Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bölüm 2
Yaklaşım ve Hata Tanımları
Şekil 2.1
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Anlamlı Basamak
Bir sayının anlamlı basamakları, güvenle
kullanılabilecek basamaklarıdır.
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Doğruluk ve Hassaslık
Şekil 2.2
Artan doğruluk
Yanlış ve belirsiz
Doğru ve belirsiz
Doğruluk (Yanlışlık)
Artan hassalık
Hesaplanan ya da ölçülen
değerin gerçek değere ne kadar
yakın olduğunu ifade eder.
Hassalık (Belirsizlik)
Hesaplanan ya da ölçülen
değerlerin kendi aralarında ne
kadar uyumlu olduğunu ifade
eder.
Yanlış ve hassas
Doğru ve hassas
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Sayısal yöntemlerde, hem yanlışlığı hem de belirsizliği ifade etmek için hata tanımı kullanılır.
Yanlışlık
Belirsizlik
HATA
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Hata Tanımları
Sayısal hatalar, gerçek matematiksel işlem ve büyüklüklerin yaklaşımlar ile ifade
edilmesinden doğar.
Sayısal Hata
Yuvarlatma Hataları
Gerçek sayıları ifade etmek için
sınırlı sayıda basamak
kullanılmasından kaynaklanır
Kesme Hataları
Gerçek matematiksel işlemlerin
yaklaşımlar ile ifade
edilmesinden kaynaklanır
Gerçek Hata = Gerçek Değer – Yaklaşım Değeri
Et
(Hesaplanan Değer)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Gerçek Hata
Et = Gerçek Değer – Yaklaşım Değeri
Bu tanımın eksikliği, incelenmekte olan değerin mertebesini dikkate almamasıdır.
Gerçek Bağıl Hata
ɛt = (Gerçek Hata / Gerçek Değer) × %100
Yeni Değer
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Ölçülen değer
=
9999 cm
9 cm
Gerçek değer
=
10000 cm
10 cm
Et = Gerçek değer – Ölçülen değer
Et
=
10000 – 9999 = 1 cm
10 – 9 = 1 cm
ɛt = ( Et / Gerçek değer ) × % 100
ɛt
=
(1/10000 ) × % 100 = % 0.01
(1/10 ) × % 100 = % 10
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Gerçek Hata
Et = Gerçek Değer – Yaklaşım Değeri
Bu tanımın eksikliği, incelenmekte olan değerin mertebesini dikkate almamasıdır.
Gerçek Bağıl Hata
ɛt = (Gerçek Hata / Gerçek Değer) × %100
Ancak, uygulamaların çoğunda, gerçek değer bilinmez. Bu nedenle, sayısal yöntemlerde en zor işlerden biri de,
gerçek değer bilinmeden hata tahmini yapmaktır.
Genelde sayısal yöntemlerde, çözüme ulaşmak için iteratif yaklaşım kullanılır. İteratif yaklaşımda, yeni çözüm, bir
önceki çözüm esas alınarak hesaplanır. İterasyonlar gittikçe iyileşen çözümler elde ederek tekrarlanır.
Bu yüzden, sayısal yöntemlerde hata, genellikle, yeni çözüm ile bir önceki çözüm arasındaki fark olarak dikkate
alınır.
(Yaklaşık)Bağıl Hata
ɛa =
Yeni Değer – Bir Önceki Değer
Yeni Değer
× %100
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bağıl Hata
ɛa =
Yeni Değer – Bir Önceki Değer
Yeni Değer
× %100
İteratif çözümlere, bağıl hatanın mutlak değerinin önceden belirlenen ɛs tolerans yüzdesinden küçük oluncaya
kadar devam edilir.
| ɛa | < ɛs
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Yuvarlatma Hataları
Sayısal hesaplamalar sırasında sadece belirli sayıda anlamlı
basamağı kullanılabilmesinden kaynaklanır.
π = 3.141592654…..
π = 3.14
e = 2.718281828…..
e = 2.72
√7 = 2.645751311…..
e = 2.65
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Kesme Hataları
Gerçek matematiksel işlemlerin yaklaşımlar ile ifade edilmesinden kaynaklanır.
Kesme hatalarını daha iyi kavrayabilmek için sayısal yöntemlerde fonksiyonları
yaklaşık olarak ifade etmekte sıklıkla kullanılan Taylor Serisini yaklaşımını
inceleyelim.
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Kesme Hataları: Taylor Serisi
Taylor serisi, bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerinin, fonksiyonun bir
başka noktasındaki değeri ve türevleri cinsinden yaklaşık olarak tahmin
edilmesidir.
Eğer bir f (x) fonksiyonunun xi noktasındaki değeri biliniyorsa xi+1 noktasındaki
değeri Taylor serisi ile şu şekilde ifade edilebilir:
Adım büyüklüğü
Kesme Hatası
Kesme Hatasına neden olur
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Kesme Hataları: Taylor Serisi
f ( x ) = -0.1x4 -0.15x3 – 0.5x2 -0.25x +1.2 fonksiyonunun xi = 0 değerini
kullanarak xi+1 = 1 deki değerini Taylor serisi ile tahmin etmeye çalışalım:
0.2
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Toplam Sayısal Hata
 Toplam sayısal hata, kesme ve yuvarlatma hatalarının toplamıdır.
 Yuvarlatma hatalarını en aza indirmek için anlamlı basamak sayısını artırmak
gerekir.
 Adım büyüklüğü küçültülerek ve terim sayısını artırarak kesme hatalarını
azaltmak mümkündür.
log hata
Azalma
noktasının
dönüşü
Yuvarlatma hatası
Kesme hatası
log adım büyüklüğü
Download

Bölüm 2