İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
KÜMELER VE MANTIK
1.1. Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Kümeler Üzerindeki Önermeler
(İfadeler) ve Koşullar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Matematiksel İspat Yöntemleri . . . . . . . . . .
1.4. Kümelerin Kartezyen Çarpımı . . . . . . . . . . .
1.5. 1. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
4
7
8
2. BÖLÜM
ℤ TAMSAYILAR KÜMESİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
İyi Sıralılık Prensibi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bölme ve Öklid Algoritmaları . . . . . . . . . . .
Aritmetiğin Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . .
Mod m Denkliği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
14
16
18
3. BÖLÜM
DENKLİK BAĞINTILARI VE DENKLİK SINIFLARI
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Bağıntılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denklik Bağıntıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denklik Sınıfları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kalan Sınıfları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
21
22
23
26
3.5. ℤm nin Cebirsel Bir Sistem Olarak Özellikleri
3.6. 3. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . .
28
32
4. BÖLÜM
FONKSİYONLAR
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Görüntü Kümesi, Örtenlik . . . . . . . . . . . . .
Bire-Birlik, Bijective Fonksiyon ve Tersi . . .
Bir Fonksiyonun Kısıtlanışı . . . . . . . . . . . . .
Fonksiyonlar Üzerindeki Diğeri Sonuçlar ..
4. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
32
38
40
42
44
5. BÖLÜM
CEBİRSEL YAPILAR VE YARI GRUPLAR
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Yarı Grupta Bir Elemanın Kuvvetleri . . . .
Yarı Grupta Birim ve Ters Elemanlar . . . .
Alt Yarı Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
50
51
53
55
6. BÖLÜM
GRUP KAVRAMINA GİRİŞ
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
Bir Grubun Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grup Örnekleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grup Aksiyomlarının Basit Sonuçları . . .
Grubun Herhangi Bir Elemanının Kuvvetleri
Alt Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
57
58
64
67
68
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
Bazı Önemli Alt Grup Örnekleri . . . . . . . .
Bir Elemanın Mertebesi . . . . . . . . . . . . . . . .
Devirli Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
75
78
82
7. BÖLÜM
KOSETLER VE LAGRANGE TEOREMİ
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bir Grubun Alt Kümelerinin Çarpımı . . . .
Kosetlere Farklı Bir Yaklaşım . . . . . . . . .
Lagrange Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagrange Teoreminin Bazı Sonuçları . . . . .
7. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
86
88
95
97
101
8. BÖLÜM
HOMOMORFİZMALAR, NORMAL ALT GRUPLAR VE
BÖLÜM GRUPLARI
8.1. Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Homomorfizmalar ve Temel Özellikleri . .
8.3. İzomorfik Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Bir Homomorfizmanın Çekirdeği . . . . . . . .
8.5. Eşlenik Elemanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Normal Alt Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Bölüm Grupları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8. G/Z(G) Bölüm Grubu . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9. Birinci İzomorfizma Teoremi . . . . . . . . . . .
8.10. İkinci, Üçüncü İzomorfizma ve
Karşılık Gelme Teoremleri . . . . . . . . . . . .
8.11. 8. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
105
106
109
112
115
118
122
125
126
129
133
9. BÖLÜM
SİMETRİK GRUPLAR
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devirler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ayrık Devirlerin Çarpımları . . . . . . . . . . .
Sn nin Elemanlarının Mertebeleri . . . . . . . .
Sn içindeki Eşleniklik . . . . . . . . . . . . . . . . .
1, 2, …, n Objelerinin Sıralanması . . . . . . .
Alterne Karakter ve Alterne Gruplar . . . . .
A5 Grubunun Basit Grup Oluşu . . . . . . . . .
9. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . . .
139
141
145
150
152
156
158
164
169
10. BÖLÜM
HALKALAR
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bir Halkanın Tanımı ve Temel Özellikleri .
Özel Halkalar ve Halka Elemanları . . . . .
Alt Halkalar ve Alt Cisimler . . . . . . . . . . .
Halka Homomorfizmaları . . . . . . . . . . . . .
İdealler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Birimli ve Komütatif Halkalardaki
Temel İdealler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8. Bölüm Halkaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9. Bir Cismin veya Tamlık Bölgesinin
Karakteristiği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10. Bir Tamlık Bölgesinde Çarpanlara Ayrılma
10.11. Cisimlerin Bölüm Halkası Olarak İnşası . .
10.12. Bir Tamlık Bölgesi Üzerindeki
Polinom Halkaları . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii
173
174
175
180
182
185
189
191
196
200
207
210
10.13. Bir F Cismi İçin F[X] in Bazı
Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.14. Euclid Bölgeleri - Özet . . . . . . . . . . . . .
10.15. 10. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . .
215
219
221
11. BÖLÜM
VEKTÖR UZAYLAR
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektör Uzayın Tanımı ve Özellikleri . . . .
Vektör Uzaylarda Taban ve Boyut . . . . . .
11. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . . . .
225
226
234
240
12. BÖLÜM
MODÜLLER
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modül Tanımı ve Temel Özellikleri . . . . . .
Alt Modüller ve Örnekleri . . . . . . . . . . . .
Modül Homomorfizmaları,
Bölüm Modülleri ve İzomorfizma
Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maksimal Alt Modüller . . . . . . . . . . . . . . .
Serbest Modüller . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Serbest Modüllerin Özellikleri . . . . . . . . .
12. Bölüm Alıştırmaları . . . . . . . . . . . . .
xiii
243
244
247
249
256
257
261
274
EK BÖLÜM
GRUP SUNUŞLARI VE YARI DİREKT ÇARPIM .............277
Ek Bölüm Alıştırmaları ......................................................289
KAYNAKLAR .......................................................................... 293
İNDEKS ................................................................ 297
xiv
Download

İ Ç İ N D E K İ L E R