OTEKON’14
7. Otomotiv Teknolojileri Kongresi
26 – 27 Mayıs 2014, BURSA
ARAÇ KÖPRÜ ETKİLEŞİMİNİN
YOLCU KONFORU ÜZERİNE ETKİSİNİN MODELLENMESİ
İsmail Esen*, Mehmet Akif Koç**
*
Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Müh. Böl., Karabük
**
Sakarya Üniversitesi, Teknoloji Fakültesi, Makine Müh. Böl., Sakarya
ÖZET
Bu çalışmada Euler-Bernoulli kirişi kabul edilebilen esnek bir köprü ile altı serbestlik dereceli yarım model bir
aracın dinamik etkileşimi incelenmiştir. Araç köprü üzerinde ilerlerken köprü ile aracın bütünleşik titreşiminin yolcu
konforu üzerine olumsuz etkisi sürücü ve yolcu açısından modellenmiştir. Araç hareket denklemleri ile köprünün
hareket denklemi aracın temas noktalarında bütünleştirilerek zamana bağlı durum uzay eşitliği elde edilmiş ve farklı
araç ilerleme hızlarında dinamik etkileşim zaman alanında çözülerek sonuçlar elde edilmiştir. Araç için hazırlanan
yarım model tekerlekler, süspansiyon sistemini, gövde ve koltuklardan oluşmaktadır.
Anahtar kelimeler: Araç-köprü etkileşimi, yolcu konforu, yarım araç modeli,
MODELLING THE EFFECTS OF
VEHICLE-BRIDGE-INTERACTION ON PASSENGER COMFORT
ABSTRACT
In this study, the dynamic interaction of a six DOF half vehicle and a bridge, an Euler-Bernoulli flexible beam, is
investigated. While the vehicle moving on the bridge, the coupled vibration of the vehicle and bridge and its adverse
effects on passenger comfort for both the passenger and driver were modelled. By integrating vehicle and bridge
equations of motion at the contact points of the vehicle, the time-dependent state space equation was obtained and the
results of dynamic interaction of different vehicle speed were obtained by solving in the time domain. Half model is
composed of wheels, suspension system, vehicle body and seats.
Keywords: Vehicle-bridge interaction, passenger comfort, half vehicle mode
1’de verilen modelde k t1 , k t2 , k 1 , k 2 , k y1 , k y2 sırasıyla ön
tekerleğin, arka tekerleğin, ön süspansiyon yayının, arka
1. GİRİŞ
süspansiyon yayının, şoför koltuğu yayı ve yolcu koltuğu
Hareketli kütle etkisi altındaki yapıların dinamik
yayı direngenliklerini temsil eder. Semboller c t1 , c t2 , c 1 ,
davranışı mühendislikte önemli bir konu olarak pek çok
c 2 , c y1 , c y2 ise yine sırasıyla ön teker, arka teker, ön
araştırmacı tarafından incelenmiştir. Konu inşaat
süspansiyon, arka süspansiyon, şoför koltuğu ve yolcu
mühendisliğinden makine, ulaştırma, havacılık, denizcilik
koltuğu sönüm katsayılarıdır. Yine m t1 , m t2 , m a , m y1 , m y2
ve askeri mühendislik konularına kadar geniş bir alanı
sırasıyla
ön tekerleğin, arka tekerleğin, araç gövdesinin
kapsamaktadır
[1-5].
Değişik
hareketli
yük
şoförün
ve yolcunun kütleleridir. Ayrıca burada
problemlerinin analitik çözümlerinin verildiği kitap [6]
süspansiyon
sisteminin kütleleri araç gövdesine ilave
bu alanda önemli bir çalışmadır. Konunun sonlu
edilmiştir.
Parametreler
y t1 , y t2 , y g , y y1 , y y2 sırasıyla ön
elemanlar ve yapısal dinamik çerçevesinde incelendiği
tekerleğin,
arka
tekerleğin,
araç gövdesinin, şoför
diğer çalışmalar [7-10]’da verilmiştir. Esnek yapılar
koltuğunun ve yolcu koltuğunun y eksenindeki yer
üzerindeki araç dinamiği ile ilgili çalışma özellikle yolcu
değiştirmeleridir. Kirişin dikey yer değiştirmesi y(x, t),
konforu açısından [11] değerli bir çalışmadır. Hareketli
kirişin uzunluğu boyunca üzerindeki herhangi bir x
yük probleminin önemli uygulama alanından biri olan
noktasının t zamanında kirişin sol destek ucundan
tren ve ray etkileşimi problemini sonlu elemanlar
referans
alınan noktaya göre kirişin çökmesidir. Bütün bu
adaptasyonu ile yapılan birçok çalışma vardır. Örneğin
kabuller
ile Şekil 1’ile ifade edilen araç-köprü-yolcu
Lou P. [12] Euler-Bernoulli kirişine göre modellediği
etkileşimi
sistemi için kinetik enerji ifadesi aşağıdaki gibi
köprü üzerinde iki akslı ve 4 serbestlik dereceli araç
yazılır
[11].
modelinin sonlu elemanlar modelini hazırladı. Tren ray
etkileşimini sonlu elemanlar yöntemi ile nümerik
L
çözümlerin elde edildiği diğer çalışmalar referans [131 
ρ  y 2 ( x, t )  dx + ma y a2 (t ) + Jθ 2 (t ) +
E
=

k
15]’de verilmiştir. Değişik kütle ilerleme hızları ve
2  ∫0 
(1)
ivmeli hareketi de dikkate alarak hareketli kütle
2
2
2
2
m y1 y y1 (t ) + m y 2 y y 2 (t ) + mt1 yt1 (t ) + mt 2 yt 2 (t )} ,
probleminin hareketli kütlenin atalet, merkezkaç ve
Coriolis kuvveti etkilerinin dikkate alarak sonlu
elemanlar modeli ile daha gerçekçi sonuçlar çalışma
Burada, ρ ifadesi köprü kirişinin birim uzunluğunun
[16]’da verilmiştir. Genel çerçevesi itibariyle hareketli
kütlesini temsil etmektedir. Şekil 1’de verilen sistem için
kütle problemleri karmaşıktırlar. Bunun nedeni sistem
potansiyel enerji ifadesi;
eşitlikleri yapısal sistemin sınır şartları, hareketli yükün
kütlesi, hareket hızı gibi pek çok parametreden
L
1 
2
2
etkilenerek lineer değildir. Özellikle kütlenin yer
Ep
=
 ∫ EI [ y ′′ ( x, t )dx] + k y1[ ya (t ) + d1θ (t ) − y y1 (t )]
2

0
değiştirmesinden dolayı sistemin karakteristik titreşim
frekansları değişmektedir. Diğer kütle problemlerine göre
+k y 2 [ ya (t ) + d 2θ (t ) − y y 2 (t )]2
(2)
çok serbestlik dereceli araç modellerinin çözümü biraz
+ k1[ ya (t ) + b1θ (t ) − yt1 (t )]2
daha karmaşık olup, bu çalışmada altı serbestlik dereceli
+k2 [ ya (t ) − b2θ (t ) − yt 2 (t )]2
bir yarım araç modelinin esnek bir köprü ile etkileşimi
+ kt1[ yt1 (t ) − y (ξ1 (t ), t )]2 H ( x, ξ1 (t ))
modellenmiştir. Esnek yapının titreşiminin yolcu konforu
üzerine etkisi geniş bir çerçevede sunulmuştur.
+ k [ y (t ) − y (ξ (t ), t )]2 H ( x, ξ (t ))} ,
t2
2. TEORİ
Araç köprü etkileşiminden meydana gelen
salınımların yolcu konforu üzerine olan etkisini
incelemek için Şekil 1’de verilen 6 serbestlik dereceli
şematik yarım araç modeli ve üzerinde bulunduğu köprü
sistemi incelenmiştir. Araç modeli, araç gövdesi,
sönümlemeli tekerlekler, süspansiyon sistemi ve esnek ve
sönümlemeli yolcu koltuklarından oluşmaktadır. Şekil
t2
2
2
Yine denklem (2) ile verilen ifade içinde EI köprü
kirişinin rijitliği, H(x) Heaviside şekil fonksiyonlarıdır.
Ön ve arka tekerleklerin köprü kirişi üzerindeki temas
noktaları aşağıdaki gibi ifade edilir.
ξ1 (t ) =
u (t ) + b1 ,
ξ 2 (t ) =
u (t ) − b2 ,
(3)
d2
d1
yy2
y
y1
my1
my2
k y2
c y2
ma , J
k1
yg
k y1
c y1
k1
c1
θ
c2
y t1
y t2
mt 2
y
v
mt1
k t2
c t2
k t1
c t1
r( x)
x
z
ξ2(t)
b1
b2
ξ1(t)
u(t)
L
Şekil 1. Altı serbestlik dereceli araç ve köprü etkileşimi modeli
Şekil 1’de verilen sistemin Langrange denklemleri ile
birlikte mod açılım yöntemi kullanılmıştır. Kiriş
üzerindeki herhangi x noktasının t zamanında çökme
ifadesi için Galerkin yaklaşımı;
n
y ( x, t ) = ∑ φi ( x)qi (t ),
(4)
i =1
φi ( x)
=
2
 iπ x 
sin 
=
 , i 1, 2,..., n.
L
 L 
(5)
kiriş elemanındaki çökme için
qi
genelleştirilmiş koordinat olup, φi ise köprü kirişinin
sınır koşulları ile birlikte elde edilen salınım şeklidir. Bu
salınım şekilleri arasındaki ortoganallik şartları denklem
(6)’ da olduğu gibi ifade edilir.
Burada
L
∫ ρφ ( x)φ ( x)dx = N δ
i
j
i ij
,
0
L
(6)
∫ EIφi′′( x)φ ′′j ( x)dx = Siδ ij ,
f g ( x, t ) =
−( f g1 H ( x − ξ1 (t ))) + ( f g 2 H ( x − ξ 2 (t ))),
(7)
Burada f g1 ve f g2 araç parametrelerinden elde edilir ve
(Ek A)’da verilmiştir. Tüm sistemin sönümlemesi için
Rayleig’in sönümleme fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır
[11].
R
=
1
{cy 2 ( x, t ) + cy1[ y a (t ) + d1θ(t ) − y y1 (t )]2
2
c y 2 [ y a (t ) − d 2θ(t ) − y y 2 (t )]2
+ c1[ y a (t ) + b1θ(t ) − yt1 (t )]2
c [ y (t ) − b θ(t ) − y (t )]2
2
a
2
(8)
t2
+ ct1[ yt1 (t ) − y (ξ1 (t ), t )]2 H ( x − ξ1 (t ))
ct 2 [ yt 2 (t ) − y (ξ 2 (t ), t )]2 H ( x − ξ 2 (t ))} ,
Denklem (8) ile verilen ifade içinde c köprü kirişi için
eşdeğer sönümleme katsayısıdır. Ayrıca sisteme ait
Langrange ifadesi potansiyel enerji ile kinetik enerjinin
farkına eşittir. Bu durumda altı değişkene göre bu ifade
yeniden düzenlenirse;
0
Denklem (6) ile verilen ifade içinde δ ij terimi
(i,j=1,2,…,n) kroneker deltadır. Zamana bağlı yer çekim
kuvveti Heaviside fonksiyonları ile beraber aşağıdaki gibi
ifade edilir.
∂E p
d  ∂Ek  ∂Ek
∂R
+
+
=0 , k =1, 2,....,6,

−
dt  ∂p k (t )  ∂pk (t ) ∂pi (t ) ∂p k (t )
∂E p
∂R
d  ∂Ek  ∂Ek
+
+
=
0,i=
1, 2,....,6,

−
dt  ∂qi (t )  ∂qi (t ) ∂qi (t ) ∂qi (t )
(9)
Durum değişkenleri vektör formunda aşağıdaki gibi
yazılır.
p (t ) = { ya (t ) θ (t ) y y1 y y 2 yt1 yt 2 } ,
T
(10)
Denklem (15) ile verilen ifade için parametreler Ek B’de
verilmiştir. Şekil 1’de verilen araç-köprü-yolcu etkileşimi
problemi için basit mesnetli kiriş olarak modellenen
köprü kişinin doğal ve dairesel titreşim frekansları
aşağıdaki denklem ile ifade edilir [8].
L
φ ( x) f ( x, t )dx, i
∫=
Qi
=
i
g
1
1, 2,..., n.
0
Denklem (6) ile verilen ortoganallik şartı ile kiriş
çökmesi için ifade edilen Galerkin yaklaşımı (denklem
(3)) kullanılarak Şekil 1’de verilen 6 serbestlik dereceli
araç-köprü –yolcu etkileşimi modelinin hareket denklemi
elde edilir. Bu durumda şoför koltuğu ve yolcu koltuğu
için hareket denklemleri sırasıyla;
m y1 
y y1 + c y1[ y y1 (t ) − y a (t ) − d1θ(t )]
+k y1[ y y1 (t ) − ya (t ) − d1θ (t )] =
0,
m y 2 
y y 2 + c y 2 [ y y 2 (t ) − y a (t ) + d 2θ(t )]
+k y 2 [ y y 2 (t ) − ya (t ) + d 2θ (t )] =
0,
(12)
(17)
n ikinci dereceden diferansiyel denklem şeklinde ifade
edilen köprü dinamiği denklemleri aşağıdaki gibi ifade
edilir:
N i qi (t) + Si qi (t)
{
+ D1 φi (ξ1 (t) ) f g1 + ct1  y (ξ1 (t), t ) D1 − yt1 (t) 
{
+ D2φi (ξ 2 (t) ) f g 2 + ct 2  y (ξ 2 (t), t ) D2 − yt 2 (t) 
0 i=
1,2,..., n,
+ kt 2 [ y (ξ 2 (t), t) D 2 − yt 2 (t) ]} =
Burada D1,D2 aşağıda verilen zaman aralıklarına bağlı
olarak belirlenen katsayılardır.
1, D=
0,
D=
1
2
t1 ≤ t < t2
1, D=
1,
D=
1
2
t 2 ≤ t < t3
0, D
1,
D
=
=
1
2
t3 ≤ t
D1 ==
0, D2 0,
j 4π 4 EI
,
L4 ρ
(16)
Ayrıca kiriş üzerindeki hareketli yükün köprüyü etkileme
frekansı aşağıdaki gibidir [3].
ω=
πv
L
,
(17)
Köprü kirişi boyunca hareket eden aracın ω etkileme
frekansı köprü kirişinin doğal frekanslarından birine eşit
olması durumunda köprü kirişi deformasyonu sonsuza
gitmekte yani rezonans oluşmaktadır. Teorik olarak böyle
olmakla beraber araç hareketinin geçici bir etkisinden
dolayı gerçekte maksimum bir yer değiştirme ile sistem
geçici bir cevap verir. Bu durumda köprü kirişini
rezonansa sokan kiriş üzerindeki araç için kritik hız,
denklem (17) ve (18)’in eşitlenmesi ile elde edilir. Araç
için kritik hız eşitliği aşağıdaki gibi elde edilir [3].
1
π  EI  2
vkr 2=
f (1) L
=
  ,
L µ 
(18)
(13)
+ kt1[ y (ξ1 (t), t ) D1 − yt1 (t)]}
0 ≤ t < t1
j 2π  EI  2 ω j
=
=
, ω 2j
 
2π
2 L2  µ 
(11)
=
fj
(14)
3. NÜMERİK ÖRNEKLER
Şekil 1’de verilen model kullanılarak araç-köprüyolcu etkileşimini incelemek için düzgün sabit kesitli
yapıya sahip köprü kirişi kabulü ile birlikte onun üzerinde
sabit v hızı ile kirişin sol tarafından sağ tarafına doğru
giden araç ele alınmıştır (Şekil 1). Köprü ve araç için
seçilen parametreler Tablo 1’de verilmiştir (Ek C).
Köprünün ilk dört doğal titreşim modu ve frekansları
Şekil 2’de verilmektedir.
3
x 10
2
-3
Mod 1: 0.0105 Hz.
Mod 2: 0.0942 Hz.
Mod 3: 0.261 Hz.
Mod 4: 0.51 Hz.
1
Buradaki t 1 , t 2 ve t 3 parametreleri sırasıyla ikinci aks
köprüye girdiği andaki zaman, birinci aks köprüden
çıktığı andaki zaman ve ikinci aks köprüden çıktığı
andaki zamandır. D 1 ve D 2 katsayıları ile birlikte
sistemin öz fonksiyonları φi (ξ1 (t) , φi (ξ 2 (t) hareket
denklemini elde etmede kullanılan zamana bağlı
katsayıları temsil eder. Denklem (15)’de verilen ifadeler
durum uzay formunda yazılırsa;
=
x (t ) A(t ) x(t ) + f (t ),
(15)
0
-1
-2
-3
0
50
100
Köprü boyu (m.)
Şekil 2. Köprünün ilk dört titreşim mod ve
frekansları.
Numerik sonuçların daha iyi anlaşılması açısından
150
Araç gövdesi zıplaması (m.)
0.2
70 km/s
90 km/s
120 km/s
0.1
konumuna ve aracın kütlesine göre lineer değildir. Dahası
araç hızı bir başka önemli parametredir. Köprünün hıza
bağlı karmaşık yer değiştirmesi, köprü üzerinde hareket
eden aracı da farklı şekillerde tahrik etmesine neden
olmaktadır. Konunun detayı için Referanslar [2, 3 ve 16]
incelenebilir.
Yolcu koltuğu zıplaması (m.)
köprünün esnekliği yüksek seçilmiştir. Yolcu konforu
konfor sınıfı açısından genellikle titreşim ivme değerleri
temel alınarak değerlendirilir. Çalışma sayfası sınırlı
olması nedeniyle sadece zamana bağlı yer değiştirme
grafiklerle verilmiştir. Şekil 3’de araç gövdesinin zamana
bağlı yer değiştirmesi çeşitli araç ilerleme hızlılarına göre
görülmektedir.
0
-0.1
-0.2
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.3
0
2
4
6
8
0
10
Benzer tarzda şoför ve yolcu koltuklarının dinamik yer
değiştirmeleri Şekiller 4 ve 5 te verilmiştir. Araç hızları
v=70, 90 ve 120 km/saat alınarak denklem (15)
MATLAB da yazılan bir program vasıtasıyla
çözülmüştür.
0.2
Şoför koltuğu zıplaması (m.)
4
6
8
10
Şekil 5. Araç hızları v=70, 90 ve 120 km/saat için
yolcu koltuğunun zıplaması
Şekil 3. Araç hızları v=70, 90 ve 120 km/saat için araç
gövdesinin zıplaması.
0.1
2
Zaman (sn.)
Zaman (sn.)
0.15
70 km/s
90 km/s
120 km/s
70 km/s
90 km/s
120 km/s
Köprü asfaltının kalitesine göre araç konforunun
etkilenmesi incelenmesi gereken bir diğer konudur. Bu
çalışmada analizlerde yol pürüzlülüğü dikkate
alınmamıştır. Yol pürüzlülüğünü dikkate alacak
eşitliklerde köprü yer değiştirmesi y(x, t)’ ye yol
pürüzlülüğü fonksiyonu r(x) mutlak değer olarak
toplanarak =
( y (t ) { y ( x, t ) + r ( x)}x = x (t ) ) toplam yer
değiştirme, hız ve ivme temsil edilmelidir.
0.05
0
4. SONUÇLAR
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
2
4
6
8
10
Zaman (sn.)
Şekil 4. Araç hızları v=70, 90 ve 120 km/saat için
şoför koltuğunun zıplaması.
Araç köprü etkileşimi araç ilerleme hızına göre
farklılıklar göstermektedir. Grafiklerden de görüleceği
üzere 70 km/s hızda, 120 km/s hıza göre daha büyük bir
dinamik yer değiştirme oluşmaktadır. Beklentinin aksine
oluşan bu davranışı izah etmek gerekir. Öncelikle
bilinmesi gereken konu araç kütle sisteminde sistemin
doğal titreşim frekansı aracın konumuna göre
değişmektedir. Bu değişim Ref. [3]’de geniş çerçevesiyle
izah edilmiştir. Bu değişim aracın köprü üzerindeki
Bu çalışmada bir aracın esnek bir köprü üzerinden
geçişi esnasında oluşan araç köprü etkileşimi
modellenmiş ve köprüyle birlikte aracın yaptığı
titreşimler yolcu konforu açısından ortaya konmuştur.
Yapılan analizlerden esnek zeminlerin aracı titreştirdiği
ve bu titreşimin büyüklüğünün köprü rijitliği, araç
süspansiyon sistemi ve aracın hızından etkilendiği
anlaşılmaktadır. Araçların esnek yapılar üzerinden geçişi
hem araç dinamiği ve hem de köprü dinamiği açısından
dikkate alınması gereken bir konudur. Köprü dinamiği
açısından aracın kritik hızları bilinmeli ve güvenli bir
geçiş hızı sağlanmalıdır. Konu bu aşamasıyla inşaat
mühendislerini daha çok ilgilendirmektedir. Araç
dinamiği ve yolcu konforu açısından da ayrıca
incelenmesi gereken yönler bulunmaktadır ki buda
makine
mühendisliği
disiplininin
ilgi
alanını
oluşturmaktadır.
KAYNAKLAR
1. Bajer, C., Dyniewicz, B.,2012, “Numerical
Analysis of Vibrations of Structures under
Moving Inertial Load”, Springer, London.
2.
3.
Esen, İ.,2009, “Hareketli Yükler Altındaki
Köprülü
Kren
Kirişlerinin
Dinamik
(Mukavemet) Analizi” ,Doktora Tezi, İstanbul
Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,
İstanbul.
Esen, İ., Gerdemeli, İ., 2010,“Hareketli Yükler
Altındaki Köprülü Kren Kirişlerinin Dinamik
Analizi”,İtü dergisi/d, Vol.9 pp.145-156.
4.
Esen, İ., Koç, M., A., 2013, “Dynamics of 35 mm
Anti-aircraft Cannon Barrel During Firing”,
İnternational Symposium on Computing in Science,
İSCSE 201324-25 Ekim, Aydın.
5.
Esen, İ., Koç, M., A., “35 mm Uçaksavar Topu
Namlusu için Titreşim Absorberi Tasarımı ve
Genetik Algoritma ile Optimizasyonu”, Otomatik
Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül
2013, Malatya, Türkiye, pp. 513-518.
6.
Yang, Y., B., Yau, J., D., Wu, Y.,S.,2004, “VehicleBridge İnteraction Dynamics”,London.
7.
Fryba, L. 1999. Vibration solids and structures
under moving loads. London: Thomas Telford
House.Conle, F. A., Chu, C.-C., 1997, “Fatigue
Analysis and the Local Stress-Strain Approach in
Complex Vehicular Structures”, International
Journal of Fatigue, Vol. 19, No. 1, pp. 317-323.
8.
Clough RW, Penzien J. 2003.
Dynamics of
structures. 3rd ed. Berkeley: Computers and
Structures, Inc.MSC.FATIGUE User’s Guide,
Fatigue Theory, pp. 1181-1292.
9.
Wilson, E.L. 2002. Static and Dynamic Analysis
of Structures, Chapter 20: Dynamic analysis by
numerical
integration,
Computers
and
Structures Inc.
10. Wodek K. Gawronski 2004. Advanced structural
dynamics and active control of structures. SpringerVerlag New York Inc
11. Esmailzadeh, E., Jalili, N.,2002, “VehiclePassenger-Structure Interaction of Uniform
Bridges Traversed by Moving Vehicles ”, Journal
of Sound and Vibration, Vol. 260, pp. 611-635.
12. Lou,
P.,
2005,“A
Vehicle-Track-Bridge
Interaction Element Considering Vehicle’s
Pitching Effect”,Finite Element in Analysis and
Design, Vol. 41 pp. 397-427.
13. Yang, Y., B., Cheng, M., C., Chang, K., C.,2012,
“Frequency
Variation
in
Vehicle-Bridge
Interaction Systems”, International Journal of
Structural Stability and Dynamics, Vol. 13 pp. 397427.
14. Azimi, H., Galal, K., Pekau, O., A., 2013 “A
Numerical Element for Vehicle-Bridge Interaction
Analysis of Vehicles Experiencing Sudden
Deceleration”, Engineering Structures, Vol. 49 pp.
792-805.
15. Lou, P.,Au, F., 2013, “Finite Element Formula efor
Internal forces of Bernoulli-Euler Beams Under
Moving Vehicles”, Journal of Sound and Vibration,
Vol. 332 pp. 1533-1552.
16. Esen, İ., 2011 “Dynamic Response Of A Beam Due
To An Accelerating Moving Mass Using Moving
Finite Element Approximation” Math Comput Appl;
16(1): 171-182.
EK A
Aracın kütlesinin yerçekimine bağlı oluşturduğu kuvvet Heaviside fonksiyonuna bağlı olarak şu şekilde ifade
edilir:

b2
b + d1
b − d2 
−  mt1 + ma
+ m y1 2
+ my 2 2
f g ( x, t ) =
 gH ( x − ξ1 (t ) )
+
+
b
b
b
b
b1 + b2 

1
2
1
2

b1
b −d
b + d2 
−  mt 2 + ma
+ m y1 1 1 + m y 2 1
 gH ( x − ξ 2 (t ) )
+
+
b
b
b
b
b1 + b2 

1
2
1
2
(A.1)
Denklem (A.1) de verilen parametreler Şekil 1 de verilmiştir.
EK B
Denklem (15) verilen durum uzay eşitliğindeki değişkenler aşağıdaki denklemlerde verilmektedir [11].
 x1 (t) 
T
T
=
x(t) =
 , x1 (t ) { p (t ) q1 (t )...qn (t )} ,

x
(t)
 1 
Ι ( n+6) x ( n+6)
0( n+6) x ( n+6)


Λ6 x6
A=
06 x 6
Γ 6 x 6
 0nx 4
Vnx 2
S nxn
0nx 4
Ω nx 2
(B.1)

06 xn 
,
Ψ nxn  2( n+6) x 2( n+6)
0

f(t) =  ( n+12) x1 
,
Ρ
 nx1  2( n+6) x1
Burada
(B.2)
(B.3)
Γ 6 x 6 Şekil 1’de verilen araç yay sabiti katsayılarını içeren matris, Λ 6 x 6 ise aracın sonum katsayılarını
içeren matristir.
 kt1 D1φ1 (ξ1 (t)) kt 2 D2φ1 (ξ 2 (t)) 
 ,
V = 



 kt1 D1φn (ξ1 (t)) kt 2 D2φn (ξ n (t))  nx 2
(B.4)
 ct1 D1φ1 (ξ1 (t) ) ct1 D1φ1 (ξ1 (t) ) 


Ω =


,
ct1 D1φn (ξ1 (t) ) ct 2 D2φn (ξ 2 (t) ) 
(B.5)
 (−ct1 D12 φ12 (ξ1 (t))) − ct 2 D 22 φ12 (ξ 2 (t))) / N1

...
Ψ =
(−ct1 D12 φ12 (ξ1 (t))) − ct 2 D 22 φ12 (ξ 2 (t))) / N n

... (−ct1 D12 φn2 (ξ1 (t))) − ct 2 D 22 φn2 (ξ 2 (t))) / N1 

...
...
,
... (−ct1 D12 φn2 (ξ1 (t))) − ct 2 D 22 φn2 (ξ 2 (t))) / N n 
(B.6)
 (− k t1D12 φ12 (ξ1 (t))) − k t 2 D 22 φ12 (ξ 2 (t))) / N1  (− k t1D12 φn2 (ξ1 (t))) − k t 2 D 22 φn2 (ξ 2 (t))) / N1 


S=



,
(− k t1D12 φ12 (ξ1 (t))) − k t 2 D 22 φ12 (ξ 2 (t))) / N n  (− k t1D12 φn2 (ξ1 (t))) − k t 2 D 22 φn2 (ξ 2 (t))) / N n 


(B.7)
 − D1φ1 (ξ1 (t ) ) f g1 − D2φ1 (ξ 2 (t ) ) f g 2 



P=

 − D1φn (ξ1 (t ) ) f g1 − D2φn (ξ 2 (t ) ) f g 2 


(B.8)
,
nx1
EK C
Tablo: Araç ve köprünün parametreleri
Köprü
L (m)
150
E (Gpa)
210
I (m4)
1.6x10-4
1600
ρ ( kg/m)
c ( Ns/m)
150
m a (kg)
m t1 (kg)
m t2 (kg)
m y1 (kg)
m y2 (kg)
J (kgm2)
b 1 (m)
1200
75
75
75
75
3000
1
d 2 (m)
k 1 (N/m)
k 2 ( N/m)
k t1 (N/m)
k t2 (N/m)
k y1 (N/m)
d 1 (m)
Araç
1
60000
15000
100000
100000
10000
0.5
k y2 (N/m)
c 1 ( Ns/m)
c 2 ( Ns/m)
c t1 ( Ns/m)
c t2 ( Ns/m)
c y1 ( Ns/m)
c y2 ( Ns/m)
b 2 (m)
10000
1000
900
15
15
50
50
1.5
Download

araç köprü etkileşiminin yolcu konforu üzerine etkisinin