Číslicové zpracování a analýza
signálů
(BCZA)
Spektrální analýza signálů
5. Spektrální analýza signálů
5.1 Spektrální analýza deterministických signálů
5.1.1 Diskrétní spektrální analýza periodických signálů
5.1.2 Diskrétní spektrální analýza obecných signálů
1.2.1 Vlastnosti analýzy pomocí DFT ve srovnání s integrální FT spojitých signálů
1.2.2 Časově - frekvenční analýza, spektrogram
5.2. Spektrální analýza stochastických signálů
5.2.1 Podstata odhadu spekter stochastických procesů
5.2.2 Neparametrický odhad výkonových spekter
5.2.2.1 Metoda periodogramu
5.2.2.2 Metoda korelogramu
5.2.3 Odhad výkonového spektra bankou filtrů
Úvodní poznámky
¾ Spektrum chápeme ve smyslu (integrální) Fourierovy transformace signál považujeme za aditivní směs (obecně nekonečného počtu)
harmonických složek
¾ Oboustranné spektrum vychází z vyjádření harmonického signálu
(i-té harmonické složky)
Ai jωi t jϕi Ai
si (t ) = Ai cos (ωi t + ϕ i ) =
2
e
e
+
2
e − jω i t e − jϕ i
Amplitudové (modulové) spektrum: spektrální čáry Ai/2 na kmitočtech ±ωi
Fázové (argumentové) spektrum: fáze ϕi na ωi a fáze -ϕi na -ωi
¾ Spektra diskrétních signálů jsou periodická – perioda je ωvz
pro i-tou harmonickou složku můžeme psát
⎛
⎞
⎛
⎞
fi
f i + kf vz
⎜
⎟
⎜
si (nT ) = Ai cos( ωi nT + ϕi ) = Ai cos⎜ 2π
n + ϕi ⎟ = Ai cos⎜ 2π
n + ϕi ⎟⎟ ,
f vz
f vz
⎝
⎠
⎝
⎠
kde k je celé číslo
Spojitý harmonický signál s(t) = 2cos(2πf0+ϕ0), kde f0 = 5 Hz, ϕ0 = π/2,
a
jeho modulové a argumentové spektrum.
s pojitý harm onic k ý s ignál a jeho s pek trum
u(t)
2
0
-2
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
10
15
20
25
f[Hz ]
10
15
20
25
f[Hz ]
t[s ]
0.5
|S (f)|
2
1
1
1
0
arg(S (f)) [°]
-25
-20
-15
-10
-5
-f0
0
5
f0
ϕ0
100
0
-ϕ0
-100
-25
-20
-15
-10
-5
-f0
0
5
f0
Úsek 1 s diskretního harmonického signálu
s(nT) = 2cos(2πf0nT+ϕ0), kde f0 = 5 Hz, fvz = 32 Hz, ϕ0 = π/2, a jeho
spektrum. Spektrum je periodické s periodou fvz.
dis k rétní harm onic k ý s ignál a jeho s pek trum
u(t)
2
0
-2
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t{s ]
0.5
2
|S (f)|
perioda
1
0
arg(S (f)) [°]
-40
-30
-fvz
-20
-fvz /2
-10
0
10
fvz /2
20
30
40
fvz
f[Hz ]
perioda
100
0
-100
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
f[Hz ]
Reálná a imaginární část komplexního diskretního harmonického signálu
s(nT) = ej(2πfnT+ϕ), kde f = 5 Hz, fvz = 32 Hz, ϕ = π/2.
Spektrum je periodické s periodou fvz.
RE A L(ex p[j*(2*pi*f*n*T+ pi/2)]), IM A G(ex p[j*(2*pi*f*n*T+ pi/2)])
u(t)
1
0
-1
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t[s ]
0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t[s]
0.5
u(t)
1
0
-1
-0.5
m odulové spek trum
|S (f)|
1
0.5
-fvz
0
arg(S (f)) [°]
-40
-30
-fvz/2
f-fvz
-20
perioda
-10
0
f
10
argum entové spektrum
100
fvz
fvz/2
20
30
40
f+fvz
f[Hz ]
30
40
f[Hz ]
perioda
0
-100
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Spektrum spojitého harmonického signálu o kmitočtu (tučné čáry), f = 27 Hz, ϕ = π/2.
Po vzorkování s fvz=32 Hz dojde k aliasingu (f >fvz/2), objeví se spektrální čára na 5 Hz.
dis k rétní harm onic k ý s ignál a jeho s pek trum
u(t)
2
0
-2
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
|S (f)|
2
0.3
0.4
t{s ]
0.5
fvz
fvz
1
0.2
0
arg(S (f)) [°]
-40
-30
-fvz
-20
-30
-20
-27
-fvz /2
-10
-5
0
5
10
fvz /2
20
27
30
40
fvz
f[Hz ]
100
0
-100
-40
-10
0
10
20
30
40
f[Hz ]
Vlastnosti spekter deterministických
signálů
Časová
oblast
Spektrum
Výpočet
spektra
Poznámka
Spojité signály
Diskrétní signály
periodické
neperiodické
periodické
neperiodické
diskrétní
neperiodické
spojité
neperiodické
diskrétní
spojité
periodické
periodické
Fourierova
řada
integrální
FT
DFT
DTFT
spektrem
jsou
koeficienty
FŘ
používá se
pojmu
spektrální
hustota
spektrum koef. DFŘ
shodné
s DFT
praxe počítáme
vzorky
spektra
(DFT)
5.1. Spektrální analýza deterministických signálů
5.1.1 Analýza periodických signálů
Spojité periodické signály
analýza pomocí Fourierových řad (FŘ)
Diskrétní periodické signály
analýza pomocí diskrétní FŘ
signál
perioda signálu
základní
kmitočet s(nT)
s(t ) =
základní
kmitočet s(t)
∞
∑
ck e
jkΩt
k → −∞
2π
, Ω=
Ts
komplexní koeficienty FŘ
(tj. komplexní spektrální čáry)
1
ck =
Ts
Ts
∫ s(t )e
0
− jkΩt
dt
perioda
signálu s(t)
N −1
s(nT ) = ∑ ck e
k =0
koeficienty DFŘ
(vzorkovaná
perioda spektra)
1
ck =
N
N −1
∑
jkΩnT
2π
, Ω=
NT
perioda
signálu s(nT)
T=1/fvz
s (nT )e − jkΩnT
n =0
Shodné výsledky, když: 1. s(t) je korektně vzorkován (fvz>2fmax),
2. do DFT vstupuje celočíselný počet period s(nT)
Analýza periodických signálů
Příklad:
Diskrétní harmonický signál, perioda Ts=1/5 s (fs=5 Hz), fvz=32 Hz.
¾ Transformovat musíme násobek 32 vzorků (5 period původního spojitého signálu),
jinak nezískáme spektrální čáry na 5 (resp. 27) Hz ... protože 32/5 není celé číslo
¾ Perioda diskrétního signálu obsahuje N=32 vzorků.
N=32
Analýza periodických signálů
Příklad spektrální analýzy
periodického signálu pomocí DFTN
Harmonický signál o kmitočtu 5 Hz, fvz = 500 Hz
transformace necelého počtu period signálu → perioda signálu ≠ NT
vypočtené
DFT spektrum:
obdélníkové okno
trojúhelníkové okno
Hammingovo okno
5.1.2 Analýza obecných signálů
(neperiodických)
Spojité signály
analýza pomocí Fourierovy transformace (FT)
Spektrum
S (ω ) = FT {s(t )} =
vzorkovaný signál
N −1
sv ( t ) =
∞
− jωt
s
(
t
)
e
dt
∫
−∞
∑ s δ (t − nT )
n
n=0
Diskrétní signály
analýza pomocí DTFT (Discrete-Time FT)
S (ω ) = DTFT {s(nT )} =
N −1
= ∑ s (nT )e − jω nT
n =0
ω = kΩ
spektrum Dirac. impulsu posunutého o nT
FT {δ (t − nT )} =
v praxi pomocí DFT
∞
=
∫ δ (t − nT )e
− jω t
dt = e
− jω nT
spektrum vzorkovaného signálu pak je
N −1
∑s e
n
n =0
N −1
=
−∞
FT {sv ( t )} =
S (kΩ ) = DFT {s (nT )} =
− jω nT
⇒ DTFT
∑
s(nT )e − jkΩ nT
n=0
k = 0 , 1, ..., N − 1
Analýza obecných signálů
5.1.2.1 Změny spektra při diskretizaci signálu (pro jednu harmonickou složku)
při ω0 = kΩ
při ω0 ≠ kΩ
signálová oblast
spektrální oblast
signálová oblast
spektrální oblast
spektrum obdélníkového okna má velké boční laloky
Analýza obecných signálů
Důsledky diskretizace signálu
¾ snížení rozlišovací schopnosti
náprava: delší okno, jiné okno (s lepšími spektrálními vlastnostmi)
¾ periodizace spektra, zkreslení aliasingem
náprava: zvýšit fvz, použít antialiasingový filtr
Důsledky diskretizace spektra (při použití DFT)
¾ nemusí být jasný rozdíl mezi spektrem původně čarovým a spektrem s
původně spojitou hustotou
náprava: šířka okna celistvým násobkem periody signálu, je-li
periodický
¾ výskyt a poloha extrémů nemusí být vizuálně dost zřetelné
náprava: m-krát hustší vzorkování spektra – doplněním signálu (m-1)N
nulami
5.1.2.2 Časově-frekvenční analýza, spektrogramy
¾ rozdělení signálu na segmenty o délce N
↑ N → ↓ časové rozlišení, ↑ frekvenční rozlišení ( ΔΩ = 2π/NT )
¾ segmenty se mohou překrývat
¾ stanovení spektra z každého segmentu (STFT – Short Time FT)
analyzovaný signál
spektrogram
N=50 vzorků
překrytí 45 vzorků
spektrogram
N=100 vzorků
překrytí 90 vzorků
Ukázka spektrogramu zobrazeného v 3D prostoru
kmitočet
čas
5.2. Spektrální analýza stochastických signálů
Výkonová spektra náhodných procesů
Je-li náhodný proces stacionární (resp. ergodický) z hlediska autokorelace,
pak je svou autokorelační funkcí plně reprezentován
Autokorelační funkce stacionárního (ergodického) náhodného procesu
je deterministická
deterministická autokorelace
rss(τ)=f(n)∗f(-n)
náhodný signál
f(n)
DTFT
náhodné spektrum
F(ω)
DTFT
?
deterministické spektrum
Rss(ω)= F(ω)F*(ω)=|F(ω)|2
F(ω)=|F(ω)|ejargF(ω) ... náhodné je fázové spektrum argF(ω).
výkonové spektrum
Vysvětlující poznámky:
DTFT
f (− n ) ←⎯
⎯→ F ∗ (ω )
¾ spektrum reálné reverzní posloupnosti
D.:
∞
∑
DTFT { f (− n )} =
f (− n )e − jω nT = m = − n =
n = −∞
∞
∑
f (m )e jω mT = F (− ω ) =F ∗ (ω )
m = −∞
¾ autokorelační teorém
Wienerova – Chinčinova věta
DTFT
r ff (n ) ←⎯
⎯→ R ff (ω ) = F (ω )F ∗ (ω )
D.:
R ff (ω ) =
∞
∑r
ff
(n )e − jω nT
n = −∞
∞
=
∑
k = −∞
∞
=
∑
k = −∞
f (k )
∞
∑
f (k − n )e
n = −∞
f (k )e
− jω kT
∞
∑
m = −∞
⎡ ∞
⎤ − jω nT
f (k ) f (k − n )⎥ e
=
=
⎢
⎢ k = −∞
n = −∞ ⎣
⎦⎥
∞
∑∑
− jω nT
=
k −n = m
n = k −m
∞
=
∑
k = −∞
f (k )
∞
∑
m = −∞
f (m )e jω mT = F (ω )F ∗ (ω ) = F (ω )
2
f (m )e − jω (k − m )T =
Výkonové spektrum náhodného procesu
1
2⎫
⎧1
⎫
⎧1
R ff (ω ) = E ⎨ Fw (ω )F w∗ (ω )⎬ = E ⎨ Fw (ω ) ⎬ ≈
⎩N
⎭
⎩N
⎭ M
M
∑
i =1
2
1
Fw i (ω )
N
jedná se o souborový průměr jednotlivých výkonových spekter
z M realizací o délce N vzorků
Periodogram
Princip výpočtu periodogramu z úseku signálu
f(n)
... signál (N vzorků)
váhování oknem w(n)
odhad individuálního
výkonového spektra
periodogramem
f(n)w(n)
DFTN
F(k) ... spektrum (N vzorků)
umocnění složek spektra, násobení 1/N
|F(k)|2 / N ... výkonové spektrum (N vzorků)
konvoluce s oknem W‘(k)
3 až 15 vzorků
vyhlazené výkonové spektrum
Princip výpočtu periodogramu ze segmentovaného signálu
ƒ signál (N vzorků) rozdělíme na M navazujících segmentů
ƒ segmenty o délkách Nm , když N1= N2 =...= NM
vstup po segmentech o délkách Nm
odhad individuálního
výkonového spektra
periodogramem
kumulace
1/M
konvoluce s oknem W’(k)
3 až 15 vzorků
vyhlazené výkonové spektrum
Alternativou k periodogramu je korelogram
Korelogram vychází z Wienerova-Chinčinova vztahu
{
N −1
} ∑ w(τ )r (τ )e
R ff (ω ) = DTFT w(τ )r ff (τ ) =
− jωτT
ff
τ = − N +1
1
r' wi (τ ) ≈
N
N −1−τ
∑f
n =0
1
rwi (τ ) ≈
N −τ
wi
(n ) f w (n + τ )
i
, w(τ ) =
N −τ
N
vychýlený odhad
r' wi (τ ) =
N −1−τ
∑f
n =0
wi
(n ) f w (n + τ )
i
nestranný odhad
N −τ
rwi (τ )
N
Princip výpočtu korelogramu
(B – s možností vyhlazení spektra konvolucí)
vstup (N vzorků)
korelátor
vychýlený odhad
váhování (N-τ)/N
DFTN
konvoluce s oknem W’(k)
3 až 15 vzorků
vyhlazené výkonové spektrum
Výpočet korelogramu ze segmentovaných dat
signál (N vzorků) rozdělíme na M navazujících segmentů
segmenty o délkách Nm , když N1= N2 =...= NM
vstup po segmentech o délkách Nm
korelátor
vychýlený odhad
váhování (Nm-τ)/Nm
kumulace
DFTNm
konvoluce s oknem W’(k)
3 až 15 vzorků
vyhlazené výkonové spektrum
Princip odhadu výkonového spektra pomocí banky filtrů
vstupní signál
PP1
PP2
( )2
( )2
krátkodobý
integrátor
S(ω1)
krátkodobý
integrátor
S(ω2)
.........
PPM
( )2
krátkodobý
integrátor
S(ωM)
pásmové
propusti se
stř. kmit. ωm
Periodogram … šum + 2 harmonické složky (50 a 100 Hz)
Jeden prubeh - realizace
100
1 úsek signálu
50
0
-50
-100
0
50
DFT
100
150
200
250
300
350
400
450
500
periodogram 1 useku signalu
1400
periodogram
1 úseku signálu
1200
1000
800
600
400
200
0
0
50
100
150
200
250
< 0, fvz /2 >
Vykonove spektrum zprumerneneho periodogramu
1200
zprůměrněný periodogram
100 úseků signálu
1000
800
600
400
200
0
0
50
100
150
< 0, fvz /2 >
200
250
Korelogram … šum + 2 harmonické složky (50 a 100 Hz)
autokorelace 1 useku (modra) a zprumernena autokorelace (cervena)
600
autokorelace 1 úseku signálu
400
200
0
-200
0
100
DFT
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
korelogram 1 useku signalu
2000
korelogram 1 úseku signálu
1500
1000
500
0
0
50
100
150
200
250
< 0, fvz /2 >
600
zprůměrněná autokorelace
100 úseků signálu
400
200
0
-200
0
100
200
DFT
2000
300
400
500
600
700
800
900
1000
korelogram ze zprumernene autokorelace
korelogram 100 úseků signálu
1500
1000
500
0
0
50
100
150
< 0, fvz /2 >
200
250
Download

BCZA_spektralni_analyza.pdf