Poglavlje 2
Volisova Formula i još neke
U trećem veku pne. klasična Grčka matematika je dostigla svoj vrhunac. Pre toga, možemo navesti doprinose
Eudoksa (teorija proporcija, metod “iscrpljivanja”) i Euklida, čiji “Elementi”, dok objedinjuju poznate rezultate
iz geometije tog doba, imaju vrhunske zasluge u uvođenju tačnosti u matematičkim izlaganjima, dok prezentuju
čistu logičku konstrukciju zasnovanu na malom broju dobro odabranih aksioma. Arhimedovi naslednici, kao što
su Apolonije, Ptolomej i Papus, ovekovečuju ovu tradiciju rigoroznog rasuđivanja geometrijskog tipa sve do IV
veka naše ere.
U njegovim proračunima površine i zapremine, kao što smo videli u Poglavlju 1, Arhimed nagoveštava
integralni račun. Ali, zbog manjka interesovanja za kinematiku, Grci nisu imali predstavu o onome što je
kasnije postalo diferencijalni račun, sa izuzetkom jedne izolovane i sumnjive činjenice: Arhimedova
konstrukcija tangente na njegovoj spirali koristeći jednu vrstu paralelograma brzina (videti Sekciju 1.2.3). Šta
god bio slučaj, posle Arhimeda čekalo se skoro dvadeset vekova do početka infinitezimalnog računa, sa
beskonačnim redovima i proizvodima, konačno donoseći suštinski napredak u temi koja je predmet našeg
interesovanja, broj π. Kako objasniti tako dugu tamu nerazumevanja?
Prvo, dolazak na vlast Rimljana u Mediteranu bio je početak propadanja čiste matematike u drugom veku;
Rimljani, iako su bili izvanredni graditelji, organizatori i pravnici, nisu pokazivali interesovanje za matematičko
razmišljanje. Pustošenje Sirakuze, ubistvo Arhimeda i paljenje Aleksandrijske biblioteke su tipični primeri tog
stanja uma.
Zatim, pad Rimskog Carstva u petom veku i dolazak nepismenih varvarskih plemena, doveo je do toga da
je bilo kakav ozbiljan naučni rad na Zapadu bio nemoguć vekovima.
Konačno, Grčka matematika je možda osuđena na stagnaciju zbog nedostatka kvaliteta: preterano
insistiranje na tačnosti po cenu neformalnog otkrivanja novih rezultata; preterano stroga razlika između
geometije i aritmetike; gnušanje od simboličke algebre, od beskonačnog, od promena i od kretanja.
Na kraju je zahvaljujući Arapima Grčko nasleđe trajalo do XV veka. U stvari u VII i VIII veku
Muslimanska imperija je proširila svoju dominaciju na čitav južni Mediteran i Bagdad postaje nova
Aleksandrija. Arapi prihvataju kulturu osvojenih zemalja: radovi Euklida, Arhimeda, Apolonija i Ptolomeja
bivaju prevedeni na arapski jezik u IX i X veku. U isto vreme oni koriste decimalnu pozicionu notaciju (poznatu
već duže vreme Kinezima), usvojeno Hindu znanje iz ove oblast i rasprave o algebri, geometrijskoj optici i
trigonometriji. U XII veku Arapska nauka počinje da opada, ali Zapad se budi: Euklidovi “Elementi” i AlKovarizmijeva “Algebra” su prevedene sa arapskog na latinski jezik. Konačno, 1269. Gijom d’Merbek je
objavio latinski prevod svih sačuvanih Arhimedovih radova.
Narednih tri stotine godina je bilo potrebno da bi se pripremio dolazak infinitezimalnog računa. U Srednjem
veku sholastička razmatranja neprekidnosti, beskonačnosti i nedeljivosti zajedno sa razmatranjima kretanja,
brzine i ubrzanja koje je razvio Parižanin Oresm a i naučnici Merton Koledža sa Oksforda su doprineli tome.
Od sredine XVI veka na ovamo, diferencijalni i integralni račun su razvijeni i postali zavidan alat koji
poznajemo i danas. U Poglavljima 2 i 3 ove knjige, videćemo kako nam, počev od Arhimedovih nalaza, to
omogućava razumevanje broja π potpuno novim metodama.
Volisova Formula i još neke
2
2.1. Vietov beskonačni proizvod
Fransoa Viet (François Viète) (1540-1603), pravnik i amaterski matematičar, posvetio je deo svog slobodnog
vremena astronomiji, trigonometriji i simboličkoj algebra. 1593. [97] je izrazio broj π kao beskonačni proizvod,
nedvosmisleno prvi beskonačni proizvod u istoriji matematike:
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
π
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2.1)
Odavde uočavamo
2
… lim … ,
gde je
1 2
1
u i 1 u za n 1.
2 π
2
(2.2)
To nije jednostavan beskonačni proizvod: opšti član je izražen superpozicijom n kvadratnih korena, čiji
će direktni izraz biti neumereno rastući; rekurentna relacija (2.2) između i predstavlja uprošćeni prikaz.
Primetimo da je (2.1) poseban slučaj još uopšenije formule, koju je Ojler dao dvesta godina kasnije:
(2.3)
za $ , 0, gde su
(2.4)
za n > 1. Formula
!"# $
$
$
$
$
%&! %&! %&! … %&! … )"* + + + … ,
$
2
4
8
2
.
.
.
+ %&! i + %&! / 0 1 %&! /12 0 1 +
1 cos 26 2 cos 6
je primenjena u suprotnom smeru da bi dobili 2.4. Vietove formule, 2.1 i 2.2, nisu ništa drugo nego one
8
Ojlerove, 2.3 i 2.4, u specijalnom slučaju za $ .
9
9
Dokaz Ojlerove formule 2.3 je veoma jednostavan: trigonometrijski identitet sin 6 2 cos sin se
primenjuje ponavljajući:
!"# $
$ !"#$⁄2
$
$ !"#$⁄4
%&!
%&! %&!
$
2 $ ⁄2
2
4 $ ⁄4
.
$
$
$
$ sinθ⁄2 cos cos cos … cos 2
4
8
2
θ⁄2
=> ?
Kad n teži beskonačnosti, < / teži 0, zbog toga ? teži 1, što dokazuje 2.3.
Vietov originalni dokaz je više geometrijski i vodi poreklo od Arhimedove ideje: π je ograničeno površinom
@/ regularnog 2 -tougla upisanog u kružnicu poluprečnika jedan. Sada, ako je 2$ ugao u centru pravilnog
Volisova Formula i još neke
3
upisanog N-tougla, samim tim $ je deo 2N-tougla, @A je zbir svih površina N trouglova kao što pokazuje OCD
na Slici 1.1 u Poglavlju 1, odakle
.
.
@A B!"#CcosC i @A 2B!"# cos B!"#C
i
(2.5)
.
@A @A %&!C
Počnimo sa kvadratom: N = 4, @D 2, C D , i ponovimo (2.5)
8
D
8
D
8
E
8
D
8
E
2 @D @E %&! @F %&! %&! . . . @/G2 %&! %&! … %&!
Kad n teži beskonačnosti, @/G2 teži π, zato imamo (2.1).
8
/
.
Primer 2.1. (1) Logaritmovati Ojlerovu formulu (2.3), a onda diferencirati dobijeni red član po član. Izvesti
formulu
4
1
π
1
π
(2.6)
1 tan … tan I …
π
2
8
2
2
(2) Dokazati (2.6) geometrijski, prateći ideju Dekartove izoperimetrijske metode, na sledeći način.
Za n = 2, 3, ... razmotrimo pravilni upisani 2 -tougao obima 2, poluprečnika J i apoteme KL M . Neka
8
S IU
je N L O J P M . Onda pokazati sukcesivno da je N / QR# /G2 i M 1 T T a onda i
J
I
P J N
I
P
V/
.
Dokazati (2.6).
Slika 2.1
2.2. Opšte napomene o beskonačnim proizvodima
Pojam beskonačnog proizvoda je verovatno manje poznat od redova. Da se prisetimo ukratko šta smo imali.
Neka je ( ) niz kompleksnih brojeva različitih od nule. Formirajmo parcijalni proizvod W … .
Ako, kada # ∞, niz W ima konačnu ne-nula granicu p, kažemo da je beskonačni proizvod ∏Z konvergentan vrednošću p, i zapisujemo
W … … … [ Z
Inače, kaže se da beskonačni proizvod divergira.
8
Na primer, Vietova formula kaže da beskonačni proizvod ∏Z cos /G2 konvergira i ima vrednost 8 .
Potreban, ali ne i dovoljan, uslov da bi ∏Z konvergirao je da lim ∞ 1.
Volisova Formula i još neke
4
Često je zgodno da je 1 R . Za beskonačni proizvod ∏Z1 R se kaže da je apsolutno
konvergentan ako je beskonačni proizvod ∏Z1 |R | konvergentan; to je kao da kažemo da red ∑∞Z|R |
konvergira. Bilo koji apsolutno konvergentan beskonačni proizvod je konvergentan i kao takvom moguće mu je
zameniti redosled faktora bez menjanja njegove konvergencije ili vrednosti.
8
Vietov proizvod je apsolutno konvergentan pošto je %&! /G2 1 R , gde je
|R | ^cos
8
/G2
8`
P 1^ ~ `/Ga opšti član konvergentnog reda.
>
Vežba 2.2. Neka je 1 , gde je " √P1. Pokazati da ∏Z| | konvergira ali tako da ∏Z divergira.
U poglavlju 3 ćemo se baviti Rimanovom zeta funkcijom
∞
ζs c
(2.7)
Z
1
,
nd
koja je apsolutno konvergentni red kada je s komplekni broj sa realnim delom J= 1. U stvari, videćemo da se
njegova vrednost može jednostavno izraziti pomoću stepena broja π kada je s paran ceo broj e 2. Za sada
pomoću primera za beskonačni proizvod, dokažimo Ojlerovu formulu:
[1 P pd (2.8)
g
1
R 1,
ζs d
gde p uzima vrednosti iz niza prostih brojeva. Jasno je da beskonačni proizvod apsolutno konvergira pošto
i– W= i PWkl i ∑m mnl o ∑ nl konvergira. Napomenimo prvo da
u redu ∑∞Z
Onda
l
p1 P
1
1
1
1
1
q r! 1 = = = = =
3
5
7
9
2
sa članovima čiji su indeksi n koji su umnožak broja 2 uklonjeni.
p1 P
1
1
1
1
1
q p1 P = q r! 1 = = = =
2
3
5
7
11
je red ∑∞Z l sa članovima čiji su indeksi koji su umnošci brojeva 2 i 3 uklonjeni. Još opštije, ako je Wv k-ti
prost broj i ako wv označava skup celih brojeva n > 1 koji nisu deljivi bilo kojim prostim brojem 2, 3, ..., Wv ,
onda:
1
1
1
1
p1 P = q p1 P = q … p1 P = q r! 1 c =
2
3
Wv
#
Pošto je wv podskup skupa svih celih brojeva Wv , sledi da
1
1
1
{p1 P = q p1 P = q … p1 P = q r! P 1{ |
2
3
Wv
Kada } ∞ desna strana teži 0, i dobijamo formulu (2.8).
xyz
∞
c
Zmz I
1
.
#k=
Volisova Formula i još neke
5
2.3. Volisov beskonačni proizvod
1655. Džon Volis je dokazao da važi
∞
4n
π 2·2 4·4 6·6
(2.9)
·
·
[ .
2 1·3 3·5 5·7
4n P 1
Z
D `
`
D Ovaj proizvod je apsolutno konvergentan, pošto je 1 R , gde R `
i ∑∞Z R
D konvergira.
Konceptualno, Volisova formula je interesantnija od Vietove: bilo je to prvo pojavljivanje broja π kao
granice niza eksplicitnih racionalnih brojeva.
Da bi dokazali (2.9), nećemo pokušavati da sledimo smela krivudanja Volisovog originalnog dokaza koja su
se pojavila u poslednjem poglavlju Arithmetica Infinitorum; kako god, nećemo pogrešno predstaviti ideju
briljanton Oksfordskog profesora budući da ćemo uzeti kao polazište tzv. Volisove integrale
8⁄
sin < „< ,
€ ‚
ƒ
koji smo izračunali u Vežbi 1.5 u Poglavlju 1 (videti takođe Poglavlje 6):
1 · 3 · 5 ··· 2# P 1 2 · 4 · 6 ··· 2#
i € .
2 · 4 · 6 ··· 2# 2
3 · 5 · 7 ··· 2# 1
Broj π se pojavljuje u prvoj formuli, ali ne i u drugoj:
€
W
,
2
€ I
gde
2 · 4 · 6 2#
4} [ .
W 1 · 23 · 52# P 1 2# 1
4} P 1
€ Da bi dokazali (2.9) dovoljno je videti da log
0|<|
8
I
imamo 0 | sin < | 1 , odakle sin
1|
što kompletira dokaz.
Iz ovih nejednačina lako zaključujemo da
€
€
∞ †
†`/
vZ
`/G2
1. Sada je € opadajuća funkcija od m pošto za

< | sin < . Zbog toga
I
0|
|
€
€
I
1
PW |
.
2
4#
1
,
2#
8
8
U stvari, zahvaljujući Stirlingovoj formuli, kasnije ćemo videti da P W ~ D . Beskonačni proizvod (2.9)
konvergira veoma sporo. Volisova divna formula verovatno izaziva smejanje kod lovaca na decimale.
Ukoliko pođemo od Volisove formule možemo naći izvanredan beskonačni proizvod: na primer,
invertovanjem (2.9), dobijamo:
∞
2
1
1
1
1
(2.10)
[ p1 P q p1 P q p1 P q p1 P q .
π
4n
2
4
6
Na osnovu
Z
Volisova Formula i još neke
W ~
i
dobijamo
6
2# 1
2 · 4 4 · 6 2# P 22#
W 2·
2#
3 · 35 · 5
2# P 1
2# P 22#
1
1P
,
2# P 1
2# P 1
∞
π
1
1
1
1
[ p1 P
q p1 P q p1 P q p1 P q .
4
2n 1
3
5
7
(2.11)
Z
Množenjem (2.10) i (2.11) imamo
∞
1
1
q .
n
2
Z
U Poglavlju 3 ćemo postaviti čuvenu Ojlerovu formulu koja daje sinusnu funkciju u formi beskonačnog
proizvoda:
∞
sinπx
x
(2.13)
[ ˆ1 P ‰.
πx
n
[ p1 P
(2.12)
Z
Za < , formula (2.13) nije ništa drugo do (2.10), što je inverzija od (2.9). Tako, Ojlerova formula je
generalizacija Volisove. Uzimajući vrednosti , D , F za x, formula (2.13) daje još jedan beskonačni proizvod za
,
8
naime
∞
∞
∞
Z
Z
Z
3√3
1
2√2
1
3
1
[ p1 P q ;
[ p1 P
q ; [ p1 P
q.
2
9#
16#
36#
2.4. √‹ i igra pismo ili glava
8
Vratimo se na Volisovu formulu = lim W , gde je
W 1
2 · 4 2#
2D #!D 1
2D #!D 1
~
.
1 · 3 2# P 1 2# 1 2#!Ž 2# 1 2#!Ž 2#
Prema tome, jedan način zapisivanja Volisove formule je
2D n!D
π lim
n2n!Ž
(2.14)
ili još i
(2.15)
!
!`
gde # ∞ . Sada broj  `/ 1 2n!
1
~
2 n!
√πn
!
je od važnosti u kombinatorici i u teoriji verovatnoće: !`
 ‘ je broj
kombinacija n od 2n objekata; to je binomni koeficijent, i centralni je član 2n-tog reda Paskalovog trougla, i 22n
je zbir članova tog reda.
Volisova Formula i još neke
7
Bacajmo novčić 2n puta. Uzastopno pojavljivanje pisma i glave predstavlja 22n mogućnosti, među kojima je
 ‘ u kojima je broj pojavljivanja glave jednak broju pojavljivanja pisma.
Prema tome  `/  ‘ je verovatoća dobijanja n glava i n pisama iz 2n uspešnih bacanja. Kada n teži
beskonačnosti, ta verovatnoća opada i, prema Volisovoj formuli (2.15), ta verovatnoća je beskonačno mala i
ekvivalntna je 8 .
√
U svom „Filozofskom eseju o verovatnoći“ Laplas [57] izražava divljenje činjenici da se broj π probija u
domen elementarne verovatnoće na ovaj način: koja je veza između igre pismo ili glava i kruga? Može se pitati
isto pitanje i za Gausovu formulu koja se pojavljuje u normalnoj distribuciji:
`
‚ e“ dx (2.16)
ƒ
√π
2
Prisustvo √ u (2.16) je objašnjeno iz  8 , pošto nam D’ Moavr-Laplasova teorema kaže da granica
√
binomne raspodele, koja je uključena u uzastopna bacanja pisma ili glave, ima osobinu normalne raspodele.
Drugim rečima, bilo bi moguće izvesti Gausovu formulu (2.16) iz Volisove formule; to je ono što ćemo sledeće
uraditi.
Za bilo koji ceo broj n > 0 imamo, zamenom promenljive < √#<,
I
`
`
– ? „< √# ‚ – •‚
ƒ
`
ƒ
?`
„<.
Iz nejednakosti 0 | 1 P < | – ? za 0 | < | 1 i – ? | I? ` za < e 0 zaključujemo da je:
I
√# ‚ 1 P < „< | • | √# ‚
ƒ
ƒ
„<
1 < Zamena promenljive < !"# Q u integralu na levoj strani i < QR# Q u integralu na desnoj strani dovodi do
pojave Volisovih integrala:
√# € I | • | √# € pošto je
onda je
√#
2 · 4 · 6 2#
1 · 3 · 5 2# P 3 | • | √#
,
1 · 3 · 5 2# 1
2 · 4 · 6 2# P 2 2
2#!
2 #! √#
2# | • | √# 2#! 2# 1
2 #! 2# P 1 2
Kad # ∞ dve ekstremne vrednosti teže
√8
prema (2.15), odakle je G Vežba 2.3. Naći ovu vrednost G ponovo računajući dvostruki integral
∞
na dva različita načina.
∞
‚ ‚ – ?
ƒ
ƒ
` I˜ ` „< „™
√8
.
Volisova Formula i još neke
8
2.5. Stirlingov ekvivalent
Kad je n veliki broj, direktno računanje faktorijela n!=1.2.3...n zahteva veliki broj množenja što ubrzano postaje
„preskupo“. Prirodno je potražiti jednostavniju aproksimaciju. Ovo je i bio cilj formule Džejmsa Stirlinga
(1730.):
#
(2.17)
#! ~√2# š › ,
–
koja je još upadljivija zato što asocira na dva najpoznatija broja, Arhimedov broj π i Ojlerov broj
e 1 . Da bismo dokazali (2.17) počinjemo dokazom da postoji konstanta O 0 tako
!
!
!
da važi
#
#! ~O √# š ›
–
onda određujemo O √2 svojstvom Volisove formule (2.15).
Uzmimo da je
log#! log1 log2 . . . log # œ#.
Slika 2.2
Zbir površina trapezoida je
)& # P 1 )& #
1
)& 2 )& 2 )& 3
œ P )& #.
2
2
2
2
Uporedimo ovo sa površinama koje leže ispod krive ™ )&< između tačaka 1 i n na apscisi, što je jednako
Pokazaćemo da razlika
?Z
‚ log < „< <log < P 1Ž ?Z
#log # P 1 1 .
1
„ œ P log # P #log # P 1 P 1
2
ima konačnu granicu kada # ∞. Za ovo, dovoljno je videti da red sa opštim članom „
konvergira. Sada je
I
P„
Volisova Formula i još neke
9
1
1
P œ P log# 1 log # P # 1log# 1 P 1Ž #log # P 1
2
2
1
1 1
1
1
1
1
1 P p# q log p1 q 1 P p# q p P ž# q
2
#
2 # 2#
3#
#
1
1
P
ž# 12#
#
œ
I
gde ž# i ž # teže 0 kada n teži beskonačnosti (imamo zapisan skraćeni red za log(1+ u) do reda 3 u okolini
u = 0). Stoga
1
œ P log # P #log # P 1
2
teži konačnoj konstanti k. Prosleđujući eksponentu,
!
√ ⁄Ÿ
/
teži konsanti C = ek > 0. Imamo #! ~O √##⁄– .
Da bismo odredili C, zamenjujemo ovaj ekvivalent na levoj strani (2.15):
2n!
O√2#2 #⁄– 2n! 1 2
~
2 n!
C n
2 O ##⁄–
sa jedne strane, dok, sa druge strane, prema Volisovoj formuli (2.15) je ekvivalentno
2.6. Formula Gregorija i Lajbnica
8
√
, dok je O √2.
Beskonačni red nije igrao ulogu u matematici sve do druge polovine XVII veka: pre toga jedino je moguće
citirati nekoliko specijalnih slučajeva geometrijskih redova. Proučavanje stepenih redova postaje popularno sa
redovima
< <¢
< I
(2.18)
R¡%QR# < < P
P1
3
5
2# 1
koji važi za |<| | 1 i njegov specijalni slučaj:
(2.19)
π
1 1
1
1 P P1
3 5
4
2n 1
koje su nezavisno otkrili Dž. Gregori (1638-1675) i G. V. Lajbnic (1646-1716) oko 1670. Izvesno je da su
matematičari Kerale u Južnoj Indiji znali za formule (2.18) i (2.19) od sredine XV veka, i takođe za ceo sinusni
i kosinusni red, ali ovi rezultati su bili zapisani na sanskritu i nisu došli na Zapad do 1835, malo pošto su
infinitezimalni računi bili razvijeni tamo nezavisno (videti R. Roj [82]).
U današnje vreme, (2.18) se dokazuje na sledeći način: prvo se napiše formula za geometrijsku progresiju:
(2.20)
ovde je arctan < ugao θ između
1
Q I
D
1
P
Q
Q
P1
Q
.
1 Q
1 Q
8
8
i P i kao što je tan $ <.
Funkcija arctan < je inverzna funkcija tangensa. Njen izvod je
primitivna funkcija koja je nula za x = 0 je:
,
I? `
stoga, uzimajući dva člana iz (2.20),
Volisova Formula i još neke
10
arctan < < P
< <¢
< I
P1
P1
3
5
2# 1
Ako je |<| | 1, integral teži 0 kad n teži +∞, pošto je
?
¤‚
ƒ
|?|
Q I
„Q¤
|
‚
Q
1 Q
ƒ
I
„Q |
I
?
‚
ƒ
Q I
„Q
1 Q
|<| I
1
|
2# 3 2# 3
što dokazuje (2.18).
Najosnovniji argumenti ovog dokaza su u duhu vremena Gregorija i Lajbnica: još od Kavalijerija, Paskala i
?
Fermaa, je poznato da je ¥ƒ Q „Q funkcija je još opštije uspostavljena.
? /G2
,
I
i, zahvaljujući Lajbnicu i Njutnu veza između integrala i primitivnih
Vežba 2.4. Dokaz Merkatorovog rezultata (1668.):
log1 < < P
za P1 o < | 1, prema tome, formula
< <
P1
2
3
1 1
)& 2 1 P P1
2 3
<
#
<
.
#
Lajbnic-Gregorijev red (2.19) konvergira vrlo sporo; 5000 članova treba dodati da bi se dobile 3 cifre za
broj π. Ipak, red (2.18) kovergira dovoljno dobro za malo x: uzimajući da je < sa y > 1, greška
v
je | 10v ako 2# 1 e §¨©
1
1
1
¦arctan P cP1v
¦ | I
vI
2} 1™
™
™
2ª ˜
˜
vZƒ
. Broj članova koje treba računati u Gregorijevom redu (2.18) da bi dobili još
jedan broj u arctan ˜ je asimptotski proporcionalan §¨©
2ª ˜
.
Međutim, koristeći Gregorijev red (2.18) sa < √ Abraham Šarp, na nagovor astronoma Haleja, izračunao
je π na 71 decimalu 1699. Sa te tačke gledišta metod je mnogo efikasniji od Arhimedovog, koji je Ludolf van
Culen (1540-1610) bio jedan od poslednjih koji je pokušao, kada je dobio 32 decimale, samostalno računajući
obim pravilnog poligona sa 262=4.611.686.018.427.387.904 strana.
2.7. Red za inverzni tangens po Ojleru
1755. Ojler je otkrio sledeći razvoj, važeći za sve realne x:
(2.21)
sa, na primer, za < 1, formula
(2.22)
<
2 #!
<
arctan < c
ˆ
‰ ,
2# 1! 1 < 1 <
Zƒ
∞
π 2c
Zƒ
2 n!
.
2n 1!
Volisova Formula i još neke
11
Konvergencija je mnogo bolja: uključujući prvih 100 članova od (2.22) jedan već ima 30 decimala za π.
? «¬
Za dokaz (2.21), u integralu R¡%QR# < ¥ƒ
` , uvodimo smenu promenljive Q <√1 P !, odakle je
„Q P
Sledi da je
?«=
√=
?
arctan < ‚
ƒ
I¬
i 1 Q 1 < š1 P
„Q
<
‚
1 Q 1 < ƒ
∞
?`
!›.
I? `
„!
2√1 P ! p1 P
<
<
!
‚
c
„!
1 < 2√1 P !
1 < ƒ
Zƒ
<
!q
1 <
∞
gde je
R ‚
ƒ
!
<
<
cR ˆ
‰ ,
1 < 1 <
2√1 P !
Zƒ
8⁄
„! ‚
ƒ
sin
I
$„$ 2 #!
,
2# 1!
sledeći računanje Volisovog integrala (videti Poglavlje 6 i Vežbu 1.5 Poglavlja 1).
U ovom veoma brzom dokazu (2.21), smena promenljive Q ! može izgledati malo izveštačeno.
Predviđajući donekle, mora biti stavljeno u opštiji kontekst, da bi se razjasnilo. Ako su R, ­, % kompleksni
parametri, sa % , 0, P1, P2, . . ., hipergeometrijska funkcija (prema Gausu) je definisana sa
∞
®R, ­; %; ¯ c
vZƒ
Rv ­v v
¯ |¯| o 1,
%v }!
gde je °ƒ 1 i °v °° 1 … ° } P 1. Na bazi prikaza ove funkcije pomoću klasičnog integrala,
koristeći smenu promenljive, moguće je dokazati identitet
(2.23)
®R, ­; %; ¯ 1 P ¯± ® šR, % P ­; %;
¯
›.
¯P1
Sada R¡%QR#< <® š , 1; ; P< › i promena sa (2.18) na (2.21) je vrlo specijalan slučaj identiteta (2.23).
2.8. Drugi redovi i integrali za izražavanje π
Od 1676. na ovamo Njutn je koristio izraz, za |<| o 1,
(2.24)
2#! < I
1
3
arcsin < < < < ¢ .
6
40
2 #! 2# 1
dobijen integraljenjem član po član izraza za izvod (1-x2)-1/2 arcsinx, koji je po sebi poseban sluaj za ² P i u
u = -x2 Njutnovog binomnog razvoja
1 ³ 1 ² ²² P 1 ²² P 1 … ² P # 1
.
2
#!
Volisova Formula i još neke
12
Uzimajući da je < , za R¡%!"# < (2.25)
8
F
, u (2.24), dobijamo
2#!
1
3
1
1
D
,
3
24 640
2 #! 2# 1
red koji već daje 30 tačnih decimala sabirajući do 50 članova reda.
Vežba 2.5. Ako važi sin $ (2.26)
´µ .
√I´µ` .
Vežba 2.6. Za |<| o 1, neka je
, pokazati da
arcsin < ¶< ∞
<
√1 < <
√1 P
c
Zƒ
2#!
1
<
ˆ
‰ .
2 #! 2# 1 1 < ∞
<
arcsin < c Rm < m .
mZƒ
(1) Pokazati da je 1 P < ¶ ′ < 1 <¶<.
(2) Koristeći jednačinu (1) izvesti formule
∞
2
2 #! (2.27)
arcsin < c
<
#2#!
√1 P < Z
i
∞
2 #! (2.28)
2arcsin < c <
# 2#!
a onda i formule
∞
(2.29)
(3) Izračunati zbir reda
`
!
∑∞Z !.
Z
∞
#!
#!
3√3 c
i 18 c .
#2#!
# 2#!
Z
Z
Dekompzicijom na proste elemente, znamo kako da izračunamo primitivne funkcije racionalnih funkcija i
funkcije koje se svode na racionalne funkcije smenom promenljivih. Nezavisno od racionalnih funkcija i
logaritama, ove funkcije uključuju inverzni tangens i broj π se pojavljuje u njima za posebne vrednosti
promenljive. Prototip ovog metoda je Gregorijeva formula (2.18)
?
∞
„Q
< I
‚
cP1
arctan <
2# 1
ƒ 1Q
i njen specijalni slučaj (2.19) za x = 1:
Zƒ
„Q
1 1
‚
1 P .
4
3 5
ƒ 1Q
Moguće je dati još mnogo primera, po volji. Počećemo ovde sa, na neki način komplikovanijom funkcijom
«¬
«¬
nego I¬ `, uzećemo I¬ ·. Njenom dekompozicijom na prostije elemente drugog reda, racionalni razlomak može
biti zapisan kao:
Volisova Formula i još neke
i takav ima primitivu
?
‚
ƒ
13
1
1
√2 P Q
√2 Q
¸
¹
D
1Q
√2 √2Q P 1‘ 1 √2Q 1‘ 1
„Q
1
1 <√2 < <√2
2 arctan
ˆlog
‰.
D
1Q
1 P <
4√2
1 P <√2 <
Oprez je potreban oko singulariteta od arctan za x = 1; to je > 0 i teži
> 1, < 1.
Mi dakle razlikujemo dve formule:
8
∞
1
1
2 log√2 1 ‚
„Q cP1
D
4# 1
4√2
ƒ 1Q
(2.30)
i
I∞
(2.31)
‚
ƒ
Zƒ
1
P2 log√2 1 „Q .
D
1Q
4√2
Logaritam se eliminiše dodavanjem dva:
I∞
‚
(2.32)
ƒ
Vežba 2.7. (1) Pokazati da, za x > 0,
I∞
1
„Q .
D
1Q
2√2
`
– ˜? sin Q „Q ‚
(2.33)
ƒ
(2) Računanjem dvostrukog integrala
1
.
1 <D
∞ ∞
`
‚ ‚ – ˜? sin ™ „<„™
ƒ ƒ
na dva različita načina, naći vrednost Fresnelovog integrala:
I∞
(2.34)
(3) Pokazati da, za sve < e 0,
(2.35)
i izvesti iz toga formulu:
I∞
‚
ƒ
‚
ƒ
1 sin< „< 0 .
2 2
– ¬?
sin Q
„Q P arctan <,
Q
2
I∞
‚
(2.36)
ƒ
sin Q
„Q .
Q
2
Lepotu ove formule čini to što je možda nalik na Ojlerovu. Što i jeste!
I∞ => ` ¬
„Q
¬`
(4) Pokazati da je ¥ƒ
8
.
8
za x < 1, < 1; to je < 0 i teži P za x
Volisova Formula i još neke
14
2.9. Formule Mejčinovog tipa
Videli smo da je krajem XVII veka, u potrazi za još decimala broja π, Gregorijev red (2.18), konačno dokazan
od Ojlera, zamenio Arhimedov metod dupliranja; na primer, dozvoljavajući Šarpu da dobije 71. decimalu 1699.
godine. Uistinu, bio je to inverzni tangensni metod, dat još efikasnije idejom Džona Mejčina (1680-1752), koji
je pošteno odolevao sve do nedavno (milion decimalnih mesta 1974.), pre nego što je potisnut na treće mesto
algoritmom tipa aritmetičko-geometrijske sredine (videti Poglavlje 5).
8
Džon Mejčinova ideja se zasnivala na D arctan 1 kao zbiru inverznih tangensa manjih argumenata, za
koje redovi (2.18) i (2.21) konvergiraju dovoljno brzo. Tako je on, 1706. Iskoristio formulu
1
1
4R¡%QR# P R¡%QR#
5
4
239
(2.37)
Da bi dobio 100 decimala za π.
´µ .
Primenjujući formulu tan 2$ ´µ` . dva puta, nalazi se
5
1
120
1
a onda tan p4 arctan q ,
tan p2 arctan q 12
5
119
5
8
što je nešto veće od 1 tan D . Preciznije
120
P1
1 1
tan p4 arctan P q 119
,
120
5 4
1 119 239
Što dokazuje (2.37).
se onda računa kao razlika dva Gregorijeva reda
16
1 4
1 4
1 4
1 P ·
·
P
·
5
3 100 5 100 7 100
1
4
··· P1
·
···
2# 1 100
4
1
1
1
1
P
1 P ·
·
239
3 57 · 121 5 57 · 121
1
1
··· P1
·
··· ,
2# 1 57 · 121
gde je prethodni dobro podešen na decimalnu notaciju i kasnije konvergira vrlo brzo. Ovo su naizmenični
′
redovi. Ako jedan zadržava zbir prvih n članova prethodnog a prvih m članova kasnijeg, čine se greške ϵn i ž
manje nego apsolutna vrednost prvog zanemarenog člana, to je,
ϵ |

16 1
1
4
1
1
′
p q ; ž
|
p
q .
5 2n 1 25
239 2* 1 57 · 121
Procenjena greška je podeljena sa najmanje 25 na svakom koraku. Pošto je logƒ 25 » 1.39, asimptotski, to je
v
neophodno sabrati oko .¼ članova da bi imali k tačnih decimala. Uzmimo, na primer, n=5, m=3; možemo
očekivati da imamo 8 tačnih decimala; u stvari, nalazimo π » 3.1415926526 … dok je π=3.1415926535...
Ojler je koristio formulu
1
3
(2.38)
5R¡%QR# 2R¡%QR#
4
7
79
Volisova Formula i još neke
15
i njegov red (2.21) da bi izračunao 20 decimala broja π za jedan sat, ručno, koristeći formulu
7
2 2
2 · 4 2
·
‰
ˆ1 ·
4 10
3 100 3 · 5 100
7 · 584
2 144 2 · 4 144
·
·
‰,
ˆ1
10¢
3 10¢ 3 · 5 10ƒ
koja je vrlo konvergentna i vrlo pogodna za decimalna računanja, zahvaljujući činjenici da za < ½ , imamo
?`
I? `
ƒƒ
i za < ½¼
imamo
?`
I? `
`
.
ƒ¾
Vežba 2.8. (1) Pokazati da važi, ako su n i p realni brojevi > 0,
(2.39)
(2) Izvesti formule
R¡%QR#
1
1
W
R¡%QR#
R¡%QR# #
#W
# #W 1
1
1
R¡%QR# R¡%QR# ,
4
2
3
1
1
1
(2.41)
R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR# ,
2
3
7
1
1
(2.42)
2R¡%QR# R¡%QR# ,
3
7
4
1
1
2
(2.43)
R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR#
,
3
7
11
2
1
3
(2.44)
R¡%QR#
R¡%QR# R¡%QR#
,
7
11
79
i koristeći poslednje tri dokazati Ojlerovu formulu (2.38).1
Moguće je izvoditi ovaj tip formule do beskonačnosti. Ako, u stvari, dodamo inverzni tangens
(2.40)
$ arctan < arctan < ,
8
gde su < , … , < racionalni brojevi, dok je njihov zbir blizu D , onda θ je racionalni broj koji je dobijen iz
´µ 9 I´µ 9`
.
2 ´µ 9`
< , … , < ponavljanjem primene formule tan6 6 ´µ29
1 P tan $
tan š P $› <
4
1 P tan $
je racionalni broj, koji konačno daje formulu
Onda
I
arctan < arctan < arctan <
4
I .
Ova procedura nam daje mogućnost da ispišemo stranice formula Mejčinovog tipa ovde. Ograničićemo se na
navođenje još samo nekoliko zbog istorijskog, anegdotskog ili pedagoškog interesa.
1
Formula (2.40) je Ojlerova (1738) a formula (2.42) Hatonova.
Volisova Formula i još neke
16
Ojler je 1764. godine objavio relaciju
(2.45)
1
1
1
4R¡%QR# R¡%QR#
R¡%QR#
,
4
70
99
5
koju je lako moguće izvesti iz Mejčinove formule (2.37) i iz (2.30) sa n = 70, p =29. V. Raderford je koristio
(2.45) da bi izračunao π na više od 200 decimala. 1884. izvanredan „račundžija“ Džon Daz je primenom
mentalnog izračunavanja došao do 205 decimala koristeći formulu
(2.46)
1
1
1
R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR# ,
4
2
5
8
koja je izvedena iz (2.40) i (2.39) sa n = 3, p = 2.
Formula koju je predložio S. L. Loni 1893. godine
(2.47)
1
1
1
3R¡%QR# R¡%QR#
R¡%QR#
4
4
20
1985
koristio je D. F. Ferguson da bi dobio 528 decimala 1944-45. godine.
Konačno, 1974. Ž. Giju i M. Bujer su došli do milion decimala Gausovom formulom:
(2.48)
1
1
1
12R¡%QR#
8R¡%QR#
P 5R¡%QR#
,
4
18
57
239
i, za proveru, Stermerovu formulu:
1
1
1
6R¡%QR# 2R¡%QR#
R¡%QR#
,
4
57
239
8
Vežba 2.9. Potvrditi (2.48) i (2.49).
(2.49)
Vežba 2.10. Gausova formula (2.48) primetno koristi R¡%QR# E i R¡%QR# ¢½. Razviti ova dva inverzna tangensa
u Ojlerov red i izvesti zanimljivu činjenicu da
R¡%QR#
R¡%QR#
1
18 ,
18
1
57+ + + ,
57
sa + 10 za sve n, što izuzetno redukuje rad na sabiranju drugog reda kada se nađe zbir prvog reda.
Vežba 2.11. Neka je n ceo broj e 1.
(1) Dati prostu karakterizaciju svih celobrojnih parova „ e 1 i „ e 1 tako da je
(2)
1
1
1
(2.50)
R¡%QR# R¡%QR#
R¡%QR#
.
#
# „
# „
(3) Dati rešenja za n = 1, n = 2, n = 7, n = 18.
(4) Pokazati da, za fiksno n, (2.50) uvek ima bar jedno rešenje. Pod kojim uslovom za n ima samo jedno?
Volisova Formula i još neke
17
2.10. U jednačini
1
1
1
R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR# ,
4
#
#
#m
(2.51)
gde su W e 1 i 1 | # | # | | #m celi brojevi.
2.10.1. Za svako p moguće je postepeno konstruisati bar jedno rešenje reiteracijom formule (2.39) počevši od
arctan 1:
1
1
1
R¡%QR# R¡%QR#
R¡%QR# ,
#
#1
# #1
što daje
1
1
1
1
1
R¡%QR#1 R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR#
4
2
3
2
4
13
1
1
1
1
R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR#
R¡%QR#
2
4
14
183
1
1
1
1
1
R¡%QR#
R¡%QR#
R¡%QR# R¡%QR# R¡%QR#
4
14
184
33673
2
8
D
"Q„.
2.10.2. Za fiksno W e 1, (2.51) ima samo konačno mnogo rešenje. Neka je 1 | # | # | | #m rešenje za
(2.51). Desna strana (2.51) je | W arctan
2
8
8 , što zato mora biti e D . Stoga # | štan Dm› , što ostavlja samo
konačan broj mogućnosti za # . Za svako od ovih # , na isti način moramo imati
1
P
arctan
#
4
# | ¿tan ¿
ÀÀ ,
WP1
i tako dalje. Rešenja su celobrojni sistemi: 1 | # | # | | #m koji zadovoljavaju W P 1 nejednačina
(2.52)
i tako da je
(2.53)
# | ptan
#m
q
4W
1 P
arctan
4
#
, # | Átan ¿
ÀÂ ; … ;
WP1
1
1
P arctan # P P arctan p# P 2q
4
m
| Átan ¿
ÀÂ
2
1
1
#m Ãtan ˆ P arctan P P arctan ˆ
‰‰Ä
4
#
#m P 2
ceo broj e #m . Nejednačine (2.52) kazuju da ima najviše konačno mnogo takvih.
Volisova Formula i još neke
18
2.10.3. Ponavljanjem primene adicione formule
tan$ 6 tan $ tan 6
,
1 P tan $ tan 6
postaje jasno da je tangens desne strane (2.51) simetrična racionalna funkcija promenljivih # , # , . . . #m , što
zato mora biti moguće izraziti racionalno korišćenjem elementarnih simetričnih funkcija
m
m
Ń Ń 1; ŠŠ# #m ;
(2.54)
m
Å Å c
Ç>ÈÆÇ
m
#> #Æ ; … ; Å Å # # … #m ,
m
gde će slovo p, koje koristimo u eksponentu u Åv Åv , biti podsetnik, ukoliko je potrebno, da postoji p
promenljivih.
Na primer, za p = 2,
1
1
# #
Å
tan parctan arctan q ,
#
#
# # P 1 Å P 1
za p=3,
1
# #
1
1
1
# # P 1 #
tan parctan arctan arctan q # # 1
#
#
#
1 P # # P 1 #
i, za p=4,
# #
# #D
D
1
Å P Å
# # P 1 # #D P 1
tan ¸c arctan ¹ .
# # # #
#v
1 P # # P 1 # # P D1 ÅD Å P Ń
vZ
D
Opšta formula postaje sada očigledna:
m
m
m
m
Åm Åm Åm¢ Ë 1
tan Éc arctan Ê m
.
m
m
#v
Åm Åm ÅmD Ë (2.55)
vZ
m
Da bi dokazali (2.55) indukcijom, pretpostavimo da je tačno za (p - 1) i neka je $ ∑vZ arctan
leva strana (2.55) jednaka
tan ˆ$ P arctan
m
#m tan $ 1
1
‰
#m
#m P tan $
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
#m Åm P #m Åm #m Åm¢ Ë P #m Åm #m ÅmD P #m ÅmF Ë što je jednako desnoj strani (2.55), svojstvom relacije
(2.56)
m
#m Åm P #m ÅmD #m ÅmF Ë #m Åm P #m Åm #m Åm¢ Ë m
m
m
Åv # Åv Åv
} 1, 2, … , W P 1.
z
. Onda je
,
Ove relacije su evidentne ako, u definiciji u (2.54), odvajanjem članova koji sadrže promenljivu np od ostalih.
2.10.4. Istom notacijom kao u sekciji 2.10.3, imamo
1 tan $
#m Ìtan š P $›Í ,
4
1 P tan $
Volisova Formula i još neke
što je
#m (2.57)
19
m
m
m
m
m
Åm Åm P Åm P ÅmD Åm¢ m
m
m
m
m
Åm P Åm P Åm ÅmD Åm¢ P ,
Tako, imamo izložen algoritam za nalaženje rešenja jednačine (2.51) za fiksno p > 1. Testiramo sve sisteme
celih brojeva
2 | # | # | | #m
koji zadovoljavaju nejednačine (2.52). Za svaku takvu, računamo njenu elementarnu simetričnu funkciju
m m
m
Å , Å , … , Åm , onda računamo racionalni broj np koristeći formulu (2.57). Ako je np ceo broj ≥ #m,
onda # , # , . . . , #m , #m je rešenje (2.51); one su sve dobijene na ovaj način.
2.10.5. Za W 2 znamo iz vežbe 2.11 da postoji jedno rešenje # 2, # 3 (Ojlerova formula (2.40)).
Otkrijmo ponovo ovu činjenicu koristeći algoritam iz Sekcije 2.20.4. Moramo imati
8 2 | # | štan E ›
» 2.41. Stoga, # 2; onda
#m ŠŃ # 1
3,
ŠP Ń # P 1
je ceo broj. Onda je # 2, # 3 rešenje i jedino je.
Vežba 2.12. Pokazati da, za W 3, postoji tri i samo tri rešenja, i to su:
# 2 2 3
# 4 5 3
# 13 8 7
Za W 4, deluje teško izbeći korišćenje računara ili bar dobrog programabilnog kalkulatora. Žan-Klod Herc
[48] je odredio rešenja; ima ih petnaest, i to su:
2
2 2
#
2
2
2
2 2 2 3 3
#
4
4 4 4
5 5 6
6 7 3
3
# 14 15 18 23 9 13 7
8
8
8
9
#D 183 98 47 30 73 21 68 31 18 57 32
Za p = 5, Ž. K. Herc je pronašao 163 rešenja ....
3 3 3
3 4 4
7
12 5
17 47 13
3
5
7
8
Vežba 2.13. (1) Postoji li petorka 4, 4, 5, 20, #¢ sa #¢ e 20, koja je rešenje (2.51) za W 5?
(2) Isto pitanje za 4, 4, 4, 20, #¢ .
Pokažimo još jedan problem istog tipa ali bez davanja dokaza.
Pretpostavimo da želimo da nađemo sistem celih brojeva R 0, ­ 0 i m, n različitih od nule, takvih da
1
1
arctan # arctan .
4
R
­
C. Stremer [92] je radio na tom problemu redukovanjem, koristeći argumente u prstenu Gausovih celih brojeva,
do rešenja Diofantovih jednačina
1 < ™ i 1 < 2™
Postoji samo četiri rešenja:
Volisova Formula i još neke
20
2.11. Kontinualni razlomci za π
R
­
*
#
2
3
1
1
2 3 5
7 7 239
2 2 4
P1 1 P1
2.11.1. Volis je komentarisao svoju formulu za beskonačni proizvod sa Lordom Braunkerom (1620-1684),
prvim predsednikom Kraljevskog Društva, koji je transformisao u kontinualni razlomak
4
1 9 25 49
1 ,
2 2
2
2
(2.58)
što znači da, ako izračunamo razlomke
Wƒ
W
1 3 W
1
15 W
1
105
1, 1 , 1 , 1
9
9
΃
Î
2 2 Î
76
1 2 13 Î
2
25
2 2
i, za # e 2,
je lim
W
1
Î
2
m/
Ð
/
D
8.
2
1
2
9
25
Ï
2# P 3
2# P 1
2
2
Iako su kontinualni razlomci odigrali veliku ulogu u istoriji matematike, skoro su potpuno nestali iz učenja, čak
i na univerzitetima, uprkos činjenici da su od izuzetne važnosti za razumevanje aproksimacija realnih brojeva
racionalnim. Ovde ćemo zato predstaviti opšte napomene tog koncepta, koji možda nisu dovoljno dobro poznati
nekim čitaocima.
2.11.2. Neka su R , R , … , R , … i ­ƒ , ­ , ­ , … , ­ , … dva niza kompleksnih brojeva. Izraz označen sa
(2.59)
m
­ƒ R R
R
I
­I ­I
­ I
je kontinualni razlomak. Za brojeve Ð/ , definisane sa
/
Wƒ
­ƒ W
R ­ƒ ­ R
­ƒ , ­ƒ ,
΃
1 Î
­
­
i, za # e 2,
W
R
­ƒ ­ ­ R ­ ­ƒ R
­ƒ R Î
­ ­ R
­ ­
Volisova Formula i još neke
21
W
­ƒ Î
­ (2.60)
R
­ Ï
R
­
,
R
R
­
se kaže da su konvergencija kontinualnog razlomka (2.59). Pretpostavićemo da su Î svi ne-nula (inače ćemo
reći da razlomak nema smisla).
m
Ako niz / ima konačnu granicu x kad n teži beskonačnosti, kažemo da broj x dozvoljava proširenje
Ð/
kontinualnog razlomka (2.59) (ili da (2.59) konvergira ka x), i zapisujemo:
< ­ƒ R R
R
R
­ƒ I
.
­I ­I
­I
­ I
Vežba 2.14. Pokazati da su konvergencije dobijene iz rekurzivnih formula
W
(2.61)
Î
za # e 1 , sa početnim uslovima
I
I
­
­
I W
I Î
R
R
I W I Î ,
,
Wƒ ­ƒ, ΃ 1; W ­ƒ ­ R , Î ­ ,
(2.62)
2.11.3. Ovde imamo tri primedbe koje nam često omogućavaju pojednostavljenje prikaza razvoja kontinualnograzlomka.
Napomena 1. Neka je ° i kontinualni razlomak
Ñ
proizvoljan niz ne-nula kompleksnih brojeva. Onda kontinualni razlomak (2.59)
­ƒ (2.63)
° R ° ° R
° ° R
I
° ­I ° ­I
° ­ I
imaju iste konvergencije; stoga, oni su simultano konvergentni ili divergentni i, za slučaj konvergencije,
konvergiraju ka istom x.
U stvari, lako je videti da se indukcijom, koristeći (2.61), a onda zamenom R sa ° R , ­ sa ° ­i, za # e 2, R
sa ° ° R i ­ sa ° ­ , u (2.59) ima efekat zamene W sa ° ° … ° W i Î sa ° ° … ° Î , što ne menja
m
količnik Ð/ .
/
Napomena 2. Pretpostavimo da je
< ­ƒ i da < , 0; onda
R R
R
I
.
­I ­I
­ I
1
1 R R
R
0
I
.
<
­ƒI ­I ­I
­ I
Ò
m/
.
Ò
Ð/
Ò
m/
ÐÒ
/
U stvari, pokažimo konvergenciju drugog kontinualnog razlomka ka
Vidimo, indukcijom, koristeći (2.61),
da za sve # e 1, imamo WÓ Î
lim
.
U stvari Î Ó W
;
tako, lim
m/12
Ð
/12
?. U stvari
Volisova Formula i još neke
i, za # e 3,
22
WÓ 1 ΃ , WÓ ­ Î , ÎÓ ­ƒ Wƒ , ÎÓ ­ƒ ­ R W ,
WÓ ­
Ó
W na osnovu hipoteze indukije WÓ Î
Ó
W R
,
WÓ Î
­
.
Î R
Î Slično Î Ó W
Napomena 3. Pretpostavimo da za svako fiksno celobrojno } e 1,
< ­ƒ i
™ ­ƒ Onda < ™. Stvarno, ako je
RvI RvI
RvI
I
.
­vII ­vII
­vI I
­ ­ <v, ­v R
Ï
­vI sledi da je
™ ­ƒ odakle < ™ pošto je lim
<v,
,
Rv RvI
RvI
R R
I
I
.
­I ­I
­vI ­vII
­vI I
<v ­v Neka je
.
Î
­ ­ <v .
R
R
Ï
R
Ï
R
,
Rv
R
­v v
­v
RvI
­vI
,
,
Rv
R
­v < v
v,
2.11.4. Posle ovih uopštavanja vratimo se na Braunkerov kontinualnom razlomku, koji ćemo u stvari izvesti iz
Lajbnic-Gregorijeve formule (2.19), koristeći Ojlerovu generalizaciju koja pretvara proširenje bilo kog reda u
kontinualni razlomak.
Neka je
(2.64)
ƒ red kompleksnih brojeva sa , 0 za # e 0. Neka je ! ∑vZƒ v . Formirati kontinualni razlomak (2.59) sa
R , R P
,…,R P
, …,
­ƒ ƒ , ­ 1, ­ 1 ,…,­ 1 ,…
Volisova Formula i još neke
23
onda za sve # e 0, imamo Î 1 i W ! . Onda (2.59) i (2.64) konvergiraju ili divergiraju simultano i, u
slučaju konvergencije, ka istom broju.
Dokaz. Sa ovim definijama R i ­ , vidimo da ΃ Î Î 1, odakle, za sve n, imamo Î 1, indukcijom,
pošto
I
I
Î I p1 qÎ P
Î prema (2.61). Slično Wƒ !ƒ , W ! , W ! i prema (2.61),
odakle
i
W
I
PW W
I
p1 I
W P W
I
I
qW P
W
I … W P Wƒ W I W I ! i indukcijom hipoteze W ! .
Na primer, počnimo sa Gregorijevim redom za |<| | 1,
Imamo
odakle je
R¡%QR# < < P
I
!
I
I ,
< <¢
< I
P1
.
3
5
2# 1
ƒ 0, <, P
R <, R ­ƒ 0, ­ 1, ­ <
, … , P1
3
< ,…,
2# 1
<
2# P 3 ,…,R < , …,
2# 1
3
3 P <
2# P 3 ,…, 1 P
< , …,
3
2# 1
Nađimo imenioce, na osnovu Napomene 1 sa ° 2# P 1 za # e 0. Dobijamo kontinualni razlomak
2# P 3 < <
<
9< R¡%QR# < …
…
1I 3 P < I 5 P 3< I I 2# P 1 P 2# P 1< I
i, u posebnom slučaju, za < 1,
1 1 9 25 49
(2.65)
…,
4 2I 2I 2I 2I 2I
što je (inverzna) Braunkerova formula.
Vežba 2.15. Pokazati da, za P1 o < | 1,
i odavde
log1 < 1 1·<
4·<
# <
…I
…
# 1 P #<I
1I 2 P <I 3 P 2<I
log2 1 1 4 9 16
…
1I 1I 1I 1I 1I
Volisova Formula i još neke
24
Vežba 2.16. (1) Pokazati da
(2)
(3)
–? 1 # P 1<
< 1·<
2·<
P
P
P
P .
1 2< 3<
#<
Primenom Napomena 2 i 3, izvesti koninualni razlomak za
– ? 2I
?Ÿ Ô
;
Ÿ Ô 2 3 4
#
I
.
2I 3I 4I
#I
onda, za < P1, izvesti formula
2.11.5. Takođe je moguće prevesti beskonačne proizvode u kontinualne razlomke.
Neka je
1 ƒ 1 1 … 1 …
(2.66)
beskonačni proizvod u kome su u kompleksni brojevi, svi različiti od -1 i od 0, osim možda ƒ . Uzmimo da je
Q ∏vZƒ1 v . Formirati kontinualni razlomak (2.59) sa
, … , R P1 I , …,
­ƒ 1 ƒ , ­ 1, ­ 1 P R , … , ­ 1 P R , … .
R 1 ƒ , R P1 Onda, za sve # e 0, imamo Î 1 i W Q .
Prema tome (2.59) konvergira ka nekom < , 0 ako i samo ako (2.66) konvergira ka x.
Dokaz. Wƒ ­ƒ 1 ƒ Qƒ i W ­ƒ ­ R 1 ƒ 1 Q ; ΃ 1 i Î ­ 1. Tako, za
# e 1,
Î I ­ I Î R I Î 1 P R I Î R I Î 1 P R I R I 1
i indukcijom hipoteze Î Î
m/
1 .
m
/12
Imamo
otuda W
W I
­
W
I
Q
I .
I
1. Sa druge strane, indukcijom hipoteze W
R
I
W 1PR
W
1 I
I
R
P
I
I
1
1PR
1
1
I ,
Q
I
P
i W Q , otuda
I
Primer 1. Ako počnemo od Ojlerovog beskonačnog proizvoda:
(2.67)
sin<
<
[ ˆ1 P ‰
<
*
?
Z
?
?
?
=1 P <1 < š1 P › š1 › š1 P › š1 › …
koji generalizacije Volisov, dobijamo za < . Daćemo dokaz za (2.67) u Poglavlju 3. Ovde imamo
Volisova Formula i još neke
odavde je
25
<
<
ƒ 0, P<, <, P , D , … , 2
2
?
R P<, R 1 P <, i za # e 1, R 1 P , R
?
I
­ƒ ­ 1, ­ <, i za # e 1, ­ , ­
odakle, izjednačavanjem imenilaca, dobijamo kontinualni razlomak:
<
<
P , , …,
#
#
?
š1 ›
I
,
I
I
,
sin<
< 1 P < 1 · 1 < 2 · 2 P < 2 · 2 <
1P
<
1I < I 1 P < I
<
1P< I
I
(2.68)
I
# · # P < # · # <
<
1P< I
I
za < , ponovo izjednačavanjem imenilaca, nalazimo
(2.69)
2
1 1·2 2·3 3·4
# · # <
1P
I
,
2I 1 I 1 I 1 I
1
I
što je ekvivalentno (Napomeni 2) sa:
(2.70)
Vežba 2.17. Pokazati da
1 1·2 2·3 3·4
# · # 1
1P
I
.
2
1I 1 I 1 I 1 I
1
I
1 2·3 1·2 4·5 3·4 6·7 5·6
1P
.
2
3 1 3 1 3 1 3 2.11.6. Regularni kontinualni razlomak. Ako, u kontinualnom razlomku (2.59), su svi jednaki 1, zbog
jednostavnosti pišemo
1 1
1
­ƒ , ­ , … , ­ , … Ž ­ƒ I
.
(2.71)
­I ­I
­ I
i
(2.72)
­ƒ , ­ , … , ­ , … Ž ­ƒ ­ 1
­ Ï
.
1
­
1
­
Kontunialni razlomak tipa (2.71) u kome su b racionalni celi brojevi e 0 za # e 0, sa mogućim izuzetkom
­ƒ 0, se kaže da je regularan.
Regularni kontinualni razlomcisu u tesnoj vezi sa prirodom brojeva koje predstavljaju i sa aproksimacijom
realnih brojeva racionalnim.
m
Neka je x realan broj. Nesvodljivi razlomak Ð sa Î 0 je najbolja racionalna aproksimacija za x ako, za svaki
mÒ
m
ceo broj Î Ó sa 0 o Î Ó | Î bilo koji nesvodljivi razlomak ÐÒ , Ð , imamo
Volisova Formula i još neke
m
Ð
26
W
WÓ
{< P { o ¤< P Ó ¤.
Î
Î
je najbolja racionalna aproksimacija u užem smislu, ako pod istim uslovima,
|Î< P W| o |Î Ó < P WÓ |.
Ovaj drugi uslov implicira prvi, ako je zadovoljeno
|Î Ó < P WÓ | |Î Ó < P WÓ |
W
WÓ
|
¤<
P
¤.
{< P { o
ÎÓ
Î
Î
ÎÓ
Ako je y realan broj, neka Int (y) predstavlja ceobrojni deo od y, onda je, najveći ceo broj | ™.
Teorema 1. (1) Bilo koji regularni kontinualni rezlomak (2.71) konvergira broju x koji je iracionalan.
(2) Bilo koji iracionalani broj je granica regularnog kontinualnog razlomka i samo jednog. B je određeno sa
x sledećim algoritmom:
1
1
­ƒ Int<, < ­ƒ ; ­ Int< , < ­ ;
<
<
(2.73)
1
… ; ­ Int< , < ­ ;…
< I
(3) Najbolje racionalne aproksimacije od x u strogom smislu su tačno konvergentne
kontinualnog razlomka za x, sa izuzetkom
mª
Ъ
ako < P Int< e
.
m
Ð
regularnog
Pre nego što objasnimo dokaz, ispitajmo ‘konačni’ kontinualni razlomak (2.72) malo bliže.
Za cele brojeve ­v e 1, za 1 | } | #, ako primenimo operacije iz (2.72) dobijamo racionalni broj
W
.
Î
m
Konverzijom, bilo koji racionalni broj sa Î 0 može biti napisan u ovoj formi, gde je b izvedeno Euklidovim
Ð
algoritmom:
¡
(2.74)
­ƒ , ­ , … , ­ Ž W ­ƒ Î ¡ ; 0 o ¡ o Î
Î ­ ¡ ¡ ; 0 o ¡ o ¡
¡ ­ ¡ ¡ ; 0 o ¡ o ¡
­ ¡ ¡ ; 0 o ¡ o ¡
¡ ­ ¡
pošto je niz pozitivnih celih brojeva ¡v striktno opadajući i zbog toga mora stati. Primetimo da je ¡
m
NZD celih brojeva p i q. Primetimo takođe da algoritam ( 2.74) za < Ð je početak algorima (2.73) sa
što zabranjuje razmatranje
?/G2
Î
¡
¡ < , < , … ,
< ,<
¡
¡
¡
I
0,
i dalji nastavak sa (2.73). Zato se, u stavu Teoreme 1, ograničavamo na
iracionalne brojeve, koji su mnogo interesantniji.
Volisova Formula i još neke
27
Dokaz Teoreme 1. (1) i (2). Neka je ­ƒ , ­ , … , ­ , … Ž regularni kontinualni razlomak. Konvergencija
data rekurentnom relacijom (2.61) koja ovde postaje:
Wƒ ­ƒ , W ­ƒ ­ ¡ , W ­ W
(2.75)
΃ 1, Î ­ , Î ­ Î
Imamo
W Î
PW
Î
… P1
zato, za sve # e 1,
PW
W
΃
Î
W
Î je
za # e 2,
za # e 2,
PW
P Wƒ Î ,
m/
Ð/
Î (2.76)
W Î P W Î P1 ,
koji pokazuje da su razlomci nesvodljivi.
Sledi iz (2.76) da je
W
W P1 (2.77)
P
.
Î
Î Î Î m
m
Iz (2.75) vidimo da Î e # za svako n tako da red ∑Z šÐ/ P Ð/12 › konvergira (apsolutno). Prema tome niz
m
šÐ/
/
/
› ima granicu x:
/12
­ƒ , ­ , … , ­ , … Ž <.
Slično regularni kontinualni razlomak ­ , ­ I , … , ­ Iv , … Ž, za sve fiksne # e 1, ima granicu kada } ∞, i
za dato
< ­ , ­ I , … , ­ Iv , … Ž,
iz Napomene 3 u Sekciji 2.11.3, vidimo da za sve # e 0,
(2.78)
Sada je
< lim ­ , ­
v
< ­ƒ , ­ , … , ­ , <
I , … , ­ Iv Ž
I Ž.
1
v ­ I , … , ­
­ lim
Iv Ž
­ U posebnom slučaju, < ­ , imamo 0 < ? o 1 za # e 1. Ukratko smo videli da
/
1
1
1
(2.79)
<ƒ ­ƒ , <ƒ ­ , < ­ ,…
<
<
< I
za 0 < ? o 1, odakle je
(2.80)
/
­ƒ Int<, ­ Int< , . . . , ­ Int< , …
<
1
I
.
U (2.79) i (2.80) prepoznajemo algoritam (2.73). To dokazuje jednistvenost (2) i činjenicu da je b izvedeno iz
zbira x algoritmom (2.73). Pošto ovaj algoritam “nikad ne staje” zato što < I postaje nula, broj x ne može biti
racionalan.
Obratno, neka je x iracionalan broj. Formirajmo kontinualni razlomak (2.71) od x, u kome su ­ dati
algoritmom (2.73), i < dobijeni računanjem. Algoritam (2.73) znači da možemo zapisati za sve # e 1
Volisova Formula i još neke
28
< ­ƒ , ­ , … , ­ , <
(2.81)
Pošto je desna strana dobijana zamenom ­
zamene W
, W
,Î
, Î
I
sa <
I Ž
{< onda
I
­
I ,
W
W Î P W Î
{{
Î
Î < I Î Î
1
Î < I Î Î
{< (2.82)
I W
W
I Î Î
m
,
u kalkulaciji Ð/G2 bez zamene ­ƒ , ­ , … , ­ , stoga je bez
I
. Sledeći (2.81) i pošto je <
<
<
o
/G2
{
1
Î ­ I Î Î
W
1
1
|
{o
Î
Î Î ## 1
,
teži 0 kad n teži beskonačnosti. Ostaje da dokažemo (3) .
m
m
(3) Predpostavimo da imamo razlomak Ð , Ð/ sa 0 o Î | Î i # , 0. Pokazaćemo da
|Î< W| e |Î
(2.83)
Prvo, preradimo li (2.81) u formi
/
<
W
(2.84)
gde su h i k rešenja jednačina
h i k su celi brojevi, pošto W Î
I
<
|Î < W |
P W ,
Î <PW
zaključujemo da kad n raste za jedan, razlika Î < P W menja znak i striktno opada po apsolutnoj vrednosti, što
već dokazuje drugu nejednčinu (2.83).
Sa druge strane, imamo
1o<
Î
|
Î< P W MÎ < P W }Î
W MW }W
PW
Î
; Î
<
PW
MÎ }Î
,
Ö1. Broj k je ne-nula, inače bi
m
Ð
bilo jednako
nula, ili suprotnog znaka od k, inače q bi bilo > Î . Prema tome MÎ < P W i }Î
znaka i (2.84) se može zapisati kao:
pa pošto je k ne-nula ceo broj
|Î< P W| |MÎ < P W | |}Î
<
|Î< P W| e |Î
|,
<
PW
PW
<
m/
.
Ð/
PW
Šta više h je
su istog
|
što kompletira dokaz (2.83). Evidentno, kroz njegove ekstremne članove, (2.83) znači da su
m/
Ð/
najbolje
racionalne aproksimacije za x u strogom smislu. Pokažimo da ne postoje druge.
m
Pretpostavimo Ð , sa Î 0, da je nedeljivi razlomak koji nije konvergencija po x. Neka je n ceo broj ≥1
takav da je Î
|Î< P W| e |Î
| Î o Î . Pošto
<
PW
|.
m
Ð
nije konvegentno,
m
Ð
m
, Ð/ . Šta više, Î o Î , tako da je prema(2.83),
/
Volisova Formula i još neke
Pošto Î
m
Ð
|Î i
m/12
Ð/12
29
m
, Ð , razlomak
m/12
,
Ð/12
m
koji aproksimira x u strogom smislu najmanje dobro kao Ð ,
sprečava da bude najbolja racionalana aproksimacija za x u strogom smislu.
Napomena 4. Prema (2.77)
nazvaćemo razlomke
m`/
Ð`/
W
Î
(2.85)
je rastući i konvergira sa x i
W
Î
,
2W
2Î
W
Î
­ P 1W
­ P 1Î
“međurazlomci”.
m
m
Oni su svi nedeljivi i nalaze se između Ð/1` i Ð/ .
/1`
,…
m`/G2
Ð`/G2
}W
}Î
W
Î
je opadajući i konvergira ka x. Za sve # e 1,
}W
}Î
,…
/
Može se pokazati da je najbolja racionalana aproksimacija za x (na uobičajeni način), drugačije nego
m
konvergencije Ð/ , koje kao što smo videli su najbolje u strogom smislu, su međurazlomci (2.85) sa 2} ­ , a
/
tako i 2} ­ , omogućava da u kasnijem slučaju imamo
­ , ­
, … , ­ Ž
­ , ­
I , … , ­ Iv , … Ž.
Primeri. Proučimo neke primere. Najjednostavniji regulrni kontinualni razlomak je
Imamo < 1 i 1 ? <, odakle je < su ® Fibonačijevi brojevi
< 1, 1, 1, … , 1, … Ž.
I√¢
,
„zlatni broj“. Sledeći (2.75), imamo W ®
®ƒ 0, ® 1, ® 1, ® 2, … , ® ®
®
I , Î
za # e 2.
Pošto je ­ 1, nema međurazlomaka. Najbolje racionalane aproksimacije su konvergencije
Računanjem dobijamo, na primer,
decimalnih mesta je tačno.
Još opštije, ako je b ceo broj e 1,
(2.86)
m2¾
Ð2¾
×
×2Ø 2Ù
¢¼½
¼E½
1.61803445 …, dok
­ √­ 4
­, ­, … , ­, … Ž,
2
I√¢
m
Konvergenti su ovde Ð/ , gde
/
Wƒ 1, W 3; W 2W
΃ 1, Î 3; Î 2Î
W
Î
za # e 2,
za
# e 2.
m/ ×/G`
=
.
Ð/ ×/G2
I ,
gde
1.61803398 …; pet
zato što je granica x desne strane pozitivni koren jednačine < ­ ?, to je < P ­< P 1 0.
U posebnom slučaju za ­ 2 i oduzimanjem 1, dobijamo:
√2 1, 2, 2, 2, … , 2, … Ž.
®
Volisova Formula i još neke
m2`
Ð2`
30
D½·
·DF 1.414213562 …, gde je ovde prvih 9 decimala koincidentno sa onima iz √2. Između
postoji jedan i samo jedan međurazlomak, nazvan
m/12 Im/1`
,
Ð/12 IÐ/1`
m/1`
Ð/1`
i
m/
Ð/
koji je štaviše najbolja racionalana aproksimacija
poluvremena, za ovde } 1, odakle 2} ­ 2 i dodatni uslov
je jedino zadovoljen za n neparno.
2, 2, … , 2Ž 2, 2, … , 2, … Ž
Vežba 2.18. Pokaziti da je
√3 1, 1, 2, 1, 2, … , 1, 2, … Ž,
√5 2, 4, 4, 4, … , 4, … Ž,
√7 2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, … , 1, 1, 1, 4, … Ž.
U ovim primerima se pojavljuje periodičnost ­ . U stvari, Lagranž dokazuje sledeću teoremu:
Neka je x iracionalan broj. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:
i) x je algebarski broj stepena dva, tako da je x koren jednačine drugog reda sa celobrojnim
koefecijentima:
R< ­< % 0 !R R , 0.
ii) Regularno proširenje kontinualnog razlomka od x je periodično, koji je, tipa
­ƒ , ­ , … , ­v , ­v , ­vI , … , ­vIÚ , ­v , ­vI , … , ­vIÚ , … Ž,
gde su } e 0 i ) e 1 dva cela broja. Drugim rečima, posle „singularnog“ dela ­ƒ , ­ , … , ­v ,
„periodični“ deo ­v , ­vI , … , ­vIÚ se ponavlja beskonačno.
Vežba 2.19. Dokazati da ii) implicira i). Možemo početi sa slučajem u kome je } 0, odnosno, u kome je
kontinualni razlomak „čisto“ periodičan, bez singularnog dela.
Retko ko zna kako da izrazi ­ direktno kao funkciju od n. Na primer, primenom algoritma (2.73) na
decimalno proširenje
2⁄ 1.2599210498948731647672106 …,
nalazimo
2⁄ 1, 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, … Ž
ali ne vidimo kako bi bilo moguće reći odmah koja bi bila vrednost od ­ƒƒƒ.
Istom misterijom je obuhvaćen broj π. Pošto znamo veliki broj decimalnih mesta broja π, Euklidov
algoritam (2.73) nam dozvoljava da idemo dalje u davanju eksplicitne numeričke reprezentacije od ­ .
Zadržimo se ovde onim što je sadržano u jednom redu:
3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, . . . Ž.
Prve konvergenje broja π su
#
W
Î
0 1
2
3
4
5
6
7
3 22 333 355 103993 104348 208341 312689
.
1 7 106 113 33102
33215
66317
99532
Od međurazlomaka, za razliku od konvegentnih, oni koji su najbolja aproksimacija za π su
Volisova Formula i još neke
•
•
•
vI
,
v
31
sa } 4, 5, 6, odakle
vI
,
½vI
F ¼
, , ;
D ¢ F
sa 8 | } | 14, odakle
¢¢vI
vIƒF
½¼ ƒ D¢ F½ E¼ ,
,
,
,
,
, ;
¢½ FD ½ ½E E¢ ¼ ¼¼
¢F ¢¢E
, sa 146 | } | 291, odakle FFƒD , F½½, i još nekih 144 drugih, itd.
Čitalac će primetiti da slučaj } 146 ¼
Û·
zahteva proveru
­D , ­ , ­ , ­ Ž ­D , ­¢ , … , ­ , … Ž,
što je tačno, zato što
292, 1, 15, 7Ž 292 106
2
292 292, 1, 1, 1Ž ­D , ­¢ , … , ­ , … Ž.
113
3
Kad se napravi greška zamenom broja π njegovim prvim konvergentima imamo
Razlomak
¢¢
P
22
333
355
» P0.001; P
» P0.00008; P
» P0.0000002667.
106
113
7
je vrlo dobra aproksimacija za π, u smislu njegove jednostavnosti, pošto da bi našli neki bolji
¢F
moramo poći od imenioca 113 do imenioca 16604 i tek tada poboljšanje P FFƒD » 0.0000002662 je za
sebe beznačajno.
¢¢
Ovaj razlomak , koji je Adrijan Metjus 1585. ponovo otkrio, je već zapisao 480. Kinez Cu-Čung.
Konačno, primetimo da je proširenje broja e kao regularni kontinualni razlomak poznato eksplicitno (videti
na primer O. Peron 74Ž):
– 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . . , 1, 1, 2#, . . . Ž
Na žalost, ovo nije slučaj za broj π
2.12. Formula Bejlija, Borvajna i Plaufa
1997. sledeća formula D. H. Bejlija, P. B. Borvajn i S. Plaufa je objavljena u članku :
(2.87)
c
Zƒ
1
4
2
1
1
p
P
P
P
q
16 8# 1 8# 4 8# 5 8# 6
Ova vrlo jednostavna formula je mogla biti otkrivena u Ojlerovo vreme, da je neko imao problema. Miotivacija
za naša tri matematičara je bilo pristustvo u opštem članu, kao faktor aritmetički vrlo jednostavne funkcije od n.
Oni su bili u mogućnosti da razviju od ovoga algoritam (označićemo ga sa BBP) za izračunavanje D. Decimale
razvoja π individualno za osnovu 16 (i konsekvetno takođe za osnovu 2), i to čak za vrlo veliko d, bez potrebe
za poznavanjem ili računanjem decimala koje predhode d. Na primer, 10 -ta decimala od π za osnovu 2 je 1,
štaviše nastavljeno sa 000011111110111... Tako, taj metod omogućava fokusiranje pažnje na neki deo razvoja
broja π, gledajući na njega takoreći „pod uveličavajućim staklom“.
Primetimo da u sadašnjem vremenu nema poznate formule analnogne (2.87) sa ƒ/ umesto F/, što znači da
nemamo BBP algoritam za izolovano računanje d-tog decimalnog mesta broja π. Sa druge strane formula
(2.88)
10
1 1
log
c
9
# 10
Z
Volisova Formula i još neke
32
?/
koja je dobijena sa < u razvoju reda Plog1 P < ∑Z , je dobijena ad hoc da bi decimalni BBP
ƒ
algoritam mogao da se primeni na nju. Šta više, ovo je ono što su naša tri matematičara uradila: oni su
ƒ
izračunali, na primer, da je 10ƒ -ta decimala od log broj 8, iza koga sledi 2528693381274...
¼
U nastavku ćem prvo dat dokaz formule (2.87); to je u stvari elementarni i jedino primenljive metode već
razvijene u ovom poglavlju (redovi, dekompozicija racionalanih razlomaka u proste elemente). Onda ćemo
pedložiti vežbu za čitaoce da dokažu analognu formulu. Konačn, daćemo brojna objašnjenja vezana za BBP
ƒ
algoritam, ograničavajući se iz pedagoških razloga na decimalni primer od log ¼ formule (2.88), radije nego na
heksadecimalni primer formule (2.87) za broj π.
Dokaz formule (2.87). Zbir redova na desnoj strani (2.87) je:
œ 4œ P 2œD Pœ¢ P œF ,
gde, za k jedan od celih brojeva 1,4,5,6 imamo
Zƒ
Zƒ
?Z⁄√
1
< E Iv
v
œv c
√2‘ c Ã
Ä
8# } ?Zƒ
16 8# }
v
⁄√
√2‘ c ‚
<
Zƒ ƒ
E Iv
v
⁄√
œ‚
ƒ
Sada, zaključujemo da
tako, za √2< Q,
⁄√
„< √2‘ ‚
⁄√
√2‘ ‚
Otuda je
dok
v
ƒ
ƒ
< v
„< .
1 P <E
<
v
c < E „<
Zƒ
8< ¢ 4√2< D 8< P 4√2
„<
<E P 1
8< ¢ 4√2< D 8< P 4√2 8< 1< √2< 1‘ p< P
√2
< E P 1 < 1< √2< 1‘< P √2< 1‘< P 1
⁄√
œ 8‚
ƒ
16 ‚
ƒ
Q P2 ‚
ƒ
1
q
1
√2
„<
< P √2< 1‘< P 1
<P
QP1
„Q
P 2Q 2Q P 2
2Q P 2
„Q
P2Q
„Q
4
‚
2
‚
„Q
Q P 2Q 2
ƒ 1 Q P 1
ƒ 2PQ
P2 logQ P 2Q 2 4 arctanQ P 1 2 log2 P Q Ž¬Z
¬Zƒ .
Volisova Formula i još neke
Vežba 2.20. Dokazati da je
33
c
Zƒ
2
2
1
P1
p
q,
4
4# 1 4# 2 4# 3
što je jednostavnija formula nego (2.87), ali ona koja konvergira manjom brzinom.
Završimo nekim napomenama matematičkih ideja koje čine BBP algoritam efikasnim i brzim, uzimajući u
obzir pedagoški (ali ne esencijalno) jednostavniji slučaj formule
10
1 1
< log
c
9
# 10
(2.89)
Z
radije nego slučaj broja π dat sa (2.87). Cilj je izračunati d-tu decimalu od x (i još nekoliko mesta posle nje).
Prvo ćemo napomnuti da, za ovu kalkulaciju, mi ćemo zameniti red (2.89) njegovom parcijalnom sumom SN,
gde je N dovoljno veliki ostatak JA ∑ZAI ƒ/ ima samo nula decimalnih ulaza sve do reda d+k, dovoljno
daleko iza d da (d+k+1)-ta decimala od SN nije 9 (program može da proveri ovo, ili startovanjem ponovo sa
većim N). Stoga, stvar je u nalaženju d-tog decimalnog broja u sumi konačnog broja članova forme
. Za to,
ƒ/
biće dovoljno, da za svaki član, znamo njegovu d-ti cifru plus još nekoliko mesta desno (da bi mogli da
uzmemo u obzir penos kod sabiranja); ova tehnika je opšte korišćena u mašinskom računanju. Ukratko, što se
matematike tiče, ključno je sledeće: za fiksno n i d naći brzi način računjanja d-tog decimalnog broja ad broja
. Sada, ovaj metod uključuje primenu aritmetike kongruencije modula n. Da vidimo ovo detaljno.
ƒ/
D-ti decimalni broj ad od
ƒ/
je takođe (d -1). decimalni broj od
,
ƒ/12
..., (d - m). decimalni broj od . Tako je ad prvi broj posle decimalne tačke od
Ý
(d-2). decimalni broj od
Ć1/12
,
ƒ/1`
i, konačno, ad je prvi broj
« posle decimalne tačke od , gde je r ostatak kod Euklidovog deljenja 10
sa n (’ostatak’ od 10« po
modulu n).
z
Da bi brzo izračunali r, rekonstituišemo 10d-n-1 po modulu n množenjem stepena tipa 10 mod #; to je
binarni eksponencijalni algoritam (videti D. Knut [54]). Ilustrujmo ovo kompletiranjem računanja ad za slučaj
da su brojevi n = 17 i d = 100 (smešno) mali, ali prepustimo to ručnom računanju.
To je slučaj nalaženja 100-te decimale od ½·¼2Ø. Ovde imamo d – n - 1= 82. Izračunajmo 10E mod 17. Po
modulu 17, imamo sledeće
10 100 Þ 15, 10D Þ 15 Þ P2 Þ 4; 10E Þ 4 Þ 16 Þ P1;
Sada je
10F Þ P1 Þ 1; 10FD Þ 1D Þ 1.
10E 10FDIFI 10FD 10F 10 Þ 1 · 1 · 15 15,
р
¢
gde ¡ 15 i ad je prvi broj posle decimalne tačke od ½ ½, odakle je R« 8.
Volisova Formula i još neke
34
Sadržaj
2.1. Vietov beskonačni proizvod ................................................................................ 2
2.2. Opšte napomene o beskonačnim proizvodima .................................................... 3
2.3. Volisov beskonačni proizvod ............................................................................... 5
2.4. √‹ i igra pismo ili glava ....................................................................................... 6
2.5. Stirlingov ekvivalent............................................................................................ 8
2.6. Formula Gregorija i Lajbnica ................................................................................ 9
2.7. Red za inverzni tangens po Ojleru ..................................................................... 10
2.8. Drugi redovi i integrali za izražavanje π ............................................................. 11
2.9. Formule Mejčinovog tipa .................................................................................. 14
2.10. U jednačini ...................................................................................................... 17
2.11. Kontinualni razlomci za π ............................................................................... 20
2.12. Formula Bejlija, Borvajna i Plaufa .................................................................... 31
Download

Volisova Formula i još neke