Mario Livio - Zlatý řez
Vypracoval: Ladislav Klimeš (37084533)
Publikace Zlatý řez1 od izraelského astrofyzika, matematika a popularizátora vědy se snaží
čtenáři přiblížit „taje“ jednoho z nejzvláštnějších iracionálních čísel, které matematika zná – fí (ϕ).
Toto číslo je matematickým vyjádřením „zlatého řezu“ či „božské proporce“, která je prokazatelně
známa již z období antiky. V této knize si autor například pokládá otázku: „Co mají společného
půvabné uspořádání okvětních lístků růže, slavný obraz Salvadora Dalího ‚Poslední večeře‘, nádherné
spirálové skořápky měkkýšů a rozmnožování králíků?“ – Správně, všechny tyto vyjmenované jevy
mají společný jeden faktor – zlatý poměr.
Konspekt knihy
Předehra k číslu
Livio začíná svou publikaci nejprve představením jiného všeobecně známého čísla – čísla
pí (π), které vyjadřuje poměr obvodu kruhu k jeho průměru. Hodnota tohoto čísla je 3,14169…
Přestože toto číslo bylo formulováno v rámci geometrie, objevuje se i tam, kde bychom ho nečekali
(„buffonova jehla“ – výsledek úlohy 2/π). K samotnému zlatému řezu se Livio dostává skrze Eukleida,
který pravděpodobně jako první definoval tento fenomén, když zkoumal nesouměřitelnost úseček:
„Úsečka se rozdělí v krajním a středním poměru tehdy, když se celá má k delšímu dílu jako delší díl ke
kratšímu.“2Hodnota zlatého poměru je iracionálním číslem s přibližnou hodnotou 1,618 033 988 7...
První písemnou zmínku o použití termínu „zlatý řez“ nalézá Livio v knize Čisté základy matematiky
(1835) od Martina Ohma.
Tón a pentagram
V této kapitole nejprve Livio rozebírá vznik matematiky z antropologického hlediska.
Pravděpodobně prvotní nutnost ovládání schopnosti práce s čísly – řadami – souvisí s rozpočítáváním
se při kmenovém obřadu. Jednoduše řečeno bylo nutno určit „kdo po kom přijde k oltáři“. Dalším
důvodem, který mohl vést k prvnímu přemýšlení o číslech, bylo určení toho, kolik vlků se chystá
ohrozit naši lidskou společnost, tedy otázka množství. Ze studia starých jazyků či jazyků „primitivních“
kultur Oceánie lze vysledovat, že lidé nejprve byli schopni rozeznávat množství „jedna“, „dva“ a
„mnoho“ ve významu tři a více. Některé kultury vymyslely systém počítání „do čtyř“, kdy výraz pro
„tři“ představoval spojení výrazu pro „jedna“ a „dva“ a „čtyři“ vznikla spojením dvou výrazů pro
„dva“. Díky dalšímu vývoji a nutnosti počty obsáhnout stále větší množství prvků se začaly objevovat
číselné soustavy. Livio rozebírá nejtypičtější číselné soustavy – jejich základy – a uvádí
pravděpodobný předobraz jejich vzniku. Kupříkladu desítková soustava souvisí s deseti prsty na
lidských rukou, šedesátková soustava mohla vzniknout v souvislosti k přibližně 360 dnům v roce,
dvanáctková soustava mohla mít své kořeny v „počítání kloubů na ruce“. Vývoj pojmů prezentujících
1
2
LIVIO, M. Zlatý řez: Příběh fí, nejpodivuhodnějšího čísla na světě. Překlad HOLČÁK, P. První vydání. Praha:
Dokořán, 2006. ISBN 80-7363-064-8
Tamtéž, strana 11.
číselné entity dokládá Livio také na morfologické stavbě slov v jednotlivých jazycích a jejich
odvozování.
Livio se krátce zastavuje u skutečnosti, že všechny kultury přikládaly číslům speciální
významy. Kupříkladu numerologie, která je postavena na předpokladu, že všechny aspekty světa
souvisejí s čísly a jejich „charaktery“. Numerologie se zabývá rovněž interpretací „čísla šelmy“ – 666 –
které je zmiňováno v Bibli.
V historii lidstva nebylo skupiny lidí, která by si vážila čísel více nežli pythagorejci. Pythagoras
a jeho následovníci pochopili, že matematikou je možno popisovat zákony přírody. Pythagorejci svoji
„teorii čísel“ povýšili na roli životní filosofie. Následovníci Pythagora žili podle komplexního systému
pravidel, věřili v putování duší. Základem jejich filosofie – tetraktys – byla čísla, která měla své
vlastnosti (1 – prezentuje bod, 2 – prezentuje úsečku, 3 – prezentující trojúhelník, 4 – prezentující
čtverec, 5 – prezentující pentagram…). Pythagorejci očekávali ve všem vyšší matematický řád. „O
Pythagorovi prý objevil harmonické řady v tónech hudební stupnice.“3 Právě pentagram, jehož vrcholy
jsou zároveň vrcholy pravidelného pětiúhelníku, má vztah ke zlatému poměru. Úhlopříčky
pětiúhelníku vytvářejí v něm samém další, menší, pětiúhelník a pentagram. Poměr délky úhlopříčky
ke straně pětiúhelníku je právě zlatým řezem. Pythagorejci ve svém studiu geometrie se
pětiúhelníkem zabývali a je možné, že o nesouměřitelnosti úseček či dokonce o samotném zlatém
poměru věděli, i když existence iracionálního čísla byla v rozporu s jejich dokonalou představou
matematického světa. Jelikož sám Pythagoras se matematice učil v Egyptě a Babylonu nabízí se
otázka, zda byl zlatý řez objeven již dříve?
V základech pyramid čnících ke hvězdám
Protože, lze zlatý řez jednoduše nalézt v pentagramu/pětiúhelníku je jistě správným
postupem při hledání důkazu, že Babyloňané či Egypťané znali zlatý řez, zaměřit se na, jaké vlastnosti
těchto rovinných obrazců Egypťané či Babyloňané znali. Na čtyři tisíce let starých destičkách
s klínovým písmem z íránských Sús lze nalézt záznam o způsobu výpočtu obsahu pětiúhelníku, který si
Babyloňané dokázali se svými znalostmi odvodit. „Číslo ‚1 40‘ jakožto obsah pětiúhelníku by se mělo
interpretovat jako 1 + 40/60 neboli 1,666... Skutečný obsah pětiúhelníku se stranami o jednotkové
délce od této hodnoty vskutku není příliš vzdálen, protože je 1,720.“4 Z jiných babylonských destiček
lze zjistit, že s podobnou přesností znali i hodnotu čísla π. Neexistuje ovšem žádný důkaz, že by
Babyloňané tušili něco o zlatém řezu. Livio si za tímto názorem stojí i přesto, že Michael Schneider
uvádí v knize Průvodce začátečníka po vzniku vesmíru, že obsahuje řadu vztahů zlatého řezu. Autor
knihy nabízí své řešení, které vysvětluje, „jak může někdo vidět proporce zlatého řezu“ i tam, kde
nejspíše nejsou; někteří výzkumníci totiž ve svých snahách zlatý řez objevit pozapomínají na to, že
každé měření má svoji odchylku (které se při dělení zvětšuje) a zároveň se často stává, že výzkumník
si vybírá referenční body, od kterých měřit začíná tak, aby výsledný poměr se více blížil právě
hodnotě ϕ. Výsledkem tedy je, že „není příliš pravděpodobné, že by Babyloňané objevili zlatý řez.“5
Velká pyramida v Gíze, jako jediný ze sedmi divů starověkého světa, přetrval do naší doby.
Není tedy divu, že se stala předmětem bezpočtu studií snažící se dokázat „to či ono“. Nejinak tomu je
3
4
5
Tamtéž, strana 32.
Tamtéž, strana 45.
Tamtéž, strana 47.
i s otázkou Velké pyramidy a zlaté proporce. Midhat Gazalé ve své knize Gnómon: Od faraonů
k fraktálům uvádí, že „řecký historik Herodotos se od egyptských kněží dozvěděl, že čtverec výšky
Velké pyramidy je roven obsahu jeho trojúhelníkové stěny.“6 Pokud je toto opravdu pravdou
znamenalo by to, že vztah stěnové výšky pyramidy k polovině její základy, znamenalo by to, že
pyramida byla projektována s účelem obsahovat zlatý řez. Livio předkládá důkazy, které tuto
hypotézu vyvracejí. Herodotos totiž nikdy výše citovanou větu nevyslovil, řekl pouze: „...této
pyramidy, která je čtyřstranná a každá stěna má všechny strany 8 plether a stejnou výšku.“7 Tento
výrok mylně interpretoval John Taylor a „hledači zlatého řezu v pyramidě“ ji bez bližšího zkoumání
převzali za pravdivou. Objevily se i teorie, podle kterých je Velká pyramida postavena s přihlédnutím
k číslu π (přestože byla její stavba pravděpodobně zahájena o tisíc let dříve, než je datována znalost
Egypťanů čísla π). Skutečně lze při zkoumání rozměrů Velké pyramidy se dobrat čísla 2π. Je ovšem
možné, že tako skutečnost je čistě náhodná a souvisí s „tehdejší metodou“ měření v horizontálním a
vertikálním směru, která využívá pro horizontální směr „válce“ – odtud výpočet na základě obvodu
kruhu…
Dle Maria Livia nejsou k dispozici žádné objektivní důkazy, jež by podporovaly tezi, že Velká
pyramida v Gíze byla vybudována s cílem vyobrazení božské proporce.
Druhý poklad
Význačný myslitel a filosof Platon se se zájmem věnoval matematické algebře i geometrii.
Kupříkladu jeho úvaha Zákony hovoří o ideálním počtu obyvatel městského státu, jež určil na základě
dělitelnosti čísel. V geometrii se Platon věnoval nesouměřitelnosti úseček, rovněž tedy iracionálním
číslům a „byl zahanben tím, že se o jejich existenci dozvěděl tak pozdě“. Ovšem důležitějším
přínosem Platona k problematice zlatého řezu jsou tvz. platónská tělesa (čtyřstěn, krychle, osmistěn,
dvanáctistěn, dvacetistěn). Tato tělesa mají unikátní vlastnosti, jednotlivé stěny těles jsou totožné,
rovnostranné a lze kolem nich opsat kružnici. „Zlatý řez hraje v rozměrech a symetrických
vlastnostech některých platónských těles klíčovou roli.“8 Například objem „jednotkového“
dvacetistěnu lze vyjádřit jako 5ϕ5/6. Díky symetrii těchto těles je možno do dvanáctistěnu
zkonstruovat dvacetistěn a „překvapivě“ poměr délek hran výchozího a zkonstruovaného tělesa
odpovídá výrazu ϕ2/√5. Sám Platon tato tělesa považoval za základní stavební jednotky hmoty, jež
připodobnil k živlům Země, Oheň, Voda, Vzduch. Páté, „nejdokonalejší“ těleso, dvanáctistěn,
ztělesňuje samotný vesmír. Aristoteles tuto ideu přebírá a z Platonova dvanáctistěnu vytváří éter.
Salvador Dalí motivu dvanáctistěnu pak využívá u obrazu Poslední večeře.
Další významnou architektonickou stavbou, o které se tvrdí, že byla postavena s přihlédnutím
k vlastnostem zlatého řezu je Parthenon. Livio pochybuje i o tomto tvrzení. Své estetické kouzlo
Parthenon získává nejspíše svou pravidelností opakování sloupořadí. S nezapočítaným podstavcem
chrámu totiž poměr výšky a šířky činí 2,25 což je velmi vzdáleno zlatému poměru. I při započítání
podstavce je poměr stále „dostatečně daleko“ – 1,72. Hledání zlatého řezu ve významných
památkách dodnes „nenechává badatele spát“. Ovšem je více než nasnadě uvést citát Christine
6
7
8
Tamtéž, strana 55.
Tamtéž, strana 56.
Tamtéž, strana 67.
Flonové z knihy Světový atlas architektury: „někteří architekti... si asi přáli zakládat svá díla na
přesném systému poměrů, ...bylo by chybou to generalizovat.“9
Eukleides, jež dal světu učebnici matematiky, která byla používána téměř beze změn po dva
tisíce let se ve svém díle Základy v několika místech zabývá i zlatým řezem. Je to především
v souvislosti s „krajním a středním poměrem“ a v problematice konstrukce pětiúhelníku. Eukleides
popisuje konstrukci pětiúhelníku pomocí trojúhelníku s úhly 72°, 72°, 36° jehož vrcholy jsou totožné
s vrcholy pětiúhelníku. Zajímavé je, že při konstrukci osy úhlu, jednoho z úhlů 72°, získáváme
„zmenšeninu“ původního trojúhelníku a navíc poměr délky strany takového trojúhelníku k základně
je v zlatém poměru, hovoříme o „zlatém trojúhelníku“.
Kromě geometrických vlastností čísla ϕ jsou velmi zajímavé i jeho algebraické vlastnosti.
Matematickým vyjádřením ϕ je výraz (1 + √5)/2, které je jedním kořenem kvadratické rovnice. Jak
jsme si již řekli, přibližná hodnota ϕ = 1,618 033 988 7… Umocnění tohoto čísla na druhou má za
výsledek 2,618 033 988 7… Desetinný rozvoj zůstává beze změny. To samé se děje při získávání
převrácené hodnoty 1/ϕ = 0,618 033 988 7… Ke všemu tato převrácená hodnota ϕ je rovna druhému
(zápornému) kořenu rovnice, díky níž hodnotu zlatého řezu vypočítáváme.
Máme-li obdélník, jehož strany jsou ve zlatém poměru a oddělíme-li z něj čtverec, je získán
menší obdélník, „překvapivě“, obdélníkem, jež má stejnou vlastnost, jako původní obdélník.
Kdybychom v tomto postupu pokračovali dále, a zároveň načrtli libovolnému mateřskému a
dceřinému obdélníku úhlopříčky, které se navzájem protínají, pak onen společný bod bude vlastním
všem, tímto způsobem vzniklým obdélníkům a bude i průsečíkem jejich úhlopříček.
Dále se Livio věnuje úpadku matematiky v Evropském prostoru, jež souvisel se zánikem
římské říše. Hodnotné matematické znalosti antiky se zachovaly díky Arabům, jež pořídili překlady
významných matematických děl. Těžištěm matematického rozvoje se tak stal arabský svět a Indie,
kde se vyvinul poziční systém zápisu desítkové soustavy.
Syn dobrosrdečné povahy
Jeden z prvních evropských středověkých propagátorů indického pozičního zápisu čísel byl
Leonardo Fibonacci. Fibonacci podstatně rozšířil pole zkoumání a využití fenoménu zlatého řezu. Ve
své knize Liber abaci Fibonacci popisuje následující početní úlohu a její řešení. „Jeden muž umístil pár
králíků do prostoru obehnaného ze všech stran zdí. Kolik párů králíků vznikne z tohoto páru,
předpokládáme-li, že každý pár zplodí každý měsíc nový pár, který začne plodit potomky druhý měsíc
od narození?“10 Řešení této úlohy spočívá v rekurzivní řadě čísel, kdy každé následující číslo je
součtem dvou předcházejících. Dnes takovouto posloupnost (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233…) nazýváme „čísly Fibanacciovými“. Tato posloupnost má svou aplikaci v optice nebo
rodokmenech trubců. Fibonacciova posloupnost souvisí se zlatým řezem tím způsobem, že poměr
dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel konverguje okolo zlatého řezu. Fibonacciova řada disponuje
celou řadou vlastností. Kupříkladu číslice na místě jednotek se opakuje s každým 60. prvkem nebo
9
10
Tamtéž, strana 70.
Tamtéž, strana 88.
součet libovolných deseti prvků posloupnosti je dělitelný jedenácti. Díky souvislosti mezi Fibanacciho
posloupností a zlatým řezem platí následující vztah11:
1
Výraz √
1 + √5
1 − √5
=
−
2
2
√5
je ve skutečnosti ϕ. Díky tomuto vzorci lze rychle a jednoduše vypočítat
Fibonaccioho číslo libovolného pořadí. Když byla Fibonacciho čísla objevena, „začala se vynořovat
všude v přírodě“. Takovým příkladem je fylotaxe, růst listů rostlin na stonku po spirále, jež je řízena
„zlatým úhlem“ 137,5° (360° - (360°/ϕ)). Toto uspořádání má praktické důvody, mladší listy
vyrůstající výše „nestíní“ starším listům a dochází k maximálnímu příjmu světelné energie.
Uspořádání do spirály ve zlatém úhlu se uplatňuje i u řádu rozmístění semínek slunečnice.
Fibonacciho čísla pak určují počet spirál. Takovéto uspořádání dovoluje mít co nejvíce semínek na co
nejmenší ploše.
Zlatý řez a Fibanacciho čísla souvisejí s dalším jevem – logaritmickou spirálou. Tato spirála se
vyznačuje tím, že se „svým zvětšováním“, vzdalování se od svého středu, nemění svůj tvar. Princip
této spirály je uplatňován u růstového modelu měkkýše loděnky nebo u rohů berana. Logaritmickou
spirálou se inspiroval i Leonardo da Vinci při ztvárnění vlasů Lediných na obraze Leda a labuť. Podobu
logaritmické spirály zaujímají rovněž vodní víry, hurikány nebo celé galaxie. Po této spirále se
pohybují i draví ptáci, útočící na kořist; mohou tak kořist sledovat bez naklánění hlavy a
maximalizovat tak rychlost letu.
Božská proporce
Období svými myšlenkami navazující na antiku, renesance, byla „bohatá“ na učence vzdělané
a zručné v různorodých oblastech lidské činnosti zároveň. Právě v této době došlo k těsnějšímu
propojení umění a matematické vědy, kupříkladu důraz na geometricky a opticky přesné podání
perspektivy. Za svázání, dříve převážně matematického problému, zlatého řezu s výtvarným uměním
stojí právě renesance.
Jedním z umělců – matematiků – byl i Piero della Francesca, autor spisu O perspektivě a
malbě. Tato kniha se stala jakýmsi manuálem výtvarníků pro zobrazování objektů v perspektivě. Sám
Piero je autorem obrazu Bičování Krista, který se vyznačuje velmi propracovanou perspektivou. Velká
část Pierových dalších spisů se mezi další umělce a matematiky rozšířila díky Laucovy Paciolim, jež byl
Pierovám žákem a překládal jeho spisy z latiny do italštiny. Paciolimu je ovšem často vytýkáno, že
část Pierova díla vydal bez uvedení Piera, jako autora, a byl tedy plagiátorem. Pacioli se přátelil s další
velkou osobností doby Leonardem da Vincim. Božská proporce je spis Pacioliho věnující se
problematice zlatého řezu, jež byla ilustrována právě da Vincim (ilustrace Platonských těles). V této
době byl vytvořen koncept „vitruviánského člověka“. Pacioliho druhý svazek Božské proporce
pojednává právě o proporcích v architektuře a na lidském těle. „Jelikož v lidském těle lze nalézt každý
druh proporce a úměrnosti, vytvořené skrytými tajemstvími přírody k dispozici Nejvyššímu.“12
11
12
Tamtéž, strana 99.
Tamtéž, strana 122.
Další velkou renesanční postavou byl němec Albrecht Dürer. Dürer dvakrát navštívil Itálii, kde
se učil „jak matematické a geometrické poznatky využít v umění“. Dürer byl doslova nespokojen
s tím, že spousta umělců není seznámena, v dostatečné míre, s pravidly geometrie, „bez níž nikdo
nemůže být dokonalým umělcem, ani se jím stát.“13Nejspíše proto Dürer vydává jedno z prvních,
německy psaných, pojednání o matematice Pojednání o měřeních s kružítkem a pravítkem. Dürer
patřil i k prvním, jež používali „síť mnohostěnů“ – na papíře znázorněné povrchy mnohostěnů, jež se
dají sestavit do reprezentativního prostorového modelu. Dürerův nejinterpretovanější obraz
Melancholie I. skrývá kromě reakce na úmrtí matky spoustu symbolů souvisejících s matematikou –
Fibonaciho čísla nebo „podivný“ objekt, nejspíše romboedr (=klenec; šestistěnné těleso, kde má
každá stěna tvar kosočtverce).
Poslední důležitou osobností renesance v našem výčtu je Johanes Kepler. Kepler byl jedním
z prvních opravdových astronomů, z našeho dnešního chápání této vědní disciplíny, neboť o vesmíru
přemýšlel jako o matematickém systému, a ke svým pozorováním se snažil, za užití vědecké metody,
vypracovat teorie, které pozorované bezezbytku vysvětlí. Kepler se ve své vesmírné teorii snažil o
spojení vědeckých poznatků, křesťanské nauky a Platonovy filosofie. Přestože Keplerův koncept
vesmíru ve svém důsledku nebyl správný, zasloužil se o vydání se astronomie správným směrem do
budoucna. Při tvorbě svého systému, publikovaného v knize Tajemství vesmíru, využíval božské
proporce. Do dějin astronomie se zapsal jako objevitel tří zákonů popisujících oběžné dráhy planet
kolem Slunce. O zlatý řez se Kepler zajímal i mimo astronomii, kdy objevil již zmíněný vztah mezi
zlatým řezem a Fibonacciho čísly.
Malíři a básníci užívají stejnou licenci
S všeobecným rozšířením povědomí o zlatém řezu, začalo stále více lidí hledat tuto božskou
proporci ve stále větším počtu uměleckých děl. Takovým příkladem může být i Trůnící Madona Giotta
di Bondoneho, která má být umístěna ve zlatém obdélníku, a jež vznikla více než dvě století před
uveřejněním Božské proporce. Při bližším zkoumání obrazu však dojdeme k závěru, že podstatou
rozměrů tohoto obrazu je jednoduchý poměr 1,6 – tedy 8:5 – podobně lze vyvrátit i tvrzení o zásadní
roli ϕ u Seuratovo obrazu Vystoupení.
Pravděpodobně prvním umělcem, který zlatý řez používal záměrně, byl Paul Sérusier, který
byl členem výtvarné skupiny Nabis (hebrejsky „proporce“). Princip božské proporce uplatnili někteří
kubisté (Juan Gris, Jacques Lipchitz) či futuristé (Gino Severini; obraz Mateřství). Rovněž Le Corbusier
se seznámil se zlatým řezem, k němuž byl nejprve skeptický; vypracoval poměrový systém „modulor“,
jež se snažil nalézt standardizované proporce. Modulor vychází z lidské postavy, v jejíž proporcích se
objevují Fibonacciho čísla, tedy i ϕ. Tento systém ve své podstatě navazuje na renesančního
Vitruviova člověka.
Od druhé poloviny 19. století se zlatý řez, konkrétně zlatý obdélník, stal také předmětem
zkoumání psychologie. Experimentální studie se snažili ověřit, či vyvrátit, roli zlatého obdélníku jako
univerzální preference estetické formy, s různými více či méně přesvědčivými závěry.
Další oblastí, která byla podrobena „analýze hledačů ϕ v umění“ byla hudba. Protože již
pythagorejci prokázali vztah mezi matematikou a libozvučností, nebylo výjimkou, že autoři úspěšných
13
Tamtéž, strana 126.
hudebních děl zakládali svoji práci na matematických vztazích. Kupříkladu matematik John F. Putz
v roce 1995 zkoumal, zda Mozart ve svých klavírních sonátách používal zlatý řez. O Mozartovi je
známo, že se v mládí matematikou aktivně zabýval a je proto možné, že matematické poznatky
opravdu ke komponování používal. „Byl mezi nimi i zlatý řez?“ – Přestože první analýzy Sonáty č. 1
C Dur ukazovaly na poměr mezi počty taktů v „provedení a repríze“ k „expozici“ na 1,63, což se blíží
ϕ, při zpracování komplexnějších údajů Putz nabyl přesvědčení, že Mozart božské proporce při
komponování nevyužíval.
Podle některých autorů je i poezie plná ukázek využití zlatého řezu a Fibanacciho čísel.
Například Vergiliova Aeneis měla být vystavena, dle studie Georgeho Eckela Duckwortha,
s reflektováním zlatého poměru mezi „hlavními“ a „vedlejšími“ řádky eposu. Tato interpretace se
ovšem, podle důkazů Livia, zakládá na nemetodičnosti práce interpreta; Vergilius tedy zlatý poměr
nepoužil, a už vůbec ne vědomě. Díky zvukomalebné povaze poezie, můžeme nacházet Fibanacciho
čísla v uspořádání přízvuků v různých básnických formách. I zde jsou tyto matematické vztahy
přítomny bez vědomé snahy autora užít direktivně právě pravidlo zlatého řezu. „Spisovatelka Trudi
Hammelová Garlandová ve své populárně naučné knize ‚Fascinující Fibonaccího čísla‘ podává příklad
malé básnické formy limerick, kde Fibonacciho čísly jsou počet řádků (5), počet přízvučných slabik v
každém řádku (2 nebo 3) i celkový počet přízvuků (13).“14
Moucha a blecha v pelechu
štípaly ubohou staruchu.
Bez blech a much
nebyl by vzruch,
dumala starucha v pelechu.
(3 přízvuky)
(3 přízvuky)
(2 přízvuky)
(2 přízvuky)
(3 přízvuky)
Od dlažby k nebesům
V této kapitole své knihy se Livio věnuje aplikaci „vyřešené matematické hádanky“ v podobě
pětinásobné symetrie „dláždících kostek“ na problémy teoretické fyziky a astronomie. Není
překvapivé, že zlatý řez i zde „sehrává svoji roli“.
Obvyklými tvary pro vydláždění nějakého prostoru bezezbytku v symetrii a periodicitě jsou
čtverec, rovnostranný trojúhelník a rovnostranný šestiúhelník. Pětiúhelník, který je spojen se zlatým
řezem, takovouto vlastnost nemá. „V roce 1974 však Roger Penrose objevil dvě základní sady dlaždic,
které k sobě vzájemně padnou, zaplní celou rovinu a zároveň se budou vyznačovat ‚zakázanou‘
pětinásobnou symetrii.“15 Jednotlivé komponenty sice nesplňují pravidlo o periodicitě, nicméně
shluky těchto dlaždic – „šipky“ a „draci“ – na velkých plochách získávají pravidelně se opakující
uspořádání. Tyto dlaždice jsou rovnoramennými trojúhelníky, které jsou součástí pětiúhelníků.
Trojúhelník s úhly 72°, 72°, 36° je „zlatým trojúhelníkem“, u něhož poměr strany k základně je roven
ϕ. Druhý trojúhelník s úhly 36°, 36°, 108° je „zlatým gnómem“, u něhož je poměr strany k základně
roven 1/ϕ. Toto dláždění je charakteristické i tím, že poměr mezi počtem obou komponentů ve
vydlážděné ploše je přibližně 1,618. Penrose nalezl ještě jednu sadu dlaždic s podobnými vlastnostmi,
tentokrát dva kosočtverce.
14
15
Tamtéž, strana 177.
Tamtéž, strana 182.
Tyto modely pětinásobné symetrie sehrály důležitou roli při zkoumání „kvazikrystalů“, což
jsou látky kombinující vlastnosti „obyčejných pevných látek“ a „látek amorfních“. Princip, díky němuž
kvazikrystaly existují, spočívá právě v pětinásobné symetrii. V praxi je hmota, jež je uspořádána do
kvazikrystalové struktury, tvořena desetiúhelníkovými obrazci, které se mohou „částečně překrývat“,
tedy sdílet společné částice. Tato struktura charakteristická svou mimořádnou stabilitou (vyšší
hustota látky s nižší energetickou náročností vazeb), než je tomu u jiných struktur. Desetiúhelníku, do
kterého se shlukují krystaly hliníko-manganové slitiny, je možno opsat kružnici, která má poloměr
roven ϕ, pokud je délka strany desetiúhelníku jednotková.
Fibonacciho posloupnost, a tedy zlatý řez, se objevuje i u fraktálů. Fraktál je množina,
zjednodušeně geometrický objekt, náležející do „zlomkovitého rozměru“, které má vlastnost
svépodobnosti, podobně jako již zmiňovaná logaritmická spirála. Při přibližujícím se pohledu na
fraktál tak zjišťujeme, že se jeho povaha nemění. Zvláštním případem fraktálu je „zlatý strom“, kde se
po několika krocích zmenšování začnou části fraktálu překrývat. K takovému jevu dochází, při poměru
zmenšování 1/ϕ. Zajímavou skutečností je i vlastnost fraktálu založeném na opakování čtverce, při
dimenzním faktoru 1,4404 (faktor způsobující efekt „zlatého stromu“), kdy vznikají „nevyplněné“
oblasti, které odpovídají zlatému obdélníku.
Jeden z nových astronomických názorů na vznik vesmíru, doplňující teorii velkého třesku, je
nápadně analogický ke způsobu vzniku fraktálů. Tato teorie se nazývá „věčná kosmická inflace“ a
vyslovil ji Alan Guth. Podstata této teorie je taková, že „náš vesmír“ vznikl v důsledku zvláštního stavu
hmoty po velkém třesku, nazývaným „falešné vakuum“, které umožnilo velmi rychlé rozpínání
vesmíru, které bylo „po čase“ zpomaleno (na dnešní stav) díky vyčerpání energie (hybnosti)
původního falešného vakua. V oblastech vesmíru, které jsou stále ve stavu vakua, se tento proces, dle
této teorie, stále opakuje a „jednotlivý vesmír“ se stále „replikuje“ na své menší varianty.
Je Bůh matematik?
V závěru své knihy se Mario Livio zabývá otázkou, „co je podstatou efektivnosti matematiky?“
Livio se po výčtu několika „překvapivých“ matematických principů (Benfordův zákon, vztah prvočísel
a Fibonacciho čísel) dostává k dvěma pohledům na povahu matematiky. Tím prvním je „platónský
názor“ a jeho obměny, které tvrdí, že matematika a její principy existují nezávisle na člověku, jsou
nadčasové a univerzální. Člověk pak matematické principy objevuje. Na základě této teorie by
eventuelní komunikace s civilizací z vesmíru nejspíše probíhala univerzálním matematickým jazykem.
„Dva plus dva budou pro matematika stále čtyři, i kdyby amatér žadonil o tři a kritik se dožadoval
pěti.“16
Druhým názorem je „konstruktivismus“, který tvrdí, že matematika mimo lidský mozek
neexistuje. Tento postoj, kdy matematika je lidským vynálezem, je oblíben u současných psychologů.
Matematika se podle tohoto konceptu vytvořila na základě principů přirozeného výběru. „Náš
současný model vesmíru je výsledkem dlouhé evoluce, kterou provázely četné falešné začátky a slepé
uličky. Přírodní výběr vytřídil matematické modely, které nesouhlasily s pozorováními a experimenty,
a ponechal jen úspěšné hypotézy.“17
16
17
Tamtéž, strana 207. James McNeill Whistler.
Tamtéž, strana 220.
Dle Maria Livia není zcela správným přístupem ani jeden z modelů, dle autora knihy, je nutné
uplatnit mezi těmito teoriemi komplementaritu, obdobně jako tomu učinili fyzikové při popisu
duálního charakteru světla. „Eukleidovská geometrie vznikla z běžného pozorování při slabé gravitaci
Země.“18 Z Einsteinovy teorie relativity víme, že prostor pod vlivem vyšší gravitační síly by způsobil
„zakřivení prostoru“ – světelné paprsky by se nepohybovaly po přímkách, ale po zakřivené trajektorii.
V takovémto prostředí by cizí forma života, cizí civilizace, velmi pravděpodobně aplikovala jiný model
„geometrie“ či matematiky obecně, než je ta naše. „Kdyby geometrie nebyla vůbec vymyšlena, pak
bychom asi o zlatém řezu nikdy nic nevěděli. Ovšem kdo ví?“19
Konstanta Divakara Viswanatha
V rámci knihy Zlatý řez mě zaujal matematický problém popisující pravidlo, podle něhož lze
s „určitou jistotou“ odhadnout členy náhodně generované posloupnosti, jež vychází z principu
Fibanacciho čísel.
„…v podstatě se stoprocentní pravděpodobností se bude sté číslo v jakékoli takto vytvořené
posloupnosti vždy blížit sté mocnině zvláštního čísla 1,131 988 24..., a čím vyšší bude člen této
posloupnosti, tím blíže také bude odpovídající mocnině tohoto čísla.“20
Toto tvrzení, jež spojuje „stoprocentní pravděpodobnost“ a zcela náhodně generovanou
posloupnost si v duchu Descartovského pravidla: „když se jen vyhneme tomu, přijímat nějakou věc
nepravdivou za pravdivou,…, nemůže být nic tak vzdáleného,…, aby to nebylo objeveno“21, zasluhuje
hlubší analýzu a ověření.
Konkrétně se jedná o posloupnost, jež je definována hodnotou prvních dvou prvků (t1 = 1;
t2 = 1), což je totožné s definicí Fibanacciho čísel; další členy posloupnosti získáváme jednak sčítáním
dvou předcházejících členů, ale také druhou eventualitou – základní matematickou operací –
odečítáním. O tom, zda další prvek posloupnosti vznikne sčítáním či odečítáním rozhoduje „náhoda“,
v příkladu, jež popisuje Livio, aspekt náhody představuje hod mincí.
Posloupnost, jejíž prvky jsou ovlivněny faktorem náhody, je na „první pohled“ prosta
vlastností, které by nám umožnily vypočítat přesnou či jen pouze přibližnou hodnotu jednotlivých
prvků, jako je tomu právě u Fibanaccio řady. Otázkou, zda přeci jen lze na „druhý pohled“ nalézt
mechanismus, který by byl schopen ve (zdánlivě) nahodilé a neuspořádané řadě objevit zákonitosti,
jež by umožňovaly odhalení „podstaty“ systematického růstu oné řady, a jež by se stal základem pro
matematickou (relativní) odhadnutelnost prvků posloupnosti, se zabýval informatik a matematik
Divakar Viswanath. Viswanath v roce 1999 publikoval práci Random Fibanacci sequences and the
number 1.13198824…22, ve které popisuje svůj objev, podložený matematickým důkazem, a sice
zvláštní číslo 1,131 988 24…, které má charakter konstanty vážící se k náhodně generované
18
19
20
21
22
Tamtéž, strana 227.
Tamtéž, strana 227.
Tamtéž, strana 205.
DESCARTES, R. Rozprava o metodě. VLČEK M., KUNCA T., VACURA M. Úvod do filosofie: Rozprava o metodě.
Překlad SZATHMÁRYOVÁ, V. První vydání. Praha: Oeconomia, 2009. Strana 50. ISBN 978-80-245-1538-0.
VISWANATH, D. Mathematics of computation: Random Fibanacci sequences and the number 1.13198824…
Svazek 69. Katalogizační číslo 231. Strany 1131 – 1155. Publikováno elektronicky. Berkley, USA. 1999.
S 0025-5718(99)01145-X
Fibanacciho posloupnosti obdobně, jako se „božská proporce“ – 1,618 033 988 7… – váže ke klasické
Fibanacciho posloupnosti. Viswanath ve své práci pracuje „pouze“ s absolutními hodnotami prvků
generované posloupnosti, u nichž již lze hledat růstový vzorec pro odhad prvků posloupnosti. Stejně
jako u Fibanacciho posloupnosti je oním vzorcem exponenciální růst výrazu obsahující ϕ a 1/ϕ, tak
náhodně generovaná Fibanacciho posloupnost je obecně charakteristická exponenciálním růstem
Viswanathanovy konstanty – 1,131 988 24…
Níže jsou uvedeny tři posloupnosti, první je klasickou Fibanacciho posloupnosti, další dvě jsou
náhodně generované Fibanacciho řady.
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 134; 223; 357; 580;…
1; 1; -2; -3; -1; 4; -3; 7; -4; 11; -15; 4; -19; 23; -4;…
1; 1; -2; 1; 1; -2; 1; 1; -2; 1; 1; -2; 1; 1; -2;…
Výpočet odhadu hodnoty prvku náhodně generované Fibanacciho posloupnosti se řídí
následujícím vztahem:
| | → 1,131 988 24 …
kdy
→ ∞ 23
Tedy pro výpočet předpokládané hodnoty prvku řady je vzorec upraven takto:
| | = 1,131 988 24"
Vrátíme-li se k výroku o hodnotě stého prvku, pak jeho hodnota by se měla u každé
generované řady blížit číslu 242 210. Pro snadné a rychlé „ověření“ tohoto výroku jsem se rozhodl
sestavit počítačový program, který bude generovat náhodnou Fibanacciho posloupnost a zároveň
odhad hodnoty prvků podle Viswanathovy konstanty. Získaná data z náhodně vybrané simulace
generování hodnot, jsou shrnuta na následujících stranách formou tabulky. Pro snazší srovnání jsou
v tabulce uvedeny obě varianty Fibanacciho řady (klasická i generovaná). Generovaná posloupnost
nese označení sloupce „Rand“. Sloupec „Abs“ je absolutní hodnotou prvku posloupnosti. Sloupec
„Odhad“ reprezentuje předpokládanou hodnotu prvku dle vzorce | | = 1,131 988 24" . Hodnoty
sloupce „Konvergence I.“ znázorňují poměr mezi dvěma následujícími prvky klasické Fibanacciho
posloupnosti jež se blíží ϕ a sloupec „Konvergence II.“ Je roven výrazu | |, kde upomíná na to, do
jaké míry byl odhad hodnoty prvku přesný, v závislosti na přiblížení se Viswanathově konstantě.
Jelikož vyvozovat závěry na základě jedné konkrétní generované posloupnosti je zavádějící,
uveřejnil jsem zjednodušenou verzi programu pro tento výpočet na web, kde lze v libovolném počtu
pokusů znovu generovat jedinečné náhodné Fibanacciho řady o počtu 5000 prvků, kde je jasně
patrná vlastnost větší konvergence k číslu 1,131 988 24 se vzrůstajícím pořadovým číslem prvku.
Zmiňovanou tabulku lze nalézt na adrese:
www.klimesfilm.cz/rada.php
23
Tamtéž, strana 1132.
Tabulka srovnání Fibanacciho řady a náhodně generované Fibanacciho řady
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Fibanacciho řada
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
832040
1346269
2178309
3524578
5702887
9227465
14930352
24157817
39088169
63245986
102334155
165580141
267914296
Konvergence I.
0,00000000000000
1,00000000000000
2,00000000000000
1,50000000000000
1,66666666666667
1,60000000000000
1,62500000000000
1,61538461538462
1,61904761904762
1,61764705882353
1,61818181818182
1,61797752808989
1,61805555555556
1,61802575107296
1,61803713527851
1,61803278688525
1,61803444782168
1,61803381340013
1,61803405572755
1,61803396316671
1,61803399852180
1,61803398501736
1,61803399017560
1,61803398820532
1,61803398895790
1,61803398867044
1,61803398878024
1,61803398873830
1,61803398875432
1,61803398874820
1,61803398875054
1,61803398874965
1,61803398874999
1,61803398874986
1,61803398874991
1,61803398874989
1,61803398874990
1,61803398874989
1,61803398874990
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
Rand
1
1
0
1
1
0
-1
-1
0
1
-1
2
1
1
2
-3
5
8
13
21
34
13
-21
34
-13
-21
8
13
-5
-8
13
21
-8
-29
37
8
45
37
-82
119
-201
320
Abs
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
2
1
1
2
3
5
8
13
21
34
13
21
34
13
21
8
13
5
8
13
21
8
29
37
8
45
37
82
119
201
320
Odhad
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
6
6
7
8
9
11
12
14
15
17
20
22
25
28
32
36
41
47
53
60
68
77
87
98
111
126
142
161
183
Konvergence II.
1,0000000000000
1,0000000000000
0,0000000000000
1,0000000000000
1,0000000000000
0,0000000000000
1,0000000000000
1,0000000000000
0,0000000000000
1,0000000000000
1,0000000000000
1,0594630943593
1,0000000000000
1,0000000000000
1,0472941228206
1,0710754830729
1,0992991258104
1,1224620483094
1,1445337337107
1,1644235083052
1,1828442620882
1,1236570701151
1,1415312247702
1,1582748368655
1,1080458566074
1,1242284934908
1,0800597388923
1,0959322097501
1,0570667539424
1,0717734625363
1,0862596722913
1,0998142766925
1,0650410894400
1,1041083792495
1,1086788522173
1,0594630943593
1,1083614682379
1,0996854183619
1,1196238729846
1,1269085502190
1,1380871337280
1,1472192561741
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
Fibanacciho řada
433494437
701408733
1134903170
1836311903
2971215073
4807526976
7778742049
12586269025
20365011074
32951280099
53316291173
86267571272
1,39584E+11
2,25851E+11
3,65435E+11
5,91287E+11
9,56722E+11
1,54801E+12
2,50473E+12
4,05274E+12
6,55747E+12
1,06102E+13
1,71677E+13
2,77779E+13
4,49456E+13
7,27235E+13
1,17669E+14
1,90392E+14
3,08062E+14
4,98454E+14
8,06516E+14
1,30497E+15
2,11149E+15
3,41645E+15
5,52794E+15
8,94439E+15
1,44723E+16
2,34167E+16
3,78891E+16
6,13058E+16
9,91949E+16
1,60501E+17
2,59695E+17
4,20196E+17
Konvergence I.
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
Rand
521
201
-722
521
-1243
1764
-3007
-4771
-1764
3007
-4771
-1764
6535
-8299
-1764
-6535
4771
11306
16077
-4771
20848
25619
-46467
-20848
25619
-4771
-20848
-16077
-4771
-11306
16077
4771
-20848
16077
4771
11306
16077
-4771
11306
16077
-27383
43460
-16077
-27383
Abs
521
201
722
521
1243
1764
3007
4771
1764
3007
4771
1764
6535
8299
1764
6535
4771
11306
16077
4771
20848
25619
46467
20848
25619
4771
20848
16077
4771
11306
16077
4771
20848
16077
4771
11306
16077
4771
11306
16077
27383
43460
16077
27383
Odhad
207
234
265
300
339
384
435
492
557
631
714
808
915
1035
1172
1327
1502
1700
1925
2179
2466
2792
3160
3577
4050
4584
5189
5874
6649
7527
8520
9645
10918
12359
13990
15837
17927
20293
22972
26004
29436
33321
37719
42698
Konvergence II.
1,1565975623160
1,1280941963608
1,1575054614804
1,1456756681197
1,1636967227608
1,1685179472443
1,1775580205665
1,1846012547877
1,1578620904099
1,1665065488854
1,1732963640774
1,1484718218265
1,1731893224225
1,1748504915854
1,1401345735304
1,1635367272188
1,1543813776305
1,1683020794352
1,1720717016510
1,1463900551811
1,1709991444005
1,1718817311847
1,1797832477589
1,1626269068308
1,1635885403484
1,1326538285285
1,1550349780336
1,1483879928785
1,1267080577773
1,1384028073627
1,1418767932645
1,1212718988414
1,1417933921677
1,1359123014267
1,1162825820510
1,1271079154560
1,1304285081817
1,1116872319893
1,1221240011785
1,1253696099545
1,1310026612563
1,1355737736480
1,1206881114364
1,1261561596129
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Fibanacciho řada
6,79892E+17
1,10009E+18
1,77998E+18
2,88007E+18
4,66005E+18
7,54011E+18
1,22002E+19
1,97403E+19
3,19404E+19
5,16807E+19
8,36211E+19
1,35302E+20
2,18923E+20
3,54225E+20
Konvergence I.
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
1,61803398874989
Rand
43460
16077
59537
75614
16077
91691
-75614
16077
59537
-43460
102997
-146457
-43460
-189917
Abs
43460
16077
59537
75614
16077
91691
75614
16077
59537
43460
102997
146457
43460
189917
Odhad
48333
54713
61934
70109
79362
89837
101695
115117
130311
147511
166981
189020
213968
242210
Konvergence II.
1,1306062349029
1,1163433360482
1,1314862782284
1,1329394282426
1,1123002455509
1,1322395832189
1,1283870370232
1,1085284964954
1,1226927425498
1,1176695899216
1,1263635913652
1,1290451977997
1,1139081746808
1,1292384010623
Jak je z výše uvedené tabulky patrno, rozdíl mezi odhadovanou hodnotou stého prvku a jeho
hodnotou v této konkrétní vygenerované řadě je 52 293 (28%). „Co to znamená? – Je snad ono
prohlášení o stoprocentní pravděpodobnosti blízkosti odhadu a skutečné hodnoty vyvráceno?“
Při bližším pohledu na tabulku a aplikaci komplexnějšího abstraktního myšlení zcela jistě
dojdeme k závěru, že se o vyvrácení platnosti Viswanathovy konstanty nejedná. Odchylka odhadu
v řádu desetitisíců je v porovnání s doslova nekonečným množstvím hodnot, kterých by mohla řada
nabývat „nízká“. O to více je zajímavá hodnota prvku 89, která vykazuje rozdíl odhadu a skutečnosti
pouze o 2 397 (4%). Projevuje se tu druhá část výroku v Liviově knize „a čím vyšší bude člen této
posloupnosti, tím blíže také bude odpovídající mocnině tohoto čísla.“ – Jednoduše tato konkrétní řada
konverguje k pravidlu, jež objevil Viswanath, pomaleji; stý prvek je v tomto konkrétním případě pro
potvrzení či vyvrácení korektnosti Viswanathovy konstanty neprůkazný.
Ve skutečnosti se sama Viswanathova práce zmiňuje o tom, že ke znatelnému „zpřesnění“
hodnot odhadu dochází u většiny náhodně generovaných posloupností až přibližně u miliontého
prvku, jak znázorňuje následující „Graf A“24.
Graf „A“
24
Tamtéž, strana 1132.
Graf „B“
„Graf B“25 znázorňuje charakteristiku exponencionálního vzorce růstu náhodně generované
Fibanacciho řady; přerušovaná linie znázorňuje čistý exponenciální růst.
Viswanath při hledání své konstanty musel použít práci s maticemi, fraktály a SternBrocotovou posloupností, jež je kupříkladu využívána při stanovování počtu zubů mezi dvěma
ozubenými koly různé velikosti. Samozřejmostí pro něj byla, jako pro informatika, asistence
počítačem prováděných výpočtů s plovoucí desetinnou čárkou.
Livio se ve své knize zmiňuje o souvislosti fraktálů a zlatého řezu. Klasická Fibanacciho čísla se
zlatým poměrem taktéž souvisejí. „Je možné, že by Viswanathovo konstanta nějakým způsobem měla
vazbu na ϕ?“ – A skutečně na tuto otázku lze odpovědět: „ano!“ Jedna z cest k dokázání správnosti
Viswanathovy práce vede přes zmiňovanou Stern-Brocotovu posloupnost, z které lze odvodit
následující vztah:
#$ %&', ()* =
1
1
1
1
1
1
-. + #$ +,
-.
#$ +,
,
,
2
2
−1 + ( −1 + '
1+( 1+'
26
Po úpravě tohoto vyjádření „pomocí fraktálů a Furstenbergovy funkce“ Viswanath
charakterizuje maticovým řešením nezávislost Vf jako:
1 + √5 '
0 0 = 1' +
(
(
2
Za povšimnutí stojí skutečnost, že výraz
√
27
je matematickým vyjádřením zlatého řezu.
Analogii mezi zlatým řezem a Viswanathovou konstantou lze nalézt i při znázornění řetězovým
zlomkem, kdy obě vyjádření mají charakter fraktálu.
Vyjádření zlatého řezu řetězovým zlomkem28
25
Viswanathova konstanta jako řetězový zlomek29
Tamtéž, strana 1132.
Tamtéž, strana 1135, 1138.
27
Tamtéž, strana 1137.
28
LIVIO, M. Zlatý řez: Příběh fí, nejpodivuhodnějšího čísla na světě. Překlad HOLČÁK, P. Strana 193.
První vydání. Praha: Dokořán, 2006. ISBN 80-7363-064-8
29
VISWANATH, D. Mathematics of computation: Random Fibanacci sequences and the number 1.13198824…
Svazek 69. Katalogizační číslo 231. Strana 1134. Publikováno elektronicky. Berkley, USA. 1999.
S 0025-5718(99)01145-X30
CRISANTI, A. Products of Random Matrics in Statistical Physics. SpringerVerlag. Berlin, 1993.
26
Zajímavostí také je, že matematické postupy, jež Viswanath pro nalezení své konstanty použil
(náhodně generovaná matice), byly původně vyvinuty pro snazší operace při určování
pravděpodobnostního výskytu elektronů v atomovém obalu30, jak jejich výskyt definoval fyzik
Schrödinger, jež se mezi laickou veřejností proslavil zejména myšlenkovým experimentem známým
pod názvem „Schrödingerova kočka“.
Viswanath, který nejprve zkoumal variaci osm set let starého matematického problému, o
kterém se obecně předpokládalo, že svá velká tajemství již vydal, objevil zákonitost – konstantu –
v neuspořádaném systému, jež může mít velký význam pro budoucí vědu a stejně tak pro budoucí
umění, obdobně jako tomu bylo a je u zlatého řezu. Důkazový postup, jež Viswanath při hledání své
konstanty použil, může najít své využití při hledání optimalizace mikroprocesorů nové generace, jež
budou namísto polovodičů z křemíku využívat krystalové struktury, v nichž se bude „zdánlivě
neuspořádaně šířit světlo“. Rovněž Viswanathova práce se stane v průběhu času více a více relevantní
pro kvantové fyziky a astrofyziky. Umělci budou možná v budoucnu využívat Viswanathovu
konstantu, podobně jako ϕ; konkrétně při počítačovém generování fraktálních obrazů a krajin.
Fraktály již dnes umělci využívají, kupříkladu uveďme dokumentárně-experimentální film režiséra
Godfreye Reggio Naqoyqatsi.
Resumé
Mario Livio ve své knize Zlatý řez přistupuje k problematice božské proporce zejména
z pohledu vědce, kdy je každou teorii výskytu či použití zlatého řezu v umění či architektuře předem
podložit nezvratitelnými důkazy. Livio vědu a umění vnímá na stejné úrovni, je si vědom, že umění a
věda (matematika, fyzika, astronomie…) jsou v základní myšlence stejné – snaží se zobrazit a popsat
svět okolo nás; liší se pouze v tom, jaké metody k tomu používají. Přesto nebo právě proto je několik
postupů i pro vědu i umění společných, mezi ně patří zcela jistě uplatnitelnost zlatého řezu a
Viswanathovo konstanty.
30
CRISANTI, A. Products of Random Matrics in Statistical Physics. Springer-Verlag. Berlin, 1993.
Příloha: Stěžejní část programu generující náhodnou Fibanacciho posloupnost (jazyk PHP):
<?
$prvni = 1;
$druhy = 1;
for ($a = 3; $a < 5001; ++$a)
{
$hod = rand(1,4);
if ($hod == "1")
{
$novy = ($prvni + $druhy);
$prvni = ($druhy);
$druhy = ($novy);
}
if ($hod == "2")
{
$novy = ($prvni - $druhy);
$prvni = ($druhy);
$druhy = ($novy);
}
if ($hod == "3")
{
$novy = (-$prvni + $druhy);
$prvni = ($druhy);
$druhy = ($novy);
}
if ($hod == "4")
{
$novy = (-$prvni - $druhy);
$prvni = ($druhy);
$druhy = ($novy);
}
echo ("<tr><td>");
echo ("$a");
echo ("</td><td>");
if
if
if
if
($hod
($hod
($hod
($hod
==
==
==
==
"1")
"2")
"3")
"4")
echo
echo
echo
echo
("sčítání I");
("odečítání I");
("sčítání II");
("odečítání II");
echo ("</td><td>");
echo ("$novy");
echo ("</td><td>");
$novy_zobraz = abs($novy);
echo ("$novy_zobraz");
echo("</td><td>");
$predpoklad = round (pow (1.13198824,$a));
echo ("$predpoklad");
echo ("</td><td>");
$exponent = (1/$a);
$konstanta = pow($novy_zobraz,$exponent);
echo ("$konstanta");
echo ("</td></tr>");
}
?>
Download

Mario Livio