BAHAR DÖNEM
DERSN ևRETM ÜYES: Dr. Salim CEYHAN
BM202
Soru 1.
14 Mart 2014
SAYISAL ÇÖZÜMLEMEÖDEV-I
Sinüs fonksiyonu a¸sa˘gıdaki seriyle yakla¸sık olarak ifade edilir:
sin x = x –
(–1)n x2n+1
x3 x5
+ –...+
+...
3! 5!
(2n + 1)!
sin(0.5) de˘gerini 2 anlamlı basamak do˘gru olacak s¸ekilde hesaplayın. Her bir adım için yakla¸sık
yüzde ba˘gıl hatayı(εa ) hesaplayın.
ÇÖZÜM
C: ˙Iki anlamlı basamak do˘gru olacak s¸ekilde hesaplama yapabilmek için tolerans hata yüzdesi
εs = %0.5 alınmalıdır.
1.tahmin: sin x ≈ x, x = 0.5 için sin 0.5 ≈ 0.5
x3
2.tahmin: sin x ≈ x – , x = 0.5 için sin 0.5 ≈ 0.5 – (0.5)3 /3! = 0.479167,
3!
0.479167 – 0.5 × %100 = %4.35 > εs
Mutlak yakla¸sık ba˘gıl hata yüzdesi |εa | = 0.479167 x3 x5
3.tahmin: sin x ≈ x – + , x = 0.5 için sin 0.5 ≈ 0.5 – (0.5)3 /3! + (0.5)5 /5! = 0.479427,
3! 5!
0.479427 – 0.479167 × %100 = %0.054 < εs
Mutlak yakla¸sık ba˘gıl hata yüzdesi |εa | = 0.479427
oldu˘gundan en az iki anlamlı basamak do˘grulukta hesaplama yapılmı¸s olur.
Gerçek de˘ger: sin 0.5 = 0.479426.
Soru 2.
1
E˘ger |x| < 1 ise, f(x) =
= 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . oldu˘gu bilinmektedir. En
1–x
1
1
basit versiyonda f(x) =
≈ 1 ile ba¸slayarak f(0.1) =
’i tahmin etmek için terimleri bir bir
1–x
1 – 0.1
ekleyin. Her yeni terim eklendikten sonra, gerçek ve yakla¸sık ba˘gıl yüzde hatayı hesaplayın. Gerçek
de˘geri elektronik hesap makinenizle hesaplayın. Yakla¸sık hata tahmininin mutlak de˘geri iki anlamlı
basamak sa˘glayacak bir hata kriterinin altına dü¸sünceye kadar terim eklemeye devam edin.
ÇÖZÜM
C: Enaz iki anlamlı basamak do˘gru olacak s¸ekilde hesaplama yapabilmek için tolerans hata yüzdesi
εs = %0.5 ve gerçek de˘ger 1.111111 alınmalıdır.
1
1.111111 – 1
1.tahmin:
≈ 1, εt =
× %100 = %9.999
1–x
1.111111
1
1
2.tahmin:
≈ 1 + x, x = 0.1 için
≈ 1 + 0.1 = 1.1,
1–x
1 – 0.1
1.1 – 1 ×%100 = %9.091 > εs ve gerçek ba˘gıl hata yüzdesi
Mutlak yakla¸sık ba˘gıl hata yüzdesi |εa | = 1.1 BAHAR DÖNEM
DERSN ևRETM ÜYES: Dr. Salim CEYHAN
14 Mart 2014
εt = %1
1
1
≈ 1 + x + x2 , x = 0.1 için
≈ 1 + 0.1 + (0.1)2 = 1.11,
1–x
1– 0.1
1.11 – 1.1 ×%100 = %0.9009 > εs ve gerçek ba˘gıl hata yüzdesi
Mutlak yakla¸sık ba˘gıl hata yüzdesi |εa | = 1.11 εt = %0.1
1
1
4.tahmin:
≈ 1 + x + x2 + x3 , x = 0.1 için
≈ 1 + 0.1 + (0.1)2 + (0.1)3 = 1.111,
1–x
1
–
0.1
1.111 – 1.11 × %100 = %0.09 < εs oldu˘gundan en az iki
Mutlak yakla¸sık ba˘gıl hata yüzdesi |εa | = 1.111 anlamlı basamak do˘grulukta hesaplama yapılmı¸s olur ve gerçek ba˘gıl hata yüzdesi
3.tahmin:
εt = %0.1
Soru 3.
x = 1 noktası civarında f(x) = 25x3 – 6x2 + 7x – 88 fonksiyonunun Taylor seri açılı-
mında tek terim, iki terim, üç terim ve dört terim alarak f(x) fonksiyonunun f(2) de˘gerini tahmin
edin. Her bir yakla¸sım için gerçek ba˘gıl hata yüzdesi, εt ’yi hesaplayın.
ÇÖZÜM
C: x = 1 civarında bir fonksiyonun Taylor seri açılımı:
f0 (1)
f00 (1)
f000 (1)
f(x) = f(1) +
(x – 1) +
(x – 1)2 +
(x – 1)3 + . . . s¸eklindedir.
1!
2!
3!
Gerçek De˘ger:f(2) = 1020 dir.
1.tahmin: f(x) ≈ f(1),
εt = %160.8
2.tahmin: f(x) ≈ f(1) +
f0 (1)
(x – 1), x = 2 için f(2) = 8,
1!
3.tahmin: f(x) ≈ f(1) +
f0 (1)
f00 (1)
(x – 1) +
(x – 1)2 , x = 2 için f(2) = 77,
1!
2!
4.tahmin: f(x) ≈ f(1) +
f00 (1)
f000 (1)
f0 (1)
(x – 1) +
(x – 1)2 +
(x – 1)3 , x = 2 için f(2) = 102,
1!
2!
3!
Soru 4.
a
εt = %92.15
εt = %24.501
εt = %0.
xn
kuvvet serisinin ilk 5 terimini kullanarak
n=0 n!
∞
ex = ∑
e de˘gerini ve b
e2 de˘gerini hesaplayın ve gerçek hata yüzdesini bulun. (Gerçek de˘gerler,
e = 2.7182812, e2 = 7.38905601)
ÇÖZÜM
C: Kuvvet serisinin ilk 5 terimi ile
ex ≈ 1 + x +
x2 x3 x4 x5
+ + +
2
6 24 120
DERSN ևRETM ÜYES: Dr. Salim CEYHAN
BAHAR DÖNEM
2.7182812 – 2.71667
× 100 = %0.0592
≈ 2.71667, εt =
a
2.7182812
7.38905601
–
7.26667
b e2 ≈ 7.26667, εt =
× 100 = %1.65631.
7.38905601
e1
14 Mart 2014
Download

bm202 sayısal çözümleme ödev-ı