Dodatna nastava matematike u osnovnoj ˇskoli
Oliver Petkovi´c
2.3.2007.
1
1
Racionalni brojevi
1.1
Objaˇ
snjenje 1.1 Za sve pozitivne racionalane brojeve A i B za koje je A < B vaˇzi:
A
< 1.
B
0<
Objaˇ
snjenje 1.2 Za sve pozitivne racionalane brojeve A i B za koje je A > B vaˇzi:
A
> 1.
B
Objaˇ
snjenje 1.3 Ako za neki pozitivan racionalan broj vaˇzi
M
N
> 1, onda za taj broj vaˇzi i
N
< 1.
M
0<
Reˇ
seni zadaci.
1. Odrediti sve cele brojeve x takve da je
Reˇ
senje
1
5
<
x
15
< 13 .
x
1
1
<
<
5
15
3
1
x
1
· 15 <
· 15 < · 15
5
15
3
3<x<5
x ∈ {4}
2. Odrediti sve cele brojeve x takve da je
Reˇ
senje
1
10
<
< 12 .
1
x
1
< <
10
4
2
1
x
1
· 20 < · 20 < · 20
10
4
2
2 < 5x < 10
2
<x<2
5
x ∈ {1}
3. Odrediti sve cele brojeve x takve da je − 14 <
Reˇ
senje
x
4
x+1
12
< 23 .
x+1
2
1
<
<
4
12
3
1
x+1
2
− · 12 <
· 12 < · 12
4
12
3
−3 < x + 1 < 8
−
−3 − 1 < x + 1 − 1 < 8 − 1
−4 < x < 7
x ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2
4. Odrediti sve cele brojeve x takve da je − 14 <
Reˇ
senje
x+1
12
< 23 .
1
x+1
2
<
<
4
12
3
1
x+1
2
− · 12 <
· 12 < · 12
4
12
3
−3 < x + 1 < 8
−
−3 − 1 < x + 1 − 1 < 8 − 1
−4 < x < 7
x ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
5. Odrediti vrednost promenjive x u skupu celih brojeva, tako da izraz
ve´cu od 0.
Reˇ
senje
x−2
5
ima vrednost manju od 1 i
x+1
−4
ima vrednost manju od 1 i
x−2
<1
5
x−2
0·5<
·5<1·5
5
0<x−2<5
0<
0+2<x−2+2<5+2
2<x<7
x ∈ {3, 4, 5, 6}
6. Odrediti vrednost promenjive x u skupu celih brojeva, tako da izraz
ve´cu od 0.
Reˇ
senje
x+1
<1
−4
x+1
· (−4) > 1 · (−4)
0 · (−4) >
−4
0 > x + 1 > −4
0<
0 − 1 > x + 1 − 1 > −4 − 1
−1 > x > −5
x ∈ {−4, −3, −2}
7. Odrediti vrednost promenjive x u skupu celih brojeva, tako da izraz
Reˇ
senje
−10
4x−1
−10
>1
4x − 1
4x − 1
0<
<1
−10
4x − 1
0 · (−10) >
· (−10) > 1 · (−10)
−10
0 > 4x − 1 > −10
0 + 1 > 4x − 1 + 1 > −10 + 1
1 > 4x > −9
1
4x
9
>
>−
4
4
4
1
1
> x > −2
4
4
x ∈ {−1, 0}
3
bude ve´ci od 1.
Zadaci za veˇ
zbu.
1. Odrediti sve cele brojeve n takve da je − 13 <
n+1
15
< 15 .
2. Odrediti vrednost promenjive x u skupu celih brojeva, tako da izraz
ve´cu od 0.
3. Odrediti sve celobrojne vrednosti promenjive x u izrazu
20
−5x+10
3x−6
9
ima vrednost manju od 1 i
tako da izraz ima vrednost ve´cu od 1.
1.2
ˇ je ve´ce:
1. Sta
25
99
ˇ je ve´ce:
2. Sta
29
1996
ili
499
1997 ?
ili
7
500 ?
1.3
3. Teˇzina tela na Mesecu iznosi
bila na Mesecu?
4
25
teˇzine na Zemlji. Ako je ˇcovekova teˇzina na Zemlji 802, 5N , kolika bi
4. Na stovariˇstu je bilo 304t robe. Najpre je odneto
ostalo na tom stovariˇstu?
3
8
robe, a zatim
4
5
preostale robe. Koliko je tona robe
5. Visina ku´ce je 12 34 m, a topole 8, 7m. Koliko bi trebalo da naraste topola da bi bila viˇsa od ku´ce za
3, 9m?
6. Visina ku´ce je 11, 2m, a topole 9 34 m. Za koliko treba da naraste topola da bi bila viˇsa od ku´ce za 2 21 m?
ˇ
ˇ
7. Tri druga Zarko,
Leka i Pedja dele izvesnu sumu novca. Zarko
je dobio tre´cinu, Leka ˇcetvrtinu ostatka,
ˇ
a Pedja 100 dinara viˇse od Zarka. Koliko novca je bilo i koliko je svako od njih dobio?
3
8. Traktor je prvog dana uzorao 16
polja, drugog dana 2 52 puta viˇse nego prvog dana, a tre´ceg dana
preostalih 87ha. Kolika je povrˇsina tog polja?
9. Dragan prvoga dana pojede 15 bombona i joˇs 3 bombone. Drugoga dana uzme 15 ostatka i joˇs 5 bombona.
Koliko je bilo bombona na poˇcetku, ako je tre´ceg dana Dragan pojeo preostalih 15 bombona?
10. Voze´ci izmedju grada A i grada B biciklista je prvog dana preˇsao 14 , a drugog 30% celog puta. Do cilja
je preostalo joˇs 180km. Koliko je rastojanje izmedju ta dva grada?
3
prijavljenih
11. Za zimovanje sa prijavilo 29 uˇcenika nego ˇsto je planirano. Pred polazak, zbog bolesti, 11
je moralo da odustane od puta, tako da je na zimovanje otiˇslo 8 uˇcenika manje nego ˇsto je planirano.
Koliko je planirano, a koliko je uˇcenika otiˇslo na zimovanje?
12. Lopta koja slobodno pada svaki put odskoˇci od zemlje do visine za 35 manje od visine sa koje pada.
Ako je u tre´cem odskoku dostigla visinu od 32cm, na´ci duˇzinu puta koji ´ce lopta pre´ci do momenta
kada ˇcetvrti put dodirne zemlju.
4
2
Apsolutna vrednost
2.1
Jednaˇ
cine
Objaˇ
snjenje 2.1 Jednaˇcine sa apsolutnim vrednostima se reˇsavaju tako ˇsto se deli na dve jednaˇcine bez
aspolutnih vrednosti.
½
x
za x ≥ 0
|x| =
−x za x < 0
Zadaci
1. Reˇsiti jednaˇcinu |x + 2| − 1 = 6.
Reˇ
senje.
(a) uslov:
x+2≥0
x ≥ −2
reˇsenje:
(x + 2) − 1 = 6
x+2−1=6
x+1=6
x+1−1=6−1
x=5
Kako je ispunjen uslov da je x ≥ −2 to je x = 5 jedno reˇsenje ove jednaˇcine.
(b) uslov:
x+2<0
x < −2
reˇsenje:
−(x + 2) − 1 = 6
−x − 2 − 1 = 6
−x − 3 = 6
−x − 3 + 3 = 6 + 3
−x = 9
x = −9
Kako je ispunjen uslov da je x < −2 to je x = −9 drugo reˇsenje ove jednaˇcine.
2. Reˇsiti jednaˇcinu |1 + |x − 1|| = 2.
Reˇ
senje.
(a) uslov:
x−1≥0
x≥1
reˇsenje:
|1 + (x − 1)| = 2
|1 + x − 1| = 2
|x| = 2
5
i. uslov:
x≥0
reˇsenje:
x=2
ii. uslov:
x<0
reˇsenje:
−x = 2
x = −2
Kako samo reˇsenje x = 2 ispunjava uslov x ≥ 1 to je jedno reˇsenje ove jednaˇcine.
(b) uslov:
x−1<0
x<1
reˇsenje:
|1 − (x − 1)| = 2
|1 − x + 1| = 2
|2 − x| = 2
i. uslov:
2−x≥0
−x ≥ −2
x≤2
reˇsenje:
2−x=2
−x = 0
x=0
ii. uslov:
2−x<0
−x < −2
x>2
reˇsenje:
−(2 − x) = 2
−2 + x = 2
x=4
Kako samo reˇsenje x = 0 ispunjava uslov x < 1 to je drugo reˇsenje ove jednaˇcine.
6
2.2
Nejednaˇ
cine
1. Odrediti celobrojna reˇsenja nejednaˇcine |x − 2| < 5.
Reˇ
senje.
(a) uslov:
x−2≥0
x≥2
reˇsenje:
(x − 2) < 5
x−2<5
x<7
Celi brojevi koji su reˇsenja nejednakosti x < 7, a koja zadovoljavaju uslov x ≥ 2 su 2, 3, 4, 5, 6.
(b) uslov:
x−2<0
x<2
reˇsenje:
−(x − 2) < 5
−x + 2 < 5
−x < 3
x > −3
Celi brojevi koji su reˇsenja nejednakosti x > −3, a koja zadovoljavaju uslov x < 2 su −2, −1, 0, 1.
Konaˇcno reˇsenje polazne nejednaˇcine je x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2.3
Zadaci za veˇ
zbu
1. Reˇsiti jednaˇcinu ||x| − 1| − 2000 = 0.
2. Reˇsiti jednaˇcinu (3|x| + 6)(2|x| − 6) = 0.
3. Reˇsiti u skupu Z nejednaˇcinu |x − 3| ≤ 3 − x.
4. Odrediti cele brojeve x za koje je |x − 1| ≤ 3.
5. Na´ci zbir celobrojnih reˇsenja nejednaˇcine |x + 5| ≤ 7.
6. Izraˇcunaj zbir svih celobrojnih reˇsenja nejednaˇcine |x − 1| ≤ 2005.
7. Odrediti sve cele brojeve x za koje je 6 < −(−x) < 10 i |x| < 8.
8. Odrediti sve prirodne brojeve koji ne zadovoljavaju nejednaˇcinu |x + 2|(5x − 15) > 0.
9. Reˇsiti nejednaˇcinu |x| + 1 41 > 4, 5.
7
3
Dirihleov princip
Definicija 3.1 Ako n elemenata rasporedima u k klasa, (n, k ∈ N ), a pri tome je n : k = q(r), q, r ∈ N ,
0 < r < k, onda postoji bar jedna klasa koja sadrˇzi q + 1 element.
Zadaci
1. Dokazati da ´ce prilikom rasporedjivanja 5 jabuka u dve korpe, barem u jednoj korpi biti najmanje 3
jabuka.
Reˇ
senje.
n = 5, k = 2
n : k = q(r)
5 : 2 = 2(1)
q=2
q+1=3
Stoga, barem u jednoj korpi ´ce sigurno biti barem 3 jabuke.
2. U odeljenju je 40 uˇcenika. Marko je na kontrolnoj veˇzbi napravio 12 greˇsaka, a ostali manje. Dokazati
da u tom odeljenju postoji bar 4 uˇcenika sa istim brojem greˇsaka.
Reˇ
senje.
n = 40, k = 13
n : k = q(r)
40 : 13 = 3(1)
q=3
q+1=4
Stoga, u tom odeljenju postoji barem 4 uˇcenika sa isitm brojem greˇsaka.
Zadaci za veˇ
zbu
1. Svaki od 30 uˇcenika jednog odeljenja poklonio je ˇskolskoj biblioteci po neku knjigu. Najviˇse, 8 knjiga,
poklonio je Dule. Dokazati da postoji bar 5 uˇcenika koji su poklonili isti broj knjiga.
8
4
Zapis periodiˇ
cnih brojeva u obliku razlomka
Zadaci
1. Zapisati slede´ce periodiˇcne brojeve u obliku razlomka:
(a) 0, 66˙
(b) 0, 1234
(c) 7, 3456456
Reˇ
senje.
(a)
x = 0, 66˙
10x = 6, 66˙
10x − x = 6, 66˙ − 0, 66˙
9x = 6
2
x=
3
(b)
x = 0, 1234
10000x = 1234, 1234
10000x − x = 1234, 1234 − 0, 1234
9999x = 1234
1234
x=
9999
(c)
x = 7, 3456456
10x = 73, 456
10000x = 73456, 456
10000x − 10x = 73456, 456 − 73, 456
9990x = 73383
73383
x=
9990
9
Download

Dodatna nastava matematike u osnovnoj školi