8œ"
düzgün yakınsıyorsa
"08w
8œ"
_
œ 0 œ "08 
_
w
8œ"
olur. Yani, seri terim terim türevlenebilir.
4.3.12. Örnek: i.
'ÐDÑ œ "
_
"
D
8
8œ"
w
257
fonksiyonuna Riemann ' -fonksiyonu (Rieman zeta fonksiyonu) denir. Bu
fonksiyonun F œ ÖD À Re D  " × bölgesinde analitik olduğunu gösteriniz.
Çözüm: ' ÐDÑ Riemann ' -fonksiyonunun, ! 8"D serisinin yakınsadığı
_
8œ"
fonksiyon olarak tanımlandığına dikkat ediniz. 08 ÐDÑ œ 8"D veya 08 ÐDÑ œ 8D
olarak verilmiştir. Logaritmanın esas dalı gözönüne alınırsa, her bir 8 için
08 ÐDÑ œ 8"D tam fonksiyondur. H, F bölgesinde kapalı bir disk olsun. Bu H
4.3.1. Şekil:
kümesinin Re D œ " doğrusuna uzaklığını $ ile gösterelim. Bu durumda,
D œ B  3C olmak üzere, her D − H için "  $ Ÿ B olduğundan
l08 ÐDÑl œ l8D l œ ¸/Dln 8 ¸ Ÿ /Bln 8 œ 8B Ÿ 8Ð"$Ñ œ Q8
yazılır.
! Q8 œ ! 8Ð"$Ñ
_
_
8œ"
8œ"
:-serisi
olup
: œ"$ "
olduğundan
yakınsaktır. O halde Weierstrass M-kuralına göre verilen seri H kapalı diskinde
düzgün yakınsaktır. Hß F bölgesinde keyfi bir kapalı disk olduğundan F deki
her kapalı diskte yakınsama düzgün olur. 4.3.11. Teoreme göre, 'ÐDÑ
fonksiyonu F bölgesinde analitiktir.
ii. 0 ÐDÑ fonksiyonu
0 ÐDÑ œ "
_
"
D8
8œ"
olarak veriliyor. Bu fonksiyonun F œ ÖD À lDl  "× bölgesinde analitik
olduğunu gösteriniz.
258
Çözüm: 08 ÐDÑ œ D"8 fonksiyonlarının her biri F bölgesinde analitiktir. H,
F bölgesinde kapalı bir disk olsun. H kümesinin lDl œ " çemberine olan
uzaklığını $ ile gösterelim. Bu durumda her D − H için lDl "  $ ve
dolayısıyla
º
"
"
"
œ Q8
ºœ 8 Ÿ
8
D
lDl
Ð"  $ Ñ8
yazılır. ! Q8 œ ! Ð""$Ñ8 geometrik seri olup yakınsaktır. Weierstrass M_
_
8œ"
8œ"
kuralına göre verilen seri H kapalı diskinde düzgün yakınsak olur. Hß F
bölgesinde keyfi bir kapalı disk olduğundan, F bölgesindeki her kapalı diskte
bu yakınsama düzgün olacaktır. O halde, 4.3.11. Teoreme göre 0 ÐDÑ fonksiyonu
F bölgesinde analitiktir.
iii. F œ ÖD À  "  Im D  "× bölgesinde
0 ÐDÑ œ "/8 sin 8D
_
8œ"
fonksiyonunun analitik olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Her bir 8 için 08 ÐDÑ œ /8 sin 8D fonksiyonu F bölgesinde
4.3.2. Şekil:
analitiktir. Hß F bölgesinde kapalı bir disk olsun. Bu diskin Im D œ "
doğrusuna uzaklığını ." ve Im D œ  " doğrusuna olan uzaklığını da .# ile
gösterelim. D œ B  3C olmak üzere her D − H için ." Ÿ "  C ve .# Ÿ "  C
dir. . œ minÖ." ß .# × diyelim. Her D − H için
259
l08 ÐDÑl œ l/8 sin 8Dl œ /8 º
/83D  /83D
º
#3
/8 83D
ˆl/ l  l/83D l‰
#
/8 8C
œ
Ð/
 /8C Ñ
#
"
œ Ð/Ð"CÑ8  /Ð"CÑ8 Ñ
#
"
Ÿ Ð/.# 8  /." 8 Ñ
#
Ÿ /.8 œ Q8
Ÿ
yazılır. ! Q8 œ ! /.8 geometrik seri olup yakınsaktır. Weierstrass M_
_
8œ"
8œ"
kuralına göre verilen seri H kapalı diskinde düzgün yakınsak olur. Hß F
bölgesinde keyfi bir kapalı disk olduğundan F deki her kapalı diskte yakınsama
düzgündür. 4.3.11. Teoreme göre 0 ÐDÑ, F bölgesinde analitik bir
fonksiyondur.ú
4.3. Alıştırmalar
1. 08 ÐDÑ œ 8D kuralı ile verilen Ð08 Ñ fonksiyon dizisinin yakınsadığı fonksiyonu
bulunuz. Bu yakınsama hangi kümede olmaktadır? Bu kümedeki yakınsama
düzgün müdür? E œ ÖD À lDl  #!!%× kümesindeki yakınsamanın düzgün olup
olmaması hakkında ne söylersiniz?
"
2. 08 ÐDÑ œ "8D
kuralı ile verilen Ð08 Ñ fonksiyon dizisinin E œ ÖD À lDl #×
kümesinde 0 ÐDÑ œ ! fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösteriniz.
8
3. ! 8D$Î# serisinin E œ ÖD À lDl  "× kümesinde düzgün yakınsak olduğunu
_
8œ"
gösteriniz.
4. Aşağıdaki her bir serinin yakınsak olduğu kümeyi bulunuz.
_
_
_
8
8
#138D
i. ! / $Î#
ii. ! ÐD3Ñ
iii. ! ÐD"3Ñ
$
8
8œ!
Ð8"Ñ
8œ!
Ð8"Ñ Ð%3Ñ
8œ"
8
260
5. 0 ÐDÑ œ ! 8xD" 8 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun F œ ‚ÏÖ!× bölgesinde
_
8œ"
analitik olduğunu gösteriniz ( Yol gösterme: Hß F bölgesinde keyfi kapalı bir
disk olmak üzere her D − H için lDl < olacak şekilde <  ! reel sayısı vardır).
Ayrıca
(
0 ÐDÑ.D œ #13
lDlœ"
olduğunu gösteriniz.
4.4. Kuvvet Serileri:
Şimdi, özel bir fonksiyon serisi olan kuvvet serileri ile ilgileneceğiz.
Kuvvet serileri de bir fonksiyon serisi olduğundan, fonksiyon serileri için
verdiğimiz her özellik kuvvet serileri için de geçerlidir. Bu başlık altında kuvvet
serileri için geçerli olan bazı özellikleri inceleyeceğiz. Bu özellikler kuvvet
serileri ile işlem yapmamızı kolaylaştıracaktır.
4.4.1. Tanım: D! kompleks sayısı verilsin. +! ß +" ß ÞÞÞß +8 ß ÞÞÞ kompleks
sayılar olmak üzere
+!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â  +8 ÐD  D! Ñ8  â
fonksiyon serisine, D! merkezli, bir kuvvet serisi denir.
Kuvvet serisini kısaca
+!  "+8 ÐD  D! Ñ8
_
8œ"
ile gösteririz. D œ D! için toplamın +! olduğu görülmektedir. Yani, bir kuvvet
serisi D œ D! noktasında yakınsaktır. Kuvvet serileri için
"+8 ÐD  D! Ñ8
_
8œ!
veya "+8 ÐD  D! Ñ8
gösterimleri de kullanılır ve bu durumda, D œ D! için toplamın +! olduğu kabul
edilir.
261
4.4.2. Teorem: i. ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisi D œ D" için yakınsak ise bu
_
8œ!
seri lD  D! l  lD"  D! l şartını sağlayan her D için mutlak yakınsaktır.
ii. ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisi D œ D# için ıraksak ise bu seri
_
8œ!
lD  D! l  lD#  D! l şartını sağlayan her D için ıraksaktır.
İspat: i. Kuvvet serisi D œ D" için yakınsak olduğundan
lim +8 ÐD"  D! Ñ œ !
8Ä_
yazılır. O zaman ! +8 ÐD1  D! Ñ8 kuvvet serisinin terimlerinin her birinin sınırlı
_
8œ!
olduğunu söyleyebiliriz. Yani, 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ için
l+8 ÐD"  D! Ñ8 l  Q
olacak şekilde Q  ! sayısı vardır. Bu durumda
l+8 ÐD  D! Ñ8 l œ º+8 ÐD"  D! Ñ8 Œ
D  D!
D  D!
 º Ÿ Qº
º
D "  D!
D"  D!
8
8
!
!
yazılır. ! ¹ DDD
¹ serisi ¹ DDD
¹  " veya lD  D! l  lD"  D! l şartını sağlayan
" D!
" D!
_
8
8œ!
bütün D noktalarında yakınsak olduğundan, karşılaştırma kuralı gereği
_
! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisi de lD  D! l  lD"  D! l şartını sağlayan her D için
8œ!
mutlak yakınsaktır.
ii. Bir an için, ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin D œ D# noktasında ıraksak
_
8œ!
olmasına karşın lD$  D! l  lD#  D! l şartını sağlayan en az bir D$ noktasında
yakınsak olduğunu kabul edelim. O zaman, i.şıkka göre, seri D# noktasında
_
yakınsak olur. Bu ise, ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin D# noktasında ıraksak
8œ!
oluşu ile çelişir. Bu çelişki yaptığımız kabulden gelmektedir. O halde,
_
! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisi D œ D# için ıraksak ise bu seri lD  D! l  lD#  D! l
8œ!
şartını sağlayan her D için ıraksaktır. …
262
! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisini gözönüne alalım. D œ D! noktasında kuvvet
_
8œ!
serisinin yakınsak olduğu biliniyor. D Á D! olmak üzere, bu kuvvet serisi
lim º
8Ä_
+8" ÐD  D! Ñ8"
º"
+8 ÐD  D! Ñ8
eşitsizliğini sağlayan D noktalarında yakınsak olur. lim ¹ ++8"
¹ sıfırdan farklı
8
8Ä_
belirli bir reel sayı olmak üzere
lim º
8Ä_
+8" ÐD  D! Ñ8"
+8" ÐD  D! Ñ
lim º
º  " Ê 8Ä_
º"
8
+8 ÐD  D! Ñ
+8
+8
Ê lD  D! l  lim º
º
8Ä_ +8"
bulunur. Buna göre
V œ lim º
8Ä_
+8
º
+8"
sıfırdan farklı bir reel sayı ise yukarıdaki teoreme göre şunları yazabiliriz:
1. lD  D! l  V için seri mutlak yakınsaktır.
2. lD  D! l  V için seri ıraksaktır.
3. lD  D! l œ V için ise verilen seriye göre, bu noktaların ya tamamında
yakınsak ya tamamında ıraksak ya da bir kısmında yakınsak bir kısmında
ıraksak olabilir.
V œ ! olması durumunda kuvvet serisi sadece D œ D! noktasında; V œ _
olması durumunda ise kuvvet serisi ‚ kompleks sayılar kümesinin her
noktasında yakınsak olur.
Kuvvet serisinin yakınsak olduğu noktaları bulmak için kök kuralını
kullanmış olsaydık
V œ lim
"
8Ä_ l+8 l"Î8
olarak bulunacaktı. Bu son formül yerine daha genel olan
Vœ
"
lim l+8 l"Î8
8Ä_
263
formülü de kullanılır. Buradaki lim, üst limiti göstermektedir.
4.4.3. Tanım: i. Yukarıda bulduğumuz ! Ÿ V Ÿ _ genişletilmiş reel
sayısına ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı denir.
_
ii. !  V  _ß ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı
8œ!
_
8œ!
olsun. lD  D! l œ V ye yakınsaklık çemberi, lD  D! l  V ye de yakınsaklık
dairesi (veya yakınsaklık çemberinin içi) adı verilir.
! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisi her D için yakınsak oluyorsa yakınsaklık
_
8œ!
yarıçapı V œ _; sadece D œ D! için yakınsıyorsa V œ ! olarak alınır.
4.4.4. Örnek: 1. Aşağıdaki her bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını
bulunuz.
_
_
_
8
"
i. ! 8xD 8
ii. ! ÐD"3Ñ
iii. ! 8†8x
ÐD  3Ñ8
Ð#3Ñ8
8œ!
8œ!
8œ"
Çözüm: i. +8 œ 8x olarak verilmiştir. O halde
V œ lim º
8Ä_
+8
8x
lim º
º œ 8Ä_
ºœ!
+8"
Ð8  "Ñx
bulunur. Buna göre verilen kuvvet serisi sadece D! œ ! noktasında yakınsar.
ii. Verilen kuvvet serisinde +8 œ
8Ä_ k+
V œ lim
"
8k
"Î8
"
Ð#3Ñ8
dir.
œ lim
8Ä_
"
"
¹ Ð#3Ñ
8¹
"Î8
œ#
olduğundan verilen kuvvet serisi lD  "  3l  # açık dairesinde yakınsaktır.
iii. Burada +8 œ
V œ lim º
8Ä_
"
8†8x
olarak verilmiştir. Yakınsaklık yarıçapı
+8
Ð8  "Ñ † Ð8  "Ñx
Ð8  "Ñ#
lim º
lim º
º œ 8Ä_
º œ 8Ä_
ºœ_
+8"
8 † 8x
8
olur. O halde verilen kuvvet serisi ‚ kümesinin tamamında yakınsaktır.
264
2. ! #8 ÐD  3Ñ$8 kuvvet serisi veriliyor. Bu kuvvet serisinin yakınsaklık
_
8œ!
yarıçapını bulunuz.
Çözüm: Bizim verdiğimiz yakınsaklık yarıçap formülleri ! +8 ÐD  D! Ñ8
_
8œ!
kuvvet serileri için geçerlidir. ? œ ÐD  3Ñ$ olarak alınırsa verilen kuvvet serisi
! 28 ?8 şekline dönüşür. Bu kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı, kök kuralı
_
8œ!
kullanılarak,
"
#
yakınsak, l?l 
olarak bulunur. Yani ! 28 ?8 kuvvet serisi l?l 
_
"
#
"
#
için
için ıraksaktır. ? œ ÐD  3Ñ$ olduğundan ! #8 ÐD  3Ñ$8
8œ!
_
8œ!
kuvvet serisi
lD  3l$ 
"
"
Ê lD  3l  "Î$
#
#
"
için yakınsak, lD  3l$  "# veya lD  3l  #"Î$
için ıraksak olacağından istenen
"
yakınsaklık yarıçapı V œ #"Î$ olarak bulunur. ú
4.4.5. Teorem: ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisi verilsin. V  !, bu kuvvet
_
8œ!
serisinin yakınsaklık yarıçapı olsun.
_
! +8 ÐD  D! Ñ8
i.
serisi,
!<V
olmak
üzere
8œ!
H< œ ÖD − ‚ À lD  D! l Ÿ <× kapalı diskinde ve dolayısıyla yakınsaklık
çemberi içerisindeki her kapalı diskte düzgün yakınsaktır.
_
ii. 0 ÐDÑ, ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin yakınsadığı fonksiyon olsun. Bu
8œ!
durumda 0 ÐDÑ fonksiyonu yakınsaklık çemberi içerisinde analitiktir.
iii. (Kuvvet Serisinin Terim Terim Türevlenebilmesi): Yakınsaklık çemberi
_
içinde 0 ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8 olsun. Bu durumda, yakınsaklık çemberi içinde
8œ!
0 ÐDÑ œ " 8+8 ÐD  D! Ñ8"
_
w
8œ"
olur. Yani, kuvvet serisi yakınsaklık çemberi içinde terim terim türevlenebilir.
265
İspat: i. <  V olduğundan <  3  V olacak şekilde bir 3 sayısı vardır.
3  V olduğundan V"  3" olur.
"
œ lim l+8 l"Î8
V 8Ä_
olduğundan
l+8 l"Î8 
"
"
Ê l+8 l  8
3
3
yazılır. Son eşitsizliğin her iki yanını lD  D! l8 ile çarparsak her D − H< için
lD  D! l8
<
l+8 llD  D! l Ÿ
Ê l+8 ÐD  D! Ñ8 l Ÿ Œ 
8
3
3
8
8
bulunur.
Q8 œ Š 3< ‹
8
alınırsaß
<
3
"
olduğundanß
! Q8 œ ! Š < ‹
3
_
_
8œ!
8œ!
8
geometrik serisi yakınsaktır. Weierstrass M-kuralına göre !  <  V olmak
üzere verilen kuvvet serisi, H< œ ÖD − ‚ À lD  D! l Ÿ <× kapalı diskinde
düzgün yakınsaktır.
Diğer yandan H, yakınsaklık çemberi içerisinde keyfi bir kapalı disk olsun.
Bu diski içine alacak şekilde D! merkezli kapalı bir H< diski bulabiliriz. H<
diskinde yakınsama düzgün olduğundan H kapalı diskinde de yakınsama
düzgün olacaktır. Dolayısıyla verilen seri, yakınsaklık çemberi içerisindeki her
kapalı diskte düzgün yakınsar.
ii. 08 ÐDÑ œ +8 ÐD  D! Ñ8 fonksiyonları tüm kompleks düzlemde analitik
olduklarından, yakınsaklık çemberinin iç kısmında da analitiktirler. i. şıkka göre
kuvvet serisi yakınsaklık çemberinin iç kısmındaki her kapalı diskte düzgün
yakınsaktır. O halde 4.3.11. Teoreme göre 0 ÐDÑ fonksiyonu kuvvet serisinin
yakınsaklık çemberinin içinde analitiktir.
iii. Bu teoremin ii.şıkkına göre 0 ÐDÑ, ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin
_
8œ!
yakınsaklık çemberinin içinde analitik bir fonksiyondur. Yine bu teoremin
_
i.şıkkına göre ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisi, yakınsaklık çemberi içindeki her
8œ!
kapalı diskte düzgün yakınsaktır.
08 ÐDÑ œ +8 ÐD  D! Ñ8 olmak üzere,
O
halde
4.3.11.
Teoreme
göre,
266
0 w ÐDÑ œ "08w ÐDÑ
_
8œ!
yazılır. …
4.4.6. Örnek: Aşağıda verilen her bir fonksiyonun analitik olduğu bölgeyi
bulunuz.
_
_
8
#
i. 0 ÐDÑ œ ! ÐD$Ñ 8
ii. 1ÐDÑ œ ! Ð8xÑ ÐD  3Ñ8
8œ"
Ð8"Ñ#
8œ"
Ð#8Ñx
Çözüm: Verilen kuvvet serilerinin her birinin yakınsaklık dairesini
bulmamız gerekir. Bunun için yakınsaklık yarıçaplarını bulacağız.
i. +8 œ
"
Ð8"Ñ#8
olduğundan
V œ lim º
8Ä_
+8
"
lim º
Ð8  #Ñ#8" º œ #
º œ 8Ä_
+8"
Ð8  "Ñ#8
bulunur. O halde, 0 ÐDÑ fonksiyonu F œ ÖD À lD  $l  #× bölgesinde
analitiktir.
ii. Kuvvet serisinde +8 œ
yarıçapı
V œ lim º
8Ä_
olarak veriliyor. Buna göre, yakınsaklık
+8
Ð8xÑ# Ð#8  #Ñx
lim º
†
º œ 8Ä_
º
+8"
Ð#8Ñx ÒÐ8  "ÑxÓ#
œ lim »Œ
8Ä_
Ð8xÑ#
Ð#8Ñx
8x
Ð#8Ñx Ð#8  "ÑÐ#8  #Ñ

»œ%
Ð8  "Ñx
Ð#8Ñx
#
olarak bulunur. O halde, 1ÐDÑ fonksiyonu F œ ÖD À lD  3l  %× bölgesinde
analitiktir.ú
4.4.7. Teorem: V  !ß
! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin yakınsaklık
_
yarıçapı ve yakınsaklık çemberi içerisinde 0 ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8 olsun. Bu
8œ!
durumda
_
8œ!
267
+8 œ
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ
8x
olur.
İspat: 4.4.5. Teoreme göre yakınsaklık çemberi içerisinde
0 w ÐDÑ œ " 8+8 ÐD  D! Ñ8"
_
8œ"
olur. 0 ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8 ve 0 w ÐDÑ œ ! 8+8 ÐD  D! Ñ8" kuvvet serilerinin
_
_
8œ!
8œ!
yakınsaklık yarıçapları eşittir (4.4. Alıştırmalardan 3.alıştırmaya bakınız). Bu
bilgileri kullanarak
0 w ÐDÑ œ "8+8 ÐD  D! Ñ8" œ +"  #+# ÐD  D! Ñ  â
_
8œ"
_
0 ww ÐDÑ œ "8Ð8  "Ñ+8 ÐD  D! Ñ8# œ #+#  '+$ ÐD  D! Ñ  â
8œ#
ã
0 Ð5Ñ ÐDÑ œ "8Ð8  "ÑâÐ8  5  "Ñ+8 ÐD  D! Ñ85
_
8œ5
œ 5x+5  Ð5  "Ñx+5" ÐD  D! Ñ  â
yazılır. Son ifadede D œ D! alırsak 0 Ð5Ñ ÐD! Ñ œ 5x+5 elde edilir. Bu da her 8 için
+8 œ
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ
8x
demektir.…
Şimdi de, 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik olduğu noktanın uygun bir
komşuluğunda kuvvet serisine açılabileceğini göreceğiz. Aşağıdaki teorem
bununla ilgilidir.
4.4.8. Teorem (Taylor Teoremi): 0 ÐDÑ, F bölgesinde analitik bir fonksiyon
ve D! − F olmak üzere HÐD! à <Ñ § F olsun. Bu durumda HÐD! à <Ñ diskinde
268
0 ÐDÑ œ "
_
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ
ÐD  D! Ñ8
8x
8œ!
olur.
İspat: H œ HÐD! à <Ñ diskindeki her D için
0 ÐDÑ œ "
_
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ
ÐD  D! Ñ8
8x
8œ!
olduğunu göstereceğiz. Şimdi keyfi bir D − H noktası alalım ve bu noktayı
sabitleyelim. lD  D! l  <!  < olacak şekilde sabit bir <! sayısı seçilebilir. # ,
D! merkezli <! yarıçaplı çember olsun. Cauchy İntegral Formülüne göre
0 ÐDÑ œ
"
0 ÐAÑ
.A
(
#1 3 # A  D
yazılır. # çemberinin üzerindeki her A noktası için
º
D  D!
lD  D! l
"
ºœ
A  D!
<!
olur. Bu ifade gözönünde bulundurularak
269
0 ÐAÑ
0 ÐAÑ
"
œ
†
AD
A  D! "  Š DD! ‹
AD!
œ
0 ÐAÑ _ D  D!
"Œ

A  D! 8œ! A  D!
8
œ"
_
0 ÐAÑÐD  D! Ñ8
ÐA  D! Ñ8"
8œ!
yazılır. Elde edilen seri, A nın fonksiyonlarının serisidir. Bu serinin, # çemberi
0 ÐAÑ
üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösterelim. 2ÐAÑ œ AD
fonksiyonu,
!
kapalı ve sınırlı bir küme olan, # eğrisi üzerinde sürekli olduğundan bu eğri
0 ÐAÑ
üzerindeki her A için l AD
l Ÿ Q sağlanacak şekilde Q  ! sayısı vardır.
!
Diğer yandan D , sabit bir nokta olduğundan <" œ lD  D! l sabit olur. O halde,
her A − # için
l08 ÐAÑl œ º
0 ÐAÑÐD  D! Ñ8
<"
º Ÿ Q Œ  œ Q8
8"
ÐA  D! Ñ
<!
8
yazılır. D , # eğrisi içerisinde sabit bir nokta olduğundan,
<"
<!
 " dir. Buna göre,
! Q8 œ Q ! Š <" ‹ geometrik serisi yakınsaktır. Dolayısıyla, Weierstrass M<!
_
_
8
ÐAÑÐDD! Ñ
kuralına göre ! 0ÐAD
serisi # eğrisi üzerinde düzgün yakınsaktır. Buraya
8"
!Ñ
8œ!
8œ!
_
8
8œ!
kadar toplanan bilgiler kullanılarak
0 ÐDÑ œ
œ
œ
"
0 ÐAÑ
.A
(
#1 3 # A  D
_
"
0 ÐAÑÐD  D! Ñ8
"
.A
(
#13 # – 8œ! ÐA  D! Ñ8" —
" _
0 ÐAÑÐD  D! Ñ8
"(
.A
#13 8œ! # ÐA  D! Ñ8"
œ "”
_
8œ!
_
œ"
"
0 ÐAÑ.A
8
(
•ÐD  D! Ñ
#13 # ÐA  D! Ñ8"
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ
ÐD  D! Ñ8
8x
8œ!
270
elde edilir. D , H de keyfi bir eleman olduğundan bu eşitlik her D − H için
sağlanır.…
!0
_
8œ!
4.4.9. Tanım: 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitik olsun. Bu durumda
Ð8Ñ
ÐD! Ñ
8x ÐD
 D! Ñ8 serisine 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasının komşuluğundaki
Taylor serisi denir.
Taylor serisinde özel olarak D! œ ! alınırsa
"
_
0 Ð8Ñ Ð!Ñ 8
D
8x
8œ!
olur. Buna Maclaurin serisi adı verilir.
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonların D! œ ! noktasının komşuluğundaki
Taylor serileri (Maclaurin serileri) verilmiştir:
Fonksiyon
/D
sin D
cos D
LogÐ"  DÑ
"
"D
Maclaurin serisi
! D8
Yakınsak olduğu küme
_
‚
8x
! Ð  "Ñ8"
8œ!
_
8œ1
_
! Ð  "Ñ8
D #8"
Ð#8"Ñx
D #8
Ð#8Ñx
! Ð  "Ñ8" D8
8œ!
_
8œ1
_
! D8
8
‚
‚
lDl  "
lDl  "
8œ!
0 ÐDÑ fonksiyonu analitik olduğu D! noktasının komşuluğunda Taylor
serisine açıldığında, bu serinin yakınsaklık yarıçapı, genel olarak, şu şekilde
bulunabilir: D! noktasına, 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik olmadığı noktalardan en
yakın olanı D" ise D! ile D" arasındaki uzaklık, Taylor serisinin yakınsaklık
yarıçapını verir. Bu kural, çok değerli fonksiyonların seçilen dalları için doğru
olmayabilir.
0 ÐDÑ fonksiyonunu, analitik olduğu D! noktasının komşuluğunda, Taylor
serisine açmanın en klasik yolu
271
0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ 
0 w ÐD! Ñ
0 ww ÐD! Ñ
ÐD  D! Ñ 
ÐD  D! Ñ#  â
"x
#x
tanımını kullanmaktır. İkinci bir yol ise bilinen Taylor serilerinden
yararlanmaktır. Bu ikinci yola pratik yol adını veririz. Biz, daha çok bu yolu
tercih edeceğiz.
"
4.4.10. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ "D
komşuluğunda Taylor serisine açınız.
fonksiyonunu
D! œ !
noktasının
Çözüm: (Klasik Yol) 0 ÐDÑ fonksiyonu D! œ ! noktasında analitiktir.
Taylor Teoremine göre 0 ÐDÑ fonksiyonunu, bu noktanın uygun bir
"
komşuluğunda, Taylor serisine açabiliriz. 0 ÐDÑ œ "D
için
0 w ÐDÑ œ 
"
#
'
ß 0 ww ÐDÑ œ
ß 0 www ÐDÑ œ 
ß â
#
$
Ð"  DÑ
Ð"  DÑ
Ð"  DÑ%
olacağından
0 Ð!Ñ œ "ß 0 w Ð!Ñ œ  "ß 0 ww Ð!Ñ œ #ß 0 www Ð!Ñ œ  'ß â
bulunur. Bu değerler D! œ ! alınarak elde edilen
0 ÐDÑ œ 0 Ð!Ñ 
0 w Ð!Ñ
0 ww Ð!Ñ # 0 www Ð!Ñ $
D
D 
D â
"x
#x
$x
formülünde yerine yazılarak
"
œ "  D  D#  D$  â
"D
istenen Taylor serisi elde edilir.
İkinci Yol: (Pratik Yol) Hatırlanacağı gibi
"
œ "  D  D #  âß
"D
lDl  "
şeklindedir. Burada D yerine  D yazarsak
"
œ "  D  D #  D $  âß
"D
istenen Taylor serisi elde edilir.
lDl  "
272
ii. 0 ÐDÑ œ cos# D fonksiyonunu D! œ ! noktasının komşuluğunda Taylor
serisine açınız.
Çözüm: 0 ÐDÑ œ cos# D tam fonksiyondur. Dolayısıyla D! œ ! noktasının
komşuluğunda Taylor serisine açılır. Trigonometrik özdeşliklerden
cos# D œ
"
Ð"  cos #DÑ
#
olduğunu biliyoruz. Burada
cos #D œ "Ð  "Ñ8
_
8œ!
Ð#DÑ#8
Ð#DÑ#
Ð#DÑ%
œ"

â
Ð#8Ñx
#x
%x
şeklindedir. O halde
cos# D œ
_
"
Ð#DÑ#8
" Ð#DÑ#
Ð#DÑ%
"
"

Ð  "Ñ8
œ" ”

 â•
–
—
#
Ð#8Ñx
# #x
%x
8œ!
elde edilir.
iii. 0 ÐDÑ œ
D
D # #D$
fonksiyonunun Maclaurin serisini bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! œ ! noktasının komşuluğundaki Taylor
serisini bulacağız. Fonksiyon bu noktada analitiktir.
D
" "
$ "
œ

D #  #D  $
%"D
%D$
şeklinde yazılır.
" "
"
œ ˆ"  D  D #  D $  â‰ß lDl  "
%"D
%
$ "
" "
"
D
D#
D
œ 
œ

"


 âß l l  "
Œ
D
%D$
%" $
%
$
*
$
olur. Dolayısıyla istenen seri
0 ÐDÑ œ
"
%
) # #) $ )! %
Ð  "Ñ8
"
 8 D 8  â•
” D D  D  D âŒ
%
$
*
#(
)"
%
$
273
olarak bulunur. Bu serinin yakınsaklık yarıçapı " dir. Çünkü, 0 ÐDÑ
fonksiyonunun analitikliğini  ", $ sayıları bozar ve bunlardan D! œ !
noktasına en yakın olanı  " olup D! œ ! ile arasındaki uzaklık " birimdir.
iv. 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunu D! œ " noktasının komşuluğunda Taylor
serisine açınız.
Çözüm: Tanımı uygulayarak, bu açılım, çok kolay yapılabilir. Biz çözümü
ileride kullanılacak olan bir medotla vereceğiz. Bilindiği gibi bu açılım ÐD  "Ñ
nin kuvvetlerinden oluşmaktadır. ? œ D  " diyelim. Bu durumda D œ ?  "
olacaktır. Dolayısıyla, 0 ÐDÑ œ /D
fonksiyonunu D! œ " noktasının
komşuluğunda Taylor serisine açma problemi 0 Ð?  "Ñ œ /?" fonksiyonunu
?! œ ! noktasının komşuluğunda Taylor serisine açma problemine dönüşür.
Buna göre
0 Ð?  "Ñ œ /?" œ / 
/? /?#
/?8

â
â
"x
#x
8x
bulunur. ? œ ÐD  "Ñ olduğu gözönüne alınarak
0 ÐDÑ œ /D œ / 
/ÐD  "Ñ /ÐD  "Ñ#
/ÐD  "Ñ8

â
â
"x
#x
8x
elde edilir.ú
Bir fonksiyonu Taylor serisine açmanın başka yolları da vardır. Aşağıdaki
örneklerde bu yollardan bazıları verilmiştir.
"
4.4.11. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ "D
komşuluğunda Taylor serisine açınız.
fonksiyonunu
D! œ 3
noktasının
Çözüm: Bu fonksiyon E œ ÖD À lD  3l  È# × diskinde Taylor serisine
açılır. Katsayıları bulmadan Taylor serisi, şekilsel olarak,
_
"
"
œ
-8 ÐD  3Ñ8
"D
8œ!
şeklinde yazılır. Eğer katsayıları belirlerleyebilirsek istenen Taylor serisi elde
edilmiş olur. Yazdığımız eşitlikten
274
" œ Ð"  DÑ"-8 ÐD  3Ñ8
_
8œ!
œ ÒÐ"  3Ñ  ÐD  3ÑÓÒ-!  -" ÐD  3Ñ  -# ÐD  3Ñ#  -$ ÐD  3Ñ$  âÓ
œ Ð"  3Ñ-!  ÒÐ"  3Ñ-"  -! ÓÐD  3Ñ  ÒÐ"  3Ñ-#  -" ÓÐD  3Ñ#  â
elde edilir. Belirsiz Katsayılar Kuralına göre
-! œ
"
"
"
ß -" œ
ß -# œ
ß â
#
"3
Ð"  3Ñ
Ð"  3Ñ$
bulunur. İstenen Taylor serisi,
"
"
"
"
œ

ÐD  3Ñ 
ÐD  3Ñ#  â
#
"D
"  3 Ð"  3Ñ
Ð"  3Ñ$
olur.
ii. 0 ÐDÑ œ sec D fonksiyonunun Maclaurin serisini bulunuz.
Çözüm: sec D œ cos" D olarak yazılır. Bu durumda 0 ÐDÑ œ 2ÐDÑ
1ÐDÑ şeklindeki
bir fonksiyonun Taylor serisini bulacağız. Verilenlere göre 2ÐDÑ œ " ve
1ÐDÑ œ cos D dir. 1ÐDÑ œ cos D nin Maclaurin serisi
cos D œ " 
D#
D%
D'


â
#x
%x
'x
dır. Şekilsel olarak, iki polinomun bölümü gibi, bölme yapılırsa
"
"
D#
#x

D%
%x

D'
'x
â
œ"
D#
&
'" '
 D% 
D â
#
#%
(#!
olup istenen Maclaurin serisi
0 ÐDÑ œ sec D œ " 
D#
&
'" '
 D% 
D â
#
#%
(#!
şeklinde elde edilir.
İkinci Yol: 0 ÐDÑ œ sec D fonksiyonunun Maclaurin serisi sadece D nin çift
kuvvetlerini ihtiva edecektir. Çünkü, 0 ÐDÑ œ sec D çift fonksiyondur. Buna göre
0 ÐDÑ œ -!  -# D #  -% D %  -' D '  â
275
şeklinde Maclaurin serisine açılır. Katsayılar belirlenirse istenen Maclaurin
serisi elde edilir. sec D œ cos" D olduğu dikkate alınırsa " œ Ðcos DÑÐsec DÑ olur.
Bu eşitlikten hareketle
" œ Œ" 
D#
D%
D'


 âˆ-!  -# D #  -% D %  -' D '  â‰
#x
%x
'x
œ -!  Š-# 
-! #
-#
-%
-#
-%
-'
 ‹D %  Š-! 


‹D  Š-! 
‹D '  â
#
#
#%
#%
#
(#!
yazılır ve buradan da
-! œ "ß -# œ
"
&
'"
ß -% œ
ß -' œ
ß â
#
#%
(#!
bulunur. Bunlar yukarıda yerine yazılırsa
0 ÐDÑ œ sec D œ " 
D#
&
'" '
 D% 
D â
#
#%
(#!
istenen Maclaurin serisi elde edilir.
iii. 0 ÐDÑ œ cos( D fonksiyonunun Maclaurin serisini bulunuz.
Çözüm: Bu fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu belirtelim. O zaman,
Maclarin serisi
0 ÐDÑ œ "  -# D #  -% D %  -' D '  â
şeklindedir. 0 ÐDÑ œ cos( D Ê 0 w ÐDÑ œ (sin D cos' D dir. Bundan hareketle
cos D 0 w ÐDÑ œ (sin D cos( D veya cos D 0 w ÐDÑ œ (sin D 0 ÐDÑ eşitliği yazılır. Bu
eşitlikten hareket ederek
Œ" 
D#
D%
D'


 âÐ#-# D  %-% D $  '-' D &  âÑ
#x
%x
'x
D$
D&
D(
œ ŒD 


 âÐ"  -# D #  -% D %  -' D '  âÑ
$x
&x
(x
veya
-# &
ÑD  â
"#
(
(-#
(
&
œ (D  Œ(-#  D $  Œ(-% 

D  â
'
'
"#!
#-# D  Ð%-%  -# ÑD $  Ð'-'  #-% 
eşitliğinden
276
-# œ
(
"'"
&"%"$
ß -% œ
ß -' œ
ß â
#
#'
'!!!
elde edilir. Bunları yerine yazarsak istenen Maclaurin serisi
(
"'" % &"%"$ '
0 ÐDÑ œ "  D # 
D 
D â
#
#'
'!!!
olarak bulunur.
iv. 0 ÐDÑ œ /sin D fonksiyonunun Maclaurin serisini bulunuz.
Çözüm: /A nın A œ ! noktasının bir komşuluğundaki Taylor serisi
/A œ "  A 
A#
A$

â
#x
$x
şeklindedir. Burada A œ sin D olarak alınırsa
/sin D œ "  sin D 
sin# D
sin$ D

â
#x
$x
yazılır. Ancak bunun bir Taylor serisi olmadığına dikkat ediniz. Eğer
sin D œ D 
D$
D&
D(


â
$x
&x
(x
olduğu dikkate alınırak
/sin D
ŠD 
D$
D&
œ "  ŒD 

 â 
$x
&x
D$
$x

D&
&x
 â‹
#x
#
â
ifadesi düzenlenirse istenen Maclaurin serisi elde edilir.
İkinci Yol:
/A œ "  A 
A#
A$

â
#x
$x
ifadesinde A œ sin D alıp A8 œ sin8 D serisi bulunduktan sonra yerine yazmak
suretiyle istenen Maclaurin serisi elde edilir.
v. 0 ÐDÑ œ /D sin D fonksiyonunun Maclaurin serisini yazınız.
277
Çözüm:
açılımlarının
0" ÐDÑ œ /D
/D œ "  D 
ve
D#
D$

â
#x
$x
0# ÐDÑ œ sin D
ve
fonksiyonlarının
sin D œ D 
Maclaurin
D$
D&
D(


â
$x
&x
(x
olduğunu biliyoruz. Bu durumda, iki polinomun çarpımına benzer düşünce ile,
istenen Maclaurin serisi
0 ÐDÑ œ Œ"  D 
D#
D$
D$
D&
D(

 âŒD 


 â
#x
$x
$x
&x
(x
D$
D&
œ D  D# 

â
$
$!
şeklinde elde edilir.
4.4. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki her bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.
_
_
_
#8
i. ! 8x8 D 8
ii. ! Ð$8  38 ÑÐD  #Ñ8
iii. ! ÐD"3Ñ
8
8œ"
8
2. V œ
8œ!
"
lim l+8 l"Î8
8œ"
$ 8
yakınsaklık yarıçap formülünü kullanarak aşağıdaki her bir
8Ä_
kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.
_
_
8
i. ! Ò$  Ð  "Ñ8 Ó8 ÐD  #Ñ8
ii. ! ˆcos 81 ‰ D 8
8œ!
8œ!
3. V  !,
_
8
8œ"
! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı olsun.
_
8œ!
Yakınsaklık
$
‰ D8
iii. ! ˆ #"8 sin 8/
"$
çemberi
içinde
0 ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8
_
olması
halinde
0 w ÐDÑ œ ! 8+8 ÐD  D! Ñ8" olduğunu biliyoruz. Bu iki kuvvet serisinin
_
8œ!
8œ"
yakınsaklık yarıçaplarının eşit olduğunu gösteriniz.
4. Aşağıdaki her bir fonksiyonu karşısında verilen noktada Taylor serisine
açınız.
"
i. 0 ÐDÑ œ /D ß D! œ 3
ii. 0 ÐDÑ œ "D
ß D! œ  "
"
iii. 0 ÐDÑ œ #D" ß D! œ #
iv. 0 ÐDÑ œ Log Dß D! œ "
278
D
5. i. 0 ÐDÑ œ Ð"DÑ
# fonksiyonuna Koebe fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun
Maclaurin serisini ve bu serinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.
"
ii. 0 ÐDÑ œ cos D
sin D fonksiyonunun D! œ ! noktasının komşuluğundaki Taylor
serisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.
6. Aşağıdaki her bir fonksiyonun Maclaurin serilerini bulunuz.
i. 0 ÐDÑ œ tan D
ii. 0 ÐDÑ œ sin% D
iii. 0 ÐDÑ œ /$D cos D
4.5. Analitik Fonksiyonlar için Sıfır Yerleri ve
Özdeşlik Teoremi:
Analitik fonksiyonlar için özdeşlik teoremi analitik fonksiyonun sıfır
yerleri ile yakından ilgilidir. Bunun için önce analitik fonksiyonların sıfır
yerlerini inceleyelim:
Analitik fonksiyonların sıfır yerleri: Önce bir denklemin kökleri ile bir
fonksiyonun sıfırları arasındaki farkı vurgulayalım: Bilindiği gibi,
D #  #D  $ œ ! denklemini sağlayan D œ "ß D œ  $ değerlerine verilen
denklemin kökleri veya çözümleri adı verilir. 0 ÐDÑ œ D #  #D  $ fonksiyonu
için 0 Ð"Ñ œ !ß 0 Ð  $Ñ œ ! olduğundan D œ "ß D œ  $ değerlerine ise 0 ÐDÑ
fonksiyonunun sıfır yerleri veya sıfırları adı verilir. Yani, denklemler için "kök"
veya "çözüm", fonksiyonlar için ise "sıfır yeri" veya "sıfır" ifadeleri kullanılır.
Bu kitapta, fonksiyonlar için bazen "sıfır yeri" bazen de "sıfır" ifadeleri
kullanılacaktır.
Şunu da belirtmek gerekir ki, bir fonksiyonun sıfır yerlerini tanımlamak
için fonksiyona herhangi bir kısıtlama getirmeye gerek yoktur. Ancak sıfır
yerlerinin katlılıklarını tanımlamak için fonksiyonun türevlerinden yararlanırız.
Şimdi, analitik fonksiyonların sıfır yerleri hakkında bilgi vereceğiz.
4.5.1. Tanım: 0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde analitik olsun.
i. D! − F için 0 ÐD! Ñ œ ! oluyorsa D! değerine 0 ÐDÑ fonksiyonunun sıfır yeri
(veya sıfırı) denir.
ii. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun bir sıfır yeri ve
0 ÐD! Ñ œ 0 w ÐD! Ñ œ â œ 0 Ð8"Ñ ÐD! Ñ œ ! ve 0 Ð8Ñ ÐD! Ñ Á !
oluyorsa D! değerine 0 ÐDÑ fonksiyonunun 8Þdereceden (veya 8 katlı) sıfır yeri
denir.
279
Bazen, "1. dereceden sıfır" ifadesi yerine "basit sıfır" ifadesini
kullanacağız. Eğer 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitik ve 0 ÐD! Ñ Á ! ise D! ß
0 ÐDÑ fonksiyonunun !.dereceden sıfır yeri olarak adlandırılacaktır.
4.5.2. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D $ analitik fonksiyonunu gözönüne alalım. Burada
0 Ð!Ñ œ 0 w Ð!Ñ œ 0 ww Ð!Ñ œ !, 0 www Ð!Ñ œ ' Á !
olduğundan D! œ !ß 0 ÐDÑ œ D $ fonksiyonunun $.dereceden sıfır yeridir.
ii. 0 ÐDÑ œ sin# ÐD  "Ñ analitik fonksiyonu veriliyor.
0 Ð"Ñ œ 0 w Ð"Ñ œ !ß 0 ww Ð"Ñ œ # Á !
olduğundan D! œ "ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun 2.dereceden sıfır yeridir.ú
4.5.3. Teorem: 0 ÐDÑ, D! noktasında analitik bir fonksiyon olsun. D! , 0 ÐDÑ
fonksiyonunun 8.dereceden bir sıfır yeri ise 0 ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ8 1ÐDÑ dir. Burada
1ÐD! Ñ Á ! ve 1ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitiktir.
İspat: 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitik olduğundan bu noktanın
uygun bir komşuluğunda
0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ  0 w ÐD! ÑÐD  D! Ñ  â 
_
0 Ð8"Ñ ÐD! Ñ
0 Ð5Ñ ÐD! Ñ
ÐD  D! Ñ8"  "
ÐD  D! Ñ5
Ð8  "Ñx
5x
5œ8
şeklinde Taylor serisine açılabilir. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 8.dereceden sıfır yeri
olduğundan 0 ÐD! Ñ œ 0 w ÐD! Ñ œ â œ 0 Ð8"Ñ ÐD! Ñ œ ! ve 0 Ð8Ñ ÐD! Ñ Á ! olur. Bu
durumda, Taylor serisi
0 ÐDÑ œ
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ
0 Ð8"Ñ ÐD! Ñ
ÐD  D! Ñ8 
ÐD  D! Ñ8"  â
8x
Ð8  "Ñx
veya
0 ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ8 
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ 0 Ð8"Ñ ÐD! Ñ

ÐD  D! Ñ  â
8x
Ð8  "Ñx
şeklinde yazılabilir. Bu yakınsama, D! noktasının uygun bir komşuluğunda
280
1ÐDÑ œ
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ 0 Ð8"Ñ ÐD! Ñ

ÐD  D! Ñ  â
8x
Ð8  "Ñx
olacak şekilde 1ÐDÑ fonksiyonunun
0 ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ8 1ÐDÑ olur.
varlığını
gerektirir.
Dolayısıyla,
Diğer yandan, D! noktasının uygun bir komşuluğunda
1ÐDÑ œ
0 Ð8Ñ ÐD! Ñ 0 Ð8"Ñ ÐD! Ñ

ÐD  D! Ñ  â
8x
Ð8  "Ñx
olmasından dolayı, 1ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitiktir. Ayrıca hipoteze
Ð8Ñ
göre 0 Ð8Ñ ÐD! Ñ Á ! olduğundan 1ÐD! Ñ œ 0 8xÐD! Ñ Á 0 olduğu görülür.…
Özdeşlik teoremleri: Daha önce gördüğümüz 4.4.5. Teorem ile 4.4.8.
Teoremi birleştirerek şu önemli sonucu elde ederiz:
4.5.4. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonunun, bir D! noktasında analitik olması için
gerek ve yeter şart bu noktanın uygun bir komşuluğunda yakınsak bir kuvvet
serisine açılabilmesidir.
4.5.4. Teoreme göre, 0 ÐDÑ fonksiyonunun bir D! noktasında analitik
olmasının tanımı şu şekilde de tanımlanabilir: 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasının
uygun bir komşuluğunda yakınsak bir kuvvet serisine açılabiliyorsa 0 ÐDÑ
fonksiyonuna D! noktasında analitiktir denir.
Hatırlanacağı gibi, Analiz derslerinde, bir reel fonksiyonun bir noktada
analitik olması bu şekilde tanımlanmıştı.
Demek ki, analitik fonksiyonlar için daha önce verdiğimiz 2.7.1. Tanımın
yerine 4.5.4. Teoremin sonucu olarak verdiğimiz yukarıdaki tanımı
kullanabiliriz. 4.5.4. Teorem, bu iki tanımın denk olduğunu söylemektedir.
4.5.4. Teoremden çıkarılacak bir diğer sonuç ise kuvvet serileri ile analitik
fonksiyonlar arasında çok yakın ilişkinin olmasıdır. Bu ilişkiden yararlanılarak
analitik fonksiyonlarla ilgili bazı özellikler kolayca gösterilebir. Örneğin,
analitik fonksiyonlar için özdeşlik teoremi, kuvvet serileri için özdeşlik
teoreminden kolaylıkla elde edilir. Önce kuvvet serileri için özdeşlik teoremini
verelim.
281
4.5.5. Teorem (Kuvvet Serileri için Özdeşlik Teoremi): V  !,
! +8 ÐD  D! Ñ8
_
kuvvet
serisinin
8œ!
H œ ÖD À lD  D! l  V×
diskinde
yakınsaklık
0 ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8
_
yarıçapı
olsun.
ve
Ayrıca,
8œ!
HÏÖD! × kümesindeki farklı noktalardan oluşan ÐD8 Ñ dizisinin D! noktasına
yakınsadığını ve ÐD8 Ñ dizisinin her bir terimi için 0 ÐD8 Ñ œ ! olduğunu kabul
edelim. Bu durumda, H diskinde 0 ÐDÑ fonksiyonu sıfıra özdeştir.
İspat: 0 ÐDÑ, 4.4.5.Teoreme göre, H diskinde analitik bir fonksiyondur.
Bunun sonucu olarak, 0 ÐDÑ fonksiyonu aynı zamanda H diskinde süreklidir.
Hipotezde 0 ÐD8 Ñ œ ! verildiğinden
+! œ 0 ÐD! Ñ œ lim 0 ÐD8 Ñ œ !
8Ä_
bulunur. Demek ki verilen seride +! œ ! dır. Bu durumda
0 ÐDÑ œ "+8 ÐD  D! Ñ8
_
8œ"
olarak yazılır. Diğer yandan 4.5.3. Teoreme göre 0 ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ1ÐDÑ olacak
şekilde
D!
noktasında
analitik
1ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8"
_
şeklinde
1ÐDÑ
8œ"
fonksiyonu vardır. 0 ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ1ÐDÑ eşitliği ile hipotezde ÐD8 Ñ dizisinin her
bir terimi için 0 ÐD8 Ñ œ ! ve D8 Á D! olarak verildiği dikkate alınırsa 1ÐD8 Ñ œ !
olur. Yukarıda, +! için uygulanan düşünce şimdi +" için uygulanırsa
+" œ 1ÐD! Ñ œ lim 1ÐD8 Ñ œ !
8Ä_
bulunur. Bu düşünce devam ettirildiğinde her 8 için +8 œ ! olduğu görülür. O
halde, H diskinde 0 ÐDÑ fonksiyonu sıfıra özdeştir.…
4.5.6. Sonuç: V  !, ! +8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı,
_
8œ!
H œ ÖD À lD  D! l  V×
yakınsaklık
dairesi
ve
bu
H
diskinde
0 ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8 olsun. H diskinde kalan ve yığılma noktası D! olan bir
_
8œ!
kümede 0 ÐDÑ œ ! ise H diskinde 0 ÐDÑ fonksiyonu sıfıra özdeştir.
282
İspat: HÏÖD! × kümesinde 0 ÐD8 Ñ œ ! şartını sağlayan ve D! noktasına
yakınsayan ÐD8 Ñ dizisi seçilebilir. Bundan sonra 4.5.5. Teorem uygulanarak
ispat tamamlanır.…
4.5.7. Sonuç: ! +8 ÐD  D! Ñ8 ve ! ,8 ÐD  D! Ñ8 kuvvet serilerinin
_
_
8œ!
8œ!
yakınsaklık yarıçapları sırasıyla V"  ! ve V#  ! olsun. Ayrıca yakınsaklık
çemberleri içerisinde 0" ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8 ve 0# ÐDÑ œ ! ,8 ÐD  D! Ñ8 olarak
_
_
8œ!
8œ!
verilsin. Eğer yığılma noktası D! olan H" œ ÖD À lD  D! l  Và
V œ minÖV" ß V# ×× kümesinde 0" ÐDÑ œ 0# ÐDÑ oluyorsa bu iki fonksiyon H"
diskinde özdeştir.
Şimdi de analitik fonksiyonlar için özdeşlik teoremini verelim.
4.5.8. Teorem (Analitik Fonksiyonlar için Özdeşlik Teoremi): 0 ÐDÑ
fonksiyonu bir F bölgesinde analitik ve D! − F olsun. Yığılma noktası D! olan
bir kümede 0 ÐDÑ œ ! ise F bölgesinde 0 ÐDÑ fonksiyonu sıfıra özdeştir.
İspat: D! − F olduğundan Taylor Teoremine göre öyle bir <  ! sayısı
bulunurki HÐD! à <Ñ § F diskinde 0 ÐDÑ fonksiyonu, D! merkezli, Taylor serisine
açılabilir. 4.5.6. Sonuca göre, verilen hipotez altında, HÐD! à <Ñ diskinde bu
kuvvet serisi ve dolayısıyla 0 ÐDÑ fonksiyonu sıfıra özdeştir. Teoremi ispatlamak
için, keyfi bir D − F noktasında, 0 ÐDÑ œ ! olduğunun gösterilmesi gerekir.
HÐD! à <Ñ diskindeki her D için 0 ÐDÑ œ ! olduğunu ispatın girişinde söyledik.
Şimdi HÐD! à <Ñ diskinde olmayan keyfi bir D − F alalım. D! noktası ile D
noktasını birleştiren ve tamamen F bölgesinde kalan bir # eğrisi çizilebilir. #
eğrisi ile F bölgesinin sınırı arasındaki uzaklık . ve V œ minÖ.ß <× olsun.
Herbirinin merkezi komşu iki çemberin içinde kalacak şekilde yarıçapları V ve
merkezleri # eğrisi üzerinde olan sonlu sayıda çember verilsin (4.5.1. Şekil). Bu
çemberleri #! ß #" ß á ß #8 ile merkezlerini de, sırasıyla, D! ß D" ß á ß D8 œ D ile
gösterelim. D! merkezli birinci çember #! olsun. Bu çemberin içi HÐD! à <Ñ
diskinde kapsanmaktadır. Dolayısıyla #! çemberinin içinde 0 ÐDÑ œ ! olur. #"
çemberinin merkezi olan D" noktası aynı zamanda #! çemberinin içindedir. Bu
durumda yığılma noktası D" olan #" çemberinin içinde öyle bir küme bulunur ki,
bu kümedeki her D için 0 ÐDÑ œ ! olur. Diğer yandan 0 ÐDÑ fonksiyonunu
merkezi D" olan bir kuvvet serisine açabiliriz. 4.5.6. Sonuca göre #" çemberi
içinde 0 ÐDÑ œ ! olur. Bu düşünce uygulanarak #8 çemberi içinde ve dolayısıyla
D noktasında 0 ÐDÑ œ ! bulunur. D , F bölgesinin keyfi bir noktası olduğundan F
bölgesinde 0 ÐDÑ œ ! olur.…
283
4.5.1. Şekil: Merkezleri # eğrisi üzerinde olan #! ß #" ß á ß #8 eğrileri
4.5.9. Sonuç: 0" ÐDÑ ve 0# ÐDÑ fonksiyonları F bölgesinde analitik olsun. Bu
fonksiyonlar, yığılma noktası D! − F olan bir kümede eşit iseler F bölgesinde
de eşittirler.
İspat: 0 ÐDÑ œ 0" ÐDÑ  0# ÐDÑ alıp, 4.5.10.Teorem uygulanır.…
4.5.10. Örnek: 0" ÐDÑ œ sin #D ve 0# ÐDÑ œ #sin D cos D fonksiyonlarının her
ikisi de ‚ kompleks düzlemde analitiktir. Trigonometriden, reel eksen üzerinde
sin #B œ #sin B cos B
olduğunu biliyoruz. 4.5.9. Sonuca göre, ‚ kompleks düzleminde0" ÐDÑ œ 0# ÐDÑ
olur.ú
Hatırlanacağı gibi, 4.5.9. Sonuç bir uygulama olarak 2.7.17. Örneğin
i.şıkkında kullanılmıştı.
4.5.11. Sonuç: 0 ÐDÑ, F bölgesinde sıfıra özdeş olmayan analitik bir
fonksiyon olsun. Bu durumda 0 ÐDÑ fonksiyonunun F bölgesindeki sıfırları
ayrıktır.
İspat: 4.5.8.Teoremden görülebilir.…
4.5.12. Teorem: 0 ÐDÑ, F bölgesinde sıfıra özdeş olmayan analitik bir
fonksiyon ve O § F kapalı ve sınırlı bir küme olsun. Bu durumda 0 ÐDÑ
fonksiyonunun O kümesindeki sıfırlarının sayısı sonludur.
284
İspat: 4.5.8.Teorem ve 4.5.11. Sonuç kullanılarak ispat yapılabilir.…
4.5.13. Örnek: 0 ÐDÑ œ sin 1D fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyon
F œ ‚ÏÖ!× bölgesinde analitiktir. Bu fonksiyonun sıfırları 8 − ™ÏÖ!× olmak
üzere D8 œ 8" olarak yazılır. !, bu köklerden oluşan kümenin yığılma noktasıdır.
ú
Şimdi 4.5.13. Örnekten elde edilebilecek düşünceleri 4.5.8. Teorem ile
4.5.12. Teoremi gözönüne alarak irdeleyelim: Öncelikle, !, 0 ÐDÑ œ sin 1D
fonksiyonunun sıfırlarının oluşturduğu kümenin yığılma noktası olmaktadır.
Ancak fonksiyon sıfıra özdeş değildir. Bu, 4.5.8. Teoremle çelişmez. Çünkü
4.5.8. Teorem bize, 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik olduğu bir bölgedeki
sıfırlarının bu bölgede bir noktaya yığılmaları durumunda 0 ÐDÑ fonksiyonunun
bu bölgede sıfıra özdeş olacağını söylemektedir. ! noktası F œ ‚ÏÖ!×
bölgesine ait değildir. Diğer yandan, 0 ÐDÑ œ sin 1D fonksiyonunun analitik
olduğu F œ ‚ÏÖ!× bölgesinde sonsuz sayıda sıfırının olduğunu görüyoruz.
Bunun 4.5.12. Teoremle çelişmediğini özellikle vurgulayalım. Çünkü 4.5.12.
Teorem, 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik olduğu B bölgesinde sıfırlarının sayısının
sonlu olduğunu söylemiyor, ancak F bölgesinin kapalı ve sınırlı bir
altkümesindeki sıfırlarının sayısının sonlu olduğunu garanti ediyor.
4.5. Alıştırmalar
1. D! œ !ß 0 ÐDÑ œ sin D  tan D fonksiyonunun kaçıncı dereceden sıfırı
olduğunu bulunuz.
2. D! œ !ß 0 ÐDÑ œ cos D  " fonksiyonunun kaçıncı dereceden sıfırı olduğunu
bulunuz.
3. 7 # olmak üzere D! , 0 ÐDÑ analitik fonksiyonunun 7Þdereceden sıfırı ise
0 w ÐDÑ nin Ð7  "Ñ.dereceden sıfırı olacağını gösteriniz.
4. 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitik olsun. 0 ÐD! Ñ œ ! ve 0 w ÐD! Ñ œ ! ise D! ,
0 ÐDÑ nin en az ikinci derceden sıfırı olduğunu gösteriniz.
5. 0 ÐDÑ fonksiyonu bir F bölgesinde analitik ve her D − F için 0 w ÐDÑ œ ! ise
0 ÐDÑ fonksiyonu F bölgesinde sabit olacağını gösteriniz.
285
5.BÖLÜM
LAURENT SERİSİ
VE
REZİDÜ TEOREMİ
Bu bölümde, bir halka bölgedeki seri açılımlarını inceleyeceğiz.
Dolayısıyla bir 0 ÐDÑ fonksiyonunu, analitik olmadığı bazı noktaların civarındaki
halka bölgelerde seri ile temsil edebilme fırsatını yakalamış olacağız.
5.1. Laurent Serisi:
5.1.1. Tanım: D! kompleks sayısı verilsin. +8 ß ,8 kompleks sayılar olmak
üzere
"
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
fonksiyon serisine, D! merkezli, Laurent serisi denir.
Şimdi, Laurent serisinin hangi kümede yakınsak olduğunu araştıracağız.
_
_
Doğal olarak ! ,8 8 ve ! +8 ÐD  D! Ñ8 serilerinin yakınsak olduğu ortak D
8œ"
ÐDD! Ñ
8œ!
noktalarında, D! merkezli, Laurent serisi de yakınsak olacaktır. Şimdi bu
noktaları belirleyelim.
!
_
8œ"
,8
ÐDD! Ñ8
serisinin, bölüm veya kök kuralı kullanılarak,
286
V" œ lim º
8Ä_
,8"
lim l,8 l"Î8
º veya V" œ 8Ä_
,8
olmak üzere lD  D! l  V" bölgesinde mutlak yakınsak olduğu söylenir.
Diğer yandan, ! +8 ÐD  D! Ñ8 serisinin
_
8œ!
V# œ lim º
8Ä_
+8
"
lim
º veya V# œ 8Ä_
+8"
l+8 l"Î8
olmak üzere lD  D! l  V# bölgesinde mutlak yakınsak olduğunu biliyoruz.
O halde V"  V# olmak üzere
"
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
D! merkezli Laurent serisi EÐV" à V# Ñ œ ÖD À V"  lD  D! l  V# × halka
bölgesinde mutlak yakınsaktır. D! , bu halka bölgede bulunamayacağından
Laurent serisi, merkezi olan, D! noktasında yakınsak değildir.
Burada V" œ ! ve V# œ _ alınırsa EÐV" à V# Ñ œ ‚ÏÖD! × olacağına dikkat
ediniz.
5.1.2. Örnek:
"
"
" _ D8
"

D8
# 8œ! #8
8œ"
_
Laurent serisinin yakınsak olduğu halka bölgeyi bulunuz.
Çözüm: D! œ ! olarak verilmiştir.
!
_
"
D8
serisinde ,8 œ " olduğundan
V" œ lim ¹ ,8"
,8 ¹ œ " bulunur ve bu seri lDl  " bölgesinde yakınsaktır. Diğer
8œ"
8Ä_
_ 8
yandan, "# ! D#8
8œ!
serisinde +8 œ
"
#8
olduğundan
V# œ lim º
8Ä_
+8
ºœ#
+8"
287
bulunur ve bu seri de lDl  # bölgesinde yakınsaktır. O halde,
"
"
" _ D8
"

D8
# 8œ! #8
8œ"
_
serisi EÐ"à #Ñ œ ÖD À "  lDl  #× halka bölgesinde yakınsak olur.ú
5.1.3. Teorem:
"
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
Laurent serisi
yakınsak olsun.
i. Bu seri,
EÐV" à V# Ñ œ ÖD À V"  lD  D! l  V# ×
halka
bölgesinde
EÐ<" à <# Ñ œ ÖD À <" Ÿ lD  D! l Ÿ <# , V"  <"  <#  V# × § EÐV" à V# Ñ
kapalı halka bölgesinde ve dolayısıyla EÐV" à V# Ñ halka bölgesindeki her kapalı
diskte düzgün yakınsaktır.
ii. EÐV" à V# Ñ halka bölgesinde
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
oluyorsa 0 ÐDÑ fonksiyonuß EÐV" à V# Ñ halka bölgesinde analitiktir.
İspat:
i.
! +8 ÐD  D! Ñ8
_
kuvvet
serisinin
E" œ ÖD À lD  D! l Ÿ <ß
8œ!
!  <  V× kapalı bölgesinde düzgün yakınsak olduğunu gördük. Şimdi,
!
_
8œ"
,8
ÐDD! Ñ8
serisinin E# œ ÖD À <" Ÿ lD  D! l, V"  <" × kümesinde düzgün
yakınsak olduğunu gösterelim: V"  <" verildiğinden V"  3  <" olacak
şekilde 3 sayısı vardır. Bu durumda
V"  3 Ê lim l,8 l"Î8  3 Ê l,8 l  38
8Ä_
olur. l,8 l  38 eşitsizliğinin her iki yanı
1
lDD! l8
ile çarpılırsa, her D − E# için,
3
,8
º
ºŒ 
ÐD  D! Ñ8
<"
8
288
yazılır. ! Q8 œ ! Š <3" ‹ geometrik serisi, ¹ <3" ¹  " olduğundan, yakınsaktır.
_
_
8
,8
Dolayısıyla Weierstrass M-kuralına göre ! ÐDD
8 serisi E# kümesinde düzgün
!Ñ
8œ"
8œ"
_
8œ"
yakınsaktır. O halde, verilen Laurent serisinin,
EÐ<" à <# Ñ œ ÖD À <" Ÿ lD  D! l Ÿ <# , V"  <"  <#  V# ×
kapalı halka bölgesinde düzgün yakınsak olduğu söylenir.
Diğer yandan H, EÐV" à V# Ñ halka bölgesinde keyfi bir kapalı disk olsun.
Bu durumda H § EÐ<" à <# Ñ olacak şekilde <" ve <# sayıları bulunur. Laurent
serisi EÐ<" à <# Ñ kapalı halka bölgesinde düzgün yakınsak olduğundan onun
altkümesi H kapalı diskinde de düzgün yakınsaktır. Hß EÐV" à V# Ñ halka
bölgesinde keyfi bir kapalı disk olarak seçilmişti. O halde Laurent serisi,
EÐV" à V# Ñ halka bölgesindeki her kapalı diskte düzgün yakınsaktır.
,8
ii. i.şıktaki ispattan anlaşılacağı gibi, ! +8 ÐD  D! Ñ8 ve ! ÐDD
8 serileri
!Ñ
_
_
8œ!
8œ"
EÐV" à V# Ñ halka bölgesindeki her kapalı diskte düzgün yakınsaktır. Ayrıca
,8
28 ÐDÑ œ +8 ÐD  D! Ñ8 ve 18 ÐDÑ œ ÐDD
fonksiyonları EÐV" à V# Ñ halka
8
!Ñ
bölgesinde analitiktir. 4.3.11. Teoreme göre 0" ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8 ve
_
0# ÐDÑ œ !
_
8œ"
8œ!
,8
ÐDD! Ñ8
fonksiyonları EÐV" à V# Ñ halka bölgesinde analitik olur.
Diğer yandan
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
olduğundan 0 ÐDÑ œ 0" ÐDÑ  0# ÐDÑ fonksiyonu EÐV" à V# Ñ halka bölgesinde
analitiktir.…
5.1.4. Teorem (Laurent Teoremi): 0 ÐDÑ fonksiyonu EÐV" à V# Ñ halka
bölgesinde analitik ise bu bölgede
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
olur. Burada # œ ÖD À lD  D! l œ <ß V"  <  V# × olmak üzere
289
+8 œ
"
0 ÐDÑ
"
0 ÐDÑ
.D ve ,8 œ
.D
(
(
8"
#13 # ÐD  D! Ñ
#13 # ÐD  D! Ñ8"
şeklindedir. Ayrıca, bu açılım tektir.
İspat: Öncelikle şunu vurgulamalıyız ki, +8 ve ,8 katsayıları # çemberi
EÐV" à V# Ñ halka bölgesinde kaldığı sürece < yarıçapına bağlı değildir. Örneğin,
V"  <!  <  V#
olmak
üzere
# Ð>Ñ œ D!  </3> ß ! Ÿ > Ÿ #1
ve
0 ÐDÑ
3>
" Ð>Ñ œ D!  <! / ß ! Ÿ > Ÿ #1 seçilirse, 1ÐDÑ œ ÐDD
fonksiyonu
EÐV
à
V
8"
"
#Ñ
!Ñ
bölgesinde analitik olduğundan, Büzülme Teoremine göre
+8 œ
"
0 ÐDÑ
"
0 ÐDÑ
.D œ
.D
(
(
8"
#13 # ÐD  D! Ñ
#13 " ÐD  D! Ñ8"
yazılır. Benzer düşünce ,8 katsayısı için de geçerlidir.
Şimdi # ve " eğrileri arasında kalan bölgeden bir D elemanı alalım ve bunu
sabitleyelim. 6ß D noktasından geçmeyen # ve " eğrilerini birleştiren bir eğri
olsun. > œ #  6  6  " olmak üzere
0 ÐDÑ œ
"
0 ÐAÑ
"
0 ÐAÑ
"
0 ÐAÑ
.A œ
.A 
.A
(
(
(
#1 3 > A  D
#1 3 # A  D
#1 3 " A  D
yazılır. Sağdaki ilk integral, Taylor serisinde olduğu gibi hareket ederek,
"
0 ÐAÑ
"
0 ÐAÑ
.A œ
.A
(
(
#1 3 # A  D
#13 # ÐA  D! Ñ  ÐD  D! Ñ
"
0 ÐAÑ
"
œ
†
(
DD! .A
#13 # A  D! "  AD
!
œ
_
"
0 ÐAÑÐD  D! Ñ8
"
.A
(
#13 # 8œ! ÐA  D! Ñ8"
œ "Œ
_
8œ!
_
"
0 ÐAÑ
.AÐD  D! Ñ8
(
#13 # ÐA  D! Ñ8"
œ "+8 ÐD  D! Ñ8
8œ!
olarak bulunur. Şimdi de sağdaki ikinci integrali hesaplayalım: " eğrisi
üzerindeki her A için
290
º
ve
0 ÐAÑ
DD!
A  D!
<!
"
ºŸ
D  D!
lD  D! l
sınırlı olduğundan

0 ÐAÑ
0 ÐAÑ
0 ÐAÑ
œ
œ
AD
ÐD  D! Ñ  ÐA  D! Ñ
ÐD  D! ÑŠ" 
œ"
0 ÐAÑÐA  D! Ñ 8
ÐD  D! Ñ8"
8œ!
_
AD!
DD! ‹
serisi " eğrisi üzerinde düzgün yakınsak olur. O halde,

"
0 ÐAÑ
"
"
.A œ
(
( 0 ÐAÑŒ 
.A
#1 3 " A  D
#1 3 "
AD
_
"
"
A  D!
"Œ
( 0 ÐAÑ
 .A
#1 3 "
D  D! 8œ! D  D!
8
œ
œ "Œ
_
8œ!
_
œ "Œ
8œ"
_
œ"
"
"
8
( 0 ÐAÑÐA  D! Ñ .A
#1 3 "
ÐD  D! Ñ8"
"
"
8"
( 0 ÐAÑÐA  D! Ñ .A
#1 3 "
ÐD  D! Ñ8
,8
ÐD  D! Ñ8
8œ"
bulunur. Dolayısıyla, EÐV" à V# Ñ bölgesindeki her D için
0 ÐDÑ œ
"
0 ÐAÑ
"
0 ÐAÑ
.A 
.A
(
(
#1 3 # A  D
#1 3 " A  D
œ "+8 ÐD  D! Ñ8  "
_
_
8œ!
,8
ÐD  D! Ñ8
8œ"
elde edilir.…
5.1.5. Tanım: i. 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik olduğu EÐV" à V# Ñ œ
ÖD À V"  lD  D! l  V# × halka bölgesindeki
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
291
serisine 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktası civarındaki halka bölgedeki Laurent
serisi denir.
ii. 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktası civarındaki halka bölgedeki Laurent
serisi
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
,8
olsun. ! ÐDD
serisine Laurent serisinin esas kısmı, ! +8 ÐD  D! Ñ8 serisine
8
!Ñ
_
_
8œ"
8œ!
de Laurent serisinin analitik kısmı denir.
Not: i. 0 ÐDÑ fonksiyonunun bir D! noktası civarındaki halka bölgedeki
Laurent serisini
" -8 ÐD  D! Ñ8
_
8œ_
şeklinde de yazabiliriz. Burada, # œ ÖD À lD  D! l œ <ß V"  <  V# × olmak
üzere
-8 œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
dir. 8 ! tam sayısı için -8 œ +8 ve 8  ! tam sayısı için de -8 œ ,8 olduğu
unutulmamalıdır.
ii.
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
Laurent serisi, açık olarak,
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
œ
veya
,"
,#

 â  +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
ÐD  D! Ñ ÐD  D! Ñ#
292
0 ÐDÑ œ "
_
,8
"

+8 ÐD  D! Ñ8
8
ÐD

D
Ñ
!
8œ"
8œ!
_
œâ
,#
,"

 +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
ÐD  D! Ñ#
ÐD  D! Ñ
şeklinde yazılır. Bu son yazılış daha çok tercih edilir.
5.1.6. Örnek: EÐ!à #Ñ œ ÖD À !  lD  "l  #× halka bölgesi veriliyor. Bu
halka bölgede
0 ÐDÑ œ
ÐD #
"
 "Ñ#
fonksiyonunun Laurent serisine açılıp açılamayacağını belirtiniz. Eğer
açılabilirse Laurent serisini bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonu EÐ!à #Ñ halka bölgesinde analitik olduğundan
5.1.4. Teoreme göre 0 ÐDÑ fonksiyonu bu halka bölgede Laurent serisine
açılabilir. Şimdi bu Laurent serisini bulalım. #ß bu halka bölgede, D! œ "
merkezli bir çember olmak üzere
"
"
.D
ÐD # "Ñ#
.D œ
(
(
8"
8$
#13 # ÐD  "Ñ
#13 # ÐD  "Ñ ÐD  "Ñ#
"
-8 œ
yazılır. Bu integrali, 8  $ Ÿ ! ve 8  $  ! durumlarına göre hesaplayacağız.
1.
8$Ÿ!
yani,
8Ÿ $
olması
hali:
Bu
durumda
8$
#
ÐD  "Ñ
ÐD  "Ñ integrandı, # çemberinin içinde ve üzerinde analitik bir
fonksiyon olacağından, Cauchy Goursat Teoremine göre,
"
.D
œ!
(
#13 # ÐD  "Ñ8$ ÐD  "Ñ#
dır. Yani, 8 œ  $ß  %ß â için -8 œ ! bulunur.
2. 8  $  ! yani, 8   $ olması hali: Bu durumda 0 ÐDÑ œ
D! œ " alarak Cauchy Türev Formülü uygulandığında
"
"
ÐD"Ñ#
.D œ
0 Ð8#Ñ Ð"Ñ
(
8$
#13 # ÐD  "Ñ
Ð8  #Ñx
"
-8 œ
"
ÐD"Ñ# ß
293
yazılır. Burada
0 Ð8#Ñ ÐDÑ œ
Ð  "Ñ8 Ð8  $Ñx
Ð  "Ñ8 Ð8  $Ñx
Ð8#Ñ
Ê
0
Ð"Ñ
œ
ÐD  "Ñ8%
#8%
olduğundan
"
"
Ð  "Ñ8 Ð8  $Ñx
Ð  "Ñ8 Ð8  $Ñ
ÐD"Ñ#
.D
œ
†
œ
(
#13 # ÐD  "Ñ8$
Ð8  #Ñx
#8%
#8%
"
-8 œ
elde edilir.
Bu iki durum gözönüne alınarak, 8 tam sayısı için,
!ß
-8 œ œ Ð"Ñ8 Ð8$Ñ
ß
#8%
8Ÿ $
8 $
yazılır. İstenen Laurent serisi
_
"
Ð  "Ñ8 Ð8  $Ñ
"
œ
ÐD  "Ñ8
ÐD #  "Ñ# 8œ#
#8%
"
"
" "
$
"
&
œ


 ÐD  "Ñ  ÐD  "Ñ#  â
#
% ÐD  "Ñ
% D  " "' )
'%
olur.ú
Bu örnekten görüleceği gibi, bir fonksiyonu Laurent serisine açarken tanım
kullanılır ve katsayılar hesaplanırken integral hesaplamalarından yararlanılır.
Bazen, daha önce gördüğümüz Taylor seri açılımlarından da yararlanırız. Bu,
pratik olduğundan daha çok tercih edilir.
5.1.7. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ /"ÎD fonksiyonunu E œ ÖD À !  lDl  _× halka
bölgesinde Laurent serisine açınız.
Çözüm: Fonksiyon D! œ ! noktası etrafındaki E halka bölgesinde
analitiktir. Daha önce D! œ ! noktası civarında
/D œ "  D 
olduğunu gördük. Burada D yerine
"
D
D#
D$

â
#x
$x
alırsak
294
/"ÎD œ " 
"
"
"


â
#
D
#xD
$xD $
istenen Laurent serisini elde ederiz.
"
ii. 0 ÐDÑ œ "D
fonksiyonunu E œ ÖD À "  lDl  _× halka bölgesinde
Laurent serisine açınız.
Çözüm: E bölgesinde "  lDl olduğundan ¸ "D ¸  " dir. Bu durumu
gözönüne alarak
"
" "
"
"
"
œ 
œ  Œ"   #  â
"
"D
D" D
D
D
D
"
"
"
œ   #  $ â
D
D
D
elde edilir.
"
iii. 0 ÐDÑ œ Ð"DÑÐ#DÑ
fonksiyonunu E œ ÖD À È#  lD  3l  È& × halka
bölgesinde Laurent serisine açınız.
Çözüm: Öncelikle
0 ÐDÑ œ
"
"
"
œ

Ð"  DÑÐ#  DÑ
"D
#D
olarak yazılır. Diğer yandan E halka bölgesinde
È2
lD  3l
şeklindedir. Bunlardan
È2
lD3l
 " ve
lD  3l
"
È&
 " olduğunu dikkate alarak
"
"
"
"
œ
œ 
"D
Ð"  3Ñ  ÐD  3Ñ
D  3 "  "3
D3
œ 
"
"3
"3
"
Œ
  â—
D  3–
D3
D3
œ 
"
"3
Ð"  3Ñ#


â
D  3 ÐD  3Ñ#
ÐD  3Ñ$
#
295
ve
lD3l
È&
 " olduğunu dikkate alarak da
"
"
"
"
œ
œ
#D
Ð#  3Ñ  ÐD  3Ñ
#  3 "  D3
#3
œ
"
D3
D3
"
Œ
  â—
#  3–
#3
#3
œ
"
D3
ÐD  3Ñ#


â
#  3 Ð#  3Ñ#
Ð#  3Ñ$
#
yazılır. Dolayısıyla istenen Laurent serisi
"
"
"
œ

Ð"  DÑÐ#  DÑ
"D
#D
Ð"  3Ñ#
"3
"
"
D3
œâ




â
$
#
ÐD  3Ñ
ÐD  3Ñ
D  3 #  3 Ð#  3Ñ#
0 ÐDÑ œ
olarak bulunur.
"
iv. 0 ÐDÑ œ Ð"DÑÐ#DÑ
fonksiyonunun sıfır merkezli Laurent serilerine
açılabileceği, en geniş, halka bölgeleri yazınız.
Çözüm: D œ " ve D œ #, 0 ÐDÑ fonksiyonunun singüler noktalarıdır.
Dolayısıyla, 0 ÐDÑ fonksiyonunun sıfır merkezli Laurent serisine açılabileceği en
geniş halka bölgeler EÐ!à #Ñ œ ÖD À !  lDl  "×ß EÐ"à #Ñ œ ÖD À "  lDl  #×
ve EÐ#à _Ñ œ ÖD À #  lDl  _× bölgeleridir. 0 ÐDÑ fonksiyonunun bu halka
bölgelerde analitik olduğuna dikkat ediniz.
"
v. 0 ÐDÑ œ DÐD$Ñ
fonksiyonunu E œ ÖD À !  lDl  $× halka bölgesinde
Laurent serisine açınız.
Çözüm: E bölgesinde ¸ D$ ¸  " dir. O halde istenen Laurent serisi
"
" "
0 ÐDÑ œ
œ 
DÐD  $Ñ
$D " 
D
$
" _ D 8
œ  "Š ‹
$D 8œ! $
olarak bulunur.ú
5.1. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki her bir serinin yakınsak olduğu halka bölgeyi belirtiniz.
296
i. ! 8xD" 8
ii. ! ÐD"Ñ8
_
_
8œ"
8 8
È
8œ"
iii. ! 88 D"#8"
_
8œ"
2. Aşağıdaki her bir serinin yakınsak olduğu halka bölgeyi belirtiniz.
_
_
_
_
8
i. ! " 8  ! Ð#8  "ÑD 8
ii. ! Ð"Ñ 8  ! Ð#8ÑÐD  3Ñ8
8œ"
8xD
8œ!
8œ"
Ð#8xÑÐD3Ñ
8œ!
3. Aşağıdaki her bir fonksiyonu karşısında verilen halka bölgede Laurent
serisine açınız.
"
i. 0 ÐDÑ œ ÐD"ÑÐD$Ñ
ß EÐ"à $Ñ œ ÖD À "  lDl  $×
ii. 0 ÐDÑ œ ÐD  "Ñsin "D ß EÐ!à _Ñ œ ÖD À !  lDl  _×
iii. 0 ÐDÑ œ
"
D # D ß
EÐ!à "Ñ œ ÖD À !  lD  "l  "×
D&
4. 0 ÐDÑ œ DÐD$ÑÐD
fonksiyonunun sıfır merkezli Laurent serilerine
1Ñ
açılabileceği, en geniş, halka bölgeleri yazınız ve bu bölgelerdeki Laurent
serilerini bulunuz.
5.2. Singüler Noktaların Sınıflandırılması:
"
5.1.7. Örneğin v.şıkkında, 0 ÐDÑ œ DÐD$Ñ
fonksiyonunun analitik olmadığı
D! œ ! noktasının delinmiş komşuluğunda Laurent serisine açıldığına dikkat
ediniz. O halde, fonksiyon bir noktada analitik değil ancak bu noktanın uygun
bir delinmiş komşuluğunda analitik ise fonksiyonu bu delinmiş komşulukta
Laurent serisine açabiliriz. Daha önce, fonksiyonun analitik olduğu noktanın bir
komşuluğunda Taylor serisine açılabileceğini görmüştük.
5.2.1. Tanım: 0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında analitik değilse D! noktasına
0 ÐDÑ fonksiyonunun singüler noktası denir.
5.2.2. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ
D œ $ dür.
"
DÐD$Ñ
fonksiyonunun singüler noktaları D œ ! ve
ii. E œ ÖB  3C À B Ÿ !ß C œ !à Bß C − ‘× kümesinin herbir elemanı
0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun singüler noktasıdır.ú
297
Singüler noktaları, ayrık singüler nokta ve ayrık olmayan singüler nokta
diye iki kısma ayırırız.
5.2.3. Tanım: i. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun bir singüler noktası olsun. Eğer
0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasının H* ÐD! ß <Ñ delinmiş bir komşuluğunda analitik
oluyorsa D! noktasına 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası denir.
ii. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun bir singüler noktası olsun. Eğer 0 ÐDÑ
fonksiyonunun D! noktasının her H* ÐD! ß <Ñ delinmiş komşuluğunda enaz bir
singüler noktası varsa D! noktasına 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık olmayan singüler
noktası denir.
5.2.4. Örnek: i. D œ ! ve D œ $, 0 ÐDÑ œ
singüler noktadır.
"
DÐD$Ñ
fonksiyonu için birer ayrık
ii. 0 ÐDÑ œ Log D fonksiyonunun her bir singüler noktası ise birer ayrık
olmayan singüler noktadır.
iii. 0 ÐDÑ œ
"
8ß
"
sin 1D
fonksiyonunun singüler noktalarından oluşan küme
E œ ÖD À D œ
8 − ™ÏÖ!××  Ö!× olur. D œ !ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık
olmayan singüler noktası iken diğer singüler noktaların her biri 0 ÐDÑ
fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır.ú
Biz, ayrık singüler noktalarla çalışacağız. Ayrık singüler noktaların uygun
bir delinmiş komşuluğunda fonksiyon analitik olup Laurent serisine açılabilir.
5.2.5. Örnek: Aşağıdaki her bir fonksiyonun ayrık singüler noktalarını ve
bu noktaların delinmiş komşuluğundaki Laurent serilerini yazınız.
/#D
"
i. 0 ÐDÑ œ ÐD"Ñ
ii. 0 ÐDÑ œ ÐD  $Ñsin D#
iii. 0 ÐDÑ œ D#""
$
Çözüm: i. D! œ ", 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır. Bu
noktanın
E œ ÖD À !  lD  "l  _×
delinmiş
komşuluğunda
0 ÐDÑ
fonksiyonunun Laurent serisini yazacağız. Öncelikle, 1ÐDÑ œ /#D , D! œ "
noktasında analitik olduğundan bu noktadaki Taylor serisi
1ÐDÑ œ /#D œ /#  #/# ÐD  "Ñ 
şeklindedir. O halde
## /#
ÐD  "Ñ#  â
#x
298
0 ÐDÑ œ
/#D
ÐD  "Ñ$
# #
/#  #/# ÐD  "Ñ  ##x/ ÐD  "Ñ#  â
ÐD  "Ñ$
#
/
#/#
## /#
"
#$ /#
#% /#
œ




ÐD  "Ñ  â
ÐD  "Ñ$
ÐD  "Ñ#
#x ÐD  "Ñ
$x
%x
œ
istenen Laurent serisidir.
İkinci Yol: 0 ÐDÑ fonksiyonunu D! œ " noktasının delinmiş komşuluğunda
Laurent serisine açtığımızda terimler ÐD  "Ñ in tam kuvvetlerinden oluşacaktır.
Bunun için ? œ D  " değişken değiştirmesi yapılır. D œ ?  " olacaktır. Bu
durumda 0 ÐDÑ fonksiyonunu D! œ " noktasının delinmiş komşuluğunda Laurent
#Ð?"Ñ
serisine açma yerine 0 Ð?  "Ñ œ / ?$
fonksiyonunu ?! œ ! noktasının
delinmiş komşuluğunda Laurent serisi açacağız. Buna göre
0 Ð?  "Ñ œ
œ
/# Ð"  #? 
## ?#
#x
?$

#$ ?$
$x
â
/#
#/#
## /# "
#$ /#
#% /#




?â
?$
?#
#x ?
$x
%x
olur. ? œ D  " alınarak
0 ÐDÑ œ
/#
#/#
## /#
"
#$ /#
#% /#




ÐD  "Ñ  â
ÐD  "Ñ$
ÐD  "Ñ#
#x ÐD  "Ñ
$x
%x
elde edilir.
"
ii. D! œ  #, 0 ÐDÑ œ ÐD  $Ñsin D#
fonksiyonunun ayrık singüler
noktasıdır. Bu noktanın E œ ÖD À !  lD  #l  _× delinmiş komşuluğunda
0 ÐDÑ fonksiyonunun Laurent serisini bulalım. ? œ D  # dersek D œ ?  # olur.
O halde
299
"
D#
"
œ Ð?  &Ñsin
?
"
"
"
œ Ð?  &ÑŒ 

 â
$
? $x?
&x?&
&
"
&
"
œ" 


â
? $x?#
$x?$
&x?%
&
"
&
"
œ"



â
#
$
D  # $xÐD  #Ñ
$xÐD  #Ñ
&xÐD  #Ñ%
0 ÐDÑ œ ÐD  $Ñsin
bulunur.
iii. D" œ 3 ve D# œ  3, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktalarıdır.
Her bir noktanın uygun bir delinmiş komşuluğunda birer Laurent serisi
bulacağız.
Önce, D" œ 3 noktasının delinmiş komşuluğunda 0 ÐDÑ fonksiyonunun
Laurent serisini bulalım. Bu noktanın delinmiş komşuluğunda 0 ÐDÑ nin analitik
olduğu en geniş halka bölge E œ ÖD À !  lD  3l  #× dir. 0 ÐDÑ fonksiyonunu
bu halka bölgede Laurent serisine açacağız. ? œ D  3 dersek D œ ?  3
olacaktır. E halka bölgesindeki her D için
lD  3l
l?l
œ
"
#
#
dir. Buna göre, istenen Laurent serisi,
"
"
œ
"
ÐD  3ÑÐD  3Ñ
"
"
"
œ
œ
?Ð?  #3Ñ
#3? "  #3?
"
"
?
?#
œ



â
#3? Ð#3Ñ#
Ð#3Ñ$
Ð#3Ñ%
"
"
ÐD  3Ñ ÐD  3Ñ#
œ



â
#3ÐD  3Ñ Ð#3Ñ#
Ð#3Ñ$
Ð#3Ñ%
0 ÐDÑ œ
D#
olarak bulunur.
Şimdi de D" œ  3 noktasının delinmiş komşuluğunda 0 ÐDÑ fonksiyonunun
Laurent serisini bulalım. Bu noktanın delinmiş komşuluğunda 0 ÐDÑ nin analitik
300
olduğu en geniş halka bölge E œ ÖD À !  lD  3l  #× dir. 0 ÐDÑ fonksiyonunu
bu halka bölgede Laurent serisine açacağız. ? œ D  3 dersek D œ ?  3
olacaktır. E halka bölgesindeki her D için
lD  3l
l?l
œ
"
#
#
dir. Buna göre, istenen Laurent serisi,
"
"
œ
"
ÐD  3ÑÐD  3Ñ
"
"
"
œ
œ 
?Ð?  #3Ñ
#3? "  #3?
"
"
?
?#
œ 



â
#3? Ð#3Ñ#
Ð#3Ñ$
Ð#3Ñ%
"
"
ÐD  3Ñ ÐD  3Ñ#
œ 



â
#3ÐD  3Ñ Ð#3Ñ#
Ð#3Ñ$
Ð#3Ñ%
0 ÐDÑ œ
D#
olarak bulunur.ú
Ayrık singüler noktaların uygun bir delinmiş komşuluğunda Laurent
serisini gözönüne alarak bu noktaları sınıflandıracağız. Ayrık singüler noktalar,
kaldırılabilir singüler nokta, kutup noktası ve esas singüler nokta olmak üzere
üç kısma ayrılır. Şimdi bunları tek tek inceleyelim.
5.2.6. Tanım (Kaldırılabilir singüler nokta): D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun
ayrık singüler noktası olsun. Bu noktanın uygun bir delinmiş komşuluğundaki
Laurent serisini göz önüne alalım. Bu serinin esas kısmındaki bütün katsayılar
sıfır oluyorsa, D! noktasına 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası
denir.
Buna göre D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası ise bu
noktanın delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
şeklinde olur.
5.2.7. Örnek: 0 ÐDÑ œ sinD D fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyonun
ayrık singüler noktasını bulunuz. Bu, kaldırılabilir singüler nokta mıdır?
301
Çözüm: D! œ !ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır. Bu
noktanın delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
! Ð  "Ñ8
_
0 ÐDÑ œ
8œ!
D #8"
Ð#8"Ñx
œ"
D
D#
D%

â
$x
&x
olarak bulunur. Esas kısımda terim olmadığından, yani esas kısımdaki katsayılar
sıfır olduğundan D! œ !, 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler
noktasıdır.ú
D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası ise fonksiyon bu
noktada yeniden, uygun bir şekilde, tanımlanarak analitik yapılabilir. Bu uygun
tanımlama, 0 ÐD! Ñ œ +! almakla olur (bu +! ß Laurent serisinin sabit terimidir).
Çünkü bu durumda 0 ÐDÑß D! ın bir komşuluğunda Taylor serisinin toplamı olur.
Bu da 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasında analitik olması demektir. Tersine,
0 ÐDÑ fonksiyonu D! noktasında diferensiyellenebilecek şekilde tanımlanırsa D!
noktası civarında Taylor serisine açılır. Bu Taylor serisi, D! noktasının delinmiş
komşuluğuna kısıtlanırsa başta verilen orijinal 0 ÐDÑ fonksiyonunun Laurent
serisi elde edilir. Böylece kaldırılabilir singüler noktalar için şu önemli sonuça
varılır: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası olması için gerek
ve yeter şart 0 ÐDÑ, D! noktasında diferensiyellenebilecek şekilde 0 ÐD! Ñ ın
tanımlanabilmesidir.
Örneğin, yukarıda verilen 0 ÐDÑ œ
sin D
D
1ÐDÑ œ œ
sin D
D ß
"ß
fonksiyonunu
DÁ!
Dœ!
şeklinde tanımlarsak D œ ! noktasında da analitik olan bir fonksiyon elde
ederiz.
Laurent serisine başvurmadan da kaldırılabilir
karakterize edebiliriz. Aşağıdaki teorem bununla ilgilidir.
singüler
noktaları
5.2.8. Teorem (Riemann Genişleme Teoremi): D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun
ayrık singüler noktası olsun. Bu noktanın kaldırılabilir singüler nokta olması
için gerek ve yeter şart 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasının uygun bir delinmiş
komşuluğunda sınırlı olmasıdır.
İspat: Önce 0 ÐDÑ fonksiyonunun H* œ H* ÐD! ß <Ñ delinmiş diskinde sınırlı
olduğunu kabul edelim. Bu durumda her D − H* için l0 ÐDÑl Ÿ Q yazılır. < ne
302
kadar küçük alınırsa alınsın 0 ÐDÑ fonksiyonu H* delinmiş diskinde analitik olur.
H* de 0 ÐDÑ fonksiyonunun Laurent serisinin esas kısmındaki ,8 katsayıları, #
çemberi lD  D! l œ <! (!  <!  <Ñ olmak üzere,
,8 œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
şeklindedir. Mutlak değer alınarak
l,8 l Ÿ
"
l0 ÐDÑl
l.Dl Ÿ Q <!8
(
#1 # lD  D! l8"
yazılır. <! Ä ! için l,8 l œ !, yani ,8 œ ! bulunur. O halde D! ß 0 ÐDÑ
fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktasıdır.
Tersine, D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası olsun. O
halde 0 ÐDÑß D! noktasında diferensiyellenebilecek şekilde yeniden
tanımlanabilir. Bu tanımlama sonucunda, lim 0 ÐDÑ œ 0 ÐD! Ñ yazılır. Limitle
DÄD!
ilgili özelliklerden dolayı 0 ÐDÑ, D! noktasının uygun bir delinmiş komşuluğunda
sınırlı olur.…
"Riemann Genişleme Teoremi" ifadesindeki "genişleme" kelimesi, 0 ÐDÑ
fonksiyonunun analitik olduğu kümeye D! noktasını katarak bu kümenin
genişletildiğini vurgulamak için kullanılmıştır. Aşağıdaki teorem, Riemann
Genişleme Teoreminin bir sonucudur.
5.2.9. Teorem: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası olsun. Bu
noktanın kaldırılabilir singüler nokta olması için gerek ve yeter şart lim 0 ÐDÑ
DÄD!
nin mevcut olmasıdır.
5.2.10. Tanım (Kutup noktası): i. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun bir ayrık
singüler noktası olsun. Bu noktanın uygun bir delinmiş komşuluğundaki
Laurent serisini gözönüne alalım. Bu serinin esas kısmında sonlu sayıda terim
varsa D! noktasına 0 ÐDÑ fonksiyonunun kutup noktası denir.
ii. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun kutup noktası olsun. Bu noktanın uygun bir
delinmiş komşuluğundaki Laurent serisini gözönüne alalım. Paydadaki ÐD  D! Ñ
ın en büyük kuvveti 7 ise, D! noktasına 0 ÐDÑ fonksiyonunun 7Þdereceden
kutup noktası (veya 7Þdereceden kutbu) denir. 7 œ " ise D! noktasınaß 0 ÐDÑ
fonksiyonunun 1.dereceden kutup noktası (basit kutup noktası veya basit kutbu)
denir.
303
Buna göre D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun 7Þdereceden kutup noktası ise, D!
noktasının delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
,7
,"
â
 +!  +" D  +# D #  â
ÐD  D! Ñ7
D  D!
şeklinde olur.
5.2.11. Örnek: 0 ÐDÑ œ
nokta kutup mudur?
/D "
D#
fonksiyonunun singüler noktasını bulunuz. Bu
Çözüm: D! œ !, 0 ÐDÑ fonksiyonunun singüler noktasıdır. Bu noktanın
delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
"D
D#
#x
$
 D$x  â  "
"
"
D
œ   â
#
D
D
#x $x
şeklindedir. O halde, z! œ !ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun ".dereceden kutbudur.
5.2.12. Teorem: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası ve 0 ÐDÑ
fonksiyonu H* œ H* ÐD! ß <Ñ delinmiş diskinde analitik olsun. 0 ÐDÑ
fonksiyonunun D! noktasında 7Þ dereceden kutbu olması için gerek ve yeter
şart H* kümesinde
0 ÐDÑ œ
1ÐDÑ
ÐD  D! Ñ7
olarak yazılmasıdır. Burada 1ÐDÑß HÐD! ß <Ñ diskinde analitik ve 1ÐD! Ñ Á ! dır.
İspat: D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun 7Þdereceden kutup noktası olduğundan, D!
noktasının H* œ H* ÐD! ß <Ñ delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
,7
,"
â
 +!  +" D  +# D #  â
ÐD  D! Ñ7
D  D!
şeklindedir. Bu eşitliğin her iki yanını ÐD  D! Ñ7 ile çarparsak, H* delinmiş
komşuluğundaki her D için,
ÐD  D! Ñ7 0 ÐDÑ œ ,7  ,7" ÐD  D! Ñ  â  +! ÐD  D! Ñ7  â
olur. Bu ise, HÐD! ß <Ñ komşuluğunun her noktasında yakınsayan bir Taylor
serisidir. 1ÐDÑ œ ,7  ,7" ÐD  D! Ñ  â  +! ÐD  D! Ñ7  â alalım. O halde
304
1ÐDÑß HÐD! ß <Ñ diskinde analitik, 1ÐD! Ñ œ ,7 Á ! ve H* ÐD! ß <Ñ delinmiş
1ÐDÑ
komşuluğunda 0 ÐDÑ œ ÐDD
7 olur.
!Ñ
Diğer yandan 1ÐDÑ, HÐD! ß <Ñ diskinde analitik ve 1ÐD! Ñ Á ! olmak üzere,
H* kümesinde
0 ÐDÑ œ
1ÐDÑ
ÐD  D! Ñ7
verilsin. 1ÐDÑß HÐD! ß <Ñ diskinde analitik olduğundan, D! noktasındaki Taylor
serisi
1ÐDÑ œ ,!  ," ÐD  D! Ñ  â  ,8 ÐD  D! Ñ8  â
şeklindedir. Dolayısıyla 0 ÐDÑ
komşuluğundaki Laurent serisi
fonksiyonunun
D!
noktasının
delinmiş
Ð8Ñ
1ÐD! Ñ  1w ÐD! ÑÐD  D! Ñ  â  1 8xÐD! Ñ ÐD  D! Ñ8  â
0 ÐDÑ œ
ÐD  D! Ñ7
w
1ÐD! Ñ
1 ÐD! Ñ
1Ð7"Ñ ÐD! Ñ
œ


â

 1Ð7Ñ ÐD! Ñ  â
ÐD  D! Ñ7
ÐD  D! Ñ7"
ÐD  D! Ñ
olarak bulunur. Buna göre D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun 7Þdereceden kutbudur.…
5.2.13. Teorem: 1ÐDÑ ve 2ÐDÑ, D! noktasında analitik iki fonksiyon ve D! ,
1ÐDÑ
0 ÐDÑ œ 2ÐDÑ
fonksiyonunun ayrık singüler noktası olsun. 1ÐDÑ ve 2ÐDÑ
fonksiyonlarının D! noktasındaki sıfırlarının dereceleri, sırasıyla, 7 ve 6 olarak
verilsin. Buna göre,
i. 7  6 ise D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 6  7. dereceden kutbudur.
ii. 7 6 ise D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktasıdır.
1ÐDÑ
İspat: D! , 0 ÐDÑ œ 2ÐDÑ
fonksiyonunun ayrık singüler noktası olsun.
Hipotezde verilenlere göre 1ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ7 1" ÐDÑ ve 2ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ6 2" ÐDÑ
olarak yazılır. Burada 1" ÐDÑ ve 2" ÐDÑ fonksiyonları hem D! noktasında analitik
hem de 1" ÐD! Ñ Á ! ve 2" ÐD! Ñ Á ! dır. O halde, 0" ÐDÑ œ 21""ÐDÑ
ÐDÑ ß D! noktasında
sıfırdan farklı ve analitiktir. Bu durumda
i. 7  6 ise, D Á D! için,
0 ÐDÑ œ
ÐD  D! Ñ7 1" ÐDÑ
0" ÐDÑ
œ
6
ÐD  D! Ñ 2" ÐDÑ
ÐD  D! Ñ67
305
şeklinde yazılır. 5.2.12. Teoreme göre, D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 6  7.
dereceden kutbudur.
ii. 7 6 ise, D Á D! için,
0 ÐDÑ œ
ÐD  D! Ñ7 1" ÐDÑ
œ ÐD  D! Ñ76 0" ÐDÑ
ÐD  D! Ñ6 2" ÐDÑ
olur. lim 0 ÐDÑ œ ! olduğundan lim 0 ÐDÑ limiti vardır. 5.2.9. Teoreme göre, D! ß
DÄD!
DÄD!
0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktasıdır.…
5.2.14. Teorem: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası olsun.
i. D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun kutup noktası olması için gerek ve yeter şart
lim 0 ÐDÑ œ _ olmasıdır.
DÄD!
ii. D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun 7Þdereceden kutup noktası olması için gerek ve
yeter şart
lim ÐD  D! Ñ7 0 ÐDÑ
DÄD!
limitinin var ve sıfırdan farklı olmasıdır.
İspat: i. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 7.dereceden kutbu olsun. Bu durumda D!
noktasının delinmiş bir komşuluğunda
0 ÐDÑ œ
1ÐDÑ
ÐD  D! Ñ7
yazılır. Burada 1ÐDÑ, D! noktasının delinmiş bir komşuluğunda analitik ve
1ÐD! Ñ Á ! şeklinde bir fonksiyondur.
lim 0 ÐDÑ œ lim
DÄD!
DÄD! ÐD
1ÐDÑ
œ_
 D! Ñ7
olur.
Tersine, lim 0 ÐDÑ œ _ olduğunu kabul edelim. 0 ÐDÑ fonksiyonunun
DÄD!
analitik olduğu ve l0 ÐDÑl " şartının sağlandığı D! noktasının delinmiş
"
komşuluğunu H* ile gösterelim. 2ÐDÑ œ 0 ÐDÑ
olarak alınırsa D! , 2ÐDÑ
fonksiyonunun ayrık singüler noktası olur. Diğer yandan her D − H* için
l2ÐDÑl Ÿ " dir. Riemann Genişleme Teoremine göre D! , 2ÐDÑ fonksiyonunun
kaldırılabilir singüler noktası olur. Dolayısıyla
306
2ÐD! Ñ œ lim 2ÐDÑ œ !
DÄD!
olduğundan
LÐDÑ œ œ
2ÐDÑß
!ß
D − H*
D œ D!
fonksiyonu H diskinde analitiktir. LÐDÑ, H diskinde sıfıra özdeş değildir. O
zaman D! noktası LÐDÑ nin birinci veya daha yüksek dereceden sıfır yeridir.
Böylece D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun aynı dereceden kutbu olur.
ii. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 7.dereceden kutbu olsun. Bu durumda D!
noktasının delinmiş bir komşuluğunda
0 ÐDÑ œ
1ÐDÑ
ÐD  D! Ñ7
yazılır. Burada 1ÐDÑ, D! noktasının delinmiş bir komşuluğunda analitik ve
1ÐD! Ñ Á ! şeklinde bir fonksiyondur. Buna göre,
Ú
_ß
lim ÐD  D! Ñ 0 ÐDÑ œ Û 1ÐD! Ñß
DÄD!
Ü
!ß
6
67
6œ7
67
yazılır. 6 œ 7 iken limitin 1ÐD! Ñ Á ! olduğuna dikkat ediniz.
Tersine, lim ÐD  D! Ñ7 0 ÐDÑ limitinin var ve sıfırdan farklı olduğunu kabul
DÄD!
edelim. O halde
ÐD  D! Ñ7 0 ÐDÑ
œ_
DÄD!
ÐD  D! Ñ7
lim 0 ÐDÑ œ lim
DÄD!
bulunur. Bu da, D! noktasının 0 ÐDÑ fonksiyonunun kutbu olması demektir. Bu
şıkkın ispatının birinci kısmından kutbun derecesinin 7 olması gerektiği
söylenir.…
5.2.15. Örnek: Aşağıdaki her bir fonksiyonun ayrık singüler noktalarını
bulunuz. Bu noktaların hangilerinin kaldırılabilir singüler nokta, hangilerinin
kutup noktası olduğunu belirtiniz.
$
ÐD"Ñ# /D
ÐD3Ñ%
i. 0 ÐDÑ œ ÐD"Ñ
ii. 0 ÐDÑ œ ÐD"Ñ
$ ÐD3Ñ%
ÐD"Ñ# sin D
307
Çözüm: i. D" œ " ve D# œ  3, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler
noktalarıdır. Şimdi bu noktaları ayrı ayrı inceleyelim:
D" œ " ,
1ÐDÑ œ ÐD  "Ñ# /D
fonksiyonunun
2.dereceden
sıfırı,
$
%
2ÐDÑ œ ÐD  "Ñ ÐD  3Ñ fonksiyonunun 3.dereceden sıfırıdır. 5.2.13. Teoreme
göre D" œ ", 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbudur.
D# œ  3, 1ÐDÑ œ ÐD  "Ñ# /D fonksiyonunun sıfırı değil (!.dereceden
sıfırı), 2ÐDÑ œ ÐD  "Ñ$ ÐD  3Ñ% fonksiyonunun 4.dereceden sıfırıdır. 5.2.13.
Teoreme göre D# œ  3, 0 ÐDÑ fonksiyonunun 4.dereceden kutbudur.
ii. D œ " ve D5 œ 5 1 Ð5 − ™Ñ, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler
noktalarıdır. Bu noktaları ayrı ayrı inceleyelim:
D œ ", 1ÐDÑ œ ÐD  "Ñ$ ÐD  3Ñ% fonksiyonunun 3.dereceden sıfırı,
2ÐDÑ œ ÐD  "Ñ# sin D fonksiyonunun 2.dereceden sıfırıdır. 5.2.13. Teoreme göre
D œ ", 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktasıdır.
D5 œ 5 1 Ð5 − ™Ñ, 1ÐDÑ œ ÐD  "Ñ$ ÐD  3Ñ% fonksiyonunun 0.dereceden
sıfırları, 2ÐDÑ œ ÐD  "Ñ# sin D fonksiyonunun 1.dereceden sıfırlarıdır. 5.2.13.
Teoreme göre D5 œ 5 1 Ð5 − ™Ñ noktalarının herbiri 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit
kutuplarıdır.ú
5.2.16. Tanım: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası olsun. Bu
noktanın uygun bir delinmiş komşuluğundaki Laurent serisini gözönüne alalım.
Bu serinin esas kısmında sonsuz sayıda terim varsa D! noktasına 0 ÐDÑ
fonksiyonunun esas singüler noktası denir.
Bu tanıma göre D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun esas singüler noktası ise, 0 ÐDÑ
fonksiyonunun D! noktasının delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi,
0 ÐDÑ œ â 
,7
,"
â
 +!  +" D  +# D #  â
7
ÐD  D! Ñ
D  D!
olur.
5.2.17. Örnek: 0 ÐDÑ œ /"ÎD fonksiyonunun ayrık singüler noktasını
bulunuz. Bu noktanın esas singüler nokta olup olmadığını söyleyiniz.
Çözüm: D! œ !ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır. Bu
noktanın delinmiş komşuluğundaki Laurent serisinin
308
/"ÎD œ " 
"
"
"


â
#
D
#xD
$xD $
olduğunu gördük. Esas kısımda sonsuz tane terim olduğundan D! œ !ß 0 ÐDÑ
fonksiyonunun esas singüler noktasıdır.ú
5.2.18. Teorem (Casorati-Weierstrass Teoremi): D! ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun
esas singüler noktası ve 0 ÐDÑß D! noktasının H* œ H* ÐD! à <Ñ delinmiş bir
komşuluğunda analitik olsun. Bu durumda 0 ÐH* Ñß ‚ kompleks sayılar
kümesinde yoğundur, bir başka deyişle, ‚Ï0 ÐH* Ñ bir iç noktaya sahip değildir.
İspat: Bir an için, ‚Ï0 ÐH* Ñ kümesinin bir iç noktaya sahip olduğunu
kabul edelim. A! ß ‚Ï0 ÐH* Ñ için bir iç nokta olsun. O halde
HÐA! à &Ñ § ‚Ï0 ÐH* Ñ olacak şekilde &  ! sayısı vardır. Bu durumda her
"
D − H* için l0 ÐDÑ  A! l & olur. Diğer yandan, 1 À H* Ä ‚, 1ÐDÑ œ 0 ÐDÑA
!
fonksiyonu tanımlanır. Bu fonksiyon, H* kümesinde hem analitiktir hem de
l1ÐDÑl Ÿ "& eşitsizliğini sağlar. O halde, Riemann Genişleme Teoremine göre D! ,
1ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktasıdır. Verilişinden anlaşılır ki,
"
1ÐDÑ fonksiyonunun H* kümesinde sıfırı yoktur. Dolayısıyla D! , 1ÐDÑ
fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır. D! , 1ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir
"
singüler noktası olduğundan lim 1ÐDÑ limiti vardır. Bu limit sıfır ise D! , 1ÐDÑ
nin
DÄD!
kutup noktası, sıfırdan farklı ise kaldırılabilir singüler noktasıdır.
"
0 ÐDÑ œ A!  1ÐDÑ
olacağından D! ß 0 ÐDÑ nin kutup noktası veya kaldırılabilir
singüler noktasıdır. Bu ise hipotezle çelişir. O halde kabulümüz doğru değildir.
Yani, ‚Ï0 ÐH* Ñ bir iç noktaya sahip olamaz.…
5.2. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki her bir fonksiyonun ayrık singüler noktalarını bulunuz. Bu
noktaların delinmiş bir komşuluğundaki Laurent serilerini yazınız (ikiden fazla
ayrık singüler nokta varsa sadece iki ayrık singüler noktanın delinmiş
komşuluğundaki Laurent serilerini bulunuz).
"
"
/D
i. 0 ÐDÑ œ / D3
ii. 0 ÐDÑ œ #
iii. 0 ÐDÑ œ
D "
ÐD  3Ñ#
"
"D
sin D
iv. 0 ÐDÑ œ D
v. 0 ÐDÑ œ D
vi. 0 ÐDÑ œ
/ "
/ "
D
2. Esas singüler noktalar hariç, Laurent serisini kullanmadan 1.sorudaki her bir
fonksiyonun ayrık singüler noktalarını sınıflandırınız.
309
D"
3. "0 ÐDÑ œ / D" fonksiyonunun ayrık singüler noktası D! œ " dir. 0 ÐDÑ
fonksiyonunun bu noktanın delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
D"
" D"
" D"
0 ÐDÑ œ "  Œ
 Œ
  Œ
 â
D"
#x D  "
$x D  "
#
$
olur." çözümündeki hatayı bulunuz. Doğru cevabı yazınız.
4. (Picard Teoremi) D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun esas singüler noktası olsun. Bu
noktanın uygun bir H* delinmiş komşuluğu için ‚Ï0 ÐH* Ñ kümesi en çok bir
nokta içerir.
5.3. Rezidünün Hesabı:
Bu başlık altında 0 ÐDÑ fonksiyonunun, bir noktanın
komşuluğundaki, Laurent serisinin bir katsayısı ile ilgileneceğiz.
delinmiş
5.3.1. Tanım: 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasının delinmiş komşuluğundaki
Laurent serisi
0 ÐDÑ œ â 
,5
,"
â
 +!  +" ÐD  D! Ñ  â
5
ÐD  D! Ñ
ÐD  D! Ñ
olsun. ," katsayısına 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasındaki rezidüsü denir ve
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ ," ile gösterilir.
Laurent serisinin katsayıları formülü dikkate alınırsa
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ
"
( 0 ÐDÑ.D
#1 3 #
olduğu görülür. Rezidüyü bu formül ile de tanımlayabiliriz. Doğal olarak 0 ÐDÑ
fonksiyonu D! noktasında analitik ise RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ ! olacaktır. Dolayısıyla
D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası olması durumunda rezidü ile
çalışmak daha ilginçtir.
5.3.1. Tanıma göre D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası ise
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ rezidüsünü bulmak için D! noktasının delinmiş komşuluğundaki
Laurent serisini bulmamız gerekir.
310
#
5.3.2. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ cosDD" fonksiyonunun D! œ ! ayrık singüler
noktasındaki rezidüsünü bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! œ ! ayrık singüler noktasının delinmiş
komşuluğundaki Laurent serisi
D#
#
%
'
 D#x  D%x  D'x  â
Ð#xÑ# #
Ð#xÑ$
Ð#xÑ# %
œ  #x 
D ”

•D  â
%x
Ð%xÑ#
'x
0 ÐDÑ œ
olarak bulunur. Burada iki polinomun bölümüne benzer şekilde bölme
yapılmıştır. Dolayısıyla
RezÐ
D#
ß !Ñ œ !
cos D  "
dır.
D
/
ii. 0 ÐDÑ œ ÐD#Ñ
# fonksiyonunun ayrık singüler noktasını ve bu noktadaki
rezidüsünü bulunuz.
Çözüm: D! œ #, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır. Bu
noktanın delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
/#
/#
/#
/#



ÐD  #Ñ  â
ÐD  #Ñ#
ÐD  #Ñ
#x
$x
şeklindedir. O halde
RezÐ0 ÐDÑß #Ñ œ /#
elde edilir.
iii. 0 ÐDÑ œ cos D sin "D fonksiyonunun ayrık singüler noktasını ve bu
noktadaki rezidüsünü bulunuz.
Çözüm: D! œ !, 0 ÐDÑ œ cos D sin "D fonksiyonunun ayrık
noktasıdır. Bu noktanın delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
singüler
311
D#
D%
"
"
"

 âÑÐ 

 âÑ
#x
%x
D
$xD $
&xD &
"
"
"
"
"
"
œâÐ

 âÑ $  Ð" 

 âÑ  â
!x$x #x&x
D
#x$x %x&x
D
0 ÐDÑ œ Ð" 
şeklindedir. Dolayısıyla
_
"
"
"
"
"
RezÐcos D sin ß !Ñ œ " 

âœ
D
#x$x %x&x
Ð#8ÑxÐ#8  "Ñx
8œ!
olur.
"
iv. 0 ÐDÑ œ ÐD#ÑÐD"Ñ
fonksiyonunun ayrık singüler noktalarını ve bu
singüler noktalardaki rezidüleri bulunuz.
Çözüm: 0 ÐDÑ fonksiyonunun iki tane ayrık singüler noktası vardır. Bunlar
D" œ  # ve D# œ " dir. Dolayısıyla RezÐ0 ÐDÑß  #Ñ ve RezÐ0 ÐDÑß "Ñ
değerlerini bulacağız.
Önce D" œ  # noktasının delinmiş komşuluğundaki Laurent serisini
bulalım. Bu delinmiş komşuluk EÐ!à $Ñ œ ÖD À !  lD  #l  $× şeklindedir.
0 ÐDÑ œ 
"
"
"
  ÐD  #Ñ  â
$ÐD  #Ñ * #(
olduğundan
RezÐ0 ÐDÑß  #Ñ œ 
"
$
olur.
Şimdi de D# œ " noktasının delinmiş komşuluğundaki Laurent serisini
bulalım. Bu delinmiş komşuluk EÐ!à $Ñ œ ÖD À !  lD  "l  $× şeklindedir.
0 ÐDÑ œ
"
"
"
  ÐD  "Ñ  â
$ÐD  "Ñ * #(
olduğundan
RezÐ0 ÐDÑß  "Ñ œ
olur.ú
"
$
312
Rezidünün formüllerle bulunması: Bu başlıkta, Laurent serisini
kullanmadan, bazı ayrık singüler noktalarda, 0 ÐDÑ fonksiyonunun rezidüsünü
bulmaya yarayacak formüller vereceğiz. Bunu yaparken ayrık singüler
noktaların sınıflandırılmasını gözönüne alacağız.
1. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası olsun. Bu
durumda, 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasının delinmiş komşuluğundaki Laurent
serisi
0 ÐDÑ œ +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
olur. Dolayısıyla
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ !
bulunur. Yani, kaldırılabilir singüler noktadaki rezidü, her zaman, sıfırdır (Bak
5.3.2. Örneğin i.şıkkı).
2. 5 " olmak üzere D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 5 .dereceden kutup noktası
olsun.
Önce 5 œ " yani, basit kutup olması durumunu inceleyelim. D! , 0 ÐDÑ
fonksiyonunun basit kutbu ise 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasının delinmiş
komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
,"
 +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
D  D!
olur.
5.3.3. Teorem: i. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbu olsun. Buna göre
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ lim ÐD  D! Ñ0 ÐDÑ
DÄD!
olur.
1ÐDÑ
ii. 1ÐDÑ ve 2ÐDÑ fonksiyonları D! noktasında analitik ve D! , 0 ÐDÑ œ 2ÐDÑ
fonksiyonunun basit kutbu olsun. Eğer 1ÐD! Ñ Á !, 2ÐD! Ñ œ ! ve 2w ÐD! Ñ Á ! ise
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ
olur.
1ÐD! Ñ
2w ÐD! Ñ
313
İspat: i. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbu olduğundan bu noktanın
delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
,"
 +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
D  D!
olur. D Á D! olmak üzere eşitliğin her iki yanını ÐD  D! Ñ ile çarparsak
ÐD  D! Ñ0 ÐDÑ œ ,"  +! ÐD  D! Ñ  +" ÐD  D! Ñ#  +# ÐD  D! Ñ$  â
bulunur. Buradan
," œ lim ÐD  D! Ñ0 ÐDÑ veya RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ lim ÐD  D! Ñ0 ÐDÑ
DÄD!
DÄD!
elde edilir.
ii. İspatta i.şıkkı kullanacağız. Hipotezde 1ÐDÑ ve 2ÐD ) fonksiyonlarının D!
noktasında analitik olduğu verilmiştir. Buna göre
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ lim ÐD  D! Ñ
DÄD!
œ lim
1ÐDÑ
2ÐDÑ
1ÐDÑ
DÄD! 2ÐDÑ2ÐD! Ñ
DD!
œ
1ÐD! Ñ
2w ÐD! Ñ
elde edilir.…
cos D
5.3.4. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ DÐD
1Î#Ñ fonksiyonunun ayrık singüler noktalarını
ve bu noktalardaki rezidüleri bulunuz.
Çözüm: D" œ !, 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbu, D# œ 1Î# ise
kaldırılabilir singüler noktasıdır. Bu noktalardaki rezidüler, D" basit kutup
olduğundan 5.3.3. Teoremin i.şıkkına göre
Reza0 ÐDÑß !b œ limD0 ÐDÑ œ limD
DÄ!
DÄ!
cos D
cos D
#
œ lim
œ 
DÐD  1Î#Ñ DÄ! ÐD  1Î#Ñ
1
ve D# kaldırılabilir singüler nokta olduğundan
RezÐ0 ÐDÑß 1Î#Ñ œ !
yazılır.
314
3D
/
ii. 0 ÐDÑ œ sin
D fonksiyonunun ayrık singüler noktalarını ve bu noktalardaki
rezidülerini bulunuz.
Çözüm: D5 œ 5 1 Ð5 − ™Ñ, 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutuplarıdır.
1ÐDÑ œ /3D ve 2ÐDÑ œ sin D olmak üzere 1ÐD5 Ñ œ /513 œ Ð  "Ñ5 ve
2w ÐDÑ œ Ð  "Ñ5 olacağından 5.3.3. Teoremin ii.şıkkına göre
RezŒ
/3D
1ÐD5 Ñ
Ð  "Ñ5
ß D5  œ w
œ
œ"
2 ÐD5 Ñ
Ð  "Ñ5
sin D
bulunur.ú
Şimdi de 5 " yani, 5Þdereceden kutup olması durumunu inceleyelim. D! ,
0 ÐDÑ fonksiyonunun 5Þdereceden kutbu ise 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasının
delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
,5
,"
â
 +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
5
ÐD  D! Ñ
D  D!
olur.
5.3.5. Teorem: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 5Þdereceden kutup noktası ise bu
noktadaki rezidü
RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ
"
. 5"
lim 5" ÒÐD  D! Ñ5 0 ÐDÑÓ
Ð5  "Ñx DÄD! .D
olur.
İspat: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun 5Þdereceden kutbu olduğundan, bu noktanın
delinmiş komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
,5
,"
â
 +!  +" ÐD  D! Ñ  +# ÐD  D! Ñ#  â
5
ÐD  D! Ñ
D  D!
şeklindedir. D Á D! olmak üzere bu eşitliğin her iki yanını ÐD  D! Ñ5 ile çarpıp
Ð5  "ÑÞdereceden türevini alırsak
. 5"
ÒÐD  D! Ñ5 0 ÐDÑÓ œ Ð5  "Ñx,"  ÐD  D! ÑLÐDÑ
.D 5"
315
olur. Burada LÐDÑ œ 5x 
alınırsa
Ð5"Ñx
#x ÐD
 D! Ñ  â şeklindedir. D Ä D! için limit
. 5"
ÒÐD  D! Ñ5 0 ÐDÑÓ œ Ð5  "Ñx,"
DÄD! .D 5"
lim
veya
," œ
"
. 5"
lim 5" ÒÐD  D! Ñ5 0 ÐDÑÓ
Ð5  "Ñx DÄD! .D
elde edilir.…
Bu teoremde 8 œ " alınırsa 5.3.3. Teoremin i.şıkkının elde edileceğine
dikkat ediniz.
5.3.6. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ ÐD"Ñ"# ÐD$Ñ fonksiyonunun ayrık singüler
noktalarını ve bu noktalardaki rezidülerini bulunuz.
Çözüm: D" œ " ve D# œ $, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktalarıdır.
Şimdi bu noktalarda 0 ÐDÑ fonksiyonunun rezidülerini bulacağız.
D" œ ", 0 ÐDÑ fonksiyonunun 2.dereceden kutbu olduğundan 5.3.5.
Teoremde 5 œ # dir. O halde
"
.
"
lim ”ÐD  "Ñ#
•
Ð#  "Ñx DÄ" .D
ÐD  "Ñ# ÐD  $Ñ
.
"
œ lim ”
•
DÄ" .D ÐD  $Ñ
"
œ lim
DÄ" ÐD  $Ñ#
"
œ 
%
RezÐ0 ÐDÑß "Ñ œ
elde edilir.
Diğer yandan, D# œ $, 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbu olduğundan
RezÐ0 ÐDÑß $Ñ œ lim”ÐD  $Ñ
DÄ$
bulunur.
"
"
"
lim
œ
• œ DÄ$
ÐD  "Ñ# ÐD  $Ñ
ÐD  "Ñ#
%
316
D
ii. 0 ÐDÑ œ ÐD"Ñ/$ ÐD#Ñ fonksiyonunun ayrık singüler noktalarını ve bu
noktalardaki rezidülerini bulunuz.
Çözüm: D" œ  " ve D# œ #, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler
noktalarıdır. Şimdi bu noktalarda 0 ÐDÑ fonksiyonunun rezidülerini bulacağız.
D" œ  ", 0 ÐDÑ fonksiyonunun $.dereceden kutbu olduğundan 5.3.5.
Teoremde 5 œ $ olur. O halde
"
.#
/D
lim # ”ÐD  "Ñ$
•
Ð$  "Ñx DÄ" .D
ÐD  "Ñ$ ÐD  #Ñ
"
.#
/D
œ lim # ”
•
# DÄ" .D D  #
ÐD #  'D  "!Ñ/D
œ lim
DÄ"
ÐD  #Ñ$
"(
œ 
&%/
RezÐ0 ÐDÑß  "Ñ œ
bulunur.
D# œ #, 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbu olduğundan
RezÐ0 ÐDÑß #Ñ œ lim”ÐD  #Ñ
DÄ#
/D
/D
/$
œ
lim
œ
•
DÄ# ÐD  "Ñ$
ÐD  "Ñ$ ÐD  #Ñ
#(
bulunur.ú
Rezidülerin hesaplanması için çeşitli formüller vardır. Bunlardan bazıları
aşağıdaki tabloda verilmiştir:
317
Fonksiyon
1. 0 ÐDÑ
2.
1ÐDÑ
2ÐDÑ
3. 0 ÐDÑ
İstenen Şartlar
lim ÐD  D! Ñ0 ÐDÑ œ !
DÄD!
D! , 1ÐDÑ ve 2ÐDÑ nin
aynı dereceden sıfırı
lim ÐD  D! Ñ0 ÐDÑ var
DÄD!
Singüler
Noktanın Türü
Kaldırılabilir
!
Kaldırılabilir
!
Basit Kutup
Rezidü Formülü
lim ÐD  D! Ñ0 ÐDÑ
DÄD!
ve sıfırdan farklı
4.
1ÐDÑ
2ÐDÑ
5.
1ÐDÑ
2ÐDÑ
6.
1ÐDÑ
2ÐDÑ
7.
8.
1ÐD! Ñ Á !, 2ÐD! Ñ œ !
2w ÐD! Ñ Á !
Basit Kutup
1ÐD! Ñ
2w ÐD! Ñ
D! , 1ÐDÑ nin 5Þ, 2ÐDÑ nin
Ð5  "ÑÞ dereceden sıfırı
Basit Kutup
Ð5  "Ñ
1ÐD! Ñ Á !ß 2ÐD! Ñ œ !
2w ÐD! Ñ œ !ß 2ww ÐD! Ñ Á !
2.dereceden
Kutup
2 21wwÐDÐD!!ÑÑ 
1ÐDÑ
ÐDD! Ñ#
1ÐD! Ñ Á !
1w ÐD! Ñ
1ÐDÑ
2ÐDÑ
1ÐD! Ñ œ !ß 1w ÐD! Ñ Á !ß
2ÐD! Ñ œ !ß 2w ÐD! Ñ œ !ß
2ww ÐD! Ñ œ !ß 2www ÐD! Ñ Á !
2.dereceden
Kutup
2.dereceden
Kutup
5 , lim ÐD  D! Ñ5 0 ÐDÑ
9. 0 ÐDÑ
DÄD!
olacak şekilde en küçük
tam sayıdır.
5 .dereceden
Kutup
1Ð5Ñ ÐD! Ñ
2Ð5"Ñ ÐD! Ñ
w
www
# 1ÐD! Ñ2 ÐD! Ñ
$ Ò2ww ÐD! ÑÓ#
1ww ÐD! Ñ
$ 1w ÐD! Ñ2Ð%Ñ ÐD! Ñ

www
2 ÐD! Ñ # Ò2www ÐD! ÑÓ#
"
. 5"
lim
:ÐDÑ
Ð5  "Ñx DÄD! . D 5"
$
Burada
:ÐDÑ œ ÐD  D! Ñ5 0 ÐDÑ
dir.
5.3.1. Tablo (Bazı Rezidüleri Hesaplama Formülleri): Bu tabloda 1ÐDÑ ve 2ÐDÑ
1ÐDÑ
fonksiyonları D! noktasında analitik ve D! , 0 ÐDÑ ve 2ÐDÑ
fonksiyonlarının ayrık singüler
noktasıdır.
3. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun esas singüler noktası olsun. Bu durumda
rezidüyü bulmak için pratik bir formül yoktur. Yapılaçak iş, D! noktasının
delinmiş komşuluğunda 0 ÐDÑ fonksiyonunun Laurent serisini bulmaktır.
Sonsuz noktasındaki rezidü: Bir noktanın delinmiş komşuluğundaki
Laurent serisini kullanarak o noktadaki rezidünün ne olacağını gördük. _
noktasının herhangi bir delinmiş komşuluğu da tamamen (sonlu) kompleks
düzlemde kaldığından bu delinmiş komşulukta Laurent serisinden sözedebiliriz.
318
*
_ noktasının delinmiş komşuluğunu H_
œ ÖD − ‚ À <  lDl  _× kümesi ile
göstereceğiz. Fonksiyonun _ noktasındaki analitiklik kavramına girmeyeceğiz.
0 ÐDÑ fonksiyonu, _ noktasının delinmiş komşuluğu olan
œ ÖD À <  lDl  _× kümesinde analitik olsun. Bu komşuluktaki Laurent
serisi
*
H_
0 ÐDÑ œ â 
,5
,"
â
 +!  +" D  â
5
D
D
olur. Burada +8 ve ,8 katsayıları # , _ noktasının komşuluğunda kalan orijin
merkezli bir çember olmak üzere, 8 − ™ için,
,8 œ
"
0 ÐDÑ
"
0 ÐDÑ
( 8" .D Ð8 "Ñ ve +8 œ
( 8" .D Ð8 !Ñ
#1 3 # D
#1 3 # D
şeklindedir.
Eğer 0 ÐDÑ fonksiyonunun analitik olduğu, _ noktasının bir komşuluğu
varsa _, 0 ÐDÑ fonksiyonu için ayrık singüler noktadır denir. Aksi halde _
ayrık singüler nokta değildir. Örneğin, _, 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun ayrık
singüler noktasıdır. Ancak _, 0 ÐDÑ œ sin" D fonksiyonunun ayrık singüler
noktası değildir. Çünkü, D5 œ 5 1 Ð5 − ™Ñ bu fonksiyonun ayrık singüler
noktalarıdır ve 5 Ä _ için D5 Ä _ olmaktadır.
5.3.7. Örnek: i. 0 ÐDÑ œ D%"" fonksiyonunun _ noktasının bir delinmiş
*
komşuluğu olan H_
œ ÖD À "  lDl  _× kümesindeki Laurent serisini
yazınız.
*
Çözüm: Öncelikle şunu belirtelim ki, 0 ÐDÑ fonksiyonu verilen H_
*
kümesinde analitik olduğundan _, ayrık singüler noktadır. H_
kümesindeki
"
her D için l D l  " olduğundan, istenen Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
"
" "
"
"
"
œ %
œ %  )  "#  â
"
%
"D
D "  D%
D
D
D
şeklindedir.
*
H_
ii. 0 ÐDÑ œ /D fonksiyonunun _ noktasının bir delinmiş komşuluğu olan
œ ÖD À !  lDl  _× kümesindeki Laurent serisini yazınız.
319
*
Çözüm: _, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır. Verilen H_
kümesinde, 0 ÐDÑ fonksiyonunun Laurent serisi
0 ÐDÑ œ /D œ "  D 
" #
"
D  D$  â
#x
$x
şeklindedir.
D
*
H_
iii. 0 ÐDÑ œ D/# fonksiyonunun _ noktasının bir delinmiş komşuluğu olan
œ ÖD À !  lDl  _× kümesindeki Laurent serisini yazınız.
Çözüm: _, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktasıdır. İstenen Laurent
serisi
0 ÐDÑ œ
/D
"
"
"
D
œ #    â
D#
D
D
#x $x
olarak bulunur.ú
Eğer _, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası ise bu noktanın
delinmiş komşuluğundaki Laurent serisine bakarak singüler noktanın türünü
belirleyebiliriz.
_, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası olsun. Bu noktanın delinmiş
komşuluğundaki Laurent serisini gözönüne alalım. Bu durumda
1. Laurent serisinde, D nin pozitif kuvvetleri yoksa, _ kaldırılabilir
singüler nokta,
2. Laurent serisinde, D nin sonlu sayıda pozitif kuvveti varsa, _ kutup
noktası,
3. Laurent serisinde, D nin sonsuz sayıda pozitif kuvveti varsa, _ esas
singüler noktadır.
5.3.8.Tanım: 0 ÐDÑ fonksiyonunun
komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ â 
_
noktasının
bir
delinmiş
,5
,"
â
 +!  +" D  â
5
D
D
olsun.  ," sayısına 0 ÐDÑ fonksiyonunun _ noktasındaki rezidüsü denir ve
RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ  ," ile gösterilir.
_ noktasının bir komşuluğundaki Laurent serisinin katsayıları dikkate
alınırsa
320
RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ 
"
"
( 0 ÐDÑ.D œ
( 0 ÐDÑ.D
#1 3 #
#1 3 #
olduğu görülür. Tekrar hatırlatalım ki burada # , _ noktasının komşuluğunda
kalan orijin merkezli bir çemberdir.
5.3.9. Örnek: Aşağıdaki fonksiyonlar için RezÐ0 ÐDÑß _Ñ değerini bulunuz.
i. 0 ÐDÑ œ /"ÎD
ii. 0 ÐDÑ œ D $ /"ÎD
iii. 0 ÐDÑ œ DÐ/"ÎD  "Ñ
Çözüm: i. _ noktasının bir komşuluğundaki Laurent serisi
0 ÐDÑ œ " 
"
"

â
D
#xD #
olduğu bilinmektedir. ," œ " olduğundan RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ  ," œ  " dir.
Burada _, 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası olduğuna dikkat
ediniz.
ii. 0 ÐDÑ œ D $ /"ÎD fonksiyonunun _ noktasının bir komşuluğundaki
Laurent serisi
0 ÐDÑ œ D $ /"ÎD œ D $  D # 
D
"
"
 
â
#x $x %xD
şeklindedir. ," œ %x" olduğundan RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ  %x" bulunur. Burada _,
0 ÐDÑ fonksiyonunun kutup noktası olduğuna dikkat ediniz.
iii. 0 ÐDÑ œ DÐ/"ÎD  "Ñ fonksiyonunun _ noktasının bir komşuluğundaki
Laurent serisi
0 ÐDÑ œ " 
"
"

â
#xD
$xD #
şeklindedir. RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ  #x" olur. Burada _, 0 ÐDÑ fonksiyonunun
kaldırılabilir singüler noktası olduğuna dikkat ediniz.ú
5.3. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki herbir fonksiyonun ayrık singüler noktalarını ve bu noktalardaki
rezidülerini bulunuz.
"
$
"
i. 0 ÐDÑ œ D"
ii. 0 ÐDÑ œ DÐD"Ñ
iii. 0 ÐDÑ œ "D
&  ÐD#Ñ#
D
321
2. Aşağıdaki fonksiyonların ayrık singüler noktalarını ve herbir fonksiyonun üç
ayrık singüler noktasındaki rezidüsünü bulunuz.
i. 0 ÐDÑ œ /D""
ii. 0 ÐDÑ œ ""D
iii. 0 ÐDÑ œ cot D
cos D
3. D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası olsun. RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ œ !
olması D! noktasının 0 ÐDÑ fonksiyonunun kaldırılabilir singüler noktası olmasını
garanti etmeyeceğine ilişkin bir örnek yazınız.
4. Aşağıdaki herbir fonksiyon için _ noktasının türünü belirleyiniz ve
RezÐ0 ÐDÑß _Ñ değerini bulunuz.
D
ÐD"Ñ$
i. 0 ÐDÑ œ cos "D
ii. 0 ÐDÑ œ DÐD#Ñ
iii. 0 ÐDÑ œ D/$
$
5. :ÐDÑ fonksiyonu D œ ! noktasında analitik ve 0 ÐDÑ œ :Ð "D Ñ ise
RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ  :w Ð!Ñ
olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme: RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ  #"13 '# 0 ÐDÑ.D
formülünü kullanınız. # (t) œ </3> şeklinde bir çember olduğunu dikkate alınız).
5.4. Rezidü Teoremi:
Şimdi de rezidüler yardımıyla bazı integrallerin hesaplanmasını
inceleyeceğiz. Bunun için Rezidü Teoreminden yararlanacağız. Rezidü Teoremi
hem Cauchy İntegral Formülünü hem de Cauchy Türev Formülünü genelleştirir.
Önce Rezidü Teoreminin ispatında kullanacağımız bir teorem verelim.
5.4.1. Teorem: D! , 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktası ve # , D!
merkezli bir çember olsun. 0 ÐDÑ fonksiyonu, D! noktası hariç, # eğrisinin içinde
ve üzerinde analitik ise
( 0 ÐDÑ.D œ #13RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ
#
olur.
İspat: 0 ÐDÑ fonksiyonunun D! noktasının delinmiş komşuluğundaki
Laurent serisine açtığımızda esas kısımdaki katsayıların
322
,8 œ
"
0 ÐDÑ
.D
(
#13 # ÐD  D! Ñ8"
olduğunu Laurent Teoreminde gördük. ," œ RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ olduğu düşünülerek,
8 œ " için
"
( 0 ÐDÑ.D veya ( 0 ÐDÑ.D œ #13RezÐ0 ÐDÑß D! Ñ
#1 3 #
#
," œ
elde edilir.…
5.4.2. Örnek: Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
D
ÐD+Ñ
i. 'lDlœ" /sin"
ii. 'lD+lœ l+l cos
$ D .D
ÐD+Ñ$ .D Ð+ Á !Ñ
#
D
Çözüm: i. 0 ÐDÑ œ /sin"
$ D fonksiyonunun lDl œ " çemberinin içindeki ayrık
singüler noktası D! œ ! dır. Aynı zamanda D! œ !, lDl œ " çemberinin
merkezidir. 0 ÐDÑ, D! œ ! noktası hariç, lDl œ " çemberinin içinde ve üzerinde
analitik olduğundan 5.4.1. Teoreme göre
/D  "
.D œ #13 RezÐ0 ÐDÑß !Ñ
(
$
lDlœ" sin D
dır. D! œ !, 0 ÐDÑ fonksiyonunun 2.dereceden kutbudur. Şimdi bu noktadaki
rezidüyü bulalım: 1ÐDÑ œ /D  "ß 2ÐDÑ œ sin$ D diyelim.
1Ð!Ñ œ !ß 1w Ð!Ñ œ " Á !à 2Ð!Ñ œ 2w Ð!Ñ œ 2ww Ð!Ñ œ !ß 2www Ð!Ñ œ ' Á !
olduğundan, 5.3.1. Tablodaki 8.Formülü kullanarak rezidüyü hesaplayacağız.
1ww Ð!Ñ œ " ve 2Ð%Ñ Ð!Ñ œ ! olduğundan
RezÐ0 ÐDÑß !Ñ œ $
1ww Ð!Ñ
$ 1w Ð!Ñ2Ð%Ñ Ð!Ñ
"

œ
www
www
#
2 Ð!Ñ # Ò2 Ð!ÑÓ
#
bulunur. O halde
/D  "
.D œ #13 RezÐ0 ÐDÑß !Ñ œ 13
(
$
lDlœ" sin D
elde edilir.
ii. 0 ÐDÑ œ
cos ÐD+Ñ
ÐD+Ñ$
fonksiyonunun lD  +l œ
singüler noktası D! œ + dır. D! œ +, lD  +l œ
l+l
#
l+l
#
çemberinin içindeki ayrık
çemberinin merkezidir. 0 ÐDÑ,
323
D! œ + noktası hariç, lD  +l œ
olduğundan 5.4.1. Teoreme göre
(
l+l
#
çemberinin içinde ve üzerinde analitik
cos ÐD  +Ñ
.D œ #13 RezÐ0 ÐDÑß +Ñ
ÐD  +Ñ$
l+l
lD+lœ #
dır. D! œ +, 0 ÐDÑ fonksiyonunun $.dereceden kutbudur.
cos ÐD  +Ñ
"
.#
lim # ŒÐD  +Ñ$

#x DÄ+ .D
ÐD  +Ñ$
"
œ  limcos ÐD  +Ñ
# DÄ+
"
œ 
#
RezÐ0 ÐDÑß +Ñ œ
olduğundan
(
cos ÐD  +Ñ
.D œ #13 RezÐ0 ÐDÑß +Ñ œ  13
ÐD  +Ñ$
l+l
lD+lœ #
elde edilir. Bu integralin hesabında Cauchy Türev Formülünün de
kullanılabileceğine dikkat ediniz.ú
Şimdi Rezidü Teoremini ifade ve ispat edebiliriz. Bazı kitaplarda "Rezidü
Teoremi" yerine "Cauchy Rezidü Teoremi" ifadesi kullanılır.
5.4.3. Teorem (Rezidü Teoremi): # basit kapalı bir eğri ve 0 ÐDÑ
fonksiyonu, # içindeki D" ß D# ß á ß D8 ayrık singüler noktaları hariç, # eğrisinin
hem içinde hem de üzerinde analitik olsun. Bu durumda
( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
#
5œ"
olur.
İspat: #5 , D5 Ð5 œ "ß #ß á 8Ñ merkezli, birbirini kesmeyen, ortak iç
noktalara sahip olmayan ve tamamen # eğrisi içerisinde kalan çemberler olsun
324
(bak 5.4.1. Şekil). Bu durumda, Genelleştirilmiş Büzülme Teoremine göre
5.4.1. Şekil: D" ß D# ß á D8 merkezli #5 çemberleri
( 0 ÐDÑ.D œ "( 0 ÐDÑ.D
8
#
5œ" #5
yazılır. 5.4.1. Teoreme göre
( 0 ÐDÑ.D œ #13RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
#5
dır. O halde
( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
#
5œ"
elde edilir.…
Not: i. Rezidü Teoreminde, basit kapalı # eğrisinin içinde sadece ayrık
singüler noktaların bulunmasına izin verilmekte, integral hesaplarken de bu
ayrık singüler noktalar dikkate alınmakta, eğrinin dışındaki singüler noktalar
dikkate alınmamaktadır.
ii. Rezidü Teoremini uygulayabilmek için 0 ÐDÑ fonksiyonunun # eğrisi
üzerinde singüler noktasının bulunmayacağına da dikkat ediniz.
Rezidü Teoremini daha genel olarak şu şekilde verilebilir:
5.4.4. Teorem (Keyfi Kapalı Eğriler İçin Rezidü Teoremi): # kapalı bir
eğri ve D" ß D# ß á ß D8 ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktaları olsun. #
eğrisi 0 ÐDÑ fonksiyonunun hiç bir singüler noktasından geçmesin. Bu durumda
325
( 0 ÐDÑ.D œ #13"MÐ# ß D! ÑRezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
#
5œ"
olur.
5.4.5. Örnek: Aşağıdaki integralleri Rezidü Teoremini kullanarak
hesaplayınız.
D
D $ "
D
i. 'lDlœ# Ð#D  "Ñcos D"
.D
ii. 'lDlœ% ÐD$ÑÐD
iii. 'lDlœ& D#cos
# #&Ñ .D
ÐD"Ñ .D
Çözüm: i. D œ " noktası lDl œ # çemberinin içindedir ve bu nokta hariç
D
0 ÐDÑ œ Ð#D  "Ñcos D"
fonksiyonu lDl œ # çemberinin içinde analitiktir.
Ayrıca, lDl œ # çemberi 0 ÐDÑ fonksiyonunun hiç bir singüler noktasından
geçmemektedir. Rezidü Teoremine göre
(
Ð#D  "Ñcos
lDlœ#
D
.D œ #13RezÐ0 ÐDÑß "Ñ
D"
D
olur. D œ ", 0 ÐDÑ œ Ð#D  "Ñcos D"
fonksiyonunun esas singüler noktasıdır.
Rezidüyü bulmak için Laurent serisini yazmalıyız. ? œ D  " alınırsa D œ ?  "
olur.
"
Ñ
?
"
"
œ Ð#?  "Ñ”cos"cos  sin"sin •
?
?
cos"  sin"
œâ
â
?
0 Ð?  "Ñ œ Ð#?  "ÑcosÐ" 
olduğundan
0 ÐDÑ œ Ð#D  "Ñcos
D
cos"  sin"
œâ
â
D"
D"
yazılır. Buna göre
RezÐ0 ÐDÑß "Ñ œ  Ðcos"  sin"Ñ
dir. O halde
(
elde edilir.
Ð#D  "Ñcos
lDlœ#
D
.D œ  #13Ðcos"  sin"Ñ
D"
326
$
D "
ii. D" œ $ß D# œ &3 ve D$ œ  &3ß 0 ÐDÑ œ ÐD$ÑÐD
# #&Ñ fonksiyonunun ayrık
singüler noktalarıdır. Bunlardan sadece D" œ $, lDl œ % çemberinin içine
düşmektedir. lDl œ %ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun hiç bir singüler noktasından
geçmemektedir. Dolayısıyla D" œ $ hariç, 0 ÐDÑ fonksiyonu lDl œ % çemberinin
içinde ve üzerinde analitiktir. Rezidü Teoremine göre
(
D$  "
.D œ #13RezÐ0 ÐDÑß $Ñ
#
lDlœ% ÐD  $ÑÐD  #&Ñ
olur. Burada
RezÐ0 ÐDÑß $Ñ œ lim”ÐD  $Ñ
DÄ$
D$  "
"$
•œ
ÐD  $ÑÐD #  #&Ñ
"(
olduğundan
(
D$  "
#'13
.D œ
#
"(
lDlœ% ÐD  $ÑÐD  #&Ñ
elde edilir.
iii. 3.3.15. Örnekte bu integrali hesaplamıştık. Şimdi Rezidü Teoremini
D
kullanarak bu integrali tekrar hesaplayacağız. 0 ÐDÑ œ D#cos
ÐD"Ñ fonksiyonu için
D" œ ! ve D# œ " ayrık singüler noktalardır. Bu noktalar lDl œ & çemberinin
içindedir ve lDl œ & bu noktalardan geçmemektedir. Dolayısıyla 0 ÐDÑ
fonksiyonuß D" œ ! ve D# œ " noktaları hariç, lDl œ & çemberinin içinde ve
üzerinde analitiktir. Rezidü Teoremine göre
(
lDlœ&
cos D
.D œ #13ÒRezÐ0 ÐDÑß !Ñ  RezÐ0 ÐDÑß "ÑÓ
 "Ñ
D # ÐD
olur. D" œ !ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun 2.dereceden kutbu olduğundan
.
cos D
 ÐD  "ÑsinD  cosD
D# #
œ lim
œ "
Œ

DÄ! .D
DÄ!
D ÐD  "Ñ
ÐD  "Ñ#
RezÐ0 ÐDÑß !Ñ œ lim
ve D# œ "ß 0 ÐDÑ nin basit kutbu olduğundan
RezÐ0 ÐDÑß "Ñ œ limŒÐD  "Ñ
DÄ"
bulunur. Dolayısıyla
cos D
 œ cos"
 "Ñ
D # ÐD
327
(
lDlœ&
cos D
.D œ #13ccos"  "d
 "Ñ
D # ÐD
elde edilir.ú
Bir 0 ÐDÑ fonksiyonunun _ noktasındaki rezidüsü ile kompleks düzlemdeki
rezidüleri arasındaki ilişki aşağıdaki teoremde verilmiştir.
5.4.6. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonu, kompleks düzlemdeki sonlu sayıdaki
ayrık singüler noktaları hariç analitik olsun. Bu ayrık singüler noktalar D" ß
D# ß á ß D8 ile gösterilirse
"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ  RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ !
8
5œ"
olur.
İspat: # eğrisi, 0 ÐDÑ fonksiyonunun ayrık singüler noktaları olan D" ß
D# ß á ß D8 noktalarını içine alan lDl œ < çemberi olsun. Rezidü Teoremine göre
( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
#
5œ"
yazılır. Diğer yandan, _ noktasındaki rezidü dikkate alınarak,
( 0 ÐDÑ.D œ  #13RezÐ0 ÐDÑß _Ñ
#
olduğu bilinmektedir. Bu son iki eşitlikten
"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ  RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ !
8
5œ"
elde edilir.…
5.4.7. Örnek:
(
integralini hesaplayınız.
D "(
.D
#
$ $
%
lDlœ$ ÐD  #Ñ ÐD  $Ñ
328
"(
Çözüm: 0 ÐDÑ œ ÐD# #ÑD$ ÐD$ $Ñ% fonksiyonunun lDl œ $ çemberi içerisinde
3.dereceden iki kutbu, 4.dereceden üç kutbu vardır. Bunları sırasıyla D5
(5 œ 1,2,...,5) ile gösterirsek, Rezidü Teoremine göre
8
D "(
"
.D
œ
#
1
3
RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
(
#
$ $
%
lDlœ$ ÐD  #Ñ ÐD  $Ñ
5œ"
olur. RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ değerleri bulunduğunda bu integral hesaplanmış olur.
İkinci yol: Bu integrali 5.4.6. Teoremi kullanarak da hesaplayabiliriz.
"(
0 ÐDÑ œ ÐD# #ÑD$ ÐD$ $Ñ% fonksiyonu sonlu sayıdaki kutup noktaları hariç tüm
düzlemde analitiktir. Dolayısıyla 5.4.6. Teoreme göre
(
olur. 0 ÐDÑ œ
*
H_
œ ÖD À $
lDlœ$
ÐD #
D "(
.D œ  #13RezÐ0 ÐDÑß _Ñ
 #Ñ$ ÐD $  $Ñ%
D "(
ÐD # #Ñ$ ÐD $ $Ñ%
"Î$
fonksiyonu _ noktasının delinmiş komşuluğu olan
 lDl  _× kümesinde
0 ÐDÑ œ
D "(
D ' Ð"  D## Ñ$ Ð" 
$ % "#
D$ Ñ D
œ
"
D Ð" 
"
# $
D # Ñ Ð"

$ %
D$ Ñ
*
olarak yazılır. H_
kümesindeki Laurent serisi için
RezÐ0 ÐDÑß _Ñ œ  "
olur. O halde
(
D "(
.D œ #13
#
$ $
%
lDlœ$ ÐD  #Ñ ÐD  $Ñ
elde edilir.ú
5.4. Alıştırmalar
1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
"ÎÐD"Ñ
.D
'
i.
ii. 'lDlœ% / D# .D
/D "
lD#3lœ#
iv. 'lDlœ% D/#"
D .D
D
v. 'lDlœ"Î# ˆD # sin "D ‰.D
iii. 'lDlœ# DD/
# " .D
D
D
vi. 'lDlœ" D%Dsin
# " .D
#
329
vii.
'
#
lD3lœ$Î#
/"ÎD
D # " .D
5.5. Bazı Reel Fonksiyonların İntegrali:
Bu başlık altında bazı reel fonksiyonların integralinin ve Cauchy Esas
Değerinin rezidü yardımıyla bulunmasını inceleyeceğiz.
Cos ) ve Sin ) ifadelerini içeren fonksiyonların integrallerinin hesabı:
J Ð?ß @Ñ bir rasyonel fonksiyon ve ) − ‘ olmak üzere
(
#1
J Ðcos )ß sin )Ñ. )
!
şeklindeki reel trigonometrik integrallerin hesabını inceleyeceğiz. Öncelikle
hatırlayalım ki D œ /3) ß ! Ÿ ) Ÿ #1, lDl œ " birim çemberinin parametrik
denklemidir. Diğer yandan
cos ) œ
/3)  /3)
/3)  /3)
ve sin ) œ
#
#3
olduğundan
cos ) œ
D  D "
D#  "
D  D "
D#  "
œ
ve sin ) œ
œ
#
#D
#3
#3D
yazılır. Ayrıca
D œ /3) Ê .D œ 3/3) . ) Ê .) œ
olur. Buna göre
.D
3D
330
(
#1
!
J Ðcos )ß sin )Ñ.) œ (
"
D#  " D#  "
JŒ
ß
.D
#D
#3D
lDlœ" 3D
"
D#  " D#  "
JŒ
ß
 fonksiyonu lDl œ " birim çemberi
3D
#D
#3D
üzerinde ve D" ß D# ß á ß D8 noktaları hariç lDl œ " birim çemberi içinde analitik
ise Rezidü Teoremine göre
yazılır. Eğer 0 ÐDÑ œ
8
"
D#  " D#  "
"
JŒ
ß
(
.D œ #13 Rez Ð0 ÐDÑß D5 Ñ
#D
#3D
lDlœ" 3D
5œ"
olur. D" ß D# ß á ß D8 noktaları 0 ÐDÑ fonksiyonunun birim çember içerisindeki
singüler noktarı olduğunu hatırlatalım.
5.5.1. Örnek: i. (
#1
!
.)
integralini hesaplayınız.
#  cos )
Çözüm: D œ /3) ß ! Ÿ ) Ÿ #1 için cos ) œ
(
#1
!
D # "
#D
ve .) œ
.D
3D
olduğundan
.)
.D
.D
œ(
œ  #3(
# "
#
D
#  cos )
lDlœ" 3D ˆ #D ‰
lDlœ" D  %D  "
yazılır. Şimdi bu integrali hesaplayalım. D" œ  #  È$ ve D# œ  #  È$ß
"
0 ÐD ) œ D# %D"
fonksiyonunun basit kutuplarıdır. Bunlardan sadece D" birim
çemberin içine düşmektedir. 0 ÐDÑ fonksiyonu birim çember üzerinde ve D"
noktası hariç birim çemberin içinde analitiktir. Rezidü Teoremine göre
 #3(
lDlœ"
D#
.D
œ  #3c213Rez Ð0 ÐDÑß D" Ñd
 %D  "
olur. Burada
RezÐ0 ÐDÑß D" Ñ œ
œ
olduğundan
lim
–ÐD  # 
DÄ#È$
"
È
# $
È$Ñ
"
—
È
ÐD  #  $ÑÐD  #  È$Ñ
331
 #3(
lDlœ"
D#
.D
#1
œ
È$
 %D  "
bulunur. Dolayısıyla
(
.)
.D
œ  #3(
#
#  cos )
lDlœ" D  %D  "
#1
!
olduğundan
(
#1
!
.)
#1
œ
È$
#  cos )
elde edilir.
ii. (
1
!
.)
integralini hesaplayınız.
#  cos )
Çözüm: Yukarıda verdiğimiz metod bu integral hesabına doğrudan
"
uygulanamaz. Ancak, 0 Ð)Ñ œ
fonksiyonu için
#  cos )
0 Ð  )Ñ œ
"
"
œ
œ 0 Ð) Ñ
#  cos Ð  )Ñ
#  cos )
olduğundan 0 Ð)Ñ çift fonksiyondur. Bu durumda
(
1
!
.)
" 1
.)
œ (
#  cos )
# 1 #  cos )
yazılır. Burada D œ / ß  1 Ÿ ) Ÿ 1ß lDl œ " birim çemberinin parametrik
denklemidir. i.şıktakine benzer şekilde
3)
(
.)
.D
.D
œ(
œ  #3(
# "
#
D
1 #  cos )
lDlœ" 3D ˆ #D ‰
lDlœ" D  %D  "
1
yazılır. Yine i.şıkta
 #3(
olduğunu gördük. Dolayısıyla
lDlœ"
D#
.D
#1
œ
È$
 %D  "
332
(
1
!
.)
" 1
.)
1
œ (
œ
È$
#  cos )
# 1 #  cos )
elde edilir.ú
Has olmayan integraller ve Cauchy Esas Değeri: Bu başlık altında 0 ÐBÑ
reel değişkenli bir fonksiyon olmak üzere (
olmayan integralleri
çalışacağız.
kompleks
_
0 ÐBÑ .B şeklindeki has
_
fonksiyonlar
kullanarak
hesaplamaya
5.5.2. Tanım: 0 ÐBÑß ‘ deki kapalı aralıklarda Riemann anlamında
integrallenebilen reel değişkenli bir fonksiyon olsun.
i. Eğer bir - − ‘ için
lim ( 0 ÐBÑ.B ve lim ( 0 ÐBÑ.B
+Ä_
-
,
,Ä_ -
+
limitleri varsa '_ 0 ÐBÑ .B has olmayan integrali vardır denir ve
_
(
_
_
0 ÐBÑ .B œ lim ( 0 ÐBÑ.B  lim ( 0 ÐBÑ.B
+Ä_
-
,
,Ä_ -
+
olarak tanımlanır.
ii. (Cauchy Esas Değeri): Eğer
lim ( 0 ÐBÑ.B
3Ä_
3
3
limiti varsa buna 0 ÐBÑ fonksiyonunun Cauchy Esas Değeri (CED) denir ve
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ lim ( 0 ÐBÑ.B
3Ä_
3
3
olarak yazılır.
Eğer (
_
0 ÐBÑ .B has olmayan integrali varsa bu değer aynı zamanda
_
Cauchy Esas Değeridir. Yani, (
_
0 ÐBÑ .B has olmayan integrali varsa
_
333
CED(
olur. Ancak, CED(
_
_
_
_
0 ÐBÑ.B œ (
_
0 ÐBÑ.B
_
0 ÐBÑ.B Cauchy Esas Değerinin varlığı (
_
0 ÐBÑ .B
_
has olmayan integralinin varlığını gerektirmez. Aşağıdaki örnek bununla
ilgilidir:
_
_
5.5.3. Örnek: '_ B .B has olmayan integralinin ve CED'_ B .B
Cauchy Esas Değerinin olup olmadığını araştırınız.
Çözüm: - keyfi bir reel sayı olmak üzere
lim ( B .B œ lim
+Ä_
+Ä_
-
+
olduğundan
_
'_
B .B
B# -#
+#
¹ œ lim Œ   œ  _
# + +Ä_ #
#
has olmayan integrali yoktur.
Diğer yandan
lim ( B.B œ lim
3Ä_
3Ä_
3
3
B# 3
3#
3#
¹ œ lim Œ   œ !
# 3 3Ä_ #
#
olduğundan
CED(
_
B .B œ !
_
_
yazılır. Görüldüğü gibi CED'_ B .B Cauchy Esas Değeri olmasına rağmen
_
'_
B .B has olmayan integrali yoktur.ú
Şimdi, Rezidü Teoremini kullanarak Cauchy Esas Değerini
hesaplayabileceğimiz temel bir teorem vereceğiz. Bazı kitaplarda bu teorem
Jordan Lemması olarak bilinir.
5.5.4. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonunun üst yarı düzlemdeki ayrık singüler
noktaları D" ß D# ß á ß D8 olsun. Ayrıca, 0 ÐDÑ fonksiyonunun reel eksen üzerinde
ve bu noktalar hariç üst yarı düzlemde analitik olduğunu kabul edelim. Her bir
3  ! için W3 œ ÖD À D œ 3/3) ß ! Ÿ ) Ÿ 1× çember parçası olmak üzere
334
lim ( 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
ve
CED(
_
0 ÐBÑ.B
_
var ise
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
5œ"
olur.
İspat: Her bir 3  ! için, P3 œ Ò  3ß 3Ó reel eksen üzerindeki kapalı
aralığı gözönüne alalım. > œ W3  P3 dersek >, pozitif yönlü basit kapalı bir
çevre olur. Yeteri kadar büyük 3 için D" ß D# ß á ß D8 ayrık singüler noktaları >
eğrisinin içinde kalacaktır. Rezidü Teoremine göre
( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
>
5œ"
yazılır. > œ W3  P3 olduğu dikkate alınırsa
#13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ œ ( 0 ÐDÑ.D
8
5œ"
>
œ ( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D
W3
P3
3
W3
3
œ ( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D
335
olduğu görülür. Hipotezde lim 'W3 0 ÐDÑ.D œ ! olarak verildiği ve reel eksen
3Ä_
üzerinde ( 0 ÐDÑ.D œ ( 0 ÐBÑ.B olduğu gözönüne alınırsa
3
3
3
3
#13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ œ lim ( 0 ÐDÑ.D
3Ä_
8
>
5œ"
œ lim ( 0 ÐDÑ.D  lim ( 0 ÐDÑ.D
3Ä_
3Ä_
W3
_
œ CED(
P3
0 ÐBÑ.B
_
elde edilir.…
Not: i. 5.5.4. Teoremdeki formül
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ #13"”
0 ÐDÑ fonksiyonunun üst yarı düzlemdeki
•
rezidüleri
şeklinde de yazılır. CED'_ 0 ÐBÑ.B verildiğinde 0 ÐBÑ fonksiyonunda B yerine
D alınarak 0 ÐDÑ fonksiyonunun bulunduğunu hatırlatalım.
ii. Eğer 0 ÐDÑ fonksiyonunun alt yarı düzlemdeki ayrık singüler noktaları
kullanılmış olsa, yani D" ß D# ß á ß D8 ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun alt yarı düzlemdeki
ayrık singüler noktaları ve 0 ÐDÑ fonksiyonunun reel eksen üzerinde ve bu
noktalar hariç alt yarı düzlemde analitik ise
_
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ  #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
5œ"
veya
CED(
_
_
0 ÐDÑ.D œ  #13"”
0 ÐDÑ fonksiyonunun alt yarı düzlemdeki
•
rezidüleri
olur.
Doğal olarak 5.5.4. Teoremi uygulayabilmek için hipotezdeki bilgiler ışığı
altında
lim ( 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
336
olduğunun gösterilmesi gerekir. Bu şartın sağlandığı her durum için 5.5.4.
Teorem uygulanır. 0 ÐDÑ fonksiyonunun rasyonel olması durumunda 5.5.4.
Teoremi uygulayabilmek daha kolay olmaktadır. Bu amaçla aşağıdaki 5.5.5.
Teorem, 5.5.6. Teorem ve 5.5.7. Teorem verilmiştir.
5.5.5. Torem: = œ 7  8 ! ve +8 ,7 Á ! olmak üzere kompleks
katsayılı
0 ÐDÑ œ
+ !  +" D  â  +8 D 8
,!  ," D  â  ,7 D 7
sade hale gelmiş rasyonel fonksiyonunu gözönüne alalım. Ayrıca 0 ÐDÑ nin
paydasındaki polinomun reel sıfıra sahip olmadığını kabul edelim. Bu durumda
lDl  < için
l0 ÐDÑl 
Q
lDl=
olacak şekilde <  ! ve Q  ! sayıları vardır.
İspat: 1ÐDÑ fonksiyonunu
1ÐDÑ œ
+! D =  +" D ="  â  +8 D 8=
œ D = 0 ÐDÑ
,!  ," D  â  ,7 D 7
olarak tanımlayalım. Önce bu ifadenin pay ve paydasını D 7 ile bölüp ve sonra
lDl Ä _ için limit alırsak
l1ÐDÑl Ÿ
+! ¸
¸ D7=
¸
¸ D,7!

+"
¸
D 7Ð="Ñ
,"
D 7"  â
â  k+8 k
+8
œ LÐDÑ Ä º º
,7
 ,7 ¸
elde edilir. Limit ile ilgili özelliklere göre, !  &  " olacak şekildeki her bir &
sayısı için lDl  < olacak şekilde bir <  ! sayısı vardır ve lDl  < için
l1ÐDÑl Ÿ LÐDÑ  º
+8
º&
,7
yazılır. Q œ ¹ ,+78 ¹  1 alalım. Dolayısıyla lDl  < iken
l0 ÐDÑl œ
yazılır.…
l1ÐDÑl
Q
 =
=
lDl
lDl
337
5.5.6. Teorem: 0 ÐDÑß = œ 7  8 # olmak üzere 5.5.5. Teoremdeki
rasyonel fonksiyon ve W3 œ ÖD À D œ 3/3) ß ! Ÿ ) Ÿ 1× çember parçası olsun.
Bu durumda
lim ( 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
olur.
İspat: 5.5.5. Teorem ve integral ile ilgili özellikler gözönüne alınırsa
! Ÿ »( 0 ÐDÑ.D » Ÿ
W3
Q
1Q
13 œ
#
3
3
yazılır. Buradan 3 Ä _ için
lim ( 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
elde edilir.…
5.5.7. Teorem: 0 ÐDÑß = œ 7  8 # olmak üzere 5.5.5. Teoremdeki
rasyonel fonksiyon olsun. Ayrıca 0 ÐDÑ fonksiyonunun, üst yarı düzlemdeki
kutuplarının D" ß D# ß á ß D8 olduğu kabul edilsin. 0 ÐDÑ fonksiyonu, reel eksen
üzerinde ve kutuplar hariç üst yarı düzlemde analitik olarak verilsin. Bu
durumda
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
5œ"
olur.
İspat: 5.5.4. Teoremin ispatında olduğu gibi, Rezidü Teoremine göre,
( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
W3
3
8
3
5œ"
yazılır. Hipotezde verilenler ve 5.5.6. Teoreme göre
lim ( 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
olacağından 3 Ä _ için
338
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
5œ"
elde edilir.…
5.5.8. Örnek: i. CED(
.B
1È #
olduğunu gösteriniz.
œ
"
#
_
_
B%
Çözüm: Çözümü iki yoldan yapacağız. Birinci yol 5.5.4. Teoremi
uygulamak olacaktır. Bu durumda
lim (
3Ä_ W
3
.D
œ!
"
D%
olduğunun gösterilmesi gerekir. 3 œ lDl  " iken
º
D%
"
"
"
œ %
ºŸ %
3 "
"
lDl  "
yazılır. Bu durumda
lim (
3Ä_» W
3
.D
13
Ÿ lim %
œ!
»
3
Ä_
"
3 "
D%
olur.
1
$1
&1
(1
D" œ / % 3 ß D# œ / % 3 ß D$ œ / % 3 ve D% œ / % 3
0 ÐDÑ œ D%"" fonksiyonunun ayrık singüler noktalarıdır. Bunlardan D" ve D# üst
yarı düzlemdedir. Dolayısıyla 0 ÐDÑ fonksiyonu reel eksen üzerinde ve bu
noktalar hariç üst yarı düzlemde analitiktir. 5.5.4. Teoreme göre
CED(
_
_
.B
œ #13cReza0 ÐDÑß D" b  Reza0 ÐDÑß D# bd
"
B%
olur. D" ve D# , 0 ÐDÑ fonksiyonununbasit kutupları olup bu noktalardaki rezidüler
Reza0 ÐDÑß D" b œ
ve
"
" $1
œ / % 3
º
$
%D DœD"
%
339
Reza0 ÐDÑß D# b œ
olarak bulunur. O halde
CED(
"
" *1
œ / % 3
º
$
%D DœD#
%
.B
" $1
" $1
1È #
œ # 1 3Œ /  % 3  /  % 3  œ
"
%
%
#
_
B%
_
elde edilir.
İkinci Yol: 0 ÐDÑ œ D%"" fonksiyonunun rasyonel olduğunu gözününe
alarak 5.5.7. Teoremden yararlanıp bu integrali hesaplayalım. = œ 7  8
1
œ %  ! œ %  # dir. 0 ÐDÑ œ D%"" fonksiyonu reel eksen üzerinde ve D" œ / % 3 ß
$1
D# œ / % 3 noktaları hariç üst yarı düzlemde analitiktir. 5.5.7. Teoreme göre
CED(
_
_
olur. Bu durumda
CED(
.B
œ #13cReza0 ÐDÑß D" b  Reza0 ÐDÑß D# bd
"
B%
_
_
.B
"  $1 3 "  $1 3
1È #
% 
%
œ
#
1
3
/
/
œ
Œ

B%  "
%
%
#
elde edilir.
ii. CED(
_
_
B# .B
(1
olduğunu gösteriniz.
œ
#
#
#
ÐB  "Ñ ÐB  #B  #Ñ
&!
Çözüm: 7 œ ',
8 œ # olduğundan = œ 7  8 œ %  # dir.
D#
0 ÐDÑ œ ÐD# "Ñ# ÐD# #D#Ñ fonksiyonu reel eksen üzerinde ve D" œ 3ß D# œ  "  3
noktaları hariç üst yarı düzlemde analitiktir. 5.5.7. Teoreme göre
CED(
_
_
B# .B
œ #13cReza0 ÐDÑß D" b  Reza0 ÐDÑß D# bd
ÐB#  "Ñ# ÐB#  #B  #Ñ
olur. D" œ 3ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun ikinci dereceden kutbu, D# œ  "  3 ise
basit kutbudur. Buna göre
RezÐ0 ÐDÑß D" Ñ œ lim
DÄ3
ve
.
D#
 "#  *3
#
”ÐD  3Ñ #
•œ
.D
ÐD  "Ñ# ÐD #  #D  #Ñ
"!!
340
RezÐ0 ÐDÑß D# Ñ œ lim ”ÐD  "  3Ñ
DÄ"3
D#
$  %3
•œ
#
#
#
ÐD  "Ñ ÐD  #D  #Ñ
#&
olduğundan
CED(
_
_
B# .B
œ #13cReza0 ÐDÑß D" b  Reza0 ÐDÑß D# bd
ÐB#  "Ñ# ÐB#  #B  #Ñ
 "#  *3 $  %3
œ # 1 3Œ


"!!
#&
(1
œ
&!
elde edilir.
iii. +  ! olmak üzere (
_
B#
!
.B
integralini hesaplayınız.
 +#
Çözüm: Bu integralin hesabında doğrudan 5.5.7. Teoremi kullanamayız.
"
Ancak, 0 ÐBÑ œ B# +
# fonksiyonu
0 Ð  BÑ œ
"
"
œ #
œ 0 ÐBÑ
Ð  BÑ#  +#
B  +#
şartı sağladığından çift fonksiyondur. Buna göre verilen integral
(
_
!
_
.B
"
.B
œ
CED
(
#
#
#
#
B +
#
_ B  +
_
şeklinde yazılır. Şimdi biz 5.5.7. Teoremi kullanarak CED'_ B#.B
+# değerini
"
bulabiliriz. Çünkü, 0 ÐDÑ œ D# +# fonksiyonu için 7  8 œ #  ! œ #, ayrıca,
0 ÐDÑ fonksiyonu reel eksen üzerinde ve D œ +3 hariç üst yarı düzlemde
analitiktir.
CED(
_
_
B#
.B
œ #13 RezÐ0 ÐDÑß +3Ñ
 +#
olduğu 5.5.7. Teoremden yazılır. D œ +3ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbu
olduğundan
Rez Ð0 ÐDÑß +3Ñ œ lim ”ÐD  +3Ñ
DÄ+3
D#
"
1
•œ
#
+
+
341
bulunur. Dolayısıyla
CED(
_
_
.B
1
œ
B#  +#
+
olduğundan
(
_
!
B#
.B
1
œ
#
+
#+
elde edilir.ú
5.5.9. Teorem: 0 ÐDÑß = œ 7  8 " olmak üzere 5.5.5. Teoremdeki
rasyonel fonksiyon ve W3 œ ÖD À D œ 3/3) ß ! Ÿ ) Ÿ 1× çember parçası olsun.
Bu durumda, !  ! olmak üzere
lim ( /3!D 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
olur.
İspat: 5.5.5. Teoreme göre = œ 7  8 " için
l0 ÐDÑl Ÿ
Q
3
olacak şekilde bir Q ve yeteri kadar büyük bir 3 sayısı vardır. W3 üzerinde
D œ 3/3) œ 3Ðcos )  3sin )Ñ olduğu gözönüne alınırsa
¸/3!D ¸ œ ¸/3!3 cos )!3 sin ) ¸ œ /!3 sin )
ve böylece yeteri kadar büyük 3 için
¸/3!D 0 ÐDѸ  /!3 sin )
yazılır. Bunları gözönüne alarak
Q
3
342
3!D
3! D
»( / 0 ÐDÑ.D » Ÿ ( ¸/ 0 ÐDѸ3.)
1
W3
!
Ÿ ( /!3 sin )
1
!
Q
3. )
3
œ #Q ( /!3 sin ) . )
1
#
!
1
Ÿ Q ( /
#!3 )
1
#. )
!
1  #!3 ) #
œ Q” 
/ 1 •
!3
!
Q1
Q1
!3
a"  / b 
œ
!3
!3
1
bulunur. Buradan da
lim ( /3!D 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
olduğu görülür.…
5.5.10. Teorem: 0 ÐDÑß = œ 7  8 " olmak üzere 5.5.5. Teoremdeki
rasyonel fonksiyon olsun. Ayrıca 0 ÐDÑ fonksiyonunun üst yarı düzlemdeki
kutuplarının D" ß D# ß á ß D8 olduğu kabul edilsin. 0 ÐDÑ fonksiyonu, reel eksen
üzerinde ve kutuplar hariç üst yarı düzlemde analitik olarak verilsin. Bu
durumda, !  ! olmak üzere
CED(
_
_
/3!B 0 ÐBÑ.B œ #13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰
8
5œ"
olur. Aynı zamanda 0 Ð  BÑ œ 0 ÐBÑ oluyorsa
(
_
!
0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B œ 13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰
8
5œ"
ve 0 Ð  BÑ œ  0 ÐBÑ oluyorsa
(
olur.
_
!
0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B œ 13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰
8
5œ"
343
İspat: 5.5.4. Teoremin ispatında olduğu gibi, Rezidü Teoremine göre,
( 0 ÐDÑ.D  ( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
W3
3
8
3
5œ"
yazılır. 5.5.9. Teoreme göre
lim ( /3!D 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
olduğundan
CED(
_
_
/3!B 0 ÐBÑ.B œ #13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰
8
5œ"
elde edilir.
Diğer yandan, B œ  Bw değişken değiştirmesi yapılarak
3!B
3!B
0 Ð  Bw ÑÐ  .Bw Ñ œ ( /3!B 0 Ð  Bw Ñ .Bw
( / 0 ÐBÑ .B œ ( /
!
!
3
3
w
3
w
!
bulunur. 0 Ð  Bw Ñ œ 0 ÐBw Ñ olduğundan
3!B
( / 0 ÐBÑ .B œ #(
3
3
3 3!B
/
!
3
 / 3!B
0 ÐBÑ .B œ #( 0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B
#
!
veya 3 Ä  _ için
(
_
!
0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B œ 13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰
yazılır. Eğer 0 Ð  Bw Ñ œ  0 ÐBw Ñ alınırsa
8
5œ"
344
( /
3
3!B
3
0 ÐBÑ .B œ ( /
!
3!B
3
3
0 ÐBÑ .B  ( /3!B 0 ÐBÑ .B
3
!
œ ( /3!B 0 Ð  Bw Ñ .Bw  ( /3!B 0 ÐBÑ .B
3
w
!
!
œ  ( /3!B 0 ÐBw Ñ .Bw  ( /3!B 0 ÐBÑ .B
œ #3(
3
!
3 3!B
/
!
w
3
!
 /3!B
0 ÐBÑ.B
#3
œ #3( 0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B
3
!
veya 3 Ä  _ için
(
_
!
0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B œ 13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰
8
5œ"
olur.…
Not: i. /3!D 0 ÐDÑ fonksiyonunun kutupları 0 ÐDÑ fonksiyonunun kutuplarıdır,
ancak verilen kutup noktasında aynı rezidülere sahip olmaları gerekmez.
ii. 0 ÐDÑ rasyonel fonksiyonunda katsayılar reel ise
Re”CED(
_
_
/3!B 0 ÐBÑ.B• œ CED(
_
0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B
_
ve
Im”CED(
_
_
/3!B 0 ÐBÑ.B• œ CED(
_
0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B
_
olur. Yani
CED(
_
_
0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B œ Re–#13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰—
8
5œ"
ve
CED(
yazılır.
_
_
0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B œ Im–#13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5 ‰—
8
5œ"
345
iii. 0 ÐDÑ rasyonel fonksiyonunda katsayılar reel olsun. 0 ÐBÑ fonksiyonunun
çift olması halinde
CED(
_
_
0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B œ 2(
_
0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B
!
ve
CED(
_
0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B œ !;
_
0 ÐBÑ fonksiyonunun tek olması halinde ise
CED(
_
_
0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B œ #(
_
0 ÐBÑ sin Ð!BÑ .B
!
ve
CED(
_
0 ÐBÑ cos Ð!BÑ .B œ !
_
olur.
iv. !  ! olması durumu: D"w ß D#w ß á ß D8w ß 0 ÐDÑ fonksiyonunun alt yarı
düzlemdeki kutupları olsun. 0 ÐDÑ fonksiyonu, reel eksen üzerinde ve kutuplar
hariç alt yarı düzlemde analitik ise !  ! olmak üzere
CED(
0 ÐBÑ.B œ  #13"Rezˆ/3!D 0 ÐDÑß D5w ‰
8
_
/
_
3!B
5œ"
olur.
5.5.11. Örnek: i. CED(
_
_
B/31B
.B değerini bulunuz.
B#  #B  &
B
D
Çözüm:
0 ÐBÑ œ B# #B&
olduğundan
0 ÐDÑ œ D# #D&
yazılır.
7  8 œ #  " œ " dir. D" œ  "  #3 ve D# œ  "  #3, 0 ÐDÑ fonksiyonunun
ayrık singüler noktalarıdır. 0 ÐDÑ fonksiyonu reel eksen üzerinde ve D" noktası
hariç üst yarı düzlemde analitiktir. 5.5.10. Teoreme göre
CED(
olur. Burada
_
_
B/31B
.B œ #13 Rez ˆ/31D 0 ÐDÑß D" ‰
B#  #B  &
346
Rez ˆ/31D 0 ÐDÑß  "  #3‰ œ
lim ”ÐD  "  #3Ñ
DÄ"#3
œ 
D/31D
•
D #  #D  &
/#1
3
Ð"  Ñ
#
#
olduğundan
CED(
_
_
B/31B
1
.B œ /#1  13/#1
B#  #B  &
#
bulunur.
Diğer yandan 0 ÐDÑ rasyonel fonksiyonunda katsayılar reel olduğundan
CED(
_
_
B cos Ð1BÑ
1
1
.B œ Re Š /#1  13/#1 ‹ œ /#1
#
B  #B  &
#
#
ve
CED(
_
_
B cos Ð1BÑ
1
.B œ ImŠ /#1  13/#1 ‹ œ  1/#1
#
B  #B  &
#
yazılır.
ii.
5.5.12. Tanım: 0 ÐBÑ reel değişkenli reel değerli bir fonksiyon ve bir - − ‘
için lim l0 ÐBÑl œ _ ve ayrıca, 0 ÐBÑ fonksiyonu Ò+ß ,ÓÏÖ-× kümesinde kalan her
BÄ-
kapalı aralıkta Riemann anlamında integrallenebilir olsun.
i. Eğer
lim (
&Ä!
-&
+
0 ÐBÑ.B ve lim (
$ Ä!
,
0 ÐBÑ.B
-$
limitleri varsa '+ 0 ÐBÑ .B has olmayan integrali vardır denir ve
,
(
_
_
0 ÐBÑ .B œ lim (
&Ä!
olarak tanımlanır.
ii. (Cauchy Esas Değeri): Eğer
-&
+
0 ÐBÑ.B  lim (
$ Ä!
,
0 ÐBÑ.B
-$
347
lim –(
&Ä!
-&
+
0 ÐBÑ.B  (
,
-&
0 ÐBÑ.B—
limiti varsa buna 0 ÐBÑ fonksiyonunun Cauchy Esas Değeri (CED) denir ve
CED( 0 ÐBÑ.B œ lim –(
&Ä!
,
+
-&
+
0 ÐBÑ.B  (
,
-&
0 ÐBÑ.B—
olarak yazılır.
iii. 0 ÐBÑ, ‘ÏÖ-× kümesinde ihtiva edilen her bir kapalı aralıkta Riemann
anlamında integrallenebilir olsun. Eğer
lim ”CED(
3Ä_
3
3
0 ÐBÑ.B•
limiti varsa buna Cauchy Esas Değeri denir ve
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ lim ”CED(
3Ä_
3
3
0 ÐBÑ.B•
olarak tanımlanır.
iv. 0 ÐBÑ reel değişkenli reel değerli bir fonksiyon ve -"  -#  â  -8
olan her bir -5 − ‘ için lim l0 ÐBÑl œ _ ve ayrıca, 0 ÐBÑ fonksiyonu
BÄ-5
‘ÏÖ-" ß -# ß á ß -8 × kümesinde kalan her kapalı aralıkta Riemann anlamında
integrallenebilir olsun. Bu durumda
lim ”(
&5 Ä!
-" &"
3
0 ÐBÑ.B  (
-# &#
-" &"
0 ÐBÑ.B  â  (
3
-8 &8
0 ÐBÑ.B•
limiti varsa buna Cauchy Esas Değeri denir ve
CED(
3
3
0 ÐBÑ.B œ lim ”(
&5 Ä!
-" &"
3
0 ÐBÑ.B  (
-# &#
- "  &"
0 ÐBÑ.B  â  (
-8 &8
yazılır. Bu durumda
CED(
olarak tanımlanır.
_
_
0 ÐBÑ.B œ lim ”CED(
3Ä_
3
3
3
0 ÐBÑ.B•
0 ÐBÑ.B•
348
0 ÐDÑ fonksiyonunun reel eksen üzerinde ayrık singüler noktası olması
durumunda (ki bu sadece basit kutup olması için geçerlidir) Cauchy Esas
Değerinin hesabında kullanılacak bir teorem aşağıda verilmiştir.
5.5.13. Teorem: W3 œ ÖD œ +  3/3) À + − ‘ß )" Ÿ ) Ÿ )# ß 3  !× olsun.
D œ + reel eksen üzerinde 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbu ise
lim ( 0 ÐDÑ.D œ 3Ð)#  )" ÑRezÐ0 ÐDÑß +Ñ
3Ä! W
3
olur.
İspat: D œ + noktasının öyle bir H* Ð+à <Ñ <-delinmiş komşuluğu bulunur ki
1ÐDÑ œ ! +8 ÐD  D! Ñ8
_
olmak
üzere
bu
delinmiş
komşulukta
0 ÐDÑ
8œ!
fonksiyonunun Laurent serisi
0 ÐDÑ œ
RezÐ0 ÐDÑß +Ñ
 1ÐDÑ
D+
olur. !  <"  < olacak şekilde <" sayısını sabitleyelim. 1ÐDÑ fonksiyonu
HÐ+à <Ñ de analitik olduğundan HÐ+à <" Ñ kapalı diskinde sürekli olur. Kapalı
kümede sürekli olmasından dolayı HÐ+à <" Ñ kapalı diskindeki her D için
l1ÐDÑl Ÿ Q olacak şekilde Q reel sayısı vardır. 3 Ÿ <" için
lim ( 1ÐDÑ.D » Ÿ lim Ò3Ð)#  )" ÑQ Ó œ !
3Ä!
3Ä!» W
3
olur. Buna göre
( 0 ÐDÑ œ RezÐ0 ÐDÑß +Ñ(
W3
)#
)"
33/3)
.)  ( 1ÐDÑ
3/3)
W3
eşitliğinden
lim ( 0 ÐDÑ.D œ 3Ð)#  )" ÑRezÐ0 ÐDÑß +Ñ
3Ä! W
3
elde edilir.…
5.5.14. Teorem: 0 ÐDÑ fonksiyonunun üst yarı düzlemdeki ayrık singüler
noktaları D" ß D# ß á ß D8 ve reel eksen üzerindeki basit kutupları da B" ß B# ß á ß B7
olsun. 0 ÐDÑ fonksiyonu bu noktalar hariç üst yarı düzlemde ve reel eksen
349
üzerinde analitik olarak verilsin. Eğer her
W3 œ ÖD œ 3/3) À ! Ÿ ) Ÿ 1× çember parçası üzerinde
bir
3!
için
lim ( 0 ÐDÑ.D œ !
3Ä_ W
3
ise
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ  13"RezÐ0 ÐDÑß B6 Ñ
8
7
5œ"
6œ"
olur.
İspat: İspatımızı 7 œ " için yani, 0 ÐDÑ fonksiyonunun reel eksen üzerinde
B" basit kutbunun olması durumu için yapacağız. P" , P# şekildeki doğru
parçaları ve W< ve W3 ise şekildeki gibi pozitif yönlü çemberlerin üst yarı
düzlemdeki kısımları olmak üzere > œ P"  W<  P#  W3 olarak alınsın. >
eğrisi basit kapalı bir eğridir. > eğrisi D" ß D# ß á ß D8 kutup noktalarını içine
alacak şekilde 3 ve < seçilsin. Bu durumda Rezidü Teoremine göre
( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
>
5œ"
olur. > œ P"  W<  P#  W3 olduğu gözönüne alınırsa
(
B" <
3
0 ÐBÑ.B  (
W<
0 ÐDÑ.D  (
3
B" <
0 ÐBÑ.B  ( 0 ÐDÑ.D œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
W3
5œ"
yazılır. 5.5.13. Teorem gözönüne bulundurulup < Ä ! için limit alınırsa
350
CED( 0 ÐBÑ.B œ 13 RezÐ0 ÐDÑß B" Ñ  ( 0 ÐDÑ.D  #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ
8
3
3
W3
5œ"
bulunur. Sağ taraf bir sayı olduğundan CED( 0 ÐBÑ.B vardır. Bu kez
3
3
3 Ä  _ için limit alınırsa hipoteze göre lim ( 0 ÐDÑ.D œ ! olacağından
3Ä_
W3
CED( 0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ  13 RezÐ0 ÐDÑß B" Ñ
3
8
3
5œ"
elde edilir.
Benzer düşünce ile 0 ÐDÑ fonksiyonunun reel eksen üzerindeki basit
kutupları B" ß B# ß á ß B7 olarak alınmış olsaydı
CED(
_
_
0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ  13"RezÐ0 ÐDÑß B6 Ñ
8
7
5œ"
6œ"
elde edilirdi.…
Not: 5.5.14. Teoremde vurgulamamız gereken en önemli nokta 0 ÐDÑ
fonksiyonunun reel eksen üzerinde sadece basit kutbu olmasına izin
verilmesidir.
_
0 ÐBÑ fonksiyonunun rasyonel olması durumunda CED'_ /3!B 0 ÐBÑ.B
Cauchy Esas Değerinin hesabı için 5.5.14. Teorem şu şekilde ifade edilir:
5.5.15. Teorem: 0 ÐDÑ, paydasının derecesi payının derecesinden büyük
olan reel katsayılı rasyonel bir fonksiyon olsun. D" ß D# ß á ß D8 , 0 ÐDÑ
fonksiyonunun üst yarı düzlemdeki kutupları; B" ß B# ß á ß B7 , 0 ÐDÑ
fonksiyonunun reel eksen üzerindeki basit kutupları olsun. Bu kutuplar hariç
0 ÐDÑ fonksiyonu reel eksen üzerinde ve üst yarı düzlemde analitik ise !  !
olmak üzere
CED(
olur.
_
_
/3!B 0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ/3!D 0 ÐDÑß D5 Ñ  13"RezÐ/3!D 0 ÐDÑß B6 Ñ
8
7
5œ"
6œ"
351
İspat: 5.5.15. Teoremin ispatına benzer şekilde yapılır.…
5.5.16. Örnek: i. CED(
_
_
sin B
.B integralini hesaplayınız.
B
Çözüm: Bilinmektedir ki,
CED(
_
_
sin B
_ /3B
‘
.B œ Re CED'_
B .B
B
"
B
şeklindedir. 0 ÐBÑ œ
olduğundan 0 ÐDÑ œ D" dir. 0 ÐDÑ fonksiyonunun tek
singüler noktası reel eksen üzerinde D œ ! noktasıdır ve bu 0 ÐDÑ . 5.5.14.
Teoreme göre
CED(
_ 3B
_
/
.B œ 13RezÐ/3D 0 ÐDÑß !Ñ
B
olur. Burada
RezÐ/3D 0 ÐDÑß !Ñ œ limŒD
DÄ!
/3D
œ"
D
olduğundan
CED(
_ 3B
_
/
.B œ 13
B
bulunur. Dolayısıyla verilen integral
CED(
_
_
sin B
.B œ 1
B
olarak elde edilir.
ii. CED(
_
_
sin# B
.B integralini hesaplayınız.
B#
Çözüm: Öncelikle şunu vurgulayalım ki
CED(
_
_
_
sin# B
"
"  /#3B
Re
CED
.B
œ
.B 
(
Œ
B#
#
B#
_
352
"  /#3D
, W3 œ ÖD œ 3/3) À ! Ÿ ) Ÿ 1× ve D œ B  3C
D#
olmak üzere C  ! için
yazılabilir.
0 ÐDÑ œ
lim »(
3Ä_
"  /#3D
l"  /#3D l
lim
.D
Ÿ
l.Dl
(
»
3Ä_ W
D#
lDl#
W3
3
Ÿ lim (
3Ä_
"  /#C
l.Dl
lDl#
W3
œ lim Œ
3Ä_
"  /#C
13
3#
œ!
"  /#3D
fonksiyonu üst yarı düzlemde ve D œ ! noktası hariç
D#
B-ekseni üzerinde analitiktir. Ayrıca D œ !, 0 ÐDÑ fonksiyonunun basit kutbudur.
Dolayısıyla 5.5.14. Teoreme göre
bulunur. 0 ÐDÑ œ
CED(
_
_
"  /#3B
.B œ 13 Rez Ð0 ÐDÑß !Ñ
B#
olur. Burada
Rez Ð0 ÐDÑß !Ñ œ limŒD
DÄ!
"  /#3D
 œ  #3
D#
olduğundan
CED(
_
_
"  /#3B
.B œ 13Ð  #3Ñ œ #1
B#
bulunur. Dolayısıyla bizden istenen integral
CED(
_
_
_
sin# B
"
"  /#3B
"
Re
CED
.B
œ
.B  œ Ð#1Ñ œ 1
(
Œ
#
#
B
#
B
#
_
olarak bulunur (Bu ii.şıkkın 5.5.15. Teorem yardımıyla çözülemeyeceğine
dikkat ediniz).ú
5.5.7. Teorem ve 5.5.13. Teoremin bir sonucu olarak verilen ve ispatı
5.5.14. Teoremin ispatına benzer şekilde yapılan bir teorem ifade edelim:
353
5.5.15. Teorem: 0 ÐDÑß = œ 7  8 # olmak üzere 5.5.5. Teoremdeki
rasyonel fonksiyon olsun. D" ß D# ß á ß D8 , 0 ÐDÑ fonksiyonunun üst yarı
düzlemdeki kutupları; B" ß B# ß á ß B7 , 0 ÐDÑ fonksiyonunun reel eksen üzerindeki
basit kutupları olsun. Bu kutuplar hariç 0 ÐDÑ fonksiyonu reel eksen üzerinde ve
üst yarı düzlemde analitik ise
CED(
olur.
_
_
0 ÐBÑ.B œ #13"RezÐ0 ÐDÑß D5 Ñ  13"RezÐ/3!D 0 ÐDÑß B6 Ñ
8
7
5œ"
6œ"
Download

Kompleks analiz