19.06.2014
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10.
Toplam
10
100
Alnan Puan
HOMOLOJ CEBRE GR“ FNAL CEVAP ANAHTARI
Not: Süre
1.
f : A −→ B
modül homomorzmas,
p : B −→ B/Imf
120
Dakikadr.
i : Kerf −→ A
kapsama homomorzmas ve
do§al epimorzma olmak üzere
0 −→ Kerf −→ A −→ B −→ B/Imf −→ 0
dizisinin tam oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
h
f
i
p
g
0 −→ Kerf −→ A −→ B −→ B/Imf −→ 0
i
kapsama homomorzmas oldu§undan monomorzmadr.O halde
oldu§undan
i
Imh = Keri
Keri = 0
dir.
kapsama homomorzmas oldu§undan
p : B −→ B/Imf , b 7−→ b + Imf
Imi = Kerf
dir.
do§al epimorzma oldu§undan
Kerp = {b ∈ B : p(b) = Imf }
= {b ∈ B : b + Imf = Imf }
= {b ∈ B : b ∈ Imf }
= B ∩ Imf
= Imf
p
do§al epimorzma oldu§undan
∀b + Imf ∈ B/Imf
=⇒ Imp = Kerg
için
dir.
O halde dizi tamdr.
Imp = B/Imf
g(b + Imf ) = 0
dir.
oldu§undan
Kerg = B/Imf
dir.
dr.
Imh = 0
2.
A
B
burulma grubu ve
Cevap :
Hom(A, B) = 0
burulmasz grup ise
f ∈ Hom(A, B) , a ∈ A
A
olsun.
oldu§unu gösteriniz.
burulma grubu oldu§undan
∃n ∈ Z+
için
n.a = 0'dr.
n.a = 0 ⇒ f (n.a) = 0 ⇒ n.f (a) = 0 ⇒ f (a) = 0 ⇒ f = 0 ⇒ Hom(A, B) = 0
3.
R
bir komütatif halka olmak üzere iki projektif modülün tensör çarpmnn da bir pro jektif
modül oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
P
P
ve
0
projektif modüller olsun.
P ⊗P
0
projektif modül müdür ?
0
0
HomR (P ⊗ P , −) ∼
= HomR (P, Hom(P , −))
dir.
P
P
ve
0
projektif
0
HomR (P, Hom(P , −))
=⇒ HomR (P ⊗ P , −)
=⇒ P ⊗ P
4.
I
ve
Im(f )
ve
0
HomR (P , −)
tamdr.
O
halde
tamdr.
0
0
HomR (P, −)
oldu§undan
tamdr.
projektiftir.
bir injektif modül ve
f ◦f = f
olmak üzere
f :I →I
modül homomorzmas ise
Ker(f )
nin herbirinin injektif oldu§unu gösteriniz.
f ◦ f = f olmak üzere f : I → I modül homomorzmas ise T = Ker(f ) ⊕ Im(f ) dir.
Q
Teorem: I =
Ik injektif modül ⇔ ∀k ∈ K için Ik injektif modüldür. K indis kümesi sonlu
Q k∈K
L
oldu§unda
Ik = I =
Ik dr.
Cevap :
k∈K
I
k∈K
injektif modül ise teoremden
5.
A
burulma grubu,
Cevap :
D
A
D
Im(f )
ve
bölünebilir grup ise
burulma grubu ise
bölünebilir grup ise
Ker(f )
∀d ∈ D
∀a ∈ A
için
d = nd
A⊗D =0
na = 0
için
0
injektif modüllerdir.
oldu§unu gösteriniz.
n ∈ Z+
olacak ³ekilde
olacak ³ekilde
0
0
d ∈D
0
vardr.
vardr.
0
a ⊗ d = a ⊗ (nd ) = (na) ⊗ d = 0 ⊗ d = 0
dr. Buradan
6.
ise
A⊗D =0
T : R − M od → Ab
T
olur.
soldan tam kovaryant funktoru ve bunun
T1
türev funktoru soldan tam
funktorunun tam oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
f
g
0→A→B→C→0
tam dizi olsun.
T
soldan tam kovaryant funktor ise
T (f )
T (g)
∂0
T 0 (A) ∼
= T (A)
0
0
dr. O halde
0
0 → T (A) → T (B) → T (C) → T (A) → T (B) → T (C) → · · ·
dizisi tamdr.
T1
soldan tam ise
T 1 (f )
T 1 (g)
0 → T 1 (A) → T 1 (B) → T 1 (C)
tam dizidir. Buradan
Ker(T 1 (f )) = 0
ImT (g) = Ker∂ 0 = T (C)
dr.
olur. Böylece
T (g)
epimorzmadr.
T (f )
T (g)
0 → T (A) → T (B) → T (C) → 0
tam dizidir.
7.
I
T
funktoru tamdr.
modülünün injektif olmas için gerek ve yeter ko³ul her
f : A −→ B
epimorzmas için
Ext1 (f, I) : Ext1 (B, I) −→ Ext1 (A, I)
nn monomorzma olmasdr. Gösteriniz.
Cevap :
i
f
0 → Ker(f ) → A → B → 0
I
tam dizisini alalm.
injektif oldu§undan
f∗
Hom(−, I)
i∗
tamdr.
∂
0 → Hom(B, I) → Hom(A, I) → Hom(Ker(f ), I) → Ext1 (B, I)
Ext1 (f,I)
→
Ext1 (A, I) →
Ext1 (Ker(f ), I) → 0
tam dizidir.
Hom(Ker(f ), I) = Imi∗ = Ker∂ ⇔ ∂ = 0
⇔ 0 = Im∂ = Ker(Ext1 (f, I)) ⇔ Ext1 (f, I)
8. Her
A, C
gruplar için
dr.
monomorzmadr.
T or(A, C) ∼
= T or(T (A), T (C))
oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
0 → T (A) → A → A/T (A) → 0
tam dizisini alalm ve bu tam diziye
− ⊗ T (C)
yi uygulad§mzda
0 → T or(T (A), T (C)) → T or(A, T (C)) → T or(A/T (A), T (C)) → T (A) ⊗ T (C) → · · · → 0
dizisini elde ederiz.
A/T (A)
T or(A/T (A), T (C)) = 0
burulmasz grup oldu§undan
A/T (A)
at modüldür. Buradan
dr. O halde
T or(T (A), T (C)) ∼
= T or(A, T (C))
dir.
0 → T (C) → C → C/T (C) → 0
tam dizisine
A⊗−
yi uygulad§mzda
0 → T or(A, T (C)) → T or(A, C) → T or(A, C/T (C)) → A ⊗ T (C) → A ⊗ C → A ⊗ C/T (C) → 0
dizisini elde ederiz.
C/T (C)
at modül oldu§undan
T or(A, C/T (C)) = 0
dr. O halde
T or(A, T (C)) ∼
= T or(A, C)
dir.
T or(A, C) ∼
= T or(T (A), T (C))
ki izomorzmadan
9.
A
ve
B
Cevap :
birer
R−
modül olmak üzere
T = HomR (A, −)
ve her
n
için
olur.
Ext0R (A, B) ∼
= HomR (A, B)
In
oldu§unu gösteriniz.
injektif olmak üzere
d0
δ
d1
0 −→ B −→ I 0 −→ I 1 −→ ...
tam dizisini alalm. Bu durumda
T (d−1 )
0
/ T (I 0 ) T (d ) / T (I 1 )
0
/ ...
kompleksinden
Ext0R (A, B) = T 0 (B) = Ker(T (d0 ))/Im(T (d−1 )) ∼
= Ker(T (d0 ))
dir. Di§er taraftan
T
soldan tam oldu§undan
0
0
/ T (B) T (δ) / T (I 0 ) T (d ) / T (I 1 )
/ ...
dizisi tamdr. O halde esas homomorzma teoreminden
T (B) ∼
= Im(T (δ)) = Ker(T (d0 )) ∼
= Ext0R (A, B)
dir. Buradan
HomR (A, B) = T (B) ∼
= Ext0R (A, B)
olur.
10. Her
0 6= m ∈ Z
ve
C
grubu için
Ext(C, Zm ) ∼
= Ext(C[m], Zm )
oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
i
fm
0 → C[m] → C → mC → 0
tam dizisine
Hom(−, Zm )
uygulayalm.
∗
fm
i∗
0 → Hom(mC, Zm ) → Hom(C, Zm ) → Hom(C[m], Zm ) → Ext(mC, Zm ) → Ext(C, Zm ) → · · · → 0
mZm = 0
oldu§undan
mExt(mC, Zm ) = 0
dr.
∗ : Ext(mC, Z ) → Ext(C, Z )
fm
m
m
mExt(mC, Zm ) = 0
Keri∗ = 0 ⇒ i∗
ise
∗ (Ext(mC, Z )) = mExt(mC, Z ) = 0
∀fm
m
m
monomorzmadr. Buradan
⇒ Ext(C, Zm ) ∼
= Ext(C[m], Zm )
olur.
i∗
izomorzmadr.
olur. O halde
∗ =0
Imfm
dr.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA
Download

F NAL CEVAP ANAHTARI Not: Süre 120 Dakikad r. Cevap