Úvod
Definice parciálních diferenciálních rovnic
Parciální diferenciální rovnice prvního ˇrádu
Definice parciálních diferenciálních rovnic
Definition
Rn a bud’ dáno zobrazení.
× · · · × Rn × R × Ω → R ,
Bud’ Ω otevˇrená podmnožina
F :
Rn × Rn
k
k −1
(1)
Pak výraz
F x, u (x) , Du (x) , D 2 u (x) , · · · D k u (x) = 0,
(2)
kde
Du (x)
=
∂u
∂u
,···
∂x1
∂xn
D 2 u (x)
=
∂2u ∂2u
∂2u
,
,··· 2
2
∂x1 ∂x1 ∂x2
∂xn
...
,
!
,
n
D
k
=
X
∂k u
| [α1 , · · · αk ] ≥ 0; |α| =
ki = k
∂x1α1 · · · ∂xkαk
!
i=1
nazveme parciální diferenciální rovnicí k -tého rˇádu. Funkce
u : Ω → je neznámá.
R
Poznámka: α se nazývá multiindex.
,
Nelinearita parciálních diferenciálních rovnic
Definition
I
Parciální diferenciální rovnice (6) se nazývá lineární,
pokud ji lze zapsat ve tvaru
X
aα (x) D α u (x) = f (x) .
(3)
|α|≤k
I
Je-li f ≡ 0, pak (6) je homogenní lineární PDR.
PDR (6) je semilineární, má-li tvar
X
aα (x) D α u (x)+a0 D k −1 u (x) , · · · Du (x) , u (x) , x = f (x) .
|α|=k
(4)
I
PDR (6) je kvazilineární, má-li tvar
X
aα D k −1 u (x) , · · · Du (x) , u (x) , x D α u (x) +
|α|=k
a0 D k −1 u (x) , · · · Du (x) , u (x) , x
= f (x) .
I
PDR (6) je zcela nelineární, pokud závisí nelineárneˇ na
derivacích nejvyššího ˇrádu.
Systémy parciálních diferenciálních rovnic
Definition
Rn a bud’ dáno zobrazení.
× · · · × Rmn × Rm × Ω → Rm ,
Bud’ Ω otevˇrená podmnožina
F :
Rmn × Rmn
k
k −1
(5)
Pak výraz
F x, u (x) , Du (x) , D 2 u (x) , · · · D k u (x) = 0,
nazveme systémem parciálních diferenciálních rovnic
k -tého rˇádu. Zobrazení u : Ω → je neznámé.
R
(6)
Parciální diferenciální rovnice prvního ˇrádu
Transportní rovnice
Bud’ u : × (0, ∞) →
ˇ
Rešíme
rovnici
R
ˇ
R funkce dvou promenných
x a t.
∂u
∂u
(x, t) + a ·
(x, t) = 0 na
∂t
∂x
nebo zapsáno jednodušeji
ut + a · ux = 0 na
R × (0, ∞)
R × (0, ∞).
(7)
Parciální diferenciální rovnice prvního ˇrádu
R × (0, ∞) a definujme
z(s) := u(x + as, t + s) pro s ∈ R .
Zvolme si pevneˇ bod (x, t) ∈
Potom platí
d
z(s) = ux (x + as, t + s) · a + ut (x + as, t + s) = 0.
ds
z(s) je tedy konstantní funkce vuˇ
˚ ci s a tedy pro každé
(x, t) in × (0, ∞) je u konstatní podél polopˇrímky se
ˇ
smerovým
vektorem (a, 1).
Doplníme nyní úlohu o poˇcáteˇcní podmínku, cˇ ímž dostaneme
jednoznaˇcné ˇrešení.
R
Transportní rovnice
ˇ
Rešíme
úlohu s poˇcáteˇcní podmínkou
ut + a · ux
R × (0, ∞).
u0 na x ∈ R × {t = 0} .
= 0 na
u =
Konstruujeme ˇrešení:
(8)
R × (0, ∞)
I
volíme pevneˇ bod (x, t) ∈
I
ˇ
pˇrímka se smerovým
vektorem (a, 1) je dána parametricky
jako (x + as, t + s)
I
osu {t = 0} protne pro s = −t tedy v bodeˇ
(x + as, t + s) |t=−s = (x − at, 0)
ˇ
Rešením
transportní rovnice (8) je funkce
u(x, t) := u0 (x − at).
(9)
Slabé ˇrešení transportní rovnice
I
transportní rovnice unáší poˇcáteˇcní podmínku rychlostí −a
I
odtud plyne název transportní rovnice
R
R × (0, ∞))
I
pokud není u0 ∈ C 1 ( ), pak není ani u0 ∈ C 1 (
a nelze tedy u(x, t) dosadit do (8)
I
naše konstrukce ˇrešení je ale platná pro libovolnou funkci
u0
pˇri ˇrešení PDR tedy rozlišujeme
I
I
I
klasické rˇešení - má všechny praciální derivace, které se v
rovnici vyskytují
slabé rˇešení - nemá všechny potˇrebné parciální derivace,
ˇ ˇrešené rovnice
ale dobˇre vyhovuje "podstate"
ˇ transportní rovnice
Zobecnení
ˇ
Rešte
transportní rovnici v
Rn :
Rn × (0, ∞).
u0 na x ∈ Rn × {t = 0} .
ut + a · Du = 0 na
u =
(10)
Stejným zpusobem
˚
(tj. metodou charakteristik) ˇrešte
nehomogeni rovnici s pravou stranou f : n → :
R
Rn × (0, ∞).
u0 na x ∈ Rn × {t = 0} .
ut + a · Du = f na
u =
R
(11)
Burgesova rovnice
ut +
u2
2
R×(0, ∞).
u0 na x ∈ Rn × {t = 0} .
= 0 na
x
u =
neboli ˇrešíme ut + uux = 0.
I
v tomto pˇrípadeˇ rychlost unášení zavisí i na funkci u
samotné
I
jde tedy o nelineární PDR
(12)
Burgesova rovnice
Je-li
u0 (x) =


1 if x ≤ 0,
1 − x if 0 ≤ x ≤ 1,

0 if 1 ≤ x.
Záporná cˇ ást je unášena rychlostí 1 doprava, ale kladná cˇ ást
pro x ≥ 1 se nehýbe. Metodou charakteristik lze ukázat, že po
urˇcitém cˇ ase t0 bude funkce u(·, t0 ) nespojitá a bude skokoveˇ
pˇrecházet z 1 na 0.
Burgesova rovnice
Je-li
u0 (x) =
0 if x ≤ 0,
1 if 0 ≤ x.
Zde je situace opaˇcná a metoda charakteristik nabízí dveˇ
možná ˇrešení. Jedno zachovává nespojitost fce. u(·, t0 ), druhé
okamžiteˇ vede na spojitou funkci u(·, t0 ) pro t0 > 0. Fyzikálneˇ
ˇ
správné je jen to druhé, které splnuje
tzv. entropickou
podmínku.
Rovnice prvního ˇrádu jsou typické tím, že v daném bodeˇ
ˇ
informaci unáší jedním urˇcitým smerem.
Fyzikálneˇ jde o tzv.
advekci.
PDR druhého ˇrádu
ˇ na tˇri základní typy. Pˇredpokládejme,
PDR druhého ˇrádu se delí
že uxy = uyx , pak lze PDR druhého ˇrádu psát jako:
Auxx + 2Buxy + Cuyy + · · · = 0.
Vidíme uzkou spojitost s rovnicemi kuželoseˇcek:
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + · · · = 0.
Definujme determinant kvadratických cˇ lenu˚
A B
δ = det
.
B C
Pak δ > 0 znamená elipsu, δ = 0 parabolu a δ < 0 hyperbolu.
ˇ
Podobneˇ delíme
i PDR druhého ˇrádu:
PDR druhého ˇrádu
Definition
Podle znaménka determinantu cˇ lenu˚ u druhých parciálních
derivací rozlišujeme:
I
eliptické PDR, je-li δ > 0
I
parabolické PDR, je-li δ = 0
I
hyperbolické PDR, je-li δ < 0.
Eliptické PDR
Typickými pˇredstaviteli eliptických PDR jsou:
I
I
Laplaceova rovnice
−∆u = 0 na
Rn ,
(13)
−∆u = f na
Rn .
(14)
Poissonova rovnice
V obou pˇrípadech je
δ = det
−1 0
0 −1
= 1 > 0.
Laplaceova rovnice
Ve fyzice Laplaceova rovnice cˇ asto vyjadˇruje koncentraci urˇcité
veliˇciny v rovnováze.
Bud’ u hustota/koncentrace dané veliˇciny v rovnováze. Bud’ V
libovolná podoblast v n . Jelikož u je v rovnováze, její tok pˇres
hranici V je nulový.
Z
F · νdS = 0,
R
∂V
kde F uznaˇcuje tok hustoty/koncentrace dané veliˇciny a ν je
ˇ jednotková normála hranice V .
vnejší
Laplaceova rovnice
ˇ dostáváme
Použitím Gaussovy-Greenovy vety
Z
Z
∇ · Fdx =
F · νdS = 0,
V
∂V
kde ∇ · F znaˇcí divergenci vektorového pole F. Jelikož V bylo
libovolné, platí
∇ · F = 0 na Ω.
ˇ ruje z místa o vyšší
Pro tok hustoty/koncentrace platí, že smeˇ
ˇ
koncentraci do místa o nižší koncentraci a je úmerný
gradientu
koncentrace, tedy
F = −aDu pro a > 0.
Pro a = 1 dostáváme
∇ · (−Du) = −∆u = 0.
Laplaceova rovnice
u muže
˚ vyjadˇrovat napˇríklad
I
chemickou koncentraci,
I
teplotu,
I
elektrostatický náboj.
Definition
R
Je-li u ∈ C 2 ( n ) funkce rˇešící Laplaceovu rovnici, pak u se
nazývá harmonická rovnice.
Laplaceova rovnice
Definition
Funkce
(
φ (x) :=
R
1
− 2π
log |x|
1
1
n(n−2)α(n) |x|n−2
(n = 2)
(n ≥ 3) ,
pro x ∈ n a x 6= 0 se nazývá fundamentální rˇešení
Laplaceovy rovnice.
Poissonova rovnice s okrajovými podmínkami
Dirichletovy okrajové podmínky urˇcují jednoznaˇcné ˇrešení.
−∆u = f na Ω,
u = g na ∂Ω,
R
kde Ω je oblast v n s lipschitsovskou hranicí.
Bud’ u ˇrešením Poissonovy rovnice s okrajovými podmínkami,
pak u minimalizuje funkcionál
Z
1
|Dw|2 − wf dx.
I (w) :=
Ω 2
Tento funkcionál je ostˇre konvexní, proto má praveˇ jedno
minimum tj. tedy i ˇrešení puvodní
˚
úlohy.
Rovnice vedení tepla
Definition
Rovnice vedení tepla je parabolická PDR tvaru
ut − ∆u = 0.
Nehomogení rovnice vedení tepla má tvar
ut − ∆u = f .
Rovnice vedení tepla
Definition
Rovnice vedení tepla je parabolická PDR tvaru
ut − ∆u = 0.
Nehomogení rovnice vedení tepla má tvar
ut − ∆u = f .
Tato rovnice je také cˇ asto nazývaná difuzní rovnice.
Fundamentální ˇrešení má tvar:

|x|2

− 4t
1
(x ∈ n , t > 0) ,
n e
Φ (x, t) :=
(4πt) 2
 0
(x ∈ n , t < 0) .
R
R
Rovnice vedení tepla s poˇcáteˇcní podmínkou
Definition
Rovnice vedení tepla s poˇcáteˇcní podmínkou je parabolická
úloha tvaru
Rn × (0, ∞),
g na Rn × {t = 0}
ut − ∆u = 0 na
u =
ˇ
Rešením
je:
Z
u (x, t) =
Rn
Φ (x − y, t) g (y) dy .
Rovnice vedení tepla s poˇcáteˇcní podmínkou
Theorem
R
R
Bud’ g ∈ C ( n ) ∩ L∞ ( n ) a bud’ u rˇešení rovnice vedení tepla
s poˇcáteˇcní podmínkou g. Pak
Rn × (0, ∞)),
I
u ∈ C∞ (
I
lim(x,t)→(x0 ,0);x∈Rn ,t>0 u (x, t) = g x0 pro každé x ∈
Rn .
Vlnová rovnice
Definition
Vlnová rovnice je hyperbolická PDR tvaru
utt − ∆u = 0.
Vlnová rovnice popisuje vibrující strunu (1D), kmitající
ˇ
membránu (2D) nebo elastické teleso
(3D).
ˇ
Nekteré
další rovnice
Nelineární rovnice 1. ˇrádu
I
Eikonální rovnice
|Du| = 1
I
Hamilton-Jacobiho rovnice má tvar
ut + H(Du) = 0 na
kde H :
I
Rn → R.
Rn ,
pˇríklad
ut − sign (u) (1 − |Du|) = 0.
ˇ
Nekteré
další rovnice
Nelineární rovnice 2. ˇrádu
I
reakˇcneˇ difuzní rovnice
ut − ∆u = f (u, v ),
vt − ∆v
I
= g(u, v )
skalární zákon zachování
ut + ∇ · F (u) = 0
I
rovnice minimálního povrchu


Du
=0
∇ q
1 + |Du|2
I
Mongova-Amperova rovnice
det D 2 u = 0
I
Navierovy-Stokesovy rovnice pro nestlaˇcitelné, viskosní
ˇ
proudení
ut + u · Du − ∆u = −Dp,
∇ · u = 0.
Download

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic