Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty
strojní TUL.
Jméno a příjmení (čitelně):
varianta č. 90
Přezdívka (nepovinné):
Zde pište své výsledky
Napište rovnici přímky procházející body A = [−2, −3],
B = [1, 4] v takovém tvaru, ve kterém je souřadnice y
vyjádřena jako funkce x.
Koeficient u x souvisí s jednou geometrickou veličinou
popisující polohu přímky v soustavě souřadné. Napište se
kterou a jak.
1
Napište rovnici přímky procházející body A = [−2, 0],
B = [0, −3] v obecném tvaru (na jedné straně rovnice
je lineární funkce proměnných x, y a na druhé je nula,
případně jiná konstanta).
Koeficienty u x a y jsou souřadnicemi vektoru, který svírá
se zadanou přímkou určitý úhel – napište jaký.
2
Řešte nerovnici
(x − 1)(x + 4) ≤ 6x − 4.
3
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = (x − 1)(x + 4),
y = 6x − 4,
4
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
Řešte nerovnici
x−1 ≤
6x − 4
.
x+4
5
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = x − 1,
y=
6x − 4
,
x+4
6
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
Řešte nerovnici
3x2 − 8 ≥ −2x.
7
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = 3x2 − 8,
y = −2x,
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
8
Načrtněte graf
y = 3x2 + 2x − 8,
vypočtěte souřadnice pr˚
usečíku(-˚
u) s osou x a vyznačte
je.
9
Do soustavy souřadné načrtněte přímky o rovnicích
x + 6y = 3,
2x + 5y = 2,
10
vypočtěte a vyznačte jejich pr˚
usečík.
Načrtněte grafy
y = 3 + |x + 3|,
y =x+6
a vyznačte jejich společné body. Napište, kolik těchto společných bod˚
u je.
11
Řešte rovnici
12
3 + |x + 3| = x + 6.
Řešte nerovnici
13
3 + |x + 3| < x + 6
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = 3 + |x + 3|,
y =x+6
a na ose x vyznačte řešení nerovnice
14
3 + |x + 3| < x + 6
Pokud je to náhodou prázdná množina, napište to (ta se
obtížně vyznačuje).
Doplňte do nerovnice
−2 − 2|x + 1|
x−4
znaménko nerovnosti tak, aby následující obrázek odpovídal jejímu grafickému řešení.
y
−5
−4
−3
−2
−1
−5
−10
1
x
15
Upravte výraz
5
6
16
na logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (nebo případně
logaritmus přirozeného čísla).
log 8 + 2 log
Upravte výraz
1
1
log 16 − log 25
2
4
na některý z tvar˚
u:
1. logaritmus přirozeného čísla (např. log 24)
2. logaritmus odmocniny přirozeného čísla (log
√
24)
)
3. logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (log 24
5
17
4. logaritmus odmocniny
ze zlomku ve zkráceném
q
tvaru (např. log 6 23 ).
Je-li možné
udělejteqto – např.
q celý zlomek odmocnit,
q
1
místo log 4 25
uveďte log 59 a místo log 4 81
uveďte
81
log 13 .
Upravte výraz
1
1
log 5 − log 2
2
4
na některý z tvar˚
u:
1. logaritmus přirozeného čísla (např. log 24)
2. logaritmus odmocniny přirozeného čísla (log
√
24)
3. logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (log 24
)
5
18
4. logaritmus odmocniny
ze zlomku ve zkráceném
q
6 2
tvaru (např. log 3 ).
Je-li možné
udělejteqto – např.
q celý zlomek odmocnit,
q
25
5
1
místo log 4 81 uveďte log 9 a místo log 4 81
uveďte
log 13 .
Vyčíslete
log 100293
19
2 log(3y − 9) = log(3y − 9)2
2 log(−5z − 9) = log(−5z − 9)3
20
Řešte rovnice
Řešte rovnici
23x+5 = 12
Kořen (-y) vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny.
21
Řešte rovnici
23x+5 = 46x+4 .
22
Řešte na intervalu h0◦ , 360◦i rovnice
1
sin x = − ,
2
√
tg y = − 3
Řešte na intervalu h0, 2πi rovnice
√
√
2
,
tg y = 3
sin x = −
2
23
24
Výsledky vyjádřete jako součin čísla π a zlomku ve zkráceném tvaru (např. 54 π).
Řešte na intervalu h0, 2πi rovnici
2 cos2 x − 5 sin x − 4 = 0.
25
Výsledky vyjádřete jako součin čísla π a zlomku ve zkráceném tvaru (např. 54 π).
Jaké souřadnice má bod C, víte-li, že A = [1, 1], B =
[3, 1], že úhel ABC je pravý a úhel BAC má velikost 70◦ ?
26
Uveďte všechna řešení v desetinném tvaru zaokrouhleném
na setiny.
Převeďte 250◦ na radiány. Výsledek vyjádřete (oběma
zp˚
usoby)
1. jako součin zlomku ve zkráceném tvaru a čísla π,
27
2. v desetinném tvaru zaokrouhleném na setiny.
Načrtněte graf funkce y = sin x a na intervalu h0, 2πi
řešte nerovnici
√
3
sin x > −
.
2
28
Řešení nerovnice
1. Vyjádřete pomocí interval˚
u.
2. Vyznačte v grafu na ose x.
Rozložte kvadratický trojčlen
2x2 + 5x + 3
na součin kořenových činitel˚
u.
Doporučujeme: proveďte kontrolu roznásobením svého
výsledku - musí se rovnat zadání.
29
Studentka fakulty strojní TUL je vysoká 171 cm a vrhá na
slunci stín dlouhý 137 cm. Jak vysoký je strom, který vrhá 30
stín dlouhý 888 cm? Výsledek zaokrouhlete na centimetry.
Řešte rovnici
−5
2 − x5
31
(x2 + 2)5 .
32
x=
Umocněte
Doporučujeme použít Pascal˚
uv trojúhelník.
Vypočtěte souřadnice středu a poloměr kružnice o rovnici
33
x2 + y 2 + 4x + 8y + 19 = 0.
Vypočtěte souřadnice středu a poloměr kružnice o rovnici
x2 + y 2 + x + 2y − 1 = 0.
34
Výsledky vyčíslete a zaokrouhlete na setiny.
Řešte rovnici
(2x − 4)2 = −5x + 9.
35
√
36
Řešte rovnici
2x − 4 =
−5x + 9.
Napište předpis kvadratické funkce, jejímž grafem
je parabola na obrázku. (Souřadnice vrcholu i kořen˚
u
jsou celočíselné.) Ve výsledku odstraňte všechny závorky.
y
2
37
1
−4
−2
2
4
6
8 x
Zakreslete do Gaussovy roviny čísla
z1 = 2 + 2 i,
z2 = 1 − i,
38
vypočtěte součin z1 z2 a podíl z1 /z2 a též je zakreslete do
Gaussovy roviny.
Rozhodněte, které z následujících vztah˚
u jsou identitami
(viz níže). Pro tyto identity napište, pro jaké hodnoty
proměnných jsou splněny.
1.
log (xy) = log x + log y
2.
log (ab) = log a log b
3.
39
r+s
r s
= +
t
t
t
4.
log (u + v) = log u + log v
Vysvětlení: identita je vztah, který je splněn pro všechny hodnoty proměnných, pro které je definován. Například a + b = b + a je identita, a − b = b − a identita
není.
Varianta č. 90.
c
Generováno zápočtovým programem MFF
UK 2009, vysázeno LATEXem.
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty
strojní TUL.
Jméno a příjmení (čitelně):
varianta č. 91
Přezdívka (nepovinné):
Zde pište své výsledky
Napište rovnici přímky procházející body A = [4, 2],
B = [8, −2] v takovém tvaru, ve kterém je souřadnice
y vyjádřena jako funkce x.
Koeficient u x souvisí s jednou geometrickou veličinou
popisující polohu přímky v soustavě souřadné. Napište se
kterou a jak.
1
Napište rovnici přímky procházející body A = [4, 0], B =
[0, 2] v obecném tvaru (na jedné straně rovnice je lineární
funkce proměnných x, y a na druhé je nula, případně jiná
konstanta).
Koeficienty u x a y jsou souřadnicemi vektoru, který svírá
se zadanou přímkou určitý úhel – napište jaký.
2
Řešte nerovnici
(x − 2)(x + 1) ≥ 4x − 6.
3
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = (x − 2)(x + 1),
y = 4x − 6,
4
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
Řešte nerovnici
x−2 ≥
4x − 6
.
x+1
5
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = x − 2,
y=
4x − 6
,
x+1
6
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
Řešte nerovnici
−3x2 + 16 > 2x.
7
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = −3x2 + 16,
y = 2x,
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
8
Načrtněte graf
y = −3x2 − 2x + 16,
9
vypočtěte souřadnice pr˚
usečíku(-˚
u) s osou x a vyznačte
je.
Do soustavy souřadné načrtněte přímky o rovnicích
3x − 6y = −3,
2x − 5y = 4,
10
vypočtěte a vyznačte jejich pr˚
usečík.
Načrtněte grafy
y = −3 − |x − 3|,
y = 2x − 5
a vyznačte jejich společné body. Napište, kolik těchto společných bod˚
u je.
11
Řešte rovnici
12
−3 − |x − 3| = 2x − 5.
Řešte nerovnici
13
−3 − |x − 3| ≤ 2x − 5
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = −3 − |x − 3|,
y = 2x − 5
a na ose x vyznačte řešení nerovnice
14
−3 − |x − 3| ≤ 2x − 5
Pokud je to náhodou prázdná množina, napište to (ta se
obtížně vyznačuje).
Doplňte do nerovnice
2 + 2|x − 3|
− 3x + 7
znaménko nerovnosti tak, aby následující obrázek odpovídal jejímu grafickému řešení.
y
10
15
5
2
−2
Upravte výraz
4
6
x
10
11
− log
3
16
16
na logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (nebo případně
logaritmus přirozeného čísla).
log
Upravte výraz
1
1
log 25 − log 16
4
2
na některý z tvar˚
u:
1. logaritmus přirozeného čísla (např. log 24)
2. logaritmus odmocniny přirozeného čísla (log
√
24)
3. logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (log 24
)
5
17
4. logaritmus odmocniny
ze zlomku ve zkráceném
q
6 2
tvaru (např. log 3 ).
Je-li možné
udělejteqto – např.
q celý zlomek odmocnit,
q
5
1
4 25
místo log 81 uveďte log 9 a místo log 4 81
uveďte
log 13 .
Upravte výraz
1
1
log 7 − log 4
4
2
na některý z tvar˚
u:
1. logaritmus přirozeného čísla (např. log 24)
2. logaritmus odmocniny přirozeného čísla (log
√
24)
)
3. logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (log 24
5
18
4. logaritmus odmocniny
ze zlomku ve zkráceném
q
tvaru (např. log 6 23 ).
Je-li možné
udělejteqto – např.
q celý zlomek odmocnit,
q
5
1
4 25
místo log 81 uveďte log 9 a místo log 4 81
uveďte
log 13 .
Vyčíslete
log 1000301
19
3 log(−3y − 8) = log(−3y − 8)6
4 log(2z − 8) = log(2z − 8)4
20
Řešte rovnice
Řešte rovnici
3−3x−5 = 14
21
Kořen (-y) vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny.
Řešte rovnici
3−3x−5 = 9−6x+7 .
22
Řešte na intervalu h0◦ , 360◦i rovnice
cos x = 0,
tg y = −1
23
Řešte na intervalu h0, 2πi rovnice
1
cos x = − ,
2
cotg y = 1
24
Výsledky vyjádřete jako součin čísla π a zlomku ve zkráceném tvaru (např. 54 π).
Řešte na intervalu h0, 2πi rovnici
sin2 x + 3 cos x − 3 = 0.
25
Výsledky vyjádřete jako součin čísla π a zlomku ve zkráceném tvaru (např. 54 π).
Jaké souřadnice má bod C, víte-li, že A = [−1, −1],
B = [2, −1], že úhel ABC je pravý a úhel BAC má
26
velikost 10◦ ? Uveďte všechna řešení v desetinném tvaru
zaokrouhleném na setiny.
Převeďte 260◦ na radiány. Výsledek vyjádřete (oběma
zp˚
usoby)
1. jako součin zlomku ve zkráceném tvaru a čísla π,
27
2. v desetinném tvaru zaokrouhleném na setiny.
Načrtněte graf funkce y = cos x a na intervalu h0, 2πi
řešte nerovnici
√
2
cos x < −
.
2
28
Řešení nerovnice
1. Vyjádřete pomocí interval˚
u.
2. Vyznačte v grafu na ose x.
Rozložte kvadratický trojčlen
4x2 + 13x + 10
na součin kořenových činitel˚
u.
Doporučujeme: proveďte kontrolu roznásobením svého
výsledku - musí se rovnat zadání.
29
Student fakulty strojní TUL je vysoký 183 cm a vrhá na
slunci stín dlouhý 73 cm. Jak vysoký je strom, který vrhá 30
stín dlouhý 500 cm? Výsledek zaokrouhlete na centimetry.
Řešte rovnici
−4
3 − x4
31
(x3 + 3)4 .
32
x=
Umocněte
Doporučujeme použít Pascal˚
uv trojúhelník.
Vypočtěte souřadnice středu a poloměr kružnice o rovnici
33
x2 + y 2 + 6x − 8y + 21 = 0.
Vypočtěte souřadnice středu a poloměr kružnice o rovnici
x2 + y 2 − x + 3y − 1 = 0.
34
Výsledky vyčíslete a zaokrouhlete na setiny.
Řešte rovnici
35
(3x − 12)2 = −4x + 21.
Řešte rovnici
3x − 12 =
√
36
−4x + 21.
Napište předpis kvadratické funkce, jejímž grafem
je parabola na obrázku. (Souřadnice vrcholu i kořen˚
u
jsou celočíselné.) Ve výsledku odstraňte všechny závorky.
y
3
37
2
1
1
2
3
4
x
Zakreslete do Gaussovy roviny čísla
z1 = 3 + 3 i,
z2 = −1 + i,
38
vypočtěte součin z1 z2 a podíl z1 /z2 a též je zakreslete do
Gaussovy roviny.
Rozhodněte, které z následujících vztah˚
u jsou identitami
(viz níže). Pro tyto identity napište, pro jaké hodnoty
proměnných jsou splněny.
1.
√
x+y =
√
x+
√
y
2.
log (ab) = log a log b
39
3.
log (r + s) = log r + log s
4.
√
uv =
√ √
u v
Vysvětlení: identita je vztah, který je splněn pro všechny hodnoty proměnných, pro které je definován. Například a + b = b + a je identita, a − b = b − a identita
není.
Varianta č. 91.
c
Generováno zápočtovým programem MFF
UK 2009, vysázeno LATEXem.
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty
strojní TUL.
Jméno a příjmení (čitelně):
varianta č. 92
Přezdívka (nepovinné):
Zde pište své výsledky
Napište rovnici přímky procházející body A = [−5, −1],
B = [0, −4] v takovém tvaru, ve kterém je souřadnice y
vyjádřena jako funkce x.
Koeficient u x souvisí s jednou geometrickou veličinou
popisující polohu přímky v soustavě souřadné. Napište se
kterou a jak.
1
Napište rovnici přímky procházející body A = [−5, 0],
B = [0, −1] v obecném tvaru (na jedné straně rovnice
je lineární funkce proměnných x, y a na druhé je nula,
případně jiná konstanta).
Koeficienty u x a y jsou souřadnicemi vektoru, který svírá
se zadanou přímkou určitý úhel – napište jaký.
2
Řešte nerovnici
(x − 1)(x + 2) < 4.
3
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = (x − 1)(x + 2),
y = 4,
4
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
Řešte nerovnici
x−1 <
4
.
x+2
5
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = x − 1,
y=
4
,
x+2
6
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
Řešte nerovnici
5x2 − 12 < −11x.
7
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = 5x2 − 12,
y = −11x,
vypočtěte souřadnice jejich pr˚
usečíku(-˚
u) a vyznačte
je.
8
Načrtněte graf
y = 5x2 + 11x − 12,
9
vypočtěte souřadnice pr˚
usečíku(-˚
u) s osou x a vyznačte
je.
Do soustavy souřadné načrtněte přímky o rovnicích
5x − 2y = 3,
3x − y = −4,
10
vypočtěte a vyznačte jejich pr˚
usečík.
Načrtněte grafy
y = 2 − 2|x + 4|,
y = −2x − 6
a vyznačte jejich společné body. Napište, kolik těchto společných bod˚
u je.
11
Řešte rovnici
12
2 − 2|x + 4| = −2x − 6.
Řešte nerovnici
13
2 − 2|x + 4| ≥ −2x − 6
Do jednoho obrázku načrtněte grafy
y = 2 − 2|x + 4|,
y = −2x − 6
a na ose x vyznačte řešení nerovnice
14
2 − 2|x + 4| ≥ −2x − 6
Pokud je to náhodou prázdná množina, napište to (ta se
obtížně vyznačuje).
Doplňte do nerovnice
2 + 2|x + 4|
3x + 9
znaménko nerovnosti tak, aby následující obrázek odpovídal jejímu grafickému řešení.
y
15
15
10
5
−6
−4
2
−2
x
−5
Upravte výraz
12
7
+ log
7
2
16
na logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (nebo případně
logaritmus přirozeného čísla).
log
Upravte výraz
1
1
log 16 − log 25
2
4
na některý z tvar˚
u:
1. logaritmus přirozeného čísla (např. log 24)
2. logaritmus odmocniny přirozeného čísla (log
√
24)
3. logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (log 24
)
5
17
4. logaritmus odmocniny
ze zlomku ve zkráceném
q
6 2
tvaru (např. log 3 ).
Je-li možné
udělejteqto – např.
q celý zlomek odmocnit,
q
5
1
4 25
místo log 81 uveďte log 9 a místo log 4 81
uveďte
log 13 .
Upravte výraz
1
1
log 9 − log 8
2
4
na některý z tvar˚
u:
1. logaritmus přirozeného čísla (např. log 24)
2. logaritmus odmocniny přirozeného čísla (log
√
24)
)
3. logaritmus zlomku ve zkráceném tvaru (log 24
5
18
4. logaritmus odmocniny
ze zlomku ve zkráceném
q
tvaru (např. log 6 23 ).
Je-li možné
udělejteqto – např.
q celý zlomek odmocnit,
q
5
1
4 25
místo log 81 uveďte log 9 a místo log 4 81
uveďte
log 13 .
Vyčíslete
log 10000216
19
4 log(−4y − 7) = log(−4y − 7)4
2 log(−2z + 12) = log(−2z + 12)3
20
Řešte rovnice
Řešte rovnici
4−4x+4 = 10
21
Kořen (-y) vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny.
Řešte rovnici
4−4x+4 = 642x−7 .
22
Řešte na intervalu h0◦ , 360◦i rovnice
1
sin x = ,
2
cotg y = 0
23
Řešte na intervalu h0, 2πi rovnice
sin x = 0,
√
cotg y = − 3
24
Výsledky vyjádřete jako součin čísla π a zlomku ve zkráceném tvaru (např. 54 π).
Řešte na intervalu h0, 2πi rovnici
cos2 x − 3 sin x − 1 = 0.
25
Výsledky vyjádřete jako součin čísla π a zlomku ve zkráceném tvaru (např. 54 π).
Jaké souřadnice má bod C, víte-li, že A = [2, −2],
B = [6, −2], že úhel ABC je pravý a úhel BAC má
26
velikost 20◦ ? Uveďte všechna řešení v desetinném tvaru
zaokrouhleném na setiny.
Převeďte 280◦ na radiány. Výsledek vyjádřete (oběma
zp˚
usoby)
1. jako součin zlomku ve zkráceném tvaru a čísla π,
27
2. v desetinném tvaru zaokrouhleném na setiny.
Načrtněte graf funkce y = cos x a na intervalu h0, 2πi
řešte nerovnici
1
cos x ≤ − .
2
Řešení nerovnice
28
1. Vyjádřete pomocí interval˚
u.
2. Vyznačte v grafu na ose x.
Rozložte kvadratický trojčlen
2x2 + 7x − 9
na součin kořenových činitel˚
u.
Doporučujeme: proveďte kontrolu roznásobením svého
výsledku - musí se rovnat zadání.
29
Studentka fakulty strojní TUL je vysoká 163 cm a vrhá
na slunci stín dlouhý 375 cm. Jak vysoký je strom, který
30
vrhá stín dlouhý 1495 cm? Výsledek zaokrouhlete na centimetry.
Řešte rovnici
−3
5 − x3
31
(x4 − 3)6 .
32
x=
Umocněte
Doporučujeme použít Pascal˚
uv trojúhelník.
Vypočtěte souřadnice středu a poloměr kružnice o rovnici
33
x2 + y 2 + 8x + 6y + 16 = 0.
Vypočtěte souřadnice středu a poloměr kružnice o rovnici
x2 + y 2 + 2x − 3y − 1 = 0.
34
Výsledky vyčíslete a zaokrouhlete na setiny.
Řešte rovnici
35
(−2x − 6)2 = −3x + 13.
Řešte rovnici
−2x − 6 =
√
36
−3x + 13.
Napište předpis kvadratické funkce, jejímž grafem
je parabola na obrázku. (Souřadnice vrcholu i kořen˚
u
jsou celočíselné.) Ve výsledku odstraňte všechny závorky.
y
4
3
37
2
1
−4
−3
−2
−1
x
Zakreslete do Gaussovy roviny čísla
z1 = −2 − 2 i,
z2 = 2 + 2 i,
38
vypočtěte součin z1 z2 a podíl z1 /z2 a též je zakreslete do
Gaussovy roviny.
Rozhodněte, které z následujících vztah˚
u jsou identitami
(viz níže). Pro tyto identity napište, pro jaké hodnoty
proměnných jsou splněny.
1.
2.
x
x x
= +
y+z
y
z
a+b
a b
= +
c
c c
39
3.
log (r + s) = log r + log s
4.
log (u + v) = log u log v
Vysvětlení: identita je vztah, který je splněn pro všechny hodnoty proměnných, pro které je definován. Například a + b = b + a je identita, a − b = b − a identita
není.
Varianta č. 92.
c
Generováno zápočtovým programem MFF
UK 2009, vysázeno LATEXem.
Download

pdf souboru