Uvijanje
*Grupa autora,
autora Elastostatika I,
I Tehnički fakultet,
fakultet Bihać,
Bihać 2003
*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
82
Uvijanje
Osnovni pojmovi
Moment sprega sila, [Nm]
T1 = Pd
1 1
T2 = P2 d 2
(4 1)
(4.1)
Moment sprega sila – vektorska reprezenacija
(pravilo desne ruke)
Moment sprega sila – reprezentacija uvijenom strelicom
Momenti koji uvijaju neki element nazivaju se uvojni ili torzioni momenti.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
83
Uvijanje
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
Čisto uvijanje – svi jednaki poprečni presjeci opterećeni istim momentom uvijanja
φ – ugao uvijanja (rotacije)
Element abcd postaje ab’c’d, kojem se ne mijenjaju stranice, ali se mijenja ugao između njih –
čisto smicanje (element izložen samo tangencijalnim deformacijama)!
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
84
Uvijanje
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
Maksimalan ugao uvijanja
γ max =
bb ' rdφ
=
ab
dx
(4.2)
Odnos tangencijalne deformacije i ugla
uvijanja na površini šipke
Promjena ugla uvijanja
θ=
dφ
dx
Za čisto uvijanje
γ max = rθ =
rφ
L
(4.3)
Tangencijalna deformacija
γ = rθ =
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
ρ
r
γ max
(4.4)
85
Uvijanje
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
γ max =
γ min =
r2
φ
L
(4.5)
r1
r
γ max = 1 φ
r2
L
Sve prethodne relacije važe za sve materijale, bez obzira da li su linearni ili nelinearni, elastični ili
neelastični, ali za male uglove uvijanja i male deformacije!
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
86
Uvijanje
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
Veza deformacija i napona
τ = Gγ
τ max = Grθ
τ=
ρ
r
τ max
(4.6)
Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!!
Uzdužni i transferzalni naponi
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
Uvijanje = čisto smicanje = dvoosno
naponsko stanje bez tangencijalnih napona
www.mf.unze.ba
87
Uvijanje
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
ρ
Veza deformacija i napona
τ = τ max
r
Formula uvijanja
τ
dM = τρ dA = max ρ 2 dA
r
τ
τ
T = ∫ dM = ∫ τρ dA = ∫ max ρ 2 dA = max ∫ ρ 2 dA
r
r A
A
A
A
I o = ∫ ρ 2 dA
⎡⎣ m 4 ⎤⎦
A
Formula uvijanja
Opšta formula uvijanja
Î
Î
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
τ max
τ=
d 4π
Io =
32
Tr T
=
=
I o Wo
ρ
(4.6)
– polarni moment inercije poprečnog presjeka
– za kružni poprečni presjek
(4.7)
Wo
– polarni moment otpora presjeka
d 3π
Wo =
16
– za kružni
k ž i poprečni
č i presjek
j k
Tρ
Io
(4 8)
(4.8)
www.mf.unze.ba
88
r
τ max =
Uvijanje
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
Veza deformacija i napona
τ max = Grθ
τ max =
Tr T
T
=
I o Wo
Ugao uvijanja – konstantni parametri
θ=
T
GI o
φ =θL =
TL
GI o
(4.8)
Promjena parametera po segmentima
φ = ∑ φi = ∑
i
i
Ti Li
Gi I oi
(4 9)
(4.9)
Proizvoljan uzdužni (kružni) poprečni presjek i/ili opterećenje
T ( x)dx
G ( x) I o ( x)
L
φ=∫
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
(4.10)
www.mf.unze.ba
89
Uvijanje
Primjer 4.1: Puni štap kružnog poprečnog presjeka, prečnika 40 mm, dužine 1350 mm i modula
klizanja 80 GPa, opterećen je momentom uvijanja na svojim krajevima, kao što je dato
na slici. Odrediti:
a) Maksimalan tangencijalni napon u šipki, te ugao uvijanja ako je moment uvijanja 340 Nm
b) Maksimalan mogući moment uvijanja, ako je dozvoljeni tangencijalni napon 40 MPa, a
maksimalni dozvoljeni ugao uvijanja 2.5°
40 mm
1350 mm
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
90
Uvijanje
Primjer 4.2: Vratilo cilindričnog poprečnog presjeka od čelika, izrađeno u dvije varijante, kao puno
i šuplje (slika), treba prenese moment uvijanja od 1200 Nm bez prekoračenja
dozvoljenog tangencijalnog napona od 40MPa i dozvoljenog uzdužnog uvijanja od
0.75°/m. Treba odraditi:
a) Prečnik punog vratila
b)) Potrebnii vanjski
j i prečnik
č i šupljeg
š j vratila
i ako je
j debljina
ji stjenke
j
vratila
i jedna
j
desetina
i vanjskog
j
prečnika
c) Odnos prečnika (d2/d1) i težina oba vratila
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
91
Uvijanje
Deformacije štapova (i cijevi) kružnog presjeka
Ograničenja u korištenju prethodnih jednačina
•
Samo za kružne poprečne presjeke (pune ili šuplje)
•
Linearno elastični materijali
•
Z dijelove
Za
dij l
vratila
il udaljene
d lj
odd koncentracija
k
ij napona
•
Ne mogu se koristiti za druge poprečne presjeke jer:
™ Poprečni presjek ne ostaje u ravni
™ Maksimalni naponi nisu uvijek u najudaljenijim tačkama presjeka
™ Naprednije
p
j metode analize napona
p
neophodne
p
za rješavanje
j
j
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
92
Uvijanje
Naponi i deformacije u čistom smicanju
Element izložen čistom smicanju
(nema normalnih napona)
Naponi na kosoj ravni
σ x = τ xy sin(2θ )
1
τ x y = τ xy cos(2θ )
1 1
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
93
Uvijanje
Naponi i deformacije u čistom smicanju
γ=
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
τ
G
www.mf.unze.ba
ε max =
τ
E
+
ντ
E
=
τ
E
(1 +ν )
94
Uvijanje
Veza modula elastičnosti i modula klizanja
Lbd = 2h(1 + ε max )
π
Lbd 2 = h 2 + h 2 − 2h 2 cos( + γ )
2
π
(1 + ε max ) 2 = 1 − cos( + γ ) ⇒ 1 + 2ε max + ε max 2 = 1 + sin γ
2
ε max =
γ=
τ
E
+
ντ
E
=
τ
E
ε max =
γ
2
(1 +ν )
τ
G
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
E
G=
2(1 + ν )
www.mf.unze.ba
95
Uvijanje
Prenos snage
Rad momenta uvijanja
dW = Tdφ
Snaga
g momenta uvijanja
j j
P=
2π n
dW
dφ
=T
= T ω = T 2π f = T
60
dt
dt
[W]
(4.9)
ω– ugaona brzina [rad/s-1]
f – frekvencija obrtanja [Hz]
n – broj obrata u minuti [o/min]
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
96
Uvijanje
Primjer 4.3: Puno vratilo ABC prečnika 50 mm se pokreće motorom snage 50 kW i frekvencije 10
Hz u tački A. Zupčanici B i C pokreću uređaje koji potražuju snagu od 35 i 15 kW,
respektivno. Odrediti najveći tangencijalni napon τmax u vratilu i ugao uvijanja φAC
između motora A i zupčanika C. Uzeti da je G=80 Gpa.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
97
Uvijanje
Statički neodređeni problemi
Cijev (2)
Jednačine ravnoteže
Šipka (1)
T1 + T2 = T
Fiksna
ploča
Jednačine kompatibilnosti
φ1 = φ2
Konstitutivne relacije
φ1 =
Šipka (1)
Šipka (1)
Cijev (2)
Cijev (2)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
T1 L
G1 I 01
φ2 =
T2 L
G2 I 02
⎛
G1 I 01
T1 = T ⎜
⎜ G1 I 0 + G2 I 0
1
2
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
⎛
G2 I 02
T2 = T ⎜
⎜ G1 I 0 + G2 I 0
⎝
1
2
⎞
⎟⎟
⎠
98
Uvijanje
Statički neodređeni problemi
1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke jednačine) – moment uvijanja
2. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske, kinematičke jednačine, jednačine
k i t t deformacije)
konzistentne
d f
ij ) – ugao uvijanja
ij j
3. Postaviti relacije moment uvijanja-ugao uvijanja (konstitutivne relacije)
4. Riješiti
j
sistem jednačine
j
dobiven kroz korake 1-3
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
99
Uvijanje
Primjer 4.4: Vratilo ABC je uklješteno na oba kraja i opterećeno momentom uvijanja T0 u tački C.
Segmenti AC i CB vratila imaju prečnike dA i dB dužina LA i LB i polarnih momenata
inercije I0A i I0B, respektivno. Potrebno je izvesti formule:
a) za momente u uklještenjima A i B
b) za maksimalan tangencijalni napon τAC i τCB u svakom segmentu vratila
c) ugao rotacije φC u poprečnom presjeku gdje je primijenjen moment uvijanja T0
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
100
Uvijanje
Primjer 4.5: Vratilo izrađeno od čelika (Gč=80 MPa), dužine 3 m, je trećinom dužine uvučeno u
bronzanu košuljicu (Gb=40 GPa) koja je čvrsto povezana s vratilom. Vanjski prečnici
vratila i košuljice su d1=70
70 mm i d2=90
90 mm, respektivno. Odrediti:
Bronzana
košuljica
Čelično
vratilo
a) Dozvoljeni moment uvijanja T1 koji se može
primijeniti na krajeve ako je dozvoljeni napon
uvijanja između krajeva 8
8°..
b) Dozvoljeni moment uvijanja T2 ako je dozvoljni
tangencijalni napon bronze τb=70 Mpa
Bronzana
košuljica
Čelično
vratilo
c) Dozvoljeni moment uvijanja T3 ako je dozvoljni
tangencijalni napon čelika τč=110 Mpa
d) Dozvoljeni moment uvijanja Tmax ako moraju biti
zadovoljena sva tri uslova (a, b, c)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
101
Uvijanje
Deformacioni rad
U =W =
Tφ
2
T 2 L GI 0φ 2
U=
=
2GI 0
2L
V = τ ht
U=
δ =γh
Vδ
U =W =
2
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12
www.mf.unze.ba
τγ h 2t
2
τγ
τ2
Gγ 2
=
=
u=
2 2G
2
102
Download

Uvijanje www.mf.unze.ba