ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ
PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER
Doç. Dr. Nihal ERGİNEL
2014
PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER
Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana
kütleden örneklerin rassal seçilmesi varsayımına
dayanmaktaydı ve parametrik testler kullanılmıştı.
Parametrik olmayan testler ise, gözlem değerlerinin
eşit aralıklı veya oranlı birim ölçekle elde edilen veya
sıra ve sütun etkileşiminin doğrusal bileşiminin ana
kütle ortalamasını oluşturduğu durumlarda ve
anakütle dağılımına bakılmaksızın kullanılır.
PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER
Parametrik olmayan testlerde ölçme
düzeyinin sınıflama veya sıralama olması
yeterlidir. Değişkenlerden birinin konumu
ile diğerinin konumlarının karşılaştırıldığı
durumlarda kullanılır.
Parametrik Olmayan Testlerin Avantajları
1. Anakütle dağılımı ne olursa olsun uygulanabilir.
2. Örnek büyüklüğünün önemi yoktur ancak
örnekteki birim sayısı ne kadar artarsa, parametrik
olmayan testin gücüde o oranda artar.
3. Sınıflandırma/ sıralama verilerine daha uygundur.
4. Farklı yapılardaki ana kütleden çekilmiş örneklere
de uygulanabilir.
NOT: Parametrik test
uygulanacak iken, parametrik
olmayan test uygulanırsa bilgi
kaybı olacağından yanlış olur.
İŞARET TESTİ
Bir seriyi küçükten büyüğe dizdiğimizde
belli bir değerden küçük olanlar veya
büyük olanların sayısı ile ilgilendiğinde, X
ile ilgilenilen birim sayısı olmak üzere;
X Binom (n,p) dağılır.
İŞARET TESTİ
X: (+) işaretlilerin sayısı olmak üzere ve küçük örnekler için (n<25)
Hipotezler
:
=
:
eğer x < ise P= 2P(x
) α ………….
red
eğer x > ise P= 2P(x
) α ………….
red
:
<
P(x
)=
α …….
red
:
>
P(x
X) =
α …….
red
İŞARET TESTİ
ÖRNEK-1:
Bir pilin şarj edildikten sonra çalışma sürelerinin orta değer olan
medyan değerinin 1,8’ e eşit olup olmadığını test ediniz.(α=0,05)
Veriler:
1,5 - 2,2 - 0,9 - 1,3 - 2,0 - 1,6 - 1,8 - 1,5 - 2,0 - 1,2 - 1,7
İŞARET TESTİ
ÇÖZÜM-1:
0,9 - 1,2 – 1,3 - 1,5 – 1,5 - 1,6 - 1,7 - 1,8 - 2,0 – 2,0 – 2,2
(-)
(-) (-) (-) (-) (-) (-) X (+) (+)
(+)
Küçükten büyüğe
sıralama
S(-)= 7 , S(+)= 3 , n=10
X: (+) olanların sayısı (p= )
İŞARET TESTİ
Hipotezler
:
=1,8
:
1,8
Test istatistiği:
S(+)= 3<
P=2P(X 3 )
=2
= 0,3438 > 0,05
olduğundan
red edilemez. %95 güven seviyesinde pilin
çalışma süresi 1,8 saatten anlamlı derecede farklı değildir.
İŞARET TESTİ
ÖRNEK-2:
Bir dersin yılsonu başarı medyanı 54 puan olmuştur. Bu
öğrencilerden bazıları aynı dersi yaz döneminde de
almışlar ve aşağıdaki sonuçları elde etmişlerdir. Buna göre
öğrencilerin yaz dönemindeki başarılarının yıl
içindekinden daha iyi olduğunu söylenebilir mi? (α=0,05)
54
30 - 35 - 42- 50 – 55 – 58 – 64 – 70- 70 -72- 80- 86- 88
(-) (-) (-) (-) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)
İŞARET TESTİ
Hipotezler
ÇÖZÜM-2:
:
=54
:
> 54
S(-)= 4 , S(+)= 9, n=13
X: (+) olanların sayısı (p= )
P(x 9) = P(x=9)+ …..+ P(x=13)
x Binom(13;0,5)
P(x=9)=
= 0,087
P(x=10)=
= 0,035
İŞARET TESTİ
ÇÖZÜM-2:
P(x=11)=
= 0,0095
P(x=12)=
= 0,00159
P(x=13)=
= 0,000122
P= 0,087 +0,035+0,0095+0,00159+0,000122= 0,1334
Sonuç:
i-) 0,1334 > 0,05 …………..
red edilemez.
ii-) % 95 güven seviyesinde yaz dönemi notlarının medyanı
yıl içindeki medyandan anlamlı derecede büyük değildir.
İŞARET TESTİ
Büyük örnekler için;
n>25
olduğunda Binom dağılımı Normal
dağılıma yaklaşacağı için p=q=
dağılım daha uygundur.
için Normal
Ortalaması µ = np , standart sapması
dan
normal dağılıma yaklaşır. Süreklilik için düzeltme
faktörü yani her X değerine 0,5 ekleyip çıkarmak
ile kesikli rassal değişkenler yapay olarak sürekli
hale getirilir.
İŞARET TESTİ
Hipotezler:
:
=
:
:
<
Test istatistiği:
: >
=
Karar kuralı:
>
………………..
red
<-
…………………
red
>
…………………
red
İŞARET TESTİ
ÖRNEK-3:
Bir hastalık nedeniyle hastanede kalış süresi medyanı
7,5 gündür. Yeni geliştirilen bir tedavi tekniği sonrası
hastanede kalış süreleri aşağıda verilmiştir. Bu tedavi
tekniği gün sayısını azaltmış mıdır? (α= 0,05)
Gün 3
Hasta 20
sayısı
5
15
6
15
7,5
7
10
13
8
(+)
11
5
(+)
14
4
(+)
15
1
(+)
İŞARET TESTİ
ÇÖZÜM-3:
S(+)= 18 np=
= 40, 5
Hipotezler:
: =7,5
: <7,5
Test istatistiği:
=
=
= -4,9
İŞARET TESTİ
ÇÖZÜM-3:
Sonuç:
i-)
= -4,9 < -
=-1,65 …………………
red
ii-) % 95 güven seviyesinde yeni tekniğin hastanede
kalış süresinin 7,5 günden az olduğu söylenebilir.
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
Parametre olarak medyanı alan bir konum testidir.
Medyanın belli bir değere eşit olup olmadığı test edilir.
Gözlem değerlerine medyana göre sıra numaraları
verildiğinde (-) işareti sıra numaraları ile (+) işaretli sıra
numaralarının toplamlarının eşit veya çok yakın olması
beklenir.
Karar kuralı:
T(+) veya T(-) <
………….
red
Küçük örnekler (n<25) için kritik
tablosu geliştirilmiştir.
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
ÖRNEK-1:
Bir ekmek çeşidinin ağırlığının medyanının 180 gr olması
beklenmektedir. Rastgele aldığımız 16 ekmek tartılmış ve
aşağıdaki gibi bulunmuştur. Örneğin medyanı istenen
değere eşit midir?
158- 163- 166- 166- 166- 168- 168- 170172- 175- 178- 182-183 -185- 186- 190
180
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
ÇÖZÜM-1:
Hipotezler:
:
:
:
-
=180
180
-22 -17 -14 – 14 -14 - 12
- 12 - 10 - 8 -5 -2
+2 +3 +5
+6
+10
-16 -15 -13 – 13 -13 – 10,5 – 10,5 – 8,5 - 7 -4,5 -1,5 +1,5 +3 +4,5 +6 -8,5
Sıra
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
ÇÖZÜM-1:
T(+)= 23,5
T(-)= 112,5
Sonuç:
i-) T(+)= 23,5 <
= 37 ………….
red
ii-) % 95 güven seviyesinde örnek medyanı 180 gr’ a eşit değildir.
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
Büyük örnekler için (n>25);
T Normal (µ,
)
µ = E(T+) = E(T-) =
Var(T+)= Var(T-) =
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
Hipotezler:
: =
Test istatistiği:
:
=
Karar kuralı:
>
………………..
red
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
ÖRNEK-2:
Bir gıda işletmesinde 30 işçinin, paket ağırlıkları medyanı 90 kg olacak
şekilde paketleme yapması beklenmektedir. Süreçten alınan ölçümler
aşağıdadır. Paket ağırlıkları medyanı 90 kg eşit olup olmadığını α=0,05
anlam seviyesinde test ediniz.
Örnek
no
1
58
60
60
62
65
68
68
70
73
75
78
78
78
78
80
Örnek
no
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
80
80
85
88
89
92
92
93
94
95
95
96
97
98
99
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
ÇÖZÜM-2:
Örnek
no
1
2
58 60
-32 -30
-
3
4
5
6
60
-30
62 65 68
-28 -25 -22
7
8
9
10
11
68
-22
70 73 75 78
-20 -17 -15 -12
12
13
14
15
78
-12
78
-12
78
-12
80
-10
SIRA
-30 -28,5 -28,5 -27 -26 -24,5 -24,5 -23 -22 -21 -18,5 -18,5 -18,5 -18,5 -15
Örnek
no
16
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
-
80 80
-10 -10
17
85
-5
88
-2
89
-1
92
2
92
2
93
3
94
4
95
5
95
5
96
6
97
7
98
8
99
9
SIRA
-15 -15
-8
-3
-1
+3
+3
+5
+6
+8
+8
10
11
12
13
T(+)= 79 , T(-)=389
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
Hipotezler:
ÇÖZÜM-2:
:
=90 kg
:
90 kg
Test istatistiği:
Karar kuralı:
>
=
………………..
red
WILCOXON İŞARET SIRALAMASI TESTİ
ÇÖZÜM-2: n:30
T(+)=T(-)=
=
= 232,5
Var(T+)= Var(T-) =
=
=
= 2363,75
= -3,157
Sonuç:
i-)
= 1,96 >
= +3,157………………..
red
ii-) %95 güven seviyesinde medyan 90 kg’a eşit değildir.
EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN
İŞARET TESTİ
Araba
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ÖRNEK-1:
Bir taksi şirketi A ve B tipi lastiklerin
benzin
tüketimi
ve
etkisini
araştırmak için aynı arabalara
sırasıyla A ve B lastiklerini takıp 1 lt.
benzin ile gidilen km miktarı
ölçülmüştür. %5 anlam seviyesinde ,
A tipi lastiklerin benzin tüketimini
azalttığı söylenebilir mi?
A(km)
4,2
4,7
6,6
7
6,7
4,5
5,7
6
7,4
4,9
6,1
5,2
5,7
6,9
6,8
4,9
B(km)
1,1
4,9
6,2
6,9
6,8
4,4
5,7
5,8
6,9
4,9
6
4,9
5,3
6,5
7,1
4,8
EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN İŞARET TESTİ
Araba
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ÇÖZÜM-1:
A(km)
4,2
4,7
6,6
7
6,7
4,5
5,7
6
7,4
4,9
6,1
5,2
5,7
6,9
6,8
4,9
B(km)
1,1
4,9
6,2
6,9
6,8
4,4
5,7
5,8
6,9
4,9
6
4,9
5,3
6,5
7,1
4,8
R
3,1
-0,2
0,4
0,1
-0,1
0,1
0
0,2
0,5
0
0,1
0,3
0,4
0,4
-0,3
0,1
EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN İŞARET TESTİ
ÇÖZÜM-1:
Hipotezler:
:
-
=0
:
-
>0
Test istatistiği:
=
Karar kuralı:
P(X χ)
α ………………..
red
EŞLEŞTİRİLMİŞ GÖZLEMLER İÇİN İŞARET TESTİ
ÇÖZÜM-1:
=11
=3
n = 14 (2 eşit gözlem çıkartılmıştır.)
x=11
=
= 1,87
P(X 11)
P(z > 1,87) = 0,0307 < 0,05 ………………..
red
Sonuç: % 95 güven seviyesinde A tipi lastiğin benzin tüketimini
azalttığı söylenebilir.
KRUSKAL- WALLIS TESTİ
Varyans analizinde
hatası Normal ve bağımsız
dağıldığı varsayılmakta ve F testi kullanılmakta idi.
Krustal – Wallis testi , F testine alternatif
parametrik olmayan testtir ve sadece ’lerin aynı
sürekli dağılımdan gelmeleri yeterlidir.
(i=1,2, …,a) adet seviye
N adet gözlem en küçükten en büyüğe sıralanır.
KRUSKAL- WALLIS TESTİ
Hipotezler:
:
:
=
= ………=
……
• Eğer tüm gözlemler aynı dağılımdan geliyor ise, a
adet örneğe eşit miktarda dağılacak.
• Eğer
hipotezi geçerli değil ise , bu sıralama bir
tarafta baskın olacak.
KRUSKAL- WALLIS TESTİ
=
Test istatistiği:
gözleminin sırası(rank)
= toplam seviye
K=
= i. seviyenin ortalaması
Veya
E(
)=
E(
)=
,
K=
=
Karar kuralı:
K
………..
red
KRUSKAL- WALLIS TESTİ
ÖRNEK-1:
TV izleme süreleri ortalamasının
farklılık gösterip göstermediğini
%5 anlam seviyesinde test
ediniz.
İlköğretim
43
48
52
55
60
64
80
90
Lise
50
58
60
75
75
82
Üniversite
80
85
90
120
160
200
Lisansüstü
60
95
120
240
240
240
KRUSKAL- WALLIS TESTİ
ÇÖZÜM-1:
Hipotezler
: TV izleme süreleri aynı anakütleden gelmektedir.
: TV izleme süreleri aynı anakütleden değildir.
İlköğretim
43
48
52
55
60
64
80
90
R1=
Sıra
1
2
4
5
8
10
13.5
17.5
61
Lise
50
58
60
75
75
82
R2=
Sıra Üniveriste Sıra
3
80
13.5
6
85
16
8
90
17.5
11.5
120
20.5
11.5
160
22
15
200
23
55
R3= 113
Lisansüstü Sıra
60
8
95
19
120
20.5
240
25
240
25
240
25
R4= 122.5
=
= 13,5
KRUSKAL- WALLIS TESTİ
ÇÖZÜM-1:
Test istatistiği:
K=
=
= 18,05
Sonuç:
i-) K=18,05 >
= 7,815 ………..
red
ii-) % 95 güven seviyesinde TV izleme süreleri ortalamaları birbirinden
farklıdır.
Download

5. PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER