Para Zaman
I. Ozkan
Sunday, November 02, 2014
!!!Bu sayfanın pdf halini buradan indirebilirsiniz!!!
PARA ve ZAMAN
• Para zaman içinde değer kaybedebilir (kazanabilir). Paranın değeri zaman içerisinde değişecektir. Bu
durumda paranın zamanlar-arası hareketi için bir maliyet/kazanç ortaya çıkar.
• Faizler basitçe paraya ihtiyaç duyanların (borç alanların) parayı sağlayanlara (borç verenlere) ödedikleri
miktar/oran/hadlerdir. Genellikle de, belirli bir dönem için ödemeleri gereken yüzde değerler olarak
ifade edilirler.
• Dönemler genelde bir tam yıl olarak ifade edilirler. Ancak özellikle yüksek faizlerin yaşandığı ülkelerde
ve/veya tasarruf ve borçlar için dönemler değişebilirler.
• Nominal-Reel, Basit-Bileşik, Risksiz, efektif vs gibi birçok faiz terimi sıklıkla kullanılırlar. Ancak biz
öncelikle iki faiz terimi üzerinde duracağız;
• Basit Faizler: Bir dönem içerisinde ana paranın ne ölçüde büyüyeceğini gösterir
• Bileşik Faizler: Bir dönem içerisinde birden çok faiz getirisi durumunda karşılaşacagımız faizin ne
olacağını gösterir
FAIZ
• Para, bugünün tüketimi ile gelecekte yapılacak tüketim arasında karar verilmesinde kullanılan kriterlerin
en önemlilerinden birisi faizlerdir.
• Faiz birçok [risk] faktörüne bağlıdır. Bunlar arasinda paranın değer kaybı, geri ödenmemesi ve zaman
içerisinde doğacak likidite ihtiyacı sayılabilir.
• Piyasalar karar vericilerin (kişi-firma-para otoriteleri vs gibi iktisadi tarafların) tercihlerine göre faizlerin
oluşmalarını sağlarlar.
• kısa dönemli finansal enstrümanlarda kullanılan faiz tanımı genelde basit faizdir. Günlük hayatta
kullanılan faizlerin de önemli kısmı basit faizlerden oluşmaktadır.
BASİT FAİZ HESAPLARI
• Bir dönem için basit faiz, dönem başı anaparanın üzerine dönem sonu verilen ek ödeme için kullanılan
terimdir. Ara ödemeler yoktur.
• Zamanlar için genelde kullanılan iki temel tanım ise gelecekteki değer, FV, (future value) ve bugünkü
değerdir, PV, (present value).
• Bir dönem için ödenen faiz r olarak verildiğinde bu iki zaman değeri arasindaki iliski, F V = P V (1 + r)
olarak yazılabilir. Dönem sayısı arttikça, Örneğin 2 dönem sonrasinda, F V = P V (1 + r)(1 + r)
olacaktır. PV bugünkü değer, her (1+r) faktörü ise dönemlerdeki paranın büyümesini ifade etmektedir.
Genelleştirirsek, Örneğin n dönem sonra, F V = P V (1 + r)(1 + r)...(1 + r) n kere (1+r) faktörünün
çarpımı olacaktır, yani, F V = P V (1 + r)n olacaktır.
1
• Örneğin bugünkü para (ana para) 100 TL ve basit faiz %10 ise gelecek 1 dönem sonrasi değeri
100(1 + 0.1) = 110TL olacaktır. Diger bir deyisle ise 1 dönem sonraki 110 TL’nin bugünkü değeri ise
100 TL olacaktır. Yani gelecekteki paranın bugünkü değeri hesaplanırken P V = F V iliskisi ve n
(1 + r)
dönem sonraki paranın bugünkü değeri içinse P V = F V n iliskisi kullanılabilir.
(1 + r)
FV
F V = (1 + r)n ve
(1 + r)n P V
V −n = (1 + r) yani faiz r = ( F V )−n − 1 F V = (1 + r)n ve ln( F V ) = nln(1 + r) yani dönem
(F
PV )
PV
PV
PV
FV
ln(
)
P V olarak bulunabilir. Bir yaklaşık değer içinse, küçük faiz değerleri için ln(1 + r) ≈ r
sayısı n =
ln(1 + r)
ln(F V ) − ln(P V )
kullanılabilir (Taylor seri açılımı yolu ile ispatlamaya çalışın) ve bu durumda n =
r
olacaktır.
• Özetlersek, FV, PV, r ve n için ilişkiler: F V = P V (1 + r)n P V =
• Faiz için genelde kullanılan temel dönem 1 yıldır. Ancak 1 yıl 365, dört yılda bir de 366 gündür. Bu
yüzden farklı ülkelerde gün sayısı (day and year convention) değişebilir. Bazı ülkelerde bulunulan yılın
gün sayısı kullanılırken bazı ülkelerde 365 olarak sabitlenir. Dersimizde aksi belirtilmedigi sürece gün
sayısı 365 olarak alınacaktır.
• Gün sayısı aylık dönemlerde de önemlidir. Örneğin aylık %1 ile verilen ipotek karşılığı bir borcun 28,
29, 30 ve 31 gün gibi degişik sürelere geldigi düsünülebilir. Gün sayısı sabitlenebileceği gibi her ay için
tek bir dönem olarak da bakılabilir.
• Faiz hesaplari yaparken genelde zaman çizgisi kullanmayı sunum açısından faydalı buluruz.
Bir zaman çizgisinde bugünkü A0 miktarındaki paranın değeri şu şekilde görülebilir.
Faizlerin çok düsük oldugu durumlarda bazı yaklaşık değerler hizlica bulunabilir. Örneğin ikinci dönem
sonu değer F V = P V (1 + r)(1 + r) iliskisinden, F V = P V (1 + 2r + r2 ) yazılabilir. Çok küçük faiz, r,
değerleri için r2 parantez içindeki diger değerlere göre çok düsük olacagindan gözardi edilebilir. Bu durumda,
F V ≈ P V (1 + 2r) ya da genellestirirsek n dönem için F V ≈ P V (1 + nr) olarak yazılabilir. Bir örnek verilmesi
gerekirse, dönem faizi %1 olsaydi, 2 dönem için (1 + 0.01)2 =1.0201 ve yaklaşık değeri ise, (1 + 2 ∗ 0.01) yani
1.02 olacaktır. Bu durumda gerçek değer ile yaklaşık değerin arasindaki fark gerçek değere göre, %-0.01
olacaktır. Eğer 10 yıllık bir dönemi alsaydık (1 + 10 ∗ 0.01) = 1.1 ve gerçek değer ise (1 + 0.01)10 =1.10462 ve
aradaki fark ise %-0.42 olarak bulunabilir. yaklaşık değerin hata payı 10 yıl için bile yüzde yarımdan daha
küçük olmaktadır. Örneğin 10,000TL parayı:
a) 28 gün
b) 90 gün
c) 180 gün ve
d) 365 gün %10 ile bankaya yatirirsak dönemler sonu elde edilecek para ne kadardir?
28 0.01) ve bu da 10007.6712 olacaktır. b) 10000(1 + 90 0.01) ve bu da 10024.6575 olacaktır.
a) 10000(1 + 365
365
365 0.01) ve bu da 10100 olacaktır. c) 10000(1 + 180
0.01)
ve
bu
da
10049.3151
olacaktır.
d)
10000(1
+
365
365
2
Manhattan Adasi 1626 yılında Peter Minuit tarafindan yaklaşık olarak 24$ karşılığına gelen mallar ile satın
alindi. O zamanki 24 $ yaklaşık olarak 16 ons gümüs satın alabiliyordu. Manhattan ucuza mı alındı?
Manhattan adasinin birim arsa değeri yine yaklaşık olarak 1626’dan günümüze %17 milyar artti. Ancak altın
ve gümüşün değerleri için bunu söyleyemeyiz. Gümüş günümüzde onsu 18 dolar civarinda. 18 ons gümüs
16*18=288$ ediyor.
ABD’nin çok uzun dönemli ortalama faizi %5 olarak düşünülürse, 1626 yılının 24$’ı yukarıdaki hesaplamayı
kullanarak 24(1 + 0.05)388 = 3996311022.20135ya da yaklaşık 4 milyar $ olmaktadır.
Amerikan Merkez Bankası (Federal Reserve) kısa dönem faiz hadlerini FRED adresinden sunmaktadır.
ABD’nin kısa vadeli faiz serilerinin grafiği aşağıda verilmektedir.
## [1] "TB3MS"
##
##
##
##
##
##
##
1934-01-01
1934-02-01
1934-03-01
1934-04-01
1934-05-01
1934-06-01
TB3MS
0.72
0.62
0.24
0.15
0.16
0.15
##
##
##
##
##
##
##
2014-05-01
2014-06-01
2014-07-01
2014-08-01
2014-09-01
2014-10-01
TB3MS
0.03
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
10
5
0
Faiz (%)
15
ABD 3−Ay Faiz Hadleri
1940
1960
1980
Tarih
3
2000
Bu faizlerin ortalaması ise %3.62 olarak hesaplanmaktadır. Uzun dönemli faizlerinin durumu ise biraz fakli
olacaktır. kısa dönemde Merkez Bankalarinin faizi belirleme gücünün yüksekligi, 2007-2008 krizinden sonraki
uygulamaya koydugu niceliksel genişlemenin kısa vadeli faizlere etkisi ile görülebilir.
3
2
0
1
Faiz (%)
4
5
ABD 3−Ay Faiz Hadleri
2008
2010
2012
2014
Tarih
2007 sonrasi faizleri gözardı ettiğimizde ortalama faiz %4.021 olmaktadır. Ortalama faiz bu tarih aralığının
çıkarılması durumunda %0.402 olmaktadır.
Benzer şekilde Amerikan Merkez Bankası (Federal Reserve) uzun dönem getirilerini FRED adresinden
sunmaktadır. Uzun vadeli bu faizler için 10 yıl veya daha uzun olan hazine bonolarının getiri ortalamaları
kullanılmaktadır. Bu seri 2000 yılına kadar devam etmektedir ancak bize uzun dönemli getiriler hakkında
bilgi vermektedir. ABD’nin uzun vadeli getiri serilerinin grafiği aşağıda verilmektedir.
## [1] "LTGOVTBD"
##
##
##
##
##
##
##
1925-01-01
1925-02-01
1925-03-01
1925-04-01
1925-05-01
1925-06-01
LTGOVTBD
3.96
3.95
3.96
3.93
3.87
3.79
##
##
##
##
##
##
##
2000-01-01
2000-02-01
2000-03-01
2000-04-01
2000-05-01
2000-06-01
LTGOVTBD
6.81
6.49
6.33
6.14
6.49
6.23
4
8
2
4
6
Faiz (%)
10
12
14
ABD Uzun Vadeli Bonolarin Ortalama Faizleri
1940
1960
1980
2000
Tarih
Bu faizlerin ortalaması ise %5.198 olarak hesaplanabilir.
BİLEŞİK FAİZ (Compound Interest)
• Zaman zaman borç ve yatırımların vadeleri 1 yıl olmaz ve/veya vade süresince ara ödemeler olabilir.
Örneğin 3 aylık ödemeli olan vadeli hesaplarda 1 yıl içerisinde 4 ödeme dönemi vardir. Ancak faizler
genelde yıllık faiz olarak verilir. %12 yıllık, üç ay vadeli tasarrufun getirisi, 3 aya düsen dönem
için hesaplanmalıdır. Burada yukarıda verilen hesaplara benzer şekilde, r = 0.12 ve vade 1/4 yıldır.
F V = P V (1 + 0.12
4 ) olacaktır. Ya da F V = 1.03P V olarak hesaplanacaktır. Bu örnegi 3 ayda bir fazi
ödemeli yıllık vadeye çekersek (ya da 1 yıl boyunca aynı faizle 3 aylık vadeli hesaplarda tuttuğumuzu
4
varsayarsak) F V = P V (1 + 0.12
4 ) olacaktır.
Genelleştirilirse bir yıl içerisinde m defa faiz ödemesi oldugu varsayılırsa, yıl sonu elde edilecek paranın değeri
r )m olacaktır. Eğer toplam süreyi n yıl olarak düşünürsek, F V = P V (1 + r )nm olarak
F V = P V (1 + m
m
bulunabilir.
Örnek: bir tasarruf sahibi 10,000TL’sini yıllık %12 faizle ama 3 ay vadeli hesapta 5 yıl tutacak olsun. Eğer
zaman içinde faiz aynı ise 5 yıl sonunda parası,
r )nm iliskisinde, r=0.12, m=4, n=5 yerine konulursa,
F V = P V (1 + m
5x4
F V = 10000(1 + 0.12
4 ) =18.0611 bin TL olacaktır.
Eğer yatırımcı aynı parayı %12 ile 5 yıl ancak her yıl sonunda faiz ödemeli olarak vadeli hesapta tutsaydi
gelecek değeri, F V = P V (1+r)n ve F V = 10000(1+0.12)5 =17.6234 bin TL olacaktı. 3 ayda bir faiz ödemenin
farkı ise 437.696 TL olarak bulunabilir. Bu fark faizlerin ara ödemelere sahip olmasından kaynaklanmakta
ve yatırımcı efektif olarak daha yüksek gelir elde etmektedir. Bunun nedeni ara ödemelerden gelen faiz
ödemelerinin de gelecek dönemlerde faiz ödemesine sahip olmasıdır.
Aşağıdaki tablolarda bugünkü paranın gelecek değerleri, ve gelecekteki paranın bu günkü değerleri verilmektedir.
5
Ana Para, Vade, faiz, frekans
Gelecek değeri
PV=1000, n=5, r=0.12, m=1
1762.3416832
PV=1000, n=5, r=0.12, m=4
1806.1112347
PV=1000, n=5, r=0.12, m=12
1816.6966986
PV=1000, n=5, r=0.12, m=52
1820.8597061
PV=1000, n=5, r=0.12, m=365
1821.9391328
PV=1000, n=5, r=0.12, m=365x24
1822.1113123
Yukaridaki tablodan görüleceği gibi gelecekteki değer ödeme frekansının yükselmesi ile bir değere yakınsamaktadır.
Gelecek değer, Vade, faiz, frekans
Bugünkü değeri
FV=1000, n=5, r=0.12, m=1
567.4268557
FV=1000, n=5, r=0.12, m=4
553.6757542
FV=1000, n=5, r=0.12, m=12
550.4496159
FV=1000, n=5, r=0.12, m=52
549.1911302
FV=1000, n=5, r=0.12, m=365
548.8657563
FV=1000, n=5, r=0.12, m=365x24
548.8138915
1000TL’sinin gelecek değerleri, yıl sonu 1000TL’sinin basit faizlere göre bugünkü değerlerinin grafiğ ve
1000TL’sinin gelecekteki değerlerinin fark grafiği aşağıda verilmektedir.
1000 TL'nin Gelecek Degeri; Faiz: %10
6000
Deger
4000
2000
0
0
5
10
Vade
6
15
20
Yil Sonu 1000 TL'nin Bugunku Degeri − Basit Faiz
1000
Deger
750
500
250
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Basit Faiz
Bilesik Faiz − Basit Faiz Getirileri,Farklari: 5 Yil Vade, Faiz=%12
60
Getiri Farklari
40
20
0
1
4
12
52
365
8760
Odeme Frekansi (Yil icinde)
Ödeme frekansını sonsuza yaklaştırırsak, ya da her an faiz ödemesi yapılıyor diye düşünürsek sürekli bileşik
faiz tanımına ulaşırız. Yani:
r )nm → P V ern (ispat için tiklayiniz) ya da gelecek değeri ve bugünkü değeri sirasi
F V = limm→∞ P V (1 + m
ile
7
F V = P V ern P V = F V e−rn olarak elde edilebilir. Bu durumda yukarıdaki tablolarda verilen 1000 TL’sinin
%12 sürekli bileşik faizle 5 yıl sonraki değeri, 1000e0.12n =1822.1188004 TL ve 5 yıl sonraki 1000 TL’sinin
aynı faizle bugünkü değeri 1000e−0.12n =548.8116361 TL olarak hesaplanabilir.
!!!Dersimizde aksi belirtilmedikçe referans faiz sürekli bileşik faiz olacaktır!!! Basit faiz ve sürekli
bileşik faiz karşılastırması aşağıdaki grafikte verilmektedir.
1000 TL'nin Gelecek Degeri; Faiz: %10
Deger
6000
Faiz
4000
BasitFaiz
SurekliBilesik
2000
0
0
5
10
15
20
Vade
Faizler - Enflasyon - Reel Faiz
• Faiz enflasyon ilişkisi iktisat derslerinizde tartışılmaktadır. Zaman zaman enflasyondan arındırılmış
(inflation adjusted) faizler ile de konusulması gerekir. Enflasyon paranın alım gücünü azaltacagı için
faiz belirlenmesinde temel bir rolü vardır.
• Ancak değişik piyasalarda faizlerin belirlenmesi, risksiz faiz haddine, yatırımcıların risk tercihlerine,
enflasyon beklentilerine, işlem maliyetlerine vs bağlıdır.
• Risksiz faiz genel olarak lokal para cinsinden hazine bonoları (ülke riski ile sınırlanmış risk) üzerinden
hesaplanır.
• Farklı faiz tanımları da vardır. Reel Faiz (enflasyondan arındırılmış), Temerrüt faizi (gecikmiş ödemelere
uygulanan faiz), yasal faiz (hukuksal ilişkide belirlenemeyen faiz hadlerinde yasal olarak uygulanan
faiz), akdi faiz (tarafların anlaştığı faiz) vs gibi.
• Enflasyondan arındırma için öncelikle bir dönemdeki faizin enflasyon ile iskonto edilmesi gerekir. Yani:
rreel = 1 + r − 1
1 + enf
0.09
Örneğin enflasyon %7 ve faiz, r %9 ise reel faiz rreel = 11 +
+ 0.07 − 1=1.0187 olacaktır.
Faiz ve enflasyonun çok düsük oldugu durumlar için reel getiri ya da reel faiz için faiz enflasyon farkı da
yaklaşık olarak doğrudur. (ispatı için Taylor seri açılımı ve düşük enflasyon varsayımı ile yaklaşık olarak
bulunulabilir)
8
SÜRESİZ NAKİT AKIŞI (Perpetüite)
• Zaman zaman sonsuza uzayan nakit akımları da karşımıza çıkar.
• Bu gibi durumlarda bugünkü değer hesaplarının yapılması nasıl olur?
• Örneğin belirli sabit bir faiz ile (tüm vadelerde faizin sabit olduğu varsayımı altında) bir varlığın sonsuza
kadar sabit getirisi olduğunu varsaysak ve varlığın değeri değişmese, bu varlığın fiyatını nasıl hesaplarız?
• Ya da sonsuza kadar sabit bir miktar para ödemesinin değişmeyen faiz ile bugünkü değeri nedir?
Yukarıda gösterilen sonsuz
P∞nakit cakışının net bugünkü değeri için:
P∞
Faiz Basit ise: N P V = i=1
m kere bileşik ise: Sürekli bileşik ise: N P V = i=1 cei
(1 + r)i
Not: i yıl, m=yıl içi faiz ödeme sayısı, r yıllık faiz. Nakit akışı sonsuza kadar devam ettigi için, 1. ödemeden
sonraki ödemeler de perpetüite olarak görülebilir. Bu durumda bugün başlayan bir perpetüite, 1 dönem
sonraki ödeme artı bir dönem sonra başlayan perpetüite olarak görülebilir. Yani perpetüitenin bugukü değeri,
bir dönem sonraki ödeme ve kendi değerinin bugüne iskontolanmiş halidir. Başka bir deyişle:
NPV =
∞
X
i=1
⇒ N P V (1 −
c
NPV
NPV
c
c
+
⇒ NPV −
=
=
(1 + r) (1 + r)
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)i
1
c
1
c
)=
⇒ N P V (1 −
)=
⇒ N P V (r) = c
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)
c
⇒ NPV =
r
Diğer durumlar için ise siz bulabilirsiniz..
BELIRLI BIR SÜRE IÇIN NAKIT AKISI ANNÜITE Zaman zaman nakit akışları bir süreliğinedir.
Örneğin önümüzdeki 1 yıl için her ay 1000TL gelirin r=%8 ile bugünkü değeri nedir sorusuna vereceğimiz
P12
1000
cevap: N P V = i=1
0.08 i olacaktır. 12 gelirin bugünkü değerlerinin toplamı hesap makinesi ile
(1 +
)
12
nispeten kolayca yapılabilir. Ancak bazen önümüzdeki 1 yıl yerine önümüzdeki 10 yıl için aynı hesabı yapmak
P120
1000
gerekebilir. Bu durumda yukarıdaki denklem, N P V = i=1
0.08 i olacaktır. Bu durumda 120 gelirin
(1 +
)
12
bugünkü değerinin hesaplanması ve toplanması gerekir ki hesap makinesi ile biraz zorlu anlar yaşanabilir.
Hesaplamanın kolay yolu, annüiteyi iki perpetüitenin farkı olarak görmektir.
9
İlk perpetüite bugünden başlamakta, ikincisi ise 120. aydan başlamaktadır. Perpetüitelerin bugünkü
değerlerinin farkı 10 yıllık annüitenin değerini verecektir. Bu durumda: Annuite = P erpetuite1−P erpetuite2
Annuite = N P Vann = N P Vperp1 − N P Vperp2 N P Vperp1 = rc ve m = 12 N P Vperp1 = 1000
0.08 k. ayda
)
(
m
12
c
r
12
başlayan perpetüitenin bugünkü değeri: N P Vperp2 =
Bu durumda, farklari: N P Vann = rc [1 −
r
(1 + )k
12
12
1
1
1000 [1 −
]
N
P
V
=
]
N
P
V
=82421.481
olarak
bulunabilir.
ann
ann
r
0.08
0.08 120
(1 + )k
(1 +
)
12
12
12
ÖRNEKLER 1- Ali 100.000 TL, aylık %1 ile 20 yıllık ipoteğe dayalı kredi (mortgage) almayı düşünmektedir.
Ali önümüzdeki 20 yıl boyunca ne kadar sabit aylık ödeme yapacaktır? 2- İki araba satıcısı değişik ödeme
planları ile satış yapmaktadır. Birincisi, 10.000 peşin ve 60 ay 500 TL önermekte, digeri ise 6000 peşin, 48 ay
600 TL ve 4 yıl boyunca her yıl sonu 1250 TL ek ödeme seçenegini sunmaktadır. Her iki önerinin de bugünkü
değerinin aynı olması için gereken yıllık faizi hesaplayınız?
İlk örnekte basit bir ipoteğe dayalı kredi ödemelerinin miktarı sorulmaktadır. Bu basitçe bir annüite olarak
görülebilir. Yani Ali’nin ödemeleri için aşağıdaki grafik çizilebilir:
10
Ali’nin ödemelerini bulmak için:
1
] denklemini kullanabiliriz. Kredi faizleri aylık verildiği için 12’ye bölmeye gerek
N P Vann = rc [1 −
(1 + r)k
yoktur. Bu durumda r=0.01, k=240 (20 yıl) yerine konulursa;
1
c [1−
100, 000 = 0.01
] eşitliğinin çözümü Ali’nin ödemelerini (c) verecektir. c =
(1 + 0.01)240
0.01 ∗ 100, 000
1
[1 −
]
(1 + 0.01)240
Burdan da, $c=$1101.086 TL olarak hesaplanabilir.
Ödeme planlari Örneğinde ise iki tane nakit akışının karşılaştırılması gerekmektedir. Birinci planda ödemeler
aşağıdaki gibi gösterilebilir. 10,000 TL peşin ödemenin üstüne yapılan ödemeler annüite olarak görülebilir.
İkinci satıcının önerdiği ödemeler ise 5,000 TL artı aylık ve yıllık ödemelerdir.
11
1
]
Bu durumda 1. satıcının ödeme planına O1 ve ikincisine de O2 dersek, O1 = 10000 + 500
r [1 −
r
(1 + )60
12
12
P4
1
1250
600
O2 = 5000 + r [1 −
] + i=1
Her iki planın bugünkü değerini eşit kılan yıllık faiz (ayda
r
(1 + r)i
(1 + )48
12
12
bir ödemeli) için çözüm O1 − O2 = 0 eşitliğidir. Bunu sağlayan faizi, Newton metodu olarak da bilinen
Newton-Rapson yöntemini kullanarak bulabiliriz. Newton metodu hakkında Wikipedia’nın Newton-Rapson
sayfasına bakılabilir. Newton metodu için bir örnek aşağıdaki grafikte verilmiştir.
12
Burada, başlangıç noktası olarak x0 = 2 alınmıştır. Bu noktadan fonksiyona teğet geçen dogru yardımı ile
bir sonraki nokta (x1 ) bulunmuş ve bu adımlar kökün çok yakın bir değerinin bulunmasına kadar devam
etmiştir. Bu örnekte 10 adım atılmıştır ve yaklaşık kök değeri 10.019 olarak bulunmuştur. Fonksiyonun bu
noktadaki değeri 0.00045 olarak hesaplanmaktadır. Ödeme planlarında da benzer şekilde, ilk ödeme planının
net bugünkü değerinden ikincisinin net bugünkü değeri ve Newton yöntemi ile sonucu sıfır yapan yaklaşık
faiz değeri bulunabilir.
13
Newton yöntemi genelde hızla doğru değere doğru yaklaşır. Bu açıdan analitik olarak da kullanılması
mümkündür. Eğer gerçek değere yakın bir başlangıç değerini biliyorsak, Taylor açılımı ile 2. dereceden
polinom elde edilip kökleri arasından seçim yapılabilir.
R programinda uniroot() fonksiyonu ile faizi bulduğumuzda:
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
$root
[1] 0.2574084
$f.root
[1] -0.004117825
$iter
[1] 6
$init.it
[1] NA
$estim.prec
[1] 0.00006103516
Ödeme planlarının bugünkü değerlerinin faize göre grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir.
14
26800
Faiz=% 0.257
Odeme= 26785.7
26400
Bugunku Deger
27200
Kampanya Degerleri (Kirmizi=Kampanya 2)
0.240
0.245
0.250
0.255
0.260
0.265
0.270
Faiz
Ödemelerin arasındaki farkı gösteren odeme1 − odeme2 fonksiyonunun faize göre grafiği de aşağıda verilmiştir.
20
Kampanya1 − Kampanya2 ve Faiz
0
−10
−30
−20
Bugunku Deger
10
Faiz=% 0.257
0.240
0.245
0.250
0.255
Faiz
Bu sayfanın pdf halini buradan indirebilirsiniz
15
0.260
0.265
0.270
16
Download

buradan indirebilirsiniz