NEURČITÝ INTEGRÁL
1) Základní vzorce (platí na definičním oboru integrandu)
Z
xn+1
xn dx =
+ C; x > 0, n ∈ R, n 6= −1
n+1
Z
1
dx = ln|x| + C, x 6= 0
x
Z
ex dx = ex + C,
Z
ax
ax dx =
+ C, a > 0, a 6= 1
lna
Z
sin x dx = − cos x + C,
Z
cos x dx = sin x + C,
Z
1
π
dx = tg x + C, x 6= + kπ, k ∈ Z
2
cos x
2
Z
1
dx = −cotg x + C, x 6= kπ, k ∈ Z
sin2 x
Linearita integrálu
Z
Z
Z
(α f (x) + β g(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx
Pomocí základních vzorců a linearity spočtěte integrály z následujících funkcí:
√
x
a) x3 − 3 x + √
,
4
x5
b)
1 + x2
√
,
3
x
c) cotg2 x.
2) Substituce
»
Z
0
f (ϕ(x)) ϕ (x) dx =
º Z
ϕ(x) = t
= f (t) dt = F (t) = F (ϕ(x)).
ϕ0 (x)dx = dt
Z p
Z
Z
p
3
2
4
a) x 1 + 2x dx,
b) x
x + 3 dx,
c) sin4 x cos x dx
Z
Z
asin x cos x dx,
d)
Z
e)
Z
2
x e2x dx,
f)
tg x dx.
Z
3x4
2x3
p
p
g)
dx,
i)
dx,
h)
3
(5x4 − 1)3
(3x5 − 1)
Z
Z
Z
p
p
2x
√
j) 2x2 4 (x3 + 2)3 dx, k) 2x3 3 (x4 + 1)2 dx, l)
dx.
4
x2 + 1
x4
√
dx,
3x5 + 7
Z
Vzorce
Z
1
f (ax + b) dx = F (ax + b) + C,
a
Z
kde
f (x) dx = F (x) + C
1
Z
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
Z
3) a)
Z
x2
dx,
x3 + 4
Z
d)
cos(4x + 2) dx,
Z
Z
sin x
dx,
1 + cos x
Z
1
e)
dx,
x ln x
b)
(2x + 5)10 dx,
c)
Z
f)
1
√
dx.
3
4x − 3
Z
Z
2x + 3
ex
g) a
dx,
h)
dx,
i)
dx
x2 + 3x + 8
ex + 3
Z
Z
Z
e3x−1
cos(x + 2)
x3 + 1
j)
dx,
k)
,
l)
dx.
e3x−1 + 3
2 − sin(x + 2)
x4 + 4x + 5
2x−7
Vzorce
Z
1
1
x
dx = arctg + C,
2
2
x +a
a
a
¯
¯
Z
¯x − a¯
1
1
¯ + C,
dx =
ln ¯
x2 − a2
2a ¯ x + a ¯
Z
p
1
√
dx = ln |x + x2 + a| + C,
x2 + a
Z
x
1
√
dx = arcsin + C.
2
2
a
a −x
Z
Z
1
1
4) a)
dx,
b)
dx,
2
2
x + 2x + 2
x + 3x + 3
Z
Z
1
1
√
√
dx,
e)
dx,
d)
2
x + 4x + 5
6x − x2
Z
c)
Z
f)
x2
1
dx,
− 3x + 2
1
√
dx.
2
9x + 6x
5) Per partes
Z
Z
0
f (x) g (x) dx = f (x) g(x) − f 0 (x) g(x) dx
Z
a)
Z
x cos 2x dx,
b)
Z
xe
dx,
c)
Z
2
d)
Z
−2x
cos 2x dx,
e)
arccos x dx,
Z
x
e cos 2x dx,
f)
x2 sin x dx
6) Parciální zlomky
Z
Z
1
x−1
dx,
c)
dx,
5x + 6
x2 + 1
Z
Z
Z
3x + 2
x
x+4
d)
dx,
e)
dx,
f)
dx.
2
x + 4x + 5
(x + 1)(x + 2)
x (x − 2)2
Z
Z
Z
x2 + 3x
1 − 2x
x+2
g)
dx,
h)
dx,
i)
dx.
(x + 1)(x + 2)(x − 1)
(x + 1)(x2 + 1)
x (x2 + 4x + 5)
a)
1
dx,
x−4
Z
b)
2
Výsledky (integrační konstantu vynecháváme)
√
x4
4√
3√
3√
4
3
3
− 2 x3 +
x3 ,
b)
x2 +
x8 ,
c) −cotg x − x.
4
3
2
8
1p
1p 4
sin5 x
2) a)
(1 + 2x2 )3 ,
b)
(x + 3)3 ,
c)
,
6
6
5
1) a)
d)
asin x
,
ln a
g)
2√ 5
3x + 7,
15
1 2x2
e ,
4
e)
1
1
h) − p
5 (5x4 − 1)
8 p
4
(x3 + 2)7
21
1
3) a) ln |x3 + 4|,
3
j)
e) ln | ln x|,
5) a)
i)
3 p
3
(x4 + 1)5
10
3p
3
(4x − 3)2 ,
8
g)
3 p
3
(3x5 − 1)2 ,
10
4p
4
(x2 + 1)3 .
3
(2x + 5)11
1
c)
,
d) sin(4x + 2),
22
4
l)
b) − ln |1 + cos x|,
j)
4) a) arctg(x + 1),
d) ln |x + 2 +
k)
f)
i) ln |ex + 3|,
f) − ln | cos x|.
a2x−7
,
2 ln a
h) ln |x2 + 3x + 8|,
1
ln |e3x−1 + 3|,
k) − ln |2 − sin(x + 2)|,
3
¯
¯
¯x − 2¯
2
2x + 3
¯
¯
√
√
b)
arctg
,
c) ln ¯
x − 1¯
3
3
p
(x + 2)2 + 1|,
x sin 2x cos 2x
+
,
2
4
b) −
e) arcsin
x−3
,
3
e−2x
(1 + 2x),
4
l)
1
ln |x4 + 4x + 5|.
4
p
1
ln |3x + 1 + (3x + 1)2 − 1|.
3
√
c) x arccos x − 1 − x2 ,
f)
2x + sin 2x cos 2x
ex (cos 2x + 2 sin 2x)
,
e)
,
f) (2 − x2 ) cos x + 2x sin x.
4
5
1
1
c) ln |x2 + 1| − arctg x,
6) a) ln |x − 4|,
b) ln |5x + 6|,
5
2
¯
¯
¯ x ¯
3
2
¯− 3 ,
d) ln |x +4x+5|−4 arctg(x+2),
e) 2 ln |x+2|−ln |x+1|,
f) ln ¯¯
2
x − 2¯ x − 2
¯
¯
2 ¯¯ x − 1 ¯¯
3
1
3
g) ln |x + 1| + ln ¯
,
h) ln |x + 1| − ln |x2 + 1| − arctg x,
3
x + 2¯
2
4
2
d)
i)
2
1
1
ln |x| − ln |x2 + 4x + 5| + arctg(x + 2).
5
5
5
Řešení vybraných příkladů
p
» 2
º
Z p
Z
3
2
(1 + 2x2 )3
1
1
t
t
=
1
+
2x
2
2) a) x 1 + 2x2 dx =
=
t dt = ·
=
.
2 t dt = 4x dx
2
2 3
6
Můžeme rovněž použít následující substituce
p
»
º
Z
Z p
(1 + 2x2 )3
1 √
1 t3/2
t = 1 + 2x2
2
=
t dt = ·
=
,
x 1 + 2x dx =
dt = 4x dx
4
4 3
6
2
3
integrování je pro někoho možná maličko složitější.
»
º
Z
1
x2
f (x) = x3 + 4
= ln |x3 + 4|.
3) a)
dx =
0
2
3
f (x) = 3x
x +4
3


µ
¶

3 2 9
2

x + 3x + 3 = x +
− +3=
Z

 4Z
2
4
1
1


Ã
!
¶2
µ
µ
¶2
4) b)
dx
=
dx =

=
µ
¶2
2
3
3
3
2x + 3

x + 3x + 3
 3
2x
+
3
 = x+
√
+ =
+1
√
+1

2
4
4
3
3

2x + 3 

t= √
 4 √3 Z
1
2
2
2x + 3


3
=
dt = √ arctg t = √ arctg √ .
= ·
2
2
 dt = √ dx
3 2
t +1
3
3
3

3


º
»
Z
Z
u0 = 1, v = arccos x 

x
t2 = 1 − x2


1
√
=x
5) c) arccos x dx = 
dx =
0
| arccos
{z x} +
2t dt = −2x dx
1 − x2
 u = x, v = − √1 − x2
A
Z
p
t dt
=A−
= A − t = x arccos x − 1 − x2 .
t
Z
x−1
1
2x
1
x−1
1
6) c) 2
= · 2
−
⇒
dx = ln(1 + x2 ) − arctg x.
x +1
2 x + 1 x2 + 1
x2 + 1
2
6) f ) Rozložíme integrand na parciální zlomky:
převedeme na společného jmenovatele:
x+4
A
B
C
= +
+
,
2
x (x − 2)
x
x − 2 (x − 2)2
x+4
A (x − 2)2 + B x(x − 2) + C x
=
x (x − 2)2
x (x − 2)2
a porovnáme koeficienty u stejných mocnin v čitatelích. Dostaneme soustavu pro neznámé
A, B, C:
x2 : A + B = 0,
x1 : −4A − 2B + C = 1,
x0 : 4A = 4, kterou řeší A = 1, B = −1, C = 3.
Nebo do čitatelů dosadíme kořeny jmenovatele.
x = 0 : 4 = 4A ⇒ A = 1,
x = 2 : 6 = 2C ⇒ C = 3 Konstantu B vypočítáme např. z rovnice, kterou jsme dostali
porovnáním koeficientů u x2 : A + B = 0.
Odtud již snadno dospějeme k výsledku:
¯
¯
¶
Z
Z µ
¯ x ¯
x+4
1
3
1
¯− 3 .
dx =
−
+
dx = ln ¯¯
x (x − 2)2
x x − 2 (x − 2)2
x − 2¯
x−2
4
Download

NEURČITÝ INTEGRÁL 1) Základní vzorce (platí na